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Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.3 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.3

Bihar Board Class 10 Maths त्रिभुज Ex 6.3

प्रश्न 1.
बताइए कि आकृति में दिए त्रिभुजों के युग्मों में से कौन-कौन से युग्म समरूप हैं। उस समरूपता कसौटी को लिखिए जिसका प्रयोग आपने उत्तर देने में किया है तथा साथ ही समरूप त्रिभुजों को सांकेतिक रूप में व्यक्त कीजिए।

हल
(i) आकृति में दिए गए दोनों त्रिभुजों में,
∠A = 60°, ∠B = 80°, ∠C = 40° तथा ∠P = 60°, ∠Q = 80°, ∠R = 40°
∠A = ∠P, ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R
अतः दो त्रिभुजों की समरूपता की कसौटी AAA से,
∆ABC ~ ∆PQR

(ii) आकृति में दिए गए दोनों त्रिभुजों में,
AB = 2, BC = 2.5, CA = 3.0
तथा PQ = 6, QR = 4, RP = 5

अत: दो त्रिभुजों की समरूपता की कसौटी SSS से,
∆ABC ~ ∆QRP

(iii) निम्न आकृति में दिए गए दोनों त्रिभुजों में,
LM = 2.7, MP = 2, PL = 3
तथा DE = 4, EF = 5, FD = 6

या दोनों त्रिभुजों की भुजाएँ समानुपात में नहीं हैं।
अतः दोनों त्रिभुज समरूप नहीं हैं।

(iv) दिए गए दोनों त्रिभुजों में,
∠M = 70°, NM = 2.5, ML = 5 तथा ∠Q = 70°, PQ = 6, QR = 10

अतः दोनों त्रिभुज समरूप नहीं हैं।

(v) दिए गए दोनों त्रिभुजों में,
∠A = 80°, AB = 2.5, AC = अनिश्चित तथा ∠F = 80°, FD = 5, FE = 6
स्पष्ट है कि ∠A व ∠F को अन्तर्विष्ट करने वाली भुजाएँ AB और FD तथा AC और FE आनुपातिक नहीं हैं।
अतः दोनों त्रिभुज समरूप नहीं हैं।

(vi) ∆DEF में, ∠D = 70°, ∠E = 80°
∴ ∠F = 180° – (70° + 80°) = 30°
और ∆PQR में ∠Q = 80°, ∠R = 30°
∴ ∠P = 180° – (80° + 30°) = 70°
तब, ∆DEF और ∆PQR की तुलना करने पर,
∠D = ∠P, ∠E = ∠Q, ∠F = ∠R,
अत: दो त्रिभुजों की समरूपता की उप-कसौटी AA से,
∆DEF ~ ∆PQR

प्रश्न 2.
आकृति में, ∆ODC ~ ∆OBA, ∠BOC = 125° और ∠CDO = 70° है। ∠DOC, ∠DCO और ∠OAB ज्ञात कीजिए।

हल
दी गई आकृति में, DB एक ऋजु रेखा है और उससे OC, बिन्दु O पर मिलती है जिससे ∠DOC और ∠BOC एक रैखिक युग्म के कोण हैं।
∠DOC + ∠BOC = 180°
∠DOC + 125° = 180° (∵ ∠BOC = 125°)
∠DOC = 180° – 125° = 55°
तब, ∆DOC में,
∠CDO + ∠DOC + ∠DCO = 180°
70° + 55° + ∠DCO = 180° (∵ ∠CDO = 70°)
∠DCO = 180° – (70° + 55°)
∠DCO = 55°
∵ ∆ODC ~ ∆OBA
∴ ∠DCO = ∠OAB
∠OAB = 55° (∵ ∠DCO = 55°)
अत: ∠DOC = 55°, ∠DCO = 55°, ∠OAB = 55°

प्रश्न 3.
समलम्ब ABCD जिसमें AB || DC है, के विकर्ण AC और BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं। दो त्रिभुजों की समरूपता कसौटी का प्रयोग करते हुए, दर्शाइए कि \(\frac{O A}{O C}=\frac{O B}{O D}\) है।

हल
दिया है : ABCD एक समलम्ब है जिसमें AB || CD तथा उसके विकर्ण AC और BD बिन्दु O पर काटते हैं।
सिद्ध करना है : \(\frac{O A}{O C}=\frac{O B}{O D}\)
उपपत्ति : AB || CD और AC तिर्यक रेखा है।
∠OAB = ∠OCD (एकान्तर कोण युग्म)
और ∠AOB = ∠COD (शीर्षाभिमुख कोण)
अब, ∆AOB और ∆OCD में,
∠AOB = ∠COD
तथा ∠OAB = ∠OCD (ऊपर सिद्ध किया)
∴ त्रिभुजों की समरूपता के उप-गुणधर्म AA से,
∆AOB ~ ∆OCD
\(\frac{O A}{O C}=\frac{O B}{O D}\) (भुजाओं की आनुपातिकता से)
इति सिद्धम्

प्रश्न 4.
दी गई आकृति में, \(\frac{Q R}{Q S}=\frac{Q T}{P R}\) तथा ∠1 = ∠2 है। दर्शाइए कि ∆PQS ~ ∆TQR है।

हल
दिया है : दी गई आकृति में,
\(\frac{Q R}{Q S}=\frac{Q T}{P R}\) तथा ∠1 = ∠2 है।
सिद्ध करना है : ∆PQS ~ ∆TQR
उपपत्ति : ∆PQR में,
∠1 = ∠2
∠PQR = ∠PRQ
भुजा QP = भुजा PR …….(1)
अब, \(\frac{Q R}{Q S}=\frac{Q T}{P R}\) (दिया है)
\(\frac{Q R}{Q S}=\frac{Q T}{Q P}\) [समीकरण (1) से]
तब, ∆PQS और ∆TQR में,
∠Q उभयनिष्ठ है और इस कोण को अंतर्विष्ट करने वाली भुजाएँ (QP व QT) तथा (QS व QR) आनुपातिक हैं।
अत: दो त्रिभुजों की समरूपता की कसौटी SAS से,
∆PQS ~ ∆TQR
इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
∆PQR की भुजाओं PR और QR पर क्रमशः बिन्दु S और T इस प्रकार स्थित हैं कि ∠P = ∠RTS है। दर्शाइए कि ∆RPQ ~ ∆RTS है।

हल
दिया है : दी गई आकृति में, ∠P = ∠RTS
सिद्ध करना है : ∆RPQ ~ ∆RTS
उपपत्ति : ∆RPQ तथा ∆RTS में,
∠P = ∠RTS (दिया है)
तथा ∠R = ∠SRT
तब, त्रिभुजों की समरूपता के उप-गुणधर्म AA से,
∆RPQ ~ ∆RTS
इति सिद्धम्।

प्रश्न 6.
दी गई आकृति में, यदि ∆ABE ≅ ∆ACD है तो दर्शाइए कि ∆ADE ~ ∆ABC है।

हल
दिया है : दी गई आकृति में, ∆ABE और ∆ACD सर्वांगसम हैं।
सिद्ध करना है : ∆ADE ~ ∆ABC
उपपत्ति : ∆ABE ≅ ∆ACD (दिया है)
भुजा AB = भुजा AC
और भुजा AE = भुजा AD
अब, ∆ADE और ∆ABC की तुलना करने पर,
AB = AC और AE = AD
\(\frac{A D}{A B}=\frac{A E}{A C}\) अर्थात् ∆ADE और ∆ABC की भुजाएँ (AD व AB) तथा (AE व AC) आनुपातिक हैं और ये दोनों ही भुजा-युग्म प्रत्येक त्रिभुज के लिए ∠A को अन्तर्विष्ट करते हैं।
दो त्रिभुजों की समरूपता के गुणधर्म (कसौटी) SAS से,
∆ADE ~ ∆ABC
इति सिद्धम्

प्रश्न 7.
दी गई आकृति में, ∆ABC के शीर्ष लम्ब AD और CE परस्पर बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि-
(i) ∆AEP ~ ∆CDP
(ii) ∆ABD ~ ∆CBE
(iii) ∆AEP ~ ∆ADB
(iv) ∆PDC ~ ∆BEC

हल
दिया है : ∆ABC में AD और CE शीर्षलम्ब हैं जो एक-दूसरे को बिन्दु P पर काटते हैं।
सिद्ध करना है :
(i) ∆AEP ~ ∆CDP
(ii) ∆ABD ~ ∆CBE
(iii) ∆AEP ~ ∆ADB
(iv) ∆PDC ~ ∆BEC
उपपत्ति : ∆ABC में AD और CE शीर्षलम्ब हैं।
AD ⊥ BC तथा CE ⊥ AB
(i) ∆AEP और ∆CDP में,
∠AEP = ∠CDP (प्रत्येक 90° है)
∠APE = ∠CPD (शीर्षाभिमुख कोण)
अत: त्रिभुज की समरूपता के उप-गुणधर्म AA से,
∆AEP ~ ∆CDP
इति सिद्धम्

(ii) ∆ABD और ∆CBE में,
∠ADB = ∠CEB (प्रत्येक 90° है)
∠ABD = ∠CBE (दोनों त्रिभुजों में उभयनिष्ठ है)
अत: त्रिभुजों की समरूपता के उप-गुणधर्म AA से,
∆ABD ~ ∆CBE
इति सिद्धम्

(iii) ∆AEP और ∆ADB में,
∠AEP = ∠ADB (प्रत्येक 90° है)
∠PAE = ∠DAB (दोनों त्रिभुजों में उभयनिष्ठ हैं)
अतः त्रिभुजों की समरूपता के उप-गुणधर्म AA से,
∆AEP ~ ∆ADB
इति सिद्धम्

(iv) ∆PDC और ∆BEC में,
∠PDC = ∠BEC (प्रत्येक 90° है)
∠DCP = ∠BCE (दोनों त्रिभुजों में उभयनिष्ठ है)
अत: त्रिभुजों की समरूपता के उप-गुणधर्म AA से,
∆PDC ~ ∆BEC
इति सिद्धम्

प्रश्न 8.
समान्तर चतुर्भुज ABCD की बढ़ाई गई भुजा AD पर स्थित E एक बिन्दु है तथा BE भुजा CD को F पर प्रतिच्छेद करती है। दर्शाइए कि ∆ABE ~ ∆CFB हैं।

हल
दिया है : ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है जिसकी भुजा AD को किसी बिन्दु E तक बढ़ाया गया है। रेखाखण्ड BE, भुजा CD को बिन्दु F पर प्रतिच्छेदित करता है।
सिद्ध करना है : ∆ABE ~ ∆CFB
उपपत्ति : ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।
BC || AD ⇒ BC || AE
BC || AE और BE तिर्यक रेखा है।
∠EBC = ∠AEB ⇒ ∠AEB = ∠FBC
अब, ∆ABE और ∆CFB में,
∠A = ∠C (समान्तर चतुर्भुज ABCD के सम्मुख कोण हैं)
∠AEB = ∠FBC (ऊपर सिद्ध किया है)
तब, त्रिभुजों की समरूपता के उप-गुणधर्म AA से,
∆ABE ~ ∆CFB
इति सिद्धम्

प्रश्न 9.
दी गई आकृति में, ABC और AMPदो समकोण त्रिभुज हैं, जिनके कोण B और M समकोण हैं। सिद्ध कीजिए कि-
(i) ∆ABC ~ ∆AMP
(ii) \(\frac{C A}{P A}=\frac{B C}{M P}\)

हल
दिया है : ∆ABC और ∆AMP दो समकोण त्रिभुज हैं, जिनमें ∠B तथा ∠M समकोण हैं।
सिद्ध करना है :
(i) ∆ABC ~ ∆AMP
(ii) \(\frac{C A}{P A}=\frac{B C}{M P}\)
उपपत्ति :
(i) समकोण ∆ABC तथा समकोण ∆AMP की तुलना करने पर,
∠B = ∠M (∵ प्रत्येक समकोण है)
∠A = ∠A (उभयनिष्ठ है)
तब, दो त्रिभुजों की समरूपता के उप-गुणधर्म AA से,
∆ABC ~ ∆AMP
इति सिद्धम्

(ii) ∆ABC और ∆AMP समरूप हैं।
दोनों त्रिभुजों की संगत भुजाएँ आनुपातिक होंगी।
\(\frac{A B}{A M}=\frac{B C}{M P}=\frac{C A}{P A} \Rightarrow \frac{C A}{P A}=\frac{B C}{M P}\)
इति सिद्धम्

प्रश्न 10.
CD और GH क्रमशः ∠ACB और ∠EGF के ऐसे समद्विभाजक हैं कि बिन्दु D औरत क्रमशः ∆ABC और ∆FEG की भुजाओं AB और FE पर स्थित हैं। यदि ∆ABC ~ ∆FEG हो तो दर्शाइए कि-
(i) \(\frac{C D}{G H}=\frac{A C}{F G}\)
(ii) ∆DCB ~ ∆HGE
(iii) ∆DCA ~ ∆HGF


हल
दिया है : ∆ABC और ∆EGF में CD, ∠ACB का समद्विभाजक है और GH, ∠EGF का समद्विभाजक है तथा ∆BC ~ ∆FEG
सिद्ध करना है :
(i) \(\frac{C D}{G H}=\frac{A C}{F G}\)
(ii) ∆DCB ~ ∆HGE
(iii) ∆DCA ~ ∆HGF
उपपत्ति:
∆ABC में CD, ∠ACB का समद्विभाजक है।
∠ACD = ∠DCB = \(\frac{1}{2}\) ∠ACB
इसी प्रकार, ∆EGF में GH, ∠FGE का समद्विभाजक है।
∠FGH = ∠HGE = \(\frac{1}{2}\) ∠FGE
∠ACD = ∠FGH तथा ∠DCB = ∠HGE
(∵ ∆ABC ~ ∆FEG जिससे ∠ACB = ∠FGE)
अब, ∆DCA तथा ∆HGF में,
∠ACD = ∠FGH (ऊपर सिद्ध किया है)
और ∠A = ∠F (∵ ∆ABC ~ ∆FEG)
अतः समरूपता के उप-गुणधर्म AA से,
∆DCA ~ ∆HGF
इति सिद्धम् (iii)
तब, ∆DCA और ∆HGF में,
\(\frac{C D}{G H}=\frac{A C}{F G}\)
इति सिद्धम् (i)
अब, ∆DCB और ∆HGE में,
∠DCB = ∠HGE (ऊपर सिद्ध किया है।)
∠B = ∠E (∆ABC ~ ∆FEG)
समरूपता के उप-गुणधर्म AA से,
∆DCB ~ ∆HGE
इति सिद्धम् (ii)

प्रश्न 11.
दी गई आकृति में, AB = AC वाले, एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC की बढ़ाई गई भुजा CB पर स्थित E एक बिन्दु है। यदि AD ⊥ BC और EF ⊥ AC है तो सिद्ध कीजिए कि ∆ABD ~ ∆ECF है।

हल
दिया है : एक समद्विबाहु ∆ABC है जिसमें AB = AC है।
भुजा CB को किसी बिन्दु E तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि EF ⊥ AC और AD ⊥ BC
सिद्ध करना है : ∆ABD ~ ∆ECF
उपपत्ति : ∆ABC में, AB = AC
∠ABD = ∠ACD …..(1)
AD ⊥ BC
∠ADB = ∠ADC = 90° ……(2)
EF ⊥ AC
∠EFC = 90° ……(3)
अब, ∆ABD तथा ∆ECF में,
∠ADB = ∠EFC [समीकरण (2) व (3) से]
∠ABD = ∠ACD [समीकरण (1) से]
परन्तु ∠ACD = ∠ECF (दोनों त्रिभुजों में उभयनिष्ठ है)
∠ABD = ∠ECF
तब, त्रिभुजों की समरूपता के उप-गुणधर्म AA से,
∆ABD ~ ∆ECF
इति सिद्धम्

प्रश्न 12.
एक त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB और BC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज PQR की क्रमशः भुजाओं PQ और QR तथा माध्यिका PM के समानुपाती हैं। दर्शाइए कि ∆ABC ~ ∆PQR है।

हल
दिया है : ∆ABC तथा ∆PQR दो त्रिभुज हैं जिनमें
\(\frac{A B}{P Q}=\frac{B C}{Q R}=\frac{A D}{P M}\)
जबकि AD तथा PM माध्यिकाएँ हैं अर्थात BD = \(\frac{1}{2}\) BC तथा QM = \(\frac{1}{2}\) QR
सिद्ध करना है : ∆ABC और ∆PQR समरूप हैं।

तब, त्रिभुजों की समरूपता की कसौटी SAS से,
अत: ∆ABC और ∆PQR समरूप हैं।
इति सिद्धम्

प्रश्न 13.
किसी त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि ∠ADC = ∠BAC है। दर्शाइए कि CA2 = CB . CD

हल
दिया है : ∆ABC में BC पर एक बिन्दु D इस प्रकार है कि ∠ADC = ∠BAC
सिद्ध करना है : CA2 = CB . CD
उपपत्ति : ∆CDA और ∆CAB में,
∠ADC = ∠BAC (दिया है)
∠ACD = ∠ACB
∠CAD = ∠ABC (उभयनिष्ठ कोण हैं)
∆CDA ~ ∆CAB (स्वतः समान हैं)
अतः \(\frac{C A}{C D}=\frac{C B}{C A}\)
⇒ CA2 = CB . CD
इति सिद्धम्

प्रश्न 14.
एक त्रिभुज ABC की भुजा AB और AC तथा माध्यिका AD, एक अन्य त्रिभुज PQR की भुजाओं PQ और PR तथा माध्यिका PM के समानुपाती हैं। दर्शाइए कि ∆ABC ~ ∆PQR है।
हल
दिया है : ∆ABC और ∆PQR में BC की माध्यिका AD तथा QR की माध्यिका PM है जिससे
\(\frac{A B}{P Q}=\frac{A C}{P R}=\frac{A D}{P M}\)

∆ABC और ∆PQR की संगत भुजाएँ आनुपातिक हैं।
अत: ∆ABC ~ ∆PQR
इति सिद्धम्

प्रश्न 15.
लम्बाई 6 m वाले एक ऊर्ध्वाधर स्तम्भ की भूमि पर छाया की लम्बाई 4 m है, जबकि उसी समय एक मीनार की छाया की लम्बाई 28 m है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल
दिया है : 6 मीटर लम्बे स्तम्भ CD की छाया DE = 4 m प्राप्त होती है। उसी समय एक मीनार AB = h m की छाया BE = 28 m प्राप्त होती है।
ज्ञात करना है : मीनार की ऊँचाई h का मान।
गणना : समरूप ∆CDE और ∆ABE में,

अतः मीनार की ऊँचाई = 42 m

प्रश्न 16.
AD और PM त्रिभुजों ABC और PQR की क्रमशः माध्यिकाएँ हैं, जबकि ∆ABC ~ ∆PQR है। सिद्ध कीजिए कि \(\frac{A B}{P Q}=\frac{A D}{P M}\) है।

हल
दिया है : ∆ABC और ∆PQR दो समरूप त्रिभुज हैं। AD, त्रिभुज ABC की और PM, त्रिभुज PQR की माध्यिकाएँ हैं।
सिद्ध करना है : \(\frac{A B}{P Q}=\frac{A D}{P M}\)

∠B और ∠Q को अन्तर्विष्ट करने वाली ∆ABD और ∆PQM की संगत भुजाएँ आनुपातिक हैं।
अत: दो त्रिभुजों की समरूपता की कसौटी SAS से,
∆ABD ~ ∆PQM
तब, समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाओं के आनुपातिकता के गुणधर्म से,
\(\frac{A B}{P Q}=\frac{A D}{P M}\)
इति सिद्धम्

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Additional Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Additional Questions

Bihar Board Class 10 Maths द्विघात समीकरण Additional Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
निम्नलिखित में से कौन-सा द्विघात समीकरण है?
(i) x² + 2x + 1 = (4 – x)² + 3
(ii) -2x² = (5 – x) (2x – \(\frac{2}{5}\))
(iii) (k + 1)x² + \(\frac{3}{2}\)x = 7, जहाँ, k = -1
(iv) x³ – x² = (x – 1)³
हल
(iv) x³ – x² = (x – 1)³

