Shreya

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Bihar Board Class 9 English Grammar Narration Direct and Indirect Speech

Reporting (Narration)
Direct से Indirect Speech बनाने के लिए Assertive, Interrogative, Imperative, Optative and Exclamatory Sentences for जा सकते है। आगे दिए गए Examples को ध्यान से पढ़ें
Change the following sentences into the indirect form of speech.
Note: उत्तर प्रत्येक वाक्य के सामने तिरछे अक्षरों (Italics) में दिया गया है।

A. Assertive Sentences (Statements)

Rewrite the following into indirect form of speech:

1. He said to her, “You were absent yesterday.”
He told her that she was absent the previous day.

2. He said, “It was nine days wonder.”
He said that it had been nine days wonder.

3. The boy said to me. “You are my best friend.”
The boy told me that I was his (boy) best friend.

4. The teacher said in the class, “India is an independent country.”
The teacher said in the class that India is an independent country.

5. The teacher said, “The Ganga is a beautiful river.”
The teacher said that the Ganga is a beautiful river.

6. The old man said, “The sun rises in the east.”
The old man said that the sun rises in the east.”

7. The teacher said, “The earth is round.”
The earth The teacher said that the earth is round.

8. The teacher said, “When the cat is away, the mice will play.
The teacher said that when the cat is away mice will play.

9. “I loved my father well”, said the son.
The son said that he had loved his father well.

10. The teacher said, “Honesty pays in the long run.”
The teacher said that honesty pays in the long run.

11. Hermia said, “I am going to leave Athens.”
Hermia said that she was going to leave Athens.

12. The sage told me, “No one can steal your knowledge.”
The sage told me that no one can steal my knowledge.

13. He said to her, “I shall help you in your work.”
He told her that he would help her in her work.

14. “I wrote him a letter yesterday”, said the girl.
The girl said that she had written him a letter the day before.

15. He said, “God is everywhere.”
He said that God is everywhere.

16. The traveller said, “I went from place to place.
The traveller said that he had gone from place to place.

17. He said, “It was a nine days wonder.”
He said that it had been a nine days’ wonder.

18. The teacher said in the class. India is an independent country.
The teacher said in the class that India is an independent country.

19. The girl said, “I never saw such a lovely bird in my life.”
The girl said that she had never seen such a lovely bird in her life.

20. My father said, “The sun rises in the east.”
My father said that the sun rises in the east.

21. The driver said to the passengers, “The bus is damaged.”
The driver told the passengers that the bus was damaged.

22. She said, “I am going home.”
She said that she was going home.

23. He said, “The sunsets in the evening.”
He said that the sun sets in the evening.

24. Hari said, “Charity begins at home.”
Hari said that charity begins at home.

25. Ramesh said to the teacher, “Sir, I am very sorry.”
Ramesh respectfully told the teacher that he was very sorry.

26. He said, “I saw this man long ago.”
He said that he had seen that man long before.

27. The teacher said to the boys, “I will teach you English Grammar today.”
The teacher told the boys that he would teach them English Grammar that day.

28. She said to me, “I shall call on you tomorrow.”
She told me that she would call on me the next day.

B. Commands and Request (Imperative Sentences)

Change the following sentences into indirect speech:

1. He said to me, ‘Please give me a book.”
He requested me to give him a book.

2. She said to me. “Do not sit here.”
She forbade me to sit there.

3. The teacher said to Gopal, “Bring a glass of water.”
The teacher asked Gopal to bring a glass of water.

4. The mother said to her daughter, “Go to the market.”
The mother asked her daughter to go to the market.

5. He said to me, “go home.”
He asked me to go home.

6. The student said to the teacher. “Please help him.”
The student requested the teacher to help him.

7. The teacher said. “Sit down.”
The teacher ordered the boy to sit down.

8. The student said to the teacher, “Please allow me to leave for two days.”
The student requested the teacher to allow him to leave for two days.

9. He said to me. “Please send me your book.”
He requested me to send him my book.

10. The teacher said to the boys, “do not make a noise.”
The teacher forbade the boys to make a noise.

11. Titania said to Bottom. “getaway.”
Titania order Bottom to getaway.

12. The master said to the servant, “Bring me a glass of water.”
The master ordered the servant to bring him a glass of water.

13. The father said to his son, “Don’t smoke.”
The father ordered his son not to smoke.

14. He said to the boys, “Don’t touch these flowers.”
He ordered the boys not to touch the flowers.

15. The boys said to the teacher, “Please teìch us English Grammar.”
The boys requested the teacher to teach them English Grammar.

16. He said to me,“Please come as early as you can.”
He requested me to come as early as I could.

17. “Come and sit with me on the bed of flowers”, said Titania to Bottom.
Titania asked Bottom to come and sit with her on the bed of Flowers.

18. Sonal said to her husband, “Please put a shawl on me.”
Sonal requested her husband to put a shal on lier.

19. The banker said to the lawyer. “Come to your senses before it is too late.”
The banker asked the lawyer to come to his senses before it was too late.

20. Ram said to me, “Let us go home.”
Ram proposed to me that we should go home.

21. He said. “Let me go out.”
He wished that he should go out.

22. He said to me, “Please give me a book.”
He requested me to give him a book.

23. I said to her, “Please follow me.”
I requested her to follow me.

24. He said to the child, “Don’t run so fast.”
He forbade the child lo run so fast.

25. She said to me. “Try your luck elsewhere.”
She said to me to try my luck elsewhere.

26. They said to their teacher, “Please forgive us.”
They requested their teacher to forgive them.

27. Her friend said to her. “Prepare all lessons carefully.”
Her friend advised her to prepare all lessons carefully.

28. “Stop that horrible noise”. he said to the children.
He ordered the children to stop that horrible noise.

29. The mother said to her child. “Do not play in the sun.”
The mother forbade her child to play in the sun.

30. The master said to his servant, “Post the letter.”
The master ordered his servant to post the letter.

31. The teacher said o the boys, “Read your lesson well.”
The teacher ordered the boys to read their lesson well.

32. The old man said to the servant, “Close the door.”
The old man ordered the servant to close the door.

33. The captain of the team said to the players, “Try to win.”
The captain of the team advised the players to try to win.

34. The student said to the teacher. “Please help me.”
The student requested the teacher to help him.

35. The commander said to his men, “Fight well.”
The commander ordered his men to fight well.

36. The doctor said to the patient “Take exercise daily.”
The doctor advised them to take exercise daily.

C. Imperative Sentences

Change the following sentences into indirect speech.

1. The poet said to the little girl, “Where are yow brothers and sisters?”
The poet asked the little girls where her brothers and sisters were.

2. The beggar said to me, “Will you lead me to the station?”
The beggar asked me ill would lead him to the station.

3. Ravi said to me, “Are you going to the market now?”
Ravi asked me if I was going to the market then.

4. “Whom do you want”, He said tome.
He asked me as lo who wanted.

5. He said to me. “What do you want?”
He asked me what I wanted.

6. He said to us, “Do you know me?”
He asked us if we knew him.

7. Shankar said to me, “Are you going to the market now?”
Shankar asked me if I was going to the market then.

8. My mother said to me, “Why are you wasting my time?
My mother asked the why was wasting her time.

9. The hoy said, “What is she doing here?”
The boy asked what she was doing there.

10. He said to him. “What were you doing yesterday?”
He asked him what he had been doing the previous day.

11. “Why are you laughing?” the wife asked him.
The wife asked him why he was laughing.

12. The teacher said to the student, “Do you know which is the smallest country in the world?”
The teacher asked the student if he knew which the smallest country in the world was.

13. “Do you want to go?” the father asked his son.
The lather asked his soil if he wanted to go.

14. The teacher said to the student, “When do you get up in the morning?”
The teacher asked the student when he got up in the morning.

15. Reena said to Meena, “What are you doing?”
Rena asked Meena what she was doing.

16. I said to him, “What is the matter!”
I asked him what the matter was.

17. He said to her. “What do you want?”
He asked her what she wanted.

18. He said,” Where is my bicycle?”
He asked where his bicycle was.

19. The Emperor said to the young man. “Do you know what will happen to you if you fail?”
The Emperor asked the young man if he knew what would happen to him if he failed.

20. “What are you doing here, Helena?” asked Hernia.
Hernia asked Helena what she was doing there.

21. She said,” Why did he not come in with me?”
She asked why he had not come in with her.

22. The banker said. “Why did I make this bet?”
The hanker asked why he had made that bet.

23. He said to the boys. “When were the seven youths shot dead at Ranchi!”
He asked the boss when the seven youths had been shot dead at Ranchi.

24. He said to me. “Have you written the letter?”
He asked me ill had written the letter.

25. They said, “Where is the teacher?”
They asked where the teacher was.

26. The teacher said to the boy. “Do you hope to get through.”
The teacher asked the boy if he hoped to get through.

27. The girl said to me. “Who are you?”
The girl asked me 3who I was.

28. He said to me. “Have you seen my book?”
He asked me if I had seen his book.

29. I said to him.”Are you going to Ranchi today?”
He asked him if he was going to Ranchi that day.

30. He said to me “Why did you laugh at me?”
He asked me why I had laughed at him.

31. Mohan said to me, “How are you?”
Mohan asked me how I was.

32. I said to him, “Don’t you believe me?”
He asked me where the doctor n.

33. The teacher said to the boys, “Have you finished the lesson?”
The teacher asked the boys if they had finished the lessons.

34. Mohan said to his friend, “When did you go to Delhi?”
Mohan asked his friend when he had gone to Delhi.

D. Optative Sentences

Change the following sentences into indirect speech.

Question 1.

1. He said to me, “May you succeed?”
2. He said to me, “May you live long?”
3. The faiìer said to his son, “May God help you!”
4. He said, “May God pardon this sinner!”

Answers:

1. He wishes that I might succeed.
2. He wished that I might live long.
3. The father prayed that God might help his son.
4. He prayed that God would pardon that sinner.

Question 2.

1. The priest said to me. “May you live long!”
2. He said to me, “May God Bless you!”
3. He said to me. “May you be happy!”
4. I said (o him. “May you be blessed with a son!”
5. The saint said. “May God grant him long life!”

Answers:

1. The priest wished that I might live long.
2. He prayed that God might bless me.
3. He wished that I might be happy.
4. I wished that he might be blessed with a son.
5. The saint prayed that God might grant him a long life.

E. Exclamatory Sentences

Change the following sentences into indirect speech.

Question 1.

1. the Poet said, “How beautiful is the moon!”
2. He said to Ram. “What a man he is!”
3. The players said, “Hurrah! we have a great victory.”
4. He said to me, “What a man he is!”
5. The farmer said, “What a loss!”
6. “What a clever disguise!” side the princess.

Answers:

1. The poet exclaimed with a plan that the moon was very beautiful.
2. He exclaimed with surprise that he is a strange man.
3. The players exclaimed with joy that they had a great victory.
4. He exclaimed that he was a wonderful man?
5. The farmer exclaimed with sorrow that it was a great loss.
6. The princess exclaimed with wonder that it was a very clever disguise.

Question 2.

1. The Principal said. “Well done, boys!”
2. Sonu said, “What a beautiful sight it is!”
3. He said, “Good morning!”
4. He said, “How dark the night is!”

Answers:

1. The Principal admired the boys and exclaimed that they had done well.
2. Sonu exclaimed with joy that it was a very beautiful sight.
3. He wished me a good morning.
4. He exclaimed with surprise that the night was very dark.

Question 3.

1. The girl said. “What a fine morning!”
2. He said. “What a fine place it is’”
3. She said. “What a fool I am!”
4. He said, “How clever I am!”

Answers:

1. The girl exclaimed that it was a very line morning.
2. He exclaimed with wonder that it was a very fine place.
3. She exclaimed with regret that she was a great fool.
4. He exclaimed that he was very clever.

Question 4.

1. Sir said,” What a sweet song!”
2. The children said, “Hurrah! we have won the match.”
3. He said, “Alas! lam ruined.”
4. She said, “What a lovely garden it is!”
5. He said. “Alas! How foolish I have been.”

Answers:

1. She exclaimed with delight that it was a very sweet song.
2. The children exclaimed with joy that they had won the match.
3. He exclaimed with sorrow that he was ruined.
4. She exclaimed with wonder that t was a very lovely garden.
5. He exclaimed with regret that he had been great foolish.

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Bihar Board 10th Science Objective Questions and Answers

Bihar Board 10th Science VVI Objective Questions Model Set 3 in Hindi

प्रश्न 1.
निम्नांकित में से कौन मलेरिया परजीवी है?
(a) प्लाज्मोडियम
(b) लीशमैनिया
(c) प्रोटोजोआ
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(a) प्लाज्मोडियम

प्रश्न 2.
निम्न में से उत्तम ऊर्जा स्रोत कौन-सा है?
(a) कोयला
(b) लकड़ी
(c) पेट्रोलियम
(d) बायो-मास
उत्तर:
(d) बायो-मास

प्रश्न 3.
सल्फर परमाणु की बाह्यतम कक्षा में इलेक्ट्रॉनों की संख्या कितनी होती है?
(a) 4
(b) 5
(c) 6
(d) 7
उत्तर:
(c) 6

प्रश्न 4.
मानव हृदय में कोष्ठों की संख्या कितनी है?
(a) 2
(b) 3
(c) 4
(d) 5
उत्तर:
(c) 4

प्रश्न 5.
कवक में पोषण की कौन-सी विधि पाई जाती है?
(a) मृतजीवी
(b) समभोजी
(c) स्वपोषी
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(a) मृतजीवी

प्रश्न 6.
निम्न में से कौन-सा असंतृप्त हाइड्रोकार्बन है?
(a) CH₄
(b) C₂H₆
(c) C₂H₄
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(c) C₂H₄

प्रश्न 7.
निम्न में से किस लेंस की फोकस दूरी धनात्मक होती है?
(a) अवतल लेंस
(b) उत्तल लेंस
(c) समतल-अवतल लेंस
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(b) उत्तल लेंस

प्रश्न 8.
किस लेंस का उपयोग कर दीर्घदृष्टि दोष को संशोधित किया जा सकता है?
(a) अवतल लेंस
(b) उत्तल लेंस
(c) कभी अवतल लेंस और कभी उत्तल लेंस
(d) बेलनाकार लेंस
उत्तर:
(b) उत्तल लेंस

प्रश्न 9.
ऐलुमिनियम पर मोटी ऑक्साइड की परत बनाने की प्रक्रिया कहलाती है
(a) जस्तीकरण
(b) एनोडीकरण
(c) समृद्धिकरण
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(b) एनोडीकरण

प्रश्न 10.
विद्युत ऊर्जा का व्यापारिक मात्रक क्या है?
(a) वाट
(b) वाट/घंटा
(c) यूनिट
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(c) यूनिट

प्रश्न 11.
सामान्य नेत्र के लिए दूर-बिंदु है
(a) 25 मी.
(b) 25 सेमी.
(c) 25 मिमी.
(d) अनंत
उत्तर:
(d) अनंत

प्रश्न 12.
हाड्रोजन के दो परमाणुओं के बीच कितने आबंध बनते हैं?
(a) एक आबंध
(b) द्वि-आबंध
(c) त्रि-आबंध
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(a) एक आबंध

प्रश्न 13.
निम्न में से कौन आहार श्रृंखला का निर्माण करता है?
(a) घास, गेहूँ तथा आम
(b) घास, बकरी तथा मानव
(c) बकरी, गाय तथा हाथी
(d) घास, मछली तथा बकरी
उत्तर:
(b) घास, बकरी तथा मानव

प्रश्न 14.
कौन अंत: स्रावी और बाह्य ग्रंथि जैसा कार्य नहीं करता है?
(a) अग्नाशय
(b) पीयूष ग्रंथि
(c) अंडाशय
(d) वृषण
उत्तर:
(c) अंडाशय

प्रश्न 15.
कौन-सा कार्बन यौगिक सबसे अधिक अभिक्रियाशील है?
(a) CH₄
(b) C₂H₆
(c) C₂H₄
(d) C₃H₈
उत्तर:
(c) C₂H₄

प्रश्न 16.
किस दर्पण का उपयोग सामान्यतः वाहनों का पश्च-दृश्य दर्पणों के रूप में किया जाता है?
(a) समतल दर्पण
(b) अवतल दर्पण
(c) उत्तल दर्पण
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(c) उत्तल दर्पण

