Bihar Board Class 9 Maths Solutions Chapter 8 चतुर्भुज Ex 8.1 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 9 Maths Solutions Chapter 8 चतुर्भुज Ex 8.1

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प्रश्न 1.
एक चतुर्भुज के कोण 3 : 5 : 9 : 13 के अनुपात में हैं। इस चतुर्भुज के सभी कोण ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
माना.चतुर्भुज के कोण 3x, 5x, 9x, 13x हैं। चूंकि हम जानी है, कि चतुर्भुज के चारों कोणों का योग = 360°
∴ 3x + 5x + 4x + 13x = 360°
⇒ 30x = 360°
⇒ x = 12°
अतः चतुर्भुज के कोण है, 3x = 3 × 12 = 36°
5x = 5 × 12 = 60°
9x = 9 × 12 = 108°
13x = 13 × 12 = 156°.

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प्रश्न 2.
बदि एक समाजर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हों, तो दर्शाइए कि वह एक आयत है।
उत्तर:
माना ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है जहाँ विकर्ण AC तथा BD बराबर है, अत: AC = BD.
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∆ABC और ∆DCD में,
AB = CD (समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजा)
AC = BD (चिकर्ष)
BC = BC (उभयनिष्ठ)
∴ SSS सर्वांगसमता से,
∆ABC ≅ ∆DCB
∠BAC = ∠ACD
(∵ सर्वागसम त्रिभुजों के संगत भाग वराबर होते हैं)
अतः AB || DC
यहाँ AB || DC है तथा BC इन्हें काटती है।
∴ ∠ABC + ∠DCB = 180°
(क्रमागत आंतरिक कोणों का योग)
∴ 2∠ABC = 180°
⇒ 2∠ABC = ∠DCB = 90°
अत: ABCD एक आयत है।

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प्रश्न 3.
दर्शाइए कि यदि एक चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करें, तो वह एक समचतुर्भुज होता है।
उत्तर:
माना ABCD एक चतुर्भुज है जहाँ विकणे AC तथा BD परापर समकोण पर समविभाजित करते हैं।
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⇒ OA = OC तथा OB = OD
और ∠AOD = ∠COD = ∠AOB = ∠BOC = 90°
∆AOD और ∆COD में,
AO = CO (दिया है)
OB = OD (दिया है)
∠AOB = ∠COD (काभिमुख कोण)
∴ SAS सांसगमता गुणधर्म से,
∆AOB ≅ ∆COD
⇒ ∠OAB = ∠OCD
(∵ सर्वांगसम विभुगों के संगत भाग बराबर होता हैं)
अतः AB || CD
अत: ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।

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अब ∆AOB और ∆COB में
AO = CO (दिया है।
OB = OB (उभयनिष्ठ)
∠AOR = ∠COR = 90°
∴ SAS सर्वांगममता गुणधर्म से,
∆AOB ≅ ∆COB
⇒ AB = BC
(∵ सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं।)
अतः AB = BC = CD = DA
अतः चतुर्भुज ABCD एक समचतुर्भुज है।

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प्रश्न 4.
दर्शाइए कि एक वर्ग के विकर्ण बराबर होते हैं और परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
उत्तर:
यहाँ ABCD एक वर्ग है।
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AB || DC और BC || AD
यहाँ AB || DC
∠BAC = ∠DCA
⇒∠BAO = ∠DCO …….. (1)
तथा ∠ABD = ∠CDB
⇒ ∠ABO = ∠CDO …….. (2)
∆AOB तथा ∆COD में,
∠1 = ∠3 [समी- (1) से]
∠2 = ∠4 [समी. (2) से]
AB = CD (दिया है।
∴ ASA. सागसमता गुणधर्म से,
∆AOB ≅ ∆COD
⇒ OA = OC तथा OB = OD
(∵ सांगनम त्रिभुजों के सम्मुख भाग बराबर होते हैं।)
अत: विकर्ष एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।

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अब ∆ABC था ∆BAD मैं,
AB = BA
∠ABC = ∠BAD (दिया है।)
AD = BC (दिया है।)
∴ SAS सागरामता गुणधर्म से,
∆ABC ≅ ∆BAD
⇒ AC = BD
अत: विकर्ण बराबर है।
अब ∆AOD और ∆COD में,
AO = CO (ऊपर निकाला गया है।)
OD = OD
AD = CD (दिवा है।)
∴ SSS सर्वांगसमता गुणधर्म से,
∆AOD ≅ ∆COD
⇒ ∠AOD = ∠COD ………. (3)
हमें ज्ञात है,
∠AOD + ∠COD = 180°
2∠AOD = 180° समी. (3) से]
∠AOD = 90°
OD ⊥ AC
BD ⊥ AC
अतः विकर्ण बरावर हैं तश्चा परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।

