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Bihar Board Class 12th Hindi Book Solutions

Bihar Board Class 12th Hindi व्याकरण एकार्थक शब्द

अहंकार–मन का गर्व। झूठे अपनेपन का बोध।
दर्प–नियम के विरुद्ध काम करने पर भी घमण्ड करना।
अभिमान–प्रतिष्ठा में अपने को बड़ा और दूसरे को छोटा समझना।
घमण्ड–सभी स्थितियों में अपने को बड़ा और दूसरे को हीन समझना।
अनुग्रह–कृपा। किसी छोटे से प्रसन्न होकर उसका कुछ उपकार या भलाई करना।
अनुकम्पा–बहुत कुछ।
किसी के दुःख से दु:खी होकर उसपर की गयी दया।
अनुरोध–अनुरोध बराबर वालों से किया जाता है।
प्रार्थना–ईश्वर या अपने से बड़ों के प्रति इच्छापूर्ति के लिए ‘प्रार्थना की जाती है।
अस्त्र–वह हथियार, जो फेंककर चलाया जाता है। जैसे–तीर, बी, आदि।
शस्त्र–वह हथियार जो हाथ में थामकर चलाया जाता है। जैसे–तलवार।
अपराध–सामाजिक कानून का उल्लंघनं ‘अपराध’ है। जैसे–हत्या।
पाप–नैतिक नियमों का उल्लंघन ‘पाप’ है। जैसे–झूठ बोलना।
अवस्था–जीवन के कुछ बीते हुए काल या स्थिति को ‘अवस्था’ कहते हैं। जैसे–आपकी अवस्था क्या होगी? रोगी की अवस्था कैसी है?
आयु–सम्पूर्ण जीवन की अवधि को ‘आयु’ कहते हैं। जैसे–आप दीर्घायु हों। आपकी आयु लम्बी हो !

अपयश–स्थायी रूप से दोषी होना।
कलंक–कुसंगति के कारण चरित्र पर दोष लगाना।
अधिक–आवश्यकता से ज्यादा। जैसे–बाढ़ में गंगा में जल अधिक हो जाता है।
काफी–आवश्यकता से अधिक। जैसे–गर्मी में भी गंगा में काफी पानी रहता है।
अनुराग (Affection)–किसी विषय या व्यक्ति पर शुद्धभाव से मन केन्द्रित करना।
आसक्ति (Attachment)–मोहजनित प्रेम को ‘असाक्ति’ कहते हैं।
अन्तःकरण (Conscience)–विशुद्ध मन की विवेकपूर्ण शक्ति।।
आत्मा (Soul)–जीवों में चेतन, अतीन्द्रिय और अभौतिक तत्व, जिसका कभी नाश नहीं होता।
अध्यक्ष (President)–किसी गोष्ठी, समिति, परिषद् या संस्था के स्थायी प्रधान को अध्यक्ष कहते हैं।
सभापति (Chairmna)–किसी आयोजित बड़ी अस्थायी सभा के प्रधान को ‘सभापति’ कहते हैं।
अर्चना–धूप, दीप, फूल, इत्यादि से देवता की पूजा।
पूजा–बिना किसी सामग्री के भी भक्तिपूर्ण विनय अथवा प्रार्थना।
अभिनन्दन–किसी श्रेष्ठ का मान या स्वागत।
स्वागत–अपनी सभ्यता और प्रथा के वश किसी को सम्मान देना।
आदि–साधारणतः एक या दो उदाहरण के बाद ‘आदि’ का प्रयोग होता है।।

इत्यादि–साधारणत: दो से अधिक उदाहरण के बाद ‘इत्यादि’ का प्रयोग होता है।
आज्ञा–आदरणीय या पूज्य व्यक्ति द्वारा किया गया कार्यनिर्देश। जैसे–पिताजी की आज्ञा है कि मैं धूप में बाहर न जाऊँ।
आदरणीय–अपने से बड़ों या महान् व्यक्तियों के प्रति सम्मानसूचक शब्द।
पूजनीय–पिता, गुरु या महापुरुषों के प्रति सम्मानसूचक शब्द।
इच्छा–किसी भी वस्तु की साधारण चाह।।
अभलाषा–किसी विशेष वस्तु की हार्दिक इच्छा।
‘उत्साह–काम करने की बढ़ती हुई रुचि।
साहस–भय पर विजय प्राप्त करना।
कष्ट (Distress)–अभाव या असमर्थता के कारण मानसिक और शारीरिक कष्ट होता है।
क्लेश (Agony)–यह मानसिक अप्रिय भावों या अवस्थाओं का सूचक है।
पीड़ा (Pain)–रोग–चोट आदि के कारण शारीरिक ‘पीड़ा’ होती है।
कृपा (Kindness)–दूसरे के कष्ट दूर करने की साधारण चेष्टा।
दया (Mercy)–दूसरे के दु:ख को दूर करने की स्वाभाविक इच्छा।
कंगाल–जिसे पेट पालने के लिए भीख मांगनी पड़े।
दीन–निर्धनता के कारण जो दयापात्र हो चुका है।

खेद (Regret)–किसी गलती पर दु:खी होना। जैसे–मुझे खेद है कि मैं समय पर न पहुँच सका।
शोक (Mourming)–किसी की मृत्यु पर दु:खी होना। जैसे–गाँधी की मृत्यु से सर्वत्र शोक छा गया।
क्षोभ (Anguish)–सफलता न मिलने या असामाजिक स्थिति पर दुखी होना।
दुःख (Sorrow)–साधारण कष्ट या मानसिक पीड़ा।
ग्रन्थ–इससे पुस्तक के आकार की गुरुता और विषय के गाम्भीर्य का बोध होता है।
पुस्तक–साधारणतः सभी प्रकार की छपी किताब को ‘पुस्तक’ कहते हैं।।
निपुण (Adept)–जो अपने कार्य या विषय का पूरा–पूरा ज्ञान प्राप्त कर उसका अच्छा जानकार बन चुका है।
दक्ष (Adroit)–जो हाथ से किए जानेवाले काम अच्छी तरह और जल्दी करता है। जैसे–वह कपड़ा सीने में दक्ष है।
कुशल (Skilful)–जो हर काम में मानसिक तथा शारीरिक शक्तियों का अच्छा प्रयोग करना जानता है।
कर्मठ–जिस काम पर लगाया जाय उसपर लगा रहनेवाला।
निबन्ध (Essay)–ऐसे गद्यरचना, जिसमें विषय गौण हो और लेखक का व्यक्तित्व और उसकी शैली प्रधान हो।
लेख (Articles)–ऐसी गद्यरचना, जिसमें वस्तु या विषय की प्रधानता हो।
निधन (Demise)–महान् और लोकप्रिय व्यक्ति की मृत्यु को ‘निधन’ कहा जाता है।
मृत्यु (Death)–सामान्य शरीरान्त को ‘मृत्यु’ कहते हैं।
निकट–सामीप्य का बोध। जैसे–मेरे गाँव के निकट एक स्कूल है।

पास–अधिकार के सामीप्य का बोध। जैसे–धनिकों के पास पर्याप्त धन है।
प्रेम–व्यापक अर्थ में प्रयुक्त होता है। जैसे–ईश्वर से प्रेम, स्त्री से प्रेम आदि।
स्नेह–अपने से छोटों के प्रति ‘स्नेह’ होता है। जैसे–पुत्र से स्नेह।
प्रणय–सख्यभावमिश्रित अनुराग। जैसे–राधा–माधव का प्रणय।
प्रणाम–बड़ों को ‘प्रणाम’ किया जाता है।
नमस्कार–बराबरवालों को ‘नमस्कार’ या ‘नमस्ते’ किया जाता है।
पारितोषिक (Prize)–किसी प्रतियोगिता में विजयी होने पर पारितोषित दिया जाता है।
पुरस्कार (Reward)–किसी व्यक्ति के अच्छे काम या सेवा से प्रसन्न होकर ‘पुरस्कार’ दिया ज्ञाता है।
पत्नी–किसी की विवाहिता स्त्री।
महिला–भले घर की स्त्री। स्त्री–कोई भी औरत।
पुत्र–अपना बेटा। बालक–कोई भी लड़का।
बड़ा (Big)–आकार का बोधक। जैसे–हमारा मकान बड़ा है।
बहुत (Much)–परिमाण का बोधक। जैसे–आज उसने बहुत खाया।
बुद्धि–कर्तव्य का निश्चय करती है। ज्ञान–इन्द्रियों द्वारा प्राप्त हर अनुभव।
बहुमूल्य–बहुत कीमती वस्तु पर जिसका मूल्य–निर्धारण किया जा सके।

अमूल्य–जिसका मूल्य न लगाया जा सके।
मित्र–वह पराया व्यक्ति जिसके साथ आत्मीयता हो।
बन्धु–आत्मीय मित्र। सम्बन्धी।।
मन–मन में संकल्प–विकल्प होता है।
चित्त–चित्त में बातों का स्मरण विस्मरण होता है।
महाशय–सामान्य लोगों के लिए ‘महाशय’ का प्रयोग होता है।
महोदय–अपने से बड़ों को या अधिकारियों को ‘महोदय’ लिखा जाता है।
यन्त्रणा–असह्य दुःख का अनुभव (मानसिक)।
यातना–आघात में उत्पन्न कष्टों की अनुभूति (शारीरिक)।
विश्वास–सामने हुई बात पर भरोसा करना, बिल्कुल ठीक मानना।
विषाद–अतिशय दुःखी होने के कारण किंकर्तव्यविमूढ़ होना।
व्यथा–किसी आघात के कारण मानसिक अथवा शारीरिक कष्ट या पीड़ा।
सेवा–गुरुजनों की टहल। शुश्रूषा–दीन–दुखियों और रोगियों की सेवा।।
साधारण (Ordinary)–जो वस्तु या व्यक्ति एक ही आधार पर आश्रित हो।
जिसमें कोई विशिष्ट गुण या चमत्कार न हो।

सामान्य (Common)–जो बात दो अथवा कई वस्तुओं तथा व्यक्तियों आदि में समान रूप से पायी जाती हो उसे ‘सामान्य’ कहते हैं।
स्वतन्त्रता (Freedom)–’स्वतन्त्रता’ का प्रयोग व्यक्तियों के लिए होता है; जैसे–भारतीयों को स्वतन्त्रता मिली है।
स्वाधीनता (Independence)–’स्वाधीनता’ देश या राष्ट्र के लिए प्रयुक्त होती है। जैसे–भारत की स्वाधीनता मिली।
सखा–जो आपस में एकप्राण, एकमन, किन्तु दो शरीर है।
सुहृद्–अच्छा हृदय रखनेवाला।
सहानुभूति–दूसरे के दु:ख को अपना दु:ख समझना।
स्नेह–छोटों के प्रति प्रेमभाव रखना।
सम्राट्–राजाओं का राजा। राजा–एक साधारण भूपति।

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Bihar Board Class 12th Hindi व्याकरण पर्यायवाची शब्द

पर्यायवाची शब्द को ‘प्रतिशब्द’ भी कहते हैं। अर्थ की दृष्टि से शब्दों के अनेक रूप हैं; जैसे––पर्यायवाची शब्द, युग्म शब्द, एकार्थक शब्द, विपरीतार्थक शब्द मंत्रोचरितप्राय शब्द इत्यादि। जिन शब्दों के अर्थ में समानता हो, उन्हें ‘पर्यायवाची शब्द’ कहते हैं। किसी भी समृद्ध भाषा में पर्यायवाची शब्दों की अधिकता रहती है। जो भाषा जितनी ही सम्पन्न होगी, उसमें पर्यायवाची शब्दों की संख्या उतनी ही अधिक होगी। संस्कृत में इनकी अधिकता है। हिन्दी के पर्यायवाची शब्द संस्कृत के तत्सम शब्द हैं जिन्हें हिन्दी भाषा ने ज्यों–का–त्यों ग्रहण कर लिया है।

यहाँ एक बात स्मरण रखने की यह है कि इन शब्दों में अर्थ की समानता होते हुए भी इनके प्रयोग एक तरह के नहीं हैं। ये शब्द अपने में इतने पूर्ण हैं कि एक ही शब्द का प्रयोग सभी स्थितियों में और सभी स्थलों पर अच्छा नहीं लगता–कहीं कोई शब्द ठीक बैठता है और कहीं कोई। प्रत्येक शब्द की महत्ता विषय और स्थान के अनुसार होती है। कुछ पर्यायवाची शब्दों की तालिका नीचे दी जा रही है–

अग्नि – आग, वह्नि, पावक, अनल, वायुसखा, दहन, धूमकेतु, कृशानु।
असुर – दनुज, दानव, दैत्य, राक्षस, यातुधान, निशिचर, निशाचर, रजनीचर।
अनुपम – अपूर्व, अनोखा, अद्भुत, अनूठा, अद्वितीय, अतुल।
अमृत – पीयूष, सुधा, अमिय, जीवनोदक।
अश्व – वाजि, हय, घोटक, घोड़ा, सैन्धव, तुरग, तुरंग।
आँख – नेत्र, लोचन, नयन, चक्षु, दृग, अक्षि, अम्बक, दृष्टि, विलोचन।।
आकाश – द्यौ, व्योम, गगन, अभ्र, अम्बर, नभ, अन्तरिक्ष, आसमान, अनन्त।
आम – आम्र, चूत, रसाल, अमृतफल, सहकार, अतिसौरभ, च्युत (आम का पेड़)।
आनन्द – मोद, प्रमोद, हर्ष, आमोद, सुख, प्रसन्नता, आह्लाद, उल्लास।
आश्रम – मठ, विहार, कुटी, स्तर, अखाड़ा, संघ।।

इच्छा – आकांक्षा, ईप्सा, अभिलाषा, चाह, कामना, मनोरथ, स्पृहा, ईहा, वांछा।
इन्द्र – सुरपति, मघवा, पुरन्दर, वासव, महेन्द्र, देवराज।
कपड़ा – वस्त्र, पट, वसन, अम्बर, चीर।
कमल – सरोज, जलज, अब्ज, पंकज, अरविन्द, पद्म, कंज, शतदल, अम्बुज, सरसिज।
किरण – मरीचि, मयूख, अंशु, कर, रश्मि, प्रभा, अर्चि, गो।
कुबेर – किन्नरेश, यक्षराज, धनद, धनाधिप, राजराज।।
गणेश – लम्बोदर, एकदन्त, मूषकवाहन, गजवदन, गजानन, विनायक, गणपति, विघ्ननाशक।
गंगा – जाह्ववी, देवनदी, सुरसरित, भागीरथी, मन्दाकिनी, देवापागा, ध्रुवनन्दा।
घर, निकेतन, भवन, सदन, आगार, आयतन, आवास, निलय, धाम, गृह।
मम्मी गदहा – खर, गर्दभ, धूसर, रासभ, बेशर, चक्रीवान, वैशाखनन्दन।

चन्द्र – चाँद, चन्द्रमा, हिमांशु, सुधांशु, सुधाकर, सुधाधर, राकेश, शशि, सारंग,
निशाकर, निशापति, रजनीपति, मृगांक, कलानिधि।
चोर – तस्कर, दस्यु, रजनीचर, मोषक, कुम्भिल, खनक, साहसिक।
जल – नीर, सलिल, उदक, पानी, अम्बु, तोय, जीवन, वारि, पय, अमृत, मेघपुष्प।
यमुना – सूर्यसुता, सूर्यतनया, कालिन्दी, अर्कजा, कृष्णा।
तालाब – सर, सरोवर, तड़ाग, हृद, पुष्कर, जलाशय, पदमाकर।
दास – अनुचर, चाकर, सेवक, नौकर, भृत्य, किंकर, परिचारक।
दुःख – पीड़ा, व्यथा, कष्ट, संकट, शोक, क्लेश, वेदना, यातना, यंत्रणा, खेद।
देवता – सुर, अमर, देव, निर्जर, विबुध, त्रिदंश, आदित्य, गीर्वाण।
दव्य – धन, वित्त, सम्पदा, विभूति, दौलत, सम्पत्ति।

नदी – सरिता, तटिनी, आपगा, निमग्रगा, निझारिणी, कूलंकषा, तरंगिणी।
नौका – नाव, तरिणी, जलयान, जलपात्र, तरी, बेड़ा, डोंगी, पतंग।
पत्नी – भार्या, दास, गृहिणी, बहू, वधू, कलत्र, प्राणप्रिया, अर्धांगिनी।
पति – भर्ता, बल्लभ, स्वामी, आर्यपुत्र।
हवा – वायु, समीर, मरुत्, वात, बयार, प्रकम्पन, समीरण, पवन।
विहंग, विहग, खग, पखेरू, परिन्दा, चिड़िया, शकुन्त, अण्डज, पतंग, द्विज।
पर्वत – भूधर, शैल, अचल, महीधर, गिरि, नग, भूमिधर, तुंग आद्रि, पहाड़।
पण्डित – सुधी, विद्वान्, कोविद, बुध, धीर, मनीषी प्राज्ञ, विचक्षण।
पुत्र – तनय, सुत, बेटा, लड़का, आत्मज, तनुज।
पुत्री – तनया, सुता, बेटी आत्मजा, दुहिता, नन्दिनी, तनुजा।

पृथ्वी – भू, इला, भूमि, धरा, उर्वी, धरती, धरित्री, धरणी, वसुधा, वसुंधरा।
पुष्प – फूल, सुमन, कुसुम, प्रसून।
बाण – तीर, शर, विशिख, आशुग, शिलीमुख, इषु, नाराच।
बिजली – चंचला, चपला, विद्युत्, सौदामनी, दामिनी, तड़ित्, बीजुरी, क्षणप्रभा।
ब्रह्मा – आत्मभू, स्वयम्भू, चतुरानन्, पितामह, हिरण्यगर्भ, लोकेश, विधि, विधाता।
वृक्ष – तरु, द्रुम, पादप, विटप, अगम, पेड़, गाछ।
मछली – मत्स्य, झख, मीन, जलजीवन, सफरी (शफरी), झष (झख)।
महादेव – शम्भु, ईश, पशुपति, शिव, महेश्वर, शंकर, चन्द्रशेखर, भव, भूतेश, गिरीश।
मेघ – घन, जलघर, वारिद, बादल, नीरद, वारिघर, पयोद, अम्बुद, पयोधर।
मुनि – यती, अवधूत, सन्यासी, वैरागी, तापस, सन्त, भिक्षु, महात्मा, साधु, मुक्तपुरुष।

रात्रि – शर्वरी, निशा, रात, रैन, रजनी, यामिनी, त्रियामा, विभावरी, क्षणदा।
राजा – नृप, भूप, महीप, महीपति, नरपति, नरेश, भूपति, राव, सम्राट्।
विष्णु – गरुड़ध्वज, अच्युत, जनार्दन, चक्रपाणि, विश्वम्भर, मुकुन्द, नारायण, ऋषिकेष।
समुद – सागर, जलधि, पारावार, सिन्धु, नीरनिधि, नदीश, पयोधि, अर्णव, पयोनिधि।
समूह – समुदाय, वृन्द, गण, संघ, पूंज, दल, झुण्ड, मण्डली, टोली, जत्था।
सरस्वती – ब्राह्मी, भारती, भाषा, वाक्, गिरा, शारदा, वीणापाणि, वागीशा।
सर्प – अहि, भुजंग, विषधर, व्याल, फणी, उरग, पतंग, नाग, साँप।
सोना – सुवर्ण, स्वर्ण, कंचन, हाटक, कनक, हिरण्य, हेम, जातरूप।
सूर्य – मार्तण्ड, दिनकर, रवि, भास्कर, मरीची, प्रभाकर, सविता, पतंग, दिवाकर, हंस।
शार्दूल, व्यास, पंचमुख, मृगराज, मृगेन्द्र, केशरी, केहरी, केशी, महावीर।
सुन्दर – रुचिर, चारु, रम्य, सुहावना, मनोहर, रमणीक, चित्ताकर्षक, ललित।
स्त्री – नारी, वनिता, महिला, कान्ता, रमणी।

Bihar Board Class 12th Hindi Book Solutions

Bihar Board Class 12th Hindi व्याकरण कोशीय और व्याकरणिक शब्द

कोशीय और व्याकरणिक शब्द शब्दों के अर्थज्ञान में व्याकरण का स्थान बड़े महत्व का है। कोशों से भी इनका अधिक महत्व और मूल्य है। कोश में किसी शब्द की प्रत्येक विभक्ति या काल के रूप नहीं लिखे जाते। यहाँ शब्द का मूलरूप रहता है और उसी का अर्थ दिया जाता है। मूलशब्द से बने या निकले रूपों का अर्थ व्याकरण की सहायता से ही जाना जा सकता है।

‘वासुदेव’ का अर्थ वसुदेव का पुत्र या ‘दाशरथि’ का अर्थ दशरथ का पुत्र है-यह बताना व्याकरण का काम है। एक-एक शब्द के अनगिनत भेद भी हो सकते हैं। यह व्याकरण बतायेगा, कोश नहीं। शब्द के इन विविध रूपों और भेदों को जानने का एकमात्र साधन व्याकरण है। इस प्रकार, भाषा के व्यापक ज्ञान और अर्थबोध के लिए व्याकरण का अध्ययन आवश्यक है।

भाषा में कुछ ऐसे शब्दों का भी प्रयोग होता है, जो हमारे लिए एकदम अपरिचित है, जिनका हमारे मन पर कोई बिम्ब अंकित नहीं होता; जैसे-मधवा, बिडौजा, सुत्रामन्, सुनासरी, वृषा। इनका अर्थ जानने के लिए हमें कोश की सहायता लेनी पड़ेगी। तब पता चलेगा कि इन सारे शब्दों का अर्थ ‘इन्द्र’ है। कोश में प्रत्येक शब्द का अर्थ उसके सामने दिया होता है और उसकी सहायता से किसी भी अज्ञात अथवा अपरिचित शब्द का अर्थ जाना जा सकता है।

व्याकरण शब्द के प्रयोग पक्ष को स्पष्ट करता है और कोश शब्द के अर्थ-पक्ष को। इस प्रकार,कोश के शब्द निष्प्राण होते हैं अपने-आपमें स्वतन्त्र। कोश यह बताने में असमर्थ है कि किसी शब्द के अनेक अर्थों में, किसका, कहाँ प्रयोग होना चाहिए।

कोश का कार्य केवल शब्द-संग्रह और अर्थ-उल्लेख है। कोश यह भी नहीं बताता कि संगृहीत शब्दों और अर्थों में कौन अधिक प्रचलित है और कौन कम। अतएव कोशीय शब्द की अपेक्षा व्याकरणिक शब्दों का महत्व अधिक है।

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Bihar Board Class 12th Hindi व्याकरण परिभाशत एवं तकनीक शब्द

1. शब्द और अर्थ में सम्बन्ध एक या एक से अधिक अक्षरों के सार्थक योग को ‘शब्द’ कहते हैं; जैसे-आ, न, कर, पैसा, घण्टी, रोना, प्रेम आदि। शब्द के दो प्रकार हैं-सार्थक और निरर्थक। भाषा में जिन शब्दों का अर्थ स्पष्ट है अथवा कोश में जिनका अर्थ दिया गया है, वे शब्द सार्थक होते हैं। किन्तु, जिन शब्दों के अर्थ अपनी भाषा में नहीं होते, वे निरर्थक कहलाते हैं; जैसे-रोटी-वोटी, आमने-सामने, चाय-वाय-यहाँ ‘रोटी’, ‘सामने’ और ‘चाय’ शब्द सार्थक हैं और ‘वोटी’, ‘आमने’, ‘वाय’ निरर्थक हैं, जिनका कोशीय अर्थ नहीं है। व्याकरण में सार्थक शब्दों का ही अध्ययन किया जाता है।