प्रश्न 2.
निम्नलिखित में से किस समीकरण का एक मूल 2 है?
(i) x² – 4x + 5 = 0
(ii) x² + 3x – 12 = 0
(iii) 2x² – 7x + 6 = 0
(iv) 3x² – 6x – 2 = 0
हल
(iii) 2x² – 7x + 6 = 0

प्रश्न 3.
यदि समीकरण x² + kx – \(\frac{5}{4}\) = 0 का एक मूल \(\frac{1}{2}\) है, तो k का मान है
(i) 2
(ii) -2
(iii) \(\frac{1}{4}\)
(iv) \(\frac{1}{2}\)
हल
(i) 2

प्रश्न 4.
k के वे मान, जिनके लिए द्विघात समीकरण 2x² – kx + k = 0 के मूल बराबर होंगे, निम्नलिखित हैं
(i) केवल 0
(ii) 4
(iii) केवल 8
(iv) 0, 8
हल
(iv) 0, 8

प्रश्न 5.
पूर्ण वर्ग बनाने की विधि द्वारा द्विघात समीकरण 9x² + \(\frac{3}{4}\)x – √2 = 0 को हल करने के लिए, इसमें किस अचर को जोड़ना और घटाना चाहिए?
(i) \(\frac{1}{8}\)
(ii) \(\frac{1}{64}\)
(iii) \(\frac{1}{4}\)
(iv) \(\frac{9}{64}\)
हल
(ii) \(\frac{1}{64}\)

प्रश्न 6.
द्विघात समीकरण 2x² – √5x + 1 = 0 के
(i) दो भिन्न वास्तविक मूल हैं
(ii) दो बराबर वास्तविक मूल हैं
(iii) कोई वास्तविक मूल नहीं है
(iv) दो से अधिक वास्तविक मूल हैं
हल
(iii) कोई वास्तविक मूल नहीं है

प्रश्न 7.
निम्नलिखित में से किस समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं?
(i) x² – 4x + 3√2 = 0
(ii) x² + 4x – 3√2 = 0
(iii) x² – 4x – 3√2 = 0
(iv) 3x² + 4√3x + 4 = 0
हल
(i) x² – 4x + 3√2 = 0

प्रश्न 8.
समीकरण (x² + 1)² – x² = 0
(i) के चार वास्तविक मूल हैं
(ii) के दो वास्तविक मूल हैं
(iii) के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं
(iv) का एक वास्तविक मूल है
हल
(iii) के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं

अतिलघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
द्विघात समीकरण x² + kx + 3 = 0 का एक मूल 1 हो तो k का मान ज्ञात कीजिए।
हल
द्विघात समीकरण का एक मूल 1 है।
x = 1 द्विघात समीकरण को सन्तुष्ट करेगा।
द्विघात समीकरण में x = 1 रखने पर,
(1)² + k(1) + 3 = 0
⇒ k + 4 = 0
⇒ k = -4

प्रश्न 2.
समीकरण a²x² – 3abx + 2b² = 0 को हल कीजिए।
हल
दिया गया समीकरण a²x² – 3abx + 2b² = 0
⇒ a²x² – 2abx – abx + 2b² = 0
⇒ ax(ax – 2b) – b(ax – 2b) = 0
⇒ (ax – 2b) (ax – b) = 0
यदि (ax – 2b) = 0, तो x = \(\frac{2 b}{a}\)
और यदि (ax – b) = 0 , तो x = \(\frac{b}{a}\)
∴ x = \(\frac{2 b}{a}\), \(\frac{b}{a}\)

प्रश्न 3.
बिना हल किए b²x² + abx – a² = 0 के मूलों के लक्षण ज्ञात कीजिए।
हल
दिया गया समीकरण : b²x² + abx – a² = 0
उपर्युक्त समीकरण की तुलना मानक द्विघात समीकरण Ax² + Bx + C = 0 से करने पर,
A = b², B = ab, C = -a²
विविक्तकर, D = B² – 4AC
= (ab)² – 4b²(-a²)
= a²b² + 4a²b²
= 5a²b² > 0 परन्तु पूर्ण वर्ग नहीं है
अत: मूल वास्तविक, अपरिमेय और असमान होंगे।

प्रश्न 4.
p के वे मान ज्ञात कीजिए जिससे समीकरण 2px² – 8x + p = 0 के मूल बराबर व वास्तविक हों।
हल
दिया गया समीकरण : 2px² – 8x + p = 0
उपर्युक्त समीकरण की तुलना मानक द्विघात समीकरण, ax² + bx + c = 0 से करने पर,
a = 2p, b = -8, c = p
विविक्तकर, D = b² – 4ac
= (-8)² – 4 × 2p × p
= 64 – 8p²
मूल बराबर व वास्तविक हैं।
64 – 8p² = 0
⇒ p² = 8
⇒ p = ±2√2

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि द्विघात समीकरण 3x² + 2√5x – 5 = 0 के मूल वास्तविक और असमान हैं। मूलों की प्रकृति भी ज्ञात कीजिए।
हल
दी गई समीकरण : 3x² + 2√5x – 5 = 0
उपर्युक्त समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 से करने पर,
a = 3, b = 2√5 तथा c = -5
विविक्तिकर, D = b² – 4ac
= (2√5)² – 4 × 3 × (-5)
= 20 + 60
= 80 धनात्मक परन्तु पूर्ण वर्ग नहीं
अत: समीकरण के मूल वास्तविक, असमान व अपरिमेय होंगे।

प्रश्न 6.
द्विघात समीकरण 4x² – 8 = 0 के मूल ज्ञात कीजिए।
हल
4x² – 8 = 0
⇒ 4(x² – 2) = 0
⇒ (x + √2) (x – √2) = 0
x² – 2 = 0 होने के लिए, .
x + √2 = 0 ⇒ x = -√2
तथा x – √2 = 0 ⇒ x = √2
अत: द्विघात समीकरण के मूल -√2 तथा √2 हैं।

प्रश्न 7.
द्विघात समीकरण x² – 4x + 4 = 0 के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए।
हल
द्विघात समीकरण x² – 4x + 4 = 0 की तुलना द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 से करने पर,
a = 1, b = -4, c = 4
विविक्तकर, D = b² – 4ac
= (-4)² – 4 × 1 × 4
= 16 – 16
= 0
विविक्तकर, D का मान शून्य है।
अत: द्विघात समीकरण x² – 4x + 4 = 0 के मूल बराबर हैं।

प्रश्न 8.
जाँच कीजिए कि (x – 2)² + 1 = 2x + 3 द्विघात समीकरण है या नहीं।
हल
दी हुई समीकरण (x – 2)² + 1 = 2x + 3
⇒ x² – 4x + 4 + 1 = 2x + 3
⇒ x² – 4x – 2x + 5 – 3 = 0
⇒ x² – 6x + 2 = 0
यह समीकरण x में दो घात है तथा इनके गुणांक वास्तविक हैं।
अत: दी हुई समीकरण द्विघात समीकरण है।

प्रश्न 9.
द्विघात समीकरण 2x² – 4x + 3 = 0 का विविक्तकर ज्ञात कीजिए और मूलों की प्रकृति बताइए।
हल
दिया गया द्विघात समीकरण है :
2x² – 4x + 3 = 0
उपर्युक्त समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 से करने पर,
a = 2, b = -4, c = 3
विविक्तकर, D = b² – 4ac
= (-4)² – 4(2)(3)
= 16 – 24
= -8 (ऋणात्मक)
विविक्तकर ऋणात्मक है।
समीकरण के मूल अधिकल्पित हैं।

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
राम की आयु श्याम की आयु के वर्ग की पाँच गुनी है। यदि दोनों की आयु का अन्तर 18 वर्ष हो तो उनकी आयु अलग-अलग ज्ञात कीजिए।
हल
माना श्याम की आयु x वर्ष तथा राम की आयु y वर्ष है।
राम की आयु श्याम की आयु के वर्ग की पाँच गुनी है।
y = 5x² ……..(1)
दोनों की आयु का अन्तर 18 वर्ष है।
y – x = 18 …….(2)
समीकरण (1) से y का मान समीकरण (2) में रखने पर,
5x² – x = 18
⇒ 5x² – x – 18 = 0
⇒ 5x² – (10 – 9)x – 18 = 0
⇒ 5x² – 10x + 9x – 18 = 0
⇒ 5x(x – 2) + 9(x – 2) = 0
⇒ (x – 2) (5x + 9) = 0
⇒ (x – 2) (5x + 9) = 0 होगा यदि,
x – 2 = 0 ⇒ x = 2
5x + 9 = 0 ⇒ 5x = -9 ⇒ x = \(\frac{-9}{5}\) असम्भव
x = 2 वर्ष
x = 2 समीकरण (1) में रखने पर,
y = 5(2)² = 5 × 4 = 20
राम की आयु = 20 वर्ष तथा श्याम की आयु = 2 वर्ष।

प्रश्न 2.
‘a’ का मान ज्ञात कीजिए ताकि द्विघात समीकरण (a – 12)x² + 2(a – 12)x + 2 = 0 के मूल समान हों।
हल
द्विघात समीकरण Ax² + Bx + C = 0 के मूल समान हों तो B² – 4AC = 0
द्विघात समीकरण Ax² + Bx + C = 0 की तुलना दी हुई द्विघात समीकरण (a – 12)x² + 2(a – 12)x + 2 = 0 से करने पर,
A = (a – 12), B = 2(a – 12), C = 2
B² – 4AC = 0 से,
⇒ [2(a – 12)]² – 4 × (a – 12) × 2 = 0
⇒ 4(a – 12)(a – 12 – 2) = 0
⇒ (a – 12)(a – 14) = 0
⇒ (a – 12)(a – 14) = 0 होने के लिए,
a – 12 = 0 ⇒ a = 12 असम्भव
तथा a – 14 = 0 ⇒ a = 14

प्रश्न 3.
हंसों की एक टोली में से हंसों की कुल संख्या के वर्गमूल के \(\frac{7}{2}\) गुना हंस तालाब के किनारे खेल रहे हैं। यदि शेष 2 हंस तालाब के पानी में स्नान कर रहे हैं तो हंसों की कुल संख्या ज्ञात कीजिए।
हल
माना हंसों की कुल संख्या x है।
तब, तालाब के किनारे खेलने वाले हंसों की संख्या = \(\frac {7}{2}\) × कुल संख्या का वर्गमूल
= \(\frac {1}{2}\) × √x
= \(\frac{7}{2} \sqrt{x}\)
शेष हंस जो पानी में स्नान कर रहे हैं = x – \(\frac{7}{2} \sqrt{x}\)
परन्तु पानी में स्नान करने वाले शेष हंसों की संख्या = 2
2 = x – \(\frac{7}{2} \sqrt{x}\) या \(\frac{7}{2} \sqrt{x}\) = x – 2
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
\(\frac{49}{4}\) x = (x – 2)²
⇒ 49x = 4(x – 2)²
⇒ 49x = 4(x² – 4x + 4)
⇒ 49x = 4x² – 16x + 16
⇒ 4x² – 65x + 16 = 0
⇒ (4x – 1) (x – 16) = 0
⇒ (4x – 1)(x – 16) = 0 होगा यदि,
x – 16 = 0 ⇒ x = 16
तथा 4x – 1 = 0 ⇒ x = \(\frac{1}{4}\)
परन्तु हंसों की संख्या भिन्नात्मक नहीं हो सकती।
अत: हंसों की कुल संख्या = 16

प्रश्न 4.
किसी आयताकर मैदान का विकर्ण उसकी छोटी भुजा से 60 मी अधिक लम्बा है। यदि उसकी बड़ी भुजा छोटी भुजा से 30 मी अधिक हो, तो मैदान का परिमाप ज्ञात कीजिए।
हल
माना मैदान की छोटी भुजा = x मी
बड़ी भुजा = (x + 30) मी
तथा विकर्ण = (x + 60) मी
परन्तु (विकर्ण)² = (बड़ी भुजा)² + (छोटी भुजा)²
⇒ (x + 60)² = (x + 30)² + x²
⇒ x² + 3600 + 120x = x² + 900 + 60x + x²
⇒ x² – 60x – 2700 = 0
⇒ x² – 90x + 30x – 2700 = 0
⇒ x(x – 90) + 30(x – 90) = 0
⇒ (x – 90) (x + 30) = 0
⇒ x = 90 या -30 (मान्य नहीं)
मैदान की छोटी भुजा = 90 मी
तथा बड़ी भुजा = 90 + 30 = 120 मी
मैदान का परिमाप = 2(बड़ी भुजा + छोटी भुजा)
= 2(120 + 90)
= 420 मी

प्रश्न 5.
दो क्रमागत धन सम संख्याओं के वर्गों का योग 244 है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल
माना दो क्रमागत धन सम संख्याएँ 2x व (2x + 2) हैं।
तब प्रश्नानुसार,
(2x)² + (2x + 2)² = 244
⇒ 4x² + 4x² + 4 + 8x = 244
⇒ 8x² + 8x – 240 = 0
⇒ x² + x – 30 = 0
⇒ x² + 6x – 5x – 30 = 0
⇒ x(x + 6) – 5(x + 6) = 0
⇒ (x + 6) (x – 5) = 0
यदि x + 6 = 0 तो x = -6 जोकि मान्य नहीं है।
यदि x – 5 = 0 तो x = 5
धन सम संख्याएँ क्रमश:
2 × 5 = 10 व 10 + 2 = 12 हैं।

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
पूर्ण वर्ग बनाने की विधि से समीकरण 5x² – 6x – 2 = 0 के मूल ज्ञात कीजिए।
हल
दिया गया समीकरण है : 5x² – 6x – 2 = 0

प्रश्न 2.
ऊँटों के झुण्ड का एक-चौथाई जंगल में देखा जाता है। झुण्ड के वर्गमूल का दोगुना पहाड़ी पर चला गया और शेष 15 ऊँटों को एक नदी के किनारे देखा जाता है। ऊँटों की कुल संख्या ज्ञात कीजिए।
हल
माना झुण्ड के कुल ऊँटों की संख्या x है।
तब, प्रश्नानुसार जंगल में गए ऊँटों की संख्या = \(\frac{x}{4}\)
तथा पहाड़ी पर गए ऊँटों की संख्या = 2√x
शेष ऊँटों की संख्या = x – \(\frac{x}{4}\) – 2√x = \(\frac{3 x}{4}\) – 2√x
परन्तु प्रश्नानुसार शेष ऊँटों की संख्या 15 है।
\(\frac{3 x}{4}\) – 2√x = 15
⇒ \(\frac{3 x}{4}\) – 15 = 2√x
⇒ \(\frac{3 x-60}{4}\) = 2√x
⇒ 3x – 60 = 8√x
⇒ (3x – 60)² = (8√x)² |दोनों पक्षों का वर्ग करने पर]
⇒ 9x² – 360x + 3600 = 64x
⇒ 9x² – 360x + 3600 – 64x = 0
⇒ 9x² – 424x + 3600 = 0
⇒ 9x² – (324 + 100)x + 3600 = 0
⇒ 9x² – 324x – 100x + 3600 = 0
⇒ 9x(x – 36) – 100(x – 36) = 0
⇒ (9x – 100)(x – 36) = 0
तब, (9x – 100) अथवा (x – 36) में से एक शून्य अवश्य होगा।
अब यदि 9x – 100 = 0 हो, तो x = \(\frac{100}{9}\) (एक भिन्नात्मक संख्या)
ऊँटों की संख्या पूर्ण ही हो सकती है, भिन्नात्मक नहीं; अत: x का मान \(\frac{100}{9}\) स्वीकार्य नहीं है।
तब, x – 36 का मान शून्य अवश्य होगा, अर्थात्
x – 36 = 0 ⇒ x = 36
अतः झुण्ड में ऊँटों की संख्या = 36

प्रश्न 3.
निम्नलिखित समीकरण को द्विघात समीकरण में समानीत करके हल कीजिए
\(8\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)-42\left(x-\frac{1}{x}\right)+29=0\)
हल
दिया गया समीकरण
\(8\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)-42\left(x-\frac{1}{x}\right)+29=0\)

प्रश्न 4.
मुम्बई से पूना तक की 192 किमी की दूरी तय करने में एक तेज चलने वाली गाड़ी, धीरे चलने वाली गाड़ी से 2 घण्टा कम समय लेती है। यदि धीरे चलने वाली गाड़ी की औसत चाल तेज चलने वाली गाड़ी की औसत चाल से 16 किमी/घण्टा कम हो, तो प्रत्येक गाड़ी की औसत चाल ज्ञात कीजिए।
हल
माना तेज चलने वाली गाड़ी की औसत चाल = x किमी/घण्टा
धीरे चलने वाली गाड़ी की औसत चाल = (x – 16) किमी/घण्टा
तेज चलने वाली गाड़ी द्वारा 192 किमी दूरी तय करने में लगा समय = \(\frac{192}{x}\) घण्टा
धीरे चलने वाली गाड़ी द्वारा 192 किमी दूरी तय करने में लगा समय = \(\frac{192}{x-16}\) घण्टा

⇒ x² – 16x = 96 × 16
⇒ x² – 16x – 1536 = 0
⇒ x² – 48x + 32x – 1536 = 0
⇒ x(x – 48) + 32(x – 48) = 0
⇒ (x – 48)(x + 32) = 0
यदि x – 48 = 0, तो x = 48
और यदि x + 32 = 0, तो x = -32 जो अग्राह्य है।
अत: x = 48 किमी/घण्टा
अत: तेज चलने वाली गाड़ी की औसत चाल = 48 किमी/घण्टा
तथा धीरे चलने वाली गाड़ी की औसत चाल = 48 – 16 = 32 किमी/घण्टा

प्रश्न 5.
एक नाव को जिसकी शान्त जल में चाल 15 किमी/घण्टा है, धारा की दिशा में 30 किमी जाने और फिर धारा के विपरीत दिशा में लौटने में कुल 4 घण्टा 30 मिनट लगता है। धारा की चाल ज्ञात कीजिए।
हल
शान्त जल में नाव की चाल = 15 किमी/घण्टा
माना, नदी की चाल = x किमी/घण्टा
धारा के अनुकूल नाव की चाल = (15 + x) किमी/घण्टा
धारा के विपरीत नाव की चाल = (15 – x) किमी/घण्टा
धारा के अनुकूल 30 किमी जाने में लगा समय = \(\left(\frac{30}{15+x}\right)\) घंटा
धारा के विपरीत 30 किमी जाने में लगा समय = \(\left(\frac{30}{15-x}\right)\) घंटा

⇒ 225 – x² = 200
⇒ x² = 225 – 200
⇒ x² = 25
⇒ x = ±5
परन्तु x ≠ -5, चूँकि चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती।
अत: x = 5
अतः धारा की चाल 5 किमी/घण्टा है।

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.4 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.4

Bihar Board Class 10 Maths द्विघात समीकरण Ex 4.4

प्रश्न 1.
निम्न द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए। यदि मूलों का अस्तित्व हो, तो उन्हें ज्ञात कीजिए :
(i) 2x² – 3x + 5 = 0
(ii) 3x² – 4√3x + 4 = 0
(iii) 2x² – 6x + 3 = 0
हल
(i) दिया गया समीकरण :
2x² – 3x + 5 = 0
उपर्युक्त समीकरण, की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 से करने पर,
a = 2, b = -3 तथा c = 5
विविक्तकर, D = b² – 4ac
=(-3)² – 4 × 2 × 5
= 9 – 40
= -31 (ऋणात्मक)
∵ विविक्तकर D ऋणात्मक है।
∵ समीकरण के मूल काल्पनिक हैं।
अतः समीकरण के मूल अधिकल्पित हैं या मूलों का अस्तित्व नहीं है।

(ii) दिया गया समीकरण :
3x² – 4√3x + 4 = 0
उपर्युक्त समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 से करने पर,
a = 3, b = -4√3 तथा c = 4
विविक्तकर, D = b² – 4ac
=(-4√3)² – 4 × 3 × 4
= 48 – 48
= शून्य
विविक्तकर D = 0; अत: समीकरण के मूल वास्तविक और समान हैं।

