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Bihar Board Class 10 Social Science Solutions Disaster Management आपदा प्रबन्धन Chapter 6 आपदा और सह अस्तित्व Text Book Questions and Answers, Additional Important Questions, Notes.

BSEB Bihar Board Class 10 Social Science Disaster Management Solutions Chapter 6 आपदा और सह अस्तित्व

Bihar Board Class 10 Disaster Management आपदा और सह अस्तित्व Text Book Questions and Answers

वस्तुनिष्ठ प्रश्नोत्तर

प्रश्न 1.
निम्नलिखित में कौन प्राकृतिक आपदा है ?
(क) आग लगना
(ख) बम विस्फोट
(ग) भूकम्प
(घ) रासायनिक दुर्घटनाएँ
उत्तर-
(ग) भूकम्प

प्रश्न 2.
भूकंप संभावित क्षेत्रों में भवनों की आकृति कैसी होनी चाहिए?
(क) अंडाकार
(ख) त्रिभुजाकार
(ग) चौकोर
(घ) आयाताकार
उत्तर-
(घ) आयाताकार

प्रश्न 3.
भूस्खलन वाले क्षेत्र में ढलान पर मकानों का निर्माण क्या है ?
(क) उचित
(ख) अनुचित
(ग) लाभकारी
(घ) उपयोगी ।
उत्तर-
(ख) अनुचित

प्रश्न 4.
सुनामी प्रभावित क्षेत्र में मकानों का निर्माण कहाँ करना चाहिए?
(क) समुद्र तट के निकट
(ख) समुद्र तट से दूर
(ग) समुद्र तट से ऊंचाई पर
(घ) इनमें से कोई नहीं
उत्तर-
(ख) समुद्र तट से दूर

प्रश्न 5.
बाढ़ से सबसे अधिक हानि होती है
(क) फसल की
(ख) पशुओं की
(ग) भवनों की
(घ) उपरोक्त सभी की
उत्तर-
(घ) उपरोक्त सभी की

प्रश्न 6.
कृषि सुखाड़ होता है
(क) जल के अभाव में
(ख) मिट्टी की नमी के अभाव में
(ग) मिट्टी के क्षय के कारण
(घ) मिट्टी की लवणता के कारण
उत्तर-
(क) जल के अभाव में

लघु उत्तरीय प्रश्नोत्तर

प्रश्न 1.
भूकंप के प्रभावों को कम करने के चार उपायों को लिखिए।
उत्तर-
भूकंप के प्रभावों को कम करने के लिए निम्नलिखित उपाय आवश्यक हैं

• भवनों का आयताकार होना चाहिए।
• भवनों के निर्माण ईंट-कंक्रीट से होना चाहिए। .
• नींव को मजबूत एवं भूकंप अवरोधी होना चाहिए।
• गलियों एवं सड़कों को चौड़ा होना चाहिए तथा दो भवनों के बीच पर्याप्त दूरी होनी । चाहिए।

प्रश्न 2.
सुनामो संभावित क्षेत्रों में गृह निर्माण पर अपना विचार प्रकट कीजिए। उत्तर-सुनामी प्रभावित क्षेत्रों में गृह निर्माण के लिए निम्नलिखित बातों पर ध्यान देना चाहिए

• जहाँ सुनामी की लहरें आती हैं वहाँ लोगों को तटीय भाग की अपेक्षा तट से दूर बसना चाहिए।
• समुद्र तटीय भाग में सघन वृक्षारोपण करना चाहिए।
• नगरों एवं भवनों को बचाव के लिए कंक्रीट अवरोधक का निर्माण करना चाहिए।
• प्रभावित क्षेत्रों में ऐसे मकान का निर्माण करना चाहिए जो सुनामी लहरों के प्रभाव को न्यून कर सके।
• पोताश्रयों को ऊंची बाँधों द्वारा सुरक्षित किया जा सकता है।
• प्रभावित क्षेत्रों में मकान ऊंचे स्थानों पर और तट से करीब सौ मीटर की दूरी पर बनाना चाहिए।
• सुनामी रेकॉर्डिग सेन्टर की स्थापना होना चाहिए।
• उपग्रह प्रौद्योगिकी द्वारा सुनामी की चेतावनी प्राप्त करना चाहिए और संचार के विभिन्न माध्यमों द्वारा तुरन्त आम लोगों तक पहुँचाना चाहिए।

प्रश्न 3.
सुखाड़ में मिट्टी की नमी को बनाए रखने के लिए आप क्या करेंगे?
उत्तर-
सूखे जैसे प्राकृतिक आपदा को विभिन्न विधियों को अपनाकर इसकी विभीषिका को . कम किया जा सकता है। जैसे-जल संसाधन का वैज्ञानिक विकास और प्रबंधन द्वारा जल की समस्या का समाधान किया जा सकता है। क्योंकि सुखाड़ के समय जल के अभाव से न केवल मिट्टी की नमी समाप्त हो जाती है, बल्कि सभी प्राणियों को जान तक बचाना मुश्किल हो जाता
है। जल विभाजक के विकास की याजना ऐसी स्थिति में बहुत सहायक होती है।

दीर्घ उत्तरीय प्रश्नोत्तर

प्रश्न 1.
भूस्खलन अथवा बाढ़ जैसी प्राकृतिक विभीषिकाओं का सामना आप किस प्रकार कर सकते हैं ? विस्तार से लिखिए।
उत्तर-
भूस्खलन के पाँच रूप होते हैं-

• बारिश के पानी के साथ मिट्टी और कचड़े का नीचे आना,
• कंकड़-पत्थरों का खिसकना
• कंकड़-पत्थर का गिरना
• चट्टानों का खिसकना
• चट्टानों का गिरना आदि से जानमाल की बर्बादी होती है।

इससे बचाव के लिए निम्न उपाय किए जाने चाहिए-

• मिट्टी की प्रकृति के अनुरूप उपयुक्त नींव बनाना।
• ढलवां स्थान पर मकान का निर्माण न करना।
• सामान्य एवं वैकल्पिक संचार प्रणालियों को समुचित व्यवस्था करना।
• वनस्पति विहीन ऊपरी ढालों पर उपयुक्त वृक्ष प्रजातियों का सघन रोपण कार्य करना।
• प्राकृतिक जल की निकासी का अवरुद्ध न होना।
• पुख्ता दीवारों का निर्माण किया जाना। ..
• बारिश की पानी और झरनों के प्रवेश सहित भूस्खलनों के संचलन पर काबू पाने के लिए समतल जल निकासी केन्द्र बनाना।
• भूमि के नीचे बिछाए जाने वाले पाईप लाइन, केबुल आदि लचीले होने चाहिए ताकि भूस्खलन से उत्पन्न दबाव का सामना कर सकें।

बाढ़ एक विनाशकारी प्राकृतिक आपदा है। इससे निजात पाने के लिए निम्नलिखित उपाय किए जा सकते हैं

• बाढ़ की प्रवणता को कम करने के लिए वनों का विकास से निजात मिल सकती है।
• नदियों के दोनों तटबंधों पर बाँध बनाना। बाढ़ प्रभावित क्षेत्रों की सुरक्षा प्रदान किया जा सकता है।
• मृदा क्षय को भी निर्यात किया जा सकता है।
• जल निकासी की समुचित व्यवस्था होनी चाहिए।
• पर्वतीय भागों में नदियों के ऊपर बाँध और पृष्ठ भाग जलाशय का निर्माण कर जल को नियंत्रित किया जा सकता है
• बाढ़ प्रभावित क्षेत्रों में नहरों का जाल बिछाकर इसकी विभीषिका से बचा जा सकता है साथ ही सिंचाई का काम भी किया जा सकता है।
• बाढ़ से बचाव के लिए रिंग बांध भी सहायक होता है। नदियों की धाराओं में सुधार तथा नदियों के लिए वैकल्पिक मार्ग का निर्माण द्वारा इस समस्या का समाधान संभव है।
• बाढ़ प्रभावित क्षेत्रों में स्थान-स्थान पर खाद्यान्न बैंक का भी विकास होना चाहिए।

प्रश्न 2.
सुनामी के दौरान उठाये जानेवाले कदम (Preparedness measures during Tsunami Scenario) के बारे में लिखें।
उत्तर-
सुनामी तूफान आने के पहले कुछ उठाये गए कदम निम्नांकित हैं

• अपने स्कूल/मकान आदिसमुद्र तट से कितनी दूरी पर है इसकी जानकारी प्राप्त कर लेनी चाहिए।
• यह जान लेना आवश्यक है कि आपका स्कूल/घर समुद्र तल से कितनी ऊंचाई पर है।
• ऐसे स्थान पर चले जायें जो ऊँचाई पर स्थित हो और हर प्रकार से सुरक्षित हो।
• सुनामी की लहर पहले हल्की और कम ऊंचाई की हो सकती है, परन्तु बाद में भयंकर रूप धारण कर सकती है। इसलिए हल्की लहर को देखते ही समुद्र तट को छोड़ देना चाहिए।
• कई लोग सुनामी लहरों को देखने के लिए नजदीक चले जाते हैं, परन्तु ऐसा करना बड़ा खतरनाक सिद्ध हो सकता है। .
• प्रशान्त सुनामी केन्द्र द्वारा दी गई चेतावनी की ओर ध्यान दें। उसे हल्के में ही मत टाल दें। मई 1960 में 61 व्यक्ति की मौत हो गई क्योंकि उनलोगों ने तटीय केन्द्र द्वारा चेतावनी को हवाई टापू पर अनसुनी कर दिया था।
• रेडियो टेलीविजन द्वारा प्रसारित की गई जानकारी का लाभ उठाएँ और उनके द्वारा दी गई सतह पर अमल करें।

प्रश्न 3.
आकस्मिक प्रबंधन में स्थानीय प्रशासन एवं स्वयंसेवी संस्थाओं की भूमिका का विस्तार से उल्लेख करें।
उत्तर-
मुख्यत: आकस्कि प्रबंधन के तीन घटक हैं-

1. स्थानीय प्रशासन
2. स्वयंसेवी संगठन
3. गाँव अथवा मुहल्ले के लोग।

1. स्थानीय प्रशासन- आकस्मिक प्रबंधन में स्थानीय प्रशासन की अहम भूमिका होती है। राहत शिविर का निर्माण, प्राथमिक उपचार की सामग्री की व्यवस्था, एम्बुलेंस, डॉक्टर, अग्निशामक इत्यादि की तत्काल व्यवस्था करना इसका प्रमुख कार्य है।

2. स्वयंसेवी संगठन- आकस्मिक प्रबंधन में स्वयंसेवी संस्था महत्त्वपूर्ण स्थान रखता है, अगर गाँव के युवकों तथा पंचायत प्रबंधन के बीच समन्वय हो। ऐसे प्रबंधन में जाति, धर्म, लिंग के भेदभाव का परित्याग करना पड़ता है। स्वयंसेवी संस्था आकस्मिक प्रबंधन में काफी योगदान दे सकती है।

3. गाँव अथवा महल्ले के लोग- आकस्मिक प्रबंधन में गाँव और मुहल्ले के लोग काफी योगदान दे सकते हैं। जैसे—युवकों को मानसिक रूप से सुदृढ़ और तकनीकी रूप से प्रशिक्षित करना और उनमें साहस का संचार कर सकते हैं।

क्रियाकलाप

आप अपने गाँव मुहल्ले में शिक्षक के साथ एक आमसभा आयोजित कीजिए और आमलोगों को बताइए कि प्राकृतिक आपदाओं से बचने के लिए मिलजुल कर उसका सामना करना चाहिए। इससे विपत्ति और बर्बादी कम होगी।
उत्तर-
छात्र अपने शिक्षक की सहायता से स्वयं करें।

Bihar Board Class 10 Disaster Management आपदा और सह अस्तित्व Notes

• यद्यपि आपदाएँ और संकट प्राकृतिक क्रियाओं के प्रतिफल हैं, परंतु अविवेकपूर्ण मानवीय क्रियाएँ भी आपदाओं को आमंत्रित करती हैं।
• आपदा के संवेदनशील क्षेत्रों में आपदा प्रबंधन के लिए हमेशा तैयारी रखनी चाहिए, क्योंकि आपदाएं अप्रत्याशित रूप से घटित होती हैं।
• बाढ़ और सूखे के संकट का आकलन कर उनसे निपटने की तैयारी सम्यक रूप से करनी ।
  चाहिए।
• आपदा प्रबंधन में स्थानीय लोगों का सहयोग ही सबसे अधिक कारगर होता है।
• संचार साधनों का उपयोग आपदा से निपटने में बहुत प्रभावशाली होता है।
• अभी तक आपदाओं में लाखों-करोड़ों लोगों की मृत्यु तब हुई हैं जब उन क्षेत्रों में एकाधिपत्य शासन रहा है। किसी लोकप्रिय प्रजातांत्रिक देश में बड़ी संख्या में लोगों की ‘ मौत नहीं हुई, क्योंकि वहाँ आपदा से निपटने के लिए उचित प्रयास करना संभव हो सका आपदा प्रबंधन के महत्व को इंगित करने के लिए यह उदाहरण सटीक है।
• प्रकृति में होनेवाले कुछ परिवर्तन संकट और आपदाओं के कारण होते हैं।
• अनेक संकटों और आपदाओं का कारण मनुष्य के क्रियाकलाप भी होते हैं।
• प्रकृति के साथ अनावश्यक छेड़छाड़ संकटों और आपदाओं को आमंत्रित करती है।
• संकट धीरे-धीरे उत्पन्न होते हैं और आपदाएँ अकस्मात विकास रूप ले लेती हैं।
• भारत का उत्तरी तराई भाग भूकंप के लिए अत्यधिक संवेदनशील है।
• ज्वालामुखी के प्रकोप से भारत प्रायः बचा हुआ है।
• सुनामी से बंगाल की खाड़ी प्रभावित है, क्योंकि इससे पूर्वी भाग में इंडोनेशिया का तट बहुत अधिक संवेदनशील है।
• भारत में चक्रवात प्रायः मई-जून तथा अक्टूबर-नवम्बर में अधिक आते हैं।
• पूर्वोत्तर भारत में बाढ़ प्रायः प्रतिवर्ष आती है और यही व्यापक हानि होती है।
• पंजाब, हरियाणा जैसे पश्चिमोत्तर से राज्यों में हिमालय की बर्फ पिघलने से बाढ़ आती है।
• देश के पश्चिमी और दक्षिणी भाग में प्रायः सूखे की स्थिति रहती है; परंतु सभी भाग इसकी चपेट में आ सकते हैं।
• बाढ़ का दुष्प्रभाव क्षणिक होता है जबकि सूखे से लोगों को लंबे समय तक कठिनाई का सामना करना पड़ता है।
• देश में बिहार एक ऐसा राज्य है जो किसी संकट और आपदा से अछूता नहीं है, सिवाय सुनामी के।

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.2 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.2

Bihar Board Class 10 Maths निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.2

प्रश्न 1.
उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जो बिन्दुओं (-1, 7) और (4, -3) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को 2 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है।
हल
दिए गए बिन्दु (-1, 7) और (4, -3)
यहाँ x₁ = -1, y₁ = 7, x₂ = 4, y₂ = -3
तथा m₁ : m₂ = 2 : 3
माना विभाजक बिन्दु P(x, y) है।

अत: अभीष्ट बिन्दु के निर्देशांक = (1, 3)

प्रश्न 2.
बिन्दुओं (4, -1) और (-2, -3) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को समत्रिभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल
माना A = (4, -1) तथा B = (-2, -3) दिए गए बिन्दु हैं।
माना बिन्दु P (x, y) तथा Q (x’, y’) AB को समत्रिभाजित करते हैं।
तब, AP : PB = 1 : 2 और AQ : QB = 2 : 1,
यहाँ x₁ = 4, y₁ = -1, x₂ = -2, y₂ = -3
तथा m₁ : m₂ = 1 : 2
तब, बिन्दु P के लिए :

प्रश्न 3.
आपके स्कूल में खेल-कूद क्रियाकलाप आयोजित करने के लिए, एक आयताकार मैदान ABCD में, चूने से परस्पर 1 m की दूरी पर पंक्तियाँ बनाई गई हैं। AD के अनुदिश परस्पर 1 m की दूरी पर 100 गमले रखे गए हैं, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। निहारिका दूसरी पंक्ति में AD के \(\frac{1}{4}\) भाग के बराबर की दूरी दौड़ती है और वहाँ एक हरा झण्डा गाड़ देती है। प्रीत आठवीं पंक्ति में AD के \(\frac{1}{5}\) भाग के बराबर की दूरी दौड़ती है और वहाँ एक लाल झण्डा गाड़ देती है। दोनों झण्डों के बीच की दूरी क्या है? यदि रश्मि को एक नीला झण्डा इन दोनों झण्डों को मिलाने वाले रेखाखण्ड पर ठीक आधी दूरी (बीच में) पर गाड़ना न हो तो उसे अपना झण्डा कहाँ गाड़ना चाहिए?