शब्द और अर्थ का अटूट सम्बन्ध है। अर्थ के अभाव में भाषा का कोई महत्त्व नहीं है। पर, दोनों की अपनी-अपनी महत्ता है। शब्द अमूर्त अर्थ का मूर्त रूप है; यदि शब्द शरीर है तो अर्थ उसकी आत्मा। जिस प्रकार शरीर की सहायता से ही आत्मा की अभिव्यक्ति होती है, उसी प्रकार शब्द के द्वारा ही अर्थ प्रकट होता है। अर्थ का बोध बहिरिन्द्रयों और अन्तनिन्द्रियों द्वारा होता है। शब्दों का अर्थबोध इन्हीं दो प्रकार की इन्द्रियों से होता है। प्रश्न यह है कि किसी शब्द से किसी अर्थ का सम्बन्ध कैसे जोड़ा जाता है।

‘गाय’ कहने पर पशुविशेष का ही बोध क्यों होता है, पेड़ या मकान का क्यों नहीं? पानी कहने पर ‘पहाड़’ का बोध क्यों नहीं होता? यह संकेत-ग्रहण, अर्थात् अनुभव से होता है। इसके अतिरिक्त, बिम्बों के द्वारा भी अर्थ का बोध होता है। जन्म के बाद मनुष्य की चेतना का ज्यों-ज्यों विकास होता है, त्यों-त्यों वातावरण की वस्तुओं का परिचय होता जाता है। प्रत्येक वस्तु का मन-मस्तिष्क पर बिम्ब (चित्र) अंकित हो जाता है। मन पर बिम्ब का प्रभाव दीर्घकाल तक बना रहता है। वर्षों बाद हम बिम्ब को याद कर सकते हैं। प्रियजन के दूर रहने पर स्मरण करते ही उसकी मूर्ति आँखों के सामने आ खड़ी होती है।

इसे ही बिम्ब-निर्माण कहते हैं। बिम्ब निर्माण के साथ ध्वनियाँ भी शब्दार्थ की प्रतीति में सहायक होती है। जैसे-जैसे वस्तु का बिम्ब मन पर अंकित होता जाता है, वैसे-वैसे उसका वाचक शब्द (प्रत्यक्ष या मूर्त रूप) भी संस्कार में अंकित होता जाता है। किसी चौपाए पशु को देखने और उसके साथ बार-बार ‘गाय’ शब्द सुनने से मन में संस्कार इस प्रकार जम जाता है कि इस शब्द के ध्वनि-समूह को सुनते ही जन्तु-विशेष (गाय) का अर्थबोध आप ही हो जाता है। वस्तु और शब्द का यह गहरा सम्बन्ध ही बिम्ब का निर्माण करता है।

अर्थबोध के आठ साधन माने गये हैं-

• व्यवहार,
• आप्त वाक्य,
• उपमान,
• प्रकरण,
• विवृति (व्याख्या),
• प्रसिद्ध पद,
• व्याकरण और
• कोश।

अर्थविज्ञान (Semantics) में उपर्युक्त सभी साधनों का विस्तार से विवेचन हुआ है। यहाँ हम अन्तिम दो साधनों (व्याकरण और कोश) पर ही विचार करेंगे।

Bihar Board 12th Chemistry Objective Question s and Answers

Bihar Board 12th Chemistry Objective Answers Chapter 2 विलयन

Question 1.
किसी विलयन के 500 mL में 10g NaOH की मात्रा को निहित रखने वाले विलयन की मोलरता क्या होगी?
(a) 0.25mol L^-1
(b) 0.75mol L^-1
(c) 1000.5mol L^-1
(d) 1.25mol L^-1
Answer:
(c) 1000.5mol L^-1

Question 2.
500 mL में घोले गए 0.5 M H₂SO₄, विलबन के 30 mL की मोलरता क्या होगी?
(a) 0.3M
(b) 0.03M
(c) 3M
(d) 0.103M
Answer:
(b) 0.03M

Question 3.
ग्लूकोज के उस विलयन की मोललता क्या होगी जो 10% w/w
(a) 001m
(b) 0617m
(c) 0668m
(d) 1.623m
Answer:
(b) 0617m

Question 4.
10% w/W ग्लूकोज विलयन में ग्लूकोज का मोल-अंश क्या –
(a) 001
(b) 0.02
(c) 0.03
(d) 0.04
Answer:
(a) 001

Question 5.
648g शुद्ध जल की मोललता होती है
(a) 36m
(b) 55.5m
(c) 3.6m
(d) 5.55m
Answer:
(b) 55.5m

Question 6.
NaCl विलयन के 0.25 M के 100 mL में कितने Na⁺ आयन उपस्थित होते हैं?
(a) 0025 x 10²³
(b) 1.505 x 10²²
(c) 15 x 102²²
(d) 2.5 x 102²³
Answer:
(b) 1.505 x 10²²

Question 7.
0.25 मोलल जलीय विलयन के 2.5 किया, को बनाने के लिए आवश्यक यूरिया का द्रव्यमान क्या होगा?
(a) 37g
(b) 25g
(c) 125g
(d) 27.5g
Answer:
(a) 37g

Question 8.
एथेनॉल के भारानुसार 85% माश को निहित रखने वाले स्पिरिट के किसी नमूने में एथेनॉल का मोल-अंश क्या होगा?
(a) 0.69
(b) 0.82
(c) 0.85
(d) 0.60
Answer:
(a) 0.69

Question 9.
बह नियम जो किसी गैस की विलेयता एवं वाब के मध्य संबंध को दर्शाता है।
(a) गडल्ट का नियम
(b) हेनरी का नियम
(c) वाम दाव का अवनमन
(d) वार हॉफ का निगम
Answer:
(b) हेनरी का नियम

Question 10.
नीचे दिए गए पदार्थों में से किसके द्वारा न्यूनतम वाष्प दाव उत्पन होता है।
(a) जल
(b) ऐल्कोहॉल
(c) इधर
(d) पारा
Answer:
(d) पारा

Question 11.
किसी बिलयन घटक का आंशिक दाय इसके मोल-अंश के समानुपाती होता है। इसे कहा जाता है
(a) हेनरी का नियम
(b) सउल्ट का नियम
(c) वितरण नियम
(d) ओस्टवॉल्ड का नियम
Answer:
(b) सउल्ट का नियम

Question 12.
निम्न में से कौन-सा विलायन राउट के नियम से नकारात्मक विचलन का एक उदाहरण है?
(a) ऐसीटोन + एथेनॉल
(b) कार्बन टेटाक्लोराइड + अलोरोफॉर्म
(c) ऐसौटोन + क्लोरोफॉर्म
(d) जल + एथेनॉल
Answer:
(c) ऐसौटोन + क्लोरोफॉर्म

Question 13.
निम्न में से कौन-सा विलयन राउल्ट के नियम से सकारात्मक बिचलन को दर्शाता है?
(a) ऐसीटोन + ऐनिलीन
(b) ऐसीटोन + एथेनॉल
(c) जल + नाइट्रिक अम्ल
(d) क्लोरोफॉर्म + बेंजीन
Answer:
(b) ऐसीटोन + एथेनॉल

Question 14.
वह निकाय (System) जो अधिकतम क्वथनांकी ऐजीवोटोप बनाता
(a) ऐसीटोन-क्लोरोफॉर्म
(b) एथेनॉल-ऐसीटोन
(c) 1 हेक्सेन- हेप्टेन
(d) कार्बन डाइसल्फाइड-ऐसीटोन
Answer:
(a) ऐसीटोन-क्लोरोफॉर्म

Question 15.
पादप कोशिका तब सिकुड़ जाती है जब उसे इसमें रखा जाता है
(a) हाइपोटनिक विलयन
(b) हाइपरटॉनिक विलयन
(c) आइसोटॉनिक विलयन
(d) शुद्ध जल
Answer:
(b) हाइपरटॉनिक विलयन

Question 16.
10.28 पिलसरीन प्रति लीटर युक्त एक विलयन ग्लूकोज के 2% विलयन के साथ समपरासरी है। ग्लिसरीन का आण्विक द्रव्यमान
(a) 91.88
(b) 1198 g
(c) 83.9 g
(d) 890.3 g
Answer:
(a) 91.88

Question 17.
जल के हिमांक को 10°C नीचे लाने के लिए इसकी 600g मात्रा में ग्लिसरॉल का कितना भार मिलाया जाना चाहिए?
(K_f = 1.86°Cm^-1)
(a) 4968
(b) 297g
(c) 3108
(d) 426g
Answer:
(b) 297g

Question 18.
किसी विलयन के परासरण दाब को निम्न में से किसके द्वारा बढ़ाया जा सकता है?
(a) आवतन को बढ़ाकर
(b) विलय अणुओं की संख्या को बढ़ाकर
(c) तापमान को बढ़ाकर
(d) अईचारगम्य झिल्ली को हटाकर
Answer:
(b) विलय अणुओं की संख्या को बढ़ाकर

Question 19.
जल के बिलवणीकरण के लिए व्युत्तम परासरण संपन करने के लिए अर्द्धपारगम्य झिल्ली को बनाने में प्रयुक्त पदार्थ होता है
(a) पोटैशियम नाइट्रेट
(b) पार्चमेंट (चर्म पत्र) झिल्ली ।
(c) सेल्यूलोम ऐसीटेट
(d) कोशिका झिल्ली
Answer:
(c) सेल्यूलोम ऐसीटेट

Question 20.
1 लीटर पानी में 2 ग्राम शक्कर को घोलकर शक्कर का विलयन बनाया गया। जल के क्वथनांक व हिमांक पर शक्कर के मिलाने का क्या प्रभाव होता है?
(a) क्वथनांक और डिमांक दोनों ही बढ़ जाते हैं।
(b) क्वथनांक और हिमांक दोनों ही कम हो जाते हैं।
(c) क्वथनांक पता है तथा हिमांक कम होता है।
(d) वमनांक कम होता है तथा हिमांक बढ़ता है।
Answer:
(c) क्वथनांक पता है तथा हिमांक कम होता है।

Question 21.
निम्न में से किसमें K₄[Fe(CN)₆] के समान वान्ट हॉफ कारक (Van’t Hoff factor) का मान होगा?
(a) Al₂(SO₄)₃
(b) AlCl₃
(c) Al(NO₃)₃
(d) Al(OH)₃
Answer:
(a) Al₂(SO₄)₃

Question 22.
0.01 M Mg (NO₃)₂ के विलयन की वियोजन की यात्रा क्या होगी यदि बाट हाफ कारक 2.74 है?
(a) 75%
(b) 87%
(c) 100%
(d) 92%
Answer:
(b) 87%

Question 23.
निम्न में से किसका एक वायुमण्डल (Atmosphere) पर उच्चतम हिमांक होगा?
(a) 0.1 M NaCI क्लियन
(b) O.1 M शक्कर विलपन
(c) 0.1M BaCl₂, विलयन
(d) 0.1 M FeCl₃, विलपन
Answer:
(b) O.1 M शक्कर विलपन

Question 24.
यदि Na₂SO₄ के वियोजन की मात्रा है, तो आण्विक द्रव्यमान की गणना करने के लिए प्रयुक्त बाट हाफ कारक (I) होता है
(a) 1+α
(b) 1-α
(c) 1+2α
(d) 1-2α
Answer:
(c) 1+2α

Question 25.
0.5m KCI के विलयन का हिमांक क्या होगा? जल का मोलला हिमांक स्विरांक 1.86°Cm है।
(a) -1.86°C
(b) -0.3720
(c) -3.2°C
(d) 0°C
Answer:
(a) -1.86°C

Question 26.
निम्न में से किसका सर्वाधिक हिमांक है?
(a) 1m NaCI विलयन
(b) 1m KCl विलपन
(c) 1m AlCl₃, विलयन
(d) 1m C₆H₁₂O₆ बिलयन
Answer:
(d) 1m C₆H₁₂O₆ बिलयन

Question 27.
2 लीटर जल में CaCl₂ (in 2.47) की कितनी मात्रा को घोला जाए कि इसका परासरण दाब 27°C पर 0.5 atm हो?
(a) 3.42g
(b) 9.248
(c) 2.8348
(d) 1.8208
Answer:
(d) 1.8208

Question 28.
जल में [[Pt(NH₃)₄ Cl₄] के 0.001 मोलल बिलयन का हिमांक अवनमन 0.0054°C है। यदि जल का K/1.80 है. तो यौगिक का सही सूत्र है
(a) [Pt(NH₃)₄Cl₃]Cl
(b) [Pt(NH₃)₄Cl₄]
(c) [Pt(NH₃)₄Cl₂]Cl₂
(d) [Pt(NH₃)₄Cl]Cl₃
Answer:
(c) [Pt(NH₃)₄Cl₂]Cl₂

Question 29.
निम्न में से किस विलेय के लिए वाट हॉफ कारक एक से अधिक
(a) NaNO₃
(b)BaCl₂
(c) K₄[Fe(CN)₆]
(d) NH₂CONH₂
Answer:
(d) NH₂CONH₂

Question 30.
KCI के 0.005 M जलीय विलयन के लिए वान्ट हॉफ कारक 1.95 है | KCI के आवनीकरण की माश होगा
(a) 0.95
(b) 0.97
(c) 0.94
(d) 0.96
Answer:
आवनीकरण की माश होगा
(a) 0.95

Question 31.
निम्न में से कौन-सी इकाई किसी विलबन की सांद्रता का उसके वाय दाब के साथ संबंध स्थापित करने में उपयोगी है?
(a) मोल-अंश
(b) पार्टस पर मिलियन
(c) द्रव्यमान प्रतिशत
(d) गोललता
Answer:
(a) मोल-अंश

Question 32.
निम्न में से किस जलीय विलयन का सर्वाधिक क्वथनाक हाना चाहिए?
(a) 1.0 M NaOH
(b) 1.0 M Na₂SO₄
(c) 1.0 MNH₄NO₃
(d) 1.0 M KNO₃
Answer:
(b) 1.0 M Na₂SO₄

Question 33.
ग्लूकोज के 0.01 M विलयन की तुलना में 0.01 M MgCl₂, विलयन के हिमांक में अवनमन होता है
(a) समान
(b) लगभग दुगुना
(c) लगभग तीन गुना
(d) लगभग छह गुना
Answer:
(c) लगभग तीन गुना

Question 34.
KCl, NaCl एवं K₂SO₄, के लिए चार हॉफ कारक क्रमशः है
(a) 2.2 एवं 2
(b) 2.2 एवं 3
(c) 1, 1 एवं 2
(d) 1.1 एवं 1
Answer:
(b) 2.2 एवं 3

Question 35.
हेनरी के स्थिरांक KH का मान
(a) तापमान में वृद्धि के साथ बढ़ता है
(b) तापमान में वृद्धि के साथ घटता है
(c) समान बना रहता है
(d) पहले बढ़ता है, फिर घटना है
Answer:
(a) तापमान में वृद्धि के साथ बढ़ता है

Question 36.
NaCl के 0.02 M के 4. जलीय विलयन को 1 लीटर पानी डालकर तुन किया गया। परिणामी विलयन की मोललता है
(a) 0004
(b) 0.00
(c) 0012
(d) 0.016
Answer:
(d) 0.016

Bihar Board 12th Maths Model Papers

Bihar Board 12th Maths Model Question Paper 1 in Hindi

समय : 3 घंटे 15 मिनट
अंक : 100

परिक्षार्थियों के लिए निर्देश

1. परीक्षार्थी यथासंभव अपने शब्दों में ही उत्तर दें।
2. दाहिनी ओर हाशिये पर दिये हुए अंक पूर्णांक निर्दिष्ट करते हैं।
3. उत्तर देते समय परीक्षार्थी यथासंभव शब्द-सीमा का ध्यान रखें।
4. इस प्रश्न पत्र को ध्यानपूर्वक पढ़ने के लिए पन्द्रह मिनट का अतिरिक्त समय दिया गया है।
5. यह प्रश्न-पत्र के दो खण्डों में है, खण्ड-अ एवं खण्ड-ब।
6. खण्ड-अ में 1-50 तक वस्तुनिष्ठ प्रश्न हैं, सभी प्रश्न अनिवार्य हैं। (प्रत्येक प्रश्न के लिए 1 अंक निर्धारित है), इनके उत्तर उपलब्ध कराये गये OMR शीट में दिये गये वृत्त को काले / नीले बॉल पेन से भरें। किसी भी प्रकार के व्हाइटनर/तरल पदार्थ/ब्लेड/नाखून आदि का OMR-शीट में प्रयोग करना मना है, अन्यथा परीक्षा परिणाम अमान्य होगा।
7. खण्ड-ब में 25 लघुउत्तरीय प्रश्न हैं (प्रत्येक प्रश्न के लिए 2 अंक निर्धारित है) जिनमें से किन्ही 15 प्रश्नों के उत्तर देना अनिवार्य है। इसके अतिरिक्त खण्ड में 08 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (प्रत्येक प्रश्न के लिए 05 अंक निर्धारित हैं) जिनमें से किन्हीं 4 प्रश्नों के उत्तर देना है।
8. किसी तरह के इलेक्ट्रॉनिक-यंत्र का इस्तेमाल वर्जित है।

खण्ड-अ : वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न संख्या 1 से 50 तक के प्रत्येक प्रश्न के साथ चार विकल्प दिए गए हैं, जिनमें से एक सही है। अपने द्वारा चुने गए सही विकल्प को OMR शीट पर चिह्नित करें। (50 × 1 = 50)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित में किसका प्रतिलोम फलन एकैक आच्छादक होता है?
(a) एकैक आच्छादन
(b) एकैक अंतः क्षेपी
(c) अनेकैक आच्छादक
(d) अनेकैक अंतः क्षेपी
उत्तर:
(a) एकैक आच्छादन

प्रश्न 2.
एक समुच्च्य x में संबंध R तुल्यता संबंध होता है यदि R
(a) स्वतुल्य हो
(b) सममित हो
(c) संक्रमक हो
(d) इनमें सभी
उत्तर:
(d) इनमें सभी

प्रश्न 3.
Set {a, b, c, d} से स्वयं पर सभी एकैक फलनों की संख्या है
(a) 12
(b) 24
(c) 36
(d) इनमें कोई नहीं
उत्तर:
(b) 24

प्रश्न 4.
यदि \(-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}\), तो tan^-1(tan x) =
(a) tan x
(b) cot x
(c) x
(d) -x
उत्तर:
(c) x

प्रश्न 5.
Sin^-1 x + Cos^-1 x =
(a) 0
(b) \(\frac{\pi}{4}\)
(c) \(\frac{\pi}{2}\)
(d) π
उत्तर:
(c) \(\frac{\pi}{2}\)

प्रश्न 6.
यदि x > 0, y > 0, xy < 1 तो
(a) tan^-1 (x + y)
(b) \(\tan ^{-1} \frac{x+y}{1-x y}\)
(c) tan^-1 (x – y)
(d) sin^-1 (x + y)
उत्तर:
(b) \(\tan ^{-1} \frac{x+y}{1-x y}\)

प्रश्न 7.
यदि -1 < x < 1 तो 2tan^-1 x =
(a) tan^-1 2x
(b) \(\tan ^{-1} \frac{2 x}{1-x^{2}}\)
(c) \(\tan ^{-1} \frac{2 x}{1+x^{2}}\)
(d) \(\cot ^{-1} \frac{2}{x}\)
उत्तर:
(b) \(\tan ^{-1} \frac{2 x}{1-x^{2}}\)

प्रश्न 8.

उत्तर:
(c) \(\left[\begin{array}{ll}
2 x & 2 y \\
21 & 2 m
\end{array}\right]\)

प्रश्न 9.

उत्तर:
(b) \(\left|\begin{array}{cc}
2 & 3 \\
15 & 20
\end{array}\right|\)

प्रश्न 10.

उत्तर:
(c) \(\left[\begin{array}{cc}
5 & 5 \\
-5 & -5
\end{array}\right]\)

प्रश्न 11.

उत्तर:
(b) 1

प्रश्न 12.

उत्तर:
(b) \(\left[\begin{array}{ll}
a+p & b+q \\
c+r & d+s
\end{array}\right]\)

प्रश्न 13.
किसी अव्युत्क्रमणीय आव्यूह A के लिए
(a) |A| = 0
(b) |A| ≠ 0
(c) |A| = 1
(d) |A| = 2
उत्तर:
(b) |A| ≠ 0

प्रश्न 14.
यदि 1 एक 2 × 2 क्रम वाला एकांक आव्यूह हो तो I³ =
(a) 3I²
(b) 3 + I
(c) 3I
(d) I
उत्तर:
(d) I

प्रश्न 15.

उत्तर:
(c) \(\left[\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right]\)

प्रश्न 16.
यदि दो matrices A और B के क्रम 2 × 4 तथा 3 × 2 क्रमशः हों तो AB का क्रम है
(a) 2 × 2
(b) 4 × 3
(c) 2 × 3
(d) AB ज्ञात करना संभव नहीं है
उत्तर:
(d) AB ज्ञात करना संभव नहीं है

प्रश्न 17.
\(\frac{d}{d x}\) (tan x) =
(a) cot x
(b) Sec²x
(c) Sec x tan x
(d) Sec x
उत्तर:
(b) Sec²x

प्रश्न 18.
\(\frac{d}{d x}\) (sin³x) =
(a) 3cos³x
(b) 3sin²x cos x
(c) 3sin²x
(d) cos³x
उत्तर:
(b) 3sin²x cos x

प्रश्न 19.
\(\frac{d}{d x}\) [3(sin²x + cos²x)] =
(a) 3
(b) 1
(c) 0
(d) 6 sinx cosx
उत्तर:
(c) 0

प्रश्न 20.
\(\frac{d}{d x}\) (e^4x) =
(a) e^4x
(b) e^x
(c) \(\frac{e^{4 x}}{4}\)
(d) 4e^4x
उत्तर:
(d) 4e^4x

प्रश्न 21.
\(\frac{d}{d x}\) (x⁵)
(a) 5x⁵
(b) 5x⁴
(c) \(\frac{x^{6}}{6}\)
(d) \(\frac{x^{4}}{4}\)
उत्तर:
(b) 5x⁴

प्रश्न 22.
\(\frac{d}{d x}\) [log(x³)] =
(a) \(\frac{1}{x^{3}}\)
(b) \(\frac{3}{x}\)
(c) 3x
(d) \(\frac{3}{x^{3}}\)
उत्तर:
(b) \(\frac{3}{x}\)

प्रश्न 23.
यदी x = cos θ, y = sin θ तो \(\frac{d y}{d x}\) =
(a) tan θ
(b) sec²θ
(c) cot θ
(d) -cot θ
उत्तर:
(d) -cot θ

प्रश्न 24.

उत्तर:
(b) \(\frac{1}{3} x^{-2 / 3}\)

प्रश्न 25.

उत्तर:
(c) \(K-\frac{\cos 2 x}{2}\)

प्रश्न 26.

उत्तर:
(c) \(K+\frac{x^{5}}{5}\)

प्रश्न 27.

उत्तर:
(c) \(\frac{e^{3 x}}{3}+K\)

प्रश्न 28.
\(\int \frac{3}{x} d x=\)
(a) K + 3x²
(b) K – \(\frac{3}{x^{2}}\)
(c) 3x + K
(d) K + 3 log|4|
उत्तर:
(d) K + 3 log|4|

प्रश्न 29.
∫3 dx =
(a) 3 + K
(b) x + K
(c) 3x + K
(d) 3K
उत्तर:
(c) 3x + K

प्रश्न 30.