मूल दो हैं जो परस्पर समान हैं;
अत: समीकरण के मूल = \(\frac{2}{\sqrt{3}}, \frac{2}{\sqrt{3}}\)

(iii) दिया गया समीकरण :
2x² – 6x + 3 = 0
उपर्युक्त समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 से करने पर,
a = 2, b = -6 तथा c = 3
विविक्तकर, D = b² – 4ac
= (-6)² – 4 × 2 × 3
= 36 – 24
= 12
विविक्तकर, D > 0; अत: समीकरण के मूल वास्तविक और असमान हैं।

प्रश्न 2.
निम्न प्रत्येक द्विघात समीकरण में k का ऐसा मान ज्ञात कीजिए कि उसके दो बराबर मूल हों।
(i) 2x² + kx + 3 = 0
(ii) kx(x – 2) + 6 = 0
हल
(i) दिया गया समीकरण : 2x² + kx + 3 = 0
उपर्युक्त समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 से करने पर,
a = 2, b = k तथा c = 3
विविक्तकर, D = b² – 4ac
= k² – 4 × 2 × 3
= k² – 24
समीकरण के मूल समान हैं। तब, विविक्तकर, D = 0
k² – 24 = 0
⇒ k² = 24
⇒ k = ±√24 = ±2√6
अत: मूल बराबर होने के लिए k = ±2√6 होना चाहिए।

(ii) दिया गया समीकरण :
kx(x – 2) + 6 = 0
⇒ kx² – 2kx + 6 = 0
उपर्युक्त समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 से करने पर,
a = k, b = -2k तथा c = 6
विविक्तकर, D = b² – 4ac
= (-2k)² – 4 × k × 6
= 4k² – 24k
= 4k(k – 6)
समीकरण के मूल बराबर हैं, तब विविक्तकर, D = 0
4k(k – 6) = 0
यदि 4k = 0 तो k = 0
और यदि (k – 6) = 0 तो k = 6
अत: समीकरण के मूल बराबर होने के लिए k = 6 होना चाहिए क्योंकि k = 0 प्रतिबन्धित होता है।

प्रश्न 3.
क्या एक ऐसी आम की बगिया बनाना सम्भव है जिसकी लम्बाई, चौड़ाई से दुगुनी हो और उसका क्षेत्रफल 800 m² हो? यदि है, तो उसकी लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल
माना आम की बगिया की चौड़ाई x m है।
लम्बाई, चौड़ाई की दुगुनी है।
लम्बाई = 2x m
बगिया का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई = 2x × x = 2x² m²
परन्तु, दिया है कि बगिया का क्षेत्रफल = 800 m²
2x² = 800
⇒ x² = 400
⇒ x = ±√400 = ± 20 m
तब, बगिया की चौड़ाई = 20 m (∵ चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती)
बगिया की लम्बाई = 2x = 2 × 20 = 40 m
अत: आम की बगिया सम्भव है और उसकी लम्बाई 40 m व चौड़ाई 20 m होगी।

प्रश्न 4.
क्या निम्न स्थिति सम्भव है? यदि है, तो उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए :
दो मित्रों की आयु का योग 20 वर्ष है। चार वर्ष पूर्व उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल 48 था।
हल
माना एक मित्र की आयु x वर्ष है।
दोनों का आयु का योग 20 वर्ष है।
दूसरे मित्र की आयु = (20 – x) वर्ष
4 वर्ष पूर्व पहले मित्र की आयु = (x – 4) वर्ष
तथा 4 वर्ष पूर्व दूसरे मित्र की आयु = (20 – x – 4) = (16 – x) वर्ष
तब, 4 वर्ष पूर्व दोनों की आयु का गुणनफल = (x – 4) (16 – x)
= 16x – x² – 64 + 4x
= -x² + 20x – 64
दिया है, गुणनफल = 48
48 = -x² + 20x – 64
⇒ x² – 20x + 64 + 48 = 0
⇒ x² – 20x + 112 = 0
उपर्युक्त समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 से करने पर,
a = 1, b = -20 तथा c = 112
तब, विविक्तकर, D = b² – 4ac
= (-20)² – 4 × 1 × 112
= 400 – 448
= -48
विविक्तकर D ऋणात्मक है।
समीकरण के मूल अधिकल्पित हैं।
अत: ऐसी स्थिति सम्भव नहीं है।

प्रश्न 5.
क्या परिमाप 80 m तथा क्षेत्रफल 400 m² के एक पार्क को बनाना सम्भव है? यदि है, तो उसकी लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल
माना पार्क की लम्बाई x m है।
दिया है, पार्क का परिमाप = 80 m
⇒ 2 (लम्बाई + चौड़ाई) = 80 m
⇒ 2(x + चौड़ाई) = 80
⇒ x + चौड़ाई = 40
⇒ चौड़ाई = (40 – x) m
तब, पार्क का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
= x(40 – x)
= (40x – x²) m²
परन्तु प्रश्नानुसार पार्क का क्षेत्रफल 400 m² है।
400 = 40x – x²
⇒ x² – 40x + 400 = 0
उपर्युक्त समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 से करने पर,
a = 1, b = -40 तथा c = 400
विविक्तकर, D = b² – 4ac
= (-40)² – 4 × 1 × 400
= 1600 – 1600
= 0
विविक्तकर, D = 0;
अत: समीकरण के मूल समान हैं।

प्रत्येक मूल 20 है।
अत: ऐसा पार्क सम्भव है और उसकी लम्बाई व चौड़ाई में से प्रत्येक 20 m होगी।

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.2 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.2

Bihar Board Class 10 Maths द्विघात समीकरण Ex 4.2

प्रश्न 1.
गुणनखण्ड विधि से निम्न द्विघात समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए :
(i) x² – 3x – 10 = 0
(ii) 2x² + x – 6 = 0
(iii) √2x² + 7x + 5√2 = 0
(iv) 2x² – x + \(\frac{1}{8}\) = 0
(v) 100x² – 20x + 1 = 0
हल
(i) दिया हुआ द्विघात समीकरण :
x² – 3x – 10 = 0
⇒ x² – (5 – 2)x – 10 = 0 [मध्यपद के विखण्डन से]
⇒ x² – 5x + 2x – 10 = 0
⇒ x(x – 5) + 2(x – 5) = 0
⇒ (x – 5) (x + 2) = 0
यदि x – 5 = 0, तो x = 0 + 5 ⇒ x = 5
और यदि x + 2 = 0, तो x = 0 – 2 ⇒ x = -2
अत: द्विघात समीकरण के मूल = 5, -2

(ii) दिया हुआ द्विघात समीकरण :
2x² + x – 6 = 0
⇒ 2x² + (4 – 3)x – 6 = 0 [मध्यपद के विखण्डन से]
⇒ 2x² + 4x – 3x – 6 = 0
⇒ 2x(x + 2) – 3(x + 2) = 0
⇒ (x + 2) (2x – 3) = 0
⇒ (x + 2) (2x – 3) = 0
यदि x + 2 = 0 हो, तो x = 0 – 2 ⇒ x = -2
और यदि 2x – 3 = 0 हो, तो 2x = 0 + 3 ⇒ 2x = 3 या x = \(\frac{3}{2}\)
अत: द्विघात समीकरण के मूल = -2, \(\frac{3}{2}\)

(iii) दिया हुआ द्विघात समीकरण :
√2x² + 7x + 5√2 = 0
⇒ √2x² + (5 + 2)x + 5√2 = 0 [मध्यपद के विखण्डन से]
⇒ √2x² + 5x + 2x + 5√2 = 0
⇒ (√2x² + 5x) (2x + 5√2) = 0
⇒ x(√2x + 5) + √2(√2x + 5) = 0
⇒ (√2x + 5) (x + √2) = 0
⇒ (√2x + 5) (x + √2) = 0
यदि √2x + 5 = 0 हो, तो √2x = 0 – 5 या x = \(\frac{-5}{\sqrt{2}}\) और
यदि x + √2 = 0 हो, तो x = -√2
अतः द्विघात समीकरण के मूल = \(\frac{-5}{\sqrt{2}}\), -√2

(iv) दिया हुआ द्विघात समीकरण :
2x² – x + \(\frac{1}{8}\) = 0
⇒ 16x² – 8x + 1 = 0 [दोनों पक्षों को 8 से गुणा करने पर]
⇒ (4x)² – 2 × 4x × 1 + (1)² = 0 [पूर्ण वर्ग बनाने पर]
⇒ (4x – 1)² = 0 [∵ (a – b)² = a² – 2ab + b²]
⇒ (4x – 1) (4x – 1) = 0
प्रत्येक स्थिति में 4x – 1 = 0 ⇒ x = \(\frac{1}{4}\)
अतः द्विघात समीकरण के मूल = \(\frac{1}{4}\), \(\frac{1}{4}\)

(v) दिया हुआ द्विघात समीकरण :
100x² – 20x + 1 = 0
⇒ 100x² – (10 + 10)x + 1 = 0 [ मध्यपद के विखण्डन से]
⇒ 100x² – 10x – 10x + 1 = 0
⇒ 100x² – 10x – 10x + 1 = 0
⇒ 10x(10x – 1) – 1 (10x – 1) = 0
⇒ (10x – 1) (10x – 1) = 0
प्रत्येक स्थिति में 10x – 1 = 0
⇒ x = \(\frac{1}{10}\)
अतः द्विघात समीकरण के मूल = \(\frac{1}{10}\), \(\frac{1}{10}\)

प्रश्न 2.
निम्न स्थितियों को गणितीय रूपमें व्यक्त कीजिए :
(i) जॉन और जीवंती के पास कुल मिलाकर 45 कंचे हैं। दोनों पाँच-पाँच कंचे खो देते हैं और अब उनके पास कंचों की संख्या का गुणनफल 124 है। हम जानना चाहेंगे कि आरम्भ में उनके पास कितने कंचे थे?
(ii) एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ खिलौने निर्मित करता है। प्रत्येक खिलौने का मूल्य ₹55 में से एक दिन में निर्माण किए गए खिलौनों की संख्या को घटाने से प्राप्त संख्या के बराबर है। किसी एक दिन, कुल निर्माण लागत ₹750 थी। हम उस दिन निर्माण किए गए खिलौनों की संख्या ज्ञात करना चाहेंगे।
हल
(i) माना आरम्भ में जॉन के पास x कंचे थे।
दोनों के पास कुल कंचों की संख्या = 45
जीवन्ती के पास प्रारम्भ में कंचों की संख्या = (45 – x)
जब जॉन 5 कंचे खो देता है, तो उसके पास शेष बचे कंचों की संख्या = (x – 5)
इसी प्रकार, जब जीवन्ती 5 कंचे खो देती है, तो उसके पास शेष बचे कंचों की संख्या = (45 – x – 5) = (40 – x)
अब, कंचों की संख्या का गुणनफल = (x – 5) (40 – x)
= 40x – x² – 200 + 5x
= -x² + 45x – 200
परन्तु प्रश्नानुसार कंचों की संख्या का गुणनफल 124 है।
-x² + 45x – 200 = 124
⇒ -x² + 45x – 200 – 124 = 0 [पक्षान्तरण से]
⇒ -x² + 45x – 324 = 0
⇒ -(x² – 45x + 324) = 0
⇒ x² – 45x + 324 = 0
⇒ x² – (36 + 9)x + 324 = 0 [मध्यपद के विखण्डन से]
⇒ x² – 36x – 9x + 324 = 0
⇒ x² – 36x – 9x + 324 = 0
⇒ x(x – 36) – 9(x – 36) = 0
⇒ (x – 36) (x – 9) = 0
यदि x – 36 = 0, तो x = 36
और यदि x – 9 = 0, तो x = 9
अत: जॉन के पास कंचों की संख्या = 36 अथवा 9
तब स्पष्ट है कि यदि जॉन के पास 36 कंचे हैं, तो जीवन्ती के पास 9 कंचे होंगे।
और यदि जॉन के पास 9 कंचे हैं तो जीवन्ती के पास 36 कंचे होंगे।
अतः उनके पास कंचों की संख्या (9, 36) अथवा (36, 9).

(ii) माना उस दिन निर्मित खिलौनों की संख्या x है।
प्रश्नानुसार, प्रत्येक खिलौने का मूल्य = ₹ (55 – x)
उस दिन निर्मित सभी x खिलौनों की लागत = ₹ x(55 – x) = ₹ (55x – x²)
परन्तु उस दिन की निर्माण लागत = ₹ 750
55x – x² = 750
⇒ 55x – x² – 750 = 0 [पक्षान्तरण से]
⇒ x² – 55x + 750 = 0
⇒ x² – (25 + 30)x + 750 = 0 [मध्यपद के विखण्डन से]
⇒ x² – 25x – 30x + 750 = 0
⇒ x² – 25x – 30x + 750 = 0
⇒ x(x – 25) – 30(x – 25) = 0
⇒ (x – 25) (x – 30) = 0
यदि x – 25 = 0, तो x = 25
और यदि x – 30 = 0 तो x = 30
अतः निर्माण किए गए खिलौनों की संख्या = 25 या 30

प्रश्न 3.
ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए, जिनका योग 27 हो और गुणनफल 182 हो।
हल
माना एक संख्या x है।
दूसरी संख्या = (27 – x) होगी।
तब संख्याओं का गुणनफल = x(27 – x) = 27x – x²
परन्तु दो संख्याओं का गुणनफल = 182
182 = 27x – x²
⇒ x² – 27x + 182 = 0 [पक्षान्तरण से]
⇒ x² – (14 + 13)x + 182 = 0 [मध्यपद के विखण्डन से]
⇒ x² – 14x – 13x + 182 = 0
⇒ x(x – 14) – 13(x – 14) = 0
⇒ (x – 14) (x – 13) = 0
यदि x – 14 = 0, तो x = 14
और यदि x – 13 = 0, तो x = 13
पहली संख्या = 14 अथवा 13
यदि पहली संख्या 14 तो दूसरी 13 होगी; और पहली संख्या 13 तो दूसरी 14 होगी।
अत: अभीष्ट संख्याएँ = (14, 13) अथवा (13, 14)

प्रश्न 4.
दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 365 हो।
हल
माना दो क्रमागत धन पूर्णांक x तथा x + 1 हैं।
प्रश्नानुसार, पूर्णांकों के वर्गों का योग 365 है।
x² + (x + 1)² = 365
⇒ x² + x² + 2x + 1 = 365 [∵ (a + b)² = a² + 2ab + b²]
⇒ 2x² + 2x + 1 – 365 = 0 [पक्षान्तरण से]
⇒ 2x² + 2x – 364 = 0
⇒ 2(x² + x – 182) = 0
⇒ x² + x – 182 = 0
⇒ x² + (14 – 13)x – 182 = 0 [मध्यपद के विखण्डन से]
⇒ x² + 14x – 13x – 182 = 0
⇒ x(x + 14) – 13(x + 14) = 0
⇒ (x + 14) (x – 13) = 0
यदि x + 14 = 0, तो x = -14;
और यदि x – 13 = 0, तो x = 13
परन्तु x एक धन पूर्णांक है। इसलिए x का मान -14 स्वीकार्य नहीं है, तब x = 13
अत: पहला पूर्णांक = 13 और अगला धन पूर्णांक = 13 + 1 = 14

प्रश्न 5.
एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई इसके आधार से 7 cm कम है। यदि कर्ण 13 cm का हो तो अन्य दो भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
हल
माना समकोण त्रिभुज की आधार भुजा x cm है
समकोण त्रिभुज की ऊँचाई आधार से 7 cm कम है।
समकोण त्रिभुज की ऊँचाई या लम्ब भुजा = (x – 7) cm
तब, पाइथागोरस प्रमेय से,
(लम्ब)² + (आधार)² = (कर्ण)²
⇒ (x – 7)² + x² = (13)² [∵ दिया है, कर्ण = 13 cm]
⇒ x² – 14x + 49 + x² = 169 [∵ (a – b)² = a² – 2ab + b²]
⇒ 2x² – 14x + 49 – 169 = 0 [पक्षान्तरण से]
⇒ 2x² – 14x – 120 = 0
⇒ 2(x² – 7x – 60) = 0
⇒ x² – 7x – 60 = 0
⇒ x² – (12 – 5)x – 60 = 0 [मध्यपद के विखण्डन से ]
⇒ x² – 12x + 5x – 60 = 0
⇒ (x² – 12x) + (5x – 60) = 0
⇒ x(x – 12) + 5 (x – 12) = 0
⇒ (x – 12) (x + 5) = 0
यदि x – 12 = 0, तो x = 12
और यदि (x + 5) = 0, तो x = -5
परन्तु भुजा x का ऋणात्मक मान स्वीकार्य नहीं हो सकता जिससे x = 12
तब, ऊँचाई या लम्ब भुजा = x – 7 = 12 – 7 = 5 cm
अत: त्रिभुज की अन्य दो भुजाएँ = 5 cm व 12 cm

प्रश्न 6.
एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ बर्तनों का निर्माण करता है। एक विशेष दिन यह देखा गया कि प्रत्येक नग की निर्माण लागत (₹ में) उस दिन के निर्माण किए बर्तनों की संख्या के दुगुने से 3 अधिक थी। यदि उस दिन की कुल निर्माण लागत ₹ 90 थी, तो निर्मित बर्तनों की संख्या और प्रत्येक नग की लागत ज्ञात कीजिए।
हल
माना उस विशेष दिन में निर्मित बर्तनों की संख्या x थी।
प्रत्येक नग की लागत निर्मित बर्तनों की संख्या के दुगुने से 3 अधिक थी।
प्रत्येक नग की लागत = ₹ (2x + 3)
तब उस दिन निर्मित सभी बर्तनों की लागत = ₹x × (2x + 3) = ₹ (2x² + 3x)
प्रश्नानुसार, उस दिन की कुल निर्माण लागत = ₹ 90
⇒ 2x² + 3x = 90
⇒ 2x² + 3x – 90 = 0 [पक्षान्तरण से]
⇒ 2x² + (15 – 12)x – 90 = 0 [मध्यपद के विखण्डन से]
⇒ 2x² + 15x – 12x – 90 = 0
⇒ x(2x + 15) – 6(2x + 15) = 0
⇒ (2x + 15)(x – 6) = 0
यदि x – 6 = 0, तो x = 6
और यदि 2x + 15 = 0 हो, तो x = \(-\frac{15}{2}\)
बर्तनों की संख्या x ऋणात्मक नहीं हो सकती जिससे x का ऋणात्मक मान स्वीकार्य नहीं है।
अत: x = 6 अर्थात् निर्मित बर्तनों की संख्या = 6
तब, प्रत्येक नग की लागत = ₹ (2x + 3)
= ₹ (2 × 6) + 3
= ₹(12 + 3)
= ₹15
अत: निर्मित बर्तनों की संख्या 6 तथा प्रत्येक नग की लागत ₹ 15 है।

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.1 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.1

Bihar Board Class 10 Maths द्विघात समीकरण Ex 4.1

प्रश्न 1.
जाँच कीजिए कि क्या निम्न द्विघात समीकरण हैं :
(i) (x + 1)² = 2(x – 3)
(ii) x² – 2x = (-2)(3 – x)
(iii) (x – 2)(x + 1) = (x – 1) (x + 3)
(iv) (x – 3) (2x + 1) = x(x + 5)
(v) (2x – 1)(x – 3) = (x + 5)(x – 1)
(vi) x² + 3x + 1 = (x – 2)²
(vii) (x + 2)³ = 2x(x² – 1)
(viii) x³ – 4x² – x + 1 = (x – 2)³
हल
(i) दिया गया समीकरण :
(x + 1)² = 2(x – 3)
⇒ x² + 2x + 1 = 2(x – 3) [∵ (a + b)² = a² + 2ab + b²]
⇒ x² + 2x + 1 = 2x – 6 [दाएँ पक्ष को सरल करने पर ]
⇒ x² + 2x + 1 – 2x + 6 = 0 [पक्षान्तरण से]
⇒ x² + 7 = 0
उक्त समीकरण में चर x की अधिकतम घात 2 है।
अत: दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण है।

