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Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.1 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.1

Bihar Board Class 10 Maths निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.1

प्रश्न 1.
बिन्दुओं के निम्नलिखित युग्मों के बीच की दूरियाँ ज्ञात कीजिए
(i) (2, 3), (4, 1)
(ii) (-5, 7), (-1, 3)
(iii) (a, b), (-a, -b)
हल
(i) दिए हुए बिन्दु (2, 3) व (4, 1)
यहाँ x₁ = 2, y₁ = 3, x₂ = 4, y₂ = 1
बिन्दुओं (2, 3) व (4, 1) के बीच की दूरी

अत: दिए हुए बिन्दुओं के बीच की दूरी = 2√2 मात्रक

(ii) दिए हुए बिन्दु (-5, 7) व (-1, 3)
यहाँ x₁ = -5, y₁ = 7, x₂ = -1, y₂ = 3
बिन्दुओं (-5, 7) व (-1, 3) के बीच की दूरी

अत: दिए हुए बिन्दुओं के बीच की दूरी = 4√2 मात्रक

(iii) दिए हुए बिन्दु (a, b) व (-a, -b)
यहाँ x₁ = a, y₁ = b, x₂ = -a, y₂ = -b
बिन्दुओं (a, b) और (-a, -b) के बीच की दूरी

अत: दिए हुए बिन्दुओं के बीच की दूरी = \(2 \sqrt{a^{2}+b^{2}}\) मात्रक

प्रश्न 2.
बिन्दुओं (0, 0) और (36, 15) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। क्या अब आप अनुच्छेद 7.2 में दिए दोनों शहरों A व B के बीच की दूरी ज्ञात कर सकते हैं?
हल
दिए हुए बिन्दु (0, 0) व (36, 15)
यहाँ x₁ = 0, y₁ = 0, x₂ = 36, y₂ = 15
बिन्दुओं (0, 0) व (36, 15) के बीच की दूरी

अत: दिए हुए बिन्दुओं के बीच की दूरी = 39 मात्रक
हाँ, हम ज्ञात कर सकते हैं :

अनुच्छेद 7.2 में दिए गए शहरों के, कार्तीय निर्देशांक पद्धति के सापेक्ष निर्देशांक A = (0, 0) तथा B = (36, 15)
शहरों के बीच की दूरी

प्रश्न 3.
निर्धारित कीजिए कि क्या बिन्दु (1, 5) (2, 3) और (-2, -11) संरेखी हैं?
हल
माना दिए हुए बिन्दु P = (1, 5), Q = (2, 3) तथा R = (-2, -11) हैं।
यहाँ x₁ = 1, y₁ = 5, x₂ = 2, y₂ = 3, x₃ = -2, y₃ = -11


PQ + QR = 2.23 + 14.56 = 16.79 ≠ RP
अतः दिए गए बिन्दु संरेख नहीं हैं।

प्रश्न 4.
जाँच कीजिए कि क्या बिन्दु (5, -2), (6, 4) और (7, -2) एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।
हल
माना दिए हुए बिन्दु P = (5, -2), Q = (6, 4) और R = (7, -2) हैं, जो ΔPQR के शीर्ष हैं :
यहाँ x₁ = 5, y₁ = -2, x₂ = 6, y₂ = 4, x₃ = 7, y₃ = -2

ΔPQR में, PQ = QR
⇒ ΔPQR समद्विबाहु है।
अतः दिए गए बिन्दु एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।

प्रश्न 5.
किसी कक्षा में, चार मित्र बिन्दुओं A, B, C और D पर बैठे हुए हैं, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। चम्पा और चमेली कक्षा के अन्दर आती हैं और कुछ मिनट तक देखने के बाद, चम्पा चमेली से पूछती है, ‘क्या तुम नहीं सोचती हो कि ABCD एक वर्ग है?’ चमेली इससे सहमत नहीं है। दूरी सूत्र का प्रयोग करके, बताइए कि इनमें कौन सही है?
हल
दी गई आकृति से बिन्दुओं A, B, C व D के निर्देशांक क्रमशः (3, 4), (6, 7), (9, 4), (6, 1) हैं।


∵ चतुर्भुज ABCD की चारों भुजाएँ AB, BC, CD, DA परस्पर बराबर हैं और चतुर्भुज के विकर्ण AC व BD भी बराबर हैं।
अत: चतुर्भुज ABCD एक वर्ग है। चम्पा सही है।

प्रश्न 6.
निम्नलिखित बिन्दुओं द्वारा बनने वाले चतुर्भुज का प्रकार (यदि कोई है तो) बताइए तथा अपने उत्तर के लिए कारण भी दीजिए-
(i) (-1, -2), (1, 0),(-1, 2),(-3, 0)
(ii) (-3, 5), (3, 1), (0, 3),(-1, -4)
(iii) (4, 5), (7, 6), (4, 3), (1, 2)
हल
(i) माना P = (-1, -2), Q = (1, 0), R = (-1, 2), S = (-3, 0)


∵ PQ² + QR² = (2√2)² + (2√2)² = 8 + 8 = 16 = PR²
∴ ∠Q समकोण है और चतुर्भुज की चारों भुजाएँ बराबर हैं।
अत: उक्त बिन्दुओं से बनने वाला चतुर्भुज एक वर्ग है।

(ii) (-3, 5), (3, 1), (0, 3), (-1, -4)
माना P = (-3, 5), Q = (3, 1), R = (0, 3), S = (-1, -4)

QR + RP = √13 + √13 = 2√13 = PQ
बिन्दु P, Q, R एक रेखा में हैं।
अत: बिन्दुओं P, Q, R व S से चतुर्भुज नहीं बनेगा।

(iii) माना P = (4, 5), Q = (7, 6), R = (4, 3) तथा S = (1, 2)

∵ बिन्दुओं P, Q, R, S से बने चतुर्भुज PQRS में PQ = RS तथा QR = SP अर्थात् सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं।
अत: चतुर्भुज PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है।

प्रश्न 7.
X-अक्ष पर वह बिन्दु ज्ञात कीजिए जो (2, -5) और (-2, 9) से समदूरस्थ है।
हल
माना X-अक्ष पर स्थित किसी बिन्दु के निर्देशांक (h, 0) हैं (क्योंकि x-अक्ष के लिए y-निर्देशांक शून्य होता है)।

प्रश्न 8.
y का वह मान ज्ञात कीजिए, जिसके लिए बिन्दु P(2, -3) और Q(10, y) के बीच की दूरी 10 मात्रक है।
हल
दिए हुए बिन्दु P = (2, -3) और Q = (10, 1)

परन्तु प्रश्न में दिया है कि दोनों बिन्दुओं के बीच की दूरी (PQ) = 10 मात्रक
\(\sqrt{8^{2}+(y+3)^{2}}=10\)
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
8² + (y + 3)² = 10²
⇒ (y + 3)² = 10² – 8² = 100 – 64
⇒ (y + 3)² = 36
⇒ (y + 3)² = ±6
यदि y + 3 = +6 तो y = +6 – 3 = 3
और यदि y + 3 = -6 तो y = – 6 – 3 = -9
अतः y के अभीष्ट मान = 3, -9

प्रश्न 9.
यदि Q(0, 1) बिन्दुओं P(6, -3) और R(x, 6) से समदूरस्थ है तो x के मान ज्ञात कीजिए। दूरियाँ QR और PR भी ज्ञात कीजिए।
हल
Q = (0, 1), P = (5, -3) और R = (x, 6)
बिन्दु Q(0, 1) बिदुओं (5, -3) व R(x, 6) से समदूरस्थ है।
अर्थात् PQ = QR

प्रश्न 10.
x और y में एक ऐसा सम्बन्ध ज्ञात कीजिए कि बिन्दु (x, y)बिन्दुओं (3, 6) और (-3, 4)से समदूरस्थ हो।
हल
माना बिन्दु P = (x, y), Q = (3, 6) तथा R = (-3, 4)
बिन्दु P(x, y) बिन्दुओं Q (3, 6) व R(-3, 4) से समदूरस्थ है।
अर्थात् PQ = PR

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
(x – 3)² + (y – 6)² = [x – (-3)]² + (y – 4)²
⇒ x² – 6x + 9 + y² – 12y + 36 = (x + 3)² + (y – 4)²
⇒ x² + y² – 6x – 12y + 45 = x² + 6x + 9 + y² – 8y + 16
⇒ x² + y² – 6x – 12y + 45 = x² + y² + 6x – 8y + 25
⇒ -6x – 12 y = 6x – 8 y + 25 – 45
⇒ -6x – 12y – 6x + 8y = -20
⇒ -12x – 4y = -20
⇒ 3x + y = 5 [∵ (-4) से दोनों पक्षों में भाग देने पर]
अत: अभीष्ट सम्बन्ध : 3x + y = 5

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Additional Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Additional Questions

Bihar Board Class 10 Maths त्रिभुज Additional Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
आकृति में, O दो जीवाओं को AB और CD का प्रतिच्छेद बिन्दु इस प्रकार है कि OB = OD है, तो त्रिभुज OAC और ODB हैं

(i) समबाहु परन्तु समरूप नहीं
(ii) समद्धिबाहु परन्तु समरूप नहीं
(iii) समबाहु और समरूप
(iv) समद्विबाहु और समरूप
हल
(iv) समद्विबाहु और समरूप

प्रश्न 2.
एक त्रिभुज ABC की भुजाओं AB और AC पर क्रमशः बिन्दु D और E इस प्रकार स्थित हैं कि AD = 2 cm, BD = 3 cm, BC = 7.5 cm और DE || BC है। तब, DE की लम्बाई (cm में) है-
(i) 2.5
(ii) 3
(iii) 5
(iv) 6
हल
(ii) 3

प्रश्न 3.
आकृति में, ∠BAC = 90° और AD ⊥ BC हैं। तब,

(i) BD . CD = BC²
(ii) AB . AC = BC²
(iii) BD . CD = AD²
(iv) AB . AC = AD²
हल
(iii) BD . CD = AD²

प्रश्न 4.
एक समचतुर्भुज के विकर्णों की लम्बाइयाँ 16 cm और 12 cm हैं। तब, इस समचतुर्भुज की भुजा की लम्बाई है
(i) 9 cm
(ii) 10 cm
(iii) 8 cm
(iv) 20 cm
हल
(ii) 10 cm

प्रश्न 5.
यदि ∆ABC ~ ∆EDF और ∆ABC ~ ∆DEF के समरूप नहीं है, तो निम्नलिखित में कौन सत्य नहीं है?
(i) BC . EF = AC . FD
(ii) AB . EF = AC · DE
(iii) BC . DE = AB . EF
(iv) BC . DE = AB . FD
हल
(ii) AB . EF = AC . DE

प्रश्न 6.
यदि दो त्रिभजों ABC और PQR में \(\frac{A B}{Q R}=\frac{B C}{P R}=\frac{C A}{P Q}\) है तो
(i) ∆PQR ~ ∆CAB
(ii) ∆PQR ~ ∆ABC
(iii) ∆CBA ~ ∆PQR
(iv) ∆BCA ~ ∆PQR
हल
(i) ∆PQR ~ ∆CAB

प्रश्न 7.
आकृति में, दो रेखाखण्ड AC और BD परस्पर बिन्दु P पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि PA = 6 cm, PB = 3 cm, PC = 2.5 cm, PD = 5 cm, ∠APB = 50° और ∠CDP = 30° है तब, ∠PBA बराबर है

(i) 50°
(ii) 30°
(iii) 60°
(iv) 100°
हल
(iv) 100°

प्रश्न 8.
त्रिभुजों ABC और DEF में, ∠B = ∠E, ∠F = ∠C तथा AB = 3DE है। तब दोनों त्रिभुज हैं
(i) सर्वांगसम परन्तु समरूप नहीं
(ii) समरूप परन्तु सर्वांगसम नहीं
(iii) न तो सर्वांगसम और न ही समरूप
(iv) सर्वांगसम और समरूप दोनों
हल
(ii) समरूप परन्तु सर्वांगसम नहीं

प्रश्न 9.
यह दिया है कि \(\frac{B C}{Q R}=\frac{1}{3}\) के साथ ∆ABC ~ ∆PQR है। तब \(\frac { ar(PQR) }{ ar(BCA) }\) बराबर है
(i) 9
(ii) 3
(iii) \(\frac {1}{3}\)
(iv) \(\frac {1}{9}\)
हल
(i) 9

प्रश्न 10.
∆ABC ~ ∆DFE, ∠A = 30°, ∠C = 50°, AB = 5 cm, AC = 8 cm और DF = 7.5 cm दिया हुआ है। तब, निम्नलिखित सत्य है
(i) DE = 12 cm, ∠F = 50°
(ii) DE = 12 cm, ∠F = 100°
(iii) EF = 12 cm, ∠D = 100°
(iv) EF = 12 cm, ∠D = 30°
हल
(ii) DE = 12 cm, ∠F = 100°

प्रश्न 11.
यदि त्रिभुज ABC और DEF में, \(\frac{A B}{D E}=\frac{B C}{F D}\) है, तो ये समरूप होंगे, जब
(i) ∠B = ∠E
(ii) ∠A = ∠D
(iii) ∠B = ∠D
(iv) ∠A = ∠F
हल
(iii) ∠B = ∠D

प्रश्न 12.
यदि ∆ABC ~ ∆QRP, \(\frac { ar(ABC) }{ ar(PQR) } =\frac { 9 }{ 4 }\), AB = 18 cm और BC = 15 cm है, तो PR बराबर है
(i) 10 cm
(ii) 12 cm
(iii) \(\frac {20}{3}\) cm
(iv) 8 cm
हल
(i) 10 cm

प्रश्न 13.
यदि ∆PQR की एक भुजा PQ पर S एक ऐसा बिन्दु है कि PS = QS = RS है, तो
(i) PR . QR = RS²
(ii) QS² + RS² = QR²
(iii) PR² + QR² = PQ²
(iv) PS² + RS² = PR²
हल
(iii) PR² + QR² = PQ²

अतिलघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
दिए गए चित्र में, DE, BC के समान्तर है तथा AD = 2 cm, BD = 3 cm , त्रिभुज ABC तथा त्रिभुज ADE के क्षेत्रफल में अनुपात ज्ञात कीजिए।

हल

प्रश्न 2.
चित्र में, EF || BC, यदि AE : BE = 4 : 1 और CF = 1.5 cm हो, तो AF की लम्बाई क्या होगी?

हल
EF || BC
\(\frac{A E}{E B}=\frac{A F}{C F}\)
⇒ \(\frac{4}{1}=\frac{A F}{1.5}\)
⇒ AF = 4 × 1.5 = 6.0 cm

प्रश्न 3.
दो समरूप त्रिभुजों की भुजाएँ 4 : 5 के अनुपात में हैं। उनके क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल
क्षेत्रफलों का अनुपात = संगत भुजाओं के वर्गों का अनुपात = (4)² : (5)² = 16 : 25

प्रश्न 4.
आकृति में, \(\frac{O A}{O C}=\frac{O D}{O B}\) है। ∆AOD ~ ∆COB सिद्ध करने के लिए किस अन्य सूचना की आवश्यकता होगी?
हल
दिया है, \(\frac{O A}{O C}=\frac{O D}{O B}\)
आकृति से, ∠AOD = ∠BOC (शीर्षाभिमुख कोण)
अतः ∆AOD ~ ∆COB
अर्थात् ∆AOD ~ ∆COB सिद्ध करने के लिए किसी भी अन्य सूचना की आवश्यकता नहीं है।

प्रश्न 5.
बौधायन प्रमेय का कथन लिखिए।
हल
प्रमेय : समकोण त्रिभुज में (कर्ण)² = (आधार)² + (लम्ब)² होता है।

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए कि भुजाएँ 13 cm, 12 cm व 5 cm एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ हैं।
हल
माना a = 13 cm, b = 12 cm तथा c = 5 cm
तब, a² = (13)² = 169
तथा b² + c² = (12)² + (5)² = 144 + 25 = 169
∴ a² = b² + c²
अर्थात् (सबसे बड़ी भुजा)² = शेष दोनों भुजाओं के वर्गों का योग
अतः दी गई भुजाएँ एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ हैं।
इति सिद्धम्

प्रश्न 7.
आकृति में, DE || BC तो EC ज्ञात कीजिए।

हल
∆ABC में, DE || BC

अत: EC की लम्बाई = 4 cm

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
आकृति में, ∠A = 90°, BD = DC तो पाइथागोरस प्रमेय से सिद्ध कीजिए AD = \(\frac {1}{2}\) BC

हल
दिया है : ∆ABC में, ∠A = 90°
BD = DC
AD ⊥ BC
सिद्ध करना है : AD = \(\frac {1}{2}\) BC
उपपत्ति : ∆ABC में, ∠A = 90°
तथा AD ⊥ BC
AD² = BD . DC = BD . BD = BD² (∵ DC = BD)
⇒ AD = BD = \(\frac {1}{2}\) BC
इति सिद्धम्

प्रश्न 2.
यदि ∆ABC में DE || BC और \(\frac{A D}{D B}=\frac{2}{3}\) तथा AC = 18 cm हों तो AE ज्ञात कीजिए।
हल

प्रश्न 3.
दी गई आकृति में DE || AB है। x का मान ज्ञात कीजिए।

हल
∆ABC में, DE || AB
CE : EB = CD : DA
\(\frac{C E}{E B}=\frac{C D}{D A}\)
⇒ \(\frac{x}{3 x+4}=\frac{x+3}{8 x+9}\)
⇒ (8x + 9) x = (3x + 4) (x + 3)
⇒ 8x² + 9x = 3x² + 9x + 4x + 12
⇒ 8x² + 9x – 3x² – 9x – 4x – 12 = 0
⇒ 5x² – 4x – 12 = 0
⇒ 5x² – (10 – 6)x – 12 = 0
⇒ 5x² – 10x + 6x – 12 = 0
⇒ 5x(x – 2) + 6(x – 2) = 0
⇒ (x – 2)(5x + 6) = 0
यदि 5x + 6 = 0 हो, तो x = \(-\frac{6}{5}\) जो कि मान्य नहीं है।
तब, यदि x – 2 = 0 हो, तो x = 2
अतः x का मान = 2.

