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Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Additional Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Additional Questions

Bihar Board Class 10 Maths बहुपद Additional Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
यदि द्विघात बहुपद (k – 1)x² + kx + 1 के शून्यकों में से एक शून्यक -3 है, तो k का मान है
(i) \(\frac{4}{3}\)
(ii) \(\frac{-4}{3}\)
(iii) \(\frac{2}{3}\)
(iv) \(\frac{-2}{3}\)
हल
(i) \(\frac{4}{3}\)

प्रश्न 2.
शून्यक -3 और 4 वाला द्विघात बहुपद है
(i) x² – x + 12
(ii) x² + x + 12
(iii) \(\frac{x^{2}}{2}-\frac{x}{2}-6\)
(iv) 2x² + 2x – 24
हल
(iii) \(\frac{x^{2}}{2}-\frac{x}{2}-6\)

प्रश्न 3.
यदि द्विघात बहुपद x² + (a + 1)x + b के शून्यक 2 और -3 हैं, तो
(i) a = -7, b = -1
(ii) a = 5, b = -1
(iii) a = 2, b = -6
(iv) a = 0, b = -6
हल
(iv) a = 0, b = -6

प्रश्न 4.
शून्यक -2 और 5 वाले बहुपदों की संख्या है
(i) 1
(ii) 2
(iii) 3
(iv) 3 से अधिक
हल
(iv) 3 से अधिक

प्रश्न 5.
त्रिघात बहुपद ax³ + bx² + cx + d का एक शून्यक 0 दिया हुआ है। अन्य दोनों शून्यकों का गुणनफल है
(i) \(-\frac{c}{a}\)
(ii) \(\frac{c}{a}\)
(iii) 0
(iv) \(-\frac{b}{a}\)
हल
(ii) \(\frac{c}{a}\)

प्रश्न 6.
यदि त्रिघात बहुपद x³ + ax² + bx + c का एक शून्यक -1 है, तो अन्य दोनों शून्यकों का गुणनफल है
(i) b – a + 1
(ii) b – a – 1
(iii) a – b + 1
(iv) a – b – 1
हल
(i) b – a + 1

प्रश्न 7.
द्विघात बहुपद x² + 99x + 127 के शून्यक हैं
(i) दोनों धनात्मक
(ii) दोनों ऋणात्मक
(iii) एक धनात्मक और एक ऋणात्मक
(iv) दोनों बराबर
हल
(ii) दोनों ऋणात्मक

प्रश्न 8.
द्विघात बहपद x² + kx + k, k ≠ 0 के शून्यक
(i) दोनों धनात्मक नहीं हो सकते
(ii) दोनों ऋणात्मक नहीं हो सकते
(iii) सदैव असमान होते हैं
(iv) सदैव बराबर होते हैं
हल
(i) दोनों धनात्मक नहीं हो सकते

प्रश्न 9.
यदि द्विघात बहुपद ax² + bx + c, c ≠ 0 के शून्यक बराबर हैं, तो
(i) c और a विपरीत चिह्नों के हैं
(ii) c और b विपरीत चिह्नों के हैं
(iii) c और a एक ही चिह्न के हैं
(iv) c और b एक ही चिह्न के हैं
हल
(iii) c और a एक ही चिह्न के हैं

प्रश्न 10.
यदि x² + ax + b के रूप के एक द्विघात बहुपद का एक शून्यक दूसरे शून्यक का ऋणात्मक हो, तो
(i) इसमें कोई रैखिक पद नहीं होता तथा अचर पद ऋणात्मक होता है।
(ii) इसमें कोई रैखिक पद नहीं होता तथा अचर पद धनात्मक होता है।
(iii) इसका रैखिक पद हो सकता है, परन्तु अचर पद ऋणात्मक होता है
(iv) इसका रैखिक पद हो सकता है, परन्तु अचर पद धनात्मक होता है
हल
(i) इसमें कोई रैखिक पद नहीं होता तथा अचर पद ऋणात्मक होता है।

प्रश्न 11.
निम्नलिखित में से कौन एक द्विघात बहुपद का आलेख नहीं है?

हल

अतिलघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
यदि -2 बहुपद 9x³ + 18x² – x – 2 का एक शून्यक हो तो इस बहुपद के सभी शून्यक ज्ञात कीजिए।
हल
यदि -2 बहुपद 9x³ + 18x² – x – 2 का एक शून्यक हो तो x + 2 बहुपद 9x³ + 18x² – x – 2 का एक गुणनखण्ड होगा।
तब, 9x³ + 18x² – x – 2
= 9x² (x + 2) – 1(x + 2)
= (x + 2) (9x² – 1)
= (x + 2) (3x + 1) (3x -1)
3x + 1 और 3x – 1 को शून्य के बराबर करने पर,
x = \(-\frac{1}{3}\) तथा x = \(\frac{1}{3}\)
अतः दिए गए बहुपद 9x³ + 18x² – x – 2 के शून्यक = -2, \(\frac{1}{3}\) व \(-\frac{1}{3}\) हैं।

प्रश्न 2.
जाँच कीजिए कि बहुपद के साथ दी गई संख्या उसकी शून्यक है अथवा नहीं?
x² – 2√3x – 9, x = 3√3, x = -√3
हल
दिया गया बहुपद
= x² – 2√3x – 9
= x² – (3√3 – √3)x – 9
= x² – 3√3x + √3x – (3√3 × √3)
= x(x – 3√3) + √3(x – 3√3)
= (x – 3√3) (x + √3)
उक्त बहुपद शून्य तब होगा जब x – 3√3 = 0 अर्थात् x = 3√3 हो
या फिर उक्त बहुपद शून्य तब होगा जब x + √3 = 0 हो अर्थात् x = -√3 हो।
अत: संख्याएँ x = 3√3 व x = -√3 दिए बहुपद x² – 2√3x – 9 की शून्यक हैं।

प्रश्न 3.
बहुपद x³ + 2x² – x – 2 का एक शून्यक (-2) है तो सभी शून्यक ज्ञात कीजिए।
हल
बहुपद x³ + 2x² – x – 2 का एक शून्यक (-2) है
(x + 2) बहुपद का एक गुणनखण्ड है।
x³ + 2x² – x – 2 = x²(x + 2) – 1(x + 2)
= (x + 2)(x² – 1)
= (x + 2)(x + 1) (x – 1)
बहुपद x³ + 2x² – x – 2 के शून्य होने के लिए
x + 1 = 0 ⇒ x = -1
x – 1 = 0 ⇒ x = 0
अत: बहुपद x³ + 2x² – x – 2 के शून्यक = -2, -1 व 1 हैं।

प्रश्न 4.
बहुपद x² – 9 के शून्यक ज्ञात कीजिए।
हल
बहुपद x² – 9 के गुणनखण्ड करने पर,
x² – 9 = (x)² – (3)² = (x + 3) (x – 3)
x² – 9 के शून्य होने के लिए।
x + 3 = 0 ⇒ x = -3
तथा x – 3 = 0 ⇒ x = 3
अत: x² – 9 के शून्यक = -3 व 3

प्रश्न 5.
चित्र में, बहुपद y = f(x) का आलेख दिया गया है। इसके शून्यकों की संख्या बताइए।

हल
बहुपद y = f(x) का आलेख X-अक्ष को 3 बिन्दुओं पर काटता है। अत: शून्यकों की संख्या 3 है।

प्रश्न 6.
यदि बहुपद ax² – 6x – 6 के शून्यकों का गुणनफल 6 हो तो a का मान ज्ञात कीजिए।
हल
दिया गया बहुपद = ax² – 6x – 6
तथा शून्यकों का गुणनफल = 6

प्रश्न 7.
बहुपद x³ – 3x² + 5x – 3 को x – 1 से भाग देने पर भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए।
हल
बहुपद x³ – 3x² + 5x – 3 = p(x), भाजक = x – 1 = g(x)
माना भागफल q(x) तथा शेषफल r(x) है।
अब, बहुपद को भाजक से भाग देने पर,

अत: भागफल q(x) = x² – 2x + 3 तथा शेषफल r(x) = शून्य।

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों का योगफल तथा गुणनफल क्रमशः 0 तथा √5 हैं।
हल
माना द्विघात बहुपद ax² + bx + c है और इसके शून्यक α व β हैं।
तब, α + β = \(-\frac{b}{a}\) और αβ = \(\frac{c}{a}\)
प्रश्नानुसार, शून्यकों का योगफल (α + β) = \(-\frac{b}{a}\)
तथा शून्यकों का गुणनफल (αβ) = \(\frac{c}{a}\) = √5
यदि a = 1 हो तो b = 0, तथा c = √5
अत: एक मानक द्विघात बहुपद ax² + bx + c में
a = 1, b = 0 तथा c = √5
प्रतिस्थापित करने पर,
बहुपद = x² + 0 . x + √5 = x² + √5
अत: अभीष्ट बहुपद = x² + √5
उक्त प्रतिबन्धों को सन्तुष्ट करने वाला व्यापक द्विघात व्यंजक = k(x² + √5), जहाँ k एक वास्तविक संख्या है।

