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Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Additional Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Additional Questions

Bihar Board Class 10 Maths वास्तविक संख्याएँ Additional Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
किसी पूर्णांक m के लिए, प्रत्येक सम पूर्णांक निम्नलिखित रूप का होता है-
(i) m
(ii) m + 1
(iii) 2m
(iv) 2m + 1
हल
(iii) 2m

प्रश्न 2.
किसी पूर्णांक q के लिए, प्रत्येक विषम पूर्णांक निम्नलिखित रूप का होता है
(i) q
(ii) q + 1
(iii) 2q
(iv) 2q + 1
हल
(iv) 2q + 1

प्रश्न 3.
संख्या n² – 1, 8 से विभाज्य होती है, यदि n है एक
(i) पूर्णांक
(ii) प्राकृत संख्या
(iii) विषम संख्या
(iv) सम संख्या
हल
(iii) विषम संख्या

प्रश्न 4.
यदि 65 और 117 के H.C.F. को 65m – 117 के रूप में व्यक्त किया जा सके तो m का मान है
(i) 4
(ii) 2
(iii) 1
(iv) 3
हल
(ii) 2

प्रश्न 5.
वह सबसे बड़ी संख्या, जिससे 70 और 125 को विभाजित करने पर क्रमशः शेषफल 5 और 8 प्राप्त हों, है
(i) 13
(ii) 65
(iii) 875
(iv) 1750
हल
(i) 13

प्रश्न 6.
यदि दो धनात्मक पूर्णांकों a और b को a = x³y² और b = xy³ के रूप में व्यक्त किया जाए, जहाँ x और y अभाज्य संख्याएँ हैं, तो H.C.F. (a, b) है।
(i) xy
(ii) xy²
(iii) x³y³
(iv) x²y²
हल
(ii) xy²

प्रश्न 7.
यदि दो धनात्मक पूर्णांकों p और q को p = ab² और q = a³b के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ a और b अभाज्य संख्याएँ हैं, तो L.C.M. (p, 4) है
(i) ab
(ii) a²b²
(iii) a³b²
(iv) a³b³
हल
(iii) a³b²

प्रश्न 8.
एक शून्येतर परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का गुणनफल होता है
(i) सदैव अपरिमेय संख्या
(ii) सदैव परिमेय संख्या
(iii) परिमेय या अपिरमेय संख्या
(iv) एक
हल
(i) सदैव अपरिमेय संख्या

प्रश्न 9.
1 से 10 तक की संख्याओं (दोनों सम्मिलित हैं) में से सभी संख्याओं से विभाज्य न्यूनतम संख्या है
(i) 10
(ii) 100
(iii) 504
(iv) 2520
हल
(iv) 2520

प्रश्न 10.
परिमेय संख्या \(\frac{14587}{1250}\) का दशमलव प्रसार निम्नलिखित किन दशमलव स्थानों के बाद समाप्त हो जाएगा
(i) एक
(ii) दो
(iii) तीन
(iv) चार
हल
(iv) चार

अतिलघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
संख्या 200 को 2ⁿ . 5^m के रूप में व्यक्त कीजिए।
हल
200 = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 = 2³ . 5²

प्रश्न 2.
संख्या 500 को 2ⁿ . 5^m के रूप में व्यक्त कीजिए।
हल
500 = 2 × 2 × 5 × 5 × 5 = 2² . 5³

प्रश्न 3.
अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा संख्या 408 और 96 का म० स० ज्ञात कीजिए और फिर इनका ल० स० ज्ञात कीजिए।
हल
408 = 2³ × 3 × 17
96 = 2⁵ × 3
उक्त संख्याओं के उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखण्डों का (न्यूनतम घातों में)
गुणनफल अर्थात् म० स० = 2³ × 3¹ = 24
उक्त संख्याओं के सभी अभाज्य गुणनखण्डों का (अधिकतम घातों में)
गुणनफल अर्थात् ल० स० = 2⁵ × 3 × 17 = 96 × 17 = 1632

प्रश्न 4.
संख्या 72 और 120 का अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा म० स० ज्ञात कीजिए फिर इनका ल० स० ज्ञात कीजिए।
हल
72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2³ × 3²
120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 2³ × 3 × 5
म०स० = 2³ × 3 = 24
तथा ल० स० = 2³ × 3² × 5 = 8 × 9 × 5 = 360

प्रश्न 5.
x = \(\frac {p}{q}\) एक ऐसी परिमेय संख्या है कि का अभाज्य गुणनखण्डन 2ⁿ 5^m के रूप का नहीं है,जहाँ n तथा m ऋणेत्तर पूर्णांक हैं बताइए कि x का दशमलव प्रसार सांत है या असांत आवर्ती?
हल
असांत आवर्ती।

प्रश्न 6.
यदि 1261 तथा 1067 का H.C.F. 97 है तो इनका L.C.M. ज्ञात कीजिए।
हल
पहली संख्या × दूसरी संख्या = H.C.F. × L.C.M.
1261 × 1067 = 97 × L.C.M.
L.C.M. = \(\frac{1261 \times 1067}{97}\) = 13 × 1067 = 13871

प्रश्न 7.
\(\frac{147}{2^{3} \times 5^{2}}\) का दशमलव प्रसार सांत है या असांत आवर्ती? बिना लम्बी विभाजन प्रक्रिया के बताइए।
हल
\(\frac{147}{2^{3} \times 5^{2}}\) के हर में केवल अभाज्य गुणांक 2 व 5 हैं।
अतः \(\frac{147}{2^{3} \times 5^{2}}\) का दशमलव प्रसार सांत है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 8.
बिना लम्बी विभाजन प्रक्रिया किए दिखाइए कि \(\frac{7}{80}\) का दशमलव प्रसार सांत है।
हल
दी गई भिन्न के हर के गुणनखण्ड करने पर,
\(\frac{7}{80}=\frac{7}{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5}=\frac{7}{2^{4} \times 5}\)
हम देखते हैं कि हर के गुणनखण्डों में 2 और 5 के अतिरिक्त अन्य कोई दूसरा गुणनखण्ड नहीं है।
अत: \(\frac{7}{80}\) का दशमलव प्रसार सांत है।

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
दिखाइए कि 5 + √2 एक अपरिमेय संख्या है।
हल
कल्पना कीजिए कि संख्या 5 + √2 परिमेय संख्या है।
तब, 5 + √2 = \(\frac{p}{q}\) होना चाहिए [∵ p और q पूर्णांक हैं तथा q ≠ 0]
5 + √2 = \(\frac{p}{q}\)
√2 = \(\frac{p}{q}\) – 5
\(\frac{p}{q}\) परिमेय है; अत: (\(\frac{p}{q}\) – 5) भी परिमेय होगी।
(\(\frac{p}{q}\) – 5) = √2 तथा (\(\frac{p}{q}\) – 5) परिमेय है।
√2 भी परिमेय संख्या है।
परन्तु यह तथ्य कि “√2 परिमेय संख्या है” असंगत एवं त्रुटिपूर्ण तथा अमान्य है जिसके लिए हमारे द्वारा की गई कल्पना ही गलत है।
संख्या 5 + √2 परिमेय नहीं हो सकती।
अत: संख्या 5 + √2 एक अपरिमेय संख्या होगी।
इति सिद्धम्

प्रश्न 2.
798 को अभाज्य गुणनखण्डों के गणनफल के रूप में लिखिए।
हल
798 में इकाई का अंक 2 से विभाज्य है।
798, 2 से विभाज्य है
798 = 2 × 399
पुनः 399 में 3 + 9 + 9 = 21 जो 3 से विभाज्य है
399, 3 से विभाज्य है ⇒ 399 = 3 × 133
133 = 7 × 19
⇒ 2, 3, 7 व 19 संख्या 798 के अभाज्य गुणनखण्ड हैं
अतः 798 = 2 × 3 × 7 × 19

प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए कि √3 एक अपरिमेय संख्या है।
हल
मान लें कि √3 एक परिमेय संख्या है।
अर्थात् हम ऐसे दो पूर्णांक a और b (≠ 0) प्राप्त कर सकते हैं कि √3 = \(\frac{a}{b}\) है।
यदि a और b में, 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखण्ड हो तो हम उस उभयनिष्ठ गुणनखण्ड से भाग देकर a और b को सहअभाज्य बना सकते हैं।
अतः b√3 = a
दोनों पक्षों का वर्ग करने तथा पुनर्व्यवस्थित करने पर हमें 3b² = a² प्राप्त होता है।
अत: a², 3 से विभाजित है। इसलिए 3, a को भी विभाजित करेगा।
अतः हम a = 3c रख सकते हैं।
तब, 3b² = a²
3b² = (3c)² या b² = 3c²
इससे स्पष्ट है कि 3, b² को विभाजित करता है; अत: 3, b को भी विभाजित करेगा।
इसका यह अर्थ हुआ कि 3, a तथा b दोनों का एक उभयनिष्ठ गुणनखण्ड है।
परन्तु यह तथ्य हमारी प्रारम्भिक परिकल्पना कि a तथा b परस्पर अभाज्य पूर्णांक हैं के विपरीत है।
यह विरोधाभास हमें इस कारण प्राप्त हुआ है, क्योंकि हमने एक त्रुटिपूर्ण कल्पना कर ली है कि √3 एक परिमेय संख्या है।
इसका यह अर्थ हुआ कि √3 एक परिमेय संख्या नहीं है बल्कि एक अपरिमेय संख्या है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 4.
यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके 275, 225 व 175 का H.C.F. ज्ञात कीजिए।
हल
175 तथा 225 के लिए :
Step I. 225 = 175 × 1 + 50
Step II. 175 = 50 × 3 + 25
Step III. 50 = 25 × 2 + 0
अत: 225 व 175 का H.C.F. = 25 है।

225 तथा 175 के लिए :
Step IV. 275 = 175 × 1 + 100
Step V. 175 = 100 × 1 + 75
Step VI. 100 = 75 × 1 + 25
Step VII. 75 = 25 × 3 + 0
अत: 275 व 175 का H.C.F. = 25 है।
अत: 275, 225 व 175 का H.C.F. = 25

प्रश्न 5.
दर्शाइए कि 3 – √5 एक अपरिमेय संख्या है।
हल
मान लें कि 3 – √5 एक परिमेय संख्या है।
अर्थात् हम ऐसी सहअभाज्य संख्याएँ a और b (b ≠ 0) ज्ञात कर सकते हैं कि 3 – √5 = \(\frac{a}{b}\) हो।
अतः 3 – \(\frac{a}{b}\) = √5 है।
इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर हमें प्राप्त होता है :
√5 = 3 – \(\frac{a}{b}\)
चूँकि a और b पूर्णांक हैं, इसलिए 3 – \(\frac{a}{b}\) एक परिमेय संख्या है अर्थात् अत: √5 भी एक परिमेय संख्या है।
जो कि गलत है, चूँकि हम जानते हैं कि √5 एक अपरिमेय संख्या है।
अतः हमारी कल्पना कि 3 – √5 एक परिमेय संख्या है, गलत है।
अत: 3 – √5 एक अपरिमेय संख्या है।
इति सिद्धम्

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
यूक्लिड की विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके निम्नलिखित संख्या युग्मों का महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) ज्ञात कीजिए :
(i) 657 तथा 306
(ii) 867 तथा 204
हल
(i) दी गई संख्याएँ = 657 तथा 306
657 > 306
Step I. दी गई संख्याओं 657 और 306 के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के प्रयोग से,
657 = (306 × 2) + 45 [∵ शेषफल 45 ≠ 0]
Step II. संख्याओं 306 और 45 के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के प्रयोग से,
306 = (45 × 6) + 36 [∵ शेषफल 36 ≠ 0]
Step III. संख्याओं 36 और 45 के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के प्रयोग से,
45 = (36 × 1) + 9 [∵ शेषफल 9 ≠ 0]
Step IV. संख्याओं 9 और 36 के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के प्रयोग से,
36 = (9 × 4) + 0 [∵ शेषफल = 0]
शेषफल शून्य है और भाजक = 9
अत: महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) = 9

(ii) दी गई संख्याएँ = 867 तथा 204
867 > 204
Step I. दी गई संख्याओं 867 और 204 के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के प्रयोग से,
867 = (204 × 4) + 51 [∵ शेषफल 51 ≠ 0]
Step II. संख्याओं 204 व 51 के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के प्रयोग से,
204 = (51 × 4) + 0 [∵ शेषफल = 0]
शेषफल शून्य है और भाजक = 51
अत: महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) = 51

प्रश्न 2.
4052 और 12576 का H.C.F. यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके ज्ञात कीजिए।
हल
दी गई संख्याएँ 4052 और 12576 हैं।
12576 > 4052
तब,
Step I. दी गई संख्याओं 4052 व 12576 के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से,
12576 = 3 × 4052 + 420 [∵ शेषफल 420 ≠ 0]
Step II. संख्याओं 420 व 4052 के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से,
4052 = 9 × 420 + 272 [∵ शेषफल 272 ≠ 0]
Step III. संख्याओं 272 व 420 के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से,
420 = 1 × 272 + 148 [∵ शेषफल 148 ≠ 0]
Step IV. संख्याओं 148 व 272 के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से,
272 = 1 × 148 + 124 [∵ शेषफल 124 ≠ 0]
Step V. संख्याओं 124 व 148 के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से,
148 = 1 × 124 + 24 [∵ शेषफल 24 ≠ 0]
Step VI. संख्याओं 24 व 124 के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से,
124 = 5 × 24 + 4 [∵ शेषफल 4 ≠ 0]
Step VII. संख्याओं 4 व 24 के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से,
24 = 6 × 4 + 0 [∵ शेषफल = 0]
यहाँ शेषफल शून्य और भाजक 4 है।
अतः दी गई संख्याओं 4052 व 12576 का H.C.F. = 4