हल
भुजा AD पर 1 m की दूरी पर 100 गमले रखे गए हैं।
AD = 100 m
निहारिका के झण्डे की स्थिति = दूसरी पंक्ति में AD का \(\frac{1}{4}\) भाग के बराबर दूरी
= दूसरी पंक्ति में 100 का \(\frac{1}{4}\)
= 25 m
= (2, 25)
प्रीत के झण्डे की स्थिति = आठवीं पंक्ति में AD का \(\frac{1}{5}\) भाग के बराबर दूरी
= आठवीं पंक्ति में 100 का \(\frac{1}{5}\)
= 20 m
= (8, 20)

रश्मि को इन दोनों झण्डों को मिलाने वाले रेखाखण्ड के मध्य-बिन्दु पर झण्डा गाड़ना है, तब (2, 25) और (8, 20) के मध्य-बिन्दु के निर्देशांक
= \(\left(\frac{2+8}{2}, \frac{25+20}{2}\right)\)
= \(\left(5, \frac{45}{2}\right)\)
अत: रश्मि को पाँचवीं पंक्ति में AD के अनुदिश \(\frac{45}{2}\) m दूरी पर झण्डा गाड़ना चाहिए।

प्रश्न 4.
बिन्दुओं (-3, 10) और (6, -8) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को बिन्दु (-1, 6) किस अनुपात में विभाजित करता है।
हल
माना बिन्दुओं (-3, 10) और (6, -8) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को बिन्दु (-1, 6), m₁ : m₂ में विभक्त करता है, तब

दोनों ही निर्देशांकों से, m₁ : m₂ = 2 : 7
अत: अभीष्ट अनुपात = 2 : 7

प्रश्न 5.
वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें बिन्दुओं A(1, -5) और B(-4, 5) को मिलाने वाला रेखाखण्ड X-अक्ष से विभाजित होता है। इस विभाजन बिन्दु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।
हल
दिए हुए बिन्दु A = (1, -5) और B = (-4, 5)
यहाँ x₁ = 1, y₁ = -5, x₂ = -4, y₂ = 5
माना रेखाखण्ड AB का X-अक्ष से अनुपात m₁ : m₂ में विभाजित होता है।
X-अक्ष के लिए y = 0 होता है।
विभाजक बिन्दु (x, 0) होगा जिसके लिए


अत: X-अक्ष से रेखाखण्ड AB बिन्दु (\(-\frac{3}{2}\), 0) पर 1 : 1 में विभाजित है।

प्रश्न 6.
यदि बिन्दु (1, 2), (4, 3), (x, 6) और (3, 5) इसी क्रम में लेने पर, एक समान्तर चतुर्भुज के शीर्ष हों तो x और y ज्ञात कीजिए।
हल
माना ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है जिनमें A = (1, 2), B = (4, y), C = (x, 6) तथा D = (3, 5)
इसके विकर्ण AC तथा BD परस्पर समद्विभाजित करेंगे।
AC का मध्य-बिन्दु = बिन्दुओं (1, 2) तथा (x, 6) का मध्य-बिन्दु

BD का मध्य-बिन्दु = बिन्दुओं (4, 3) तथा (3, 5) का मध्य-बिन्दु

∵ AC और BD परस्पर समद्विभाजित करते हैं
∵ AC का मध्य-बिन्दु वही होगा जो BD का है।
\(\frac{1+x}{2}=\frac{7}{2}\)
⇒ 1 + x = 7
⇒ x = 6
और \(\frac{y+5}{2}=4\)
⇒ y + 5 = 8
⇒ y = 3
अत: x = 6, और y = 3

प्रश्न 7.
बिन्दु A के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जहाँ AB एक वृत्त का व्यास है जिसका केन्द्र (2, -3) है तथा B के निर्देशांक (1, 4) हैं।

हल
केन्द्र के निर्देशांक = (2, -3)
तथा बिन्दु B के निर्देशांक = (1, 4)
माना बिन्दु A के निर्देशांक (x₁, y₁) हैं।
x₁ = 2, y₁ = -3, x₂ = 1, y₂ = 4
माना केन्द्र O के निर्देशांक (x, y) = (2, -3) व्यास AB के मध्य-बिन्दु पर है।
\(x=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\) तथा \(y=\frac{y_{1}+y_{2}}{2}\)
⇒ \(2=\frac{x_{1}+1}{2}\) तथा \(-3=\frac{y_{1}+4}{2}\)
⇒ x₁ + 1 = 4 तथा y₁ + 4 = -6
⇒ x₁ = 4 – 1 = 3 तथा y₁ = – 6 – 4 = -10
अत: बिन्दु A के निर्देशांक = (3, -10)

प्रश्न 8.
यदि A और B क्रमशः (-2, -2) और (2, -4) हों तो बिन्दु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ताकि AP = \(\frac{3}{7}\) AB हो और P रेखाखण्ड AB पर स्थित हो।
हल
दिया है, A = (-2, -2), और B = (2, -4)
यहाँ x₁ = – 2, y₁ = -2, x₂ = 2, y₂ = -4
AP = \(\frac{3}{7}\) AB
⇒ AP = \(\frac{3}{7}\) (AP + PB)
⇒ 7AP = 3AP + 3PB
⇒ 4AP = 3PB
⇒ AP : PB = 3 : 4
⇒ m₁ : m₂ = 3 : 4
यदि P के निर्देशांक (x, y) हो तो

प्रश्न 9.
बिन्दुओं A(-2, 2) और B(2, 8) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड AB को चार बराबर भागों में विभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल
माना बिन्दु A = (-2, 2) और B = (2, 8)
तब, रेखाखण्ड AB को दो बराबर भागों में बाँटने वाले बिन्दु Q के निर्देशांक = बिन्दुओं (-2, 2) तथा (2,8) के मध्य-बिन्दु के निर्देशांक
= \(\left(\frac{-2+2}{2}, \frac{2+8}{2}\right)\)
= (0, 5)
Q = (0, 5)

तब, रेखाखण्ड AQ के मध्य-बिन्दु P के निर्देशांक
\(=\left(\frac{-2+0}{2}, \frac{2+5}{2}\right)=\left(-1, \frac{7}{2}\right)\)
और रेखाखण्ड QB के मध्य-बिन्दु R के निर्देशांक
\(=\left(\frac{0+2}{2}, \frac{5+8}{2}\right)=\left(1, \frac{13}{2}\right)\)
अत: दिए हुए बिन्दुओं को 4 बराबर भागों में बाँटने वाले बिन्दुओं P, Q व R के निर्देशांक क्रमशः (-1, \(\frac{7}{2}\)),(0, 5) व (1, \(\frac{13}{2}\)) हैं।

प्रश्न 10.
एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष, इसी क्रम में, (3, 0), (4, 5), (-1, 4) और (-2, -1) हैं।

हल
माना A = (3, 0), B = (4, 5), C = (-1, 4) और D = (-2, -1)
समचतुर्भुज ABCD का विकर्ण

समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = \(\frac {1}{2}\) × एक विकर्ण × दूसरा विकर्ण
= \(\frac {1}{2}\) × AC × BD
= \(\frac {1}{2}\) × 4√2 × 6√2
= \(\frac {1}{2}\) × 24 × 2
= 24 वर्ग मात्रक
अतः समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = 24 वर्ग मात्रक

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.1 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.1

Bihar Board Class 10 Maths निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.1

प्रश्न 1.
बिन्दुओं के निम्नलिखित युग्मों के बीच की दूरियाँ ज्ञात कीजिए
(i) (2, 3), (4, 1)
(ii) (-5, 7), (-1, 3)
(iii) (a, b), (-a, -b)
हल
(i) दिए हुए बिन्दु (2, 3) व (4, 1)
यहाँ x₁ = 2, y₁ = 3, x₂ = 4, y₂ = 1
बिन्दुओं (2, 3) व (4, 1) के बीच की दूरी

अत: दिए हुए बिन्दुओं के बीच की दूरी = 2√2 मात्रक

(ii) दिए हुए बिन्दु (-5, 7) व (-1, 3)
यहाँ x₁ = -5, y₁ = 7, x₂ = -1, y₂ = 3
बिन्दुओं (-5, 7) व (-1, 3) के बीच की दूरी

अत: दिए हुए बिन्दुओं के बीच की दूरी = 4√2 मात्रक

(iii) दिए हुए बिन्दु (a, b) व (-a, -b)
यहाँ x₁ = a, y₁ = b, x₂ = -a, y₂ = -b
बिन्दुओं (a, b) और (-a, -b) के बीच की दूरी

अत: दिए हुए बिन्दुओं के बीच की दूरी = \(2 \sqrt{a^{2}+b^{2}}\) मात्रक

प्रश्न 2.
बिन्दुओं (0, 0) और (36, 15) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। क्या अब आप अनुच्छेद 7.2 में दिए दोनों शहरों A व B के बीच की दूरी ज्ञात कर सकते हैं?
हल
दिए हुए बिन्दु (0, 0) व (36, 15)
यहाँ x₁ = 0, y₁ = 0, x₂ = 36, y₂ = 15
बिन्दुओं (0, 0) व (36, 15) के बीच की दूरी

अत: दिए हुए बिन्दुओं के बीच की दूरी = 39 मात्रक
हाँ, हम ज्ञात कर सकते हैं :

अनुच्छेद 7.2 में दिए गए शहरों के, कार्तीय निर्देशांक पद्धति के सापेक्ष निर्देशांक A = (0, 0) तथा B = (36, 15)
शहरों के बीच की दूरी

प्रश्न 3.
निर्धारित कीजिए कि क्या बिन्दु (1, 5) (2, 3) और (-2, -11) संरेखी हैं?
हल
माना दिए हुए बिन्दु P = (1, 5), Q = (2, 3) तथा R = (-2, -11) हैं।
यहाँ x₁ = 1, y₁ = 5, x₂ = 2, y₂ = 3, x₃ = -2, y₃ = -11


PQ + QR = 2.23 + 14.56 = 16.79 ≠ RP
अतः दिए गए बिन्दु संरेख नहीं हैं।

प्रश्न 4.
जाँच कीजिए कि क्या बिन्दु (5, -2), (6, 4) और (7, -2) एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।
हल
माना दिए हुए बिन्दु P = (5, -2), Q = (6, 4) और R = (7, -2) हैं, जो ΔPQR के शीर्ष हैं :
यहाँ x₁ = 5, y₁ = -2, x₂ = 6, y₂ = 4, x₃ = 7, y₃ = -2

ΔPQR में, PQ = QR
⇒ ΔPQR समद्विबाहु है।
अतः दिए गए बिन्दु एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।

प्रश्न 5.
किसी कक्षा में, चार मित्र बिन्दुओं A, B, C और D पर बैठे हुए हैं, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। चम्पा और चमेली कक्षा के अन्दर आती हैं और कुछ मिनट तक देखने के बाद, चम्पा चमेली से पूछती है, ‘क्या तुम नहीं सोचती हो कि ABCD एक वर्ग है?’ चमेली इससे सहमत नहीं है। दूरी सूत्र का प्रयोग करके, बताइए कि इनमें कौन सही है?
हल
दी गई आकृति से बिन्दुओं A, B, C व D के निर्देशांक क्रमशः (3, 4), (6, 7), (9, 4), (6, 1) हैं।


∵ चतुर्भुज ABCD की चारों भुजाएँ AB, BC, CD, DA परस्पर बराबर हैं और चतुर्भुज के विकर्ण AC व BD भी बराबर हैं।
अत: चतुर्भुज ABCD एक वर्ग है। चम्पा सही है।

प्रश्न 6.
निम्नलिखित बिन्दुओं द्वारा बनने वाले चतुर्भुज का प्रकार (यदि कोई है तो) बताइए तथा अपने उत्तर के लिए कारण भी दीजिए-
(i) (-1, -2), (1, 0),(-1, 2),(-3, 0)
(ii) (-3, 5), (3, 1), (0, 3),(-1, -4)
(iii) (4, 5), (7, 6), (4, 3), (1, 2)
हल
(i) माना P = (-1, -2), Q = (1, 0), R = (-1, 2), S = (-3, 0)


∵ PQ² + QR² = (2√2)² + (2√2)² = 8 + 8 = 16 = PR²
∴ ∠Q समकोण है और चतुर्भुज की चारों भुजाएँ बराबर हैं।
अत: उक्त बिन्दुओं से बनने वाला चतुर्भुज एक वर्ग है।

(ii) (-3, 5), (3, 1), (0, 3), (-1, -4)
माना P = (-3, 5), Q = (3, 1), R = (0, 3), S = (-1, -4)

QR + RP = √13 + √13 = 2√13 = PQ
बिन्दु P, Q, R एक रेखा में हैं।
अत: बिन्दुओं P, Q, R व S से चतुर्भुज नहीं बनेगा।

(iii) माना P = (4, 5), Q = (7, 6), R = (4, 3) तथा S = (1, 2)

∵ बिन्दुओं P, Q, R, S से बने चतुर्भुज PQRS में PQ = RS तथा QR = SP अर्थात् सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं।
अत: चतुर्भुज PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है।

प्रश्न 7.
X-अक्ष पर वह बिन्दु ज्ञात कीजिए जो (2, -5) और (-2, 9) से समदूरस्थ है।
हल
माना X-अक्ष पर स्थित किसी बिन्दु के निर्देशांक (h, 0) हैं (क्योंकि x-अक्ष के लिए y-निर्देशांक शून्य होता है)।

प्रश्न 8.
y का वह मान ज्ञात कीजिए, जिसके लिए बिन्दु P(2, -3) और Q(10, y) के बीच की दूरी 10 मात्रक है।
हल
दिए हुए बिन्दु P = (2, -3) और Q = (10, 1)

परन्तु प्रश्न में दिया है कि दोनों बिन्दुओं के बीच की दूरी (PQ) = 10 मात्रक
\(\sqrt{8^{2}+(y+3)^{2}}=10\)
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
8² + (y + 3)² = 10²
⇒ (y + 3)² = 10² – 8² = 100 – 64
⇒ (y + 3)² = 36
⇒ (y + 3)² = ±6
यदि y + 3 = +6 तो y = +6 – 3 = 3
और यदि y + 3 = -6 तो y = – 6 – 3 = -9
अतः y के अभीष्ट मान = 3, -9

प्रश्न 9.
यदि Q(0, 1) बिन्दुओं P(6, -3) और R(x, 6) से समदूरस्थ है तो x के मान ज्ञात कीजिए। दूरियाँ QR और PR भी ज्ञात कीजिए।
हल
Q = (0, 1), P = (5, -3) और R = (x, 6)
बिन्दु Q(0, 1) बिदुओं (5, -3) व R(x, 6) से समदूरस्थ है।
अर्थात् PQ = QR

प्रश्न 10.
x और y में एक ऐसा सम्बन्ध ज्ञात कीजिए कि बिन्दु (x, y)बिन्दुओं (3, 6) और (-3, 4)से समदूरस्थ हो।
हल
माना बिन्दु P = (x, y), Q = (3, 6) तथा R = (-3, 4)
बिन्दु P(x, y) बिन्दुओं Q (3, 6) व R(-3, 4) से समदूरस्थ है।
अर्थात् PQ = PR

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
(x – 3)² + (y – 6)² = [x – (-3)]² + (y – 4)²
⇒ x² – 6x + 9 + y² – 12y + 36 = (x + 3)² + (y – 4)²
⇒ x² + y² – 6x – 12y + 45 = x² + 6x + 9 + y² – 8y + 16
⇒ x² + y² – 6x – 12y + 45 = x² + y² + 6x – 8y + 25
⇒ -6x – 12 y = 6x – 8 y + 25 – 45
⇒ -6x – 12y – 6x + 8y = -20
⇒ -12x – 4y = -20
⇒ 3x + y = 5 [∵ (-4) से दोनों पक्षों में भाग देने पर]
अत: अभीष्ट सम्बन्ध : 3x + y = 5

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Additional Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Additional Questions

Bihar Board Class 10 Maths त्रिभुज Additional Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
आकृति में, O दो जीवाओं को AB और CD का प्रतिच्छेद बिन्दु इस प्रकार है कि OB = OD है, तो त्रिभुज OAC और ODB हैं

(i) समबाहु परन्तु समरूप नहीं
(ii) समद्धिबाहु परन्तु समरूप नहीं
(iii) समबाहु और समरूप
(iv) समद्विबाहु और समरूप
हल
(iv) समद्विबाहु और समरूप

प्रश्न 2.
एक त्रिभुज ABC की भुजाओं AB और AC पर क्रमशः बिन्दु D और E इस प्रकार स्थित हैं कि AD = 2 cm, BD = 3 cm, BC = 7.5 cm और DE || BC है। तब, DE की लम्बाई (cm में) है-
(i) 2.5
(ii) 3
(iii) 5
(iv) 6
हल
(ii) 3

प्रश्न 3.
आकृति में, ∠BAC = 90° और AD ⊥ BC हैं। तब,

(i) BD . CD = BC²
(ii) AB . AC = BC²
(iii) BD . CD = AD²
(iv) AB . AC = AD²
हल
(iii) BD . CD = AD²

प्रश्न 4.
एक समचतुर्भुज के विकर्णों की लम्बाइयाँ 16 cm और 12 cm हैं। तब, इस समचतुर्भुज की भुजा की लम्बाई है
(i) 9 cm
(ii) 10 cm
(iii) 8 cm
(iv) 20 cm
हल
(ii) 10 cm

प्रश्न 5.
यदि ∆ABC ~ ∆EDF और ∆ABC ~ ∆DEF के समरूप नहीं है, तो निम्नलिखित में कौन सत्य नहीं है?
(i) BC . EF = AC . FD
(ii) AB . EF = AC · DE
(iii) BC . DE = AB . EF
(iv) BC . DE = AB . FD
हल
(ii) AB . EF = AC . DE