प्रश्न 2.
एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों के योगफल तथा गुणनफल क्रमशः संख्याएँ -1, 1 हैं।
हल
माना द्विघात बहुपद के शून्यक α तथा β हैं।
तब, शून्यकों का योगफल = α + β
तथा शून्यकों का गुणनफल = αβ
प्रश्नानुसार, शून्यकों का योगफल (α + β) = -1
शून्यकों का गुणनफल (αβ) = +1
द्विघात बहुपद = (x – α) (x – β)
= x² – (α + β) x + αβ
= x² – (-1) . x + (+1)
= x² + x + 1
अतः अभीष्ट बहुपद = x² + x + 1

प्रश्न 3.
द्विघात बहुपद 6x² – 7x – 3 के शून्यक ज्ञात कीजिए।
हल
दिया गया द्विघात बहुपद = 6x² – 7x – 3
गुणनखण्ड करने पर,
6x² – 7x – 3
= 6x² – 9x + 2x – 3
= 3x(2x – 3) + 1 (2x – 3)
= (2x – 3) (3x + 1)
इसलिए 6x² – 7x – 3 शून्य होगा यदि
2x – 3 = 0 अथवा 3x + 1 = 0
अर्थात् 2x – 3 = 0 ⇒ x = \(\frac{3}{2}\)
अथवा 3x + 1 = 0 ⇒ x = \(-\frac{1}{3}\)
अत: बहुपद 6x² – 7x – 3 के शून्यक \(\frac{3}{2}\) व \(-\frac{1}{3}\) हैं।

प्रश्न 4.
द्विघात बहुपद 2x² – 50 के शून्यक ज्ञात कीजिए।
हल
बहुपद 2x² – 50 के गुणनखण्ड करने पर,
2x² – 50 = 2(x² – 25)
= 2[(x)² – (5)²]
= 2(x + 5) (x – 5)
2x² – 50 के शून्य होने के लिए
x + 5 = 0 ⇒ x = -5
तथा x – 5 = 0 ⇒ x = 5
अत: 2x² – 50 के शून्यक -5 व 5 हैं।

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
2x⁴ – 3x³ – 3x² + 6x – 2 के अन्य सभी शून्यक ज्ञात कीजिए यदि इसके दो शून्यक √2 और -√2 ज्ञात हैं।
हल
बहुपद 2x⁴ – 3x³ – 3x² + 6x – 2 के दो शून्यक √2 व -√2 हैं और माना दो अन्य शून्यक α व β हैं।
(x – α) (x – β) (x – √2) (x – (-√2)) = 2x⁴ – 3x³ – 3x² + 6x – 2
(x – α) (x – β) (x – √2) (x + √2) = 2x⁴ – 3x³ – 3x² + 6x – 2
(x – α) (x – β) (x² – 2) = 2x⁴ – 3x³ – 3x² + 6x – 2

प्रश्न 2.
द्विघात बहुपद 6x² – 13x + 6 के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के सम्बन्ध की सत्यता की जाँच कीजिए।
हल
दिया गया द्विघात बहुपद = 6x² – 13x + 6
गुणनखण्ड करने पर,
6x² – 13x + 6 = 6x² – (9 + 4)x + 6
= 6x² – 9x – 4x + 6
= 3x(2x – 3) – 2(2x – 3)
= (2x – 3) (3x – 2)
इसलिए 6x² – 13x + 6 शून्य होगा, यदि 2x – 3 = 0 है तथा 3x – 2 = 0 है।
अर्थात् 2x – 3 = 0 ⇒ x = \(\frac{3}{2}\)
तथा 3x – 2 = 0 ⇒ x = \(\frac{2}{3}\)
बहुपद 6×2 – 13x + 6 के शून्यक \(\frac{3}{2}\) तथा \(\frac{2}{3}\) हैं।

तब, समीकरण (1) व (3) से,

तथा समीकरण (2) व (4) से,

अत: बहुपद के शून्यकों और गुणांकों के बीच के उपर्युक्त सम्बन्ध सत्य हैं।

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.4 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.4

Bihar Board Class 10 Maths बहुपद Ex 2.4

प्रश्न 1.
सत्यापित कीजिए कि निम्न त्रिघात बहुपदों के साथ दी गई संख्याएँ उसकी शून्यक हैं। प्रत्येक स्थिति में शून्यकों और गुणांकों के बीच के सम्बन्ध को भी
सत्यापित कीजिए-
(i) 2x³ + x² – 5x + 2; \(\frac{1}{2}\), 1, -2
(ii) x³ – 4x² + 5x – 2; 2, 1, 1
हल
(i) दिया है, त्रिघात बहुपद p(x) = 2x³ + x² – 5x + 2 ……. (1)
दी गई संख्याएँ : \(\frac{1}{2}\), 1, -2
समीकरण (1) में x = \(\frac{1}{2}\) रखने पर,

\(\frac{1}{2}\), बहुपद p(x) का एक शून्यक है।
समीकरण (1) में x = 1 रखने पर,
p(1) = 2(1)³ + (1)² – 5(1) + 2
= 2 + 1 – 5 + 2
= 0
1, बहुपद p (x) का एक शून्यक है।
पुनः समीकरण (1) में x = -2 रखने पर,
p(-2) = 2(-2)³ + (-2)² – 5(-2) + 2
= (2 × -8) + 4 + 10 + 2
= -16 + 16
= 0
-2, बहुपद p (x) का एक शून्यक है।
अत: \(\frac{1}{2}\),1 व -2 बहुपद 2x³ + x² – 5x + 2 के शून्यक हैं।
शून्यकों का योगफल = \(\frac{1}{2}\) + 1 + (-2) = \(\frac{-1}{2}\)
दो-दो करके गुणनफलों का योगफल = \(\frac{1}{2}\) × 1 + 1(-2) + (-2) × \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{-5}{2}\)
शून्यकों का गुणनफल = \(\frac{1}{2}\) × 1 × -2 = -1
बहुपद 2x³ + x² – 5x + 2 के पदों के गुणांक a = 2, b = 1, c = -5 व d = 2
यदि बहुपद के शून्यक α, β, γ हों तो
शून्यकों का योगफल (α + β + γ) = \(-\frac{b}{a}=-\frac{1}{2}\)
αβ + βγ + γα = \(\frac{c}{a}=-\frac{5}{2}\)
और मूलों का गुणनफल (αβγ) = \(-\frac{d}{a}=-\frac{2}{2}=-1\)
और शून्यकों \(\frac{1}{2}\), 1 व -2 द्वारा भी योगफल व गुणनफल वही हैं जो इनमें हैं।
अत: बहुपद के शून्यकों व गुणांकों के मध्य उपर्युक्त सम्बन्ध सत्य हैं।
इति सिद्धम्

(ii) दिया है, त्रिघात बहुपद p(x) = x³ – 4x² + 5x – 2 ……..(1)
दी गई संख्याएँ : 2, 1, 1
समीकरण (1) में x = 2 रखने पर,
तब, p(2) = (2)³ – 4(2)² + 5(2) – 2
= 8 – 4 × 4 + 10 – 2
= 8 – 16 + 10 – 2
= 0
2, बहुपद p (x) का एक शून्यक है।
पुनः समीकरण (1) में x = 1 रखने पर,
p(1) = (1)³ – 4(1)² + 5(1) – 2
= 1 – 4 + 5 – 2
= 0
1, बहुपद p(x) का एक शून्यक है।
तब, स्पष्ट है कि 2, 1, 1 बहुपद = x³ – 4x² + 5x – 2 के शून्यक हैं।
इन शून्यकों का योगफल = 2 + 1 + 1 = 4 तथा गुणनफल 2 × 1 × 1 = 2
दो-दो करके गुणनफलों का योगफल = (2 × 1) + (1 × 1) + (1 × 2) = 5
अब, बहुपद x³ – 4x² + 5x – 2 के पदों के गुणांक a = 1, b = -4, c = 5 तथा d = -2
यदि शून्यक α, β व γ हों तो
शून्यकों का योगफल (α + β + γ) = \(-\frac{b}{a}=-\frac{(-4)}{1}=+4\)
दो-दो करके गुणनफलों का योगफल (αβ + βγ + γα) = \(\frac{c}{a}=\frac{5}{1}=5\)
तथा शून्यकों का गुणनफल (αβγ) = \(-\frac{d}{a}=-\left(\frac{-2}{1}\right)=2\)
शून्यकों 2, 1, 1 से प्राप्त योगफल व गुणनफल भी यही हैं।
अत: बहुपद के शून्यकों का उनके गुणांकों से उक्त सम्बन्ध सत्य हैं।
इति सिद्धम्

प्रश्न 2.
एक त्रिघात बहुपद प्राप्त कीजिए जिसके शून्यकों का योगफल, दो शून्यकों को एक साथ लेकर उनके गुणनफलों का योगफल तथा तीनों शून्यकों के गुणनफल क्रमशः 2, -7, -14 हों।
हल
माना बहुपद के शून्यक α, β व γ हैं।
तब, प्रश्नानुसार शून्यकों का योगफल (α + β + γ) = 2
दो शून्यकों को एक साथ लेकर उसके गुणनफलों का योगफल (αβ + βγ + γα) = -7
शून्यकों का गुणनफल (αβγ) = -14
यदि शून्यक α, β व γ हों तो त्रिघात बहुपद
= x³ – (α + β + γ)x² + (αβ + βγ + γα)x – αβγ
= x³ – 2x² + (-7)x – (-14)
= x³ – 2x² – 7x + 14
अत: अभीष्ट बहुपद = x³ – 2x² – 7x + 14

