Shreya

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Additional Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Additional Questions

Bihar Board Class 10 Maths दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Additional Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
आलेखीय रूप से,
6x – 3y + 10 = 0
2x – y + 9 = 0
समीकरणों का युग्म दो रेखाएँ निरूपित करता है, जो
(i) ठीक एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती हैं
(ii) ठीक दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करती हैं
(iii) संपाती हैं
(iv) समांतर हैं
हल
(iv) समांतर हैं

प्रश्न 2.
समीकरण x + 2y + 5 = 0 और -3x – 6y + 1 = 0 के युग्म
(i) का एक अद्वितीय हल है
(ii) के ठीक दो हल हैं
(iii) के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं
(iv) का कोई हल नहीं है
हल
(iv) का कोई हल नहीं है

प्रश्न 3.
यदि रैखिक समीकरणों का कोई युग्म संगत है, तो इसके आलेख की रेखाएँ होंगी
(i) समान्तर
(ii) सदैव संपाती
(iii) प्रतिच्छेदी या संपाती
(iv) सदैव प्रतिच्छेदी
हल
(iii) प्रतिच्छेदी या संपाती

प्रश्न 4.
समीकरण y = 0 और y = -7 के युग्म
(i) का एक हल है
(ii) के दो हल हैं
(iii) अपरिमित रूप से अनेक हल हैं
(iv) का कोई हल नहीं है
हल
(iv) का कोई हल नहीं है

प्रश्न 5.
समीकरण x = a और y = b का युग्म आलेखीय रूप वे रेखाएँ निरूपित करता है, जो
(i) समांतर हैं
(ii) (b, a) पर प्रतिच्छेद करती हैं
(iii) संपाती हैं
(iv) (a, b) पर प्रतिच्छेद करती हैं
हल
(iv) (a, b) पर प्रतिच्छेद करती हैं

प्रश्न 6.
k के किस मान के लिए समीकरण 3x – y + 8 = 0 और 6x – ky = -16 संपाती रेखाएँ निरूपित करते हैं?
(i) \(\frac{1}{2}\)
(ii) \(\frac{-1}{2}\)
(iii) 2
(iv) -2
हल
(iii) 2

प्रश्न 7.
यदि 3x + 2ky = 2 और 2x + 5y + 1 = 0 द्वारा दी जाने वाली रेखाएँ परस्पर समांतर हैं, तो k का मान है
(i) \(\frac{-5}{4}\)
(ii) \(\frac{2}{5}\)
(iii) \(\frac{15}{4}\)
(iv) \(\frac{3}{2}\)
हल
(ii) \(\frac{2}{5}\)

प्रश्न 8.
c का वह मान, जिसके लिए समीकरणों cx – y = 2 और 6x – 2y = 3 के युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे, है
(i) 3
(ii) -3
(iii) -12
(iv) कोई मान नहीं
हल
(iv) कोई मान नहीं

प्रश्न 9.
आश्रित रैखिक समीकरणों के युग्म का एक समीकरण -5x + 7y = 2 है। दूसरा समीकरण हो सकता है
(i) 10x + 14y + 4 = 0
(ii) -10x – 14y + 4 = 0
(iii) -10x + 14y + 4 = 0
(iv) 10x – 14y = -4
हल
(iv) 10x – 14y = -4

प्रश्न 10.
एक अद्वितीय हल x = 2, y = -3 वाले समीकरण का एक युग्म है
(i) x + y = -1
2x – 3y = -5
(ii) 2x + 5y = -11
4x + 10y = -22
(iii) 2x – y = 1
3x + 2y = 0
(iv) x – 4y – 14 = 0
5x – y – 13 = 0
हल
(ii) 2x + 5y = -11
4x + 10y = -22

प्रश्न 11.
यदि x = a और y = b समीकरणों x – y = 2 और x + y = 4 का हल है, तो a और b के मान क्रमशः हैं
(i) 3 और 5
(ii) 5 और 3
(iii) 3 और 1
(iv) -1 और -3
हल
(iii) 3 और 1

प्रश्न 12.
अरुणा के पास केवल 1 और ₹ 2 के सिक्के हैं। यदि उसके पास कुल 50 सिक्के हैं तथा कुल धनराशि ₹ 75 है, तो ₹ 1 और ₹ 2 के सिक्कों की संख्याएँ क्रमशः हैं
(i) 35 और 15
(ii) 35 और 20
(iii) 15 और 35
(iv) 25 और 25
हल
(iv) 25 और 25

प्रश्न 13.
पिता की आयु पुत्र की आयु की 6 गुनी है। चार वर्ष के बाद, पिता की आयु अपने पुत्र की आयु की चार गुनी होगी। पुत्र और पिता की वर्तमान आयु (वर्षों में ) क्रमशः हैं
(i) 4 और 24
(ii) 5 और 30
(iii) 6 और 36
(iv) 3 और 24
हल
(iii) 6 और 36

अतिलघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
दिखाइए कि निम्न रैखिक समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल है।
3x – 4y = 10 तथा 4x + 3y = 5
हल
दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म
3x – 4y – 10 = 0 …….. (1)
4x + 3y – 5 = 0 …….(2)
उपर्युक्त समीकरण युग्म की तुलना रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁y = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,

दिए गए समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल है।

प्रश्न 2.
बिना ग्राफ की सहायता के बताइए कि रेखाएँ 4x + 6y – 18 = 0 और 2x + 3y – 6 = 0 प्रतिच्छेदी हैं या सम्पाती हैं या समान्तर हैं?
हल
दिए गए समीकरणों का युग्म
4x + 6y – 18 = 0 ……(1)
2x + 3y – 6 = 0 …….(2)
उपर्युक्त समीकरण युग्म की तुलना रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,

अत: समीकरण युग्म द्वारा निरूपित ऋजु रेखाएँ समान्तर हैं।

प्रश्न 3.
किसी स्कूल के विद्यार्थियों को उनके समग्र शैक्षिक प्रदर्शन के लिए 7 नकद पुरस्कार देने के लिए ₹ 700 की राशि रखी गई है। यदि प्रत्येक पुरस्कार अपने से ठीक पहले पुरस्कार से ₹ 20 कम है, तो प्रत्येक पुरस्कार का मान ज्ञात कीजिए।
हल
माना सबसे कम पुरस्कार की राशि ₹ x हैं।
7 पुरस्कारों का मूल्य = ₹ x , ₹ (x + 20), ₹ (x + 40), ₹ (x + 60), ₹ (x + 80) , ₹ (x + 100), ₹ (x + 120)
प्रश्नानुसार, x + x + 20 + x + 40 + x + 60 + x + 80 + x + 100 + x + 120 = 700
⇒ 7x + 420 = 700
⇒ 7x = 700 – 420 = 280
⇒ x = 40
अतः पुरस्कारों की राशि ₹ 40, ₹ 60 , ₹ 80 , ₹ 100 ,₹ 120 , ₹ 140 तथा ₹ 160 है।

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
निम्नलिखित समीकरण युग्म को ग्राफीय विधि से हल कीजिए-
5x – y – 7 = 0 तथा x – y + 1 = 0
हल
1. दिए हुए समीकरण युग्म का पहला समीकरण
5x – y – 7 = 0
2. माना x = 0, तब x का यह मान समीकरण 5x – y – 7 = 0 में रखने पर,
(5 × 0) – y – 7 = 0
⇒ 0 – y – 7 = 0
⇒ y = -7
3. तब समीकरण 5x – y – 7 = 0 के आलेख पर एक बिन्दु A = (0, -7)
4. पुनः माना x = 1, तब x का यह मान समीकरण 5x – y – 7 = 0 में रखने पर,
(5 × 1) – y – 7 = 0
⇒ 5 – y – 7 = 0
⇒ y = -2
5. तब समीकरण 5x – y – 7 = 0 के आलेख पर एक बिन्दु B = (1, -2)
6. ग्राफ पेपर पर बिन्दुओं A = (0, -7) तथा B = (1, -2) का आलेखन (plotting) कीजिए और दिए हुए समीकरण का आलेख ऋजु रेखा AB खींचिए।
7. दिए हुए समीकरण युग्म का दूसरा समीकरण x – y + 1 = 0
8. माना x = 3, तब x का यह मान समीकरण x – y + 1 = 0 में रखने पर,
3 – y + 1 = 0
⇒ 3 + 1 = 0 + y
⇒ y = 4
9. तब समीकरण x – y + 1 = 0 के आलेख पर एक बिन्दु C = (3, 4)
10. पुन: माना x = 5, तब x का यह मान समीकरण x – y + 1 = 0 में रखने पर,
5 – y + 1 = 0 या 5 + 1 = 0 + y या y = 6

11. तब समीकरण x – y + 1 = 0 के आलेख पर एक बिन्दु D = (5, 6)
12. उन्हीं निर्देशाक्षों, जिन पर समीकरण 5x – y – 7 = 0 का आलेख खींचा है, पर बिन्दुओं C = (3, 4) व D = (5, 6) का आलेखन कीजिए और समीकरण x – y + 1 = 0 का आलेख ऋजु रेखा CD खींचिए।
13. ऋजु रेखाओं AB और CD के प्रतिच्छेद बिन्दु P(h, k) के निर्देशांक आलेख की सहायता से पढ़िए। यहाँ P(h, k) = (2, 3)
अत: दिए गए समीकरण युग्म का हल x = 2, y = 3

प्रश्न 2.
समीकरण युग्म x + 3y = 6 और 2x – 3y = 12 के लिए दिए गए आलेखन को देखिए और अपनी उत्तर-पुस्तिका में निम्न प्रश्नों के उत्तर लिखिए-
(a) समीकरण युग्मों का हल क्या है?
(b) समीकरण युग्मों और Y-अक्ष से निर्मित क्षेत्र का क्षेत्रफल कितना है?

हल
(a) ग्राफ से स्पष्ट है कि समीकरण युग्मों का प्रतिच्छेद बिन्दु (6, 0) है,
अत: समीकरण युग्मों का हल x = 6 तथा y = 0
(b) त्रिभुज के शीर्ष A(6, 0), B(0, 2) तथा C(0, -4) हैं।
अतः त्रिभुज के आधार की लम्बाई BC = OC + OB = 4 + 2 = 6
त्रिभुज की ऊँचाई OA = 6
अत: त्रिभुज का क्षेत्रफल = Δ = \(\frac {1}{2}\) × BC × OA
= \(\frac {1}{2}\) × 6 × 6
= 18 वर्ग मात्रक

प्रश्न 3.
समीकरणों √x + √y = 5 तथा x + y = 13 को हल कीजिए।
हल
दिए गए समीकरणों का युग्म
√x + √y = 5 ……..(1)
x + y = 13 …….. (2)
समीकरण (2) से,
y = 13 – x ……..(3)
समीकरण (1) में y का मान रखने पर,
√x + \(\sqrt{13-x}\) = 5
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,

पुन: दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
13x – x² = 36
⇒ x² – 13x + 36 = 0
⇒ x² – (4x + 9x) + 36 = 0
⇒ x² – 4x – 9x + 36 = 0
⇒ x(x – 4) – 9(x – 4) = 0
⇒ (x – 4) (x – 9) = 0
द्विपद x2 – 13x + 36 को शून्य होने के लिए,
x – 4 = 0 = x = 4
x – 9 = 0 = x = 9
समीकरण (3) में x = 4 रखने पर, y = 13 – 4 = 9
पुन: समीकरण (3) में x = 9 रखने पर, y = 13 – 9 = 4
अतः समीकरण युग्म का हल
x = 4, 9 तथा y = 9, 4

प्रश्न 4.
समीकरणों \(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=3\) और \(\frac{2}{x}-\frac{4}{y}=2\) को हल कीजिए।
हल
दिए गए समीकरणों का युग्म

समीकरण (1) तथा समीकरण (2) को जोड़ने पर,

समीकरण (1) में से समीकरण (2) को घटाने पर,

अत: समीकरणों के युग्म का हल x = \(\frac{1}{2}\) तथा y = 2

प्रश्न 5.
6 वर्ष बाद एक आदमी की आयु उसके पुत्र की आयु की 3 गुनी हो जाएगी और 3 वर्ष पूर्व वह अपने पुत्र की आयु का 9 गुना था। उनकी वर्तमान आयुज्ञात कीजिए।
हल
माना आदमी की वर्तमान आयु x वर्ष है और उसके पुत्र की वर्तमान आयु y वर्ष है।
तब, 6 वर्ष के बाद उस आदमी की आयु = (x + 6) वर्ष
तथा 6 वर्ष के बाद उस आदमी के पुत्र की आयु = (y + 6) वर्ष
प्रश्नानुसार, 6 वर्ष बाद आदमी की आयु = 3 × (6 वर्ष बाद उस आदमी के पुत्र की आयु)
(x + 6) = 3(y + 6)
⇒ x + 6 = 3y + 18
⇒ x – 3y = 12 …….(1)
3 वर्ष पूर्व उस आदमी की आयु = (x – 3) वर्ष
और 3 वर्ष पूर्व उस आदमी के पुत्र की आयु = (y – 3) वर्ष
तब प्रश्नानुसार, 3 वर्ष पूर्व उस आदमी की आयु = 9 × (3 वर्ष पूर्व उस आदमी के पुत्र की आयु)
(x – 3) = 9 × (1 – 3)
⇒ x – 3 = 9y – 27
⇒ x = 9y – 27 + 3
⇒ x = 9y – 24 ……(2)
समीकरण (2) से x का मान समीकरण (1) में रखने पर,
9y – 24 – 3y = 12
⇒ 6y = 12 + 24
⇒ 6y = 36
⇒ y = 6
समीकरण (2) में y का मान रखने पर,
x = (9 × 6) – 24 = 54 – 24 = 30
अतः आदमी की वर्तमान आयु = 30 वर्ष
तथा उसके पुत्र की वर्तमान आयु = 6 वर्ष।

प्रश्न 6.
एक आयताकार खेत का परिमाप 50 मीटर एवं क्षेत्रफल 100 वर्ग मीटर है। खेत की लम्बाई एवं चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल
माना खेत की लम्बाई x मीटर तथा चौड़ाई y मीटर है।
खेत का परिमाप = (2x + 2y) मीटर = 2(x + y) मीटर
प्रश्नानुसार,
2(x + y) = 50
⇒ x + y = 25
⇒ y = 25 – x
खेत का क्षेत्रफल = xy वर्ग मीटर
प्रश्नानुसार, xy = 100 ……(2)
समीकरण (1) से y का मान समीकरण (2) में रखने पर,
x(25 – x) = 100
⇒ 25x – x² – 100 = 0
⇒ x² – 25x + 100 = 0
⇒ x² – (20x + 5x) + 100 = 0
⇒ x² – 20x – 5x + 100 = 0
⇒ x(x – 20) – 5(x – 20) = 0
⇒ (x – 20) (x – 5) = 0
समीकरण x² – 25x + 100 के शून्य होने के लिए,
x – 20 = 0 ⇒ x = 20
x – 5 = 0 ⇒ x = 5
समीकरण (1) में x = 20 रखने पर, y = 25 – 20 = 5
खेत की लम्बाई = 20 मीटर तथा चौड़ाई = 5 मीटर।

प्रश्न 7.
एक मोटरबोट, जिसकी स्थिर जल में चाल 18 km/h है, 24 km धारा के प्रतिकूल जाने में, वही दूरी धारा के अनुकूल जाने की अपेक्षा 1 घण्टा अधिक लेती है। धारा की चाल ज्ञात कीजिए।
हल
माना धारा की चाल = x km/h
धारा के प्रतिकूल मोटरबोट की चाल = (18 – x) km/h
तथा धारा के अनुकूल मोटरबोट की चाल = (18 + x) km/h
धारा के प्रतिकूल जाने में लगा समय = \(\frac{\text { दूरी }}{\text { चाल }}\) = \(\frac{24}{18-x}\) घंटे
इसी प्रकार, धारा के अनुकूल जाने में लगा समय = \(\frac{24}{18+x}\) घंटे
प्रश्नानुसार, \(\frac{24}{18-x}-\frac{24}{18+x}=1\)
⇒ \(\frac{24(18+x)-24(18-x)}{(18-x)(18+x)}=1\)
⇒ 24(18 + x – 18 + x) = 324 – x²
⇒ 24 × (2x) + x² – 324 = 0
⇒ x² + 48x – 324 = 0
⇒ x² + (54x – 6x) – 324 = 0
⇒ x² + 54x – 6(x + 54) = 0
⇒ x(x + 54) – 6(x + 54) = 0
⇒ (x – 6) (x + 54) = 0
अब x² + 48x – 324 के शून्य होने के लिए
x – 6 = 0 ⇒ x = 6
x + 54 = 0 ⇒ x = -54 असम्भव
धारा की चाल = 6 km/h

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
एक नाव 10 घंटे में धारा के प्रतिकूल 30 km तथा धारा के अनुकूल 44 km जाती है। 13 घंटे में वह 40 km धारा के प्रतिकूल एवं 55 km धारा के अनुकूल जाती है। धारा की चाल तथा नाव की स्थिर पानी में चाल ज्ञात कीजिए।
हल
माना नाव की स्थिर पानी में चाल x km/h और धारा की चाल y km/h है।
तब, धारा के अनुकूल नाव चलाने की चाल = (x + y) km/h
और धारा के प्रतिकूल नाव चलाने की चाल = (x – y) km/h
धारा के प्रतिकूल 30 km दूरी चलने में लगा समय = \(\frac{30}{x-y}\) घंटे
और धारा के अनुकूल 44 km दूरी चलने में लगा समय = \(\frac{44}{x+y}\) घंटे
प्रश्नानुसार, दोनों समयों का योग = 10 घंटे

इसी प्रकार, धारा के प्रतिकूल 40 km दूरी चलने में लगा समय = \(\frac{40}{x-y}\) घंटे
तथा धारा के अनुकूल 55 km दूरी चलने में लगा समय = \(\frac{55}{x+y}\) घंटे
प्रश्नानुसार, दोनों समयों का योग = 13 घंटे

समीकरण (4) में समीकरण (5) को जोड़ने पर, 2x = 16 ⇒ x = 8
समीकरण (5) में से समीकरण (4) को घटाने पर, 2y = 6 ⇒ y = 3
अत: धारा की चाल 3 km/h तथा नाव की स्थिर पानी में चाल 8 km/h है।