प्रश्न 17.
रासायनिक अभिक्रिया के दौरान किसी पदार्थ में ऑक्सीजन का ह्रास कहलाता है
(a) उपचयन
(b) अपचयन
(c) संक्षारण
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(b) अपचयन

प्रश्न 18.
कौन-सी गैस वैश्विक ऊष्मण के लिए उत्तरदायी है?
(a) कार्बन डाइऑक्साइड
(b) ऑक्सीजन
(c) नाइट्रोजन
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(a) कार्बन डाइऑक्साइड

प्रश्न 19.
पित्त रस कहाँ से स्रावित होता है
(a) अग्नाशय से
(b) यकृत से
(c) छोटी आंत से
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(a) अग्नाशय से

प्रश्न 20.
कौन-सा अभिलक्षण वंशागत नहीं है?
(a) आँख का रंग
(b) चमड़ी का रंग
(c) शरीर का आकार
(d) बाल की प्रकृति
उत्तर:
(d) बाल की प्रकृति

प्रश्न 21.
आधुनिक आवर्त सारणी में समूहों की संख्या है
(a) 7
(b) 8
(c) 9
(d) 18
उत्तर:
(d) 18

प्रश्न 22.
ग्लूकोज के एक अणु में ऑक्सीजन के कितने परमाणु होते हैं?
(a) 4
(b) 6
(c) 8
(d) 12
उत्तर:
(b) 6

प्रश्न 23.
शुद्ध जल का pH मान होता है
(a) 6
(b) 7
(c) 8
(d) 9
उत्तर:
(b) 7

प्रश्न 24.
किस वर्ण (रंग) का तरंगदैर्ध्य सबसे बड़ा है?
(a) लाल
(b) नीला
(c) पीला
(d) बैंगनी
उत्तर:
(a) लाल

प्रश्न 25.
फ्लेमिंग के वामहस्त नियम के बाएँ हाथ की तर्जनी संकेत करती है
(a) चालक पर आरोपित विद्युत बल की दिशा
(b) चुम्बकीय क्षेत्र की दिशा
(c) चालक में प्रवाहित विद्युत धारा की दिशा
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(b) चुम्बकीय क्षेत्र की दिशा

प्रश्न 26.
निम्न में से कौन-सा यौगिक ईंधन के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है?
(a) इथेनॉल
(b) प्रोपेनॉल
(c) इथेनॉइक अम्ल
(d) इनमें से सभी
उत्तर:
(a) इथेनॉल

प्रश्न 27.
कौन-सा पदार्थ लाल लिटमस को नीला कर देता है?
(a) अम्ल
(b) क्षार
(c) लवण
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(b) क्षार

प्रश्न 28.
नयी कार्तीय चिह्न परिपाटी के अनुसार दर्पण के सामने रखे गये बिंब की बिंब दूरी ली जाती है
(a) धनात्मक
(b) ऋणात्मक
(c) कभी धनात्मक कभी ऋणात्मक
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(b) ऋणात्मक

प्रश्न 29.
खाद्य पदार्थ के डिब्बों पर जिंक के बजाय टिन का लेप होता है, क्योंकि
(a) टिन की अपेक्षा जिंक मँहगा होता है
(b) टिन की अपेक्षा जिंक का गलनांक अधिक है
(c) टिन की अपेक्षा जिंक अधिक अभिक्रियाशील है
(d) टिन की अपेक्षा जिंक कम अभिक्रियाशील है
उत्तर:
(c) टिन की अपेक्षा जिंक अधिक अभिक्रियाशील है

प्रश्न 30.
निम्न में से कौन-सा अंग संवेदीग्राही नहीं है?
(a) कान
(b) आँख
(c) नाक
(d) दिमाग
उत्तर:
(d) दिमाग

प्रश्न 31.
समान्तर क्रम में संयोजित प्रतिरोधों की संख्या घटने के उपरांत संयोजित प्रतिरोधों का कुल प्रतिरोध
(a) बढ़ता
(b) घटता है
(c) अपरिवर्तित रहता है
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(a) बढ़ता

प्रश्न 32.
समजात अंगों का उदाहरण है
(a) हमारा हाथ और कुत्ते के अग्रपाद
(b) हमारे दाँत और हाथी के दाँत
(c) आलू और घास के ऊपरी भूस्तारी
(d) उपरोक्त सभी
उत्तर:
(a) हमारा हाथ और कुत्ते के अग्रपाद

प्रश्न 33.
निम्न में से कौन-सा पद विद्युत परिपथ में विद्युत शक्ति को निरूपित करता है?
(a) I²R
(b) IR²
(c) V²I
(d) VI²
उत्तर:
(a) I²R

प्रश्न 34.
ताँबे की तार की एक आयताकार कुंडली किसी चुम्बकीय क्षेत्र में घूर्णी गति कर रही है। इस कुंडली में प्रेरित विद्युत धारा की दिशा में कितने परिभ्रमण के पश्चात परिवर्तन होता है?
(a) दो
(b) एक
(c) आधे
(d) एक-चौथाई
उत्तर:
(c) आधे

प्रश्न 35.
निम्नांकित में से कौन पुनरुद्भवन का उदाहरण है?
(a) हाइड्रा
(b) अमीबा
(c) स्पाइरोगाइरा
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(b) अमीबा

प्रश्न 36.
कौन-सा अजैव निम्नीकरण कचरा है?
(a) टिशू पेपर
(b) केले का छिलका
(c) थर्मोकोल
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(c) थर्मोकोल

प्रश्न 37.
टिंडल प्रभाव प्रकाश की कौन-सी परिघटना को प्रदर्शित करता है?
(a) प्रकाश का परावर्तन
(b) प्रकाश का अपवर्तन
(c) प्रकाश का विक्षेपण
(d) प्रकाश का प्रकीर्णन
उत्तर:
(d) प्रकाश का प्रकीर्णन

प्रश्न 38.
पुष्प का नर जननांग कहलाता है
(a) पुंकेसर
(b) जायांग
(c) पंखुड़ी
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(a) पुंकेसर

प्रश्न 39.
विरंजक चूर्ण का रासायनिक सूत्र है
(a) Ca(OH)₂
(b) CaOCl₂
(c) CaCO₃
(d) Ca(HCO₃)₂
उत्तर:
(b) CaOCl₂

प्रश्न 40.
निम्न में कौन गंगा-प्रदूषण के लिए उत्तरदायी नहीं है?
(a) गंगा में मछली पालना
(b) गंगा में कपड़ों का धोना
(c) गंगा में अधजले शव को बहाना
(d) गंगा में रासायनिक अपशिष्ट उत्सर्जन
उत्तर:
(a) गंगा में मछली पालना

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.4 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.4

Bihar Board Class 10 Maths सांख्यिकी Ex 14.4

प्रश्न 1.
निम्नलिखित बंटन किसी फैक्टरी के 50 श्रमिकों की दैनिक आय दर्शाता है :

उपर्युक्त बंटन को एक कम प्रकार के संचयी बारम्बारता बंटन में बदलिए और उसका तोरण खींचिए।
हल
दिए गए बारम्बारता बंटन से “कम प्रकार” का संचयी बारम्बारता बंटन प्राप्त करना

संचयी बारम्बारता वक्र (तोरण)

प्रश्न 2.
किसी कक्षा के 35 विद्यार्थियों की मेडिकल जाँच के समय, उनके भार निम्नलिखित रूप में रिकार्ड किए गए :

उपर्युक्त आँकड़ों के लिए कम प्रकार’ का तोरण खींचिए। इसके बाद माध्यिका भार ज्ञात कीजिए।
हल

संचयी बारम्बारता वक्र (तोरण)

माध्यिका ज्ञात करना : बिंदु = \(\frac{35}{2}\) = 17.5, Y-अक्ष पर लेकर, X-अक्ष के समान्तर रेखा खींचते हैं। जोकि बिन्दु P पर मिलती है। बिन्दु P का भुज वक्र से ज्ञात करते हैं। यही प्रतिच्छेदी बिन्दु ही अभीष्ट माध्यिका है।
ग्राफ से, माध्यिका भार = 46.5 किग्रा, माध्यिका वर्ग (46 – 48) है।
दिया है, निम्न माध्यिका वर्ग (l₁) = 46, f = 14, cf = 14, वर्ग माप (h) = 2
कुल प्रेक्षण (N) = 35

अत: माध्यिका समान है। जैसा कि हम ग्राफ से देखते हैं।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित सारणी किसी गाँव के 100 फार्मों में हुआ प्रति हेक्टेयर गेहूँ का उत्पादन दर्शाते हैं :

इस बंटन को से अधिक प्रकार के बंटन में बदलिए और फिर उसका तोरण खींचिए।
हल
दिए गए बंटन को ‘से अधिक’ प्रकार के बंटन में बदलना

“से अधिक” प्रकार का बंटन

संचयी बारम्बारता वक्र (तोरण)

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.5 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.5

Bihar Board Class 10 Maths पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.5

प्रश्न 1.
व्यास 3 mm वाले ताँबे के तार को 12 cm लम्बे और 10 cm व्यास वाले एक बेलन पर इस प्रकार लपेटा जाता है कि वह बेलन के व्रक पृष्ठ को पूर्णतया ढक लेता है। तार की लम्बाई और द्रव्यमान ज्ञात कीजिए, यह मानते हुए कि ताँबे का द्रव्यमान 8.88 g/cm³ हैं।
हल
बेलन का व्यास = 10 cm तथा बेलन की ऊँचाई = 12 cm
बेलन की परिधि = π × व्यास = π × 10 = 10π cm
बेलन पर 1 चक्कर लपेटने के लिए तार की लम्बाई = 10π cm
जब बेलन पर तार का 1 चक्कर लपेटते हैं तो उसकी 3 mm लम्बाई ढक जाती है।
जब बेलन पर तार के 2 चक्कर लपेटते हैं तो उसकी (2 × 3) mm लम्बाई ढक जाती है।
जब बेलन पर तार के 3 चक्कर लपेटते हैं तो उसकी (3 × 3) mm लम्बाई ढक जाती है।
जब बेलन पर तार के 4 चक्कर लपेटते हैं तो उसकी (4 × 3) mm लम्बाई ढक जाती है।
तब, सम्पूर्ण बेलन को ढकने के लिए तार के \(\frac{120}{3}\) = 40 चक्कर लपेटने होंगे।
40 चक्कर बेलन पर लपेटने के लिए आवश्यक तार की माप
= 40 × 10π
= 400π cm
= 400 × 3.14 cm
= 1256 cm
= 12.56 m (लगभग)
अत: तार की अभीष्ट लम्बाई = 12.56 m
तथा तार का द्रव्यमान = 1256 × 8.88 g
= 11153.3 g
= 11.153 kg

प्रश्न 2.
एक समकोण त्रिभुज, जिसकी भुजाएँ 3 cm और 4 cm हैं (कर्ण के अतिरिक्त), को उसके कर्ण के परितः घुमाया जाता है। इस प्रकार प्राप्त द्वि-शंकु (double cone) के आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (r का मान जो भी उपयुक्त लगे, प्रयोग कीजिए।)
हल

अतः समकोण ∆ABC के परिक्रमण से बने द्वि-शंकु की त्रिज्या (r) = 2.4 cm
तब, द्वि-शंकु (दोनों शंकुओं) का आयतन = शंकु (ABB’) का आयतन + शंकु (CBB’) का आयतन
= \(\frac{1}{3} \pi r^{2}\) (AO) + \(\frac{1}{3} \pi r^{2}\) (OC)
= \(\frac{1}{3} \pi r^{2}\) (AO + OC)
= \(\frac{1}{3} \pi r^{2}\) (AC) (∵ AO + OC = AC)
= \(\frac{1}{3} \pi\) × (2.4)² × 5
= 9.6π
= 9.6 × 3.14
= 30.144 cm³
और द्वि-शंकु (दोनों शंकुओं) का पृष्ठीय क्षेत्रफल = शंकु (ABB’) का वक्रपृष्ठ + शंकु (CBB’) का वक्र पृष्ठ
= πr(AB) + πr(BC)
= πr(AB + BC)
= 3.14 × 2.4 × (4 + 3)
= 3.14 × 2.4 × 7
= 52.75 cm²
अतः द्वि-शंकु का आयतन = 30.144 cm³
तथा पृष्ठीय क्षेत्रफल = 52.75 cm² (लगभग)।

प्रश्न 3.
एक टंकी, जिसके आन्तरिक मापन 150 cm × 120 cm × 110 cm हैं, में 129600 cm³ पानी है। इस पानी में कुछ छिद्र वाली ईंटें तब तक डाली जाती हैं, जब तक कि टंकी पूरी ऊपर तक भर न जाए। प्रत्येक ईंट अपने आयतन का \(\frac{1}{17}\) पानी सोख लेती है। यदि प्रत्येक ईंट की माप 22.5 cm × 7.5 cm × 6.5 cm है तो टंकी में कुल कितनी ईंटें डाली जा सकती हैं, ताकि उसमें से पानी बाहर न बहे?
हल
टंकी का आयतन = 150 × 120 × 110 cm³ = 1980000 cm³
टंकी में भरे पानी का आयतन = 129600 cm³
प्रत्येक ईंट का आयतन = 22.5 × 7.5 × 6.5 cm³ = 1096.875 cm³
माना टंकी में x ईंटें डालने पर टंकी पानी से ऊपर तक भर जाएगी।
तब, x ईंटों का आयतन = 1096.875x cm³
तब, ईंटों द्वारा शोषित पानी का आयतन = 1096.875 × \(\frac{1}{17}\) = \(\frac{1096.875 x}{17}\) cm³
तब, टंकी में शेष बचे पानी का आयतन = (129600 – \(\frac{1096.875 x}{17}\)) cm³
तब, x ईंटों का आयतन + टंकी में शेष बचे पानी का आयतन = टंकी का आयतन
⇒ 1096.875 x + 129600 – \(\frac{1096.875 x}{17}\) = 1980000
⇒ 1096.8757x – \(\frac{1096.875 x}{17}\) = 1980000 – 129600
⇒ 1096.875x(1 – \(\frac{1}{17}\)) = 1850400
⇒ 1096.875x = \(\frac{1850400 \times 17}{16}\)
⇒ x = \(\frac{1850400 \times 17}{16 \times 1096.875}\) = 1792.4
⇒ x = 1792
अत: टंकी में डाली गई ईंटों की संख्या 1792 (लगभग) है।

प्रश्न 4.
किसी महीने के 15 दिनों में, एक नदी की घाटी में 10 cm वर्षा हुई। यदि इस घाटी का क्षेत्रफल 97280 km² है तो दर्शाइए कि कल वर्षा लगभग तीन नदियों के सामान्य पानी के योग के समतुल्य थी, जबकि प्रत्येक नदी 1072 km लम्बी, 75 m चौड़ी और 3 m गहरी है।
हल
प्रत्येक नदी का आयतन = 1072 km × 75 m × 3 m
= 1072 × 75 × 3 × 1000 m³
= 241200000 m³
तीनों नदियों के कुल पानी का आयतन = 3 × 241200000 m³
नदियों का कुल पानी = 723600000 m³
घाटी का क्षेत्रफल = 97280 km²
= 97280 × (1000)² m²
= 97280000000 m²
वर्षा के पानी का आयतन = 97280000000 × \(\frac{10}{100}\) m3 (∵ 10 cm = \(\frac{10}{100}\) m)
= 9728000000 m³
ये दोनों आयतन बराबर होने चाहिए लेकिन ये बराबर नहीं हैं।
इससे स्पष्ट है कि प्रश्न में दिए तथ्य असंगत हैं।

प्रश्न 5.
टीन की बनी हुई एक तेल की कुप्पी 10 cm लम्बे एक बेलन में एक शंकु के छिन्नक को जोड़ने से बनी है। यदि इसकी कुल ऊँचाई 22 cm है, बेलनाकार भाग का व्यास 8 cm है और कुप्पी के ऊपरी सिरे का व्यास 18 cm है, तो इसके बनाने में लगी टीन की चादर का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल
दिया है, बेलनाकार भाग की ऊँचाई (h) = 10 cm
कुप्पी की कुल ऊँचाई = 22 cm
शंकु के छिन्नक की ऊँचाई (H) = 22 – 10 = 12 cm
शंकु के छिन्नक की ऊपरी त्रिज्या (R₁) = \(\frac{18}{2}\) = 9 cm
शंकु के छिन्नक की निचली त्रिज्या (R₂) = \(\frac{8}{2}\) = 4 cm
बेलनाकार भाग की त्रिज्या (r) = 4 cm
बेलनाकार भाग का वक्रपृष्ठ = 2πrh
= 2π × 4 × 10
= 80π cm²
शंकु के छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई

