Bihar Board Class 9 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.4

Bihar Board Class 9 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.4 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 9 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.4

Bihar Board Class 9 Math Solution In Hindi प्रश्न 1.
बताइए कि निम्नलिखित बहुपदों में से किस बहुपद का एक गुणनखण्ड x + 1 है।?
(i) x³ + x² + x + 1
(ii) x⁴ + x³ + x² + x + 1
(iii) x⁴ + 3x³ + 3x² + x + 1
(iv) x³ – x² -(2 + √2)x + √2
उत्तर:
यदि x + 1 गुणनखण्ड है तो शून्यक – 1 होगा।
(i) माना,
p(x)= x³ + x² + x + 1
तब, p(-1) = (-1)³ + (-1)² + (-1) + 1
= -1 + 1 – 1 + 1
= 0
अत: शेषफल प्रमेय से (x + 1) बहुपद x³ + x² + x + 1 का एक गुणनखण्ड है।

(ii) माना, p(x) = x⁴ + x³ + x² + x + 1
तब, p(-1) = (-1)⁴ + (-1)³ + (-1)² + (-1) + 1
= 1 – 1 + 1 – 1 + 1
= 1
अत: शेषफल प्रमेय से. (x + 1) बहुपद x⁴ + x³ + x² + x + 1 का एक गुणनखण्ड नहीं है।

(iii) माना, p(x) = x⁴ + 3x³ + 3x² + x + 1
तब, p(-1) = (-1)⁴ + 3(-1)³ + 3(-1)² + (-1) + 1
= 1 – 3 + 3 – 1 + 1
= 1
अत: शेषफल प्रमेय से, (x + 1) बहुपद x⁴ + 3x³ + 3x² + x + 1 का एक गुणनखण्ड नहीं है।

(iv) माना, p(x) = x³ – x² -(2 + √2)x + √2
तब, p(-1) = (-1)³ – (-1)² – (2 + √2) (-1) + √2
= -1 – 1 + 2 + √2 + √2
= 2√2.
अत: शेषफल प्रमेव से. (x + 1) बहुपद x³ – x² -(2 + √2)x + √2 का एक गुणनखण्ड नहीं है।

Bihar Board Class 9 Math Solution प्रश्न 2.
गुणनखण्ड प्रमेव लागू करके बताइए कि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में g(x), p(x) का एक गुणनखड है या नहीं-
(i) p(x) = 2x³ + x² – 2x – 1, g(x) = x + 1
(ii) p(x) = x³ + 3x² + 3x + 1, g(x) = x + 2
(iii) p(x) = x³ – 4x² + x + 6, g(x) = x + 3.
उत्तर:
(i) g(x) = x + 1 का शून्यक x = -1 होगा।
तब, p(-1) = 2(-1)³ + (-1)² – 2(-1) – 1
= -2 + 1 + 2 – 1 = 0
अत: गुणनखण्ड प्रमेय से, g(x), p(x) का गुणनखण्ड है।

(ii) g(x) = x + 2 का शून्यकर x = -2 होगा।
तब, p(-2) = (-2)³ + 3(-2)² + 3 (-2) + 1
= -8 + 12 – 6 + 1
= -1
अत: गुणनखण्ड प्रमेय से, g(x). P(x) का गुणनखण्ड नहीं है।

(iii) g(x) = x – 3 का शून्यक x = 3 होगा।
तब, p(3) = (3)³ – 4(3)² – 3 + 6
= 27 – 36 + 3 + 6
= 0
अत: गुणनखण्ड प्रमेय से, g(x). p(x) का गुणनखण्ड है।

Bihar Board Class 9th Math Solution प्रश्न 3.
k का मान ज्ञात कीजिए जबकि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में (x – 1), p(x) का एक गुणनखण्ड हो
(i) p(x) = x² + x + k
(ii) p(x) = 2x² + kx + √2
(iii) p(x) = kx² – √2x + 1
(iv) p(x) = kx² – 3x + k.
उत्तर:
यदि x – 1 गुणनखण्ड है तो शून्यक 1 होगा।
(i) माना. P(x) = x² + x + k
तब, p(1) = 0
(1)² + (1) + k = 0
⇒ 1 + 1 + k = 0
k = -2.

(ii) p(x) = 2x² + kx + √2
तब, p(1) = 0
2(1)² – k(1) + √2 = 0 तन,
⇒ 2 + k + √2 = 0
∴ k = (-2 – √2)

(iii) माना, p(x) = kx² – √2x + 1
तब, p(1) = 0
k(1)² – √2(1) + 1 = 0
⇒ k – √2 + 1 = 0
k = (√2 – 1)

(iv) माना, p(x) = kx² – 3x + k
तब, p(1) = 0
k(1)² – 3(1) + k = 0
⇒ k – 3 + k = 0
⇒ 2k = 3
k = 3/2.