प्रश्न 4.
दी गई आकृति में ABCD एक समचतुर्भुज है तो सिद्ध कीजिए कि 4AB² = AC² + BD²

हल
दिया है : ABCD एक समचतुर्भुज है जिसमें AB, BC, CD व DA चतुर्भुज की भुजाएँ हैं AC व BD विकर्ण हैं।
सिद्ध करना है : 4AB² = AC² + BD²
उपपत्ति : समचतुर्भुज की भुजाएँ लम्बाई में समान होती हैं और उसके विकर्ण परस्पर समकोण पर एक-दूसरे को अर्धित करते हैं।
AB = BC = CD = DA ……(1)
AO = OC तथा BO = OD
∆AOB, ∆BOC, ∆COD व ∆DOA समकोण त्रिभुज हैं।
समकोण ∆AOB में, ∠AOB = 90°
AB² = AO² + BO²
⇒ AB² = \(\left(\frac{A C}{2}\right)^{2}+\left(\frac{B D}{2}\right)^{2}\) (∵ AO, AC का तथा BO, BD का अर्धक है)
⇒ AB² = \(\frac{A C^{2}+B D^{2}}{4}\)
⇒ 4AB² = AC² + BD²
इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
दो समरूप ∆ABC तथा ∆PQR के क्षेत्रफल का अनुपात 9 : 16 है। यदि BC = 4.5 m, तो QR की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल
दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल, त्रिभुजों की संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात में होते हैं।

अतः QR की लम्बाई = 6.0 cm

प्रश्न 6.
चित्र में, ∆OSR ≅ ∆OPQ एवं SR || PQ यदि OSR = 50° और ∠ROQ = 120° तो ∠QPO का मान ज्ञात कीजिए।

हल
चित्र में, ∆OSR ≅ ∆OPQ एवं SR || PQ, SQ एक ऋजु रेखा है और 120° उससे OR बिन्दु O पर मिलती है, जिससे ∠SOR तथा ∠QOR एक रैखिक युग्म कोण है।
∠SOR + ∠QOR = 180°
⇒ ∠SOR + 120° = 180°
⇒ ∠SOR = 180° – 120° = 60°
तब ∆SOR में, ∠RSO + ∠SOR + ∠ORS = 180°
50° + 60° + ∠ORS = 180°
⇒ ∠ORS = 180° – 50° – 60°
⇒ ∠ORS = 180° – 110°
⇒ ∠ORS = 70°
∵ ∆SOR ~ ∆QPO
∴ ∠ORS = ∠QPO = 70°
∴ ∠QPO = 70°

प्रश्न 7.
आकृति में, AD ⊥ BC है। सिद्ध कीजिए कि AB² + CD² = BD² + AC²

हल
∆ABD में, ∠BDA = 90°,
अत: बौधायन प्रमेय से,
AB² = BD² + DA² ……(1)
तथा इसी प्रकार ∆ADC में,
AC² = CD² + DA²
⇒ DA² = AC² – CD²
समीकरण (1) में DA2 का मान रखने पर,
AB² = BD² + AC² – CD²
⇒ AB² + CD² = BD² + AC²
इति सिद्धम्

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
AQ तथा BP एक समकोण त्रिभुज ABC की माध्यिकाएँ हैं तथा त्रिभुज का कोण C समकोण है। सिद्ध कीजिए कि 4(AQ² + BP²) = 5AB²

हल
दिया है : ∆ABC में ∠C = 90°, त्रिभुज की BP और AQ दो माध्यिकाएँ हैं जो क्रमश: CA को बिन्दु P पर तथा BC को बिन्दु Q पर मिलती
हैं।
सिद्ध करना है : 4(AQ² + BP²) = 5AB²
उपपत्ति : BP, CA की माध्यिका है।
PC = \(\frac{1}{2}\) CA
⇒ 2PC = CA
⇒ 4PC² = CA² ……(1)
AQ, BC की माध्यिका है।
CQ = \(\frac{1}{2}\) BC
⇒ 2CQ = BC
⇒ 4CQ² = BC² ………(2)
समकोण त्रिभुज ABC में, AB² = BC² + CA² ……(3)
समकोण त्रिभुज BPC में, BP² = PC² + BC² …….(4)
समकोण त्रिभुज ACQ में, AQ² = CA² + CQ² ………(5)
समीकरण (4) व (5) को जोड़ने पर,
AQ² + BP² = PC² + CQ² + CA² + BC² ……(6)
समीकरण (6) को 4 से गुणा करने पर,
4(AQ² + BP²) = 4PC² + 4CQ² + 4BC² + 4CA²
⇒ 4(AQ² + BP²) = CA² + BC² + 4BC² + 4CA² [समीकरण (1) व (2) से]
⇒ 4(AQ² + BP²) = 5BC² + 5CA²
⇒ 4(AQ² + BP²) = 5(BC² + CA²)
⇒ 4(AQ² + BP²) = 5AB² [समीकरण (3) से]
अत: 4(AQ² + BP²) = 5AB²
इति सिद्धम्

प्रश्न 2.
आकृति में, ∠ACB = 90° तथा AD ⊥ AB है। सिद्ध कीजिए कि \(\frac{A B^{2}}{A D^{2}}=\frac{B C}{C D}\)

हल
दिया है : ∆ABD में ∠DAB = 90° तथा AC ⊥ BD
सिद्ध करना है : \(\frac{A B^{2}}{A D^{2}}=\frac{B C}{C D}\)
उपपत्ति : ∆ABD में, ∠DAB = 90°
∆ABD समकोण त्रिभुज है जिसमें AC ⊥ BD
∆ABC ~ ∆DBA और ∆DAC ~ ∆DRA तथा ∆ABC ~ ∆DAC
∵ ∆ABC ~ ∆DRA
∆ABC तथा ∆DBA की तुलना करने पर,
\(\frac{B C}{A B}=\frac{A B}{B D}\)
⇒ AB² = BC × BD …….(1)
∵ ∆DAC ~ ∆DBA
∴ ∆DAC तथा ∆DBA की तुलना करने पर,
\(\frac{A D}{B D}=\frac{C D}{A D}\)
⇒ AD² = BD × CD …….(2)
समीकरण (1) को (2) से भाग देने पर,
\(\frac{A B^{2}}{A D^{2}}=\frac{B C \times B D}{B D \times C D}\)
⇒ \(\frac{A B^{2}}{A D^{2}}=\frac{B C}{C D}\)
इति सिद्धम्

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.6 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.6

Bihar Board Class 10 Maths त्रिभुज Ex 6.6

प्रश्न 1.
दी गई आकृति में PS कोण QPR का समद्विभाजक है। सिद्ध कीजिए कि \(\frac{Q S}{S R}=\frac{P Q}{P R}\) है।
हल
दिया है : ∆PQR में PS कोण QPR का समद्विभाजक है।
सिद्ध करना है : \(\frac{Q S}{S R}=\frac{P Q}{P R}\)
रचना : बिन्दु R से रेखा RT || PS खींची जो बढ़ाई गई QP को T पर प्रतिच्छेद करे।
उपपत्ति : TR || PS और PR तिर्यक रेखा है
∠SPR = ∠PRT (एकान्तर कोण-युग्म है) ……(1)
पुन: TR || PS और QT तिर्यक रेखा है।
∠QPS = ∠PTR (संगत कोण-युग्म है) ……(2)
परन्तु PS, ∠QPR का समद्विभाजक है।
∠QPS = ∠SPR …….(3)
तब, समीकरण (1), (2) व (3) से,
∠PTR = ∠PRT
∆PTR की भुजा PT = PR ……(4)

अब, ∆QTR में, PS || TR
\(\frac{P Q}{P T}=\frac{Q S}{S R}\)
परन्त समीकरण (4) से, PT = PR
अतः \(\frac{P Q}{P R}=\frac{Q S}{S R} \Rightarrow \frac{Q S}{S R}=\frac{P Q}{P R}\)
इति सिद्धम्

प्रश्न 2.
दी गई आकृति में D, ∆ABC के कर्ण AC पर स्थित एक बिन्दु है जबकि BD ⊥ AC, DM ⊥ BC और DN ⊥ AB है। सिद्ध कीजिए कि-
(i) DM² = DN . MC
(ii) DN² = DM . AN

हल
दिया है : समकोण ∆ABC में ∠ABC = 90°
BD ⊥ AC, DM ⊥ BC तथा DN ⊥ AB
सिद्ध करना है :
(i) DM² = DN . MC
(ii) DN² = DM . AN
उपपत्ति : समकोण ∆ABC में, BD ⊥ AC (दिया है)
∆BDC ~ ∆ABC और ∆ADB ~ ∆ABC
जिससे ∆BDC ~ ∆ADB
तथा ∆BDC और ∆ADB समकोणीय हैं।
(i) समकोण ∆BDC में, DM ⊥ BC (दिया है)
∆DMC ~ ∆BMD
\(\frac{M C}{D M}=\frac{D M}{B M}\)
⇒ DM² = BM × MC …….(1)
चतुर्भुज BMDN में,
∠B = 90°, ∠M = 90° तथा ∠N = 90°
चतुर्भुज BMDN एक आयत है।
BM = DN ………(2)
तब, समीकरण (1) व (2) से,
DM² = DN . MC
इति सिद्धम्

(ii) समकोण ∆ADB में, DN ⊥ AB (दिया है)
∆AND और ∆DNB में,
\(\frac{D N}{B N}=\frac{A N}{D N}\)
⇒ DN² = BN . AN …….(3)
परन्तु, चतुर्भुज BMDN में,
∠B = 90°, ∠M = 90° तथा ∠N = 90°
चतुर्भुज BMDN एक आयत है।
BN = DM ……(4)
तब, समीकरण (3) व (4) से,
DN² = DM · AN
इति सिद्धम्

प्रश्न 3.
दी गई आकृति में ABC एक त्रिभुज है जिसमें ∠ABC > 90° तथा AD ⊥ CB है। सिद्ध कीजिए कि AC² = AB² + BC² + 2BC . BD है।

हल
दिया है : ∆ABC में, ∠ABC > 90° तथा AD ⊥ CB है।
सिद्ध करना है : AC² = AB² + BC² + 2BC . BD
उपपत्ति : समकोण ∆ABD में,
AB² = AD² + BD² ……(1)
पुनः समकोण ∆ACD में,
AC² = AD² + DC²
= AD² + (BD + BC)² (∵ DC = BD + BC)
= AD² + BD² + BC² + 2BC . BD [∴ (BD + BC)² के विस्तार से]
= AB² + BC² + 2BC . BD [∴ समीकरण (1) से ]
अतः AC² = AB² + BC² + 2BC . BD
इति सिद्धम्

प्रश्न 4.
दी गई आकृति में ABC एक त्रिभुज है जिसमें ∠ABC < 90° है तथा AD ⊥ BC है। सिद्ध कीजिए कि AC² = AB² + BC² – 2BC . BD है।

हल
दिया है : ∠B < 90° तथा AD ⊥ BC
सिद्ध करना है : AC² = AB² + BC² – 2BC . BD
उपपत्ति : AD ⊥ BC
∆ABD तथा ∆ACD समकोणीय त्रिभुज हैं।
तब, समकोण त्रिभुज ABD में,
AB² = AD² + BD² ……(1)
और समकोण त्रिभुज ACD में,
AC² = AD² + DC² …….(2)
समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर,
AC² – AB² = DC² – BD²
⇒ AC² – AB² = (DC + BD) (DC – BD) (∵ (a + b) (a – b) = a² – b²)
⇒ AC² – AB² = BC(DC – BD) (∵ DC + BD = BC)
⇒ AC² – AB² = BC(BC – BD – BD) (∵ DC = BC – BD)
⇒ AC² – AB² = BC (BC – 2BD)
⇒ AC² – AB² = BC² – 2BC × BD
अत: AC² = AB² + BC² – 2BC . BD
इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
दी गई आकृति में AD त्रिभुज ABC की एक माध्यिका है तथा AM ⊥ BC है। सिद्ध कीजिए कि-

हल
दिया है : ABC एक त्रिभुज है जिसमें D, भुजा BC का मध्य-बिन्दु AM, BC पर लम्ब खींचा गया है और AC > AB
सिद्ध करना है :

उपपत्ति : (i) समकोण ∆AMD में, AM² + DM² = AD² …..(1)
समकोण ∆AMC में,
AC² = AM² + MC²
= (AD² – DM²) + MC² [समीकरण (1) से AM² = AD² – DM²]
= AD² – DM² + (DM + DC)² [∵ MC = DM + DC]
= AD² – DM² + DM² + 2DM . DC + DC²
= AD² + 2 DM . DC + (\(\frac{1}{2}\) BC)² [∵ D, BC मध्य-बिन्दु है]
= AD² + (2DC). DM + \(\frac{1}{4}\) BC² [∵ 2DC = BC]
अत: AC² = AD² + BC . DM + \(\left(\frac{B C}{2}\right)^{2}\) ……(2)
इति सिद्धम्

(ii) समकोण ∆AMB में,
AB² = AM² + BM²
= (AD² – DM²) + BM²
= AD² – DM² + (BD – DM)²
= AD² – DM² + BD² – 2BD . DM + DM² [∵ (a – b)² = a² – 2ab + b²]
= AD² – 2BD . DM + BD²
= AD² – BC . DM + \(\left(\frac{1}{2} B C\right)^{2}\) [∵ D, BC का मध्य-बिन्दु है।]
AB² = AD² – BC . DM + \(\frac{1}{4}\) BC² …….(3)
अत: AB² = AD² – BC . DM + \(\left(\frac{B C}{2}\right)^{2}\)
इति सिद्धम्

(iii) खण्ड (i) व खण्ड (ii) के परिणामों का योग करने पर,
AB² + AC² = 2AD² + 2 . \(\frac{1}{4}\) BC² = 2AD² + \(\frac{1}{2}\) BC²
अत: AB² + AC² = 2AD² + \(\frac{1}{2}\) BC²
इति सिद्धम्

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए कि एक समान्तर चतुर्भुज के विकर्णों के वर्गों का योग उसकी भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।

हल
दिया है : ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है जिसके विकर्ण AC और BD परस्पर बिन्दु O पर काटते हैं।
सिद्ध करना है : AC² + BD² = AB² + BC² + CD² + DA²
रचना : A से BD पर AE C से BD पर CF लम्ब खींचा।
उपपत्ति: ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है और AC तथा BD उसके विकर्ण हैं जो परस्पर O पर काटते हैं।
∴ AO = OC, OB = OD तथा AB = CD
तब, समकोण ∆ABE में,

प्रश्न 7.
दी गई आकृति में एक वृत्त की दो जीवाएँ AB और CD परस्पर बिन्द P पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि
(i) ∆APC ~ ∆DPB
(ii) AP . PB = CP . DP

हल
दिया है : एक वृत्त की AB व CD दो जीवाएँ हैं जो एक-दूसरे को बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करती हैं।
सिद्ध करना है :
(i) ∆APC ~ ∆DPB
(ii) AP . PB = CP . DP
रचना : रेखाखण्ड AD व CB खींचे।
उपपत्ति : (i) जीवा AB और CD परस्पर P पर काटती हैं।
शीर्षाभिमुख कोण ∠APC = ∠BPD
∠CAP = ∠BDP (एक ही वृत्तखण्ड के कोण हैं)
और ∠ACP = ∠DBP (एक ही वृत्तखण्ड के कोण हैं)