शंकु के छिन्नक का वक्र पृष्ठ = π(R₁ + R₂)l
= π(9 + 4) × 13
= 169π cm²
अतः कुप्पी का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलनाकार भाग का वक्र पृष्ठ + शंकु छिन्नक का वक्र पृष्ठ
= 80π + 169π
= 249π cm²
= 249 × \(\frac{22}{7}\) cm²
= \(\frac{5478}{7}\) cm²
= 782\(\frac{4}{7}\) cm²
अत: कुप्पी को बनाने में लगी टीन की चादर का क्षेत्रफल = 782\(\frac{4}{7}\) cm²

प्रश्न 6.
शंकु के एक छिन्नक के लिए, पूर्व स्पष्ट किए संकेतों का प्रयोग करते हुए, वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल के सूत्रों को सिद्ध कीजिए।
हल

माना एक शंकु (VAB) का शीर्ष V, आधार की त्रिज्या r₂ और तिर्यक ऊँचाई l₂ है। इस शंकु के शीर्ष V से h₁ नीचे स्थित बिन्दु O’ से आधार के समान्तर एक शंकु (VCD) काटा गया है जिसकी त्रिज्या r₁ तथा तिर्यक ऊँचाई l₁ है।
बिन्दु D से आधार पर लम्ब DE खींचा।
ΔVOD तथा ΔDOB में,
∠VO’D = ∠DEB [∵ VO ⊥ AB और VO’ ⊥ CD]
∠VDO’ = ∠DBE [संगत कोण]
ΔVOD और ΔDEB समरूप हैं।

छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = शंकु (VAB) का वक्र पृष्ठ – शंकु (VCD) का वक्र पृष्ठ
= πr₂l₂ – πr₁l₁
= πr₂(l₁ + BD) – πr₁l₁
= πr₂l₁ + πr₂ (BD) – πr₁l₁
= π(r₂ – l₁) l₁ + πr₂l (जहाँ BD = l = छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई है।)
= π(r₂ – r₁) \(\left(\frac{r_{1}}{r_{2}-r_{1}}\right)\) l + πr₂l [समी०(1) से]
= πr₁l + πr₂l
अत: छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = π(r₁ + r₂)l
इति सिद्धम्
और छिन्नक का सम्पूर्ण पृष्ठ = वक्र पृष्ठ + पहले सिरे का क्षेत्रफल + दूसरे सिरे का क्षेत्रफल
= π(r₁ + r₂) l + \(\pi r_{1}^{2}+\pi r_{2}^{2}\)
= π(r₁ + r₂) l + \(\pi\left(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}\right)\)
इति सिद्धम्

प्रश्न 7.
शंकु के एक छिन्नक के लिए, स्पष्ट संकेतों का प्रयोग करते हुए, आयतन का सूत्र सिद्ध कीजिए।
हल
पिछले प्रश्न से, शंकु (VAB) की ऊँचाई h₂ तथा त्रिज्या r₂ है।


इति सिद्धम्

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 15 प्रायिकता Additional Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 15 प्रायिकता Additional Questions

Bihar Board Class 10 Maths प्रायिकता Additional Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
यदि कोई घटना घटित नहीं होती है, तो इसकी प्रायिकता है
(i) 1
(ii) \(\frac{3}{4}\)
(iii) \(\frac{1}{2}\)
(iv) 0
हल
(iv) 0

प्रश्न 2.
निम्न में से कौन-सी, किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती है?
(i) \(\frac{1}{3}\)
(ii) 0.1
(iii) 0.3
(iv) \(\frac{17}{16}\)
हल
(iv) \(\frac{17}{16}\)

प्रश्न 3.
एक घटना बहुत असमान है, इसकी प्रायिकता निकटतम है
(i) 0.0001
(ii) 0.001
(iii) 0.01
(iv) 0.1
हल
(iv) 0.0001

प्रश्न 4.
यदि एक घटना की प्रायिकता P है, इसके पूरक घटना की प्रायिकता होगी
(i) P – 1
(ii) P
(iii) 1 – P
(iv) 1 – \(\frac{1}{P}\)
हल
(iii) 1 – P

प्रश्न 5.
किसी निश्चित घटना की प्रायिकता की प्रतिशतता कभी भी नहीं हो सकती
(i) 100 से कम
(ii) शून्य से कम
(iii) 1 से अधिक
(iv) कोई भी परन्तु एक पूर्ण संख्या
हल
(ii) शून्य से कम

प्रश्न 6.
यदि P(A), घटना A की प्रायिकता व्यक्त करती है. तब
(i) P(A) < 0
(ii) P(A) > 1
(iii) 0 ≤ P(A) ≤ 1
(iv) -1 ≤ P(A) ≤ 1
हल
(iii) 0 ≤ P(A) ≤ 1

प्रश्न 7.
ताश के 52 पत्तों में से एक पत्ता चुना गया है। इसके लाल फेस कार्ड हाने की प्रायिकता है
(i) \(\frac{3}{26}\)
(ii) \(\frac{3}{13}\)
(iii) \(\frac{2}{13}\)
(iv) \(\frac{1}{2}\)
हल
(i) \(\frac{3}{26}\)

प्रश्न 8.
यदृच्छया चुने गये एक नोन-लीप वर्ष में 53 रविवार होने की प्रायिकता है
(i) \(\frac{1}{7}\)
(ii) \(\frac{2}{7}\)
(iii) \(\frac{3}{7}\)
(iv) \(\frac{5}{7}\)
हल
(i) \(\frac{1}{7}\)

प्रश्न 9.
जब एक पासे को उछाला जाता है, तीन से छोटी विषम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता है
(i) \(\frac{1}{6}\)
(ii) \(\frac{1}{3}\)
(iii) \(\frac{1}{2}\)
(iv) 0
हल
(i) \(\frac{1}{6}\)

प्रश्न 10.
ताश की 52 पत्तों की गड्डी से एक पत्ता निकाला जाता है उस पत्ते के पान का इक्का न होने की प्रायिकता E है। E के संभव परिणाम हैं।
(i) 4
(ii) 13
(iii) 48
(iv) 51
हल
(iv) 51

प्रश्न 11.
400 अंडों के एक संग्रह में से एक खराब अंडा प्राप्त करने की प्रायिकता 0.035 है। इस संग्रह में खराब अंडों की संख्या है
(i) 7
(ii) 14
(iii) 21
(iv) 28
हल
(ii) 14

प्रश्न 12.
कोई लड़की एक कलन परिकलित करती है कि उसके द्वारा एक लॉटरी में प्रथम पुरस्कार जीतने की प्रायिकता 0.08 है। यदि 6000 टिकट बेचे गए हैं, तो उस लड़की ने कितने टिकट खरीदे हैं?
(i) 40
(ii) 240
(iii) 480
(iv) 750
हल
(iii) 480

प्रश्न 13.
किसी थैले में कुछ टिकट हैं, जिन पर 1 से 40 तक संख्याएँ अंकित हैं। इसमें से यादृच्छिक रूप से एक टिकट निकाला जाता है। इसकी प्रायिकता कि निकाले गए इस टिकट की संख्या 5 का एक गुणज हो, निम्नलिखित है
(i) \(\frac{1}{5}\)
(ii) \(\frac{3}{5}\)
(iii) \(\frac{4}{5}\)
(iv) \(\frac{1}{3}\)
हल
(i) \(\frac{1}{5}\)

प्रश्न 14.
किसी व्यक्ति से 1 से 100 तक की संख्याओं में से एक संख्या चुनने को कहा जाता है। इस संख्या के अभाज्य संख्या होने की प्रायिकता है
(i) \(\frac{1}{5}\)
(ii) \(\frac{6}{25}\)
(iii) \(\frac{1}{4}\)
(iv) \(\frac{13}{50}\)
हल
(iii) \(\frac{1}{4}\)

अतिलघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
एक थैले में 4 लाल तथा 6 काली गेंदें हैं। थैले में से एक गेंद यदृच्छया निकाली गई। एक काली गेंद निकलने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल
जब थैले से यदृच्छया एक गेंद बाहर निकाली जाती है तो निकाली गई गेंद के लाल होने की कुल सम्भावनाएँ 4 हैं तथा गेंद काली होने की सम्भव घटनाएँ 6 हो सकती हैं।
कुल सम्भावित परिणाम = 6 + 4 = 10
और गेंद काली होने के सम्भव परिणाम = 6
अत: निकाली गई गेंद काले रंग की होने की प्रायिकता = \(\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\)

प्रश्न 2.
एक पासे को एक बार फेंका जाता है। एक सम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल
पासे पर सम संख्या (2, 4, 6) = 3
कुल संख्या = 6
सम संख्या आने की प्रायिकता = \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)

प्रश्न 3.
एक थैले में एक से लेकर दस अंक तक के दस टिकट हैं, थैले से यदृच्छया एक टिकट निकाला जाता है। निकाले गए टिकट पर विषम अंक होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल
थैले में 1 से लेकर 10 अंक तक के टिकट हैं।
n(S) = 10
विषम अंक 1, 3, 5, 7, 9 होंगे।
n(E) = 5
विषम अंक प्राप्त होने की प्रायिकता = \(\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\)

प्रश्न 4.
अच्छे प्रकार से फेंटी गई 52 पत्तों की एक गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है। उस पत्ते के इक्का होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल
गड्डी में कुल 52 पत्ते हैं
अत: गड्डी में से 1 पत्ता निकालने पर कुल सम्भव परिणाम = 52
52 पत्तों में इक्के केवल 4 हैं।
इक्का निकालने के अनुकूल परिणामों की संख्या = 4
पत्ते के इक्का होने की प्रायिकता

प्रश्न 5.
किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता 0.7 है तो उस घटना के न घटित होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल
घटना के न घटित होने की प्रायिकता = 1 – घटना के घटित होने की प्रायिकता
= 1 – 0.7
= 0.3

प्रश्न 6.
एक असम्भव घटना की प्रायिकता कितनी होती है?
उत्तर
असम्भव घटना की प्रायिकता शून्य होती है।

प्रश्न 7.
एक निश्चित घटना की प्रायिकता कितनी होगी?
उत्तर
निश्चित घटना की प्रायिकता 1 होगी।

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
एक थैले में 6 काली, 7 लाल तथा 2 सफेद गेंदे हैं। इस थैले में से एक गेंद यदृच्छया निकाली जाती है, प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाली गयी गेंदे (i) काली या सफेद हो, (ii) लाल हो।
हल
थैले में 6 काली, 7 लाल तथा 2 सफेद गेंदे हैं।
(i) कुल गेंद = 6 + 7 + 2 = 15
काली गेंद = 6
काली गेंद निकालने की प्रायिकता = \(\frac{6}{15}\)
सफेद गेंद = 2
सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता = \(\frac{2}{15}\)
अतः काली या सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता = \(\frac{6}{15}+\frac{2}{15}=\frac{8}{15}\)

(ii) थैले में लाल गेंद = 7
लाल गेंद निकालने की प्रायिकता = \(\frac{7}{15}\)

प्रश्न 2.
दो सिक्के एक साथ उछाले जाते हैं। निम्नलिखित के प्राप्ति की प्रायिकता ज्ञात कीजिए :
(i) दो शीर्ष,
(ii) कम-से-कम एक शीर्ष।
हल
यदि शीर्ष को H तथा पुच्छ को T से प्रदर्शित किया जाए तो दो सिक्कों को एक साथ उछालने पर,
(i) प्रतिदर्श समष्टि S = {HH, HT, TH, TT}
n(S) = 4
दोनों शीर्ष एक बार (H, H)
दो शीर्ष आने की प्रायिकता = \(\frac{1}{4}\)

(ii) कम-से-कम एक शीर्ष n(E) = 3 {HT, TH, TT}
कम-से-कम एक शीर्ष आने की प्रायिकता = \(\frac{3}{4}\)

प्रश्न 3.
एक कक्षा में 18 लड़कियाँ तथा 16 लड़के हैं। कक्षा अध्यापिका को एक विद्यार्थी कक्षा प्रतिनिधि के रूप में चुनना है। वह प्रत्येक विद्यार्थी का नाम एक अलग कार्ड पर लिखती है, जबकि कार्ड एक जैसे हैं। फिर वह इन कार्यों को एक थैले में डालकर अच्छी तरह हिलाती है और तब थैले में से एक कार्ड निकालती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि कार्ड पर लिखा हुआ नाम
(i) लड़की का है?
(ii) लड़के का है?
हल
(i) कार्ड एक जैसे हैं तथा कार्ड निकालने से पहले उन्हें अच्छी तरह हिलाया गया है, अत: सभी परिणाम समप्रायिक हैं।
लड़कियों का नाम लिखे कार्यों की संख्या = 18
तथा लड़कों का नाम लिखे कार्डों की संख्या = 16
एक कार्ड निकालने पर कुल परिणामों की संख्या = 18 + 16 = 34
जबकि लड़की के नाम का कार्ड निकलने के अनुकूल परिणामों की संख्या = 18
लड़की का कार्ड निकलने की प्रायिकता = \(\frac{18}{34}=\frac{9}{17}\)

(ii) अब लड़के का कार्ड निकलने के अनुकूल परिणामों की संख्या = 16
लड़के का कार्ड निकलने की प्रायिकता = \(\frac{16}{34}=\frac{8}{17}\)

प्रश्न 4.
दो सिक्के एक साथ उछाले जाते हैं। निम्नलिखित के प्राप्त होने की प्रायिकता क्या है?
(i) कम-से-कम एक पट
(ii) अधिक-से-अधिक दो चित।
हल
दो सिक्कों की उछाल में प्रतिदर्श समष्टि
S = {HH, HT, TH, TT}
(i) कम-से-कम एक पट आने की घटना
E₁ = {TH, HT, TT}
इसकी प्रायिकता P(E₁) = \(\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{3}{4}\)

(ii) अधिक-से-अधिक दो चित आने की घटना
E₂ = {HH, HT, TH, TT} = S
अतः अभीष्ट प्रायिकता P(E₂) = \(\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{4}{4}=1\)

प्रश्न 5.
एक थैले में 2 लाल, 3 सफेद और 4 नीले कंचे हैं। यदि इस थैले में से एक कंचा यदृच्छया निकाला जाता है तो इसकी क्या प्रायिकता होगी कि यह कंचा-
(i) सफेद है?
(ii) लाल है?
हल
थैले में कुल कंचे = 2 + 3 + 4 = 9 = n(S)
(i) सफेद कंचे = 3 = n(E₁)
सफेद कंचा निकालने की प्रायिकता = \(\frac{n\left(E_{1}\right)}{n(S)}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\)

(ii) थैले में लाल कंचे = 2 = n(E₂)
लाल कंचा निकालने की प्रायिकता = \(\frac{n\left(E_{2}\right)}{n(S)}=\frac{2}{9}\)

प्रश्न 6.
एक बॉक्स में 20 गेंदें हैं, जिनमें 1, 2, 3, ….., 20 अंक लिखे गए हैं। बॉक्स में से एक गेंद निकाली जाती है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि गेंद पर लिखी संख्या
(i) 3 से विभाज्य है
(ii) 3 से विभाज्य नहीं है।
हल
(i) गेंदों की कुल संख्या = 20
यदि एक गेंद यदृच्छया निकाली जाती है तो कुल सम्भव परिणाम = (1, 2, 3,…., 20) = 20
इन परिणामों में से 3 से विभाज्य संख्याएँ = (3, 6, 9, 12, 15, 18) = 6
अत: गेंद पर लिखी संख्या के 3 से विभाज्य होने की प्रायिकता = \(\frac{6}{20}=\frac{3}{10}\)

(ii) प्रायिकता कि गेंद पर लिखी संख्या 3 से विभाज्य है + प्रायिकता कि गेंद पर लिखी संख्या 3 से विभाज्य नहीं है = 1
⇒ \(\frac{3}{10}\) + प्रायिकता कि गेंद पर लिखी संख्या 3 से विभाज्य नहीं है = 1
⇒ प्रायिकता कि गेंद पर लिखी संख्या 3 से विभाज्य नहीं है = 1 – \(\frac{3}{10}\) = \(\frac{7}{10}\)