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प्रश्न 5.
दाइए कि यदि एक चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हों और परस्पर लम्बवत् समद्विभाजित करें, तो वह एक वर्ग होता है।
उत्तर:
माना ABCD एक चतुर्भुज है। दिया है. AC = BD, AO = OC, BO = OD AT AC ⊥ BD.
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∆AOB और ∆COD में,
AO = CO (दिया है।)
OB = OD (दिया है।)
∠AOB = ∠COD (उध्वाभिमुख कोण)
∴ SAS सर्वागसमता गुणधर्म से,
∆AOB ≅ ∆COD.
⇒ ∠OAB = ∠OCD तथा AB = CD
(∵ सांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं।)
अत: AB || DC
इसी तरह AD || BC
अब ∆AOB तथा ∆AOD में,
OB = OD (दिया है।)
OA = OA (उपनिष्ठ)
∠AOB = ∠AOD = 90° (∵ AC ⊥ BD)
∴ SAS सर्वागसमता गुणधर्म से,
∆AOB ≅ ∆AOD
⇒ AB = AD
इसी तरह BC = DC
अतः AB = BC = CD = AD
अत: ABCD एक वर्ग है।

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प्रश्न 6.
समान्तर चतुर्भज ABCD का विकर्ण AC कोण A को समद्विभाजित करता है (देखिए आकृति)। वशाईए कि-
(i) यह को भी समद्विभाजित करता है।
(ii) ABCD एक समचतुर्भुज है।
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उत्तर:
दिया है. ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।
⇒ AB || CD तथा AD || BC
∠1 = ∠3 (आन्तरिक एकान्तर कोण)
तथा ∠2 = ∠4 (आन्तरिक एकातर कोण)
लेकिन ∠1 = ∠2 है
∠3 = ∠4
अत: AC, ∠C को समद्विभाजित करता है।
∆ABC में, ∠1 = ∠4
अतः BC = AB ……… (1)
∆ACD में,
∠2 = ∠3
अतः CD = AD …….. (2)
हमें ज्ञात है, AB = CD ………. (3)
समी. (1), (2) व (3) से,
AB = BC = CD = DA
अत: ABCD एक समचतुर्भुज है।

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प्रश्न 7.
ABCD एक समचतुर्भुज है। दर्शाइए कि विकर्ण AC, ∠A और ∠C दोनों को समद्विभाजित करता है तथा विकर्ण BD, ∠B और ∠D दोनों को समद्विभाजित करता है।
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उत्तर:
दिया है कि ABCD एक समचतुर्भुज है।
अतः AB = BC = CD = DA
∆ABC में, AB = BC (दिया है)।
⇒ ∠1 = ∠4 ……… (1)
∆ACD में, AD = CD (दिया है)
∠2 = ∠3 …….. (2)
AB || CD
∠2 = ∠3 …….. (3)
सगी. (1), (2) व (3) से,
∠1 = ∠2 तथा ∠3 = ∠4
अत: विकर्ण AC, ∠A और ∠C दोनों को समद्विभाजित करता है। इसी प्रकार, विकर्ण BD, ∠B और ∠D चोनों को समाद्विभाजित करता है।

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प्रश्न 8.
ABCD एक आयत है जिसमें विकर्ण AC दोनों ∠A और ∠C को समद्विभाजित करता है। दर्शाइए कि
(i) ABCD एक वर्ग है
(ii) विकर्ण BD, दोनों ∠B और ∠D को समद्विभाजित करता है।
उत्तर:
(i) यहाँ ABCD एक आवरा है,
अर्थात् AB = DC तथा AD = BC ……… (1)
दिया है, विकर्ण AC, ∠A और ∠C को समद्विभाजित करता है।
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⇒ ∠1 = ∠2 तथा ∠3 = ∠4
AB || DC
∠BAC = ∠DCA
⇒ ∠1 = ∠4
अत: ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4
⇒ AD = AB
अतः AB = BC = CD = DA
अत: ABCD एक वर्ग है।

(ii) हमें ज्ञाता है कि वर्ग के विकणं कोणों को समद्विभावित
अत: विकर्ण BD, ∠B और ∠D को समद्विभाजित करता है।

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प्रश्न 9.
समानर चतुर्भुज ABCD के विकणं BD पर दो बिन्दु P और Q इस प्रकार स्थित हैं कि DP = BQ है। (पाठ्य पुस्तक में दी गई आकति) वांडा कि-
(i) ∆APD ≅ ∆COB
(ii) AP = CQ
(iii) ∆AQB ≅ ∆CPD
(iv) AQ = CP
(v) APCQ एक समान्तर चतुर्भुज है।
उत्तर:
(i) ∆APD और ∆CQB में,
AD = BC (ABCD समान्तर चतुर्भुव है।)
∠ADP = ∠CBQ (दिया है)
DP = BQ (दिया है।)
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∴ SAS सांगसमता गुणधर्म से,
∆APD ≅ ∆CQB

(ii) ∴ ∆APD ≅ ∆CQB [भाग (i) से]
AP = CQ. (∵ सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं।)

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(iii) ∆AQB और ∆CPD में,
AB = CD (∵ समान्तर चतुर्भुज की संगत भुजाएँ बराबर होती हैं।)
∠ABQ = ∠CDP (दिया है।)
BO = DP (दिया है।)
∴ SAS सांगसमता गुणधर्म से,
∆AQB ≅ ACPD.