अब, ∆APC और ∆BPD में,
∠APC = ∠BPD
∠CAP = ∠BDP
∠ACP = ∠DBP
दो त्रिभुजों की समरूपता की कसौटी AAA से,
∆APC ~ ∆DPB
इति सिद्धम्
(ii) ∆APC और ∆DPB में,
\(\frac{A P}{D P}=\frac{C P}{P B}\)
अत: AP . PB = CP . DP
इति सिद्धम्

प्रश्न 8.
दी गई आकृति में एक वृत्त की दो जीवाएँ AB और CD बढ़ाने पर परस्पर बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि
(i) ∆PAC ~ ∆PDB
(ii) PA . PB = PC . PD

हल
दिया है : AB और CD एक वृत्त की दो जीवाएँ हैं जो बढ़ाने पर एक-दूसरे को वृत्त के बाहर बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करती हैं।
सिद्ध करना है :
(i) ∆PAC ~ ∆PDB
(ii) PA . PB = PC . PD
रचना : रेखाखण्ड AC व BD को मिलाया।
उपपत्ति : (i) चतुर्भुज ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है और ∠PAC उसका बहिष्कोण है।
∠PAC = ∠BDC
⇒ ∠PAC = ∠BDP
इसी प्रकार, ∠PCA, चक्रीय चतुर्भुज ABCD का बहिष्कोण है।
∠PCA = ∠ABD
∠PCA = ∠PBD …..(2)
अब, ∆PAC और ∆PBD में,
∠CPA = ∠BPD (दोनों त्रिभुजों का उभयनिष्ठ कोण है)
∠PAC = ∠BDP [समीकरण (1) से]
∠PCA = ∠PBD [समीकरण (2) से]
दो त्रिभजों की समरूपता के गुणधर्म AAA से,
∆PAC ~ ∆PDB
इति सिद्धम्
(ii) ∵ ∆PAC ~ ∆PDB
\(\frac{P A}{P D}=\frac{P C}{P B}\)
⇒ PA . PB = PC . PD
इति सिद्धम्

प्रश्न 9.
दी गई आकृति में त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि \(\frac{B D}{C D}=\frac{A B}{A C}\) है। सिद्ध कीजिए कि AD, कोण BAC का समद्विभाजक है।

हल
दिया है : ∆ABC की भुजा BC पर एक बिन्दु D ऐसा है कि \(\frac{B D}{C D}=\frac{A B}{A C}\)
सिद्ध करना है : AD, ∠BAC का समद्विभाजक है।
रचना : BA को उसकी सीध में E तक इतना बढ़ाया कि AE = AC हो। रेखाखण्ड CE खींचा।
उपपत्ति: दिया है,
\(\frac{B D}{C D}=\frac{A B}{A C}\)
∵ AC = AE ⇒ \(\frac{B D}{C D}=\frac{A B}{A E}\)
तब, ∆BEC में, \(\frac{B D}{C D}=\frac{A B}{A E}\)
अनुपातिकता के मूलभूत प्रमेय के विलोम से, AD || EC
AD || EC और BE तिर्यक रेखा है।
∠BAD = ∠AEC ……(1)
AD || EC और AC तिर्यक रेखा है।
∠CAD = ∠ACE ……(2)

परन्तु ∆ACE में रचना से, AC = AE
∠AEC = ∠ACE …….(3)
तब समीकरण (1), (2) व (3) से,
∠BAD = ∠CAD
परन्तु ∠BAD + ∠CAD = ∠BAC
अत: AD, ∠BAC का समद्विभाजक है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 10.
नाज़िमा एक नदी की धारा में मछलियाँ पकड़ रही है। उसकी मछली पकड़ने वाली छड़ का सिरा पानी की सतह से 1.8 m ऊपर है तथा डोरी के निचले सिरे से लगा काँटा पानी की सतह पर इस प्रकार स्थित है कि उसकी नाज़िमा से दूरी 3.6 m है और छड़ के सिरे के ठीक नीचे पानी की सतह पर स्थित बिन्दु से उसकी दूरी 2.4 m है। यह मानते हुए कि उसकी डोरी (उसकी छड़ के सिरे से काँटे तक) तनी हुई है, उसने कितनी डोरी बाहर निकाली हुई है? यदि वह डोरी को 5 cm/s की दर से अन्दर खींचे तो 12 सेकण्ड के बाद नाज़िमा की काँटे से क्षैतिज दूरी कितनी होगी?
हल
चित्र में, नाजिमा की मछली पकड़ने वाली छड़ का सिरा A पानी की सतह से 1.8 m ऊँचाई पर है जिससे AC = 1.8 m है।
डोरी AB के सिरे B पर एक काँटा है जिसकी बिन्दु C से दूरी BC = 2.4 m है और नाजिमा से B की दूरी BD = 3.6 m है।
CD = BD – BC = 3.6 – 2.4 = 1.2 m
माना डोरी की लम्बाई AB है।

तब समकोण ∆ABC में,
AB² = BC² + CA²
⇒ AB² = (2.4)² + (1.8)² = 5.76 + 3.24 = 9.0
⇒ AB = √9.00 = 3 m
अतः डोरी की लम्बाई = 3 m
जब वह डोरी को 5 cm/s की दर से अन्दर खींच रही है तो 12 सेकण्ड में खींची दूरी = 5 × 12 = 60 cm = 0.6 m
तब पानी के बाहर डोरी की लम्बाई AP = 3.6 – 0.6 = 2.4 m
तब काँटे से छड़ के सिरे A के ठीक नीचे बिन्दु C की क्षैतिज दूरी PC होगी।
समकोण ∆APC में,
PC² + AC² = AP²
PC² + (1.8)² = (2.4)²
PC² + 3.24 = 5.76
PC² = 5.76 – 3.24 = 2.52
PC = √2.52 = 1.587 m = 1.59 मीटर (लगभग)
काँटे से नाज़िमा की क्षैतिज दूरी PD = PC + CD = (1.59) + (1.2) cm = 2.79 m
अत: काँटे से नाज़िमा की क्षैतिज दूरी = 2.79 m

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.3 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.3

Bihar Board Class 10 Maths निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.3

प्रश्न 1.
उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष हैं-
(i) (2, 3), (-1, 0), (2, -4)
(ii) (-5, -1), (3, -5), (5, 2)
हल
(i) त्रिभुज के शीर्ष (2, 3), (-1, 0) तथा (2, -4) हैं।
यहाँ x₁ = 2, x₂ = -1, x₃ = 2, y₁ = 3, y₂ = 0, y₃ = -4
∆ का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) [{x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₁} – {y₁x₂ + y₂x₃ + y₃x₁}]
= \(\frac{1}{2}\) [{(2 × 0) + (-1 × -4) + (2 × 3)} – {(3 × -1) + (0 × 2) + (-4 × 2)}}
= \(\frac{1}{2}\) [{0 + 4 + 6} – {-3 + 0 – 8}]
= \(\frac{1}{2}\) [{10} – {-11}]
= \(\frac{1}{2}\) [10 + 11]
= \(\frac{21}{2}\) वर्ग मात्रक
अत: त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac{21}{2}\) वर्ग मात्रक

(ii) त्रिभुज के शीर्ष (-5, -1), (3, -5), (5, 2)
यहाँ x₁ = -5, x₂ = 3, x₃ = 5, y₁ = -1, y₂ = -5, y₃ = 2
∆ का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) [{x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₁} – {y₁x₂ + y₂x₃ + y₃x₁}]
= \(\frac{1}{2}\) [{(5 × -5) + (3 × 2) + (5 × -1)} – {(-1 × 3) + (-5 × 5) + (2 × -5)}]
= \(\frac{1}{2}\) [{25 + 6 – 5} – {-3 – 25 – 10}]
= \(\frac{1}{2}\) [{26} – {-38}]
= \(\frac{1}{2}\) [26 + 38]
= \(\frac{1}{2}\) × 64
= 32 वर्ग मात्रक
अत: त्रिभुज का क्षेत्रफल = 32 वर्ग मात्रक

प्रश्न 2.
निम्नलिखित में से प्रत्येक में ‘k’ का मान ज्ञात कीजिए ताकि तीनों बिन्दु संरेखी हों-
(i) (7, -2), (5, 1), (3, k)
(ii) (8, 1), (k, -4), (2, -5)
हल
(i) माना बिन्दु A = (7, -2); B = (5, 1) तथा C = (3, k)
यहाँ x₁ = 7, x₂ = 5, x₃ = 3, y₁ = -2, y₂ = 1, y₃ = k
∆ABC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) [{x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₁} – {y₁x₂ + y₂x₃ + y₃x₁}]
= \(\frac{1}{2}\) [7 × 1 + 5 × k + 3 × -2} – {-2 × 5 + 1 × 3 + k × 7}]
= \(\frac{1}{2}\) [{7 + 5k + (-6)} – {-10 + 3 + 7k}]
= \(\frac{1}{2}\) [(1 + 5k) – (-7 + 7k]
= \(\frac{1}{2}\) [1 + 5k + 7 – 7k]
= \(\frac{1}{2}\) [8 – 2k]
= \(\frac{2}{2}\) (4 – k)
= 4 – k
परन्तु यदि बिन्दु A, B, C संरेख हों तो ∆ABC का क्षेत्रफल शून्य होना चाहिए।
4 – k = 0 ⇒ k = 4
अत: k का मान = 4

(ii) माना बिन्दु A = (8, 1), B = (k, -4) तथा C = (2, -5)
यहाँ x₁ = 8, x₂ = k, x₃ = 2, y₁ = 1, y₂ = -4, y₃ = -5
∆ABC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) [{x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₁} – {y₁x₂ + y₂x₃ + y₃x₁}]
= \(\frac{1}{2}\) [8 × -4 + k × -5 + 2 × 1) – (1 × k – 4 × 2 – 5 × 8)]
= \(\frac{1}{2}\) [{-32 – 5k + 2} – {k – 8 – 40}]
= \(\frac{1}{2}\) [{-30 – 5k} – {k – 48}]
= \(\frac{1}{2}\) [-30 – 5k – k + 48]
= \(\frac{1}{2}\) [-6k + 18]
= \(\frac{2}{2}\) (-3k + 9)
= -3k + 9
परन्तु यदि बिन्दु A, B, C संरेख हों तो ∆ABC का क्षेत्रफल शून्य होना चाहिए।
-3k + 9 = 0 ⇒ k = 3
अत: k का मान = 3

प्रश्न 3.
शीर्षों (0, -1), (2, 1) और (0, 3) वाले त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिन्दुओं से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। इस क्षेत्रफल का दिए हुए त्रिभुज के क्षेत्रफल के साथ अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल
माना ∆ABC के शीर्ष A = (0, -1), B = (2, 1) और C = (0, 3)
यहाँ x₁ = 0, x₂ = 2, x₃ = 0, y₁ = -1, y₂ = 1, y₃ = 3
∆ABC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) [{x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₁} – {y₁x₂ + y₂x₃ + y₃x₁}]
= \(\frac{1}{2}\) [{0 × 1 + 2 × 3 + 0 × -1} – {-1 × 2 + 1 × 0 + 3 × 0}]
= \(\frac{1}{2}\) [{0 + 6 + 0} – {-2 + 0 + 0}]
= \(\frac{1}{2}\) [6 – (-2)]
= \(\frac{1}{2}\) × 8
= 4 वर्ग मात्रक
भुजा AB का मध्य-बिन्दु D = \(\left(\frac{0+2}{2}, \frac{-1+1}{2}\right)\) = (1, 0)
भुजा BC का मध्य-बिन्दु E = \(\left(\frac{2+0}{2}, \frac{1+3}{2}\right)\) = (1, 2)
भुजा CA का मध्य-बिन्दु F = \(\left(\frac{0+0}{2}, \frac{-1+3}{2}\right)\) = (0, 1)
तब, ∆DEF के शीर्ष D = (1, 0), E = (1, 2), F = (0, 1)
यहाँ, x₁ = 1, y₁ = 0, x₂ = 1, y₂ = 2, x₃ = 0, y₃ = 1
∆DEF का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) [{x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₁} – {y₁x₂ + y₂x₃ + y₃x₁}]
= \(\frac{1}{2}\) [{1 × 2 + 1 × 1 + 0 × 0} – {0 × 1 + 2 × 0 + 1 × 1}]
= \(\frac{1}{2}\) [{2 + 1 + 0} – {0 + 0 + 1}]
= \(\frac{1}{2}\) [3 – 1]
= \(\frac{1}{2}\) × 2
= 1 वर्ग मात्रक
∴ शीर्षों (0, -1), (2, 1) और (0, 3) वाले त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिन्दुओं से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1 वर्ग मात्रक
पुनः दोनों त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात = 1 : 4

प्रश्न 4.
उस चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष, इसी क्रम में, (-4, -2), (-3, -5), (3, -2) और (2, 3) हैं।
हल
माना चतुर्भुज ABCD के शीर्ष A = (-4, -2), B = (-3, -5), C = (3, -2) तथा D = (2, 3) हैं।
यहाँ x₁ = -4, x₂ = -3, x₃ = 3, x₄ = 2, y₁ = -2, y₂ = -5, y₃ = -2, y₄ = 3
चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) [{x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₄ + x₄y₁} – {y₁x₂ + y₂x₃ + y₃x₄ + y₄x₁}]
= \(\frac{1}{2}\) [{(-4 × -5) + (-3 × -2) + (3 × 3) + (2 × -2)} – {(-2 × -3) + (-5 × 3) + (-2 × 2) + (3 × -4)}]
= \(\frac{1}{2}\) {20 + 6 + 9 – 4} – {6 – 15 – 4 – 12}]
= \(\frac{1}{2}\) [(31) – (-25)]
= \(\frac{1}{2}\) [31 + 25]
= \(\frac{1}{2}\) [56]
= 28 वर्ग मात्रक
अत: अभीष्ट चतुर्भुज का क्षेत्रफल = 28 वर्ग मात्रक

प्रश्न 5.
कक्षा IX में आपने पढ़ा है कि किसी त्रिभुज की एक माध्यिका उसे बराबर क्षेत्रफलों वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है। उस त्रिभुज ABC के लिए इस परिणाम का सत्यापन कीजिए जिसके शीर्ष A(4, -6), B(3, -2) और C(5, 2) हैं।
हल
दिए हुए, ∆ABC के शीर्ष A = (4, -6), B = (3, -2) और C = (5, 2)
माना BC का मध्य-बिन्दु D है।
तब, D = \(\left(\frac{3+5}{2}, \frac{-2+2}{0}\right)\) = (4, 0)

इस प्रकार माध्यिका AD, ∆ABC को दो त्रिभुजों (∆ABD व ∆ACD) में विभाजित करती है।
यहाँ, x₁ = 4, y₁ = -6, x₂ = 3, y₂ = -2, x₃ = 5, y₃ = 2
∆ABC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) [{x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₁} – {y₁x₂ + y₂x₃ + y₃x₁}]
= \(\frac{1}{2}\) [{4 × -2 + 3 × 2 + 5 × -6} – {-6 × 3 – 2 × 5 + 2 × 4}]
= \(\frac{1}{2}\) [{-8 + 6 – 30} – {-18 – 10 + 8}
= \(\frac{1}{2}\) [-32 – (-20)]
= \(\frac{1}{2}\) (-32 + 20)
= \(\frac{1}{2}\) × -12
= 6 वर्ग मात्रक
इसी प्रकार ∆ABD का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) [{-8 + 0 – 24} – {-18 – 8 + 0}]
= \(\frac{1}{2}\) [{-32} – {-26}]
= \(\frac{1}{2}\) [-32 + 26]
= 3 वर्ग मात्रक
तब, ∆ACD का क्षेत्रफल = ∆ABC का क्षेत्रफल – ∆ABD का क्षेत्रफल
= (6 – 3) वर्ग मात्रक
= 3 वर्ग मात्रक
अतः स्पष्ट है कि ∆ABC की माध्यिका AD, ∆ABC को दो समान क्षेत्रफल वाले त्रिभुज ABD व त्रिभुज ACD में विभाजित करती है।
इति सिद्धम्

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.2 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.2

Bihar Board Class 10 Maths त्रिभुज Ex 6.2

प्रश्न 1.
आकृति में, DE || BC है। चित्र (i) में EC और चित्र (ii) में AD ज्ञात कीजिए-

हल

प्रश्न 2.
किसी ∆PQR की भुजाओं PQ और PR पर क्रमशः बिन्दु E और F स्थित हैं। निम्नलिखित में से प्रत्येक स्थिति के लिए, बताइए कि क्या EF || QR है-
(i) PE = 3.9 cm, EQ = 3 cm, PF = 3.6 cm और FR = 2.4 cm
(ii) PE = 4 cm, QE = 4.5 cm, PF = 8 cm और RF = 9 cm
(iii) PQ = 1.28 cm, PR = 2.56 cm, PE = 0.18 cm और PF = 0.36 cm
हल
∆PQR में भुजा PQपर एक बिन्दु E तथा भुजा PR पर एक बिन्दु F स्थित है।
बिन्दुओं E व F को मिलाकर रेखाखण्ड EF खींचा गया है।
(i) दिया है, PE = 3.9 cm, EQ = 3 cm, PF = 3.6 cm और FR = 2.4 cm