उत्तर:
(c) \(\frac{2}{3} x^{3 / 2}+K\)

प्रश्न 31.
\(\int_{0}^{\pi / 2} \sin x d x=\)
(a) 0
(b) 1
(c) -1
(d) \(\frac{\pi}{2}\)
उत्तर:
(b) 1

प्रश्न 32.
\(\int_{0}^{1} e^{x} d x=\)
(a) e
(b) e + 1
(c) e – 1
(d) 2e
उत्तर:
(c) e – 1

प्रश्न 33.
समीकरण \(\frac{d x}{x}=\frac{d y}{y}\) का हल है
(a) x = Ky
(b) xy = K
(c) x + y = K
(d) x – y = K
उत्तर:
(a) x = Ky

प्रश्न 34.
अवकल समीकरण cosx dx + cosy dy = 0 का हल है
(a) sinx + cosy = K
(b) sinx + siny = K
(c) cosx + cosy = K
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(b) sinx + siny = K

प्रश्न 35.
e^x dx + e^y dy = 0 का हल है
(a) e^x + e^y = K
(b) e^x – e^y = K
(c) e^x+y = K
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(a) e^x + e^y = K

प्रश्न 36.
रैखिक समीकरण \(\frac{d y}{d x}+x y=x^{3}\) का समाकलन गुणक
(a) e^x
(b) \(e^{\frac{x^{2}}{2}}\)
(c) x
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(b) \(e^{\frac{x^{2}}{2}}\)

प्रश्न 37.
∫log dx =
(a) x log x – x + K
(b) x logx + x + K
(c) \(\frac{1}{x}+K\)
(d) \(\frac{1}{2}\) (log x)² + K
उत्तर:
(a) x log x – x + K

प्रश्न 38.
\(\int \frac{d x}{1+x^{2}}=\)
(a) tan^-1 x + K
(b) sin^-1 x + K
(c) cos^-1 x + K
(d) cot^-1 x + K
उत्तर:
(a) tan^-1 x + K

प्रश्न 39.
\(\overrightarrow{|i|} |=\)
(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) 3
उत्तर:
(b) 1

प्रश्न 40.
\(\vec{i}, \vec{i}=\)
(a) 0
(b) 1
(c) \(\vec{j}\)
(d) \(\vec{k}\)
उत्तर:
(b) 1

प्रश्न 41.
\(\vec{i} \times \vec{i}=\)
(a) \(\vec{i}\)
(b) \(\vec{0}\)
(c) \(\vec{j}\)
(d) \(\vec{k}\)
उत्तर:
(b) \(\vec{0}\)

प्रश्न 42.
यदि O मूल बिंदू हो तथा बिंदू A के स्थिति सदिश (2, 3, 4) हों तो \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\) =
(a) \(-2 \overrightarrow{\mathrm{i}}+4 \overrightarrow{\mathrm{j}}+3 \overrightarrow{\mathrm{K}}\)
(b) \(2 \overrightarrow{\mathrm{i}}+3 \overrightarrow{\mathrm{j}}+3 \overrightarrow{\mathrm{K}}\)
(c) \(2 \overrightarrow{\mathrm{i}}-3 \overrightarrow{\mathrm{j}}+4 \overrightarrow{\mathrm{K}}\)
(d) \(2 \vec{i}-3 \vec{j}-4 \overrightarrow{\mathrm{K}}\)
उत्तर:
(b) \(2 \overrightarrow{\mathrm{i}}+3 \overrightarrow{\mathrm{j}}+3 \overrightarrow{\mathrm{K}}\)

प्रश्न 43.
\(|\overrightarrow{\mathrm{i}}+2 \overrightarrow{\mathrm{j}}+3 \overrightarrow{\mathrm{K}}|=\)
(a) 14
(b) 6
(c) 1
(d) √14
उत्तर:
(d) √14

प्रश्न 44.
\((2 \vec{i}-2 \vec{j}+4 \vec{K}) \cdot(3 \vec{i}+4 \vec{j}-5 \vec{K})=\)
(a) 14
(b) -14
(c) 26
(d) -26
उत्तर:
(d) -26

प्रश्न 45.
y-अक्ष के दिक् कोज्याएँ हैं।
(a) 0, 0, 0
(b) 1, 0, 0
(c) 0, 1, 0
(d) 0, 0, 1
उत्तर:
(c) 0, 1, 0

प्रश्न 46.
I₁, m₁, n₁, और I₂, m₂, n₂, दिक् कोज्याएँ वाली दो सरल – रेखाओं के समांतर होने के लिए शर्त है
(a) I₁I₂ + m₁m₂ + n₁n₂ = 0
(b) \(\frac{I_{1}}{I_{2}}+\frac{m_{1}}{m_{2}}+\frac{n_{1}}{n_{2}}=0\)
(c) \(\frac{I_{1}}{I_{2}}=\frac{m_{1}}{m_{2}}=\frac{n_{1}}{n_{2}}\)
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(c) \(\frac{I_{1}}{I_{2}}=\frac{m_{1}}{m_{2}}=\frac{n_{1}}{n_{2}}\)

प्रश्न 47.
समतल x + 2y + 3z + 5 = 0 के समांतर एक तल का समीकरण है
(a) x + 2y + 3z + 1 = 0
(b) x – 2y + 3z + 5 = 0
(c) x + 2y – 3z + 1 = 0
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(d) इनमें से कोई नहीं

प्रश्न 48.
yz-तल के समांतर तल का समीकरण है
(a) x + K
(b) y = K
(c) z = K
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(a) x + K

प्रश्न 49.
यदि A और B दो स्वेच्छ घटनाएँ हो जहाँ A ≠ φ तो (A ∩ B) =
(a) P (A) . P (B/A)
(b) P (A) + P (B/A)
(c) P (A) – P (B/A)
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(a) P (A) . P (B/A)

प्रश्न 50.
एक linear programming problem में जिस फलन का अधिकतम या न्यूनतम मान निकालना हो उसे कहते हैं
(a) उद्देश्य फलन
(b) प्रतिबंध
(c) (a) और (b) दोनों
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(a) उद्देश्य फलन

खण्ड-ब : गैर-वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न संख्या 1 से 25 तक लघु उत्तरीय कोटि के प्रश्न हैं । इस कोटि के प्रत्येक प्रश्न के लिए 2 अंक निर्धारित हैं। आप किन्हीं 15 प्रश्नों का उत्तर दें। (15 × 2 = 30)

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
फलन f : R → R को एकैक या अनेकैक के लिए जाँचे जब f (x) = |x|, x ∈ R है।
हल :
We have f(-1) = |-1| = 1 and f(-1) = |1| = 1
Thus two different elements in R have the same Image.
∴ f is not one-one function.
∴ f is many one function.

प्रश्न 2.
सिद्ध करें कि \(2 \tan ^{-1} \frac{1}{5}+\tan ^{-1} \frac{1}{4}=\tan ^{-1} \frac{32}{43}\)
हल :
Q2 IM
Q2.1 IM

प्रश्न 3.
x के लिए हल करें \(\cot ^{-1} x+\sin ^{-1} \frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\pi}{4}\)
हल :
Q3 IM
Q3.1 IM

प्रश्न 4.
निम्न में x का मान ज्ञात करें|
\(\left[\begin{array}{cc}
2 x-y & 5 \\
3 & y
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
6 & 5 \\
3 & -2
\end{array}\right]\)
हल :
Q4 IM

प्रश्न 5.
मान ज्ञात करें|
\(\left|\begin{array}{ccc}
16 & 9 & 7 \\
23 & 16 & 7 \\
32 & 19 & 13
\end{array}\right|\)
हल :
Q5 IM

प्रश्न 6.
x मान ज्ञात करें जब \(\left|\begin{array}{ll}
x & 4 \\
2 & 2 x
\end{array}\right|=0\)
हल :
Q6 IM

प्रश्न 7.
यदी A = \(\left[\begin{array}{c}
2 \\
-4 \\
3
\end{array}\right]\) तथा तो B = [2 3 4] तो B’A’ ज्ञात करें
हल :
Q7 IM

प्रश्न 8.
यदी y + x = sin (y + x) तो \(\frac{d y}{d x}\) ज्ञात करें
हल :
Q8 IM

प्रश्न 9.
यदी y = \(\log \left(x^{2} \sqrt{x^{2}+1}\right)\) तो \(\frac{d y}{d x}\) ज्ञात करें
हल :
Q9 IM
Q9.1

प्रश्न 10.
यदी (If) x = a cosθ, y = b sinθ तो \(\frac{d y}{d x}\) ज्ञात करें
हल :
Q10

प्रश्न 11.
समाकलन करें : ∫(sin x + cosx)² dx.
हल :
Q11

प्रश्न 12.
मान निकालें : \(\int_{0}^{\pi / 2} \frac{d x}{1+\sin x}\)
हल :
Q12

प्रश्न 13.
मान निकालें : \(\int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin x d x}{\sin x+\cos x}\)
हल :
Q13
Q13.1

प्रश्न 14.
हाल करें : \(\frac{d y}{d x}\) – y tanx = -y sec²x.
हल :
Q14

प्रश्न 15.
समाकलन करें : ∫x² e^x dx
हल :
Q15
Q15.1

प्रश्न 16.
\(5 \vec{i}+\vec{j}-3 \vec{k}\) और \(3 \vec{i}-\overrightarrow{4 j}+7 \vec{K}\) का अदिश गुणनफल ज्ञात करें।
हल :
Q16

प्रश्न 17.
यदि (If) \(\vec{a}=3 \vec{i}+4 \vec{j}-5 \vec{K}\) और \(b=7 \vec{i}-3 \vec{j}+6 \vec{K}\) तो \((\vec{a}+\vec{b}) \times(\vec{a}-\vec{b})\) ज्ञात करें
हल :
Q17

प्रश्न 18.
दो सरल रेखाओं के बीच का न्यूनकोण ज्ञात करें जिनके दिक् अनुपात (1, 1, 0) और (2, 1, 2) है।
हल :
Direction ratios of the first line are 1, 1, 0
Its direction cosines are
Q18
Q18.1

प्रश्न 19.
Q19
हल :
Q19.1

प्रश्न 20.
सिद्ध करें कि दो तल 3x – 4y + 5x = 0 और 2x – y – 2x = 5 परस्पर लम्ब है।
हल :
Given equation of plane are 3x – 4y + 5z = 0 …….(i)
and 2x – y – 2z = 5 …….(ii)
Here a₁ = 3, b₁ = -4, c₁ = 5
a₂ = 2, b₂ = -1, c₂ = -2
a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 6 + 4 – 10 = 0
Since product of Direction ratios at two plenes are zero plane (i) & (ii) are per pendicular.

प्रश्न 21.
एक पास के फेंकने में यदि सम संख्या आती हो तो उसके 2 से अधिक होने की क्या प्रायिकता है?
हल :
Let S = {1, 2, 3, 4, 5, 6)
A = {2, 4, 6}
B = {3, 4, 5, 6}
\(P\left(\frac{B}{A}\right)=\frac{n(A \cap B)}{n(A)}=\frac{2}{3}\)

प्रश्न 22.
एक व्यक्ति एक सिक्के को 3 बार उछालता है। ठीक एक शीर्ष आने की प्रायिकता ज्ञात करें।
हल :
Let p = Probability of setting a head in one trial
p = \(\frac{1}{2}\)
q = 1 – p = \(\frac{1}{2}\)
p(x = 1) = ³C₁ (p)¹ (q)² = \(3 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{4}=\frac{3}{8}\)

प्रश्न 23.
यदि y = sin x + cos x तो \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) ज्ञात करें।
हल :
Given that y = sin x + cos x
D.w.r. to x both side
\(\frac{d y}{d x}\) = cos x – sin x
Again D. w.r. to x both side
\(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) = -sin x – cos x = -(sin x + cos x)

प्रश्न 24.
\(\left|\begin{array}{lll}
a & a^{2} & a^{3} \\
b & b^{2} & b^{3} \\
c & c^{2} & c^{3}
\end{array}\right|\) का मान ज्ञात करें।
हल :
Q24

प्रश्न 25.
यदि A और B दो घटनाएँ हो तथा 2P(A) = P(B) = \(\frac{6}{13}\) तथा P(A/B) = \(\frac{1}{3}\) हो तो P(A ∪ B) ज्ञात करें।
हल :
Given that 2P(A) = P(B) = \(\frac{6}{13}\)
Q25

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 26.
यदी \(y=e^{x^{x}}\) तो \(\frac{d y}{d x}\) ज्ञात करें।
हल :
Q26

प्रश्न 27.
सिद्ध करें कि \(\theta=\frac{\pi}{3}\) पर sinθ (1 + cosθ) महत्तम है
हल :
Q27

प्रश्न 28.
मान निकालें \(\int_{0}^{\pi} \frac{x}{1+\sin x} d x\)
हल :
Q28

प्रश्न 29.
हाल करें (x² + y²) \(\frac{d y}{d x}\) = 2xy
हल :
Q29
Q29.1
Q29.2
Q29.3

प्रश्न 30.
अधिकतमीकरण करें (Maximize): Z = 50x + 15y
जबकि (subject to): 5x + y ≤ 5, x + y ≤ 3 और x, y ≥ 0
हल :
Its corresponding equation
5x + y = 5 ……..(i)
x + y = 3 …….(ii)
Q30
Q30.1
Q30.2

प्रश्न 31.
A, 75 प्रतिशत सत्य बोलता है तथा B, 80 प्रतिशत तो किसी एक ही तथ्य पर दोनों में विरोधाभास होने की क्या प्रतिशत है?
हल :
Let E = the Event of A speaking the truth
and F = The Event of B speaking the truth.
Then P(E) = \(\frac{75}{100}=\frac{3}{4}\)
and P(F) = \(\frac{80}{100}=\frac{4}{5}\)
Required probability P(A & B contradicting each other)
Q31
A & B are likely to contradict each other 35% cases.

प्रश्न 32.
सरल रेखा \(\frac{x}{1}=\frac{y}{3}=\frac{z}{0}\) और तल 2x + y = 5 के बीच न्यूनकोण ज्ञात करें
हल :
Q32

प्रश्न 33.
गुणनखंड निकालें : \(\left|\begin{array}{ccc}
(b+c)^{2} & a^{2} & a^{2} \\
b^{2} & (c+a)^{2} & b^{2} \\
c^{2} & c^{2} & (a+b)^{2}
\end{array}\right|\)
हल :
Q33
Q33.1
Q33.2
Q33.3

Bihar Board Class 12th Hindi Book Solutions

Bihar Board Class 12th Hindi व्याकरण वाक्य और उपवाक्य

वाक्य

मनुष्य के विचारों को पूर्णता से प्रकट करनेवाले पदसमूह को वाक्य कहते हैं। वाक्य सार्थक शब्दों का व्यवस्थित रूप है। यदि शब्द भाषा की प्रारम्भिक अवस्था है, तो वाक्य, उसका विकास। सभ्यता के विकास के साथ ही वाक्यों के विकास की वृद्धि होती गई, क्योंकि मनुष्य के भाव या विचार की पूर्ण अभिव्यक्ति वाक्यों में ही होती है। शब्द तो साधन है, जो वाक्य की संरचना में सहायक होते हैं। वाक्य वह सार्थक ध्वनि है, जिसके माध्यम से लेखक लिखकर तथा वक्ता बोलकर अपने भाव या विचार पाठक या श्रोता पर प्रकट करता है। वाक्य की उपयोगिता व्याकरण में तो है ही, सर्वसाधारण के दैनिक जीवन में भी कम नहीं। अतः, सामान्य जीवन में वाक्य का विशेष महत्व है।

वाक्यों में प्रयुक्त पदों या शब्दों की विधिवत् स्थापना को ‘क्रम’ कहते हैं। जैसे- रोटी मैंने खायी।’ यह वाक्य ठीक नहीं है, क्योंकि ‘रोटी’ शब्द को ‘मैंने’ के बाद आना चाहिए।

सामान्य तौर पर वाक्य सार्थक शब्द का समूह है, जिसमें कर्ता और क्रिया दोनों होते हैं। जैसे-

‘मोहन, सोहन, बाग, घर, मैदान।’

यह एक शब्द-समूह है, पर क्रियापद एक भी नहीं है। अतएव, इसे हम वाक्य नहीं कह सकते। इसी प्रकार, खाता है, रोता है, पढ़ता है, नाचता है’ आदि क्रियापदों के समूह को भी वाक्य नहीं कह सकते। वाक्य उसी शब्दसमूह को कहेंगे, जब उसमें क्रिया (विधेय) और कर्ता (उद्देश्य) दोनों होंगे। जैसे-मोहन खेलता है।

गोल्डेन सीरिज पासपोर्ट इसमें ‘मोहन’ कर्ता के रूप में है और ‘खेलता है’ क्रिया। इस वाक्य से पूरा अर्थबोध होता है। अतः, यह एक वाक्य है।

कभी-कभी हम देखते हैं कि एक वाक्य में अनेक वाक्य होते हैं। इसका तात्पर्य यह है कि . उसमें एक वाक्य तो प्रधान वाक्य होता है और शेष उपवाक्य। एक उदाहरण लीजिए-

मोहन ने कहा कि मैं खेलूँगा।

इसमें ‘मोहन ने कहा’ प्रधान वाक्य है और ‘कि मैं खेलूंगा’ उपवाक्य। इस प्रकार हम देखते हैं कि उपवाक्य भी दो या दो से अधिक पदों का समूह है, जो किसी वाक्य का एक अंश है और उसमें उद्देश्य और विधेय भी हैं। इसे हम इस ढंग से परिभाषित कर सकते हैं-ऐसा पदसमूह, जिसका अपना अर्थ हो, जो एक वाक्य का भाग हो और जिसमें उद्देश्य और विधेय हों, उपवाक्य कहलाता है।

उपवाक्यों के आरम्भ में अधिकतर कि, जिससे, ताकि, जो, जितना, ज्यों-ज्यों, चूँकि, क्योंकि, यदि, यद्यपि, जब, जहाँ इत्यादि होते हैं।

उपवाक्य तीन प्रकार के होते हैं-

1. संज्ञा-उपवाक्य,
2. विशेषण-उपवाक्य,
3. क्रियाविशेषण-उपवाक्य।

1. संज्ञा-उपवाक्य (Noun Clause) जो आश्रित उपवाक्य संज्ञा की तरह व्यवहत हों, उसे ‘संज्ञा-उपवाक्य’ कहते हैं। यह कर्म (सकर्मक क्रिया) या पूरक (अकर्मक क्रिया) का काम करता है, जैसा संज्ञा करती है। ‘संज्ञा-उपवाक्य’ की पहचान यह है कि इस उपचाक्य के पूर्व ‘कि’ होता है। जैसे-‘राम ने कहा कि मैं पढूँगा’ यहाँ ‘मैं पढूंगा’ संज्ञा-उपवाक्य है। ‘मैं नहीं जानता कि वह कहाँ है’-इस वाक्य में ‘वह कहाँ है’ संज्ञा-उपवाक्य है।

2. विशेषण-उपवाक्य (Adjective Clause)-जो आश्रित उपवाक्य विशेषण की तरह व्यवहृत हो, उसे ‘विशेषण-उपवाक्य’ कहते हैं। जैसे-वह आदमी, जो कल आया था, ‘. आज भी आया है। यहाँ ‘जो कल आया था’ विशेषण-उपवाक्य है। इसमें ‘जो’, ‘जैसा’, ‘जितना’. . इत्यादि शब्दों का प्रयोग होता है।

3. क्रियाविशेषण-उपवाक्य (Adverb Clause)जो उपवाक्य क्रियाविशेषण की तरह व्यवहत हो, उसे “क्रियाविशेषण-उपवाक्य’ कहते हैं। जैसे-जब पानी बरसता है, तब मेढक बोलते हैं। यहाँ ‘जब पानी बरसता है’ क्रिया-विशेषण उपवाक्य है। इसमें प्रायः ‘जब’, ‘जहाँ’, ‘जिधर’, ‘ज्यों’, ‘यद्यपि’ इत्यादि शब्दों का प्रयोग होता है। इसके द्वारा समय, स्थान, कारण, उद्देश्य, फल, अवस्था, समानता, मात्रा इत्यादि का बोध होता है।

वाक्य-भेद

वाक्यों का वर्गीकरण मुख्यत: दो दृष्टियों से होता है-

• रचना या स्वरूप की दृष्टि से और
• अर्थ की दृष्टि से।

रचना की दृष्टि से वर्गीकरण-रचना के अनुसार वाक्य के तीन प्रकार हैं-

• सरल या साधारण वाक्य,
• मिश्र वाक्य और
• संयुक्त वाक्य।

सरल वाक्य-जिस वाक्य में एक क्रिया होती है और एक कर्ता होता है, उसे ‘साधारण या सरल वाक्य’ कहते हैं। इसमें एक ‘उद्देश्य’ और एक विधेय रहते हैं। जैसे-‘बिजली चमकती है’, ‘पानी बरसा’। इन वाक्यों में एक-एक उद्देश्य, अर्थात् कर्ता और विधेय अर्थात् क्रिया है। अतः, ये साधारण या सरल वाक्य है।

मिश्र वाक्य-जिस वाक्य में एक साधारण वाक्य के अतिरिक्त उसके अधीन कोई दूसरा अंगवाक्य हो, उसे मिश्र वाक्य कहते हैं। दूसरे शब्दों में, जिस वाक्य में मुख्य उद्देश्य और मुख्य विधेय के अलावा एक या अधिक समापिका क्रियाएँ हों, उसे ‘मिश्र वाक्य’ कहते हैं। जैसे–‘वह कौन-सा मनुष्य है, जिसने महाप्रतापी राजा भोज का. नाम न सुना हो’।

संयुक्त वाक्य-जिस वाक्य में साधारण अथवा मिश्र वाक्यों का मेल संयोजक अवयवों द्वारा होता है, उसे ‘संयुक्त वाक्य’ कहते हैं। ‘संयुक्त वाक्य’ उस वाक्य-समूह को कहते हैं, जिसमें दो से अधिक सरल वाक्य अथवा मिश्र वाक्य अव्ययों द्वारा संयुक्त हों। इस प्रकार के वाक्य लम्बे और में उलझे होते हैं। जैसे–’मैं रोटी खाकर लेटा कि पेट में दर्द होने लगा, और दर्द इतना बढ़ा कि तुरन्त डॉक्टर को बुलाना पड़ा।’

अर्थ की दृष्टि से वर्गीकरण-अर्थ के अनुसार वाक्य के आठ भेद हैं-

1. विधिवाचक,
2. निषेधवाचक,
3. आज्ञावाचक,
4. प्रश्नवाचक,
5. विस्मयवाचक,
6. सन्देहवाचक,
7. इच्छावाचक और
8. संकेतवाचक।

1. विधिवाचक वाक्य (Affirmative Sentence)—जिससे किसी बात के होने का बोध हो। जैसे-

• सरल वाक्य-हम खा चुके।।
• मिश्र वाक्य-मैं खाना खा चुका, तब वह आया।
• संयुक्त वाक्य-मैंने खाना खाया और मेरी भूख मिट गयी।

2. निषेधवाचक वाक्य (Negative Sentence)—जिससे किसी बात के न होने का बोध हो। जैसे-

• सरल वाक्य-हमने खाना नहीं खाया।
• मिश्र वाक्य-मैंने खाना नहीं खाया, इसलिए मैंने फल नहीं खाया।
• संयुक्त वाक्य-मैंने भोजन नहीं किया और इसलिए मेरी भूख नहीं मिटी।

3. आज्ञावाचक वाक्य (Imperative Sentence)-जिससे किसी तरह की आज्ञा का बोध हो। जैसे-

• तुम खाओ। तुम पढ़ो।

4. प्रश्नवाचक वाक्य (Interrogative Sentence)-जिससे किसी प्रकार के प्रश्न किए जाने का बोध हो। जैसे-

• क्या तुम खा रहे हो?
• तुम्हारा नाम क्या है?