Bihar Board Class 9 Math Solution Pdf प्रश्न 4.
गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए
(i) 12x² – 7x + 1
(ii) 2x² + 7x + 3
(iii) 6x² + 5x – 6
(iv) 3x² – x – 4.
उत्तर:
(i) 12x² – 7x + 1 = 12x² – 4x – 3x + 1
(मध्य पद को विभक्त करने पर)
=4x (3x – 1) -1(3x – 1)
= (4x – 1) (3x -1)

(ii) 2x² + 7x + 3 = 2x² + 6x + x + 3
(मध्य पद को विभक्त करने पर)
= 2x(x + 3) + 1(6 + 3)
= (2x + 1) (x+3)

(iii) 6x² + 5x – 6 = 6x² + 9x – 4 – 6
(मध्य पद को विभका करने पर)
= 3x (2x + 3) -2(2x + 3)
= (3x – 2)(2x + 3)

(iv) 3x² – x – 4 = 3x² – 4x + 3x – 4
(मध्य पद को विभका करने पर)
= x(3x – 4) + 1 (3x – 4)
= (x + 1) (3x – 4)

Bihar Board 9th Class Book Math प्रश्न 5.
गुणनखण ज्ञात कीजिए
(i) x³ – 2x² + 2
(ii) x³ – 3x² – 9x – 5
(iii) x³ + 13x² + 32x + 20
(iv) 2y³ + y² – 2y – 1.
उत्तर:
(i) माना, p(x) = x³ – 2x² – x + 2
p(x) का अचर 2 है तथा इसके गुणनखण्ड ± 1 तथा ± 2 है।
अब, p(1) = (1)³ – 2(1)² – (1) + 2
= 1 – 2 – 1 + 2
= 0
जाँच करने पर. p(1) = 0
अत: (x – 1).p(x) का एक गुणनखण्ड है।
⇒ x³ – 2x² – x + 2= x³ – x² – x² + x – 2x + 2
= x²(x – 1) -x(x – 1) -2(x – 1)
= (x – 1) (x² – x – 2)
अब, x² – x – 2 = x² – 2x + x – 2
(मध्य पद को विभका करने पर)
⇒ x² – x – 2 = x(x – 2) +1 (1 – 2)
= (x – 2)(x + 1)
अतः x³ – 2x² – x + 2 = (x – 1)(x – 2) (x + 1).

(ii) माना, p(x) = x³ – 3x² – 9x – 5
p(x) का अचर 5 है तथा इसके गुणनखाडा ± 1 तथा ± 5 है।
अब, p(5) = (5)³ – 3(5)² – 9(5) – 5
= 125 – 75 – 45 – 5
= 0
जाँच करने पर, p(5) = 0
अत: (x -5), p(x) का एक गुणनखण्ड है।
⇒ x³ – 3x² – 9x – 5 = x³ – 5x² + 2x² – 10x + x – 5
= x² (x – 5) + 2x (x – 5) + 1 (x – 5)
= (x – 5) (x² + 2x + 1)
अब, x² + 2x + 1 = x² + x + x + 1
(मध्य पद को विभक्त करने पर)
= x (x + 1) +1(x + 1)
= (x + 1) (x + 1)
अतः x³ – 3x² – 9x – 5 = (x – 5) (x + 1) (x + 1)
(x – 5)(x + 1)².

(iii) माना, p(x) = x³ + 13x² + 32x + 20
p(x) का अपर 20 है तथा इसके गुणनखण्ड ± 1, ± 2, ± 4, ± 5, ± 10, ± 20 है।
अब, p(-1) = (-1)³ + 13(-1)² + 32(-1) + 20
= -1 + 13 – 32 + 20
= 0
जाँच करने पर p(-1) = 0
अत: (x + 1), p(x) का एक गुणनखण्ड है।
⇒ x³ + 13x² + 32x + 20
= x³ + x² + 12x² + 12x + 20x + 20
= x²(x + 1) + 12x(x + 1) +20(x + 1)
= (x + 1) (x² + 12x + 20)
अब, x² + 12x + 20 = x² + 10x + 2x + 20
(मध्य पद को विभका करने पर)
= x(x + 10) + 2(x + 10)
= (x + 10)(x + 2)
अत: x³ + 13x² + 32x + 20 = (x +1)(x + 2)(x + 10)

(iv) माना, 2y³ + y² – 2y – 1 p(y) का अचर 1 है तथा इसके गुणनखण्ड हैं।
अब, P(1) = 2(1)³ + (1)² – 2(1) – 1
= 2 + 1 – 2 – 1
= 0
जाँच करने पर, p(1) = 0
अत: (y – 1) p(y) का एक गुणनखण्ड है।
⇒ 2y³ + y² – 2y – 1
= 2y³ – 2y² + 3y² – 3y +y + 1
= 2y²(y – 1) + 3y(y – 1) + 1(y – 1)
= (y – 1) (2y² – 3y + 1)
अय, 2y² + 3y + 1 = 2y² + 2y + y + 1
(मध्य पद को विभक्त करने पर)
= 2y (y + 1) -1(y + 1)
= (2y + 1) (y + 1)
अत: 2y³ + y² – 2y – 1 = (y – 1) (y+ 1) (2y + 1).