(ii) दिया गया समीकरण :
x² – 2x = (-2)(3 – x)
⇒ x² – 2x = -6 + 2x [सरल करने पर]
⇒ x² – 2x – 2x + 6 = 0 [पक्षान्तरण से]
⇒ x² – 4x + 6 = 0
उक्त समीकरण में चर x की अधिकतम घात 2 है।
अत: दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण है।

(iii) दिया गया समीकरण :
(x – 2) (x + 1) = (x – 1) (x + 3)
⇒ x(x + 1) – 2(x + 1) = x(x + 3) – 1(x + 3) [सरल करने पर]
⇒ x² + x – 2x – 2 = x² + 3x – x – 3
⇒ x² – x – 2 = x² + 2x – 3
⇒ x² – x – 2 – x² – 2x + 3 = 0 [पक्षान्तरण से]
⇒ -3x + 1 = 0 [सरल करने पर]
उक्त समीकरण में चर x की अधिकतम घात 2 नहीं है।
अतः दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण नहीं है।

(iv) दिया गया समीकरण :
(x – 3) (2x + 1) = x(x + 5)
⇒ x(2x + 1) – 3(2x + 1) = x(x + 5) [सरल करने पर]
⇒ 2x² + x – 6x – 3 = x² + 5x [सरल करने पर]
⇒ 2x² + x – 6x – 3 – x² – 5x = 0 [पक्षान्तरण से]
⇒ x² – 10x – 3 = 0 [सरल करने पर]
उक्त समीकरण में चर x की अधिकतम घात 2 है।
अत: दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण है।

(v) दिया गया समीकरण :
(2x – 1) (x – 3) = (x + 5) (x – 1)
⇒ 2x(x – 3) – 1(x – 3) = x(x – 1) + 5(x – 1) [सरल करने पर]
⇒ 2x² – 6x – 1x + 3 = x² – 1x + 5x – 5 [सरल करने पर]
⇒ 2x² – 7x + 3 = x² +4x – 5
⇒ 2x² – 7x + 3 – x² – 4x + 5 = 0 [पक्षान्तरण से]
⇒ x² – 11x + 8 = 0
उक्त समीकरण में चर x की अधिकतम घात 2 है।
अत: दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण है।

(vi) दिया गया समीकरण :
x² + 3x + 1 = (x – 2)²
⇒ x² + 3x + 1 = x² – 4x + 4 [∵ (a – b)² = a² – 2ab + b²]
⇒ x² + 3x + 1 – x² + 4x – 4 = 0 [पक्षान्तरण से]
⇒ 3x + 1 + 4x – 4 = 0 [सरल करने पर]
⇒ 7x – 3 = 0
उक्त समीकरण में चर x की अधिकतम घात 2 नहीं है।
अत: दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण नहीं है।

(vii) दिया गया समीकरण :
(x + 2)³ = 2x(x² – 1)
⇒ x³ + (2)³ + 3 × x × 2(x + 2) = 2x(x² – 1) [∵ (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b)]
⇒ x³ + 8 + 6x² + 12x = 2x³ – 2x [सरल करने पर]
⇒ x³ + 8 + 6x² + 12x – 2x³ + 2x = 0 [पक्षान्तरण से]
⇒ -x³ + 6x² + 14x + 8 = 0 [सरल करने पर]
उक्त समीकरण में चर x की अधिकतम घात 2 नहीं है।
अतः दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण नहीं है।

(viii) दिया गया समीकरण :
x³ – 4x² – x + 1 = (x – 2)³
⇒ x³ – 4x² – x + 1 = x³ – (2)³ – 3 × x × 2(x – 2) [∵ (a – b)³ = a³ – b³ – 3ab(a – b)]
⇒ x³ – 4x² – x + 1 = x³ – 8 – 6x(x – 2) [सरल करने पर]
⇒ x³ – 4x² – x + 1 = x³ – 8 – 6x² + 12x [सरल करने पर]
⇒ x³ – 4x² – x + 1 – x³ + 8 + 6x² – 12x = 0 [पक्षान्तरण से]
⇒ 2x² – 13x + 9 = 0
उक्त समीकरण में चर x की अधिकतम घात 2 है।
अत: दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण है।

प्रश्न 2.
निम्न स्थितियों को द्विघात समीकरणों के रूप में निरूपित कीजिए :
(i) एक आयताकार भूखण्ड का क्षेत्रफल 528 मीटर है। क्षेत्र की लम्बाई (मीटरों में) चौड़ाई के दुगुने से एक अधिक है। हमें भूखण्ड की लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात करनी है।
(ii) दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 306 है। हमें पूर्णांकों को ज्ञात करना है।
(iii) रोहन की माँ उससे 26 वर्ष बड़ी है। उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल अब से तीन वर्ष पश्चात् 360 हो जाएगा। हमें रोहन की वर्तमान आयु ज्ञात करनी है।
(iv) एक रेलगाड़ी 480 km की दूरी समान चाल से तय करती है। यदि इसकी चाल 8 km/h कम होती, तो वह उसी दूरी को तय करने में 3 घंटे अधिक लेती। हमें रेलगाड़ी की चाल ज्ञात करनी है।
हल
(i) माना भूखण्ड की चौड़ाई x मीटर है।
प्रश्नानुसार, भूखण्ड की लम्बाई, उसकी चौड़ाई के दोगुने से 1 मीटर अधिक है।
भूखण्ड की लम्बाई = (2 × चौड़ाई) + 1
= (2 × x) + 1
= (2x + 1) मीटर
आयताकार भूखण्ड का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
भूखण्ड का क्षेत्रफल = (2x + 1) × (x) वर्ग मीटर = (2x² + x) वर्ग मीटर
परन्तु भूखण्ड का क्षेत्रफल = 528 वर्ग मीटर
2x² + x = 528
⇒ 2x² + x – 528 = 0
अत: अभीष्ट द्विघात समीकरण : 2x² + x – 528 = 0

(ii) माना पहला धन पूर्णांक =x तथा दूसरा क्रमागत धन पूर्णांक = (x + 1)
पूर्णांकों का गुणनफल = x(x + 1) = x² + x
परन्तु पूर्णांकों का गुणनफल = 306
x² + x = 306
⇒ x² + x – 306 = 0
अत: अभीष्ट द्विघात समीकरण : x² + x – 306 = 0

(iii) माना रोहन की वर्तमान आयु = x वर्ष
उसकी माँ रोहन से 26 वर्ष बड़ी है।
रोहन की माँ की वर्तमान आयु = (x + 26) वर्ष
तीन वर्ष बाद, रोहन की आयु (x + 3) वर्ष तथा उसकी माँ की आयु (x + 26 + 3) या (x + 29) वर्ष हो जाएगी।
रोहन और उसकी माँ की आयु का गुणनफल = (x + 3) (x + 29)
= x(x + 29) + 3(x + 29)
= x² + 29x + 3x + 87
= x² + 32x + 87
प्रश्नानुसार, आयु का गुणनफल = 360
x² + 32x + 87 = 360
⇒ x² + 32x + 87 – 360 = 0
⇒ x² + 32x – 273 = 0
अत: अभीष्ट द्विघात समीकरण : x² + 32x – 273 = 0

(iv) माना रेलगाड़ी की चाल x km/h है।
निर्धारित दूरी = 480 km
रेलगाड़ी को 460 km दूरी तय करने में लगने वाला समय = \(\frac{480}{x}\) घंटे

यदि रेलगाड़ी की चाल 8 km/h कम होती तब रेलगाड़ी की चाल = (x – 8) km/h
रेलगाड़ी को 480 km दूरी चलने में लगा समय = \(\frac{480}{x-8}\) घंटे।

⇒ 3x² – 24x = 3840 [वज्रगुणन से]
⇒ 3x² – 24x – 3840 = 0 [पक्षान्तरण से]
⇒ 3(x² – 8x – 1280) = 0 [3 सार्व लेने पर ]
⇒ x² – 8x – 1280 = 0 [दोनों पक्षों में 3 से भाग देने पर]
अत: अभीष्ट द्विघात समीकरण : x² – 8x – 1280 = 0

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Additional Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Additional Questions

Bihar Board Class 10 Maths दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Additional Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
आलेखीय रूप से,
6x – 3y + 10 = 0
2x – y + 9 = 0
समीकरणों का युग्म दो रेखाएँ निरूपित करता है, जो
(i) ठीक एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती हैं
(ii) ठीक दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करती हैं
(iii) संपाती हैं
(iv) समांतर हैं
हल
(iv) समांतर हैं

प्रश्न 2.
समीकरण x + 2y + 5 = 0 और -3x – 6y + 1 = 0 के युग्म
(i) का एक अद्वितीय हल है
(ii) के ठीक दो हल हैं
(iii) के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं
(iv) का कोई हल नहीं है
हल
(iv) का कोई हल नहीं है

प्रश्न 3.
यदि रैखिक समीकरणों का कोई युग्म संगत है, तो इसके आलेख की रेखाएँ होंगी
(i) समान्तर
(ii) सदैव संपाती
(iii) प्रतिच्छेदी या संपाती
(iv) सदैव प्रतिच्छेदी
हल
(iii) प्रतिच्छेदी या संपाती

प्रश्न 4.
समीकरण y = 0 और y = -7 के युग्म
(i) का एक हल है
(ii) के दो हल हैं
(iii) अपरिमित रूप से अनेक हल हैं
(iv) का कोई हल नहीं है
हल
(iv) का कोई हल नहीं है

प्रश्न 5.
समीकरण x = a और y = b का युग्म आलेखीय रूप वे रेखाएँ निरूपित करता है, जो
(i) समांतर हैं
(ii) (b, a) पर प्रतिच्छेद करती हैं
(iii) संपाती हैं
(iv) (a, b) पर प्रतिच्छेद करती हैं
हल
(iv) (a, b) पर प्रतिच्छेद करती हैं

प्रश्न 6.
k के किस मान के लिए समीकरण 3x – y + 8 = 0 और 6x – ky = -16 संपाती रेखाएँ निरूपित करते हैं?
(i) \(\frac{1}{2}\)
(ii) \(\frac{-1}{2}\)
(iii) 2
(iv) -2
हल
(iii) 2

प्रश्न 7.
यदि 3x + 2ky = 2 और 2x + 5y + 1 = 0 द्वारा दी जाने वाली रेखाएँ परस्पर समांतर हैं, तो k का मान है
(i) \(\frac{-5}{4}\)
(ii) \(\frac{2}{5}\)
(iii) \(\frac{15}{4}\)
(iv) \(\frac{3}{2}\)
हल
(ii) \(\frac{2}{5}\)

प्रश्न 8.
c का वह मान, जिसके लिए समीकरणों cx – y = 2 और 6x – 2y = 3 के युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे, है
(i) 3
(ii) -3
(iii) -12
(iv) कोई मान नहीं
हल
(iv) कोई मान नहीं

प्रश्न 9.
आश्रित रैखिक समीकरणों के युग्म का एक समीकरण -5x + 7y = 2 है। दूसरा समीकरण हो सकता है
(i) 10x + 14y + 4 = 0
(ii) -10x – 14y + 4 = 0
(iii) -10x + 14y + 4 = 0
(iv) 10x – 14y = -4
हल
(iv) 10x – 14y = -4

प्रश्न 10.
एक अद्वितीय हल x = 2, y = -3 वाले समीकरण का एक युग्म है
(i) x + y = -1
2x – 3y = -5
(ii) 2x + 5y = -11
4x + 10y = -22
(iii) 2x – y = 1
3x + 2y = 0
(iv) x – 4y – 14 = 0
5x – y – 13 = 0
हल
(ii) 2x + 5y = -11
4x + 10y = -22

प्रश्न 11.
यदि x = a और y = b समीकरणों x – y = 2 और x + y = 4 का हल है, तो a और b के मान क्रमशः हैं
(i) 3 और 5
(ii) 5 और 3
(iii) 3 और 1
(iv) -1 और -3
हल
(iii) 3 और 1

प्रश्न 12.
अरुणा के पास केवल 1 और ₹ 2 के सिक्के हैं। यदि उसके पास कुल 50 सिक्के हैं तथा कुल धनराशि ₹ 75 है, तो ₹ 1 और ₹ 2 के सिक्कों की संख्याएँ क्रमशः हैं
(i) 35 और 15
(ii) 35 और 20
(iii) 15 और 35
(iv) 25 और 25
हल
(iv) 25 और 25

प्रश्न 13.
पिता की आयु पुत्र की आयु की 6 गुनी है। चार वर्ष के बाद, पिता की आयु अपने पुत्र की आयु की चार गुनी होगी। पुत्र और पिता की वर्तमान आयु (वर्षों में ) क्रमशः हैं
(i) 4 और 24
(ii) 5 और 30
(iii) 6 और 36
(iv) 3 और 24
हल
(iii) 6 और 36

अतिलघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
दिखाइए कि निम्न रैखिक समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल है।
3x – 4y = 10 तथा 4x + 3y = 5
हल
दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म
3x – 4y – 10 = 0 …….. (1)
4x + 3y – 5 = 0 …….(2)
उपर्युक्त समीकरण युग्म की तुलना रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁y = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,

दिए गए समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल है।

प्रश्न 2.
बिना ग्राफ की सहायता के बताइए कि रेखाएँ 4x + 6y – 18 = 0 और 2x + 3y – 6 = 0 प्रतिच्छेदी हैं या सम्पाती हैं या समान्तर हैं?
हल
दिए गए समीकरणों का युग्म
4x + 6y – 18 = 0 ……(1)
2x + 3y – 6 = 0 …….(2)
उपर्युक्त समीकरण युग्म की तुलना रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,

अत: समीकरण युग्म द्वारा निरूपित ऋजु रेखाएँ समान्तर हैं।

प्रश्न 3.
किसी स्कूल के विद्यार्थियों को उनके समग्र शैक्षिक प्रदर्शन के लिए 7 नकद पुरस्कार देने के लिए ₹ 700 की राशि रखी गई है। यदि प्रत्येक पुरस्कार अपने से ठीक पहले पुरस्कार से ₹ 20 कम है, तो प्रत्येक पुरस्कार का मान ज्ञात कीजिए।
हल
माना सबसे कम पुरस्कार की राशि ₹ x हैं।
7 पुरस्कारों का मूल्य = ₹ x , ₹ (x + 20), ₹ (x + 40), ₹ (x + 60), ₹ (x + 80) , ₹ (x + 100), ₹ (x + 120)
प्रश्नानुसार, x + x + 20 + x + 40 + x + 60 + x + 80 + x + 100 + x + 120 = 700
⇒ 7x + 420 = 700
⇒ 7x = 700 – 420 = 280
⇒ x = 40
अतः पुरस्कारों की राशि ₹ 40, ₹ 60 , ₹ 80 , ₹ 100 ,₹ 120 , ₹ 140 तथा ₹ 160 है।

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
निम्नलिखित समीकरण युग्म को ग्राफीय विधि से हल कीजिए-
5x – y – 7 = 0 तथा x – y + 1 = 0
हल
1. दिए हुए समीकरण युग्म का पहला समीकरण
5x – y – 7 = 0
2. माना x = 0, तब x का यह मान समीकरण 5x – y – 7 = 0 में रखने पर,
(5 × 0) – y – 7 = 0
⇒ 0 – y – 7 = 0
⇒ y = -7
3. तब समीकरण 5x – y – 7 = 0 के आलेख पर एक बिन्दु A = (0, -7)
4. पुनः माना x = 1, तब x का यह मान समीकरण 5x – y – 7 = 0 में रखने पर,
(5 × 1) – y – 7 = 0
⇒ 5 – y – 7 = 0
⇒ y = -2
5. तब समीकरण 5x – y – 7 = 0 के आलेख पर एक बिन्दु B = (1, -2)
6. ग्राफ पेपर पर बिन्दुओं A = (0, -7) तथा B = (1, -2) का आलेखन (plotting) कीजिए और दिए हुए समीकरण का आलेख ऋजु रेखा AB खींचिए।
7. दिए हुए समीकरण युग्म का दूसरा समीकरण x – y + 1 = 0
8. माना x = 3, तब x का यह मान समीकरण x – y + 1 = 0 में रखने पर,
3 – y + 1 = 0
⇒ 3 + 1 = 0 + y
⇒ y = 4
9. तब समीकरण x – y + 1 = 0 के आलेख पर एक बिन्दु C = (3, 4)
10. पुन: माना x = 5, तब x का यह मान समीकरण x – y + 1 = 0 में रखने पर,
5 – y + 1 = 0 या 5 + 1 = 0 + y या y = 6

11. तब समीकरण x – y + 1 = 0 के आलेख पर एक बिन्दु D = (5, 6)
12. उन्हीं निर्देशाक्षों, जिन पर समीकरण 5x – y – 7 = 0 का आलेख खींचा है, पर बिन्दुओं C = (3, 4) व D = (5, 6) का आलेखन कीजिए और समीकरण x – y + 1 = 0 का आलेख ऋजु रेखा CD खींचिए।
13. ऋजु रेखाओं AB और CD के प्रतिच्छेद बिन्दु P(h, k) के निर्देशांक आलेख की सहायता से पढ़िए। यहाँ P(h, k) = (2, 3)
अत: दिए गए समीकरण युग्म का हल x = 2, y = 3

प्रश्न 2.
समीकरण युग्म x + 3y = 6 और 2x – 3y = 12 के लिए दिए गए आलेखन को देखिए और अपनी उत्तर-पुस्तिका में निम्न प्रश्नों के उत्तर लिखिए-
(a) समीकरण युग्मों का हल क्या है?
(b) समीकरण युग्मों और Y-अक्ष से निर्मित क्षेत्र का क्षेत्रफल कितना है?