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.4 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.4

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प्रश्न 1.
बिना लम्बी विभाजन प्रक्रिया किए बताइए कि निम्नलिखित परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार सांत हैं या असांत आवर्ती हैं-

हल

प्रश्न 2.
प्रश्न (1) में दी गई उन परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसारों को लिखिए जो सांत हैं-
हल
सांत दशमलव प्रसार वाली परिमेय संख्याएँ-

प्रश्न 3.
कुछ वास्तविक संख्याओं के दशमलव प्रसार नीचे दर्शाए गए हैं। प्रत्येक स्थिति के लिए निर्धारित कीजिए कि यह संख्या परिमेय संख्या है या नहीं। यदि यह परिमेय संख्या है और के रूप की है तो के अभाज्य गुणनखण्डों के बारे में आप क्या कह सकते हैं?
(i) 43.123456789
(ii) 0.120120012000120000……..
(iii) \(43 . \overline{123456789}\)
हल
(i) 43.123456789 = \(\frac{43123456789}{1000000000}\) जो कि \(\frac{p}{q}\) के रूप की है।
अत: 43.123456789 एक परिमेय संख्या है।
q = 1000000000 = (10)9 = (2 × 5)9 = 29 × 59
अत: के अभाज्य गुणनखण्ड 2 या 5 या दोनों हैं।

(ii) 0.120120012000120000…….. का दशमलव प्रसार असांत एवं अनावर्ती है और इसे \(\frac{p}{q}\) के रूप में नहीं लिखा जा सकता जिससे यह परिमेय नहीं है।

(iii) \(43 . \overline{123456789}\) = 43.123456789 123456789 123456789……..
दी गई संख्या का दशमलव प्रसार असांत एवं आवर्ती है
दी गई संख्या को परिमेय अर्थात् \(\frac{p}{q}\) के रूप में बदलना सम्भव है।
तब, q के अभाज्य गुणनखण्ड 2 और 5 के अतिरिक्त और भी अभाज्य धन पूर्णांक सम्भव हैं।
अतः दी गई संख्या परिमेय है और q के अभाज्य गुणनखण्ड 2 अथवा 5 के अतिरिक्त भी हैं।

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.3 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.3

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प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि √5 एक अपरिमेय संख्या है।
हल
कल्पना कीजिए कि √5 अपरिमेय न होकर एक परिमेय संख्या है।
तब, √5 = \(\frac{p}{q}\) होना चाहिए जबकि q ≠ 0 तथा p व q पूर्ण संख्याएँ हैं।
माना p और q में 1 के अतिरिक्त कोई अभाज्य गुणनखण्ड सार्वनिष्ठ नहीं है।
अब, √5 = \(\frac{p}{q}\)
p = √5q
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, p² = 5q²
p², संख्या 5 से विभाज्य है।
p भी संख्या 5 से विभाज्य है।
अब, p, 5 से विभाज्य है, तब माना कि p = 5r
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, p² = 25r²
परन्तु हमें यह भी ज्ञात है कि p² = 5q²
5q² = 25r² ⇒ q² = 5r²
तब, q², 5 से विभाज्य होगा।
तब, q भी 5 से विभाज्य होगा।
p भी 5 से विभाज्य है और q भी 5 से विभाज्य है।
5, p और q का सार्वनिष्ठ अभाज्य गुणनखण्ड है (जो 1 के अतिरिक्त है)।
यह एक विरोधाभास है क्योंकि हमारी मान्यता के अनुसार p और में (1 के अतिरिक्त) कोई अभाज्य गुणनखण्ड सार्वनिष्ठ नहीं है।
यह संकेत करता है कि हमारी कल्पना “√5 परिमेय संख्या है” असंगत एवं त्रुटिपूर्ण है।
अत: √5 एक अपरिमेय संख्या है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए कि 3 + 2√5 एक अपरिमेय संख्या है।
हल
माना 3 + 2√5 अपरिमेय नहीं, परिमेय संख्या है।
तब, 3 + 2√5 = \(\frac{p}{q}\) होना चाहिए जबकि q ≠ 0 और p तथा q धन पूर्णांक हैं।

√5 भी एक परिमेय संख्या है परन्तु यह सर्वमान्य तथ्य है कि √5 परिमेय नहीं, अपरिमेय संख्या है। तब यहाँ विरोधाभास है।
इस विरोधाभास का कारण हमारी कल्पना “3 + 2√5 को परिमेय मानना” ही है।
इसलिए 3 + 2√5 परिमेय नहीं है।
अत: दी गई संख्या 3 + 2√5 अपरिमेय संख्या है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित संख्याएँ अपरिमेय हैं
(i) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
(ii) 7√5
(iii) 6 + √2
हल
(i) माना दी गई संख्या \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) परिमेय है।
\(\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{p}{q}\) (जहाँ q ≠ 0 और p तथा q धन पूर्णांक हैं)
माना p तथा q में 1 के अतिरिक्त कोई सार्वनिष्ठ अभाज्य गुणनखण्ड नहीं है।
\(\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{p}{q} \quad \Rightarrow \quad \frac{p^{2}}{q^{2}}=\frac{1}{2}\)
⇒ q² = 2p² ……. (1)
q², 2 से विभाज्य है।
q भी 2 से विभाज्य है।
तब, माना q = 2r
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर
q² = 4r² ……… (2)
समी० (1) और (2) से,
2p² = 4r²
⇒ p² = 2r²
p², संख्या 2 से विभाज्य है।
p भी 2 से विभाज्य है।
तब, p तथा व दोनों 2 से विभाज्य हैं।
p तथा 4 में 1 के अतिरिक्त अभाज्य गुणनखण्ड 2 भी सार्वनिष्ठ है जो कि हमारी मान्यता के विपरीत है।
इस विरोधाभास का कारण हमारी मान्यता कि “\(\frac{1}{\sqrt{2}}\) = परिमेय है” का असंगत एवं त्रुटिपूर्ण होना है।
\(\frac{1}{\sqrt{2}}\) परिमेय नहीं है।
अत: \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) अपरिमेय संख्या है।
इति सिद्धम्

(ii) कल्पना कीजिए कि संख्या 7√5 परिमेय है।
तब, 7√5 = \(\frac{p}{q}\) (जहाँ q ≠ 0 और p तथा q धन पूर्णांक हैं)
\(\frac{p}{q}\) = 7√5 या \(\frac{1}{7} \cdot \frac{p}{q}=\sqrt{5}\)
\(\frac{p}{q}\) परिमेय संख्या है तो \(\frac{1}{7} \cdot \frac{p}{q}\) भी परिमेय संख्या होगी।
अब, \(\frac{1}{7} \cdot \frac{p}{q}\) परिमेय संख्या है और \(\frac{1}{7} \cdot \frac{p}{q}\) = √5
तब, √5 भी परिमेय संख्या होनी चाहिए।
परन्तु यह तथ्य सर्वमान्य है कि √5 परिमेय संख्या नहीं है। यहाँ एक विरोधाभास है जिसका कारण हमारी मान्यता कि “संख्या 7√5 परिमेय है” ही है जो असंगत और त्रुटिपूर्ण है।
अत: 7√5 एक अपरिमेय संख्या है।
इति सिद्धम्

(iii) कल्पना कीजिए कि संख्या 6 + √2 परिमेय है।
तब, 6 + √2 = \(\frac{p}{q}\) (जहाँ q ≠ 0 तथा p तथा q धन पूर्णांक हैं)
6 + √2 = \(\frac{p}{q}\)
√2 = \(\frac{p}{q}\) – 6
\(\frac{p}{q}\) परिमेय है; अतः (\(\frac{p}{q}\) – 6) भी परिमेय होगी।
(\(\frac{p}{q}\) – 6) = √2 तथा (\(\frac{p}{q}\) – 6) परिमेय है।
√2 भी परिमेय संख्या है।
परन्तु यह तथ्य कि “√2 परिमेय संख्या है” असंगत एवं त्रुटिपूर्ण तथा अमान्य है जिसके लिए हमारे द्वारा की गई गलत कल्पना ही उत्तरदायी है। संख्या 6 + √2 परिमेय नहीं हो सकती।
अतः संख्या 6 + √2 अपरिमेय होगी।
इति सिद्धम्

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.2 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.2

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प्रश्न 1.
निम्नलिखित संख्याओं को अभाज्य गुणनखण्डों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए-
(i) 140
(ii) 156
(iii) 3825
(iv) 5005
(v) 7429
हल
(i) 140 = 2 × 2 × 5 × 7 = (2)² × 5 × 7
अत: 140 = 2² × 5 × 7

(ii) 156 = 2 × 2 × 3 × 13 = (2)² × 3 × 13
अत: 156 = 2² × 3 × 13

(iii) 3825 = 3 × 3 × 5 × 5 × 17 = (3)² × (5)² × 17
अतः 3825 = 3² × 5² × 17

(iv) 5005 = 5 × 7 × 11 × 13
अतः 5005 = 5 × 7 × 11 × 13

(v) 7429 = 17 × 19 × 23
अतः 7429 = 17 × 19 × 23

प्रश्न 2.
पूर्णांकों के निम्नलिखित युग्मों के महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) और लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.) ज्ञात कीजिए तथा इसकी जाँच कीजिए कि दो संख्याओं का गुणनफल = H.C.F. × L.C.M. है।
(i) 26 और 91
(ii) 510 और 92
(iii) 336 और 54
हल
(i) 26 = 2¹ × 13¹
और 91 = 7¹ × 13¹
26 और 91 के उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखण्डों का (न्यूनतम घातों में) गुणनफल = 13¹ = 13
तथा 26 और 91 के सभी अभाज्य गुणनखण्डों का (अधिकतम घातों में)
गुणनफल = 2¹ × 7¹ × 13¹ = 2 × 7 × 13 = 182
अतः महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) = 13 तथा लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.) = 182
संख्याओं का गुणनफल = 26 × 91 = 2366
तथा H.C.F. × L.C.M. = 13 × 182 = 2366
अत: संख्याओं का गुणनफल = H.C.F. × L.C.M.
इति सिद्धम्

(ii) 92 = 2 × 2 × 23 = 2² × 23¹
और 510 = 2 × 3 × 5 × 17 = 2¹ × 3¹ × 5¹ × 17¹

92 और 510 के उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखण्डों का (न्यूनतम घातों में)
गुणनफल = 2¹ = 2
तथा 92 और 510 के सभी अभाज्य गुणनखण्डों का (अधिकतम घातों में) गुणनफल
= 2² × 3¹ × 5¹ × 17¹ × 23¹
= 23460
अत: महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) = 2
तथा लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.) = 23460
संख्याओं का गुणनफल = 92 × 510 = 46920
तथा H.C.F. × L.C.M. = 2 × 23460 = 46920
अत: संख्याओं का गुणनफल = H.C.F. × L.C.M.
इति सिद्धम्

(iii) 54 = 2 × 3 × 3 × 3 = 2¹ × 3³
और 336 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 7 = 2⁴ × 3¹ × 7¹
तब, दोनों संख्याओं के उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखण्डों का (न्यूनतम घातों में) गुणनफल = 2¹ × 3¹ = 6
तथा दोनों संख्याओं के सभी अभाज्य गुणनखण्डों का (अधिकतम घातों में) गुणनफल
= 2⁴ × 3³ × 7
= 16 × 27 × 7
= 3024
अत: महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) = 6
तथा लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.) = 3024
संख्याओं का गुणनफल = 54 × 336 =18144
तथा H.C.F. × L.C.M. = 6 × 3024 = 18144
अत: संख्याओं का गुणनफल = H.C.F. × L.C.M.
इति सिद्धम्

प्रश्न 3.
अभाज्य गुणनखण्डन विधि द्वारा निम्नलिखित पूर्णांकों के H.C.F. और L.C.M. ज्ञात कीजिए :
(i) 12, 15 और 21
(ii) 17, 23 और 29
(iii) 8, 9 और 25
हल
(i) 12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3¹
15 = 3 × 5 = 3¹ × 5¹
और 21 = 3 × 7 = 3¹ × 7¹
संख्याओं के सार्वनिष्ठ अभाज्य गुणनखण्डों का (न्यूनतम घातों में) गुणनफल = 3¹ = 3
तथा संख्याओं के सभी अभाज्य गुणनखण्डों का (अधिकतम घातों में) गुणनफल
= 2² × 3¹ × 5¹ × 7¹
= 4 × 3 × 5 × 7
= 420
अतः म० स० (H.C.F.) = 3
तथा ल० स० (L.C.M.) = 420

