Shreya

Bihar Board 12th Maths Objective Questions and Answers

Bihar Board 12th Maths Objective Answers Chapter 7 समाकलन

प्रश्न 1.

उत्तर:
(a) \(\frac{1}{2 a} \log \frac{x-a}{x+a}+k\)

प्रश्न 2.

उत्तर:
(a) \(x^{4}+\frac{1}{x^{3}}-\frac{129}{8}\)

प्रश्न 3.

उत्तर:
(a) \(\int_{a}^{b} f(x) d x\)

प्रश्न 4.

उत्तर:
(c) 4

प्रश्न 5.

उत्तर:
(a) \(-\frac{1}{2}\)

प्रश्न 6.

उत्तर:
(a) \(\frac{\pi}{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}\)

प्रश्न 7.

उत्तर:
(d) \(\frac{\pi}{2}\)

प्रश्न 8.

उत्तर:
(c) \(\frac{1}{\sqrt{2}} \log \tan \left(\frac{\pi}{8}+\frac{x}{2}\right)+c\)

प्रश्न 9.

उत्तर:
(d) कोई नहीं

प्रश्न 10.

उत्तर:
(a) \(\frac{1}{3}(1+\log x)^{3}+c\)

प्रश्न 11.

उत्तर:
(c) \(\frac{2}{3} x^{3 / 2}+2 x^{1 / 2}+c\)

प्रश्न 12.

उत्तर:
(d) log√3

प्रश्न 13.

उत्तर:
(b) \(\frac{\pi}{2}-1\)

प्रश्न 14.

उत्तर:
(a) log 2

प्रश्न 15.
∫cos√x dx बरायर :
(a) √x sin√x cos√x
(b) √x sin√x – cos√x
(c) \(\frac{1}{2}\) [√x sin√x + cos√x]
(d) 2[√x sin√x + cos√x]
उत्तर:
(d) 2[√x sin√x + cos√x]

प्रश्न 16.
\(\int \frac{2 d x}{\sqrt{1-4 x^{2}}}=\)
(a) tan^-1(2x) + c
(b) cot^-1(2x) + c
(c) cos^-1(2x) + c
(d) sin^-1(2x) + c
उत्तर:
(d) sin^-1(2x) + c

प्रश्न 17.

उत्तर:
(b) \(\frac{1}{12}\)

प्रश्न 18.

उत्तर:
(b) \(\frac{1}{16}\left[4 y^{4} \log y-y^{4}+c\right]\)

प्रश्न 19.

उत्तर:
(a) \(\frac{\pi}{\sqrt{2}}\)

प्रश्न 20.

उत्तर:
(b) \(\frac{1}{2} \sin ^{-1}\left(\frac{8 x-9}{9}\right)+c\)

प्रश्न 21.

उत्तर:
(a) \(\frac{1}{3}(1+\log x)^{3}+c\)

प्रश्न 22.

उत्तर:
(d) \(\log \left(10^{x}+x^{10}\right)+c\)

प्रश्न 23.

उत्तर:
(b) \(\int_{0}^{a} f(a-x) d x\)

प्रश्न 24.
माना T > 0 एक स्थिर वास्तविक संख्या है। माना f(x) एक फलन है x ∈ R f(x + T) = f(x) के लिए यदि I = \(\int_{0}^{T} f(x) d x\) तब \(\int_{3}^{3+3 T} f(2 x) d x\) का मान है :
(a) \(\frac{3}{2} I\)
(b) I
(c) 3I
(d) 6I
उत्तर:
(c) 3I

प्रश्न 25.
\(\int_{0}^{\pi / 2} \cos x e^{\sin x} d x\) का मान है :
(a) e – 1
(b) 0
(c) 1
(d) -1
उत्तर:
(a) e – 1

प्रश्न 26.

उत्तर:
(d) \(-\frac{1}{7}\)

प्रश्न 27.

उत्तर:
(c) \(\frac{1}{3} \tan ^{-1}\left(\frac{x+2}{3}\right)+c\)

प्रश्न 28.

उत्तर:
(b) log(y – 3)² – log(y – 2) + c

प्रश्न 29.

उत्तर:
(c) π log 2

प्रश्न 30.

उत्तर:
(a) ±1

प्रश्न 31.
\(\int \frac{d \theta(x)}{d x} d x\)
(a) Φ(x) + k
(b) Φ(x)
(c) Φ”(x)
(d) कोई नहीं
उत्तर:
(a) Φ(x) + k

प्रश्न 32.

उत्तर:
(b) \(\frac{a^{3}-b^{3}}{3}\)

प्रश्न 33.
∫sec x dx =
(a) log secx
(b) log {sec x + tan x]
(c) log (sec x – tan x)
(d) sec x. tan x
उत्तर:
(b) log[sec x + tan x]

प्रश्न 34.
\(\frac{d}{d x} \int f(x) d x\) किसके समान है :
(a) f'(x)
(b) (x) + k
(c) f(x)
(d) f(x) + c
उत्तर:
(b) (x) + k

प्रश्न 35.

उत्तर:
(b) \(\frac{\pi}{4}\)

प्रश्न 36.

उत्तर:
(b) \(\frac{5}{2}\)

प्रश्न 37.

उत्तर:
(a) sin(log 3)

प्रश्न 38.

(a) log (sin x + cos x)
(b) x
(c) log x
(d) log sin (cos x)
उत्तर:
(b) x

प्रश्न 39.
\(\int\left(\frac{\cos 2 \theta-1}{\cos 2 \theta+1}\right) d \theta=\)
(a) tan θ – θ + c
(b) θ + tan θ + c
(c) θ – tan θ + c
(d) -θ – cot θ + c
उत्तर:
(c) θ – tan θ + c

प्रश्न 40.

उत्तर:
(b) \(\frac{1}{10100}\)

प्रश्न 41.

उत्तर:
(c) \(\frac{\pi}{4}\)

प्रश्न 42.

उत्तर:
(b) \(\log \left|\frac{(x-2)^{2}}{x-1}\right|+c\)

प्रश्न 43.

उत्तर:
(a) \(\tan \frac{x}{2}+k\)

प्रश्न 44.
\(\int \frac{\sin ^{2} x-\cos ^{2} x}{\sin ^{2} x \cos ^{2} x} d x\) बराबर है :
(a) tan x + cot x + c
(b) tan x + cosec x + c
(c) tan x + cot x + c
(d) tan x + sec x + c
उत्तर:
(c) tan x + cot x + c

प्रश्न 45.
\(\int_{-1}^{1} \sin ^{3} x \cos ^{2} x d x\) का मान क्या है?
(a) 0
(b) 1
(c) \(\frac{1}{2}\)
(d) 2
उत्तर:
(a) 0

प्रश्न 46.
\(\int_{-0}^{\pi / 2} \frac{(\sin x+\cos x)^{2}}{\sqrt{1+\sin ^{2} x}} d x\) का मान है :
(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) 3
उत्तर:
(b) 1

प्रश्न 47.

उत्तर:
(b) 2

प्रश्न 48.

उत्तर:
(d) \(x e^{\tan ^{-1} x}\)

प्रश्न 49.
यदि ∫e^x{f(x)+ f'(x)} dx = e^x sin x तब f(x) =
(a) sin x
(b) -sin x
(c) cos x – sinx
(d) sin x + cos x
उत्तर:
(a) sin x

प्रश्न 50.

उत्तर:
(d) \(\frac{2}{3} \tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{x}}{3}\right)+c\)

प्रश्न 51.

उत्तर:
(b) \(\frac{\pi}{4}\)

प्रश्न 52.

उत्तर:
(d) \(-\frac{\pi}{2}\)

प्रश्न 53.
\(\int_{0}^{p} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{p-x}} d x=\)
(a) p
(b) \(\frac{p}{2}\)
(c) 2p
(d) कोई नहीं
उत्तर:
(b) \(\frac{p}{2}\)

प्रश्न 54.
∫e^x sec x (1 + tan x) dx बराबर है
(a) e^x cos x + c
(b) e^x sec x + c
(c) e^x sin x + c
(d) e^x tan x + c
उत्तर:
(b) e^x sec x + c

प्रश्न 55.

उत्तर:
(b) \(\frac{x^{2}}{2}\) + log x + 2x + c

प्रश्न 56.
\(\int \frac{d x}{1+x^{2}}=\)
(a) cot^-1 x + C
(b) tan^-1 x + C
(c) sec^-1 x + C
(d) cosec^-1 + C
उत्तर:
(b) tan^-1 x + C

प्रश्न 57.

उत्तर:
(b) \(\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\)

प्रश्न 58.

उत्तर:
(d) इनमें से कोई नहीं

प्रश्न 59.

उत्तर:
(d) \(\frac{x^{3}}{3}-x+2 \tan ^{-1} x+c\)

प्रश्न 60.

उत्तर:
(c) 0

प्रश्न 61.
\(\int_{-2}^{0}\) [x³ + 3x² + 3x + 3 + (x + 1) cos(x + 1)] का मान क्या है?
(a) 0
(b) 3
(c) 4
(d) 1
उत्तर:
(c) 4

प्रश्न 62.

उत्तर:
(c) \(\frac{1}{4}\)

प्रश्न 63.

उत्तर:
(d) \(\frac{-1}{2 \log 5}\)

प्रश्न 64.
∫e^x (1 + tan x + tan²x) dx =
(a) e^x cos x + c
(b) e^x sin x + c
(c) e^x tan x + c
(d) e^x sec x + c
उत्तर:
(c) e^x tan x + c

प्रश्न 65.

उत्तर:
(a) \(\frac{\pi}{4}\)

प्रश्न 66.

उत्तर:
(b) \(2+\log _{e} \frac{15}{7}\)

प्रश्न 67.

उत्तर:
(a) \(\frac{8}{\pi}\) f(2)

प्रश्न 68.

उत्तर:
(b) log|sin x + cos x| + C

प्रश्न 69.

उत्तर:
(a) \(\frac{1}{a} \tan ^{-1} \frac{x}{a}+k\)

प्रश्न 70.

उत्तर:
(c) 2√tan x + c

प्रश्न 71.

उत्तर:
(c) \(\frac{\pi}{2}\)

प्रश्न 72.

उत्तर:
(d) \(\frac{\pi}{4}\)

प्रश्न 73.

उत्तर:
(b) \(\tan ^{-1} e^{x}+c\)

प्रश्न 74.

उत्तर:
(b) \(\frac{\pi}{2} x+C\)

प्रश्न 75.

उत्तर:
(a) e^b – e^a

प्रश्न 76.
\(\int \frac{d x}{1-\sin x}=\)
(a) tan x – sec x + k
(b) tan x + sec x + k
(c) tan² x + sec² x + k
(d) 2(tan x – sec x) + k
उत्तर:
(b) tan x + sec x + k

प्रश्न 77.

उत्तर:
(a) \(\frac{3}{2}\)

प्रश्न 78.

उत्तर:
(a) \(\frac{\pi}{8}\)

प्रश्न 79.
यदि \(f(x)=\int_{0}^{x} t^{2} d t\) तब f(3) =
(a) 9
(b) 27
(c) 81
(d) 3
उत्तर:
(a) 9

प्रश्न 80.

उत्तर:
(a) sin^-1(x – 1) + c

Bihar Board 12th Maths Objective Questions and Answers

Bihar Board 12th Maths Objective Answers Chapter 3 आव्यूह

प्रश्न 1.

उत्तर:
(c) \(\left[\begin{array}{cc}
1 / 2 & -1 \\
1 / 2 & 0
\end{array}\right]\)

प्रश्न 2.

उत्तर:
(d) 5

प्रश्न 3.

उत्तर:
(b) \(\left[\begin{array}{ll}
b^{2}+b c & a b+b d \\
a c+d c & d c+d^{2}
\end{array}\right]\)

प्रश्न 4.
\(\left[\begin{array}{cc}
\cos x & -\sin x \\
\sin x & \cos x
\end{array}\right]\) का मान होगा :
(a) cos²x – sin²x
(b) 0
(c) 1
(d) -1
उत्तर:
(c) 1

प्रश्न 5.
A = \(\left[\begin{array}{ll}
2 & 3 \\
5 & k
\end{array}\right]\) का व्युत्क्रम प्राप्त नहीं होगा यदि k का मान है :
(a) 2
(b) \(\frac{3}{2}\)
(c) \(\frac{5}{2}\)
(d) \(\frac{15}{2}\)
उत्तर:
(d) \(\frac{15}{2}\)

प्रश्न 6.

उत्तर:
(b) \(\left[\begin{array}{cc}
-1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right]\)

प्रश्न 7.
यदि A = \(\left[\begin{array}{cc}
3 & 1 \\
-1 & 2
\end{array}\right]\) तब A² – 5A – 7I है :
(a) शून्य आव्यूह है
(b) विकर्ण आव्यूह है
(c) तत्समक आव्यूह है
(d) कोई नहीं
उत्तर:
(b) विकर्ण आव्यूह है

प्रश्न 8.
यदि F(x) = \(\left[\begin{array}{cc}
\cos x & \sin x \\
-\sin x & \cos x
\end{array}\right]\) तब F(x), F(y) बराबर है
(a) F(x)
(b) F(y)
(c) F(x + y)
(d) F(x – y)
उत्तर:
(c) F(x + y)

प्रश्न 9.
यदि A = \(\left[\begin{array}{ll}
\alpha & 0 \\
1 & 1
\end{array}\right]\) और B = \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
5 & 1
\end{array}\right]\) तब A2 = B सत्य है
(a) α = 1 के लिए
(b) α की कोई कीमत नहीं
(c) α = 4 के लिए
(d) α = -4 के लिए
उत्तर:
(b) α की कोई कीमत नहीं

प्रश्न 10.
यदि A = \(\left[\begin{array}{cc}
\cos x & -\sin x \\
\sin x & \cos x
\end{array}\right]\) तो A + A^T = I यदि α का मान है
(a) \(\frac{\pi}{6}\)
(b) \(\frac{\pi}{3}\)
(c) π
(d) 0
उत्तर:
(b) \(\frac{\pi}{3}\)

प्रश्न 11.
यदि \(\left[\begin{array}{cc}
x+y & y \\
2 x & x-y
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
2 \\
-1
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
3 \\
2
\end{array}\right]\) तो xy बराबर होगा
(a) -5
(b) -4
(c) 4
(d) 5
उत्तर:
(a) -5

प्रश्न 12.
A = [a_ij]_m×n एक वर्ग आव्यूह है यदि :
(a) m = n
(b) m < n
(c) m > n
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(a) m = n

प्रश्न 13.

उत्तर:
(c) F(x + y)

प्रश्न 14.
यदि \(\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ll}
\alpha & 0 \\
1 & 1
\end{array}\right] \mathbf{B}=\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
5 & 1
\end{array}\right]\), जहाँ A² = B, तो α का मान है
(a) 1
(b) -1
(c) 4
(d) α का वास्तविक मान नहीं
उत्तर:
(d) α का वास्तविक मान नहीं

प्रश्न 15.
यदि A = \(\left[\begin{array}{ll}
3 & -2 \\
4 & -2
\end{array}\right]\) तब का मान यदि
(a) 0
(b) 8
(c) -7
(d) 1
उत्तर:
(d) 1

प्रश्न 16.

उत्तर:
(c) |A| = 5

प्रश्न 17.
यदि \(\mathbf{A}=\left[\begin{array}{l}
111 \\
111 \\
111
\end{array}\right]\) तब A² = ?
(a) A
(b) 2A
(c) 3A
(d) 1
उत्तर:
(c) 3A

प्रश्न 18.
यदि A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
a & b & -1
\end{array}\right]\) तो A² =
(a) एकांक आव्यूह
(b) A
(c) रिक्त आव्यूह
(d) -A
उत्तर:
(a) एकांक आव्यूह

प्रश्न 19.
एक मैट्रिक्स A = [a_ij]_m×n सममित है यदि :
(a) a_ij = 0
(b) a_ij = -a_ji
(c) a_ij = a_ji
(d) a_ij = 1
उत्तर:
(c) a_ij = a_ji

प्रश्न 20.

उत्तर:
(d) \(\left[\begin{array}{ll}
27 & 36 \\
25 & 10
\end{array}\right]\)

प्रश्न 21.

उत्तर:
(b) \(\left[\begin{array}{cc}
1 & 36 \\
0 & 1
\end{array}\right]\)

प्रश्न 22.
आव्यूह \(\left[\begin{array}{ccc}
2 & -1 & 4 \\
1 & 0 & -5 \\
-4 & 5 & 7
\end{array}\right]\) है :
(a) सममित आव्यूह
(b) असममित आव्यूह
(c) विकर्ण आव्यूह
(d) कोई नहीं
उत्तर:
(d) कोई नहीं

प्रश्न 23.
यदि A = \(\left[\begin{array}{ll}
\alpha & 2 \\
2 & \alpha
\end{array}\right]\) और |A³| = 125 तब α =
(a) ±3
(b) ±2
(c) ±5
(d) 0
उत्तर:
(a) ±3

प्रश्न 24.
एक मैट्रिक्स A = [a_ij]_m×n सममित हैं यदि
(a) a_ij = 0
(b) a_ij = -a_ji
(c) a_ij = a_ji
(d) a_ij = 1
उत्तर:
(c) a_ij = a_ji

प्रश्न 25.
यदि A = \(\left[\begin{array}{cc}
3 & 1 \\
-1 & 2
\end{array}\right]\) तब A² – 5A – 7I का मान है।
(a) सम इकाई आव्यूह
(b) शून्य आव्यूह
(c) (a) और (b) दोनों
(d) कोई नहीं
उत्तर:
(b) शून्य आव्यूह

प्रश्न 26.

उत्तर:
(a) \(\left[\begin{array}{cc}
1 & 2 n \\
0 & 1
\end{array}\right]\)

प्रश्न 27.
यदि A एक उत्क्रमणीय आव्यूह है जिसका क्रम n × n है तो
(a) n|A|
(b) |A|^n-1
(c) |A|
(d) |A|ⁿ
उत्तर:
(b) |A|^n-1

प्रश्न 28.
यदि A = \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 2 \\
4 & 2
\end{array}\right]\) तो 2A =
(a) 2|A|
(b) 4|A|
(c) 8|A|
(d) None
उत्तर:
(b) 4|A|

प्रश्न 29.

उत्तर:
(c) \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right]\)

प्रश्न 30.