प्रश्न 2.
बंगलुरू के एक बस स्टैण्ड से यदि हम 2 टिकट मल्लेश्वरम के तथा 3 टिकट यशवंतपुर के खरीदें तो कुल लागत ₹ 46 है। परन्तु यदि हम 3 टिकट मल्लेश्वरम् के और 5 टिकट यशवंतपुर के खरीदें तो कुल लागत ₹ 74 है। बस स्टैण्ड से मल्लेश्वरम का किराया तथा बस स्टैण्ड से यशवंतपुर का किराया ज्ञात कीजिए।
हल
माना बस स्टैण्ड से मल्लेश्वरम् का किराया ₹ x तथा बस स्टैण्ड से यशवंतपुर का किराया ₹ y है।
बस स्टैण्ड से मल्लेश्वरम् का किराया ₹ x है।
मल्लेश्वरम् के 2 टिकटों का मूल्य = ₹ 2x
बस स्टैण्ड से यशवंतपुर का किराया = ₹ y
यशवंतपुर के 3 टिकटों का मूल्य = ₹ 3y
मल्लेश्वरम् के 2 टिकटों और यशवंतपुर के 3 टिकटों का मूल्य = ₹(2x + 3y)
परन्तु प्रश्नानुसार, इनका मूल्य ₹ 46 है।
2x + 3y = 46 ……(1)
बस स्टैण्ड से मल्लेश्वरम् का किराया ₹ x है।
मल्लेश्वरम् के 3 टिकटों का मूल्य = ₹ 3x
बस स्टैण्ड से यशवंतपुर का किराया ₹ y है।
यशवंतपुर के 5 टिकटों का मूल्य = ₹ 5y
मल्लेश्वरम् के 3 टिकटों और यशवंतपुर के 5 टिकटों का मूल्य = ₹ (3x + 5y)
परन्तु प्रश्नानुसार, उनका मूल्य ₹ 74 है।
3x + 5y = 74 ……… (2)
समीकरण (2) से,
3x + 5y = 74
⇒ 5y = 74 – 3x
⇒ y = \(\frac{74-3 x}{5}\) ……(2)
y का यह मान समीकरण (1) में रखने पर,

अत: बस स्टैण्ड से मल्लेश्वरम् का किराया ₹ 8 तथा बस स्टैण्ड से यशवंतपुर का किराया ₹ 10 है।

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.6 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.6

Bihar Board Class 10 Maths दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.6

प्रश्न 1.
निम्न समीकरणों के युग्मों को रैखिक समीकरणों के युग्म में बदल करके हल कीजिए-

हल
(i) दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म

प्रश्न 2.
निम्न समस्याओं को रैखिक समीकरण युग्म के रूप में व्यक्त कीजिए और फिर उनके हल ज्ञात कीजिए-
(i) रितु धारा के अनुकूल 2 घंटे में 20 km तैर सकती है और धारा के प्रतिकूल 2 घंटे में 4 km तैर सकती है। उसकी स्थिर जल में तैरने की चाल तथा धारा की चाल ज्ञात कीजिए।
(ii) 2 महिलाएँ एवं 5 पुरुष एक कसीदे के काम को साथ-साथ 4 दिन में पूरा कर सकते हैं, जबकि 3 महिलाएँ एवं 6 पुरुष इसको 3 दिन में पूरा कर सकते हैं। ज्ञात कीजिए कि इसी कार्य को करने में एक अकेली महिला कितना समय लेगी? पुन: इसी कार्य को करने में एक पुरुष कितना समय लेगा?
(iii) रूही 300 km दूरी पर स्थित अपने घर जाने के लिए कुछ दूरी रेलगाड़ी द्वारा तथा कुछ दूरी बस द्वारा तय करती है। यदि वह 60 km रेलगाड़ी द्वारा तथा शेष बस द्वारा यात्रा करती है तो उसे 4 घंटे लगते हैं। यदि वह 100 km रेलगाड़ी से तथा शेष बस से यात्रा करे, तो उसे 10 मिनट अधिक लगते हैं। रेलगाड़ी एवं बस की क्रमशः चाल ज्ञात कीजिए।
हल
(i) माना रितु के तैरने की चाल = x km/h तथा धारा की चाल = y km/h
जब वह धारा के अनुरूप तैरेगी तो उसकी परिणामी चाल = (x + y) km/h
और जब वह धारा के प्रतिकूल तैरेगी तो उसकी परिणामी चाल = (x – y) km/h
(∵ दूरी = चाल × समय)
धारा के अनुकूल 20 km तैरने में समय \(\left(\frac{20}{x+y}\right)\) घंटे लगना चाहिए परन्तु प्रश्न में यह समय 2 घंटे दिया है।
2 = \(\frac{20}{x+y}\)
⇒ 2(x + y) = 20
⇒ x + y = 10 …….. (1)
x + y इसी प्रकार, वह 2 घंटे में धारा के विपरीत = 2(x – y) km तैर सकती है।
(∵ दूरी = चाल × समय)
प्रश्नानुसार दिया है, दूरी = 4 km
2(x – y) = 4
⇒ x – y = 2 …… (2)
अब, समीकरण (1) व समीकरण (2) को जोड़ने पर,
2x = 12 ⇒ x = 6
तथा समीकरण (1) में से समीकरण (2) को घटाने पर,
2y = 8 ⇒ y = 4
अत: रितु के तैरने की चाल 6 km/h तथा धारा की चाल 4 km/h है।
(ii) माना 1 महिला किसी काम को x दिन में तथा 1 पुरुष उसे दिन में पूरा कर सकता है।
तब, महिला की कार्य-क्षमता = \(\frac{1}{x}\) भाग प्रतिदिन
पुरुष की कार्य-क्षमता = \(\frac{1}{y}\) भाग प्रतिदिन
तब, 2 महिलाओं द्वारा 4 दिन में किया गया कार्य = \(\frac{8}{x}\) भाग
5 पुरुषों द्वारा 4 दिन में किया गया कार्य = \(\frac{20}{y}\) भाग
2 महिलाओं और 5 पुरुषों द्वारा 4 दिन में किया गया कार्य = \(\left(\frac{8}{x}+\frac{20}{y}\right)\)
परन्तु प्रश्नानुसार यह कार्य पूर्ण कार्य है।
\(\frac{8}{x}+\frac{20}{y}=1\) …….(1)
इसी प्रकार, 3 महिलाओं द्वारा 3 दिन में किया कार्य = \(\frac{9}{x}\) भाग
6 पुरुषों द्वारा 3 दिन में किया कार्य = \(\frac{18}{y}\) भाग
3 महिलाओं और 6 पुरुषों द्वारा 3 दिन में किया कार्य = \(\left(\frac{9}{x}+\frac{18}{y}\right)\) भाग
प्रश्नानुसार यह कार्य भी पूरा कार्य है।
\(\frac{9}{x}+\frac{18}{y}=1\) ……(2)

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.5 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.5

Bihar Board Class 10 Maths दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.5

प्रश्न 1.
निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों में से किसका एक अद्वितीय हल है, किसका कोई हल नहीं है या किसके अपरिमित रूप से अनेक हल हैं। अद्वितीय हल की स्थिति में, उसे वज्रगुणन विधि से ज्ञात कीजिए।
(i) x – 3y – 3 = 0
3x – 9y – 2 = 0
(ii) 2x + y = 5
3x + 2y = 8
(iii) 3x – 5y = 20
6x – 10y = 40
(iv) x – 3y – 7 = 0
3x – 3y – 15 = 0
हल
(i) दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म
x – 3y – 3 = 0 …….. (1)
3x – 9y – 2 = 0 ……. (2)
उपर्युक्त समीकरण युग्म की तुलना रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,

अतः दिए गए समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं होगा।

(ii) दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म
2x + y = 5 ⇒ 2x + y – 5 = 0 ……(1)
3x + 2y = 8 ⇒ 3x + 2y – 8 = 0 …….. (2)
उपर्युक्त समीकरण युग्म की तुलना रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,

अत: समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल होगा।
तब वज्रगुणन से,

अत: समीकरणों के युग्म का हल x = 2 तथा y = 1

(iii) दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म
3x – 5y = 20 ⇒ 3x – 5y – 20 = 0 …….. (1)
6x – 10 y = 40 ⇒ 6x – 10y – 40 = 0 ………. (2)
उपर्युक्त समीकरण युग्म की तुलना रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,

अत: समीकरण युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे।

(iv) दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म
x – 3y – 7 = 0 …….(1)
3x – 3y – 15 = 0 …….(2)
उपर्युक्त समीकरण युग्म की तुलना रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,

अतः समीकरणों के युग्म का एक अद्वितीय हल प्राप्त होगा।
तब वज्रगुणन से,

अतः दिए गए समीकरणों के युग्म का हल x = 4 तथा y = -1

प्रश्न 2.
(i) a और b के किन मानों के लिए, निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे?
2x + 3y = 7
(a – b)x + (a + b)y = 3a + b – 2
(ii) k के किस मान के लिए, निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं है?
3x + y = 1
(2k – 1)x + (k – 1)y = 2k + 1
हल
(i) दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म
2x + 3y = 7 ⇒ 2x + 3y – 7 = 0 …….(1)
(a – b)x + (a + b)y = 3a + b – 2
⇒ (a – b) x + (a + b)y – (3a + b – 2) = 0 ……..(2)
उपर्युक्त समीकरण युग्म की तुलना रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,
a₁ = 2, b₁ = 3, c₁ = -7
a₂ = (a – b), b₂ = (a + b), c₂ = -(3a + b – 2)
समीकरण युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे यदि \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\)

समीकरण (3) को 2 से गुणा करके समीकरण (4) में से घटाने पर,
(2a – 4b) – (2a – 18b) = 6 – (-8)
⇒ 2a – 4b – 2a + 18b = 6 + 8
⇒ 14b = 14
⇒ b = 1
तब, समीकरण (3) में b = 1 रखने पर,
a – 9 × 1 = -4
⇒ a = -4 + 9
⇒ a = 5
अत: a = 5 तथा b = 1

(ii) दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म
3x + y = 1 ⇒ 3x + y – 1 = 0 ……(1)
(2k – 1)x + (k – 1)y = 2k + 1
⇒ (2k – 1)x + (k – 1)y – (2k + 1) = 0 …….. (2)
उपर्युक्त समीकरण युग्म की तुलना रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₂ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,
a₁ = 3, b₁ = 1, c₁ = -1
a₂ = 2k – 1, b₂ = k – 1, c₂ = -(2k + 1)

प्रश्न 3.
निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म को प्रतिस्थापन एवं वज्रगुणन विधियों से हल कीजिए। किस विधि को आप अधिक उपयुक्त मानते हैं?
8x + 5y = 9
3x + 2y = 4
हल
दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म
8x + 5y = 9 …….(1)
3x + 2y = 4 ……..(2)
प्रतिस्थापन विधि :
समीकरण (2) से,
3x + 2y = 4
⇒ 2y = 4 – 3x
⇒ y = \(\frac{4-3 x}{2}\)
y का यह मान समीकरण (1) में रखने पर,
8x + 5(\(\frac{4-3 x}{2}\)) = 9
⇒ 8x + \(\frac{20-15 x}{2}\) = 9
⇒ 16x + 20 – 15x = 18 (दोनों पक्षों के प्रत्येक पद को 2 से गुणा करने पर)
⇒ 16x – 15x = 18 – 20
⇒ x = -2
अब, समीकरण (1) में x = -2 रखने पर,
8(-2) + 5y = 9
⇒ -16 + 5y = 9
⇒ 5y = 9 + 16 = 25
⇒ 5y = 25
⇒ y = 5
अत: समीकरणों के युग्म का हल x = -2 तथा y = 5
वज्रगुणन विधि : दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म
8x + 5y – 9 = 0 ……… (1)
3x + 2y – 4 = 0 ……(2)
दिए गए समीकरण युग्म की तुलना रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,
a₁ = 8, b₁ = 5, c₁ = -9
a₂ = 3, b₂ = 2, c₂ = -4
तब वज्रगुणन से,


अत: समीकरणों के युग्म का हल : x = -2 तथा y = 5

प्रश्न 4.
निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका अस्तित्व हो) किसी बीजगणितीय विधि से ज्ञात कीजिए-
(i) एक छात्रावास के मासिक व्यय का एक भाग नियत है तथा शेष इस पर निर्भर करता है कि छात्र ने कितने दिन भोजन लिया है। जब एक विद्यार्थी A को, जो 20 दिन भोजन करता है, ₹ 1000 छात्रावास के व्यय के लिए अदा करने पड़ते हैं, जबकि एक विद्यार्थी B को, जो 26 दिन भोजन करता है छात्रावास के व्यय के लिए ₹ 1180 अदा करने पड़ते हैं। नियत व्यय और प्रतिदिन के भोजन का मूल्य ज्ञात कीजिए।
(ii) एक भिन्न \(\frac{1}{3}\) हो जाती है, जब उसके अंश से 1 घटाया जाता है और वह \(\frac{1}{4}\) हो जाती है, जब हर में 8 जोड़ दिया जाता है। वह भिन्न ज्ञात कीजिए।
(iii) यश ने एक टेस्ट में 40 अंक अर्जित किए, जबकि उसे प्रत्येक सही उत्तर पर 3 अंक मिले तथा अशुद्ध उत्तर पर 1 अंक की कटौती की गई। यदि उसे सही उत्तर पर 4 अंक मिलते तथा अशुद्ध उत्तर पर 2 अंक कटते, तो यश 50 अंक अर्जित करता। टेस्ट में कितने प्रश्न थे?
(iv) एक राजमार्ग पर दो स्थान A और B, 100 किमी० की दूरी पर हैं। एक कार A से तथा दूसरी कार B से एक ही समय चलना प्रारम्भ करती है। यदि ये कारें भिन्न-भिन्न चालों से एक ही दिशा में चलती हैं तो वे 5 घंटे पश्चात् मिलती हैं। जब वे विपरीत दिशाओं में चलना प्रारम्भ करती हैं तो वे 1 घंटे पश्चात् मिलती हैं। दोनों कारों की चाल ज्ञात कीजिए।
(v) एक आयत का क्षेत्रफल 9 वर्ग इकाई कम हो जाता है, यदि उसकी लम्बाई 5 इकाई कम कर दी जाती है और चौड़ाई 3 इकाई बढ़ा दी जाती है। यदि हम लम्बाई को 3 इकाई और चौड़ाई को 2 इकाई बढ़ा दें, तो क्षेत्रफल 67 वर्ग इकाई बढ़ जाता है। आयत की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
हल
(i) माना छात्रावास के भोजनकर्ता छात्र के लिए नियत व्यय ₹ x तथा प्रतिदिन के भोजन का मूल्य ₹ y है।
20 दिन के भोजन के लिए दिया भुगतान = नियत व्यय + 20 दिन के भोजन का मूल्य
= ₹ x + (20 × ₹ y)
= ₹(x + 20y)
परन्तु विद्यार्थी A को 20 दिन के लिए ₹ 1000 देना पड़ता है।
x + 20y = 1000 ……. (1)
इसी प्रकार,
26 दिन के भोजन के लिए दिया गया भुगतान = नियत व्यय + 26 दिन के भोजन का मूल्य
= ₹ x + (26 × ₹ y)
= (x + 26y)
परन्तु विद्यार्थी B को 26 दिन के लिए ₹ 1180 देना पड़ता है।
x + 26y = 1180 …… (2)
समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर,
(x + 26y) – (x + 20y) = 1180 – 1000
⇒ 6y = 180
⇒ y = 30
तब, समीकरण (1) में y = 30 रखने पर,
x + 20(30) = 1000
⇒ x + 600 = 1000
⇒ x = 1000 – 600 = 400
अतः छात्रावास का नियत व्यय ₹ 400 तथा प्रतिदिन भोजन का व्यय ₹ 30 है।

(ii) माना भिन्न का अंश x तथा हर y है।
तब भिन्न = \(\frac{x}{y}\)
जब भिन्न के अंश में से 1 घटाया जाता है तो वह \(\frac{x-1}{y}\) हो जाएंगी परन्तु प्रश्नानुसार वह \(\frac{1}{3}\) जाती है।
\(\frac{x-1}{y}=\frac{1}{3}\)
⇒ y = 3(x – 1)
इसी प्रकार, जब भिन्न के हर में 8 जोड़ा जाता है तो वह \(\frac{x}{y+8}\) हो जाएगी।
परन्तु प्रश्नानुसार वह \(\frac{1}{4}\) हो जाती है।
\(\frac{x}{y+8}=\frac{1}{4}\)
⇒ y + 8 = 4x
⇒ y = 4x – 8 ……(2)
समीकरण (1) व समीकरण (2) से,
4x – 8 = 3(x – 1)
⇒ 4x – 8 = 3x – 3
⇒ 4x – 3x = -3 + 8
⇒ x = 5
समीकरण (1) में x = 5 रखने पर,
y = 3(5 – 1) = 3 × 4 = 12
अतः भिन्न = \(\frac{5}{12}\)

(iii) माना यश ने टेस्ट पेपर में दिए प्रश्नों में से x प्रश्न सही हल किए तथा y प्रश्न अशुद्ध हल किए।
प्रश्नों की कुल संख्या = (x + y)
सही उत्तरों पर प्राप्त कुल अंक = 3x
और अशुद्ध उत्तरों पर काटे गए कुल अंक = 1y
परिणामी प्राप्तांक = 3x – y परन्तु दिया है कि उसने केवल 40 अंक पाए।
3x – y = 40 …….. (1)
यदि सही उत्तर पर 4 अंक मिलते तो प्राप्त अंक 4x और अशुद्ध उत्तरों पर 2 अंक काटे जाते तो काटे जाने वाले अंक = 2y
परिणामी अंक = 4x – 2y = 2(2x – y)
परन्तु दिया है कि परिणामी प्राप्तांक 50 होते।
2(2x – y) = 50
⇒ 2x – y = 25 ……… (1)
समीकरण (1) में से समीकरण (2) को घटाने पर,
(3x – y) – (2x – y) = 40 – 25
⇒ x = 15
समीकरण (2) में x का मान रखने पर,
2x – y = 25
⇒ y = 2x – 25
⇒ y = (2 × 15) – 25 = 30 – 25
⇒ y = 5
अतः यश ने 15 प्रश्न सही तथा 5 प्रश्न अशुद्ध हल किए।कुल मिलाकर 20 प्रश्न हल किए।