प्रश्न 6.
यदि दो त्रिभजों ABC और PQR में \(\frac{A B}{Q R}=\frac{B C}{P R}=\frac{C A}{P Q}\) है तो
(i) ∆PQR ~ ∆CAB
(ii) ∆PQR ~ ∆ABC
(iii) ∆CBA ~ ∆PQR
(iv) ∆BCA ~ ∆PQR
हल
(i) ∆PQR ~ ∆CAB

प्रश्न 7.
आकृति में, दो रेखाखण्ड AC और BD परस्पर बिन्दु P पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि PA = 6 cm, PB = 3 cm, PC = 2.5 cm, PD = 5 cm, ∠APB = 50° और ∠CDP = 30° है तब, ∠PBA बराबर है

(i) 50°
(ii) 30°
(iii) 60°
(iv) 100°
हल
(iv) 100°

प्रश्न 8.
त्रिभुजों ABC और DEF में, ∠B = ∠E, ∠F = ∠C तथा AB = 3DE है। तब दोनों त्रिभुज हैं
(i) सर्वांगसम परन्तु समरूप नहीं
(ii) समरूप परन्तु सर्वांगसम नहीं
(iii) न तो सर्वांगसम और न ही समरूप
(iv) सर्वांगसम और समरूप दोनों
हल
(ii) समरूप परन्तु सर्वांगसम नहीं

प्रश्न 9.
यह दिया है कि \(\frac{B C}{Q R}=\frac{1}{3}\) के साथ ∆ABC ~ ∆PQR है। तब \(\frac { ar(PQR) }{ ar(BCA) }\) बराबर है
(i) 9
(ii) 3
(iii) \(\frac {1}{3}\)
(iv) \(\frac {1}{9}\)
हल
(i) 9

प्रश्न 10.
∆ABC ~ ∆DFE, ∠A = 30°, ∠C = 50°, AB = 5 cm, AC = 8 cm और DF = 7.5 cm दिया हुआ है। तब, निम्नलिखित सत्य है
(i) DE = 12 cm, ∠F = 50°
(ii) DE = 12 cm, ∠F = 100°
(iii) EF = 12 cm, ∠D = 100°
(iv) EF = 12 cm, ∠D = 30°
हल
(ii) DE = 12 cm, ∠F = 100°

प्रश्न 11.
यदि त्रिभुज ABC और DEF में, \(\frac{A B}{D E}=\frac{B C}{F D}\) है, तो ये समरूप होंगे, जब
(i) ∠B = ∠E
(ii) ∠A = ∠D
(iii) ∠B = ∠D
(iv) ∠A = ∠F
हल
(iii) ∠B = ∠D

प्रश्न 12.
यदि ∆ABC ~ ∆QRP, \(\frac { ar(ABC) }{ ar(PQR) } =\frac { 9 }{ 4 }\), AB = 18 cm और BC = 15 cm है, तो PR बराबर है
(i) 10 cm
(ii) 12 cm
(iii) \(\frac {20}{3}\) cm
(iv) 8 cm
हल
(i) 10 cm

प्रश्न 13.
यदि ∆PQR की एक भुजा PQ पर S एक ऐसा बिन्दु है कि PS = QS = RS है, तो
(i) PR . QR = RS²
(ii) QS² + RS² = QR²
(iii) PR² + QR² = PQ²
(iv) PS² + RS² = PR²
हल
(iii) PR² + QR² = PQ²

अतिलघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
दिए गए चित्र में, DE, BC के समान्तर है तथा AD = 2 cm, BD = 3 cm , त्रिभुज ABC तथा त्रिभुज ADE के क्षेत्रफल में अनुपात ज्ञात कीजिए।

हल

प्रश्न 2.
चित्र में, EF || BC, यदि AE : BE = 4 : 1 और CF = 1.5 cm हो, तो AF की लम्बाई क्या होगी?

हल
EF || BC
\(\frac{A E}{E B}=\frac{A F}{C F}\)
⇒ \(\frac{4}{1}=\frac{A F}{1.5}\)
⇒ AF = 4 × 1.5 = 6.0 cm

प्रश्न 3.
दो समरूप त्रिभुजों की भुजाएँ 4 : 5 के अनुपात में हैं। उनके क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल
क्षेत्रफलों का अनुपात = संगत भुजाओं के वर्गों का अनुपात = (4)² : (5)² = 16 : 25

प्रश्न 4.
आकृति में, \(\frac{O A}{O C}=\frac{O D}{O B}\) है। ∆AOD ~ ∆COB सिद्ध करने के लिए किस अन्य सूचना की आवश्यकता होगी?
हल
दिया है, \(\frac{O A}{O C}=\frac{O D}{O B}\)
आकृति से, ∠AOD = ∠BOC (शीर्षाभिमुख कोण)
अतः ∆AOD ~ ∆COB
अर्थात् ∆AOD ~ ∆COB सिद्ध करने के लिए किसी भी अन्य सूचना की आवश्यकता नहीं है।

प्रश्न 5.
बौधायन प्रमेय का कथन लिखिए।
हल
प्रमेय : समकोण त्रिभुज में (कर्ण)² = (आधार)² + (लम्ब)² होता है।

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए कि भुजाएँ 13 cm, 12 cm व 5 cm एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ हैं।
हल
माना a = 13 cm, b = 12 cm तथा c = 5 cm
तब, a² = (13)² = 169
तथा b² + c² = (12)² + (5)² = 144 + 25 = 169
∴ a² = b² + c²
अर्थात् (सबसे बड़ी भुजा)² = शेष दोनों भुजाओं के वर्गों का योग
अतः दी गई भुजाएँ एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ हैं।
इति सिद्धम्

प्रश्न 7.
आकृति में, DE || BC तो EC ज्ञात कीजिए।

हल
∆ABC में, DE || BC

अत: EC की लम्बाई = 4 cm

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
आकृति में, ∠A = 90°, BD = DC तो पाइथागोरस प्रमेय से सिद्ध कीजिए AD = \(\frac {1}{2}\) BC

हल
दिया है : ∆ABC में, ∠A = 90°
BD = DC
AD ⊥ BC
सिद्ध करना है : AD = \(\frac {1}{2}\) BC
उपपत्ति : ∆ABC में, ∠A = 90°
तथा AD ⊥ BC
AD² = BD . DC = BD . BD = BD² (∵ DC = BD)
⇒ AD = BD = \(\frac {1}{2}\) BC
इति सिद्धम्

प्रश्न 2.
यदि ∆ABC में DE || BC और \(\frac{A D}{D B}=\frac{2}{3}\) तथा AC = 18 cm हों तो AE ज्ञात कीजिए।
हल

प्रश्न 3.
दी गई आकृति में DE || AB है। x का मान ज्ञात कीजिए।

हल
∆ABC में, DE || AB
CE : EB = CD : DA
\(\frac{C E}{E B}=\frac{C D}{D A}\)
⇒ \(\frac{x}{3 x+4}=\frac{x+3}{8 x+9}\)
⇒ (8x + 9) x = (3x + 4) (x + 3)
⇒ 8x² + 9x = 3x² + 9x + 4x + 12
⇒ 8x² + 9x – 3x² – 9x – 4x – 12 = 0
⇒ 5x² – 4x – 12 = 0
⇒ 5x² – (10 – 6)x – 12 = 0
⇒ 5x² – 10x + 6x – 12 = 0
⇒ 5x(x – 2) + 6(x – 2) = 0
⇒ (x – 2)(5x + 6) = 0
यदि 5x + 6 = 0 हो, तो x = \(-\frac{6}{5}\) जो कि मान्य नहीं है।
तब, यदि x – 2 = 0 हो, तो x = 2
अतः x का मान = 2.

प्रश्न 4.
दी गई आकृति में ABCD एक समचतुर्भुज है तो सिद्ध कीजिए कि 4AB² = AC² + BD²

हल
दिया है : ABCD एक समचतुर्भुज है जिसमें AB, BC, CD व DA चतुर्भुज की भुजाएँ हैं AC व BD विकर्ण हैं।
सिद्ध करना है : 4AB² = AC² + BD²
उपपत्ति : समचतुर्भुज की भुजाएँ लम्बाई में समान होती हैं और उसके विकर्ण परस्पर समकोण पर एक-दूसरे को अर्धित करते हैं।
AB = BC = CD = DA ……(1)
AO = OC तथा BO = OD
∆AOB, ∆BOC, ∆COD व ∆DOA समकोण त्रिभुज हैं।
समकोण ∆AOB में, ∠AOB = 90°
AB² = AO² + BO²
⇒ AB² = \(\left(\frac{A C}{2}\right)^{2}+\left(\frac{B D}{2}\right)^{2}\) (∵ AO, AC का तथा BO, BD का अर्धक है)
⇒ AB² = \(\frac{A C^{2}+B D^{2}}{4}\)
⇒ 4AB² = AC² + BD²
इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
दो समरूप ∆ABC तथा ∆PQR के क्षेत्रफल का अनुपात 9 : 16 है। यदि BC = 4.5 m, तो QR की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल
दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल, त्रिभुजों की संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात में होते हैं।

अतः QR की लम्बाई = 6.0 cm

प्रश्न 6.
चित्र में, ∆OSR ≅ ∆OPQ एवं SR || PQ यदि OSR = 50° और ∠ROQ = 120° तो ∠QPO का मान ज्ञात कीजिए।

हल
चित्र में, ∆OSR ≅ ∆OPQ एवं SR || PQ, SQ एक ऋजु रेखा है और 120° उससे OR बिन्दु O पर मिलती है, जिससे ∠SOR तथा ∠QOR एक रैखिक युग्म कोण है।
∠SOR + ∠QOR = 180°
⇒ ∠SOR + 120° = 180°
⇒ ∠SOR = 180° – 120° = 60°
तब ∆SOR में, ∠RSO + ∠SOR + ∠ORS = 180°
50° + 60° + ∠ORS = 180°
⇒ ∠ORS = 180° – 50° – 60°
⇒ ∠ORS = 180° – 110°
⇒ ∠ORS = 70°
∵ ∆SOR ~ ∆QPO
∴ ∠ORS = ∠QPO = 70°
∴ ∠QPO = 70°

प्रश्न 7.
आकृति में, AD ⊥ BC है। सिद्ध कीजिए कि AB² + CD² = BD² + AC²

हल
∆ABD में, ∠BDA = 90°,
अत: बौधायन प्रमेय से,
AB² = BD² + DA² ……(1)
तथा इसी प्रकार ∆ADC में,
AC² = CD² + DA²
⇒ DA² = AC² – CD²
समीकरण (1) में DA2 का मान रखने पर,
AB² = BD² + AC² – CD²
⇒ AB² + CD² = BD² + AC²
इति सिद्धम्

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
AQ तथा BP एक समकोण त्रिभुज ABC की माध्यिकाएँ हैं तथा त्रिभुज का कोण C समकोण है। सिद्ध कीजिए कि 4(AQ² + BP²) = 5AB²

हल
दिया है : ∆ABC में ∠C = 90°, त्रिभुज की BP और AQ दो माध्यिकाएँ हैं जो क्रमश: CA को बिन्दु P पर तथा BC को बिन्दु Q पर मिलती
हैं।
सिद्ध करना है : 4(AQ² + BP²) = 5AB²
उपपत्ति : BP, CA की माध्यिका है।
PC = \(\frac{1}{2}\) CA
⇒ 2PC = CA
⇒ 4PC² = CA² ……(1)
AQ, BC की माध्यिका है।
CQ = \(\frac{1}{2}\) BC
⇒ 2CQ = BC
⇒ 4CQ² = BC² ………(2)
समकोण त्रिभुज ABC में, AB² = BC² + CA² ……(3)
समकोण त्रिभुज BPC में, BP² = PC² + BC² …….(4)
समकोण त्रिभुज ACQ में, AQ² = CA² + CQ² ………(5)
समीकरण (4) व (5) को जोड़ने पर,
AQ² + BP² = PC² + CQ² + CA² + BC² ……(6)
समीकरण (6) को 4 से गुणा करने पर,
4(AQ² + BP²) = 4PC² + 4CQ² + 4BC² + 4CA²
⇒ 4(AQ² + BP²) = CA² + BC² + 4BC² + 4CA² [समीकरण (1) व (2) से]
⇒ 4(AQ² + BP²) = 5BC² + 5CA²
⇒ 4(AQ² + BP²) = 5(BC² + CA²)
⇒ 4(AQ² + BP²) = 5AB² [समीकरण (3) से]
अत: 4(AQ² + BP²) = 5AB²
इति सिद्धम्

प्रश्न 2.
आकृति में, ∠ACB = 90° तथा AD ⊥ AB है। सिद्ध कीजिए कि \(\frac{A B^{2}}{A D^{2}}=\frac{B C}{C D}\)

हल
दिया है : ∆ABD में ∠DAB = 90° तथा AC ⊥ BD
सिद्ध करना है : \(\frac{A B^{2}}{A D^{2}}=\frac{B C}{C D}\)
उपपत्ति : ∆ABD में, ∠DAB = 90°
∆ABD समकोण त्रिभुज है जिसमें AC ⊥ BD
∆ABC ~ ∆DBA और ∆DAC ~ ∆DRA तथा ∆ABC ~ ∆DAC
∵ ∆ABC ~ ∆DRA
∆ABC तथा ∆DBA की तुलना करने पर,
\(\frac{B C}{A B}=\frac{A B}{B D}\)
⇒ AB² = BC × BD …….(1)
∵ ∆DAC ~ ∆DBA
∴ ∆DAC तथा ∆DBA की तुलना करने पर,
\(\frac{A D}{B D}=\frac{C D}{A D}\)
⇒ AD² = BD × CD …….(2)
समीकरण (1) को (2) से भाग देने पर,
\(\frac{A B^{2}}{A D^{2}}=\frac{B C \times B D}{B D \times C D}\)
⇒ \(\frac{A B^{2}}{A D^{2}}=\frac{B C}{C D}\)
इति सिद्धम्

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.6 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.6

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प्रश्न 1.
दी गई आकृति में PS कोण QPR का समद्विभाजक है। सिद्ध कीजिए कि \(\frac{Q S}{S R}=\frac{P Q}{P R}\) है।
हल
दिया है : ∆PQR में PS कोण QPR का समद्विभाजक है।
सिद्ध करना है : \(\frac{Q S}{S R}=\frac{P Q}{P R}\)
रचना : बिन्दु R से रेखा RT || PS खींची जो बढ़ाई गई QP को T पर प्रतिच्छेद करे।
उपपत्ति : TR || PS और PR तिर्यक रेखा है
∠SPR = ∠PRT (एकान्तर कोण-युग्म है) ……(1)
पुन: TR || PS और QT तिर्यक रेखा है।
∠QPS = ∠PTR (संगत कोण-युग्म है) ……(2)
परन्तु PS, ∠QPR का समद्विभाजक है।
∠QPS = ∠SPR …….(3)
तब, समीकरण (1), (2) व (3) से,
∠PTR = ∠PRT
∆PTR की भुजा PT = PR ……(4)

अब, ∆QTR में, PS || TR
\(\frac{P Q}{P T}=\frac{Q S}{S R}\)
परन्त समीकरण (4) से, PT = PR
अतः \(\frac{P Q}{P R}=\frac{Q S}{S R} \Rightarrow \frac{Q S}{S R}=\frac{P Q}{P R}\)
इति सिद्धम्

प्रश्न 2.
दी गई आकृति में D, ∆ABC के कर्ण AC पर स्थित एक बिन्दु है जबकि BD ⊥ AC, DM ⊥ BC और DN ⊥ AB है। सिद्ध कीजिए कि-
(i) DM² = DN . MC
(ii) DN² = DM . AN

हल
दिया है : समकोण ∆ABC में ∠ABC = 90°
BD ⊥ AC, DM ⊥ BC तथा DN ⊥ AB
सिद्ध करना है :
(i) DM² = DN . MC
(ii) DN² = DM . AN
उपपत्ति : समकोण ∆ABC में, BD ⊥ AC (दिया है)
∆BDC ~ ∆ABC और ∆ADB ~ ∆ABC
जिससे ∆BDC ~ ∆ADB
तथा ∆BDC और ∆ADB समकोणीय हैं।
(i) समकोण ∆BDC में, DM ⊥ BC (दिया है)
∆DMC ~ ∆BMD
\(\frac{M C}{D M}=\frac{D M}{B M}\)
⇒ DM² = BM × MC …….(1)
चतुर्भुज BMDN में,
∠B = 90°, ∠M = 90° तथा ∠N = 90°
चतुर्भुज BMDN एक आयत है।
BM = DN ………(2)
तब, समीकरण (1) व (2) से,
DM² = DN . MC
इति सिद्धम्

(ii) समकोण ∆ADB में, DN ⊥ AB (दिया है)
∆AND और ∆DNB में,
\(\frac{D N}{B N}=\frac{A N}{D N}\)
⇒ DN² = BN . AN …….(3)
परन्तु, चतुर्भुज BMDN में,
∠B = 90°, ∠M = 90° तथा ∠N = 90°
चतुर्भुज BMDN एक आयत है।
BN = DM ……(4)
तब, समीकरण (3) व (4) से,
DN² = DM · AN
इति सिद्धम्

प्रश्न 3.
दी गई आकृति में ABC एक त्रिभुज है जिसमें ∠ABC > 90° तथा AD ⊥ CB है। सिद्ध कीजिए कि AC² = AB² + BC² + 2BC . BD है।