5. विस्मयवाचक वाक्य (Exclamatory Sentence)-जिससे आश्चर्य, दु:ख या सुख का बोध हो। जैसे-

• ओह ! मेरा सिर फटा जा रहा है।

6. सन्देहवाचक वाक्य-जिससे किसी बात का सन्देह प्रकट हो। जैसे-

• उसने खा लिया होगा। मैंने कहा होगा।

7. इच्छावाचक वाक्य-जिससे किसी प्रकार की इच्छा या शुभकामना का बोध हो। जैसे तुम अपने कार्य में सफल रहो।
8. संकेतवाचक वाक्य-जहाँ एक वाक्य दूसरे की सम्भावना पर निर्भर हो। जैसे पानी न बरसता तो धान सूख जाता। यदि तुम खाओ तो मैं भी खाऊँ।

वाक्य का रूपान्तर-

किसी वाक्य को दूसरे प्रकार के वाक्य में, बिना अर्थ बदले, परिवर्तित करने की प्रक्रिया को ‘वाक्यपरिवर्तन’ कहते हैं। हम किसी भी वाक्य को भिन्न-भिन्न वाक्य-प्रकारों में परिवर्तित कर सकते हैं और उनके मूल अर्थ से तनिक विकार नहीं आयेगा। हम चाहे तो एक सरल वाक्य को मिश्र या संयुक्त वाक्य में बदल सकते हैं।

• सरल वाक्य-हर तरह के संकटों से घिरा रहने पर भी वह निराश नहीं हुआ।
• संयुक्त वाक्य-संकटों ने उसे हर तरह से घेरा, किन्तु वह निराश नहीं हुआ।
• मिश्र वाक्य-यद्यपि वह हर तरह के संकटों से घिरा था, तथापि निराशा नहीं हुआ।

वाक्यपरिवर्तन करते समय एक बात खास तौर से ध्यान में रखनी चाहिए कि वाक्य का मूल अर्थ किसी भी हालत में विकृत न हो। यहाँ कुछ और उदाहरण देकर विषय को स्पष्ट किया।

(क) सरल वाक्य से मिश्र वाक्य

सरल वाक्य-उसने अपने मित्र का पुस्तकालय खरीदा।
मिश्र वाक्य-उसने उस पुस्तकालय को खरीदा, जो उसके मित्र का था।
सरल वाक्य-अच्छे लड़के परिश्रमी होते हैं।
मिश्र वाक्य-जो लड़के अच्छे होते हैं, वे परिश्रमी होते हैं।
सरल वाक्य-लोकप्रिय कवि का सम्मान सभी करते हैं।
मिश्र वाक्य-जो कवि लोकप्रिय होता है, उसका सम्मान सभी करते हैं।

(ख) सरल वाक्य से संयुक्त वाक्य

सरल वाक्य-अस्वस्थ रहने के कारण वह परीक्षा में सफल न हो सका।
संयुक्त वाक्य-वह अस्वस्थ था और इसीलिए परीक्षा में सफल न हो सका।
सरल वाक्य-सूर्योदय होने पर कुहासा जाता रहा।
संयुक्त वाक्य-सूर्योदय हुआ और कुहासा जाता रहा।
सरल वाक्य-गरीब को लूटने के अतिरिक्त उसने उसकी हत्या भी कर दी।
संयुक्त वाक्य-उसने न केवल गरीब को लूटा, बल्कि उसकी हत्या भी कर दी।

(ग) मिश्र वाक्य से सरल वाक्य

मिश्र वाक्य-उसने कहा कि मैं निर्दोष हूँ।।
सरल वाक्य-उसने अपने को निर्दोष घोषित किया।
मिश्र वाक्य-मुझे बताओ कि तुम्हारा जन्म कब और कहाँ हुआ था।
सरल वाक्य-तुम मुझे अपने जन्म का समय और स्थान बताओ।
मिश्र वाक्य-जो छात्र परिश्रम करेंगे, उन्हें सफलता अवश्य मिलेगी।
सरल वाक्य-परिश्रमी छात्र अवश्य सफल होंगे।

(घ) कर्तृवाचक से कर्मवाचक वाक्य

कर्तृवाचक वाक्य-लड़का रोटी खाता है।
कर्मवाचक वाक्य-लड़के से रोटी खाई जाती है।
कर्तृवाचक वाक्य-तुम व्याकरण पढ़ाते हैं।
कर्मचाचक वाक्य-तुमसे व्याकरण पढ़ाया जाता है।
कर्तृवाचक वाक्य-मोहन गीत गाता है।
कर्मवाचक वाक्य-मोहन से गीत गाया जाता है।

(ङ) विधिवाचक से निषेधवाचक वाक्य

विधिवाचक वाक्य-वह मुझसे बड़ा है।
निषेधवाचक-मैं उससे बड़ा नहीं हूँ।
विधिवाचक वाक्य-अपने देश के लिए हरएक भारतीय आदमी जान देगा।
निषेधवाचक वाक्य-अपने देश के लिए कौन भारतीय अपनी जान न देगा?

(iii) सामान्य वाक्य :
अशुद्धियाँ एवं उनके संशोधन
वाक्यरचना के कुछ सामान्य नियम-वाक्य को सुव्यवस्थित और संयत रूप देने को व्याकरण में ‘पदक्रम’ कहते हैं। निर्दोष वाक्य लिखने के कुछ नियम है। इनकी सहायता से शुद्ध वाक्य लिखने का प्रयास किया जा सकता है। सुन्दर वाक्यों की रचना के लिए-

(क) क्रम (order),
(ख) अन्वय (co-ordination) और
(ग) प्रयोग (use) से सम्बद्ध कुछ सामान्य नियमों का ज्ञान आवश्यक है।

कुछ आवश्यक निर्देश

1. एक वाक्य से एक ही भाव प्रकट हो।
2. शब्दों का प्रयोग करते समय व्याकरण-सम्बन्धी नियमों का पालन हो।
3. वाक्यरचना से अधूरे वाक्यों को नहीं रखा जाये।
4. वाक्य-योजना में स्पष्टता और प्रयुक्त शब्दों में शैली-सम्बन्धी शिष्टता हो।
5. वाक्य में शब्दों का परस्पर घनिष्ठ सम्बन्ध हो। तात्पर्य यह कि वाक्य में सभी शब्दों का प्रयोग एक ही काल में, एक ही स्थान में और एक ही साथ होना चाहिए।
6. वाक्य में ध्वनि और अर्थ की संगति पर विशेष ध्यान देना चाहिए।
7. वाक्य में व्यर्थ शब्द न आने पाये।।
8. वाक्य-योजना में आवश्यकतानुसार जहाँ-तहाँ मुहावरों और कहावतों का भी प्रयोग हो।
9. वाक्य में एक ही व्यक्ति या वस्तु के लिए कहीं ‘यह’ और कहीं ‘वह’, कहीं ‘आप’ और कहीं ‘तुम’, कहीं ‘इसे’ और कहीं ‘इन्हें’, कहीं ‘उसे’ और कहीं ‘उन्हें’, कहीं ‘उसका’ और कहीं ‘उनका’, कहीं ‘इनका’ और कहीं ‘इसका’ प्रयोग नहीं होना चाहिए।
10. वाक्य में पुनरुक्तिदोष नहीं होना चाहिए। शब्दों के प्रयोग में औचित्य पर ध्यान देना चाहिए।
11. वाक्य में अप्रचलित शब्दों का व्यवहार नहीं होना चाहिए।
12. परोक्ष कथन (Indirect narration) हिन्दी भाषा की प्रवृत्ति के अनुकूल नहीं है। यह वाक्य अशुद्ध है-उसने कहा कि उसे कोई आपत्ति नहीं है। इसमें ‘उसे’ के स्थान पर ‘मुझे’ होना चाहिए।

वाक्यों की अशुद्धियाँ

9 शेक्सपियर के नाट्य-दृश्यों का प्रयोग होना चाहिए। – शेक्सपियर के नाटकों का अभिनय होना चाहिए।
10. मैं गाने की कसरत कर रहा हूँ। – मैं गाने का रियाज या अभ्यास कर रहा हूँ।
11. वह गीत की दो-चार लड़ियाँ गाती है। – वह गीत की दो-चार कड़ियाँ गाती हैं।
12. हमारी सौभाग्यवती कन्या का विवाह होने जा रहा है। – हमारी आयुष्मती कन्या का विवाह होने जा रहा है। (विवाह के बाद ही कन्या ‘सौभाग्यवती’ होती है, पहले नहीं।)
13. वहाँ भारी-भरकम भीड़ जमा थी। – वहाँ भारी भीड़ लगी थी।
14. शोक है कि आपने मेरे पत्रों का कोई उत्तर नहीं दिया। – खेद है कि आपने मेरे पत्रों का कोई उत्तर नहीं दिया।
15. साहित्य और जीवन का घोर सम्बन्ध है। – साहित्य और जीवन का अभिन्न संबंध है।
16. आपका पत्र सधन्यवाद या धन्यवाद- सहित मिला। – आपका पत्र मिला। धन्यवाद।
(‘धन्यवाद’ के अशुद्ध प्रयोगवाले वाक्य का अर्थ हो जायेगा-पत्र तो मिला ही, साथ में धन्यवाद भी मिला।)
17. पति-पत्नी के झगड़े का हेतु क्या हो सकता है? – पति-पत्नी में झगड़े का कारण क्या हो सकता है?
(‘हेतु’ विशिष्ट अर्थ में और ‘कारण’ साधारण अर्थ में प्रयुक्त होता है। ‘हेतु’ का मुख्य अर्थ है-वह उद्देश्य जिससे कोई कार्य किया जाय।)
18. लड़का मिठाई लेकर भागता हुआ घर आया। – लड़का मिठाई लेकर दौड़ता हुआ घर आया।
(‘भागना’ भय या आशंका के कारण और ‘दौड़ना’ साधारण अर्थ में लिया जाता है।)
19. वर्तमान महासमर विश्व की सर्वप्रमुख समस्या है। – वर्तमान महासमर संसार की सबसे बड़ी समस्या
(अंगरेजी में जो अर्थ world और universe का है, उन्हीं अर्थों से क्रमशः ‘संसार’ और ‘विश्व’ का प्रयोग होता है।)
20. इस समय आपकी आयु चालीस वर्ष की है। – इस समय आपकी अवस्था चालीस वर्ष है।
(‘आयु’ समस्त जीवन-काल और ‘अवस्था’ साधारण ‘वय’ या ‘उम्र’ को कहते हैं।)

21. उसकी पत्नी बड़ी लजीज है। – पुलाव बहुत लजीज है।
(‘सिर्फ खाने-पीने की चीजें ही ‘लजीज’ हो सकती हैं।)
22. एक प्रलयी प्रचण्ड हुंकार हुआ। – एक प्रलयंकर हुंकार हुआ।
(प्रलय का विशेषण ‘प्रलयंकार’ है प्रलयी नहीं।)
23. मेरा नाम श्री आनन्दकुमारजी है। – मेरा नाम आनन्दकुमार है।
(अपने नाम के पहले और अन्त में क्रमशः ‘श्री’ और ‘जी’ लगाना अहंकार और शिष्टाचारहीनता का परिचय देना है।)
24. मैं इसका वह अर्थ नहीं लगाता, जो कि आप लगाते हैं। – मैं इसका एक अर्थ नहीं लगाता जो आप लगाते हैं।
(यहाँ ‘प्रकार का’ अपप्रयोग है। अतः, यहाँ ‘अधिकपदत्व’ दोष आता है।)
25. अभंग एक प्रकार का मराठी छन्द होता हैं। – अभंग एक मराठी छन्द है।
(यहाँ ‘प्रकार का’ अपप्रयोग है। अतः, यहाँ ‘अधिकपदत्व’ दोष्ज्ञ है।)
26. उनकी अपनी प्रखर बुद्धिशक्ति उनके हर काम में प्रकट होती है। – उनके हर काम में प्रखर बुद्धिशक्ति प्रकट होती है।
(सोचने का काम पराये मन से नहीं होता। अतः ‘अपनी’ शब्द अनावश्यक है।)
27. दो वर्षों के बीच भारत और ब्रिटेन के बीच कटुता-उत्पन्न हो गयी। – दो वर्षों के बीच भारत और ब्रिटेन में कटुता उत्पन्न हो गयी।
(यहाँ ‘बीच’ शब्द की द्विरुक्ति के कारण ‘कथितपदत्व’-दोष आ गया है।)
28. उस वन में प्रात:काल के समय बहुत ही सुहावना दृश्य होता था। – उस वन में प्रात:काल का दृश्य बहुत ही सुहावना होता था।
(वाक्य में एक ही अर्थ या भाव सूचित करनेवाले दो शब्द प्रयुक्त नहीं होने चाहिए। यहाँ ‘प्रात:काल’ और ‘समय’ का प्रयोग दोषपूर्ण है। अतः, यहाँ भी कथितपदत्व-दोष है। नीचे कुछ
और उदाहरण दिये गये हैं।)
29. आपका भवदीय। – आपका या भवदीय।
30. आजकल वहाँ काफी सरगर्मी दृष्टिगोचर हो रही है। – आजकल वहाँ काफी सरगर्मी दिखायी देती है।
(‘सरगर्मी’ के साथ ‘दृष्टिगोचर’ का प्रयोग भाषा के नाते बेमेल है।)

31. वकीलों ने कागजात का निरीक्षण किया। – वकीलों ने कागजों की जाँच की।
(यहाँ भी ‘कागजात’ और ‘निरीक्षण’ का बेमेल प्रयोग है।)
32. ऐसे चित्रों में से किसी व्यक्ति या घटना के दृश्य या रूप का ही अंकन प्रधान होता है। – किसी व्यक्ति या घटना के रूप या दृश्य का अंकन ही ऐसे चित्रों में प्रधान होता है।
(अशुद्ध वाक्य में पदों का क्रम शिथिल है 1)
33. वहाँ बहुत-से पशु और पक्षी उड़ते और चरते हुए दिखायी दिये। – वहाँ बहुत-से पशु और पक्षी चरते और उड़ते दिखायी दिये।।
(अशुद्ध वाक्य में पशु और पक्षी के क्रम में क्रियाएँ नहीं आयीं.।)
34. यह चित्र श्री शारदाजी जब नागौर पधारे थे उस समय लिया गया था। – यह चित्र उस समय लिया गया था, जब श्री शास्दाजी नागौर पधारे थे।
(अशुद्ध वाक्य में उपवाक्य अंगरेजी ढंग पर है हिन्दी ढंग पर नहीं।)
35. नारायण, जिसे छह महीने की सजा हुई थी की अपील मंजूर की गयी। – छह महीने की सजा पानेवाले नारायण की अपील मंजूर हो गयी।
(अशुद्ध वाक्य में ‘की’ विभक्ति यथास्थान प्रयुक्त नहीं है। इसे ‘अक्रमत्वदोष’ कहते हैं)
36. उसने ‘निवेदिता’ शीर्षक कविता लिखी गई थी, खड़ी बोली की। – उसने खड़ी बोली में ‘निवेदिता’ शीर्षक कविता लिखी थी।
37. भारतीयों को चाहिए कि वे अपने बच्चों को बताएँ कि भारत उनका है। अशुद्ध अंगरेजी का ‘परोक्ष कथन’ है। – भारतीयों को चाहिए कि अपने बच्चों को बताएँ कि भारत हमारा है। यह अन्धानुकरण, हिन्दी में ठीक नहीं।)
38. मैं अपनी बात का स्पष्टीकरण करने के लिए तैयार हूँ। – मैं अपनी बात के स्पष्टीकरण के लिए तैयार है
(अशुद्ध वाक्य में ‘करना क्रिया का वाचक ‘करणे माल से ही मौजूद है। साधारण वाक्य में दो-दो क्रियावाचक पदों का प्रयोग नहीं होता।).
39. यह काम आप पर निर्भर करता है। – यह कामे आप पर निर्भर है।
(‘निर्भर’ के साथ ‘करना’ क्रिया का प्रयोग दोषपूर्णः है।)
40. मैं आपकी भक्ति या श्रद्धा करता हूँ। – मैं आप पर श्रद्धा (या भक्ति) रखता हूँ।
(श्रद्धा, भक्ति आदि के साथ ‘करना’ क्रिया नहीं खपती।)

57. थोड़ी देर बाद वह वापस लौट आये। – थोड़ी देर बाद वे लौट आये। या, थोड़ी देर बाद वे वापस आये।
58. प्रधानाध्यापक लड़के चुनेंगे। – प्रधानाध्यापक लड़कों का चुनाव करेंगे।
59. मैं हल करने की तलाश में हूँ। – मैं इस सवाल के हल की तलाश में हूँ।
60. तब शायद यह काम जरूर हो जायेगा। – तब यह काम जरूर हो जायेगा।
(‘शायद’ और ‘जरूर’ का प्रयोग एक साथ नहीं होता।)
61. प्रायः ऐसे अवसर आते हैं, जिसमें लोगों को कभी-कभी अपना मत बदलना पड़ता – प्रायः ऐसे अवसर आते हैं जबकि लोगों को अपना मत बदलना पड़ता है।
(‘प्रायः’ के साथ ‘कभी-कभी’ का प्रयोग अनुचित है। दोनों विरोधी अव्यय हैं।)

(iv) समानार्थक वाक्यों का अर्थभेद

हिन्दी की वाक्यरचना कभी-कभी विशेष चमत्कार उत्पन्न करती है। कुछ ऐसे वाक्यों का प्रयोग होता है, जो ऊपर से तो समानार्थक लगते हैं दोनों में कोई खास अन्तर नहीं दीखता, किन्तु थोड़ी गम्भीरता से विचार करने पर उनमें सूक्ष्म अर्थभेद प्रकट होता है। यहाँ कुछ ऐसे ही समानार्थक वाक्यों के उदाहरण और उनके अर्थभेद दिये जा रहे हैं-

(v) वाक्य-विश्लेषण

किसी वाक्य के सभी अंगों को अलग-अलग कर उसके पारस्परिक सम्बन्ध दिखाने की क्रिया को वाक्यविश्लेषण कहते हैं। हिन्दी व्याकरण में वाक्यविग्रह को ‘वाक्यविग्रह’, ‘वाक्यविभाजन’ और ‘वाक्यपृथकरण’ भी कहते हैं। इसमें तीन काम करने पड़े हैं-1. वाक्य के उपवाक्यों को अलग किया जाता है, 2. उपवाक्यों का नामरकण होता है; 3. अन्त में पूरे वाक्य का नामकरण होता है। ‘उपवाक्य’ किसी वाक्य का एक अंश होता है। इसमें कर्ता और क्रिया का होना आवश्यक है। जैसे-प्रदीप कल स्कूल नहीं गया; क्योंकि वह बीमार था। इस वाक्य में दो उपवाक्य है-‘प्रदीप कल स्कूल नहीं गया’ और ‘क्योंकि वह बीमार था।’ कभी-कभी वाक्य में कर्ता छिपा रहता है और कभी क्रिया छिपी रहती है।

रचना की दृष्टि से वाक्य तीन प्रकार के हैं-

• सरल वाक्य,
• मिश्र वाक्य और
• संयुक्त वाक्य।

इस प्रकार के वाक्यों का विग्रह अलग-अलग ढंग से होता है। सरल वाक्य में उद्देश्य और उद्देश्य का विस्तार एवं विधेयं और उसका वितार बताना चाहिए। यदि मिश्र वाक्य हो तो प्रधान वाक्य (Principal Clause) और उसके सभी उपवाक्यों को बताकर सरल वाक्य की तरह ही सबका विग्रह करना चाहिए। संयुक्त वाक्य में प्रत्येक वाक्य को अलग-अलग कर उपर्युक्त रीति से ही वाक्य-विश्लेषण करना चाहिए।

वाक्यविग्रह के दो प्रकार सामान्यतः वाक्यविश्लेषण दो तरह से होता है। वाक्य के सभी अंगों को या तो ‘तालिका’ बनाकर, उद्देश्य और विधेय के अधीन रखकर दिखाया जाता है या केवल उपवाक्यों को अलग-अलग कर उनके पारस्परिक सम्बन्ध बताये जाते हैं। सामान्यतः सरल वाक्यों का विश्लेषण पहले ढंग से और अन्य प्रकार के वाक्यों का विश्लेषण दूसरे ढंग से होता है।

सरल वाक्य का विश्लेषण-इसमें वाक्य का उद्देश्य, उद्देश्य का विस्तार, विधेय और उसका विस्तार बताये जाते हैं। यदि विधेय सकर्मक है तो उसका कर्म और उसका विस्तार भी दिखाना पड़ता है। निम्नांकित तालिका में एक साधारण वाक्य का विग्रह दिखाया गया है-

सरल वाक्य-भारत के राष्ट्रपति राजेन्द्र प्रसाद राष्ट्रधर्मविषयक भाषण करेंगे।

उदाहरण के लिए यहाँ अन्य दो वाक्यों का विग्रह किया जाता है सरल वाक्य-

• मोहन का भाई मेरी पुस्तक धीर-धीरे पढ़ता है।
• मोहन का बड़ा भाई सोहन महाभारत की कथाएँ पढ़ता है।

यहाँ याद रखना चाहिए कि सरल वाक्य से एक उद्देश्य और विधेय का होना बहुत जरूरी है। ये उद्देश्य और विधेय अपने विस्तार के साथ भी रह सकते हैं।

उपरिमुद्रित सरल वाक्यों का विश्लेषण निम्नांकित ढंग से भी किया जा सकता है-
भाई-उद्देश्य (कर्ता) पुस्तक-कर्म पढ़ता है–क्रिया

मोहन का उद्देश्य का विस्तार मेरी-कर्म का विस्तार धीरे-धीरे-क्रिया का विस्तार उद्देश्य के विभिन्न रूप सरल वाक्यों में उद्देश्य और विधेय की पहचान आसानी से करने के लिए निम्नलिखित बातों को ध्यान में रखना चाहिए। इन वाक्यों में उद्देश्य (कर्ता) अनेक रूपों में आते हैं। जैसे-

• संज्ञा-श्याम हँसता है।
• सर्वनाम-मैं खाता हूँ।
• विशेषण-गरीब आदमी दुःख पाता है।
• क्रियार्थक संज्ञा-नाचना लाभदायक है।
• वाक्यांश-आपकी परीक्षा लेना अनुचित होगा।
• वाक्य-क्रान्ति चिरंजीवी हो, यह हमारा नारा है।

उद्देश्य का विस्तार-उद्देश्य का विस्तार भिन्न-भिन्न रूपों के विशेषणों से किया जाता है। कुछ उदाहरण इस प्रकार है

• विशेषण-सुशील बालक बैठा है।
• सार्वनामिक विशेषण-वह बालक बैठा है।
• सम्बन्धकारक-माँ का लड़का कहाँ गया?
• वाक्यांश-प्रकृति की गोद में खेलता बालक बड़ा मोहक है।
• विधेय का विस्तार-विधेय का विस्तार निम्नलिखित स्थितियों में होता है
• कारक से-तीर से मारा।
• क्रियाविशेषण से जल्दी-जल्दी चलता है।।
• वाक्यांश-राम पांच बजे के बाद ही घर पहुँचता है।
• पूर्वकालिक क्रिया से–वह हँसकर विदा हुआ।
• क्रियाद्योतक से-मोटर पों-पों करती हुई निकल गयी।

मिश्र वाक्य का विश्लेषण-जिस वाक्यरचना में एक से अधिक सरल वाक्य हों और उनमें एक प्रधान हो और शेष उसके आश्रित हों उसे ‘मिश्र वाक्य’ कहते हैं। इस प्रकार के वाक्य में एक प्रधान वाक्य’ रहता है और शेष वाक्यांश जिन्हें ‘-आश्रित उपवाक्य’ कहते हैं उसपर आश्रित होते हैं : जब वाक्य पूरे वाक्य से अलग अर्थ को खण्डित किये बिना लिखा जाये तब वह ‘प्रधान उपवाक्य होता है। ये दूसरे उपवाक्यों पर आश्रित है। ऐसे वाक्यों का आरम्भ कि, ताकि, जिससे, जो, जितना, ज्योंही, ज्यों-ज्यों, चूँकि, क्योंकि यदि, यद्यपि, जब, जहाँ इत्यादि से होता है।

आश्रित उपवाक्य (Subordinate Clause) तीन प्रकार के होते हैं-

• संज्ञा-उपवाक्य,
• विशेषण-उपवाक्य और
• क्रियाविशेषण उपवाक्य।

नीचे मिश्र वाक्य का एक उदाहरण विग्रहसहित दिया जाता है-
मिश्र वाक्य-जो व्यक्ति महान् हो चुके हैं उनके जीवन की दिनचर्या और रहन-सहन से पता चलता है कि उनका जीवन सादगी से व्यतीत होता था।

यहाँ निम्नलिखित उपचादय (Clause) हैं-
(क) उनके जीवन की दिनचर्या तथा रहन-सहन से पता चलता है-मुख्य उपवाक्य (Principal Clause)
(ख) जो व्यक्ति महान् हो चुके हैं-विशेषण उपवाक्य। (‘क’ में प्रयुक्त “उनके’ सर्वनाम की विशेषता बतलाता है।)
(ग) कि उनका जीवन सादगी से व्यतीत होता था-संज्ञा उपवाक्य।
(‘क’ में प्रयुकत ‘पता’ संज्ञा का समानाधिकरण है।)