प्रश्न 3.
यदि बहुपद x³ – 3x² + x + 1 के शून्यक a – b, a, a + b हों तो a और b ज्ञात कीजिए।
हल
दिया गया बहुपद = x³ – 3x² + x + 1 की बहुपद Ax³ + Bx² + Cx + D से तुलना करने पर,
A = 1, B = -3, C = 1 तथा D = 1
तब, शून्यकों का योगफल = \(-\frac{B}{A}=-\frac{(-3)}{1}\)
तब, शून्यकों का योगफल = 3
परन्तु शून्यक a – b, a तथा a + b हैं;
अत: a – b + a + a + b = 3
⇒ 3a = 3
⇒ a = 1
और शून्यकों का गुणनफल = \(\frac{-D}{A}=\frac{-1}{1}=-1\)
परन्तु शून्यकों का गुणनफल (a – b) a (a + b) = a(a² – b²)
a(a² – b²) = -1
a = 1 रखने पर,
1(1 – b²) = -1
⇒ 1 – b² = -1
⇒ b² = 2
⇒ b = ±√2
a = 1 और b = ±√2

प्रश्न 4.
यदि बहुपद x⁴ – 6x³ – 26x² + 138x – 35 के दो शून्यक 2 ± √3 हों तो अन्य शून्यक ज्ञात कीजिए।
हल
चूँकि बहुपद 4 घात का है; अत: इसमें अधिकतम चार शून्यक सम्भव हैं जिनमें दो शून्यक 2 + √3 व 2 – √3 ज्ञात हैं।
माना शेष दो शून्यक α व β हैं।
तब, (x – α) (x – β) (x – 2 – √3) (x – 2 + √3) = x⁴ – 6x³ – 26x² + 138x – 35
⇒ (x – α) (x – β) [(x – 2)² – (√3)²] = x⁴ – 6x³ – 26x² + 138x – 35
⇒ (x – α) (x – β) (x² – 4x + 4 – 3) = x⁴ – 6x³ – 26x² + 138x – 35
⇒ (x – α) (x – β) (x² – 4x + 1) = x⁴ – 6x³ – 26x² + 138x – 35

(x – α) (x – β)
= x² – 2x – 35
= x² – (7 – 5)x – 35
= x² – 7x + 5x – 35
= x(x – 7) + 5(x – 7)
= (x – 7) (x + 5)
⇒ (x – α) (x – β) = (x – 7) (x + 5)
α = 7 तथा β = -5
अतः दिए गए बहुपद के दो अन्य शून्यक 7, -5 हैं।

प्रश्न 5.
यदि बहुपद x⁴ – 6x³ + 16x² – 25x + 10 को एक अन्य बहुपद x² – 2x + k से भाग दिया जाए और शेषफल x + a आता हो तो k तथा a ज्ञात कीजिए।
हल
माना भाज्य बहुपद p(x) = x⁴ – 6x³ + 16x² – 25x + 10
भाजक बहुपद g(x) = x² – 2x + k तथा शेषफल r(x) = x + a है।
पुनः माना भागफल बहुपद q(x) है।
तब, यूक्लिड की विभाजन प्रमेय से,
g (x) . q (x) + r(x) = p (x)
⇒ (x² – 2x + k) + (x + a) q (x) = x⁴ – 6x³ + 16x² – 25x + 10
⇒ (x² – 2x + k) q(x) = x⁴ – 6x³ + 16x² – 25x + 10 – x – a
⇒ (x² – 2x + k) q(x) = x⁴ – 6x³ + 16x² – 26x + (10 – a)

भाज्य बहुपद 4 घात का है और भाजक बहुपद दो घात का है; तब q(x) भी 4 – 2 = 2 घात का बहुपद होगा जिसका स्वरूप Ax² + Bx + C के रूप का होगा।
तब, \(\frac{(2 k-10) x+\left(10-a-8 k+k^{2}\right)}{x^{2}-2 x+k}\) शन्य अथवा शन्य घात का होना चाहिए।
यदी \(\frac{(2 k-10) x+\left(10-a-8 k+k^{2}\right)}{x^{2}-2 x+k}=0\) हो तो
(2k – 10)x + (10 – a – 8k + k²) = 0 होना चाहिए।
परन्तु (2k – 10)x + (10 – a – 8k + k²) शून्य घात का है।
2k – 10 = 0 क्योकि x ≠ 0
तब, k = 5
(2k – 10)x + (10 – a – 8k + k²) = 0 में k = 5 रखने पर,
⇒ (2 × 5 – 10) x + [10 – a – 8 × 5 + (5)²] = 0
⇒ 0+ [10 – a – 40 + 25] = 0
⇒ -a – 5 = 0
⇒ -a = 5
⇒ a = -5
अत: a = -5 तथा k = 5

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.3 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.3

Bihar Board Class 10 Maths बहुपद Ex 2.3

प्रश्न 1.
विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके, निम्न में p(x) को g(x) से भाग देने पर भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए-
(i) p(x) = x³ – 3x² + 5x – 3, g(x) = x² – 2
(ii) p(x) = x⁴ – 3x² + 4x + 5, g(x) = x² + 1 – x
(iii) p(x) = x⁴ – 5x + 6, g(x) = 2 – x²
हल
(i) दिया है, p(x) = x³ – 3x² + 5x – 3 तथा g(x) = x – 2
माना भागफल q(x) तथा शेषफल r(x) है।
तब, यूक्लिड की विभाजन एल्गोरिथ्म से,

(ii) दिया है, p(x) = x⁴ – 3x² + 4x + 5
तथा g(x) = x² + 1 – x = x² – x + 1
माना भागफल q(x) तथा शेषफल r(x) है।
तब, यूक्लिड़ की विभाजन एल्गोरिथ्म से,


अत: भागफल q(x) = x² + x – 3 तथा शेषफल r(x) = 8

(iii) दिया है, p(x) = x⁴ – 5x + 6 तथा g(x) = 2 – x² = -x² + 2
माना भागफल q(x) तथा शेषफल r(x) है।
तब, यूक्लिड की विभाजन एल्गोरिथ्म से,


अतः भागफल q(x) = -x² – 2 तथा शेषफल r(x) = -5x + 10

प्रश्न 2.
पहले बहुपद से दूसरे बहुपद को भाग करके, जाँच कीजिए कि क्या प्रथम बहुपद द्वितीय बहुपद का एक गुणनखण्ड है-
(i) t² – 3, 2t⁴ + 3t³ – 2t² – 9t – 12
(ii) x² + 3x + 1, 3x⁴ + 5x³ – 7x² + 2x + 2
(iii) x³ – 3x + 1, x⁵ – 4x³ + x² + 3x + 1
हल
(i) माना t² – 3 = g(t) तथा 2t⁴ + 3t³ – 2t² – 9t – 12 = p(t)
यदि भागफल q(t) तथा शेषफल r(t) हो
तब, यूक्लिड की विभाजन प्रमेय से,
p(t) = g(t) . q(t) + r(t)


शेषफल r(t) = 0 अत: t² – 3, 2t⁴ + 3t³ – 2t² – 9t – 12 का एक गुणनखण्ड है।

(ii) माना x² + 3x + 1 = g(x) तथा 3x⁴ + 5x³ – 7x² + 2x + 2 = p(x)
यदि भागफल q(x) तथा शेषफल r(x) हो तब यूक्लिड की विभाजन प्रमेय से,


शेषफल r(x) = 0
अत: x² + 3x + 1, 3x⁴ + 5x³ – 7x² + 2x + 2 का एक गुणनखण्ड है।

(iii) माना x³ – 3x + 1 = g (x) तथा x⁵ – 4x³ + x² + 3x + 1 = p(x)
यदि भागफल q(x) तथा शेषफल r(x) हो तब, यूक्लिड की विभाजन प्रमेय से,


शेषफल r(x) = 29x – 9 ≠ 0
अत: x³ – 3x + 1, x⁵ – 4x³ + x² + 3x + 1 का गुणनखण्ड नहीं है।

प्रश्न 3.
3x⁴ + 6x³ – 2x² – 10x – 5 के अन्य सभी शून्यक ज्ञात कीजिए, यदि इसके दो शून्यक \(\sqrt{\frac{5}{3}}\) और –\(\sqrt{\frac{5}{3}}\) हैं।
हल
बहुपद 3x⁴ + 6x³ – 2x² – 10x – 5 के दो शून्यक \(\sqrt{\frac{5}{3}}\) व –\(\sqrt{\frac{5}{3}}\) हैं और माना शेष दो शून्यक α व β हैं।

प्रश्न 4.
यदि x³ – 3x² + x + 2 को एक बहुपद g(x) से भाग देने पर, भागफल और शेषफल क्रमशः x – 2 और -2x + 4 हैं तो g(x) ज्ञात कीजिए।
हल
बहुपद x³ – 3x² + x + 2 = p(x), भाजक = g(x)
भागफल q(x) = (x – 2) तथा शेषफल r(x) = -2x + 4
तब, यूक्लिड की विभाजन प्रमेय से,