हल
दिया है : ∆ABC में, ∠ABC > 90° तथा AD ⊥ CB है।
सिद्ध करना है : AC² = AB² + BC² + 2BC . BD
उपपत्ति : समकोण ∆ABD में,
AB² = AD² + BD² ……(1)
पुनः समकोण ∆ACD में,
AC² = AD² + DC²
= AD² + (BD + BC)² (∵ DC = BD + BC)
= AD² + BD² + BC² + 2BC . BD [∴ (BD + BC)² के विस्तार से]
= AB² + BC² + 2BC . BD [∴ समीकरण (1) से ]
अतः AC² = AB² + BC² + 2BC . BD
इति सिद्धम्

प्रश्न 4.
दी गई आकृति में ABC एक त्रिभुज है जिसमें ∠ABC < 90° है तथा AD ⊥ BC है। सिद्ध कीजिए कि AC² = AB² + BC² – 2BC . BD है।

हल
दिया है : ∠B < 90° तथा AD ⊥ BC
सिद्ध करना है : AC² = AB² + BC² – 2BC . BD
उपपत्ति : AD ⊥ BC
∆ABD तथा ∆ACD समकोणीय त्रिभुज हैं।
तब, समकोण त्रिभुज ABD में,
AB² = AD² + BD² ……(1)
और समकोण त्रिभुज ACD में,
AC² = AD² + DC² …….(2)
समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर,
AC² – AB² = DC² – BD²
⇒ AC² – AB² = (DC + BD) (DC – BD) (∵ (a + b) (a – b) = a² – b²)
⇒ AC² – AB² = BC(DC – BD) (∵ DC + BD = BC)
⇒ AC² – AB² = BC(BC – BD – BD) (∵ DC = BC – BD)
⇒ AC² – AB² = BC (BC – 2BD)
⇒ AC² – AB² = BC² – 2BC × BD
अत: AC² = AB² + BC² – 2BC . BD
इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
दी गई आकृति में AD त्रिभुज ABC की एक माध्यिका है तथा AM ⊥ BC है। सिद्ध कीजिए कि-

हल
दिया है : ABC एक त्रिभुज है जिसमें D, भुजा BC का मध्य-बिन्दु AM, BC पर लम्ब खींचा गया है और AC > AB
सिद्ध करना है :

उपपत्ति : (i) समकोण ∆AMD में, AM² + DM² = AD² …..(1)
समकोण ∆AMC में,
AC² = AM² + MC²
= (AD² – DM²) + MC² [समीकरण (1) से AM² = AD² – DM²]
= AD² – DM² + (DM + DC)² [∵ MC = DM + DC]
= AD² – DM² + DM² + 2DM . DC + DC²
= AD² + 2 DM . DC + (\(\frac{1}{2}\) BC)² [∵ D, BC मध्य-बिन्दु है]
= AD² + (2DC). DM + \(\frac{1}{4}\) BC² [∵ 2DC = BC]
अत: AC² = AD² + BC . DM + \(\left(\frac{B C}{2}\right)^{2}\) ……(2)
इति सिद्धम्

(ii) समकोण ∆AMB में,
AB² = AM² + BM²
= (AD² – DM²) + BM²
= AD² – DM² + (BD – DM)²
= AD² – DM² + BD² – 2BD . DM + DM² [∵ (a – b)² = a² – 2ab + b²]
= AD² – 2BD . DM + BD²
= AD² – BC . DM + \(\left(\frac{1}{2} B C\right)^{2}\) [∵ D, BC का मध्य-बिन्दु है।]
AB² = AD² – BC . DM + \(\frac{1}{4}\) BC² …….(3)
अत: AB² = AD² – BC . DM + \(\left(\frac{B C}{2}\right)^{2}\)
इति सिद्धम्

(iii) खण्ड (i) व खण्ड (ii) के परिणामों का योग करने पर,
AB² + AC² = 2AD² + 2 . \(\frac{1}{4}\) BC² = 2AD² + \(\frac{1}{2}\) BC²
अत: AB² + AC² = 2AD² + \(\frac{1}{2}\) BC²
इति सिद्धम्

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए कि एक समान्तर चतुर्भुज के विकर्णों के वर्गों का योग उसकी भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।

हल
दिया है : ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है जिसके विकर्ण AC और BD परस्पर बिन्दु O पर काटते हैं।
सिद्ध करना है : AC² + BD² = AB² + BC² + CD² + DA²
रचना : A से BD पर AE C से BD पर CF लम्ब खींचा।
उपपत्ति: ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है और AC तथा BD उसके विकर्ण हैं जो परस्पर O पर काटते हैं।
∴ AO = OC, OB = OD तथा AB = CD
तब, समकोण ∆ABE में,

प्रश्न 7.
दी गई आकृति में एक वृत्त की दो जीवाएँ AB और CD परस्पर बिन्द P पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि
(i) ∆APC ~ ∆DPB
(ii) AP . PB = CP . DP

हल
दिया है : एक वृत्त की AB व CD दो जीवाएँ हैं जो एक-दूसरे को बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करती हैं।
सिद्ध करना है :
(i) ∆APC ~ ∆DPB
(ii) AP . PB = CP . DP
रचना : रेखाखण्ड AD व CB खींचे।
उपपत्ति : (i) जीवा AB और CD परस्पर P पर काटती हैं।
शीर्षाभिमुख कोण ∠APC = ∠BPD
∠CAP = ∠BDP (एक ही वृत्तखण्ड के कोण हैं)
और ∠ACP = ∠DBP (एक ही वृत्तखण्ड के कोण हैं)

अब, ∆APC और ∆BPD में,
∠APC = ∠BPD
∠CAP = ∠BDP
∠ACP = ∠DBP
दो त्रिभुजों की समरूपता की कसौटी AAA से,
∆APC ~ ∆DPB
इति सिद्धम्
(ii) ∆APC और ∆DPB में,
\(\frac{A P}{D P}=\frac{C P}{P B}\)
अत: AP . PB = CP . DP
इति सिद्धम्

प्रश्न 8.
दी गई आकृति में एक वृत्त की दो जीवाएँ AB और CD बढ़ाने पर परस्पर बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि
(i) ∆PAC ~ ∆PDB
(ii) PA . PB = PC . PD

हल
दिया है : AB और CD एक वृत्त की दो जीवाएँ हैं जो बढ़ाने पर एक-दूसरे को वृत्त के बाहर बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करती हैं।
सिद्ध करना है :
(i) ∆PAC ~ ∆PDB
(ii) PA . PB = PC . PD
रचना : रेखाखण्ड AC व BD को मिलाया।
उपपत्ति : (i) चतुर्भुज ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है और ∠PAC उसका बहिष्कोण है।
∠PAC = ∠BDC
⇒ ∠PAC = ∠BDP
इसी प्रकार, ∠PCA, चक्रीय चतुर्भुज ABCD का बहिष्कोण है।
∠PCA = ∠ABD
∠PCA = ∠PBD …..(2)
अब, ∆PAC और ∆PBD में,
∠CPA = ∠BPD (दोनों त्रिभुजों का उभयनिष्ठ कोण है)
∠PAC = ∠BDP [समीकरण (1) से]
∠PCA = ∠PBD [समीकरण (2) से]
दो त्रिभजों की समरूपता के गुणधर्म AAA से,
∆PAC ~ ∆PDB
इति सिद्धम्
(ii) ∵ ∆PAC ~ ∆PDB
\(\frac{P A}{P D}=\frac{P C}{P B}\)
⇒ PA . PB = PC . PD
इति सिद्धम्

प्रश्न 9.
दी गई आकृति में त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि \(\frac{B D}{C D}=\frac{A B}{A C}\) है। सिद्ध कीजिए कि AD, कोण BAC का समद्विभाजक है।

हल
दिया है : ∆ABC की भुजा BC पर एक बिन्दु D ऐसा है कि \(\frac{B D}{C D}=\frac{A B}{A C}\)
सिद्ध करना है : AD, ∠BAC का समद्विभाजक है।
रचना : BA को उसकी सीध में E तक इतना बढ़ाया कि AE = AC हो। रेखाखण्ड CE खींचा।
उपपत्ति: दिया है,
\(\frac{B D}{C D}=\frac{A B}{A C}\)
∵ AC = AE ⇒ \(\frac{B D}{C D}=\frac{A B}{A E}\)
तब, ∆BEC में, \(\frac{B D}{C D}=\frac{A B}{A E}\)
अनुपातिकता के मूलभूत प्रमेय के विलोम से, AD || EC
AD || EC और BE तिर्यक रेखा है।
∠BAD = ∠AEC ……(1)
AD || EC और AC तिर्यक रेखा है।
∠CAD = ∠ACE ……(2)

परन्तु ∆ACE में रचना से, AC = AE
∠AEC = ∠ACE …….(3)
तब समीकरण (1), (2) व (3) से,
∠BAD = ∠CAD
परन्तु ∠BAD + ∠CAD = ∠BAC
अत: AD, ∠BAC का समद्विभाजक है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 10.
नाज़िमा एक नदी की धारा में मछलियाँ पकड़ रही है। उसकी मछली पकड़ने वाली छड़ का सिरा पानी की सतह से 1.8 m ऊपर है तथा डोरी के निचले सिरे से लगा काँटा पानी की सतह पर इस प्रकार स्थित है कि उसकी नाज़िमा से दूरी 3.6 m है और छड़ के सिरे के ठीक नीचे पानी की सतह पर स्थित बिन्दु से उसकी दूरी 2.4 m है। यह मानते हुए कि उसकी डोरी (उसकी छड़ के सिरे से काँटे तक) तनी हुई है, उसने कितनी डोरी बाहर निकाली हुई है? यदि वह डोरी को 5 cm/s की दर से अन्दर खींचे तो 12 सेकण्ड के बाद नाज़िमा की काँटे से क्षैतिज दूरी कितनी होगी?
हल
चित्र में, नाजिमा की मछली पकड़ने वाली छड़ का सिरा A पानी की सतह से 1.8 m ऊँचाई पर है जिससे AC = 1.8 m है।
डोरी AB के सिरे B पर एक काँटा है जिसकी बिन्दु C से दूरी BC = 2.4 m है और नाजिमा से B की दूरी BD = 3.6 m है।
CD = BD – BC = 3.6 – 2.4 = 1.2 m
माना डोरी की लम्बाई AB है।

तब समकोण ∆ABC में,
AB² = BC² + CA²
⇒ AB² = (2.4)² + (1.8)² = 5.76 + 3.24 = 9.0
⇒ AB = √9.00 = 3 m
अतः डोरी की लम्बाई = 3 m
जब वह डोरी को 5 cm/s की दर से अन्दर खींच रही है तो 12 सेकण्ड में खींची दूरी = 5 × 12 = 60 cm = 0.6 m
तब पानी के बाहर डोरी की लम्बाई AP = 3.6 – 0.6 = 2.4 m
तब काँटे से छड़ के सिरे A के ठीक नीचे बिन्दु C की क्षैतिज दूरी PC होगी।
समकोण ∆APC में,
PC² + AC² = AP²
PC² + (1.8)² = (2.4)²
PC² + 3.24 = 5.76
PC² = 5.76 – 3.24 = 2.52
PC = √2.52 = 1.587 m = 1.59 मीटर (लगभग)
काँटे से नाज़िमा की क्षैतिज दूरी PD = PC + CD = (1.59) + (1.2) cm = 2.79 m
अत: काँटे से नाज़िमा की क्षैतिज दूरी = 2.79 m

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.3 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.3

Bihar Board Class 10 Maths निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.3

प्रश्न 1.
उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष हैं-
(i) (2, 3), (-1, 0), (2, -4)
(ii) (-5, -1), (3, -5), (5, 2)
हल
(i) त्रिभुज के शीर्ष (2, 3), (-1, 0) तथा (2, -4) हैं।
यहाँ x₁ = 2, x₂ = -1, x₃ = 2, y₁ = 3, y₂ = 0, y₃ = -4
∆ का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) [{x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₁} – {y₁x₂ + y₂x₃ + y₃x₁}]
= \(\frac{1}{2}\) [{(2 × 0) + (-1 × -4) + (2 × 3)} – {(3 × -1) + (0 × 2) + (-4 × 2)}}
= \(\frac{1}{2}\) [{0 + 4 + 6} – {-3 + 0 – 8}]
= \(\frac{1}{2}\) [{10} – {-11}]
= \(\frac{1}{2}\) [10 + 11]
= \(\frac{21}{2}\) वर्ग मात्रक
अत: त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac{21}{2}\) वर्ग मात्रक

(ii) त्रिभुज के शीर्ष (-5, -1), (3, -5), (5, 2)
यहाँ x₁ = -5, x₂ = 3, x₃ = 5, y₁ = -1, y₂ = -5, y₃ = 2
∆ का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) [{x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₁} – {y₁x₂ + y₂x₃ + y₃x₁}]
= \(\frac{1}{2}\) [{(5 × -5) + (3 × 2) + (5 × -1)} – {(-1 × 3) + (-5 × 5) + (2 × -5)}]
= \(\frac{1}{2}\) [{25 + 6 – 5} – {-3 – 25 – 10}]
= \(\frac{1}{2}\) [{26} – {-38}]
= \(\frac{1}{2}\) [26 + 38]
= \(\frac{1}{2}\) × 64
= 32 वर्ग मात्रक
अत: त्रिभुज का क्षेत्रफल = 32 वर्ग मात्रक

प्रश्न 2.
निम्नलिखित में से प्रत्येक में ‘k’ का मान ज्ञात कीजिए ताकि तीनों बिन्दु संरेखी हों-
(i) (7, -2), (5, 1), (3, k)
(ii) (8, 1), (k, -4), (2, -5)
हल
(i) माना बिन्दु A = (7, -2); B = (5, 1) तथा C = (3, k)
यहाँ x₁ = 7, x₂ = 5, x₃ = 3, y₁ = -2, y₂ = 1, y₃ = k
∆ABC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) [{x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₁} – {y₁x₂ + y₂x₃ + y₃x₁}]
= \(\frac{1}{2}\) [7 × 1 + 5 × k + 3 × -2} – {-2 × 5 + 1 × 3 + k × 7}]
= \(\frac{1}{2}\) [{7 + 5k + (-6)} – {-10 + 3 + 7k}]
= \(\frac{1}{2}\) [(1 + 5k) – (-7 + 7k]
= \(\frac{1}{2}\) [1 + 5k + 7 – 7k]
= \(\frac{1}{2}\) [8 – 2k]
= \(\frac{2}{2}\) (4 – k)
= 4 – k
परन्तु यदि बिन्दु A, B, C संरेख हों तो ∆ABC का क्षेत्रफल शून्य होना चाहिए।
4 – k = 0 ⇒ k = 4
अत: k का मान = 4

(ii) माना बिन्दु A = (8, 1), B = (k, -4) तथा C = (2, -5)
यहाँ x₁ = 8, x₂ = k, x₃ = 2, y₁ = 1, y₂ = -4, y₃ = -5
∆ABC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) [{x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₁} – {y₁x₂ + y₂x₃ + y₃x₁}]
= \(\frac{1}{2}\) [8 × -4 + k × -5 + 2 × 1) – (1 × k – 4 × 2 – 5 × 8)]
= \(\frac{1}{2}\) [{-32 – 5k + 2} – {k – 8 – 40}]
= \(\frac{1}{2}\) [{-30 – 5k} – {k – 48}]
= \(\frac{1}{2}\) [-30 – 5k – k + 48]
= \(\frac{1}{2}\) [-6k + 18]
= \(\frac{2}{2}\) (-3k + 9)
= -3k + 9
परन्तु यदि बिन्दु A, B, C संरेख हों तो ∆ABC का क्षेत्रफल शून्य होना चाहिए।
-3k + 9 = 0 ⇒ k = 3
अत: k का मान = 3

प्रश्न 3.
शीर्षों (0, -1), (2, 1) और (0, 3) वाले त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिन्दुओं से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। इस क्षेत्रफल का दिए हुए त्रिभुज के क्षेत्रफल के साथ अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल
माना ∆ABC के शीर्ष A = (0, -1), B = (2, 1) और C = (0, 3)
यहाँ x₁ = 0, x₂ = 2, x₃ = 0, y₁ = -1, y₂ = 1, y₃ = 3
∆ABC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) [{x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₁} – {y₁x₂ + y₂x₃ + y₃x₁}]
= \(\frac{1}{2}\) [{0 × 1 + 2 × 3 + 0 × -1} – {-1 × 2 + 1 × 0 + 3 × 0}]
= \(\frac{1}{2}\) [{0 + 6 + 0} – {-2 + 0 + 0}]
= \(\frac{1}{2}\) [6 – (-2)]
= \(\frac{1}{2}\) × 8
= 4 वर्ग मात्रक
भुजा AB का मध्य-बिन्दु D = \(\left(\frac{0+2}{2}, \frac{-1+1}{2}\right)\) = (1, 0)
भुजा BC का मध्य-बिन्दु E = \(\left(\frac{2+0}{2}, \frac{1+3}{2}\right)\) = (1, 2)
भुजा CA का मध्य-बिन्दु F = \(\left(\frac{0+0}{2}, \frac{-1+3}{2}\right)\) = (0, 1)
तब, ∆DEF के शीर्ष D = (1, 0), E = (1, 2), F = (0, 1)
यहाँ, x₁ = 1, y₁ = 0, x₂ = 1, y₂ = 2, x₃ = 0, y₃ = 1
∆DEF का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) [{x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₁} – {y₁x₂ + y₂x₃ + y₃x₁}]
= \(\frac{1}{2}\) [{1 × 2 + 1 × 1 + 0 × 0} – {0 × 1 + 2 × 0 + 1 × 1}]
= \(\frac{1}{2}\) [{2 + 1 + 0} – {0 + 0 + 1}]
= \(\frac{1}{2}\) [3 – 1]
= \(\frac{1}{2}\) × 2
= 1 वर्ग मात्रक
∴ शीर्षों (0, -1), (2, 1) और (0, 3) वाले त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिन्दुओं से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1 वर्ग मात्रक
पुनः दोनों त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात = 1 : 4