(iv) माना स्थान A से चलने वाली कार की चाल x किमी प्रति घण्टा और स्थान B से चलने वाली कार की चाल y किमी प्रति घण्टा है।
स्थान A तथा स्थान B के बीच की दूरी = 100 किमी
जब कारें एक ही दिशा में A तथा B से चलती हैं तो 5 घंटे बाद मिलती हैं अर्थात्
5 घंटे में स्थान A से चलने वाली कार द्वारा चली गई दूरी स्थान B से चलने वाली कार द्वारा चली गई दूरी की अपेक्षा 100 किमी अधिक होगी।
5 घंटे में स्थान A से चली गई दूरी – 5 घंटे में स्थान B से चली गई दूरी = 100 किमी
5x – 5y = 100
⇒ x – y = 20 ……(1)
जब कारें विपरीत दिशाओं में स्थान A तथा B से चलकर मिलेंगी तो उन्हें 1 घंटे में स्थानों के बीच की दूरी के बराबर अर्थात् 100 किमी चलना होगा। तब, स्थान A से चली कार द्वारा 1 घंटे में चली दूरी + स्थान B से चली कार द्वारा
1 घंटे में चली दूरी = 100 किमी
x किमी + y किमी = 100 किमी
x + y = 100 ……. (2)
समीकरण (1) व समीकरण (2) को जोड़ने पर,
2x = 120 ⇒ x = 60
समीकरण (2) व समीकरण (1) को घटाने पर,
2y = 80 ⇒ y = 40
अत: कारों की चाल क्रमश: 60 किमी प्रति घण्टा व 40 किमी प्रति घण्टा

(v) माना कि आयत की लम्बाई x मात्रक तथा चौड़ाई y मात्रक है।
आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई x चौड़ाई = x × y = x y मात्रक
लम्बाई को 5 मात्रक घटाने पर यह (x – 5) मात्रक रह जाएगी
और चौड़ाई को 3 मात्रक बढ़ाने पर यह (y + 3) मात्रक हो जाएगी।
तब, नए आयत का क्षेत्रफल = (x – 5) × (y + 3) = (xy + 3x – 5y – 15)
मात्रक मूल आयत का क्षेत्रफल = xy मात्रक
नए आयत के क्षेत्रफल में कमी = xy – (xy + 3x – 5y – 15) = -3x + 5y + 15 मात्रक
तब प्रश्नानुसार, -3x + 5y + 15 = 9
⇒ -3x + 5y = 9 – 15 = -6
⇒ 3x – 5y = 6 ……(1)
पुनः लम्बाई को 3 मात्रक बढ़ाने पर यह (x + 3) मात्रक हो जाएगी।
और चौड़ाई को 2 मात्रक बढ़ाने पर यह (y + 2) मात्रक हो जाएगी।
तब, नए आयत का क्षेत्रफल = (x + 3) (y + 2) = (xy + 2x + 3y + 6) मात्रक
और मूल आयत का क्षेत्रफल = xy मात्रक
आयत का बढ़ा हुआ क्षेत्रफल = (xy + 2x + 3y + 6) – xy मात्रक = 2x + 3y + 6 मात्रक
परन्तु प्रश्नानुसार क्षेत्रफल 67 वर्ग मात्रक बढ़ जाता है।
2x + 3y + 6 = 67
⇒ 2x + 3y = 61 …… (2)
समीकरण (1) को 2 से गुणा करने पर,
6x – 10y = 12 ….(3)
समीकरण (2) को 3 से गुणा करने पर,
6x + 9y = 183 ……. (4)
समीकरण (4) में से समीकरण (3) को घटाने पर,
(6x + 9y) – (6x – 10y) = 183 – 12
⇒ 19y = 171
⇒ y = 9
समीकरण (2) में y का मान रखने पर,
2x + 3(9) = 61
⇒ 2x + 27 = 61
⇒ 2x = 61 – 27 = 34
⇒ x = 17
अत: आयत की लम्बाई = 17 मात्रक तथा चौड़ाई = 9 मात्रक।

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.7 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.7

Bihar Board Class 10 Maths दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.7

प्रश्न 1.
दो मित्रों अनी और बीजू की आयु में 3 वर्ष का अन्तर है। अनी के पिता धरम की आयु अनी की आयु की दुगुनी और बीजू की आयु अपनी बहन कैथी की आयु की दुगुनी है। कैथी और धरम की आयु का अन्तर 30 वर्ष है। अनी और बीजू की आयु ज्ञात कीजिए।
हल
माना अनी की आयु x वर्ष तथा बीजू की आयु y वर्ष है।
उनकी आयु में 3 वर्ष का अन्तर है।
अनी की आयु – बीजू की आयु = 3 वर्ष
x – y = 3 ……… (1)
अनी के पिता धरम की आयु = अनी की आयु का दुगुना = 2x वर्ष
बीजू की आयु = कैथी की आयु का दो गुना
y = कैथी की आयु का दो गुना
कैथी की आयु = \(\frac{y}{2}\) वर्ष
धरम और कैथी की आयु का अन्तर 30 वर्ष है
धरम की आयु – कैथी की आयु = 30 वर्ष
2x – \(\frac{y}{2}\) = 30
⇒ \(\frac{4 x-y}{2}\) = 30
⇒ 4x – y = 60 …… (2)
समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर,
(4 x – y) – (x – y) = 60 – 3
⇒ 3x = 57
⇒ x = 19
समीकरण (1) में x का मान रखने पर,
y = 19 – 3 = 16
अत: अनी की आयु 19 वर्ष तथा बीजू की आयु 16 वर्ष है।
परन्तु यदि बीजू बड़ा है तो आयु का अन्तर y – x = 3 …….. (3)
तब, समीकरण (2) व (3) को जोड़ने पर, 3x = 63 ⇒ x = 21
और समीकरण (3) में x = 21 रखने पर, y – 21 = 3 ⇒ y = 24
तब, अनी की आयु 21 वर्ष तथा बीजू की आयु 24 वर्ष होगी।

प्रश्न 2.
एक मित्र दूसरे से कहता है कि ‘यदि मुझे एक सौ दे दो, तो मैं आपसे दो गुना धनी बन जाऊँगा।’ दूसरा उत्तर देता है ‘यदि आप मुझे दस दे दें, तो मैं आपसे छ: गुना धनी बन जाऊँगा।’ बताइए कि उनकी क्रमशः क्या सम्पत्तियाँ हैं?
हल
माना एक मित्र A की सम्पत्ति ₹ x है और दूसरे मित्र B की सम्पत्ति ₹ y है।
मित्र A मित्र B से कहता है कि यदि B, A को ₹ 100 दे दे तो A, B से दो गुना धनी हो जाएगा।
जब B, A को ₹ 100 दे देगा तो A के पास ₹(x + 100) हो जाएँगे और B के पास ₹(y – 100) रह जाएँगे।
तब, प्रश्नानुसार,
A का धन = 2 × (B का धन)
⇒ x + 100 = 2 × (y – 100)
⇒ x + 100 = 2y – 200
⇒ x – 2y = -100 – 200
⇒ x – 2y = -300 ……(1)
अब B, A से कहता है कि यदि A, B को ₹ 10 दे दे तो वह B, A से 6 गुना धनी होगा।
जब A, B को ₹10 दे देगा तो A के पास ₹(x – 10) रह जाएंगे और B के पास ₹(y + 10) हो जाएंगे।
तब, प्रश्नानुसार,
B का धन = 6 × (A का धन)
⇒ (y + 10) = 6 × (x – 10)
⇒ 6x – 60 = y + 10
⇒ 6x – y = 60 + 10
⇒ 6x – y = 70
समीकरण (1) से, x = 2y – 300 ……(3)
x का यह मान समीकरण (2) में रखने पर,
⇒ 6(2y – 300) – y = 70
⇒ 12y – 1800 – y = 70
⇒ 11y = 70 + 1800 = 1870
⇒ y = 170
तब, y = 170 समीकरण (3) में रखने पर,
x = (2 × 170) – 300 = 40
अत: एक मित्र के पास ₹ 40 तथा दूसरे मित्र के पास ₹ 170 हैं।

प्रश्न 3.
एक रेलगाड़ी कुछ दूरी समान चाल से तय करती है। यदि रेलगाड़ी 10 km/h अधिक तेज चलती होती, तो उसे नियत समय से 2 घंटे कम लगते और यदि रेलगाड़ी 10 km/h धीमी चलती होती, तो उसे नियत समय से 3 घंटे अधिक लगते। रेलगाड़ी द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए।
हल
माना रेलगाड़ी द्वारा तय की जाने वाली दूरी x km तथा रेलगाड़ी की एकसमान चाल y km/h है।
उक्त दूरी तय करने का निर्धारित समय = \(\frac{x}{y}\) घंटे
यदि रेलगाड़ी 10 km/h अधिक तेज चलती अर्थात् उसकी चाल (y + 10) km/h होती तो नियत समय में घंटे से \(\frac{x}{y}\) घंटे कम लगते अर्थात् (\(\frac{x}{y}\) – 2) घंटे लगते।

इसी प्रकार, यदि रेलगाड़ी 10 km/h धीमी चलती अर्थात् (y – 10) km/h की चाल से चलती तो निर्धारित समय में घंटे से \(\frac{x}{y}\) घंटे अधिक लगते अर्थात् (\(\frac{x}{y}\) + 3) घंटे लगते।

समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर,

समीकरण (3) व समीकरण (6) से,
4x + 100 = \(\frac{10 x+30 y}{3}\)
⇒ 12x + 300 = 10x + 30y
⇒ 2x – 30y = -300
⇒ x – 15y = -150 ……. (7)
समीकरण (5) में से समीकरण (7) को घटाने पर,
(x – 10 y) – (x – 15 y) = 100 – (-150)
⇒ x – 10y – x + 15y = 100 + 150
⇒ 5y = 250
⇒ y = 50
अब, y का मान समीकरण (5) में रखने पर,
x – 10 × 50 = 100
⇒ x – 500 = 100
⇒ x = 600
अत: रेलगाड़ी द्वारा तय की जाने वाली दूरी = 600 km

प्रश्न 4.
एक कक्षा के विद्यार्थियों को पंक्तियों में खड़ा होना है। यदि पंक्ति में 3 विद्यार्थी अधिक होते, तो 1 पंक्ति कम होती। यदि पंक्ति में 3 विद्यार्थी कम होते, तो 2 पंक्तियाँ अधिक बनतीं। कक्षा में विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल
मान कक्षा में x पंक्तियाँ हैं और प्रत्येक पंक्ति में y विद्यार्थी हैं।
विद्यार्थियों की संख्या = xy ……(1)
जब प्रत्येक पंक्ति में 3 विद्यार्थी अधिक होते अर्थात् (y + 3) विद्यार्थी होते और पंक्तियों की संख्या 1 कम होती अर्थात् (x – 1) होती।
तब, विद्यार्थियों की संख्या = (x – 1) (y + 3) = xy + 3x – y – 3 ……. (2)
समीकरण (1) व (2) से, xy + 3x – y – 3 = xy ⇒ 3x – y = 3 …….. (3)
जब प्रत्येक पंक्ति में 3 विद्यार्थी कम होते अर्थात् (y – 3) होते।
और पंक्तियों की संख्या 2 अधिक होती अर्थात् (x + 2) होती
तब, विद्यार्थियों की संख्या = (x + 2) (y – 3) = xy – 3x + 2y – 6 ……… (4)
समीकरण (1) व (4) से, xy – 3x + 2y – 6 = x y ⇒ 3x – 2y = -6 ……(5)
समीकरण (3) में से समीकरण (5) को घटाने पर,
(3x – y) – (3x – 2y) = 3 -(-6)
⇒ 3x – y – 3x + 2y = 9
⇒ y = 9
समीकरण (3) में y का मान रखने पर,
3x – 9 = 3
⇒ 3x = 12
⇒ x = 4
तब, विद्यार्थियों की संख्या = xy = 4 × 9 = 36
अत: कक्षा के विद्यार्थियों की संख्या = 36

प्रश्न 5.
एक ∆ABC में, ∠C = 3∠B = 2(∠A + ∠B) है। त्रिभुज के तीनों कोण ज्ञात कीजिए।
हल
माना त्रिभुज के कोण A, B तथा C हैं।
तब, ∠A + ∠B + ∠C = 180°
⇒ ∠A + ∠B = 180° – ∠C
दिया है, ∠C = 3∠B = 2 (∠A + ∠B)
∠C = 2 (∠A + ∠B)
⇒ ∠C = 2 (180° – ∠C) [∵ ∠A + ∠B = 180° – ∠C]
⇒ ∠C = 360° – 2∠C
⇒ ∠C + 2∠C = 360°
⇒ 3∠C = 360°
⇒ ∠C = 120°
3∠B = ∠C
⇒ 3∠B = 120° [∵ ∠C = 120°]
⇒ ∠B = 40°
परन्तु ∠A + ∠B + ∠C = 180°
⇒ ∠A + 40° + 120° = 180°
⇒ ∠A = 180° – 120° – 40° = 20°
अतः त्रिभुज के कोण ∠A = 20°, ∠B = 40°, ∠C = 120°

प्रश्न 6.
समीकरणों 5x – y = 5 और 3x – y = 3 के ग्राफ खींचिए। इन रेखाओं और Y-अक्ष से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। इस प्रकार बने त्रिभुज के क्षेत्रफल का परिकलन कीजिए।
हल
1. दिए हुए समीकरण युग्म का पहला समीकरण 5x – y = 5
2. माना x = 0, तब x का मान समीकरण 5x – y = 5 में रखने पर,
5 × 0 – y = 5
⇒ 0 – y = 5
⇒ y = -5
3. तब समीकरण 5x – y = 5 के आलेख पर एक बिन्दु A = (0, -5) है।
4. पुन: माना x = 2, तब x का मान समीकरण 5x – y = 5 में रखने पर,
5 × 2 – y = 5
⇒ 10 – y = 5
⇒ y = 10 – 5
⇒ y = 5
5. तब समीकरण 5x – y = 5 के आलेख पर एक बिन्दु B = (2, 5) है।
6. ग्राफ पेपर पर बिन्दुओं A(0, 5) तथा B(2, 5) को आलेखित (plotting) कीजिए और दिए गए समीकरण का आलेख AB खींचिए।
7. दिए हुए दूसरे समीकरण युग्म के समीकरण 3x – y = 3
8. माना x = 0, तब x का मान समीकरण 3x – y = 3 में रखने पर,
3 × 0 – y = 3
⇒ 0 – y = 3
⇒ y = -3
9. तब समीकरण 3x – y = 3 के आलेख पर एक बिन्दु C = (0, -3) है।
10. पुन: माना x = 1, तब x का मान समीकरण 3x – y = 3 में रखने पर,
3 × 1 – y = 3
⇒ 3 – y = 3
⇒ -y = 3 – 3 = 0
⇒ y = 0
11. तब समीकरण 3x – y = 3 के आलेख पर एक बिन्दु D = (1, 0) है।
12. ग्राफ पेपर पर बिन्दु C = (0, -3) तथा D = (1, 0) को आलेखित कर दिए हुए समीकरण का आलेख CD खींचिए।

13. ऋजु रेखाओं AB तथा CD का प्रतिच्छेद बिन्दु P (h, k) ज्ञात कीजिए। बिन्दु P के निर्देशांक P = (1, 0) आलेख से ज्ञात कीजिए।
तब, त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक A(0, -5), C (0, – 3) तथा P या D (1, 0)
रेखाओं तथा Y-अक्ष के बीच ∆ACD बनता है।
माना x₁ = 0, y₁ = -5, x₂ = 0, y₂ = -3 तथा x₃ = 1, y₃ = 0
त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) [x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\) [0 (-3 – 0) + 0 {0 – (-5)} + 1{-5 – (-3}] वर्ग मात्रक
= \(\frac{1}{2}\) [{-5 + 3}]
= \(\frac{1}{2}\) (-2)
= -1 वर्ग मात्रक
क्षेत्रफल ऋणात्मक नहीं हो सकता, अत: त्रिभुज का क्षेत्रफल 1 वर्ग मात्रक होगा।

प्रश्न 7.
निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों को हल कीजिए-
(i) px + qy = p – q
qx – py = p + q
(ii) ax + by = c
bx + ay = 1 + c
(iii) \(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}=0\)
ax + by = a² + b²
(iv) (a – b) x + (a + b) y = a² – 2ab – b²
(a + b)(x + y) = a² + b²
(v) 152x – 378y = -74
-378x + 152y = -604
हल
(i) दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म px + qy = p – q
px + qy – p + q = 0 ……. (1)
qx – py = p + q
qx – py – p – q = 0 ……. (2)
वज्रगुणन से समीकरण-युग्म का हल

⇒ -x = y = -1
-x = -1 ⇒ x = 1 और y = -1
अत: समीकरणों के युग्म का हल x = 1 तथा y = -1

(ii) दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म
ax + by = c ⇒ ax + by – c = 0 ……… (1)
bx + ay = 1 + c ⇒ bx + a y – (1 + c) = 0 ……… (2)
वज्रगुणन से समीकरण-युग्म का हल होगा :

(iii) दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म
\(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}=0\)
⇒ \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}\)
⇒ \(x=\frac{a}{b} y\) ………. (1)
ax + by = a² + b² …… (2)
समीकरण (1) से x का मान समीकरण (2) में रखने पर,
a(\(\frac{a}{b}\) y) + by = a² + b²
⇒ a²y + b²y = b(a² + b²)
⇒ (a² + b²)y = b(a² + b²)
⇒ y = b (दोनों पक्षों में a² + b² से भाग करने पर)
y का मान समीकरण (1) में रखने पर,
x = \(\frac{a}{b}\) × b ⇒ x = a
अत: समीकरणों के युग्म का हल x = a तथा y = b