उत्तर:
(c) \(\left[\begin{array}{cc}
\cos \theta & \sin \theta \\
-\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right]\)

प्रश्न 31.

उत्तर:
(b) \(\left[\begin{array}{lll}
40 & 40 & 40 \\
40 & 40 & 40
\end{array}\right]\)

प्रश्न 32.

उत्तर:
(c) (-1, 1)

प्रश्न 33.

उत्तर:
(c) \(\frac{\pi}{3}\)

प्रश्न 34.
एक आव्यूह 18 अवयव रखता है तब आव्यूह का धनात्मक कोटि है:
(a) 3
(b) 4
(c) 6
(d) 5
उत्तर:
(c) 6

प्रश्न 35.

उत्तर:
(c) \(\left[\begin{array}{cc}
\cos \theta & \sin \theta \\
-\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right]\)

प्रश्न 36.

उत्तर:
(b) \(\left[\begin{array}{cc}
\cos \theta & \sin \theta \\
-\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right]\)

प्रश्न 37.
एक मैट्रिक्स A = [a_ij]_m×n विषम सममित है यदि :
(a) a_ij = 0
(b) a_ij = a_ji
(c) a_ij = -a_ji
(d) a_ij = 1
उत्तर:
(c) a_ij = -a_ji

प्रश्न 38.
A = \(\left[\begin{array}{cc}
1 & -1 \\
-1 & 1
\end{array}\right]\) ⇒ A² =
(a) 2A
(b) A
(c) \(\frac{1}{2} A\)
(d) 4A
उत्तर:
(a) 2A

प्रश्न 39.
यदि A² – A + I = 0 हो तब A का व्युत्क्रम है
(a) A
(b) A + I
(c) I – A
(d) A – I
उत्तर:
(c) I – A

प्रश्न 40.

उत्तर:
(a) A

प्रश्न 41.
यदि \(\left|\begin{array}{ll}
x & 8 \\
3 & 3
\end{array}\right|=0\), x का मान है :
(a) 3
(b) 8
(c) 24
(d) 10
उत्तर:
(b) 8

प्रश्न 42.
यदि A = \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 2 \\
4 & 2
\end{array}\right]\) तो 2|A| =
(a) 2|A|
(b) 4|A|
(c) 8|A|
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(b) 4|A|

प्रश्न 43.
यदि A = \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{array}\right]\) तो A² है :
(a) 27A
(b) 2A
(c) 3A
(d) 1
उत्तर:
(a) 27A

प्रश्न 44.
यदि A = \(\left[\begin{array}{ll}
3 & -2 \\
4 & -2
\end{array}\right]\) तब K का मान यदिः
(a) 0
(b) 8
(c) -7
(d) 1
उत्तर:
(d) 1

प्रश्न 45.
यदि \(\left|\begin{array}{cc}
1-x & 2 \\
18 & 6
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}
6 & 2 \\
18 & 6
\end{array}\right|\) तो x =
(a) ±6
(b) 6
(c) -5
(d) 7
उत्तर:
(c) -5

प्रश्न 46.
किसी एकांक समूह I के लिए :
(a) I² = 1
(b) |I| = 0
(c) |I| = 2
(d) |I| = 5
उत्तर:
(a) I² = 1

Bihar Board 12th Maths Objective Questions and Answers

Bihar Board 12th Maths Objective Answers Chapter 2 प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन

प्रश्न 1.

उत्तर:
(a) \(\frac{\sqrt{1-x^{2}}}{x}\)

प्रश्न 2.

उत्तर:
(b) \(\frac{5 \pi}{6}\)

प्रश्न 3.

उत्तर:
(d) 0

प्रश्न 4.

उत्तर:
(a) \(\sqrt{\left(\frac{x^{2}+1}{x^{2}+2}\right)}\)

प्रश्न 5.

उत्तर:
(d) 0

प्रश्न 6.

उत्तर:
(a) 0

प्रश्न 7.

उत्तर:
(a) \(\frac{\pi}{4}\)

प्रश्न 8.

उत्तर:
(a) \(\frac{\pi}{4}\)

प्रश्न 9.
यदि sin^-1(1 – x) – 2sin^-1x = \(\frac{\pi}{2}\) तब x का मान है :
(a) 0
(b) 0, \(-\frac{1}{2}\)
(c) 0, \(\frac{1}{2}\)
(d) कोई नहीं
उत्तर:
(a) 0

प्रश्न 10.

उत्तर:
(b) \(\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\)

प्रश्न 11.

उत्तर:
(c) \(\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}\)

प्रश्न 12.
sin^-1x + cot^-1x का मान है :
(a) π
(b) \(\frac{\pi}{2}\)
(c) \(-\frac{\pi}{2}\)
(d) 1
उत्तर:
(b) \(\frac{\pi}{2}\)

प्रश्न 13.

उत्तर:
(c) \(\frac{\pi}{12}\)

प्रश्न 14.

उत्तर:
(a) \(\frac{3 \pi}{4}\)

प्रश्न 15.
cos^-1(4x³ – 3x) का सरल रूप है :
(a) 3sin^-1x
(b) 3cos^-1x
(c) π – 3sin^-1x
(d) कोई नहीं
उत्तर:
(b) 3cos^-1x

प्रश्न 16.

उत्तर:
(d) \(\frac{\pi}{4}\)

प्रश्न 17.

उत्तर:
(b) \(\frac{\pi}{2}\)

प्रश्न 18.

उत्तर:
(c) \(\frac{3 \pi}{4}\)

प्रश्न 19.

उत्तर:
(a) \(\tan ^{2} \frac{\alpha}{2}\)

प्रश्न 20.

उत्तर:
(c) \(\frac{17}{6}\)

प्रश्न 21.

उत्तर:
(d) कोई नहीं

प्रश्न 22.

उत्तर:
(c) \(\frac{2 \pi}{3}\)

प्रश्न 23.

उत्तर:
(d) \(-\frac{\pi}{6}\)

प्रश्न 24.

उत्तर:
(a) \(\frac{17}{6}\)

प्रश्न 25.

उत्तर:
(d) 1

प्रश्न 26.
x का मान जिसके लिए sin(cot^-1(1 – x)) = cos(tan^-1x)
(a) 2
(b) 1
(c) 0
(d) \(\frac{1}{2}\)
उत्तर:
(d) \(\frac{1}{2}\)

प्रश्न 27.

उत्तर:
(a) \(\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}\)

प्रश्न 28.

उत्तर:
(b) \(\frac{\pi}{3}\)

प्रश्न 29.

उत्तर:
(a) \(\frac{\pi}{2}\)

प्रश्न 30.

उत्तर:
(d) \(\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\)

प्रश्न 31.

उत्तर:
(a) \(\frac{\pi}{4}\)

प्रश्न 32.

उत्तर:
(b) \(\frac{\pi}{4}\)

प्रश्न 33.

उत्तर:
(c) \(\frac{2 \pi}{3}\)

प्रश्न 34.

उत्तर:
(d) \(\frac{\pi}{3}\)

प्रश्न 35.

उत्तर:
(a) \(\frac{\pi}{2}\)

प्रश्न 36.

उत्तर:
(c) \(\frac{\pi}{2}\)

प्रश्न 37.

उत्तर:
(b) \(-\frac{\pi}{3}\)

प्रश्न 38.

उत्तर:
(c) \(\frac{3}{4}\)

प्रश्न 39.

उत्तर:
(a) 0, \(\frac{1}{2}\)

प्रश्न 40.

उत्तर:
(a) \(\sin ^{-1} \frac{2 x}{1+x^{2}}\)

प्रश्न 41.
tan^-1x + tan^-1y = \(\tan ^{-1} \frac{x+y}{1-x y}\), सभी x, y के स्लिए
(a) x > 0, y > 0 तथा xy < 1
(b) x > 0, y > 0 तथा xy > 1
(c) x > 0, y < 0 तथा xy > 1
(d) None
उत्तर:
(a) x > 0, y > 0 तथा xy < 1

प्रश्न 42.

उत्तर:
(a) \(\frac{3 \pi}{10}\)

प्रश्न 43.

उत्तर:
(d) \(\frac{\pi}{3}\)

प्रश्न 44.
tan^-1√3 – cot^-1(-√3) के बराबर है :
(a) π
(b) \(-\frac{\pi}{2}\)
(c) 0
(d) 2√3
उत्तर:
(b) \(-\frac{\pi}{2}\)

प्रश्न 45.
फल्नन f(x) = \(\sqrt{\sin ^{-1} x}\) का प्रांत है।
(a) [0, 1]
(b) [-1, 1]
(c) [-1, 0]
(d) [0, 1]
उत्तर:
(a) [0, 1]

प्रश्न 46.

उत्तर:
(c) \(\frac{\pi}{3}\)

Bihar Board 12th Maths Objective Questions and Answers

Bihar Board 12th Maths Objective Answers Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता

प्रश्न 1.

उत्तर:
(b) \(\log (1+y)=x+\frac{x^{2}}{2}+k\)

प्रश्न 2.
यदि y = sin(x³) तो \(\frac{d y}{d x}=\)
(a) x³ cos(x³)
(b) 3x² sin(x³)
(c) 3x² cos(x³)
(d) cos(x³)
उत्तर:
(c) 3x² cos(x³)

प्रश्न 3.

उत्तर:
(a) \(\frac{\sec ^{3} \theta}{a \theta}\)

प्रश्न 4.

उत्तर:
(b) \(\frac{1}{x}\)

प्रश्न 5.

उत्तर:
(a) \(2 x \frac{d y}{d x}+\frac{2}{\sqrt{x}}=y\)

प्रश्न 6.

उत्तर:
(b) \(\frac{y}{x-x^{2}-y^{2}}\)

प्रश्न 7.

उत्तर:
(b) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)

प्रश्न 8.
यदि y = logcosx² तो x = √π पर \(\frac{d y}{d x}\) का मान है :
(a) 0
(b) 1
(c) \(\frac{\pi}{4}\)
(d) √π
उत्तर:
(a) 0

प्रश्न 9.

उत्तर:
(c) \(\frac{-1}{(1+x)^{2}}\)

प्रश्न 10.
अवकल समीकरण (x + 4) (dx – dy) = dx + dy का हल है :
(a) x – y = log(x + y) + C
(b) x + y = log(x – y) + C
(c) x² + y² = x + y + C
(d) x² – y² = x + y + C
उत्तर:
(b) x + y = log(x – y) + C

प्रश्न 11.

उत्तर:
(b) \(\frac{\sin ^{2}(a+y)}{\sin a}\)

प्रश्न 12.

उत्तर:
(b) 1

प्रश्न 13.
यदि x = acos⁴θ, y = a sin⁴θ तब \(\frac{d y}{d x}\) at θ = \(\frac{3 \pi}{4}\)
(a) a²
(b) 1
(c) -1
(d) -a²
उत्तर:
(c) -1

प्रश्न 14.

उत्तर:
(b) \(\frac{t^{2}+1}{t^{2}-1}\)

प्रश्न 15.

उत्तर:
(c) \(\frac{2^{x+y}\left(2^{y}-1\right)}{1-2^{x}}\)

प्रश्न 16.
यदि x = a (cosθ + θsinθ), y = a (sinθ – θcosθ), \(\frac{d y}{d x}=\)
(a) cosθ
(b) tanθ
(c) secθ
(d) cosecθ
उत्तर:
(b) tanθ

प्रश्न 17.

उत्तर:
(d) \(\frac{1}{2}\)

प्रश्न 18.

उत्तर:
(c) 2

प्रश्न 19.

उत्तर:
(a) 1

प्रश्न 20.

उत्तर:
(a) \(\frac{1}{x} \cos (\log x)\)

प्रश्न 21.

उत्तर:
(b) \(\frac{-\sin (\log x)}{x}\)

प्रश्न 22.

उत्तर:
(b) 1

प्रश्न 23.
यदि y = logx^x, तो \(\frac{d y}{d x}\)
(a) 1
(b) log x
(c) log (ex)
(d) कोई नहीं
उत्तर:
(c) log (ex)

प्रश्न 24.

उत्तर:
(b) \(\frac{1}{x \log x \log (\log x)}\)

प्रश्न 25.

उत्तर:
(d) -1

प्रश्न 26.

उत्तर:
(a) 3x²

प्रश्न 27.

उत्तर:
(a) \(-\frac{1}{2}\)

प्रश्न 28.

उत्तर:
(a) \(\frac{1}{2 x}\)

प्रश्न 29.
रैखिक अवकल समीकरण \(\frac{d y}{d x}\) + Py = Q का समाकलन गुणक है :
(a) ∫_ePdy
(b) ∫_eQdx
(c) ∫_eQdy
(d) ∫_ePdx
उत्तर:
(d) ∫_ePdx

प्रश्न 30.

उत्तर:
(a) n²y

प्रश्न 31.

उत्तर:
(d) \(\frac{-y(x \log y+y)}{x(y \log x+x)}\)

प्रश्न 32.
यदि y = a^x, तब \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) का मान है :
(a) a^x log a
(b) a^x (log a)²
(c) (a^x)² log a
(d) कोई नहीं
उत्तर:
(b) a^x (log a)²

प्रश्न 33.

उत्तर:
(b) \(\frac{12}{(3-2 x)^{2}} \sin \log \frac{2 x+3}{3-2 x}\)

प्रश्न 34.
यदि siny + e^{-x cos y} = e तब \(\frac{d y}{d x}\) (1, π):
(a) siny
(b) -x cosy
(c) e
(d) sin y – cos y
उत्तर:
(c) e

प्रश्न 35.

उत्तर:
(c) \(f\left(-\frac{1}{2}\right)=f\left(\frac{1}{2}\right)\)

प्रश्न 36.
y = logx^x, तो \(\frac{d y}{d x}=\)
(a) 1
(b) log x
(c) log (ex)
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(c) log (ex)

प्रश्न 37.
यदि y = x⁵ तो \(\frac{d y}{d x}=\)
(a) 5x
(b) 6x
(c) 5x⁴
(d) 5x²
उत्तर:
(c) 5x⁴

प्रश्न 38.
यदि y = sin 2x तो \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) का मान है :
(a) 4 sin 2x
(b) 4 cos² 2x
(c) -4 sin 2x
(d) 2 sin 4x
उत्तर:
(c) -4 sin 2x

प्रश्न 39.

उत्तर:
(c) \(\frac{y}{1-y}\)

प्रश्न 40.
किसी वृत्त की त्रिज्या की वृद्धि दर 0.4 सेमी/से है, तो इसकी परिधि की वृद्धि होगी :
(a) 0.47 सेमी/से
(b) 0.87 सेमी/से
(c) 0.8 सेमी/से
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(b) 0.87 सेमी/से

प्रश्न 41.
अवकल समीकरण \(\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}\) + y = x की कोटि है :
(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) 3
उत्तर:
(b) 1

प्रश्न 42.
\(\frac{d}{d x}\)(sec x)
(a) sec²x
(b) tan²x
(c) sec x. tan x
(d) 0
उत्तर:
(b) tan²x

प्रश्न 43.
यदि y = log(sinx²) तो x = \(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\) पर \(\frac{d y}{d x}\) का मान है :
(a) 0
(b) 1
(c) \(\frac{\pi}{4}\)
(d) √π
उत्तर:
(d) √π

प्रश्न 44.

उत्तर:
(b) \(\frac{1}{1+x^{2}}\)

प्रश्न 45.

उत्तर:
(a) \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}\)

प्रश्न 46.

उत्तर:
(b) \(\frac{\cos x}{2 y-1}\)

प्रश्न 47.

उत्तर:
(b) 6x²

प्रश्न 48.

उत्तर:
(d) 0

प्रश्न 49.

उत्तर:
(c) \(-\frac{x}{y}\)

प्रश्न 50.
यदि y = tan²x, तो \(\frac{d y}{d x}=\)
(a) sec²x
(b) sec⁴x
(c) 2 tanx secx
(d) 2 tanx sec²x
उत्तर:
(d) 2 tanx sec²x

प्रश्न 51.
\(\frac{d}{d x}\left(e^{x}\right)\)
(a) e^x
(b) e^-x
(c) e^2x
(d) e^3x
उत्तर:
(a) e^x

प्रश्न 52.

उत्तर:
(d) 0

प्रश्न 53.
यदि x² + y² = 1 तब
(a) yy” – (2y’)² + 1 = 0
(b) yy” + (y’)² + 1 = 0
(c) yy” – (y’)² – 1 = 0
(d) yy” + 2(y’)² + 1 = 0
उत्तर:
(b) yy” + (y’)² + 1 = 0

प्रश्न 54.

उत्तर:
(b) \(\frac{-2}{\left(1+x^{2}\right)}\)

प्रश्न 55.

उत्तर:
(a) \(\frac{2}{1+x^{2}}\)

प्रश्न 56.

उत्तर:
(c) 0

प्रश्न 57.
यदि y² = ax² + 2bx + c तब \(y^{3} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\)
(a) b² – 4ac
(b) b² – ac
(c) ac – b²
(d) 4(b² + ac)
उत्तर:
(c) ac – b²

प्रश्न 58.

उत्तर:
(d) इनमें से काईं नहीं

प्रश्न 59.

उत्तर:
(b) 2

प्रश्न 60.

उत्तर:
(b) 4

Bihar Board 12th Maths Objective Questions and Answers

Bihar Board 12th Maths Objective Answers Chapter 10 सदिश बीजगणित

प्रश्न 1.

उत्तर:
(a) \(\frac{1}{\sqrt{2}}(-\hat{j}+\hat{k})\)

प्रश्न 2.
(1 + ω – ω²)³ – (1 – ω + ω²)³ = ?
(a) 0
(b) -1
(c) -16
(d) 32
उत्तर:
(a) 0

प्रश्न 3.
सदिशों \(2 \vec{i}-3 \vec{j}+2 \vec{k}\) एवं \(\vec{i}+4 \vec{j}+5 \vec{k}\) के बीच का कोण है :
(a) 30°
(b) 90°
(c) 45°
(d) 60°
उत्तर:
(b) 90°

प्रश्न 4.
दो सदिश \(\vec{a}=m \hat{i}+\frac{1}{2} \hat{j}+\frac{1}{6} \hat{j}\) एवं \(\vec{b}=6 \hat{i}+\frac{1}{2} \hat{j}+\frac{1}{3} \hat{k}\) परस्पर समांतर होंगे यदि, m का मान होगा :
(a) 3
(b) -3
(c) \(\frac{1}{2}\)
(d) 6
उत्तर:
(a) 3

प्रश्न 5.