प्रश्न 4.
उस चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष, इसी क्रम में, (-4, -2), (-3, -5), (3, -2) और (2, 3) हैं।
हल
माना चतुर्भुज ABCD के शीर्ष A = (-4, -2), B = (-3, -5), C = (3, -2) तथा D = (2, 3) हैं।
यहाँ x₁ = -4, x₂ = -3, x₃ = 3, x₄ = 2, y₁ = -2, y₂ = -5, y₃ = -2, y₄ = 3
चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) [{x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₄ + x₄y₁} – {y₁x₂ + y₂x₃ + y₃x₄ + y₄x₁}]
= \(\frac{1}{2}\) [{(-4 × -5) + (-3 × -2) + (3 × 3) + (2 × -2)} – {(-2 × -3) + (-5 × 3) + (-2 × 2) + (3 × -4)}]
= \(\frac{1}{2}\) {20 + 6 + 9 – 4} – {6 – 15 – 4 – 12}]
= \(\frac{1}{2}\) [(31) – (-25)]
= \(\frac{1}{2}\) [31 + 25]
= \(\frac{1}{2}\) [56]
= 28 वर्ग मात्रक
अत: अभीष्ट चतुर्भुज का क्षेत्रफल = 28 वर्ग मात्रक

प्रश्न 5.
कक्षा IX में आपने पढ़ा है कि किसी त्रिभुज की एक माध्यिका उसे बराबर क्षेत्रफलों वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है। उस त्रिभुज ABC के लिए इस परिणाम का सत्यापन कीजिए जिसके शीर्ष A(4, -6), B(3, -2) और C(5, 2) हैं।
हल
दिए हुए, ∆ABC के शीर्ष A = (4, -6), B = (3, -2) और C = (5, 2)
माना BC का मध्य-बिन्दु D है।
तब, D = \(\left(\frac{3+5}{2}, \frac{-2+2}{0}\right)\) = (4, 0)

इस प्रकार माध्यिका AD, ∆ABC को दो त्रिभुजों (∆ABD व ∆ACD) में विभाजित करती है।
यहाँ, x₁ = 4, y₁ = -6, x₂ = 3, y₂ = -2, x₃ = 5, y₃ = 2
∆ABC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) [{x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₁} – {y₁x₂ + y₂x₃ + y₃x₁}]
= \(\frac{1}{2}\) [{4 × -2 + 3 × 2 + 5 × -6} – {-6 × 3 – 2 × 5 + 2 × 4}]
= \(\frac{1}{2}\) [{-8 + 6 – 30} – {-18 – 10 + 8}
= \(\frac{1}{2}\) [-32 – (-20)]
= \(\frac{1}{2}\) (-32 + 20)
= \(\frac{1}{2}\) × -12
= 6 वर्ग मात्रक
इसी प्रकार ∆ABD का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) [{-8 + 0 – 24} – {-18 – 8 + 0}]
= \(\frac{1}{2}\) [{-32} – {-26}]
= \(\frac{1}{2}\) [-32 + 26]
= 3 वर्ग मात्रक
तब, ∆ACD का क्षेत्रफल = ∆ABC का क्षेत्रफल – ∆ABD का क्षेत्रफल
= (6 – 3) वर्ग मात्रक
= 3 वर्ग मात्रक
अतः स्पष्ट है कि ∆ABC की माध्यिका AD, ∆ABC को दो समान क्षेत्रफल वाले त्रिभुज ABD व त्रिभुज ACD में विभाजित करती है।
इति सिद्धम्

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.2 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.2

Bihar Board Class 10 Maths त्रिभुज Ex 6.2

प्रश्न 1.
आकृति में, DE || BC है। चित्र (i) में EC और चित्र (ii) में AD ज्ञात कीजिए-

हल

प्रश्न 2.
किसी ∆PQR की भुजाओं PQ और PR पर क्रमशः बिन्दु E और F स्थित हैं। निम्नलिखित में से प्रत्येक स्थिति के लिए, बताइए कि क्या EF || QR है-
(i) PE = 3.9 cm, EQ = 3 cm, PF = 3.6 cm और FR = 2.4 cm
(ii) PE = 4 cm, QE = 4.5 cm, PF = 8 cm और RF = 9 cm
(iii) PQ = 1.28 cm, PR = 2.56 cm, PE = 0.18 cm और PF = 0.36 cm
हल
∆PQR में भुजा PQपर एक बिन्दु E तथा भुजा PR पर एक बिन्दु F स्थित है।
बिन्दुओं E व F को मिलाकर रेखाखण्ड EF खींचा गया है।
(i) दिया है, PE = 3.9 cm, EQ = 3 cm, PF = 3.6 cm और FR = 2.4 cm

प्रश्न 3.
आकृति में, यदि LM || CB और LN || CD हो तो सिद्ध कीजिए कि \(\frac{A M}{A B}=\frac{A N}{A D}\) है।

हल
दिया है : रेखाखण्ड LM || CB और LN || CD है।
सिद्ध करना है : \(\frac{A M}{A B}=\frac{A N}{A D}\)
उपपत्ति : ∆ABC में भुजा AB पर एक बिन्दु M तथा भुजा AC पर एक बिन्दु L है जिससे रेखाखण्ड LM || CB

प्रश्न 4.
आकृति में, DE || AC और DF || AE है। सिद्ध कीजिए कि \(\frac{B F}{F E}=\frac{B E}{E C}\) है।

हल
दिया है : ∆ABC में भुजा AB पर एक बिन्दु D है और भुजा BC पर दो बिन्दु E व F हैं।
रेखाखण्ड DF, DE व AE खींचे गए हैं। DE || AC है और DF || AE है।

प्रश्न 5.
आकृति में, DE || OQ और DF || OR है। दर्शाइए कि EF || QR है।

हल
दिया है : दी गई आकृति में DE || OQ तथा DF || OR है।
सिद्ध करना है : EF || QR
उपपत्ति : ∆POQ में, DE || OQ
\(\frac{P E}{E Q}=\frac{P D}{D O}\) ……..(1)
और ∆POR में, DF || OR
\(\frac{P F}{F R}=\frac{P D}{D O}\) ………(2)
तब, समीकरण (1) व समीकरण (2) से,
\(\frac{P E}{E Q}=\frac{P F}{F R}\)
अब ∆PQR में, \(\frac{P E}{E Q}=\frac{P F}{F R}\)
तब, थेल्स प्रमेय के विलोम से, EF || QR
इति सिद्धम्

प्रश्न 6.
आकृति में क्रमशः OP, OQ और OR पर स्थित बिन्दु A, B और C इस प्रकार हैं कि AB || PQ और AC || PR है। दर्शाइए कि BC || QR है।

हल
दिया है : दिए गए चित्र में रेखाखण्डों OP, OQ और OR पर क्रमशः बिन्दु A, B और C इस प्रकार स्थित हैं कि AB || PQ और AC || PR है।
सिद्ध करना है : BC || QR
उपपत्ति : ∆POQ में, AB || PQ (दिया है)
\(\frac{O A}{A P}=\frac{O B}{B Q}\) ………(1)
इसी प्रकार ∆POR में, AC || PR (दिया है)
\(\frac{O A}{A P}=\frac{O C}{C R}\) ….(2)
तब, समीकरण (1) व समीकरण (2) से,
\(\frac{O B}{B Q}=\frac{O C}{C R}\)
अब ∆OQR में, \(\frac{O B}{B Q}=\frac{O C}{C R}\)
थेल्स प्रमेय के विलोम से, BC || QR
इति सिद्धम

प्रश्न 7.
आधारभूत आनुपातिक प्रमेय का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की एक भुजा के मध्य-बिन्दु से होकर दूसरी भुजा के सामान्तर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है।

हल
दिया है : ∆ABC की एक भुजा AB का मध्य-बिन्दु D है।
D से DE || BC रेखा खींची गई है जो रेखा AC को बिन्दु E पर काटती है।
सिद्ध करना है : E, AC का मध्य-बिन्दु है।
उपपत्ति : D, AB का मध्य-बिन्दु है।
AD : DB = 1 : 1 और DE || BC.
तब, थेल्स प्रमेय के अनुसार,
\(\frac{A D}{D B}=\frac{A E}{E C}\)
⇒ \(\frac{1}{1}=\frac{A E}{E C}\)
⇒ AE = EC
अत: E, AC का मध्य-बिन्दु है अथवा DE, AC को समद्विभाजित करती है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 8.
आधारभूत आनुपातिक प्रमेय के विलोम का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा तीसरी भुजा के समान्तर होती है।

हल
दिया है : ∆ABC में AB तथा AC के मध्य-बिन्दु क्रमश: D और E हैं।
सिद्ध करना है : DE || BC
उपपत्ति : D, AB का मध्य-बिन्दु है।
AD : BD = 1 : 1
तथा E, AC का मध्य-बिन्दु है।
AE : EC = 1 : 1
\(\frac{A D}{D B}=\frac{A E}{E C}\)
थेल्स प्रमेय के विलोम से ∆ABC में,
\(\frac{A D}{D B}=\frac{A E}{E C}\)
DE || BC
इति सिद्धम्

प्रश्न 9.
ABCD एक समलम्ब है जिसमें AB || DC है। इसके विकर्ण परस्पर बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि \(\frac{A O}{B O}=\frac{C O}{D O}\) है।

हल
दिया है : ABCD एक समलम्ब है, जिसमें AC तथा BD दो विकर्ण हैं जो परस्पर बिन्दु O पर काटते हैं।
सिद्ध करना है: \(\frac{A O}{B O}=\frac{C O}{D O}\)
रचना : O से OE || CD खींचिए।
उपपत्ति : ∆ADC में, OE || DC
\(\frac{A E}{E D}=\frac{A O}{C O}\) ………(1)
समलम्ब ABCD में,
AB || CD और रचना से OE || CD ⇒ OE || AB
अब, ∆ADB में, OE ||
\(\frac{E D}{A E}=\frac{D O}{B O}\)
⇒ \(\frac{A E}{E D}=\frac{B O}{D O}\) …….(2)
समीकरण (1) व समीकरण (2) से,
\(\frac{A O}{C O}=\frac{B O}{D O}\)
⇒ AO × DO = BO × CO
⇒ \(\frac{A O}{B O}=\frac{C O}{D O}\)
इति सिद्धम्

प्रश्न 10.
एक चतुर्भुज ABCD के विकर्ण परस्पर बिन्दु पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि \(\frac{A O}{B O}=\frac{C O}{D O}\) है। दर्शाइए कि ABCD एक समलम्ब है।

हल
दिया है : ABCD एक चतुर्भुज है जिसके विकर्ण AC तथा BD बिन्दु O पर एक-दूसरे को इस प्रकार विभक्त करते हैं कि
\(\frac{A O}{B O}=\frac{C O}{D O}\)
सिद्ध करना है : ABCD एक समलम्ब है।
रचना : O से OE || DC खींचिए।
उपपत्ति : ΔBDC में, OE || DC
\(\frac{B O}{D O}=\frac{B E}{E C}\) …….(1)
परन्तु दिया गया है कि
\(\frac{A O}{B O}=\frac{C O}{D O}\)
⇒ \(\frac{A O}{C O}=\frac{B O}{D O}\) ………(2)
समीकरण (1) व समीकरण (2) से,
\(\frac{A O}{C O}=\frac{B E}{E C}\)
⇒ \(\frac{C O}{A O}=\frac{E C}{B E}\)
OE || AB (थेल्स प्रमेय के विलोम से)
AB || CD (∵ OE || CD रचना से)
अत: ABCD एक समलम्ब है।
इति सिद्धम्

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.5 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.5

Bihar Board Class 10 Maths त्रिभुज Ex 6.5

प्रश्न 1.
कुछ त्रिभुजों की भुजाएँ नीचे दी गई हैं। निर्धारित कीजिए कि इनमें से कौन-कौन से समकोण त्रिभुज हैं। इस स्थिति में कर्ण की लम्बाई भी खिए।
(i) 7 cm, 24 cm, 25 cm
(ii) 3 cm, 8 cm, 6 cm
(iii) 50 cm, 80 cm, 100 cm
(iv) 13 cm, 12 cm, 5 cm
हल
समकोण त्रिभुजों में सबसे लम्बी भुजा कर्ण का वर्ग शेष दोनों भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।
(i) माना a = 7 cm, b = 24 cm तथा c = 25 cm
तब, (सबसे लम्बी भुजा)² = c² = (25)² = 625
तथा a² + b² = (7)² + (24)² = 49 + 576 = 625
c² = a² + b² अर्थात् सबसे लम्बी भुजा का वर्ग शेष दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर है।
अत: दिया गया त्रिभुज समकोण त्रिभुज है। कर्ण की लम्बाई = 25 सेमी।

(ii) माना a = 3 cm, b = 8 cm तथा c = 6 cm,
तब, b² = (8)² = 64
तथा a² + c² = 3² + 6² = 9 + 36 = 45
b² ≠ c² + a² अर्थात् सबसे लम्बी भुजा का वर्ग शेष दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर नहीं है।
अत: दिया गया त्रिभुज समकोण त्रिभुज नहीं है।

(iii) माना a = 50 cm, b = 80 cm तथा c = 100 cm
तब, c² = (100)² = 10,000
तथा a² + b² = (50)² + (80)² = 2500 + 6400 = 8900
c² ≠ a² + b² अर्थात् सबसे लम्बी भुजा का वर्ग शेष दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर नहीं है।
अतः दिया गया त्रिभुज समकोण त्रिभुज नहीं है।

(iv) माना a = 13 cm, b = 12 cm तथा c = 5 cm
तब, a² = (13)² = 169
तथा b² + c² = (12)² + (5)² = 144 + 25 = 169
a² = b² + c² अर्थात् सबसे लम्बी भुजा का वर्ग शेष दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर है।
अत: दिया गया त्रिभुज समकोण त्रिभुज है।
कर्ण की लम्बाई = 13 सेमी।

प्रश्न 2.
PQR एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण Pसमकोण है तथा QR पर बिन्दु M इस प्रकार स्थित है कि PM ⊥ QR है। दर्शाइए कि PM² = QM . MR है।

हल
दिया है : समकोण त्रिभुज PQR में ∠P समकोण है तथा PM ⊥ QR है।
सिद्ध करना है : PM2 = QM . MR
उपपत्ति : :: समकोण त्रिभुज PQR में ∠P समकोण है और इसके समकोण वाले शीर्ष P से कर्ण QR पर लम्ब खींचा गया है।
∆PQM ~ ∆RPM
\(\frac{Q M}{P M}=\frac{P M}{M R}\) (:: ∆PQM और ∆PRM की भुजाएँ आनुपातिक हैं)
PM² = QM . MR (वज्रगुणन से)
अतः PM² = QM . MR
इति सिद्धम्

प्रश्न 3.
दी गई आकृति में ABD एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण A समकोण है तथा AC ⊥ BD है। दर्शाइए कि-
(i) AB² = BC . BD
(ii) AC² = BC . DC
(iii) AD² = BD . CD

हल
दिया है : ΔABD में ∠DAB = 90° तथा AC ⊥ BD
सिद्ध करना है :
(i) AB² = BC . BD
(ii) AC² = BC . DC
(iii) AD² = BD . CD
उपपत्ति : ΔABD में, ∠DAB = 90°
ΔABD समकोण त्रिभुज है जिसमें AC ⊥ BD
ΔABC ~ ΔDBA और ΔDAC ~ ΔDBA तथा ΔABC ~ ΔDAC
(i) ∵ ΔABC ~ ΔDBA
∴ ΔABC तथा ΔDBA की तुलना करने पर,
\(\frac{B C}{A B}=\frac{A B}{B D}\)
AB² = BC . BD
इति सिद्धम्

(ii) ∵ ΔABC ~ ΔDAC
∴ ΔABC तथा ΔDAC की तुलना करने पर,
\(\frac{B C}{A C}=\frac{A C}{D C}\)
AC² = BC · DC
इति सिद्धम्

(iii) ∵ ΔDAC ~ ΔDBA
∴ ΔDAC तथा ΔDBA की तुलना करने पर,
\(\frac{A D}{B D}=\frac{C D}{A D}\)
AD² = BD . CD
इति सिद्धम्

प्रश्न 4.
ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसका कोण C समकोण है। सिद्ध कीजिए कि AB² = 2AC² है।

हल
दिया है : ΔABC समद्विबाहु है जिसमें ∠C = 90° तथा BC = AC
सिद्ध करना है : AB² = 2AC²
उपपत्ति : समद्विबाहु समकोण ΔABC में,
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,
AB² = AC² + BC²
⇒ AB² = AC² + (AC)²
⇒ AB² = AC² + AC² [∵ दिया है, BC = AC]
अत : AB² = 2AC²
इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें AC = BC है। यदि AB² = 2AC² हो तो सिद्ध कीजिए कि ABC एक समकोण त्रिभुज है।