प्रश्न 5.
बहुपदों p(x), g(x), q(x) और r(x) के ऐसे उदाहरण दीजिए जो विभाजन एल्गोरिथ्म को सन्तुष्ट करते हों तथा
(i) घात p(x) = घात q(x)
(ii) घात q(x) = घात r(x)
(iii) घात r(x) = 0
हल
(i) p(x) व q(x) ऐसे चाहिए कि p(x) की घात = q(x) की घात
तब, p(x) की घात = g(x) की घात . q (x) की घात
⇒ g(x) की घात शून्य होनी चाहिए।
तब, माना p(x) = 2x³ + 5x² + 7x + 16 और q(x) = x³
g(x) = 2 तथा r(x) = 5x² + 7x + 16

(ii) घात q(x) = घात r(x)
p(x) = g(x) . q(x) + r(x)
p(x) की घात, g(x) की घात व q(x) की घात के योग के बराबर होना चाहिए।
माना q(x) = ax + b
तथा g(x) = cx² + dx + e
तब, p(x) घात 3 का व्यंजक होना चाहिए।
p(x) = x³ + x² + x + 1 तथा g(x) = x² – 1


⇒ q(x) = (x + 1) तथा r(x) = 2x + 2
अत: p(x) = x³ + x² + x + 1, q(x) = (x + 1), g(x) = x² – 1 तथा r(x) = 2x + 2

(iii) घात r(x) = 0
माना p(x) = x³ + 2 तथा g(x) = x² – x + 1
x³ + 2 में x² – x + 1 से भाग देने पर,
q(x) = (x + 1) तथा r(x) = 1
अत: p(x) = x³ + 2, q(x) = (x + 1), g(x) = x² – x + 1 तथा r(x) = 1

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.1 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.1

Bihar Board Class 10 Maths बहुपद Ex 2.1

प्रश्न 1.
किसी बहुपद p(x) के लिए, y = p(x) का ग्राफ नीचे आकृतियों में दिया है। प्रत्येक स्थिति में, p(x) के शून्यकों की संख्या ज्ञात कीजिए।

हल
दिया गया बहुपद = p(x)
(i) बहुपद p(x) के लिए शून्यकों की संख्या 0 है क्योंकि बहुपद का ज्यामितीय आलेख X-अक्ष को प्रतिच्छेदित नहीं करता।
(ii) बहुपद p(x) के लिए शून्यकों की संख्या 1 है क्योंकि बहुपद का ज्यामितीय आलेख X-अक्ष को केवल एक स्थान पर काटता है।
(iii) बहुपद p(x) के लिए शून्यकों की संख्या 3 है क्योंकि बहुपद का ज्यामितीय आलेख X-अक्ष को तीन बिन्दुओं पर काटता है।
(iv) बहुपद p(x) के लिए शून्यकों की संख्या 2 है क्योंकि बहुपद का ज्यामितीय आलेख X-अक्ष को दो बिन्दुओं पर काटता है।
(v) बहुपंद p(x) के लिए शून्यकों की संख्या 4 है क्योंकि बहुपद का ज्यामितीय आलेख X-अक्ष को चार बिन्दुओं पर काटता है।
(vi) बहुपद p(x) के लिए शून्यकों की संख्या 3 है क्योंकि बहुपद का ज्यामितीय आलेख X-अक्ष को तीन बिन्दुओं पर काटता है।

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Additional Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Additional Questions

Bihar Board Class 10 Maths वास्तविक संख्याएँ Additional Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
किसी पूर्णांक m के लिए, प्रत्येक सम पूर्णांक निम्नलिखित रूप का होता है-
(i) m
(ii) m + 1
(iii) 2m
(iv) 2m + 1
हल
(iii) 2m

प्रश्न 2.
किसी पूर्णांक q के लिए, प्रत्येक विषम पूर्णांक निम्नलिखित रूप का होता है
(i) q
(ii) q + 1
(iii) 2q
(iv) 2q + 1
हल
(iv) 2q + 1

प्रश्न 3.
संख्या n² – 1, 8 से विभाज्य होती है, यदि n है एक
(i) पूर्णांक
(ii) प्राकृत संख्या
(iii) विषम संख्या
(iv) सम संख्या
हल
(iii) विषम संख्या

प्रश्न 4.
यदि 65 और 117 के H.C.F. को 65m – 117 के रूप में व्यक्त किया जा सके तो m का मान है
(i) 4
(ii) 2
(iii) 1
(iv) 3
हल
(ii) 2

प्रश्न 5.
वह सबसे बड़ी संख्या, जिससे 70 और 125 को विभाजित करने पर क्रमशः शेषफल 5 और 8 प्राप्त हों, है
(i) 13
(ii) 65
(iii) 875
(iv) 1750
हल
(i) 13

प्रश्न 6.
यदि दो धनात्मक पूर्णांकों a और b को a = x³y² और b = xy³ के रूप में व्यक्त किया जाए, जहाँ x और y अभाज्य संख्याएँ हैं, तो H.C.F. (a, b) है।
(i) xy
(ii) xy²
(iii) x³y³
(iv) x²y²
हल
(ii) xy²

प्रश्न 7.
यदि दो धनात्मक पूर्णांकों p और q को p = ab² और q = a³b के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ a और b अभाज्य संख्याएँ हैं, तो L.C.M. (p, 4) है
(i) ab
(ii) a²b²
(iii) a³b²
(iv) a³b³
हल
(iii) a³b²

प्रश्न 8.
एक शून्येतर परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का गुणनफल होता है
(i) सदैव अपरिमेय संख्या
(ii) सदैव परिमेय संख्या
(iii) परिमेय या अपिरमेय संख्या
(iv) एक
हल
(i) सदैव अपरिमेय संख्या

प्रश्न 9.
1 से 10 तक की संख्याओं (दोनों सम्मिलित हैं) में से सभी संख्याओं से विभाज्य न्यूनतम संख्या है
(i) 10
(ii) 100
(iii) 504
(iv) 2520
हल
(iv) 2520

प्रश्न 10.
परिमेय संख्या \(\frac{14587}{1250}\) का दशमलव प्रसार निम्नलिखित किन दशमलव स्थानों के बाद समाप्त हो जाएगा
(i) एक
(ii) दो
(iii) तीन
(iv) चार
हल
(iv) चार

अतिलघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
संख्या 200 को 2ⁿ . 5^m के रूप में व्यक्त कीजिए।
हल
200 = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 = 2³ . 5²

प्रश्न 2.
संख्या 500 को 2ⁿ . 5^m के रूप में व्यक्त कीजिए।
हल
500 = 2 × 2 × 5 × 5 × 5 = 2² . 5³

प्रश्न 3.
अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा संख्या 408 और 96 का म० स० ज्ञात कीजिए और फिर इनका ल० स० ज्ञात कीजिए।
हल
408 = 2³ × 3 × 17
96 = 2⁵ × 3
उक्त संख्याओं के उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखण्डों का (न्यूनतम घातों में)
गुणनफल अर्थात् म० स० = 2³ × 3¹ = 24
उक्त संख्याओं के सभी अभाज्य गुणनखण्डों का (अधिकतम घातों में)
गुणनफल अर्थात् ल० स० = 2⁵ × 3 × 17 = 96 × 17 = 1632

प्रश्न 4.
संख्या 72 और 120 का अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा म० स० ज्ञात कीजिए फिर इनका ल० स० ज्ञात कीजिए।
हल
72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2³ × 3²
120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 2³ × 3 × 5
म०स० = 2³ × 3 = 24
तथा ल० स० = 2³ × 3² × 5 = 8 × 9 × 5 = 360

प्रश्न 5.
x = \(\frac {p}{q}\) एक ऐसी परिमेय संख्या है कि का अभाज्य गुणनखण्डन 2ⁿ 5^m के रूप का नहीं है,जहाँ n तथा m ऋणेत्तर पूर्णांक हैं बताइए कि x का दशमलव प्रसार सांत है या असांत आवर्ती?
हल
असांत आवर्ती।

प्रश्न 6.
यदि 1261 तथा 1067 का H.C.F. 97 है तो इनका L.C.M. ज्ञात कीजिए।
हल
पहली संख्या × दूसरी संख्या = H.C.F. × L.C.M.
1261 × 1067 = 97 × L.C.M.
L.C.M. = \(\frac{1261 \times 1067}{97}\) = 13 × 1067 = 13871

प्रश्न 7.
\(\frac{147}{2^{3} \times 5^{2}}\) का दशमलव प्रसार सांत है या असांत आवर्ती? बिना लम्बी विभाजन प्रक्रिया के बताइए।
हल
\(\frac{147}{2^{3} \times 5^{2}}\) के हर में केवल अभाज्य गुणांक 2 व 5 हैं।
अतः \(\frac{147}{2^{3} \times 5^{2}}\) का दशमलव प्रसार सांत है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 8.
बिना लम्बी विभाजन प्रक्रिया किए दिखाइए कि \(\frac{7}{80}\) का दशमलव प्रसार सांत है।
हल
दी गई भिन्न के हर के गुणनखण्ड करने पर,
\(\frac{7}{80}=\frac{7}{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5}=\frac{7}{2^{4} \times 5}\)
हम देखते हैं कि हर के गुणनखण्डों में 2 और 5 के अतिरिक्त अन्य कोई दूसरा गुणनखण्ड नहीं है।
अत: \(\frac{7}{80}\) का दशमलव प्रसार सांत है।