(ii) 17 = 1 × 17 = 1 × 17¹
23 = 1 × 23 = 1 × 23¹
और 29 = 1 × 29 = 1 × 29¹
सभी संख्याओं के सार्वनिष्ठ अभाज्य गुणनखण्डों का (न्यूनतम घातों में) गुणनफल = 1
तथा सभी संख्याओं के सभी अभाज्य गुणनखण्डों का (अधिकतम घातों में) गुणनफल
= 17¹ × 23¹ × 29¹
= 17 × 23 × 29
= 11339
अत: म० स० (H.C.F.) = 1
तथा ल० स० (L.C.M.) = 11339

(iii) 8 = 2 × 2 × 2 = 2³
9 = 3 × 3 = 3²
और 25 = 5 × 5 = 5²
1 के अतिरिक्त सभी संख्याओं का कोई सार्वनिष्ठ अभाज्य गुणनखण्ड नहीं है जिससे म० स० = 1
और ल० स० = 2³ × 3² × 5²
= 8 × 9 × 25
= 1800
अत: म० स० (H.C.F.) = 1
तथा ल० स० (L.C.M.) = 1800

प्रश्न 4.
H.C.F. (306, 657) = 9 दिया है। L.C.M. (306, 657) ज्ञात कीजिए।
हल
दिया है, H.C.F. (306, 657) = 9 ⇒ 306 और 657 का H.C.F. = 9
सूत्र- संख्याओं का गुणनफल = H.C.F. × L.C.M. से,
306 × 657 = 9 × L.C.M.
L.C.M. = \(\frac{306 \times 657}{9}\)
= 306 × 73
= 22338
अत: L.C.M. = 22338

प्रश्न 5.
जाँच कीजिए कि क्या किसी प्राकृत संख्या n के लिए 6ⁿ अंक 0 पर समाप्त हो सकती है?
हल
यदि 6ⁿ (जहाँ, n एक प्राकृत संख्या है) का मान एक ऐसी संख्या है जिसमें इकाई का अंक शून्य है तो 6ⁿ, 5 से विभाज्य होगा।
6ⁿ = (2 × 3)ⁿ जिसका आशय है कि 6ⁿ के अभाज्य गुणनखण्डों में 2 या 3 के अतिरिक्त कोई अन्य अभाज्य गुणनखण्ड नहीं है।
6ⁿ का कोई गुणनखण्ड 5 नहीं हो सकता।
अत: 6ⁿ, अंक शून्य पर समाप्त नहीं हो सकती।

प्रश्न 6.
व्याख्या कीजिए कि 7 × 11 × 13 + 13 और 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 भाज्य संख्याएँ क्यों हैं?
हल
7 × 11 × 13 + 13 = 1001 + 13 = 1014 = 2 × 3 × 13 × 13

दी हुई संख्या (7 × 11 × 13 + 13) को अभाज्य गुणनखण्डों के गुणनफल (2 × 3 × 13 × 13) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
अतः अंकगणित की आधारभूत प्रमेय के अनुसार (7 × 11 × 13 + 13) एक भाज्य संख्या है।
इसी प्रकार, 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 = 5040 + 5 = 5045 = 5 × 1009

दी गई संख्या (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5) को 5 × 1009
अभाज्य गुणनखण्डों के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है।
अत: संख्या (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5) अंकगणित की आधारभूत प्रमेय के अनुसार भाज्य है।

प्रश्न 7.
किसी खेल के मैदान के चारों ओर एक वृत्ताकार पथ है। इस मैदान का एक चक्कर लगाने में सोनिया को 18 मिनट लगते हैं, जबकि इसी मैदान का एक चक्कर लगाने में रवि को 12 मिनट लगते हैं। मान लीजिए कि वे दोनों एक ही स्थान और एक ही समय पर चलना प्रारम्भ करके एक ही दिशा में चलते हैं। कितने समय बाद वे पुनः प्रारम्भिक स्थान पर मिलेंगे?
हल
सोनिया और रवि जिस स्थान से चले थे उसी स्थान पर पुनः मिलने के लिए उन्हें वह समय चाहिए जो 12 मिनट और 18 मिनट दोनों समयों का एक ही गुणज हो और न्यूनतम हो। इसके लिए हमें 12 और 18 का लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.) ज्ञात करना होगा।
12 = 2 × 2 × 3 = (2)² × 3 तथा 18 = 2 × 3 × 3 = 2 × (3)²
दोनों संख्याओं में अभाज्य गुणनखण्ड 2 की अधिकतम घात का अभाज्य गुणनखण्ड = (2)²
और दोनों संख्याओं में अभाज्य गुणनखण्ड 3 की अधिकतम घात का अभाज्य गुणनखण्ड = (3)²
लघत्तम समापवर्त्य (L.C.M.) = (2)² × (3)² = 4 × 9 = 36
अतः वे 36 मिनट बाद पुनः प्रारम्भिक स्थान पर मिलेंगे।

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.1 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.1

Bihar Board Class 10 Maths वास्तविक संख्याएँ Ex 1.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) ज्ञात करने के लिए यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कीजिए :
(i) 135 और 225
(ii) 196 और 38220
(iii) 867 और 255
हल
(i) दी गई संख्याएँ = 135 और 225
225 > 135

Step I. दी गई संख्याओं 225 और 135 के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के प्रयोग से,
225 = (135 × 1) + 90 [∵ शेषफल 90 ≠ 0]
Step II. संख्याओं 135 और 90 के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के प्रयोग से,
135 = (90 × 1) + 45 [∵ शेषफल 45 ≠ 0]
Step III. संख्याओं 90 और 45 के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के प्रयोग से,
90 = (45 × 2) + 0 [∵ शेषफल = 0]
शेषफल शून्य है और भाजक = 45
अत: महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) = 45

(ii) दी गई संख्याएँ = 196 और 38220
38220 > 196

Step I. दी गई संख्याओं 196 व 38220 के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से,
38220 = (196 × 195) + 0 [∵ शेषफल = 0]
शेषफल शून्य है और भाजक = 196
अत: महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) = 196

(iii) दी गई संख्याएँ = 867 और 255
867 > 255

Step I. दी गई संख्याओं 867 और 255 के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से,
867 = (255 × 3) + 102 [∵ शेषफल 102 ≠ 0]
Step II. संख्याओं 255 व 102 के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से,
255 = (102 × 2) + 51 [∵ शेषफल 51 ≠ 0]
Step III. संख्याओं 102 व 51 के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से,
102 = (51 × 2) + 0 [∵ शेषफल = 0]
शेषफल शून्य है और भाजक = 51
अत: महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) = 51

प्रश्न 2.
दर्शाइए कि कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q + 1 या 6q + 3 या 6q + 5 के रूप का होता है, जहाँ कोई पूर्णांक है।
हल
माना a एक विषम धन पूर्णांक है जो 6 से बड़ा है
और b एक धन पूर्णांक इस प्रकार है कि b = 6
तब, यूक्लिड की विभाजन प्रमेयिका से,
a = bq + r
a = 6q + r [∵ b = 6]
तब, r का मान 6 से कम होना चाहिए।
तब, r के सम्भव मान = 0, 1, 2, 3, 4, 5
तब, a = 6q + 0
a = 6q + 1
a = 6q + 2
a = 6q + 3
a = 6q + 4
a = 6q + 5
∵ a एक विषम संख्या है; अत: a = 6q + 0, 6q + 2 और 6q + 4 नहीं हो सकते क्योंकि ये राशियाँ 2 से विभाज्य हैं।
तब, विषम संख्या a = 6q + 1 या 6q + 3 या 6q + 5
अत: एक धनात्मक विषम पूर्णांक 6q + 1 या 6q + 3 या 6q + 5 के रूप का होगा।

प्रश्न 3.
किसी परेड में 616 सदस्यों वाली एक सेना (आर्मी) की टुकड़ी को 32 सदस्यों वाले एक आर्मी बैंड के पीछे मार्च करना है। दोनों समूहों को समान संख्या वाले स्तम्भों में मार्च करना है। उन स्तम्भों की अधिकतम संख्या क्या है जिसमें वे मार्च कर सकते हैं?
हल
स्तम्भों (lines) की अधिकतम संख्या टुकड़ी के सैनिकों की संख्या 616 और बैंड के सदस्यों की संख्या 32 का महत्तम समापवर्तक होगी।
तब, Step I. 616 और 32 के लिए यूक्लिड की विभाजन प्रमेयिका के प्रयोग से,
616 = (32 × 19) + 8 [∵ शेषफल 8 ≠ 0]
तब, Step II. 32 और 8 के लिए यूक्लिड की विभाजन प्रमेयिका से,
32 = (8 × 4) + 0 [∵ शेषफल = 0]
शेषफल शून्य है और भाजक 8 है।
महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) = 8
अतः सेना 8 स्तम्भों में मार्च कर सकती है।

प्रश्न 4.
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि धनात्मक पूर्णाक का वर्ग किसी पूर्णांक m के लिए 3m या 3m + 1 के रूप का होता है।
हल
माना a तथा b ऐसे दो धन पूर्णांक हैं कि a > b और b = 3
तब, यूक्लिड की विभाजन प्रमेयिका से,
a = 3b + r जबकि 0 ≤ r < 3
तब, के सम्भव मान = 0, 1, 2
तब, a = 3b + 0 ⇒ a = 3b + 1 ⇒ a = 3b + 2
तब, a² = (3b + 0)² ⇒ a² = (3b + 1)² ⇒ a² = (3b + 2)²
यदी a² = (3b + 0)² तो a² = 9b² = 3. (3b²)
यदी a² = (3b + 1)² तो a² = 9b² + 6b + 1 = 3(3b² + 2b) + 1
यदी a² = (3b + 2)² तो a² = 9b² + 12b + 4 = (9b² + 12b + 3) + 1 = 3(3b² + 4b + 1) + 1
a² के सभी विस्तारों से स्पष्ट है कि a², 3 से विभाजित होता है और शेषफल शून्य बचता है या 1 बचता है।
a² = 3m + 0 ⇒ a² = 3m + 1
अतः किसी धन पूर्णांक का वर्ग किसी पूर्णांकm के लिए 3m या 3m + 1 के रूप का होता है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m, 9m + 1 या 9m + 8 के रूप का होता है।
हल
माना a तथा b दो ऐसे धन पूर्णांक हैं कि a > b और b = 9
तब, यूक्लिड की विभाजन प्रमेयिका से, a = 9b + r
तब, r का मान 9 से कम होना चाहिए।
तब, r के सम्भव मान = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
तब, a = 9b + 0
a = 9b + 1
a = 9b + 2
a = 9b + 3
a = 9b + 4
a = 9b + 5
a = 9b + 6
a = 9b + 7
a = 9b + 8
जब a = 9b + 0 हो तो a³ = (3b + 0)³ = 27b³ ⇒ a³ = 9(3b³) ……..(1)
जब a = 9b + 1 हो तो a³ = (3b + 1)³
⇒ a³ = (3b)³ + 3.3b.1 (3b + 1) + (1)³
⇒ a³ = (27b³ + 27b² + 9b) + 1
⇒ a³ = 9[3b³ + 3b² + b] + 1 …….. (2)
जब a = 9b + 2 हो तो a³ = (3b + 2)³
⇒ a³ = (3b)³ + 3.3b.2 (3b + 2) + (2)³
⇒ a3 = [27b3 + 54b2 + 36b] + 8
⇒ a³ = [27b³ + 18b (3b + 2)] + 8
⇒ a³ = 9[3b³ + 6b² + 4b] + 8 ……. (3)
तब, समीकरण (1), (2) व (3) को ध्यान से देखिए कि ये 9 से विभाज्य हैं।
तब, इन्हें क्रमश: a³ = 9m,
या a³ = 9m + 1,
या a³ = 9m + 8 लिखा जा सकता है।
अत: किसी धन पूर्णांक का घन 9m, 9m + 1 या 9m + 8 के रूप का होता है।
इति सिद्धम्

Bihar Board Class 6 Maths Solutions Chapter 15 प्रायोगिक ज्यामिति Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 6 Maths Solutions Chapter 15 प्रायोगिक ज्यामिति

Bihar Board Class 6 Maths प्रायोगिक ज्यामिति Ex 15.1

प्रश्न 1.
स्केल और परकार का प्रयोग करते हुए 6.5 सेमी लम्बाई के एक रेखाखंड की रचना कीजिए।
हल :

चरण 1. स्केल की सहायता से एक लाईन खींचें।
चरण 2. परकार को 6.5 सेमी मापकर एक बिन्दु से दूसरे बिन्दु पर काट दें।

प्रश्न 2.
रेखाखंड \(\overline{A B}\) की रचना कीजिए तथा उसकी लम्बाई को बिना मापे \(\overline{A B}\) की लम्बाई के बराबर एक दूसरे रेखाखंड की रचना कीजिए।
हल :

चरण 1. पहले परकार की सहायता से एक बिन्दु पर काटें और दूसरे बिन्दु पर काट कर उसे मिला दें।
चरण 2. फिर परकार को बिना हिलाये उतने ही लंबाई की एक दूसरी रेखा खींचें।

प्रश्न 3.
P बिन्दु l रेखा के बाहर स्थित कोई बिन्दु है। इस बिन्दु से गुजरती हुई एक लंब रेखा की रचना कीजिए।
हल :

प्रश्न 4.
4 सेमी लम्बाई की रेखा के लंब समद्विभाजक की रचना कीजिए।
हल :

प्रश्न 5.
3 सेमी त्रिज्यावाले एक वृत्त की रचना कीजिएं।
हल :