हल
दिया है : समद्विबाहु ΔABC में,
AC = BC और AB² = 2AC²
सिद्ध करना है : ΔABC एक समकोण त्रिभुज है।
उपपत्ति : AB² = 2AC²
⇒ AB² = AC² + AC²
⇒ AB² = BC² + AC² (∵ AC = BC)
पाइथागोरस प्रमेय के विलोम से, ΔABC समकोण त्रिभुज होगा।
इति सिद्धम्

प्रश्न 6.
एक समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा 2a है। उसके प्रत्येक शीर्षलम्ब की लम्बाई ज्ञात कीजिए।

हल
ΔABC समबाहु त्रिभुज है।
त्रिभुज की भुजा AB = 2a, BC = 2a तथा CA = 2a
त्रिभुज के शीर्ष A से BC पर लम्ब AD खींचा गया है।
BD = \(\frac{1}{2}\) BC
⇒ BD = \(\frac{1}{2}\) (2a) = a
तब, समकोण त्रिभुज ABD में,
AD² + BD² = AB²
⇒ AD² + a² = (2a)²
⇒ AD² = 4a² – a² = 3a²
⇒ AD = a√3
शीर्षलम्ब, AD = a√3
त्रिभुज समबाहु है; अत: दो अन्य शीर्षलम्बों की लम्बाई भी a√3 होगी।

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए कि एक समचतुर्भुज की भुजाओं के वर्गों का योग विकर्णों के योग के बराबर होता है।
हल
दिया है : चतुर्भुज ABCD एक समचतुर्भुज है जिसमें AC तथा CD दो विकर्ण हैं जो परस्पर O पर काटते हैं।
सिद्ध करना है : AB² + BC² + CD² + DA² = AC² + BD²

प्रश्न 8.
दी गई आकृति में ∆ABC के अभ्यन्तर में स्थित कोई बिन्दु O है तथा OD ⊥ BC, OE ⊥ AC और OF ⊥ AB है। दर्शाइए कि-
(i) OA² + OB² + OC² – OD² – OE² – OF² = AF² + BD² + CE²
(ii) AF² + BD² + CE² = AE² + CD² + BF²

हल
दिया है : ∆ABC के अन्दर एक बिन्दु O है जिससे भुजाओं BC, CA तथाAD पर क्रमशः OD, OE और OF लम्ब खींचे गए हैं।
सिद्ध करना है :
(i) OA² + OB² + OC² – OD² – OE² – OF² = AF² + BD² + CE²
(ii) AF² + BD² + CE² = AE² + CD² + BF²
रचना : रेखाखण्ड OA, OB तथा OC खींचिए।

उपपत्ति :
(i) समकोण ∆OAF में,
AF² + OF² = OA² ……(1)
समकोण ∆OBD में,
BD² + OD² = OB² ……..(2)
समकोण ∆OCE में,
CE² + OE² = OC² ……(3)
समीकरण (1), समीकरण (2) और समीकरण (3) को जोड़ने पर,
AF² + BD² + CE² + OF² +OD² + OE² = OA² + OB² + OC²
अत: AF² + BD² + CE² = OA² + OB² + OC² – OD² – OE² – OF²
OA² + OB² + OC² – OD² – OE² – OF² = AF² + BD² + CE²
इति सिद्धम्

(ii) समकोण ∆OBD में,
OD² + BD² = OB² ……(4)
समकोण ∆OCD में,
OD² + CD² = OC² …….(5)
समीकरण (5) को समीकरण (4) में से घटाने पर,
BD² – CD² = OB² – OC² …..(6)
इसी प्रकार, समकोण ∆OCE व ∆OAE में,
CE² – AE² = OC² – OA² …….(7)
और समकोण ∆OAF व ∆OBF में,
AF² – BF² = OA² – OB² ……(8)
अब, समीकरण (6), समीकरण (7) और समीकरण (8) को जोड़ने पर,
BD² + CE² + AF² – CD² – AE² – BF² = 0
अतः AF² + BD² + CE² = AE² + CD² + BF²
इति सिद्धम्

प्रश्न 9.
10 m लम्बी एक सीढ़ी एक दीवार पर टिकाने पर भूमि से 8 m की ऊँचाई पर स्थित एक खिड़की तक पहुंचती है। दीवार के आधार से सीढ़ी के निचले सिरे की दूरी ज्ञात कीजिए।

हल
दिया है : भूमि से 8 m ऊँचाई पर एक खिड़की A है जिससे खिड़की AB = 8 m सीढ़ी की लम्बाई AC = 10 m है जिसे खिड़की से लगाने पर उसका निचला सिरा भूमि पर बिन्दु C पर पड़ता है।
ज्ञात करना है : दीवार के आधार से सीढ़ी के निचले सिरे की दूरी BC
गणना : समकोण त्रिभुज ABC में,
AB² + BC² = AC²
⇒ (8)² + (BC)² = (10)²
⇒ 64 + BC² = 100
⇒ BC² = 100 – 64 = 36
⇒ BC² = 36
⇒ BC = √36 = 6 m
अतः दीवार के आधार से सीढ़ी के निचले सिरे की दूरी (BC) = 6 m

प्रश्न 10.
18 m ऊँचे एक ऊर्ध्वाधर खम्भे के ऊपरी सिरे से एक तार का एक सिरा जुड़ा हुआ है तथा तार का दूसरा सिरा एक खूटे से जुड़ा हुआ है। खम्भे के आधार से खुंटे को कितनी दूरी पर गाड़ा जाए कि तार तना रहे जबकि तार की लम्बाई 24 m है।

हल
दिया है : माना क्षैतिज धरातल पर l एक सरल रेखा है जिसके किसी बिन्दु B पर एक खम्भा AB ऊर्ध्वाधर गड़ा है। एक तार जिसकी लम्बाई 24 m है, का एक सिरा खम्भे के शिखर A से बँधा है। तार का दूसरा सिरा धरातल पर गड़े एक खूटे C से बँधा है। तार तना रहता है।
ज्ञात करना है : खम्भे के सिरे B की खूटे C से दूरी BC
विश्लेषण : माना खम्भे के आधार B से खूटे की दूरी BC = x m है।
खम्भा भूमि पर सीधा गड़ा है।
∠ABC = 90°
∆ABC समकोणीय है।
पाइथागोरस प्रमेय से,
AB² + BC² = CA²
⇒ 18² + x² = 24²
⇒ x² = 24² – 18² = 576 – 324 = 252
⇒ x = √252 = \(\sqrt{6 \times 6 \times 7}\)
⇒ x = 6√7
अत: खम्भे के आधार से खूटे की दूरी x = 6√7 मीटर या 15.87 मीटर।

प्रश्न 11.
एक हवाईजहाज एक हवाई अड्डे से उत्तर की ओर 1000 किमी प्रति घण्टा की चाल से उड़ता है। इसी समय एक अन्य हवाईजहाज उसी हवाई अड्डे से पश्चिम की ओर 1200 किमी प्रति घण्टा की चाल से उड़ता है। 1\(\frac{1}{2}\) घण्टे के बाद दोनों हवाईजहाजों के बीच की दूरी कितनी होगी?

हल
पहले हवाई जहाज द्वारा हवाई अड्डे A से उत्तर दिशा में 1\(\frac{1}{2}\) घण्टे में चली गई दूरी,
AB = 1000 × 1\(\frac{1}{2}\)
= 1000 × \(\frac{3}{2}\)
= 1500 किमी
दूसरे हवाई जहाज द्वारा हवाई अड्डे A से पश्चिम दिशा में 1\(\frac{1}{2}\) घण्टे में चली गई दूरी,
AC = 1200 × 1\(\frac{1}{2}\)
= 1200 × \(\frac{3}{2}\)
= 1800 किमी
तब, समकोण त्रिभुज ABC में,
BC² = AB² + AC²
⇒ BC² = (1500)² + (1800)²
⇒ BC² = 2250000 + 3240000
⇒ BC² = 5490000
⇒ BC² = 9 × 10000 × 61
⇒ BC = \(\sqrt{9 \times 10000 \times 61}\) = 300√61 किमी
अत: 1\(\frac{1}{2}\) घण्टे बाद दोनों हवाईजहाजों के बीच की दूरी = 300√61 किमी

प्रश्न 12.
दो खम्भे जिनकी ऊँचाइयाँ 6 m और 11 m हैं तथा ये समतल भूमि पर खड़े हैं। यदि इनके निचले सिरों के बीच की दूरी 12 m हो तो इनके ऊपरी सिरों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

हल
दिया है : AB = 6 m तथा CD = 11 m लम्बाई के दो खम्भे मैदान में खड़े हैं जिनके निचले सिरों B और D के बीच की दूरी BD = 12 m है।
ज्ञात करना है : ऊपरी सिरों के बीच की दूरी AC
रचना : A से CD पर लम्ब AE खींचा।
गणना : AB = 6 m, CD = 11 m, BD = 12 m
∴ AE = 12 m तथा ED = AB = 6 m
∵ CD = 11 m
CE + ED = 11 m
⇒ CE + 6 = 11 m
⇒ CE = 11 – 6 = 5 m
समकोण ∆ACE में,
AC² = AE² + CE² = (12)² + (5)² = 144 + 25 = 169
⇒ AC = √169 = 13 m
अत: दोनों ऊपरी सिरों के बीच की दूरी AC = 13 m

प्रश्न 13.
एक ∆ABC जिसका ∠C समकोण है की भुजाओं CA और CB पर क्रमशः बिन्दु D और E पर स्थित हैं। सिद्ध कीजिए कि AE² + BD² = AB² + DE² है।

हल
दिया है : समकोण त्रिभुज ABC जिसमें ∠C समकोण है। बिन्दु D और E क्रमशः भुजाओं CA व CB पर स्थित हैं।
सिद्ध करना है : AE² + BD² = AB² + DE²
उपपत्ति : समकोण त्रिभुज ABC में,
AC² + BC² = AB² …….(1)
और समकोण त्रिभुज DEC में,
CD² + CE² = DE² …….(2)
समीकरण (1) व (2) को जोड़ने पर,
AB² + DE² = AC² + BC² + CD² + CE² …..(3)
समकोण त्रिभुज DBC में, BD² = BC² + CD² ……..(4)
समकोण त्रिभुज AEC में, AE² = AC² + CE² ……(5)
समीकरण (4) व (5) को जोड़ने पर,
AE² + BD² = AC² + BC² + CE² + CD²
समीकरण (3) व (6) से, AE² + BD² = AB² + DE²
इति सिद्धम्

प्रश्न 14.
किसी ∆ABC के शीर्ष A से भुजा BC पर डाला गया लम्ब BC को बिन्दु D पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करता है कि DB = 3CD है। सिद्ध कीजिए कि 2AB² = 2AC² + BC² है।

हल
दिया है : ∆ABC में आधार BC पर शीर्ष A से AD लम्ब इस प्रकार डाला गया है कि BD = 3CD
सिद्ध करना है : 2AB² = 2AC² + BC²
उपपत्ति : समकोण त्रिभुज ABD में,
AB² = AD² + BD²
दोनों पक्षों में 2 से गुणा करने पर,
2AB² = 2AD² + 2BD²
⇒ 2AB² = 2 AC² – CD² + 2(3CD)² (∵ AD² = AC² – CD²; BD = 3CD)
⇒ 2AB² = 2AC² – 2CD² + 18CD²
⇒ 2AB² = 2AC² + 16CD²
⇒ 2AB² = 2AC² + (4CD)²
⇒ 2AB² = 2AC² + (CD + 3CD)²
⇒ 2AB² = 2AC² + (CD + BD)² (∵ 3CD = BD)
⇒ 2AB² = 2AC² + BC² (∵ BC = CD + BD)
अतः 2AB² = 2AC² + BC²
इति सिद्धम्

प्रश्न 15.
किसी समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा BC पर बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि BD = \(\frac{1}{3}\) BC है। सिद्ध कीजिए कि 9AD² = 7AB² है।

हल
दिया है : ∆ABC एक समबाहु त्रिभुज है जिसके आधार BC पर एक बिन्दु D इस प्रकार है कि BD = \(\frac{1}{3}\) BC
सिद्ध करना है : 9AD² = 7AB²
रचना : A से BC पर AE लम्ब खींचिए।
उपपत्ति : समबाहु ∆ABC में, AE ⊥ BC
BE = CE = \(\frac{1}{2}\) BC
BE = \(\frac{1}{2}\)AB (∵ BC = AB) …..(1)
समकोण ∆ABE में,


दोनों पक्षों में लघुत्तम समापवर्त्य 36 से गुणा करने पर,
36 × (\(\frac{3}{4}\) AB²) + 36 × (\(\frac{1}{36}\) AB²) = 36AD²
⇒ 27AB² + AB² = 36AD²
⇒ 28AB² = 36AD²
⇒ 7AB² = 9AD² (4 सार्वनिष्ठ है)
अतः 9AD² = 7AB²
इति सिद्धम्

प्रश्न 16.
किसी समबाहु त्रिभुज में, सिद्ध कीजिए कि उसकी एक भुजा के वर्ग का तिगुना उसके एक शीर्षलम्ब के वर्ग के चार गुने के बराबर होता है।

हल
दिया है : ABC एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी एक भुजा AB है।
त्रिभुज के शीर्ष A से आधार BC तक शीर्ष लम्ब AD खींचा गया है।
सिद्ध करना है : भुजा² × 3 = शीर्ष लम्ब² × 4 अर्थात्
अर्थात 3AB² = 4AD²
उपपत्ति : माना AB = 2a
⇒ a = \(\frac{1}{2}\) AB
∆ABC समबाहु है,
AB = BC
⇒ BC = 2a
शीर्ष A से BC पर AD लम्ब है।
समकोण ∆ABD तथा ∆ACD में,
AB = AC (समबाहु त्रिभुज की भुजाएँ हैं)
AD = AD (उभयनिष्ठ भुजा है)
∆ABD ≅ ∆ACD
BD = CD = CD
परन्तु BC = BD + CD = 2a
⇒ BD = a
तब, समकोण ∆ABD में,
AB² = BD² + AD²
⇒ (2a)² = (a)² + AD²
⇒ AD² = 4a² – a2 = 3a²
⇒ AD² = 3 × \(\left(\frac{A B}{2}\right)^{2}\) (∵ a = \(\frac{1}{2}\) AB)
⇒ AD² = \(\frac{3 A B^{2}}{4}\)
अत: 3AB² = 4AD²
अथवा भुजा² × 3 = शीर्षलम्ब² × 4
इति सिद्धम्

प्रश्न 17.
सही उत्तर चुनकर उसका औचित्य दीजिए : ∆ABC में, AB = 6√3 cm, AC = 12 cm और BC = 6 cm है। कोण B है-
(A) 120°
(B) 60°
(C) 90°
(D) 45°

हल
∆ABC में, AB = 6√3 cm, AC = 12 cm और BC = 6 cm
AB = 6√3 cm
⇒ AB² = (6√3)² = 36 × 3 = 108
BC = 6 cm
⇒ BC² = (6)² = 36
तथा AC = 12 cm
⇒ AC² = (12)² = 144
तब, AB² + BC² =108 + 36 = 144
और AC² = 144
∴ AB² + BC² = AC²
∴ त्रिभुज ABC समकोणीय है जिसमें कर्ण AC है।
तथा ∠B समकोण है।
∠B = 90°
अत: विकल्प (C) सही है।

Bihar Board Class 10 Social Science Solutions Disaster Management आपदा प्रबन्धन Chapter 3 प्राकृतिक आपदा एवं प्रबंधन : भूकंप एवं सुनामी Text Book Questions and Answers, Additional Important Questions, Notes.