उत्तर:
(a) \(\vec{a} \perp \vec{b}\)

प्रश्न 6.

उत्तर:
(b) \(\frac{5}{\sqrt{6}}\)

प्रश्न 7.

उत्तर:
(b) \(\frac{4}{3}\)

प्रश्न 8.

उत्तर:
(b) -10

प्रश्न 9.

उत्तर:
(a) \(4 \vec{i}+5 \vec{j}+6 \vec{k}\)

प्रश्न 10.
सदिश \(2 \vec{i}-7 \vec{j}-3 \vec{k}\) का मापांक है :
(a) √61
(b) √62
(c) √64
(d) √32
उत्तर:
(b) √62

प्रश्न 11.
\((\vec{a} \times \vec{a}) \cdot \vec{b}\)
(a) 1
(b) -1
(c) 0
(d) 2
उत्तर:
(c) 0

प्रश्न 12.
बिंदु (1, 0, 2) का स्थिति सदिश है :
(a) \(\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}\)
(b) \(\hat{i}+2 \hat{j}\)
(c) \(\hat{i}+3 \hat{k}\)
(d) \(\hat{i}+2 \hat{k}\)
उत्तर:
(d) \(\hat{i}+2 \hat{k}\)

प्रश्न 13.
\(x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}\) का मापांक निम्नांकित में कौन-सा होगा?
(a) \(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\)
(b) \(\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\)
(c) x² + y² + z²
(d) None
उत्तर:
(a) \(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\)

प्रश्न 14.

उत्तर:
(b) \(\vec{a}(\vec{b} \times \vec{c})=0\)

प्रश्न 15.
स्थिति-सदिश (2, 6), (1, 2) एवं (a, 10) वाले बिंदु एक रैखिक होंगे, यदि a का मान है :
(a) -8
(b) 4
(c) 3
(d) 12
उत्तर:
(a) -8, (c) 3, (d) 12

प्रश्न 16.

उत्तर:
(a) \(z \hat{i}-x \hat{k}\)

प्रश्न 17.

उत्तर:
(b) 7

प्रश्न 18.

उत्तर:
(c) \(\frac{\pi}{4}\)

प्रश्न 19.
\(|-\vec{i}+2 \vec{j}-3 \vec{k}|=\)
(a) √15
(b) √3
(c) 2
(d) √14
उत्तर:
(d) √14

प्रश्न 20.

उत्तर:
(b) \(3 \bar{i}-\bar{j}+5 \bar{k}\)

प्रश्न 21.
\(\bar{k} \times \bar{j}=\)
(a) 0
(b) 1
(c) i
(d) -i
उत्तर:
(d) -i

प्रश्न 22.
यदि C, AB का मध्यबिंदु हो और P, AB के बाहर कोई बिन्दु हो, तो
(a) \(\overrightarrow{\mathrm{PA}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}=2 \overrightarrow{\mathrm{PC}}\)
(b) \(\overrightarrow{\mathrm{PA}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{\mathrm{PC}}\)
(c) \(\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}=2 \overrightarrow{P C}=\vec{O}\)
(d) None
उत्तर:
(a) \(\overrightarrow{\mathrm{PA}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}=2 \overrightarrow{\mathrm{PC}}\)

प्रश्न 23.

उत्तर:
(b) √210

प्रश्न 24.

उत्तर:
(b) \(2 \sin \left(\frac{\theta}{2}\right)\)

प्रश्न 25.

उत्तर:
(a) \(\frac{\pi}{2}\)

प्रश्न 26.
\(\vec{a} \times \vec{a}=\)
(a) 1
(b) 0
(c) a²
(d) a
उत्तर:
(b) 0

प्रश्न 27.
यदि \(|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{a}+\vec{b}|=1\) तो \(|\vec{a}-\vec{b}|\) बराबर है :
(a) 1
(b) √3
(c) 0
(d) None
उत्तर:
(b) √3

प्रश्न 28.

उत्तर:
(c) \(\frac{\hat{i}+\hat{j}}{\sqrt{2}}\)

प्रश्न 29.

उत्तर:
(a) \(\frac{\pi}{2}\)

प्रश्न 30.

उत्तर:
(a) \(\frac{3}{2}(\hat{i}+\hat{j})\)

प्रश्न 31.

उत्तर:
(b) \(\bar{a} \perp \bar{b}\)

प्रश्न 32.
यदि \(\vec{a}=2 \bar{i}-5 \bar{j}+\bar{k}\) और \(\vec{b}=4 \bar{i}+2 \bar{j}+\bar{k}\) तो a.b =
(a) 0
(b) -1
(c) 1
(d) 2
उत्तर:
(b) -1

प्रश्न 33.

उत्तर:
(c) \(-\frac{3}{2}\)

प्रश्न 34.

उत्तर:
(a) 6

प्रश्न 35.

उत्तर:
(a) \(\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}\)

प्रश्न 36.
\(5 \hat{i}+\hat{j}-3 \hat{k}\) और \(3 \hat{i}-4 \hat{j}+7 \hat{k}\) का अदिश गुणनफल है :
(a) 10
(b) -10
(c) 15
(d) -15
उत्तर:
(b) -10

प्रश्न 37.

उत्तर:
(c) \(\frac{\pi}{4}\)

प्रश्न 38.
\(\vec{i} \cdot \vec{j}=\)
(a) 1
(b) 0
(c) \(\vec{k}\)
(d) \(-\vec{k}\)
उत्तर:
(b) 0

प्रश्न 39.

उत्तर:
(d) \(x \vec{i}+y \vec{j}+z \vec{k}\)

प्रश्न 40.

उत्तर:
(a) \(\vec{i}+\vec{j}+7 \vec{k}\)

प्रश्न 41.
\(\vec{a} \cdot \vec{a}=\)
(a) 0
(b) 1
(c) \(|\vec{a}|^{2}\)
(d) \(|\vec{a}|\)
उत्तर:
(c) \(|\vec{a}|^{2}\)

प्रश्न 42.
यदि \(\vec{a} \vec{b}\) दो शून्येतर असरेख सदिश हो और x, y दो अदिश हों जिससे कि \(x \vec{a}+y \vec{b}=\overrightarrow{0}\) तो निम्नांकित में कौन-सा सत्य होगा?
(a) x = y, y ≠ 0
(b) x ≠ 0, y = 0
(c) x ≠ 0, y ≠ 0
(d) x = 0, y = 0
उत्तर:
(d) x = 0, y = 0

प्रश्न 43.
सदिश \(\vec{i}-\frac{1}{2} \vec{j}+3 \vec{k}\) और \(2 \vec{i}+\vec{j}-\frac{1}{2} \vec{k}\) है।
(a) समांतर
(b) लंब
(c) बराबर
(d) कोई नहीं
उत्तर:
(b) लंब

प्रश्न 44.

उत्तर:
(a) \((\vec{a})^{2}(\vec{b})^{2}-(\vec{a} \cdot \vec{b})^{2}\)

प्रश्न 45.
मूल बिन्दु से (-3, 4, 5) की दूरी है :
(a) 50
(b) 5√2
(c) 6
(d) None
उत्तर:
(b) 5√2

प्रश्न 46.

उत्तर:
(a) 47

प्रश्न 47.
\(|2 \vec{i}-3 \vec{j}+\vec{k}|=\)
(a) 14
(b) √14
(c) √3
(d) 2
उत्तर:
(b) √14

प्रश्न 48.
यदि बिन्दु A और B के स्थिति सदिश क्रमशः (1, 2, 3) और (3, -4, 0) हो, तो \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\)
(a) \(4 \vec{i}+6 \vec{j}+3 \vec{k}\)
(b) \(-4 \vec{i}-6 \vec{j}-3 \vec{k}\)
(c) \(3 \vec{i}-8 \vec{k}\)
(d) \(-3 \vec{i}-8 \vec{j}\)
उत्तर:
(b) \(-4 \vec{i}-6 \vec{j}-3 \vec{k}\)

प्रश्न 49.

उत्तर:
(a) \(4 \vec{i}+6 \vec{j}+3 \vec{k}\)

प्रश्न 50.

उत्तर:
(d) \(3 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}\)

प्रश्न 51.

उत्तर:
(b) \(\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{B C}=2 B \vec{M}\)

प्रश्न 52.

उत्तर:
(b) \(\vec{b} \cdot \vec{a}\)

प्रश्न 53.

उत्तर:
(b) \(\frac{5}{7}\)

प्रश्न 54.

उत्तर:
(b) -15

प्रश्न 55.
\((\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}-\vec{b})=\)
(a) 1
(b) 0
(c) a² + b²
(d) a² – b²
उत्तर:
(d) a² – b²

प्रश्न 56.
\(7 \vec{i}-2 \vec{j}+\vec{k}\) का मापांक है :
(a) √10
(b) √55
(c) 3√6
(d) 6
उत्तर:
(c) 3√6

प्रश्न 57.

उत्तर:
(c) 5

Bihar Board 12th Maths Model Papers

Bihar Board 12th Maths Model Question Paper 5 in Hindi

समय : 3 घंटे 15 मिनट
अंक : 100

परिक्षार्थियों के लिए निर्देश

1. परीक्षार्थी यथासंभव अपने शब्दों में ही उत्तर दें।
2. दाहिनी ओर हाशिये पर दिये हुए अंक पूर्णांक निर्दिष्ट करते हैं।
3. उत्तर देते समय परीक्षार्थी यथासंभव शब्द-सीमा का ध्यान रखें।
4. इस प्रश्न पत्र को ध्यानपूर्वक पढ़ने के लिए पन्द्रह मिनट का अतिरिक्त समय दिया गया है।
5. यह प्रश्न-पत्र के दो खण्डों में है, खण्ड-अ एवं खण्ड-ब।
6. खण्ड-अ में 1-50 तक वस्तुनिष्ठ प्रश्न हैं, सभी प्रश्न अनिवार्य हैं। (प्रत्येक प्रश्न के लिए 1 अंक निर्धारित है), इनके उत्तर उपलब्ध कराये गये OMR शीट में दिये गये वृत्त को काले / नीले बॉल पेन से भरें। किसी भी प्रकार के व्हाइटनर/तरल पदार्थ/ब्लेड/नाखून आदि का OMR-शीट में प्रयोग करना मना है, अन्यथा परीक्षा परिणाम अमान्य होगा।
7. खण्ड-ब में 25 लघुउत्तरीय प्रश्न हैं (प्रत्येक प्रश्न के लिए 2 अंक निर्धारित है) जिनमें से किन्ही 15 प्रश्नों के उत्तर देना अनिवार्य है। इसके अतिरिक्त खण्ड में 08 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (प्रत्येक प्रश्न के लिए 05 अंक निर्धारित हैं) जिनमें से किन्हीं 4 प्रश्नों के उत्तर देना है।
8. किसी तरह के इलेक्ट्रॉनिक-यंत्र का इस्तेमाल वर्जित है।

खण्ड-अ : वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न संख्या 1 से 50 तक के प्रत्येक प्रश्न के साथ चार विकल्प दिए गए हैं, जिनमें से एक सही है। अपने द्वारा चुने गए सही विकल्प को OMR शीट पर चिह्नित करें। (50 × 1 = 50)

प्रश्न 1.
वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R में एक सम्बन्ध इस प्रकार परिभाषित है : x-y यदि और केवल यदि x.y = 0 तो सम्बन्ध :
(a) स्वतुल्य है, परन्तु सममित नहीं है
(b) सममित है, परन्तु संक्रमक नहीं है
(c) संक्रमक है, परन्तु स्वतुल्य नहीं है
(d) एक तुल्यता सम्बन्ध है।
उत्तर:
(d) एक तुल्यता सम्बन्ध है।

प्रश्न 2.
मान लीजिए A = {a, b, c} एवं B = {e, f] है तो निम्नलिखित उपसमुच्चयों में कौन A से B में फलन है :
(a) {(a, e), (e, f), (b, e), (b, f}
(b) {(a, e), (b, f}
(c) {(a, f), (b, e), (c, e)}
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(c) {(a, f), (b, e), (c, e)}

प्रश्न 3.
मान लीजिए कि N में एक द्विआधारी संक्रिया * : a * b = a तथा b का L.C.M द्वारा परिभाषित है तब N में * का तत्समक अवयव है:
(a) 0
(b) 1
(c) -1
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(b) 1

प्रश्न 4.

उत्तर:
(d) \(\frac{\pi}{3}\)

प्रश्न 5.

उत्तर:
(a) \(\frac{17}{6}\)

प्रश्न 6.

उत्तर:
(b) \(\frac{\pi}{6}\)

प्रश्न 7.

उत्तर:
(c) \(\frac{3}{4}\)

प्रश्न 8.
cos^-1 x का प्रान्त है :
(a) [0, 1]
(b) [-1, 1]
(c) [-1, 0]
(d) [0, 0]
उत्तर:
(b) [-1, 1]

प्रश्न 9.
यदि A एक 3 × 3 कोटि का वर्ग आब्यूह है तो |KA| का मान होगा :
(a) K|A|
(b) K² |A|
(c) K³ |A|
(d) 3K|A|
उत्तर:
(c) K³ |A|

प्रश्न 10.
यदि \(A=\left|\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{33} & a_{33}
\end{array}\right|\) और aij का सहखण्ड Aij हो तो Δ का मान निम्न में से किस रूप में व्यक्त किया जा सकता है :
(a) a₁₁ A₃₁ + a₁₂ A₃₂ + a₁₃ A₃₃
(b) a₁₁ A₁₁ + a₁₂ A₂₁ + a₁₃ A₃₁
(c) a₂₁ A₁₁ + a₂₂ A₂₂ + a₂₃ A₁₃
(d) a₁₁ A₁₁ + a₂₁ A₂₁ + a₃₁ A₃₁
उत्तर:
(d) a₁₁ A₁₁ + a₂₁ A₂₁ + a₃₁ A₃₁

प्रश्न 11.
3 × 3 कोटि के ऐसे आब्यूहों की कुल संख्या कितनी होगी जिनकी प्रत्येक प्रविष्टि 0 या 1 है?
(a) 27
(b) 18
(c) 81
(d) 512
उत्तर:
(d) 512

प्रश्न 12.
यदि A = \(\left[\begin{array}{cc}
\alpha & \beta \\
\gamma & -\alpha
\end{array}\right]\) इस प्रकार है कि A² = I, तो
(a) 1 + α² + βγ = 0
(b) 1 – α² + βγ = 0
(c) 1 – α² – βγ = 0
(d) 1 + α² – βγ = 0
उत्तर:
(c) 1 – α² – βγ = 0

प्रश्न 13.

(a) 0
(b) abc
(c) 1/abc
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(a) 0

प्रश्न 14.
सारणिक \(\left|\begin{array}{ccc}
2 & 7 & 65 \\
3 & 8 & 75 \\
5 & 9 & 86
\end{array}\right|\) का मान है :
(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) 3
उत्तर:
(a) 0

प्रश्न 15.
\(\left|\begin{array}{lll}
1 & x & x^{2} \\
1 & y & y^{2} \\
1 & z & z^{2}
\end{array}\right|=\)
(a) (x – y) (y + z) (z + x)
(b) (x + y) (y – z) (z – x)
(c) (x – y) (y – z) (z + x)
(d) (x – y) (y – z) (z – x)
उत्तर:
(d) (x – y) (y – z) (z – x)

प्रश्न 16.

उत्तर:
(b) 4

प्रश्न 17.

(a) संतत है
(b) असंतत है
(c) परिभाषित है
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(b) असंतत है

प्रश्न 18.
फलन f(x) = 3x² + 5x + 7 के लिए लेंगराँजे के माध्यमान प्रमेय का c, अन्तराल [1, 3] में मान होगा :
(a) 3
(b) 0
(c) 2
(d) 1
उत्तर:
(c) 2

प्रश्न 19.

उत्तर:
(a) \(-\frac{1}{x^{2}}\)

प्रश्न 20.
sin (x² + 5) का अवकलन है :
(a) 2 sin (x + 5)
(b) 2 cos (x² + 5)
(c) 2x cos (x² + 5)
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(c) 2x cos (x² + 5)

प्रश्न 21.
वक्र y = x³ – x + 1 की स्पर्श रेखा की प्रवणता, उस बिन्दु पर क्या होगा जिसका x निर्देशांक 2 है :
(a) 11
(b) 21
(c) 31
(d) 41
उत्तर:
(a) 11

प्रश्न 22.
वक्र x = t² + 3t – 8, y = 2t² – 2t – 5 के बिन्दु (2, -1) पर स्पर्श रेखा का ढाल है :
(a) \(\frac{7}{6}\)
(b) \(\frac{-6}{7}\)
(c) \(\frac{22}{7}\)
(d) \(\frac{6}{7}\)
उत्तर:
(d) \(\frac{6}{7}\)

प्रश्न 23.
वक्र y = 2x² + 3 sinx के बिन्दु x = 0 पर अभिलंब की ढाल है :
(a) -3
(b) -1/3
(c) 3
(d) 1/3
उत्तर:
(b) -1/3

प्रश्न 24.
निम्नलिखित अन्तरालों में से किस अंतराल में f(x) = x¹⁰⁰ + sin x – 1 द्वारा प्रदत्त फलन f निरंतर ह्रासमान है :
(a) (0, 1)
(b) \(\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)\)
(c) \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\)
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(a) (0, 1)

प्रश्न 25.
यदि \(\left[\begin{array}{ll}
4 & 3 \\
x & 5
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
y & z \\
1 & 5
\end{array}\right]\) तब x, y, z का मान होगा।
(a) 1, 2, 3
(b) 1, 4, 3
(c) 3, 4, 0
(d) 0, 0, 1
उत्तर:
(b) 1, 4, 3

प्रश्न 26.

उत्तर:
(a) \(\left[\begin{array}{ll}
6 & 26 \\
1 & 19
\end{array}\right]\)

प्रश्न 27.

उत्तर:
(a) \(\tan \frac{x}{2}+k\)

प्रश्न 28.

उत्तर:
(a) log 2

प्रश्न 29.
∫o.dx बराबर है:
(a) k
(b) 0
(c) 1
(d) -1
उत्तर:
(a) k

प्रश्न 30.