हल
(a) ग्राफ से स्पष्ट है कि समीकरण युग्मों का प्रतिच्छेद बिन्दु (6, 0) है,
अत: समीकरण युग्मों का हल x = 6 तथा y = 0
(b) त्रिभुज के शीर्ष A(6, 0), B(0, 2) तथा C(0, -4) हैं।
अतः त्रिभुज के आधार की लम्बाई BC = OC + OB = 4 + 2 = 6
त्रिभुज की ऊँचाई OA = 6
अत: त्रिभुज का क्षेत्रफल = Δ = \(\frac {1}{2}\) × BC × OA
= \(\frac {1}{2}\) × 6 × 6
= 18 वर्ग मात्रक

प्रश्न 3.
समीकरणों √x + √y = 5 तथा x + y = 13 को हल कीजिए।
हल
दिए गए समीकरणों का युग्म
√x + √y = 5 ……..(1)
x + y = 13 …….. (2)
समीकरण (2) से,
y = 13 – x ……..(3)
समीकरण (1) में y का मान रखने पर,
√x + \(\sqrt{13-x}\) = 5
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,

पुन: दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
13x – x² = 36
⇒ x² – 13x + 36 = 0
⇒ x² – (4x + 9x) + 36 = 0
⇒ x² – 4x – 9x + 36 = 0
⇒ x(x – 4) – 9(x – 4) = 0
⇒ (x – 4) (x – 9) = 0
द्विपद x2 – 13x + 36 को शून्य होने के लिए,
x – 4 = 0 = x = 4
x – 9 = 0 = x = 9
समीकरण (3) में x = 4 रखने पर, y = 13 – 4 = 9
पुन: समीकरण (3) में x = 9 रखने पर, y = 13 – 9 = 4
अतः समीकरण युग्म का हल
x = 4, 9 तथा y = 9, 4

प्रश्न 4.
समीकरणों \(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=3\) और \(\frac{2}{x}-\frac{4}{y}=2\) को हल कीजिए।
हल
दिए गए समीकरणों का युग्म

समीकरण (1) तथा समीकरण (2) को जोड़ने पर,

समीकरण (1) में से समीकरण (2) को घटाने पर,

अत: समीकरणों के युग्म का हल x = \(\frac{1}{2}\) तथा y = 2

प्रश्न 5.
6 वर्ष बाद एक आदमी की आयु उसके पुत्र की आयु की 3 गुनी हो जाएगी और 3 वर्ष पूर्व वह अपने पुत्र की आयु का 9 गुना था। उनकी वर्तमान आयुज्ञात कीजिए।
हल
माना आदमी की वर्तमान आयु x वर्ष है और उसके पुत्र की वर्तमान आयु y वर्ष है।
तब, 6 वर्ष के बाद उस आदमी की आयु = (x + 6) वर्ष
तथा 6 वर्ष के बाद उस आदमी के पुत्र की आयु = (y + 6) वर्ष
प्रश्नानुसार, 6 वर्ष बाद आदमी की आयु = 3 × (6 वर्ष बाद उस आदमी के पुत्र की आयु)
(x + 6) = 3(y + 6)
⇒ x + 6 = 3y + 18
⇒ x – 3y = 12 …….(1)
3 वर्ष पूर्व उस आदमी की आयु = (x – 3) वर्ष
और 3 वर्ष पूर्व उस आदमी के पुत्र की आयु = (y – 3) वर्ष
तब प्रश्नानुसार, 3 वर्ष पूर्व उस आदमी की आयु = 9 × (3 वर्ष पूर्व उस आदमी के पुत्र की आयु)
(x – 3) = 9 × (1 – 3)
⇒ x – 3 = 9y – 27
⇒ x = 9y – 27 + 3
⇒ x = 9y – 24 ……(2)
समीकरण (2) से x का मान समीकरण (1) में रखने पर,
9y – 24 – 3y = 12
⇒ 6y = 12 + 24
⇒ 6y = 36
⇒ y = 6
समीकरण (2) में y का मान रखने पर,
x = (9 × 6) – 24 = 54 – 24 = 30
अतः आदमी की वर्तमान आयु = 30 वर्ष
तथा उसके पुत्र की वर्तमान आयु = 6 वर्ष।

प्रश्न 6.
एक आयताकार खेत का परिमाप 50 मीटर एवं क्षेत्रफल 100 वर्ग मीटर है। खेत की लम्बाई एवं चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल
माना खेत की लम्बाई x मीटर तथा चौड़ाई y मीटर है।
खेत का परिमाप = (2x + 2y) मीटर = 2(x + y) मीटर
प्रश्नानुसार,
2(x + y) = 50
⇒ x + y = 25
⇒ y = 25 – x
खेत का क्षेत्रफल = xy वर्ग मीटर
प्रश्नानुसार, xy = 100 ……(2)
समीकरण (1) से y का मान समीकरण (2) में रखने पर,
x(25 – x) = 100
⇒ 25x – x² – 100 = 0
⇒ x² – 25x + 100 = 0
⇒ x² – (20x + 5x) + 100 = 0
⇒ x² – 20x – 5x + 100 = 0
⇒ x(x – 20) – 5(x – 20) = 0
⇒ (x – 20) (x – 5) = 0
समीकरण x² – 25x + 100 के शून्य होने के लिए,
x – 20 = 0 ⇒ x = 20
x – 5 = 0 ⇒ x = 5
समीकरण (1) में x = 20 रखने पर, y = 25 – 20 = 5
खेत की लम्बाई = 20 मीटर तथा चौड़ाई = 5 मीटर।

प्रश्न 7.
एक मोटरबोट, जिसकी स्थिर जल में चाल 18 km/h है, 24 km धारा के प्रतिकूल जाने में, वही दूरी धारा के अनुकूल जाने की अपेक्षा 1 घण्टा अधिक लेती है। धारा की चाल ज्ञात कीजिए।
हल
माना धारा की चाल = x km/h
धारा के प्रतिकूल मोटरबोट की चाल = (18 – x) km/h
तथा धारा के अनुकूल मोटरबोट की चाल = (18 + x) km/h
धारा के प्रतिकूल जाने में लगा समय = \(\frac{\text { दूरी }}{\text { चाल }}\) = \(\frac{24}{18-x}\) घंटे
इसी प्रकार, धारा के अनुकूल जाने में लगा समय = \(\frac{24}{18+x}\) घंटे
प्रश्नानुसार, \(\frac{24}{18-x}-\frac{24}{18+x}=1\)
⇒ \(\frac{24(18+x)-24(18-x)}{(18-x)(18+x)}=1\)
⇒ 24(18 + x – 18 + x) = 324 – x²
⇒ 24 × (2x) + x² – 324 = 0
⇒ x² + 48x – 324 = 0
⇒ x² + (54x – 6x) – 324 = 0
⇒ x² + 54x – 6(x + 54) = 0
⇒ x(x + 54) – 6(x + 54) = 0
⇒ (x – 6) (x + 54) = 0
अब x² + 48x – 324 के शून्य होने के लिए
x – 6 = 0 ⇒ x = 6
x + 54 = 0 ⇒ x = -54 असम्भव
धारा की चाल = 6 km/h

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
एक नाव 10 घंटे में धारा के प्रतिकूल 30 km तथा धारा के अनुकूल 44 km जाती है। 13 घंटे में वह 40 km धारा के प्रतिकूल एवं 55 km धारा के अनुकूल जाती है। धारा की चाल तथा नाव की स्थिर पानी में चाल ज्ञात कीजिए।
हल
माना नाव की स्थिर पानी में चाल x km/h और धारा की चाल y km/h है।
तब, धारा के अनुकूल नाव चलाने की चाल = (x + y) km/h
और धारा के प्रतिकूल नाव चलाने की चाल = (x – y) km/h
धारा के प्रतिकूल 30 km दूरी चलने में लगा समय = \(\frac{30}{x-y}\) घंटे
और धारा के अनुकूल 44 km दूरी चलने में लगा समय = \(\frac{44}{x+y}\) घंटे
प्रश्नानुसार, दोनों समयों का योग = 10 घंटे

इसी प्रकार, धारा के प्रतिकूल 40 km दूरी चलने में लगा समय = \(\frac{40}{x-y}\) घंटे
तथा धारा के अनुकूल 55 km दूरी चलने में लगा समय = \(\frac{55}{x+y}\) घंटे
प्रश्नानुसार, दोनों समयों का योग = 13 घंटे

समीकरण (4) में समीकरण (5) को जोड़ने पर, 2x = 16 ⇒ x = 8
समीकरण (5) में से समीकरण (4) को घटाने पर, 2y = 6 ⇒ y = 3
अत: धारा की चाल 3 km/h तथा नाव की स्थिर पानी में चाल 8 km/h है।

प्रश्न 2.
बंगलुरू के एक बस स्टैण्ड से यदि हम 2 टिकट मल्लेश्वरम के तथा 3 टिकट यशवंतपुर के खरीदें तो कुल लागत ₹ 46 है। परन्तु यदि हम 3 टिकट मल्लेश्वरम् के और 5 टिकट यशवंतपुर के खरीदें तो कुल लागत ₹ 74 है। बस स्टैण्ड से मल्लेश्वरम का किराया तथा बस स्टैण्ड से यशवंतपुर का किराया ज्ञात कीजिए।
हल
माना बस स्टैण्ड से मल्लेश्वरम् का किराया ₹ x तथा बस स्टैण्ड से यशवंतपुर का किराया ₹ y है।
बस स्टैण्ड से मल्लेश्वरम् का किराया ₹ x है।
मल्लेश्वरम् के 2 टिकटों का मूल्य = ₹ 2x
बस स्टैण्ड से यशवंतपुर का किराया = ₹ y
यशवंतपुर के 3 टिकटों का मूल्य = ₹ 3y
मल्लेश्वरम् के 2 टिकटों और यशवंतपुर के 3 टिकटों का मूल्य = ₹(2x + 3y)
परन्तु प्रश्नानुसार, इनका मूल्य ₹ 46 है।
2x + 3y = 46 ……(1)
बस स्टैण्ड से मल्लेश्वरम् का किराया ₹ x है।
मल्लेश्वरम् के 3 टिकटों का मूल्य = ₹ 3x
बस स्टैण्ड से यशवंतपुर का किराया ₹ y है।
यशवंतपुर के 5 टिकटों का मूल्य = ₹ 5y
मल्लेश्वरम् के 3 टिकटों और यशवंतपुर के 5 टिकटों का मूल्य = ₹ (3x + 5y)
परन्तु प्रश्नानुसार, उनका मूल्य ₹ 74 है।
3x + 5y = 74 ……… (2)
समीकरण (2) से,
3x + 5y = 74
⇒ 5y = 74 – 3x
⇒ y = \(\frac{74-3 x}{5}\) ……(2)
y का यह मान समीकरण (1) में रखने पर,

अत: बस स्टैण्ड से मल्लेश्वरम् का किराया ₹ 8 तथा बस स्टैण्ड से यशवंतपुर का किराया ₹ 10 है।

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.6 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.6

Bihar Board Class 10 Maths दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.6

प्रश्न 1.
निम्न समीकरणों के युग्मों को रैखिक समीकरणों के युग्म में बदल करके हल कीजिए-

हल
(i) दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म

प्रश्न 2.
निम्न समस्याओं को रैखिक समीकरण युग्म के रूप में व्यक्त कीजिए और फिर उनके हल ज्ञात कीजिए-
(i) रितु धारा के अनुकूल 2 घंटे में 20 km तैर सकती है और धारा के प्रतिकूल 2 घंटे में 4 km तैर सकती है। उसकी स्थिर जल में तैरने की चाल तथा धारा की चाल ज्ञात कीजिए।
(ii) 2 महिलाएँ एवं 5 पुरुष एक कसीदे के काम को साथ-साथ 4 दिन में पूरा कर सकते हैं, जबकि 3 महिलाएँ एवं 6 पुरुष इसको 3 दिन में पूरा कर सकते हैं। ज्ञात कीजिए कि इसी कार्य को करने में एक अकेली महिला कितना समय लेगी? पुन: इसी कार्य को करने में एक पुरुष कितना समय लेगा?
(iii) रूही 300 km दूरी पर स्थित अपने घर जाने के लिए कुछ दूरी रेलगाड़ी द्वारा तथा कुछ दूरी बस द्वारा तय करती है। यदि वह 60 km रेलगाड़ी द्वारा तथा शेष बस द्वारा यात्रा करती है तो उसे 4 घंटे लगते हैं। यदि वह 100 km रेलगाड़ी से तथा शेष बस से यात्रा करे, तो उसे 10 मिनट अधिक लगते हैं। रेलगाड़ी एवं बस की क्रमशः चाल ज्ञात कीजिए।
हल
(i) माना रितु के तैरने की चाल = x km/h तथा धारा की चाल = y km/h
जब वह धारा के अनुरूप तैरेगी तो उसकी परिणामी चाल = (x + y) km/h
और जब वह धारा के प्रतिकूल तैरेगी तो उसकी परिणामी चाल = (x – y) km/h
(∵ दूरी = चाल × समय)
धारा के अनुकूल 20 km तैरने में समय \(\left(\frac{20}{x+y}\right)\) घंटे लगना चाहिए परन्तु प्रश्न में यह समय 2 घंटे दिया है।
2 = \(\frac{20}{x+y}\)
⇒ 2(x + y) = 20
⇒ x + y = 10 …….. (1)
x + y इसी प्रकार, वह 2 घंटे में धारा के विपरीत = 2(x – y) km तैर सकती है।
(∵ दूरी = चाल × समय)
प्रश्नानुसार दिया है, दूरी = 4 km
2(x – y) = 4
⇒ x – y = 2 …… (2)
अब, समीकरण (1) व समीकरण (2) को जोड़ने पर,
2x = 12 ⇒ x = 6
तथा समीकरण (1) में से समीकरण (2) को घटाने पर,
2y = 8 ⇒ y = 4
अत: रितु के तैरने की चाल 6 km/h तथा धारा की चाल 4 km/h है।
(ii) माना 1 महिला किसी काम को x दिन में तथा 1 पुरुष उसे दिन में पूरा कर सकता है।
तब, महिला की कार्य-क्षमता = \(\frac{1}{x}\) भाग प्रतिदिन
पुरुष की कार्य-क्षमता = \(\frac{1}{y}\) भाग प्रतिदिन
तब, 2 महिलाओं द्वारा 4 दिन में किया गया कार्य = \(\frac{8}{x}\) भाग
5 पुरुषों द्वारा 4 दिन में किया गया कार्य = \(\frac{20}{y}\) भाग
2 महिलाओं और 5 पुरुषों द्वारा 4 दिन में किया गया कार्य = \(\left(\frac{8}{x}+\frac{20}{y}\right)\)
परन्तु प्रश्नानुसार यह कार्य पूर्ण कार्य है।
\(\frac{8}{x}+\frac{20}{y}=1\) …….(1)
इसी प्रकार, 3 महिलाओं द्वारा 3 दिन में किया कार्य = \(\frac{9}{x}\) भाग
6 पुरुषों द्वारा 3 दिन में किया कार्य = \(\frac{18}{y}\) भाग
3 महिलाओं और 6 पुरुषों द्वारा 3 दिन में किया कार्य = \(\left(\frac{9}{x}+\frac{18}{y}\right)\) भाग
प्रश्नानुसार यह कार्य भी पूरा कार्य है।
\(\frac{9}{x}+\frac{18}{y}=1\) ……(2)

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.5 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.5

Bihar Board Class 10 Maths दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.5

प्रश्न 1.
निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों में से किसका एक अद्वितीय हल है, किसका कोई हल नहीं है या किसके अपरिमित रूप से अनेक हल हैं। अद्वितीय हल की स्थिति में, उसे वज्रगुणन विधि से ज्ञात कीजिए।
(i) x – 3y – 3 = 0
3x – 9y – 2 = 0
(ii) 2x + y = 5
3x + 2y = 8
(iii) 3x – 5y = 20
6x – 10y = 40
(iv) x – 3y – 7 = 0
3x – 3y – 15 = 0
हल
(i) दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म
x – 3y – 3 = 0 …….. (1)
3x – 9y – 2 = 0 ……. (2)
उपर्युक्त समीकरण युग्म की तुलना रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,

अतः दिए गए समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं होगा।

(ii) दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म
2x + y = 5 ⇒ 2x + y – 5 = 0 ……(1)
3x + 2y = 8 ⇒ 3x + 2y – 8 = 0 …….. (2)
उपर्युक्त समीकरण युग्म की तुलना रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,

अत: समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल होगा।
तब वज्रगुणन से,

अत: समीकरणों के युग्म का हल x = 2 तथा y = 1

(iii) दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म
3x – 5y = 20 ⇒ 3x – 5y – 20 = 0 …….. (1)
6x – 10 y = 40 ⇒ 6x – 10y – 40 = 0 ………. (2)
उपर्युक्त समीकरण युग्म की तुलना रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,

अत: समीकरण युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे।

(iv) दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म
x – 3y – 7 = 0 …….(1)
3x – 3y – 15 = 0 …….(2)
उपर्युक्त समीकरण युग्म की तुलना रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,

अतः समीकरणों के युग्म का एक अद्वितीय हल प्राप्त होगा।
तब वज्रगुणन से,

अतः दिए गए समीकरणों के युग्म का हल x = 4 तथा y = -1

प्रश्न 2.
(i) a और b के किन मानों के लिए, निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे?
2x + 3y = 7
(a – b)x + (a + b)y = 3a + b – 2
(ii) k के किस मान के लिए, निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं है?
3x + y = 1
(2k – 1)x + (k – 1)y = 2k + 1
हल
(i) दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म
2x + 3y = 7 ⇒ 2x + 3y – 7 = 0 …….(1)
(a – b)x + (a + b)y = 3a + b – 2
⇒ (a – b) x + (a + b)y – (3a + b – 2) = 0 ……..(2)
उपर्युक्त समीकरण युग्म की तुलना रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,
a₁ = 2, b₁ = 3, c₁ = -7
a₂ = (a – b), b₂ = (a + b), c₂ = -(3a + b – 2)
समीकरण युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे यदि \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\)

समीकरण (3) को 2 से गुणा करके समीकरण (4) में से घटाने पर,
(2a – 4b) – (2a – 18b) = 6 – (-8)
⇒ 2a – 4b – 2a + 18b = 6 + 8
⇒ 14b = 14
⇒ b = 1
तब, समीकरण (3) में b = 1 रखने पर,
a – 9 × 1 = -4
⇒ a = -4 + 9
⇒ a = 5
अत: a = 5 तथा b = 1

(ii) दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म
3x + y = 1 ⇒ 3x + y – 1 = 0 ……(1)
(2k – 1)x + (k – 1)y = 2k + 1
⇒ (2k – 1)x + (k – 1)y – (2k + 1) = 0 …….. (2)
उपर्युक्त समीकरण युग्म की तुलना रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₂ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,
a₁ = 3, b₁ = 1, c₁ = -1
a₂ = 2k – 1, b₂ = k – 1, c₂ = -(2k + 1)

प्रश्न 3.
निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म को प्रतिस्थापन एवं वज्रगुणन विधियों से हल कीजिए। किस विधि को आप अधिक उपयुक्त मानते हैं?
8x + 5y = 9
3x + 2y = 4
हल
दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म
8x + 5y = 9 …….(1)
3x + 2y = 4 ……..(2)
प्रतिस्थापन विधि :
समीकरण (2) से,
3x + 2y = 4
⇒ 2y = 4 – 3x
⇒ y = \(\frac{4-3 x}{2}\)
y का यह मान समीकरण (1) में रखने पर,
8x + 5(\(\frac{4-3 x}{2}\)) = 9
⇒ 8x + \(\frac{20-15 x}{2}\) = 9
⇒ 16x + 20 – 15x = 18 (दोनों पक्षों के प्रत्येक पद को 2 से गुणा करने पर)
⇒ 16x – 15x = 18 – 20
⇒ x = -2
अब, समीकरण (1) में x = -2 रखने पर,
8(-2) + 5y = 9
⇒ -16 + 5y = 9
⇒ 5y = 9 + 16 = 25
⇒ 5y = 25
⇒ y = 5
अत: समीकरणों के युग्म का हल x = -2 तथा y = 5
वज्रगुणन विधि : दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म
8x + 5y – 9 = 0 ……… (1)
3x + 2y – 4 = 0 ……(2)
दिए गए समीकरण युग्म की तुलना रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,
a₁ = 8, b₁ = 5, c₁ = -9
a₂ = 3, b₂ = 2, c₂ = -4
तब वज्रगुणन से,