प्रश्न 6.
0 को केन्द्र मानते हुए किसी बिन्दु p से गुजरने वाले कितने वृत्तों की रचना कर सकते हैं।
हल :
एक

प्रश्न 7.
4.5 सेमी लम्बाई की रेखा खंड खींचीए तथा उसे समद्विभाजित कीजिए।
हल :

प्रश्न 8.
चाँद की सहायता से 95° और 145° का कोण बनाइए।
हल :

प्रश्न 9.
परकार की सहायता से 60° और 90° का कोण बनाइए।
हल :

प्रश्न 10.
परकार की सहायता से कोण के समद्विभाजन द्वारा 45° के कोण की रचना कीजिए।
हल :

Bihar Board Class 6 Maths Solutions Chapter 14 सममिति Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 6 Maths Solutions Chapter 14 सममिति

Bihar Board Class 6 Maths सममिति Ex 14.1

प्रश्न 1.
नीचे दी गई आकृति में अंग्रेजी वर्णमाला के एक अक्षर ऊर्ध्वाधर रेखा के साथ दिखाया गया है। इस अक्षर का दी हुई दर्पण रेखा में प्रतिबिंब देखिए। बताइए कौन-सा अक्षर परावर्तन के बाद समान रहता है (जैसे-कौन-सा अक्षर प्रतिबिंब में समान दिखाई देता है) कौन-सा नहीं।

अब इसके लिए प्रयास कीजिए।

उत्तर
अक्षर A समान चिह्न दिखाई पर B समान दिखाई नहीं देता है।

यहाँ अक्षर O, M, H, T, V और X समान दिखाई देते हैं परन्तु N, P, L, S समान नहीं दिखाई देता हैं।

प्रश्न 2.
निम्न आकृतियों में सममित रेखा खींचिए।

हल:

प्रश्न 3.
दी गई सममित आकृतियों को पूरा कीजिए।

हल:

दिये गये चित्रों को पूरा किया गया।

प्रश्न 4.
इन सबको देखें।

इनमें से किनमें सममित रेखा खींची जा सकती है?
हल :
ऊपर दिये गये अंग्रेजी वर्णमाला के इन सभी अक्षरों में सममित रेखा खींची जा सकती है।
परन्तु हिन्दी वर्णमाला के ऊपर दिए गए अक्षरों में से किसी में भी सममित रेखा नहीं खींची जा सकती है।

Bihar Board Class 6 Maths Solutions Chapter 13 क्षेत्रमिति : परिमिति एवं क्षेत्रफल Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 6 Maths Solutions Chapter 13 क्षेत्रमिति : परिमिति एवं क्षेत्रफल

Bihar Board Class 6 Maths क्षेत्रमिति : परिमिति एवं क्षेत्रफल Ex 13.1

प्रश्न 1.
नीचे दी गई आकृतियों की परिमाप ज्ञात करें।

हल :
चित्र (a) त्रिभुज का परिमाप = 5 सेमी + 5 सेमी + 4 सेमी = 14 सेमी
चित्र (b) आयत का परिमाप = 2 × (6 + 2) सेमी = 2 × 8 = 16 सेमी
चित्र (c) वर्ग का परिमाप = 4 × भुजा = 4 × 11 सेमी = 44 सेमी
चित्र (d) समषर्भुज का परिमाप = 6 × भुजा = 2 × 6 सेमी = 12 रोमी

प्रश्न 2.
एक आयताकार जमीन का टुकड़ा 20.50 मीटर लम्बा और 16.75 मीटर चौड़ा है। उसके चारों ओर चहारदीवारी बनी है। चहारदीवारी की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल :
एक आयताकार जमीन के टुकड़े की लम्बाई = 20.50 मीटर
एक आयताकार जमीन के टुकड़े की चौड़ाई = 16.75 मीटर
उसके चारों ओर चहारदीवारी की लम्बाई = 2 × (20.50 + 16.75)
= 2 × 37.25
= 74.50 मीटर

प्रश्न 3.
एक धावक 40 मीटर लम्बे और 20 मीटर चौड़े एक आयताकार मैदान के चारों तरफ 8 चक्कर लगाता है। ज्ञात कीजिए कि धावक ने कितनी दूरी तय की है?
हल :
एक आयताकार मैदान की लम्बाई = 40 मीटर
एक आयताकार मैदान की चौड़ाई = 20 मीटर
आयताकार मैदान का परिमाप = 2 × (40 + 20) मीटर
= 2 × 60 मीटर
= 120 मीटर आयताकार मैदान के चारों ओर का 1 चक्कर = आयताकार मैदान का परिमाप = 120 मीटर
आयताकार मैंदान के चारों ओर 8 चक्कर लगाने पर धावक द्वारा तय की गई दूरी = 120 × 8 = 960 मीटर

प्रश्न 4.
एक समद्विबाहु त्रिभुज जिसकी प्रत्येक समान भुजा 6 सेमी को हो तथा तीसरी भुजा 8 सेमी हो का परिमाप ज्ञात कीजिए।
हल :
समद्विबाहु त्रिभुज की प्रत्येक समान भुजा की लम्बाई = 6 सेमी
तथा तीसरी भुजा की लम्बाई = 8 सेमी
समद्विबाहु त्रिभुज की परिमाप = (6 + 6 + 8) = 20 सेमी

प्रश्न 5.
एक वर्ग की भुजा 15 सेमी है, इसका परिमाप ज्ञात कीजिए।
हल :
वर्ग की एक भुजा = 15 सेमी
वर्ग का परिमाप = 4 × भुजा = 4 × 15 सेमी = 60 सेमी

प्रश्न 6.
एक समषष्टभुज का परिमाप 66 सेमी है। प्रत्येक भुजा की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल :
समषष्टभुज का परिमाप = 66 सेमी
समपष्टभुज का परिमाप = 6 × भुजा
66 सेमी = 6 × भुजा
अत: प्रत्येक भुजा की लम्बाई = 11 सेमी

प्रश्न 7.
यदि धागे का टुकड़ा 24 सेमी लम्बाई का है। प्रत्येक भुजा की लम्बाई क्या होगी, यदि धागे से बनाया जाता है।
(a) एक वर्ग
(b) एक समबाहु त्रिभुज
(c) सम समषष्टभुज
हल :
(a) एक धागे की टुकड़ा की लम्बाई 24 सेमी है इससे वर्ग बनाया गया है।
अतः वर्ग का परिमाप = 24 सेमी
वर्ग का परिमाप = 24 सेमी
24 सेमी = 4 × भुजा

(b) धागे के टुकड़े को लम्बाई 24 सेमी है जिसे एक समबाहु त्रिभुज बनाया गया है।
अतः समबाहु त्रिभुज का परिमाप = 24 सेमी
समबाहु त्रिभुज का परिमाप = 3 × भुजा

अतः समबाहु त्रिभुज की प्रत्येक भुजा की लम्बाई = 8 सेमी
(c) एक समषष्टभुज
धागे के टुकड़े की लम्बाई 24 सेमी है जिससे एक समभुज त्रिभुज बनाया गया है।
अतः समप्टभुज का परिमाप = 24 सेमी
समषट्भुज का परिणाम = 6 × भुजा
24 सेमी = 6 × भुजा

अतः समषट्भुज की प्रत्येक भुजा = 4 सेमी

प्रश्न 8.
80 मीटर भुजा वाले वर्गाकार बगीचे के चारों ओर बाड़ लगाने का व्यय 25 रुपये प्रति मीटर की दर से ज्ञात कीजिए।
हल :
वर्गाकार भुजा की परिमाप = 4 × गुजा = 4 × 80 = 320 मीटर
1 मीटर बाड़ लगाने में 25 रु0 खर्च आता है।
320 मीटर बाड़ लगाने में = 25 × 320 = 8000 रु खर्च आएगा।

प्रश्न 9.
राधा 60 मीटर लम्बाई और 45 मीटर चौलई वाले आयत के चारों ओर दौकी है और सीमा 75 मीटर मुजा वाले वर्ग के चारों ओर दौड़ती है। कौन कम दूरी तय करती है?
उत्तर
राधा आयत के चारो ओर दौड़ती है।
आयत का परिमाप = 2 (ल + चौ)
= 2 × (60 + 45)
= 2 × 105
= 210 मी
सीमा वर्ग के चारों ओर दौड़ती है।
वर्ग का परिमाप = 4 × भुजा = 4 × 75 = 300 मी०
राधा कम दूरी तय करती है।

Bihar Board Class 6 Maths क्षेत्रमिति : परिमिति एवं क्षेत्रफल Ex 13.2

प्रश्न 1.
उन आयतों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिनकी भुजाएँ नीचे दी गई है :
(a) लम्बाई 3.5 सेमी और चौड़ाई 2.5 सेमी
(b) लम्बाई 12 सेमी और चौड़ाई 6 सेमी
(c) लम्बाई 7 मीटर और चौड़ाई 70 सेगी
(d) लम्बाई 3 किलोमीटर और चौड़ाई 800 मीटर
उत्तर
(a) लम्बाई 3.5 सेमी और चौड़ाई 2.5 सेमी
आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
= 3.5 सेमी × 2.5 सेमी
= 8.75 सेमी²

(b) लम्बाई 12 सेमी और चौड़ाई 6 सेमी
आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
= 12 सेमी × 6 सेमी
= 72 सेमी²

(c) लम्बाई 7 मीटर और चौड़ाई 70 सेगी
आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
= 7 मी × 70 सेमी
= 0.7 सेमी × 70 सेमी०
= 4.90 सेमी²

(d) लम्बाई 3 किलोमीटर और चौड़ाई 800 मीटर
आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
= 3 कि मी × 800 मीटर
= 3000 मी × 800 मी
= 2400000 मी²

प्रश्न 2.
उन वर्गों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिनकी भुजाएँ निम्नलिखित है :
(a) 6 सेमी
(b) 9 सेमी
(c) 4 सेमी
हल :
(a) वर्ग का भुजा = 6 सेमी
वर्ग का क्षेत्रफल = (6 सेमी)² = 36 वर्ग सेमी
(b) वर्ग का भुजा = 9 सेमी
वर्ग का क्षेत्रफल = (9 सेमी)² = 81 सेमी² = 81 वर्ग सेमी
(c) वर्ग का भुजा = 4 सेमी
वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा)² = (4 मीटर)² = 16 वर्ग मीटर

प्रश्न 3.
एक आयताकार बगीचे का क्षेत्रफल 144 वर्ग मीटर है। यदि इसकी चौड़ाई 24 मीटर है तो बगीचे की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल :
आयताकार बगीचे का क्षेत्रफल = 144 वर्गमीटर
इसकी चौड़ाई = 12 मीटर
तब बगीचे की लम्बाई = ?
आयताकार बगीचे का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
144 वर्ग मीटर = लम्बाई × 24 मीटर

अतः बगीचे की लम्बाई = 12 मीटर है।

प्रश्न 4.
एक 10 सेमी × 12 सेमी आयताकार कागज के टुकड़े से 2 वर्ग सेमी के कितने टुकड़े काटे जा सकते हैं? प्रयोग करके जाँचिए।
हल :
आयताकार कागज का क्षेत्रफल = 10 सेमी × 12 सेमी
एक टुकड़े का क्षेत्रफल = 2 वर्ग सेमी

अत: टुकड़ों की संख्या = 60

प्रश्न 5.
एक कमरे के आयतकार फर्श की लम्बाई 6 मीटर 50 सेमी एवं चौड़ाई 2 मीटर 50 सेमी है। इस फर्श पर 10 सेमी × 5 सेमी के टाइल्स बिछाने का खर्च ज्ञात कीजिए जबकि एक टाइल्स की कीमत 5 रु. है।
हल :
एक कमरे के आयताकार फर्श की लम्बाई = 6 मीटर 50 सेमी = 650 सेमी
और चौड़ाई = 2 मीटर 50 सेमी = 250 सेमी
आयताकार फर्श का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई = 650 सेमी × 250 सेमी
एक टाइल्स का क्षेत्रफल = 10 सेमी × 5 सेमी

एक टाइल्स की कीमत 5 रु० है
650 × 5 टाइल्स की कीमत 650 × 5 × 5 = 16250 रु०

प्रश्न 6.
एक टेबुल के ऊपरी आयताकार तल की लम्बाई 2 मीटर और चौड़ाई 0.5 मीटर है। इसे पूरी तरह सनमाइका से ढंकने का खर्च रूपये में ज्ञात कीजिए जबकि सनमाइका की कीमत 180 रु० प्रति वर्ग मीटर है।
हल :
टेबुल के ऊपरी आयताकार तल की लम्वाई = 2 मीटर
और चौड़ाई = 0.5 मीटर
आयताकार तल का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
= 2 मीटर × 0.5 मीटर
= 1.0 वर्ग मीटर
टेबुल के ऊपरी सतह को सनमाइका से ढंकने का खर्च 1 वर्ग मीटर, के लिए 180 रु० प्रति वर्ग मीटर आएगा।

प्रश्न 7.
एक दीवार की लंबाई 30 मीटर और ऊँचाई 2 मीटर है। दीवार की पुताई कराने का खर्च ज्ञात कीजिए जबकि पुताई का खर्च 50 रु० प्रति वर्गमीटर है।
हल :
कमरे की प्रत्येक दीवार की लम्बाई = 30 मीटर
और ऊँचाई = 2 मीटर
तब क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
= 30 मीटर × 2 मीटर
= 60 वर्ग मीटर
1 वर्ग ‘गीटर दीवार पुतवाने का खर्च 50 रुपये है।
60 वर्ग सेमी दीवार पुतवाने का खर्च = 60 × 50 = 300 रुपये है।