संयुक्त वाक्य का विग्रह-जिस वाक्य में साधारण अथवा मिश्र वाक्यों का मेल संयोजक अव्यय द्वारा होता है उसे ‘संयुक्त वाक्य’ (Compound Sentence) कहते हैं। एक-दो उदाहरण इस प्रकार है-

उदाहरण-
1. रात हुई और तारे निकले।

इसमें दो सरल वाक्यों का प्रयोग हुआ है ! इन दोनों को संयुक्त करनेवाला संयोजक अव्यय ‘और’ है। पहला वाक्य- रात हुई’ मुख्य वाक्य है और दूसरा वाक्य उससे सम्बद्ध है। यदि ‘और’ को हटा दिया जाय तो दोनों वाक्य अपने में पूर्ण स्वतन्त्र हो जायेंगे। दोनों वाक्यों का विग्रह सरल वाक्य के विग्रह के अनुसार करना चाहिए।

वाक्य 2. तुमने इस. बार अधिक परिश्रम किया है, इसलिए सफलता की अधिक आशा है। परन्तु मनुष्य के भाग्य का निर्णय ईश्वर के अधीन है।
(क) तुमने इस बार अधिक परिश्रम किया है-मुख्य वाक्य।
(ख) इसलिए सफलता की अधिक आशा है-‘क’ का समानाधिकरण वाक्य।
(ग) परन्तु मनुष्य के भाग्य का निर्णय ईश्वर के अधीन है-‘क’ का समानाधिकरण वाक्य।

संयोजक-इसलिए, परन्तु।
यहाँ तीन सरल वाक्यों का व्यवहार हुआ है, जिन्हें संयुक्त करनेवाले दो संयोजक अव्यय हैं-‘इसलिए’ और ‘परन्तु’। इनके बिना रक्त वाक्यों का सम्बन्ध टूट जायेगा।

पदबन्ध
डॉ. हरदेव बाहरी ने ‘पदबन्ध’ की परिभाषा इस प्रकार दी है-वाक्य के उस भाग को, जिसमें एक से अधिक पद परस्पर सम्बद्ध होकर अर्थ तो देते हैं, किन्तु पूरा अर्थ नहीं देते-पदबन्ध या वाक्यांश कहते हैं। इस प्रकार रचना की दृष्टि से पदबन्ध में तीन बातें आवश्यक है-एक तो यह कि इसमें एक से अधिक पद होते हैं। दूसरे, ये पद इस तरह से सम्बद्ध होते हैं कि उनसे एक इकाई बन जाती है। तीसरे, पदबन्ध किसी वाक्य का अंश होता है। शब्द-भेदों की तरह इसके आठ प्रकार माने गये हैं। यहाँ यह स्मरण रखना चाहिए कि पदबन्ध का शब्दक्रम निश्चित होता है।

पदबन्ध के. कुछ उदाहरण इस प्रकार हैं-
संज्ञा-पदबन्ध-वाक्य में संज्ञा का काम करनेवाला पदसमूह :

इतने धनी-मानी व्यक्ति, भारत के प्रधानमंत्री, गोली से घायल बच्चे, रात को पहरा देनेवाला, मिट्टी का तेल इत्यादि।

विशेषण-पदबन्ध-किसी संज्ञा की विशेषता बतानेवाला पदसमूह :
नाली में बहता हुआ (पानी), चाँद से भी प्यारा (मुखड़ा), शेर के समान बलवान् (आदमी), एक किलोभर (आटा), गज-दो गज (रस्सी), कुल चार (आदमी), ध्यान में मग्न (साधक), काम में लगा हुआ (आदमी) इत्यादि।

सर्वनाम-पदबन्ध-सर्वनाम का काम देनेवाला पदसमूह :
मुझ अभागे ने, दैव का मारा वह।

क्रिया-पदबन्ध-क्रिया का काम देनेवाला पदसमूह :
लौटकर कहने लगा, जाता रहता था, कहा जा सकता है इत्यादि।

क्रियाविशेषण-पदबन्ध-क्रियाविशेषण का काम करनेवाला पदसमूह :
घर से होकर (जाऊँगा), पहले से बहुत धीरे (बोलनेवाला), जमीन पर लौटते हुए (चिल्लाया), दोपहर ढले, किसी-न-किसी तरह इत्यादि।

पदबन्ध और उपवाक्य में अन्तर है। उपवाक्य (clause) भी पदबन्ध (phrase) की तरह पदों का समूह है, लेकिन इससे केवल आंशिक भाव प्रकट होता है, पूरा नहीं। पदबन्ध में क्रिया नहीं होती, उपवाक्य में क्रिया रहती है; जैसे-‘ज्योंही वह आया, त्योंही मैं चला गया।’ यहाँ ‘ज्योंही . वह आया’ एक उपवाक्य है, जिससे पूर्ण अर्थ की प्रतीति नहीं होती।

Bihar Board 12th Biology Objective Questions and Answers

Bihar Board 12th Biology Objective Answers Chapter 1 जीवों में जनन

प्रश्न 1.
निम्न में से किसका जीवन काल सबसे लम्बा होता है ?
(a) बरगद का पेड़
(b) कछुआ
(c) तोता
(d) हाथी
उत्तर:
(a) बरगद का पेड़

प्रश्न 2.
निम्न में से वह सही विकल्प चुनें जिसमें दिये गये जीवों के जीवन काल को बढ़ते क्रम में व्यवस्थित किया गया है।
(a) तोता < कौआ < तितली < बरगद का पेड़
(b) तितली < कौआ < तोता < मगरमच्छ
(c) फल मक्खी < मगरमच्छ < तोता < बरगद का पेड़
(d) तोता < कछुआ < कुत्ता < कौआ
उत्तर:
(c) फल मक्खी < मगरमच्छ < तोता < बरगद का पेड़

प्रश्न 3.
अमीबा के द्विखण्डन के दौरान निम्न में से कौन-से अंगक का प्रतिलिपिकरण होता है ?
(a) प्लाज्मा झिल्ली
(b) केन्द्रक
(c) संकुचनशील रिक्तिका
(d) उपरोक्त सभी
उत्तर:
(b) केन्द्रक

प्रश्न 4.
अलैंगिक जनन इस जगत के सदस्यों में होता जाता है
(a) मोनेरा
(b) प्लान्टी
(c) एनीमेलिया
(d) उपरोक्त सभी
उत्तर:
(d) उपरोक्त सभी

प्रश्न 5.
…….एक जीवन प्रक्रिया है जो जीव के जीने के लिये आवश्यक नहीं है परंतु स्पिशीज के अस्तित्व के लिये आवश्यक है।
(a) वृद्धि
(b) जनन
(c) श्वसन
(d) पोषण
उत्तर:
(b) जनन

प्रश्न 6.
क्लोन्स वे जीव होते हैं जिनमें ये बिलकुल समान होता है
(a) जीवन काल
(b) फिजियोलॉजी
(c) वृद्धि दर
(d) अनुवांशिक रूप
उत्तर:
(d) अनुवांशिक रूप

प्रश्न 7.
‘कायिक प्रवर्धन’ (Vegetative propagation) शब्द का प्रयोग निम्न में से किसके लिए किया जाता है?
(a) जन्तुओं में लैंगिक जनन
(b) पौधों में लैंगिक जनन
(c) जन्तुओं में अलैंगिक जनन
(d) पौधों में अलैंगिक जनन
उत्तर:
(d) पौधों में अलैंगिक जनन

प्रश्न 8.
निम्न में से किसका कायिक जनन में उपयोग नहीं किया जाता है ?
(a) कलिका
(b) पत्रकन्द
(c) टूरियॉन
(d) पुमणु
उत्तर:
(d) पुमणु

प्रश्न 9.
निम्न में से किस विकल्प के दोनों पौधों के समान अंगों से नये पौधे निकलते हैं?
(a) डहेलिया व अदरक
(b) आलू व शकरकन्द
(c) डहेलिया व गुलाब
(d) आलू व गन्ना
उत्तर:
(d) आलू व गन्ना

प्रश्न 10.
निम्न में से कौन एक कायिक प्रवर्ध की तरह कार्य नहीं कर सकता
(a) आलू के कन्द का आँख सहित एक टुकड़ा
(b) गन्ने के अन्तरपर्व के बीच का टुकड़ा
(c) अदरक प्रकन्द का एक टुकड़ा
(d) ब्रायोफिलम पत्ती का किनारे वाला भाग
उत्तर:
(b) गन्ने के अन्तरपर्व के बीच का टुकड़ा

प्रश्न 11.
निम्न में से कौन-सी विधि के फलस्वरूप बैक्टीरिया का क्लोन बनता है?
(a) ट्रांसफॉर्मेशन
(b) ट्राँसडक्शन
(c) द्विखण्डन
(d) कांजुगेशन
उत्तर:
(c) द्विखण्डन

प्रश्न 12.
निम्न में से कौन-सा समूह केवल हरमानोडाइट जीवों से बना है
(a) केंचुआ, टेपवर्म, घरेलू मक्खी , मेढक
(b) केंचुआ, टेपवर्म, समुद्री घोड़ा, घरेलू मक्खी
(c) केंचुआ, लीच, स्पॉन्ज, राउन्डवर्म
(d) केंचुआ, टेपवर्म, लीच, स्पॉन्ज
उत्तर:
(d) केंचुआ, टेपवर्म, लीच, स्पॉन्ज

प्रश्न 13.
निम्न में से कौन एकलिंगाश्रयी जीव है ?

उत्तर:
(d)

प्रश्न 14.
लैंगिक रूप से परिपक्व होने के पहले जीव की वृद्धि अवस्था कहलाती है
(a) किशोर अवस्था
(b) कायिक अवस्था
(c) (a) व (b) दोनों
(d) उपरोक्त में से कोई नहीं।
उत्तर:
(c) (a) व (b) दोनों

प्रश्न 15.
‘इनमें सुस्पष्ट कायिक, जनन तथा जरावस्था नहीं पाई जाती है
(a) वार्षिक पौधे
(b) सदाबहार पौधे
(c) द्विवार्षिकीय पौधे
(d) एफीमेरल पौधे ।
उत्तर:
(b) सदाबहार पौधे

प्रश्न 16.
स्ट्रोबिलेन्थस कुन्थीआना, बाँस से निम्न प्रकार से भिन्न होता है
(a) मोनोकार्पिक होने से
(b) किशोर अवस्था की लम्बाई में
(c) पॉलीकार्पिक होने से
(d) उपरोक्त में से कोई नहीं।
उत्तर:
(b) किशोर अवस्था की लम्बाई में

प्रश्न 17.
यदि एगेव की पत्ती की एक कोशिका में x-क्रोमोसोम्स हैं तो इसकी अण्ड कोशिका में क्रोमोसोम्स की संख्या क्या होगी?
(a) 2x
(b) x/2
(d) x
उत्तर:
(b) x/2

प्रश्न 18.
मनुष्य में वे परिवर्तन जो उसकी जनन परिपक्वता को दर्शाते हैं, उनमें शामिल हैं
(a) प्यूबिक हेयर्स की वृद्धि
(b) कंकाल में परिवर्तन
(c) वजन में वृद्धि
(d) वा
उत्तर:
(d) वा

प्रश्न 19.
किसी जीव के जीवन काल की जरा अवस्था इससे पहचानी जा सकती है
(a) धीमा उपापचय
(b) प्रजनन का समाप्त होना
(c) इम्यूनिटी कम होना
(d) उपरोक्त सभी ।
उत्तर:
(d) उपरोक्त सभी ।

प्रश्न 20.
पुंकेसरित पुष्प उत्पन्न करते हैं- :
(a) अण्डे
(b) पुमणु
(c) फल
(d) उपरोक्त सभी।
उत्तर:
(b) पुमणु

प्रश्न 21.
अर्द्धसूत्री विभाजन नहीं होता है
(a) अलैंगिक रूप से प्रजनन करने वाले द्विगुणित जीवों में
(b) लैंगिक रूप से प्रजनन करने वाले अगणित जीवों में
(c) लैंगिक रूप से प्रजनन करने वाले द्विगुणित जीवों में
(d) उपरोक्त सभी में
उत्तर:
(a) अलैंगिक रूप से प्रजनन करने वाले द्विगुणित जीवों में

प्रश्न 22.
यदि एगेव की एक पत्ती की कोशिका में x क्रोमोसोम्स हैं, तो इसके पत्रकन्द की एक कोशिका में क्रोमोसोम्स की संख्या कितनी होगी?
(a) 2r
(b) x/2
(c) x/4
(d) x.
उत्तर:
(d) x.

प्रश्न 23.
निम्न में से कौन-सा विकल्प केवल द्विलिंगी जन्तुओं को दर्शाता |
(a) अमीबा, स्पॉन्ज, लीच
(b) स्पॉन्ज, कॉकरोच, अमीबा
(c) केंचुआ, स्पॉन्ज, लीच
(d) टेपवर्म, केंचुआ, मधुमक्खी
उत्तर:
(c) केंचुआ, स्पॉन्ज, लीच

प्रश्न 24.
निम्न में से कौन से जीव में क्रोमोसोम्स की संख्या अधिकतम होती है ?
(a) घरेलू मक्खी
(b) तितली
(c) ऑफियोग्लॉसम
(d) प्याज
उत्तर:
(c) ऑफियोग्लॉसम

प्रश्न 25.
मक्के में एक मियोसाइट में 20 क्रोमोसोम होते हैं । इसकी सोमैटिक कोशिकाओं में क्रोमोसोम्स की संख्या क्या होगी?
(a) 40
(b) 30
(c) 20
(d) 10
उत्तर:
(c) 20

प्रश्न 26.
यदि एक फन्गल थैलस में नर व मादा दोनों जनन संरचनाएँ हों, तो इसे कहा जाता है
(a) हेटरोथैलिक
(b) होमोथैलिक
(c) डायोसियस
(d) यूनिओसियस।
उत्तर:
(b) होमोथैलिक

प्रश्न 27.
मद चक्र निम्न में पाया जाता है
(a) गाय व भेड़
(b) मनुष्य व बंदर
(c) चिम्पांजी व गोरिल्ला
(d) इनमें से कोई नहीं ।
उत्तर:
(a) गाय व भेड़

प्रश्न 28.
निम्न में से कौन-से जन्तु ऋतु स्राव चक्र दर्शाते हैं ?
(a) गोरिल्ला व चिम्पांजी
(b) बंदर व मनुष्य
(c) ऑरेन्गूटैन्स व बंदर
(d) उपरोक्त सभी।
उत्तर:
(d) उपरोक्त सभी।

प्रश्न 29.
निम्न में से मोनोकार्पिक पौधे को चुनें।
(a) बाँस
(b) लीची
(c) आम
(d) उपरोक्त सभी
उत्तर:
(a) बाँस

प्रश्न 29.
निम्न में से मोनोकार्पिक पौधे को चुनें।
(a) बाँस
(b) लीची
(c) आम
(d) उपरोक्त सभी
उत्तर:
(a) बाँस

प्रश्न 30.
बगैर निषेचन के मादा गैमीट से नए जीव का विकास कहलाता है
(a) सिनगैमी
(b) भ्रूणोद्भव/भ्रूण विकास
(c) ऊगैमी
(d) अनिषेकजनन
उत्तर:
(d) अनिषेकजनन

प्रश्न 31.
वे जीव जिनमें आंतरिक निषेचन होता है, मादा गैमीट अचलित होते हैं। अचलन की प्रक्रिया लाभदायक है क्योंकि यह
(a) ऊर्जा के व्यय को कम करती है
(b) मादा गैमीट के तीव्र विभाजन में सहायक होती है
(c) कोशिका को अधिक पोषक तत्वों के संग्रहण में मदद करती है जिससे भ्रूण परिवर्धन तीव्रता से हो
(d) (a) व (c) दोनों
उत्तर:
(d) (a) व (c) दोनों

प्रश्न 32.
वह विकल्प चुनें जिसमें केवल सजीव प्रजक जन्तु हैं।
(a) छिपकली, कछुआ
(b) प्लेटीपस, मगरमच्छ
(c) गाय, मगरमच्छ
(d) व्हेल, चूहा
उत्तर:
(d) व्हेल, चूहा

प्रश्न 33.
इनमें सतही जल की अनुपस्थिति में निषेचन नहीं हो सकता है
(a) फ्यूकस
(b) फ्यूनेरिया
(c) मार्सीलिया
(d) उपरोक्त सभी।
उत्तर:
(d) उपरोक्त सभी।

प्रश्न 34.
युग्मनज के आसपास कैल्केरियस कवच का जमना इनमें पाया जाता है
(a) पक्षी व सरीसृप
(b) पक्षी व मैमल्स
(c) मैमल्स व सरीसृप
(d) उपरोक्त सभी।
उत्तर:
(a) पक्षी व सरीसृप

प्रश्न 35.
निम्न में से कौन-से पौधे में निषेचन के बाद बाह्य दल गिरते नहीं है और फल से जुड़े रहते हैं ?
(a) बैंगन
(b) ककड़ी
(c) पपीता
(d) करेला
उत्तर:
(a) बैंगन

प्रश्न 36.
विवीपैरेटी निम्न में पाई जाती है
(a) शार्क्स
(b) छिपकलियों
(c) मेढकों
(d) पक्षियों।
उत्तर:
(a) शार्क्स

प्रश्न 37.
पुष्पीय पौधों में नर व मादा दोनों युग्मक अचलित होते हैं। इन्हें निषेचन के लिये पास लाने की विधि है
(a) जल
(b) वायु
(c) परागण
(d) एपोमिक्सिस
उत्तर:
(c) परागण

प्रश्न 38.
गन्ने और अदरक के पर्व पर कायिक प्रवर्ध मुख्यतः इस कारण विकसित होते हैं
(a) पर्व अन्तरपर्यों से छोटे होते हैं।
(b) पर्व में मेरिस्टेमेटिक कोशिकाएँ होती हैं।
(c) पर्व मिट्टी के पास स्थित होते हैं।
(d) पर्व में प्रकाश-संश्लेषण करने वाली कोशिकाएँ नहीं होती हैं।
उत्तर:
(b) पर्व में मेरिस्टेमेटिक कोशिकाएँ होती हैं।

प्रश्न 39.
अमीबा और बैक्टीरिया जैसे एक कोशिकीय जीवों की प्राकृतिक मृत्यु नहीं होती है क्योंकि
(a) ये लैंगिक जनन नहीं कर सकते हैं
(b) ये द्विखण्डन द्वारा प्रजनन करते हैं
(c) जनकों का शरीर संततियों के बीच वितरित होता है
(d) ये सूक्ष्म होते हैं।
उत्तर:
(c) जनकों का शरीर संततियों के बीच वितरित होता है

प्रश्न 40.
प्रजनन कई प्रकार के होते हैं। एक जीव द्वारा किस प्रकार का प्रजनन होगा, यह निर्भर करता है
(a) जीव के आवास और आकारिकी पर
(b) जीव की आकारिकी पर।
(c) जीव की आकारिकी और फिजियोलॉजी पर
(d) जीव के आवास, फिजियोलॉजी और जेनेटिक संरचना पर ।
उत्तर:
(d) जीव के आवास, फिजियोलॉजी और जेनेटिक संरचना पर ।

प्रश्न 41.
निम्न में से कौन-सी घटना पुष्पीय पौधों की एक निषेचन पश्च घटना है?
(a) पराग कण का स्थानान्तरण
(b) भ्रूण परिवर्धन
(c) पुष्प का बनना
(d) पराग कणों का बनना
उत्तर:
(b) भ्रूण परिवर्धन

प्रश्न 42.
टमाटर के फल की अनुप्रस्थ काट में कौन-सा/से नामांकित भाग द्विगुणित होता है/होते हैं ?

(a) x
(b) Y
(c) X व Y दोनों
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(c) X व Y दोनों

प्रश्न 43.
निम्न में से कौन-सा कथन अण्ड प्रजक जन्तुओं के संबंध में सही नहीं है?
(a) मादा सुरक्षित स्थान पर निषेचित/अनिषेचित अण्डे देती है।
(b) जायगोट का विकास मादा के शरीर के बाहर होता है।
(c) ओवीपेरस जन्तुओं के उदाहरण सभी पक्षी, अधिकांश सरीसृप और अण्डे देने वाले मैमल्स हैं।
(d) उपरोक्त में से कोई नहीं।
उत्तर:
(d) उपरोक्त में से कोई नहीं।

प्रश्न 44.
निम्न में से कौन-से जन्तु नवजात को जन्म देते हैं ?
(a) ऑरनिथोरिन्कस और एकिडना
(b) मैकरोपस और टेरोपस
(c) बैलेनोप्टेरा और होमो सेपिएन्स
(d) (b) व (c) दोनों
उत्तर:
(d) (b) व (c) दोनों

प्रश्न 45.
‘क्लोन’ शब्द उन संततियों के ऊपर लागू नहीं होता है जो लैंगिक प्रजनन से बनती हैं क्योंकि
(a) संतति में जनक DNA की समरूप प्रति नहीं होती है।
(b) केवल एक जनक के DNA का प्रतिकृतिकरण होता है और वह संतति में आता है
(c) संततियां अलग-अलग समय पर बनती है।
(d) जनक और संतति का DNA पूर्णतः भिन्न होता है।
उत्तर:
(a) संतति में जनक DNA की समरूप प्रति नहीं होती है।

प्रश्न 46.
लैंगिक प्रजनन में उत्पन्न संततियाँ, अलैंगिक प्रजनन की तुलना में अधिक विभिन्नताएँ दर्शाती हैं क्योंकि
(a) लैंगिक प्रजनन एक लम्बी प्रक्रिया है।
(b) जनक के गैमीट्स की जेनेटिक संरचना गुणात्मक रूप से भिन्न होती है।
(c) जेनेटिक पदार्थ दो भिन्न स्पिशीज के जनकों से आता है।
(d) लैंगिक प्रजनन में DNA की अधिक मात्रा की आवश्यकता होती है।
उत्तर:
(b) जनक के गैमीट्स की जेनेटिक संरचना गुणात्मक रूप से भिन्न होती है।

प्रश्न 47.
निम्न में से सही कथन चुनें।
(a) केवल जन्तुओं में एकलिंगाश्रयी जीव पाए जाते हैं।
(b) केवल पौधों में एकलिंगाश्रयी जीव पाए जाते हैं।
(c) पौधों व जन्तुओं दोनों से एकलिंगाश्रयी जीव पाए जाते हैं।
(d) केवल वर्टीब्रेट्स में एकलिंगाश्रयी जीव पाए जाते हैं।
उत्तर:
(c) पौधों व जन्तुओं दोनों से एकलिंगाश्रयी जीव पाए जाते हैं।

प्रश्न 48.
गलत कथन को पहचानें।
(a) अलैंगिक प्रजनन में उत्पन्न संतति आकारिकी में और आनुवंशिक रूप से जनक के समान होती है।
(b) जूस्पोर्स लैंगिक प्रजनन की संरचनाएँ हैं।
(c) अलैंगिक प्रजनन में, एक जनक संतति की उत्पत्ति गैमीट के बनने साथ या उसके बिना करता है।
(d) पेनिसीलियम में कोनोडिया अलैंगिक संरचनाएँ होती हैं।
उत्तर:
(b) जूस्पोर्स लैंगिक प्रजनन की संरचनाएँ हैं।

Bihar Board 12th Maths Model Papers

Bihar Board 12th Maths Model Question Paper 4 in Hindi

समय : 3 घंटे 15 मिनट
अंक : 100

परिक्षार्थियों के लिए निर्देश

1. परीक्षार्थी यथासंभव अपने शब्दों में ही उत्तर दें।
2. दाहिनी ओर हाशिये पर दिये हुए अंक पूर्णांक निर्दिष्ट करते हैं।
3. उत्तर देते समय परीक्षार्थी यथासंभव शब्द-सीमा का ध्यान रखें।
4. इस प्रश्न पत्र को ध्यानपूर्वक पढ़ने के लिए पन्द्रह मिनट का अतिरिक्त समय दिया गया है।
5. यह प्रश्न-पत्र के दो खण्डों में है, खण्ड-अ एवं खण्ड-ब।
6. खण्ड-अ में 1-50 तक वस्तुनिष्ठ प्रश्न हैं, सभी प्रश्न अनिवार्य हैं। (प्रत्येक प्रश्न के लिए 1 अंक निर्धारित है), इनके उत्तर उपलब्ध कराये गये OMR शीट में दिये गये वृत्त को काले / नीले बॉल पेन से भरें। किसी भी प्रकार के व्हाइटनर/तरल पदार्थ/ब्लेड/नाखून आदि का OMR-शीट में प्रयोग करना मना है, अन्यथा परीक्षा परिणाम अमान्य होगा।
7. खण्ड-ब में 25 लघुउत्तरीय प्रश्न हैं (प्रत्येक प्रश्न के लिए 2 अंक निर्धारित है) जिनमें से किन्ही 15 प्रश्नों के उत्तर देना अनिवार्य है। इसके अतिरिक्त खण्ड में 08 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (प्रत्येक प्रश्न के लिए 05 अंक निर्धारित हैं) जिनमें से किन्हीं 4 प्रश्नों के उत्तर देना है।
8. किसी तरह के इलेक्ट्रॉनिक-यंत्र का इस्तेमाल वर्जित है।

खण्ड-अ : वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न संख्या 1 से 50 तक के प्रत्येक प्रश्न के साथ चार विकल्प दिए गए हैं, जिनमें से एक सही है। अपने द्वारा चुने गए सही विकल्प को OMR शीट पर चिह्नित करें। (50 × 1 = 50)

प्रश्न 1.
मान लीजिए कि समुच्चय {1, 2, 3, 4} में R = {(1, 2),(2, 2), (1, 1), (4, 4), (1, 3), (3, 3), (3, 2)} द्वारा परिभाषित संबंध R है। नि्नलिखित में से सही उत्तर चुनिए :
(a) R स्वतुल्य त? एपित है किन्तु संक्रमक नहीं है।
(b) R स्वत: य तथा पंक्रमक है किंतु सममित नहीं है।
(c) R सपपिन रया संक्रमक है किन्तु स्वतुल्य नहीं है।
(d) R एक तुल्यता संबंध है।
उत्तर:
(b) R स्वत: य तथा पंक्रमक है किंतु सममित नहीं है।

प्रश्न 2.
मान लीजिए कि f(x) = 3x द्वारा परिभाषित फल f : R → R है।
(a) f एकैको आच्छादक है
(b) f बहुएक आच्छादक है
(c) f एकैकी है किन्तु आच्छादक नहीं है
(d) f न तो एकैकी है और न आच्छादक है
उत्तर:
(a) f एकैको आच्छादक है

प्रश्न 3.
समुच्चय {a, b} में द्विआधारी संक्रिया की संख्या है:
(a) 10
(b) 16
(c) 20
(d) 8
उत्तर:
(b) 16

प्रश्न 4.
sec² (tan^-1 5) + cosec² (cot^-1 5) बराबर है :
(a) 10
(b) 50
(c) 51
(d) 52
उत्तर:
(d) 52

प्रश्न 5.