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
दिखाइए कि 5 + √2 एक अपरिमेय संख्या है।
हल
कल्पना कीजिए कि संख्या 5 + √2 परिमेय संख्या है।
तब, 5 + √2 = \(\frac{p}{q}\) होना चाहिए [∵ p और q पूर्णांक हैं तथा q ≠ 0]
5 + √2 = \(\frac{p}{q}\)
√2 = \(\frac{p}{q}\) – 5
\(\frac{p}{q}\) परिमेय है; अत: (\(\frac{p}{q}\) – 5) भी परिमेय होगी।
(\(\frac{p}{q}\) – 5) = √2 तथा (\(\frac{p}{q}\) – 5) परिमेय है।
√2 भी परिमेय संख्या है।
परन्तु यह तथ्य कि “√2 परिमेय संख्या है” असंगत एवं त्रुटिपूर्ण तथा अमान्य है जिसके लिए हमारे द्वारा की गई कल्पना ही गलत है।
संख्या 5 + √2 परिमेय नहीं हो सकती।
अत: संख्या 5 + √2 एक अपरिमेय संख्या होगी।
इति सिद्धम्

प्रश्न 2.
798 को अभाज्य गुणनखण्डों के गणनफल के रूप में लिखिए।
हल
798 में इकाई का अंक 2 से विभाज्य है।
798, 2 से विभाज्य है
798 = 2 × 399
पुनः 399 में 3 + 9 + 9 = 21 जो 3 से विभाज्य है
399, 3 से विभाज्य है ⇒ 399 = 3 × 133
133 = 7 × 19
⇒ 2, 3, 7 व 19 संख्या 798 के अभाज्य गुणनखण्ड हैं
अतः 798 = 2 × 3 × 7 × 19

प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए कि √3 एक अपरिमेय संख्या है।
हल
मान लें कि √3 एक परिमेय संख्या है।
अर्थात् हम ऐसे दो पूर्णांक a और b (≠ 0) प्राप्त कर सकते हैं कि √3 = \(\frac{a}{b}\) है।
यदि a और b में, 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखण्ड हो तो हम उस उभयनिष्ठ गुणनखण्ड से भाग देकर a और b को सहअभाज्य बना सकते हैं।
अतः b√3 = a
दोनों पक्षों का वर्ग करने तथा पुनर्व्यवस्थित करने पर हमें 3b² = a² प्राप्त होता है।
अत: a², 3 से विभाजित है। इसलिए 3, a को भी विभाजित करेगा।
अतः हम a = 3c रख सकते हैं।
तब, 3b² = a²
3b² = (3c)² या b² = 3c²
इससे स्पष्ट है कि 3, b² को विभाजित करता है; अत: 3, b को भी विभाजित करेगा।
इसका यह अर्थ हुआ कि 3, a तथा b दोनों का एक उभयनिष्ठ गुणनखण्ड है।
परन्तु यह तथ्य हमारी प्रारम्भिक परिकल्पना कि a तथा b परस्पर अभाज्य पूर्णांक हैं के विपरीत है।
यह विरोधाभास हमें इस कारण प्राप्त हुआ है, क्योंकि हमने एक त्रुटिपूर्ण कल्पना कर ली है कि √3 एक परिमेय संख्या है।
इसका यह अर्थ हुआ कि √3 एक परिमेय संख्या नहीं है बल्कि एक अपरिमेय संख्या है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 4.
यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके 275, 225 व 175 का H.C.F. ज्ञात कीजिए।
हल
175 तथा 225 के लिए :
Step I. 225 = 175 × 1 + 50
Step II. 175 = 50 × 3 + 25
Step III. 50 = 25 × 2 + 0
अत: 225 व 175 का H.C.F. = 25 है।

225 तथा 175 के लिए :
Step IV. 275 = 175 × 1 + 100
Step V. 175 = 100 × 1 + 75
Step VI. 100 = 75 × 1 + 25
Step VII. 75 = 25 × 3 + 0
अत: 275 व 175 का H.C.F. = 25 है।
अत: 275, 225 व 175 का H.C.F. = 25

प्रश्न 5.
दर्शाइए कि 3 – √5 एक अपरिमेय संख्या है।
हल
मान लें कि 3 – √5 एक परिमेय संख्या है।
अर्थात् हम ऐसी सहअभाज्य संख्याएँ a और b (b ≠ 0) ज्ञात कर सकते हैं कि 3 – √5 = \(\frac{a}{b}\) हो।
अतः 3 – \(\frac{a}{b}\) = √5 है।
इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर हमें प्राप्त होता है :
√5 = 3 – \(\frac{a}{b}\)
चूँकि a और b पूर्णांक हैं, इसलिए 3 – \(\frac{a}{b}\) एक परिमेय संख्या है अर्थात् अत: √5 भी एक परिमेय संख्या है।
जो कि गलत है, चूँकि हम जानते हैं कि √5 एक अपरिमेय संख्या है।
अतः हमारी कल्पना कि 3 – √5 एक परिमेय संख्या है, गलत है।
अत: 3 – √5 एक अपरिमेय संख्या है।
इति सिद्धम्

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
यूक्लिड की विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके निम्नलिखित संख्या युग्मों का महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) ज्ञात कीजिए :
(i) 657 तथा 306
(ii) 867 तथा 204
हल
(i) दी गई संख्याएँ = 657 तथा 306
657 > 306
Step I. दी गई संख्याओं 657 और 306 के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के प्रयोग से,
657 = (306 × 2) + 45 [∵ शेषफल 45 ≠ 0]
Step II. संख्याओं 306 और 45 के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के प्रयोग से,
306 = (45 × 6) + 36 [∵ शेषफल 36 ≠ 0]
Step III. संख्याओं 36 और 45 के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के प्रयोग से,
45 = (36 × 1) + 9 [∵ शेषफल 9 ≠ 0]
Step IV. संख्याओं 9 और 36 के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के प्रयोग से,
36 = (9 × 4) + 0 [∵ शेषफल = 0]
शेषफल शून्य है और भाजक = 9
अत: महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) = 9

(ii) दी गई संख्याएँ = 867 तथा 204
867 > 204
Step I. दी गई संख्याओं 867 और 204 के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के प्रयोग से,
867 = (204 × 4) + 51 [∵ शेषफल 51 ≠ 0]
Step II. संख्याओं 204 व 51 के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के प्रयोग से,
204 = (51 × 4) + 0 [∵ शेषफल = 0]
शेषफल शून्य है और भाजक = 51
अत: महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) = 51

प्रश्न 2.
4052 और 12576 का H.C.F. यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके ज्ञात कीजिए।
हल
दी गई संख्याएँ 4052 और 12576 हैं।
12576 > 4052
तब,
Step I. दी गई संख्याओं 4052 व 12576 के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से,
12576 = 3 × 4052 + 420 [∵ शेषफल 420 ≠ 0]
Step II. संख्याओं 420 व 4052 के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से,
4052 = 9 × 420 + 272 [∵ शेषफल 272 ≠ 0]
Step III. संख्याओं 272 व 420 के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से,
420 = 1 × 272 + 148 [∵ शेषफल 148 ≠ 0]
Step IV. संख्याओं 148 व 272 के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से,
272 = 1 × 148 + 124 [∵ शेषफल 124 ≠ 0]
Step V. संख्याओं 124 व 148 के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से,
148 = 1 × 124 + 24 [∵ शेषफल 24 ≠ 0]
Step VI. संख्याओं 24 व 124 के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से,
124 = 5 × 24 + 4 [∵ शेषफल 4 ≠ 0]
Step VII. संख्याओं 4 व 24 के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से,
24 = 6 × 4 + 0 [∵ शेषफल = 0]
यहाँ शेषफल शून्य और भाजक 4 है।
अतः दी गई संख्याओं 4052 व 12576 का H.C.F. = 4

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.4 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.4

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प्रश्न 1.
बिना लम्बी विभाजन प्रक्रिया किए बताइए कि निम्नलिखित परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार सांत हैं या असांत आवर्ती हैं-

हल

प्रश्न 2.
प्रश्न (1) में दी गई उन परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसारों को लिखिए जो सांत हैं-
हल
सांत दशमलव प्रसार वाली परिमेय संख्याएँ-

प्रश्न 3.
कुछ वास्तविक संख्याओं के दशमलव प्रसार नीचे दर्शाए गए हैं। प्रत्येक स्थिति के लिए निर्धारित कीजिए कि यह संख्या परिमेय संख्या है या नहीं। यदि यह परिमेय संख्या है और के रूप की है तो के अभाज्य गुणनखण्डों के बारे में आप क्या कह सकते हैं?
(i) 43.123456789
(ii) 0.120120012000120000……..
(iii) \(43 . \overline{123456789}\)
हल
(i) 43.123456789 = \(\frac{43123456789}{1000000000}\) जो कि \(\frac{p}{q}\) के रूप की है।
अत: 43.123456789 एक परिमेय संख्या है।
q = 1000000000 = (10)9 = (2 × 5)9 = 29 × 59
अत: के अभाज्य गुणनखण्ड 2 या 5 या दोनों हैं।