उत्तर:
(d) log x + k

प्रश्न 31.
वक्र y = x², रेखा, x = 1, x = 2 और x-अक्षं से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है:
(a) \(\frac{7}{3}\)
(b) \(\frac{8}{3}\)
(c) \(\frac{11}{3}\)
(d) \(\frac{13}{3}\)
उत्तर:
(a) \(\frac{7}{3}\)

प्रश्न 32.
अवकल समीकरण \(1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}=\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) का घात है
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
उत्तर:
(a) 1

प्रश्न 33.
अवकल समीकरण \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+x^{3}\left(\frac{d y}{d x}\right)^{3}=x^{4}\) की कोटि है
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
उत्तर:
(b) 2

प्रश्न 34.
अवकल समीकरण \(\frac{\mathrm{d}^{4} \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^{4}}+\sin \left(\mathrm{y}^{\prime \prime \prime}\right)=0\) की घात और कोटि है :
(a) परिभाषित नहीं 4
(b) 0, 4
(c) 1, 4
(d) 2, 4
उत्तर:
(a) परिभाषित नहीं 4

प्रश्न 35.
\(\frac{d x}{d y}=h\left(\frac{x}{y}\right)\) के रूप वाले समघातीय अवकल समीकरण को हल करने के लिए निम्नलिखित में से कौन-सा प्रतिस्थापन किया जाता है :
(a) y = vx
(b) v = yx
(c) x = vy
(d) x = v
उत्तर:
(c) x = vy

प्रश्न 36.
अवकल समीकरण e^x dy + (ye^x + 2x)dx = 0 का व्यापक हल है :
(a) xe^x + x² = C
(b) xe^y + y² = C
(c) ye^x + x² = C
(d) ye^x + x² = C
उत्तर:
(c) ye^x + x² = C

प्रश्न 37.
सदिशों \(2 \hat{i}-3 \hat{j}+2 \hat{k}\) एवं \(\hat{i}+4 \hat{j}+5 \hat{k}\) के बीच का कोण है :
(a) 30°
(b) 90°
(c) 45°
(d) 60°
उत्तर:
(b) 90°

प्रश्न 38.

उत्तर:
(b) \(\frac{5}{7}\)

प्रश्न 39.
बिन्दु (3, 4, 2) और (5, 6, -3) को मिलाने वाली रेखा पर सदिश \(2 \hat{i}-3 \hat{j}-6 \hat{k}\) का प्रक्षेप है :
(a) \(\frac{2}{3}\)
(b) \(\frac{4}{3}\)
(c) \(-\frac{4}{3}\)
(d) \(\frac{5}{3}\)
उत्तर:
(b) \(\frac{4}{3}\)

प्रश्न 40.
यदि संक्रिया * परिभाषित है कि a * b = a² + b² तो (1*2)*5 है:
(a) 3125
(b) 625
(c) 125
(d) 50
उत्तर:
(d) 50

प्रश्न 41.
तल 7x + 4y – 2z + 5 = 0 अभिलंब के दिअनुपात हैं :
(a) 7, 4, 5
(b) 7, 4, -2
(c) 7, 4, 2
(d) 0, 0, 0
उत्तर:
(b) 7, 4, -2

प्रश्न 42.

उत्तर:
(c) a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0

प्रश्न 43.
x-अक्ष क्रमशः x, y और अक्षों के साथ क्रमशः 0°, 90°, 90° का कोण बनाता है, तब x-अक्ष की दिक् कोज्या है :
(a) 0, 0, 1
(b) 1, 0, 0
(c) 0, 0, 1
(d) 0, 1, 0
उत्तर:
(b) 1, 0, 0

प्रश्न 44.
यदि a, b, c अन्तः खण्ड काटने वाली समतल की मूल बिन्दु से दूरी p है तब

उत्तर:
(b) \(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}=\frac{1}{p^{2}}\)

प्रश्न 45.
दिक् अनुपात a₁, b₁, c₁ और a₂, b₂, c₂ वाली रेखाएँ समान्तर हैं यदि
(a) a₁a₂ – b₁b₂ – c₁c₂ = 0
(b) a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0
(c) a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = 0
(d) \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\)
उत्तर:
(d) \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\)

प्रश्न 46.
यदि P(\(\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{B}}\)) > P(A) तब निम्न में से कौन सही है :
(a) P (B/A) < P(b)
(b) P(A ∩ B) < P(a).P(b)
(c) P(B/A) > P(b)
(d) P(B/A) = P(b)
उत्तर:
(c) P(B/A) > P(b)

प्रश्न 47.
एक बॉक्स में 100 बल्ब हैं, जिसमें 10 त्रुटियुक्त है। तब 5 बल्ब के नमूने से एक बल्ब त्रुटियुक्त न होने की प्रायिकता है :
(a) 10^-1
(b) \(\left(\frac{1}{2}\right)^{5}\)
(c) \(\left(\frac{9}{10}\right)^{5}\)
(d) \(\frac{9}{10}\)
उत्तर:
(c) \(\left(\frac{9}{10}\right)^{5}\)

प्रश्न 48.
दो घटनाओं A और B को परस्पर स्वतंत्र कहते हैं यदि
(a) P(A’B’) = [1 – P(A)][1 – P(B)]
(b) P(A) = P(B)
(c) P(A) + P(B) = 1
(d) A और B परस्पर अपबर्जी है
उत्तर:
(a) P(A’B’) = [1 – P(A)][1 – P(B)]

प्रश्न 49.
एक पासे को 6 बार उछाला जाता है। यदि संख्या प्राप्त होना सफलता है तब 5 सफलता प्राप्त करने कि प्रायिकता है :
(a) \(\frac{3}{32}\)
(b) \(\frac{7}{64}\)
(c) \(\frac{63}{64}\)
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(a) \(\frac{3}{32}\)

प्रश्न 50.
एक पासों के साथ एक द्विक प्राप्त करने की प्रायिकता है :
(a) \(\frac{2}{3}\)
(b) \(\frac{1}{6}\)
(c) \(\frac{5}{6}\)
(d) \(\frac{5}{36}\)
उत्तर:
(b) \(\frac{1}{6}\)

खण्ड-ब : गैर-वस्तुनिष्ठ प्रश्न

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न संख्या 1 से 25 तक लघु उत्तरीय कोटि के हैं। प्रत्येक के लिए 2 अंक निर्धारित हैं। इनमें से किसी 15 प्रश्न का उत्तर दें।

प्रश्न 1.
जाँच कीजिए कि क्या R में R = {(a, b) : a ≤ b³} द्वारा परिभाषित संबंध स्वतुल्य, सममित अथवा संक्रमक है?
हल :
दिया है, R = वास्तविक संख्याओं का समुच्चय
और सम्बन्ध R = {(a, b) : a ≤ b³}
R स्वतुल्य नहीं है, क्योंकि यदि a = \(\frac{1}{2}\), b³ = \(\frac{1}{8}\)
अर्थात् \(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{8}\) से कम या बराबर नहीं है।
R सममित नहीं है, क्योंकि यदि a ≤ b³ तो b, a³ से कम या बराबर नहीं है।
यदि a = 1, b = 2, 1 < 2³ परन्तु 2, 13 से कम नहीं है।
R संक्रमक नहीं है, क्योंकि यदि a ≤ b³, b ≤ c³ तो a ≤ c³ का सत्य होना आवश्यक नहीं है।
यदि a = 7, b = 2, c = 1.5
a < b³ या, 7 < 2³ = 8 सत्य है, b ≤ c³, 2 < (1.5)³ सत्य है, परन्तु 7 < (1.5)³ सत्य नहीं।
अत: R स्वतुल्य सममित व संक्रमक में से कोई भी नहीं है।

प्रश्न 2.

हल :

प्रश्न 3.

हल :

प्रश्न 4.

हल :

प्रश्न 5.
यदि A = \(\left[\begin{array}{cc}
\cos \alpha & \sin \alpha \\
\sin \alpha & \cos \alpha
\end{array}\right]\), तो सत्यापित कीजिए कि A’A = I.
हल:

प्रश्न 6.
सारणिक के गुणधर्मों का प्रयोग कर मान ज्ञात कीजिए :
\(\left|\begin{array}{lll}
1 & a & b c \\
1 & b & c a \\
1 & c & a b
\end{array}\right|\)
हल :

प्रश्न 7.
सिद्ध करें कि \(\left|\begin{array}{lll}
a & b & c \\
a^{2} & b^{2} & c^{2} \\
a^{3} & b^{3} & c^{3}
\end{array}\right|\) = abc(a – b)(b – c)(c – a).
हल :

प्रश्न 8.
अवकलन कीजिए : x^{sin x}
हल :

प्रश्न 9.

हल :

प्रश्न 10.
सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग कर सिद्ध कीजिए :
\(\left|\begin{array}{ccc}
1 & a & a^{2} \\
1 & b & b^{2} \\
1 & c & c^{2}
\end{array}\right|\) = (a – b) (b – c) (c – a)
हल :

प्रश्न 11.
x log x समाकलनों को ज्ञात कीजिए।
हल :

प्रश्न 12.
निम्नलिखित निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए :
\(\int_{1}^{2}\left(4 x^{3}-5 x^{2}+6 x+9\right) d x\)
हल :

प्रश्न 13.
निम्नलिखित का समाकलन ज्ञात कीजिए : \(e^{x}\left(\frac{1+\sin x}{1+\cos x}\right)\)
हल :

प्रश्न 14.
व्यापक हल ज्ञात कीजिए :
sec²x tan y dx + sec²y tan x dy = 0
हल :

प्रश्न 15.
दर्शाइए कि दिया गया अवकल समीकरण समघातीय है और इन्हें हल कीजिए :
(x – y) dy – (x + y) dx = 0
हल :

प्रश्न 16.
सिद्ध कीजिए कि समचतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे से समकोण पर प्रतिच्छेद करते है।
हल :
माना कि OABC एक समचतुर्भुज है, जिसके विकर्ण एक-दूसरे से D पर प्रतिच्छेद करते हैं। माना कि O मूल बिन्दु तथा A और C का स्थिति सदिश क्रमशः
\(\vec{a}\) और \(\vec{c}\) हैं तब \(\vec{OA}\) = \(\vec{a}\) तथा \(\vec{OC}\) = \(\vec{c}\)

प्रश्न 17.

हल :

प्रश्न 18.
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो समतलों 3x – y + 2z – 4 = 0 और x + y + z – 2 = 0 के प्रतिच्छेदन तथा बिंदु (2, 2, 1) से होकर जाता है।
हल :

प्रश्न 19.

हल :

प्रश्न 20.

हल :

प्रश्न 21.
मान लीजिए कि जन्म लेने वाले बच्चे का लड़का या लड़की होना समसंभाव्य है। यदि किसी परिवार में दो बच्चे हैं, तो दोनों बच्चों के लड़की होने की सप्रतिबंध प्रायिकता क्या है, यदि यह दिया गया है कि
(i) सबसे छोटा बच्चा लड़की है
(ii) न्यूनतम एक बच्चा लड़की है।
हल :
मान लिया कि दो लड़की G₁ तथा G₂ और दो लड़का B₁ तथा B₂ से सूचित किया जाता है।
प्रतिदर्श समष्टि S= {(G₁G₂), (G₁B₂), (G₂B₁), (B₁B₂)}
मान लिया कि A = दोनों बच्चे लड़की हैं = {G₁G₂}
B = छोटा बच्चा लड़की है = {G₁G₂, B₁G₂}
C = न्यूनतम एक बच्चा लड़की है = {G₁B₂, G₁G₂, B₁G₂}
A ∩ B = {G₁G₂}, तथा A ∩ C = {G₁G₂}
साथ ही

प्रश्न 22.
A, 60% तथा B, 90% सत्य बोलता है, तो किसी एक ही तथ्य पर दोनों विरोधाभास होने की क्या प्रतिशतता है?
हल :
उनके कथनों में विरोधाभास होगा यदि एक सत्य बोलता हो और दूसरा असत्य
यहाँ n(S) = 100
माना E₁ = A का सत्य बोलना तब n(E₁) = 60

प्रश्न 23.

हल :

प्रश्न 24.
यदि x + y = sec^-1 (x + y) तो \(\frac{d y}{d x}\) निकालें।
हल :

प्रश्न 25.
\(\sqrt{e^{\sqrt{x}}}\), x > 0 निम्नलिखित के x के सापेक्ष अवकलन कीजिए।
हल :

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न संख्या 26 से 33 तक दीर्घ उत्तरीय कोटि के प्रश्न हैं। प्रत्येक के लिए 5 अंक निर्धारित हैं। प्रत्येक प्रश्न के साथ “अथवा” का विकल्प दिया गया है। आपको प्रश्न या अथवा में से किसी एक का उत्तर देना है।

प्रश्न 26.
सिद्ध कीजिए कि R त्रिज्या के गोले के अंतर्गत विशालतम शंकु का आयतन, गोले के आयतन का \(\frac{8}{27}\) होता है।
हल :
मान लिया कि R त्रिज्या वाले एक गोले के अन्तर्गत उच्चतम आयतन V की एक शंकु है। स्पष्ट है कि उच्चतम आयतन के लिए शंकु का अक्ष गोले के व्यास के साथ होना चाहिए। मान लिया कि OC = x है, तब

प्रश्न 27.
x के सापेक्ष अवकलन कीजिए : (log x)^x + x^{log x}
हल :

प्रश्न 28.
निश्चित समाकलन का मान झात कीजिए : \(\int_{0}^{\pi} \frac{x \tan x}{\sec x+\tan x} d x\)
हल :

प्रश्न 29.
दीर्घ वन \(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\) से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

प्रश्न 30.
दर्शाइए कि सदिश \(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}, \hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}\) और \(3 \hat{i}-4 \hat{j}-4 \hat{k}\) एक समकोण त्रिभुज के शीर्षों की रचना करते हैं।
हल :
मान लिया कि बिन्दुओं A, B और C के स्थिति सदिश क्रमशः

प्रश्न 31.
दर्शाइए (1, -1, 2), (3, 4, -2) से होकर जाने वाली रेखा बिन्दुओं (0, 3, 2)और (3, 5, 6) से जाने वाली रेखा पर लम्ब है।
हलः
मान लिया कि (1, -1, 2), (3, 4, -2)क्रमशः बिन्दुएँ A, B हैं।
AB की दिक् अनुपात : 3 – 1, 4-(-1), -2-2 या, 2, 5, -4 मान लिया कि (0, 3, 2) और (3, 5, 6) क्रमशः बिन्दुएँ C और D हैं।
CD की दिक् अनुपात : 3 – 0, 5 – 3, 6 – 2 या 3, 2, 4
AB, CD पर लम्ब होगा यदि a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0
अर्थात 2 × 3 + 5 × 2 + (-4) × 4 = 6 + 10 – 16 = 0
जो सत्य है। अत : AB ⊥ CD.

प्रश्न 32.
निम्न व्यवरोधों के अन्तर्गत x + y ≤ 50, 3x + y ≤ 90, x ≥ 0, y ≥ 0 में Z = 4x + y का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।
हल :
दिए गए व्यवरोधों x + y ≤ 50 ⇒ x + y = 50 …(1)
3x + y ≤ 90 ⇒ 3x + y = 90 …(2)
x ≥ 0, y ≥ 0 ⇒ x = 0, y = 0 …(3)
के अन्तर्गत उद्देश्य फलन z = 4x + y का अधिकतमीकरण करना है। सर्वप्रथम (1) से (3) तक असमीकरण के संगत समीकरण का आलेख खींचते हैं। आलेख से सुसंगत क्षेत्र OABC प्राप्त होता है, जो परिबद्ध है। बिन्दु B का निर्देशक समीकरण (1) और (2) को हल करने से प्राप्त होता है। आलेख से स्पष्ट है कि कोनीय बिन्दुओं के निर्देशांक क्रमश:
O(0, 0), A(30, 0), B(20, 30) तथा C(0, 50) है।

अन्त कानीय विधि का प्रयोग कर 2 का अधिकतम मान ज्ञात करते है।
कोनीय बिन्दु Z = 4x + y
O(0, 0), z = 4 × 0 + 0 = 0
A(30, 0), z = 4 × 30 + 0 = 120
B (20, 30), z = 4 × 20 + 30 = 110
C(0, 50), z = 4 × 0 + 50 = 50
उपर्युक्त सारणी से स्पष्ट है कि z का अधिकतम मान बिन्दु A(30, 0) पर 120 है।

प्रश्न 33.
निम्नांकित LPP का आलेखीय हल निकालें :
अधिकतमीकरण करें : Z = 8x + 7y जबकि 3x + y ≤ 66
x + y ≤ 45, x ≤ 20, y ≤ 40, x, y ≥ 0
हल :
दिए गए उद्देश्य फलन Z = 8x + 7y का निम्न व्यवरोधों के अन्तर्गत
3x + y ≤ 66 ⇒ 3x + y = 66 …(i)
x + y ≤ 45 ⇒ x + y = 45 …(ii)
x ≤ 20 ⇒ x = 20 ….. (iii)
y ≤ 40 ⇒ y = 40 ….(iv)
तथा x, y ≥ 0 ⇒ x = 0, y = 0 …..(v)
उद्देश्य फलन 2 का अधिकतम मान ज्ञात करना है।
सर्वप्रथम (i) से (v) के असमीकरण के संगत समीकरण का आलेख खींचते हैं।
असमीकरण (iv) के संगत समीकरण y = 40 y-अक्ष को A (0, 40) पर, असमीकरण (iv) और (ii) के कटान बिन्दु B (5,40), असमीकरण (i) और (ii) के संगत समीकरण का आलेख बिन्दु \(c\left(\frac{63}{6}, \frac{69}{2}\right)\) पर, असमीकरण (i) और (iii) बिन्दु D (20, 6) और असमीकरण (iii) और x-अक्ष बिन्दु E (20, 0) पर प्रतिच्छेद करती है। इस प्रकार सुसंगत क्षेत्र ABCDE प्राप्त होता है, जो परिवद्ध है। अब कोनीय बिन्दु विधि से Z का अधिकतम मान ज्ञात करते हैं।
कोनीय बिन्दु Z = 8x + 7y
A(0, 40), Z = 8 × 0 + 7 × 40 = 280
B (5, 40), Z = 8 × 5 + 7 × 40 = 320
\(C\left(\frac{63}{6}, \frac{69}{2}\right)\), \(Z=8 \cdot \frac{63}{6}+7 \cdot \frac{69}{2}=325.5\)
D(20, 6), Z = 8 × 20 + 7 × 6 = 206
E (20,0), Z = 8 × 20 + 0 = 160

उपर्युक्त सारणी से स्पष्ट है कि \(c\left(\frac{63}{6}, \frac{69}{2}\right)\) पर Z का मान अधिकतम 325.5 है। अतः दिए गए व्यवरोधों के अन्तर्गत उद्देश्य फलन Z का अधिकतम मान 325.5 है।

Bihar Board 12th Maths Objective Questions and Answers

Bihar Board 12th Maths Objective Answers Chapter 1 सम्बन्ध एवं फलन

प्रश्न 1.
यदि A = {a, b, c}, B = {1, 2, 3) और f = {(a, 1) (b, 2) (c, 2)} तो f कैसा फलन है?
(a) एकैक अंत:क्षेपी
(b) अनेकैक अंतःक्षेपी
(c) अनेकैक आच्छादक
(d) एकैक आच्छादक
उत्तर:
(b) अनेकैक अंतःक्षेपी

प्रश्न 2.
यदि f : R → R जहाँ f(x) = 3x तो कैसा फलन है?
(a) एकैक आच्छादक
(b) अनेकैक आच्छादक
(c) एकैक अंतःक्षेपी
(d) अनेकैक अंत:क्षेपी
उत्तर:
(a) एकैक आच्छादक

प्रश्न 3.
यदि f : R → R इस प्रकार परिभाषित है कि f(x) = \(\left(3-x^{3}\right)^{1 / 3}\) तब fof(x) है :
(a) x^1/3
(b) x³
(c) (3 – x³)
(d) x
उत्तर:
(d) x

प्रश्न 4.