प्रश्न 3.
आकृति में, यदि LM || CB और LN || CD हो तो सिद्ध कीजिए कि \(\frac{A M}{A B}=\frac{A N}{A D}\) है।

हल
दिया है : रेखाखण्ड LM || CB और LN || CD है।
सिद्ध करना है : \(\frac{A M}{A B}=\frac{A N}{A D}\)
उपपत्ति : ∆ABC में भुजा AB पर एक बिन्दु M तथा भुजा AC पर एक बिन्दु L है जिससे रेखाखण्ड LM || CB

प्रश्न 4.
आकृति में, DE || AC और DF || AE है। सिद्ध कीजिए कि \(\frac{B F}{F E}=\frac{B E}{E C}\) है।

हल
दिया है : ∆ABC में भुजा AB पर एक बिन्दु D है और भुजा BC पर दो बिन्दु E व F हैं।
रेखाखण्ड DF, DE व AE खींचे गए हैं। DE || AC है और DF || AE है।

प्रश्न 5.
आकृति में, DE || OQ और DF || OR है। दर्शाइए कि EF || QR है।

हल
दिया है : दी गई आकृति में DE || OQ तथा DF || OR है।
सिद्ध करना है : EF || QR
उपपत्ति : ∆POQ में, DE || OQ
\(\frac{P E}{E Q}=\frac{P D}{D O}\) ……..(1)
और ∆POR में, DF || OR
\(\frac{P F}{F R}=\frac{P D}{D O}\) ………(2)
तब, समीकरण (1) व समीकरण (2) से,
\(\frac{P E}{E Q}=\frac{P F}{F R}\)
अब ∆PQR में, \(\frac{P E}{E Q}=\frac{P F}{F R}\)
तब, थेल्स प्रमेय के विलोम से, EF || QR
इति सिद्धम्

प्रश्न 6.
आकृति में क्रमशः OP, OQ और OR पर स्थित बिन्दु A, B और C इस प्रकार हैं कि AB || PQ और AC || PR है। दर्शाइए कि BC || QR है।

हल
दिया है : दिए गए चित्र में रेखाखण्डों OP, OQ और OR पर क्रमशः बिन्दु A, B और C इस प्रकार स्थित हैं कि AB || PQ और AC || PR है।
सिद्ध करना है : BC || QR
उपपत्ति : ∆POQ में, AB || PQ (दिया है)
\(\frac{O A}{A P}=\frac{O B}{B Q}\) ………(1)
इसी प्रकार ∆POR में, AC || PR (दिया है)
\(\frac{O A}{A P}=\frac{O C}{C R}\) ….(2)
तब, समीकरण (1) व समीकरण (2) से,
\(\frac{O B}{B Q}=\frac{O C}{C R}\)
अब ∆OQR में, \(\frac{O B}{B Q}=\frac{O C}{C R}\)
थेल्स प्रमेय के विलोम से, BC || QR
इति सिद्धम

प्रश्न 7.
आधारभूत आनुपातिक प्रमेय का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की एक भुजा के मध्य-बिन्दु से होकर दूसरी भुजा के सामान्तर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है।

हल
दिया है : ∆ABC की एक भुजा AB का मध्य-बिन्दु D है।
D से DE || BC रेखा खींची गई है जो रेखा AC को बिन्दु E पर काटती है।
सिद्ध करना है : E, AC का मध्य-बिन्दु है।
उपपत्ति : D, AB का मध्य-बिन्दु है।
AD : DB = 1 : 1 और DE || BC.
तब, थेल्स प्रमेय के अनुसार,
\(\frac{A D}{D B}=\frac{A E}{E C}\)
⇒ \(\frac{1}{1}=\frac{A E}{E C}\)
⇒ AE = EC
अत: E, AC का मध्य-बिन्दु है अथवा DE, AC को समद्विभाजित करती है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 8.
आधारभूत आनुपातिक प्रमेय के विलोम का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा तीसरी भुजा के समान्तर होती है।

हल
दिया है : ∆ABC में AB तथा AC के मध्य-बिन्दु क्रमश: D और E हैं।
सिद्ध करना है : DE || BC
उपपत्ति : D, AB का मध्य-बिन्दु है।
AD : BD = 1 : 1
तथा E, AC का मध्य-बिन्दु है।
AE : EC = 1 : 1
\(\frac{A D}{D B}=\frac{A E}{E C}\)
थेल्स प्रमेय के विलोम से ∆ABC में,
\(\frac{A D}{D B}=\frac{A E}{E C}\)
DE || BC
इति सिद्धम्

प्रश्न 9.
ABCD एक समलम्ब है जिसमें AB || DC है। इसके विकर्ण परस्पर बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि \(\frac{A O}{B O}=\frac{C O}{D O}\) है।

हल
दिया है : ABCD एक समलम्ब है, जिसमें AC तथा BD दो विकर्ण हैं जो परस्पर बिन्दु O पर काटते हैं।
सिद्ध करना है: \(\frac{A O}{B O}=\frac{C O}{D O}\)
रचना : O से OE || CD खींचिए।
उपपत्ति : ∆ADC में, OE || DC
\(\frac{A E}{E D}=\frac{A O}{C O}\) ………(1)
समलम्ब ABCD में,
AB || CD और रचना से OE || CD ⇒ OE || AB
अब, ∆ADB में, OE ||
\(\frac{E D}{A E}=\frac{D O}{B O}\)
⇒ \(\frac{A E}{E D}=\frac{B O}{D O}\) …….(2)
समीकरण (1) व समीकरण (2) से,
\(\frac{A O}{C O}=\frac{B O}{D O}\)
⇒ AO × DO = BO × CO
⇒ \(\frac{A O}{B O}=\frac{C O}{D O}\)
इति सिद्धम्

प्रश्न 10.
एक चतुर्भुज ABCD के विकर्ण परस्पर बिन्दु पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि \(\frac{A O}{B O}=\frac{C O}{D O}\) है। दर्शाइए कि ABCD एक समलम्ब है।

हल
दिया है : ABCD एक चतुर्भुज है जिसके विकर्ण AC तथा BD बिन्दु O पर एक-दूसरे को इस प्रकार विभक्त करते हैं कि
\(\frac{A O}{B O}=\frac{C O}{D O}\)
सिद्ध करना है : ABCD एक समलम्ब है।
रचना : O से OE || DC खींचिए।
उपपत्ति : ΔBDC में, OE || DC
\(\frac{B O}{D O}=\frac{B E}{E C}\) …….(1)
परन्तु दिया गया है कि
\(\frac{A O}{B O}=\frac{C O}{D O}\)
⇒ \(\frac{A O}{C O}=\frac{B O}{D O}\) ………(2)
समीकरण (1) व समीकरण (2) से,
\(\frac{A O}{C O}=\frac{B E}{E C}\)
⇒ \(\frac{C O}{A O}=\frac{E C}{B E}\)
OE || AB (थेल्स प्रमेय के विलोम से)
AB || CD (∵ OE || CD रचना से)
अत: ABCD एक समलम्ब है।
इति सिद्धम्

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.5 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.5

Bihar Board Class 10 Maths त्रिभुज Ex 6.5

प्रश्न 1.
कुछ त्रिभुजों की भुजाएँ नीचे दी गई हैं। निर्धारित कीजिए कि इनमें से कौन-कौन से समकोण त्रिभुज हैं। इस स्थिति में कर्ण की लम्बाई भी खिए।
(i) 7 cm, 24 cm, 25 cm
(ii) 3 cm, 8 cm, 6 cm
(iii) 50 cm, 80 cm, 100 cm
(iv) 13 cm, 12 cm, 5 cm
हल
समकोण त्रिभुजों में सबसे लम्बी भुजा कर्ण का वर्ग शेष दोनों भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।
(i) माना a = 7 cm, b = 24 cm तथा c = 25 cm
तब, (सबसे लम्बी भुजा)² = c² = (25)² = 625
तथा a² + b² = (7)² + (24)² = 49 + 576 = 625
c² = a² + b² अर्थात् सबसे लम्बी भुजा का वर्ग शेष दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर है।
अत: दिया गया त्रिभुज समकोण त्रिभुज है। कर्ण की लम्बाई = 25 सेमी।

(ii) माना a = 3 cm, b = 8 cm तथा c = 6 cm,
तब, b² = (8)² = 64
तथा a² + c² = 3² + 6² = 9 + 36 = 45
b² ≠ c² + a² अर्थात् सबसे लम्बी भुजा का वर्ग शेष दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर नहीं है।
अत: दिया गया त्रिभुज समकोण त्रिभुज नहीं है।

(iii) माना a = 50 cm, b = 80 cm तथा c = 100 cm
तब, c² = (100)² = 10,000
तथा a² + b² = (50)² + (80)² = 2500 + 6400 = 8900
c² ≠ a² + b² अर्थात् सबसे लम्बी भुजा का वर्ग शेष दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर नहीं है।
अतः दिया गया त्रिभुज समकोण त्रिभुज नहीं है।

(iv) माना a = 13 cm, b = 12 cm तथा c = 5 cm
तब, a² = (13)² = 169
तथा b² + c² = (12)² + (5)² = 144 + 25 = 169
a² = b² + c² अर्थात् सबसे लम्बी भुजा का वर्ग शेष दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर है।
अत: दिया गया त्रिभुज समकोण त्रिभुज है।
कर्ण की लम्बाई = 13 सेमी।

प्रश्न 2.
PQR एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण Pसमकोण है तथा QR पर बिन्दु M इस प्रकार स्थित है कि PM ⊥ QR है। दर्शाइए कि PM² = QM . MR है।

हल
दिया है : समकोण त्रिभुज PQR में ∠P समकोण है तथा PM ⊥ QR है।
सिद्ध करना है : PM2 = QM . MR
उपपत्ति : :: समकोण त्रिभुज PQR में ∠P समकोण है और इसके समकोण वाले शीर्ष P से कर्ण QR पर लम्ब खींचा गया है।
∆PQM ~ ∆RPM
\(\frac{Q M}{P M}=\frac{P M}{M R}\) (:: ∆PQM और ∆PRM की भुजाएँ आनुपातिक हैं)
PM² = QM . MR (वज्रगुणन से)
अतः PM² = QM . MR
इति सिद्धम्

प्रश्न 3.
दी गई आकृति में ABD एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण A समकोण है तथा AC ⊥ BD है। दर्शाइए कि-
(i) AB² = BC . BD
(ii) AC² = BC . DC
(iii) AD² = BD . CD

हल
दिया है : ΔABD में ∠DAB = 90° तथा AC ⊥ BD
सिद्ध करना है :
(i) AB² = BC . BD
(ii) AC² = BC . DC
(iii) AD² = BD . CD
उपपत्ति : ΔABD में, ∠DAB = 90°
ΔABD समकोण त्रिभुज है जिसमें AC ⊥ BD
ΔABC ~ ΔDBA और ΔDAC ~ ΔDBA तथा ΔABC ~ ΔDAC
(i) ∵ ΔABC ~ ΔDBA
∴ ΔABC तथा ΔDBA की तुलना करने पर,
\(\frac{B C}{A B}=\frac{A B}{B D}\)
AB² = BC . BD
इति सिद्धम्

(ii) ∵ ΔABC ~ ΔDAC
∴ ΔABC तथा ΔDAC की तुलना करने पर,
\(\frac{B C}{A C}=\frac{A C}{D C}\)
AC² = BC · DC
इति सिद्धम्

(iii) ∵ ΔDAC ~ ΔDBA
∴ ΔDAC तथा ΔDBA की तुलना करने पर,
\(\frac{A D}{B D}=\frac{C D}{A D}\)
AD² = BD . CD
इति सिद्धम्

प्रश्न 4.
ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसका कोण C समकोण है। सिद्ध कीजिए कि AB² = 2AC² है।

हल
दिया है : ΔABC समद्विबाहु है जिसमें ∠C = 90° तथा BC = AC
सिद्ध करना है : AB² = 2AC²
उपपत्ति : समद्विबाहु समकोण ΔABC में,
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,
AB² = AC² + BC²
⇒ AB² = AC² + (AC)²
⇒ AB² = AC² + AC² [∵ दिया है, BC = AC]
अत : AB² = 2AC²
इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें AC = BC है। यदि AB² = 2AC² हो तो सिद्ध कीजिए कि ABC एक समकोण त्रिभुज है।

हल
दिया है : समद्विबाहु ΔABC में,
AC = BC और AB² = 2AC²
सिद्ध करना है : ΔABC एक समकोण त्रिभुज है।
उपपत्ति : AB² = 2AC²
⇒ AB² = AC² + AC²
⇒ AB² = BC² + AC² (∵ AC = BC)
पाइथागोरस प्रमेय के विलोम से, ΔABC समकोण त्रिभुज होगा।
इति सिद्धम्

प्रश्न 6.
एक समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा 2a है। उसके प्रत्येक शीर्षलम्ब की लम्बाई ज्ञात कीजिए।

हल
ΔABC समबाहु त्रिभुज है।
त्रिभुज की भुजा AB = 2a, BC = 2a तथा CA = 2a
त्रिभुज के शीर्ष A से BC पर लम्ब AD खींचा गया है।
BD = \(\frac{1}{2}\) BC
⇒ BD = \(\frac{1}{2}\) (2a) = a
तब, समकोण त्रिभुज ABD में,
AD² + BD² = AB²
⇒ AD² + a² = (2a)²
⇒ AD² = 4a² – a² = 3a²
⇒ AD = a√3
शीर्षलम्ब, AD = a√3
त्रिभुज समबाहु है; अत: दो अन्य शीर्षलम्बों की लम्बाई भी a√3 होगी।

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए कि एक समचतुर्भुज की भुजाओं के वर्गों का योग विकर्णों के योग के बराबर होता है।
हल
दिया है : चतुर्भुज ABCD एक समचतुर्भुज है जिसमें AC तथा CD दो विकर्ण हैं जो परस्पर O पर काटते हैं।
सिद्ध करना है : AB² + BC² + CD² + DA² = AC² + BD²

प्रश्न 8.
दी गई आकृति में ∆ABC के अभ्यन्तर में स्थित कोई बिन्दु O है तथा OD ⊥ BC, OE ⊥ AC और OF ⊥ AB है। दर्शाइए कि-
(i) OA² + OB² + OC² – OD² – OE² – OF² = AF² + BD² + CE²
(ii) AF² + BD² + CE² = AE² + CD² + BF²

हल
दिया है : ∆ABC के अन्दर एक बिन्दु O है जिससे भुजाओं BC, CA तथाAD पर क्रमशः OD, OE और OF लम्ब खींचे गए हैं।
सिद्ध करना है :
(i) OA² + OB² + OC² – OD² – OE² – OF² = AF² + BD² + CE²
(ii) AF² + BD² + CE² = AE² + CD² + BF²
रचना : रेखाखण्ड OA, OB तथा OC खींचिए।

उपपत्ति :
(i) समकोण ∆OAF में,
AF² + OF² = OA² ……(1)
समकोण ∆OBD में,
BD² + OD² = OB² ……..(2)
समकोण ∆OCE में,
CE² + OE² = OC² ……(3)
समीकरण (1), समीकरण (2) और समीकरण (3) को जोड़ने पर,
AF² + BD² + CE² + OF² +OD² + OE² = OA² + OB² + OC²
अत: AF² + BD² + CE² = OA² + OB² + OC² – OD² – OE² – OF²
OA² + OB² + OC² – OD² – OE² – OF² = AF² + BD² + CE²
इति सिद्धम्

(ii) समकोण ∆OBD में,
OD² + BD² = OB² ……(4)
समकोण ∆OCD में,
OD² + CD² = OC² …….(5)
समीकरण (5) को समीकरण (4) में से घटाने पर,
BD² – CD² = OB² – OC² …..(6)
इसी प्रकार, समकोण ∆OCE व ∆OAE में,
CE² – AE² = OC² – OA² …….(7)
और समकोण ∆OAF व ∆OBF में,
AF² – BF² = OA² – OB² ……(8)
अब, समीकरण (6), समीकरण (7) और समीकरण (8) को जोड़ने पर,
BD² + CE² + AF² – CD² – AE² – BF² = 0
अतः AF² + BD² + CE² = AE² + CD² + BF²
इति सिद्धम्

प्रश्न 9.
10 m लम्बी एक सीढ़ी एक दीवार पर टिकाने पर भूमि से 8 m की ऊँचाई पर स्थित एक खिड़की तक पहुंचती है। दीवार के आधार से सीढ़ी के निचले सिरे की दूरी ज्ञात कीजिए।