(iv) दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म (a – b) x + (a + b) y = a² – 2ab – b²
(a + b)(x + y) = a² + b²
⇒ (a – b) x + (a + b) y = a² – 2ab – b² …….(1)
(a + b) (x + y) = a² + b²
⇒ (a + b)x + (a + b)y = a² + b² …….. (2)
समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर,
(a + b) x + (a + b) y – (a – b) x – (a + b) y = a² + b² – a² + 2ab + b²
⇒ (a + b – a + b) x = 2ab + 2b²
⇒ 2bx = 2ab + 2b²
⇒ 2bx = 2b (a + b)
⇒ x = (a + b) [दोनों पक्षों में (2b) का भाग देने पर]
x का मान समीकरण (1) में रखने पर,
(a – b) (a + b) + (a + b) y = a² – 2ab – b²
⇒ (a² – b²) + (a + b) y = a² – 2ab – b²
⇒ (a + b) y = a² – 2ab – b² – a² + b²
⇒ (a + b) y = -2ab
⇒ y = \(-\frac{2 a b}{a+b}\)
अत: समीकरणों के युग्म का हल x = (a + b) तथा y = \(-\frac{2 a b}{a+b}\)

(v) दिए गए रैखिक समकरणों का युग्म
152x – 378y = -74 …… (1)
-378x + 152y = -604 …….. (2)
समीकरण (1) व समीकरण (2) को जोड़ने पर,
-226x – 226y = -678
⇒ -226(x + y) = – 678
⇒ x + y = 3 ……. (3)
समीकरण (1) में से समीकरण (2) को घटाने पर,
(152x – 378y) – (-378x + 152y) = -74 – (-604)
⇒ 152x – 378y + 378x – 152y = -74 + 604
⇒ 530x – 530y = 530
⇒ x – y = 1
पुनः समीकरण (3) व समीकरण (4) को जोड़ने पर, 2x = 4 ⇒ x = 2
समीकरण (3) व समीकरण (4) को घटाने पर, 2y = 2 ⇒ y = 1
अत: समीकरणों के युग्म का हल x = 2 तथा y = 1

प्रश्न 8.
ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है। इस चक्रीय चतुर्भुज के कोण ज्ञात कीजिए।

हल
ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है।
∠A + ∠C = 180° तथा ∠B + ∠D = 180°
∠A + ∠C = 180° तो 4y + 20 + (-4x) = 180
⇒ -4x + 4y = 180 – 20 = 160
⇒ x – y = -40 ……..(1)
∠B + ∠D = 180° तो 3y – 5 + (-7x) + 5 = 180
⇒ -7x + 3y = 180
⇒ 7x – 3y = -180 …….. (2)
समीकरण (1) से, y = x + 40; अत: समीकरण (2) में y = x + 40 रखने पर,
7x – 3(x + 40) = -180
⇒ 7x – 3x – 120 = -180
⇒ 4x = -180 + 120 = -60
⇒ x = -15
तब, समीकरण (1) में x = -15 रखने पर, y = -15 + 40 = 25
तब,
∠A = 4y + 20 = (4 × 25) + 20 = 120°
∠B = 3y – 5 = (3 × 25) – 5 = 70°
∠C = -4x = – 4 × -15 = 60°
∠D = -7x + 5 = (-7 × – 15) + 5 = 110°

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.3 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.3

Bihar Board Class 10 Maths दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.3

प्रश्न 1.
निम्न रैखिक समीकरण युग्म को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए-
(i) x + y = 14
x – y = 4
(ii) s – t = 3
\(\frac{s}{3}+\frac{t}{2}=6\)
(iii) 3x – y = 3
9x – 3 y = 9
(iv) 0.2x + 0.3y = 1.3
0.4x + 0.5y = 2.3
(v) √2x + √3y = 0
√3x – √8y = 0
(vi) \(\frac{3 x}{2}-\frac{5 y}{3}=-2\)
\(\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=\frac{13}{6}\)
हल
(i) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म
x + y = 14 …… (1)
x – y = 4 …….. (2)
समीकरण (1) से, x + y = 14
⇒ x = (14 – y) ….. (3)
समीकरण (3) से x का यह मान समीकरण (2) में रखने पर,
(14 – y) – y = 4
⇒ 14 – y – y = 4
⇒ -2y = 4 – 14
⇒ -2y = -10
⇒ y = 5
तब, समीकरण (1) में y = 5 रखने पर,
x + 5 = 14
⇒ x = 14 – 5 = 9
अतः दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का हल x = 9 तथा y = 5

(ii) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म
s – t = 3 ……. (1)
\(\frac{s}{3}+\frac{t}{2}=6\) ……. (2)
समीकरण (1) से,
s – t = 3
⇒ s = 3 + t …… (3)
समीकरण (3) से s का यह मान समीकरण (2) में रखने पर,

समीकरण (3) में t = 6 रखने पर,
s = 3 + 6 = 9
अत: दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का हल : s = 9 तथा t = 6

(iii) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म :
3x – y = 3 …….. (1)
9x – 3y = 9 ……… (2)
समीकरण (1) से, 3x – y = 3
⇒ 3x – 3 = y
⇒ y = 3x – 3
अब, समीकरण (2) में y = 3 x – 3 रखने पर,
9x – 3(3x – 3) = 9
⇒ 9x – 9x + 9 = 9
⇒ 9 = 9
जो कि एक सत्य कथन है। तब, चर x या y का कोई अद्वितीय मान नहीं होगा।
अत: रैखिक समीकरण युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे।

(iv) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म
0.2x + 0.3y = 1.3
0.4x + 0.5y = 2.3
रैखिक समीकरण युग्म के प्रत्येक में एक स्थान तक ही दशमलव अंक हैं। अत: दशमलव को हटा सकते हैं।
तब दिया समीकरण युग्म निम्न युग्म के तुल्य होगा
2x + 3y = 13 …… (1)
4x + 5y = 23 …….. (2)
समीकरण (1) से, 2x + 3y = 13
⇒ 2x = 13 – 3y
⇒ x = (\(\frac{13-3 y}{2}\)) ……(3)
x का यह मान समीकरण (2) में रखने पर,
4(\(\frac{13-3 y}{2}\)) + 5y = 23
⇒ 2(13 – 3y) + 5y = 23
⇒ 26 – 6y + 5y = 23
⇒ -6y + 5y = 23 – 26
⇒ -y = -3
⇒ y = 3
अब समीकरण (3) में y = 3 रखने पर,

अतः दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का हल x = 2 तथा y = 3

(v) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म
√2x + √3y = 0 ……. (1)
√3x – √8y = 0 …… (2)
समीकरण (1) से, √2x + √3y = 0
⇒ √2x = 0 – √3y
⇒ √2x = -√3y
⇒ x = \(-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} y\)

अतः दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का हल : x = 0 तथा y = 0

(vi) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म


अत: दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का हल x = 2 तथा y = 3

प्रश्न 2.
2x + 3y = 11 और 2x – 4y = -24 को हल कीजिए और इससे ‘m’ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए y = mx + 3 हो।
हल
दिया गया रैखिक समीकरण युग्म
2x + 3y = 11 …… (1)
2x – 4y = -24 …… (2)
समीकरण (2) से,
2x – 4y = -24
⇒ 2x = 4y – 24
⇒ x = \(\frac{4 y-24}{2}=\frac{2(2 y-12)}{2}\)
⇒ x = 2y – 12 …….. (3)
x का यह मान समीकरण (1) में रखने पर,
2(2y – 12) + 3y = 11
⇒ 4y – 24 + 3y = 11
⇒ 4y + 3y = 11 + 24
⇒ 7y = 35
⇒ y = 5
समीकरण (3) में y का मान रखने पर,
x = (2 × 5 – 12) = 10 – 12 = -2
अत: दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का हल x = -2 तथा y = 5
अब, y = mx + 4 से m का मान ज्ञात करने के लिए, y = mx + 4 में x = -2 तथा y = 5 रखने पर,
5 = m(-2) + 4
⇒ 2m = 4 – 5 = -1
⇒ m = \(\frac{-1}{2}\)

प्रश्न 3.
निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरण युग्म बनाइए और उनके हल प्रतिस्थापन विधि द्वारा ज्ञात कीजिए-
(i) दो संख्याओं का अन्तर 26 है और एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुनी है। उन्हें ज्ञात कीजिए।
(ii) दो सम्पूरक कोणों में बड़ा कोण छोटे कोण से 18° अधिक है। उन्हें ज्ञात कीजिए।
(iii) एक क्रिकेट टीम के कोच ने 7 बल्ले तथा 6 गेंदें ₹ 3800 में खरीदीं। बाद में, उसने 3 बल्ले तथा 5 गेंदें ₹ 1750 में खरीदीं। प्रत्येक बल्ले और प्रत्येक गेंद का मूल्य ज्ञात कीजिए।
(iv) एक नगर में टैक्सी के भाड़े में एक नियत भाड़े के अतिरिक्त चली गई दूरी पर भाड़ा सम्मिलित किया जाता है। 10 km दूरी के लिए भाड़ा ₹105 है तथा 15 km के लिए भाड़ा ₹ 155 है। नियत भाड़ा तथा प्रति km भाड़ा क्या है? एक व्यक्ति को 25 km यात्रा करने के लिए कितना भाड़ा देना होगा?
(v) यदि किसी भिन्न के अंश और हर दोनों में 2 जोड़ दिया जाए, तो वह \(\frac{9}{11}\) हो जाती है। यदि अंश और हर दोनों में 3 जोड़ दिया जाए, तो वह \(\frac{5}{6}\) हो जाती है। वह भिन्न ज्ञात कीजिए।
(vi) पाँच वर्ष बाद जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु से तीन गुनी हो जाएगी। पाँच वर्ष पूर्व जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु की सात गुनी थी। उनकी वर्तमान आयु क्या हैं?
हल
(i) माना एक संख्या x तथा दूसरी संख्या y है।
एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुनी है।
एक संख्या = 3 × दूसरी संख्या
x = 3y ….(1)
यहाँ x, y से बड़ा है संख्याओं का अन्तर 26 है।
x – y = 26 ……… (2)
समीकरण (2) में x = 3y रखने पर,
3y – y = 26
⇒ 2y = 26
⇒ y = 13
समीकरण (1) में y = 13 रखने पर,
x = 3 × 13 = 39
⇒ x = 39
अत: अभीष्ट संख्याएँ = 39 व 13

(ii) माना बड़ा कोण x° तथा छोटा कोण y° है।
कोण x° व y° सम्पूरक हैं अर्थात् इनका योग 180° है।
x + y = 180
बड़ा कोण छोटे कोण से 18° अधिक है।
x = y + 18
तब, रैखिक समीकरण युग्म
x + y = 180 ……(1)
x = y + 18 …… (2)
समीकरण (2) से x का मान समीकरण (1) में रखने पर,
(y + 18) + y = 180
⇒ 2y + 18 = 180
⇒ 2y = 180 – 18 = 162
⇒ y = 81
समीकरण (2) में y का मान रखने पर,
x = 81 + 18 = 99
अत: बड़ा कोण 99° तथा छोटा कोण 81 है।

(iii) माना एक बल्ले का मूल्य ₹ x तथा एक गेंद का मूल्य ₹ y है।
1 बल्ले का मूल्य ₹ x है
7 बल्लों का मूल्य = ₹ 7x
1 गेंद का मूल्य ₹ y है।
6 गेंदों का मूल्य = ₹ 6y
7 बल्लों और 6 गेंदों का मूल्य = ₹ (7x + 6y)
प्रश्नानुसार, इनका मूल्य ₹ 3800 है।
7x + 6y = 3800 ……(1)
1 बल्ले का मूल्य ₹ x है
3 बल्लों का मूल्य = ₹ 3x
1 गेंद का मूल्य ₹ y है।
5 गेंदों का मूल्य = ₹ 5y
3 बल्लों और 5 गेंदों का मूल्य = ₹ (3x + 5y)
प्रश्नानुसार इनका मूल्य ₹ 1750 है।
3x + 5y = 1750 ……. (2)
⇒ 5y = 1750 – 3x
⇒ y = \(\frac{1750-3 x}{5}\) ……(3)
y का यह मान समीकरण (1) में रखने पर,

अत: एक बल्ले का मूल्य ₹ 500 तथा 1 गेंद का मूल्य ₹ 50 है।

(iv) माना टैक्सी का नियत भाड़ा ₹ x है और प्रति किमी दूरी का भाड़ा ₹ y है।
तब, 10 किमी दूरी के लिए कुल भाड़ा = नियत भाड़ा + 10 किमी का भाड़ा
= x + 10 × y
= (x + 10y)
प्रश्नानुसार, यह भाड़ा ₹ 105 है
x + 10y = 105 …….. (1)
इसी प्रकार, 15 किमी दूरी के लिए कुल भाड़ा
= नियत भाड़ा + 15 किमी का भाड़ा
= ₹ x + ₹ 15y
= ₹(x + 15y)
प्रश्नानुसार यह भाड़ा ₹ 155 है।
x + 15y = 155 ……. (2)
समीकरण (1) से, x = 105 – 10y
x का यह मान समीकरण (2) में रखने पर,
105 – 10y + 15y = 155
⇒ -10 y + 15y = 155 – 105
⇒ 5y = 50
⇒ y = 10
तब, y का मान समीकरण (2) में रखने पर,
x + 15 × 10 = 155
⇒ x + 150 = 155
⇒ x = 155 – 150 = 5
अतः टैक्सी का नियत भाड़ा ₹ 5 है और प्रति किमी दूरी का भाड़ा ₹ 10 है
तथा 25 किमी यात्रा का भाड़ा = 5 नियत भाड़ा + (25 × 10) यात्रा भाड़ा
= ₹ (5 + 250)
= ₹ 255

(v) माना भिन्न का अंश x तथा हर y है।
भिन्न = \(\frac{x}{y}\)

(vi) माना जैकब और उसके पुत्र की वर्तमान आयु क्रमश: x व y वर्ष है।
5 वर्ष बाद जैकब की आयु = (x + 5) वर्ष
तथा 5 वर्ष बाद पुत्र की आयु = (y + 5) वर्ष
प्रश्नानुसार, 5 वर्ष के बाद जैकब की आयु = 3 × उसके पुत्र की आयु
x + 5 = 3 × (y + 5)
⇒ x + 5 = 3y + 15
⇒ x = 3y + 15 – 5
⇒ x = 3y + 10 …….. (1)
5 वर्ष पूर्व जैकब की आयु = (x – 5) वर्ष
तथा 5 वर्ष पूर्व उसके पुत्र की आयु = (y – 5) वर्ष
प्रश्नानुसार, 5 वर्ष पहले जैकब की आयु = 7 × 5 वर्ष पहले उसके पुत्र की आयु
x – 5 = 7 × (y – 5)
⇒ x – 5 = 7y – 35
⇒ x – 7y = +5 – 35
⇒ x – 7y = -30 ….(2)
समीकरण (1) से x का मान समीकरण (2) में रखने पर,
(3y + 10) – 7y = -30
⇒ 3y + 10 – 7y = -30
⇒ 3y – 7y = -30 – 10
⇒ -4y = -40
⇒ y = 10
समीकरण (1) में y का मान रखने पर,
x = (3 × 10) + 10 = 30 + 10 = 40
दिए गए समीकरण युग्म का हल : x = 40, y = 10

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.2 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.2

Bihar Board Class 10 Maths दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.2

प्रश्न 1.
निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए-
(i) कक्षा X के 10 विद्यार्थियों ने एक गणित की पहेली प्रतियोगिता में भाग लिया। यदि लड़कियों की संख्या लड़कों की संख्या से 4 अधिक हो तो प्रतियोगिता में भाग लिए लड़कों और लड़कियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
(ii) 5 पेन्सिलों तथा 7 कलमों का कुल मूल्य ₹ 50 है, जबकि 7 पेन्सिलों तथा 5 कलमों का कुल मूल्य ₹ 46 है। एक पेन्सिल का मूल्य तथा एक कलम का मूल्य ज्ञात कीजिए।
हल
(i) माना लड़कियों की संख्या x तथा लड़कों की संख्या y है।
कुल संख्या = (x + y)
परन्तु प्रश्नानुसार कुल विद्यार्थियों की संख्या 10 है।
x + y = 10
लड़कियों की संख्या x, लड़कों की संख्या y से 4 अधिक है।
x = y + 4 ⇒ x – y = 4
अतः दिए गए कथनों का बीजगणितीय रूप समीकरण युग्म
x + y = 10 …….. (1)
x – y = 4 …….. (2)
ज्यामितीय निरूपण:
क्रिया-विधि :
1. दिए हुए समीकरण युग्म का पहला समीकरण x + y = 10
2. माना x = 3, तब x का मान समीकरण x + y = 10 में रखने पर,
3 + y = 10 ⇒ y = 10 – 3 ⇒ y = 7
3. तब समीकरण x + y = 10 के आलेख पर एक बिन्दु A = (3, 7) है।
4. पुन: माना x = 8, तब x का मान समीकरण x + y = 10 में रखने पर,
8 + y = 10 ⇒ y = 10 – 8 ⇒ y = 2
5. तब समीकरण x + y = 10 के आलेख पर एक बिन्दु B = (8, 2) है।
6. ग्राफ पेपर पर बिन्दुओं A (3, 7) तथा B(8, 2) को आलेखित (plotting) कीजिए और दिए गए समीकरण का आलेख AB खींचिए।
7. दिए हुए समीकरण युग्म का दूसरा समीकरण x – y = 4
8. माना x = 2, तब x का मान समीकरण x – y = 4 में रखने पर,
2 – y = 4 ⇒ -y = 4 – 2 ⇒ y = -2
9. तब समीकरण x – y = 4 के आलेख पर एक बिन्दु C = (2, -2) है।
10. पुनः माना x = 4, तब x का मान समीकरण x – y = 4 में रखने पर,
4 – y = 4 ⇒ -y = 4 – 4 ⇒ -y = 0 ⇒ y = 0
11. तब समीकरण x – y = 4 के आलेख पर एक बिन्दु D = (4, 0) है।
12. ग्राफ पेपर पर बिन्दु C = (2, -2) तथा D = (4, 0) को आलेखित कर दिए हुए समीकरण का आलेख CD खींचिए।
13. ऋजु रेखाओं AB तथा CD का प्रतिच्छेद बिन्दु P (h, K) ज्ञात कीजिए। बिन्दु P के निर्देशांक P(7, 3) आलेख से ज्ञात कीजिए।
14. दिए हुए समीकरण-युग्म का एक अद्वितीय सार्व हल x = 7, y = 3 है।
अत: लड़कियों की संख्या = 7 तथा लड़कों की संख्या = 3