उत्तर:
(b) \(\frac{2 \pi}{3}\)

प्रश्न 6.

उत्तर:
(d) 1 है

प्रश्न 7.

उत्तर:
(c) \(\frac{3 \pi}{4}\)

प्रश्न 8.
tan^-1 x + cot^-1 x बराबर है :
(a) -π
(b) \(\frac{\pi}{2}\)
(c) \(\frac{\pi}{3}\)
(d) \(\frac{\pi}{4}\)
उत्तर:
(c) \(\frac{\pi}{3}\)

प्रश्न 9.
यदि ω समीकरण x³ – 1 = 0 का एक अवास्तविक मूल हो, तो :
\(\left|\begin{array}{ccc}
1 & \omega & \omega^{2} \\
\omega & \omega^{2} & 1 \\
6 \cdot 2 & 1 & \omega
\end{array}\right|=\)
(a) 0
(b) 1
(c) ω
(d) ω²
उत्तर:
(a) 0

प्रश्न 10.
एक मैट्रिक्स A = [a_ij]_n×n सममित है यदि :
(a) a_ij = 0
(b) a_ij= -a_ji
(c) a_ij = a_ji
(d) a_ij = 1
उत्तर:
(c) a_ij = a_ji

प्रश्न 11.
यदि \(A=\left[\begin{array}{lll}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{array}\right]\) तो A² है
(a) 27A
(b) 2A
(c) 3A
(d) I
उत्तर:
(c) 3A

प्रश्न 12.
एक मैट्रिक्स A = [a_ij]_n×n विषम सममित है यदि :
(a) a_ij = 0
(b) a_ij = a_ji
(c) a_ij = -a_ji
(d) a_ij = 0
उत्तर:
(c) a_ij = -a_ji

प्रश्न 13.
सारणिक \(\left|\begin{array}{lll}
3 & 1 & 7 \\
5 & 0 & 2 \\
2 & 5 & 3
\end{array}\right|\) के मान =
(a) 124
(b) 125
(c) 134
(d) 144
उत्तर:
(c) 134

प्रश्न 14.
यदि a, b, c समान्तर श्रेणी में हैं तो सारणिक \(\left|\begin{array}{ccc}
x+2 & x+3 & x+2 a \\
x+3 & x+4 & x+2 b \\
x+4 & x+5 & x+2 c
\end{array}\right|\) है :
(a) 1
(b) x
(c) 0
(d) 2x
उत्तर:
(c) 0

प्रश्न 15.
PY + WY के परिभाषित होने के लिए n, k तथा p पर क्या प्रतिबन्य होगा?
(a) k = 3, p = n
(b) k स्वेच्छ है, p = 2
(c) p स्वेच्छ है, k = 3
(d) k = 2, p = 3
उत्तर:
(a) k = 3, p = n

प्रश्न 16.

उत्तर:
(a) \(\left[\begin{array}{ccc}
x^{-1} & 0 & 0 \\
0 & y^{-1} & 0 \\
0 & 0 & z^{-1}
\end{array}\right]\)

प्रश्न 17.
यदि y = log(log x) तब \(\frac{d y}{d x}\) का मान होगा।
(a) x log x
(b) \(\frac{1}{x \log x}\)
(c) \(\frac{1}{\log x}\)
(d) \(\frac{1}{x}\)
उत्तर:
(b) \(\frac{1}{x \log x}\)

प्रश्न 18.
यदि f(x) = sin (x²) तब \(\frac{d f}{d x}\) बराबर होगा:
(a) 2x sin x²
(b) 2x cos x²
(c) 2 cos x
(d) 2x sin x
उत्तर:
(b) 2x cos x²

प्रश्न 19.

उत्तर:
(d) \(\frac{1}{2}\)

प्रश्न 20.
रोले प्रमेय का प्रयोग कर वक्र f(x) = (x – 1) (x – 2) का [-1, 2] का वह बिन्दु जहाँ स्पर्श रेखा x-अक्ष के समान्तर है :
(a) (-1, 0)
(b) (2, 0)
(c) \(\left(\frac{1}{2},-\frac{9}{4}\right)\)
(d) \(\left(\frac{1}{2}, \frac{9}{4}\right)\)
उत्तर:
(a) (-1, 0)

प्रश्न 21.
एक उत्पाद की इकाइयों के विक्रय से प्राप्त कुल आय रुपये में R(x) = 3x² + 36x + 5 से प्रदत्त है। जब x = 15 है तब सीमांत आय है :
(a) 116 रु.
(b) 96 रु.
(c) 90 रु.
(d) 126 रु.
उत्तर:
(d) 126 रु.

प्रश्न 22.
एक वृत्त की त्रिज्या 0.7 cm/sec की दर से बढ़ रही है। इसकी परिधि की वृद्धि की दर होगी जब r = 4.9 cm हो
(a) 0.7π cm/sec
(b) π cm/sec
(c) 2.1π cm/sec
(d) 1.4π cm/sec
उत्तर:
(d) 1.4π cm/sec

प्रश्न 23.
यदि \(\theta+\phi=\frac{\pi}{3}\) तो sinθ.sinφ का अधिकतम मान होगा जब θ का मान होगा:
(a) \(\frac{\pi}{4}\)
(b) \(\frac{\pi}{3}\)
(c) \(\frac{\pi}{6}\)
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(c) \(\frac{\pi}{6}\)

प्रश्न 24.
एक वृत्त के त्रिज्या r = 6 सेमी पर r के सापेक्ष वृत्त के क्षेत्रफल की परिवर्तन की दर है:
(a) 10π सेमी²/सेमी
(b) 12π सेमी²/सेमी
(c) 8π सेमी²/सेमी
(d) 11π सेमी²/सेमी
उत्तर:
(b) 12π सेमी²/सेमी

प्रश्न 25.
\(\int_{0}^{\pi / 4} \sin 2 x d x\) का मान है :
(a) 1
(b) \(\frac{1}{2}\)
(c) \(\frac{1}{3}\)
(d) \(\frac{1}{4}\)
उत्तर:
(b) \(\frac{1}{2}\)

प्रश्न 26.
∫1.dx =
(a) x + k
(b) 1 + k
(c) \(\frac{x^{2}}{2}+k\)
(d) log x + k
उत्तर:
(a) x + k

प्रश्न 27.
\(\int \frac{d x}{\sqrt{x}}=\)
(a) √x + k
(b) 2√x + k
(c) x + k
(d) \(\frac{2}{3} x^{3 / 2}+k\)
उत्तर:
(b) 2√x + k

प्रश्न 28.
\(\int_{a}^{b} x^{5} d x=\)
(a) b⁵ – a⁵
(b) \(\frac{b^{6}-a^{6}}{6}\)
(c) \(\frac{a^{6}-b^{6}}{6}\)
(d) a⁵ – b⁵
उत्तर:
(b) \(\frac{b^{6}-a^{6}}{6}\)

प्रश्न 29.
∫ logx dx बराबर है :
(a) x log x + x + C
(b) x log x – x + C
(c) log x + x + C
(d) log x – x + C
उत्तर:
(b) x log x – x + C

प्रश्न 30.
\(\int_{0}^{1} \tan ^{-1}\left(\frac{2 x-1}{1+x-x^{2}}\right) d x\) का मान है :
(a) 1
(b) 0
(c) -1
(d) \(\frac{\pi}{4}\)
उत्तर:
(b) 0

प्रश्न 31.
वक्र |x| + |y| = 1 द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है :
(a) 4
(b) 8
(c) 2
(d) 1
उत्तर:
(b) 8

प्रश्न 32.
अवकल समीकरण \(\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{3}+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}+\sin \left(\frac{d y}{d x}\right)+1=0\) की घात है:
(a) 3
(b) 2
(c) 1
(d) परिभाषित नहीं
उत्तर:
(a) 3

प्रश्न 33.
चार कोटि वाले किसी अवकल समीकरण के व्यापक हल में उपस्थित स्वेच्छ अचरों की संख्या है:
(a) 0
(b) 2
(c) 3
(d) 4
उत्तर:
(d) 4

प्रश्न 34.
अवकल समीकरण \(\frac{d y}{d x}=\frac{x}{y}\) का हल है
(a) x – y = k
(b) x² – y² = k
(c) x³ – y³ = k
(d) xy = k
उत्तर:
(b) x² – y² = k

प्रश्न 35.
रैखिक अवकल समीकरण \(\frac{d y}{d x}\) = y sec²x = tan x sec²x का समाकलन गुणक है
(a) tan x
(b) e^{tan x}
(c) log tan x
(d) tan² x
उत्तर:
(b) e^{tan x}

प्रश्न 36.
अवकल समीकरण \(\frac{y d x-x d y}{y}=0\) का व्यापक हल है :
(a) xy = c
(b) x = cy²
(c) y = cx
(d) y = cx²
उत्तर:
(c) y = cx

प्रश्न 37.
यदि \(|\vec{a} \times \vec{b}|=|\vec{a} \cdot \vec{b}|\) तो \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) के बीच का कोण होगा:
(a) 0
(b) \(\frac{\pi}{2}\)
(c) \(\frac{\pi}{4}\)
(d) π
उत्तर:
(c) \(\frac{\pi}{4}\)

प्रश्न 38.

उत्तर:
(b) \(3 \vec{i}-\vec{j}+5 \vec{k}\)

प्रश्न 39.

उत्तर:
(b) \(\vec{a} \perp \vec{b}\)

प्रश्न 40.
सदिश \(2 \vec{i}-7 \vec{j}-3 \vec{k}\) का मापांक है :
(a) √61
(b) √62
(c) √64
(d) √32
उत्तर:
(b) √62

प्रश्न 41.
समतल 2x – 3y – 6z – 3 = 0 के अभिलम्ब की दिक्कोज्याएँ हैं :
(a) \(\frac{2}{7},-\frac{3}{7},-\frac{6}{7}\)
(b) \(\frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{6}{7}\)
(c) \(-\frac{2}{7}, \frac{3}{7},-\frac{6}{7}\)
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(a) \(\frac{2}{7},-\frac{3}{7},-\frac{6}{7}\)

प्रश्न 42.
यदि रेखा \(\frac{x-x_{1}}{l}=\frac{y-y_{1}}{m}=\frac{z-z_{1}}{n}\) तल ax + by + cz + d = 0 के समांतर हो, तो :
(a) \(\frac{a}{l}=\frac{b}{m}=\frac{c}{n}\)
(b) al + bm + cn = 0
(c) al² + bm² + cn² = 0
(d) a²l² + b²m² + c²n² = 0
उत्तर:
(b) al + bm + cn = 0

प्रश्न 43.
यदि एक सरल रेखा x, y और z अक्षों के साथ क्रमशः α, β और γ कोण बनाती है, तब
(a) cos² α + cos² β + cos² γ = -1
(b) sin² α + sin² β + sin² γ = 2
(c) cos² α + cos² β + cos² γ = 2
(d) cos² α + cos² β + cos² γ = 1
उत्तर:
(b) sin² α + sin² β + sin² γ = 2

प्रश्न 44.
समतल 2x – 3y + 4z – 6 = 0 की मूल बिन्दु से दूरी है :
(a) \(\frac{2}{\sqrt{29}}\)
(b) \(\frac{4}{\sqrt{29}}\)
(c) \(\frac{6}{\sqrt{29}}\)
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(c) \(\frac{6}{\sqrt{29}}\)

प्रश्न 45.
एक रेखा की दिक् अनुपात 2, -1, -2 है तब इसकी दिक कोज्याएँ हैं :
(a) \(\frac{2}{3}, \frac{-1}{3}, \frac{-2}{3}\)
(b) \(-\frac{1}{3}, \frac{2}{3},-\frac{2}{3}\)
(c) \(\frac{2}{3}, \frac{-2}{3}, \frac{1}{3}\)
(d) \(\frac{1}{3}, \frac{2}{3},-\frac{2}{3}\)
उत्तर:
(a) \(\frac{2}{3}, \frac{-1}{3}, \frac{-2}{3}\)

प्रश्न 46.

उत्तर:
(b) \(\frac{4}{9}\)

प्रश्न 47.
यदि A और B ऐसे हैं कि P(a) > 0 और P(b) ≠ 1 तब P(A/B) बराबर है:

उत्तर:
(c) \(1-\frac{P(A \cup B)}{P(B)}\)

प्रश्न 48.
यदि P(E) = 0.6, P(F) = 0.3 और P(E ∩ F) = 0.2 है तब P(\(\frac{\mathbf{E}}{\mathbf{F}}\)) तथा P(\(\frac{\mathbf{F}}{\mathbf{E}}\)) है:
(a) \(\frac{2}{3}\) तथा \(\frac{1}{3}\)
(b) \(\frac{1}{3}\) तथा \(\frac{2}{3}\)
(c) \(\frac{4}{3}\) तथा \(\frac{2}{3}\)
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(a) \(\frac{2}{3}\) तथा \(\frac{1}{3}\)

प्रश्न 49.
यदि A और B दो घटनाएँ एक ही यादृच्छिक प्रयोग से जुड़े हो ताकि P(a) = 0.4, P(b) = 0.8 और P(B/A) = 0.6 तब P(A/B) बराबर है:
(a) 0.3
(b) 0.4
(c) 0.5
(d) 0.6
उत्तर:
(a) 0.3

प्रश्न 50.
सुसंगत क्षेत्र कोई बिन्दु जो उद्देश्य फलन का उच्चतम या निम्नतम मान देता है, कहा जाता है
(a) अधिकतम मान
(b) इस्टतम मान
(c) निम्नतम मान
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(b) इस्टतम मान

खण्ड-ब : गैर-वस्तुनिष्ठ प्रश्न

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न संख्या 1 से 25 तक लघु उत्तरीय कोटि के हैं। प्रत्येक के लिए 2 अंक निर्धारित हैं। इनमें से किसी 15 प्रश्न का उत्तर दें। (15 × 2 = 30)

प्रश्न 1.
मान लीजिए कि समस्त n ∈ N के लिए

द्वारा परिभाषित एक फलन f : N → N है। बतलाइए कि क्या फलन f एकैकी आच्छादी (bijective) है। अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।
हल :
दिया है, f : N → N इस प्रकार परिभाषित है कि

1 और 2 का f-प्रतिबिम्ब 1 है
f एकैकी नहीं है।
सहप्रांत का प्रत्येक अवयव प्रांत के किसी न किसी अवयव का प्रतिबिम्ब है।
चूँकि 1, संख्या 1 और 2 का प्रतिबिम्ब है।
f आच्छादक है।
अतः f एकैकी नहीं परन्तु आच्छादक है।

प्रश्न 2.
ΔADC में, यदि A = tan^-1 2 तथा B = tan^-1 3 हो तो सिद्ध करें कि C = π/4.
हल :

प्रश्न 3.
सिद्ध करें कि \(2 \tan ^{-1} \frac{1}{3}+\tan ^{-1} \frac{1}{7}=\frac{\pi}{4}\)
हल :

प्रश्न 4.
x के किस मान के लिए : \(\left[\begin{array}{llll}
12 & 11 & 2 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 2
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
1 & 0 \\
2 \\
x
\end{array}\right]=0\) होगा?
हल :

प्रश्न 5.

हल :

प्रश्न 6.
सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग कर सिद्ध कीजिए :

हल :

प्रश्न 7.
बिना प्रसरण किए और सारणिको गुणधर्मो कर प्रयोग कर सिद्ध कीजिए :

हल :

प्रश्न 8.
यदि y = log tan (\(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\)) तो सिद्ध करें कि \(\frac{d y}{d x}\) – sex = 0.
हल :

प्रश्न 9.
x के सापेक्ष अवकलन कीजिए : (log x)^{cos x}
हल :
मान लिया कि y = (log x)^{cos x}
log y = cos x log (log x)
दोनों पक्षों को x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 10.
अवकलन कीजिए :
फलन f(x) = x² + 2x – 8, x ∈ [-4, 2] के लिए रोले के प्रमेय को सत्यापित कीजिए:
हल :
मान लिया कि फलन f(x) = x² + 2x – 8 अन्तराल [-4, 2] में
(a) फलन अन्तराल [-4, 2] में संतत है क्योंकि यह एक बहुपद है और बहुपद फलन संतत होता है।
(b) f'(x) = 2x + 2, f'(x) का अन्तराल (-4, 2), में अस्तित्व है।
अतः फलन अवकलनीय है।
(c) f(-4) = 0 और f(2) = 0 ⇒ f(-4) = f(2)
इस प्रकार रोले प्रमेय सन्तुष्ट होता है, इसलिए एक बिन्दु c ∈ (4, 2) ऐसा होना चाहिए ताकि
f'(c) = 0 ⇒ 2c + 2 = 0 ⇒ c = -1.

प्रश्न 11.
समाकलन कीजिए : ∫tan⁴x dx
हल :

प्रश्न 12.
मान जात कीजिए : \(\int_{2}^{8}|x-5| d x\)
हल :

प्रश्न 13.
क्नमलिंखत का समाकलन ज़ात कीरिए : \(\sqrt{\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}}\)
हल :

प्रश्न 14.
व्यापक हल ज्ञात कीजिए : \(\frac{d y}{d x}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\)
हल :

प्रश्न 15.
अवकल समीकरण (tan^-1 y – x) dy = (1 + y²) dx को हल कीजिए।
हल :

प्रश्न 16.
किसी ΔABC में, सिद्ध कीजिए कि \(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\)
हल :

प्रश्न 17.
सिद्ध कीजिए कि बिन्दु \(\vec{a}-2 \vec{b}+3 \vec{c}, 2 \vec{a}+3 \vec{b}-4 \vec{c}\) तथा \(-7 \vec{b}+10 \vec{c}\) सरेख हैं।
हल :
माना कि O मूल बिन्दु है तब प्रश्नानुसार

प्रश्न 18.
दर्शाइए कि बिंदु (2, 3, 4), (-1, -2, 1), (5, 8, 7) सरेख हैं।
हल:
मान लिया कि दिए गए बिन्दुएँ A (2, 3, 4), B (-1, -2, 1), C(5, 8, 7) हैं।
रेखा AB की दिक् अनुपात x₂ – x₁, y₂ – y₁, z₂ – z₁
अर्थात (-1 – 2), (-2 – 3), (1 – 4)
या, -3, -5, -3
और रेखा BC की दिक् अनुपात 5 – (-1), 8 – (-2), (7 – 1)
या, 6, 10,6 जो AB के-2 गुना हैं।
अर्थात AB और BC के समान दिक् अनुपात हैं।
AB || BC और ABतथा BC में बिन्दु B उभयनिष्ठ हैं।
अत: A, B, C सरेख हैं।

प्रश्न 19.
उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ बिन्दुओं P (1, -2, 3) और Q(4, 7, 8) को मिलाने वाली रेखा XY-तल को काटती है।
हल :
बिन्दुएँ P(1, -2, 3) और Q (4, 7, 8) से जाने वाली रेखा का सदिश समीकरण

प्रश्न 20.
रेखा युग्म के बीच का कोण ज्ञात कीजिए :

हल :

प्रश्न 21.
एक न्याय्य सिक्का और एक अभिनत पासे को उछाला गया। मान लीजिए A घटना “सिक्के पर चित प्रकट होता है’ और B घटना ‘पासे पर संख्या 3 प्रकट होती है’ को निरूपित करते हैं। निरीक्षण कीजिए कि घटनाएँ A और B स्वतंत्र हैं या नहीं?
हल :
जब एक सिक्के को उछाला जाता है तब चित या पट आता है।
चित आने की प्रायिकता P(A) = \(\frac{1}{2}\)
जब पासे को उछाला जाता है तब 1, 2, 3, 4, 5, 6 में से कोई एक आता है।
3 प्राप्त होने की प्रायिकता = P(B) = \(\frac{1}{6}\)
जब एक सिक्के और पासे को उछाला जाता है तब संभव परिणाम
H₁, H₂, H₃, H₄, H₅, H₆
T₁, T₂, T₃, T₄, T₅, T₆
चित और 3 केवल एक ही बार प्राप्त होता है।
चित और 3 प्राप्त होने की प्राचिकता = \(\frac{1}{12}\)
अर्थात P(A ∩ B) = \(\frac{1}{12}\)
P(A) × P(B) = \(\frac{1}{2} \times \frac{1}{6}=\frac{1}{12}\)
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
अतः घटनाएँ A और B स्वतंत्र हैं।

प्रश्न 22.
7 या 11 आने की क्या प्रायिकता होंगे यदि दो पासे फेंके जाते हैं?
हल :
चूँकि एक पासा में छ: फलक होते हैं, इसलिए दो पासे में 6 × 6 फलक होंगे।
इस प्रकार दो पासे को फेंकने पर कुल प्रतिदर्श
n(S) = 6 × 6 = 36
माना कि 7 आने की घटना A है, तब
A = {(1, 6), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)}
⇒ n(a) = 6
फिर यदि 11 आने की घटना B हो,
तो B = {(5, 6), (6, 5)}
⇒ n(b) = 2

प्रश्न 23.
X और Y ज्ञात कीजिए यदि
X + Y = \(\left[\begin{array}{ll}
7 & 0 \\
2 & 5
\end{array}\right]\) और X – Y = \(\left[\begin{array}{ll}
3 & 0 \\
0 & 3
\end{array}\right]\)
हल :

प्रश्न 24.
यदि A = \(\left[\begin{array}{ll}
3 & -2 \\
4 & -2
\end{array}\right]\) और I = \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right]\) एवं A² = kA – 2I. हो तो k का मान ज़ांत कीजिए।
हल :

प्रश्न 25.