BSEB Bihar Board Class 10 Social Science Disaster Management Solutions Chapter 5 आपदा काल में वैकल्पिक संचार व्यवस्था

Bihar Board Class 10 Disaster Management आपदा काल में वैकल्पिक संचार व्यवस्था Text Book Questions and Answers

वस्तुनिष्ठ प्रश्नोत्तर

प्रश्न 1.
निम्नलिखित में कौन प्राकृतिक आपदा है ?
(क) आग लगना
(ख) बम विस्फोट
(ग) भूकम्प
(घ) रासायनिक दुर्घटनाएँ
उत्तर-
(ग) भूकम्प

प्रश्न 2.
भूकंप संभावित क्षेत्रों में भवनों की आकृति कैसी होनी चाहिए?
(क) अंडाकार
(ख) त्रिभुजाकार
(ग) चौकोर
(घ) आयाताकार
उत्तर-
(घ) आयाताकार

प्रश्न 3.
भूस्खलन वाले क्षेत्र में ढलान पर मकानों का निर्माण क्या है ?
(क) उचित
(ख) अनुचित
(ग) लाभकारी
(घ) उपयोगी ।
उत्तर-
(ख) अनुचित

प्रश्न 4.
सुनामी प्रभावित क्षेत्र में मकानों का निर्माण कहाँ करना चाहिए?
(क) समुद्र तट के निकट
(ख) समुद्र तट से दूर
(ग) समुद्र तट से ऊंचाई पर
(घ) इनमें से कोई नहीं
उत्तर-
(ख) समुद्र तट से दूर

प्रश्न 5.
बाढ़ से सबसे अधिक हानि होती है
(क) फसल की
(ख) पशुओं की
(ग) भवनों की
(घ) उपरोक्त सभी की
उत्तर-
(घ) उपरोक्त सभी की

प्रश्न 6.
कृषि सुखाड़ होता है
(क) जल के अभाव में
(ख) मिट्टी की नमी के अभाव में
(ग) मिट्टी के क्षय के कारण
(घ) मिट्टी की लवणता के कारण
उत्तर-
(क) जल के अभाव में

लघु उत्तरीय प्रश्नोत्तर

प्रश्न 1.
भूकंप के प्रभावों को कम करने के चार उपायों को लिखिए।
उत्तर-
भूकंप के प्रभावों को कम करने के लिए निम्नलिखित उपाय आवश्यक हैं

• भवनों का आयताकार होना चाहिए।
• भवनों के निर्माण ईंट-कंक्रीट से होना चाहिए। .
• नींव को मजबूत एवं भूकंप अवरोधी होना चाहिए।
• गलियों एवं सड़कों को चौड़ा होना चाहिए तथा दो भवनों के बीच पर्याप्त दूरी होनी । चाहिए।

प्रश्न 2.
सुनामो संभावित क्षेत्रों में गृह निर्माण पर अपना विचार प्रकट कीजिए।
उत्तर-
सुनामी प्रभावित क्षेत्रों में गृह निर्माण के लिए निम्नलिखित बातों पर ध्यान देना चाहिए

• जहाँ सुनामी की लहरें आती हैं वहाँ लोगों को तटीय भाग की अपेक्षा तट से दूर बसना चाहिए।
• समुद्र तटीय भाग में सघन वृक्षारोपण करना चाहिए।
• नगरों एवं भवनों को बचाव के लिए कंक्रीट अवरोधक का निर्माण करना चाहिए।
• प्रभावित क्षेत्रों में ऐसे मकान का निर्माण करना चाहिए जो सुनामी लहरों के प्रभाव को न्यून कर सके।
• पोताश्रयों को ऊंची बाँधों द्वारा सुरक्षित किया जा सकता है।
• प्रभावित क्षेत्रों में मकान ऊंचे स्थानों पर और तट से करीब सौ मीटर की दूरी पर बनाना चाहिए।
• सुनामी रेकॉर्डिग सेन्टर की स्थापना होना चाहिए।
• उपग्रह प्रौद्योगिकी द्वारा सुनामी की चेतावनी प्राप्त करना चाहिए और संचार के विभिन्न माध्यमों द्वारा तुरन्त आम लोगों तक पहुँचाना चाहिए।

प्रश्न 3.
सुखाड़ में मिट्टी की नमी को बनाए रखने के लिए आप क्या करेंगे?
उत्तर-
सूखे जैसे प्राकृतिक आपदा को विभिन्न विधियों को अपनाकर इसकी विभीषिका को . कम किया जा सकता है। जैसे-जल संसाधन का वैज्ञानिक विकास और प्रबंधन द्वारा जल की समस्या का समाधान किया जा सकता है। क्योंकि सुखाड़ के समय जल के अभाव से न केवल मिट्टी की नमी समाप्त हो जाती है, बल्कि सभी प्राणियों को जान तक बचाना मुश्किल हो जाता है। जल विभाजक के विकास की याजना ऐसी स्थिति में बहुत सहायक होती है।

दीर्घ उत्तरीय प्रश्नोत्तर

प्रश्न 1.
भूस्खलन अथवा बाढ़ जैसी प्राकृतिक विभीषिकाओं का सामना आप किस प्रकार कर सकते हैं ? विस्तार से लिखिए। .. उत्तर-
भूस्खलन के पाँच रूप होते हैं-

• बारिश के पानी के साथ मिट्टी और कचड़े का नीचे आना
• कंकड़-पत्थरों का खिसकना
• कंकड़-पत्थर का गिरना
• चट्टानों का खिसकना
• चट्टानों का गिरना आदि से जानमाल की बर्बादी होती है।

इससे बचाव के लिए निम्न उपाय किए जाने चाहिए-

• मिट्टी की प्रकृति के अनुरूप उपयुक्त नींव बनाना।
• ढलवां स्थान पर मकान का निर्माण न करना।
• सामान्य एवं वैकल्पिक संचार प्रणालियों को समुचित व्यवस्था करना।
• वनस्पति विहीन ऊपरी ढालों पर उपयुक्त वृक्ष प्रजातियों का सघन रोपण कार्य करना।
• प्राकृतिक जल की निकासी का अवरुद्ध न होना।
• पुख्ता दीवारों का निर्माण किया जाना।
• बारिश की पानी और झरनों के प्रवेश सहित भूस्खलनों के संचलन पर काबू पाने के लिए समतल जल निकासी केन्द्र बनाना।
• भूमि के नीचे बिछाए जाने वाले पाईप लाइन, केबुल आदि लचीले होने चाहिए ताकि भूस्खलन से उत्पन्न दबाव का सामना कर सकें।

बाढ़ एक विनाशकारी प्राकृतिक आपदा है। इससे निजात पाने के लिए निम्नलिखित उपाय किए जा सकते हैं

• बाढ़ की प्रवणता को कम करने के लिए वनों का विकास से निजात मिल सकती है।
• नदियों के दोनों तटबंधों पर बाँध बनाना। बाढ़ प्रभावित क्षेत्रों की सुरक्षा प्रदान किया जा सकता है।
• मृदा क्षय को भी निर्यात किया जा सकता है।
• जल निकासी की समुचित व्यवस्था होनी चाहिए।
• पर्वतीय भागों में नदियों के ऊपर बाँध और पृष्ठ भाग जलाशय का निर्माण कर जल को नियंत्रित किया जा सकता है (vi) बाढ़ प्रभावित क्षेत्रों में नहरों का जाल बिछाकर इसकी विभीषिका से बचा जा सकता है साथ ही सिंचाई का काम भी किया जा सकता है।
• बाढ़ से बचाव के लिए रिंग बांध भी सहायक होता है। नदियों की धाराओं में सुधार तथा नदियों के लिए वैकल्पिक मार्ग का निर्माण द्वारा इस समस्या का समाधान संभव है।
• बाढ़ प्रभावित क्षेत्रों में स्थान-स्थान पर खाद्यान्न बैंक का भी विकास होना चाहिए।

प्रश्न 2.
सुनामी के दौरान उठाये जानेवाले कदम (Preparedness measures during Tsunami Scenario) के बारे में लिखें।
उत्तर-
सुनामी तूफान आने के पहले कुछ उठाये गए कदम निम्नांकित हैं

• अपने स्कूल/मकान आदिसमुद्र तट से कितनी दूरी पर है इसकी जानकारी प्राप्त कर लेनी चाहिए।
• यह जान लेना आवश्यक है कि आपका स्कूल/घर समुद्र तल से कितनी ऊंचाई पर है।
• ऐसे स्थान पर चले जायें जो ऊँचाई पर स्थित हो और हर प्रकार से सुरक्षित हो।
• सुनामी की लहर पहले हल्की और कम ऊंचाई की हो सकती है, परन्तु बाद में भयंकर रूप धारण कर सकती है। इसलिए हल्की लहर को देखते ही समुद्र तट को छोड़ देना चाहिए।
• कई लोग सुनामी लहरों को देखने के लिए नजदीक चले जाते हैं, परन्तु ऐसा करना बड़ा खतरनाक सिद्ध हो सकता है। .
• प्रशान्त सुनामी केन्द्र द्वारा दी गई चेतावनी की ओर ध्यान दें। उसे हल्के में ही मत टाल दें। मई 1960 में 61 व्यक्ति की मौत हो गई क्योंकि उनलोगों ने तटीय केन्द्र द्वारा चेतावनी को हवाई टापू पर अनसुनी कर दिया था।
• रेडियो टेलीविजन द्वारा प्रसारित की गई जानकारी का लाभ उठाएँ और उनके द्वारा दी
  गई सतह पर अमल करें।

प्रश्न 3.
आकस्मिक प्रबंधन में स्थानीय प्रशासन एवं स्वयंसेवी संस्थाओं की भूमिका का विस्तार से उल्लेख करें।
उत्तर-
मुख्यत: आकस्कि प्रबंधन के तीन घटक हैं-

1. स्थानीय प्रशासन
2. स्वयंसेवी संगठन
3. गाँव अथवा मुहल्ले के लोग।

1. स्थानीय प्रशासन- आकस्मिक प्रबंधन में स्थानीय प्रशासन की अहम भूमिका होती है। राहत शिविर का निर्माण, प्राथमिक उपचार की सामग्री की व्यवस्था, एम्बुलेंस, डॉक्टर, अग्निशामक इत्यादि की तत्काल व्यवस्था करना इसका प्रमुख कार्य है।

2. स्वयंसेवी संगठन- आकस्मिक प्रबंधन में स्वयंसेवी संस्था महत्त्वपूर्ण स्थान रखता है, अगर गाँव के युवकों तथा पंचायत प्रबंधन के बीच समन्वय हो। ऐसे प्रबंधन में जाति, धर्म, लिंग के भेदभाव का परित्याग करना पड़ता है। स्वयंसेवी संस्था आकस्मिक प्रबंधन में काफी योगदान दे सकती है।

3. गाँव अथवा महल्ले के लोग- आकस्मिक प्रबंधन में गाँव और मुहल्ले के लोग काफी योगदान दे सकते हैं। जैसे- युवकों को मानसिक रूप से सुदृढ़ और तकनीकी रूप से प्रशिक्षित करना और उनमें साहस का संचार कर सकते हैं।

क्रियाकलाप

आप अपने गाँव मुहल्ले में शिक्षक के साथ एक आमसभा आयोजित कीजिए और आमलोगों को बताइए कि प्राकृतिक आपदाओं से बचने के लिए मिलजुल कर उसका सामना करना चाहिए। इससे विपत्ति और बर्बादी कम होगी।
उत्तर-
छात्र अपने शिक्षक की सहायता से स्वयं करें।

Bihar Board Class 10 Disaster Management आपदा काल में वैकल्पिक संचार व्यवस्था Notes

• यद्यपि आपदाएँ और संकट प्राकृतिक क्रियाओं के प्रतिफल हैं, परंतु अविवेकपूर्ण मानवीय क्रियाएँ भी आपदाओं को आमंत्रित करती हैं।
• आपदा के संवेदनशील क्षेत्रों में आपदा प्रबंधन के लिए हमेशा तैयारी रखनी चाहिए, क्योंकि आपदाएं अप्रत्याशित रूप से घटित होती हैं।
• बाढ़ और सूखे के संकट का आकलन कर उनसे निपटने की तैयारी सम्यक रूप से करनी चाहिए।
• आपदा प्रबंधन में स्थानीय लोगों का सहयोग ही सबसे अधिक कारगर होता है।
• संचार साधनों का उपयोग आपदा से निपटने में बहुत प्रभावशाली होता है।
• अभी तक आपदाओं में लाखों-करोड़ों लोगों की मृत्यु तब हुई हैं जब उन क्षेत्रों में एकाधिपत्य शासन रहा है। किसी लोकप्रिय प्रजातांत्रिक देश में बड़ी संख्या में लोगों की ‘ मौत नहीं हुई, क्योंकि वहाँ आपदा से निपटने के लिए उचित प्रयास करना संभव हो सका। आपदा प्रबंधन के महत्व को इंगित करने के लिए यह उदाहरण सटीक है।
• प्रकृति में होनेवाले कुछ परिवर्तन संकट और आपदाओं के कारण होते हैं।
• अनेक संकटों और आपदाओं का कारण मनुष्य के क्रियाकलाप भी होते हैं।
• प्रकृति के साथ अनावश्यक छेड़छाड़ संकटों और आपदाओं को आमंत्रित करती है।
• संकट धीरे-धीरे उत्पन्न होते हैं और आपदाएँ अकस्मात विकास रूप ले लेती हैं।
• भारत का उत्तरी तराई भाग भूकंप के लिए अत्यधिक संवेदनशील है।
• ज्वालामुखी के प्रकोप से भारत प्रायः बचा हुआ है।
• सुनामी से बंगाल की खाड़ी प्रभावित है, क्योंकि इससे पूर्वी भाग में इंडोनेशिया का तट बहुत अधिक संवेदनशील है।
• भारत में चक्रवात प्रायः मई-जून तथा अक्टूबर-नवम्बर में अधिक आते हैं।
• पूर्वोत्तर भारत में बाढ़ प्रायः प्रतिवर्ष आती है और यही व्यापक हानि होती है।
• पंजाब, हरियाणा जैसे पश्चिमोत्तर से राज्यों में हिमालय की बर्फ पिघलने से बाढ़ आती है।
• देश के पश्चिमी और दक्षिणी भाग में प्रायः सूखे की स्थिति रहती है; परंतु सभी भाग इसकी चपेट में आ सकते हैं।
• बाढ़ का दुष्प्रभाव क्षणिक होता है जबकि सूखे से लोगों को लंबे समय तक कठिनाई का सामना करना पड़ता है।
• देश में बिहार एक ऐसा राज्य है जो किसी संकट और आपदा से अछूता नहीं है, सिवाय सुनामी के।

Bihar Board Class 10 Social Science Solutions Geography भूगोल : भारत : संसाधन एवं उपयोग Chapter 5A बिहार : खनिज एवं ऊर्जा संसाधन Text Book Questions and Answers, Additional Important Questions, Notes.

BSEB Bihar Board Class 10 Social Science Geography Solutions Chapter 5A बिहार : खनिज एवं ऊर्जा संसाधन

Bihar Board Class 10 Geography बिहार : खनिज एवं ऊर्जा संसाधन Text Book Questions and Answers

वस्तुनिष्ठ प्रश्नोत्तर

प्रश्न 1.
बिहार में खनिज तेल मिलने की संभावनाएँ हैं-
(क) हिमालय क्षेत्र में
(ख) दक्षिण बिहार के मैदान में
(ग) दक्षिण बिहार के पहाड़ी क्षेत्र में
(घ) गंगा के द्रोणी में
उत्तर-
(घ) गंगा के द्रोणी में

प्रश्न 2.
चूना पत्थर का उपयोग मुख्य रूप से किस उद्योग में होता है ?
(क) सीमेंट उद्योग
(ख) लोहा इस्पात उद्योग
(ग) सीसा उद्योग
(घ) इनमें से किसी में नहीं
उत्तर-
(क) सीमेंट उद्योग

प्रश्न 3.
पाइराइट खनिज है
(क) धात्विक
(ख) अधात्विक
(ग) परमाणु
(घ) ईंधन
उत्तर-
(ख) अधात्विक

प्रश्न 4.
बिहार के सोना अयस्क से प्रतिटन शुद्ध सोना प्राप्त होता है
(क) 05 से 06 ग्राम
(ख) 0.1 से 0.6 ग्राम
(ग) 00.00 से 0.1 ग्राम
(घ) 0.001 से 0.003 ग्राम
उत्तर-
(ख) 0.1 से 0.6 ग्राम

प्रश्न 5.
कहलगांव तापीय विद्युत परियोजना किस जिला में अवस्थित है ?
(क) भागलपुर
(ख) मुंगेर
(ग) जमुई
(घ) साहेबगंज
उत्तर-
(क) भागलपुर

प्रश्न 6.
कांटी तापीय विद्यत परियोजना किस जिला में स्थापित है?
(क) पूर्णिया
(ख) सिवान
(ग) मुजफ्फरपुर
(घ) पूर्वी चम्पारण
उत्तर-
(ग) मुजफ्फरपुर

प्रश्न 7.
बिहार में बी. एच. पी. सी. द्वारा वृहत् परियोजनाओं की संख्या कितनी है ?
(क) 3
(ख) 10
(ग) 5
(घ) 7
उत्तर-
(ख) 10

प्रश्न 8.
बिहार में कार्यरत जल विद्युत परियोजनाओं की कुल विद्युत उत्पादन क्षमता कितनी
(क) 35.60 मेगावाट
(ख) 44.20 मेगावाट
(ग) 50.60 मेगावाट
(घ) 30 मेगावाट
उत्तर-
(ख) 44.20 मेगावाट

लघु उत्तरीय प्रश्नोत्तर

प्रश्न 1.
अभ्रक कहाँ मिलता है ? इसका क्या उपयोग है ?
उत्तर-
झारखण्ड के संलग्न क्षेत्रों नवादा, जमुई और बाँका में मस्कोव्हाइट अभ्रक पाया जाता है।
अभ्रक का उपयोग रेडियो यंत्र, बेतार के तार संयंत्रों, सजावटी सामानों, बिजली के उपकरणों के निर्माण में होता है।

प्रश्न 2.
बिहार में ग्रेफाइट एवं यूरेनियम के वितरण को लिखिए।
उत्तर-
ग्रेफाइट का वितरण- मुंगेर एवं रोहतास जिले में, यूरेनियम का वितरण बिहार में उपलब्ध नहीं है।

प्रश्न 3.
बिहार में तापीय विद्युत केन्द्रों का उल्लेख कीजिए।
उत्तर-
बिहार में कई तापीय विद्युत केन्द्र हैं-जैसे- कहलगांव, कांटी और बरौनी तापीय विद्युत केन्द्र। इसके अलावे बाढ़ और नवीनगर निर्माणाधीन विद्युत केन्द्र हैं।

प्रश्न 4.
सोन नदी घाटी परियोजना से उत्पादित जल विद्युत का वर्णन करें।
उत्तर-
सोन नदी घाटी परियोजना के पश्चिमी नहर से 6.6 मेगावाट एवं पूर्वी नहर से 3.3 मेगावाट पनबिजली का उत्पादन हो रहा है।

