Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.3 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.3

Bihar Board Class 10 Maths निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.3

प्रश्न 1.
उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष हैं-
(i) (2, 3), (-1, 0), (2, -4)
(ii) (-5, -1), (3, -5), (5, 2)
हल
(i) त्रिभुज के शीर्ष (2, 3), (-1, 0) तथा (2, -4) हैं।
यहाँ x1 = 2, x2 = -1, x3 = 2, y1 = 3, y2 = 0, y3 = -4
∆ का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) [{x1y2 + x2y3 + x3y1} – {y1x2 + y2x3 + y3x1}]
= \(\frac{1}{2}\) [{(2 × 0) + (-1 × -4) + (2 × 3)} – {(3 × -1) + (0 × 2) + (-4 × 2)}}
= \(\frac{1}{2}\) [{0 + 4 + 6} – {-3 + 0 – 8}]
= \(\frac{1}{2}\) [{10} – {-11}]
= \(\frac{1}{2}\) [10 + 11]
= \(\frac{21}{2}\) वर्ग मात्रक
अत: त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac{21}{2}\) वर्ग मात्रक

(ii) त्रिभुज के शीर्ष (-5, -1), (3, -5), (5, 2)
यहाँ x1 = -5, x2 = 3, x3 = 5, y1 = -1, y2 = -5, y3 = 2
∆ का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) [{x1y2 + x2y3 + x3y1} – {y1x2 + y2x3 + y3x1}]
= \(\frac{1}{2}\) [{(5 × -5) + (3 × 2) + (5 × -1)} – {(-1 × 3) + (-5 × 5) + (2 × -5)}]
= \(\frac{1}{2}\) [{25 + 6 – 5} – {-3 – 25 – 10}]
= \(\frac{1}{2}\) [{26} – {-38}]
= \(\frac{1}{2}\) [26 + 38]
= \(\frac{1}{2}\) × 64
= 32 वर्ग मात्रक
अत: त्रिभुज का क्षेत्रफल = 32 वर्ग मात्रक

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प्रश्न 2.
निम्नलिखित में से प्रत्येक में ‘k’ का मान ज्ञात कीजिए ताकि तीनों बिन्दु संरेखी हों-
(i) (7, -2), (5, 1), (3, k)
(ii) (8, 1), (k, -4), (2, -5)
हल
(i) माना बिन्दु A = (7, -2); B = (5, 1) तथा C = (3, k)
यहाँ x1 = 7, x2 = 5, x3 = 3, y1 = -2, y2 = 1, y3 = k
∆ABC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) [{x1y2 + x2y3 + x3y1} – {y1x2 + y2x3 + y3x1}]
= \(\frac{1}{2}\) [7 × 1 + 5 × k + 3 × -2} – {-2 × 5 + 1 × 3 + k × 7}]
= \(\frac{1}{2}\) [{7 + 5k + (-6)} – {-10 + 3 + 7k}]
= \(\frac{1}{2}\) [(1 + 5k) – (-7 + 7k]
= \(\frac{1}{2}\) [1 + 5k + 7 – 7k]
= \(\frac{1}{2}\) [8 – 2k]
= \(\frac{2}{2}\) (4 – k)
= 4 – k
परन्तु यदि बिन्दु A, B, C संरेख हों तो ∆ABC का क्षेत्रफल शून्य होना चाहिए।
4 – k = 0 ⇒ k = 4
अत: k का मान = 4

(ii) माना बिन्दु A = (8, 1), B = (k, -4) तथा C = (2, -5)
यहाँ x1 = 8, x2 = k, x3 = 2, y1 = 1, y2 = -4, y3 = -5
∆ABC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) [{x1y2 + x2y3 + x3y1} – {y1x2 + y2x3 + y3x1}]
= \(\frac{1}{2}\) [8 × -4 + k × -5 + 2 × 1) – (1 × k – 4 × 2 – 5 × 8)]
= \(\frac{1}{2}\) [{-32 – 5k + 2} – {k – 8 – 40}]
= \(\frac{1}{2}\) [{-30 – 5k} – {k – 48}]
= \(\frac{1}{2}\) [-30 – 5k – k + 48]
= \(\frac{1}{2}\) [-6k + 18]
= \(\frac{2}{2}\) (-3k + 9)
= -3k + 9
परन्तु यदि बिन्दु A, B, C संरेख हों तो ∆ABC का क्षेत्रफल शून्य होना चाहिए।
-3k + 9 = 0 ⇒ k = 3
अत: k का मान = 3