हल
दिया है : भूमि से 8 m ऊँचाई पर एक खिड़की A है जिससे खिड़की AB = 8 m सीढ़ी की लम्बाई AC = 10 m है जिसे खिड़की से लगाने पर उसका निचला सिरा भूमि पर बिन्दु C पर पड़ता है।
ज्ञात करना है : दीवार के आधार से सीढ़ी के निचले सिरे की दूरी BC
गणना : समकोण त्रिभुज ABC में,
AB² + BC² = AC²
⇒ (8)² + (BC)² = (10)²
⇒ 64 + BC² = 100
⇒ BC² = 100 – 64 = 36
⇒ BC² = 36
⇒ BC = √36 = 6 m
अतः दीवार के आधार से सीढ़ी के निचले सिरे की दूरी (BC) = 6 m

प्रश्न 10.
18 m ऊँचे एक ऊर्ध्वाधर खम्भे के ऊपरी सिरे से एक तार का एक सिरा जुड़ा हुआ है तथा तार का दूसरा सिरा एक खूटे से जुड़ा हुआ है। खम्भे के आधार से खुंटे को कितनी दूरी पर गाड़ा जाए कि तार तना रहे जबकि तार की लम्बाई 24 m है।

हल
दिया है : माना क्षैतिज धरातल पर l एक सरल रेखा है जिसके किसी बिन्दु B पर एक खम्भा AB ऊर्ध्वाधर गड़ा है। एक तार जिसकी लम्बाई 24 m है, का एक सिरा खम्भे के शिखर A से बँधा है। तार का दूसरा सिरा धरातल पर गड़े एक खूटे C से बँधा है। तार तना रहता है।
ज्ञात करना है : खम्भे के सिरे B की खूटे C से दूरी BC
विश्लेषण : माना खम्भे के आधार B से खूटे की दूरी BC = x m है।
खम्भा भूमि पर सीधा गड़ा है।
∠ABC = 90°
∆ABC समकोणीय है।
पाइथागोरस प्रमेय से,
AB² + BC² = CA²
⇒ 18² + x² = 24²
⇒ x² = 24² – 18² = 576 – 324 = 252
⇒ x = √252 = \(\sqrt{6 \times 6 \times 7}\)
⇒ x = 6√7
अत: खम्भे के आधार से खूटे की दूरी x = 6√7 मीटर या 15.87 मीटर।

प्रश्न 11.
एक हवाईजहाज एक हवाई अड्डे से उत्तर की ओर 1000 किमी प्रति घण्टा की चाल से उड़ता है। इसी समय एक अन्य हवाईजहाज उसी हवाई अड्डे से पश्चिम की ओर 1200 किमी प्रति घण्टा की चाल से उड़ता है। 1\(\frac{1}{2}\) घण्टे के बाद दोनों हवाईजहाजों के बीच की दूरी कितनी होगी?

हल
पहले हवाई जहाज द्वारा हवाई अड्डे A से उत्तर दिशा में 1\(\frac{1}{2}\) घण्टे में चली गई दूरी,
AB = 1000 × 1\(\frac{1}{2}\)
= 1000 × \(\frac{3}{2}\)
= 1500 किमी
दूसरे हवाई जहाज द्वारा हवाई अड्डे A से पश्चिम दिशा में 1\(\frac{1}{2}\) घण्टे में चली गई दूरी,
AC = 1200 × 1\(\frac{1}{2}\)
= 1200 × \(\frac{3}{2}\)
= 1800 किमी
तब, समकोण त्रिभुज ABC में,
BC² = AB² + AC²
⇒ BC² = (1500)² + (1800)²
⇒ BC² = 2250000 + 3240000
⇒ BC² = 5490000
⇒ BC² = 9 × 10000 × 61
⇒ BC = \(\sqrt{9 \times 10000 \times 61}\) = 300√61 किमी
अत: 1\(\frac{1}{2}\) घण्टे बाद दोनों हवाईजहाजों के बीच की दूरी = 300√61 किमी

प्रश्न 12.
दो खम्भे जिनकी ऊँचाइयाँ 6 m और 11 m हैं तथा ये समतल भूमि पर खड़े हैं। यदि इनके निचले सिरों के बीच की दूरी 12 m हो तो इनके ऊपरी सिरों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

हल
दिया है : AB = 6 m तथा CD = 11 m लम्बाई के दो खम्भे मैदान में खड़े हैं जिनके निचले सिरों B और D के बीच की दूरी BD = 12 m है।
ज्ञात करना है : ऊपरी सिरों के बीच की दूरी AC
रचना : A से CD पर लम्ब AE खींचा।
गणना : AB = 6 m, CD = 11 m, BD = 12 m
∴ AE = 12 m तथा ED = AB = 6 m
∵ CD = 11 m
CE + ED = 11 m
⇒ CE + 6 = 11 m
⇒ CE = 11 – 6 = 5 m
समकोण ∆ACE में,
AC² = AE² + CE² = (12)² + (5)² = 144 + 25 = 169
⇒ AC = √169 = 13 m
अत: दोनों ऊपरी सिरों के बीच की दूरी AC = 13 m

प्रश्न 13.
एक ∆ABC जिसका ∠C समकोण है की भुजाओं CA और CB पर क्रमशः बिन्दु D और E पर स्थित हैं। सिद्ध कीजिए कि AE² + BD² = AB² + DE² है।

हल
दिया है : समकोण त्रिभुज ABC जिसमें ∠C समकोण है। बिन्दु D और E क्रमशः भुजाओं CA व CB पर स्थित हैं।
सिद्ध करना है : AE² + BD² = AB² + DE²
उपपत्ति : समकोण त्रिभुज ABC में,
AC² + BC² = AB² …….(1)
और समकोण त्रिभुज DEC में,
CD² + CE² = DE² …….(2)
समीकरण (1) व (2) को जोड़ने पर,
AB² + DE² = AC² + BC² + CD² + CE² …..(3)
समकोण त्रिभुज DBC में, BD² = BC² + CD² ……..(4)
समकोण त्रिभुज AEC में, AE² = AC² + CE² ……(5)
समीकरण (4) व (5) को जोड़ने पर,
AE² + BD² = AC² + BC² + CE² + CD²
समीकरण (3) व (6) से, AE² + BD² = AB² + DE²
इति सिद्धम्

प्रश्न 14.
किसी ∆ABC के शीर्ष A से भुजा BC पर डाला गया लम्ब BC को बिन्दु D पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करता है कि DB = 3CD है। सिद्ध कीजिए कि 2AB² = 2AC² + BC² है।

हल
दिया है : ∆ABC में आधार BC पर शीर्ष A से AD लम्ब इस प्रकार डाला गया है कि BD = 3CD
सिद्ध करना है : 2AB² = 2AC² + BC²
उपपत्ति : समकोण त्रिभुज ABD में,
AB² = AD² + BD²
दोनों पक्षों में 2 से गुणा करने पर,
2AB² = 2AD² + 2BD²
⇒ 2AB² = 2 AC² – CD² + 2(3CD)² (∵ AD² = AC² – CD²; BD = 3CD)
⇒ 2AB² = 2AC² – 2CD² + 18CD²
⇒ 2AB² = 2AC² + 16CD²
⇒ 2AB² = 2AC² + (4CD)²
⇒ 2AB² = 2AC² + (CD + 3CD)²
⇒ 2AB² = 2AC² + (CD + BD)² (∵ 3CD = BD)
⇒ 2AB² = 2AC² + BC² (∵ BC = CD + BD)
अतः 2AB² = 2AC² + BC²
इति सिद्धम्

प्रश्न 15.
किसी समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा BC पर बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि BD = \(\frac{1}{3}\) BC है। सिद्ध कीजिए कि 9AD² = 7AB² है।

हल
दिया है : ∆ABC एक समबाहु त्रिभुज है जिसके आधार BC पर एक बिन्दु D इस प्रकार है कि BD = \(\frac{1}{3}\) BC
सिद्ध करना है : 9AD² = 7AB²
रचना : A से BC पर AE लम्ब खींचिए।
उपपत्ति : समबाहु ∆ABC में, AE ⊥ BC
BE = CE = \(\frac{1}{2}\) BC
BE = \(\frac{1}{2}\)AB (∵ BC = AB) …..(1)
समकोण ∆ABE में,


दोनों पक्षों में लघुत्तम समापवर्त्य 36 से गुणा करने पर,
36 × (\(\frac{3}{4}\) AB²) + 36 × (\(\frac{1}{36}\) AB²) = 36AD²
⇒ 27AB² + AB² = 36AD²
⇒ 28AB² = 36AD²
⇒ 7AB² = 9AD² (4 सार्वनिष्ठ है)
अतः 9AD² = 7AB²
इति सिद्धम्

प्रश्न 16.
किसी समबाहु त्रिभुज में, सिद्ध कीजिए कि उसकी एक भुजा के वर्ग का तिगुना उसके एक शीर्षलम्ब के वर्ग के चार गुने के बराबर होता है।

हल
दिया है : ABC एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी एक भुजा AB है।
त्रिभुज के शीर्ष A से आधार BC तक शीर्ष लम्ब AD खींचा गया है।
सिद्ध करना है : भुजा² × 3 = शीर्ष लम्ब² × 4 अर्थात्
अर्थात 3AB² = 4AD²
उपपत्ति : माना AB = 2a
⇒ a = \(\frac{1}{2}\) AB
∆ABC समबाहु है,
AB = BC
⇒ BC = 2a
शीर्ष A से BC पर AD लम्ब है।
समकोण ∆ABD तथा ∆ACD में,
AB = AC (समबाहु त्रिभुज की भुजाएँ हैं)
AD = AD (उभयनिष्ठ भुजा है)
∆ABD ≅ ∆ACD
BD = CD = CD
परन्तु BC = BD + CD = 2a
⇒ BD = a
तब, समकोण ∆ABD में,
AB² = BD² + AD²
⇒ (2a)² = (a)² + AD²
⇒ AD² = 4a² – a2 = 3a²
⇒ AD² = 3 × \(\left(\frac{A B}{2}\right)^{2}\) (∵ a = \(\frac{1}{2}\) AB)
⇒ AD² = \(\frac{3 A B^{2}}{4}\)
अत: 3AB² = 4AD²
अथवा भुजा² × 3 = शीर्षलम्ब² × 4
इति सिद्धम्

प्रश्न 17.
सही उत्तर चुनकर उसका औचित्य दीजिए : ∆ABC में, AB = 6√3 cm, AC = 12 cm और BC = 6 cm है। कोण B है-
(A) 120°
(B) 60°
(C) 90°
(D) 45°

हल
∆ABC में, AB = 6√3 cm, AC = 12 cm और BC = 6 cm
AB = 6√3 cm
⇒ AB² = (6√3)² = 36 × 3 = 108
BC = 6 cm
⇒ BC² = (6)² = 36
तथा AC = 12 cm
⇒ AC² = (12)² = 144
तब, AB² + BC² =108 + 36 = 144
और AC² = 144
∴ AB² + BC² = AC²
∴ त्रिभुज ABC समकोणीय है जिसमें कर्ण AC है।
तथा ∠B समकोण है।
∠B = 90°
अत: विकल्प (C) सही है।

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.1 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.1

Bihar Board Class 10 Maths समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित स्थितियों में से किन स्थितियों में सम्बद्ध संख्याओं की सूची A.P. है और क्यों?
(i) प्रत्येक किलोमीटर के बाद का टैक्सी का किराया, जबकि प्रथम किलोमीटर के लिए किराया ₹ 15 है और प्रत्येक अतिरिक्त किलोमीटर के लिए किराया ₹ 8 है।
(ii) किसी बेलन (cylinder) में उपस्थित हवा की मात्रा, जबकि वायु निकालने वाला पम्प प्रत्येक बार बेलन की शेष हवा का \(\frac{1}{4}\) भाग बाहर निकाल देता है।
(iii) प्रत्येक मीटर की खुदाई के बाद, एक कुआँ खोदने में आई लागत, जबकि प्रथम मीटर खुदाई की लागत ₹ 150 है और बाद में प्रत्येक मीटर खुदाई की लागत ₹ 50 बढ़ती जाती है।
(iv) खाते में प्रत्येक वर्ष का मिश्रधन, जबकि ₹ 10000 की राशि 8% वार्षिक की दर से चक्रवृद्धि ब्याज पर जमा की जाती है।
हल
(i) टैक्सी के प्रथम किमी का किराया = ₹ 15
अगले प्रत्येक किमी का किराया = ₹ 8
2 किमी का किराया = ₹ (15 + 8) = ₹ 23
3 किमी का किराया = ₹ (23 + 8) = ₹ 31
4 किमी का किराया = ₹ (31 + 8) = ₹ 39
a₁ = ₹ 15, a₂ = ₹ 23, a₃ = ₹ 31, a₄ = ₹ 39
दो क्रमागत पदों का अन्तर,
a₂ – a₁ = ₹ (23 – 15) = ₹ 8
a₃ – a₂ = ₹ (31 – 23) = ₹ 8
a₄ – a₃ = ₹ (39 – 31) = ₹ 8
दो क्रमागत पदों का अन्तर नियत है,
अत: किमी में टैक्सी का किराया A.P. में है।

(ii) माना बेलन में हवा का प्रारम्भिक आयतन = V
पहली बार पम्प \(\frac{V}{4}\) भाग हवा निकाल देगा।


दो क्रमागत पदों का अन्तर नियत नहीं है,
अत: हवा के आयतन A.P. में नहीं हैं।

(iii) कुएं के प्रथम मीटर की खुदाई की लागत = ₹ 150
बाद में प्रत्येक मीटर की खुदाई ₹ 50 बढ़ जाती है।
पहले 2 मीटर की खुदाई = ₹ (150 + 50) = ₹ 200
पहले 3 मीटर की खुदाई = ₹ (150 + 50 + 50) = ₹ 250
पहले 4 मीटर की खुदाई = ₹ (150 + 50 + 50 + 50) = ₹ 300
a₁ = ₹ 150, a₂ = ₹ 200, a₃ = ₹ 250, a₄ = ₹ 300
दो क्रमागत पदों का अन्तर,
a₂ – a₁ = ₹ (200 – 150) = ₹ 50
a₃ – a₂ = ₹ (250 – 200) = ₹ 50
a₄ – a₃ = ₹ (300 – 250) = ₹ 50
चूँकि दो क्रमागत पदों का अन्तर नियत (₹ 50) है।
अत: कुआँ खोदने में आई लागत ₹ 150, ₹ 200, ₹ 250, ₹ 300, …… A.P. में हैं।

(iv) खाते में जमा किए गए धन के लिए भिन्न वर्षों के मिश्रधन :
मूलधन, P = ₹ 10000, ब्याज की दर, R = 8%
 
निरीक्षण से ही स्पष्ट है कि A₂ – A₁ ≠ A₃ – A₂
अत: मिश्रधन A.P. में नहीं हैं।

प्रश्न 2.
दी हुई A.P. के प्रथम चार पद लिखिए, जबकि प्रथम पद a और सार्वान्तर d निम्नलिखित हैं-
(i) a = 10, d = 10
(ii) a = -2, d = 0
(iii) a = 4, d = -3
(iv) a = -1, d = \(\frac{1}{2}\)
(v) a = -1.25, d = -0.25
हल
(i) प्रथम पद (a) = 10 तथा सार्वान्तर (d) = 10
दूसरा पद = a + d = 10 + 10 = 20
तीसरा पद = a + 2d = 10 + (2 × 10) = 30
चौथा पद = a + 3d = 10 + (3 × 10) = 40
अत: दी गई A.P. के प्रथम चार पद : 10, 20, 30, 40

(ii) प्रथम पद (a) = -2 तथा सार्वान्तर (d) = 0
दूसरा पद = a + d = -2 + 0 = -2
तीसरा पद = a + 2d = -2 + (2 × 0) = -2
चौथा पद = a + 3d = -2 + (3 × 0) = -2
अतः दी गई A.P. के प्रथम चार पद : -2, -2, -2, -2

(iii) प्रथम पद (a) = 4 तथा सार्वान्तर (d) = -3
दूसरा पद = a + d = 4 + (-3) = 1
तीसरा पद = a + 2d = 4 + 2 × (-3) = 4 + (-6) = -2
चौथा पद = a + 3d = 4 + 3 × (-3) = 4 + (-9) = -5
अत: दी गई A.P. के प्रथम चार पद : 4, 1, -2, -5

(iv) प्रथम पद (a) = -1 तथा सार्वान्तर (d) = \(\frac{1}{2}\)
दूसरा पद = a + d = -1 + \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{-1}{2}\)
तीसरा पद = a + 2d = -1 + (2 × \(\frac{1}{2}\)) = -1 + 1 = 0
चौथा पद = a + 3d = -1 + (3 × \(\frac{1}{2}\)) = -1 + \(\frac{3}{2}\) = \(\frac{1}{2}\)
अत: दी गई A.P. के प्रथम चार पद : -1, \(\frac{-1}{2}\), 0, \(\frac{1}{2}\)