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
एक पेटी में 30 डिस्क हैं जिन पर 1 से 30 तक की संख्याएँ अंकित हैं। यदि इस पेटी में से एक डिस्क यदृच्छया निकाली जाती है तो इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इस डिस्क पर अंकित होगी :
(i) दो अंकों की एक संख्या
(ii) एक पूर्ण वर्ग संख्या।
हल
विश्लेषण : चित्र में 30 डिस्क दिखाई गई हैं प्रत्येक डिस्क पर 1 से 30 तक की कोई एक संख्या अंकित है। कोई संख्या न तो विलुप्त है और न दोहराई गई (दुबारा लिखी गई) है।
इन डिस्क्स को एक पेटी में रखा गया है।
पेटी में से एक डिस्क यदृच्छया निकाली जाती है।
डिस्क पर अंकित संख्या के लिए,

कुल सम्भावित परिणाम = 30
(i) यदृच्छया चुनी डिस्क पर अंकित संख्या दो अंकों की हो; इस घटना के अनुकूल परिणाम = 21
दो अंकों वाली संख्याएँ = 21
अत: निकाली डिस्क पर दो अंकों वाली संख्या अंकित होने की प्रायिकता

(ii) यदृच्छया चुनी डिस्क पर पूर्ण वर्ग संख्या अंकित हो। घटना के अनुकूल परिणाम = 1, 4, 9, 16, 25, कुल 5 परिणाम हैं।
अत: निकाली गई डिस्क पर पूर्ण वर्ग संख्या अंकित होने की प्रायिकता

प्रश्न 2.
कार्ड, जिन पर 5 से 50 तक की संख्याएँ अंकित हैं, एक बॉक्स में रखकर अच्छी तरह से मिलाए जाते हैं। तब बॉक्स में से एक कार्ड यदच्छया निकाला गया। निकाले गए कार्ड पर निम्न के आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए :
(i) 10 से छोटी एक अभाज्य संख्या।
(ii) एक पूर्ण वर्ग संख्या।
हल
बॉक्स में रखे कार्ड्स पर अंकित कुल संख्याएँ प्रतिदर्श

∴ n(S) = 46
प्रतिदर्श समष्टि S में,
10 से छोटी अभाज्य संख्याएँ = 5 व 7 और ⇒ n(A) = 2
पूर्ण वर्ग संख्याएँ = 9, 16, 25, 36, 49 ⇒ n(E) = 5
(i) निकाले गए कार्ड पर 10 से छोटी अभाज्य संख्या अंकित होने की घटना A हो तो n(A) = 2
अत: बॉक्स से यदृच्छया निकाले गए कार्ड पर 10 से छोटी संख्या अंकित होने की प्रायिकता
\(P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{2}{46}=\frac{1}{23}\)

(ii) जब बॉक्स में से यदृच्छया एक कार्ड निकाला जाए और निकाले गए कार्ड पर अंकित संख्या के पूर्ण वर्ग होने की घटना E हो तो n(E) = 5
अतः निकाले गए कार्ड पर पूर्ण वर्ग संख्या अंकित होने की प्रायिकता,
\(P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{5}{46}\)

प्रश्न 3.
एक पिग्गी बैंक (Piggy Bank) में, ₹ 2 के 30 सिक्के, ₹ 5 के 20 सिक्के और ₹ 10 के 10 सिक्के हैं। यदि पिग्गी बैंक को हिलाकर उल्टा करने पर कोई एक सिक्का गिरने के परिणाम समप्रायिक हैं तो इसकी क्या प्रायिकता है कि वह गिरा हुआ सिक्का
(i) ₹ 2 का होगा?
(ii) ₹ 10 का नहीं होगा?
हल
₹ 2 के सिक्कों की संख्या = 30
₹ 5 के सिक्कों की संख्या = 20
₹ 10 के सिक्कों की संख्या = 10
पिग्गी बैंक को अच्छी तरह हिलाकर उल्टा करने पर 1 सिक्का गिरने की घटना के सभी परिणाम सम-सम्भावी हैं, तब
(i) यदि गिरा हुआ सिक्का ₹ 2 का होने की घटना H हो, तो
घटना H के अनुकूल परिणाम = 30
तथा कुल सम्भव परिणाम = 30 + 20 + 10 = 60
अत: गिरा हुआ सिक्का ₹ 2 का हो, इसकी प्रायिकता
P(H) = \(\frac{30}{60}=\frac{1}{2}\)

(ii) गिरा हुआ सिक्का ₹ 10 का होने के अनुकूल परिणाम 10 हैं।
गिरा हुआ सिक्का ₹ 10 का होने की प्रायिकता = \(\frac{10}{60}=\frac{1}{6}\)
अत: गिरा हुआ सिक्का ₹ 10 का न होने की प्रायिकता = 1 – \(\frac{1}{6}\) = \(\frac{5}{6}\)

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.3 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.3

Bihar Board Class 10 Maths सांख्यिकी Ex 14.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित बारम्बारता बंटन किसी मौहल्ले के 68 उपभोक्ताओं की बिजली की मासिक खपत दर्शाता है। इन आँकड़ों के माध्यिका, माध्य और बहुलक ज्ञात कीजिए। इनकी तुलना कीजिए।

हल
दिए गए बारम्बारता बंटन के लिए माध्य और माध्यिका की गणना सारणी
माना कल्पित माध्य, A = 115 तथा वर्ग माप, h = 20 है।

यहाँ उपभोक्ताओं की संख्या, N = 68
⇒ \(\frac{N}{2}=\frac{68}{2}=34\)
संचयी बारम्बारता सारणी से स्पष्ट है कि 34 संचयी बारम्बारता 42 के अन्तर्गत है, इसलिए (125 – 145) माध्यिका वर्ग हुआ।
माध्यिका वर्ग की निम्न सीमा (l₁) = 125
माध्यिका वर्ग की उच्च सीमा (l₂) = 145
माध्यिका वर्ग का वर्ग विस्तार (h) = l₂ – l₁ = 245 – 125 = 20
माध्यिका वर्ग के ठीक पहले वर्ग की संचयी बारम्बारता (cf) = 22
माध्यिका वर्ग की बारम्बारता (f) = 20


बहुलक के लिए : चूँकि अधिकतम बारम्बारता f = 20 है। इसलिए इसका बहुलक वर्ग (125 – 145)
बहुलक वर्ग की निम्न सीमा (l₁) = 125
बहुलक वर्ग की उच्च सीमा (l₂) = 145
बहुलक वर्ग का विस्तार (h) = l₂ – l₁ = 145 – 125 = 20
बहुलक वर्ग की बारम्बारता (f) = 20
बहुलक वर्ग के ठीक पहले वर्ग की बारम्बारता (f₁) = 13
बहुलक वर्ग के ठीक बाद के वर्ग की बारम्बारता (f₂) = 14

तुलनात्मक रूप से तीनों मापें लगभग समान हैं।

प्रश्न 2.
यदि नीचे दिए गए बंटन का माध्यिका 28.5 हो, तो x और y के मान ज्ञात कीजिए :

हल
संचयी बारम्बारता के लिए सारणी

परन्तु बारम्बारताओं का योग N = 60 है।
अन्तिम वर्ग की संचयी बारम्बारता सभी बारम्बारताओं के योगफल के बराबर होती है।
45 + x + y = 60
⇒ x + y = 15 ……(1)
दिया है, माध्यिका 28.5 है।
माध्यिका वर्ग = (20 से 30 तक)
माध्यिका वर्ग की निम्न सीमा (l₁) = 20
माध्यिका वर्ग की अन्य सीमा (l₂) = 30
माध्यिका वर्ग का वर्ग विस्तार (h) = 30 – 20 = 10
माध्यिका वर्ग की बारम्बारता (f) = 20
माध्यिका वर्ग के पूर्व वर्ग की संचयी बारम्बारता (cf) = x + 5

⇒ 8.5 = \(\frac{30-x-5}{2}\)
⇒ 17 = 25 – x
⇒ x = 25 – 17
⇒ x = 8 ……(2)
x का मान समी० (1) में रखने पर,
8 + y = 15
⇒ y = 15 – 8 = 7
अत: x = 8 तथा y = 7

प्रश्न 3.
एक जीवन बीमा एजेण्ट 100 पॉलिसी धारकों की आयु के बंटन के निम्नलिखित आँकड़े ज्ञात करता है। माध्यिका आयु परिकलित कीजिए, यदि पॉलिसी केवल उन्हीं व्यक्तियों को दी जाती है, जिनकी आयु 18 वर्ष या उससे अधिक हो, परन्तु 60 वर्ष से कम हो।

हल

यहाँ, N = 100
⇒ \(\frac{N}{2}=\frac{100}{2}=50\)
संचयी बारम्बारता सारणी से स्पष्ट है कि 50 संचयी बारम्बारता 78 के अन्तर्गत है, इसलिए (35 – 40) माध्यिका वर्ग हुआ।
माध्यिका वर्ग की निम्न सीमा (l₁) = 35
माध्यिका वर्ग की उच्च सीमा (l₂) = 40
माध्यिका वर्ग (h) = l₂ – l₁ = 40 – 35 = 5
माध्यिका वर्ग की बारम्बारता (f) = 33
माध्यिका वर्ग के ठीक पहले वर्ग की संचयी बारम्बारता (cf) = 45

= 35 + \(\frac{(50-45) \times 5}{33}\)
= 35 + \(\frac{25}{33}\)
= 35 + 0.76
= 35.76 वर्ष (लगभग)
अत: माध्यिका = 35.76 वर्ष (लगभग)

प्रश्न 4.
एक पौधे की 40 पत्तियों की लम्बाइयाँ निकटतम मिलीमीटरों में मापी जाती है तथा प्राप्त आँकड़ों को निम्नलिखित सारणी के रूप में निरूपित किया जाता है :

पत्तियों की माध्यिका लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल
चूँकि आँकड़ें सतत् नहीं है। अत: हमें माध्यिका ज्ञात करने के लिए इन्हें सतत् में बदलने की आवश्यकता है, तब वर्ग 117.5 – 126.5, 126.5 – 135.5…; 171.5 – 180.5 में बदल जाएँगे।
तब, परिकलित संचयी बारम्बारता सारणी

N = 40
⇒ \(\frac{N}{2}=\frac{40}{2}=20\)
संचयी बारम्बारता सारणी से स्पष्ट है कि 20 संचयी बारम्बारता 29 के अन्तर्गत है, इसलिए (144.5 – 153.5) माध्यिका वर्ग हुआ।
माध्यिका वर्ग की निम्न सीमा (l₁) = 144.5
माध्यिका वर्ग उच्च सीमा (l₂) = 153.5
वर्गमाप या माध्यिका वर्ग का वर्ग अन्तराल (h) = l₂ – l₁ = 153.5 – 144.5 = 9
.माध्यिका वर्ग की बारम्बारता (f) = 12
माध्यिका वर्ग के ठीक पहले वर्ग की संचयी बारम्बारता (cf) = 17


अत: पत्तियों की माध्यिका लम्बाई = 146.75 मिमी

प्रश्न 5.
निम्नलिखित सारणी 400 निऑन लैम्पों के जीवनकालों (life time) को प्रदर्शित करती है:

एक लैम्प का माध्यिका जीवनकाल ज्ञात कीजिए।
हल
माध्यिका हेतु संचयी बारम्बारता सारणी

यहाँ N = 400
⇒ \(\frac{N}{2}=\frac{400}{2}=200\)
संचयी बारम्बारता सारणी से स्पष्ट है कि 200 संचयी बारम्बारता 216 के अन्तर्गत है, इसलिए (3000 – 3500) माध्यिका वर्ग हुआ।
माध्यिका वर्ग की निम्न सीमा (l₁) = 3000
माध्यिका वर्ग की उच्च सीमा (l₂) = 3500
माध्यिका वर्ग का वर्ग अन्तराल (h) = l₂ – l₁ = 3500 – 3000 = 500
माध्यिका वर्ग की बारम्बारता (f) = 86
माध्यिका वर्ग के ठीक पहले वर्ग की संचयी बारम्बारता (cf) = 130


अत: लैम्पों का माध्यिका जीवनकाल = 3406.98 घण्टे

प्रश्न 6.
एक स्थानीय टेलीफोन निर्देशिका से 100 कुलनाम (surnames) लिए गए और उनमें प्रयुक्त अंग्रेजी वर्णमाला के अक्षरों की संख्या का निम्नलिखित बारम्बारता बंटन प्राप्त हुआ:

कुलनामों में माध्यिका अक्षरों की संख्या ज्ञात कीजिए। कुलनामों में माध्य अक्षरों की संख्या ज्ञात कीजिए। साथ ही, कुलनामों का बहुलक ज्ञात कीजिए।
हल
माध्यिका एवं माध्य की गणना के लिए सारणी

यहाँ N = 100
⇒ \(\frac{N}{2}=\frac{100}{2}=50\)
संचयी बारम्बारता सारणी से स्पष्ट है कि 50 संचयी बारम्बारता 76 के अन्तर्गत है, इसलिए (7 – 10) माध्यिका वर्ग हुआ।
माध्यिका वर्ग की निम्न सीमा (l₁) = 7
माध्यिका वर्ग की उच्च सीमा (l₂) = 10
माध्यिका वर्ग का वर्ग अन्तराल (h) = l₂ – l₁ = 10 – 7 = 3
माध्यिका वर्ग की बारम्बारता (f) = 40
माध्यिका वर्ग के ठीक पहले वर्ग की संचयी बारम्बारता (cf) = 36

अतः कुलनामों में माध्य अक्षरों की संख्या 8.32 है।
बहुलक के लिए : बहुलक वर्ग = 7 – 10, है, क्योंकि इसकी अधिकतम बारम्बारता f = 40 है।
बहुलक वर्ग की निम्न सीमा (l₁) = 7
बहुलक वर्ग की उच्च सीमा (l₂) = 10
बहुलक वर्ग का वर्ग अन्तराल (h) = l₂ – l₁ = 10 – 7 = 3
बहुलक वर्ग की बारम्बारता (f) = 40
बहुलक वर्ग के ठीक पूर्व वर्ग की बारम्बारता (f₁) = 30
बहुलक वर्ग के ठीक बाद के वर्ग की बारम्बारता (f₂) = 16

अतः कुलनामों का बहुलक 7.88 है।

प्रश्न 7.
नीचे दिया हुआ बंटन एक कक्षा के 30 विद्यार्थियों के भार दर्शा रहा है। विद्यार्थियों का माध्यिका भार ज्ञात कीजिए।

हल
माध्यिका की गणना के लिए संचयी बारम्बारता सारणी

यहाँ, N = 30
⇒ \(\frac{N}{2}=\frac{30}{2}=15\)
संचयी बारम्बारता सारणी से स्पष्ट है कि 15 संचयी बारम्बारता 19 के अन्तर्गत है, इसलिए (55 – 60) माध्यिका वर्ग हुआ।
माध्यिका वर्ग की निम्न सीमा (l₁) = 55
माध्यिका वर्ग की उच्च सीमा (l₂) = 60
माध्यिका वर्ग का वर्ग अन्तराल (h) = l₂ – l₁ = 60 – 55 = 5
माध्यिका वर्ग की बारम्बारता (f) = 6
माध्यिका वर्ग के ठीक पहले वर्ग की संचयी बारम्बारता (cf) = 13

अत: विद्यार्थियों के भार का माध्यिका = 56.67 किग्रा (लगभग)

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.4 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.4

Bihar Board Class 10 Maths पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.4

(जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = \(\frac {22}{7}\) लीजिए।)

प्रश्न 1.
पानी पीने वाला एक गिलास 14 cm ऊँचाई वाले एक शंकु के छिन्नक के आकार का है। दोनों वृत्ताकार सिरों के व्यास 4 cm और 2 cm हैं। इस गिलास की धारिता ज्ञात कीजिए।
हल

दिया है, शंकु के छिन्नक के व्यास क्रमश: 4 cm व 2 cm हैं।
त्रिज्या (r₁) = 2 cm तथा त्रिज्या (r₂) = 1 cm
गिलास की ऊँचाई (h) = 14 cm
शंकु के छिन्नक के आकार के गिलास का आयतन

