Bihar Board Class 9 Maths Solutions Chapter 7 त्रिभुज Ex 7.2 Text Book Questions and Answers.
BSEB Bihar Board Class 9 Maths Solutions Chapter 7 त्रिभुज Ex 7.2
प्रश्न 1.
एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC में जिसमें AB = AC है. ∠B और ∠C के समद्विभाजक परस्पर बिन्दु O पर प्रतिभेद करते हैं। A और O को जोथिए। दर्शाए कि-
(i) OB = OC
(ii) AO, ∠A को समद्विभाजित करता है।
उत्तर:
(i) ∆ARC में,
AB = AC (दिया है।
अतः ∠ACB = ∠ABC
तो, \(\frac{1}{2}\) ∠ACB = \(\frac{1}{2}\) ∠ABC
∠OCA = ∠OBA
∠OCB = ∠OBC …. (1)
(∵ OB तथा 0C क्रमश: ∠B तथा ∠C के समद्विभाजक है)
⇒ OB = OC. …… (2)
(∵ समान कोणों के सम्मुख भुजाएँ बराबर होती है।)
(ii) ∆OBA और ∆OCA में,
AB = AC (दिया है)
∠OBA = ∠OCA [समी. (1) से]
⇒ OB = OC. [सनी. (2) से]
∴ SAS सर्वांगसमता गुणधर्म से
∆OBA ≅ ∆OCA
⇒ ∠BAO – ∠CAO ( सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं)
अत: AO, ∠BAC को समद्विभाजित करता है।
प्रश्न 2.
∆ABC में AD भुजा BC का लम्ब समद्विभाजक है (देखिए आकृति) दहिए कि ∆ABC एक समद्धि आहु त्रिभुज है, जिसमें AB = AC है।
उत्तर:
∆ABD और
∆ACD में,
AD = AD (उभयनिष्ठ)
∠ADB =∠ADC = 90°
(∵ AD भुजा BC पर लम्ब है)
BD = DC (दिया है)
∴ SAS सर्वांगसमता गुणधर्म से,
∆ABD ≅ ∆ACD
⇒ AB = AC (सर्वागसम विभुज के संगत भाग बराबर होते हैं)
आत: ∆ARC समद्विबाहु त्रिभुज है।
प्रश्न 3.
ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें बराबर भुजाओं AC और AR पर क्रमशः शीर्षलम्ब BE और CF खींचे गए हैं (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि ये शीर्षलम्ब बराबर है।
उत्तर:
∆ABE और ∆ACF में,
∠A – ∠A (उभयनिष्ठ)
(∵ BE ⊥ AC तथा CF ⊥ AB)
∠AED – ∠ARC = 90°
AB = AC (दिया है)
∴ AAS सर्वांगसमता गुणधर्म से,
∆ABE = ∆ACF
⇒ BE = CF (∵ सर्वागतम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते ई)
अत: शीर्षलम्ब बराबर हैं।
प्रश्न 4.
ABC एक त्रिभुज है जिसमें AC और AB पर खींचे गए शीघलम्ब BE और CF बराबर हैं (देखिए आकृति) वाइए कि-
(i) ∆ABE ≅ ∆CFB
(ii) AB = AC,
अर्थात् ∆ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
उत्तर:
(i) ∆ABE और ∆ACF में,
∠A = ∠A (उभयनिष्न)
BE = CF (दिया है।
∠AEB = ∠AFC = 90°
(∵ BE ⊥ AC, CF ⊥ AB)
∴ AAS सर्वांगसमता गुणधर्म से,
∆ABE ≅ ∆ACE. ……..(1)
(ii) ∵ ∆ABE ≅ ∆ACF (समी. (1) से]
⇒ AB = AC. (∵ सर्वांगसम विभुगों के संगत भाग बराबर होते हैं।)
आतः ∆ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
प्रश्न 5.
ABC और DBC समान आधार BC पर स्थित दो समद्धि बाहु त्रिभुज है (देखिए आवृति) दशदिए कि ∠ABD = ∠ACD है।
उत्तर:
∆ABC में,
AB = AC (दिया है।)
अतः ∠ABC = ∠ACB ……… (1)
(∵ समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।)
∆BCD में, BD = CD (दिया है।)
अतः ∠CBD = ∠BCD ………. (2)
(∵ समान भुजाओं के सम्मुख कोष बराबर होते हैं)
समी- (1) व समो. (2) को जोड़ने पर,
∠ABC + ∠CBD = ∠ACB + ∠BCD
∠ABD = ∠ACD.
प्रश्न 6.
ABC एक समदिवाह त्रिभुज है, जिसमें AB = AC है। भुजा BA बिंदूत D क इस प्रकार बढ़ाई गई है कि AD = AB है (देखिए आकृति)
दशहिए कि ∠BCD एक समकोण है।
उत्तर:
∆ABC में,
AB = AC (दिया है।)
∠ABC = ∠ACB ……. (1)
(समान भुजाओं के सम्मुख कोण)
∆ACD में,
AC = AD (दिया है।
∠ADC = ∠ACD ……… (2)
(समान भुनाओं के सम्मुख कोण)
समी- (1) और समी. (2) को जोड़ने पर
∠ABC + ∠ADC = ∠ACB + ∠ACD
∠ABC + ∠ADC = ∠BCD ……… (3)
∆BCD में, ∠DBC + ∠BDC + ∠BCD = 180°
समी (3) से, ∠BCD + ∠BCD = 180°
⇒ 2∠BCD = 180°
⇒ ∠BCD = 90°
अत: ∠BCD एक समकोण है।
प्रश्न 7.
ABC एक समकोण त्रिभुजई, जिसमें ∠A = 90° और AB = AC है। ∠B और ∠C ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
∆ABC में, AB = AC (दिया है।)
⇒ ∠B = ∠C (समान भुजाओं के सम्मुखा कोण)
अब. ∠ABC + ∠BCA + ∠CAD = 180°
∠ABC + ∠ABC + 90° = 180°
(∵ ∠CAB = 90° तथा ∠BCA = ∠ABC)
2∠ABC = 180° – 90°
∠ABC = ∠BCA = \(\frac{90°}{2}\) = 45°.
प्रश्न 8.
दर्शाइए कि किसी समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण 60° होता है।
उत्तर:
माना ∆ABC एक समबाहु त्रिभुज है।
अत: AB = BC = CA
यहाँ, AB = AC
अत: ∠B = ∠C …….. (1)
(समान भुजाओं के सम्मुख कोण)
यहाँ, BC = AC
अत: ∠A = ∠B ……. (2)
(समान भुजाओं के सम्मुख कोण)
समी. (1) व (2) से,
∠A = ∠B = ∠C
∆ABC में, ∠A + ∠B + ∠C = 180°
3∠A = 180°
∠A = 60° = ∠B = ∠C
अत: समबाहु त्रिभुज के सभी कोण 60 के होते हैं।