(iv) ∵ ∆AQB ≅ ∆CPD [भाग (iii) से]
∴ AQ = CP.

(v) यहाँ AP = QC तथा AQ = PC है।
दिव है, ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है तथा इसके विकर्ष एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
माना BD विकर्ण O पर विभाजित होता है।
⇒ OB = OD
अत: OB – BQ = OD – DP
OQ – OP तथा OA = OC
(∵ ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है)
अत: APCQ एक समान्तर चतुर्भुज है।

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प्रश्न 10.
ABCD एक समानार चतुर्भुज है तथा AP और CQ शीघों A और C से विकर्ण BD पर क्रमशः लम्ब हैं(देखिए आकृति)। वर्शाइए कि-
(i) ∆APB ≅ ∆CQD
(ii) AP= CQ.
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उत्तर:
(i) ∆APB और ∆CQD में,
∠ABP = ∠CDQ (AB || CD)
∠APB = ∠CQP = 90° (दिया है।)
AB = CD (समान्तर चतुर्भुज की भुजाएं हैं।)
∴ AAS सर्वागसमता गुगधर्म से,
∆APB ≅ ∆COQD

(ii) ∵ ∆APB ≅ ∆COD [भाग (i) से]
∴ AP = CQ (∵ सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं।)

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प्रश्न 11.
∆ABC और ∆DEF में, AB = DE. AB || DE, BC = EF और BC || EF है। शीर्षों A, B और C को क्रमशः शीपों D, E और F मै जोडा जाता है। (देखिए आकृति)। दहिए कि-
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(i) चतुर्भुज ABED एक समान्तर चतुर्भुज है।
(ii) चतुर्भुज BEFC एक समान्तर चतुर्भज है।
(iii) AD || CF और AD = CE है।
(iv) चतुर्भुज ACFD एक समान्तर चतुर्भुज है।
(v) AC = DF है।
(vi) ∆ABC = ∆DEF है।
उत्तर:
(i) चतुर्भुज ARED में,
AB = DE और AB || DE
यहाँ सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समान्तर है, अत: ABED एक समान्तर चतुर्भुज है।

(ii) चतुर्भुज BEFC में,
EC = EF और BC || EF
वहाँ सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और सम्मान्तर है। अत: BEFC समान्तर चतुर्भुज है।

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(iii) अब, AD = BE और AD || BE ……… (1)
(∵ ABED एक समान्तर चतुर्भुज है)
और CF = BE और CF || BE ……… (2)
(∵ BEFC एक समान्तर चतुर्भुज है)
समी (1) और (2) मैं,
AD = CF और AD || CF

(iv) यहाँ AD = CF और AD || CF है। यहाँ सम्मुख भुजाओं का एक युग्ण बराबर और समान्तर है। अत: ACFD एक समान्तर चतुर्भुज है।

(v) ACFD एक समान्तर चतुर्भुज है।
∴ AC = DF है।

(vi) ∆ABC और ∆DEF में,
AB = DE (दिया है।)
⇒ BC = EF (दिया है।)
तथा CA = FD
[भाग (v) से]
∴ SSS सर्वागसमता गुणधर्म से,
∆ABC ≅ ∆DEF.

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प्रश्न 12.
ABCD एक समलम्ब है जिसमें AB || DC और AD = BC (देखिए आकृति) दर्शाइए कि-
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(1) ∠A = ∠B
(ii) ∠C = ∠D
(iii) ∆ABC ≅ ∆BAD
(iv) विकर्ण AC = विकणं BD है।
हल :
एक रेखा CE || AD खोपिए।
(i) यहाँ AD || EC है
तव ∠DAE + ∠AEC = 180°
यहाँ AB || DC तथा AD || EC है, अत: AECD एक समान्तर चतुर्भुज है।
AD = CE
BC = AD (दिया है।)
⇒ BC = CE
∆BCE में, BC= CE
अतः ∠CBE = ∠CEB
⇒ 180°- ∠B = ∠CEB
⇒ 180° – ∠E = ∠B
अत: ∠A = ∠B. ……… (1)

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(ii) ∵ ∠A = ∠B [भाग (1) से]
⇒ 180° – ∠A = 180° – ∠B
अत: ∠D = ∠C.

(iii) ∆ABC और ∆BAD में,
AB = BA (उभयनिष्ठ)
BC = AD (दिया है।
∠A = ∠B (भाग (1) से]
∴ SAS सर्वांगसमता गुणधर्म से,
∆ABC ≅ ∆BAD.

(iv) ∵ ∆ABC ≅ ∆BAD [भाग (iii) से]
⇒ AC = BD.

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