अत: गिलास की धारिता = 102\(\frac{2}{3}\) cm³

प्रश्न 2.
एक शंकु के छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई 4 cm है तथा इसके वृत्तीय सिरों के परिमाप (परिधियाँ) 18 cm और 6 cm हैं। इस छिन्नक का व्रक पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल
दिया है, शंकु के छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई (l) = 4 cm
एक सिरे की वृत्तीय परिधि, 2πr₁ = 18 cm ⇒ πr₁ = 9 cm
दूसरे सिरे की वृत्तीय परिधि, 2πr₂ = 6 cm ⇒ πr₂ = 3 cm
छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = π(r₁ + r₂)l
= (πr₁ + πr₂)l
= (9 + 3) × 4
= 48 cm²
अतः छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 48 cm²

प्रश्न 3.
एक तुर्की टोपी शंकु के छिन्नक के आकार की है (चित्र देखिए)। यदि इसके खुले सिरे की त्रिज्या 10 cm है, ऊपरी सिरे की त्रिज्या 4 cm है और टोपी की तिर्यक ऊँचाई 15 cm है, तो इसके बनाने में प्रयुक्त पदार्थ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल
दिया है, टोपी शंकु के छिन्नक के आकार की है जिसकी तिर्यक ऊँचाई (l) = 15 cm,
त्रिज्या (r₁) = 10 cm तथा त्रिज्या (r₂) = 4 cm
टोपी का वक्रपृष्ठ = π(r₁ + r₂)l
= \(\frac{22}{7}\) (10 + 4) × 15
= 660 cm²
टोपी के बन्द सिरे का क्षेत्रफल = \(\pi r_{2}^{2}\)
= \(\frac{22}{7}\) × (4)²
= \(\frac{352}{7}\) cm²
= 50\(\frac{2}{7}\) cm²
टोपी में लगा कुल कपड़ा = टोपी का वक्रपृष्ठ + बन्द सिरे का क्षेत्रफल
= (660 + 50\(\frac{2}{7}\))
= 710\(\frac{2}{7}\) cm²
अत: टोपी बनाने में प्रयुक्त पदार्थ का क्षेत्रफल = 710\(\frac{2}{7}\) cm²

प्रश्न 4.
धातु की चादर से बना और ऊपर से खुला एक बर्तन शंकु के एक छिन्नक के आकार का है, जिसकी ऊँचाई 16 cm है तथा निचले और ऊपरी सिरों की त्रिज्याएँ क्रमश 8 cm और 20 cm हैं। ₹ 20 प्रति लीटर की दर से, इस बर्तन को पूरा भर सकने वाले दूध का मूल्य ज्ञात कीजिए। साथ ही, इस बर्तन को बनाने के लिए प्रयुक्त धातु की चादर का मूल्य ₹ 8 प्रति 100 cm² की दर से ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 लीजिए)
हल
दिया है, बर्तन शंकु के छिन्नक के आकार का है जिसकी ऊँचाई (h) =16 cm
और शंकु के ऊपरी सिरे की त्रिज्या (r₁) = 20 cm तथा शंकु के निचले सिरे की त्रिज्या (r₂) = 8 cm
तब, बर्तन का आयतन = छिन्नक का आयतन

= 3328 × 3.14
= 10449.92 cm³
बर्तन को दूध से भरने के लिए 10449.92 cm³ अथवा 10.450 लीटर दूध चाहिए।
तब, ₹ 20 प्रति लीटर की दर से दूध का मूल्य = 20 × 10.45 = ₹ 209
बर्तन को बनाने में वक्रपृष्ठ एवं आधार पर चादर प्रयुक्त होगी,
तब, बर्तन के आधार का क्षेत्रफल = \(\pi r_{2}^{2}\)
= 3.14 × (8)²
= 3.14 × 64
= 200.96 cm³
बर्तन की तिर्यक ऊँचाई (l) = \(\sqrt{h^{2}+\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}}\)
= \(\sqrt{(16)^{2}+(20-8)^{2}}\)
= \(\sqrt{256+144}\)
= \(\sqrt{400}\)
= 20 cm
तब, बर्तन का वक्रपृष्ठ = π(r₁ + r₂)l
= 3.14(20 + 8) × 20
= 3.14 × 28 × 20
= 1758.4 cm³
बर्तन में प्रयुक्त चादर का क्षेत्रफल = (1758.4 + 200.96) cm² = 1959.36 cm²
अतः ₹ 8 प्रति 100 cm² की दर से चादर का मूल्य = \(\frac{8}{100}\) × 1959.36
= ₹ 156.7488
= ₹ 156.75
अत: दूध का मूल्य = ₹ 209 तथा चादर का मूल्य = ₹ 156.75

प्रश्न 5.
20 cm ऊँचाई और शीर्ष कोण (vertical angle) 60° वाले एक शंकु को उसकी ऊँचाई के बीचो-बीच से होकर जाते हुए एक तल से दो भागों में काटा गया है, जबकि तल शंकु के आधार के समान्तर है। यदि इस प्राप्त शंकु के छिन्नक को व्यास \(\frac{1}{16}\) cm वाले एक तार के रूप में बदल दिया जाता है तो तार की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल

चित्र में किसी शंकु के आधार का व्यास A’OA है तथा शीर्ष V है।
शंकु का शीर्ष कोण A’VA = 60° है, तब शंकु का अर्द्धशीर्ष कोण (α) = 30°
शंकु की ऊँचाई = 20 cm है।
तब, समकोण ΔOAV में,

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 15 प्रायिकता Ex 15.2 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 15 प्रायिकता Ex 15.2

Bihar Board Class 10 Maths प्रायिकता Ex 15.2

प्रश्न 1.
दो ग्राहक श्याम और एकता एक विशेष दुकान पर एक ही सप्ताह में जा रहे हैं (मंगलवार से शनिवार तक)। प्रत्येक द्वारा दुकान पर किसी दिन या किसी अन्य दिन जाने के परिणाम समप्रायिक हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि दोनों उस दुकान पर
(i) एक ही दिन जाएँगे?
(ii) क्रमागत दिनों में जाएँगे?
(iii) भिन्न-भिन्न दिनों में जाएँगे?
हल
मंगलवार से शनिवार तक दिनों की संख्या = 5
कुल सम्भव परिणामों की संख्या = 5 × 5 = 25
(i) दोनों ग्राहकों के एक ही दिन जाने के अनुकूल परिणाम = (T, T) (W, W) (Th, Th) (F, F) (S, S) = 5
अतः दोनों के दुकान पर एक ही दिन जाने की प्रायिकता = \(\frac{5}{25}=\frac{1}{5}\)

(ii) दोनों ग्राहकों के दुकान पर क्रमागत दिनों में जाने के अनुकूल परिणाम

अत: दोनों ग्राहकों के दुकान पर क्रमागत दिनों में जाने की प्रायिकता = \(\frac{8}{25}\)

(iii) दोनों के दुकान पर एक ही दिन जाने की प्रायिकता P = \(\frac{1}{5}\)
दोनों के दुकान पर एक ही दिन न जाने की प्रायिकता P’ = 1 – P
= 1 – \(\frac{1}{5}\)
= \(\frac{4}{5}\)
अत: दोनों के दुकान पर भिन्न-भिन्न दिनों में जाने की प्रायिकता = \(\frac{4}{5}\)

प्रश्न 2.
एक पासे के फलकों पर संख्याएँ 1, 2, 2, 3, 3 और 6 लिखी हुई हैं। इसे दो बार फेंका जाता है तथा दोनों बार प्राप्त हुई संख्याओं के योग लिख लिए जाते हैं। दोनों बार फेंकने के बाद, प्राप्त योग के कुछ सम्भावित मान निम्नलिखित सारणी में दिए हैं, इस सारणी को पूरा कीजिए।

इसकी क्या प्रायिकता है कि कुल योग
(i) एक सम संख्या होगा?
(ii) 6 है?
(iii) कम-से-कम 6 है?
हल
सारणी की पूर्ति पहली बार फेंकने के मान

(i) कुल योग सम संख्या होने के अनुकूल परिणाम = घेरे वाले अंक = 18
कुल सम्भव परिणाम = 6 × 6 = 36
अतः योग सम संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता = \(\frac{18}{36}=\frac{1}{2}\)

(ii) कुल योग 6 हो, इसके अनुकूल परिणाम = 4
और कुल सम्भव परिणाम = 36
अतः योग 6 होने की प्रायिकता = \(\frac{4}{36}=\frac{1}{9}\)

(iii) कुल योग कम-से-कम 6 होने के अनुकूल परिणाम = 15
कुल सम्भव परिणाम = 36
अत: योग कम-से-कम 6 होने की प्रायिकता = \(\frac{15}{36}=\frac{5}{12}\)

प्रश्न 3.
एक थैले में 5 लाल गेंद और कुछ नीली गेंदें हैं यदि इस थैले में से नीली गेंद निकालने की प्रायिकता लाल गेंद निकालने की प्रायिकता की दुगुनी है तो थैले में नीली गेंदों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल
माना थैले में नीली गेंदों की संख्या x है।
कुल गेंदों की संख्या = 5 लाल + x नीली = (5 + x)
थैले में से यदृच्छया 1 गेंद निकालने पर,
कुल सम्भव परिणाम = (5 + x)
लाल गेंद निकालने के अनुकूल परिणाम = 5
लाल गेंद निकालने की प्रायिकता P(R) = \(\frac{5}{5+x}\)
तब, नीली गेंद निकालने की प्रायिकता P(B) = 1 – P(R)
= 1 – \(\frac{5}{5+x}\)
= \(\frac{x}{5+x}\)
प्रश्नानुसार, नीली गेंद निकालने की प्रायिकता = 2 × लाल गेंद निकालने की प्रायिकता
⇒ \(\frac{x}{5+x}=2 \times \frac{5}{5+x}\)
⇒ \(\frac{x}{5+x}=\frac{10}{5+x}\)
⇒ x = 10
अतः थैले में नीली गेंदों की संख्या = 10

प्रश्न 4.
एक पेटी में 12 गेंदें हैं, जिनमें से x गेंद काली हैं। यदि इसमें से एक गेंद यदृच्छया निकाली जाती है तो इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यह गेंद काली है। यदि इस पेटी में 6 काली गेंद और डाल दी जाएँ, तो काली गेंद निकालने की प्रायिकता पहली प्रायिकता की दुगुनी हो जाती है। x का मान ज्ञात कीजिए।
हल
पेटी में गेंदों की कुल संख्या = 12
काली गेंदों की संख्या = x
यदि पेटी में से एक गेंद यदृच्छया निकाली जाती है, तो गेंद निकाले जाने के कुल सम्भव परिणाम = 12
निकाली गई गेंद काली होने के अनुकूल परिणाम = x
अतः निकाली गई गेंद काली होने की प्रायिकता = \(\frac{x}{12}\)
यदि पेटी में 6 काली गेंद और मिला दी जाएँ तो काली गेंद निकलने के अनुकूल परिणाम = x + 6
तथा कुल सम्भव परिणाम = 12 + 6 = 18
अतः अब काली गेंद निकलने की प्रायिकता = \(\frac{x+6}{18}\)
प्रश्नानुसार, वर्तमान प्रायिकता = 2 × पहले की प्रायिकता
⇒ \(\frac{x+6}{18}=2 \times \frac{x}{12}\)
⇒ \(\frac{x+6}{18}=\frac{x}{6}\)
⇒ 6(x + 6) = 18x
⇒ 18x = 6x + 36
⇒ 18x – 6x = 36
⇒ 12x = 36
⇒ x = 3
अत: x का मान = 3

प्रश्न 5.
एक जार में 24 कंचे हैं जिनमें कुछ हरे हैं और शेष नीले हैं। यदि इस जार में से यदृच्छया एक कंचा निकाला जाता है तो इस कंचे के हरा होने की प्रायिकता \(\frac{2}{3}\) है। जार में नीले कंचों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल
माना जार में हरे कंचों की संख्या x है।
कंचों की कुल संख्या = 24
जब जार में से 1 कंचा यदृच्छया निकाला जाता है, तो कंचे के हरे होने की प्रायिकता = \(\frac{x}{24}\)
परन्तु दिया है कि कंचे के हरे होने की प्रायिकता \(\frac{2}{3}\) है।
\(\frac{x}{24}=\frac{2}{3}\)
⇒ 3x = 48
⇒ x = 16
जार में हरे कंचों की संख्या = 16
जार में नीले कंचों की संख्या = 24 – 16 = 8
अत: जार में नीले कंचों की संख्या = 8

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.2 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.2

Bihar Board Class 10 Maths सांख्यिकी Ex 14.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित सारणी किसी अस्पताल में एक विशेष वर्ष में भर्ती हुए रोगियों की आयु को दर्शाती है:

उपर्युक्त आँकड़ों के बहुलक और माध्य ज्ञात कीजिए। दोनों केन्द्रीय प्रवृत्ति की मापों की तुलना कीजिए और उनकी व्याख्या कीजिए।
हल
केन्द्रीय प्रवृत्ति की मापों के लिए गणना सारणी
माना कल्पित माध्य A = 40


बहुलक के लिए : अधिकतम बारम्बारता वाला वर्ग = (35 – 45)
बहुलक वर्ग (Modal Class) = (35 – 45)
बहुलक वर्ग की निम्न सीमा (l₁) = 35
बहुलक वर्ग की उच्च सीमा (l₂) = 45
बहुलक वर्ग की बारम्बारता (f) = 23
बहुलक वर्ग के पूर्व वर्ग की बारम्बारता (f₁) = 21
बहुलक वर्ग के ठीक बाद के वर्ग की बारम्बारता (f₂) = 14
बहुलक वर्ग का विस्तार (h) = l₂ – l₁ = 45 – 35 = 10

अत: आँकड़ों का माध्य = 35.375 वर्ष तथा बहुलक = 36.8 वर्ष।
इसका अर्थ है कि सम्बन्धित वर्ष में अधिकांश रोगी 36.8 वर्ष के हैं जबकि सभी रोगियों की औसत आयु 35.375 वर्ष है।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित आँकड़े 225 बिजली उपकरणों के प्रेक्षित जीवनकाल (घण्टों में) की सूचना देते हैं:

उपकरणों का बहुलक जीवनकाल ज्ञात कीजिए।
हल
दिए गए आँकड़ों का बहुलक वर्ग (60 – 80) है, क्योंकि इस वर्ग की बारम्बारता दिए गए आँकड़ों के वर्ग में सबसे अधिक है।
बहुलक वर्ग की निम्न सीमा (l₁) = 60
बहुलक वर्ग की उच्च सीमा (l₂) = 80
बहुलक वर्ग की बारम्बारता (f) = 61
बहुलक वर्ग के पूर्व वर्ग की बारम्बारता (f₁) = 52
बहुलक वर्ग के ठीक बाद के वर्ग की बारम्बारता (f₂) = 38
बहुलक वर्ग का आकार या विस्तार (h) = l₂ – l₁ = 80 – 60 = 20

अत: उपकरणों का बहुलक जीवनकाल = 65.625 घण्टे।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित आँकड़े किसी गाँव के 200 परिवारों के कुल मासिक घरेलू व्यय के बंटन को दर्शाते हैं। इन परिवारों का बहुलक मासिक व्यय ज्ञात कीजिए। साथ ही, माध्य मासिक व्यय भी ज्ञात कीजिए।

हल
निरीक्षण से, बहुलक वर्ग = अधिकतम बारम्बारता वाला वर्ग = 1500 – 2000
बहुलक वर्ग की निम्न सीमा (l₁) = ₹ 1500
बहुलक वर्ग की उच्च सीमा (l₂) = ₹ 2000
बहुलक वर्ग का विस्तार (h) = l₂ – l₁ = 2000 – 1500 = ₹ 500
बहुलक वर्ग की बारम्बारता (f) = 40
बहुलक वर्ग के पूर्व वर्ग की बारम्बारता (f₁) = 24
बहुलक वर्ग के ठीक बाद के वर्ग की बारम्बारता (f₂) = 33

माध्य व्यय के लिए गणना सारणी
माना व्यय का कल्पित माध्य A = ₹ 2750 है और वर्ग विस्तार (माप) h = ₹ 500