(a) x
(b) 1
(c) f(x)
(d) g(x)
उत्तर:
(b) 1

प्रश्न 5.
f(x) = a sin kx + b cos kx का आवर्त काल :
(a) \(\frac{2 \pi}{k}\)
(b) \(\frac{2 \pi}{|k|}\)
(c) \(\frac{\pi}{|k|}\)
(d) कोई नहीं
उत्तर:
(b) \(\frac{2 \pi}{|k|}\)

प्रश्न 6.
f : A → B एक आच्छादक फलन होगा, यदि :
(a) BCf(A)
(b) f(A) = B
(c) f(B)CA
(d) f(A) ⊂ B
उत्तर:
(b) f(A) = B

प्रश्न 7.
संबंध R = {(1, 3), (4, 2), (2, 4), (2, 3), (3, 1)} समुच्चय A = {1, 2, 3, 4} पर कैसा संबंध है?
(a) संक्रामक
(b) स्वतुल्य
(c) सममित
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(c) सममित

प्रश्न 8.
दिया हुआ है कि A = {x, y, z}, B = {u, v, w} तो फलन f : A → B alfon f(x) = u, f (y) = v, f(z) = w किस प्रकार का फलन होगा?
(a) Surjective
(b) Bijective
(c) Injective
(d) None
उत्तर:
(d) None

प्रश्न 9.
माना कि A = {1, 2, 3}, तो (1, 2) को शामिल करते हुए कितने तुल्यता संबंध A पर परिभाषित हो सकता है?
(a) 3
(b) 1
(c) 2
(d) 4
उत्तर:
(c) 2

प्रश्न 10.
यदि A, B तथा C तीन समुच्चय इस प्रकार हो कि A∩B = A∩C और A∪B = A∪C तो :
(a) A = B
(b) A = C
(c) B = C
(d) A∩B = d
उत्तर:
(c) B = C

प्रश्न 11.

उत्तर:
(b) \(\left[\frac{-1}{4}, \frac{1}{2}\right]\)

प्रश्न 12.
माना f(x) = (x + 1)2, x ≥ -1 यदि g(x) एक फलन हो जिसका ग्राफ रेखा y = x के सापेक्ष f(x) के ग्राफ का प्रतिबिम्ब हो, तब g(x) समान है :
(a) -√x – 1, x ≥ 0
(b) \(\frac{1}{(x+1)} 2\), x > -1
(c) √(x + 1) , x ≥ -1
(d) √x – 1, x ≥ 0
उत्तर:
(c) √(x + 1) , x ≥ -1

प्रश्न 13.
माना A = {1, 2, 3, 4,….n} तो कितने फलन f : A → B से परिभाषित हो सकते हैं?
(a) ⌊n – 1
(b) ⌊n
(c) n
(d) \(\frac{1}{2} n\)
उत्तर:
(c) n

प्रश्न 14.
वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर परिभाषित संबंध R = {(a, b) ∈ R × r : 1 + ab > 0} है।
(a) स्वतुल्य और संक्रामक
(b) सममित और संक्रामक
(c) स्वतुल्य और क्रमित
(d) समतुल्य संबंध
उत्तर:
(d) समतुल्य संबंध

प्रश्न 15.
यदि f(x) + 2f(1 – x) = x² + 2 ∀ x ∈ R तो f(x) =
(a) 1
(b) x² – 2
(c) \(\frac{1}{3}(x-2)^{2}\)
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(c) \(\frac{1}{3}(x-2)^{2}\)

प्रश्न 16.
f : A → B आच्छादक फलन होगा, यदि
(a) f(A) ⊂ B
(b) f(A) = B
(c) f(A) ⊃ B
(d) f(A) ≠ B
उत्तर:
(b) f(A) = B

प्रश्न 17.
वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में संबंध ‘छोटा है’ जिसमें कैसा संबंध है?
(a) केवल सममित
(b) केवल संक्रामक
(c) केवल स्वतुल्य
(d) तुल्यता संबंध
उत्तर:
(b) केवल संक्रामक

प्रश्न 18.
माना E = {1, 2, 3, 4} और F ={1, 2} तब E से F पर आच्छादक फलन की संख्या :
(a) 14
(b) 16
(c) 12
(d) 8
उत्तर:
(a) 14

प्रश्न 19.

उत्तर:
(b) \(\left(\frac{1}{7}, 3\right)\)

प्रश्न 20.
फलन f(x) = \(\log (x+\sqrt{x^{2}+1})\) है :
(a) सम फलन
(b) विषम
(c) आवर्ती फलन
(d) न तो सम और न ही विषम
उत्तर:
(b) विषम

प्रश्न 21.

(a) [1, 4]
(b) [1, 0]
(c) [0, 5]
(d) [5, 0]
उत्तर:
(a) [1, 4]

प्रश्न 22.
सम्बंध R जो निम्न द्वारा परिभाषित है R = {(a, b) : a, b ∈ human beings : a loves b} है
(a) स्वतुल्य
(b) सममित और संक्रामक
(c) समतुल्य
(d) उपर्युक्त में से कोई नहीं
उत्तर:
(c) समतुल्य

प्रश्न 23.
फलन f(x) = sin⁴ x + cos⁴ x का आवर्तकाल :
(a) 2π
(b) \(\frac{\pi}{2}\)
(c) π
(d) कोई नहीं
उत्तर:
(b) \(\frac{\pi}{2}\)

प्रश्न 24.
माना कि A = {1, 2} इस समुच्चय पर कितने द्विचर संक्रियाएँ परिभाषित हो सकते हैं?
(a) 8
(b) 10
(c) 16
(d) 20
उत्तर:
(c) 16

प्रश्न 25.
यदि f : A → R जहाँ A = {-1, 0, 1, 2, 3}, R = {वास्तविक संख्याएँ) तथा f(x) = x² तो फलन कैसा फलन है?
(a) एकैक आच्छादक
(b) एकैक अंतःक्षेपी
(c) अनेकैक आच्छादक
(d) अनेकैक अंतःक्षेपी
उत्तर:
(d) अनेकैक अंतःक्षेपी

प्रश्न 26.
f(x) = \(\frac{\log _{2}(x+3)}{x^{2}+3 x+2}\) का प्रांत है :
(a) R – {-1, -2}
(b) (-2, ∞)
(c) R – {-1, -2, -3}
(d) (-3, +∞) – {-1, -2}
उत्तर:
(d) (-3, +∞) – {-1, -2}

प्रश्न 27.
यदि f : R→ S जो f(x) = sin x – √3 cos x + 1 द्वारा परिभाषित है, आच्छादक हो, तब अंतराल S है :
(a) [0, 1]
(b) [-1, -1]
(c) [0, 3]
(d) [-1, 3]
उत्तर:
(d) [-1, 3]

प्रश्न 28.
माना फलन f : R → R, f(x) = 2x³ – 1 प्रकार से परिभाषित है, तब f^-1 है।
(a) (1 – 2x)³
(b) (2x)³ + 1
(c) 2x³ + 1
(d) \(\left(\frac{1+x}{2}\right)^{1 / 3}\)
उत्तर:
(d) \(\left(\frac{1+x}{2}\right)^{1 / 3}\)

प्रश्न 29.
यदि f : R→ R इस तरह से परिभाषित हो कि f (x) = 2x + 3 तो f^-1(x) =
(a) \(\frac{x+3}{2}\)
(b) \(\frac{x-3}{2}\)
(c) 2x – 3
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(b) \(\frac{x-3}{2}\)

प्रश्न 30.
यदि f : R → R जहाँ f(x) = 3x – 4 तो f^-1(x) निम्नलिखित में कौन होगा?
(a) \(\frac{1}{3}\) (x + 4)
(b) \(\frac{1}{3}\) (x – 4)
(c) 3x – 4
(d) undefined
उत्तर:
(a) \(\frac{1}{3}\) (x + 4)

प्रश्न 31.
माना कि A = {1, 2, 3}, तो (1, 2) और (1, 3) को शामिल करते हुए कितने संबंध A पर परिभाषित हो सकते हैं जो स्वतुल्य सममित है किंतु संक्रामक नहीं
(a) 4
(b) 3
(d) 1
(c) 2
उत्तर:
(c) 2

प्रश्न 32.
माना f(x) = \(\frac{\alpha x}{x+1}\), x ≠ -1, तब x के किस मान के लिए f[f(x)] = x
(a) √2
(b) -√2
(c) 1
(d) -1
उत्तर:
(d) -1

प्रश्न 33.

उत्तर:
(d) \(\frac{7 n(n+1)}{2}\)

प्रश्न 34.
sin^-1[log₃(x/3)] का प्रांत :
(a) [1, 9]
(b) [-9, -1]
(c) [-1, 9]
(d) [-9, 1]
उत्तर:
(a) [1, 9]

प्रश्न 35.
यदि f : R → R जहाँ f(x) = 5x + 4 हो, तो f^-1(x) निम्न में से कौन होगा?
(a) \(\frac{x}{4}-5\)
(b) \(\frac{x-5}{4}\)
(c) \(\frac{x-4}{5}\)
(d) \(\frac{x-y}{5}\)
उत्तर:
(c) \(\frac{x-4}{5}\)

प्रश्न 36.
यदि * संक्रिया की परिभाषा है कि a * b = a² + b², तो (1 * 2) * 6 है
(a) 12
(b) 28
(c) 61
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(c) 61

प्रश्न 37.
f : A → B अंतःक्षेपी होगा, यदि
(a) f(A) ⊂ B
(b) f(A) = B
(c) B ⊂ f(A)
(d) f(B) ⊂ A
उत्तर:
(a) f(A) ⊂ B

प्रश्न 38.
N पर एक द्विपद संक्रिया a * b = a³ + b³ से परिभाषित है :
(a) * साहचर्य एक क्रमविनिमेय है
(b) * क्रमविनिमेय है परंतु साहचर्य नहीं
(c) * साहचर्य है परंतु क्रमविनिमेय नहीं
(d) * न तो साहचर्य है और न क्रमविनिमेय है
उत्तर:
(d) * न तो साहचर्य है और न क्रमविनिमेय है

प्रश्न 39.
यदि फलन f(x) = \(x^{3}+e^{x / 2}\) तथा g(x) = f^-1(x) तो g'(1) का मान है :
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
उत्तर:
(b) 2

प्रश्न 40.
फलन y = f(x) का ग्राफ रेखा x = 2 के सममित हो, तब
(a) f(x) = f (-x)
(b) f(2 + x) = f(2 – x)
(c) f(x + 2) = f(x – 2)
(d) f(x) = -f(-x)
उत्तर:
(b) f(2 + x) = f(2 – x)

प्रश्न 41.
sin²θ का आवर्त काल :
(a) \(\frac{\pi}{2}\)
(b) π
(c) 2π
(d) π²
उत्तर:
(b) π

प्रश्न 42.
फलन f(x) = \(\sqrt{(x-1)(3-x)}\) का परास है :
(a) (1, 3)
(b) (-2, 2)
(c) (0, 1)
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(a) (1, 3)

प्रश्न 43.
यदि A = {1, 2, 3}, B = {5, 6, 7} तथा f : A → B एक फलन है जैसा कि f (x) = x + 4 तो f किस प्रकार का फलन है?
(a) अनेकैक आच्छादक
(b) अचर फलन
(c) एकैक आच्छादक
(d) अंत:क्षेपी
उत्तर:
(c) एकैक आच्छादक

प्रश्न 44.
माना A = {(1, 2), (1, 1),(2, 2), (2, 1)} और माना R, A पर एक संबंध हो तो R है :
(a) संक्रामक
(b) स्वतुल्य
(c) सममित
(d) कोई नहीं
उत्तर:
(d) कोई नहीं

Bihar Board 12th Maths Objective Questions and Answers

Bihar Board 12th Maths Objective Answers Chapter 13 प्रायिकता

प्रश्न 1.
यदि A और B दो घटनायें एक ही प्रयोग से संबंधित हो इस प्रकार कि P(A) = 0.4, P(B) = 0.8 और P(B/A) = 0.6 तब P(A/B):
(a) 0.3
(b) 0.4
(c) 0.5
(d) 0.6
उत्तर:
(a) 0.3

प्रश्न 2.
यदि P(x) = \(\frac{x}{15}\); x = 1, 2, 3, 4, 5, 0 अन्यथा तो P(x = 1 या 2) है।
(a) \(\frac{1}{15}\)
(b) \(\frac{2}{15}\)
(c) \(\frac{4}{5}\)
(d) कोई नहीं
उत्तर:
(c) \(\frac{4}{5}\)

प्रश्न 3.
A के सच बोलने की प्रायिकता 4/5 है जबकि B के लिए 3/4 है। जब वे एक तथ्य पर बोलते हैं तो विरोधाभास हो तो की प्रायिकता है।
(a) \(\frac{7}{20}\)
(b) \(\frac{1}{5}\)
(c) \(\frac{3}{20}\)
(d) \(\frac{4}{5}\)
उत्तर:
(a) \(\frac{7}{20}\)

प्रश्न 4.

उत्तर:
(a) \(\frac{3}{5}\)

प्रश्न 5.
यदि A और B दो घटनाएँ इस प्रकार हों कि P(A) ≠ 0 और P(\(\frac{B}{A}\)) = 1, तो
(a) B ⊂ A
(b) B = φ
(c) A ⊂ B
(d) A∩B = φ
उत्तर:
(c) A ⊂ B

प्रश्न 6.
यदि A और B दो स्वतंत्र घटनाएँ हो, तो (A∩B) =
(a) P(A.P(B))
(b) P(A/B)
(c) P(A) + P(B)
(d) (P) + P(B) – P(A∩B)
उत्तर:
(a) P(A.P(B))

प्रश्न 7.
द्विपद वितरण में माध्य और प्रसारण क्रमशः 4 और 2 है, तब असफलता की प्रायिकता है :
(a) \(\frac{128}{256}\)
(b) \(\frac{219}{256}\)
(c) \(\frac{7}{64}\)
(d) \(\frac{28}{256}\)
उत्तर:
(c) \(\frac{7}{64}\)

प्रश्न 8.
भारत का वेस्टइंडीज के विरुद्ध टेस्ट मैच जीतने की प्रायिकता \(\frac{1}{2}\) है। तीसरे मैच के द्वितीय विजेता होने की क्या प्रायिकता है?
(a) \(\frac{1}{6}\)
(b) \(\frac{1}{4}\)
(c) \(\frac{1}{2}\)
(d) \(\frac{2}{3}\)
उत्तर:
(b) \(\frac{1}{4}\)

प्रश्न 9.
यदि A और B दो स्वतंत्र घटनाएँ हों तो :
(a) P(A∪B) = 1 – P(A’)P(B’)
(b) P(A∩B) = 1 – P(A’)P(B’)
(c) P(A∪B) = 1 + P(A’)P(B’)
(d) P(A∪B) = \(\frac{P\left(A^{\prime}\right)}{P\left(B^{\prime}\right)}\)
उत्तर:
(a) P(A∪B) = 1 – P(A’)P(B’)

प्रश्न 10.
यदि A और B दो घटनाएँ इस तरह से हो कि P(A) = \(\frac{1}{3}\), P(B) = \(\frac{1}{4}\), P(A∩B) = \(\frac{1}{5}\)
(a) \(\frac{1}{5}\)
(b) \(\frac{2}{5}\)
(c) \(\frac{3}{5}\)
(d) \(\frac{4}{5}\)
उत्तर:
(d) \(\frac{4}{5}\)

प्रश्न 11.
यदि A, B और C तीन स्वतंत्र घटनाएँ हो तो P(A∩B∩C) =
(a) P(A) + P(B) + P(C)
(b) P(A) – P(B) + P(C)
(c) P(A) + P(B) – P(A∩B)
(d) P(A)P(B)P(C)
उत्तर:
(d) P(A)P(B)P(C)

प्रश्न 12.
यदि A और B दो घटनाएँ हो ताकि P(A) > 0 और PB ≠ 1 तो P(A/B) =
(a) 1 – P(A/B)
(b) 1 + P(A/B)
(c) \(\frac{1-P(A \cup B)}{P\left(B^{1}\right)}\)
(d) \(\frac{P(A)}{P(B)}\)
उत्तर:
(c) \(\frac{1-P(A \cup B)}{P\left(B^{1}\right)}\)

प्रश्न 13.
एक कलश में 9 गेंदे जिसमें 3 लाल, 4 नीली और 2 हरी है। 3 गेंदे कलश से यादृच्छता निकाली जाती है। तीन गेंदे भिन्न रंगों की होने की प्रायिकता है:
(a) \(\frac{1}{3}\)
(b) \(\frac{2}{7}\)
(c) \(\frac{1}{21}\)
(d) \(\frac{2}{23}\)
उत्तर:
(b) \(\frac{2}{7}\)