अत: समीकरणों के युग्म का हल : x = -2 तथा y = 5

प्रश्न 4.
निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका अस्तित्व हो) किसी बीजगणितीय विधि से ज्ञात कीजिए-
(i) एक छात्रावास के मासिक व्यय का एक भाग नियत है तथा शेष इस पर निर्भर करता है कि छात्र ने कितने दिन भोजन लिया है। जब एक विद्यार्थी A को, जो 20 दिन भोजन करता है, ₹ 1000 छात्रावास के व्यय के लिए अदा करने पड़ते हैं, जबकि एक विद्यार्थी B को, जो 26 दिन भोजन करता है छात्रावास के व्यय के लिए ₹ 1180 अदा करने पड़ते हैं। नियत व्यय और प्रतिदिन के भोजन का मूल्य ज्ञात कीजिए।
(ii) एक भिन्न \(\frac{1}{3}\) हो जाती है, जब उसके अंश से 1 घटाया जाता है और वह \(\frac{1}{4}\) हो जाती है, जब हर में 8 जोड़ दिया जाता है। वह भिन्न ज्ञात कीजिए।
(iii) यश ने एक टेस्ट में 40 अंक अर्जित किए, जबकि उसे प्रत्येक सही उत्तर पर 3 अंक मिले तथा अशुद्ध उत्तर पर 1 अंक की कटौती की गई। यदि उसे सही उत्तर पर 4 अंक मिलते तथा अशुद्ध उत्तर पर 2 अंक कटते, तो यश 50 अंक अर्जित करता। टेस्ट में कितने प्रश्न थे?
(iv) एक राजमार्ग पर दो स्थान A और B, 100 किमी० की दूरी पर हैं। एक कार A से तथा दूसरी कार B से एक ही समय चलना प्रारम्भ करती है। यदि ये कारें भिन्न-भिन्न चालों से एक ही दिशा में चलती हैं तो वे 5 घंटे पश्चात् मिलती हैं। जब वे विपरीत दिशाओं में चलना प्रारम्भ करती हैं तो वे 1 घंटे पश्चात् मिलती हैं। दोनों कारों की चाल ज्ञात कीजिए।
(v) एक आयत का क्षेत्रफल 9 वर्ग इकाई कम हो जाता है, यदि उसकी लम्बाई 5 इकाई कम कर दी जाती है और चौड़ाई 3 इकाई बढ़ा दी जाती है। यदि हम लम्बाई को 3 इकाई और चौड़ाई को 2 इकाई बढ़ा दें, तो क्षेत्रफल 67 वर्ग इकाई बढ़ जाता है। आयत की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
हल
(i) माना छात्रावास के भोजनकर्ता छात्र के लिए नियत व्यय ₹ x तथा प्रतिदिन के भोजन का मूल्य ₹ y है।
20 दिन के भोजन के लिए दिया भुगतान = नियत व्यय + 20 दिन के भोजन का मूल्य
= ₹ x + (20 × ₹ y)
= ₹(x + 20y)
परन्तु विद्यार्थी A को 20 दिन के लिए ₹ 1000 देना पड़ता है।
x + 20y = 1000 ……. (1)
इसी प्रकार,
26 दिन के भोजन के लिए दिया गया भुगतान = नियत व्यय + 26 दिन के भोजन का मूल्य
= ₹ x + (26 × ₹ y)
= (x + 26y)
परन्तु विद्यार्थी B को 26 दिन के लिए ₹ 1180 देना पड़ता है।
x + 26y = 1180 …… (2)
समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर,
(x + 26y) – (x + 20y) = 1180 – 1000
⇒ 6y = 180
⇒ y = 30
तब, समीकरण (1) में y = 30 रखने पर,
x + 20(30) = 1000
⇒ x + 600 = 1000
⇒ x = 1000 – 600 = 400
अतः छात्रावास का नियत व्यय ₹ 400 तथा प्रतिदिन भोजन का व्यय ₹ 30 है।

(ii) माना भिन्न का अंश x तथा हर y है।
तब भिन्न = \(\frac{x}{y}\)
जब भिन्न के अंश में से 1 घटाया जाता है तो वह \(\frac{x-1}{y}\) हो जाएंगी परन्तु प्रश्नानुसार वह \(\frac{1}{3}\) जाती है।
\(\frac{x-1}{y}=\frac{1}{3}\)
⇒ y = 3(x – 1)
इसी प्रकार, जब भिन्न के हर में 8 जोड़ा जाता है तो वह \(\frac{x}{y+8}\) हो जाएगी।
परन्तु प्रश्नानुसार वह \(\frac{1}{4}\) हो जाती है।
\(\frac{x}{y+8}=\frac{1}{4}\)
⇒ y + 8 = 4x
⇒ y = 4x – 8 ……(2)
समीकरण (1) व समीकरण (2) से,
4x – 8 = 3(x – 1)
⇒ 4x – 8 = 3x – 3
⇒ 4x – 3x = -3 + 8
⇒ x = 5
समीकरण (1) में x = 5 रखने पर,
y = 3(5 – 1) = 3 × 4 = 12
अतः भिन्न = \(\frac{5}{12}\)

(iii) माना यश ने टेस्ट पेपर में दिए प्रश्नों में से x प्रश्न सही हल किए तथा y प्रश्न अशुद्ध हल किए।
प्रश्नों की कुल संख्या = (x + y)
सही उत्तरों पर प्राप्त कुल अंक = 3x
और अशुद्ध उत्तरों पर काटे गए कुल अंक = 1y
परिणामी प्राप्तांक = 3x – y परन्तु दिया है कि उसने केवल 40 अंक पाए।
3x – y = 40 …….. (1)
यदि सही उत्तर पर 4 अंक मिलते तो प्राप्त अंक 4x और अशुद्ध उत्तरों पर 2 अंक काटे जाते तो काटे जाने वाले अंक = 2y
परिणामी अंक = 4x – 2y = 2(2x – y)
परन्तु दिया है कि परिणामी प्राप्तांक 50 होते।
2(2x – y) = 50
⇒ 2x – y = 25 ……… (1)
समीकरण (1) में से समीकरण (2) को घटाने पर,
(3x – y) – (2x – y) = 40 – 25
⇒ x = 15
समीकरण (2) में x का मान रखने पर,
2x – y = 25
⇒ y = 2x – 25
⇒ y = (2 × 15) – 25 = 30 – 25
⇒ y = 5
अतः यश ने 15 प्रश्न सही तथा 5 प्रश्न अशुद्ध हल किए।कुल मिलाकर 20 प्रश्न हल किए।

(iv) माना स्थान A से चलने वाली कार की चाल x किमी प्रति घण्टा और स्थान B से चलने वाली कार की चाल y किमी प्रति घण्टा है।
स्थान A तथा स्थान B के बीच की दूरी = 100 किमी
जब कारें एक ही दिशा में A तथा B से चलती हैं तो 5 घंटे बाद मिलती हैं अर्थात्
5 घंटे में स्थान A से चलने वाली कार द्वारा चली गई दूरी स्थान B से चलने वाली कार द्वारा चली गई दूरी की अपेक्षा 100 किमी अधिक होगी।
5 घंटे में स्थान A से चली गई दूरी – 5 घंटे में स्थान B से चली गई दूरी = 100 किमी
5x – 5y = 100
⇒ x – y = 20 ……(1)
जब कारें विपरीत दिशाओं में स्थान A तथा B से चलकर मिलेंगी तो उन्हें 1 घंटे में स्थानों के बीच की दूरी के बराबर अर्थात् 100 किमी चलना होगा। तब, स्थान A से चली कार द्वारा 1 घंटे में चली दूरी + स्थान B से चली कार द्वारा
1 घंटे में चली दूरी = 100 किमी
x किमी + y किमी = 100 किमी
x + y = 100 ……. (2)
समीकरण (1) व समीकरण (2) को जोड़ने पर,
2x = 120 ⇒ x = 60
समीकरण (2) व समीकरण (1) को घटाने पर,
2y = 80 ⇒ y = 40
अत: कारों की चाल क्रमश: 60 किमी प्रति घण्टा व 40 किमी प्रति घण्टा

(v) माना कि आयत की लम्बाई x मात्रक तथा चौड़ाई y मात्रक है।
आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई x चौड़ाई = x × y = x y मात्रक
लम्बाई को 5 मात्रक घटाने पर यह (x – 5) मात्रक रह जाएगी
और चौड़ाई को 3 मात्रक बढ़ाने पर यह (y + 3) मात्रक हो जाएगी।
तब, नए आयत का क्षेत्रफल = (x – 5) × (y + 3) = (xy + 3x – 5y – 15)
मात्रक मूल आयत का क्षेत्रफल = xy मात्रक
नए आयत के क्षेत्रफल में कमी = xy – (xy + 3x – 5y – 15) = -3x + 5y + 15 मात्रक
तब प्रश्नानुसार, -3x + 5y + 15 = 9
⇒ -3x + 5y = 9 – 15 = -6
⇒ 3x – 5y = 6 ……(1)
पुनः लम्बाई को 3 मात्रक बढ़ाने पर यह (x + 3) मात्रक हो जाएगी।
और चौड़ाई को 2 मात्रक बढ़ाने पर यह (y + 2) मात्रक हो जाएगी।
तब, नए आयत का क्षेत्रफल = (x + 3) (y + 2) = (xy + 2x + 3y + 6) मात्रक
और मूल आयत का क्षेत्रफल = xy मात्रक
आयत का बढ़ा हुआ क्षेत्रफल = (xy + 2x + 3y + 6) – xy मात्रक = 2x + 3y + 6 मात्रक
परन्तु प्रश्नानुसार क्षेत्रफल 67 वर्ग मात्रक बढ़ जाता है।
2x + 3y + 6 = 67
⇒ 2x + 3y = 61 …… (2)
समीकरण (1) को 2 से गुणा करने पर,
6x – 10y = 12 ….(3)
समीकरण (2) को 3 से गुणा करने पर,
6x + 9y = 183 ……. (4)
समीकरण (4) में से समीकरण (3) को घटाने पर,
(6x + 9y) – (6x – 10y) = 183 – 12
⇒ 19y = 171
⇒ y = 9
समीकरण (2) में y का मान रखने पर,
2x + 3(9) = 61
⇒ 2x + 27 = 61
⇒ 2x = 61 – 27 = 34
⇒ x = 17
अत: आयत की लम्बाई = 17 मात्रक तथा चौड़ाई = 9 मात्रक।

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.7 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.7

Bihar Board Class 10 Maths दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.7

प्रश्न 1.
दो मित्रों अनी और बीजू की आयु में 3 वर्ष का अन्तर है। अनी के पिता धरम की आयु अनी की आयु की दुगुनी और बीजू की आयु अपनी बहन कैथी की आयु की दुगुनी है। कैथी और धरम की आयु का अन्तर 30 वर्ष है। अनी और बीजू की आयु ज्ञात कीजिए।
हल
माना अनी की आयु x वर्ष तथा बीजू की आयु y वर्ष है।
उनकी आयु में 3 वर्ष का अन्तर है।
अनी की आयु – बीजू की आयु = 3 वर्ष
x – y = 3 ……… (1)
अनी के पिता धरम की आयु = अनी की आयु का दुगुना = 2x वर्ष
बीजू की आयु = कैथी की आयु का दो गुना
y = कैथी की आयु का दो गुना
कैथी की आयु = \(\frac{y}{2}\) वर्ष
धरम और कैथी की आयु का अन्तर 30 वर्ष है
धरम की आयु – कैथी की आयु = 30 वर्ष
2x – \(\frac{y}{2}\) = 30
⇒ \(\frac{4 x-y}{2}\) = 30
⇒ 4x – y = 60 …… (2)
समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर,
(4 x – y) – (x – y) = 60 – 3
⇒ 3x = 57
⇒ x = 19
समीकरण (1) में x का मान रखने पर,
y = 19 – 3 = 16
अत: अनी की आयु 19 वर्ष तथा बीजू की आयु 16 वर्ष है।
परन्तु यदि बीजू बड़ा है तो आयु का अन्तर y – x = 3 …….. (3)
तब, समीकरण (2) व (3) को जोड़ने पर, 3x = 63 ⇒ x = 21
और समीकरण (3) में x = 21 रखने पर, y – 21 = 3 ⇒ y = 24
तब, अनी की आयु 21 वर्ष तथा बीजू की आयु 24 वर्ष होगी।

प्रश्न 2.
एक मित्र दूसरे से कहता है कि ‘यदि मुझे एक सौ दे दो, तो मैं आपसे दो गुना धनी बन जाऊँगा।’ दूसरा उत्तर देता है ‘यदि आप मुझे दस दे दें, तो मैं आपसे छ: गुना धनी बन जाऊँगा।’ बताइए कि उनकी क्रमशः क्या सम्पत्तियाँ हैं?
हल
माना एक मित्र A की सम्पत्ति ₹ x है और दूसरे मित्र B की सम्पत्ति ₹ y है।
मित्र A मित्र B से कहता है कि यदि B, A को ₹ 100 दे दे तो A, B से दो गुना धनी हो जाएगा।
जब B, A को ₹ 100 दे देगा तो A के पास ₹(x + 100) हो जाएँगे और B के पास ₹(y – 100) रह जाएँगे।
तब, प्रश्नानुसार,
A का धन = 2 × (B का धन)
⇒ x + 100 = 2 × (y – 100)
⇒ x + 100 = 2y – 200
⇒ x – 2y = -100 – 200
⇒ x – 2y = -300 ……(1)
अब B, A से कहता है कि यदि A, B को ₹ 10 दे दे तो वह B, A से 6 गुना धनी होगा।
जब A, B को ₹10 दे देगा तो A के पास ₹(x – 10) रह जाएंगे और B के पास ₹(y + 10) हो जाएंगे।
तब, प्रश्नानुसार,
B का धन = 6 × (A का धन)
⇒ (y + 10) = 6 × (x – 10)
⇒ 6x – 60 = y + 10
⇒ 6x – y = 60 + 10
⇒ 6x – y = 70
समीकरण (1) से, x = 2y – 300 ……(3)
x का यह मान समीकरण (2) में रखने पर,
⇒ 6(2y – 300) – y = 70
⇒ 12y – 1800 – y = 70
⇒ 11y = 70 + 1800 = 1870
⇒ y = 170
तब, y = 170 समीकरण (3) में रखने पर,
x = (2 × 170) – 300 = 40
अत: एक मित्र के पास ₹ 40 तथा दूसरे मित्र के पास ₹ 170 हैं।

प्रश्न 3.
एक रेलगाड़ी कुछ दूरी समान चाल से तय करती है। यदि रेलगाड़ी 10 km/h अधिक तेज चलती होती, तो उसे नियत समय से 2 घंटे कम लगते और यदि रेलगाड़ी 10 km/h धीमी चलती होती, तो उसे नियत समय से 3 घंटे अधिक लगते। रेलगाड़ी द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए।
हल
माना रेलगाड़ी द्वारा तय की जाने वाली दूरी x km तथा रेलगाड़ी की एकसमान चाल y km/h है।
उक्त दूरी तय करने का निर्धारित समय = \(\frac{x}{y}\) घंटे
यदि रेलगाड़ी 10 km/h अधिक तेज चलती अर्थात् उसकी चाल (y + 10) km/h होती तो नियत समय में घंटे से \(\frac{x}{y}\) घंटे कम लगते अर्थात् (\(\frac{x}{y}\) – 2) घंटे लगते।

इसी प्रकार, यदि रेलगाड़ी 10 km/h धीमी चलती अर्थात् (y – 10) km/h की चाल से चलती तो निर्धारित समय में घंटे से \(\frac{x}{y}\) घंटे अधिक लगते अर्थात् (\(\frac{x}{y}\) + 3) घंटे लगते।

समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर,

समीकरण (3) व समीकरण (6) से,
4x + 100 = \(\frac{10 x+30 y}{3}\)
⇒ 12x + 300 = 10x + 30y
⇒ 2x – 30y = -300
⇒ x – 15y = -150 ……. (7)
समीकरण (5) में से समीकरण (7) को घटाने पर,
(x – 10 y) – (x – 15 y) = 100 – (-150)
⇒ x – 10y – x + 15y = 100 + 150
⇒ 5y = 250
⇒ y = 50
अब, y का मान समीकरण (5) में रखने पर,
x – 10 × 50 = 100
⇒ x – 500 = 100
⇒ x = 600
अत: रेलगाड़ी द्वारा तय की जाने वाली दूरी = 600 km

प्रश्न 4.
एक कक्षा के विद्यार्थियों को पंक्तियों में खड़ा होना है। यदि पंक्ति में 3 विद्यार्थी अधिक होते, तो 1 पंक्ति कम होती। यदि पंक्ति में 3 विद्यार्थी कम होते, तो 2 पंक्तियाँ अधिक बनतीं। कक्षा में विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल
मान कक्षा में x पंक्तियाँ हैं और प्रत्येक पंक्ति में y विद्यार्थी हैं।
विद्यार्थियों की संख्या = xy ……(1)
जब प्रत्येक पंक्ति में 3 विद्यार्थी अधिक होते अर्थात् (y + 3) विद्यार्थी होते और पंक्तियों की संख्या 1 कम होती अर्थात् (x – 1) होती।
तब, विद्यार्थियों की संख्या = (x – 1) (y + 3) = xy + 3x – y – 3 ……. (2)
समीकरण (1) व (2) से, xy + 3x – y – 3 = xy ⇒ 3x – y = 3 …….. (3)
जब प्रत्येक पंक्ति में 3 विद्यार्थी कम होते अर्थात् (y – 3) होते।
और पंक्तियों की संख्या 2 अधिक होती अर्थात् (x + 2) होती
तब, विद्यार्थियों की संख्या = (x + 2) (y – 3) = xy – 3x + 2y – 6 ……… (4)
समीकरण (1) व (4) से, xy – 3x + 2y – 6 = x y ⇒ 3x – 2y = -6 ……(5)
समीकरण (3) में से समीकरण (5) को घटाने पर,
(3x – y) – (3x – 2y) = 3 -(-6)
⇒ 3x – y – 3x + 2y = 9
⇒ y = 9
समीकरण (3) में y का मान रखने पर,
3x – 9 = 3
⇒ 3x = 12
⇒ x = 4
तब, विद्यार्थियों की संख्या = xy = 4 × 9 = 36
अत: कक्षा के विद्यार्थियों की संख्या = 36

प्रश्न 5.
एक ∆ABC में, ∠C = 3∠B = 2(∠A + ∠B) है। त्रिभुज के तीनों कोण ज्ञात कीजिए।
हल
माना त्रिभुज के कोण A, B तथा C हैं।
तब, ∠A + ∠B + ∠C = 180°
⇒ ∠A + ∠B = 180° – ∠C
दिया है, ∠C = 3∠B = 2 (∠A + ∠B)
∠C = 2 (∠A + ∠B)
⇒ ∠C = 2 (180° – ∠C) [∵ ∠A + ∠B = 180° – ∠C]
⇒ ∠C = 360° – 2∠C
⇒ ∠C + 2∠C = 360°
⇒ 3∠C = 360°
⇒ ∠C = 120°
3∠B = ∠C
⇒ 3∠B = 120° [∵ ∠C = 120°]
⇒ ∠B = 40°
परन्तु ∠A + ∠B + ∠C = 180°
⇒ ∠A + 40° + 120° = 180°
⇒ ∠A = 180° – 120° – 40° = 20°
अतः त्रिभुज के कोण ∠A = 20°, ∠B = 40°, ∠C = 120°

प्रश्न 6.
समीकरणों 5x – y = 5 और 3x – y = 3 के ग्राफ खींचिए। इन रेखाओं और Y-अक्ष से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। इस प्रकार बने त्रिभुज के क्षेत्रफल का परिकलन कीजिए।
हल
1. दिए हुए समीकरण युग्म का पहला समीकरण 5x – y = 5
2. माना x = 0, तब x का मान समीकरण 5x – y = 5 में रखने पर,
5 × 0 – y = 5
⇒ 0 – y = 5
⇒ y = -5
3. तब समीकरण 5x – y = 5 के आलेख पर एक बिन्दु A = (0, -5) है।
4. पुन: माना x = 2, तब x का मान समीकरण 5x – y = 5 में रखने पर,
5 × 2 – y = 5
⇒ 10 – y = 5
⇒ y = 10 – 5
⇒ y = 5
5. तब समीकरण 5x – y = 5 के आलेख पर एक बिन्दु B = (2, 5) है।
6. ग्राफ पेपर पर बिन्दुओं A(0, 5) तथा B(2, 5) को आलेखित (plotting) कीजिए और दिए गए समीकरण का आलेख AB खींचिए।
7. दिए हुए दूसरे समीकरण युग्म के समीकरण 3x – y = 3
8. माना x = 0, तब x का मान समीकरण 3x – y = 3 में रखने पर,
3 × 0 – y = 3
⇒ 0 – y = 3
⇒ y = -3
9. तब समीकरण 3x – y = 3 के आलेख पर एक बिन्दु C = (0, -3) है।
10. पुन: माना x = 1, तब x का मान समीकरण 3x – y = 3 में रखने पर,
3 × 1 – y = 3
⇒ 3 – y = 3
⇒ -y = 3 – 3 = 0
⇒ y = 0
11. तब समीकरण 3x – y = 3 के आलेख पर एक बिन्दु D = (1, 0) है।
12. ग्राफ पेपर पर बिन्दु C = (0, -3) तथा D = (1, 0) को आलेखित कर दिए हुए समीकरण का आलेख CD खींचिए।