माध्य मासिक व्यय \((\bar{x})=A+h \frac{\sum f_{i} u_{i}}{\sum f_{i}}\) (जहाँ, h = 500)
= 2750 + 500 × \(\frac{(-35)}{200}\)
= 2750 + (2.5 × -35)
= 2750 + (-87.5)
= 2662.50
अतः व्यय का बहुलक = 1847.84 तथा व्यय का माध्य = ₹ 2662.50

प्रश्न 4.
निम्नलिखित बंटन भारत के उच्चतर माध्यमिक स्कूलों में, राज्यों के अनुसार, शिक्षक-विद्यार्थी अनुपात को दर्शाता है। इन आँकड़ों के बहुलक और माध्य ज्ञात कीजिए। दोनों मापकों की व्याख्या कीजिए।

हल
चूँकि सबसे अधिक बारम्बारता f = 10 है।
अत: इसका बहुलक वर्ग (30 – 35) है।
बहुलक वर्ग की निम्न सीमा (l₁) = 30
बहुलक वर्ग की उच्च सीमा (l₂) = 35
बहुलक वर्ग का विस्तार (h) = l₂ – l₁ = 35 – 30 = 5
बहुलक वर्ग की बारम्बारता (f) = 10
बहुलक वर्ग के पूर्व वर्ग की बारम्बारता (f₁) = 9
बहुलक वर्ग के ठीक बाद के वर्ग की बारम्बारता (f₂) = 3


माध्य गणना हेतु सारणी
माना प्रति शिक्षक विद्यार्थियों की संख्या का कल्पित माध्य A = 27.5 है।

अत: भारत के उच्चतर माध्यमिक स्कूलों में राज्यों के अनुसार प्रति शिक्षक विद्यार्थियों का माध्य 29.2 है जबकि अधिकांश राज्यों में प्रति शिक्षक विद्यार्थियों की संख्या 30.625 है।

प्रश्न 5.
दिया हुआ बंटन विश्व के कुछ श्रेष्ठतम बल्लेबाजों द्वारा एक दिवसीय अन्तर्राष्ट्रीय क्रिकेट मैचों में बनाए गए रनों को दर्शाता है :

इन आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए।
हल
चूँकि अधिकतम बारम्बारता f = 18 है। इसलिए इसका बहुलक वर्ग (4000 – 5000) है।
बहुलक वर्ग की निम्न सीमा (l₁) = 4000
बहुलक वर्ग की उच्च सीमा (l₂) = 5000
बहुलक वर्ग का विस्तार (h) = 5000 – 4000 = 1000
बहुलक वर्ग की बारम्बारता (f) = 18
बहुलक वर्ग के पूर्व वर्ग की बारम्बारता (f₁) = 4
बहुलक वर्ग के ठीक बाद के वर्ग की बारम्बारता (f₂) = 9

प्रश्न 6.
एक विद्यार्थी ने एक सड़क के किसी स्थान से होकर जाती हुई कारों की संख्याएँ नोट की और उन्हें नीचे दी हुई सारणी के रूप में व्यक्त किया। सारणी में दिया प्रत्येक प्रेक्षण 3 मिनट के अन्तराल में उस स्थान से होकर जाने वाली कारों की संख्याओं से सम्बन्धित है। ऐसे 100 अन्तरालों पर प्रेक्षण लिए गए। इन आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए।

हल
चूँकि अधिकतम बारम्बारता 20 है। इसलिए इसका बहुलक वर्ग (40 – 50) है।
बहुलक वर्ग = 40 – 50
बहुलक वर्ग की निम्न सीमा (l₁) = 40
बहुलक वर्ग की उच्च सीमा (l₂) = 50
बहुलक वर्ग का विस्तार (h) = 50 – 40 = 10
बहुलक वर्ग की बारम्बारता (f) = 20
बहुलक वर्ग के पूर्व वर्ग की बारम्बारता (f₁) = 12
बहुलक वर्ग के ठीक बाद के वर्ग की बारम्बारता (f₂) = 11

अत: सड़क पर प्रति तीन मिनट के अन्तरालों में अधिकांश अन्तरालों में गुजरने वाली कारों की संख्या (बहुलक) = 44.7

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 15 प्रायिकता Ex 15.1 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 15 प्रायिकता Ex 15.1

Bihar Board Class 10 Maths प्रायिकता Ex 15.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित कथनों को पूरा कीजिए।

1. घटना E की प्रायिकता + घटना ‘E-नहीं’ की प्रायिकता = _________ है।
2. उस घटना की प्रायिकता जो घटित नहीं हो सकती __________ है। ऐसी घटना __________ कहलाती है।
3. उस घटना की प्रायिकता जिसका घटित होना निश्चित है, _________ है। ऐसी घटना ___________ कहलाती है।
4. किसी प्रयोग की सभी प्रारम्भिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग _________ है।
5. किसी घटना की प्रायिकता ___________ से बड़ी या उसके बराबर होती है तथा ________ छोटी या उसके बराबर होती है।

उत्तर

1. घटना E की प्रायिकता + घटना ‘E-नहीं’ की प्रायिकता = 1 है।
2. उस घटना की प्रायिकता जो घटित नहीं हो सकती शून्य है। ऐसी घटना असम्भव घटना कहलाती है।
3. उस घटना की प्रायिकता जिसका घटित होना निश्चित है, 1 है। ऐसी घटना निश्चित घटना कहलाती है।
4. किसी प्रयोग की सभी प्रारम्भिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग 1 होता है।
5. किसी घटना की प्रायिकता शून्य से बड़ी या उसके बराबर होती है तथा 1 से छोटी या उसके बराबर होती है।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित प्रयोगों में से किन-किन प्रयोगों के परिणाम समप्रायिक हैं? स्पष्ट कीजिए।

1. एक ड्राइवर कार चलाने का प्रयत्न करता है। कार चलना प्रारम्भ हो जाती है या कार चलना प्रारम्भ नहीं होती है।
2. एक खिलाड़ी बास्केटबॉल को बास्केट में डालने का प्रयत्न करती है। वह बास्केट में बॉल डाल पाती है या नहीं डाल पाती है।
3. एक सत्य-असत्य प्रश्न का अनुमान लगाया जाता है। उत्तर सही है या गलत होगा।
4. एक बच्चे का जन्म होता है। वह एक लड़का है या एक लड़की है।

उत्तर

1. एक ड्राइवर कार चलाने का प्रयत्न करता है। अधिकांश सम्भावना कार चलना प्रारम्भ होने की है, कार चलना प्रारम्भ न होने की सम्भावना कम ही है। अतः यह प्रयोग समप्रायिक नहीं है।
2. एक खिलाड़ी बास्केटबॉल को बास्केट में डालने का प्रयत्न करती है। एक ही परिस्थिति में उसकी सफलता या असफलता की सम्भावना समान नहीं होती। अत: यह प्रयोग समप्रायिक नहीं है।
3. एक सत्य-असत्य प्रश्न का अनुमान लगाया जाता है। अनुमान के सही होने की सम्भावना भी उतनी ही है जितनी की उसके गलत होने की है। अत: यह प्रयोग समप्रायिक है।
4. एक बच्चे का जन्म होने पर उसके लड़की या लड़का होने की सम्भावनाएँ समान हैं। अतः प्रयोग समप्रायिक है।

प्रश्न 3.
फुटबॉल के खेल को प्रारम्भ करते समय यह निर्णय लेने के लिए कि कौन-सी टीम पहले बॉल लेगी, इसके लिए सिक्का उछालना एक न्यायसंगत विधि क्यों माना जाता है?
उत्तर
फुटबॉल के खेल को प्रारम्भ करते समय यह निर्णय लेने के लिए कि कौन-सी टीम पहले बॉल लेगी, एक सिक्का उछालना एक न्यायसंगत विधि इसलिए माना जाता है क्योंकि सिक्का सममित होता है और उसकी उछाल (tossing) निष्पक्ष (unbiased) होती है।

प्रश्न 4.
निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती?
(A) \(\frac{2}{3}\)
(B) -1.5
(C) 15%
(D) 0.7
उत्तर
चूँकि प्रयोग में किसी घटना के घटित होने या घटित न होने की सम्भावना शून्य भले ही हो परन्तु ऋणात्मक नहीं हो सकती है। अतः स्पष्ट है कि विकल्प (B) में दी गई ऋणात्मक संख्या किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती।

प्रश्न 5.
यदि P(E) = 0.05 है तो ‘E-नहीं की प्रायिकता क्या है?
हल
दिया है, P(E) = 0.05
‘E-नहीं’ की प्रायिकता = P(E’) = 1 – P(E)
= 1 – 0.05
= 0.95
अतः घटना ‘E-नहीं’ की प्रायिकता P(E’) = 0.95

प्रश्न 6.
एक थैले में केवल नीबू की महक वाली मीठी गोलियाँ हैं। मालिनी बिना थैले में झाँके उसमें से एक गोली निकालती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह निकाली गई गोली
(i) संतरे की महक वाली है?
(ii) नीबू की महक वाली है?
हल
∵ थैले में केवल नीबू की महक वाली गोलियाँ ही हैं। यदि थैले में से यदृच्छया एक गोली निकाली जाती है तो
(i) निकाली गई गोली ‘सन्तरे की महक वाली’ होने की घटना की सम्भावना शून्य है क्योंकि सभी गोलियाँ नीबू की महक वाली हैं।
अतः निकाली गई गोली सन्तरे की महक वाली हो, इसकी प्रायिकता शन्य होगी।

(ii) सभी गोलियों में नीबू की महक है। इसलिए नीबू की महक वाली गोली निकलने की घटना एक निश्चित घटना है।
अत: इसकी प्रायिकता 1 होगी।

प्रश्न 7.
यह दिया हुआ है कि 3 विद्यार्थियों के एक समूह में से 2 विद्यार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन न होने की प्रायिकता 0.992 है। इसकी क्या प्रायिकता है कि इन 2 विद्यार्थियों का जन्मदिन एक ही दिन हो?
हल
माना E = 2 विद्यार्थियों का एक ही दिन जन्मदिन न होने की घटना
P(E) = 0.992
P(E) + P(\(\bar{E}\)) = 1
0.992 + P(\(\bar{E}\)) = 1
P(\(\bar{E}\)) = 1 – 0.992 = 0.008
अतः 2 विद्यार्थियों का जन्मदिन एक ही दिन होने की प्रायिकता = 0.008

प्रश्न 8.
एक थैले में 3 लाल और 5 काली गेंदें हैं। इस थैले में से एक गेंद यदृच्छया निकाली जाती है। इसकी प्रायिकता क्या है कि गेंद (i) लाल हो? (ii) लाल नहीं हो?
हल
थैले में गेंदों की कुल संख्या = 3 लाल + 5 काली = 8
थैले में से एक गेंद यदृच्छया निकालने पर कुल सम्भावित परिणाम n(S) = 8
माना E = एक लाल गेंद निकालने की घटना
(i) गेंद लाल होने की घटना के अनुकूल परिणाम n(E) = 3
गेंद लाल होने की प्रायिकता P(R) = \(\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{3}{8}\)
अत: गेंद लाल होने की प्रायिकता = \(\frac{3}{8}\)
(ii) तब गेंद लाल न होने की प्रायिकता P(R’) = 1 – P(R)
= 1 – \(\frac{3}{8}\)
= \(\frac{5}{8}\)
अत: गेंद लाल न हो, इसकी प्रायिकता = \(\frac{5}{8}\)

प्रश्न 9.
एक डिब्बे में 5 लाल कंचे, 8 सफेद कंचे और 4 हरे कंचे हैं। इस डिब्बे में से एक कंचा यदृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाला गया कंचा
(i) लाल है?
(ii) सफेद है?
(iii) हरा नहीं है?
हल
लाल कंचों की संख्या = 5
सफेद कंचों की संख्या = 8
हरे कंचों की संख्या = 4
डिब्बे में कंचों की कुल संख्या = (5 + 8 + 4) = 17
जब डिब्बे में से एक कंचा यदृच्छया निकाला जाता है तो कुल सम्भावित परिणाम = 17
(i) निकाला गया कंचा लाल (R) होने की घटना के अनुकूल परिणाम = 5
अत: निकाला गया कंचा लाल होने की प्रायिकता

(ii) निकाला गया कंचा सफेद (W) हो, इसके अनुकूल परिणाम = 8
अत: निकाला गया कंचा सफेद होने की प्रायिकता

(iii) यदि हरा कंचा होने की घटना G हो तो घटना के अनुकूल परिणाम = 4
हरा कंचा न होने की घटना G के अनुकूल परिणाम = 17 – 4 = 13
अतः हरा कंचा न होने की प्रायिकता

प्रश्न 10.
एक पिग्गी बैंक (Piggy Bank) में, 50 पैसे के सौ सिक्के, ₹ 1 के पचास सिक्के, ₹ 2 के बीस सिक्के और ₹ 5 के दस सिक्के हैं। यदि पिग्गी बैंक को हिलाकर उल्टा करने पर कोई एक सिक्का गिरने के परिणाम समप्रायिक हैं तो इसकी क्या प्रायिकता है कि वह गिरा हुआ सिक्का
(i) 50 पैसे का होगा?
(ii) ₹ 5 का नहीं होगा?
हल
50 पैसे के सिक्कों की संख्या = 100
₹ 1 के सिक्कों की संख्या = 50
₹ 2 के सिक्कों की संख्या = 20
₹ 5 के सिक्कों की संख्या = 10
पिग्गी बैंक को अच्छी तरह हिलाकर उल्टा करने पर 1 सिक्का गिरने की घटना के सभी परिणाम सम-सम्भावी हैं, तब

(i) यदि गिरा हुआ सिक्का 50 पैसे का होने की घटना न हो, तो
घटना H के अनुकूल परिणाम = 100
कुल सम्भव परिणाम = 100 + 50 + 20 + 10 = 180
अतः गिरा हुआ सिक्का 50 पैसे का होने की प्रायिकता P(H) = \(\frac{100}{180}=\frac{5}{9}\)

(ii) गिरा हुआ सिक्का ₹ 5 का होने के अनुकूल परिणाम = 10
गिरा हुआ सिक्का ₹ 5 का होने की प्रायिकता = \(\frac{10}{180}=\frac{1}{18}\)
अत: गिरा हआ सिक्का ₹ 5 का न होने की प्रायिकता = 1 – \(\frac{1}{18}\) = \(\frac{17}{18}\)

प्रश्न 11.
गोपी अपने जल -जीव कुंड (aquarium) के लिए एक दुकान से मछली खरीदती है। दुकानदार एक टंकी, जिसमें 5 नर मछली और 8 मादा मछली हैं, में से एक मछली यदृच्छया उसे देने के लिए निकालती है (आकृति देखिए)। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाली गई मछली नर मछली है?

हल
दुकानदार की टंकी में मछलियों की कुल संख्या = 5 नर + 8 मादा = 13 मछली
कुल सम्भव परिणाम = 13
टंकी में से 1 मछली यदृच्छया निकालने पर, निकाली गई।
मछली नर होने के अनुकूल परिणाम = 5
नर मछली होने की प्रायिकता

अत: निकाली गई मछली नर होने की प्रायिकता = \(\frac{5}{13}\)

प्रश्न 12.
संयोग (chance) के एक खेल में, एक तीर को घुमाया जाता है, जो विश्राम में आने के बाद संख्याओं 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 और 8 में से किसी एक संख्या को इंगित करता है। (आकृति देखिए) यदि ये सभी परिणाम समप्रायिक हों तो इसकी क्या प्रायिकता है कि यह तीर इंगित
(i) 8 को करेगा?
(ii) एक विषम संख्या को करेगा?
(iii) 2 से बड़ी संख्या को करेगा?
(iv) 9 से छोटी संख्या को करेगा?