प्रश्न 14.
संख्याओं के समुच्चय A = [1, 2, 3, 4, 5, 6] से दो संख्याओं को एक के बाद एक चुना जाता है तब 4 से कम मान वाली दो संख्याओं को चुनने की प्रायिकता :
(a) \(\frac{14}{15}\)
(b) \(\frac{1}{15}\)
(c) \(\frac{1}{5}\)
(d) \(\frac{8}{5}\)
उत्तर:
(c) \(\frac{1}{5}\)

प्रश्न 15.
एक जोड़ा पासा को फेंका जाता है। दोनों पर समरूढ़ संख्या पाने की प्रायिकता है:
(a) \(\frac{1}{36}\)
(b) \(\frac{1}{12}\)
(c) \(\frac{1}{6}\)
(d) 0
उत्तर:
(b) \(\frac{1}{12}\)

प्रश्न 16.
यदि A और B कोई दो घटनाएँ हो ताकि P(A) = 0.2, P(B) = 0.6 तो P(A∪B) + P(A∩B) =
(a) 0.6
(b) 0.9
(c) 0.8
(d) 0.12
उत्तर:
(c) 0.8

प्रश्न 17.
प्रथम 6 धनपूर्णांकों को अवयव लेते हुए असमान अवयव वाले कुल कितने अलग-अलग आव्यूह बना सकते हैं?
(a) 2880
(b) 1440
(c) 720
(d) 4
उत्तर:
(d) 4

प्रश्न 18.
यदि A और B घटनाएँ इस प्रकार हों कि :

उत्तर:
(b) \(\frac{5}{8}\)

प्रश्न 19.
P(A∪B) =
(a) P(A) + P(B) + P(A∩B)
(b) P(A) – P(B) – P(A∩B)
(c) P(A) + P(B) – P(A∩B)
(d) P(A) – P(B) + (A∩B)
उत्तर:
(c) P(A) + P(B) – P(A∩B)

प्रश्न 20.
यादृच्छिक चर X का माध्य और प्रसरण 4 और 2 है तब P(x = 1) हैं
(a) \(\frac{1}{32}\)
(b) \(\frac{1}{16}\)
(c) \(\frac{1}{8}\)
(d) \(\frac{1}{4}\)
उत्तर:
(a) \(\frac{1}{32}\)

प्रश्न 21.
पाँच घोड़े दौड़ में है। A दो घोड़ों को यादृच्छिक चुनता है और उन पर दांव लगाता है A के द्वारा चुने गए घोड़ों के जीतने की प्रायिकता हैं
(a) \(\frac{4}{5}\)
(b) \(\frac{3}{5}\)
(c) \(\frac{1}{5}\)
(d) \(\frac{2}{5}\)
उत्तर:
(d) \(\frac{2}{5}\)

प्रश्न 22.
प्रथम 100 प्राकृत संख्याओं में से तीन संख्याओं को 2 और 3 से विभाजित होने की प्रायिकता है :
(a) \(\frac{4}{25}\)
(b) \(\frac{4}{35}\)
(d) \(\frac{4}{55}\)
(d) \(\frac{4}{1255}\)
उत्तर:
(d) \(\frac{4}{1255}\)

प्रश्न 23.
ताश के 52 पत्तों में से एक पत्ता खींचा जाए तो इसके इक्का होने की प्रायिकता है:
(a) \(\frac{1}{26}\)
(b) \(\frac{1}{13}\)
(c) \(\frac{1}{52}\)
(d) \(\frac{1}{4}\)
उत्तर:
(b) \(\frac{1}{13}\)

प्रश्न 24.

उत्तर:
(c) \(\frac{13}{24}\)

प्रश्न 25.
यदि A और B दो स्वतंत्र घटनाएँ हों तो
(a) P(AB’) = P(A) P(B)
(b) P(AB’) = P(A) P(B’)
(c) P(AB) = P(A) + P(B)
(d) P(AB) = P(A) + P(B)
उत्तर:
(b) P(AB’) = P(A) P(B’)

प्रश्न 26.
एक पासा को 6 बार फेंका जाता है। यदि “एक समसंख्या फेंकना” सफलता हो तो 5 बार सफलता की प्रायिकता है।
(a) \(\frac{3}{32}\)
(b) \(\frac{7}{64}\)
(c) \(\frac{63}{69}\)
(d) कोई नहीं
उत्तर:
(a) \(\frac{3}{32}\)

प्रश्न 27.
यदि S कोई प्रतिदर्श समष्टि तथा E कोई घटना है तो घटना E की प्रायिकता P(E) =
(a) \(\frac{n(E)}{n(S)}\)
(b) \(\frac{n(S)}{n(E)}\)
(c) n(E)
(d) n(S)
उत्तर:
(a) \(\frac{n(E)}{n(S)}\)

प्रश्न 28.

उत्तर:
(a) \(\frac{1}{4}\)

प्रश्न 29.

उत्तर:
(c) \(\frac{2}{3}\)

प्रश्न 30.
दो पासों को एक बार उछाला जाता है। पहले पासे पर सम संख्या मिलने की या कुल 8 होने की प्रायिकता है।
(a) \(\frac{1}{36}\)
(b) \(\frac{3}{36}\)
(c) \(\frac{11}{36}\)
(d) \(\frac{5}{9}\)
उत्तर:
(d) \(\frac{5}{9}\)

प्रश्न 31.
P(E) =
(a) n(E) + n(s)
(b) \(\frac{n(E)}{n(s)}\)
(c) \(\frac{n(s)}{n(E)}\)
(d) n(E) – n(s)
उत्तर:
(b) \(\frac{n(E)}{n(s)}\)

प्रश्न 32.
यदि A और B दो घटनाएँ इस प्रकार हों कि :
P(A) + P(B) – P(A और B) = P (A) तो :
(a) P(\(\frac{B}{A}\)) = 1
(b) P(\(\frac{B}{A}\)) = 0
(c) P(\(\frac{A}{B}\)) = 1
(d) P(\(\frac{A}{B}\)) = 0
उत्तर:
(c) P(\(\frac{A}{B}\)) = 1

प्रश्न 33.
एक जोड़ा पासा को फेंका जाता है। दोनों पर सम अभाज्य संख्या पाने की प्रायिकता है:
(a) \(\frac{1}{36}\)
(b) \(\frac{1}{12}\)
(c) \(\frac{1}{6}\)
(d) 0
उत्तर:
(a) \(\frac{1}{36}\)

प्रश्न 34.
ताश की गुड्डी से यदृच्छया दो ताश निकाले जाते हैं। माना कि पाए गए इक्के की संख्या X है, तो E(X) का मान होगा :
(a) \(\frac{1}{13}\)
(b) \(\frac{37}{221}\)
(c) \(\frac{2}{13}\)
(d) \(\frac{5}{13}\)
उत्तर:
(a) \(\frac{1}{13}\)

प्रश्न 35.
यदि A और B स्वतंत्र घटनाएँ हो, तो निम्नलिखित में कौन बाकी किसके साथ समान नहीं?
(a) P(A’∩B’) – P(A∩B)
(b) P(A)³ + P(B)³ = 1
(c) P(B) – P(A’)
(d) P(B’)- P(A)
उत्तर:
(c) P(B) – P(A’)

प्रश्न 36.

उत्तर:
(a) \(\frac{13}{24}\)

प्रश्न 37.
किसी घटना की प्रायिकता \(\frac{3}{7}\) है, तो उसका प्रतिकूल संयोगानुपात है :
(a) 4 : 3
(b) 7 : 3
(c) 3 : 7
(d) 3 : 4
उत्तर:
(a) 4 : 3

प्रश्न 38.

उत्तर:
(b) \(\frac{5}{8}\)

प्रश्न 39.
दो पासों में दिक् आने की प्रायिकता है :
(a) \(\frac{2}{3}\)
(b) \(\frac{1}{6}\)
(c) \(\frac{5}{6}\)
(d) \(\frac{7}{6}\)
उत्तर:
(b) \(\frac{1}{6}\)

प्रश्न 40.

उत्तर:
(d) \(\frac{4}{5}\)

प्रश्न 41.

उत्तर:
(b) \(\frac{1}{2}\)

प्रश्न 42.
P(A) + P(A’) =
(a) 0
(b) 1
(c) -1
(d) P(E)
उत्तर:
(b) 1

Bihar Board 12th Maths Objective Questions and Answers

Bihar Board 12th Maths Objective Answers Chapter 4 सारणिक

प्रश्न 1.

उत्तर:
(a) 0

प्रश्न 2.

उत्तर:
(a) 2

प्रश्न 3.

उत्तर:
(a) |A| = 0

प्रश्न 4.

उत्तर:
(b) 0

प्रश्न 5.
यदि \(\left|\begin{array}{ll}
x & 5 \\
5 & x
\end{array}\right|\) = 0 तो x =
(a) ±5
(b) 6
(c) 0
(d) 4
उत्तर:
(a) ±5

प्रश्न 6.
सारणिक का मान है

(a) 0
(b) sinθ
(c) cosθ
(d) θ का स्वतंत्र
उत्तर:
(d) θ का स्वतंत्र

प्रश्न 7.

उत्तर:
(a) 3w

प्रश्न 8.
किसी सारणिक जिसकी कोई दो पंक्तियाँ (या स्तम्भ) समान है, का मान होता है :
(a) 1
(b) -1
(c) 0
(d) कोई नहीं
उत्तर:
(c) 0

प्रश्न 9.

(a) 0
(b) abc
(c) \(\frac{1}{a b c}\)
(d) कोई नहीं
उत्तर:
(a) 0

प्रश्न 10.

(a) 0
(b) (c – b) (b – c) (c – a)
(c) a² + b² + c²
(d) कोई नहीं
उत्तर:
(a) 0

प्रश्न 11.
यदि a, b, c समान्तर श्रेणी में है तो सारणिक \(\left|\begin{array}{ccc}
x+2 & x+3 & x+2 a \\
x+3 & x+4 & x+2 b \\
x+4 & x+5 & x+2 c
\end{array}\right|\) है :
(a) 1
(b) x
(c) 0
(d) 2x
उत्तर:
(c) 0

प्रश्न 12.
यदि a, b, c भिन्न-भिन्न हो और \(\left|\begin{array}{lll}
a & a^{2} & 1+a^{3} \\
b & b^{2} & 1+b^{3} \\
c & c^{2} & 1+c^{3}
\end{array}\right|\) = b तब abc का मान है :
(a) b
(b) -1
(c) 3
(d) -3
उत्तर:
(b) -1

प्रश्न 13.
\(\left|\begin{array}{lll}
x & 1 & y+x \\
y & 1 & z+x \\
z & 1 & z+y
\end{array}\right|\) = ?
(a) 1 + x + y + z
(b) x + y + z
(c) 0
(d) कोई नहीं
उत्तर:
(c) 0

प्रश्न 14.
\(\left|\begin{array}{ccc}
1 & a & a^{2}-b c \\
1 & b & b^{2}-c a \\
1 & c & c^{2}-a b
\end{array}\right|\) का मान है :
(a) abc
(b) ab + bc + ca
(c) 0
(d) (a – b) (b – c)(c – a)
उत्तर:
(c) 0

प्रश्न 15.
यदि \(\left|\begin{array}{ccc}
b+c & a & a \\
b & c+a & b \\
c & c & a+b
\end{array}\right|\) = kabc तब x का मान है :
(a) 2
(b) 3
(c) -4
(d) 4
उत्तर:
(d) 4

प्रश्न 16.
भिन्न वास्तविक मूलों की संख्या \(\left|\begin{array}{ccc}
\sin x & \cos x & \cos x \\
\cos x & \sin x & \cos x \\
\cos x & \cos x & \sin x
\end{array}\right|\) = 0 अन्तराल \(-\frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{\pi}{4}\) में है।
(a) 0
(b) 2
(c) 1
(d) -3
उत्तर:
(c) 1

प्रश्न 17.

उत्तर:
(c) \(\left|\begin{array}{ll}
\lambda a & b \\
\lambda c & d
\end{array}\right|\)

प्रश्न 18.
यदि w ≠ 1, w³ = 1 तथा \(\left|\begin{array}{ccc}
x+1 & w & w^{2} \\
w & x+w^{2} & 1 \\
w^{2} & 1 & x+w
\end{array}\right|\)= 0, तो x =
(a) 1
(b) w
(c) w²
(d) 0
उत्तर:
(d) 0

प्रश्न 19.
यदि निम्नलिखित समीकरण निकाय x + y – 2z = 0, λx – 2y + z = 0, x – 3y – λz = 0 के अनगिनत हल हो एवं λ > 0 तो λ = 0.
(a) √10 + 2
(b) √10 – 2
(c) 2
(d) 1
उत्तर:
(a) √10 + 2

प्रश्न 20.
सारणिक \(\left|\begin{array}{lll}
3 & 1 & 7 \\
5 & 0 & 2 \\
2 & 5 & 3
\end{array}\right|\) के मान =
(a) 124
(b) 125
(c) 134
(d) 144
उत्तर:
(c) 134

प्रश्न 21.
\(\left|\begin{array}{ccc}
x+3 & 5 & 7 \\
3 & x+5 & 7 \\
3 & 5 & x+7
\end{array}\right|=0\) तब :
(a) x = 0, -15
(b) x = 0, 15
(c) x = 0, 7
(d) x = 0, 9
उत्तर:
(a) x = 0, -15

प्रश्न 22.
यदि बिन्दु (a, b) (a₁, b₁) और (a – a₁), (b – b₁) सरेखी है, तब :
(a) ab = a₁b₁
(b) aa₁ = bb₁
(c) ab₁ = ab
(d) कोई नहीं
उत्तर:
(d) कोई नहीं

प्रश्न 23.
यदि a₁, a₂, a₃, ….,a_n GP में हो तो सारणिक का मान :
\(\left|\begin{array}{ccc}
\log a_{n} & \log a_{n+1} & \log a_{n+2} \\
\log a_{n+3} & \log a_{n+4} & \log a_{n+5} \\
\log a_{n+6} & \log a_{n+7} & \log a_{n+8}
\end{array}\right|\)
(a) 2
(b) 1
(c) 0
(d) -2
उत्तर:
(c) 0

प्रश्न 24.
यदि \(\left|\begin{array}{ccc}
6 i & -3 i & 1 \\
4 & 3 i & -1 \\
30 & 3 & i
\end{array}\right|\) = x + iy तो :
(a) x = 3, y = 1
(b) x = 1, y = 3
(c) x = 0, y = 3
(d) x = 0, y = 0
उत्तर:
(d) x = 0, y = 0

प्रश्न 25.
यदि त्रिभुज का क्षेत्रफल 35 sq. इकाई है तथा उसका नियामक (2, -6), (5, 4) तथा (k, 4) है, तब k का मान है :
(a) 12
(b) 12, -2
(c) -12, -2
(d) -2
उत्तर:
(b) 12, -2

प्रश्न 26.
\(\left|\begin{array}{lll}
1 & x & x^{2} \\
1 & y & y^{2} \\
1 & z & z^{2}
\end{array}\right|\) = ?
(a) 0
(b) (x – y) (y – z) (z – x)
(c) (y – x) (y – z) (z – x)
(d) कोई नहीं
उत्तर:
(b) (x – y) (y – z) (z – x)

प्रश्न 27.
यदि A = \(\left[\begin{array}{ll}
\alpha & q \\
q & \alpha
\end{array}\right]\) तथा [A³] = 125 तब α =
(a) ±3
(b) ±2
(c) ±5
(d) 0
उत्तर:
(a) ±3

प्रश्न 28.

उत्तर:
(b) 0

प्रश्न 29.
यदि \(\left|\begin{array}{cc}
x & 2 \\
18 & x
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}
6 & 2 \\
18 & 6
\end{array}\right|\) तब x का मान है :
(a) 6
(b) ±6
(c) -1
(d) 6, 6
उत्तर:
(b) ±6

प्रश्न 30.
\(\left|\begin{array}{lll}
1 & x & x^{2} \\
1 & y & y^{2} \\
1 & z & z^{2}
\end{array}\right|\)
(a) (x – y)(y + z)(z + x)
(b) (x + y)(y – z)(z – x)
(c) (x – y)(y – z)(z + x)
(d) (x – y)(y – z)(z – x)
उत्तर:
(d) (x – y)(y – z)(z – x)

प्रश्न 31.

उत्तर:
(b) 2

प्रश्न 32.

उत्तर:
(d) 0

प्रश्न 33.
यदि किसी गुणोत्तर श्रेणी के pवें, qवें और rवें पद l, m, n धनात्मक हो तो \(\left|\begin{array}{lll}
\log l & p & 1 \\
\log m & q & 1 \\
\log n & r & 1
\end{array}\right|\) बराबर है।
(a) 3
(b) 2
(c) 1
(d) 0
उत्तर:
(d) 0

प्रश्न 34.
\(\left|\begin{array}{ccc}
x+1 & x+2 & x+3 \\
x+2 & x+3 & x+4 \\
x+3 & x+4 & x+5
\end{array}\right|\) का मान है :
(a) (x – 3)²
(b) -(3x – 6)²
(c) 0
(d) कोई नहीं
उत्तर:
(c) 0

प्रश्न 35.
\(\left|\begin{array}{lll}
2 & 3 & 5 \\
0 & 4 & 7 \\
0 & 0 & 5
\end{array}\right|=\)
(a) 40
(b) 0
(c) 3
(d) 25
उत्तर:
(a) 40

प्रश्न 36.
यदि \(\left|\begin{array}{ccc}
2+x & 2 & x \\
2-x & 2 & x \\
2-x & 2 & -x
\end{array}\right|\) = 0 तो x =
(a) 0
(b) 2
(c) 3
(d) 4
उत्तर:
(a) 0

प्रश्न 37.
2x – y – 2z = 2, x – 2y + z = -4, x + y + 2λ = 4 तब λ का मान ज्ञात करें इस प्रकार की निकाय का कोई हल नहीं है :
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) -3
उत्तर:
(c) 3

प्रश्न 38.
यदि a ≠ 0 तथा \(\left|\begin{array}{ccc}
1+a & 1 & 1 \\
1 & 1+a & 1 \\
1 & 1 & 1+a
\end{array}\right|\) = 0 तब a = ?
(a) a = -3
(b) a = 0
(c) a = 1
(d) a = 3
उत्तर:
(a) a = -3

प्रश्न 39.
\(\left|\begin{array}{ccc}
x & x+a & x+2 a \\
x+1 & x+2 a & x+4 a \\
x+2 & x+3 a & x+6 a
\end{array}\right|\) का मान है :
(a) 0
(b) (x – a)³
(c) x³ – a³
(d) a³ – x³
उत्तर:
(a) 0

प्रश्न 40.
यदि 0 समीकरण x³ – 1 = 0 का एक अवास्तविक मूल हो, तो
\(\left|\begin{array}{ccc}
1 & \omega & \omega^{2} \\
\omega & \omega^{2} & 1 \\
\omega^{2} & 1 & \omega
\end{array}\right|=\)
(a) 0
(b) 1
(c) ω
(d) ω²
उत्तर:
(a) 0

प्रश्न 41.
यदि \(\left|\begin{array}{cc}
2 & 4 \\
5 & 1
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}
2 x & 4 \\
6 & x
\end{array}\right|\) तब x का मान है :
(a) ±2
(b) ±(0.5)
(c) ±√3
(d) \(\pm \frac{1}{3}\)
उत्तर:
(c) ±√3

प्रश्न 42.