(ii) मान लीजिए कि एक पेन्सिल का मूल्य ₹ x है तथा 1 कलम का मूल्य ₹ y है।
5 पेन्सिलों और 7 कलमों का मूल्य = ₹ 50
5x + 7y = 50
इसी प्रकार, 7 पेन्सिलों और 5 कलमों का मूल्य = ₹ 46
7x + 5y = 46
अत: दिए गए कथनों का बीजगणितीय रूप समीकरण युग्म
5x + 7y = 50 ….. (1)
7x + 5y = 46 …… (2)
ज्यामितीय निरूपण :
क्रिया-विधि :
1. दिए हुए समीकरण युग्म का पहला समीकरण 5x + 7y = 50
2. माना x = 10, तब x का मान समीकरण 5x + 7y = 50 में रखने पर,
5 × 10 + 7y = 50
⇒ 50 + 7y = 50
⇒ 7y = 50 – 50
⇒ 7y = 0
⇒ y = 0
3. तब समीकरण 5x + 7y = 50 के आलेख पर एक बिन्दु A = (10, 0) है।
4. पुन: माना x = -4, तब x का मान समीकरण 5x + 7y = 50 में रखने पर,
(5 × -4) + 7y = 50
⇒ -20 + 7y = 50
⇒ 7y = 50 + 20
⇒ 7y = 70
⇒ y = 10
5. तब समीकरण 5x + 7y = 50 के आलेख पर एक बिन्दु B = (-4, 10) है।
6. ग्राफ पेपर पर बिन्दुओं A = (10, 0) तथा B = (-4, 10) को आलेखित (plotting) कीजिए और दिए गए समीकरण का आलेख AB खींचिए।
7. दिए हुए समीकरण युग्म का दूसरा समीकरण 7x + 5y = 46
8. माना x = 8, तब x का मान समीकरण 7x + 5y = 46 में रखने पर,
7 × 8 + 5y = 46
⇒ 56 + 5y = 46
⇒ 5y = -10
⇒ y = -2
9. तब समीकरण 7x + 5y = 46 के आलेख पर एक बिन्दु C = (8, -2) है।
10. पुनः माना x = -2, तब x का मान समीकरण 7x + 5y = 46 में रखने पर,
(7 × -2) + 5y = 46
⇒ -14 + 5y = 46
⇒ 5y = 46 + 14
⇒ 5y = 60
⇒ y = 12
11. तब समीकरण 7x + 5y = 46 के आलेख पर एक बिन्दु D = (-2, 12) है।
12. ग्राफ पेपर पर बिन्दु C = (8, -2) तथा D = (-2, 12) को आलेखित कर दिए हुए समीकरण का आलेख CD खींचिए।
13. ऋजु रेखाओं AB तथा CD का प्रतिच्छेद बिन्दु P (h, k) ज्ञात कीजिए। बिन्दु P के निर्देशांक आलेख से ज्ञात कीजिए। P(3, 5)

14. दिए हुए समीकरण युग्म का एक अद्वितीय सार्व हल x = 3, y = 5 है।
अतः एक पेन्सिल का मूल्य ₹ 3 और एक कलम का मूल्य ₹ 5 है।

प्रश्न 2.
अनुपातों \(\frac{a_{1}}{a_{2}}\), \(\frac{b_{1}}{b_{2}}\) और \(\frac{c_{1}}{c_{2}}\) की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती हैं, समान्तर अथवा सम्पाती है।
(i) 5x – 4y + 8 = 0
7x + 6y – 9 = 0
(ii) 9x + 3y + 12 = 0
18x + 6y + 24 = 0
(iii) 6x – 3y + 10 = 0
2x – y + 9 = 0
हल
(i) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म
5x – 4y + 8 = 0 ……..(1)
7x + 6y – 9 = 0 ……..(2)
उक्त समीकरण युग्म की तुलना व्यापक रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,

\(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}\); अत: समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

(ii) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म
9x + 3y + 12 = 0 ……(1)
18x + 6y + 24 = 0 ……(2)
उक्त समीकरण युग्म की तुलना व्यापक रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,

\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\); अत: समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ सम्पाती हैं।

(iii) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म
6x – 3y + 10 = 0 ……(1)
2x – y + 9 = 0 …….(2)
उक्त समीकरण युग्म की तुलना व्यापक रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,

अत: समीकरण युग्म द्वारा निरूपित ऋजु रेखाएँ समान्तर हैं।

प्रश्न 3.
अनुपातों \(\frac{a_{1}}{a_{2}}\), \(\frac{b_{1}}{b_{2}}\) और \(\frac{c_{1}}{c_{2}}\) की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म संगत हैं या असंगत-
(i) 3x + 2y = 5; 2x – 3y = 7
(ii) 2x – 3y = 8; 4x – 6y = 9
(iii) \(\frac{3}{2}\)x + \(\frac{5}{3}\)y = 7; 9x – 10y = 14
(iv) 5x – 3y = 11; -10x + 6y = -22
(v) \(\frac{4}{3}\) x + 2y = 8; 2x + 3y = 12
हल
(i) दिया गया समीकरण युग्म
3x + 2y = 5 या 3x + 2y – 5 = 0 ……(1)
2x – 3y = 7 या 2x – 3y – 7 = 0 ……(2)
समीकरण युग्म की तुलना रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,

\(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}\); रैखिक समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल है
अत: दिया हुआ रैखिक समीकरणों का युग्म संगत है।

(ii) दिया गया समीकरण युग्म
2x – 3y = 8 या 2x – 3y – 8 = 0 ……. (1)
4x – 6y = 9 या 4x – 6y – 9 = 0 …….. (2)
समीकरण युग्म की तुलना रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,

\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\); दिए गए समीकरण युग्म का कोई हल नहीं है।
अत: दिया गया रैखिक समीकरणों का युग्म असंगत है।

(iii) दिया गया समीकरण युग्म
\(\frac{3}{2} x+\frac{5}{3} y=7 \quad \Rightarrow \quad \frac{3}{2} x+\frac{5}{3} y-7=0\) …… (1)
9x – 10y = 14 ⇒ 9x – 10y – 14 = 0 ……..(2)
समीकरण युग्म की तुलना रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,
a₁ = \(\frac{3}{2}\), b₁ = \(\frac{5}{3}\), c₁ = -7
a₂ = 9, b₂ = -10, c₂ = -14

\(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}\); समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल है।
अत: दिया गया रैखिक समीकरणों का युग्म संगत है।

(iv) दिया गया समीकरण युग्म
5x – 3y = 11 ⇒ 5x – 3y – 11 = 0 ……(1)
-10x + 6y = -22 ⇒ -10x + 6y + 22 = 0 …..(2)
समीकरण युग्म की तुलना रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,

समीकरण युग्म सम्पाती रेखाएँ निरूपित करेगा और समीकरण युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे।
अतः दिया गया समीकरणों का युग्म संगत है।

(v) दिया हुआ समीकरण युग्म :
\(\frac{4}{3}\) x + 2y = 8 ⇒ \(\frac{4}{3}\)x + 2y – 8 = 0 ……. (1)
2x + 3y = 12 ⇒ 2x + 3y – 12 = 0 …(2)
समीकरण युग्म की तुलना रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,

अत: दिया गया समीकरणों का युग्म संगत है।

प्रश्न 4.
निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों में से कौन-से युग्म संगत/असंगत हैं, यदि संगत हैं तो ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए।
(i) x + y = 5, 2x + 2y = 10
(ii) x – y = 8, 3x – 3y = 16
(iii) 2x + y – 6 = 0, 4x – 2y – 4 = 0
(iv) 2x – 2y – 2 = 0, 4x – 4y – 5 = 0
हल
(i) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म
x + y = 5 ⇒ x + y – 5 = 0 ……. (1)
2x + 2y = 10 ⇒ 2x + 2y – 10 = 0 ……(2)
उक्त समीकरण युग्म की तुलना रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,

अतः समीकरण युग्म संगत है।
समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ सम्पाती होंगी क्योंकि दोनों समीकरण एक ही हैं।
अतः रेखा x + y = 5 या x = 5 – y समीकरण युग्म का हल है
जबकि y का मान एक वास्तविक संख्या है।

(ii) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म
x – y = 8 ⇒ x – y – 8 = 0 …(1)
3x – 3y = 16 ⇒ 3x – 3y – 16 = 0 …… (2)
समीकरण युग्म की तुलना रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,
a₁ = 1, b₁ = -1, c₁ = -8
a₂ = 3, b₂ = -3, c₂ = -16

अतः दिया गया समीकरण युग्म असंगत है।

(iii) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म
2x + y – 6 = 0 ….(1)
4x – 2y – 4 = 0 …..(2)
उक्त समीकरण युग्म की तुलना रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,

अत: समीकरण युग्म संगत है और उसका एक अद्वितीय हल होगा।
क्रिया-विधि :
1. दिए हुए समीकरण युग्म का पहला समीकरण 2x + y – 6 = 0
2. माना x = 3, तब x का मान समीकरण 2x + y – 6 = 0 में रखने पर,
2 × 3 + y – 6 = 0
⇒ 6 + y – 6 = 0
⇒ y = 0
3. तब समीकरण 2x + y – 6 = 0 के आलेख पर एक बिन्दु A = (3, 0) है।
4. पुन: माना x = 0, तब x का मान समीकरण 2x + y – 6 = 0 में रखने पर,
2 × 0 + y – 6 = 0
⇒ 0 + y – 6 = 0
⇒ y = 6
5. तब समीकरण 2x + y – 6 = 0 के आलेख पर एक बिन्दु B = (0, 6) है।
6. ग्राफ पेपर पर बिन्दुओं A = (3, 0) तथा B = (0, 6) को आलेखित (plotting) कीजिए और दिए गए समीकरण का आलेख AB खींचिए।
7. दिए हुए समीकरण युग्म का दूसरा समीकरण 4x – 2y – 4 = 0
8. माना x = 1, तब x का मान समीकरण 4x – 2y – 4 = 0 में रखने पर,
4 × 1 – 2y – 4 = 0
⇒ 4 – 2y – 4 = 0
⇒ 0 – 2y = 0
⇒ y = 0
9. तब समीकरण 4x – 2y – 4 = 0 के आलेख पर एक बिन्दु C = (1, 0) है।
10. पुन: माना x = 0, तब x का मान समीकरण 4x – 2y – 4 = 0 में रखने पर,
4 × 0 – 2y – 4 = 0
⇒ 0 – 2y – 4 = 0
⇒ -2y = 4
⇒ y = -2
11. तब समीकरण 4x – 2y – 4 = 0 के आलेख पर एक बिन्दु D = (0, -2) है।
12. ग्राफ पेपर पर बिन्दु C = (1, 0) तथा D = (0, -2) को आलेखित कर दिए हुए समीकरण का आलेख CD खींचिए।

13. ऋजु रेखाओं AB तथा CD का प्रतिच्छेद बिन्दु P(h, k) ज्ञात कीजिए। बिन्दु P के निर्देशांक P (2, 2) आलेख से ज्ञात कीजिए।
14. दिए हुए समीकरण-युग्म का एक अद्वितीय सार्व हल x = 2, y = 2 है।

(iv) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म
2x – 2y – 2 = 0 …… (1)
4x – 4y – 5 = 0 ……(2)
समीकरण युग्म की तुलना रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,

अत: दिया गया समीकरणों का युग्म असंगत है।

प्रश्न 5.
एक आयताकार बाग, जिसकी लम्बाई, चौड़ाई से 4 मीटर अधिक है, का अर्द्धपरिमाप 36 मीटर है। बाग की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
हल
माना आयताकार बाग की लम्बाई x मीटर तथा चौड़ाई y मीटर है।
प्रश्नानुसार, लम्बाई x, चौड़ाई y से 4 मीटर अधिक है।
x = y + 4 ⇒ x – y = 4
आयताकार बाग की परिमाप = 2(लम्बाई + चौड़ाई) = 2(x + y) मीटर
आयताकार बाग की अर्द्धपरिमाप = \(\frac {1}{2}\) × परिमाप
= \(\frac {1}{2}\) × 2(x + y)
= (x + y) मीटर
दिया है कि अर्द्धपरिमाप 36 मीटर है।
x + y = 36
अतः रैखिक समीकरण युग्म
x – y = 4 …….. (1)
x + y = 36 ……(2)
ज्यामितीय निरूपण :
क्रिया-विधि :
1. दिए हुए समीकरण युग्म का पहला समीकरण : x – y = 4
2. माना x = 0, तब x का मान समीकरण x – y = 4 में रखने पर,
0 – y = 4 ⇒ y = -4
3. तब समीकरण x – y = 4 के आलेख पर एक बिन्दु A = (0, -4) है।
4. पुनः माना x = 4, तब x का मान समीकरण x – y = 4 में रखने पर,
4 – y = 4
⇒ -y = 4 – 4
⇒ -y = 0
⇒ y = 0
5. तब समीकरण x – y = 4 के आलेख पर एक बिन्दु B = (4, 0) है।
6. ग्राफ पेपर पर बिन्दुओं A (0, -4) तथा B (4, 0) को आलेखित (plotting) कीजिए और दिए गए समीकरण का आलेख AB खींचिए।
7. दिए हुए समीकरण युग्म का दूसरा समीकरण x + y = 36
8. माना x = 10, तब x का मान समीकरण x + y = 36 में रखने पर,
10 + y = 36
⇒ y = 36 – 10
⇒ y = 26
9. तब समीकरण x + y = 36 के आलेख पर एक बिन्दु C = (10, 26) है।
10. पुनः माना x = 30, तब x का मान समीकरण x + y = 36 में रखने पर,
30 + y = 36
⇒ y = 36 – 30
⇒ y = 6
11. तब समीकरण x + y = 36 के आलेख पर एक बिन्दु D = (30, 6) है।
12. ग्राफ पेपर पर बिन्दु C = (10, 26) तथा D = (30, 6) को आलेखित कर दिए हुए समीकरण का आलेख CD खींचिए।
13. ऋजु रेखाओं AB तथा CD का प्रतिच्छेद बिन्दु P (h, k) ज्ञात कीजिए। बिन्दु P के निर्देशांक आलेख. से ज्ञात कीजिए। P(20, 16)
14. दिए हुए समीकरण युग्म का एक अद्वितीय सार्व हल x = 20, y = 16 है।
अत: आयताकार बाग की लम्बाई 20 मीटर तथा चौड़ाई 16 मीटर है।

प्रश्न 6.
एक रैखिक समीकरण 2x + 3y – 8 = 0 दी गई है। दो चरों में एक ऐसी और रैखिक समीकरण लिखिए ताकि प्राप्त युग्म का ज्यामितीय निरूपण जैसा कि
(i) प्रतिच्छेद करती रेखाएँ हों।
(ii) समान्तर रेखाएँ हों।
(iii) सम्पाती रेखाएँ हों।
हल
दिए गए रैखिक समीकरण 2x + 3y – 8 = 0 की तुलना समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 से करने पर,
तब, a₁ = 2, b₁ = 3, c₁ = -8
माना अभीष्ट रैखिक समीकरण a₂x + b₂y + c₂ = 0 है।
(i) जब समीकरण युग्म, प्रतिच्छेद करती हुई रेखाएँ निरूपित करता है तो
\(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}} \quad \Rightarrow \quad \frac{2}{a_{2}} \neq \frac{3}{b_{2}}\)
अर्थात् a₂, दो अथवा शून्य नहीं होना चाहिए और b₂, तीन अथवा शून्य नहीं होना चाहिए।
तब, अभीष्ट रेखा a₂x + b₂y + c₂ = 0
जबकि a₂ ≠ 2 तथा b₂ ≠ 3 और (a₁ ≠ 0, b₁ ≠ 0) और a₂, b₂, c₂ वास्तविक संख्याएँ हैं।

(ii) जब समीकरण युग्म समान्तर रेखाएँ निरूपित करता है तो


अत: अभीष्ट समीकरण 2kx + 3ky – nk = 0 जबकि n ≠ -8 जहाँ k एक आनुपातिक स्थिरांक है।

(iii) जब समीकरण युग्म सम्पाती रेखाएँ निरूपित करता है तो

⇒ a₂ = 2k, b₂ = 3k और c₂ = -8k
अतः अभीष्ट समीकरण 2kx + 3ky – 8k = 0 जहाँ k एक आनुपातिक स्थिरांक है।

प्रश्न 7.
समीकरणों x – y + 1 = 0 और 3x + 2y – 12 = 0 का ग्राफ खींचिए। X-अक्ष और इन रेखाओं से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए और त्रिभुजाकार पटल को छायांकित कीजिए।
हल
दिया गया रैखिक समीकरण युग्म
x – y + 1 = 0 ……. (1)
3x + 2y – 12 = 0 …….. (2)
समीकरण x – y + 1 = 0 के आलेख के लिए
1. माना x = 0, तब x का मान समीकरण x – y + 1 = 0 में रखने पर,
0 – y + 1 = 0 ⇒ y = 1
2. तब समीकरण x – y + 1 = 0 के आलेख पर एक बिन्दु A = (0, 1) है।
3. पुन: माना x = 4, तब x का मान समीकरण x – y + 1 = 0 में रखने पर,
4 – y + 1 = 0
⇒ 5 – y = 0
⇒ y = 5
4. तब समीकरण x – y + 1 = 0 के आलेख पर एक बिन्दु B = (4, 5) है।
5. ग्राफ पेपर पर बिन्दुओं A (0, 1) तथा B(4, 5) को आलेखित (plotting) कीजिए और दिए गए समीकरण का आलेख AB खींचिए।