13. ऋजु रेखाओं AB तथा CD का प्रतिच्छेद बिन्दु P (h, k) ज्ञात कीजिए। बिन्दु P के निर्देशांक P = (1, 0) आलेख से ज्ञात कीजिए।
तब, त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक A(0, -5), C (0, – 3) तथा P या D (1, 0)
रेखाओं तथा Y-अक्ष के बीच ∆ACD बनता है।
माना x₁ = 0, y₁ = -5, x₂ = 0, y₂ = -3 तथा x₃ = 1, y₃ = 0
त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) [x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\) [0 (-3 – 0) + 0 {0 – (-5)} + 1{-5 – (-3}] वर्ग मात्रक
= \(\frac{1}{2}\) [{-5 + 3}]
= \(\frac{1}{2}\) (-2)
= -1 वर्ग मात्रक
क्षेत्रफल ऋणात्मक नहीं हो सकता, अत: त्रिभुज का क्षेत्रफल 1 वर्ग मात्रक होगा।

प्रश्न 7.
निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों को हल कीजिए-
(i) px + qy = p – q
qx – py = p + q
(ii) ax + by = c
bx + ay = 1 + c
(iii) \(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}=0\)
ax + by = a² + b²
(iv) (a – b) x + (a + b) y = a² – 2ab – b²
(a + b)(x + y) = a² + b²
(v) 152x – 378y = -74
-378x + 152y = -604
हल
(i) दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म px + qy = p – q
px + qy – p + q = 0 ……. (1)
qx – py = p + q
qx – py – p – q = 0 ……. (2)
वज्रगुणन से समीकरण-युग्म का हल

⇒ -x = y = -1
-x = -1 ⇒ x = 1 और y = -1
अत: समीकरणों के युग्म का हल x = 1 तथा y = -1

(ii) दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म
ax + by = c ⇒ ax + by – c = 0 ……… (1)
bx + ay = 1 + c ⇒ bx + a y – (1 + c) = 0 ……… (2)
वज्रगुणन से समीकरण-युग्म का हल होगा :

(iii) दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म
\(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}=0\)
⇒ \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}\)
⇒ \(x=\frac{a}{b} y\) ………. (1)
ax + by = a² + b² …… (2)
समीकरण (1) से x का मान समीकरण (2) में रखने पर,
a(\(\frac{a}{b}\) y) + by = a² + b²
⇒ a²y + b²y = b(a² + b²)
⇒ (a² + b²)y = b(a² + b²)
⇒ y = b (दोनों पक्षों में a² + b² से भाग करने पर)
y का मान समीकरण (1) में रखने पर,
x = \(\frac{a}{b}\) × b ⇒ x = a
अत: समीकरणों के युग्म का हल x = a तथा y = b

(iv) दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म (a – b) x + (a + b) y = a² – 2ab – b²
(a + b)(x + y) = a² + b²
⇒ (a – b) x + (a + b) y = a² – 2ab – b² …….(1)
(a + b) (x + y) = a² + b²
⇒ (a + b)x + (a + b)y = a² + b² …….. (2)
समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर,
(a + b) x + (a + b) y – (a – b) x – (a + b) y = a² + b² – a² + 2ab + b²
⇒ (a + b – a + b) x = 2ab + 2b²
⇒ 2bx = 2ab + 2b²
⇒ 2bx = 2b (a + b)
⇒ x = (a + b) [दोनों पक्षों में (2b) का भाग देने पर]
x का मान समीकरण (1) में रखने पर,
(a – b) (a + b) + (a + b) y = a² – 2ab – b²
⇒ (a² – b²) + (a + b) y = a² – 2ab – b²
⇒ (a + b) y = a² – 2ab – b² – a² + b²
⇒ (a + b) y = -2ab
⇒ y = \(-\frac{2 a b}{a+b}\)
अत: समीकरणों के युग्म का हल x = (a + b) तथा y = \(-\frac{2 a b}{a+b}\)

(v) दिए गए रैखिक समकरणों का युग्म
152x – 378y = -74 …… (1)
-378x + 152y = -604 …….. (2)
समीकरण (1) व समीकरण (2) को जोड़ने पर,
-226x – 226y = -678
⇒ -226(x + y) = – 678
⇒ x + y = 3 ……. (3)
समीकरण (1) में से समीकरण (2) को घटाने पर,
(152x – 378y) – (-378x + 152y) = -74 – (-604)
⇒ 152x – 378y + 378x – 152y = -74 + 604
⇒ 530x – 530y = 530
⇒ x – y = 1
पुनः समीकरण (3) व समीकरण (4) को जोड़ने पर, 2x = 4 ⇒ x = 2
समीकरण (3) व समीकरण (4) को घटाने पर, 2y = 2 ⇒ y = 1
अत: समीकरणों के युग्म का हल x = 2 तथा y = 1

प्रश्न 8.
ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है। इस चक्रीय चतुर्भुज के कोण ज्ञात कीजिए।

हल
ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है।
∠A + ∠C = 180° तथा ∠B + ∠D = 180°
∠A + ∠C = 180° तो 4y + 20 + (-4x) = 180
⇒ -4x + 4y = 180 – 20 = 160
⇒ x – y = -40 ……..(1)
∠B + ∠D = 180° तो 3y – 5 + (-7x) + 5 = 180
⇒ -7x + 3y = 180
⇒ 7x – 3y = -180 …….. (2)
समीकरण (1) से, y = x + 40; अत: समीकरण (2) में y = x + 40 रखने पर,
7x – 3(x + 40) = -180
⇒ 7x – 3x – 120 = -180
⇒ 4x = -180 + 120 = -60
⇒ x = -15
तब, समीकरण (1) में x = -15 रखने पर, y = -15 + 40 = 25
तब,
∠A = 4y + 20 = (4 × 25) + 20 = 120°
∠B = 3y – 5 = (3 × 25) – 5 = 70°
∠C = -4x = – 4 × -15 = 60°
∠D = -7x + 5 = (-7 × – 15) + 5 = 110°

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.3 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.3

Bihar Board Class 10 Maths दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.3

प्रश्न 1.
निम्न रैखिक समीकरण युग्म को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए-
(i) x + y = 14
x – y = 4
(ii) s – t = 3
\(\frac{s}{3}+\frac{t}{2}=6\)
(iii) 3x – y = 3
9x – 3 y = 9
(iv) 0.2x + 0.3y = 1.3
0.4x + 0.5y = 2.3
(v) √2x + √3y = 0
√3x – √8y = 0
(vi) \(\frac{3 x}{2}-\frac{5 y}{3}=-2\)
\(\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=\frac{13}{6}\)
हल
(i) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म
x + y = 14 …… (1)
x – y = 4 …….. (2)
समीकरण (1) से, x + y = 14
⇒ x = (14 – y) ….. (3)
समीकरण (3) से x का यह मान समीकरण (2) में रखने पर,
(14 – y) – y = 4
⇒ 14 – y – y = 4
⇒ -2y = 4 – 14
⇒ -2y = -10
⇒ y = 5
तब, समीकरण (1) में y = 5 रखने पर,
x + 5 = 14
⇒ x = 14 – 5 = 9
अतः दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का हल x = 9 तथा y = 5

(ii) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म
s – t = 3 ……. (1)
\(\frac{s}{3}+\frac{t}{2}=6\) ……. (2)
समीकरण (1) से,
s – t = 3
⇒ s = 3 + t …… (3)
समीकरण (3) से s का यह मान समीकरण (2) में रखने पर,

समीकरण (3) में t = 6 रखने पर,
s = 3 + 6 = 9
अत: दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का हल : s = 9 तथा t = 6

(iii) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म :
3x – y = 3 …….. (1)
9x – 3y = 9 ……… (2)
समीकरण (1) से, 3x – y = 3
⇒ 3x – 3 = y
⇒ y = 3x – 3
अब, समीकरण (2) में y = 3 x – 3 रखने पर,
9x – 3(3x – 3) = 9
⇒ 9x – 9x + 9 = 9
⇒ 9 = 9
जो कि एक सत्य कथन है। तब, चर x या y का कोई अद्वितीय मान नहीं होगा।
अत: रैखिक समीकरण युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे।

(iv) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म
0.2x + 0.3y = 1.3
0.4x + 0.5y = 2.3
रैखिक समीकरण युग्म के प्रत्येक में एक स्थान तक ही दशमलव अंक हैं। अत: दशमलव को हटा सकते हैं।
तब दिया समीकरण युग्म निम्न युग्म के तुल्य होगा
2x + 3y = 13 …… (1)
4x + 5y = 23 …….. (2)
समीकरण (1) से, 2x + 3y = 13
⇒ 2x = 13 – 3y
⇒ x = (\(\frac{13-3 y}{2}\)) ……(3)
x का यह मान समीकरण (2) में रखने पर,
4(\(\frac{13-3 y}{2}\)) + 5y = 23
⇒ 2(13 – 3y) + 5y = 23
⇒ 26 – 6y + 5y = 23
⇒ -6y + 5y = 23 – 26
⇒ -y = -3
⇒ y = 3
अब समीकरण (3) में y = 3 रखने पर,

अतः दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का हल x = 2 तथा y = 3

(v) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म
√2x + √3y = 0 ……. (1)
√3x – √8y = 0 …… (2)
समीकरण (1) से, √2x + √3y = 0
⇒ √2x = 0 – √3y
⇒ √2x = -√3y
⇒ x = \(-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} y\)

अतः दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का हल : x = 0 तथा y = 0

(vi) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म


अत: दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का हल x = 2 तथा y = 3

प्रश्न 2.
2x + 3y = 11 और 2x – 4y = -24 को हल कीजिए और इससे ‘m’ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए y = mx + 3 हो।
हल
दिया गया रैखिक समीकरण युग्म
2x + 3y = 11 …… (1)
2x – 4y = -24 …… (2)
समीकरण (2) से,
2x – 4y = -24
⇒ 2x = 4y – 24
⇒ x = \(\frac{4 y-24}{2}=\frac{2(2 y-12)}{2}\)
⇒ x = 2y – 12 …….. (3)
x का यह मान समीकरण (1) में रखने पर,
2(2y – 12) + 3y = 11
⇒ 4y – 24 + 3y = 11
⇒ 4y + 3y = 11 + 24
⇒ 7y = 35
⇒ y = 5
समीकरण (3) में y का मान रखने पर,
x = (2 × 5 – 12) = 10 – 12 = -2
अत: दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का हल x = -2 तथा y = 5
अब, y = mx + 4 से m का मान ज्ञात करने के लिए, y = mx + 4 में x = -2 तथा y = 5 रखने पर,
5 = m(-2) + 4
⇒ 2m = 4 – 5 = -1
⇒ m = \(\frac{-1}{2}\)

प्रश्न 3.
निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरण युग्म बनाइए और उनके हल प्रतिस्थापन विधि द्वारा ज्ञात कीजिए-
(i) दो संख्याओं का अन्तर 26 है और एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुनी है। उन्हें ज्ञात कीजिए।
(ii) दो सम्पूरक कोणों में बड़ा कोण छोटे कोण से 18° अधिक है। उन्हें ज्ञात कीजिए।
(iii) एक क्रिकेट टीम के कोच ने 7 बल्ले तथा 6 गेंदें ₹ 3800 में खरीदीं। बाद में, उसने 3 बल्ले तथा 5 गेंदें ₹ 1750 में खरीदीं। प्रत्येक बल्ले और प्रत्येक गेंद का मूल्य ज्ञात कीजिए।
(iv) एक नगर में टैक्सी के भाड़े में एक नियत भाड़े के अतिरिक्त चली गई दूरी पर भाड़ा सम्मिलित किया जाता है। 10 km दूरी के लिए भाड़ा ₹105 है तथा 15 km के लिए भाड़ा ₹ 155 है। नियत भाड़ा तथा प्रति km भाड़ा क्या है? एक व्यक्ति को 25 km यात्रा करने के लिए कितना भाड़ा देना होगा?
(v) यदि किसी भिन्न के अंश और हर दोनों में 2 जोड़ दिया जाए, तो वह \(\frac{9}{11}\) हो जाती है। यदि अंश और हर दोनों में 3 जोड़ दिया जाए, तो वह \(\frac{5}{6}\) हो जाती है। वह भिन्न ज्ञात कीजिए।
(vi) पाँच वर्ष बाद जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु से तीन गुनी हो जाएगी। पाँच वर्ष पूर्व जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु की सात गुनी थी। उनकी वर्तमान आयु क्या हैं?
हल
(i) माना एक संख्या x तथा दूसरी संख्या y है।
एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुनी है।
एक संख्या = 3 × दूसरी संख्या
x = 3y ….(1)
यहाँ x, y से बड़ा है संख्याओं का अन्तर 26 है।
x – y = 26 ……… (2)
समीकरण (2) में x = 3y रखने पर,
3y – y = 26
⇒ 2y = 26
⇒ y = 13
समीकरण (1) में y = 13 रखने पर,
x = 3 × 13 = 39
⇒ x = 39
अत: अभीष्ट संख्याएँ = 39 व 13

(ii) माना बड़ा कोण x° तथा छोटा कोण y° है।
कोण x° व y° सम्पूरक हैं अर्थात् इनका योग 180° है।
x + y = 180
बड़ा कोण छोटे कोण से 18° अधिक है।
x = y + 18
तब, रैखिक समीकरण युग्म
x + y = 180 ……(1)
x = y + 18 …… (2)
समीकरण (2) से x का मान समीकरण (1) में रखने पर,
(y + 18) + y = 180
⇒ 2y + 18 = 180
⇒ 2y = 180 – 18 = 162
⇒ y = 81
समीकरण (2) में y का मान रखने पर,
x = 81 + 18 = 99
अत: बड़ा कोण 99° तथा छोटा कोण 81 है।

(iii) माना एक बल्ले का मूल्य ₹ x तथा एक गेंद का मूल्य ₹ y है।
1 बल्ले का मूल्य ₹ x है
7 बल्लों का मूल्य = ₹ 7x
1 गेंद का मूल्य ₹ y है।
6 गेंदों का मूल्य = ₹ 6y
7 बल्लों और 6 गेंदों का मूल्य = ₹ (7x + 6y)
प्रश्नानुसार, इनका मूल्य ₹ 3800 है।
7x + 6y = 3800 ……(1)
1 बल्ले का मूल्य ₹ x है
3 बल्लों का मूल्य = ₹ 3x
1 गेंद का मूल्य ₹ y है।
5 गेंदों का मूल्य = ₹ 5y
3 बल्लों और 5 गेंदों का मूल्य = ₹ (3x + 5y)
प्रश्नानुसार इनका मूल्य ₹ 1750 है।
3x + 5y = 1750 ……. (2)
⇒ 5y = 1750 – 3x
⇒ y = \(\frac{1750-3 x}{5}\) ……(3)
y का यह मान समीकरण (1) में रखने पर,

अत: एक बल्ले का मूल्य ₹ 500 तथा 1 गेंद का मूल्य ₹ 50 है।

(iv) माना टैक्सी का नियत भाड़ा ₹ x है और प्रति किमी दूरी का भाड़ा ₹ y है।
तब, 10 किमी दूरी के लिए कुल भाड़ा = नियत भाड़ा + 10 किमी का भाड़ा
= x + 10 × y
= (x + 10y)
प्रश्नानुसार, यह भाड़ा ₹ 105 है
x + 10y = 105 …….. (1)
इसी प्रकार, 15 किमी दूरी के लिए कुल भाड़ा
= नियत भाड़ा + 15 किमी का भाड़ा
= ₹ x + ₹ 15y
= ₹(x + 15y)
प्रश्नानुसार यह भाड़ा ₹ 155 है।
x + 15y = 155 ……. (2)
समीकरण (1) से, x = 105 – 10y
x का यह मान समीकरण (2) में रखने पर,
105 – 10y + 15y = 155
⇒ -10 y + 15y = 155 – 105
⇒ 5y = 50
⇒ y = 10
तब, y का मान समीकरण (2) में रखने पर,
x + 15 × 10 = 155
⇒ x + 150 = 155
⇒ x = 155 – 150 = 5
अतः टैक्सी का नियत भाड़ा ₹ 5 है और प्रति किमी दूरी का भाड़ा ₹ 10 है
तथा 25 किमी यात्रा का भाड़ा = 5 नियत भाड़ा + (25 × 10) यात्रा भाड़ा
= ₹ (5 + 250)
= ₹ 255

(v) माना भिन्न का अंश x तथा हर y है।
भिन्न = \(\frac{x}{y}\)

(vi) माना जैकब और उसके पुत्र की वर्तमान आयु क्रमश: x व y वर्ष है।
5 वर्ष बाद जैकब की आयु = (x + 5) वर्ष
तथा 5 वर्ष बाद पुत्र की आयु = (y + 5) वर्ष
प्रश्नानुसार, 5 वर्ष के बाद जैकब की आयु = 3 × उसके पुत्र की आयु
x + 5 = 3 × (y + 5)
⇒ x + 5 = 3y + 15
⇒ x = 3y + 15 – 5
⇒ x = 3y + 10 …….. (1)
5 वर्ष पूर्व जैकब की आयु = (x – 5) वर्ष
तथा 5 वर्ष पूर्व उसके पुत्र की आयु = (y – 5) वर्ष
प्रश्नानुसार, 5 वर्ष पहले जैकब की आयु = 7 × 5 वर्ष पहले उसके पुत्र की आयु
x – 5 = 7 × (y – 5)
⇒ x – 5 = 7y – 35
⇒ x – 7y = +5 – 35
⇒ x – 7y = -30 ….(2)
समीकरण (1) से x का मान समीकरण (2) में रखने पर,
(3y + 10) – 7y = -30
⇒ 3y + 10 – 7y = -30
⇒ 3y – 7y = -30 – 10
⇒ -4y = -40
⇒ y = 10
समीकरण (1) में y का मान रखने पर,
x = (3 × 10) + 10 = 30 + 10 = 40
दिए गए समीकरण युग्म का हल : x = 40, y = 10

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.2 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.2

Bihar Board Class 10 Maths दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.2

प्रश्न 1.
निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए-
(i) कक्षा X के 10 विद्यार्थियों ने एक गणित की पहेली प्रतियोगिता में भाग लिया। यदि लड़कियों की संख्या लड़कों की संख्या से 4 अधिक हो तो प्रतियोगिता में भाग लिए लड़कों और लड़कियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
(ii) 5 पेन्सिलों तथा 7 कलमों का कुल मूल्य ₹ 50 है, जबकि 7 पेन्सिलों तथा 5 कलमों का कुल मूल्य ₹ 46 है। एक पेन्सिल का मूल्य तथा एक कलम का मूल्य ज्ञात कीजिए।
हल
(i) माना लड़कियों की संख्या x तथा लड़कों की संख्या y है।
कुल संख्या = (x + y)
परन्तु प्रश्नानुसार कुल विद्यार्थियों की संख्या 10 है।
x + y = 10
लड़कियों की संख्या x, लड़कों की संख्या y से 4 अधिक है।
x = y + 4 ⇒ x – y = 4
अतः दिए गए कथनों का बीजगणितीय रूप समीकरण युग्म
x + y = 10 …….. (1)
x – y = 4 …….. (2)
ज्यामितीय निरूपण:
क्रिया-विधि :
1. दिए हुए समीकरण युग्म का पहला समीकरण x + y = 10
2. माना x = 3, तब x का मान समीकरण x + y = 10 में रखने पर,
3 + y = 10 ⇒ y = 10 – 3 ⇒ y = 7
3. तब समीकरण x + y = 10 के आलेख पर एक बिन्दु A = (3, 7) है।
4. पुन: माना x = 8, तब x का मान समीकरण x + y = 10 में रखने पर,
8 + y = 10 ⇒ y = 10 – 8 ⇒ y = 2
5. तब समीकरण x + y = 10 के आलेख पर एक बिन्दु B = (8, 2) है।
6. ग्राफ पेपर पर बिन्दुओं A (3, 7) तथा B(8, 2) को आलेखित (plotting) कीजिए और दिए गए समीकरण का आलेख AB खींचिए।
7. दिए हुए समीकरण युग्म का दूसरा समीकरण x – y = 4
8. माना x = 2, तब x का मान समीकरण x – y = 4 में रखने पर,
2 – y = 4 ⇒ -y = 4 – 2 ⇒ y = -2
9. तब समीकरण x – y = 4 के आलेख पर एक बिन्दु C = (2, -2) है।
10. पुनः माना x = 4, तब x का मान समीकरण x – y = 4 में रखने पर,
4 – y = 4 ⇒ -y = 4 – 4 ⇒ -y = 0 ⇒ y = 0
11. तब समीकरण x – y = 4 के आलेख पर एक बिन्दु D = (4, 0) है।
12. ग्राफ पेपर पर बिन्दु C = (2, -2) तथा D = (4, 0) को आलेखित कर दिए हुए समीकरण का आलेख CD खींचिए।
13. ऋजु रेखाओं AB तथा CD का प्रतिच्छेद बिन्दु P (h, K) ज्ञात कीजिए। बिन्दु P के निर्देशांक P(7, 3) आलेख से ज्ञात कीजिए।
14. दिए हुए समीकरण-युग्म का एक अद्वितीय सार्व हल x = 7, y = 3 है।
अत: लड़कियों की संख्या = 7 तथा लड़कों की संख्या = 3