प्रश्न 8.
6.5 मीटर लम्बाई एवं 3.8 मीटर चौड़ाई वाले ओयताकार एक भुखंड पर 1.5 मीटर भुजा वाली वर्गाकार फूलों की 2 क्यारियाँ बनायी जाती है। भुखण्ड के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
आयताकार भूखण्ड की लम्बाई = 6.5 मीटर और चौड़ाई = 3.8 मीटर
आयताकार भूखण्ड का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई = 6.5 मीटर × 3.8 मीटर
1.5 मीटर भुजा एक वर्गाकार फूल की क्यारी का क्षेत्रफल = (1.5 मीटर)² = 1.5 × 1.5 वर्ग मीटर
इसी तरह के 2 वर्गाकार क्यारियों का क्षेत्रफल = 2 × 1.5 × 1.5 वर्ग मीटर
अब, शेष भूखण्ड का क्षेत्रफल = पूरे आयताकार भूखण्ड का क्षेत्रफल – 2 × वर्गाकार क्यारियों का क्षेत्रफल
= 6.5 × 3.8 वर्ग मीटर – 2 × 1.5 × 1.5 वर्ग मीटर
= 24.70 वर्ग मीटर – 4.50 वर्ग मीटर
= 20.20 वर्ग मीटर
इस प्रकार, शेष भूखण्ड का क्षेत्रफल = 20.20 वर्गमीटर

प्रश्न 9.
एक टाइल की माप 6 सेमी × 5 सेमी हैं तब पता करें कि दिये हुए क्षेत्रों को पूर्णतया ढंकने के लिए कितनी टाइलों की आवश्यकता होगी। क्षेत्रों की माप निम्नानुसार है:
(a) 150 सेमी और 120 सेमी है।
(b) 145 सेमी और 30 सेमी है।
हल :
(a) एक टाइल की माप = 6 सेमी × 5 सेमी
एक क्षेत्र का क्षेत्रफल जिसकी लम्बाई और चौड़ाई क्रमशः 150 सेमी० और 120 सेमी० है। = 150 सेमी × 120 सेमी
ऐसे क्षेत्रों की ढंकने के लिए टाइलों की संख्या

अतः टाइलों की संख्या = 600
(b) एक टाइल की माप = 6 सेमी × 5 सेमी
एक क्षेत्र का क्षेत्रफल जिसकी लम्बाई और चौड़ाई क्रमशः 145 सेमी० और 30 सेमी० है। = 145 सेमी × 30 सेमी
ऐसे क्षेत्रों की ढंकने के लिए टाइलों की संख्या

अतः टाइलों की संख्या = 145

Bihar Board Class 6 Maths Solutions Chapter 10 अनुपात और समानुपात Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 6 Maths Solutions Chapter 10 अनुपात और समानुपात

Bihar Board Class 6 Maths अनुपात और समानुपात Ex 10.1

प्रश्न 1.
एक कक्षा में 20 लड़कियाँ और 15 लड़के हैं। अनुपात ज्ञात कीजिए :
(a) लड़कियों की संख्या का लड़कों की संख्या से
(b) लड़कियों की संख्या का कुल विद्यार्थियों की संख्या से
हल :
एक कक्षा में लड़कियों की संख्या = 20
लड़कों की संख्या = 15
(a) लड़कियों की संख्या का लड़कों की संख्या से अनुपात = 20 : 15 = 4 : 3
(b) कक्षा में कुल विद्यार्थियों की संख्या = लड़कों की संख्या + लड़कियों की संख्या
= 20 + 15
= 35
अब लड़कियों की संख्या का कुल विद्यार्थियों की संख्या से अनुपात = 20 : 35 = 4 : 7

प्रश्न 2.
30 विद्यार्थियों की कक्षा में 6 फुटबॉल, 12 क्रिकेट और बाकी टेनिस पसंद करते हैं। अनुपात ज्ञात कीजिए।
(a) फुटबाल पसंद करने वालों की संख्या का टेनिस पसंद करने वालों की संख्या से।
(b) क्रिकेट प्रेमियों का कुल विद्यार्थियों की संख्या से।
हल :
कक्षा में कुल विद्यार्थियों की संख्या = 30
फुटबॉल खेलने वालों विद्यार्थियों की संख्या = 6
क्रिकेट पसंद करने वालों विद्यार्थियों की संख्या = 12
शेष विद्यार्थियों जो टेनिस पसंद करते हैं की संख्या = 30 – (6 + 12) = 30 – 18 = 12
(a) फुटबॉल पसंद करने वालो की संख्या का टेनिस पसंद करने वालों की संख्या से = 6 : 12 = 1 : 2
(b) क्रिकेट प्रेमियों का कुल विद्यार्थियों की संख्या से = 12 : 30 = 2 : 5

प्रश्न 3.
मारगरेट एक कारखाने में काम करती है और 1910 रु. मासिक वेतन लेती है। वह अपनी आय में से 370 रु. प्रति मास बचत करती है तो अनुपात ज्ञात कीजिए-
(a) उसकी बचत और उसकी आय का।
(b) उसकी आय और उसके व्यय का।
उत्तर
(a) मारगर की मासिक वेतन = 19100 रु
मारगरेट की मासिक वचत = 370 रु.
अनुपात = \(\frac{370}{1910}=\frac{37}{191}\)
अनुपात = 37 : 191
(b) मारगरेट की मासिक आय = 1910 रु.
मारगरेट की मासिक व्यय = 1910 – 370 = 1540 रु.
अनुपात = \(\frac{1910}{1540}=\frac{191}{154}\)
अनुपात = 191 : 154

प्रश्न 4.
राम और रहीम ने एक घंटे में क्रमश: 9 किमी और 12 किमी की दूरी तय की । राम और रहीम की चालों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
उत्तर
राम ने एक घंटे में 9 किमी की दूरी तय की। अर्थात् राम की चाल 9 किमी प्रति घंटा है।
रहीम ने एक घंटे में 12 किमी की दूरी तय की। अर्थात् रहीम की चाल 12 किमी प्रति घंटा है।
तब राम और रहीम की चालों का अनुपात = 9 : 12 = 3 : 4

प्रश्न 5.
रिक्त स्थानों को भरिए-

(क्या ये तुल्य अनुपात है?)
हल :

प्रश्न 6.
निम्न में से प्रत्येक का अनुपात ज्ञात कीजिए।
(a) 81 का 108 से
हल :
81 : 108 = 3 : 4

(b) 98 का 63 से
हल :
98 का 63 से = 98 : 63 = 14 : 9

(c) 3 किमी का 11 किमी से
हल :
3 किमी का 11 किमी से = 3 : 11

(d) 30 मिनट का 45 मिनट से
हल :
30 मिनट का 45 मिनट से = 30 : 45 = 2 : 3

प्रश्न 7.
निम्न में प्रत्येक का अनुपात ज्ञात कीजिए :
(a) 30 मिनट का 15 घंटे
(b) 40 सेमी का 1.5 मी
(c) 55 पैसे का 1 रुपया
(d) 500 मिली का 2 लीटर
हल :
(a) 30 मिनट का 1.5 घंटे
1.5 घंटे = \(\frac{15}{10} \times\) 60 मिनट = 90 मिनट
30 मिनट का 1.5 घंटे = 30 मिनट का 90 मिनट = 30 : 90 = 1 : 3
(b) 40 सेमी का 1.5 मी
1.5 मी. = \(\frac{15}{10} \times\) 100 सेमी = 150 मिनट
40 सेमी. का 1.5 मी = 40 सेमी का 150 मिनट = 40 : 150 = 4 : 15
(c) 55 पैसे का 1 रुपया
1 रु० = 1 × 100 पैसा = 100 पैसा
55 पैसे का 1 रुपया = 55 पैसे का 100 रुपया = 55 : 100 = 11 : 20
(d) 500 मिली का 2 लीटर
2 लीटर = 2 × 1000 लीटर = 2000 लीटर
500 मिली का 2 लीटर = 500 मिली का 2000 लीटर = 500 : 2000 = 1 : 4

प्रश्न 8.
एक वर्ष में सीमा 1,50,000 रु० कमाती है और 50,000 रु० की बचत करती है इसका अनुपात ज्ञात कीजिए।
(a) सीमा द्वारा किया गया व्यय और उसकी बचत का
(b) सीमा द्वारा की गई बचत और उसके द्वारा किए गए ख़र्च का
हल :
एक वर्ष में सीमा 1,50,000 रु० कमाती है और बचत 50,000 रु० करती है तो खर्च = 1,50,000 – 50,000 = 1,00,000 रु० करती है
एक वर्ष में कमाए गए तथा बचत किए गए रु० का अनुपात = 1,50,000 : 50,000 = 3 : 1
(a) सीमा द्वारा किया गया व्यय और उसकी बचत का अनुपात = 1,00,000 : 50,000 = 2 : 1
(b) सीमा द्वारा की गई बचत और उसके द्वारा किए गए खर्च का = 50,000 : 1,00,000 = 1 : 2

प्रश्न 9.
एक दर्जन पेन का मूल्य 180 रु० है और बॉल पेन का मूल्य 56 पेन है। पेन के मूल्य का बॉल पेन के मूल्य से अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल :
एक दर्जन पेन का मूल्य = 180 रु०.
और बॉल पेन का मूल्य = 56 रु०
पेन के मूल्य का बॉल पेन के मूल्य से अनुपात = 180 : 56 = 45 : 14

प्रश्न 10.
कथन को देखें : एक हॉल की चौड़ाई और लंबाई का अनुपात 2 : 5 है निम्न सारणी को पूरा कीजिए जो कि कुछ संभव चौड़ाई व लंबाई को दिखाती है।

हल :
हौल की लंबाई और चौड़ाई का अनुपात = 2 : 5

प्रश्न 11.
शीला और संगीता के बीच 20 पेनों को 3 : 2 में बाँटिए।
हल :
कुल पेन = 3 + 2 = 5
अनुपात 5 है तब कुल पेन 20
अनुपात 1 है तब कुल पेन \(\frac{20}{5}\)
अनुपात 3 है तब कुल पेन = \(\frac{20}{5}\) × 3 = 12
जब अनुपात 2 है तब कुल पेन = \(\frac{20}{5}\) × 2 = 8
शीला और संगीता के बीच 20 पेनों को 3 : 2 में बाँटा गया 12 : 8 के अनुपात में

प्रश्न 12.
पिता की वर्तमान आयु 42 वर्ष और उसके पुत्र की 14 वर्ष है। अनुपात ज्ञात कीजिए :
(a) पिता की वर्तमान आयु का पुत्र की वर्तमान आयु से।
(b) पिता की आयु का पुत्र की आयु से जब पुत्र 12 वर्ष का था।
(c) 10 वर्ष बाद की पिता की आयु का 10 वर्ष बाद की पुत्र की आयु से।
(d) पिता की आयु का पुत्र की आयु से जब पिता 30 वर्ष का था।
हल :
(a) पिता की वर्तमान आयु का पुत्र की वर्तमान आयु का अनुपात = 42 : 14 = 3 : 1
(b) जब पुत्र की आयु 12 वर्ष अर्थात् (14 – 2) वर्ष है तब पिता की आयु (42 – 2) वर्ष होगी।
पिता की आयु का पुत्र की आयु का वर्तमान जब पुत्र की आयु 12 वर्ष हो का अनुपात = 40 : 12 = 10 : 3
(c) 10 वर्ष की पिता की आयु = 42 + 10 = 52
10 वर्ष बाद की पुत्र की आयु = 14 + 10 = 24
तब 10 वर्ष बाद पिता की आयु का 10 वर्ष बाद की पुत्र की आयु से = 52 : 24 = 13 : 6
(d) पिता की आयु का पुत्र की आयु से जब पिता 30 वर्ष का था का अनुपात = 30 : (14 – 12) = 30 : 2 = 15 : 1

प्रश्न 13.
एक विद्यालय की छठवीं कक्षा में कुल छात्रों की संख्या 120 है| उसमें से 40 छात्र ‘अ’. वर्ग में 35 छात्र ‘ब’ वर्ग में और शेष ‘स’ वर्ग में पढ़ते हैं। अनुपात ज्ञात कीजिए-
(i) कुल छात्रों का वर्ग ‘अ’ में पढ़ने वाले छात्रों के साथ।
(ii) कुल छात्रों का वर्ग ‘स’ में पढ़ने वाले छात्रों के साथ।
(iii) ‘ब’ वर्ग और ‘अ’ वर्ग के छात्रों का अनुपात।
(iv) ‘ब’ वर्ग के छात्रों का कुल छात्रों के साथ अनुपात।
हल :
(i) कुल छात्रों का वर्ग ‘अ’ में पढ़ने वाले छात्रों के साथ।
कुल छात्रों की संख्या = 120
‘अ’ में पढ़ने वाले छात्र की संख्या = 40
अनुपात = \(\frac{120}{40}=\frac{3}{1}\) = 3 : 1
(ii) कुल छात्रों का वर्ग ‘स’ में पढ़ने वाले छात्रों के साथ।
कुल छात्रों की संख्या = 120
वर्ग ‘स’ में पढ़ने वाले छात्रों की संख्या = 45
अनुपात = \(\frac{120}{45}=\frac{8}{3}\) = 8 : 3
(iii) ‘ब’ वर्ग और ‘अ’ वर्ग के छात्रों का अनुपात।
वर्ग ‘ब’ में पढ़ने वाले छात्रों की संख्या = 35
वर्ग ‘अ’ में पढ़ने वाले छात्रों की संख्या = 40
अनुपात = \(\frac{35}{40}=\frac{7}{8}\) = 7 : 8
(iv) ‘ब’ वर्ग के छात्रों का कुल छात्रों के साथ अनुपात।
वर्ग ‘ब’ के छात्रों की संख्या = 35
कुल छात्रों की संख्या = 120
अनुपात = \(\frac{35}{120}=\frac{7}{24}\) = 7 : 24