हल
संयोग के खेल में जब तीर को घुमाया जाता है, तो तीर के विश्राम आने पर इंगित कुल परिणाम = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) = 8
(i) तीर द्वारा संख्या 8 को इंगित करने के अनुकूल परिणाम = 1
उपर्युक्त घटना की प्रायिकता,

अत: संख्या 8 को इंगित करने की प्रायिकता = \(\frac{1}{8}\)

(ii) तीर द्वारा एक विषम संख्या अंकित करने के परिणाम = (1, 3, 5, 7) = 4
विषम संख्या इंगित होने की प्रायिकता

अत: विषम संख्या इंगित करने की प्रायिकता = \(\frac{1}{2}\)

(iii) 2 से बड़ी संख्या इंगित करने की घटना के अनुकूल परिणाम = (3, 4, 5, 6, 7, 8) = 6
2 से बड़ी संख्या इंगित करने की प्रायिकता

अत: 2 से बड़ी संख्या इंगित करने की प्रायिकता = \(\frac{3}{4}\)

(iv) 9 से छोटी संख्या इंगित करने की घटना के अनुकूल परिणाम = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) = 8
9 से छोटी संख्या इंगित करने की प्रायिकता

अत: 9 से छोटी संख्या इंगित करने की प्रायिकता = 1

प्रश्न 13.
एक पासे को एक बार फेंका जाता है। निम्नलिखित को प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए :
(i) एक अभाज्य संख्या
(ii) 2 और 6 के बीच स्थित कोई संख्या
(iii) एक विषम संख्या।
हल
एक पासे को यदृच्छया फेंके जाने पर प्राप्त होने वाले सभी सम्भव
परिणामों की संख्या = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = 6
यहाँ अभाज्य संख्याएँ = (2, 3, 5) = 3
2 और 6 के बीच स्थित संख्याएँ = (3, 4, 5) = 3
विषम संख्याएँ = (1, 3, 5) = 3
अतः प्रत्येक घटना के अनुकूल परिणाम = 3
प्रत्येक घटना की प्रायिकता = \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
अत: पासे पर
(i) अभाज्य संख्या आने की प्रायिकता = \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
(ii) 2 और 6 के बीच की कोई संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता = \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
(ii) एक विषम संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता = \(\frac{1}{2}\)

प्रश्न 14.
52 पत्तों की अच्छी प्रकार से फेंटी गई एक गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है। निम्नलिखित को प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए :
(i) लाल रंग का बादशाह
(ii) एक फेस कार्ड अर्थात् तस्वीर वाला पत्ता
(iii) लाल रंग का तस्वीर वाला पत्ता
(iv) पान का गुलाम
(v) हुकुम का पत्ता
(vi) एक ईंट की बेगम।
हल
ताश की गड्डी में 52 पत्ते होते हैं। गड्डी को अच्छी तरह फेंटकर गड्डी में से एक पत्ता निकालने पर पत्ता क्या है, इसके कुल सम्भावित परिणामों की संख्या = 52
(i) लाल रंग का बादशाह होने की घटना (A)
गड्डी में कुल 4 बादशाह होते हैं जिनमें पान तथा ईंट का बादशाह लाल होता है।
लाल रंग का बादशाह प्राप्त होने के अनुकूल परिणाम = 2
घटना A की प्रायिकता

अत: लाल बादशाह होने की प्रायिकता = \(\frac{1}{26}\)

(ii) एक फेस कार्ड अर्थात् तस्वीर वाला पत्ता होने की घटना (B)
प्रत्येक समूह में 3 फेस कार्ड्स (बादशाह, बेगम व गुलाम) होते हैं।
गड्डी में कुल फेस कार्ड = 3 × 4 = 12
घटना B के अनुकूल परिणाम = 12
घटना B की प्रायिकता

अत: एक फेस कार्ड अर्थात् तस्वीर वाला पत्ता प्राप्त होने की प्रायिकता = \(\frac{3}{13}\)

(iii) लाल रंग का तस्वीर वाला पत्ता होने की घटना (C)
कुल फेस कार्ड्स = 12
लाल रंग का तस्वीर वाले पत्तों की संख्या = 6
घटना C के अनुकूल परिणाम = 6
घटना C की प्रायिकता

अतः लाल रंग का तस्वीर वाला पत्ता निकलने की प्रायिकता = \(\frac{3}{26}\)

(iv) पान का गुलाम होने की घटना (D)
गड्डी में पान का एक ही गुलाम होता है। अत: घटना D के अनुकूल परिणामों की संख्या = 1
घटना D की प्रायिकता

अतः निकाले गए पत्ते के पान का गुलाम होने की प्रायिकता = \(\frac{1}{52}\)

(v) हुकुम का पत्ता होने की घटना (E)
गड्डी में हुकुम के पत्तों की संख्या = 13
घटना E के अनुकूल परिणाम = 13
घटना E की प्रायिकता

अत: निकाला गया पत्ता हुकुम का पत्ता होने की प्रायिकता P(E) = \(\frac{1}{4}\)

(vi) ईंट की बेगम होने की घटना (F)
गड्डी में ईंट की केवल एक ही बेगम होती है।
घटनां F के अनुकूल परिणामों की संख्या = 1
तब, घटना F की प्रायिकता

अतः निकाला गया पत्ता ईंट की बेगम होने की प्रायिकता P(F) = \(\frac{1}{52}\)

प्रश्न 15.
ताश के पाँच पत्तों-ईंट का दहला, गुलाम, बादशाह और इक्का, को पलटकर के अच्छी प्रकार फेंटा जाता है। फिर इनमें से यदृच्छया एक पत्ता निकाला जाता है।
(i) इसकी क्या प्रायिकता है कि यह पत्ता एक बेगम है।
(ii) यदि बेगम निकल आती है तो उसे अलग रख दिया जाता है और एक अन्य पत्ता निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि दूसरा निकाला गया पत्ता (a) एक इक्का है? (b) एक बेगम है?
हल
ताश के 5 पत्तों-ईंट का दहला, गुलाम, बेगम, बादशाह, इक्का को पलटकर के फेंटा गया और फिर इसमें से यदृच्छया एक पत्ता निकाला जाता है।
इसके कुल सम्भव परिणाम = 5
(i) यदि निकाला गया पत्ता बेगम हो तो इस घटना के अनुकूल परिणाम = 1
अतः निकाला गया पत्ता बेगम होने की प्रायिकता = \(\frac{1}{5}\)

(ii) यदि बेगम निकल आती है तो उसे अलग रख दिया जाता है और शेष पत्तों में से फिर एक पत्ता निकाला जाता है।
तब, कुल सम्भव परिणाम = 4 (दहला, गुलाम, बादशाह, इक्का)
(a) दूसरा पत्ता इक्का होने के अनुकूल परिणाम = 1
अतः दूसरा पत्ता इक्का होने की प्रायिकता = \(\frac{1}{4}\)
(b) दूसरा पत्ता बेगम होने के अनुकूल परिणाम = शून्य क्योंकि इन पत्तों में बेगम है ही नहीं।
अतः दूसरा पत्ता बेगम होने की प्रायिकता = \(\frac{0}{4}\) = 0

प्रश्न 16.
किसी कारण 12 खराब पेन 132 अच्छे पेनों में मिल गए हैं। केवल देखकर यह नहीं बताया जा सकता है कि कोई पेन खराब है या अच्छा है। इस मिश्रण में से, एक पेन यदृच्छया निकाला जाता है। निकाले गए पेन की अच्छा होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल
अच्छे पेनों की संख्या = 132
तथा खराब पेनों का संख्या = 12
मिश्रण में पेनों की कुल संख्या = 132 + 12 = 144
मिश्रण में से एक पेन यदृच्छया निकाला जाता है।
कुल सम्भव परिणाम = 144
अच्छा पेन निकलने के अनुकूल परिणाम = 132
अच्छा पेन निकलने की प्रायिकता

अतः अच्छा पेन निकलने की प्रायिकता = \(\frac{11}{12}\)

प्रश्न 17.
(i) 20 बल्बों के एक समूह में 4 बल्ब खराब हैं। इस समूह में से एक बल्ब यदृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह बल्ब खराब होगा?
(ii) मान लीजिए (i) में निकाला गया बल्ब खराब नहीं है और न ही इसे दुबारा बल्बों के साथ मिलाया जाता है। अब शेष बल्बों में से एक बल्ब यदृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह बल्ब खराब नहीं होगा?
हल
समूह में बल्बों की कुल संख्या = 20
खराब बल्बों की संख्या = 4
यदि एक बल्ब यदृच्छया निकाला जाता है तो
(i) बल्ब खराब होने के अनुकूल परिणाम = 4
कुल सम्भव परिणाम = 20
बल्ब खराब होने की प्रायिकता

अतः बल्ब खराब होने की प्रायिकता = \(\frac{1}{5}\)

(ii) यदि निकाला गया बल्ब खराब नहीं है तो इसे पुन: बल्बों के साथ नहीं मिलाया जाता है। शेष बल्बों मे से पुन: एक बल्ब निकाला जाता है।
कुल सम्भव परिणाम = 20 – 1 = 19
तथा खराब बल्ब होने के अनुकूल परिणाम = 4
तब, बल्ब खराब निकलने की प्रायिकता = \(\frac{4}{19}\)
बल्ब खराब न होने की प्रायिकता = 1 – \(\frac{4}{19}\) = \(\frac{15}{19}\)
अत: निकाला गया बल्ब खराब न होने की प्रायिकता = \(\frac{15}{19}\)

प्रश्न 18.
एक पेटी में 90 डिस्क (discs) हैं, जिन पर 1 से 90 तक संख्याएँ अंकित हैं। यदि इस पेटी में से एक डिस्क यदृच्छया निकाली जाती है तो इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इस डिस्क पर अंकित होगी :
(i) दो अंकों की एक संख्या
(ii) एक पूर्ण वर्ग संख्या
(iii) 5 से विभाज्य एक संख्या।
हल
डिस्कों की कुल संख्या = 90
यदि एक डिस्क यदृच्छया निकाली जाती है तो
कुल सम्भव परिणाम = (1, 2, 3, 4,……….., 90) = 90
इन परिणामों में दो अंकों वाली संख्याएँ = (10, 11, 12,……….., 90) = 81
(i) दो अंकों की संख्या अंकित डिस्क निकलने के अनुकूल परिणाम = 81
और कुल सम्भावित परिणाम = 90
अत: डिस्क पर दो अंकों की संख्या अंकित होने की प्रायिकता = \(\frac{81}{90}=\frac{9}{10}\)

(ii) पूर्ण वर्ग संख्याएँ = (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81) = 9
डिस्क पर पूर्ण वर्ग संख्या अंकित होने के अनुकूल परिणाम = 9
और कुल सम्भावित परिणाम = 90
अत: डिस्क पर पूर्ण वर्ग संख्या अंकित होने की प्रायिकता = \(\frac{9}{90}=\frac{1}{10}\)

(iii) 5 से. विभाज्य संख्याएँ = (5, 10, 15, 20, ……….., 90) = 18
डिस्क पर 5 से विभाज्य संख्या अंकित होने के अनुकूल परिणाम = 18
और कुल सम्भव परिणाम = 90
अतः डिस्क पर 5 से विभाज्य संख्या अंकित होने की प्रायिकता = \(\frac{18}{90}=\frac{1}{5}\)

प्रश्न 19.
एक बच्चे के पास ऐसा पासा है जिसके फलकों पर निम्नलिखित अक्षर अंकित हैं-

इस पासे को एक बार फेंका जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि
(i) A प्राप्त हो?
(ii) D प्राप्त हो?
हल
दो पासों पर A तथा एक-एक पासे पर B, C, D, E अंकित है।
पासा फेंकने पर कुल सम्भव परिणाम = 6
(i) पासा फेंकने पर A प्राप्त होने के अनुकूल परिणाम = 2
अतः पासे पर A अक्षर आने की प्रायिकता = \(\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)

(ii) D प्राप्त होने के अनुकूल परिणाम = 1
अतः पासे पर D अक्षर आने की प्रायिकता = \(\frac{1}{6}\)

प्रश्न 20.
मान लीजिए आप एक पासे को आकृति में दर्शाए आयताकार क्षेत्र में यदृच्छया रूप से गिराते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह पासा 1 m व्यास वाले वृत्त के अन्दर गिरेगा?

हल
आयताकार क्षेत्र का क्षेत्रफल = 3 × 2 = 6 m²
वृत्त का व्यास = 1 m
वृत्त की त्रिज्या = \(\frac{1}{2}\) m
वृत्त का क्षेत्रफल = πr²
= \(\pi \times\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\)
= \(\frac{\pi}{4} \mathrm{m}^{2}\)
जब एक पासा यदृच्छया फेंका जाता है, तो उसके गिरने का व्यापक क्षेत्र आयताकार क्षेत्र होगा।
गिरने (पतन) का सम्पूर्ण क्षेत्र = 6 m²
वृत्तीय क्षेत्र में गिरने की घटना का क्षेत्र = \(\frac{\pi}{4} \mathrm{m}^{2}\)
तब, पासे की वृत्त के अन्दर गिरने की प्रायिकता

अत: पासे के वृत्त के अन्दर गिरने की प्रायिकता = \(\frac{\pi}{24}\)

प्रश्न 21.
144 बॉल-पेनों के समूह में 20 बॉल-पेन खराब हैं और शेष अच्छे हैं। आप वही पेन खरीदना चाहेंगे जो अच्छा हो, परन्तु खराब पेन आप खरीदना नहीं चाहेंगे। दुकानदार इन पेनों में से, यदृच्छया एक पेन निकालकर आपको देता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि
(i) आप वह पेन खरीदेंगे?
(ii) आप वह पेन नहीं खरीदेंगे?
हल
समूह में कुल बॉल-पेनों की संख्या = 144
खराब बॉल-पेनों की संख्या = 20
ठीक बॉल-पेनों की संख्या = 144 – 20 = 124
पेनों के समूह में से दुकानदार यदृच्छया एक पेन निकालता है
बॉल-पेन के अच्छा-बुरा होने सम्बन्धी कुल सम्भव परिणाम = 144
बॉल-पेन के ठीक होने की घटना के अनुकूल परिणाम = 124
बॉल-पेन खराब होने की घटना के अनुकूल परिणाम = 20
हम ठीक बॉल-पेन ही खरीदना चाहेंगे।
बॉल-पेन को खरीद लेने की प्रायिकता = \(\frac{124}{144}=\frac{31}{36}\)
बॉल-पेन के न खरीदने की प्रायिकता = \(\frac{20}{144}=\frac{5}{36}\)
अत: बॉल-पेन खरीदेंगे इसकी प्रायिकता \(\frac{31}{36}\) और हम वह बॉल-पेन नहीं खरीदेंगे, इसकी प्रायिकता = \(\frac{5}{36}\)

प्रश्न 22.
एक सलेटी और एक नीले पासे को एक साथ फेंका जाता है। दोनों पासों पर प्राप्त होने वाले परिणाम अंकित कीजिए।
(i) निम्न सारणी को पूरा कीजिए :

(ii) एक विद्यार्थी यह तर्क देता है कि ‘यहाँ कुल 11 परिणाम 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 और 12 हैं। अतः ‘प्रत्येक की प्रायिकता \(\frac{1}{11}\) है। क्या आप इस तर्क से सहमत हैं? सकारण उत्तर दीजिए।
हल
दो पासों को उछालने पर कुल सम्भव परिणाम निम्न है-
(i) (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)
(2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)
(3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)
(4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)
(5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)
(6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)
n(S) = 36
(a) माना E₁ = दो पासों का योग 3 है = {(1, 2), (2, 1}}
n(E₁) = 2
P(E₁) = \(\frac{n\left(E_{1}\right)}{n(S)}=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}\)
(b) माना E₂ = दो पासों का योग 4 है = {(1, 3), (2, 2), (3, 1)}
n(E₂) = 3
P(E₂) = \(\frac{n\left(E_{2}\right)}{n(S)}=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}\)
(c) माना E₃ = दो पासों का योग 5 है = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}
n(E₃) = 4
P(E₃) = \(\frac{n\left(E_{3}\right)}{n(S)}=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}\)
(d) माना E₄ = दो पासों का योग 6 है = {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)}
n(E₄) = 5
P(E₄) = \(\frac{n\left(E_{4}\right)}{n(S)}=\frac{5}{36}\)
(e) माना E₅ = दो पासों का योग 7 है = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}
n(E₅) = 6
P(E₅) = \(\frac{n\left(E_{5}\right)}{n(S)}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\)
(f) माना E₆ = दो पासों का योग 8 है = {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)}
n(E₆) = 5
P(E₆) = \(\frac{n\left(E_{6}\right)}{n(S)}=\frac{5}{36}\)
(g) माना E₇ = दो पासों का योग 9 है = {(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)}
n(E₇) = 4
P(E₇) = \(\frac{n\left(E_{7}\right)}{n(S)}=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}\)
(h) माना E₈ = दो पासों का योग 10 है = {{4, 6), (5, 5), (6, 4}}
n(E₈) = 3
P(E₈) = \(\frac{n\left(E_{8}\right)}{n(S)}=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}\)
(i) माना E₉ = दो पासों का योग 11 है = {(6, 5), (5, 6)}
n(E₉) = 2
P(E₉) = \(\frac{n\left(E_{9}\right)}{n(S)}=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}\)
(j) माना E₁₀ = दो पासों का योग 12 है = {(6, 6)}
n(E₁₀) = 1
P(E₁₀) = \(\frac{n\left(E_{10}\right)}{n(S)}=\frac{1}{36}\)
अतः दी हुई सारणी पूरित रूप में निम्नवत् है-

