Bihar Board Class 9 Maths Solutions Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.2 Text Book Questions and Answers.
BSEB Bihar Board Class 9 Maths Solutions Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.2
प्रश्न 1.
आकृति में, ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है: AE ⊥ DC और CF ⊥ AD है। यदि AB = 16 cm, AE = 8cm और CF = 10 cm है, तो AD जात कीजिए।
उत्तर:
समान्तर चतुभुज का क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई
∴ क्षेत्रफल AB × AE = AD × CF
16 × 8 = AD × 10
AD = \(\frac{128}{10}\) = 12.8 cm.
प्रश्न 2.
यदि E, F, G और H क्रमशः समान्तर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं के मध्य-बिन्दु है, तो दर्शाइए कि ar (EFGH) = \(\frac{1}{2}\) ar (ABCD) है।
उत्तर:
यहाँ समान आधार HF तथा समानर रेखा HF और DC के मध्य एक त्रिभुज ∆HGF तथा एक चतुर्भुज HDCF है।
इसी प्रकार, ar (∆HEF) = \(\frac{1}{2}\) ar (HABF) ……… (2)
समो. (1) व (2) को जोड़ने पर,
ar (∆HGF) + ar (∆HEF) = \(\frac{1}{2}\) ar (HDCF) + \(\frac{1}{2}\) ar (HABF)
ar (EFGH) = \(\frac{1}{2}\) ar (ABCD)
प्रश्न 3.
P और Q क्रमशः समानर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं DC और AD पर स्थित बिन्दु हैं। दर्शाइए कि ar (APB) = ar (BQC) है।
उत्तर:
यहाँ ∆APB तथा चतुर्भुज ABCD सपान आधार AB व समान्तर रेखा AD तथा DC के बीच में हैं।
⇒ ar (∆APB) = \(\frac{1}{2}\) ar (ABCD) ………. (1)
यहाँ ∆BQC तथा चतुर्भुज ABCD समान आधार BC व एक समान्तर रेखा BC तथा AD के बीच में हैं।
⇒ ar (∆BQC) = \(\frac{1}{2}\) ar (ABCD) ………..(2)
समी. (1) व (2) से,
ar (∆APB) = ar (∆BQC).
प्रश्न 4.
पाठ्य पुस्तक में दी गई आकृति में, P समाजर चतुर्भुज ABCD के अभ्यंतर में स्थित कोई बिन्दु है। दर्शाइए कि-
(i) ar (APB) + ar (PCD) = \(\frac{1}{2}\) ar (ABCD)
(ii) ar (APD)+ar (PBC) = ar (APB) + ar (PCD)
उत्तर:
(i) यहाँ हमने एक रेखा MN इस प्रकार खींची जो बिन्दु P से होकर जाती है तथा AB के समान्तर है।
यहाँ ∆APB तथा चतुर्भुज AMNB समान आधार ABI समानर रेखा AB तथा MN के बीच में है।
⇒ ar (∆APB) = \(\frac{1}{2}\) ar (AMNB) ………. (1)
यहाँ ∆PCD तथा चतुर्भुज CDMN समान आधार CD समान्तर रेखा CD तथा NM के बीच में हैं।
⇒ ar (∆PCD) = \(\frac{1}{2}\) ar (CDMN) ……… (2)
समी. (1) व (2) को जोड़ने पर,
ar (∆APB) + ar(∆PCD) = \(\frac{1}{2}\) ar (AMNB) + \(\frac{1}{2}\) ar (CDMN)
⇒ ar (∆APB) + ar (∆PCD)
= \(\frac{1}{2}\) ar (ABCD) ………. (3)
(ii) अब हमने एक रेखा SR इस प्रकार खींची जो बिन्दु P से होकर जाती है तथा BC के समान्तर है (देखिए आकृति)।
वहाँ ∆APD तथा चतुर्भुज ASRD समान आधार AD व समान्तर रेखा AD तथा SR के बीच में हैं।
⇒ ar (∆APD) = \(\frac{1}{2}\) ar (ASRD) ……… (4)
इसी प्रकार, ar (∆BPC) = \(\frac{1}{2}\) ar (BSRC) ……….. (5)
समी. (4) व (5) को जोड़ने पर,
ar (∆APD) + ar (∆BPC) = \(\frac{1}{2}\) ar (ASRD) + \(\frac{1}{2}\) ar (BSRC)
⇒ ar (∆APD) + ar (∆BPC) = \(\frac{1}{2}\) ar (ABCD) ……… (6)
समी. (5) व (6) से,
ar (APD) + ar (PBC) = ar (APB) + ar (PCD).
प्रश्न 5.
आकृति में, PQRS और ABRS समान्तर चतुर्भुज हैं तथा x भुजा BR पर निश्चत कोई बिन्दु है। दांडए कि-
(i) ar (PQRS) = ar (ABRS)
(ii) ar (AXS) = \(\frac{1}{2}\) ar (PQRS).
उत्तर:
(i) वहाँ चतुर्भुज ABRS तथा PQRS समान आधार SR तथा समानर रेखा SR था PAQD के बीच में है।
∴ ar (PQRS) = ar (ABRS) ………. (i)
(ii) यहाँ ∆AXS तथा चतुर्भुज ABRS समान आधार AS तथा समान्तर रेखा AS तथा BR के बीच में हैं।
∴ ar (∆AXS) = \(\frac{1}{2}\) ar (ABRS)
समी. (1) से,
ar (∆AXS) = \(\frac{1}{2}\) ar (PQRS).
प्रश्न 6.
एक किसान के पास समाजर चतुर्भुज PQRS के रूप का एक खेत था। उसने RS पर स्थित कोई बिन्दु A लिया और उसे P और Q से मिला दिया। खेत कितने भागों में विभाजित हो गया है? इन भागों के आकार क्या हैं? वह किसान खेत में गेहूँ और दालें बराबर-बराबर भागों में अलग-अलग बोना चाहता है। वह ऐसा कैसे करे?
उत्तर:
आकृति में खेत तीन भागों में विभाजित है तथा तीनों भाग त्रिभुजाकार हैं।
यहाँ ∆PAQ तथा चतुर्भुज PQRS समान आधार PQ व समान्तर रेखा PQ और SR के बीच में हैं।
अत: ar (∆APQ) = \(\frac{1}{2}\) ar (PQRS) ……… (i)
⇒ ar (∆APS) + ar (∆APQ) + ar (∆AQR) = ar (PQRS)
⇒ ar (∆APS) + ar (∆AQR) = ar (PQRS) – ar (∆APQ)
⇒ ar (∆APS) + ar (∆AQR) = ar (PQRS) – \(\frac{1}{2}\) ar (PQRS)
[समी. (1) से)
⇒ ar (APS) + ar (∆AQR) = \(\frac{1}{2}\) ar (PQRS)
अत: खेत के दो बराबर भाग है। ar (∆PAQ) तथा ar (∆PSA) + ar (∆QRA) इन दोनों भागों में बराबर-बावर गेहूं व दालें ठगा सकती है।