Bihar Board Class 9 Maths Solutions Chapter 7 त्रिभुज Ex 7.2 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 9 Maths Solutions Chapter 7 त्रिभुज Ex 7.2

प्रश्न 1.
एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC में जिसमें AB = AC है. ∠B और ∠C के समद्विभाजक परस्पर बिन्दु O पर प्रतिभेद करते हैं। A और O को जोथिए। दर्शाए कि-
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(i) OB = OC
(ii) AO, ∠A को समद्विभाजित करता है।
उत्तर:
(i) ∆ARC में,
AB = AC (दिया है।
अतः ∠ACB = ∠ABC
तो, \(\frac{1}{2}\) ∠ACB = \(\frac{1}{2}\) ∠ABC
∠OCA = ∠OBA
∠OCB = ∠OBC …. (1)
(∵ OB तथा 0C क्रमश: ∠B तथा ∠C के समद्विभाजक है)
⇒ OB = OC. …… (2)
(∵ समान कोणों के सम्मुख भुजाएँ बराबर होती है।)

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(ii) ∆OBA और ∆OCA में,
AB = AC (दिया है)
∠OBA = ∠OCA [समी. (1) से]
⇒ OB = OC. [सनी. (2) से]
∴ SAS सर्वांगसमता गुणधर्म से
∆OBA ≅ ∆OCA
⇒ ∠BAO – ∠CAO ( सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं)
अत: AO, ∠BAC को समद्विभाजित करता है।

प्रश्न 2.
∆ABC में AD भुजा BC का लम्ब समद्विभाजक है (देखिए आकृति) दहिए कि ∆ABC एक समद्धि आहु त्रिभुज है, जिसमें AB = AC है।
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उत्तर:
∆ABD और
∆ACD में,
AD = AD (उभयनिष्ठ)
∠ADB =∠ADC = 90°
(∵ AD भुजा BC पर लम्ब है)
BD = DC (दिया है)
∴ SAS सर्वांगसमता गुणधर्म से,
∆ABD ≅ ∆ACD
⇒ AB = AC (सर्वागसम विभुज के संगत भाग बराबर होते हैं)
आत: ∆ARC समद्विबाहु त्रिभुज है।

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प्रश्न 3.
ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें बराबर भुजाओं AC और AR पर क्रमशः शीर्षलम्ब BE और CF खींचे गए हैं (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि ये शीर्षलम्ब बराबर है।
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उत्तर:
∆ABE और ∆ACF में,
∠A – ∠A (उभयनिष्ठ)
(∵ BE ⊥ AC तथा CF ⊥ AB)
∠AED – ∠ARC = 90°
AB = AC (दिया है)
∴ AAS सर्वांगसमता गुणधर्म से,
∆ABE = ∆ACF
⇒ BE = CF (∵ सर्वागतम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते ई)
अत: शीर्षलम्ब बराबर हैं।

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प्रश्न 4.
ABC एक त्रिभुज है जिसमें AC और AB पर खींचे गए शीघलम्ब BE और CF बराबर हैं (देखिए आकृति) वाइए कि-
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(i) ∆ABE ≅ ∆CFB
(ii) AB = AC,
अर्थात् ∆ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
उत्तर:
(i) ∆ABE और ∆ACF में,
∠A = ∠A (उभयनिष्न)
BE = CF (दिया है।
∠AEB = ∠AFC = 90°
(∵ BE ⊥ AC, CF ⊥ AB)
∴ AAS सर्वांगसमता गुणधर्म से,
∆ABE ≅ ∆ACE. ……..(1)

(ii) ∵ ∆ABE ≅ ∆ACF (समी. (1) से]
⇒ AB = AC. (∵ सर्वांगसम विभुगों के संगत भाग बराबर होते हैं।)
आतः ∆ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

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प्रश्न 5.
ABC और DBC समान आधार BC पर स्थित दो समद्धि बाहु त्रिभुज है (देखिए आवृति) दशदिए कि ∠ABD = ∠ACD है।
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उत्तर:
∆ABC में,
AB = AC (दिया है।)
अतः ∠ABC = ∠ACB ……… (1)
(∵ समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।)
∆BCD में, BD = CD (दिया है।)
अतः ∠CBD = ∠BCD ………. (2)
(∵ समान भुजाओं के सम्मुख कोष बराबर होते हैं)
समी- (1) व समो. (2) को जोड़ने पर,
∠ABC + ∠CBD = ∠ACB + ∠BCD
∠ABD = ∠ACD.

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प्रश्न 6.
ABC एक समदिवाह त्रिभुज है, जिसमें AB = AC है। भुजा BA बिंदूत D क इस प्रकार बढ़ाई गई है कि AD = AB है (देखिए आकृति)
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दशहिए कि ∠BCD एक समकोण है।
उत्तर:
∆ABC में,
AB = AC (दिया है।)
∠ABC = ∠ACB ……. (1)
(समान भुजाओं के सम्मुख कोण)
∆ACD में,
AC = AD (दिया है।
∠ADC = ∠ACD ……… (2)
(समान भुनाओं के सम्मुख कोण)
समी- (1) और समी. (2) को जोड़ने पर
∠ABC + ∠ADC = ∠ACB + ∠ACD
∠ABC + ∠ADC = ∠BCD ……… (3)
∆BCD में, ∠DBC + ∠BDC + ∠BCD = 180°
समी (3) से, ∠BCD + ∠BCD = 180°
⇒ 2∠BCD = 180°
⇒ ∠BCD = 90°
अत: ∠BCD एक समकोण है।

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प्रश्न 7.
ABC एक समकोण त्रिभुजई, जिसमें ∠A = 90° और AB = AC है। ∠B और ∠C ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
∆ABC में, AB = AC (दिया है।)
⇒ ∠B = ∠C (समान भुजाओं के सम्मुखा कोण)
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अब. ∠ABC + ∠BCA + ∠CAD = 180°
∠ABC + ∠ABC + 90° = 180°
(∵ ∠CAB = 90° तथा ∠BCA = ∠ABC)
2∠ABC = 180° – 90°
∠ABC = ∠BCA = \(\frac{90°}{2}\) = 45°.

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प्रश्न 8.
दर्शाइए कि किसी समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण 60° होता है।
उत्तर:
माना ∆ABC एक समबाहु त्रिभुज है।
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अत: AB = BC = CA
यहाँ, AB = AC
अत: ∠B = ∠C …….. (1)
(समान भुजाओं के सम्मुख कोण)
यहाँ, BC = AC
अत: ∠A = ∠B ……. (2)
(समान भुजाओं के सम्मुख कोण)
समी. (1) व (2) से,
∠A = ∠B = ∠C
∆ABC में, ∠A + ∠B + ∠C = 180°
3∠A = 180°
∠A = 60° = ∠B = ∠C
अत: समबाहु त्रिभुज के सभी कोण 60 के होते हैं।

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