हल :

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न संख्या 26 से 33 तक दीर्घ उत्तरीय कोटि के प्रश्न हैं। प्रत्येक के लिए 5 अंक निर्धारित हैं। प्रत्येक प्रश्न के साथ “अथवा” का विकल्प दिया गया है। आपको प्रश्न या अथवा में से किसी एक का उत्तर देना है।

प्रश्न 26.
फलन f(x) = 2x³ – 15x² + 36x + 1 का अन्तराल [1, 5] पर निरपेक्ष महत्तम और न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।
हल :
f(x) = 2x³ – 15x² + 36x + 1
⇒ f'(x) = 6x² – 30x + 36
⇒ f'(x) = 6(x² – 5x + 6) = 6(x – 3)(x – 2)
यदि f'(x) = 0 तब x = 2, x = 31
अब अन्तराल [1, 5] तथा x = 2, x = 3 पर fका मान करते हैं :
f(x) = 2x³ – 15x² + 36x + 1
⇒ f(1) = 2 – 15 + 36 + 1 = 39 – 15 = 24
f(2) = 2 × 2³ – 15 × 2² + 36 × 2 + 1 = 16 – 60 + 72 + 1 = 89 – 60 = 29
f(3) = 2 × 3³ – 15 × 3² + 36 × 3 + 1 = 54 – 135 + 108 + 1 = 163 – 135 = 28
f(5) = 2 × 5³ – 15 × 5² + 36 × 5 + 1 = 250 – 375 + 180 + 1 = 56
इस प्रकार फलन fनिरपेक्ष महत्तम मान [1, 5] पर 56, x = 5 पर और न्यूनतम मान 2y, x = 1 पर है।

प्रश्न 27.
लैग्रांजे माध्यमान प्रमेय की सत्यता जाँचें जबकि फलन f(x) = (x – 1) (x – 2) (x – 3) अंतराल में [0, 4].
हल :
दिया गया फलन, f(x) = (x – 1) (x – 2) (x – 3), [0, 4]
अन्तराल में,
⇒ f(x) = (x² – x – 2x + 2) (x – 3)
⇒ f(x) = (x² – 3x + 2) (x – 3) = x³ – 3x² + 2x – 3x + 9x – 6
⇒ f(x) = x³ – 6x² + 11x – 6
चूँकि f(x) एक बहुपद फलन है और बहुपद फलन संतत होता है, अर्थात् f(x), [0, 4] में संतत है।
साथ ही, f'(x) = 3x² – 2x + 11, का अन्तराल ]0, 4[ में अस्तित्व है।
इस प्रकार f(x), ]0, 4[ में अवकलनीय है।
अत: लेग्रांजे प्रमेय का दोनों शर्त सन्तुष्ट होता है।
c ∈ ]0, 4[ का अस्तित्व है।

स्पष्ट है कि c के दोनों मान अन्तराल ]0, 4[ के बीच स्थित है। इस प्रकार लेग्रांजे मध्यमान प्रमेय का जाँच हो जाता है।

प्रश्न 28.
मान ज्ञात कीजिए :

हल :

प्रश्न 29.
वक्रों (x – 1)² + y² = 1 एवं x² + y² = 1 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया गया वृत्त x² + y² = 1 …(1)
और (x – 1)² + y² = 1 …(2)
वृत्त (1) का केन्द्र O (0, 0) और त्रिज्या = 1 है।
वृत्त (2) का केन्द्र O (1, 0) और त्रिज्या = 1 है।
दोनों वृत्त -अक्ष के परितः सममित है।
(1) और (2) को हल करने पर,

प्रश्न 30.
दर्शाइए कि बिंदु A, B और C जिनके स्थिति सदिश क्रमशः \(\vec{a}=3 \hat{i}-4 \hat{j}-4 \hat{k}, \vec{b}=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\) और \(\vec{c}=\hat{\mathbf{i}}-3 \hat{\mathbf{j}}-5 \hat{\mathbf{k}}\), हैं, एक समकोण त्रिभुज के शीर्षों का निर्माण करते हैं।
हल :
मान लिया कि A,B और C के स्थिति सदिश क्रमशः

प्रश्न 31.

हल :

प्रश्न 32.
न्यूनतमीकरण करें Z = x + 2y जबकि 2x + y ≥ 3, x + 2y ≥ 6, x, y ≥ 0.
हल :
दिए गए व्यवरोधों 2x + y ≥ 3 ⇒ 2x + y = 3 …. (1)
x + 2y ≥ 6 ⇒ x + 2y = 6 …… (2)
x, y ≥ 0 ⇒ x = 0, y = 0 …(3)
के अन्तर्गत उद्देश्य फलन Z = x + 2y का न्यूनतमीकरण करना है। सर्वप्रथम असमीकरण (1) से (3) के संगत समीकरण का आलेख खींचते हैं।

आलेख से स्पष्ट है कि रेखा 2x + y = 3 क्वन्दु (\(\frac{3}{2}\), 0) और (0, 3) से गुजरती है।
2x + y ≥ 3 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≥ 3 पाते हैं।
2x + y ≥ 3 का क्षेत्र रेखा पर और रेखा के ऊपर वाला भाग है।
इसी प्रकार रेखा x + 2y = 6 बिन्दुएँ A(6, 0) और B(0, 3) से गुजरती है।
x + 2y ≥ 6 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≥ 6 पाते हैं।
x + 2y ≥ 6 का क्षेत्र रेखा पर और रेखा के ऊपर वाला भाग है।
x ≥ 0, y-अक्ष और y-अक्ष के दाहिने और स्थित है।
y ≥ 0, x-अक्ष और x-अक्ष के ऊपर की ओर स्थित है।
इस प्रकार रेखा AB के ऊपर वाला छायांकित भाग XABY सम्भाव्य क्षेत्र है।
अब रेखा AB के बिन्दुएँ A(6, 0) तथा B(0, 3) से उद्देश्य फलन Z = x + 2y न्यूनतम मान ज्ञात करते हैं।
बिन्दुएँ Z = x + 2y
A(6, 0), Z = 6 + 2 × 0 = 6
A(0, 3), Z = 0 + 2 × 3 = 6
अतः उद्देश्य फलन Z का उभयनिष्ठ न्यूनतम मान 6 है।

प्रश्न 33.
एक निर्माणकर्ता नट और बोल्ट का निर्माण करता है। एक पैकेट नटों के निर्माण में मशीन A पर एक घंटा और मशीन B पर 3 घंटे काम करना पड़ता है। जबकि एक पैकेट बोल्ट के निर्माण में 3 घंटे मशीन A पर और 1 घंटा मशीन B पर काम करना पड़ता है। वह नटों से Rs. 17.50 प्रति पैकेट और बोल्टों से 7.00 पैकेट लाभ कमाता है। यदि प्रतिदिन मशीनों का अधिकतम उपयोग 12 घंटे किया जाए तो प्रत्येक (नट और बोल्ट) के कितने पैकेट
उत्पादित किए जाएं ताकि अधिकतम लाभ कमाया जा सके।
हल :
मान लिया कि x पैकेट नट और y पैकेट का उत्पादन किया जाता है।
दिया है

मशीन A के उपयोग का समय = x + 3y घंटे
उपलब्ध समय = 12 घंटे
x + 3y ≤ 12
मशीन B के उपयोग का समय = 3x + y घंटे
उपलब्ध समय = 12 घंटे
3x + y ≤ 12
कुल लाभ = 17.50x + 7.00y
अर्थात उद्देश्य फलन = 17.5x + 7y
अवरोध है: x + 3y ≤ 12, 3x + y ≤ 12, x, y ≥ 0

x + 3y ≤ 12 के संगत रेखा का समीकरण x + 3y = 12 बिंदु A (12, 0) और B (0, 4) से होकर जाती है।
x + 3y ≤ 12 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≤ 12 जो सत्य है।
अर्थात x + 3y ≤ 12 क्षेत्र के बिंदु AB पर और उस के नीचे स्थित है।
3x + y ≤ 12 के संगत रेखा का समीकरण 3x + y = 12 बिंदु C (4, 0) और D (0, 12) से होकर जाती है।
3x + y ≤ 12 में x =0, y = 0 रखने पर, 0 ≤ 12 जो सत्य है।
अर्थात 3x + y ≤ 12 के क्षेत्र बिन्दु रेखा CD पर या उसके नीचे स्थित है।
x ≥ 0 क्षेत्र के बिंदु y-अक्ष पर और उस की दायीं ओर है।
y ≥ 0 क्षेत्र के बिंदु x-अक्ष पर और उस के ऊपर हैं।
रेखा AB : x + 3y = 12 और रेखा CD : 3x + y = 12 बिंदु P (3, 3) पर प्रतिच्छेद करती है।
इस प्रकार समस्या का सुसंगत क्षेत्र OCPB है।
उद्देश्य फलन Z = 17.5x + 7y है।
C (4, 0) पर Z = 17.5 × 4 + 0 = 7y
P(3, 3) पर Z = 17.5 × 3 + 7 × 3 = 73.5
B (0, 4) पर Z = 0 + 7 × 4 = 28
अतः अधिकतम लाभ Rs. 73.5 होगा जब 3 नट और 3 बोल्ट के पैकेट का उत्पादन किया जाए।

Bihar Board 12th Maths Model Papers

Bihar Board 12th Maths Model Question Paper 2 in Hindi

समय : 3 घंटे 15 मिनट
अंक : 100

परिक्षार्थियों के लिए निर्देश

1. परीक्षार्थी यथासंभव अपने शब्दों में ही उत्तर दें।
2. दाहिनी ओर हाशिये पर दिये हुए अंक पूर्णांक निर्दिष्ट करते हैं।
3. उत्तर देते समय परीक्षार्थी यथासंभव शब्द-सीमा का ध्यान रखें।
4. इस प्रश्न पत्र को ध्यानपूर्वक पढ़ने के लिए पन्द्रह मिनट का अतिरिक्त समय दिया गया है।
5. यह प्रश्न-पत्र के दो खण्डों में है, खण्ड-अ एवं खण्ड-ब।
6. खण्ड-अ में 1-50 तक वस्तुनिष्ठ प्रश्न हैं, सभी प्रश्न अनिवार्य हैं। (प्रत्येक प्रश्न के लिए 1 अंक निर्धारित है), इनके उत्तर उपलब्ध कराये गये OMR शीट में दिये गये वृत्त को काले / नीले बॉल पेन से भरें। किसी भी प्रकार के व्हाइटनर/तरल पदार्थ/ब्लेड/नाखून आदि का OMR-शीट में प्रयोग करना मना है, अन्यथा परीक्षा परिणाम अमान्य होगा।
7. खण्ड-ब में 25 लघुउत्तरीय प्रश्न हैं (प्रत्येक प्रश्न के लिए 2 अंक निर्धारित है) जिनमें से किन्ही 15 प्रश्नों के उत्तर देना अनिवार्य है। इसके अतिरिक्त खण्ड में 08 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (प्रत्येक प्रश्न के लिए 05 अंक निर्धारित हैं) जिनमें से किन्हीं 4 प्रश्नों के उत्तर देना है।
8. किसी तरह के इलेक्ट्रॉनिक-यंत्र का इस्तेमाल वर्जित है।

खण्ड-अ : वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न संख्या 1 से 50 तक के प्रत्येक प्रश्न के साथ चार विकल्प दिए गए हैं, जिनमें से एक सही है। अपने द्वारा चुने गए सही विकल्प को OMR शीट पर चिह्नित करें। (50 × 1 = 50)

प्रश्न 1.
समुच्चय A पर परिभाषित सम्बन्ध र एक रिक्त सम्बन्ध है यदि
(a) 0 ⊆ A × A
(b) Φ ⊆ A × A
(c) {0} ⊆ A × A
(d) {Φ} ⊆ A × A
उत्तर:
(b) Φ ⊆ A × A

प्रश्न 2.

उत्तर:
(b) \(g(y)=\frac{4 y}{4-3 y}\)

प्रश्न 3.
मान लीजिए कि N में एक द्विआधारी संक्रिया * : a * b = a तथा b का L.C.M द्वारा परिभाषित है तब 20 * 16 = ……
(a) 0
(b) 40
(c) 60
(d) 80
उत्तर:
(d) 80

प्रश्न 4.

उत्तर:
(b) \(\tan ^{-1} \frac{6}{7}\)

प्रश्न 5.

उत्तर:
(a) \(\frac{\pi}{4}\)

प्रश्न 6.

उत्तर:
(c) π

प्रश्न 7.

उत्तर:
(c) \([0, \pi]-\left\{\frac{\pi}{2}\right\}\)

प्रश्न 8.
Sec-1 का प्रान्त है :
(a) [-1, 1]
(b) R – {0}
(c) R – (-1, 1)
(d) R – [-1, 1]
उत्तर:
(c) R – (-1, 1)

प्रश्न 9.

उत्तर:
(b) \(\frac{\pi}{3}\)

प्रश्न 10.
आब्यूह \(\left[\begin{array}{lll}
2 & 0 & 0 \\
0 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 6
\end{array}\right]\) एक है :
(a) अदिश आब्यूह
(b) इकाई आब्यूह
(c) शून्य आब्यूह
(d) विकर्ण आब्यूह
उत्तर:
(d) विकर्ण आब्यूह

प्रश्न 11.
यदि A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & -2 & 3 \\
-4 & 2 & 5
\end{array}\right]\) तथा B = \(\left[\begin{array}{ll}
2 & 3 \\
4 & 5 \\
2 & 1
\end{array}\right]\) तो
(a) AB, BA का आस्तित्व है और दोनों बराबर है
(b) AB का आस्तित्व है और BA का आस्तित्व नहीं है
(c) AB का आस्तित्व नहीं है और BA का आस्तित्व है
(d) AB और BA का आस्तित्व है परन्तु बराबर नहीं है
उत्तर:
(d) AB और BA का आस्तित्व है परन्तु बराबर नहीं है

प्रश्न 12.
यदि \(\left[\begin{array}{ll}
4 & 3 \\
x & 5
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
y & z \\
1 & 5
\end{array}\right]\) तब x, y, z का मान होगा:
(a) 1, 2, 3
(b) 1, 4, 3
(c) 3, 4, 0
(d) 0, 0, 1
उत्तर:
(b) 1, 4, 3

प्रश्न 13.
निम्नलिखित में कौन-सा कथन सत्य है :
(a) सारणिक एक वर्ग आब्यूह है
(b) सारणिक एक आब्यूह से संबद्ध एक संख्या है
(c) सारणिक एक वर्ग आब्यूह से संबद्ध एक संख्या है
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(a) सारणिक एक वर्ग आब्यूह है

प्रश्न 14.
यदि \(\left|\begin{array}{cc}
2 & 2 \\
5 & 1
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}
2 x & 4 \\
6 & x
\end{array}\right|\) तो x का मान होगा :
(a) ±2
(b) ±2√2
(c) ±2√3
(d) ±√3
उत्तर:
(b) ±2√2

प्रश्न 15.

उत्तर:
(b) abc

प्रश्न 16.
समीकरण निकाय 2x + 5y = 1, 3x + 2y = 7 का हल है :
(a) x = 1, y = 2
(b) x = 3, y = -1
(c) x = 1, y = -2
(d) x = 2, y = -1
उत्तर:
(b) x = 3, y = -1

प्रश्न 17.
यदि y = (3x² – 9x + 5)⁹ तब \(\frac{d y}{d x}\) का मान होगा :
(a) 27 (3x² – 9x + 5)8 (2x – 3)
(b) 27 (3x² – 9x + 5)
(c) 27 (2x – 3)
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(a) 27 (3x² – 9x + 5)⁸ (2x – 3)

प्रश्न 18.

उत्तर:
(b) \(\frac{12}{(3-2 x)^{2}} \sin \left[\log \frac{2 x+3}{3-2 x}\right]\)

प्रश्न 19.
यदि y = x^x हो तब \(\frac{d y}{d x}\) बराबर है:
(a) x^x (1 + log x)
(b) x^x logx
(c) log x
(d) 0
उत्तर:
(a) x^x (1 + log x)

प्रश्न 20.
यदि y = sin (x³) हो तब \(\frac{d y}{d x}\) बराबर है :
(a) x³ cos(x³)
(b) 3x² sin(x³)
(c) 3x² cos(x³)
(d) cos(x³)
उत्तर:
(c) 3x² cos(x³)

प्रश्न 21.
f(x) = 3x + 17 से प्रदत्त फलन, R पर
(a) निरंतर वर्धमान
(b) निरंतर हासमान है
(c) न तो वर्धमान है और न हासमान है
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(a) निरंतर वर्धमान

प्रश्न 22.
वक्र y = x² + 3x + 4 के बिन्दु (1, 1) पर अभिलम्ब की प्रवणता है :
(a) 5
(b) \(-\frac{1}{5}\)
(c) 8
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(b) \(-\frac{1}{5}\)

प्रश्न 23.
m का मान क्या होगा यदि रेखा y = mx + 1, वक्र y² = 4x की स्पर्श रेखा है:
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) \(\frac{1}{2}\)
उत्तर:
(a) 1

प्रश्न 24.
यदि f(x) = 3x² + 15x + 5 हो, तो f(3.02) का सन्निकट मान है:
(a) 47.66
(b) 57.66
(c) 67.66
(d) 77.66
उत्तर:
(d) 77.66

प्रश्न 25.
\(\int \frac{\sec ^{2}(\log x)}{x} d x=\)
(a) log(tan x) + c
(b) -log(tan x) + c
(c) tan(tan x) + c
(d) tan(log x) + c
उत्तर:
(d) tan(log x) + c

प्रश्न 26.

उत्तर:
(b) \(e^{\tan ^{-1} x}+c\)

प्रश्न 27.

उत्तर:
(b) \(\frac{\pi}{4}\)

प्रश्न 28.

उत्तर:
(a) \(\int_{a}^{c} f(x) d x\)

प्रश्न 29.

उत्तर:
(b) \(\frac{x^{n+1}}{n+1}+k\)

प्रश्न 30.

उत्तर:
(c) e^x log x

प्रश्न 31.
x-अक्ष और वक्र y = cos x, जहाँ 0 ≤ x ≤ 2π के बीच का क्षेत्रफल है:
(a) 0
(b) 2
(c) 3
(d) 4
उत्तर:
(d) 4

प्रश्न 32.
निम्नलिखित अवकल समीकरणों में किसका एक विशिष्ट हल y = x है:

उत्तर:
(c) \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-x^{2} \frac{d y}{d x}+x y=0\)

प्रश्न 33.

उत्तर:
(b) \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-y=0\)

प्रश्न 34.
अवकल समीकरण \(\left(\frac{d s}{d t}\right)^{4}+3 s \frac{d^{2} s}{d t^{2}}=0\) की कोटि और घात है?
(a) 1, 2
(b) 2, 1
(c) 2, 4
(d) 4, 2
उत्तर:
(b) 2, 1

प्रश्न 35.
निम्नलिखित में से कौन-सा समघातीय अवकल समीकरण है :
(a) (4x + 6y + 5) dy – (3y + 2x + 4) dx = 0
(b) xy dx – (x³ + y³) dy = 0
(c) (x³ + 2y²) dx + 2xy dy = 0
(d) y² dx + (x² – xy – y) dy = 0
उत्तर:
(c) (x³ + 2y²) dx + 2xy dy = 0

प्रश्न 36.

उत्तर:
(d) \(\frac{1}{\sqrt{1-y^{2}}}\)

प्रश्न 37.

उत्तर:
(b) -15

प्रश्न 38.

उत्तर:
(b) 7

प्रश्न 39.
त्रिभुज ABC के लिए कौन-सा कथन सत्य है :

उत्तर:
(c) \(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}-\overrightarrow{C A}=0\)

प्रश्न 40.
यदि तीन बिन्दुओं के स्थिति सदिश \(\vec{a}-2 \vec{b}+3 \vec{c}, 2 \vec{a}\) \(+3 \vec{b}-4 \vec{c}, 7 \vec{b}-10 \vec{c}\) हैं तब ये हैं :
(a) एकरैखिक
(b) एकतलीय
(c) नैकतलीय
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(b) एकतलीय

प्रश्न 41.
यदि a + b + c = 0 तो :
(a) \(\vec{a} \cdot \vec{b}=0\)
(b) \(\vec{a}=\vec{b}\)
(c) \(\vec{a} \times \vec{b}=\vec{b} \times \vec{c}=\vec{c} \times \vec{a}\)
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(c) \(\vec{a} \times \vec{b}=\vec{b} \times \vec{c}=\vec{c} \times \vec{a}\)

प्रश्न 42.
दो सदिशों \(\vec{a}\) और \(\vec{a}\) में के बीच का कोण θ है तब cos θ बराबर

उत्तर:
(a) \(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\)

प्रश्न 43.

उत्तर:
(c) समकोणीय

प्रश्न 44.
अभिलम्ब रूप में समतल का सदिश समीकरण है :
(a) \(\vec{r} \cdot \hat{n}=d\)
(b) \(\vec{r}-d=\hat{n}\)
(c) \(\vec{r} d=\hat{n}\)
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(a) \(\vec{r} \cdot \hat{n}=d\)

प्रश्न 45.
समतल 2x – y + 4z = 5 और 5x – 2.5y + 10z = 6 हैं :
(a) परस्पर लम्ब
(b) समान्तर
(c) y-अक्ष पर प्रतिच्छेद करती है
(d) बिंदु (0, 0, \(\frac{5}{4}\)) से गुजरते हैं
उत्तर:
(b) समान्तर

प्रश्न 46.
एक छात्राबास में 60% विद्यार्थी हिन्दी का 40% अंग्रेजी का, और 20% दोनों अखबार पढ़ते हैं तब न तो हिन्दी और नहीं अंग्रेजी अखबार पढ़ने की प्रायिकता है:
(a) 0.2
(b) 0.3
(c) 0.4
(d) 0.5
उत्तर:
(a) 0.2

प्रश्न 47.
एक पासों के साथ एक द्विक प्राप्त करने की प्रायिकता है :
(a) \(\frac{2}{3}\)
(b) \(\frac{1}{6}\)
(c) \(\frac{5}{6}\)
(d) \(\frac{5}{36}\)
उत्तर:
(b) \(\frac{1}{6}\)

प्रश्न 48.
निम्नलिखित कौन रैखिक प्रोग्रामन समस्या नहीं है :
(a) आहार सम्बन्धी समस्या
(b) खपत सम्बन्धी समस्या
(c) उत्पादन सम्बन्धी समस्या
(d) परिवहन सम्बन्धी समस्या
उत्तर:
(b) खपत सम्बन्धी समस्या

प्रश्न 49.
रैखिक प्रोग्रामन समस्या में कौन ऋणेत्तर व्यवरोध कहलाता है :
(a) x = 0, y = 0
(b) x ≥ 0, y ≥ 0
(c) x ≤ 0, 920
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(b) x ≥ 0, y ≥ 0

प्रश्न 50.
रैखिक प्रोग्रामन समस्या में फलन Z = ax + by को कहा जाता है :
(a) उद्देश्य फलन
(b) व्यवरोध
(c) सुसंगत हल
(d) कोणीय बिन्दु
उत्तर:
(a) उद्देश्य फलन

खण्ड-ब : गैर-वस्तुनिष्ठ प्रश्न

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न संख्या 1 से 25 तक लघु उत्तरीय कोटि के हैं। प्रत्येक के लिए 2 अंक निर्धारित हैं। इनमें से किसी 15 प्रश्न का उत्तर दें। (2 × 15 = 30)

प्रश्न 1.
किसी समतल में त्रिभुजों का समुच्चय T पर सम्बन्ध R = {(T₁, T₂) : T₁, T₂ के सर्वांगसम है} से परिभाषित है। सिद्ध कीजिए कि R एक तुल्यता सम्बन्ध है।
हल :
माना कि T₁, T₂, T₃ ∈ T तब
(i) (T, T) ∈ R
⇒ TRT
⇒ प्रत्येक त्रिभुज खुद से सर्वांगसम है।
⇒ इसलिए R स्वतुल्य सम्बन्ध है।
(ii) (T₁, T₂) ∈ R
⇒ (T₂, T₁) ∈ R
⇒ T₁, T₂ के सर्वांगसम है
⇒ T₂, T₁ के सर्वांगसम होगा
⇒ इसलिए R एक सममित सम्बन्ध है।
(iii) (T₁, T₂) ∈ R
⇒ (T₂, T₃) ∈ R
⇒ (T₁, T₃) ∈ R
⇒ T₁, T₂ के सर्वांगसम और T₂, T₃ के सर्वांगसम है
⇒ T₁, T₃ के सर्वांगसम होगा
⇒ इसलिए R एक संक्रमक सम्बन्ध है।
चूँकि R स्वतुल्य, सममित और संक्रमक सम्बन्ध है।
अतः R एक तुल्यता सम्बन्ध है।

प्रश्न 2.