(ii) 0.120120012000120000…….. का दशमलव प्रसार असांत एवं अनावर्ती है और इसे \(\frac{p}{q}\) के रूप में नहीं लिखा जा सकता जिससे यह परिमेय नहीं है।

(iii) \(43 . \overline{123456789}\) = 43.123456789 123456789 123456789……..
दी गई संख्या का दशमलव प्रसार असांत एवं आवर्ती है
दी गई संख्या को परिमेय अर्थात् \(\frac{p}{q}\) के रूप में बदलना सम्भव है।
तब, q के अभाज्य गुणनखण्ड 2 और 5 के अतिरिक्त और भी अभाज्य धन पूर्णांक सम्भव हैं।
अतः दी गई संख्या परिमेय है और q के अभाज्य गुणनखण्ड 2 अथवा 5 के अतिरिक्त भी हैं।

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.3 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.3

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प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि √5 एक अपरिमेय संख्या है।
हल
कल्पना कीजिए कि √5 अपरिमेय न होकर एक परिमेय संख्या है।
तब, √5 = \(\frac{p}{q}\) होना चाहिए जबकि q ≠ 0 तथा p व q पूर्ण संख्याएँ हैं।
माना p और q में 1 के अतिरिक्त कोई अभाज्य गुणनखण्ड सार्वनिष्ठ नहीं है।
अब, √5 = \(\frac{p}{q}\)
p = √5q
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, p² = 5q²
p², संख्या 5 से विभाज्य है।
p भी संख्या 5 से विभाज्य है।
अब, p, 5 से विभाज्य है, तब माना कि p = 5r
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, p² = 25r²
परन्तु हमें यह भी ज्ञात है कि p² = 5q²
5q² = 25r² ⇒ q² = 5r²
तब, q², 5 से विभाज्य होगा।
तब, q भी 5 से विभाज्य होगा।
p भी 5 से विभाज्य है और q भी 5 से विभाज्य है।
5, p और q का सार्वनिष्ठ अभाज्य गुणनखण्ड है (जो 1 के अतिरिक्त है)।
यह एक विरोधाभास है क्योंकि हमारी मान्यता के अनुसार p और में (1 के अतिरिक्त) कोई अभाज्य गुणनखण्ड सार्वनिष्ठ नहीं है।
यह संकेत करता है कि हमारी कल्पना “√5 परिमेय संख्या है” असंगत एवं त्रुटिपूर्ण है।
अत: √5 एक अपरिमेय संख्या है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए कि 3 + 2√5 एक अपरिमेय संख्या है।
हल
माना 3 + 2√5 अपरिमेय नहीं, परिमेय संख्या है।
तब, 3 + 2√5 = \(\frac{p}{q}\) होना चाहिए जबकि q ≠ 0 और p तथा q धन पूर्णांक हैं।

√5 भी एक परिमेय संख्या है परन्तु यह सर्वमान्य तथ्य है कि √5 परिमेय नहीं, अपरिमेय संख्या है। तब यहाँ विरोधाभास है।
इस विरोधाभास का कारण हमारी कल्पना “3 + 2√5 को परिमेय मानना” ही है।
इसलिए 3 + 2√5 परिमेय नहीं है।
अत: दी गई संख्या 3 + 2√5 अपरिमेय संख्या है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित संख्याएँ अपरिमेय हैं
(i) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
(ii) 7√5
(iii) 6 + √2
हल
(i) माना दी गई संख्या \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) परिमेय है।
\(\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{p}{q}\) (जहाँ q ≠ 0 और p तथा q धन पूर्णांक हैं)
माना p तथा q में 1 के अतिरिक्त कोई सार्वनिष्ठ अभाज्य गुणनखण्ड नहीं है।
\(\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{p}{q} \quad \Rightarrow \quad \frac{p^{2}}{q^{2}}=\frac{1}{2}\)
⇒ q² = 2p² ……. (1)
q², 2 से विभाज्य है।
q भी 2 से विभाज्य है।
तब, माना q = 2r
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर
q² = 4r² ……… (2)
समी० (1) और (2) से,
2p² = 4r²
⇒ p² = 2r²
p², संख्या 2 से विभाज्य है।
p भी 2 से विभाज्य है।
तब, p तथा व दोनों 2 से विभाज्य हैं।
p तथा 4 में 1 के अतिरिक्त अभाज्य गुणनखण्ड 2 भी सार्वनिष्ठ है जो कि हमारी मान्यता के विपरीत है।
इस विरोधाभास का कारण हमारी मान्यता कि “\(\frac{1}{\sqrt{2}}\) = परिमेय है” का असंगत एवं त्रुटिपूर्ण होना है।
\(\frac{1}{\sqrt{2}}\) परिमेय नहीं है।
अत: \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) अपरिमेय संख्या है।
इति सिद्धम्

(ii) कल्पना कीजिए कि संख्या 7√5 परिमेय है।
तब, 7√5 = \(\frac{p}{q}\) (जहाँ q ≠ 0 और p तथा q धन पूर्णांक हैं)
\(\frac{p}{q}\) = 7√5 या \(\frac{1}{7} \cdot \frac{p}{q}=\sqrt{5}\)
\(\frac{p}{q}\) परिमेय संख्या है तो \(\frac{1}{7} \cdot \frac{p}{q}\) भी परिमेय संख्या होगी।
अब, \(\frac{1}{7} \cdot \frac{p}{q}\) परिमेय संख्या है और \(\frac{1}{7} \cdot \frac{p}{q}\) = √5
तब, √5 भी परिमेय संख्या होनी चाहिए।
परन्तु यह तथ्य सर्वमान्य है कि √5 परिमेय संख्या नहीं है। यहाँ एक विरोधाभास है जिसका कारण हमारी मान्यता कि “संख्या 7√5 परिमेय है” ही है जो असंगत और त्रुटिपूर्ण है।
अत: 7√5 एक अपरिमेय संख्या है।
इति सिद्धम्

(iii) कल्पना कीजिए कि संख्या 6 + √2 परिमेय है।
तब, 6 + √2 = \(\frac{p}{q}\) (जहाँ q ≠ 0 तथा p तथा q धन पूर्णांक हैं)
6 + √2 = \(\frac{p}{q}\)
√2 = \(\frac{p}{q}\) – 6
\(\frac{p}{q}\) परिमेय है; अतः (\(\frac{p}{q}\) – 6) भी परिमेय होगी।
(\(\frac{p}{q}\) – 6) = √2 तथा (\(\frac{p}{q}\) – 6) परिमेय है।
√2 भी परिमेय संख्या है।
परन्तु यह तथ्य कि “√2 परिमेय संख्या है” असंगत एवं त्रुटिपूर्ण तथा अमान्य है जिसके लिए हमारे द्वारा की गई गलत कल्पना ही उत्तरदायी है। संख्या 6 + √2 परिमेय नहीं हो सकती।
अतः संख्या 6 + √2 अपरिमेय होगी।
इति सिद्धम्

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.2 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.2

Bihar Board Class 10 Maths वास्तविक संख्याएँ Ex 1.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित संख्याओं को अभाज्य गुणनखण्डों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए-
(i) 140
(ii) 156
(iii) 3825
(iv) 5005
(v) 7429
हल
(i) 140 = 2 × 2 × 5 × 7 = (2)² × 5 × 7
अत: 140 = 2² × 5 × 7

(ii) 156 = 2 × 2 × 3 × 13 = (2)² × 3 × 13
अत: 156 = 2² × 3 × 13

(iii) 3825 = 3 × 3 × 5 × 5 × 17 = (3)² × (5)² × 17
अतः 3825 = 3² × 5² × 17

(iv) 5005 = 5 × 7 × 11 × 13
अतः 5005 = 5 × 7 × 11 × 13

(v) 7429 = 17 × 19 × 23
अतः 7429 = 17 × 19 × 23

प्रश्न 2.
पूर्णांकों के निम्नलिखित युग्मों के महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) और लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.) ज्ञात कीजिए तथा इसकी जाँच कीजिए कि दो संख्याओं का गुणनफल = H.C.F. × L.C.M. है।
(i) 26 और 91
(ii) 510 और 92
(iii) 336 और 54
हल
(i) 26 = 2¹ × 13¹
और 91 = 7¹ × 13¹
26 और 91 के उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखण्डों का (न्यूनतम घातों में) गुणनफल = 13¹ = 13
तथा 26 और 91 के सभी अभाज्य गुणनखण्डों का (अधिकतम घातों में)
गुणनफल = 2¹ × 7¹ × 13¹ = 2 × 7 × 13 = 182
अतः महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) = 13 तथा लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.) = 182
संख्याओं का गुणनफल = 26 × 91 = 2366
तथा H.C.F. × L.C.M. = 13 × 182 = 2366
अत: संख्याओं का गुणनफल = H.C.F. × L.C.M.
इति सिद्धम्

