Bihar Board Class 9 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.7 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 9 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.7

[जब तक अन्यश्चा न कहा जाए, π = \(\frac{22}{7}\) लीजिए।

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प्रश्न 1.
उस लम्बवृत्तीय शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए, जिसकी
(i) त्रिज्या 6 cm और ऊँचाई 7 cm है।
(ii) त्रिज्या 3-5 cm और ऊँचाई 12 m है।
उत्तर:
(i) दिया है, r = 6 cm तथा h = 7 cm
आयतन = \(\frac{1}{3}\) πr²h = \(\frac{1}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 6 × 6 × 7
= 264 cm³

(ii) दिया है, r = 3.5 cm तथा r = 12 cm
आयतन = \(\frac{1}{3}\) πr²h = \(\frac{1}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 3.5 × 3.5 × 12
= 154 cm³.

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प्रश्न 2.
शंकु के आकार के उस बल की लीटरों में पारिता ज्ञात कीजिए जिसकी
(i) त्रिज्या 7 cm और तिर्यक ऊँचाई 25 cm है।
(ii) ऊँचाई 12 m और तिर्यक ऊंचाई 13 cm है।
उत्तर:
(i) दिया है. r = 7 m तथा l = 25 m
मला शंकु की ऊँचाई = h
h = \(\sqrt {l^2 – r^2}\) = \(\sqrt {25^ – 7^2}\) = \(\sqrt {576}\)
= 24 cm
शवबांकार वर्तन का आयतन
= \(\frac{1}{3}\) πr²h = \(\frac{1}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 7 × 7 × 24
= 1232 cm³
∴ अर्तन की धारिता = (\(\frac{1232}{1000}\)) l = 1.232 लीटर।

(ii) दिया है. h = 12 cm तथा l = 13 cm
माना शंकु की प्रिया = r
r = \(\sqrt {l^2 – h^2}\) = \(\sqrt {13^ – 12^2}\) = 5 cm
शक्वांकार बर्तन का आयतन
= \(\frac{1}{3}\) πr²h = \(\frac{1}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 5 × 5 × 12
= \(\frac{2200}{7}\) cm³
∴ वर्तन की धारिता = \(\frac{2200}{7}\) × \(\frac{1}{1000}\) = \(\frac{11}{35}\) लीटर।

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प्रश्न 3.
एक शंकु की ऊंचाई 15 cm है। यदि इसका आयतन 1570 cm³ है, तो इसके आधार की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 प्रयोग कीजिए।)
उत्तर:
दिया है, शंकु की ऊँचाई (h) = 15 cm
माना शंकु के आधार की त्रिज्या = r cm
शंकु का आयतन = 1570
\(\frac{1}{3}\) πr²h = 1570
⇒ r = \(\sqrt{\frac{3×1570}{3.14×15}}\) = 10 cm
अत: आधार की त्रिज्या = 10 cm.

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प्रश्न 4.
यदि 9 cm ऊँचाई वाले एक लंबवृत्तीय शंकु का आयतन 48 π cm³ है, तो इसके आधार का व्यास ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
दिया है, शंकु की ऊंचाई (h) = 9 cm
शंकु का आयतन (V) = 48 π cm³
\(\frac{1}{3}\) πr²h = 48π
⇒ r = \(\sqrt{\frac{48×3}{9}}\) = 4 cm
अत: आधार का व्यास = 2r = 2 × 4 = 8 cm.

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प्रश्न 5.
ऊपरी व्यास 3.5 m वाले शंकु के आकार का एक गइट 12 m गहरा है। इसकी पारिता किलोलीटरों में कितनी है?
उत्तर:
दिया है, शंकु की त्रिव्या (r)
= \(\frac {व्यास}{2}\) = \(\frac {3.5{2}\) = 1.75 m
गड्डे की गहराई (h) = 12 m
धारिता = आयतन =\(\frac{1}{3}\) πr²h
= \(\frac{1}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 1.75 × 1.75 × 12
= 38.5 m
शंक्वाकार गड्डे की धारिता = 38.5 किलोलीटर

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प्रश्न 6.
एक लंबवृत्तीय शंकु का आयतन 9856 cm³ है। यदि इसके आधार का व्यास 28 cm है, तो ज्ञात कीजिए।
(i) शंकु की ऊंचाई
(ii) शंकु की तिर्थक ऊँचाई
(iii) शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल।
उत्तर:
दिया है, त्रिन्या = \(\frac {व्यास}{2}\) = \(\frac {28}{2}\) = 14 cm
(1) आयतन = 9856 = \(\frac{1}{3}\) πr²h
h = \(\frac {9856×3×7}{14×14×22}\) = 48 cm
अत: शंकु की ऊँचाई = 48 cm.

(ii) माना, तिर्यक ऊँचाई = l
l = \(\sqrt {h^2 + r^2}\) = \(\sqrt {2304 + 196}\) = 50 cm
अत: शंक की तिर्यक ऊँचाई = 50 cm.

(iii) शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
= πrl = \(\frac {22}{7}\) × 14 × 50
= 2200 cm³.

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प्रश्न 7.
भुजाओं 5 cm, 12 cm और 13 cm वाले एक समकोण त्रिभुज ABC को भुजा 12 cm के परितः पुमाया जाता है। इस प्रकार प्राप्त ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
समकोण ∆ABC को भुजा AB के परित: घुमाने पर हमें एक शंकु प्राप्त होता है।
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इस प्रकार बने ठोस का मायतन
V = \(\frac{1}{3}\) πr²h
⇒ V = \(\frac{1}{3}\) π × 5 × 5 × 12
= 100 π cm³.

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प्रश्न 8.
यदि प्रश्न 7 के प्रिभुज ABC को यदि भुजा 5 cm के परितः घुमाया जाए, तो इस प्रकार प्राप्त ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए। प्रश्नों 7 और 8 में प्राप्त किए गए दोनों ठोसों के आयतनों का अनुपात भी ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
यदि ∆ABC को भुजा 5 cm के परितः घुमाया जाए तो शंकु प्राप्त होगा जिसकी त्रिज्या 12 cm होगी।
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अतः प्राप्त तोस का आयतन = \(\frac{1}{3}\) πr²h
= \(\frac{1}{3}\) π × 12 × 12 × 5
= 240 π cm³
अतः आयतनों का अनुपात = 100 π : 240 π = 5 : 12.

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प्रश्न 9.
गेहूँ की एक ढेरी 10.5 m व्यास और ऊंचाई 3 m वाले एक शंकु के आकार की है। इसका आयतन ज्ञात कीजिए। इस जेरी को वर्षा से बचाने के लिए केनवास से उका जाना है। वांछित केनवास का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
दिया है, शंकु के आधार की त्रिज्या (r)
= \(\frac {व्यास}{2}\) = \(\frac {10.5}{2}\) = 5.25 m
ऊँचाई h = 3 m
अत: देर का आयतन = \(\frac{1}{3}\) πr²h
= \(\frac{1}{3}\) × \(\frac{1}{3}\) × 5.25 × 5.25 × 3
= 86.625 m³.
माना ढेर को तिर्यक ऊँचाई = l
l² = h² + r²
= 3² + (5.25)²
= 36.5625 m²
⇒ l = \(\sqrt {36.5625}\)
= 6.0467.
अत: ठर कोकने के लिए आवश्यक केनवास = चक्र पृष्ठ
= πrl
= \(\frac{1}{3}\) × 5.25 × 6.0467
= 99.77 m²

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