(v) प्रथम पद (a) = -1.25 तथा सार्वान्तर (d) = -0.25
दूसरा पद = a + d = -1.25 + (-0.25) = -1.50
तीसरा पद = a + 2d = -1.25 + 2 × (-0.25) = -1.25 – 0.50 = -1.75
चौथा पद = a + 3d = -1.25 + 3 × (-0.25) = -1.25 – 0.75 = -2.00
अतः दी गई A.P. के प्रथम चार पद : -1.25, -1.50, -1.75, -2.00

प्रश्न 3.
निम्नलिखित में से प्रत्येक A.P. के लिए प्रथम पद तथा सार्वान्तर लिखिए :
(i) 3, 1, -1, -3,…….
(ii) -5, -1, 3, 7,……….
(iii) \(\frac{1}{3}, \frac{5}{3}, \frac{9}{3}, \frac{13}{3}, \ldots \ldots\)
(iv) 0.6, 1.7, 2.8, 3.9,……
हल
(i) दी गई A.P. = 3, 1, -1, -3,…….
a₁ = 3, a₂ = 1, a₃ = -1, a₄ = -3
प्रथम पद (a) = a₁ = 3
सार्वान्तर (d) = a₂ – a₁ = 1 – 3 = -2
अत: प्रथम पद = 3 तथा सार्वान्तर = -2

(ii) दी गई A.P. = -5, -1, 3, 7,…….
a₁ = -5, a₂ = -1, a₃ = 3, a₄ = 7
प्रथम पद (a) = a₁ = -5
सार्वान्तर (d) = a₂ – a₁ = -1 – (-5) = -1 + 5 = 4
अत: प्रथम पद = -5 तथा सार्वान्तर = 4

(iv) दी गई A.P. = 0.6, 1.7, 2.8, 3.9,……
a₁ = 0.6, a₂ = 1.7, a₃ = 2.8, a₄ = 3.9
प्रथम पद (a) = a₁ = 0.6
सार्वान्तर (d) = a₂ – a₁ = 1.7 – 0.6 = 1.1
अतः प्रथम पद = 0.6 तथा सार्वान्तर = 1.1

प्रश्न 4.
निम्नलिखित में से कौन-कौन A.P. हैं? यदि कोई A.P. है, तो इसका सार्वान्तर ज्ञात कीजिए और इनके तीन और पद लिखिए।
(i) 2, 4, 8, 16, …….
(ii) 2, \(\frac{5}{2}\), 3, \(\frac{7}{2}\),……
(iii) -1.2, -3.2, -5.2, -7.2,…..
(iv) -10, -6, -2, 2,…….
(v) 3, 3 + √2, 3 + 2√2, 3 + 3√2,….
(vi) 0.2, 0.22, 0.222, 0.2222,….
(vii) 0, -4, -8, -12,……
(viii) \(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}, \ldots \ldots\)
(ix) 1, 3, 9, 27,……
(x) a, 2a, 3a, 4a,……
(xi) a, a², a³, a⁴,……
(xii) √2, √8, √18, √32,……
(xiii) √3, √6, √9, √12,…..
(xiv) 1², 3², 5², 7²,…..
(xv) 1², 5², 7², 73,……
हल
यहाँ प्रत्येक अनुक्रम के प्रथम 4 पद ज्ञात हैं। यदि कोई अनुक्रम A.P. में है, तो उसके अगले तीन पद और ज्ञात करने हैं अर्थात् 5 वाँ, छठा और 7 वाँ पद और ज्ञात करना है।
(i) दिया हुआ अनुक्रम : 2, 4, 8, 16, ……..
a₁ = 2, a₂ = 4, a₃ = 8, a₄ = 16
दो क्रमागत पदों के अन्तर,
a₂ – a₁ = 4 – 2 = 2
a₃ – a₂ = 8 – 4 = 4
दो क्रमागत पदों का अन्तर नियत नहीं है।
अतः दिया गया अनुक्रम A.P. में नहीं है।

(ii) दिया हुआ अनुक्रम,
2, \(\frac{5}{2}\), 3, \(\frac{7}{2}\),……
a₁ = 2, a₂ = \(\frac{5}{2}\), a₃ = 3, a₄ = \(\frac{7}{2}\)
दो क्रमागत पदों का अन्तर,

दो क्रमागत पदों का अन्तर नियत (\(\frac{1}{2}\)) है।
सार्वान्तर (d) = \(\frac{1}{2}\)
अतः दिया गया अनुक्रम एक A.P. में है।
तब, पाँचवाँ पद (a₅) = चौथा पद (a₄) + सार्वान्तर (d)
\(=\frac{7}{2}+\frac{1}{2}=\frac{7+1}{2}=\frac{8}{2}=4\)
छठा पद (a₆) = पाँचवाँ पद (a₅) + सार्वान्तर (d)
\(=4+\frac{1}{2}=\frac{8+1}{2}=\frac{9}{2}\)
सातवाँ पद (a₇) = छठा पद (a₆) + सार्वान्तर (d)
\(=\frac{9}{2}+\frac{1}{2}=\frac{9+1}{2}=\frac{10}{2}=5\)
अत: दिए गए अनुक्रम के अगले तीन पद : 4, \(\frac{9}{2}\) , 5 होंगे।

(iii) दिया हुआ अनुक्रम : -1.2, -3.2, -5.2, -7.2, ……
a₁ = -1.2, a₂ = -3.2, a₃ = -5.2, a₄ = -7.2
दो क्रमागत पदों का अन्तर,
a₂ – a₁ = -3.2 – (-1.2) = -3.2 + 1.2 = -2.0
a₃ – a₂ = -5.2 – (-3.2) = -5.2 + 3.2 = -2.0
a₄ – a₃ = -7.2 – (-5.2) = -7.2 + 5.2 = -2.0
दो क्रमागत पदों का अन्तर नियत (-2.0) है।
सार्वान्तर d = -2.0 और दिया गया अनुक्रम एक A.P. है।
तब, पाँचवाँ पद (a₅) = चौथा पद (a₄) + सार्वान्तर (d) = -7.2 + (-2) = -9.2
छठा पद (a₆) = पाँचवाँ पद (a₅) + सार्वान्तर (d) = -9.2 + (-2) = -11.2
सातवाँ पद (a₇) = छठा पद (a₆) + सार्वान्तर (d) = -11.2 + (-2)= -13.2
अत: दिए गए अ6नुक्रम के अगले तीन पद : -9.2, -11.2, -13.2 होंगे।

(iv) दिया हुआ अनुक्रम : -10, -6, -2, 2,…..
a₁ = -10, a₂ = -6, a₃ = -2, a₄ = 2
दो क्रमागत पदों का अन्तर,
a₂ – a₁ = -6 – (-10) = -6 + 10 = 4
a₃ – a₂ = -2 – (-6) = -2 + 6 = 4
a₄ – a₃ = 2 – (-2) = 2 + 2 = 4
दो क्रमागत पदों का अन्तर नियत (4) है।
सार्वान्तर (d) = 4 और दिया गया अनुक्रम एक A.P. है।
तब, पाँचवाँ पद (a₅) = चौथा पद (a₄) + सार्वान्तर (d) = 2 + 4 = 6
छठा पद (a₆) = पाँचवाँ पद (a₅) + सार्वान्तर (d) = 6 + 4 = 10
सातवाँ पद (a₇) = छठा पद (a₆) + सार्वान्तर (d) = 10 + 4 = 14
अत: दिए गए अनुक्रम के अगले तीन पद : 6, 10, 14 होंगे।

(v) दिया हुआ अनुक्रम : 3, 3 + √2, 3 + 2√2, 3 + 3√2, ……
a₁ = 3, a₂ = 3 + √2, a₃ = 3 + 2√2, a₄ = 3 + 3√2
दो क्रमागत पदों का अन्तर,
a₂ – a₁ = (3 + √2) – 3 = √2
a₃ – a₂ = (3 + 2√2) – (3 + √2) = √2
a₄ – a₃ = (3 + 3√2) – (3 + 2√2) = √2
दो क्रमागत पदों का अन्तर नियत (√2) है।
सार्वान्तर (d) = √2 और दिया गया अनुक्रम एक A.P. में है।
तब, पाँचवाँ पद (a₅ ) = a₄ + d = 3 + 3√2 + √2 = 3 + √2(3 + 1) = 3 + 4√2
छठा पद (a₆) = a₅ + d = 3 + 4√2 + √2 = 3 + √2(4 + 1) = 3 + 5√2
सातवाँ पद (a₇) = a₆ + d = 3 + 5√2 + √2 = 3 + √2(5 + 1) = 3 + 6√2
अतः दिए गए अनुक्रम के अगले तीन पद हैं :
3 + 4√2, 3 + 5√2, 3 + 6√2

(vi) दिया हुआ अनुक्रम : 0.2, 0.22, 0.222, 0.2222, ….
a₁ = 0.2, a₂ = 0.22, a₃ = 0.222, a₄ = 0.2222
दो क्रमागत पदों का अन्तर,
a₂ – a₁ = 0.22 – 0.2 = 0.02
a₃ – a₂ = 0.222 – 0.22 = 0.002
a₄ – a₃ = 0.222 – 0.222 = 0.0002
दो क्रमागत पदों का अन्तर नियत नहीं है।
अत: दिया गया अनुक्रम A.P. में नहीं है।

(vii) दिया हुआ अनुक्रम : 0, -4, -8, -12, ……
a₁ = 0, a₂ = -4, a₃ = -8, a₄ = -12
दो क्रमागत पदों का अन्तर,
a₂ – a₁ = -4 – 0 = -4
a₃ – a₂ = -8 – (-4) = -8 + 4 = -4
a₄ – a₃ = -12 – (-8) = -12 + 8 = -4
दो क्रमागत पदों का अन्तर नियत (-4) है।
सार्वान्तर (d) = -4 और दिया गया अनुक्रम एक A.P. में है।
तब, पाँचवाँ पद (a₅) = चौथा पद (a₄) + सार्वान्तर (d) = -12 + (-4) = -16
छठा पद (a₆) = पाँचवाँ पद (a₅) + सार्वान्तर (d) = -16 + (-4) = -20
सातवाँ पद (a₇) = छठा पद (a₆) + सार्वान्तर (d) = -20 + (-4) = -24
अत: दिए गए अनुक्रम के अगले तीन पद : -16, -20, -24 होंगे।

(viii) दिया हुआ अनक्रम :
\(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}, \ldots \ldots\)
a₁ = \(-\frac{1}{2}\), a₂ = \(-\frac{1}{2}\), a₃ = \(-\frac{1}{2}\), a₄ = \(-\frac{1}{2}\)
दो क्रमागत पदों का अन्तर,

दो क्रमागत पदों का अन्तर नियत (शून्य) है।
सार्वान्तर (d) = 0 और दिया गया अनुक्रम एक A.P. में है।
सार्वान्तर (d) = 0 है; अत: इस A.P. का प्रत्येक पद \(-\frac{1}{2}\) ही होगा।
अत: दिए गए अनुक्रम के अगले तीन पद : \(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\) होंगे।

(ix) दिया हुआ अनुक्रम : 1, 3, 9, 27,……
a₁ = 1, a₂ = 3, a₃ = 9, a₄ = 27
दो क्रमागत पदों का अन्तर,
a₂ – a₁ = 3 – 1 = 2
a₃ – a₂ = 9 – 3 = 6
a₄ – a₃ = 27 – 9 = 18
दो क्रमागत पदों का अन्तर नियत नहीं है।
अत: दिया गया अनुक्रम एक A.P. में नहीं है।

(x) दिया हुआ अनुक्रम : a, 2a, 3a, 4a, ……
a₁ = a, a₂ = 2a, a₃ = 3a, a₄ = 4a
दो क्रमागत पदों का अन्तर,
a₂ – a₁ = 2a – a = a
a₃ – a₂ = 3a – 2a = a
a₄ – a₃ = 4a – 3a = a
दो क्रमागत पदों का अन्तर नियत (a) है।
अतः सार्वान्तर (d) = a और दिया गया अनुक्रम एक A.P. में है।
तब, पाँचवाँ पद (a₅) = चौथा पद (a₄) + सार्वान्तर (d) = 4a + a = 5a
छठा पद (a₆) = पाँचवाँ पद (a₅) + सार्वान्तर (d) = 5a + a = 6a
सातवाँ पद (a₇) = छठा पद (a₆) + सान्तिर (d) = 6a + a = 7a
अतः दिए गए अनुक्रम के अगले तीन पद : 5a, 6a, 7a होंगे।

(xi) दिया हुआ अनुक्रम : a, a², a³, a⁴,……
a₁ = a, a₂ = a², a₃ = a³, a₄ = a⁴
दो क्रमागत पदों का अन्तर,
a₂ – a₁ = a² – a = a(a – 1)
a₃ – a₂ = a³ – a² = a²(a – 1)
a₄ – a₃ = a⁴ – a³ = a³(a – 1)
दो क्रमागत पदों का अन्तर नियत नहीं है।
अतः दिया गया अनुक्रम एक A.P. में नहीं है।

(xii) दिया हुआ अनुक्रम : √2, √8, √18, √32,……
a₁ = √2, a₂ = √8, a₃ = √18, a₄ = √32
दो क्रमागत पदों का अन्तर,
a₂ – a₁ = √8 – √2 = √2(√4 – 1) = √2(2 – 1) = √2
a₃ – a₂ = √18 – √8 = √2(√9 – √4) = √2(3 – 2) = √2
a₄ – a₃ = √32 – √18 = √2(√16 – √9) = √2(4 – 3) = √2
दो क्रमागत पदों का अन्तर नियत (√2) है।
अत: सार्वान्तर (d) = √2 और दिया गया अनुक्रम एक A.P. में है।
तब, पाँचवाँ पद (a₅) = चौथा पद (a₄) + सार्वान्तर (d)
= √32 + √2
= √2(√16 + 1)
= √2(4 + 1)
= 5√2
= √25 × √2
= √50
छठाँ पद (a₆) = पाँचवाँ पद (a₅) + सार्वान्तर (d)
= √50 + √2
= √2 (√25 + 1)
= √2(5 + 1)
= 6√2
= √36 × √2
= √72
सातवाँ पद (a₇) = छठाँ पद (a₆) + सार्वान्तर (d)
= √72 + √2
= √2(√36 + 1)
= √2(6 + 1)
= 7√2
= √49 × √2
= √98
अत: दिए गए अनुक्रम के अगले तीन पद : √50, √72, √98 होंगे।

(xiii) दिया हुआ अनुक्रम : √3, √6, √9, √12,…..
a₁ = √3, a₂ = √6, a₃ = √9, a₄ = √12
दो क्रमागत पदों का अन्तर,
a₂ – a₁ = √6 – √3 = √3(√2 – 1)
a₃ – a₂ = √9 – √6 = √3(√3 – √2)
a₄ – a₃ = √12 – √9 = 2√3 – 3
दो क्रमागत पदों का अन्तर नियत नहीं है।
अत: दिया गया अनुक्रम एक A.P. में नहीं है।

(xiv) दिया हुआ अनुक्रम : 1², 3², 5², 7²,…..
a₁ = 1², a₂ = 3², a₃ = 5², a₄ = 7²
दो क्रमागत पदों का अन्तर,
a₂ – a₁ = 3² – 1² = 9 – 1 = 8
a₃ – a₂ = 5² – 3² = 25 – 9 = 16
a₄ – a₃ = 7² – 5² = 49 – 25 = 24
दो क्रमागत पदों का अन्तर नियत नहीं है।
अत: दिया गया अनुक्रम एक A.P. में नहीं है।

(xv) दिया हुआ अनुक्रम : 1², 5², 7², 73, ……
a₁ = 1², a₂ = 5², a₃ = 7², a₄ = 73,
दो क्रमागत पदों का अन्तर,
a₂ – a₁ = 5² – 1² = 25 – 1 = 24
a₃ – a₂ = 7² – 5² = 49 – 25 = 24
a₄ – a₃ = 73 – 7² = 73 – 49 = 24
दो क्रमागत पदों का अन्तर नियत (24) है।
सार्वान्तर (d) = 24 और दिया गया अनुक्रम एक A.P. में है।
तब, पाँचवाँ पद = चौथा पद + सार्वान्तर (d) = 73 + 24 = 97
छठाँ पद = पाँचवाँ पद + सार्वान्तर (d) = 97 + 24 = 121 = (11)²
सातवाँ पद = छठा पद + सार्वान्तर (d) = (11)² + 24 = 121 + 24 = 145
अत: दिए गए अनुक्रम के अगले तीन पद : 97, 11², 145 होंगे।

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.1 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.1