Bihar Board Class 6 Maths अनुपात और समानुपात Ex 10.2

प्रश्न 1.
क्या निम्न राशियाँ समानुपात में है।
(a) 15, 45, 40, 120
(b) 33, 121, 9, 96
(c) 24, 28, 30, 48
(d) 32, 48, 70, 210
(e) 4, 6, 8, 12
(f) 6, 8, 12, 6
हल :

प्रश्न 2.
निम्न में से प्रत्येक कथनों के आगे सत्य या असत्य लिखिए :
(a) 16 : 24 :: 20 : 30
(b) 21 : 6 :: 35 : 10
(c) 12 : 18 :: 28 : 12
(d) 8 : 9 :: 24 : 27
(e) 5.2 : 3.9 :: 3 : 4
(f) 0.9 : 0.36 :: 10 : 4
हल :

प्रश्न 3.
क्या निम्न कथन सही है? गलत को सही बताइए।
(a) 40 व्यक्ति : 200 व्यक्ति = 15 रु० : 75 रु०
(b) 7.5 लि० : 15 लि० = 5 किग्रा : 10 किग्रा
(c) 99 किग्रा : 45 किग्रा = 44 रु० : 20 रु०
(d) 32 मी० : 64 मी० = 6 सेकंड : 12 सेकंड
(e) 45 किमी० : 60 किमी = 12 घंटे : 15 घंटे
हल :

प्रश्न 4.
जाँचिए कि क्या निम्न अनुपात, समानुपात बनाते हैं। यदि समानुपात बनता हो तो मध्य मद और चरम पर भी लिखिए।
(a) 25 सेमी० 1 मी० और 40 रु० : 160 रु०
(b) 39 लि० : 65 लि० और 6 बोतल : 10 बोतल
(c) 2 किग्रा : 80 किग्रा और 25 ग्रा० : 625 ग्रा
(d) 200 मिलि : 2.5 लि और 4 रु० : 50 रु०
हल :
(a) 1 मी० = 100 सेमी
25 सेमी० : 1 मी० = 25 सेमी० : 100 सेमी०
= \(\frac{25}{100}=\frac{1}{4}\)
= 1 : 4
तथा 40 रु० : 1600 रु० = 40 रु० : 160 रु०
= \(\frac{40}{160}=\frac{1}{4}\)
= 1 : 4
अतः 25 सेमी० : 1 मी० और 40 रु० : 160 रु० = 25 सेमी० : 1 मी० :: 40 रु० : 160 रु०

(b) 39 लिं० : 65 लि० = \(\frac{39}{65}=\frac{3}{5}\) = 3 : 5
6 बोतल : 10 बोतल = \(\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\) = 3 : 5
अतः ये अनुपात। समानुपात बनाते हैं।
अतः 39 लि० : 65 लि. और 6 बोतल : 10 बोतल = 39 लि० : 65 लि० :: 6 बोतल : 10 बोतल

(c) 2 किग्रा : 80 किग्रा = \(\frac{2}{80}=\frac{1}{40}\) = 1 : 40
25 ग्रा० : 625 ग्रा = \(\frac{25}{625}=\frac{1}{25}\) = 1 : 25
अतः ये अनुपात समानुपात नहीं बनाते हैं।

(d) 200 मिलि : 2.5 लि और 450 : 50 रु०
2.5 लि० = 2.5 × 1000 = 2500 मिलि
200 मिलि. : 2.5 लि = 200 मिलि : 2500 मिलि
= \(\frac{200}{2500}=\frac{2}{25}\)
= 2 : 25
4 रु० : 50 रु० = \(\frac{4}{50}=\frac{2}{25}\) = 2 : 25
अतः ये अनुपात, समानुपात बनाते हैं।
200 मिलि : 2.5 लि और 4 रु० : 50 रु० = 200 मिलि: 2.5 लि :: 4 रु० : 50 रु०

प्रश्न 5.
समानुपाती के गुण का उपयोग करते हुए रिक्त स्थान में भरी जाने वाली संख्या ज्ञात कीजिए।
(i) 15 : 15 :: ____ : 6
(ii) 22 : 10 :: 11 : ____
(iii) ___ : 12 :: 96 : 36
(iv) 19 : 95 :: 5 : ____
(v) 12 : ____ :: 14 : 21
हल :

प्रश्न 6.
एक विद्यालय में छात्र और छात्राओं का अनुपात 2 : 1 है। अब यदि कुल विद्यार्थियों की संख्या 510 है तो छात्राओं की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल :
प्रश्न के अनुसार-
अनुपात के दो हिस्से 2 और 1 है।
अतः दोनों हिस्सों का योग = 2 + 1 = 3
इसका अर्थ है कि छात्राओं की सं. में से 1 है तो 1 विद्यार्थियों की संख्या में \(\frac{1}{3}\) छात्रा है।
510 विद्यार्थियों की संख्या में \(\frac{1}{3}\) × 170 छात्रा है = 170 छात्राएँ हैं।
छात्र की सं. 3 में से 2 है।
1 विद्यार्थियों की संख्या में \(\frac{2}{3}\) छात्र हैं।
510 विद्यार्थियों की संख्या में \(\frac{2}{3}\) × 510 = 340 छात्र हैं।

प्रश्न 7.
एक परिवार की मासिक आय और व्यय का अनुपात 6 : 4 है। यदि परिवार की आय 6000 रुपया है तो परिवार का मासिक आय होगा?
हल :
यहाँ आय : व्यय = 6 : 4 है।
अत: 6 : 4 = 6000 : व्यय
व्यय = \(\frac{4 \times 6000}{6}\) = 4000 रु०

Bihar Board Class 6 Maths Solutions Chapter 12 बीजगणित Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 6 Maths Solutions Chapter 12 बीजगणित

Bihar Board Class 6 Maths बीजगणित Ex 12.1

प्रश्न 1.
तीलियों से निम्न प्रतिरूप बनाने के लिए आवश्यक तीलियों की संख्या के लिए नियम ज्ञात कीजिए। नियम लिखने के लिए एक चर का प्रयोग कीजिए :

हल :
(a) U के लिए:
उपरोक्त आकृति से स्पष्ट है कि एक U बनाने में 3 माचिस की तीलियों का प्रयोग किया गया है।
अतः नियम होगा :
वांछित माचिस की तीलियों की संख्या = 3n, जहाँ n का मान 1, 2, 3….. ले सकते हैं।
(b) Z के लिए:
उपरोक्त आकृति से स्पष्ट है कि एक Z बनाने में 3 माचिस की तीलियों का प्रयोग किया गया है।
अत: नियम होगा :
वांछित माचिस की तीलियों की संख्या = 3n, जहाँ n का मान 1, 2, 3….. ले सकते हैं।
(c) B के लिए :
उपरोक्त आकृति से स्पष्ट है कि एक B बनाने में 5 माचिस की तीलियों का प्रयोग किया गया है।
अतः नियम होगा :
वांछित माचिस की तीलियों की संख्या = 5n, जहाँ n का मान 1, 2, 3,…..ले सकते हैं।
(d) S के लिए :
उपरोक्त आकृति से स्पष्ट है कि एक S बनाने में 5 माचिस की तीलियों का प्रयोग किया गया है।
अतः नियम होगा :
वांछित माचिस की तीलियों की संख्या = 5n, जहाँ n का मान 1, 2, 3….. ले सकते हैं।
(e) A के लिए:
उपरोक्त आकृति से स्पष्ट है कि एक A बनाने में 6 माचिस की तीलियों का प्रयोग किया गया है।
अतः नियम होगा :
वांछित माचिस की तीलियों की संख्या = 6n, जहाँ n का मान 1, 2, 3….. ले सकते हैं।

प्रश्न 2.
गणतंत्र दिवस के अवसर पर बच्चे मुख्य अतिथि के सम्मुख सामूहिक ड्रिल का प्रदर्शन कर रहे हैं। एक पंक्ति में 10 बच्चे हैं। यदि पंक्तियों की संख्या ज्ञात हो, तो बच्चों की संख्या प्राप्त करने के लिए क्या नियम है? (पंक्तियों की संख्या के लिए a का प्रयोग कीजिए)।
हल :
यदि पंक्तियों की संख्या मानलिया जाए तथा एक पंक्ति में बच्चों की संख्या 10 हो तो तो बच्चों की संख्या प्राप्त करने के लिए नियम 10a होगा।

प्रश्न 3.
एक टोकरी में 60 केले हैं आप टोकरियों की संख्या के पदों में केले की कुल संख्या को किस प्रकार लिखेंगे? टोकरियों की संख्या के लिए b का प्रयोग कीजिए-
हल :
एक टोकरी में केले की संख्या 60 है।
और मान लिया कि टोकरियों की संख्या b है।
तब टोकरियों की संख्या के पदों में केले की कुल संख्या 60 × b = 60b होगी।

प्रश्न 4.
लोकेश अपनी कक्षा के प्रत्येक विद्यार्थी को जन्म दिन के उपलक्ष्य पर 2 टॉफियाँ बाँटता है। विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात होने पर क्या आप कुल टॉफियों की संख्या बता सकते हैं? विद्यार्थियों की संख्या के लिए m का प्रयोग कीजिए।
हल :
प्रत्येक विद्यार्थी को 2 टॉफी दिया जाता है।
माना कि विद्यार्थियों की संख्या m हो, तब,
विद्यार्थियों की संख्या m होने पर आवश्यक टॉफियों की संख्या 2 × m = 2m होगी।

प्रश्न 5.
सीमा गुड़िया की बड़ी बहन है। सीमा गुड़िया से 5 वर्ष बड़ी है
(a) क्या आप सीमा की आयु :गुड़िया की आयु के पदों में लिख सकते हैं?
(b) क्या आप गुड़िया की आयु सीमा की आयु के पदों में लिख सकते हैं?
हल :
माना कि गुड़िया की आयु x वर्ष हो तब
(a) तब सीमा की आयु गुड़िया से 5 वर्ष अधिक है।
सीमा की आयु = (x + 5) वर्ष।
अतः सीमा की आयु गुड़िया की आयु के पदों में (x + 5) वर्ष होगी।
(b) माना कि सीमा की आयु वर्ष है
प्रश्न से सीमा गुड़िया से 5 वर्ष बड़ी है
सीप की आयु = गुड़िया की आयु + 5
y = गुड़िया की आयु + 5
गुड़िया की आयु = y – 5

प्रश्न 6.
अमरुद की बड़ी टोकरियों में से छोटी टोकरियों में अमरुद को रखा जाना है। जब एक बड़ी टोकरी को खाली किया जाता है तो उसके अमरुदों से तीन छोटी टोकरियाँ भर जाती है और फिर भी 25 अमरुदें शेष रह जाते हैं। यदि एक छोटी टोकरी में अमरुदों की संख्या को x लिया जाय, तो बड़ी। टोकरी में अमरुदों की संख्या क्या है?
हल :
माना कि यदि एक छोटी टोकरी में अमरुदों की संख्या x लिया जाय तो 3 छोटी टोकरियों में अमरुदों की संख्या 3x होगी
प्रश्न से, एक बड़ी टोकरी में अमदों की संख्या = 3 × x + 25
अर्थात् 3x + 25 होगी।

प्रश्न 7.
(a) अलग-अलग लम्बाई के तीलियों से बने हुए आयतों के नीचे दिए हुए प्रतिरूपों को देखिए (अकृति 2) ये आयत अलग-अलग नहीं है। दो संलग्न आयतों में एक तं नी उभयनिष्ठ है। इस प्रतिरूप को देखिए और वह नियम ज्ञात कीजिए जो आयतों की संख्या के पदों में आवश्यक तीलियों की संख्या देता है।

(b) तीलियों से त्रिभुजों का एक प्रतिरूप (आकृति-3) दर्शा रही है उपरोक्त प्रश्न 7(a) की तरह वह व्यापक नियम ज्ञात कीजिए जो त्रिभुज की संख्या के पदों में आवश्यक तीलियों की संख्या देता है।