(ii) 92 = 2 × 2 × 23 = 2² × 23¹
और 510 = 2 × 3 × 5 × 17 = 2¹ × 3¹ × 5¹ × 17¹

92 और 510 के उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखण्डों का (न्यूनतम घातों में)
गुणनफल = 2¹ = 2
तथा 92 और 510 के सभी अभाज्य गुणनखण्डों का (अधिकतम घातों में) गुणनफल
= 2² × 3¹ × 5¹ × 17¹ × 23¹
= 23460
अत: महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) = 2
तथा लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.) = 23460
संख्याओं का गुणनफल = 92 × 510 = 46920
तथा H.C.F. × L.C.M. = 2 × 23460 = 46920
अत: संख्याओं का गुणनफल = H.C.F. × L.C.M.
इति सिद्धम्

(iii) 54 = 2 × 3 × 3 × 3 = 2¹ × 3³
और 336 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 7 = 2⁴ × 3¹ × 7¹
तब, दोनों संख्याओं के उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखण्डों का (न्यूनतम घातों में) गुणनफल = 2¹ × 3¹ = 6
तथा दोनों संख्याओं के सभी अभाज्य गुणनखण्डों का (अधिकतम घातों में) गुणनफल
= 2⁴ × 3³ × 7
= 16 × 27 × 7
= 3024
अत: महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) = 6
तथा लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.) = 3024
संख्याओं का गुणनफल = 54 × 336 =18144
तथा H.C.F. × L.C.M. = 6 × 3024 = 18144
अत: संख्याओं का गुणनफल = H.C.F. × L.C.M.
इति सिद्धम्

प्रश्न 3.
अभाज्य गुणनखण्डन विधि द्वारा निम्नलिखित पूर्णांकों के H.C.F. और L.C.M. ज्ञात कीजिए :
(i) 12, 15 और 21
(ii) 17, 23 और 29
(iii) 8, 9 और 25
हल
(i) 12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3¹
15 = 3 × 5 = 3¹ × 5¹
और 21 = 3 × 7 = 3¹ × 7¹
संख्याओं के सार्वनिष्ठ अभाज्य गुणनखण्डों का (न्यूनतम घातों में) गुणनफल = 3¹ = 3
तथा संख्याओं के सभी अभाज्य गुणनखण्डों का (अधिकतम घातों में) गुणनफल
= 2² × 3¹ × 5¹ × 7¹
= 4 × 3 × 5 × 7
= 420
अतः म० स० (H.C.F.) = 3
तथा ल० स० (L.C.M.) = 420

(ii) 17 = 1 × 17 = 1 × 17¹
23 = 1 × 23 = 1 × 23¹
और 29 = 1 × 29 = 1 × 29¹
सभी संख्याओं के सार्वनिष्ठ अभाज्य गुणनखण्डों का (न्यूनतम घातों में) गुणनफल = 1
तथा सभी संख्याओं के सभी अभाज्य गुणनखण्डों का (अधिकतम घातों में) गुणनफल
= 17¹ × 23¹ × 29¹
= 17 × 23 × 29
= 11339
अत: म० स० (H.C.F.) = 1
तथा ल० स० (L.C.M.) = 11339

(iii) 8 = 2 × 2 × 2 = 2³
9 = 3 × 3 = 3²
और 25 = 5 × 5 = 5²
1 के अतिरिक्त सभी संख्याओं का कोई सार्वनिष्ठ अभाज्य गुणनखण्ड नहीं है जिससे म० स० = 1
और ल० स० = 2³ × 3² × 5²
= 8 × 9 × 25
= 1800
अत: म० स० (H.C.F.) = 1
तथा ल० स० (L.C.M.) = 1800

प्रश्न 4.
H.C.F. (306, 657) = 9 दिया है। L.C.M. (306, 657) ज्ञात कीजिए।
हल
दिया है, H.C.F. (306, 657) = 9 ⇒ 306 और 657 का H.C.F. = 9
सूत्र- संख्याओं का गुणनफल = H.C.F. × L.C.M. से,
306 × 657 = 9 × L.C.M.
L.C.M. = \(\frac{306 \times 657}{9}\)
= 306 × 73
= 22338
अत: L.C.M. = 22338

प्रश्न 5.
जाँच कीजिए कि क्या किसी प्राकृत संख्या n के लिए 6ⁿ अंक 0 पर समाप्त हो सकती है?
हल
यदि 6ⁿ (जहाँ, n एक प्राकृत संख्या है) का मान एक ऐसी संख्या है जिसमें इकाई का अंक शून्य है तो 6ⁿ, 5 से विभाज्य होगा।
6ⁿ = (2 × 3)ⁿ जिसका आशय है कि 6ⁿ के अभाज्य गुणनखण्डों में 2 या 3 के अतिरिक्त कोई अन्य अभाज्य गुणनखण्ड नहीं है।
6ⁿ का कोई गुणनखण्ड 5 नहीं हो सकता।
अत: 6ⁿ, अंक शून्य पर समाप्त नहीं हो सकती।

प्रश्न 6.
व्याख्या कीजिए कि 7 × 11 × 13 + 13 और 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 भाज्य संख्याएँ क्यों हैं?
हल
7 × 11 × 13 + 13 = 1001 + 13 = 1014 = 2 × 3 × 13 × 13

दी हुई संख्या (7 × 11 × 13 + 13) को अभाज्य गुणनखण्डों के गुणनफल (2 × 3 × 13 × 13) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
अतः अंकगणित की आधारभूत प्रमेय के अनुसार (7 × 11 × 13 + 13) एक भाज्य संख्या है।
इसी प्रकार, 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 = 5040 + 5 = 5045 = 5 × 1009

दी गई संख्या (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5) को 5 × 1009
अभाज्य गुणनखण्डों के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है।
अत: संख्या (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5) अंकगणित की आधारभूत प्रमेय के अनुसार भाज्य है।

प्रश्न 7.
किसी खेल के मैदान के चारों ओर एक वृत्ताकार पथ है। इस मैदान का एक चक्कर लगाने में सोनिया को 18 मिनट लगते हैं, जबकि इसी मैदान का एक चक्कर लगाने में रवि को 12 मिनट लगते हैं। मान लीजिए कि वे दोनों एक ही स्थान और एक ही समय पर चलना प्रारम्भ करके एक ही दिशा में चलते हैं। कितने समय बाद वे पुनः प्रारम्भिक स्थान पर मिलेंगे?
हल
सोनिया और रवि जिस स्थान से चले थे उसी स्थान पर पुनः मिलने के लिए उन्हें वह समय चाहिए जो 12 मिनट और 18 मिनट दोनों समयों का एक ही गुणज हो और न्यूनतम हो। इसके लिए हमें 12 और 18 का लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.) ज्ञात करना होगा।
12 = 2 × 2 × 3 = (2)² × 3 तथा 18 = 2 × 3 × 3 = 2 × (3)²
दोनों संख्याओं में अभाज्य गुणनखण्ड 2 की अधिकतम घात का अभाज्य गुणनखण्ड = (2)²
और दोनों संख्याओं में अभाज्य गुणनखण्ड 3 की अधिकतम घात का अभाज्य गुणनखण्ड = (3)²
लघत्तम समापवर्त्य (L.C.M.) = (2)² × (3)² = 4 × 9 = 36
अतः वे 36 मिनट बाद पुनः प्रारम्भिक स्थान पर मिलेंगे।

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.1 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.1

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प्रश्न 1.
निम्नलिखित संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) ज्ञात करने के लिए यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कीजिए :
(i) 135 और 225
(ii) 196 और 38220
(iii) 867 और 255
हल
(i) दी गई संख्याएँ = 135 और 225
225 > 135

Step I. दी गई संख्याओं 225 और 135 के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के प्रयोग से,
225 = (135 × 1) + 90 [∵ शेषफल 90 ≠ 0]
Step II. संख्याओं 135 और 90 के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के प्रयोग से,
135 = (90 × 1) + 45 [∵ शेषफल 45 ≠ 0]
Step III. संख्याओं 90 और 45 के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के प्रयोग से,
90 = (45 × 2) + 0 [∵ शेषफल = 0]
शेषफल शून्य है और भाजक = 45
अत: महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) = 45

(ii) दी गई संख्याएँ = 196 और 38220
38220 > 196

Step I. दी गई संख्याओं 196 व 38220 के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से,
38220 = (196 × 195) + 0 [∵ शेषफल = 0]
शेषफल शून्य है और भाजक = 196
अत: महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) = 196

(iii) दी गई संख्याएँ = 867 और 255
867 > 255

Step I. दी गई संख्याओं 867 और 255 के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से,
867 = (255 × 3) + 102 [∵ शेषफल 102 ≠ 0]
Step II. संख्याओं 255 व 102 के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से,
255 = (102 × 2) + 51 [∵ शेषफल 51 ≠ 0]
Step III. संख्याओं 102 व 51 के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से,
102 = (51 × 2) + 0 [∵ शेषफल = 0]
शेषफल शून्य है और भाजक = 51
अत: महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) = 51