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प्रश्न 3.
शीर्षों (0, -1), (2, 1) और (0, 3) वाले त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिन्दुओं से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। इस क्षेत्रफल का दिए हुए त्रिभुज के क्षेत्रफल के साथ अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल
माना ∆ABC के शीर्ष A = (0, -1), B = (2, 1) और C = (0, 3)
यहाँ x1 = 0, x2 = 2, x3 = 0, y1 = -1, y2 = 1, y3 = 3
∆ABC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) [{x1y2 + x2y3 + x3y1} – {y1x2 + y2x3 + y3x1}]
= \(\frac{1}{2}\) [{0 × 1 + 2 × 3 + 0 × -1} – {-1 × 2 + 1 × 0 + 3 × 0}]
= \(\frac{1}{2}\) [{0 + 6 + 0} – {-2 + 0 + 0}]
= \(\frac{1}{2}\) [6 – (-2)]
= \(\frac{1}{2}\) × 8
= 4 वर्ग मात्रक
भुजा AB का मध्य-बिन्दु D = \(\left(\frac{0+2}{2}, \frac{-1+1}{2}\right)\) = (1, 0)
भुजा BC का मध्य-बिन्दु E = \(\left(\frac{2+0}{2}, \frac{1+3}{2}\right)\) = (1, 2)
भुजा CA का मध्य-बिन्दु F = \(\left(\frac{0+0}{2}, \frac{-1+3}{2}\right)\) = (0, 1)
तब, ∆DEF के शीर्ष D = (1, 0), E = (1, 2), F = (0, 1)
यहाँ, x1 = 1, y1 = 0, x2 = 1, y2 = 2, x3 = 0, y3 = 1
∆DEF का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) [{x1y2 + x2y3 + x3y1} – {y1x2 + y2x3 + y3x1}]
= \(\frac{1}{2}\) [{1 × 2 + 1 × 1 + 0 × 0} – {0 × 1 + 2 × 0 + 1 × 1}]
= \(\frac{1}{2}\) [{2 + 1 + 0} – {0 + 0 + 1}]
= \(\frac{1}{2}\) [3 – 1]
= \(\frac{1}{2}\) × 2
= 1 वर्ग मात्रक
∴ शीर्षों (0, -1), (2, 1) और (0, 3) वाले त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिन्दुओं से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1 वर्ग मात्रक
पुनः दोनों त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात = 1 : 4

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प्रश्न 4.
उस चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष, इसी क्रम में, (-4, -2), (-3, -5), (3, -2) और (2, 3) हैं।
हल
माना चतुर्भुज ABCD के शीर्ष A = (-4, -2), B = (-3, -5), C = (3, -2) तथा D = (2, 3) हैं।
यहाँ x1 = -4, x2 = -3, x3 = 3, x4 = 2, y1 = -2, y2 = -5, y3 = -2, y4 = 3
चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) [{x1y2 + x2y3 + x3y4 + x4y1} – {y1x2 + y2x3 + y3x4 + y4x1}]
= \(\frac{1}{2}\) [{(-4 × -5) + (-3 × -2) + (3 × 3) + (2 × -2)} – {(-2 × -3) + (-5 × 3) + (-2 × 2) + (3 × -4)}]
= \(\frac{1}{2}\) {20 + 6 + 9 – 4} – {6 – 15 – 4 – 12}]
= \(\frac{1}{2}\) [(31) – (-25)]
= \(\frac{1}{2}\) [31 + 25]
= \(\frac{1}{2}\) [56]
= 28 वर्ग मात्रक
अत: अभीष्ट चतुर्भुज का क्षेत्रफल = 28 वर्ग मात्रक

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प्रश्न 5.
कक्षा IX में आपने पढ़ा है कि किसी त्रिभुज की एक माध्यिका उसे बराबर क्षेत्रफलों वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है। उस त्रिभुज ABC के लिए इस परिणाम का सत्यापन कीजिए जिसके शीर्ष A(4, -6), B(3, -2) और C(5, 2) हैं।
हल
दिए हुए, ∆ABC के शीर्ष A = (4, -6), B = (3, -2) और C = (5, 2)
माना BC का मध्य-बिन्दु D है।
तब, D = \(\left(\frac{3+5}{2}, \frac{-2+2}{0}\right)\) = (4, 0)
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.3 Q5
इस प्रकार माध्यिका AD, ∆ABC को दो त्रिभुजों (∆ABD व ∆ACD) में विभाजित करती है।
यहाँ, x1 = 4, y1 = -6, x2 = 3, y2 = -2, x3 = 5, y3 = 2
∆ABC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) [{x1y2 + x2y3 + x3y1} – {y1x2 + y2x3 + y3x1}]
= \(\frac{1}{2}\) [{4 × -2 + 3 × 2 + 5 × -6} – {-6 × 3 – 2 × 5 + 2 × 4}]
= \(\frac{1}{2}\) [{-8 + 6 – 30} – {-18 – 10 + 8}
= \(\frac{1}{2}\) [-32 – (-20)]
= \(\frac{1}{2}\) (-32 + 20)
= \(\frac{1}{2}\) × -12
= 6 वर्ग मात्रक
इसी प्रकार ∆ABD का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) [{-8 + 0 – 24} – {-18 – 8 + 0}]
= \(\frac{1}{2}\) [{-32} – {-26}]
= \(\frac{1}{2}\) [-32 + 26]
= 3 वर्ग मात्रक
तब, ∆ACD का क्षेत्रफल = ∆ABC का क्षेत्रफल – ∆ABD का क्षेत्रफल
= (6 – 3) वर्ग मात्रक
= 3 वर्ग मात्रक
अतः स्पष्ट है कि ∆ABC की माध्यिका AD, ∆ABC को दो समान क्षेत्रफल वाले त्रिभुज ABD व त्रिभुज ACD में विभाजित करती है।
इति सिद्धम्

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