हल :
(a) एक आयत को बनाने में आवश्यक तीलियों की संख्या 4 होती है जबकि दो आयत के बनाने में आवश्यक तीलियों की संख्या 7 होती है क्योंकि ये दोनों आयत अलग-अलग नहीं हैं ये आयत संलग्न है जिसके कारण एक तीली उभयनिष्ठ है । उभयनिष्ठ होने के कारण दो आयत बनाने पर एक तीली की संख्या कम हो जाती है। तथा 7 को (2 × 4 – 1) लिख सकते हैं।
तीन आयत बनाने में दो तीली उभयनिष्ठ होती है जिसके कारण इन्हें बनाने में आवश्यक तीलियों की संख्या 10 होती है। 10 को (3 × 4 – 2)
चार आयत बनाने में तीन तीलियाँ उभयनिष्ठ होती है जिसके कारण इन्हें बनाने में आवश्यक तीलियों की संख्या 13 अर्थात् (4 × 4 – 3) होती है।
इस प्रकार हम देखते हैं कि n उभयनिष्ठ आयत को बनाने के लिए आवश्यक तीलियों की संख्या {n × 4 – (n – 1)}
= 4n – n + 1 = 3n + 1 होता है।

(b) एक त्रिभुज बनाने के लिए आवश्यक तीलियों की संख्या 3 होती है। दो त्रिभुज बनाने पर एक तीली उभयनिष्ठ हो जाने के कारण तीलियों की संख्या 5 अर्थात् (2 × 3 – 1) होती है।
तीन त्रिभुज बनाने पर तीली उभयनिष्ठ हो जाने के कारण तीलियों की संख्या 7 अर्थात (3 × 3 – 2) होती है।
चार त्रिभुज बनाने पर तीन तीलियाँ उभयनिष्ठ हो जाने के कारण तीलियों की संख्या 9 अर्थात् (4 × 3 – 3) होती है।
इस प्रकार हम देखते हैं कि n उभयनिष्ठ त्रिभुजों को बनाने के लिए आवश्यक तीलियों की संख्या {n × 3 – (n – 1)}
अर्थात् (3n – n + 1) = 2n + 1 होगा।

Bihar Board Class 6 Maths बीजगणित Ex 12.2

प्रश्न 1.
तीन संख्याओं 15, 28 और 14 के योग पर विचार कीजिए। हम यह योग दो प्रकार से प्राप्त कर सकते हैं।
(a) हम पहले 15 और 28 को जोड़कर 43 प्राप्त कर सकते हैं और 43 में 14 जोड़कर कुल योग 57 प्राप्त कर सकते हैं।
(b) हम पहले 28 और 14 को जोड़कर 42 प्राप्त कर सकते हैं और फिर इसे 15 में जोड़कर कुल योग 57 प्राप्त कर सकते हैं।
इस प्रकार (15 + 28) + 14 = 15 + (28 + 14) हआ।
ऐसा किसी भी तीन संख्याओं के लिए किया जा सकता है। यह गुण संख्याओं के योग का साहचर्म (Associative) गुण कहलाता है। इस गुण को चर a, b और c का प्रयोग करते हुए एक व्यापक रूप में व्यक्त कीजिए।
उत्तर
(a + b) + c = a + (b + c)

प्रश्न 2.
समबाहु त्रिभुज की एक भुजा को k से दर्शाया जाता है। इस समबाहु त्रिभुज के परिमाप को k का प्रयोग करते हुए व्यक्त कीजिए।
उत्तर
हम जानते हैं कि समबाहु त्रिभुज तीन भुजाओं से बनी होती है।
समबाह त्रिभज की एक भजा है।
समबाहु त्रिभुज़ का परिमाप = भुजाओं की लम्बाइयों का योग = k + k + k = 3k

प्रश्न 3.
एक समषड्भुज (Regular hexagon) (आकृति-6) की एक भुजा को p से व्यक्त किया गया है। p का प्रयोग करते हुए समषड्भुज के परिभाप को व्यक्त कीजिए। (संकेत- एक समषड्भुज की सभी भजाएँ बराबर होती हैं और सभी कोण बराबर होते हैं।

उत्तर
समषड्भुज का परिमाप = षड्भुज भुजाओं की लम्बाइयों का भाग
= P + P + P + P + P + P
= 6P

प्रश्न 4.
घन (Cube) एक त्रिविमीय (Three dimensional) आकृति है, जैसा कि आकृति 7 में दिखाया गया है। इसके 6 फलक होते हैं और ये सभी सर्वसम। (identical) वर्ग होते हैं। घन के एक किनारे की लम्बाई l से दी जाती है। घन के किनारों की कुल लम्बाई के लिए एक सूत्र ज्ञात कीजिए।

उत्तर
घन का परिमाप = 16
भुजाओं की लम्बाइयों का योग = l + l + l + l + l + l + l + l + l + l + l + l + l + l + l + l = 16l

प्रश्न 5.
वृत का व्यास वह रेखाखंड है जो वृत्त पर स्थित दो बिन्दुओं को जोड़ता है और उसके केन्द्र से होकर जाता है। वृत्त की त्रिज्या (r) उस पर स्थित किसी बिन्दु p को केन्द्र c से जोड़ने वाली रेखाखंड की लम्बाई है। संलग्न आकृति-8 में AB वृत्त का व्यास है और C उसका केन्द्र है। वृत्त के व्यास (d) को उसकी त्रिज्या (r) के पदों में व्यक्त कीजिए।

उत्तर
वृत्त का व्यास = PC + AC
d = r + r = 2r

Bihar Board Class 6 Maths बीजगणित Ex 12.3

प्रश्न 1.
आप तीन संख्याओं 7, 10 और 12 से संख्याओं वाले (चर नहीं) जितने व्यंजक बना सकते हैं बनाइए| एक संख्या का एक से अधिक बार प्रयोग नहीं किया जाना चाहिए। केवल योग, व्यवकलन (घटाना) और गुणन संक्रियाओं का ही प्रयो, करें। (उदाहरणार्थ 10 + 7 – 12)
उत्तर
10 + 7 – 12

प्रश्न 2.
निम्नलिखित में से कौन-से केवल संख्याओं वाले व्यंजक है?
(a) x + 5
(b) 10 × 9 – 7
(c) 5 × 4 – zy
(d) 7y
(e) 9 – 9z
(f) 5 × 17 – 4 × 16 + 3x
उत्तर
(b) 10 × 9 – 7

प्रश्न 3.
निम्न व्यंजकों को बनाने में प्रयुक्त संक्रियाओं (योग, व्यवकलन, गुणन, विभाजन) को देखिए’ और बताइए कि ये व्यंजक किस प्रकार बनाए गए हैं?
(a) x + 9
(b) x – 9
(c) 13y
(d) \(\frac{y}{13}\)
(e) 2y + 15
(f) 2y – 15
(g) 7p
(h) -7p + 2
(i) -7p – 3
उत्तर
(a) योग
(b) घटाय
(c) गुणम
(d) विभाजन
(e) गुणनयोग
(f) गुणन-घटाव
(g) गुणन
(h) गुणन-योग
(i) गुणन-घटाव

प्रश्न 4.
निम्नलिखित स्थितियों के लिए व्यंजक दीजिए-
(a) 4 में 5 जोड़ना
(b) a में 5 घटाना
(c) a को 5 से गुणा करना
(d) a को 5 से भाग देना
(e) m में से 7 घटाना
(f) -m को 7 से गुणा करना
(g) -m को 7 से भाग देना
(h) m को -5 से गुणा करना
उत्तर
(a) a + 5
(b) a – 5
(c) 5a
(d) \(\frac{a}{5}\)
(e) m – 7
(f) -7m
(g) \(\frac{-m}{7}\)
(h) -5m

प्रश्न 5.
निम्नलिखित स्थितियों के लिए व्यंजक दीजिए-
(a) m के 7 गुणा में 6 जोड़ना
(b) 24 में 13 जोड़ना
(c) x का -5 से गुणा करना
(d) x को -5 से गुणा करके परिणाम में 10 जोड़ना
(e) x को 5 से गुणा करके परिणाम में 15 घटाना
(f) y को -5 से गुणा करके परिणाम को 18 में जोड़ना।
उत्तर
(a) 7m + 6
(b) 2a + 13
(c) -5x
(d) -5x + 10
(e) 5x – 15
(f) -5y + 18

प्रश्न 6.
(a) k और 4 का प्रयोग करके अलग-अलग व्यंजक बनाइए। प्रत्येक व्यंजक में दोनों एक-एक बार होने चाहिए।
(b) m, 5 और 7 का प्रयोग करके व्यंजक बनाइए। प्रत्येक व्यंजक में m अवश्य होना चाहिए। हर व्यंजक केवल दो अलग-अलग संख्या संक्रियाओं का प्रयोग करें।
उत्तर
(a) k + 9, k – 9, \(\frac{k}{9}\), 9k इत्यादि।
(b) 5m + 7, 5m – 7, \(\frac{5 m}{7}\) इत्यादि।

Bihar Board Class 6 Maths बीजगणित Ex 12.4

प्रश्न 1.
निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए :
(a) सुशीला की वर्तमान आयु वर्ष लीजिए।
(i) बताइए 5 वर्ष पूर्व उसकी आयु कितनी थी?
(ii) बताइए 4 वर्ष बाद वह कितने वर्ष की हो जाएगी?
(iii) सुशीला के दादाजी की आयु सुशीला के आय की 7 गुनी है। उसके दादाजी की आयु क्या है?
(iv) सुशीला की बड़ी बहन की आयु सुशीला की आयु के दुगने से 3 वर्ष कम है। उसके बड़ी बहन की आयु क्या है?
(b) एक आयताकार हॉल की लमबई उसकी चौड़ाई के दुगने से 5 मीटर अधिक है। यदि चौड़ाई b मीटर है, तो लम्बाई क्या है?
(c) एक आयताकार बॉक्स की ऊँचाई। सेमी है। इसकी लम्बाई, ऊँचाई की 3 गुनी है और चौड़ाई, लम्बाई से 7 सेमी है। बॉक्स की लम्बाई और चौड़ाई को ऊँचाई के पदों में व्यक्त कीजिए।
(d) एक बस x किमी प्रति घंटा की चाल से चल रही है। यह पटना से राजगीर की ओर जा रही है। बस 3 घंटे चलने के बाद भी राजगीर की दूरी 22 किमी बची रह जाती है। क्या आप x का प्रयोग करते हुए पटना से राजगीर की दूरी बताइए।
हल :
(a) (i) सुशीला की वर्तमान आयु = x वर्ष
5 वर्ष पूर्व सुशीला की आयु = (x – 5) वर्ष
(ii) 4 वर्ष पूर्व सुशीला की आयु = (x – 4) वर्ष
(iii) सुशीला के दादाजी की आयु = सुशीला की आयु का 7 गुनी = x × 7 = 7x वर्ष
(iv) सुशीला की बड़ी बहन की आयु = सुशीला की आयु की दोगुनी – 3
= x × 2 – 3
= 2x – 3
(b) यदि आयत की चौड़ाई = b मीटर
तब आयत की लम्बाई = चौड़ाई के दूगुन से 5 मीटर अधिक
= b × 2 + 5
= 2b + 5
(c) आयताकार बॉक्स की ऊँचाई = h
बॉक्स की लम्बाई = ऊँचाई की तिगुनी = h × 3 = 3h सेमी
बॉक्स की चौड़ाई = लम्बाई से 7 सेमी कम = 3h – 7 = 3h – 7 सेमी
(d) बस की चाल = x किमी प्रति घंटा
3 घंटे के बाद बस द्वारा तय की दूरी = 3 × x = 3x किमी
पटना से राजगीर की दूरी = 3x + 22

प्रश्न 2.
व्यंजकों के प्रयोग से बने निम्न कथनों को साधारण भाषा के कथनों में बदलिए-
(उदाहरणार्थ, हमारी कक्षा में x विद्यार्थी हैं और स्कूल में 15x विद्यार्थी हैं| साधारण भाषा में स्कूल में विद्यार्थियों की कुल संख्या हमारी कक्षा के विद्यार्थियों की 15 गुनी है।)
(a) राखी के पास x रुपये हैं। उसकी सहेली के पास 3x रुपये हैं|
(b) एक अभ्यास-पुस्तिका का मूल्य p रु. है। एक पुस्तक का मूल्य 4p रु. है।
(c) सुरेश के पास y बकरियाँ हैं। रमेश के पास \(\frac{y}{4}\) बकरियाँ हैं।
(d) मोहन की आयु r वर्ष है। उसके पिताजी की आयु 4r वर्ष है और उसकी माँ की आयु (4r – 5) वर्ष है।
उत्तर
(a) राखी की सहेली के पास राखी से तीन गुणा रुपये हैं।
(b) पुस्तक का मूल्य अभ्यास-पुस्तिका से चार गना है।
(c) रमेश की बकरियाँ सुरेश की बकरियों का चौथाई भाग है।
(d) मोहन के पिता की उम्र मोहन से चार गुना तथा उसकी माँ की उम्र पिता के उम्र से 5 वर्ष कम है।

प्रश्न 3.
(a) सपना की आयु x वर्ष दी हुई है। क्या आप अनुमान लगा सकते हैं कि (x + 5) और (x – 3) क्या दर्शाएगा?
(b) दिया हुआ है कि एक कक्षा के m विद्यार्थी टेलीविजन देखना पसंद करते हैं। 3m क्या दर्शाएगा? \(\frac{m}{2}\) क्या दर्शा सकता है?
हल :
(a) x + 5 का मतलब है सपना की आयु x वर्ष से 5 वर्ष अधिक है। (x – 3) का मतलब है सपना की आयु x वर्ष से 3 वर्ष अधिक है।
(b) 3m का मतलब है कक्षा के विद्यार्थी की 3 गुनी विद्यार्थी टीवी देखना पसंद करते हैं। \(\frac{m}{2}\) का मतलब है कक्षा के m विद्यार्थी का आधा विद्यार्थी टी वी देखना पसंद करते हैं।