उत्तर:
(b) abc

Bihar Board 12th Maths Model Papers

Bihar Board 12th Maths Model Question Paper 3 in Hindi

समय : 3 घंटे 15 मिनट
अंक : 100

परिक्षार्थियों के लिए निर्देश

1. परीक्षार्थी यथासंभव अपने शब्दों में ही उत्तर दें।
2. दाहिनी ओर हाशिये पर दिये हुए अंक पूर्णांक निर्दिष्ट करते हैं।
3. उत्तर देते समय परीक्षार्थी यथासंभव शब्द-सीमा का ध्यान रखें।
4. इस प्रश्न पत्र को ध्यानपूर्वक पढ़ने के लिए पन्द्रह मिनट का अतिरिक्त समय दिया गया है।
5. यह प्रश्न-पत्र के दो खण्डों में है, खण्ड-अ एवं खण्ड-ब।
6. खण्ड-अ में 1-50 तक वस्तुनिष्ठ प्रश्न हैं, सभी प्रश्न अनिवार्य हैं। (प्रत्येक प्रश्न के लिए 1 अंक निर्धारित है), इनके उत्तर उपलब्ध कराये गये OMR शीट में दिये गये वृत्त को काले / नीले बॉल पेन से भरें। किसी भी प्रकार के व्हाइटनर/तरल पदार्थ/ब्लेड/नाखून आदि का OMR-शीट में प्रयोग करना मना है, अन्यथा परीक्षा परिणाम अमान्य होगा।
7. खण्ड-ब में 25 लघुउत्तरीय प्रश्न हैं (प्रत्येक प्रश्न के लिए 2 अंक निर्धारित है) जिनमें से किन्ही 15 प्रश्नों के उत्तर देना अनिवार्य है। इसके अतिरिक्त खण्ड में 08 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (प्रत्येक प्रश्न के लिए 05 अंक निर्धारित हैं) जिनमें से किन्हीं 4 प्रश्नों के उत्तर देना है।
8. किसी तरह के इलेक्ट्रॉनिक-यंत्र का इस्तेमाल वर्जित है।

खण्ड-अ : वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न संख्या 1 से 50 तक के प्रत्येक प्रश्न के साथ चार विकल्प दिए गए हैं, जिनमें से एक सही है। अपने द्वारा चुने गए सही विकल्प को OMR शीट पर चिह्नित करें। (50 × 1 = 50)

प्रश्न 1.
प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय में संबंध ‘से छोटा’ है।
(a) केवल स्वतुल्य
(b) केवल सममित
(c) तुल्यता संबंध
(d) केवल संक्रमक
उत्तर:
(d) केवल संक्रमक

प्रश्न 2.
यदि फलन f : R → R इस प्रकार परिभाषित है कि f(x) = (3 – x³)^1/3 तो fof(x) है :
(a) x^1/3
(b) x³
(c) (3 – x³)
(d) x
उत्तर:
(d) x

प्रश्न 3.
यदि संक्रिया * परिभाषित है कि a * b = a² + b² तो (1 * 2) * 5 है :
(a) 3125
(b) 625
(c) 125
(d) 50
उत्तर:
(d) 50

प्रश्न 4.

उत्तर:
(c) \(\frac{4 \pi}{3}\)

प्रश्न 5.
tan^-1 √3 – cot^-1(-√3) =
(a) π
(b) 0
(c) 2√3
(d) \(-\frac{\pi}{2}\)
उत्तर:
(d) \(-\frac{\pi}{2}\)

प्रश्न 6.

उत्तर:
(d) \(\frac{\pi}{3}\)

प्रश्न 7.

उत्तर:
(c) \(\cot ^{-1} \frac{1}{x}\)

प्रश्न 8.

उत्तर:
\(\frac{\pi}{4}\)

प्रश्न 9.

उत्तर:
(a) (a) \(\left[\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right]\)

प्रश्न 10.
यदि A = \(\left[\begin{array}{rrr}
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
a & b & -1
\end{array}\right]\) तो A² =
(a) एकांक आव्यूह
(b) A
(c) रिक्त आव्यूह
(d) -A
उत्तर:
(a) एकांक आव्यूह

प्रश्न 11.
यदि A = \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 2 \\
4 & 2
\end{array}\right]\), तो |2A| =
(a) 2 |A|
(b) 4 |A|
(c) 8 |A|
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(b) 4 |A|

प्रश्न 12.

उत्तर:
(b) \(\left[\begin{array}{cc}
\cos \theta & \sin \theta \\
-\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right]\)

प्रश्न 13.
A = [a_ij]_m×n एक वर्ग आव्यूह है यदि :
(a) m = n
(b) m < n
(c) m > n
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(a) m = n

प्रश्न 14.
यदि A और B वर्ग आव्यूह हैं, तो (AB)’ :
(a) B’A’
(b) A’B’
(c) AB’
(d) A’B
उत्तर:
(a) B’A’

प्रश्न 15.

उत्तर:
(c) \(\left[\begin{array}{rr}
\cos \theta & \sin \theta \\
-\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right]\)

प्रश्न 16.

उत्तर:
(c) -5

प्रश्न 17.

उत्तर:
(c) \(\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}\)

प्रश्न 18.

उत्तर:
(b) \(\frac{-\sin (\log x)}{x}\)

प्रश्न 19.

उत्तर:
(d) 0

प्रश्न 20.
यदि y = log x^x, तो \(\frac{d y}{d x}=\)
(a) 1
(b) log x
(c) log(ex)
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(c) log(ex)

प्रश्न 21.
वक्र y = x² के (0, 0) बिंदु पर स्पर्शी द्वारा, x-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ बनाया गया कोण है :
(a) 90°
(b) 0°
(c) 45°
(d) 30°
उत्तर:
(c) 45°

प्रश्न 22.
किसी उत्पाद की x इकाइयों के विक्रय से प्राप्त कुल आय R(x) रुपयों में R(x) = 13x² + 26x + 15 से प्रदत्त है। तब सीमांत आय क्या होगा जब x = 7 है :
(a) 208 रु.
(b) 308 रु.
(c) 140 रु.
(d) 508 रु.
उत्तर:
(a) 208 रु.

प्रश्न 23.
वक्र y = 2x² + 3 sinx के बिन्दु x = 0 पर अभिलम्ब की प्रवणता है :
(a) 3
(b) \(\frac{1}{3}\)
(c) -3
(d) \(-\frac{1}{3}\)
उत्तर:
(d) \(-\frac{1}{3}\)

प्रश्न 24.
फलन f (x) = x³ – 6x² + 12x – 18
(a) प्रत्येक x ∈ R में निरंतर ह्रासमान है
(b) ∀ x ∈ R में निरंतर वर्धमान है
(c) ] -∞, 0 [ में वर्धमान और [0, ∞ [ में ह्रासमान है
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(b) ∀ x ∈ R में निरंतर वर्धमान है

प्रश्न 25.

उत्तर:
(d) \(\cot ^{-1} x+k\)

प्रश्न 26.

उत्तर:
(a) \(\frac{1}{a} \tan ^{-1} \frac{x}{a}+k\)

प्रश्न 27.

उत्तर:
(a) \(\frac{1}{3}(1+\log x)^{3}+C\)

प्रश्न 28.
\(\int_{|x|}^{2} | d x=\)
(a) 0
(b) 2
(c) 1
(d) 4
उत्तर:
(d) 4

प्रश्न 29.

उत्तर:
(b) \(\frac{\pi}{4}\)

प्रश्न 30.

उत्तर:
(a) \(\frac{1}{3} e^{x^{3}}+C\)

प्रश्न 31.
प्रथम चतुर्थांश में वृत्त x² + y² = 4 एवं रेखा और x = 0, x = 2 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है :
(a) π
(b) \(\frac{\pi}{2}\)
(c) \(\frac{\pi}{3}\)
(d) \(\frac{\pi}{4}\)
उत्तर:
(a) π

प्रश्न 32.
अवकल समीकरण \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+x^{3}\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}=x^{4}\) की कोटि निम्नांकित
में कौन-सी होगी?
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 0
उत्तर:
(b) 2

प्रश्न 33.
वक्र y = a sin px + b cos px का अवकल समीकरण है :
(a) y” + py = 0
(b) y” + p²y = 0
(c) y” – py = 0
(d) y” – p2y = 0
उत्तर:
(b) y” + p²y = 0

प्रश्न 34.
अवकल समीकरण \(2 x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-3 \frac{d y}{d x}+y=0\) की कोटि है :
(a) 2
(b) 1
(c) 0
(d) परिभाषित नहीं
उत्तर:
(a) 2

प्रश्न 35.
अवकल समीकरण \(x \frac{d y}{d x}-y=2 x^{2}\) का समाकलन गुणांक है :
(a) e^-x
(b) e^-y
(c) 1/x
(d) x
उत्तर:
(a) e-x

प्रश्न 36.
\(|-\vec{i}+2 \vec{j}-3 \vec{k}|=\)
(a) √15
(b) √3
(c) 2
(d) √14
उत्तर:
(d) √14

प्रश्न 37.

उत्तर:
(c) 5

प्रश्न 38.
\(\vec{a} \times \vec{a}=\)
(a) 1
(b) 0
(c) a2
(d) a
उत्तर:
(b) 0

प्रश्न 39.
\(\vec{k} \cdot \vec{k}=\)
(a) 0
(b) 1
(c) \(\vec{i}\)
(d) \(\vec{j}\)
उत्तर:
(b) 1

प्रश्न 40.
यदि \(2 \vec{i}+\vec{j}+\vec{k}, 6 \vec{i}-\vec{j}+2 \vec{k}\) एवं \(14 \vec{i}-5 \vec{j}+4 \vec{k}\) क्रमशः बिन्दु A, B,C के स्थिति सदिश हैं, तो :
(a) A, B, C समरेखीय हैं
(b) A, B, C असमरेखीय हैं
(c) AB L BC
(d) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर:
(a) A, B, C समरेखीय हैं

प्रश्न 41.
यदि l, m, n एक सरल रेखा की दिक् कोज्याएँ हैं, तो
(a) l² + m² – n² = 1
(b) l² – m² + n² = 1
(c) l² – m² – n² = 1
(d) l² + m² + n² = 1
उत्तर:
(d) l² + m² + n² = 1

प्रश्न 42.
किसी सरल रेखा के दिक् अनुपात 1, 3, 5 हैं, तो रेखा की दिक् कोज्याएँ हैं :

उत्तर:
(a) \(\frac{1}{\sqrt{35}}, \frac{3}{\sqrt{35}}, \frac{5}{\sqrt{35}}\)

प्रश्न 43.
एक सरल रेखा (2, -1, 3) से गुजरती है और इसके दिक् अनुपात 3, -1, 2 हैं। इस रेखा के समीकरण है :

उत्तर:
(b) \(\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-3}{2}\)

प्रश्न 44.
यदि 2x + 5y – 6z + 3 = 0 एक समतल का समीकरण हो, तो दिए गए समतल के समांतर समतल का समीकरण होगा :
(a) 3x + 5y – 6z + 3 = 0
(b) 2x – 5y – 6z + 3 = 0
(c) 2x + 5y – 6z + k = 0
(d) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर:
(c) 2x + 5y – 6z + k = 0

प्रश्न 45.
यदि A और B दो स्वतंत्र घटनाएँ हों तो
(a) P(AB’) = P(A) P(B)
(b) P(AB’) = P(A) P(B’)
(c) P(AB’) = P(A’) + P(B)
(d) P(AB’) = P(A) + P(B’)
उत्तर:
(b) P(AB’) = P(A) P(B’)

प्रश्न 46.
ताश के 52 पत्तों में से यदि एक पत्ता खींचा जाए तो इसके इक्का होने की प्रायिकता है:
(a) \(\frac{1}{26}\)
(b) \(\frac{1}{13}\)
(c) \(\frac{1}{52}\)
(d) \(\frac{1}{4}\)
उत्तर:
(c) \(\frac{1}{52}\)

प्रश्न 47.

उत्तर:
(c) \(\frac{3}{4}\)

प्रश्न 48.
यदि A और B घटनाएं इस प्रकार हों कि

उत्तर:
(c) \(\frac{5}{12}\)

प्रश्न 49.
यदि A और B घटनाएँ इस प्रकार हों कि

उत्तर:
(b) \(\frac{5}{8}\)

प्रश्न 50.

उत्तर:
(a) \(\frac{1}{15}\)

खण्ड-ब : गैर-वस्तुनिष्ठ प्रश्न

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न संख्या 1 से 25 तक लघु उत्तरीय कोटि के हैं। प्रत्येक के लिए 2 अंक निर्धारित हैं। इनमें से किसी 15 प्रश्नों का उत्तर दें। (15 x 2 = 30)

प्रश्न 1.
f(x) = 4x + 3 द्वारा प्रदत्त फलन f : R → R पर विचार कीजिए। सिद्ध कीजिए कि f व्युत्क्रमणीय है। f का प्रतिलोम फलन ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है, f : R → R और f(x) = 4x + 3
f(x₁) = f(x₂)
या, 4x₁ + 3 = 4x₂ +3
या, 4x₁ = 4x₂
या, x₁ = x₂
अतः f एकैकी है
फिर मान लिया कि y = 4x + 3
x = \(\frac{y-3}{4}\)
सहप्रांत में y का प्रत्येक अवयव प्रांत में किसी न किसी अवयव का प्रतिबिम्ब है
f आच्छादक है। अतः f^-1(x) = g(y) = \(\frac{y-3}{4}\)

प्रश्न 2.
सिद्ध करें कि 4(cot^-1 3 + cosec^-1 √5) = π
हल :

प्रश्न 3.

हल :

प्रश्न 4.

हल :

प्रश्न 5.
\(\left[\begin{array}{cc}
3 & 5 \\
1 & -1
\end{array}\right]\) को एक सममित और विषम समित आव्यूह के योगफल के रूप में व्यक्त कीजिए।
हल :

प्रश्न 6.

हल :

प्रश्न 7.

हल :

प्रश्न 8.
यदि x^y = y^x हो, तो \(\frac{d y}{d x}\) निकालें।
हल :
दिया हुआ है : x^y = y^x
दोनों तरफ log लेने पर, y log x = x log y
दोनों तरफ अवकलन करने पर x के सापेक्ष में

प्रश्न 9.
x के सापेक्ष अबकलन कीजिए : sec{tan(√x)}
हल :

प्रश्न 10.
यदि x = a(θ + sinθ), y = a(1 – cosθ) हो तो \(\frac{d y}{d x}\) ज़ात कीजिए
हल :

प्रश्न 11.
समाकलन कीजिए : \(\int \frac{d x}{1+\tan x}\)
हल :

प्रश्न 12.
मान ज्ञात कीजिए : \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+\cos ^{2} x} d x\)
हल :

प्रश्न 13.
समाकलन कीजिए : \(\int e^{x} \cos x d x\)
हल :

प्रश्न 14.
हल कीजिए : (1 + x²) dy = (1 + y²) dx
हल :

प्रश्न 15.
व्यापक हल ज्ञात कीजिए :
(1 + x²) dy + 2xy dx = cotx dx, (x ≠ 0)
हल :
दिया है, (1 + x²) dy + 2xy dx = cotx (x ≠ 0)

प्रश्न 16.
सदिश विधि से सिद्ध कीजिए कि a = b cos C + c cos B
हल :

प्रश्न 17.
एक समांतर चतुर्भुज की संलग्न भुजाएँ \(2 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k}\) और \(\hat{\mathbf{i}}-\mathbf{2} \hat{\mathbf{j}}-\mathbf{3} \hat{\mathbf{k}}\) हैं। इसके विकर्ण के समांतर एक मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए। इसका क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लिया कि समान्तर चतुर्भुज की संलग्न भुजाएँ \(\overrightarrow{O A}\) तथा \(\overrightarrow{O B}\)
क्रमश: \(\vec{a}=2 \hat{i}+4 \hat{j}+5 \hat{k}\) और \(\vec{b}=\hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}\).

प्रश्न 18.

हल :

प्रश्न 19.

हल :

प्रश्न 20.