Bihar Board Class 10 Maths त्रिभुज Ex 6.1

प्रश्न 1.
कोष्ठकों में दिए शब्दों में से सही शब्दों का प्रयोग करते हुए, रिक्त स्थानों को भरिए-
(i) सभी वृत्त _________ होते हैं। (सर्वांगसम, समरूप)
(ii) सभी वर्ग ___________ होते हैं। (समरूप, सर्वांगसम)
(iii) सभी __________ त्रिभुज समरूप होते हैं। (समद्विबाहु, समबाहु)
(iv) भुजाओं की समान संख्या वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं, यदि
(a) उनके संगत कोण ______ हों तथा
(b) उनकी संगत भुजाएँ __________ हों। (बराबर, समानुपाती)
हल
(i) सभी वृत्त समरूप होते हैं।
(ii) सभी वर्ग समरूप होते हैं।
(iii) सभी समबाहु त्रिभुज समरूप होते हैं।
(iv) भुजाओं की समान संख्या वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं, यदि
(a) उनके संगत कोण बराबर हों तथा
(b) उनकी संगत भुजाएँ समानुपाती हों।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित युग्मों के दो भिन्न-भिन्न उदाहरण दीजिए-
(i) समरूप आकृतियाँ
(ii) ऐसी आकृतियाँ जो समरूप नहीं हैं।
हल
(i) समरूप आकृतियों के दो उदाहरण
(a) संकेन्द्रीय वृत्त
(b) विभिन्न भुजाओं वाले सभी वर्ग अथवा समबाहु त्रिभुज अथवा समबहुभुज।

(ii) ऐसी आकृतियों के उदाहरण जो समरूप नहीं हैं :
(a) एक वर्ग तथा एक आयत
(b) एक वर्ग तथा एक समचतुर्भुज।

प्रश्न 3.
बताइए कि निम्नलिखित चतुर्भुज समरूप हैं या नहीं

हल
चतुर्भुज PQRS तथा ABCD में,
PQ = QR = RS = SP = 1.5 cm
तथा AB = BC = CD = DA = 3.0 cm

अत: दो चतुर्भुजों की भुजाएँ समानुपात में हैं।
परन्तु देखने से ही प्रतीत होता है कि संगत कोण बराबर नहीं हैं।
अत: चतुर्भुज PQRS तथा चतुर्भुज ABCD समरूप नहीं हैं।

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Additional Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Additional Questions

Bihar Board Class 10 Maths समांतर श्रेढ़ियाँ Additional Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
किसी A.P. में, यदि d = -4, n = 7 और a_n = 4 है, तो a का मान है
(i) 6
(ii) 7
(iii) 20
(iv) 28
हल
(iv) 28

प्रश्न 2.
किसी A.P. में, यदि a = 3.5, d = 0 और n = 101 है, तो, a_n बराबर है
(i) 0
(ii) 3.5
(iii) 103.5
(iv) 104.5
हल
(ii) 3.5

प्रश्न 3.
संख्याओं -10, -6, -2, 2,….की सूची
(i) d = -16 वाली एक A.P. है
(ii) d = 4 वाली एक A.P. है
(iii) d = -4 वाली एक A.P. है
(iv) एक A.P. नहीं है
हल
(iii) d = 4 वाली एक A.P. है।

प्रश्न 4.
A.P.: -5, \(\frac{-5}{2}\), 0, \(\frac{5}{2}\),…… का 11वाँ पद है
(i) -20
(ii) 20
(iii) -30
(iv) 30
हल
(ii) 20

प्रश्न 5.
उस A.P., जिसका प्रथम पद -2 और सार्वान्तर -2 है के प्रथम चार पद हैं
(i) -2, 0, 2, 4
(ii) -2, 4, -8, 16
(iii) -2, -4, -6, -8
(iv) -2, -4, -8, -16
हल
(iii) -2, -4, -6, -8

प्रश्न 6.
उस A.P., जिसके प्रथम दो पद -3 और 4 हैं, का 21वाँ पद है
(i) 17
(ii) 137
(iii) 143
(iv) -143
हल
(ii) 137

प्रश्न 7.
यदि किसी A.P. का दूसरा पद 13 और 5वाँ पद 25 है, तो उसका 7वाँ पद क्या है?
(i) 30
(ii) 33
(iii) 37
(iv) 38
हल
(ii) 33

प्रश्न 8.
A.P.: 21, 42, 63, 84,… का कौन-सा पद 210 है?
(i) 9वाँ
(ii) 10वाँ
(iii) 11वाँ
(iv) 12वाँ
हल
(ii) 10वाँ

प्रश्न 9.
यदि किसी A.P. का सार्वान्तर 5 है, a₁₈ – a₁₃ क्या है?
(i) 5
(ii) 20
(iii) 25
(iv) 30
हल
(iii) 25

प्रश्न 10.
उस A.P. का सार्वान्तर क्या है, जिसमें a₁₈ – a₁₄ = 32 है?
(i) 8
(ii) -8
(iii) -4
(iv) 4
हल
(i) 8

प्रश्न 11.
दो समान्तर श्रेढ़ियों का एक ही सार्वान्तर है। इनमें से एक का प्रथम पद -1 और दसरी का प्रथम पद -8 है। तब, इनके चौथे पदों के बीच का अन्तर है
(i) -1
(ii) -8
(iii) 7
(iv) -9
हल
(iii) 7

प्रश्न 12.
यदि किसी A.P. के 7वें पद का 7 गुना उसके 11वें पद के 11 गुने के बराबर हो,तो उसका 18वाँ पद होगा
(i) 7
(ii) 11
(iii) 18
(iv) 0
हल
(iv) 0

प्रश्न 13.
A.P.: -11, -8, -5,…, 49 के अन्त से चौथा पद है
(i) 37
(ii) 40
(iii) 43
(iv) 58
हल
(ii) 40

प्रश्न 14.
यदि किसी A.P. का प्रथम पद -5 और सार्वान्तर 2 है तो उसके प्रथम 6 पदों का योग है
(i) 0
(ii) 5
(iii) 6
(iv) 15
हल
(i) 0

प्रश्न 15.
A.P.: 10, 6, 2,… के प्रथम 16 पदों का योग है
(i) -320
(ii) 320
(iii) -352
(iv) -400
हल
(i) -320

प्रश्न 16.
किसी A.P. में, यदि a = 1, a_n = 20 और S_n = 399 हों तो n बराबर है
(i) 19
(ii) 21
(iii) 38
(iv) 42
हल
(iii) 38

प्रश्न 17.
3 के प्रथम पाँच गुणजों का योग है
(i) 45
(ii) 55
(iii) 65
(iv) 75
हल
(i) 45

अतिलघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
समान्तर श्रेढ़ी -4 + 3 + 10 +……..+ 52 में कितने पद हैं?
हल
माना समान्तर श्रेढ़ी -4 + 3 + 10 +………+ 52 में n पद हैं।
यहाँ, a = -4 तथा d = 3 – (-4) = 3 + 4 = 7
n वा पद = 52
⇒ a + (n – 1)d = 52
⇒ -4 + (n – 1)7 = 52
⇒ 7n – 7 = 52 + 4 = 56
⇒ 7n = 56 + 7 = 63
⇒ n = 9
अत: श्रेढ़ी में 9 पद हैं।

प्रश्न 2.
समान्तर श्रेढी 2, 7, 12, ……. का 20 वाँ पद निकालिए।
हल
दी हुई समान्तर श्रेढ़ी
2, 7, 12, ……
यहाँ, प्रथम पद (a) = 2, सार्वान्तर (d) = 7 – 2 = 5 तथा n = 20
n वाँ पद, a_n = a + (n – 1)d
20 वाँ पद, a₂₀ = 2 + (20 – 1) 5
= 2 + 19 × 5
= 2 + 95
= 97
अत : श्रेढ़ी का 20 वाँ पद = 97

प्रश्न 3.
प्रथम दस प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
हल
प्रथम दस प्राकृतिक संख्याएँ :
1, 2, 3, 4, ………., 10
यहाँ, a = 1, d = 2 – 1 = 1, तथा n = 10
S₁₀ = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d]
= \(\frac{10}{2}\) [2 × 1 + (10 – 1)1]
= 5[2 + 9]
= 55
अतः प्रथम दस प्राकृतिक संख्याओं का योग = 55

प्रश्न 4.
प्रथम 1000 धन पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए।
हल
प्रथम 1000 धन पूर्णांकों की सूची है :
1, 2, 3,…..,1000
यह एक समान्तर श्रेढ़ी है जिसके लिए
a = 1, d = 2 – 1 = 1, n = 1000
सूत्र S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) d] से
1000 पदों का योग, S₁₀₀₀ = \(\frac{1000}{2}\) [2(1) + (1000 – 1) (1)]
= 500 × 1001
= 500500
अत: प्रथम 1000 धन पूर्णांकों का योग = 500500

प्रश्न 5.
समान्तर श्रेढी,\(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, \frac{-1}{2}, \frac{-3}{2}\),…. के लिए प्रथम पद ‘a’ और सार्वान्तर लिखिए।
हल
दी हुई समान्तर श्रेढ़ी है :
\(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, \frac{-1}{2}, \frac{-3}{2}\),………
प्रथम पद (a) = \(\frac{3}{2}\)
तथा सार्वान्तर (d) = \(\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\) = -1

प्रश्न 6.
समान्तर श्रेढ़ी 21, 18, 15, …….. का आठवाँ पद ज्ञात कीजिए।
हल
दी हुई श्रेढ़ी 21, 18, 15,……..
यहाँ प्रथम पद (a) = 21, सार्वान्तर (d) = 18 – 21 = -3
श्रेढ़ी का n वाँ पद = a + (n – 1)d
श्रेढ़ी का 8 वाँ पद = 21 + (8 – 1) (-3) = 21 – 21 = 0
अत: श्रेढ़ी का आठवाँ पद शून्य है।

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
किसी समान्तर श्रेढी का दूसरा पद एवं पाँचवाँ पद क्रमशः 3 एवं -3 है, तो श्रेढी का सार्वान्तर एवं प्रथम पद ज्ञात कीजिए।
हल
माना श्रेढ़ी का प्रथम पद a तथा सार्वान्तर d है
श्रेढ़ी का दूसरा पद = a + d = 3 ……..(1)
पाँचवाँ पद = a + (5 – 1)d = -3
⇒ a + 4d = -3 …….(2)
समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर,
(a + 4d) – (a + d) = -3 – 3
⇒ a + 4d – a – d = -6
⇒ 3d = -6
⇒ d = -2
d का मान समीकरण (1) में रखने पर,
a – 2 = 3
⇒ a = 3 + 2 = 5
अतः श्रेढ़ी का सार्वान्तर -2 तथा प्रथम पद 5 है।

प्रश्न 2.
किसी समान्तर श्रेढ़ी का n वाँ पद 2n + 5 है, तो श्रेढी के सात पदों तक योगफल ज्ञात कीजिए।
हल
दिया है, समान्तर श्रेढ़ी का n वाँ पद, (a_n) = 2n + 5
n = 1 रखने पर, प्रथम पद, (a₁) = 2 × 1 + 5 = 7
n = 2 रखने पर, दूसरा पद, (a₂) = 2 × 2 + 5 = 9
n = 3 रखने पर, तीसरा पद, (a₃) = 2 × 3 + 5 = 11
प्रथम पद (a) = 7, सार्वान्तर (d) = a₂ – a₁ = 9 – 7 = 2
सूत्र : S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d] से,
7 पदों तक योगफल, S₇ = \(\frac{7}{2}\) [2 × 7 + (7 – 1)2]
= \(\frac{7}{2}\) × 2[7 + 6]
= 7 × 13
= 91
अतः 7 पदों तक योगफल = 91

प्रश्न 3.
किसी समान्तर श्रेढ़ी का 7वाँ पद 32 और 13वाँ पद 62 है। समान्तर श्रेढी ज्ञात कीजिए।
हल
माना किसी समान्तर श्रेढ़ी का पहला पद a तथा सार्वान्तर d है।
दिया है, श्रेढ़ी का 7वाँ पद = 32
a + (7 – 1)d = 32
⇒ a + 6d = 32 ……(1)
इसी प्रकार, श्रेढ़ी का 13वाँ पद = 62
a + (13 – 1)d = 62
⇒ a + 12d = 62 ……..(2)
समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर,
6d = 62 – 32 = 30
d = \(\frac{30}{6}\) = 5
समीकरण (1) में d का मान रखने पर,
a + 6 × 5 = 32
⇒ a + 30 = 32
⇒ a = 32 – 30 = 2
तब, श्रेढ़ी : a, a + d, a + 2d, a + 3d,………
या 2, 2 + 5, 2 + 10, 2 + 15,………
या 2, 7, 12, 17, ………
अत: अभीष्ट समान्तर श्रेढ़ी : 2, 7, 12, 17, ……

प्रश्न 4.
समान्तर श्रेढ़ी 3, 5, 7, 9,…………, 201 का अन्तिम पद से (प्रथम पद की ओर) 15वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हल
दी गई श्रेढ़ी 3, 5, 7, 9, …….., 201
प्रथम पद (a) = 3, दूसरा पद = 5, अन्तिम पद (l) = 201
सार्वान्तर (d) = दूसरा पद – पहला पद = 5 – 3 = 2
अन्त से nवाँ पद = l – (n – 1)d से,
n = 15 रखने पर,
अन्त से 15वाँ पद = l – (15 – 1)d (∵ l = 201)
= l – 14d
= 201 – (14 × 2)
= 201 – 28
= 173
अतः श्रेढ़ी का अन्त से 15वाँ पद = 173

प्रश्न 5.
किसी श्रेढी काn वाँ पद (2n + 1) है तो इस श्रेढी का सातवाँ (7th) पद ज्ञात कीजिए।
हल
माना समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद a तथा सार्वान्तर d है।
दिया है, n वाँ पद an = 2n + 1
n = 1 रखने पर, प्रथम पद a = a₁ = 2 × 1 + 1 = 3
n = 2 रखने पर, दूसरा पद a₂ = 2 × 2 + 1 = 5
n = 3 रखने पर, तीसरा पद a₃ = 2 × 3 + 1 = 7
यहाँ पर a = 3, सार्वान्तर d = 5 – 3 = 2
सूत्र a_n = a + (n – 1)d से,
श्रेढ़ी का 7 वाँ पद a₇ = 3 + (7 – 1)2
= 3 + 6 × 2
= 15
अतः श्रेढी का 7 वाँ पद = 15

प्रश्न 6.
किसी समान्तर श्रेदी केn पदों का योग n(2n – 1) है, श्रेढ़ी का प्रथम पद, सार्वान्तर एवं श्रेढी ज्ञात कीजिए।
हल
दिया है, समान्तर श्रेढ़ी के n पदों तक योगफल,
S_n = n(2n – 1) = 2n² – n
n = 1 के लिए, प्रथम पद का योगफल S₁ = 2(1)² – 1 = 1
प्रथम पद (a) = 1
n = 2 के लिए, S₂ = 2(2)² – 2 = 8 – 2 = 6
दूसरा पद (a₂) = S₂ – S₁ = 6 – 1 = 5
n = 3 के लिए, S₃ = 2(3)² – 3 = 18 – 3 = 15
तीसरा पद (a₃) = S₃ – S₂ = 15 – 6 = 9
अतः श्रेढ़ी 1, 5, 9,…………
सार्वान्तर d = 5 – 1 = 4 तथा प्रथम पद a = 1.