समीकरण 3x + 2y – 12 = 0 के आलेख के लिए
1. माना x = 0, तब x का मान समीकरण 3x + 2y – 12 = 0 में रखने पर,
3 × 0 + 2y – 12 = 0
⇒ 0 + 2y – 12 = 0
⇒ 2y – 12 = 0
⇒ 2y = 12
⇒ y = 6
2. तब समीकरण 3x + 2y – 12 = 0 के आलेख पर एक बिन्दु C = (0, 6) है।
3. पुनः माना x = 6, तब x का मान समीकरण 3x + 2y – 12 = 0 में रखने पर,
3 × 6 + 2y – 12 = 0
⇒ 18 + 2y – 12 = 0
⇒ 6 + 2y = 0
⇒ 2y = -6
⇒ y = -3
4. तब समीकरण 3x + 2y – 12 = 0 के आलेख पर एक बिन्दु D = (6, -3) है।
5. ग्राफ पेपर पर बिन्दु C = (0, 6) तथा D = (6, -3) को आलेखित कर दिए हुए समीकरण का आलेख CD खींचिए।
ऋजु रेखाओं AB तथा CD का प्रतिच्छेद बिन्दु P (h, k) ज्ञात कीजिए। बिन्दु P के निर्देशांक आलेख से ज्ञात कीजिए। P (2, 3)
X-अक्ष से रेखा x – y + 1 = 0 का प्रतिच्छेद बिन्दु Q = (-1, 0)
X-अक्ष से रेखा 3x + 2y – 12 = 0 का प्रतिच्छेद बिन्दु R = (4, 0)
(ग्राफ से पढ़कर)

दी गई रेखाओं के समीकरणों और X-अक्ष के प्रतिच्छेदन से ∆PQR बनता है।
∆PQR के निर्देशांक क्रमशः P = (2, 3), Q = (-1, 0) तथा R = (4, 0) हैं।

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.4 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.4

Bihar Board Class 10 Maths दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.4

प्रश्न 1.
निम्न समीकरणों के युग्म को विलोपन विधि तथा प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए। कौन-सी विधि अधिक उपयुक्त है?
(i) x + y = 5 और 2x – 3y = 4
(ii) 3x + 4y = 10 और 2x – 2y = 2
(iii) 3x – 5y – 4 = 0 और 9x = 2y + 7
(iv) \(\frac{x}{2}+\frac{2 y}{3}=-1\) और x – \(\frac {y}{3}\) = 3
हल
(i) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म
x + y = 5 ……. (1)
2x – 3y = 4 …….. (2)
विलोपन विधि : समीकरण (1) को 2 से गुणा करने पर,
2x + 2y = 10 ……. (3)
समीकरण (3) में से समीकरण (2) को घटाने पर,
(2x + 2y) – (2x – 3y) = 10 – 4
2x + 2y – 2x + 3y = 6
5y = 6
y = \(\frac{6}{5}\)
अब, समीकरण (1) में y = \(\frac{6}{5}\) रखने पर,
x + \(\frac{6}{5}\) = 5
x = \(5-\frac{6}{5}=\frac{25-6}{5}=\frac{19}{5}\)
अत: समीकरण युग्म का हल x = \(\frac{19}{5}\), y = \(\frac{6}{5}\)
प्रतिस्थापन विधि : समीकरण (1) से,
x + y = 5
⇒ y = (5 – x) …….(4)
y का यह मान समीकरण (2) में रखने पर,
2x – 3(5 – x) = 4
⇒ 2x – 15 + 3x = 4
⇒ 5x = 4 + 15
⇒ 5x = 19
⇒ x = \(\frac{19}{5}\)
समीकरण (1) में x = \(\frac{19}{5}\) रखने पर,
y = 5 – \(\frac{19}{5}\)
⇒ y = \(\frac{6}{5}\)
अत: रैखिक समीकरण युग्म का हल x = \(\frac{19}{5}\), y = \(\frac{6}{5}\)
इस प्रश्न को हल करने के लिए विलोपन विधि अधिक उपयुक्त है।

(ii) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म
3x + 4y = 10 ……. (1)
2x – 2y = 2 ……. (2)
विलोपन विधि : समीकरण (1) में 2 से गुणा करने पर,
6x + 8y = 20 …….. (3)
समीकरण (2) में 3 से गुणा करने पर,
6x – 6y = 6 ……… (4)
समीकरण (3) में से समीकरण (4) को घटाने पर,
(6x + 8y) – (6x – 6y) = 20 – 6
⇒ 6x + 8y – 6x + 6y = 14
⇒ 14y = 14
⇒ y = 1
समीकरण (1) में y = 1 रखने पर,
3x + 4(1) = 10
⇒ 3x = 10 – 4 = 6
⇒ x = 2
अत: रैखिक समीकरण युग्म का हल x = 2 तथा y = 1
प्रतिस्थापन विधि : समीकरण (2) से,
2x – 2y = 2
⇒ 2x = 2 + 2y
⇒ x = 1 + y
x = 1 + y समीकरण (1) में रखने पर,
3(1 + y) + 4y = 10
3 + 3y + 4y = 10
⇒ 3 + 7y = 10
⇒ 7y = 10 – 3
⇒ 7y = 7
⇒ y = 1
समीकरण (5) में y = 1 रखने पर,
x = 1 + 1 = 2
अत: रैखिक समीकरण युग्म का हल x = 2 तथा y = 1
इस प्रश्न को हल करने के लिए विलोपन विधि अधिक उपयुक्त है।

(iii) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म
3x – 5y – 4 = 0 ⇒ 3x – 5y = 4 ……. (1)
9x = 2y + 7 ⇒ 9x – 2y = 7 ……. (2)
विलोपन विधि : समीकरण (1) को 3 से गुणा करने पर,
9x – 15y = 12 ……… (3)
समीकरण (3) में से समीकरण (2) को घटाने पर,
(9x – 15y) – (9x – 2y) = 12 – 7
⇒ 9x – 15y – 9x + 2y = 5
⇒ -13y = 5
⇒ y = \(-\frac{5}{13}\)

अत: रैखिक समीकरण युग्म का हल x = \(\frac{9}{13}\) तथा y = \(-\frac{5}{13}\)
इस प्रश्न को हल करने के लिए विलोपन विधि अधिक उपयुक्त है।

(iv) दिया हुआ समीकरण युग्म \(\frac{x}{2}+\frac{2 y}{3}=-1\) और \(x-\frac{y}{3}=3\)

विलोपन विधि : समीकरण (1) में से समीकरण (2) को घटाने पर,
(3x + 4y) – (3x – y) = -6 – 9
⇒ 3x + 4y – 3x + y = -15
⇒ 5y = -15
⇒ y = -3
समीकरण (1) में y = -3 रखने पर,
3x + 4 × (-3) = -6
⇒ 3x – 12 = -6
⇒ 3x = -6 + 12 = 6
⇒ x = 2
अत: रैखिक समीकरण युग्म का हल x = 2 तथा y = -3
प्रतिस्थापन विधि : समीकरण (2) से,
3x – y = 9
⇒ y = 3x – 9
समीकरण (1) में y = 3x – 9 रखने पर,
3x + 4(3x – 9) = -6
⇒ 3x + 12x – 36 = -6
⇒ 15x – 36 = -6
⇒ 15x = -6 + 36 = 30
⇒ x = 2
समीकरण (2) में x = 2 रखने पर,
y = 3 × 2 – 9
⇒ y = 6 – 9
⇒ y = -3
अत: रैखिक समीकरण युग्म का हल x = 2 तथा y = -3
इस प्रश्न को हल करने के लिए विलोपन विधि अधिक उपयुक्त है।

प्रश्न 2.
निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका अस्तित्व हो) विलोपन विधि से ज्ञात कीजिए-
(i) यदि हम अंश में 1जोड़ दें तथा हर में से 1घटा दें, तो भिन्न 1 में बदल जाती है। यदि हर में 1 जोड़ दें, तो यह \(\frac{1}{2}\) हो जाती है। वह भिन्न क्या है?
(ii) पाँच वर्ष पूर्व नूरी की आयु सोनू की आयु की तीन गुनी थी। दस वर्ष पश्चात्, नूरी की आयु सोनू की आयु की दो गुनी हो जाएगी। नूरी और सोनू की आयु कितनी है?
(iii) दो अंकों की संख्या के अंकों का योग 9 है। इस संख्या का नौ गुना, संख्या के अंकों को पलटने से बनी संख्या का दो गुना है। वह संख्या ज्ञात कीजिए।
(iv) मीना ₹ 2000 निकालने के लिए एक बैंक गई। उसने खजाँची से ₹ 50 तथा ₹ 100 के नोट देने के लिए कहा। मीना ने कुल 25 नोट प्राप्त किए। ज्ञात कीजिए कि उसने ₹ 50 और ₹ 100 के कितने-कितने नोट प्राप्त किए?
(v) किराए पर पुस्तकें देने वाले किसी पुस्तकालय का प्रथम तीन दिनों का एक नियत किराया है तथा उसके बाद प्रत्येक अतिरिक्त दिन का अलग किराया है। सरिता ने सात दिनों तक एक पुस्तक रखने के लिए ₹ 27 अदा किए, जबकि सूसी ने एक पुस्तक पाँच दिनों तक रखने के ₹ 21 अदा किए। नियत किराया तथा प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया ज्ञात कीजिए।
हल
(i) माना भिन्न का अंश x तथा हर y है, तब भिन्न = \(\frac{x}{y}\)
यदि भिन्न के अंश में 1 जोड़ा जाए और हर में से 1 घटाया जाए, तो वह हो \(\frac{x+1}{y-1}\) जाएगी, परन्तु प्रश्नानुसार वह 1 हो जाएगी।
\(\frac{x+1}{y-1}\) = 1
⇒ x + 1 = y – 1
⇒ x = y – 1 – 1
⇒ x = y – 2 …….. (1)
यदि भिन्न के हर में एक जोड़ा जाए, तो वह \(\frac{x}{y+1}\) हो जाएगी, परन्तु प्रश्नानुसार \(\frac{1}{2}\) हो जाएगी।
\(\frac{x}{y+1}=\frac{1}{2}\)
⇒ 2x = y + 1 …….. (2)
समीकरण (1) को 2 से गुणा करके उसमें से समीकरण (2) को घटाने पर,
2(y – 2) – (y + 1) = 0
⇒ 2y – 4 – y – 1 = 0
⇒ 2y – y = +4 + 1
⇒ y = 5
तब, समीकरण (1) से,
x = y – 2 में y = 5 रखने पर,
⇒ x = 5 – 2 = 3
अतः भिन्न \(\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{3}{5}\)

(ii) माना नूरी की वर्तमान आयु x वर्ष तथा सोनू की वर्तमान आयु y वर्ष है।
5 वर्ष पहले नूरी की आयु = (x – 5) वर्ष
5 वर्ष पहले सोनू की आयु = (y – 5) वर्ष
प्रश्नानुसार,
नूरी की आयु = 3 × सोनू की आयु
x – 5 = 3(y – 5)
⇒ x – 5 = 3y – 15
⇒ x = 3y – 15 + 5
⇒ x = 3y – 10 …….. (1)
10 वर्ष पश्चात् नूरी की आयु = (x + 10) वर्ष
10 वर्ष पश्चात् सोनू की आयु = (y + 10) वर्ष
प्रश्नानुसार,
नूरी की आयु = 2 × सोनू की आयु
⇒ x + 10 = 2(y + 10)
⇒ x + 10 = 2y + 20
⇒ x = 2y + 20 – 10
⇒ x = 2y + 10 ….. (2)
समीकरण (1) व समीकरण (2) से,
3y – 10 = 2y + 10
⇒ 3y – 2y = 10 + 10
⇒ y = 20
समीकरण (2) में y = 20 रखने पर,
x = (2 × 20) + 10 = 40 + 10 = 50
अत: नूरी की आयु = 50 वर्ष तथा सोनू की आयु = 20 वर्ष।

(iii) माना संख्या का इकाई का अंक x तथा दहाई का अंक y है।
संख्या = 10y + x
संख्या के अंकों का योग = 9
इकाई का अंक + दहाई का अंक = 9
x + y = 9
मूल संख्या 10y + x है, तब अंकों के पलटने पर प्राप्त संख्या = 10x + y
प्रश्नानुसार,
संख्या का 9 गुना = अंकों के पलटने से प्राप्त संख्या का दो गुना
(10y + x) × 9 = (10x + y) × 2
⇒ 9x + 90y = 20x + 2y
⇒ 90y – 2y = 20x – 9x
⇒ 88y = 11x
⇒ 8y = x (दोनों पक्षों में सार्व 11 का भाग देने पर)
⇒ x = 8y ……. (2)
समीकरण (2) से x का मान समीकरण (1) में रखने पर,
8y + y = 9 या 9y = 9 या y = 1
तब, समीकरण (2) में, y = 1 रखने पर,
x = 8 × y = 8 × 1 = 8
संख्या 10y + x = (10 × 1) + 8 = 10 + 8 = 18
अतः संख्या = 18

(iv) माना ₹ 50 मूल्य वाले नोटों की संख्या : तथा ₹ 100 मूल्य वाले नोटों की संख्या y थी।
कुल नोटों की संख्या = (x + y)
परन्तु प्रश्नानुसार नोटों की कुल संख्या 25 थी।
x + y = 25 …….. (1)
₹ 50 वाले x नोट थे, उनका मूल्य = ₹ 50x
₹ 100 वाले के नोट थे, उनका मूल्य = ₹ 100y
कुल नोटों का मूल्य = (50x + 100y) = ₹ 50(x + 2y)
प्रश्नानुसार, मीना ने केवल ₹ 2000 बैंक से निकाले।
50(x + 2y) = 2000
⇒ x + 2y = 40 …….. (2)
समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर,
(x + 2y) – (x + y) = 40 – 25
⇒ x + 2y – x – y = 15
⇒ y = 15
समीकरण (1) में y = 15 रखने पर,
x + 15 = 25
⇒ x = 10
अतः मीना ने ₹ 50 मूल्य वाले 10 नोट तथा ₹ 100 मूल्य वाले 15 नोट प्राप्त किए।

(v) माना प्रथम तीन दिनों तक के लिए पुस्तकालय का नियत किराया ₹ x है तथा उसके बाद प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया ₹ y है।
7 दिनों में एक पुस्तक का किराया = प्रथम 3 दिन का नियत किराया + 4 अतिरिक्त दिन का किराया
= ₹ x + ₹ 4 × y
= ₹(x + 4y)
परन्तु सरिता ने 7 दिन का किराया ₹ 27 अदा किया।
x + 4y = 27 …….(1)
5 दिनों में एक पुस्तक का किराया = प्रथम 3 दिन का नियत किराया + 2 अतिरिक्त दिन का किराया
= ₹ x + ₹ 2y
= ₹(x + 2y)
परन्तु सूसी ने 5 दिन का किराया ₹ 21 अदा किया।
x + 2y = 21 ……… (2)
समीकरण (1) में से समीकरण (2) को घटाने पर,
(x + 4y) – (x + 2y) = 27 – 21
⇒ x + 4y – x – 2y = 6
⇒ 2y = 6
⇒ y = 3
समीकरण (2) में y = 3 रखने पर,
x + (2 × 3) = 21
⇒ x + 6 = 21
⇒ x = 21 – 6 = 15
अतः पुस्तकालय की किसी पुस्तक का प्रथम 3 दिन तक का नियत किराया ₹ 15 है तथा उसके बाद प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया ₹3 है।

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.1 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.1

Bihar Board Class 10 Maths दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.1

प्रश्न 1.
आफ़ताब अपनी पुत्री से कहता है, ‘सात वर्ष पूर्व मैं तुमसे सात गुनी आयु का था। अब से 3 वर्ष बाद मैं तुमसे केवल तीन गुनी आयु का रह जाऊँगा।’ (क्या यह मनोरंजक है?) इस स्थिति को बीजगणितीय एवं ग्राफीय रूपों में व्यक्त कीजिए।
हल
माना आफ़ताब और उसकी पुत्री की वर्तमान आयु क्रमशः x व y वर्ष है।
7 वर्ष पूर्व आफ़ताब की आयु = (x – 7) वर्ष
7 वर्ष पूर्व उसकी पुत्री की आयु = (y – 7) वर्ष
आफ़ताब पुत्री से कहता है कि 7 वर्ष पूर्व वह पुत्री की आयु का 7 गुना था।
अर्थात् (x – 7) = 7 (y – 7)
⇒ x – 7 = 7y – 49
⇒ x – 7y – 7 + 49 = 0
⇒ x – 7y + 42 = 0
अब से 3 वर्ष बाद आफ़ताब की आयु = (x + 3) वर्ष
अब से 3 वर्ष बाद उसकी पुत्री की आयु = (y + 3) वर्ष
आफ़ताब पुनः पुत्री से कहता है कि अब से 3 वर्ष बाद वह पुत्री की आयु का तिगुना होगा।
अर्थात् (x + 3) = 3(y + 3)
⇒ x + 3 = 3y + 9
⇒ x – 3y = +9 – 3
⇒ x – 3y = 6
कथनों का बीजगणितीय रूप समीकरण युग्म
x – 7y + 42 = 0 ……… (1)
x – 3y = 6 ……. (2)
ज्यामितीय निरूपण :
क्रिया-विधि :
1. दिए हुए समीकरण युग्म का पहला समीकरण x – 7y + 42 = 0
2. माना x = 0, तब x का मान समीकरण x – 7y + 42 = 0 में रखने पर,
0 – 7y + 42 = 0
⇒ 7y = 42
⇒ y = 6
3. तब समीकरण x – 7y + 42 = 0 के आलेख पर एक बिन्दु A = (0, 6) है।
4. पुनः माना x = 7, तब x का मान समीकरण x – 7y + 42 = 0 में रखने पर,
7 – 7y + 42 = 0
⇒ -7y = 49
⇒ y = 7
5. तब समीकरण x – 7y + 42 = 0 के आलेख पर एक बिन्दु B = (7, 7) है।
6. ग्राफ पेपर पर बिन्दुओं A = (0, 6) तथा B = (7, 7) को आलेखित (plotting) कीजिए और दिए गए समीकरण का आलेख AB खींचिए।
7. दिए हुए समीकरण युग्म का अन्य (दूसरा) समीकरण x – 3y = 6
8. माना x = 0, तब x का मान समीकरण x – 3y = 6 में रखने पर,
0 – 3y = 6
⇒ y = -2
9. तब समीकरण x – 3y = 6 के आलेख पर एक बिन्दु C = (0, -2) है।
10. पुनः माना x = 6, तब x का मान समीकरण x – 3y = 6 में रखने पर,
6 – 3y = 6
⇒ -3y = 0
⇒ y = 0
11. तव समीकरण x – 3y = 6 के आलेख पर एक बिन्दु D = (6, 0) है।
12. ग्राफ पेपर पर बिन्दु C = (0, -2) तथा D = (6, 0) को आलेखित कर दिए हुए समीकरण का आलेख CD खींचिए, जो बिन्दु P(42, 12) पर प्रतिच्छेद करती है।