(ii) विद्यार्थी का तर्क त्रुटिपूर्ण है क्योंकि सभी 11 घटनाएँ प्रारम्भिक घटनाएँ नहीं हैं। प्रत्येक घटना से सम्बन्धित परिणामों की आवृत्तियाँ भिन्न-भिन्न हैं। अत: विद्यार्थी का तर्क असंगत है।

प्रश्न 23.
एक खेल में एक रुपये के सिक्के को तीन बार उछाला जाता है और प्रत्येक बार का परिणाम लिख लिया जाता है। तीनों परिणाम समान होने पर, अर्थात् तीन चित या पट प्राप्त होने पर, हनीफ खेल में जीत जाएगा, अन्यथा वह हार जाएगा। हनीफ के खेल में हार जाने की प्रायिकता परिकलित कीजिए।
हल
एक खेल में एक रुपया यदृच्छया तीन बार उछाला जाता है। परिणाम चित को H तथा पट को T से इंगित करें और परिणाम अंकित करें तो सभी सम्भावित परिणाम निम्नवत् होंगे-

अतः हनीफ के हारने की प्रायिकता = \(\frac{3}{4}\)

प्रश्न 24.
एक पासे को दो बार फेंका जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि
(i) 5 किसी भी बार में नहीं आएगा?
(ii) 5 कम-से-कम एक बार आएगा?
हल
जब एक पासे को दो बार मे यदृच्छया फेंका जाता है तो फलकों पर प्राप्त अंक निम्नवत् होंगे-

कुल सम्भव परिणाम = 36
वे परिणाम जिनमें 5 आता है = 11
वे परिणाम जिनमें 5 कभी न आता है = 36 – 11 = 25
(i) 5 न आने की घटना के अनुकूल परिणाम = 25
कुल सम्भव परिणाम = 36
5 किसी भी बार न आने की प्रायिकता

अतः 5 किसी भी बार में न आने की प्रायिकता = \(\frac{25}{36}\)

(ii) 5 कम-से-कम एक बार आने के अनुकूल परिणाम = 11
और कुल सम्भव परिणाम = 36
5 कम-से-कम एक बार आने की प्रायिकता

अत: 5 कम-से-कम एक बार आने की प्रायिकता = \(\frac{11}{36}\)

प्रश्न 25.
निम्नलिखित में से कौन-से तर्क सत्य हैं और कौन-से तर्क असत्य हैं? सकारण उत्तर दीजिए।
(i) यदि दो सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है तो इसके तीन सम्भावित परिणाम-दो चित, दो पट या प्रत्येक एक बार हैं। अतः इनमें से प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता \(\frac{1}{3}\) है।
(ii) यदि एक पासे को फेंका जाता है तो इसके दो सम्भावित परिणाम-एक विषम संख्या या एक सम संख्या हैं। अत: एक विषम संख्या ज्ञात करने की प्रायिकता \(\frac{1}{2}\) है।
हल
(i) दो सिक्कों को उछालने पर सम्भव परिणाम = {(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)}
तब P(H, H) = \(\frac{1}{4}\) तथा P{T, T) = \(\frac{1}{4}\)
और P{(H, T), (T, H)} = \(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)
अत: छात्र का तर्क असत्य है।

(ii) जब एक पासे को फेंका जाता है तो कुल सम्भव परिणाम = 6
सम संख्या आने के अनुकूल परिणाम = (2, 4, 6) = 3
विषम संख्या आने के अनुकूल परिणाम = (1, 3, 5) = 3
विषम संख्या आने की प्रायिकता = \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
अत: छात्र का तर्क सत्य है।

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.3 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.3

Bihar Board Class 10 Maths पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.3

(जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = \(\frac {22}{7}\) लीजिए।)

प्रश्न 1.
त्रिज्या 4.2 cm वाले धातु के एक गोले को पिघलाकर त्रिज्या 6 cm वाले एक बेलन के रूप में ढाला जाता है। बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल
गोले की त्रिज्या (R) = 4.2 cm
गोले का आयतन = \(\frac{4}{3}\) πR³
= \(\frac{4}{3}\) π(4.2)³
= \(\frac{4}{3}\) π × 4.2 × 4.2 × 4.2
= 98.784π cm³
माना बेलन की ऊँचाई h cm है।
बेलन की त्रिज्या (r) = 6 cm
(दिया है) बेलन का आयतन = πr²h = π × (6)² × h = 36πh cm³
चूँकि गोले को पिघलाकर एक बेलन बनाया जाता है, इसलिए बेलन का आयतन, इस प्रकार बने गोले के आयतन के बराबर होगा।
बेलन का आयतन = गोले का आयतन
36πh = 98.784π
⇒ h = \(\frac{98.784 \pi}{36 \pi}\) = 2.744 cm
अतः बेलन की ऊँचाई = 2.744 cm (लगभग)।

प्रश्न 2.
क्रमश: 6 cm, 8 cm और 10 cm त्रिज्याओं वाले धातु के तीन ठोस गोलों को पिघलाकर एक बड़ा ठोस गोला बनाया जाता है। इस गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल
माना तीन ठोस गोलों की त्रिज्याएँ
r₁ = 6 cm, r₂ = 8 cm व r₃ = 10 cm हैं।

तीनों गोलों को पिघलाकर एक बड़ा गोला बनाया जाता है।
बड़े गोले का आयतन = तीनों गोलों का कुल आयतन = 2304π cm³
माना बड़े गोले की त्रिज्या R है।
तब, बड़े गोले का आयतन = \(\frac{4}{3}\) πR³
\(\frac{4}{3}\) πR³ = 2304π
⇒ R³ = \(\frac{2304 \times 3}{4}\) = 1728
⇒ R³ = (12)³
⇒ R = 12
अत: बड़े गोले की त्रिज्या 12 cm है।

प्रश्न 3.
व्यास 7 m वाला 20 m गहरा एक कुँआ खोदा जाता है और खोदने से निकली हुई मिट्टी को समान रूप से फैलाकर 22 m × 14 m वाला एक चबूतरा बनाया गया है। इस चबूतरे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल
दिया है, कुएँ का व्यास = 7 m
कुएँ की त्रिज्या (r) = \(\frac{7}{2}\) m
तथा कुएँ की गहराई (h) = 20 m
कुएँ से निकली मिट्टी का आयतन = πr²h
= \(\frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times 20\)
= 770 cm³
माना चबूतरे की ऊँचाई h m है।
चबूतरे का आयतन = 22 × 14 × h cm³
22 × 14 × h = 770
⇒ h = \(\frac{770}{22 \times 14}\) = 2.5 m
अत: चबूतरे की ऊँचाई 2.5 m है।

प्रश्न 4.
व्यास 3 m का एक कुआँ 14 m की गहराई तक खोदा जाता है। इससे निकली हुई मिट्टी को कुएँ के चारों ओर 4 m चौड़ी एक वृत्ताकार वलय (ring) बनाते हुए, समान रूप से फैलाकर एक प्रकार का बाँध बनाया जाता है। इस बाँध की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल
दिया है, कुएँ का व्यास = 3 m
कुएँ की त्रिज्या (r) = \(\frac{3}{2}\) m
तथा कुएँ की गहराई (h) = 14 m
कुएँ से निकली मिट्टी का आयतन = πr²h
= \(\frac{22}{7} \times \frac{3}{2} \times \frac{3}{2} \times 14\)
= 99 m³
कुएँ की त्रिज्या = \(\frac{3}{2}\) m है और कुएँ के चारों ओर 4 m चौड़ा वलयाकार चबूतरा बनाया जाता है।
कुएँ की बाहरी त्रिज्या (r₁) = \(\frac{3}{2}\) + 4 = \(\frac{11}{2}\) m
तथा भीतरी त्रिज्या (r₂) = \(\frac{3}{2}\) m
वलयाकार चबूतरे का क्षेत्रफल
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.3 Q4
माना बाँध की ऊँचाई h m है।
तब, बाँध की मिट्टी का आयतन = 88 × h m³
बाँध की मिट्टी का आयतन = कुएँ से निकली मिट्टी का आयतन
88h = 99
h = \(\frac{99}{88}=\frac{9}{8}\) = 1.125 m
अत: बाँध की ऊँचाई = 1.125 m

प्रश्न 5.
व्यास 12 cm और ऊँचाई 15 cm वाले एक लम्बवृत्तीय बेलन के आकार का बर्तन आइसक्रीम से पूरा भरा हुआ है। इस आइसक्रीम को ऊँचाई 12 cm और व्यास 6 cm वाले शंकुओं में भरा जाना है, जिनका ऊपरी सिरा अर्द्धगोलाकार होगा। उन शंकुओं की संख्या ज्ञात कीजिए जो इस आइसक्रीम से भरे जा सकते हैं।
हल
दिया है, बेलनाकार बर्तन का व्यास = 12 cm
बेलनाकार बर्तन की त्रिज्या (r) = 6 cm तथा बर्तन की ऊँचाई (h) = 15 cm
तब, बेलनाकार बर्तन का आयतन = πr²h = π × (6)² × 15 = 540π cm³
आइसक्रीम का कुल आयतन = बेलनाकार वर्तन का आयतन = 540π cm³
शंकु की त्रिज्या (r’) = \(\frac{6}{2}\) = 3 cm तथा ऊँचाई (h’) = 12 cm
शंकु का आयतन = \(\frac{1}{3} \pi r^{2} h^{\prime}\)
= \(\frac{1}{3}\) × π × (3)² × 12
= 36π cm³
शंकु के मुँह पर अर्द्धगोलाकार आइसक्रीम का आयतन = \(\frac{2}{3} \pi r^{3}\)
= \(\frac{2}{3}\) π × (3)³
= 18π cm³
आइसक्रीम से भरे शंकु का आयतन = (36π + 18π) = 54π cm³

अत: आइसक्रीम द्वारा भरे जाने वाले शंकुओं की संख्या = 10.

प्रश्न 6.
विमाओं 5.5 cm × 10 cm × 3.5 cm वाला एक घनाभ बनाने के लिए 1.75 cm व्यास और 2 mm मोटाई वाले कितने चाँदी के सिक्कों को पिघलाना पडेगा?
हल
माना चाँदी के n सिक्के पिघलाने पड़ेंगे।
प्रत्येक सिक्के का व्यास = 1.75 cm
175 प्रत्येक सिक्के की त्रिज्या (r) = \(\frac{1.75}{2} \mathrm{cm}=\frac{175}{200} \mathrm{cm}=\frac{7}{8} \mathrm{cm}\)
और प्रत्येक सिक्के की ऊँचाई (h) = 2 mm = \(\frac{2}{10} \mathrm{cm}=\frac{1}{5} \mathrm{cm}\)
प्रत्येक सिक्के का आयतन = πr²h
= \(\frac{22}{7} \times \frac{7}{8} \times \frac{7}{8} \times \frac{1}{5}\)
= \(\frac{77}{160}\) cm³
n सिक्कों का आयतन = \(\frac{77}{160}\) n cm³
घनाभ का आयतन = 5.5 × 10 × 3.5 cm³ = 192.5 cm³
चाँदी का घनाभ चाँदी के सिक्कों को पिघलाकर बनाया गया है।
सिक्कों का आयतन = घनाभ का आयतन
⇒ \(\frac{77}{160}\) n = 192.5
⇒ n = \(\frac{192.5 \times 160}{77}\) = 400
अत: चाँदी के सिक्कों की संख्या = 400

प्रश्न 7.
32 cm ऊँची और आधार त्रिज्या 18 cm वाली एक बेलनाकार बाल्टी रेत से भरी हुई है। इस बाल्टी को भूमि पर खाली किया जाता है और इस रेत की एक शंक्वाकार ढेरी बनाई जाती है। यदि शंक्वाकार ढेरी की ऊँचाई 24 cm है तो इस ढेरी की त्रिज्या और तिर्यक ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल
दिया है, बेलनाकार बाल्टी के आधार की त्रिज्या (r) = 18 cm
तथा बाल्टी की ऊँचाई (h) = 32 cm
बाल्टी रेत से भरी हुई है।
रेत का आयतन = बेलनाकार बाल्टी का आयतन = πr²h
= π × 18 × 18 × 32 cm³
= 10368π cm³
इस रेत से एक शंक्वाकार ढेरी बनाई जाती है जिसकी ऊँचाई (H) = 24 cm है।
माना शंक्वाकार ढेरी की त्रिज्या R cm है।
शंक्वाकार ढेरी का आयतन = \(\frac{1}{3}\)πR2H
= \(\frac{1}{3}\)πR² × 24
= 8πR² cm³
यह दोनों आयतन बराबर हैं।

अत: ढेरी की त्रिज्या = 36 cm
तथा तिर्यक ऊँचाई = 12√13 cm या 43.27 cm (लगभग)।

प्रश्न 8.
6 m चौड़ी और 1.5 m गहरी एक नहर में पानी 10 km/h की चाल से बह रहा है। 30 मिनट में, यह नहर कितने क्षेत्रफल की सिंचाई कर पाएगी, जबकि सिंचाई के लिए 8 cm गहरे पानी की आवश्यकता होती है?
हल
नहर में पानी की चाल = 10 km/h
= \(\frac{10 \times 1000}{60}\) m/min
= \(\frac{500}{3}\) m/min
नहर की चौड़ाई = 6 m तथा गहराई = 1.5 m (दिया है)
तब, 6 m × 1.5 m × \(\frac{500}{3}\) m विमाओं वाले घनाभ के आयतन के बराबर पानी प्रति मिनट स्थानान्तरित करेगी।
30 मिनट में स्थानान्तरित पानी का आयतन = 30 × 6 × 1.5 × \(\frac{500}{3}\) = 45000 m³
यदि सिंचाई के लिए 8 cm या \(\frac{8}{100}\) m गहरे पानी की आवश्यकता है, तो
सिंचित क्षेत्र का क्षेत्रफल × \(\frac{8}{100}\) = 45000 m³
सिंचित क्षेत्र का क्षेत्रफल = \(\frac{45000 \times 100}{8}\) = 562500 m²
अत: नहर द्वारा 30 मिनट में सिंचित क्षेत्र का क्षेत्रफल = 562500 m²

प्रश्न 9.
एक किसान अपने खेत में बनी 10 m व्यास वाली और 2 m गहरी एक बेलनाकार टंकी को, आन्तरिक व्यास 20 cm वाले एक पाइप द्वारा एक नहर से जोड़ता है। यदि पाइप में पानी 3 km/h की चाल से बह रहा है तो कितने समय बाद टंकी परी भर जाएगी?
हल
दिया है, टंकी का व्यास = 10 m
टंकी की त्रिज्या (r) = 5 m
टंकी की गहराई (h) = 2 m
बेलनाकार टंकी का आयतन = πr²h = π × (5)² × 2 = 50π m³
पाइप का व्यास = 20 cm
पाइप की त्रिज्या (R) = 10 cm = \(\frac{10}{100}\) m = \(\frac{1}{10}\) m
पाइप में पानी की चाल = 3 km/h
= \(\frac{3 \times 1000}{60}\) m/min
= 50 m/min
तब, पाइप टंकी में \(\frac{1}{10}\) m त्रिज्या और 50 m लम्बाई के बेलन के आयतन के बराबर पानी प्रति मिनट स्थानान्तरित करेगा।
यदि टंकी को भरने में n मिनट का समय लगता हो, तो
n मिनट में स्थानान्तरित पानी का आयतन = बेलनाकार टंकी का आयतन

अतः टंकी 100 मिनट में पूरी भर जाएगी।