प्रश्न 5.
बिहार में जल विद्युत के विकास पर प्रकाश डालें।
उत्तर-
बिहार में जल विद्युत के विकास के लिए बिहार राज्य जल विद्युत निगम की स्थापना 1982 में की गयी। यहाँ इसकी विकास की.संभावनाएं हैं जिनपर तेजी से काम हो रहा है। कैमूर एवं औरंगाबाद जिलों में कई प्रस्तावित जल विद्युत परियोजनाओं पर काम चल रहा है। इसके अतिरिक्त कई निर्माणाधीन परियोजनाएं भी हैं। जैसे कलेर (अरवल) अगनूर बगहा (प. चम्पारण) , का त्रिवेणी, ओगरा, (औरंगाबाद), तेजपुर टिहरी (रोहतास) का डेलबाग, नासरीगंज (रोहतास), नोखा (रोहतास) इत्यादि।

दीर्घ उत्तरीय प्रश्नोत्तर

प्रश्न 1.
बिहार में पाए जाने वाले खनिजों को वर्गीकृत कर किसी एक वर्ग के खनिज का
वितरण एवं उपयोगिता लिखिए।
उत्तर-
बिहार में दो वर्गों के खनिज पाए जाते हैं

• धात्विक खनिज इसके अन्तर्गत बॉक्साइट, मैग्नेटाइट और सोना अयस्क आते हैं।
• अधात्विक खनिज- इसके अन्तर्गत चूनापत्थर, अभ्रक, डोलोमाइट, सिलिका सैंड, पाइराइट, क्वार्ट्स, फेल्सपार, चीनी मिट्टी, स्लेट एवं शोरा इत्यादि सम्मिलित होते हैं।

धात्विक खनिज –

बॉक्साइट का भंडार बिहार में 1.5 हजार मीट्रिक टन है। यह गया, जमुई और बांका जिले में मिलता है।
मैग्नेटाइट पत्थर का कुल भण्डार 9.59 हजार मीट्रिक टन है। यह पहाड़ी क्षेत्र में मिलता है।

सोना अयस्क यहाँ बहुत अल्पमात्रा में दक्षिणी बिहार की नदियों के बालू की रेत के साथ मिलता है जिसमें सोना धातु की मात्रा 0.1 से 0.6 ग्राम प्रतिटन प्राप्त होता है। ऐसे सोना अयस्क का कुल भंडार 128.88 मीट्रिक टन है। बिहार में इसका वाणिज्यिक उत्पादन नहीं है।

प्रश्न 2.
बिहार के प्रमुख ऊर्जा स्रोतों का वर्णन कीजिए और किसी एक स्रोत का विस्तार से चर्चा कीजिए।
उत्तर-
बिहार में ऊर्जा का कोई भी स्रोत विकसित नहीं है। इस क्षेत्र में कुछ इकाई विकसित भी है तो वह परम्परागत ऊर्जा स्रोतों में तापीय विद्युत केन्द्र है।
बिहार में तापीय विद्युत के मुख्य केन्द्र कहलगाँव, कांटी और बरौनी में स्थित है।
कहलगांव की उत्पादन क्षमता 840 मेगावाट है, कांटी की उत्पादन क्षमता 120 मेगावाट और बरौनी की 145 मेगावाट है।

बाढ़ और नवीनगर तापीय विद्युत केन्द्र निर्माणाधीन हैं।
यहाँ सोन, गंडक और कोसी तीन प्रमुख नदी घाटी परियोजनाएं भी हैं जिनसे 44.10 मेगावाट जल विद्युत उत्पन्न हो रहा है। कुछ योजनाएं प्रस्तावित भी हैं।
गैर-परम्परागत ऊर्जा स्रोतों में बायोगैस, सौर ऊर्जा और पवन ऊर्जा की संभावनाएं हैं परन्तु विकसित नहीं है।
बायोगैस के अबतक 1.25 लाख संयंत्र ग्रामीण क्षेत्रों में स्थापित किए जा चुके हैं।

Bihar Board Class 10 Geography बिहार : खनिज एवं ऊर्जा संसाधन Notes

• खनिज एवं ऊर्जा संसाधनों के मामले में बिहार एक कम विकसित राज्य है।
• यहाँ चूना पत्थर और पाइराईट ही दो ऐसे खनिज हैं जो पर्याप्त मात्रा में उपलब्ध हैं।
• गंगा द्रोणी में खनिज तेल मिलने की संभावना है तेल एवं प्राकृतिक गैस निगम के सहयोग और केनर्स बहुराष्ट्रीय कम्पनी की मदद से इस ओर प्रयास जारी है।
• कहलगाँव सुपर थर्मलपावर बिहार की सबसे बड़ी तापीय विद्युत परियोजना है। इसकी स्थापना 1979 में की गई थी।

Bihar Board Class 10 Social Science Solutions Disaster Management आपदा प्रबन्धन Chapter 4 जीवन रक्षक आकस्मिक प्रबंधन Text Book Questions and Answers, Additional Important Questions, Notes.

BSEB Bihar Board Class 10 Social Science Disaster Management Solutions Chapter 4 जीवन रक्षक आकस्मिक प्रबंधन

Bihar Board Class 10 Disaster Management जीवन रक्षक आकस्मिक प्रबंधन Text Book Questions and Answers

वस्तुनिष्ठ प्रश्नोत्तर

प्रश्न 1.
बाढ़ के समय निम्नलिखित में से किस स्थान पर जाना चाहिए ?
(क) ऊँची भूमि वाले स्थान पर
(ख) गाँव के बाहर
(ग) जहाँ हैं उसी स्थान पर
(घ) खेतों में
उत्तरं-
(क) ऊँची भूमि वाले स्थान पर

प्रश्न 2.
मलवे के नीचे दबे हुए लोगों को पता लगाने के लिए किस यंत्र की मदद ली जाती
(क) दूरबीन
(ख) इंफ्रारेड
(ग) हेलीकॉप्टर
(घ) टेलीस्कोप
उत्तर-
(ख) इंफ्रारेड

प्रश्न 3.
आग से जलने की स्थिति में जले हुए स्थान पर क्या प्राथमिक उपचार करना चाहिए?
(क) ठंडा पानी डालना चाहिए
(ख) गर्म पानी डालना
(ग) अस्पताल पहुंचाना
(ग) इनमें से कोई नहीं
उत्तर-
(क) ठंडा पानी डालना चाहिए

प्रश्न 4.
बस्ती/मकान में आग लगने की स्थिति में क्या करना चाहिए?
(क) अग्निशामक यंत्र को बुलाना
(ख) दरवाजे खिड़कियाँ लगाना
(ग) आग बुझाने तक इंतजार करना
(घ) इनमें से कोई नहीं
उत्तर-
(क) अग्निशामक यंत्र को बुलाना

प्रश्न 5.
सुनामी किस स्थान पर आता है ?
(क) स्थल
(ख) समुद्र
(ग) आसमान
(घ) इनमें से कोई नहीं
उत्तर-
(ख) समुद्र

लघु उत्तरीय प्रश्नोत्तर

प्रश्न 1.
जीवन रक्षक आकस्मिक प्रबंधन से आप क्या समझते हैं ?
उत्तर-
आपदा की घड़ी में जीवन रक्षक प्रबंधन अत्यधिक उपयोगी और अत्यावश्यक है। आकस्मिक प्रबंधन ही किसी प्रशासन की सफलता की कसौटी होती है। इसके अंतर्गत आपदा मेंआते ही प्रभावित लोगों को आपदा से निजात दिलाना ही प्रमुख उद्देश्य होता है। अलग-अलग प्रकार के प्राकृतिक आपदाओं के आकस्मिक प्रबंधन में अलग-अलग प्रकार की प्राथमिकताएँ होती हैं।

प्रश्न 2.
बाढ़ की स्थिति में अपनाये जानेवाले आकस्मिक प्रबंधन का संक्षेप में वर्णन कीजिए!
उत्तर-
बाढ़ की स्थिति में पहली प्राथमिकता बाढ़ रोकना नहीं बल्कि बाढ़ से लोगों को .. बचाना है। लोगों को सुरक्षित स्थान पर ले जाना भी आकस्मिक प्रबंधन का ही अंग है। सुरक्षित स्थान पर ले जाने के बाद भोजन और पेयजल की व्यवस्था आवश्यक है। बच्चों के लिए दूध की व्यवस्था, महामारी से बचने के लिए गर्म जल, गर्म भोजन तथा छोटे से जगह में मिलजुलकर रहने के लिए वातावरण बनाना आकस्मिक प्रबंधन का ही हिस्सा है। पशुओं के लिए चारे की व्यवस्था भी अति आवश्यक है। खाद्य पदार्थ, पशुचारा, महामारी आने से संबंधित जीवन रक्षक दवाई, छिड़काव की सामग्री इत्यादि का पूर्व प्रबंधन आकस्मिक प्रबंधन की पहली शर्त है।

प्रश्न 3.
भूकंप एवं सुनामी की स्थिति में आकस्मिक प्रबंन की मर्चा संक्षेप में करें।
उत्तर-
भूकंप की स्थिति में आकस्मिक प्रबंधन का तीन प्रमुख कार्य होता है

• बचे हुए विस्थापित लोगों को राहत कैंप में ले जाना या उसे सभी प्रकार की आवश्यक सुवि’ – उपलब्ध कराना।
• वैसे लोगों को मलवे से निकालना जो अभी भी दबे हुए हैं।
• अकाल मृत्युप्राय आम लोगों को और जानवरों को सही स्थान पर दफनाकर या धार्मिक रीतियों के अनुरूप अंतिम संस्कार करना। ऐसा नहीं करने से महामारी फैलने की संभावना रहती है।

सुनामी की स्थिति में पहली प्राथमिकता है कि घायल का प्राथमिक उपचार कर अस्पताल पहुँचाया जाय तथा लापता पता लगाने के लिए हेलिकॉप्टर, रडार जैसे यंत्रों की मदद ली जाय। शक्तिचालित नौकाएँ भी इस कार्य में सहायता ली जा सकती हैं।

प्रश्न 4.
आकस्मिक प्रबंधन में स्थानीय प्रशासन की भूमिका का वर्णन करें।
उत्तर-
आकस्मिक प्रबंधन में स्थानीय प्रशासन की महत्वपूर्ण भूमिका है। इसके लिए आवश्यक है कि वे राहत शिविर का निर्माण करें। वहाँ सभी उपकरणं और प्राथमिक उपचार की सामग्रियाँ उपलब्ध कराएँ तथा एम्बुलेंस, डॉक्टर, अग्निशामक इत्यादि की व्यवस्था में तत्परता दिखाएँ। कागजी दाव-पेंच न पड़कर राहत राशि और राहत सामग्री को पहुंचाकर आपदा प्रबंधन को सरल तथा सहज बनाएँ।

प्रश्न 5.
आग लगने की स्थिति में क्या प्रबंधन करना चाहिए ? उल्लेख करें।
उत्तर-
आग लगने की स्थिति में आकस्मिक प्रबंधन की तीन बड़ी जिम्मेवारी होती है-

(क) आग में फंसे हुए लोगों को बाहर निकालना।
(ख) घायलों को तत्काल प्राथमिक उपचार देकर अस्पताल पहुंचाना और उससे पहले ठंडा पानी डालना, बर्फ से सहलाना और बरनोल जैसी प्राथमिक औषधि का उपयोग करना।
(ग) आग के फैलाव को रोकना, जिसके लिए नजदीक में उपलब्ध बालू, मिट्टी, अगर तालाब हो तो उसके जल का उपयोग करना, अग्निशामक यंत्र को बुलाना, बगल के झुग्गी-झोपड़ी को उखाड़ फेंकना, विद्युत लाइन को विच्छेदित करना अतिआवश्यक है।

दीर्घ उत्तरीय प्रश्नोत्तर

प्रश्न 1.
जीवन रक्षक आकस्मिक प्रबंधन से आप क्या समझते हैं?
उत्तर-
आपदा की घड़ी में जीवन रक्षक प्रबंधन अत्यधिक उपयोगी और अत्यावश्यक है। आकस्मिक प्रबंधन ही किसी प्रशासन की सफलता की कसौटी होती है। इसके अंतर्गत आपदा मेंआते ही प्रभावित लोगों को आपदा से निजात दिलाना ही प्रमुख उद्देश्य होता है। अलग-अलग प्रकार के प्राकृतिक आपदाओं के आकस्मिक प्रबंधन में अलग-अलग प्रकार की प्राथमिकताएँ होती हैं।

प्रश्न 2.
आकस्मिक प्रबंधन में स्थानीय प्रशासन एवं स्वयंसेवी संस्थाओं की भूमिका का विस्तार से उल्लेख करें। .
उत्तर-
मुख्यतः आकस्मिक प्रबंधन के तीन घटक हैं –

1. स्थानीय प्रशासन
2. स्वयंसेवी संगठन
3. गाँव अथवा मुहल्ले के लोगा ।

(1) स्थानीय प्रशासन-आकस्मिक प्रबंधन में स्थानीय प्रशासन की अहम भूमिका होती है। राहत शिविर का निर्माण, प्राथमिक उपचार की सामग्री की व्यवस्था, एम्बुलेंस, डॉक्टर, अग्निशामक इत्यादि की तत्काल व्यवस्था करना इसका प्रमुख कार्य है।

(2) स्वयंसेवी संगठन–आकस्मिक प्रबंधन में स्वयंसेवी संस्था महत्वपूर्ण स्थान रखता है। अगर गाँव के युवकों तथा पंचायत प्रबंधन के बीच समन्वय हो। ऐसे प्रबंधन में जाति, धर्म, लिंग के भेदभाव का परित्याग करना पड़ता है। स्वयंसेवी संस्था आकस्मिक प्रबंधन में काफी योगदान दे सकती है।

(3) गाँव अथवा मुहल्ले के लोग—आकस्मिक प्रबंधन में गाँव और मुहल्ले के लोग काफी योगदान दे सकते हैं। जैसे-युवकों को मानसिक रूप से सुदृढ़ और तकनीकी रूप से प्रशिक्षित करनाऔर उनमें साहस का संचार कर सकते हैं।

Bihar Board Class 10 Disaster Management जीवन रक्षक आकस्मिक प्रबंधन Notes

• बाढ़ग्रस्त क्षेत्रों में प्रायः कच्चे मकान ओर झोपड़ियों की बहुलता होती है। धान के कारण यहाँ, पुआलं का ढेढ़ रहना स्वाभाविक है। अतः आग लगने पर इसके तेजी से फैलने का अंदेसा बना रहता है।
• बाढ़ में घिरे लोगों को बाहर निकालना सबसे पहला कार्य है।
• बाढ़, सूखा, भूकम्प, सुनामी, चक्रवात, भूस्खलन, ओलावृष्टि, वज्रपात, हिमपात इत्यादि प्रमुख आपदाएँ हैं।
• ज्वालामुखी के प्रकोप से भारत. प्रायः बचा हुआ है।
• पंजाब, हरियाणा जैसे पश्चिमोत्तर राज्यों में हिमालय की बर्फ पिघलने से बाढ़ आती है।
• सुनामी से बंगाल की खाड़ी प्रभावित है। क्योंकि इसके पूर्वी भाग में इण्डोनेशिया का तट बहुत अधिक संवेदनशील है।
• प्रकृति के साथ अनावश्यक छेड़छाड़ संकटों और आपदाओं को आमंत्रित करती है।
• भारत में चक्रवात प्रायः मई जून तथा अक्टूबर-नवम्बर में अधिक आते हैं।
• कारगर वैकल्पिक संचार-व्यवस्था राहत-कार्य में सहायक होती है।
• भारत में बिहार ही एक ऐसा राज्य है, जो किसी संकट और आपदा से अछूता नहीं है, सिवाय सुनामी और भूकम्प के।।
• आपदा प्रबंधन दो चरणों में लागू करने की आवश्यकता है आकस्मिक तथा दीर्घकालीन प्रबंधन।
• आपदा के दौरान खोये हुए व्यक्तियों का पता लगाने में न सिर्फ शक्ति चालित नावों की मदद, रडार एवं हेलीकॉप्टरों की मदद ली जा सकती है बल्कि कृत्रिम उपग्रह भी सहायक होते हैं।
• राहतकर्मियों के उपकरणों को दो भागों में बाँट सकते हैं-
  (क) बचाव कर्मियों के निजी उपकरण।
  (ख) बचाव दल के लिए उपकरण।
• आकस्मिक प्रबंधन के तीन प्रमुख घटक हैं-
  (i) स्थानीय प्रशासन (ii) स्वयंसेवी संगठन तथा (iii) ग्राम एवं मुहल्ले के लोग।
• आपदा प्रबंधन हेतु स्कूल में छात्र-छात्राओं को भी प्रशिक्षित करना आवश्यक है।
• आपदा प्रबंधन को दिनचर्या का एक अंग समझना आवश्यक है।
• आपदा प्रबंधन के लिए युवकों को प्रेरित एवं प्रशिक्षित करना आवश्यक है।
• भारत में 56 प्रतिशत भू-क्षेत्र भूकंप प्रभावित हैं।
• भारत के 16 राज्यों का 16 प्रतिशत भाग सूखे के चपेट में रहता है।
• अगस्त 2008 में नेपाल के कुसाहा के पास कोसी बाँध टूट जाने के कारण उत्तरी बिहार के कोसी क्षेत्र में भयंकर बाढ़ आयी।