13. ऋजु रेखाएँ AB तथा CD दिए गए कथनों का अभीष्ट ज्यामितीय निरूपण है।

प्रश्न 2.
क्रिकेट टीम के एक कोच ने ₹ 3900 में 3 बल्ले तथा 6 गेंदें खरीदीं। बाद में उसने एक और बल्ला तथा उसी प्रकार की 2 गेंदें ₹ 1300 में खरीदीं। इस स्थिति को बीजगणितीय तथा ज्यामितीय रूपों में व्यक्त कीजिए।
हल
माना एक बल्ले का मूल्य ₹ x तथा एक गेंद का मूल्य ₹ y है।
3 बल्लों और 6 गेंदों का मूल्य = ₹ 3900
₹ 3x + ₹ 6y = ₹ 3900
3x + 6y = 3900
इसी प्रकार, एक बल्ले का मूल्य +2 गेंदों का मूल्य = ₹ 1300
₹ x + ₹ 2y = ₹ 1300
x + 2y = 1300
अत: दिए गए कथनों का बीजगणितीय रूप समीकरण युग्म :
3x + 6y = ₹ 3900 ……. (1)
x + 2y = ₹ 1300 ……. (2)
ज्यामितीय निरूपण :
क्रिया-विधि :
1. दिए हुए समीकरण युग्म का पहला समीकरण 3x + 6y = 3900
2. माना x = 100, तब x का मान समीकरण 3x + 6y = 3900 में रखने पर,
(3 × 100) + 6y = 3900
⇒ 300 + 6y = 3900
⇒ 6y = 3600
⇒ y = 600
3. तब समीकरण 3x + 6y = 3900 के आलेख पर एक बिन्दु A = (100, 600) है।
4. पुन: माना x = 300, तब x का मान समीकरण 3x + 6y = 3900 में रखने पर,
(3 × 300) + 6y = 3900
⇒ 900 + 6y = 3900
⇒ 6y – 3900 = -900
⇒ 6y = 3000
⇒ y = 500
5. तब समीकरण 3x + 6y = 3900 के आलेख पर एक बिन्दु B = (300, 500) है।
6. ग्राफ पेपर पर बिन्दुओं A = (100, 600) तथा B = (300, 500) को आलेखित (plotting) कीजिए और दिए गए समीकरण का आलेख AB खींचिए।
7. दिए हुए समीकरण युग्म का दूसरे समीकरण x + 2y = 1300

8. माना x = 500, तब x का मान समीकरण x – 2y = 1300 में रखने पर,
500 + 2y = 1300
⇒ 2y = 1300 – 500
⇒ 2y = 800
⇒ y = 400
9. तब समीकरण x + 2y = 1300 के आलेख पर एक बिन्दु C = (500, 400) है।
10. पुन: माना x = -100, तब x का मान समीकरण x + 2y = 1300 में रखने पर,
-100 + 2y = 1300
⇒ 2y = 1300 + 100
⇒ 2y = 1400
⇒ y = 700
11. तब समीकरण x + 2y = 1300 के आलेख पर एक बिन्दु D = (-100, 700) है।
12. ग्राफ पेपर पर बिन्दु C = (500, 400) तथा D = (-100, 700) को आलेखित कर दिए हुए समीकरण का आलेख CD खींचिए।
13. ऋजु रेखाएँ AB तथा CD जो कि सम्पाती हैं, दिए गए कथनों का अभीष्ट ज्यामितीय रूप हैं।
चित्र से स्पष्ट है कि दोनों कथनों के आलेख ऋजु रेखाएँ AB तथा CD एक ही रेखा है। अतः रेखा AB एवं CD सम्पाती हैं।

प्रश्न 3.
2 किग्रा सेब और 1 किग्रा अंगूर का मूल्य किसी दिन ₹ 160 था। एक महीने बाद 4 किग्रा सेब और 2 किग्रा अंगूर का मूल्य ₹ 300 हो जाता है। इस स्थिति को बीजगणितीय तथा ज्यामितीय रूपों में व्यक्त कीजिए।
हल
माना एक दिन 1 किग्रा सेब का मूल्य ₹ x तथा 1 किग्रा अंगूर का मूल्य ₹ y है।
तब, 2 किग्रा सेब का मूल्य +1 किग्रा अंगूर का मूल्य = ₹ 160
2x + y = 160
1 महीने बाद, 4 किग्रा सेब का मूल्य +2 किग्रा अंगूर का मूल्य = ₹ 300
4x + 2y = 300
अत: दिए गए कथनों का बीजगणितीय रूप समीकरण युग्म
2x + y = 160 ……. (1)
4x + 2y = 300 ……. (2)
ज्यामितीय निरूपण :
क्रिया-विधि :
1. दिए हुए समीकरण युग्म का पहला समीकरण 2x + y = 160
2. माना x = 50, तब x का मान समीकरण 2x + y = 160 में रखने पर,
2 × 50 + y = 160
⇒ 100 + y = 160
⇒ y = 160 – 100
⇒ y = 60
3. तब समीकरण 2x + y = 160 के आलेख पर एक बिन्दु A = (50, 60) है।
4. पुन: माना x = 0, तब x का मान समीकरण 2x + y = 160 में रखने पर,
2 × 0 + y = 160
⇒ 0 + y = 160
⇒ y = 160
5. तब समीकरण 2x + y = 160 के आलेख पर एक बिन्दु B = (0, 160) है।
(6) ग्राफ पेपर पर बिन्दुओं A = (50, 60) तथा B = (0, 160) को आलेखित (plotting) कीजिए और दिए गए समीकरण का आलेख AB खींचिए।
7. दिए हुए समीकरण युग्म का दूसरा समीकरण 4x + 2y = 300
8. माना x = 75, तब x का मान समीकरण 4x + 2y = 300 में रखने पर,
4 × 75 + 2y = 300
⇒ 300 + 2y = 300
⇒ 2y = 300 – 300 = 0
⇒ y = 0
9. तब समीकरण 4x + 2y = 300 के आलेख पर एक बिन्दु C = (75, 0) है।

10. पुन: माना x = 0, तब x का मान समीकरण 4x + 2y = 300 में रखने पर,
4 × 0 + 2y = 300
⇒ 0 + 2y = 300
⇒ 2y = 300
⇒ y = 150
11. तब समीकरण 4x + 2y = 300 के आलेख पर एक बिन्दु D = (0, 150) है।
12. ग्राफ पेपर पर बिन्दु C = (75, 0) तथा D = (0, 150) को आलेखित कर दिए हुए समीकरण का आलेख CD खींचिए।
ऋजु रेखाएँ AB तथा CD दिए गए कथनों का अभीष्ट ज्यामितीय रूप हैं।

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Additional Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Additional Questions

Bihar Board Class 10 Maths बहुपद Additional Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
यदि द्विघात बहुपद (k – 1)x² + kx + 1 के शून्यकों में से एक शून्यक -3 है, तो k का मान है
(i) \(\frac{4}{3}\)
(ii) \(\frac{-4}{3}\)
(iii) \(\frac{2}{3}\)
(iv) \(\frac{-2}{3}\)
हल
(i) \(\frac{4}{3}\)

प्रश्न 2.
शून्यक -3 और 4 वाला द्विघात बहुपद है
(i) x² – x + 12
(ii) x² + x + 12
(iii) \(\frac{x^{2}}{2}-\frac{x}{2}-6\)
(iv) 2x² + 2x – 24
हल
(iii) \(\frac{x^{2}}{2}-\frac{x}{2}-6\)

प्रश्न 3.
यदि द्विघात बहुपद x² + (a + 1)x + b के शून्यक 2 और -3 हैं, तो
(i) a = -7, b = -1
(ii) a = 5, b = -1
(iii) a = 2, b = -6
(iv) a = 0, b = -6
हल
(iv) a = 0, b = -6

प्रश्न 4.
शून्यक -2 और 5 वाले बहुपदों की संख्या है
(i) 1
(ii) 2
(iii) 3
(iv) 3 से अधिक
हल
(iv) 3 से अधिक

प्रश्न 5.
त्रिघात बहुपद ax³ + bx² + cx + d का एक शून्यक 0 दिया हुआ है। अन्य दोनों शून्यकों का गुणनफल है
(i) \(-\frac{c}{a}\)
(ii) \(\frac{c}{a}\)
(iii) 0
(iv) \(-\frac{b}{a}\)
हल
(ii) \(\frac{c}{a}\)

प्रश्न 6.
यदि त्रिघात बहुपद x³ + ax² + bx + c का एक शून्यक -1 है, तो अन्य दोनों शून्यकों का गुणनफल है
(i) b – a + 1
(ii) b – a – 1
(iii) a – b + 1
(iv) a – b – 1
हल
(i) b – a + 1

प्रश्न 7.
द्विघात बहुपद x² + 99x + 127 के शून्यक हैं
(i) दोनों धनात्मक
(ii) दोनों ऋणात्मक
(iii) एक धनात्मक और एक ऋणात्मक
(iv) दोनों बराबर
हल
(ii) दोनों ऋणात्मक

प्रश्न 8.
द्विघात बहपद x² + kx + k, k ≠ 0 के शून्यक
(i) दोनों धनात्मक नहीं हो सकते
(ii) दोनों ऋणात्मक नहीं हो सकते
(iii) सदैव असमान होते हैं
(iv) सदैव बराबर होते हैं
हल
(i) दोनों धनात्मक नहीं हो सकते

प्रश्न 9.
यदि द्विघात बहुपद ax² + bx + c, c ≠ 0 के शून्यक बराबर हैं, तो
(i) c और a विपरीत चिह्नों के हैं
(ii) c और b विपरीत चिह्नों के हैं
(iii) c और a एक ही चिह्न के हैं
(iv) c और b एक ही चिह्न के हैं
हल
(iii) c और a एक ही चिह्न के हैं

प्रश्न 10.
यदि x² + ax + b के रूप के एक द्विघात बहुपद का एक शून्यक दूसरे शून्यक का ऋणात्मक हो, तो
(i) इसमें कोई रैखिक पद नहीं होता तथा अचर पद ऋणात्मक होता है।
(ii) इसमें कोई रैखिक पद नहीं होता तथा अचर पद धनात्मक होता है।
(iii) इसका रैखिक पद हो सकता है, परन्तु अचर पद ऋणात्मक होता है
(iv) इसका रैखिक पद हो सकता है, परन्तु अचर पद धनात्मक होता है
हल
(i) इसमें कोई रैखिक पद नहीं होता तथा अचर पद ऋणात्मक होता है।

प्रश्न 11.
निम्नलिखित में से कौन एक द्विघात बहुपद का आलेख नहीं है?

हल

अतिलघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
यदि -2 बहुपद 9x³ + 18x² – x – 2 का एक शून्यक हो तो इस बहुपद के सभी शून्यक ज्ञात कीजिए।
हल
यदि -2 बहुपद 9x³ + 18x² – x – 2 का एक शून्यक हो तो x + 2 बहुपद 9x³ + 18x² – x – 2 का एक गुणनखण्ड होगा।
तब, 9x³ + 18x² – x – 2
= 9x² (x + 2) – 1(x + 2)
= (x + 2) (9x² – 1)
= (x + 2) (3x + 1) (3x -1)
3x + 1 और 3x – 1 को शून्य के बराबर करने पर,
x = \(-\frac{1}{3}\) तथा x = \(\frac{1}{3}\)
अतः दिए गए बहुपद 9x³ + 18x² – x – 2 के शून्यक = -2, \(\frac{1}{3}\) व \(-\frac{1}{3}\) हैं।

प्रश्न 2.
जाँच कीजिए कि बहुपद के साथ दी गई संख्या उसकी शून्यक है अथवा नहीं?
x² – 2√3x – 9, x = 3√3, x = -√3
हल
दिया गया बहुपद
= x² – 2√3x – 9
= x² – (3√3 – √3)x – 9
= x² – 3√3x + √3x – (3√3 × √3)
= x(x – 3√3) + √3(x – 3√3)
= (x – 3√3) (x + √3)
उक्त बहुपद शून्य तब होगा जब x – 3√3 = 0 अर्थात् x = 3√3 हो
या फिर उक्त बहुपद शून्य तब होगा जब x + √3 = 0 हो अर्थात् x = -√3 हो।
अत: संख्याएँ x = 3√3 व x = -√3 दिए बहुपद x² – 2√3x – 9 की शून्यक हैं।

प्रश्न 3.
बहुपद x³ + 2x² – x – 2 का एक शून्यक (-2) है तो सभी शून्यक ज्ञात कीजिए।
हल
बहुपद x³ + 2x² – x – 2 का एक शून्यक (-2) है
(x + 2) बहुपद का एक गुणनखण्ड है।
x³ + 2x² – x – 2 = x²(x + 2) – 1(x + 2)
= (x + 2)(x² – 1)
= (x + 2)(x + 1) (x – 1)
बहुपद x³ + 2x² – x – 2 के शून्य होने के लिए
x + 1 = 0 ⇒ x = -1
x – 1 = 0 ⇒ x = 0
अत: बहुपद x³ + 2x² – x – 2 के शून्यक = -2, -1 व 1 हैं।

प्रश्न 4.
बहुपद x² – 9 के शून्यक ज्ञात कीजिए।
हल
बहुपद x² – 9 के गुणनखण्ड करने पर,
x² – 9 = (x)² – (3)² = (x + 3) (x – 3)
x² – 9 के शून्य होने के लिए।
x + 3 = 0 ⇒ x = -3
तथा x – 3 = 0 ⇒ x = 3
अत: x² – 9 के शून्यक = -3 व 3

प्रश्न 5.
चित्र में, बहुपद y = f(x) का आलेख दिया गया है। इसके शून्यकों की संख्या बताइए।

हल
बहुपद y = f(x) का आलेख X-अक्ष को 3 बिन्दुओं पर काटता है। अत: शून्यकों की संख्या 3 है।

प्रश्न 6.
यदि बहुपद ax² – 6x – 6 के शून्यकों का गुणनफल 6 हो तो a का मान ज्ञात कीजिए।
हल
दिया गया बहुपद = ax² – 6x – 6
तथा शून्यकों का गुणनफल = 6

प्रश्न 7.
बहुपद x³ – 3x² + 5x – 3 को x – 1 से भाग देने पर भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए।
हल
बहुपद x³ – 3x² + 5x – 3 = p(x), भाजक = x – 1 = g(x)
माना भागफल q(x) तथा शेषफल r(x) है।
अब, बहुपद को भाजक से भाग देने पर,

अत: भागफल q(x) = x² – 2x + 3 तथा शेषफल r(x) = शून्य।

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों का योगफल तथा गुणनफल क्रमशः 0 तथा √5 हैं।
हल
माना द्विघात बहुपद ax² + bx + c है और इसके शून्यक α व β हैं।
तब, α + β = \(-\frac{b}{a}\) और αβ = \(\frac{c}{a}\)
प्रश्नानुसार, शून्यकों का योगफल (α + β) = \(-\frac{b}{a}\)
तथा शून्यकों का गुणनफल (αβ) = \(\frac{c}{a}\) = √5
यदि a = 1 हो तो b = 0, तथा c = √5
अत: एक मानक द्विघात बहुपद ax² + bx + c में
a = 1, b = 0 तथा c = √5
प्रतिस्थापित करने पर,
बहुपद = x² + 0 . x + √5 = x² + √5
अत: अभीष्ट बहुपद = x² + √5
उक्त प्रतिबन्धों को सन्तुष्ट करने वाला व्यापक द्विघात व्यंजक = k(x² + √5), जहाँ k एक वास्तविक संख्या है।

प्रश्न 2.
एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों के योगफल तथा गुणनफल क्रमशः संख्याएँ -1, 1 हैं।
हल
माना द्विघात बहुपद के शून्यक α तथा β हैं।
तब, शून्यकों का योगफल = α + β
तथा शून्यकों का गुणनफल = αβ
प्रश्नानुसार, शून्यकों का योगफल (α + β) = -1
शून्यकों का गुणनफल (αβ) = +1
द्विघात बहुपद = (x – α) (x – β)
= x² – (α + β) x + αβ
= x² – (-1) . x + (+1)
= x² + x + 1
अतः अभीष्ट बहुपद = x² + x + 1

प्रश्न 3.
द्विघात बहुपद 6x² – 7x – 3 के शून्यक ज्ञात कीजिए।
हल
दिया गया द्विघात बहुपद = 6x² – 7x – 3
गुणनखण्ड करने पर,
6x² – 7x – 3
= 6x² – 9x + 2x – 3
= 3x(2x – 3) + 1 (2x – 3)
= (2x – 3) (3x + 1)
इसलिए 6x² – 7x – 3 शून्य होगा यदि
2x – 3 = 0 अथवा 3x + 1 = 0
अर्थात् 2x – 3 = 0 ⇒ x = \(\frac{3}{2}\)
अथवा 3x + 1 = 0 ⇒ x = \(-\frac{1}{3}\)
अत: बहुपद 6x² – 7x – 3 के शून्यक \(\frac{3}{2}\) व \(-\frac{1}{3}\) हैं।

प्रश्न 4.
द्विघात बहुपद 2x² – 50 के शून्यक ज्ञात कीजिए।
हल
बहुपद 2x² – 50 के गुणनखण्ड करने पर,
2x² – 50 = 2(x² – 25)
= 2[(x)² – (5)²]
= 2(x + 5) (x – 5)
2x² – 50 के शून्य होने के लिए
x + 5 = 0 ⇒ x = -5
तथा x – 5 = 0 ⇒ x = 5
अत: 2x² – 50 के शून्यक -5 व 5 हैं।