प्रश्न 7.
श्रेढ़ी 21, 18, 15,…….. का कौन-सा पद -81 है? क्या इस श्रेढी का कोई पद शून्य है? यदि है तो कौन-सा पद?
हल
दी गई A. P. : 21, 18, 15,……..
पहला पद (a) = 21 तथा सार्वान्तर (d) = 18 – 21 = -3
माना nवाँ पद -81 है
nवाँ पद = -81
⇒ a + (n – 1)d = -81
⇒ 21 + (n – 1) (-3) = -81
⇒ 21 – 3n + 3 = -81
⇒ -3n = -81 – 24 = -105
⇒ n = \(\frac{105}{3}\) = 35
अत: श्रेढ़ी का 35 वाँ पद -81 है।
पुनः माना श्रेढ़ी का n वाँ पद शून्य है।
n वाँ पद = 0
⇒ a + (n – 1)d = 0
⇒ 21 + (n – 1) (-3) = 0
⇒ 21 – 3n + 3 = 0
⇒ -3n = -24
⇒ n = 8
अत: श्रेढ़ी का 8 वाँ पद शून्य है।

प्रश्न 8.
2 अंकों वाली कितनी संख्याएँ 3 से विभाज्य हैं?
हल
2 अंकों वाली संख्याएँ जो 3 से विभाज्य हैं :
12, 15, 18,…, 99
स्पष्ट है कि ये संख्याएँ समान्तर श्रेढ़ी में हैं जिसके लिए
a = 12 तथा d = 15 – 12 = 3, l = 99
माना संख्याएँ n हैं।
l = a + (n – 1)d
⇒ 99 = 12 + (n – 1)3
⇒ 3(n – 1) = 99 – 12 = 87
⇒ n – 1 = \(\frac{87}{3}\) = 29
⇒ n = 29 + 1 = 30
अत: 2 अंकों वाली 30 संख्याएँ हैं जो 3 से विभाज्य हैं।

प्रश्न 9.
0 से 50 के मध्य कितनी सम संख्याएँ हैं? उनका योगफल ज्ञात कीजिए।
हल
0 से 50 के मध्य सम संख्याएँ 2, 4, 6, 8,…, 48 तक माना n संख्याएँ हैं।
यहाँ a = 2 तथा d = 4 – 2 = 2
nवाँ पद = 48
⇒ 2 + (n – 1)2 = 48
⇒ 2 + 2n – 2 = 48
⇒ 2n = 48
⇒ n = 24
0 से 50 के मध्य 24 सम संख्याएँ होंगी।
24 संख्याओं का योगफल = \(\frac{24}{2}\) [2 × 2 + (24 – 1)2]
= 12 × 2(2 + 23)
= 24 × 25
= 600

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
एक आदमी पहले दिन ₹ 32, दूसरे दिन ₹ 36 तथा तीसरे दिन ₹ 40 बचाता है। यदि वह अपनी बचतों को इसी क्रम में जारी रखता है, तो कितने दिनों में उसकी कुल बचत ₹ 2000 होगी?
हल
पहले दिन बचत a₁ = ₹ 32
दूसरे दिन बचत a₂ = ₹ 36
तीसरे दिन बचत a₃ = ₹ 40
a₂ – a₁ = 36 – 32 = 4
a₃ – a₂ = 40 – 36 = 4
अन्तर नियत है
बचत समान्तर श्रेढ़ी में हैं।
प्रथम पद (a) = a₁ = 32 तथा सार्वान्तर (d) = 4
माना उसकी बचत n दिनों में ₹ 2000 होगी।
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d]
⇒ 2000 = \(\frac{n}{2}\) [2 × 32 + (n – 1)4]
⇒ 2000 = \(\frac{n}{2}\) × 2[32 + (n – 1)2]
⇒ 2000 = n[32 + 2n – 2]
⇒ 2000 = 30n + 2n²
⇒ 2n² + 30n – 2000 = 0
⇒ n² + 15n – 1000 = 0
⇒ n² + (40 – 25)n – 1000 = 0
⇒ n² + 40n – 25n – 1000 = 0
⇒ n(n + 40) – 25(n + 40) = 0
⇒ (n + 40)(n – 25) = 0
यदि n + 40 = 0 तो n = -40 असम्भव
(क्योंकि दिनों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती)
यदि n – 25 = 0 तो n = 25
अत: आदमी की बचत 25 दिनों में ₹ 2000 होगी।

प्रश्न 2.
श्रेढ़ी 18, 15, 12, …….. का कौन-सा पद -87 है? क्या इस श्रेढ़ी का कोई पद शून्य है? यदि हाँ, तो कौन-सा पद?
हल
दी हुई श्रेढ़ी 18, 15, 12, ……
पहला पद (a) = 18 तथा सार्वान्तर (d) = 15 – 18 = -3
माना n वाँ पद -87 है।
n वाँ पद = -87
⇒ a + (n – 1)d = -87 [∵ n वाँ पद = a + (n – 1)d]
⇒ 18 + (n – 1)(-3) = -87
⇒ 18 – 3n + 3 = -87
⇒ -3n = -87 – 18 – 3 = -108
⇒ n = \(\frac{108}{3}\) = 36
अत: श्रेढ़ी का 36 वाँ पद -87 है।
पुनः माना श्रेढ़ी का nवाँ पद शून्य है।
nवाँ पद = 0
⇒ a + (n – 1)d = 0
⇒ 18 + (n – 1) (-3) = 0
⇒ -3(n – 1) = -18
⇒ n – 1 = \(\frac{18}{3}\) = 6
⇒ n = 6 + 1 = 7
अत: श्रेढ़ी का 7 वाँ पद शून्य है।

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.4 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.4

Bihar Board Class 10 Maths त्रिभुज Ex 6.4

प्रश्न 1.
मान लीजिए ΔABC ~ ΔDEF है और इनके क्षेत्रफल क्रमशः 64 cm² और 121 cm² हैं। यदि EF = 15.4 cm² हो तो BC ज्ञात कीजिए।
हल
त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात = संगत भुजाओं के वर्गों का अनुपात

⇒ 11BC = 8 × 15.4
⇒ BC = \(\frac{8 \times 15.4}{11}\) = 11.2
अत: BC = 11.2 cm

प्रश्न 2.
एक समलम्ब ABCD जिसमें AB || CD है, के विकर्ण परस्पर बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि AB = 2CD हो तो त्रिभुजों AOB और COD के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

हल
AB || CD और AC तिर्यक रेखा है।
∠CAB = ∠ACD या ∠OAB = ∠OCD
AB || CD और DB तिर्यक रेखा है।
∠DBA = ∠BDC या ∠OBA = ∠ODC
अब, ∆AOB तथा ∆COD में,
∠OAB = ∠OCD (एकान्तर कोण)
∠OBA = ∠ODC (एकान्तर कोण)
तथा ∠AOB = ∠COD (शीर्षाभिमुख कोण)
∆OAB ~ ∆OCD

प्रश्न 3.
दी गई आकृति में एक ही आधार BC पर दो त्रिभुज ABC और DBC बने हुए हैं। यदि AD, BC को O पर प्रतिच्छेद करे, तो दर्शाइए कि \(\frac { ar(ABC) }{ ar(DBC) } =\frac { AO }{ DO }\) है।

हल
दिया है : ∆ABC तथा ∆DBC एक ही आधार BC पर स्थित दो त्रिभुज हैं। AD, BC को बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करता है।
सिद्ध करना है : \(\frac { ar(ABC) }{ ar(DBC) } =\frac { AO }{ DO }\)

रचना : शीर्ष A से BC पर AE तथा शीर्ष D से BC पर DF लम्ब खींचा।
उपपत्ति : शीर्षों A तथा D से BC पर AE तथा DF लम्ब खींचे गए हैं।
अत: ∆AEO तथा ∆DFO समकोणीय हैं।
समकोण ∆AEO तथा ∆DFO में,
∠AEO = ∠DFO (प्रत्येक 90°)
∠AOE = ∠DOF (शीर्षाभिमुख कोण हैं)
∆AEO ~ ∆DFO (उप-गुणधर्म AA से)
\(\frac{A E}{D F}=\frac{A O}{D O}\) ……(1)
अब, ∆ABC का क्षेत्रफल = \(\frac {1}{2}\) × BC × AE
और ∆DBC का क्षेत्रफल = \(\frac {1}{2}\) × BC × DF

प्रश्न 4.
यदि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल बराबर हों तो सिद्ध कीजिए कि वे सर्वांगसम होते हैं।
हल
दिया है: ∆ABC तथा ∆DEF समरूप हैं और ∆ABC का क्षेत्रफल = ∆DEF का क्षेत्रफल
सिद्ध करना है: ∆ABC = ∆DEF

उपपत्ति: चूँकि समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।

अब, ∆ABC और ∆DEF में,
∠ABC = ∠DEF (∵ ∆ABC ~ ∆DEF)
∠ACB = ∠DFE (∵ ∆ABC ~ ∆DEF)
अतः BC = EF (ऊपर सिद्ध किया है)
∆ABC = ∆DEF
इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
एक ∆ABC की भुजाओं AB, BC और CA के मध्य-बिन्दु क्रमश: D, E और F हैं। ∆DEF और ∆ABC के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

हल
दिया है : ABC की भुजाओं BC, CA, AB के मध्य-बिन्दु क्रमशः D, E, F हैं जिनको मिलाने से ∆DEF बना है।
ज्ञात करना है : ∆DEF का क्षेत्रफल : ∆ABC का क्षेत्रफल
गणना : D, E, F क्रमश: BC, CA, AB के मध्य-बिन्दु हैं।

अत: ∆DEF का क्षेत्रफल : ∆ABC का क्षेत्रफल = 1 : 4

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात इनकी संगत माध्यिकाओं के अनुपात का वर्ग होता है।
हल
दिया है : दो समरूप ∆ABC और ∆DEF हैं, जिनमें AP तथा DQ संगत माध्यिकाएँ हैं।

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए कि एक वर्ग की किसी भुजा पर बनाए गए समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल उसी वर्ग के एक विकर्ण पर बनाए गए समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का
आधा होता है।

हल
दिया है : चतुर्भुज ABCD एक वर्ग है जिसकी एक भुजा AB तथा विकर्ण AC है।
AB तथा AC पर समबाहु ∆ABE तथा ∆ACF बनाए गए हैं।
सिद्ध करना है : ∆ABE का क्षेत्रफल = \(\frac {1}{2}\) ∆ACF का क्षेत्रफल
उपपत्ति : वर्ग ABCD की भुजा = AB
वर्ग ABCD का विकर्ण AC = AB√2


अत: ∆ABE का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) ∆ACF का क्षेत्रफल
इति सिद्धम्

सही उत्तर चुनिए और अपने उत्तर का औचित्य दीजिए-

प्रश्न 8.
ABC और BDE दो समबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि D भुजा BC का मध्य-बिन्दु है। त्रिभुजों ABC और BDE के क्षेत्रफलों का अनुपात है-
(A) 2 : 1
(B) 1 : 2
(C) 4 : 1
(D) 1 : 4
हल
∆ABC और ∆BDE समरूप त्रिभुज हैं जिनमें D, भुजा BC का मध्य-बिन्दु है।
BD = \(\frac{1}{2}\) BC
⇒ BD : BC = 1 : 2
⇒ BC : BD = 2 : 1
तब, ∆ABC का क्षेत्रफल : ∆BDE का क्षेत्रफल = BC² : BD² = (2)² : (1)² = 4 : 1
अत: विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 9.
दो समरूप त्रिभुजों की भुजाएँ 4 : 9 के अनुपात में हैं। इन त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात है-
(A) 2 : 3
(B) 4 : 9
(C) 81 : 16
(D) 16 : 81
हल
दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात = भुजाओं के अनुपात का वर्ग
= (4)² : (9)²
= 16 : 81
अत: विकल्प (D) सही है।

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.4 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.4

Bihar Board Class 10 Maths समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.4

प्रश्न 1.
A.P.: 121, 117, 113,…… का कौन-सा पद सबसे पहला ऋणात्मक पद होगा?
[संकेत : a_n < 0 के लिए n ज्ञात कीजिए।]
हल
दी गई A.P.: 121, 117, 113, ………
प्रथम पद (a) = 121
तथा सार्वान्तर (d) = 117 – 121 = -4
मान लिया n वाँ पद प्रथम ऋणात्मक पद होगा।
a_n < 0
⇒ a + (n – 1)d < 0
⇒ 121 + (n – 1) × (-4) < 0
⇒ -(n – 1) 4 < -121
⇒ n – 1 < \(\frac{121}{4}\)
⇒ n < \(\frac{121}{4}\) + 1
⇒ n < \(\frac{125}{4}\)
⇒ n < 31.25
n < 32 क्योंकि n = एक पूर्णांक है।
अत: 32 वाँ पद पहला ऋणात्मक पद होगा।

प्रश्न 2.
किसी A.P. के तीसरे और सातवें पदों का योग 6 है और उनका गणनफल 8 है। इस A.P. के प्रथम 16 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
हल
माना दी गई A.P. का पहला पद a तथा सार्वान्तर d है।
तीसरा पद (a₃) = a + (3 – 1)d = a + 2d
सातवाँ पद (a₇) = a + (7 – 1)d = a + 6d
प्रश्नानुसार, तीसरे + सातवें पद का योग = 6
⇒ a₃ + a₇ = 6
⇒ a + 2d + a + 6d = 6
⇒ 2a + 8d = 6
⇒ a + 4d = 3 ……(1)
पुनः प्रश्नानुसार,
a₃ × a₇ = 8
⇒ (a + 2d) × (a + 6d) = 8
⇒ a² + 8ad + 12d² = 8 ……..(2)
समीकरण (1) के वर्ग में से समीकरण (2) को घटाने पर,
(a + 4d)² – (a² + 8ad + 12d²) = (3)² – 8
⇒ a² + 8ad + 16d² – a² – 8ad – 12d² = 9 – 8
⇒ 4d² = 1
⇒ d = \(\pm \frac{1}{2}\)
समीकरण (1) में d = \(\frac{1}{2}\) रखने पर,
a + 4d = 3
⇒ a + 4 × \(\frac{1}{2}\) = 3
⇒ a + 2 = 3
⇒ a = 1
समीकरण (1) में पुन: d = \(-\frac{1}{2}\) रखने पर,
a + 4d = 3
⇒ a + 4 × (\(-\frac{1}{2}\)) = 3
⇒ a – 2 = 3
⇒ a = 5
पहली स्थिति में, a = 1, d = \(\frac{1}{2}\)

अतः प्रथम 16 पदों का योग = 20 अथवा 76

प्रश्न 3.
संलग्न चित्र में, एक सीढ़ी के क्रमागत डण्डे परस्पर 25 cm की दूरी पर हैं। डण्डों की लम्बाई एकसमान रूप से घटती जाती है तथा 25 cm सबसे निचले डण्डे की लम्बाई 45 cm है और सबसे ऊपर वाले डण्डे की लम्बाई 25 सेमी है। यदि ऊपरी और निचले डण्डे के बीच की दूरी 2\(\frac{1}{2}\) m है, तो डण्डों को बनाने के लिए लकड़ी की कितनी लम्बाई की आवश्यकता होगी?
[संकेत : डण्डों की संख्या = \(\frac{250}{25}\) + 1 है।]

हल
प्रथम व अन्तिम डण्डे के बीच की क्षैतिज दूरी
= 2\(\frac{1}{2}\) m
= \(\frac{5}{2}\) m
= \(\frac{5 \times 100}{2}\) cm
= 250 cm
और दो क्रमागत डण्डों के बीच की दूरी = 25 cm
सीढ़ी में डण्डों की संख्या = \(\frac{250}{25}\) + 1 = 11
प्रथम डण्डे की लम्बाई (a) = 25 cm और अन्तिम डण्डे की लम्बाई (l) = 45 cm
11 डण्डों में प्रयुक्त लकड़ी की कुल माप = \(\frac{n}{2}\) [a + l]
= \(\frac{11}{2}\) [25 + 45] cm
= 5.5 × 70 cm
= 385 cm
= 3.85 m
अत: सीढ़ी के डण्डों में प्रयुक्त लकड़ी की लम्बाई = 385 cm या 3.85 m

प्रश्न 4.
एक पंक्ति के मकानों को क्रमागत रूप से संख्या 1 से 49 तक अंकित किया गया है। दर्शाइए कि x का एक ऐसा मान है कि x से अंकित मकान से पहले के मकानों की संख्याओं का योग उसके बाद वाले मकानों की संख्याओं के योग के बराबर है। x का मान ज्ञात कीजिए।
[संकेत : S_x-1 = S₄₉ – S_x है]
हल
दिया है, मकानों पर अंकित संख्याएँ : 1, 2, 3, 4, 5, 6, ……., 47, 48, 49 हैं।
x एक ऐसी संख्या है कि x के एक ओर की संख्याओं का योग = x के दूसरी ओर की संख्याओं का योग
अर्थात् 1 से x – 1 तक की संख्याओं का योग = x – 1 से 49 तक की सभी संख्याओं का योग
अनुक्रम की सभी संख्याओं में सार्वान्तर, d = 1
तब, 1 से x – 1 तक की संख्याओं का योग

प्रश्न 5.
संलग्न चित्र में एक फुटबाल के मैदान में एक छोटा चबूतरा है जिसमें 15 सीढ़ियाँ बनी हुई हैं। इन सीढ़ियों में से प्रत्येक की लम्बाई 50 m है और वह ठोस कंक्रीट (concrete) की बनी है। प्रत्येक सीढ़ी में \(\frac{1}{4}\) m की चढ़ाई है और \(\frac{1}{2}\) m का फैलाव (चौड़ाई) है। इस चबूतरे को बनाने में लगी कंक्रीट का कुल आयतन परिकलित कीजिए।
[संकेत : पहली सीढ़ी को बनाने में लगी कंक्रीट का आयतन = \(\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} \times 50\) m³ है।]

हल
दिया है, प्रत्येक सीढ़ी की लम्बाई 50m तथा चौड़ाई \(\frac{1}{2}\) m है।
सीढ़ियों की संख्या 15 है। प्रत्येक सीढ़ी की जमीन से ऊँचाई एक समान्तर श्रेढ़ी (A.P.) का अनुक्रम है जो निम्नवत् है :


अत: चबूतरे में लगी कंक्रीट का आयतन = 750 m³