हल :

प्रश्न 3.

हल :

प्रश्न 4.
आब्यूह के व्युत्क्रम, यदि उनका अस्तित्व है, तो प्रारम्भिक रूपान्तरण के प्रयोग से ज्ञात कीजिए : \(\left[\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
2 & -1
\end{array}\right]\)
हल :

प्रश्न 5.
यदि A = \(\left[\begin{array}{cc}
3 & -5 \\
-4 & 2
\end{array}\right]\) तो जाँच कर दिखाइए कि A² – 5A – 14I = 0.
हल :
दिया है, A = \(\left[\begin{array}{cc}
3 & -5 \\
-4 & 2
\end{array}\right]\)
हल :

प्रश्न 6.

हल :

प्रश्न 7.

हल :

प्रश्न 8.

हल :

प्रश्न 9.
\(\frac{d y}{d x}\) ज्ञात कीजिए : x^y + y^x = 1.
हल :

प्रश्न 10.

हल :

प्रश्न 11.
समाकलन कीजिए : \(\int \frac{d x}{1+\sin x}\)
हल :

प्रश्न 12.
मान ज्ञात कीजिए : \(\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{2} x d x\)
हल :

प्रश्न 13.
समाकलन कीजिए : \(\int \frac{x d x}{x^{2}-3 x+2}\)
हल :

प्रश्न 14.
x = 0 तथा x = 2π से घिरे वक्र y = cos x का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

प्रश्न 15.
दर्शाइए कि दिए गए अवकल समीकरण समघातीय है और इन्हें हल कीजिए :
\(x \frac{d y}{d x}-y+x \sin \frac{y}{x}=0\)
हल :

प्रश्न 16.
सदिश विधि से सिद्ध कीजिए कि किसी समकोण त्रिभुज में कर्ण का मध्य बिन्दु Δ के शीर्षों से समान दूरी पर हैं।
हल :
माना कि ABC एक समकोण Δ जिसका कोण ∠AOB = 90° है।
माना कि Δ के कर्ण AB का मध्य बिन्दु D है।
सिद्ध करना है कि OD = DA = DB माना कि O मूल बिन्दु है और Δ के शीर्ष A तथा B का स्थिति सदिश क्रमशः \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) है।

प्रश्न 17.

हल :

प्रश्न 18.
तलों x + y + z = 1 और 2x + 3y + 4z = 5 के प्रतिच्छेदन रेखा से होकर जाने वाले तथा तल x – y + z = 0 पर लंबवत् तल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल :
समतलों x + y + z = 1 तथा 2x + 3y + 4z = 5 के प्रतिच्छेदन रेखा से जाने वाली समतल का समीकरण x + y + z – 1 + λ(2x + 3y + 4z – 5) = 0

प्रश्न 19.
मूल बिन्दु से समतल 2x – 3y + 4z – 6 = 0 पर डाले गए लम्ब के पाद के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल :
माना कि मूल बिन्दु O से समतल पर डाले गए लम्ब के पाद P का निर्देशांक P(x₁, y₁, z₁) है।
तब रेखा OP के दिक् अनुपात x₁, y₁, z₁ है ।
अब समतल दिक् अनुपात 2, -3, 4 है इसलिए दिक् कोज्याएँ हैं :

प्रश्न 20.
उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ बिंदुओं (5, 1, 6) और (3, 4, 1) को मिलाने वाली रेखा ZX-तल को काटती है।
हल :

प्रश्न 21.
पासों के एक जोड़े को 4 बार उछाला जाता है। यदि ‘पासों पर प्राप्त अंकों का द्विक होना’ एक सफलता मानी जाती है, तो 2 सफलताओं की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल :
जब दो पासे उछाला जायगा तब अंकों का द्विक 6 तरीके से प्राप्त हो सकता है
कुल संभव परिणाम = 6 × 6 = 36
एक द्विक प्राप्त होने की प्रायिकता = \(\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\)
इस प्रकार p = \(\frac{1}{6}\) और q = \(\frac{5}{6}\)
4 उछाल में 2 बार सफल होने की प्रायिकता

प्रश्न 22.
एक अनभिनत पासे को फेंकने पर प्राप्त संख्याओं का प्रसरण ज्ञात कीजिए।
हल :
स्पष्ट है कि परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि है :
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ⇒ n(S) = 6
माना कि X पासे की संख्या एक यादृच्छिक चर है जो 1, 2, 3, 4, 5 या 6 मान ले सकता है। साथ ही
P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = \(\frac{1}{6}\)
X का प्रायिकता बंटन निम्न प्रकार होगा :

प्रश्न 23.

हल :

प्रश्न 24.

हल :

प्रश्न 25.

हल :

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न संख्या 26 से 33 तक दीर्घ उत्तरीय कोटि के प्रश्न हैं। प्रत्येक के लिए 5 अंक निर्धारित हैं। प्रत्येक प्रश्न के साथ “अथवा” का विकल्प दिया गया है। आपको प्रश्न या अथवा में से किसी एक प्रश्न का उत्तर देना है। (5 × 6 = 30)

प्रश्न 26.
सिद्ध कीजिए कि फलन sin x (1 + cos x), x ∈ [0, π], x = \(\frac{\pi}{3}\) पर महत्तम है।
हल :

प्रश्न 27.
यदि cos y = x cos(a + y) तो \(\frac{d y}{d x}=\frac{\cos ^{2}(a+y)}{\sin a}\)
हल :

प्रश्न 28.
मान ज्ञात कीजिए : \(\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos ^{2} x} d x\)
हल :

प्रश्न 29.
समाकलन विधि के त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (1, 0), (2, 2) और (3, 1) है।
हल :
माना कि A(1, 0), B(2, 2) तथा C(3, 1) त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं।
तब ΔABC की भुजाएँ AB, BC तथा CA का समीकरण क्रमशः
y = 2(x – 1), y = 4 – x और y = \(\frac{1}{2}\) (x – 1) होंगे।
ΔABC का क्षेत्रफल = ΔABD का क्षेत्रफल + समलम्बचतुर्भुज BDEC का क्षेत्रफल – ΔAEC का क्षेत्रफल ।

प्रश्न 30.

हल :

प्रश्न 31.
उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ बिंदुओं (5, 1, 6) और (3, 4, 1) को मिलाने वाली रेखा YZ-तल को काटती हैं।
हल :
बिन्दुओं (x₁, y₁, z₁) और (x₂, y₂, z₂) से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण हैं:

प्रश्न 32.
निम्न अवरोधों के अंर्तगत Z = 3x + 2y का न्यूनतमीकरण कीजिए :
x + 2y ≤ 10, 3x + y ≤ 15, x, y ≥ 0
हल :
उद्देश्य फलन Z = 3x + 2y, अवरोध है:
x + 2y ≤ 10, 3x + y ≤ 15, x, y ≥ 0
x + 2y ≤ 10 के संगत रेखा का समीकरण x + 2y = 10 बिन्दु A(10, 0) और B (0, 5) से गुजरती है।
x + 2y = 10 का आरेख रेखा AB है।
अतः x + 2y ≤ 10 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≤ 10 जो सत्य है।
अतः x + 2y ≤ 10 क्षेत्र के बिन्दु रेखा AB पर और इसके नीचे हैं।
3x + y ≤ 15 के संगत रेखा का समीकरण
3x + y = 15 बिन्दु P(5, 0) और Q(0, 15) से होकर जाती है।
3x + y = 15 का आरेख PQ हैं पुनः
3x + y ≤ 15 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≤ 15 जो सत्य है।
अत: 3x + y ≤ 15 क्षेत्र के बिन्दु रेखा PQ पर और PQ के नीचे है।

x ≥ 0, क्षेत्र के बिन्दु.y-अक्ष पर और इस के दायीं ओर है।
y ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु x-अक्ष पर और इस के ऊपर है।
इस प्रकार समस्या का सुसंगत क्षेत्र OBRP है जबकि R बिन्दु AB और PQ का प्रतिच्छेदन बिन्दु है।
AB = x – 2y = 10; PQ = 3x + y = 15 को हल करने पर बिन्दु (4, 3) प्राप्त होता है।
उद्देश्य फलन – Z = 3x + 2y
B(0, 5) पर Z = 2 × 5 = 10
R(4, 3) पर Z = 12 + 6 = 18
P(5, 0) पर Z = 3 × 5 + 0 = 15
अत: Z का न्यूनतम मान 10 है जो बिन्दु B(0, 5) पर है।

प्रश्न 33.
निम्नांकित LPP का आलेखीय हल निकालें :
अधिकतमीकरण के Z = 45x + 80y
जबकि 5x + 20y ≤ 400, 10x + 15y ≤ 450 और x ≥ 0, y ≥ 0.
हल :
दिए गए उद्देश्य फलन Z = 45x + 80y का निम्न व्यवरोधों के संगत समीकरण
5x + 20y ≤ 400 ⇒ 5x + 20y = 400 …… (1)
10x + 15y ≤ 450 ⇒ 10x + 15y = 450 …….(2)
x ≥ 0, y ≥ 0 ⇒ x = 0, y = 0 ……(3)
के अन्तर्गत Z का अधिकतम मान ज्ञात करना है।
सर्वप्रथम (1) से (3) के असमीकरण के संगत समीकरण का आलेख आकृति के अनुसार खींचते हैं।
आकृति से स्पष्ट है कि (1) और (2) एक दूसरे से बिन्दु P (24, 14) पर प्रतिच्छेद करती है और OAPD सुसंगत क्षेत्र प्राप्त होता है, जो परिवद्ध है।
आकृति से स्पष्ट है कि OAPD के कोणीय बिन्दु के निर्देशांक क्रमशः 0 (0, 0), A (42, 0), P (24, 14) और D (0, 19) है।
अन्त में कोनीय विधि द्वारा 2 का अधिकतम मान ज्ञात करते हैं :

कोनीय बिन्दु Z = 45x + 80y
O(0, 0), Z = 0
A(42, 0), Z = 45 × 42 + 0 = 1890
P(24, 14), Z = 45 × 24 + 80 × 14 = 2200
D(0, 19), Z = 0 + 80 × 19 = 1520
उपर्युक्त सारणी से स्पष्ट है कि Z का अधिकतम मान बिन्दु (24, 14) पर 2200 है।
अत: Z का अधिकतम मान 2200 है।

Bihar Board 12th Maths Objective Questions and Answers

Bihar Board 12th Maths Objective Answers Chapter 9 Differential Equations

Question 1.
The order of the differential equation of all tangent lines to the parabola y = x² is
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
Answer:
(a) 1

Question 2.
The differential equation of all parabolas whose axis of symmetry is along the axis of the x-axis is of order
(a) 3
(b) 1
(c) 2
(d) none of these
Answer:
(c) 2

Question 3.
The degree of the equation satisfying the relation \(\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{1+y^{2}}=\lambda(\sqrt{1+y^{2}}-y \sqrt{1+x^{2}})\) is
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) none of these
Answer:
(a) 1

Question 4.
The degree of the differential equation \(\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{2 / 3}+4-\frac{3 d y}{d x}=0\) is
(a) 2
(b) 1
(c) 3
(d) none of these
Answer:
(a) 2

Question 5.
The differential equation whose solution is (x – h)² + (y – k)² = a² is (a is a constant)

Answer:
(b) \(\left[1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}\right]^{3}=a^{2}\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{2}\)

Question 6.
The differential equation satisfied by y = \(\frac{A}{x}\) + B is (A, B are parameters)
(a) x² y₁ = y
(b) xy₁ + 2y₂ = 0
(c) xy₂ + 2y₁ = 0
(d) none of these
Answer:
(c) xy₂ + 2y₁ = 0

Question 7.
The differential equation whose solution represents the family xy = Ae^ax + Be^-ax

Answer:
(c) \(x \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+2 \frac{d y}{d x}=a^{2} x y\)

Question 8.
The differential equation having solution is y = 17e^x + ae^-x is
(a) y” – x = 0
(b) y” – y = 0
(c) y’ – y = 0
(d) y’ – x = 0
Answer:
(b) y” – y = 0

Question 9.
The solution of a differential equation is y = c₁e^4x + c₂e^3x, the differential equation is given by

Answer:
(c) \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-7 \frac{d y}{d x}+12 y=0\)

Question 10.
The differential equation satisfied by

Answer:
(b) \(\frac{d y}{d x}=\frac{1+y^{2}}{1+x^{2}}\)

Question 11.
The differential equation of all ‘Simple Harmonic Motions’ of given period \(\frac{2 \pi}{n}\) is

Answer:
(b) \(\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+n^{2} x=0\)

Question 12.
The differential equation of all parabolas whose axes are parallel to y-axis is

Answer:
(a) \(\frac{d y}{d x}=-\frac{c^{2}}{x^{2}}\)

Question 13.
The differential equation of all non-horizontal lines in a plane is

Answer:
(b) \(\frac{d^{2} x}{d y^{2}}=0\)

Question 14.
The differential equation of all circles which pass through the origin and whose centre lies on y-axis is

Answer:
(a) \(\left(x^{2}-y^{2}\right) \frac{d y}{d x}-2 x y=0\)

Question 15.
The differential equation of the family of circles touching the x-axis at origin is given by

Answer:
(b) \(y^{\prime}=\frac{2 x y}{x^{2}-y^{2}}\)

Question 16.
The differential equation representing the family of ellipses with centre at origin and foci on x-axis is given as
(a) xy’ + y = 0
(b) x²y²(y”)² + yy’= 0
(c) xyy” + x(y’)² – yy’ = 0
(d) None of these
Answer:
(b) x²y²(y”)² + yy’= 0

Question 17.
The differential equation of all parabolas whose axes are along x-axis is
(a) \(y_{2}^{2}+y_{1}=0\)
(b) \(y_{1}^{2}+y_{2}=0\)
(c) \(y_{1}^{2}+y_{1} y_{2}=0\)
(d) \(y_{1}^{2}+y y_{2}=0\)
Answer:
(d) \(y_{1}^{2}+y y_{2}=0\)

Question 18.
The equation of family of curves for which the length of the normal is equal to the radius vector is
(a) \(y^{2} \mp x^{2}=k^{2}\)
(b) \(y \pm x=k\)
(c) y² = kx
(d) none of these
Answer:
(a) \(y^{2} \mp x^{2}=k^{2}\)

Question 19.
The solution of the differential equation \(\frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}+y^{2}+1}{2 x y}\) satisfying (1) = 1, is
(a) a hyperbola
(b) a circle
(c) y² = x(1 + x) – 10
(d) (x – 2)² + (y – 3)² = 5xy
Answer:
(a) a hyperbola

Question 20.
Given the differential equation \(\frac{d y}{d x}=\frac{6 x^{2}}{2 y+\cos y}\); y(1) = π
Mark out the correct statement.
(a) solution is y² – sin y = -2x³ + C
(b) solution is y² + sin y = 2x³ + C
(c) C = π²+ 2√2
(d) C = π² + 2
Answer:
(b) solution is y² + sin y = 2x³ + C

Question 21.
For the differential equation \(x \frac{d y}{d x}+2 y=x y \frac{d y}{d x}\),
(a) order is 1 and degree is 1
(b) solutio is ln(yx²) = C – y
(c) order is 1 and degree is 2
(d) solution is ln(xy²) = C + y
Answer:
(a) order is 1 and degree is 1

Question 22.
The particular solution In(\(\frac{d y}{d x}\)) = 3x + 4y, y(0) = 0 is
(a) e^3x + 3e^-4y = 4
(b) 4e^3x – 3e^-4y = 3
(c) 3e^3x + 4e^4y = 7
(d) 4e^3x + 3e^-4y = 7
Answer:
(d) 4e^3x + 3e^-4y = 7

Question 23.
The solution of the differential equation

Answer:
(c) y = x tan(C – x)

Question 24.
The solution of the differential equation

Answer:
(d) None of these

Question 25.
The solution of the differential equation

Answer:
(c) \(y=x \tan \left(\frac{C-x^{2}-y^{2}}{2}\right)\)

Question 26.

Answer:
(b) \(c e^{y / 2}\)

Question 27.
If ydx – xdy + ln x dx = 0, y(1) = -1, then
(a) y + 1 + ln x = 0
(b) y + 1 + 2 ln x = 0
(c) 2(y + 1) + lnx = 0
(d) y + 1 – y ln x = 0
Answer:
(a) y + 1 + ln x = 0

Question 28.
The differential equation \(\frac{d y}{d x}=\sqrt{\frac{1-y^{2}}{y}}\) determines a family of circle with
(a) variable radii and fixed centre (0, 1)
(b) variable radii and fixed centre (0, -1)
(c) fixed radius 1 and variable centre on x-axis
(d) fixed radius 1 and variable centre on y-axis
Answer:
(c) fixed radius 1 and variable centre on x-axis

Question 29.
If y dx + y² dy = x dy, x ∈ R, y > 0 and y(1) = 1, then y(-3) =
(a) 3
(b) 2
(c) 1
(d) 5
Answer:
(a) 3

Question 30.
The solution of y dx + (x + x²y) dy = 0 is

Answer:
(b) \(-\frac{1}{x y}+\ln y=c\)

Question 31.
If (x + y)² \(\frac{d y}{d x}\) = a², y = 0 when x = 0, then y = a if \(\frac{x}{a}\) =
(a) 1
(b) tan 1
(c) tan 1 + 1
(d) tan 1 – 1
Answer:
(d) tan 1 – 1

Question 32.

Answer:
(a) e^x – 1

Question 33.
If sinx \(\frac{d y}{d x}\) + y cosx = x sinx, then (y – 1) sinx =
(a) c – x sinx
(b) c + xcosx
(c) c – x cos x
(d) c + x sin x
Answer:
(c) c – x cos x

Question 34.
The solution of the differential equation

Answer:
(c) \(e^{y}=\frac{x^{3}}{3}+e^{x}+c\)

Question 35.
The solution of the differential equation xdy + ydx = xydx when y(1) = 1 is

Answer:
(b) \(\frac{e^{x}}{e x}\)

Question 36.
The solution of differential equation (e^y + 1) cosx dx + e^y sinx dy = 0 is
(a) (e^y + 1) sinx = c
(b) e^x sinx = c
(c) (e^x + 1) cosx = c
(d) none of these
Answer:
(a) (e^y + 1) sinx = c

Question 37.
The solution of the differential equation \(\frac{d y}{d x}=\frac{x}{1+x^{2}}\) is

Answer:
(c) \(y=\log (\sqrt{1+x^{2}})+c\)

Question 38.

Answer:
(c) \(\frac{e^{6}+9}{2}\)

Question 39.

Answer:
(a) y = e sin²x

Question 40.
The general solution of the differential equation \(\frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}}{y^{2}}\) is
(a) x³ – y³ = c
(b) x³ + y³ = c
(c) x² + y² = c
(d) x² – y² = c
Answer:
(a) x³ – y³ = c

Question 41.
The Solution of cos(x + y) dy = dx is

Answer:
(a) \(y=\tan \left(\frac{x+y}{2}\right)+C\)

Question 42.

Answer:
(d) x + x ln x

Question 43.

Answer:
(c) √3e

Question 44.

Answer:
(d) \(\ln \frac{y}{x}=c x\)

Question 45.

Answer:
(d) \(\frac{\pi}{12}\)

Question 46.

Answer:
(d) \(\sec \frac{y}{x}=c x y\)

Question 47.

Answer:
(c) \(-2 \sqrt{\frac{x}{y}}=\ln c y\)

Question 48.

Answer:
(c) \(x+y e^{x / y}=c\)

Question 49.

Answer:
(a) \(x y=c e^{y / x}\)

Question 50.

Answer:
(c) Circle

Question 51.

Answer:
(c) \(\sqrt{x^{2}+y^{2}}+y=c x^{2}\)

Question 52.
The solution of the differential equation (x² + y²) dx – 2xy dy = 0 is

Answer:
(d) \(\frac{x^{2}-y^{2}}{x}=c\)

Question 53.
The solution of the differential equation x dy + (x + y) dx = 0 is

Answer:
(b) \(c=x y+\frac{x^{2}}{2}\)

Question 54.
The solution of differential equation \(\frac{d y}{d x}=\frac{x-y}{x+y}\) is
(a) x² – y² + 2xy + c = 0
(b) x² – y² – xy + c = 0
(c) x² – y² + xy + c = 0
(d) x² – y² – 2xy + c = 0
Answer:
(d) x² – y² – 2xy + c = 0

Question 55.

Answer:
(a) \(-\frac{1}{2}\)

Question 56.

Answer:
(c) \(\frac{e^{2}+1}{4}\)

Question 57.

Answer:
(d) 6

Question 58.

Answer:
(d) \(\frac{5}{2}\)

Question 59.

Answer:
(d) \(\frac{2}{e}\)

Question 60.

Answer:
(d) \(\frac{1}{4}\)

Question 61.

Answer:
(c) \(\frac{x}{y}-y^{2}=c\)

Question 62.


Answer:
(b) \(y=\frac{\sqrt{1+x^{2}}}{x}+\frac{c}{x}\)

Question 63.

Answer:
(c) \(y e^{-3 x}=-e^{-3 x} \frac{(2 \cos 2 x+3 \sin 2 x)}{13}+c\)

Question 64.

Answer:
(a) \(-\frac{1}{2}\)

Question 65.
The solution of the differential equation,

Answer:
(a) \(y=\sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}\)

Question 66.
The degree of the differential equation

(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) not defined
Answer:
(d) not defined

Question 67.
The order and degree of the differential equation \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{\frac{1}{4}}+x^{\frac{1}{5}}=0\) respectively are
(a) 2 and not defined
(b) 2 and 2
(c) 2 and 3
(d) 3 and 3
Answer:
(a) 2 and not defined

Question 68.
The differential equation for y = A cos αx + B sin αx, where A and B are arbitrary constants is

Answer:
(b) \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+\alpha^{2} y=0\)

Question 69.
Integrating factor of the differential equation

Answer:
(c) \(\sqrt{1-x^{2}}\)

Question 70.
Integrating factor of the differential equation \(\frac{d y}{d x}\) + y tanx – sec x = 0 is
(a) cos x
(b) sec x
(c) e^{cos x}
(d) e^{sec x}
Answer:
(b) sec x

Question 71.
The solution of the differential equation \(\frac{d y}{d x}=\frac{1+y^{2}}{1+x^{2}}\) is
(a) y = tan^-1 x
(b) y – x = k(1 + xy)
(c) x = tan^-1 y
(d) tan(xy) = k
Answer:
(b) y – x = k(1 + xy)

Question 72.
The solution of the differential equation cos x sin y dx + sin x cos y dy = 0 is
(a) \(\frac{\sin x}{\sin y}=c\)
(b) sin x sin y = c
(c) sin x + sin y = c
(d) cos x cos y = c
Answer:
(b) sin x sin y = c

Question 73.

Answer:
(c) \(e^{y}=e^{x^{2}}+c\)

Question 74.
Which of the following is the general solution of

Answer:
(a) y = (Ax + B) e^x

Question 75.

Answer:
(a) \(y\left(1+x^{2}\right)=c+\tan ^{-1} x\)