Bihar Board Class 6 Maths बीजगणित Ex 12.5

प्रश्न 1.
निम्नलिखित में कौन सा कथन समीकरण चार संख्याओं के हैं? सकारण उत्तर दीजिए। समीकरणों में समबद्ध चर भी लिखिए।
(a) 15 = x + 18
(b) (k – 8) > 5
(c) \(\frac{9}{3}\) = 3
(d) 8 × 5 – 12 = 28
(e) 60 + 7 – 10 = 2x
(f) 2n + 3 = 13
(g) 7 = 11 × 5 – 12 × 4
(h) \(\frac{3 p}{2}\) < 5 (i) z + 8 > 12
(j) 7 – x = 35
हल :
(a) 15 = x + 18 यह एक चर समीकरण है जिसका चर x है।
(b) (k – 8) > 5 यह एक चर समीक नहीं है क्योंकि चर के अनेक मान के लिए समीकरण को संतुष्ट करता है।
(c) \(\frac{9}{3}\) = 3 (नहीं, एक संख्यात्मक समीकरण है)
(d) 8 × 5 – 12 = 28 (नहीं, एक संख्यात्मक समीकरण है)
(e) 60 + 7 – 10 = 2x
यह एक चर समीकरण है क्योंकि यह देवल चर के एक मान के लिए समीकरण को संतुष्ट करता है : चर x है।
(f) 2n + 3 = 13 यह एक चर समीकरण है जिसका चर x है।
(g) 7 = 11 × 5 – 12 × 4 (एक संख्यात्मक समीकरण है। नहीं)
(h) \(\frac{3 p}{2}\) <5 (नहीं, एक संख्यात्मक समीकरण नहीं है क्योंकि चर के अनेक मान के लिए समीकरण को संतुष्ट करता है।) (i) z + 8 > 12 (नहीं, क्योंकि यह समीकरण एक से अधिक मान के लिए संतुष्ट करता है।)
(j) 7 – x = 5 यह एक चर समीकरण है क्योंकि यह समीकरण चर के लिए केवल एक मान को संतुष्ट करता है।

प्रश्न 2.
सारणी के तीसरे स्तम्भ में प्रविष्टियों को पूर कीजिए :

हल :

प्रश्न 3.
प्रत्येक समीकरण के सम्मुख कोष्ठकों में दिए मानों में से समीकरण का हल चुनिएँ दर्शाइए कि अन्य मान समीकरण को संतुष्ट नहीं करते हैं।
(a) 4a = 24 (5, 6, 9, 10)
(b) (k – 8) > 5 (10, 11, 12, 13)
(c) \(\frac{9}{3}\) = 3 (12, 13, 14, 15)
(d) 8 × 5 – 12 = 28 (49, 48, 46, 44)
(e) 60 + 7 – 10 = 2x (14, 15, 16, 17)
(f) 2n + 3 = 13 (1, 2, -3, 4, 0)
हल :
(a) 4a = 24 (5, 6, 9, 10)
4a = 24
a = 6
अतः उत्तर a = 6
(b) (k – 8) > 5 (10, 11, 12, 13)
k = 23 – 11 = 12,
अतः उत्तर k = 12
(c) \(\frac{9}{3}\) = 3 (12, 13, 14, 15)
P = 8 + 7 = 15,
अत: उत्तर P = 15
(d) 8 × 5 – 12 = 28 (49, 48, 46, 44)
k = 7 × 7 = 49
अत: उत्तर k = 49
(e) 60 + 7 – 10 = 2x (14, 15, 16, 17)
m = 37 – 21 = 16
अत: उत्तर m = 16
(f) 2n + 3 = 13 (1, 2, -3, -4, 0)
n = 2 – 5 = -3
अतः उत्तर n = -3

प्रश्न 4.
(a) नीचे दी हुई सारणी को पूरा कीजिए और इस सारणी को देखकर, ही समीकरण x + 6 = 13 का हल ज्ञात कीजिए :

(b) नीचे दी हुई सारणी को पूरा कीजिए और इस सारणी को देखकर ही समीकरण y + 6 = 4 का हल ज्ञात कीजिए :

(c) नीचे दी हुई सारणी को पूरा कीजिए और इस सारणी को देखकर ही समीकरण 5t = 40 का हल ज्ञात कीजिए :

(d) सारणी को पूरा करते हुए \(\frac{z}{3}\) = 4 का हल ज्ञात कीजिए :

हल :

प्रश्न 5.
हल कीलिए:
(a) y + 6 = 18
(b) z – 7 = 20
(c) 7p = 140
(d) \(\frac{q}{5}\) = 7
(e) \(\frac{k}{8}\) = 12
(f) 9y = 81
(g) x – 3 = 0
(h) t + 50 = 75
हल :
(a) y – 6 = 18
y = 18 – 6 = 12
(b) z – 7 = 20
z = 20 + 7 = 27
(c) 7p = 140
p = \(\frac{140}{7}\) = 20
(d) \(\frac{q}{5}\) = 7
q = 7 × 5 = 35
(e) \(\frac{k}{8}\) = 12
k = 12 × 8 = 96
(f) 9y = 81
y = \(\frac{81}{9}\) = 9
(g) x – 3 = 0
x = 0 + 3 = 3
(h) t + 50 = 75
t = 75 – 50 = 25

Bihar Board Class 6 Maths Solutions Chapter 11 ऐकिक नियम Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 6 Maths Solutions Chapter 11 ऐकिक नियम

Bihar Board Class 6 Maths ऐकिक नियम Ex 11.1

प्रश्न 1.
यदि 8 किलोग्राम चीनी का मूल्य 240 रु० है तो 12 किलोग्राम चीनी का मूल्य ज्ञात कीजिए।
हल :
8 किलोग्राम चीनी का मूल्य 240 है
1 किलोग्राम चीनी का मूल्य \(\frac{240}{8}\) रु० है
12 किलोग्राम चीनी का मूल्य \(\frac{240}{8}\) × 12 रु0000 है = 360 रु०
इस प्रकार, 12 किलोग्राम चीनी का मूल्य 360 रु०।

प्रश्न 2.
किसी व्यक्ति ने एक पुस्तक की तीन प्रतियाँ 75 रु० में खरीदी। बताइए कि 300 रु० में वह व्यक्ति पुस्तक की कितनी प्रतियाँ खरीद सकता है?
हल :
75 रु० में एक पुस्तक की 3 प्रतियाँ खरीदी गई।
1 रु० में एक पुस्तक की \(\frac{3}{75}\) प्रतियाँ खरीदी गई।
300 रु० में एक पुस्तक की \(\frac{3 \times 300}{75}\) = 12 प्रतियाँ खरीदी गई = 12 प्रतियाँ
इस प्रकार, 300 रु० में उस पुस्तक की 12 प्रतियाँ खरीदी गई।

प्रश्न 3.
यदि 3 दर्जन केले का मूल्य 45 रुपये है। बताइए कि 22.50 रु० में कितने केले खरीदे जा सकते हैं?
हल :
45 रुपये में 3 दर्जन केले खरीदे जाते हैं।
1 रुपये में \(\frac{3}{45}\) दर्जन केले खरीदे जाते हैं।
22.50 रुपये में \(\frac{3 \times 22.50}{45}=\frac{3}{2}\) दर्जन केले खरीदे जाते हैं।
इस प्रकार 22.50 रुपये में \(\frac{3}{2}\) अर्थात् 1\(\frac{1}{2}\) दर्जन केले ख़रीदे जाते हैं।

प्रश्न 4.
यदि एक छात्रावास में प्रति 8 बच्चों के लिए चावल की खपत 4 किलो है तो 30 बच्चों के लिए चावल की कितनी खपत होगी?
हल :
8 बच्चों के लिए चावल की खपत 4 किलो है।
1 बच्चों के लिए चावल की खपत \(\frac{4}{8}\) किलो है।
30 बच्चों के लिए चावल की खपत \(\frac{4}{8} \times 30\) किलो है।
इस प्रकार 30 बच्चों के लिए चावल की खपत 15 किलो है।

प्रश्न 5.
एक हवाई जहाज 5 घंटे में 4000 किमी उड़ता है। वह तीन घंटे में कितना उड़ेगा?
हल :
एक हवाई जहाज 5 घंटे में 4000 किमी उड़ता है।
एक हवाई जहाज 1 घंटे में \(\frac{4000}{5}\) किमी उड़ता है।
एक हवाई जहाज 3 घंटे में \(\frac{4000}{5} \times 3\) = 2400 किमी उडता है।
इस प्रकार, हवाई जहाज 3 घंटे में 2400 किमी उड़ेगा।

प्रश्न 6.
यदि 22 मीटर कपड़े का मूल्य 704 रु० है तो 20 मीटर कपड़े का मूल्य क्या होगा?
हल :
22 मीटर कपड़े का मूल्य 704 रु० है
1 मीटर कपड़े का मूल्य \(\frac{704}{22}\) रु० है
20 मीटर कपड़े का मूल्य \(\frac{704}{22} \times 20\) रु० है
इस प्रकार, 20 मीटर कपड़े का मूल्य 32 × 20 = 640 रु०. होगा।

प्रश्न 7.
एक कार 3 घंटे में 165 किलोमीटर चलती है। तो वह कार,
(i) 440 किलोमीटर की दूरी कितने समय में तय करेगी।
(ii) 6\(\frac{1}{2}\) घंटे में कितनी दूरी तय करेगी?
हल :
(i) एक कार 165 किलोमीटर 3 घंटे में चलती है।
एक कार 1 किलोमीटर \(\frac{3}{165}\) घंटे में चलती है।
एक कार 440 किलोमीटर \(\frac{3 \times 440}{165}\) घंटे में चलती है। = 8 घंटे
इस प्रकार 440 किलोमीटर की दूरी 8 घंटे में तय करेगी।
(ii) एक कार 3 घंटे 165 किलोमीटर चलती है।
एक कार 1 घंटे में \(\frac{165}{3}\) किलोमीटर चलती है।
एक कार 6\(\frac{1}{2}\) घंटे अर्थात \(\frac{13}{2}\) घंटे में
\(\frac{165}{3} \times \frac{13}{2}=\frac{715}{2}\) = 357.5 किमी चलती है।

प्रश्न 8.
एक महिला की 15 महीने की बचत 18000 रु०० है।
(a) उसकी सात महीने की बचत क्या होगी?
(b) कितने महीने में उसकी बचत 30000 रु० होगी?
हल :
(a) एक महिला की 15 महीने की बचत 18000 रु० है।
एक महिला की 1 महीने की बचत \(\frac{18000}{15}\) रु. है
उस महिला की 7 महीने की बचत = \(\frac{18000 \times 7}{15}\) = 8400 रु० होगी।
इस प्रकार, इस महिला की 7 महीने की बचत 8400 रु० की होगी।

(b) एक महिला 18000 रु० बचाती है 15 महीने में,
वह महिला 1 रु० बचाती है \(\frac{15}{18000}\) महीने में
वह महिला 30000 रु० बचाती है = \(\frac{15 \times 30000}{18000}\) = 25 महीने में
इस प्रकार, वह महिला 30000 रु० की बचत 25 महीने में करेगी।

प्रश्न 9.
रेशम 4 महीने का मकान किराया 4600 रु० देती है। उसे पूरे र्ष का किराया कितना देना होगा यदि वर्षभर किराया समान रहे?
हल :
एक वर्ष में 12 महीने होते हैं।
रेशम 4 महीने का किराया 5600 रु० देती है।
रेशम 1 महीने का किराया \(\frac{5600}{4}\) रु० देती है
रेशम । वर्ष अर्थात् 12 महीने का किराया = \(\frac{5600 \times 12}{4}\) = 16800 रु० दे देगी।
इस प्रकार रेशमा को पूरे वर्ष का किराया 16800 रु० देना होगा।

प्रश्न 10.
पिछले 30 दिन में तापमान 15° सेल्सियस बढ़ता है। यदि तापमान की बढ़ोत्तरी इसी गति से जारी रही तो, अगले 10 दिन में तापमान कितने डिग्री बढ़ेगी?
हल :
30 दिन में 15° सेल्सियस बढ़ता है।
1 दिन में \(\frac{15^{\circ}}{30}\) सेल्सियस बढ़ता है।
10 दिन में \(\frac{15^{\circ}}{30} \times 10\) सेल्सियस बढ़ता है।
इस प्रकार, अगले 10 दिन में में तापमान 5 डिग्री बढ़ेगा।

प्रश्न 11.
रामू ने 5 ओवर में 45 रन बनाए और अनूप 7 ओवर में 42 रन बनाए। एक ओवर में किसने अधिक रन बनाए?
हल :
रामू ने 5 ओवर में 45 रन बनाए।
रामू ने 1 ओवर में \(\frac{45}{9}\) = 5 रन बनाए।
अनूप ने 7 ओवर में 42 रन बनाए।
अनूप ने 1 ओवर में \(\frac{42}{7}\) = 6 रन बनाए।
अतः स्पष्ट है कि एक ओवर में रामू ने अधिक रन बनाए।