(ii) मान लीजिए कि एक पेन्सिल का मूल्य ₹ x है तथा 1 कलम का मूल्य ₹ y है।
5 पेन्सिलों और 7 कलमों का मूल्य = ₹ 50
5x + 7y = 50
इसी प्रकार, 7 पेन्सिलों और 5 कलमों का मूल्य = ₹ 46
7x + 5y = 46
अत: दिए गए कथनों का बीजगणितीय रूप समीकरण युग्म
5x + 7y = 50 ….. (1)
7x + 5y = 46 …… (2)
ज्यामितीय निरूपण :
क्रिया-विधि :
1. दिए हुए समीकरण युग्म का पहला समीकरण 5x + 7y = 50
2. माना x = 10, तब x का मान समीकरण 5x + 7y = 50 में रखने पर,
5 × 10 + 7y = 50
⇒ 50 + 7y = 50
⇒ 7y = 50 – 50
⇒ 7y = 0
⇒ y = 0
3. तब समीकरण 5x + 7y = 50 के आलेख पर एक बिन्दु A = (10, 0) है।
4. पुन: माना x = -4, तब x का मान समीकरण 5x + 7y = 50 में रखने पर,
(5 × -4) + 7y = 50
⇒ -20 + 7y = 50
⇒ 7y = 50 + 20
⇒ 7y = 70
⇒ y = 10
5. तब समीकरण 5x + 7y = 50 के आलेख पर एक बिन्दु B = (-4, 10) है।
6. ग्राफ पेपर पर बिन्दुओं A = (10, 0) तथा B = (-4, 10) को आलेखित (plotting) कीजिए और दिए गए समीकरण का आलेख AB खींचिए।
7. दिए हुए समीकरण युग्म का दूसरा समीकरण 7x + 5y = 46
8. माना x = 8, तब x का मान समीकरण 7x + 5y = 46 में रखने पर,
7 × 8 + 5y = 46
⇒ 56 + 5y = 46
⇒ 5y = -10
⇒ y = -2
9. तब समीकरण 7x + 5y = 46 के आलेख पर एक बिन्दु C = (8, -2) है।
10. पुनः माना x = -2, तब x का मान समीकरण 7x + 5y = 46 में रखने पर,
(7 × -2) + 5y = 46
⇒ -14 + 5y = 46
⇒ 5y = 46 + 14
⇒ 5y = 60
⇒ y = 12
11. तब समीकरण 7x + 5y = 46 के आलेख पर एक बिन्दु D = (-2, 12) है।
12. ग्राफ पेपर पर बिन्दु C = (8, -2) तथा D = (-2, 12) को आलेखित कर दिए हुए समीकरण का आलेख CD खींचिए।
13. ऋजु रेखाओं AB तथा CD का प्रतिच्छेद बिन्दु P (h, k) ज्ञात कीजिए। बिन्दु P के निर्देशांक आलेख से ज्ञात कीजिए। P(3, 5)

14. दिए हुए समीकरण युग्म का एक अद्वितीय सार्व हल x = 3, y = 5 है।
अतः एक पेन्सिल का मूल्य ₹ 3 और एक कलम का मूल्य ₹ 5 है।

प्रश्न 2.
अनुपातों \(\frac{a_{1}}{a_{2}}\), \(\frac{b_{1}}{b_{2}}\) और \(\frac{c_{1}}{c_{2}}\) की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती हैं, समान्तर अथवा सम्पाती है।
(i) 5x – 4y + 8 = 0
7x + 6y – 9 = 0
(ii) 9x + 3y + 12 = 0
18x + 6y + 24 = 0
(iii) 6x – 3y + 10 = 0
2x – y + 9 = 0
हल
(i) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म
5x – 4y + 8 = 0 ……..(1)
7x + 6y – 9 = 0 ……..(2)
उक्त समीकरण युग्म की तुलना व्यापक रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,

\(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}\); अत: समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

(ii) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म
9x + 3y + 12 = 0 ……(1)
18x + 6y + 24 = 0 ……(2)
उक्त समीकरण युग्म की तुलना व्यापक रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,

\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\); अत: समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ सम्पाती हैं।

(iii) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म
6x – 3y + 10 = 0 ……(1)
2x – y + 9 = 0 …….(2)
उक्त समीकरण युग्म की तुलना व्यापक रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,

अत: समीकरण युग्म द्वारा निरूपित ऋजु रेखाएँ समान्तर हैं।

प्रश्न 3.
अनुपातों \(\frac{a_{1}}{a_{2}}\), \(\frac{b_{1}}{b_{2}}\) और \(\frac{c_{1}}{c_{2}}\) की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म संगत हैं या असंगत-
(i) 3x + 2y = 5; 2x – 3y = 7
(ii) 2x – 3y = 8; 4x – 6y = 9
(iii) \(\frac{3}{2}\)x + \(\frac{5}{3}\)y = 7; 9x – 10y = 14
(iv) 5x – 3y = 11; -10x + 6y = -22
(v) \(\frac{4}{3}\) x + 2y = 8; 2x + 3y = 12
हल
(i) दिया गया समीकरण युग्म
3x + 2y = 5 या 3x + 2y – 5 = 0 ……(1)
2x – 3y = 7 या 2x – 3y – 7 = 0 ……(2)
समीकरण युग्म की तुलना रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,

\(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}\); रैखिक समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल है
अत: दिया हुआ रैखिक समीकरणों का युग्म संगत है।

(ii) दिया गया समीकरण युग्म
2x – 3y = 8 या 2x – 3y – 8 = 0 ……. (1)
4x – 6y = 9 या 4x – 6y – 9 = 0 …….. (2)
समीकरण युग्म की तुलना रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,

\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\); दिए गए समीकरण युग्म का कोई हल नहीं है।
अत: दिया गया रैखिक समीकरणों का युग्म असंगत है।

(iii) दिया गया समीकरण युग्म
\(\frac{3}{2} x+\frac{5}{3} y=7 \quad \Rightarrow \quad \frac{3}{2} x+\frac{5}{3} y-7=0\) …… (1)
9x – 10y = 14 ⇒ 9x – 10y – 14 = 0 ……..(2)
समीकरण युग्म की तुलना रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,
a₁ = \(\frac{3}{2}\), b₁ = \(\frac{5}{3}\), c₁ = -7
a₂ = 9, b₂ = -10, c₂ = -14

\(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}\); समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल है।
अत: दिया गया रैखिक समीकरणों का युग्म संगत है।

(iv) दिया गया समीकरण युग्म
5x – 3y = 11 ⇒ 5x – 3y – 11 = 0 ……(1)
-10x + 6y = -22 ⇒ -10x + 6y + 22 = 0 …..(2)
समीकरण युग्म की तुलना रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,

समीकरण युग्म सम्पाती रेखाएँ निरूपित करेगा और समीकरण युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे।
अतः दिया गया समीकरणों का युग्म संगत है।

(v) दिया हुआ समीकरण युग्म :
\(\frac{4}{3}\) x + 2y = 8 ⇒ \(\frac{4}{3}\)x + 2y – 8 = 0 ……. (1)
2x + 3y = 12 ⇒ 2x + 3y – 12 = 0 …(2)
समीकरण युग्म की तुलना रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,

अत: दिया गया समीकरणों का युग्म संगत है।

प्रश्न 4.
निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों में से कौन-से युग्म संगत/असंगत हैं, यदि संगत हैं तो ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए।
(i) x + y = 5, 2x + 2y = 10
(ii) x – y = 8, 3x – 3y = 16
(iii) 2x + y – 6 = 0, 4x – 2y – 4 = 0
(iv) 2x – 2y – 2 = 0, 4x – 4y – 5 = 0
हल
(i) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म
x + y = 5 ⇒ x + y – 5 = 0 ……. (1)
2x + 2y = 10 ⇒ 2x + 2y – 10 = 0 ……(2)
उक्त समीकरण युग्म की तुलना रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,

अतः समीकरण युग्म संगत है।
समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ सम्पाती होंगी क्योंकि दोनों समीकरण एक ही हैं।
अतः रेखा x + y = 5 या x = 5 – y समीकरण युग्म का हल है
जबकि y का मान एक वास्तविक संख्या है।

(ii) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म
x – y = 8 ⇒ x – y – 8 = 0 …(1)
3x – 3y = 16 ⇒ 3x – 3y – 16 = 0 …… (2)
समीकरण युग्म की तुलना रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,
a₁ = 1, b₁ = -1, c₁ = -8
a₂ = 3, b₂ = -3, c₂ = -16

अतः दिया गया समीकरण युग्म असंगत है।

(iii) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म
2x + y – 6 = 0 ….(1)
4x – 2y – 4 = 0 …..(2)
उक्त समीकरण युग्म की तुलना रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,

अत: समीकरण युग्म संगत है और उसका एक अद्वितीय हल होगा।
क्रिया-विधि :
1. दिए हुए समीकरण युग्म का पहला समीकरण 2x + y – 6 = 0
2. माना x = 3, तब x का मान समीकरण 2x + y – 6 = 0 में रखने पर,
2 × 3 + y – 6 = 0
⇒ 6 + y – 6 = 0
⇒ y = 0
3. तब समीकरण 2x + y – 6 = 0 के आलेख पर एक बिन्दु A = (3, 0) है।
4. पुन: माना x = 0, तब x का मान समीकरण 2x + y – 6 = 0 में रखने पर,
2 × 0 + y – 6 = 0
⇒ 0 + y – 6 = 0
⇒ y = 6
5. तब समीकरण 2x + y – 6 = 0 के आलेख पर एक बिन्दु B = (0, 6) है।
6. ग्राफ पेपर पर बिन्दुओं A = (3, 0) तथा B = (0, 6) को आलेखित (plotting) कीजिए और दिए गए समीकरण का आलेख AB खींचिए।
7. दिए हुए समीकरण युग्म का दूसरा समीकरण 4x – 2y – 4 = 0
8. माना x = 1, तब x का मान समीकरण 4x – 2y – 4 = 0 में रखने पर,
4 × 1 – 2y – 4 = 0
⇒ 4 – 2y – 4 = 0
⇒ 0 – 2y = 0
⇒ y = 0
9. तब समीकरण 4x – 2y – 4 = 0 के आलेख पर एक बिन्दु C = (1, 0) है।
10. पुन: माना x = 0, तब x का मान समीकरण 4x – 2y – 4 = 0 में रखने पर,
4 × 0 – 2y – 4 = 0
⇒ 0 – 2y – 4 = 0
⇒ -2y = 4
⇒ y = -2
11. तब समीकरण 4x – 2y – 4 = 0 के आलेख पर एक बिन्दु D = (0, -2) है।
12. ग्राफ पेपर पर बिन्दु C = (1, 0) तथा D = (0, -2) को आलेखित कर दिए हुए समीकरण का आलेख CD खींचिए।

13. ऋजु रेखाओं AB तथा CD का प्रतिच्छेद बिन्दु P(h, k) ज्ञात कीजिए। बिन्दु P के निर्देशांक P (2, 2) आलेख से ज्ञात कीजिए।
14. दिए हुए समीकरण-युग्म का एक अद्वितीय सार्व हल x = 2, y = 2 है।

(iv) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म
2x – 2y – 2 = 0 …… (1)
4x – 4y – 5 = 0 ……(2)
समीकरण युग्म की तुलना रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,

अत: दिया गया समीकरणों का युग्म असंगत है।

प्रश्न 5.
एक आयताकार बाग, जिसकी लम्बाई, चौड़ाई से 4 मीटर अधिक है, का अर्द्धपरिमाप 36 मीटर है। बाग की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
हल
माना आयताकार बाग की लम्बाई x मीटर तथा चौड़ाई y मीटर है।
प्रश्नानुसार, लम्बाई x, चौड़ाई y से 4 मीटर अधिक है।
x = y + 4 ⇒ x – y = 4
आयताकार बाग की परिमाप = 2(लम्बाई + चौड़ाई) = 2(x + y) मीटर
आयताकार बाग की अर्द्धपरिमाप = \(\frac {1}{2}\) × परिमाप
= \(\frac {1}{2}\) × 2(x + y)
= (x + y) मीटर
दिया है कि अर्द्धपरिमाप 36 मीटर है।
x + y = 36
अतः रैखिक समीकरण युग्म
x – y = 4 …….. (1)
x + y = 36 ……(2)
ज्यामितीय निरूपण :
क्रिया-विधि :
1. दिए हुए समीकरण युग्म का पहला समीकरण : x – y = 4
2. माना x = 0, तब x का मान समीकरण x – y = 4 में रखने पर,
0 – y = 4 ⇒ y = -4
3. तब समीकरण x – y = 4 के आलेख पर एक बिन्दु A = (0, -4) है।
4. पुनः माना x = 4, तब x का मान समीकरण x – y = 4 में रखने पर,
4 – y = 4
⇒ -y = 4 – 4
⇒ -y = 0
⇒ y = 0
5. तब समीकरण x – y = 4 के आलेख पर एक बिन्दु B = (4, 0) है।
6. ग्राफ पेपर पर बिन्दुओं A (0, -4) तथा B (4, 0) को आलेखित (plotting) कीजिए और दिए गए समीकरण का आलेख AB खींचिए।
7. दिए हुए समीकरण युग्म का दूसरा समीकरण x + y = 36
8. माना x = 10, तब x का मान समीकरण x + y = 36 में रखने पर,
10 + y = 36
⇒ y = 36 – 10
⇒ y = 26
9. तब समीकरण x + y = 36 के आलेख पर एक बिन्दु C = (10, 26) है।
10. पुनः माना x = 30, तब x का मान समीकरण x + y = 36 में रखने पर,
30 + y = 36
⇒ y = 36 – 30
⇒ y = 6
11. तब समीकरण x + y = 36 के आलेख पर एक बिन्दु D = (30, 6) है।
12. ग्राफ पेपर पर बिन्दु C = (10, 26) तथा D = (30, 6) को आलेखित कर दिए हुए समीकरण का आलेख CD खींचिए।
13. ऋजु रेखाओं AB तथा CD का प्रतिच्छेद बिन्दु P (h, k) ज्ञात कीजिए। बिन्दु P के निर्देशांक आलेख. से ज्ञात कीजिए। P(20, 16)
14. दिए हुए समीकरण युग्म का एक अद्वितीय सार्व हल x = 20, y = 16 है।
अत: आयताकार बाग की लम्बाई 20 मीटर तथा चौड़ाई 16 मीटर है।

प्रश्न 6.
एक रैखिक समीकरण 2x + 3y – 8 = 0 दी गई है। दो चरों में एक ऐसी और रैखिक समीकरण लिखिए ताकि प्राप्त युग्म का ज्यामितीय निरूपण जैसा कि
(i) प्रतिच्छेद करती रेखाएँ हों।
(ii) समान्तर रेखाएँ हों।
(iii) सम्पाती रेखाएँ हों।
हल
दिए गए रैखिक समीकरण 2x + 3y – 8 = 0 की तुलना समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 से करने पर,
तब, a₁ = 2, b₁ = 3, c₁ = -8
माना अभीष्ट रैखिक समीकरण a₂x + b₂y + c₂ = 0 है।
(i) जब समीकरण युग्म, प्रतिच्छेद करती हुई रेखाएँ निरूपित करता है तो
\(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}} \quad \Rightarrow \quad \frac{2}{a_{2}} \neq \frac{3}{b_{2}}\)
अर्थात् a₂, दो अथवा शून्य नहीं होना चाहिए और b₂, तीन अथवा शून्य नहीं होना चाहिए।
तब, अभीष्ट रेखा a₂x + b₂y + c₂ = 0
जबकि a₂ ≠ 2 तथा b₂ ≠ 3 और (a₁ ≠ 0, b₁ ≠ 0) और a₂, b₂, c₂ वास्तविक संख्याएँ हैं।

(ii) जब समीकरण युग्म समान्तर रेखाएँ निरूपित करता है तो


अत: अभीष्ट समीकरण 2kx + 3ky – nk = 0 जबकि n ≠ -8 जहाँ k एक आनुपातिक स्थिरांक है।

(iii) जब समीकरण युग्म सम्पाती रेखाएँ निरूपित करता है तो

⇒ a₂ = 2k, b₂ = 3k और c₂ = -8k
अतः अभीष्ट समीकरण 2kx + 3ky – 8k = 0 जहाँ k एक आनुपातिक स्थिरांक है।

प्रश्न 7.
समीकरणों x – y + 1 = 0 और 3x + 2y – 12 = 0 का ग्राफ खींचिए। X-अक्ष और इन रेखाओं से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए और त्रिभुजाकार पटल को छायांकित कीजिए।
हल
दिया गया रैखिक समीकरण युग्म
x – y + 1 = 0 ……. (1)
3x + 2y – 12 = 0 …….. (2)
समीकरण x – y + 1 = 0 के आलेख के लिए
1. माना x = 0, तब x का मान समीकरण x – y + 1 = 0 में रखने पर,
0 – y + 1 = 0 ⇒ y = 1
2. तब समीकरण x – y + 1 = 0 के आलेख पर एक बिन्दु A = (0, 1) है।
3. पुन: माना x = 4, तब x का मान समीकरण x – y + 1 = 0 में रखने पर,
4 – y + 1 = 0
⇒ 5 – y = 0
⇒ y = 5
4. तब समीकरण x – y + 1 = 0 के आलेख पर एक बिन्दु B = (4, 5) है।
5. ग्राफ पेपर पर बिन्दुओं A (0, 1) तथा B(4, 5) को आलेखित (plotting) कीजिए और दिए गए समीकरण का आलेख AB खींचिए।

समीकरण 3x + 2y – 12 = 0 के आलेख के लिए
1. माना x = 0, तब x का मान समीकरण 3x + 2y – 12 = 0 में रखने पर,
3 × 0 + 2y – 12 = 0
⇒ 0 + 2y – 12 = 0
⇒ 2y – 12 = 0
⇒ 2y = 12
⇒ y = 6
2. तब समीकरण 3x + 2y – 12 = 0 के आलेख पर एक बिन्दु C = (0, 6) है।
3. पुनः माना x = 6, तब x का मान समीकरण 3x + 2y – 12 = 0 में रखने पर,
3 × 6 + 2y – 12 = 0
⇒ 18 + 2y – 12 = 0
⇒ 6 + 2y = 0
⇒ 2y = -6
⇒ y = -3
4. तब समीकरण 3x + 2y – 12 = 0 के आलेख पर एक बिन्दु D = (6, -3) है।
5. ग्राफ पेपर पर बिन्दु C = (0, 6) तथा D = (6, -3) को आलेखित कर दिए हुए समीकरण का आलेख CD खींचिए।
ऋजु रेखाओं AB तथा CD का प्रतिच्छेद बिन्दु P (h, k) ज्ञात कीजिए। बिन्दु P के निर्देशांक आलेख से ज्ञात कीजिए। P (2, 3)
X-अक्ष से रेखा x – y + 1 = 0 का प्रतिच्छेद बिन्दु Q = (-1, 0)
X-अक्ष से रेखा 3x + 2y – 12 = 0 का प्रतिच्छेद बिन्दु R = (4, 0)
(ग्राफ से पढ़कर)

दी गई रेखाओं के समीकरणों और X-अक्ष के प्रतिच्छेदन से ∆PQR बनता है।
∆PQR के निर्देशांक क्रमशः P = (2, 3), Q = (-1, 0) तथा R = (4, 0) हैं।