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
2x⁴ – 3x³ – 3x² + 6x – 2 के अन्य सभी शून्यक ज्ञात कीजिए यदि इसके दो शून्यक √2 और -√2 ज्ञात हैं।
हल
बहुपद 2x⁴ – 3x³ – 3x² + 6x – 2 के दो शून्यक √2 व -√2 हैं और माना दो अन्य शून्यक α व β हैं।
(x – α) (x – β) (x – √2) (x – (-√2)) = 2x⁴ – 3x³ – 3x² + 6x – 2
(x – α) (x – β) (x – √2) (x + √2) = 2x⁴ – 3x³ – 3x² + 6x – 2
(x – α) (x – β) (x² – 2) = 2x⁴ – 3x³ – 3x² + 6x – 2

प्रश्न 2.
द्विघात बहुपद 6x² – 13x + 6 के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के सम्बन्ध की सत्यता की जाँच कीजिए।
हल
दिया गया द्विघात बहुपद = 6x² – 13x + 6
गुणनखण्ड करने पर,
6x² – 13x + 6 = 6x² – (9 + 4)x + 6
= 6x² – 9x – 4x + 6
= 3x(2x – 3) – 2(2x – 3)
= (2x – 3) (3x – 2)
इसलिए 6x² – 13x + 6 शून्य होगा, यदि 2x – 3 = 0 है तथा 3x – 2 = 0 है।
अर्थात् 2x – 3 = 0 ⇒ x = \(\frac{3}{2}\)
तथा 3x – 2 = 0 ⇒ x = \(\frac{2}{3}\)
बहुपद 6×2 – 13x + 6 के शून्यक \(\frac{3}{2}\) तथा \(\frac{2}{3}\) हैं।

तब, समीकरण (1) व (3) से,

तथा समीकरण (2) व (4) से,

अत: बहुपद के शून्यकों और गुणांकों के बीच के उपर्युक्त सम्बन्ध सत्य हैं।

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.4 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.4

Bihar Board Class 10 Maths बहुपद Ex 2.4

प्रश्न 1.
सत्यापित कीजिए कि निम्न त्रिघात बहुपदों के साथ दी गई संख्याएँ उसकी शून्यक हैं। प्रत्येक स्थिति में शून्यकों और गुणांकों के बीच के सम्बन्ध को भी
सत्यापित कीजिए-
(i) 2x³ + x² – 5x + 2; \(\frac{1}{2}\), 1, -2
(ii) x³ – 4x² + 5x – 2; 2, 1, 1
हल
(i) दिया है, त्रिघात बहुपद p(x) = 2x³ + x² – 5x + 2 ……. (1)
दी गई संख्याएँ : \(\frac{1}{2}\), 1, -2
समीकरण (1) में x = \(\frac{1}{2}\) रखने पर,

\(\frac{1}{2}\), बहुपद p(x) का एक शून्यक है।
समीकरण (1) में x = 1 रखने पर,
p(1) = 2(1)³ + (1)² – 5(1) + 2
= 2 + 1 – 5 + 2
= 0
1, बहुपद p (x) का एक शून्यक है।
पुनः समीकरण (1) में x = -2 रखने पर,
p(-2) = 2(-2)³ + (-2)² – 5(-2) + 2
= (2 × -8) + 4 + 10 + 2
= -16 + 16
= 0
-2, बहुपद p (x) का एक शून्यक है।
अत: \(\frac{1}{2}\),1 व -2 बहुपद 2x³ + x² – 5x + 2 के शून्यक हैं।
शून्यकों का योगफल = \(\frac{1}{2}\) + 1 + (-2) = \(\frac{-1}{2}\)
दो-दो करके गुणनफलों का योगफल = \(\frac{1}{2}\) × 1 + 1(-2) + (-2) × \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{-5}{2}\)
शून्यकों का गुणनफल = \(\frac{1}{2}\) × 1 × -2 = -1
बहुपद 2x³ + x² – 5x + 2 के पदों के गुणांक a = 2, b = 1, c = -5 व d = 2
यदि बहुपद के शून्यक α, β, γ हों तो
शून्यकों का योगफल (α + β + γ) = \(-\frac{b}{a}=-\frac{1}{2}\)
αβ + βγ + γα = \(\frac{c}{a}=-\frac{5}{2}\)
और मूलों का गुणनफल (αβγ) = \(-\frac{d}{a}=-\frac{2}{2}=-1\)
और शून्यकों \(\frac{1}{2}\), 1 व -2 द्वारा भी योगफल व गुणनफल वही हैं जो इनमें हैं।
अत: बहुपद के शून्यकों व गुणांकों के मध्य उपर्युक्त सम्बन्ध सत्य हैं।
इति सिद्धम्

(ii) दिया है, त्रिघात बहुपद p(x) = x³ – 4x² + 5x – 2 ……..(1)
दी गई संख्याएँ : 2, 1, 1
समीकरण (1) में x = 2 रखने पर,
तब, p(2) = (2)³ – 4(2)² + 5(2) – 2
= 8 – 4 × 4 + 10 – 2
= 8 – 16 + 10 – 2
= 0
2, बहुपद p (x) का एक शून्यक है।
पुनः समीकरण (1) में x = 1 रखने पर,
p(1) = (1)³ – 4(1)² + 5(1) – 2
= 1 – 4 + 5 – 2
= 0
1, बहुपद p(x) का एक शून्यक है।
तब, स्पष्ट है कि 2, 1, 1 बहुपद = x³ – 4x² + 5x – 2 के शून्यक हैं।
इन शून्यकों का योगफल = 2 + 1 + 1 = 4 तथा गुणनफल 2 × 1 × 1 = 2
दो-दो करके गुणनफलों का योगफल = (2 × 1) + (1 × 1) + (1 × 2) = 5
अब, बहुपद x³ – 4x² + 5x – 2 के पदों के गुणांक a = 1, b = -4, c = 5 तथा d = -2
यदि शून्यक α, β व γ हों तो
शून्यकों का योगफल (α + β + γ) = \(-\frac{b}{a}=-\frac{(-4)}{1}=+4\)
दो-दो करके गुणनफलों का योगफल (αβ + βγ + γα) = \(\frac{c}{a}=\frac{5}{1}=5\)
तथा शून्यकों का गुणनफल (αβγ) = \(-\frac{d}{a}=-\left(\frac{-2}{1}\right)=2\)
शून्यकों 2, 1, 1 से प्राप्त योगफल व गुणनफल भी यही हैं।
अत: बहुपद के शून्यकों का उनके गुणांकों से उक्त सम्बन्ध सत्य हैं।
इति सिद्धम्

प्रश्न 2.
एक त्रिघात बहुपद प्राप्त कीजिए जिसके शून्यकों का योगफल, दो शून्यकों को एक साथ लेकर उनके गुणनफलों का योगफल तथा तीनों शून्यकों के गुणनफल क्रमशः 2, -7, -14 हों।
हल
माना बहुपद के शून्यक α, β व γ हैं।
तब, प्रश्नानुसार शून्यकों का योगफल (α + β + γ) = 2
दो शून्यकों को एक साथ लेकर उसके गुणनफलों का योगफल (αβ + βγ + γα) = -7
शून्यकों का गुणनफल (αβγ) = -14
यदि शून्यक α, β व γ हों तो त्रिघात बहुपद
= x³ – (α + β + γ)x² + (αβ + βγ + γα)x – αβγ
= x³ – 2x² + (-7)x – (-14)
= x³ – 2x² – 7x + 14
अत: अभीष्ट बहुपद = x³ – 2x² – 7x + 14

प्रश्न 3.
यदि बहुपद x³ – 3x² + x + 1 के शून्यक a – b, a, a + b हों तो a और b ज्ञात कीजिए।
हल
दिया गया बहुपद = x³ – 3x² + x + 1 की बहुपद Ax³ + Bx² + Cx + D से तुलना करने पर,
A = 1, B = -3, C = 1 तथा D = 1
तब, शून्यकों का योगफल = \(-\frac{B}{A}=-\frac{(-3)}{1}\)
तब, शून्यकों का योगफल = 3
परन्तु शून्यक a – b, a तथा a + b हैं;
अत: a – b + a + a + b = 3
⇒ 3a = 3
⇒ a = 1
और शून्यकों का गुणनफल = \(\frac{-D}{A}=\frac{-1}{1}=-1\)
परन्तु शून्यकों का गुणनफल (a – b) a (a + b) = a(a² – b²)
a(a² – b²) = -1
a = 1 रखने पर,
1(1 – b²) = -1
⇒ 1 – b² = -1
⇒ b² = 2
⇒ b = ±√2
a = 1 और b = ±√2

प्रश्न 4.
यदि बहुपद x⁴ – 6x³ – 26x² + 138x – 35 के दो शून्यक 2 ± √3 हों तो अन्य शून्यक ज्ञात कीजिए।
हल
चूँकि बहुपद 4 घात का है; अत: इसमें अधिकतम चार शून्यक सम्भव हैं जिनमें दो शून्यक 2 + √3 व 2 – √3 ज्ञात हैं।
माना शेष दो शून्यक α व β हैं।
तब, (x – α) (x – β) (x – 2 – √3) (x – 2 + √3) = x⁴ – 6x³ – 26x² + 138x – 35
⇒ (x – α) (x – β) [(x – 2)² – (√3)²] = x⁴ – 6x³ – 26x² + 138x – 35
⇒ (x – α) (x – β) (x² – 4x + 4 – 3) = x⁴ – 6x³ – 26x² + 138x – 35
⇒ (x – α) (x – β) (x² – 4x + 1) = x⁴ – 6x³ – 26x² + 138x – 35

(x – α) (x – β)
= x² – 2x – 35
= x² – (7 – 5)x – 35
= x² – 7x + 5x – 35
= x(x – 7) + 5(x – 7)
= (x – 7) (x + 5)
⇒ (x – α) (x – β) = (x – 7) (x + 5)
α = 7 तथा β = -5
अतः दिए गए बहुपद के दो अन्य शून्यक 7, -5 हैं।

प्रश्न 5.
यदि बहुपद x⁴ – 6x³ + 16x² – 25x + 10 को एक अन्य बहुपद x² – 2x + k से भाग दिया जाए और शेषफल x + a आता हो तो k तथा a ज्ञात कीजिए।
हल
माना भाज्य बहुपद p(x) = x⁴ – 6x³ + 16x² – 25x + 10
भाजक बहुपद g(x) = x² – 2x + k तथा शेषफल r(x) = x + a है।
पुनः माना भागफल बहुपद q(x) है।
तब, यूक्लिड की विभाजन प्रमेय से,
g (x) . q (x) + r(x) = p (x)
⇒ (x² – 2x + k) + (x + a) q (x) = x⁴ – 6x³ + 16x² – 25x + 10
⇒ (x² – 2x + k) q(x) = x⁴ – 6x³ + 16x² – 25x + 10 – x – a
⇒ (x² – 2x + k) q(x) = x⁴ – 6x³ + 16x² – 26x + (10 – a)

भाज्य बहुपद 4 घात का है और भाजक बहुपद दो घात का है; तब q(x) भी 4 – 2 = 2 घात का बहुपद होगा जिसका स्वरूप Ax² + Bx + C के रूप का होगा।
तब, \(\frac{(2 k-10) x+\left(10-a-8 k+k^{2}\right)}{x^{2}-2 x+k}\) शन्य अथवा शन्य घात का होना चाहिए।
यदी \(\frac{(2 k-10) x+\left(10-a-8 k+k^{2}\right)}{x^{2}-2 x+k}=0\) हो तो
(2k – 10)x + (10 – a – 8k + k²) = 0 होना चाहिए।
परन्तु (2k – 10)x + (10 – a – 8k + k²) शून्य घात का है।
2k – 10 = 0 क्योकि x ≠ 0
तब, k = 5
(2k – 10)x + (10 – a – 8k + k²) = 0 में k = 5 रखने पर,
⇒ (2 × 5 – 10) x + [10 – a – 8 × 5 + (5)²] = 0
⇒ 0+ [10 – a – 40 + 25] = 0
⇒ -a – 5 = 0
⇒ -a = 5
⇒ a = -5
अत: a = -5 तथा k = 5

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.3 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.3

Bihar Board Class 10 Maths बहुपद Ex 2.3

प्रश्न 1.
विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके, निम्न में p(x) को g(x) से भाग देने पर भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए-
(i) p(x) = x³ – 3x² + 5x – 3, g(x) = x² – 2
(ii) p(x) = x⁴ – 3x² + 4x + 5, g(x) = x² + 1 – x
(iii) p(x) = x⁴ – 5x + 6, g(x) = 2 – x²
हल
(i) दिया है, p(x) = x³ – 3x² + 5x – 3 तथा g(x) = x – 2
माना भागफल q(x) तथा शेषफल r(x) है।
तब, यूक्लिड की विभाजन एल्गोरिथ्म से,

(ii) दिया है, p(x) = x⁴ – 3x² + 4x + 5
तथा g(x) = x² + 1 – x = x² – x + 1
माना भागफल q(x) तथा शेषफल r(x) है।
तब, यूक्लिड़ की विभाजन एल्गोरिथ्म से,


अत: भागफल q(x) = x² + x – 3 तथा शेषफल r(x) = 8

(iii) दिया है, p(x) = x⁴ – 5x + 6 तथा g(x) = 2 – x² = -x² + 2
माना भागफल q(x) तथा शेषफल r(x) है।
तब, यूक्लिड की विभाजन एल्गोरिथ्म से,


अतः भागफल q(x) = -x² – 2 तथा शेषफल r(x) = -5x + 10

प्रश्न 2.
पहले बहुपद से दूसरे बहुपद को भाग करके, जाँच कीजिए कि क्या प्रथम बहुपद द्वितीय बहुपद का एक गुणनखण्ड है-
(i) t² – 3, 2t⁴ + 3t³ – 2t² – 9t – 12
(ii) x² + 3x + 1, 3x⁴ + 5x³ – 7x² + 2x + 2
(iii) x³ – 3x + 1, x⁵ – 4x³ + x² + 3x + 1
हल
(i) माना t² – 3 = g(t) तथा 2t⁴ + 3t³ – 2t² – 9t – 12 = p(t)
यदि भागफल q(t) तथा शेषफल r(t) हो
तब, यूक्लिड की विभाजन प्रमेय से,
p(t) = g(t) . q(t) + r(t)


शेषफल r(t) = 0 अत: t² – 3, 2t⁴ + 3t³ – 2t² – 9t – 12 का एक गुणनखण्ड है।

(ii) माना x² + 3x + 1 = g(x) तथा 3x⁴ + 5x³ – 7x² + 2x + 2 = p(x)
यदि भागफल q(x) तथा शेषफल r(x) हो तब यूक्लिड की विभाजन प्रमेय से,


शेषफल r(x) = 0
अत: x² + 3x + 1, 3x⁴ + 5x³ – 7x² + 2x + 2 का एक गुणनखण्ड है।

(iii) माना x³ – 3x + 1 = g (x) तथा x⁵ – 4x³ + x² + 3x + 1 = p(x)
यदि भागफल q(x) तथा शेषफल r(x) हो तब, यूक्लिड की विभाजन प्रमेय से,


शेषफल r(x) = 29x – 9 ≠ 0
अत: x³ – 3x + 1, x⁵ – 4x³ + x² + 3x + 1 का गुणनखण्ड नहीं है।

प्रश्न 3.
3x⁴ + 6x³ – 2x² – 10x – 5 के अन्य सभी शून्यक ज्ञात कीजिए, यदि इसके दो शून्यक \(\sqrt{\frac{5}{3}}\) और –\(\sqrt{\frac{5}{3}}\) हैं।
हल
बहुपद 3x⁴ + 6x³ – 2x² – 10x – 5 के दो शून्यक \(\sqrt{\frac{5}{3}}\) व –\(\sqrt{\frac{5}{3}}\) हैं और माना शेष दो शून्यक α व β हैं।

प्रश्न 4.
यदि x³ – 3x² + x + 2 को एक बहुपद g(x) से भाग देने पर, भागफल और शेषफल क्रमशः x – 2 और -2x + 4 हैं तो g(x) ज्ञात कीजिए।
हल
बहुपद x³ – 3x² + x + 2 = p(x), भाजक = g(x)
भागफल q(x) = (x – 2) तथा शेषफल r(x) = -2x + 4
तब, यूक्लिड की विभाजन प्रमेय से,

प्रश्न 5.
बहुपदों p(x), g(x), q(x) और r(x) के ऐसे उदाहरण दीजिए जो विभाजन एल्गोरिथ्म को सन्तुष्ट करते हों तथा
(i) घात p(x) = घात q(x)
(ii) घात q(x) = घात r(x)
(iii) घात r(x) = 0
हल
(i) p(x) व q(x) ऐसे चाहिए कि p(x) की घात = q(x) की घात
तब, p(x) की घात = g(x) की घात . q (x) की घात
⇒ g(x) की घात शून्य होनी चाहिए।
तब, माना p(x) = 2x³ + 5x² + 7x + 16 और q(x) = x³
g(x) = 2 तथा r(x) = 5x² + 7x + 16

(ii) घात q(x) = घात r(x)
p(x) = g(x) . q(x) + r(x)
p(x) की घात, g(x) की घात व q(x) की घात के योग के बराबर होना चाहिए।
माना q(x) = ax + b
तथा g(x) = cx² + dx + e
तब, p(x) घात 3 का व्यंजक होना चाहिए।
p(x) = x³ + x² + x + 1 तथा g(x) = x² – 1


⇒ q(x) = (x + 1) तथा r(x) = 2x + 2
अत: p(x) = x³ + x² + x + 1, q(x) = (x + 1), g(x) = x² – 1 तथा r(x) = 2x + 2

(iii) घात r(x) = 0
माना p(x) = x³ + 2 तथा g(x) = x² – x + 1
x³ + 2 में x² – x + 1 से भाग देने पर,
q(x) = (x + 1) तथा r(x) = 1
अत: p(x) = x³ + 2, q(x) = (x + 1), g(x) = x² – x + 1 तथा r(x) = 1