Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.3 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.3

Bihar Board Class 10 Maths बहुपद Ex 2.3

प्रश्न 1.
विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके, निम्न में p(x) को g(x) से भाग देने पर भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए-
(i) p(x) = x3 – 3x2 + 5x – 3, g(x) = x2 – 2
(ii) p(x) = x4 – 3x2 + 4x + 5, g(x) = x2 + 1 – x
(iii) p(x) = x4 – 5x + 6, g(x) = 2 – x2
हल
(i) दिया है, p(x) = x3 – 3x2 + 5x – 3 तथा g(x) = x – 2
माना भागफल q(x) तथा शेषफल r(x) है।
तब, यूक्लिड की विभाजन एल्गोरिथ्म से,
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.3 Q1
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.3 Q1.1
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.3 Q1.2

(ii) दिया है, p(x) = x4 – 3x2 + 4x + 5
तथा g(x) = x2 + 1 – x = x2 – x + 1
माना भागफल q(x) तथा शेषफल r(x) है।
तब, यूक्लिड़ की विभाजन एल्गोरिथ्म से,
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.3 Q1.3
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.3 Q1.4
अत: भागफल q(x) = x2 + x – 3 तथा शेषफल r(x) = 8

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.3

(iii) दिया है, p(x) = x4 – 5x + 6 तथा g(x) = 2 – x2 = -x2 + 2
माना भागफल q(x) तथा शेषफल r(x) है।
तब, यूक्लिड की विभाजन एल्गोरिथ्म से,
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.3 Q1.5
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.3 Q1.6
अतः भागफल q(x) = -x2 – 2 तथा शेषफल r(x) = -5x + 10

प्रश्न 2.
पहले बहुपद से दूसरे बहुपद को भाग करके, जाँच कीजिए कि क्या प्रथम बहुपद द्वितीय बहुपद का एक गुणनखण्ड है-
(i) t2 – 3, 2t4 + 3t3 – 2t2 – 9t – 12
(ii) x2 + 3x + 1, 3x4 + 5x3 – 7x2 + 2x + 2
(iii) x3 – 3x + 1, x5 – 4x3 + x2 + 3x + 1
हल
(i) माना t2 – 3 = g(t) तथा 2t4 + 3t3 – 2t2 – 9t – 12 = p(t)
यदि भागफल q(t) तथा शेषफल r(t) हो
तब, यूक्लिड की विभाजन प्रमेय से,
p(t) = g(t) . q(t) + r(t)
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.3 Q2
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.3 Q2.1
शेषफल r(t) = 0 अत: t2 – 3, 2t4 + 3t3 – 2t2 – 9t – 12 का एक गुणनखण्ड है।

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(ii) माना x2 + 3x + 1 = g(x) तथा 3x4 + 5x3 – 7x2 + 2x + 2 = p(x)
यदि भागफल q(x) तथा शेषफल r(x) हो तब यूक्लिड की विभाजन प्रमेय से,
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.3 Q2.2
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.3 Q2.3
शेषफल r(x) = 0
अत: x2 + 3x + 1, 3x4 + 5x3 – 7x2 + 2x + 2 का एक गुणनखण्ड है।

(iii) माना x3 – 3x + 1 = g (x) तथा x5 – 4x3 + x2 + 3x + 1 = p(x)
यदि भागफल q(x) तथा शेषफल r(x) हो तब, यूक्लिड की विभाजन प्रमेय से,
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.3 Q2.4
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.3 Q2.5
शेषफल r(x) = 29x – 9 ≠ 0
अत: x3 – 3x + 1, x5 – 4x3 + x2 + 3x + 1 का गुणनखण्ड नहीं है।

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प्रश्न 3.
3x4 + 6x3 – 2x2 – 10x – 5 के अन्य सभी शून्यक ज्ञात कीजिए, यदि इसके दो शून्यक \(\sqrt{\frac{5}{3}}\) और –\(\sqrt{\frac{5}{3}}\) हैं।
हल
बहुपद 3x4 + 6x3 – 2x2 – 10x – 5 के दो शून्यक \(\sqrt{\frac{5}{3}}\) व –\(\sqrt{\frac{5}{3}}\) हैं और माना शेष दो शून्यक α व β हैं।
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.3 Q3

प्रश्न 4.
यदि x3 – 3x2 + x + 2 को एक बहुपद g(x) से भाग देने पर, भागफल और शेषफल क्रमशः x – 2 और -2x + 4 हैं तो g(x) ज्ञात कीजिए।
हल
बहुपद x3 – 3x2 + x + 2 = p(x), भाजक = g(x)
भागफल q(x) = (x – 2) तथा शेषफल r(x) = -2x + 4
तब, यूक्लिड की विभाजन प्रमेय से,
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.3 Q4
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.3 Q4.1

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प्रश्न 5.
बहुपदों p(x), g(x), q(x) और r(x) के ऐसे उदाहरण दीजिए जो विभाजन एल्गोरिथ्म को सन्तुष्ट करते हों तथा
(i) घात p(x) = घात q(x)
(ii) घात q(x) = घात r(x)
(iii) घात r(x) = 0
हल
(i) p(x) व q(x) ऐसे चाहिए कि p(x) की घात = q(x) की घात
तब, p(x) की घात = g(x) की घात . q (x) की घात
⇒ g(x) की घात शून्य होनी चाहिए।
तब, माना p(x) = 2x3 + 5x2 + 7x + 16 और q(x) = x3
g(x) = 2 तथा r(x) = 5x2 + 7x + 16

(ii) घात q(x) = घात r(x)
p(x) = g(x) . q(x) + r(x)
p(x) की घात, g(x) की घात व q(x) की घात के योग के बराबर होना चाहिए।
माना q(x) = ax + b
तथा g(x) = cx2 + dx + e
तब, p(x) घात 3 का व्यंजक होना चाहिए।
p(x) = x3 + x2 + x + 1 तथा g(x) = x2 – 1
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.3 Q5
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.3 Q5.1
⇒ q(x) = (x + 1) तथा r(x) = 2x + 2
अत: p(x) = x3 + x2 + x + 1, q(x) = (x + 1), g(x) = x2 – 1 तथा r(x) = 2x + 2

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(iii) घात r(x) = 0
माना p(x) = x3 + 2 तथा g(x) = x2 – x + 1
x3 + 2 में x2 – x + 1 से भाग देने पर,
q(x) = (x + 1) तथा r(x) = 1
अत: p(x) = x3 + 2, q(x) = (x + 1), g(x) = x2 – x + 1 तथा r(x) = 1
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.3 Q5.2

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