हल :

प्रश्न 21.
एक पासे को 6 बार उछाला जाता है। यदि ‘पासे पर सम संख्या प्राप्त होना’ एक सालता है निमालिान की प्र.पिकताएँ क्या होंगी?
(i) ‘तथ्यत: 5 सफलताएँ?
(i) धन-ध सामागा?
हल :

प्रश्न 22.
52 ताशों की गड्डी से प* पत्ता खा जाता है। शेष पतों से दो पत्ते निकाले जाते है जो ईंट के पत्ते हैं। खो गए पत्ते की ईंट होने की प्रायिकता क्या है?
हल :
E₁ = ईंट के पत्ते की खोने की घटना
E₂ = ईंट के पत्ते नहीं खोने की घटना।
52 ताश के पत्तों में 13 ईंट के पत्ते होते हैं
\(P\left(E_{1}\right)=\frac{^{13} C_{1}}{52}=\frac{13}{52}=\frac{1}{4}\)
39 पत्ते ऐसे हैं जो ईंट नहीं है
\(P\left(E_{2}\right)=\frac{39}{52}=\frac{3}{4}\)
(i) जब एक ईंट का पत्ता खो जाता है तब कुल 51 पत्तों में 12 पत्ता ईंट का बचता है।
इन 12 पत्तों में से 2 ईंट के पत्ता निकालने की प्रायिकता
\(P\left(A / E_{1}\right)=\frac{^{12} C_{2}}{51}=\frac{12 \times 11}{51 \times 50}\)
जहाँ A खोए पत्ते को प्रदर्शित करता है।
जब ईंट का पत्ता नहीं खोए तब 13 पत्तों में से 2 पत्ते ईंट का निकालने की प्रापिकता

प्रश्न 23.
यदि f : R → R जहाँ f(x) = x² – 3x + 2 द्वारा परिभाषित है तो f(f(x)) ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है, f : R → R
f(x) = x² – 3x + 2 द्वारा परिभाषित है।
f(f(x)) =f(x² – 3x + 2)
= (x² – 3x + 2)² – 3 (x² – 3x + 2) + 2
= (x⁴ + 9x² + 4 – 5x³ – 12x + 4x²) + (-3x² + 9x – 6) + 2
= x⁴ – 6x³ + 10x² – 3x

प्रश्न 24.
सिद्ध कीजिए कि :

हल :

प्रश्न 25.
सिद्ध कीजिए कि :

हल :

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न संख्या 26 से 33 तक दीर्घ उत्तरीय कोटि के प्रश्न हैं। प्रत्येक के लिए 5 अंक निर्धारित हैं। प्रत्येक प्रश्न के साथ “अथवा” का विकल्प दिया गया है। आपको प्रश्न या अथवा में से किसी एक का उत्तर देना है।

प्रश्न 26.
सिद्ध कीजिए कि वक्र x = y² और xy = k एक दूसरे को समकोण पर काटती है, यदि 8k² = 1 है।
हल :
मान लिया कि वक्र का प्रतिच्छेदन बिन्दु (x₁, y₁) है।

प्रश्न 27.
यदि y = sin[cos{tan(sin^-1 x)], तो \(\frac{d y}{d x}\) का मान निकालें।
हल :

प्रश्न 28.

हल :

प्रश्न 29.
वक्र x² = 4y एवं रेखा x = 4y – 2 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया गया वक्र x² = 4y … (1)
जो उपर की ओर खुलने वाला परवलय है, जिसका शीर्ष (0, 0) और y-अक्ष के परितः सममित है।
और रेखा का समीकरण x = 4y – 2 …(2)
(1) और (2) को हल करने पर,

प्रश्न 30.
यदि \(\overrightarrow{\mathbf{a}}, \overrightarrow{\mathbf{b}}, \overrightarrow{\mathbf{c}}\) समान परिमाणों वाले परस्पर लंबवत् सदिश हैं तो दर्शाइए कि सदिश \(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\) सदिशों \(\overrightarrow{\mathbf{a}}, \overrightarrow{\mathbf{b}}\) तथा \(\overrightarrow{\mathrm{c}}\) के साथ बराबर मुका हुआ है।
हल :

प्रश्न 31.

हल :

प्रश्न 32.
निम्न अवरोधों के अंर्तगत Z = 3x + 4y का अधिकतमीकरण कीजिए :
x + y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0
हल :
उद्देश्य फलन. : Z = 3x + 4y अवरोध हैं x + y ≤ 4, x, y ≥ 0
x + y ≤ 4 के संगत रेखा समीकरण x + y = 4, का आरेख बिन्दु A(4, 0) और B(0, 4) से होकर जाती है।

x + y ≤ 4 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≤ 4 जो सत्य है।
मूल बिन्दु इस क्षेत्र में स्थित है
अर्थात x + y ≤ 4 का क्षेत्र रेखा x + y = 4 और इस के नीचे मूल. बिन्दु की ओर है।
x ≥ 0, का क्षेत्र y- अक्ष की दा जोर और y-अक्ष है!
y ≥ 0, क्षेत्र के बिन्दु x-अक्ष पर है और x-अक्ष के ऊपर है इन से बना उभयनिष्ठ क्षेत्र ΔOAB हैं :
उद्देश्य फलन Z = 3x + 4y
O(0, 0) पर Z = 0
B(0, 4) पर Z = 0 + 16 = 16
C(4, 0) पर Z = 12 + 0 = 12
अत: Z का अधिकता मान दिन्दु B(0, 4) पर 16 है :

प्रश्न 33.
एक कपनी दो तरह की गुड़िया A और B बनाती है। दोनों गुड़ियों का संयुक्त उत्पादन का स्तर 1200 गुड़िया प्रति सप्ताह से अधिक नहीं हो सकता है। B प्रकार की गुड़ियों की माँग अधिक से अधिक A की मांग की आधी हो सकती है। A का उत्पादन स्तर B के उत्पादन स्तर से अधिक से अधिक 600 इकाई ज्यादा हो सकता है। यदि कंपनी को A पर 12 रु० और B पर 16 रु० प्रति गुड़िया लाभ होता है, तो अधिकतम लाभ के लिए कंपनी को प्रत्येक प्रकार की गुड़िया का प्रति सप्ताह कितना उत्पादन करना चाहिए ?
हल :
माना कि कंपनी A प्रकार के x गुडिया एवं B प्रकार के y गुड़िया बनाती है।



इस प्रकार Z का मान x = 3800, y = 400 पर अधिकतम 16000 प्राप्त होता है। अत: कंपनी A प्रकार का 800 और B प्रकार का 400 गुड़िया प्रति सप्ताह उत्पादन करने पर अधिकतम लाभ 16000 रु. होगा।

Bihar Board 12th Maths Objective Questions and Answers

Bihar Board 12th Maths Objective Answers Chapter 9 Differential Equations

Question 1.
The order of the differential equation of all tangent lines to the parabola y = x² is
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
Answer:
(a) 1

Question 2.
The differential equation of all parabolas whose axis of symmetry is along the axis of the x-axis is of order
(a) 3
(b) 1
(c) 2
(d) none of these
Answer:
(c) 2

Question 3.
The degree of the equation satisfying the relation \(\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{1+y^{2}}=\lambda(\sqrt{1+y^{2}}-y \sqrt{1+x^{2}})\) is
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) none of these
Answer:
(a) 1

Question 4.
The degree of the differential equation \(\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{2 / 3}+4-\frac{3 d y}{d x}=0\) is
(a) 2
(b) 1
(c) 3
(d) none of these
Answer:
(a) 2

Question 5.
The differential equation whose solution is (x – h)² + (y – k)² = a² is (a is a constant)

Answer:
(b) \(\left[1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}\right]^{3}=a^{2}\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{2}\)

Question 6.
The differential equation satisfied by y = \(\frac{A}{x}\) + B is (A, B are parameters)
(a) x² y₁ = y
(b) xy₁ + 2y₂ = 0
(c) xy₂ + 2y₁ = 0
(d) none of these
Answer:
(c) xy₂ + 2y₁ = 0

Question 7.
The differential equation whose solution represents the family xy = Ae^ax + Be^-ax

Answer:
(c) \(x \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+2 \frac{d y}{d x}=a^{2} x y\)

Question 8.
The differential equation having solution is y = 17e^x + ae^-x is
(a) y” – x = 0
(b) y” – y = 0
(c) y’ – y = 0
(d) y’ – x = 0
Answer:
(b) y” – y = 0

Question 9.
The solution of a differential equation is y = c₁e^4x + c₂e^3x, the differential equation is given by

Answer:
(c) \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-7 \frac{d y}{d x}+12 y=0\)

Question 10.
The differential equation satisfied by

Answer:
(b) \(\frac{d y}{d x}=\frac{1+y^{2}}{1+x^{2}}\)

Question 11.
The differential equation of all ‘Simple Harmonic Motions’ of given period \(\frac{2 \pi}{n}\) is

Answer:
(b) \(\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+n^{2} x=0\)

Question 12.
The differential equation of all parabolas whose axes are parallel to y-axis is

Answer:
(a) \(\frac{d y}{d x}=-\frac{c^{2}}{x^{2}}\)

Question 13.
The differential equation of all non-horizontal lines in a plane is

Answer:
(b) \(\frac{d^{2} x}{d y^{2}}=0\)

Question 14.
The differential equation of all circles which pass through the origin and whose centre lies on y-axis is

Answer:
(a) \(\left(x^{2}-y^{2}\right) \frac{d y}{d x}-2 x y=0\)

Question 15.
The differential equation of the family of circles touching the x-axis at origin is given by

Answer:
(b) \(y^{\prime}=\frac{2 x y}{x^{2}-y^{2}}\)

Question 16.
The differential equation representing the family of ellipses with centre at origin and foci on x-axis is given as
(a) xy’ + y = 0
(b) x²y²(y”)² + yy’= 0
(c) xyy” + x(y’)² – yy’ = 0
(d) None of these
Answer:
(b) x²y²(y”)² + yy’= 0

Question 17.
The differential equation of all parabolas whose axes are along x-axis is
(a) \(y_{2}^{2}+y_{1}=0\)
(b) \(y_{1}^{2}+y_{2}=0\)
(c) \(y_{1}^{2}+y_{1} y_{2}=0\)
(d) \(y_{1}^{2}+y y_{2}=0\)
Answer:
(d) \(y_{1}^{2}+y y_{2}=0\)

Question 18.
The equation of family of curves for which the length of the normal is equal to the radius vector is
(a) \(y^{2} \mp x^{2}=k^{2}\)
(b) \(y \pm x=k\)
(c) y² = kx
(d) none of these
Answer:
(a) \(y^{2} \mp x^{2}=k^{2}\)

Question 19.
The solution of the differential equation \(\frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}+y^{2}+1}{2 x y}\) satisfying (1) = 1, is
(a) a hyperbola
(b) a circle
(c) y² = x(1 + x) – 10
(d) (x – 2)² + (y – 3)² = 5xy
Answer:
(a) a hyperbola

Question 20.
Given the differential equation \(\frac{d y}{d x}=\frac{6 x^{2}}{2 y+\cos y}\); y(1) = π
Mark out the correct statement.
(a) solution is y² – sin y = -2x³ + C
(b) solution is y² + sin y = 2x³ + C
(c) C = π²+ 2√2
(d) C = π² + 2
Answer:
(b) solution is y² + sin y = 2x³ + C

Question 21.
For the differential equation \(x \frac{d y}{d x}+2 y=x y \frac{d y}{d x}\),
(a) order is 1 and degree is 1
(b) solutio is ln(yx²) = C – y
(c) order is 1 and degree is 2
(d) solution is ln(xy²) = C + y
Answer:
(a) order is 1 and degree is 1

Question 22.
The particular solution In(\(\frac{d y}{d x}\)) = 3x + 4y, y(0) = 0 is
(a) e^3x + 3e^-4y = 4
(b) 4e^3x – 3e^-4y = 3
(c) 3e^3x + 4e^4y = 7
(d) 4e^3x + 3e^-4y = 7
Answer:
(d) 4e^3x + 3e^-4y = 7

Question 23.
The solution of the differential equation

Answer:
(c) y = x tan(C – x)

Question 24.
The solution of the differential equation

Answer:
(d) None of these

Question 25.
The solution of the differential equation

Answer:
(c) \(y=x \tan \left(\frac{C-x^{2}-y^{2}}{2}\right)\)

Question 26.

Answer:
(b) \(c e^{y / 2}\)

Question 27.
If ydx – xdy + ln x dx = 0, y(1) = -1, then
(a) y + 1 + ln x = 0
(b) y + 1 + 2 ln x = 0
(c) 2(y + 1) + lnx = 0
(d) y + 1 – y ln x = 0
Answer:
(a) y + 1 + ln x = 0

Question 28.
The differential equation \(\frac{d y}{d x}=\sqrt{\frac{1-y^{2}}{y}}\) determines a family of circle with
(a) variable radii and fixed centre (0, 1)
(b) variable radii and fixed centre (0, -1)
(c) fixed radius 1 and variable centre on x-axis
(d) fixed radius 1 and variable centre on y-axis
Answer:
(c) fixed radius 1 and variable centre on x-axis

Question 29.
If y dx + y² dy = x dy, x ∈ R, y > 0 and y(1) = 1, then y(-3) =
(a) 3
(b) 2
(c) 1
(d) 5
Answer:
(a) 3

Question 30.
The solution of y dx + (x + x²y) dy = 0 is

Answer:
(b) \(-\frac{1}{x y}+\ln y=c\)

Question 31.
If (x + y)² \(\frac{d y}{d x}\) = a², y = 0 when x = 0, then y = a if \(\frac{x}{a}\) =
(a) 1
(b) tan 1
(c) tan 1 + 1
(d) tan 1 – 1
Answer:
(d) tan 1 – 1

Question 32.

Answer:
(a) e^x – 1

Question 33.
If sinx \(\frac{d y}{d x}\) + y cosx = x sinx, then (y – 1) sinx =
(a) c – x sinx
(b) c + xcosx
(c) c – x cos x
(d) c + x sin x
Answer:
(c) c – x cos x

Question 34.
The solution of the differential equation

Answer:
(c) \(e^{y}=\frac{x^{3}}{3}+e^{x}+c\)

Question 35.
The solution of the differential equation xdy + ydx = xydx when y(1) = 1 is

Answer:
(b) \(\frac{e^{x}}{e x}\)

Question 36.
The solution of differential equation (e^y + 1) cosx dx + e^y sinx dy = 0 is
(a) (e^y + 1) sinx = c
(b) e^x sinx = c
(c) (e^x + 1) cosx = c
(d) none of these
Answer:
(a) (e^y + 1) sinx = c

Question 37.
The solution of the differential equation \(\frac{d y}{d x}=\frac{x}{1+x^{2}}\) is

Answer:
(c) \(y=\log (\sqrt{1+x^{2}})+c\)

Question 38.

Answer:
(c) \(\frac{e^{6}+9}{2}\)

Question 39.

Answer:
(a) y = e sin²x

Question 40.
The general solution of the differential equation \(\frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}}{y^{2}}\) is
(a) x³ – y³ = c
(b) x³ + y³ = c
(c) x² + y² = c
(d) x² – y² = c
Answer:
(a) x³ – y³ = c

Question 41.
The Solution of cos(x + y) dy = dx is

Answer:
(a) \(y=\tan \left(\frac{x+y}{2}\right)+C\)

Question 42.

Answer:
(d) x + x ln x

Question 43.

Answer:
(c) √3e

Question 44.

Answer:
(d) \(\ln \frac{y}{x}=c x\)

Question 45.

Answer:
(d) \(\frac{\pi}{12}\)

Question 46.

Answer:
(d) \(\sec \frac{y}{x}=c x y\)

Question 47.

Answer:
(c) \(-2 \sqrt{\frac{x}{y}}=\ln c y\)

Question 48.

Answer:
(c) \(x+y e^{x / y}=c\)

Question 49.

Answer:
(a) \(x y=c e^{y / x}\)

Question 50.

Answer:
(c) Circle

Question 51.

Answer:
(c) \(\sqrt{x^{2}+y^{2}}+y=c x^{2}\)

Question 52.
The solution of the differential equation (x² + y²) dx – 2xy dy = 0 is

Answer:
(d) \(\frac{x^{2}-y^{2}}{x}=c\)

Question 53.
The solution of the differential equation x dy + (x + y) dx = 0 is

Answer:
(b) \(c=x y+\frac{x^{2}}{2}\)

Question 54.
The solution of differential equation \(\frac{d y}{d x}=\frac{x-y}{x+y}\) is
(a) x² – y² + 2xy + c = 0
(b) x² – y² – xy + c = 0
(c) x² – y² + xy + c = 0
(d) x² – y² – 2xy + c = 0
Answer:
(d) x² – y² – 2xy + c = 0

Question 55.

Answer:
(a) \(-\frac{1}{2}\)

Question 56.

Answer:
(c) \(\frac{e^{2}+1}{4}\)

Question 57.

Answer:
(d) 6

Question 58.

Answer:
(d) \(\frac{5}{2}\)

Question 59.

Answer:
(d) \(\frac{2}{e}\)

Question 60.

Answer:
(d) \(\frac{1}{4}\)

Question 61.

Answer:
(c) \(\frac{x}{y}-y^{2}=c\)

Question 62.


Answer:
(b) \(y=\frac{\sqrt{1+x^{2}}}{x}+\frac{c}{x}\)

Question 63.

Answer:
(c) \(y e^{-3 x}=-e^{-3 x} \frac{(2 \cos 2 x+3 \sin 2 x)}{13}+c\)

Question 64.

Answer:
(a) \(-\frac{1}{2}\)

Question 65.
The solution of the differential equation,

Answer:
(a) \(y=\sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}\)

Question 66.
The degree of the differential equation

(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) not defined
Answer:
(d) not defined

Question 67.
The order and degree of the differential equation \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{\frac{1}{4}}+x^{\frac{1}{5}}=0\) respectively are
(a) 2 and not defined
(b) 2 and 2
(c) 2 and 3
(d) 3 and 3
Answer:
(a) 2 and not defined

Question 68.
The differential equation for y = A cos αx + B sin αx, where A and B are arbitrary constants is

Answer:
(b) \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+\alpha^{2} y=0\)

Question 69.
Integrating factor of the differential equation

Answer:
(c) \(\sqrt{1-x^{2}}\)

Question 70.
Integrating factor of the differential equation \(\frac{d y}{d x}\) + y tanx – sec x = 0 is
(a) cos x
(b) sec x
(c) e^{cos x}
(d) e^{sec x}
Answer:
(b) sec x

Question 71.
The solution of the differential equation \(\frac{d y}{d x}=\frac{1+y^{2}}{1+x^{2}}\) is
(a) y = tan^-1 x
(b) y – x = k(1 + xy)
(c) x = tan^-1 y
(d) tan(xy) = k
Answer:
(b) y – x = k(1 + xy)

Question 72.
The solution of the differential equation cos x sin y dx + sin x cos y dy = 0 is
(a) \(\frac{\sin x}{\sin y}=c\)
(b) sin x sin y = c
(c) sin x + sin y = c
(d) cos x cos y = c
Answer:
(b) sin x sin y = c

Question 73.

Answer:
(c) \(e^{y}=e^{x^{2}}+c\)

Question 74.
Which of the following is the general solution of

Answer:
(a) y = (Ax + B) e^x

Question 75.

Answer:
(a) \(y\left(1+x^{2}\right)=c+\tan ^{-1} x\)