प्रश्न 2.
दर्शाइए कि कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q + 1 या 6q + 3 या 6q + 5 के रूप का होता है, जहाँ कोई पूर्णांक है।
हल
माना a एक विषम धन पूर्णांक है जो 6 से बड़ा है
और b एक धन पूर्णांक इस प्रकार है कि b = 6
तब, यूक्लिड की विभाजन प्रमेयिका से,
a = bq + r
a = 6q + r [∵ b = 6]
तब, r का मान 6 से कम होना चाहिए।
तब, r के सम्भव मान = 0, 1, 2, 3, 4, 5
तब, a = 6q + 0
a = 6q + 1
a = 6q + 2
a = 6q + 3
a = 6q + 4
a = 6q + 5
∵ a एक विषम संख्या है; अत: a = 6q + 0, 6q + 2 और 6q + 4 नहीं हो सकते क्योंकि ये राशियाँ 2 से विभाज्य हैं।
तब, विषम संख्या a = 6q + 1 या 6q + 3 या 6q + 5
अत: एक धनात्मक विषम पूर्णांक 6q + 1 या 6q + 3 या 6q + 5 के रूप का होगा।

प्रश्न 3.
किसी परेड में 616 सदस्यों वाली एक सेना (आर्मी) की टुकड़ी को 32 सदस्यों वाले एक आर्मी बैंड के पीछे मार्च करना है। दोनों समूहों को समान संख्या वाले स्तम्भों में मार्च करना है। उन स्तम्भों की अधिकतम संख्या क्या है जिसमें वे मार्च कर सकते हैं?
हल
स्तम्भों (lines) की अधिकतम संख्या टुकड़ी के सैनिकों की संख्या 616 और बैंड के सदस्यों की संख्या 32 का महत्तम समापवर्तक होगी।
तब, Step I. 616 और 32 के लिए यूक्लिड की विभाजन प्रमेयिका के प्रयोग से,
616 = (32 × 19) + 8 [∵ शेषफल 8 ≠ 0]
तब, Step II. 32 और 8 के लिए यूक्लिड की विभाजन प्रमेयिका से,
32 = (8 × 4) + 0 [∵ शेषफल = 0]
शेषफल शून्य है और भाजक 8 है।
महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) = 8
अतः सेना 8 स्तम्भों में मार्च कर सकती है।

प्रश्न 4.
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि धनात्मक पूर्णाक का वर्ग किसी पूर्णांक m के लिए 3m या 3m + 1 के रूप का होता है।
हल
माना a तथा b ऐसे दो धन पूर्णांक हैं कि a > b और b = 3
तब, यूक्लिड की विभाजन प्रमेयिका से,
a = 3b + r जबकि 0 ≤ r < 3
तब, के सम्भव मान = 0, 1, 2
तब, a = 3b + 0 ⇒ a = 3b + 1 ⇒ a = 3b + 2
तब, a² = (3b + 0)² ⇒ a² = (3b + 1)² ⇒ a² = (3b + 2)²
यदी a² = (3b + 0)² तो a² = 9b² = 3. (3b²)
यदी a² = (3b + 1)² तो a² = 9b² + 6b + 1 = 3(3b² + 2b) + 1
यदी a² = (3b + 2)² तो a² = 9b² + 12b + 4 = (9b² + 12b + 3) + 1 = 3(3b² + 4b + 1) + 1
a² के सभी विस्तारों से स्पष्ट है कि a², 3 से विभाजित होता है और शेषफल शून्य बचता है या 1 बचता है।
a² = 3m + 0 ⇒ a² = 3m + 1
अतः किसी धन पूर्णांक का वर्ग किसी पूर्णांकm के लिए 3m या 3m + 1 के रूप का होता है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m, 9m + 1 या 9m + 8 के रूप का होता है।
हल
माना a तथा b दो ऐसे धन पूर्णांक हैं कि a > b और b = 9
तब, यूक्लिड की विभाजन प्रमेयिका से, a = 9b + r
तब, r का मान 9 से कम होना चाहिए।
तब, r के सम्भव मान = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
तब, a = 9b + 0
a = 9b + 1
a = 9b + 2
a = 9b + 3
a = 9b + 4
a = 9b + 5
a = 9b + 6
a = 9b + 7
a = 9b + 8
जब a = 9b + 0 हो तो a³ = (3b + 0)³ = 27b³ ⇒ a³ = 9(3b³) ……..(1)
जब a = 9b + 1 हो तो a³ = (3b + 1)³
⇒ a³ = (3b)³ + 3.3b.1 (3b + 1) + (1)³
⇒ a³ = (27b³ + 27b² + 9b) + 1
⇒ a³ = 9[3b³ + 3b² + b] + 1 …….. (2)
जब a = 9b + 2 हो तो a³ = (3b + 2)³
⇒ a³ = (3b)³ + 3.3b.2 (3b + 2) + (2)³
⇒ a3 = [27b3 + 54b2 + 36b] + 8
⇒ a³ = [27b³ + 18b (3b + 2)] + 8
⇒ a³ = 9[3b³ + 6b² + 4b] + 8 ……. (3)
तब, समीकरण (1), (2) व (3) को ध्यान से देखिए कि ये 9 से विभाज्य हैं।
तब, इन्हें क्रमश: a³ = 9m,
या a³ = 9m + 1,
या a³ = 9m + 8 लिखा जा सकता है।
अत: किसी धन पूर्णांक का घन 9m, 9m + 1 या 9m + 8 के रूप का होता है।
इति सिद्धम्

Bihar Board Class 6 Maths Solutions Chapter 15 प्रायोगिक ज्यामिति Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 6 Maths Solutions Chapter 15 प्रायोगिक ज्यामिति

Bihar Board Class 6 Maths प्रायोगिक ज्यामिति Ex 15.1

प्रश्न 1.
स्केल और परकार का प्रयोग करते हुए 6.5 सेमी लम्बाई के एक रेखाखंड की रचना कीजिए।
हल :

चरण 1. स्केल की सहायता से एक लाईन खींचें।
चरण 2. परकार को 6.5 सेमी मापकर एक बिन्दु से दूसरे बिन्दु पर काट दें।

प्रश्न 2.
रेखाखंड \(\overline{A B}\) की रचना कीजिए तथा उसकी लम्बाई को बिना मापे \(\overline{A B}\) की लम्बाई के बराबर एक दूसरे रेखाखंड की रचना कीजिए।
हल :

चरण 1. पहले परकार की सहायता से एक बिन्दु पर काटें और दूसरे बिन्दु पर काट कर उसे मिला दें।
चरण 2. फिर परकार को बिना हिलाये उतने ही लंबाई की एक दूसरी रेखा खींचें।

प्रश्न 3.
P बिन्दु l रेखा के बाहर स्थित कोई बिन्दु है। इस बिन्दु से गुजरती हुई एक लंब रेखा की रचना कीजिए।
हल :

प्रश्न 4.
4 सेमी लम्बाई की रेखा के लंब समद्विभाजक की रचना कीजिए।
हल :

प्रश्न 5.
3 सेमी त्रिज्यावाले एक वृत्त की रचना कीजिएं।
हल :

प्रश्न 6.
0 को केन्द्र मानते हुए किसी बिन्दु p से गुजरने वाले कितने वृत्तों की रचना कर सकते हैं।
हल :
एक

प्रश्न 7.
4.5 सेमी लम्बाई की रेखा खंड खींचीए तथा उसे समद्विभाजित कीजिए।
हल :

प्रश्न 8.
चाँद की सहायता से 95° और 145° का कोण बनाइए।
हल :

प्रश्न 9.
परकार की सहायता से 60° और 90° का कोण बनाइए।
हल :

प्रश्न 10.
परकार की सहायता से कोण के समद्विभाजन द्वारा 45° के कोण की रचना कीजिए।
हल :

Bihar Board Class 6 Maths Solutions Chapter 14 सममिति Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 6 Maths Solutions Chapter 14 सममिति

Bihar Board Class 6 Maths सममिति Ex 14.1

प्रश्न 1.
नीचे दी गई आकृति में अंग्रेजी वर्णमाला के एक अक्षर ऊर्ध्वाधर रेखा के साथ दिखाया गया है। इस अक्षर का दी हुई दर्पण रेखा में प्रतिबिंब देखिए। बताइए कौन-सा अक्षर परावर्तन के बाद समान रहता है (जैसे-कौन-सा अक्षर प्रतिबिंब में समान दिखाई देता है) कौन-सा नहीं।

अब इसके लिए प्रयास कीजिए।

उत्तर
अक्षर A समान चिह्न दिखाई पर B समान दिखाई नहीं देता है।

यहाँ अक्षर O, M, H, T, V और X समान दिखाई देते हैं परन्तु N, P, L, S समान नहीं दिखाई देता हैं।

प्रश्न 2.
निम्न आकृतियों में सममित रेखा खींचिए।

हल:

प्रश्न 3.
दी गई सममित आकृतियों को पूरा कीजिए।

हल:

दिये गये चित्रों को पूरा किया गया।

प्रश्न 4.
इन सबको देखें।

इनमें से किनमें सममित रेखा खींची जा सकती है?
हल :
ऊपर दिये गये अंग्रेजी वर्णमाला के इन सभी अक्षरों में सममित रेखा खींची जा सकती है।
परन्तु हिन्दी वर्णमाला के ऊपर दिए गए अक्षरों में से किसी में भी सममित रेखा नहीं खींची जा सकती है।