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Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.2 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.2

Bihar Board Class 10 Maths पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.2

(जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = \(\frac {22}{7}\) लीजिए।)

प्रश्न 1.
एक ठोस एक अर्द्धगोले पर खड़े एक शंकु के आकार का है जिनकी त्रिज्याएँ 1 cm हैं तथा शंक की ऊँचाई उसकी त्रिज्या के बराबर है। इस ठोस का आयतन π के पदों में ज्ञात कीजिए।
हल

दिया है, एक ठोस, एक अर्द्धगोले व एक शंकु के संयोजन से बना है।
अर्द्धगोले की त्रिज्या = शंकु की त्रिज्या = 1 cm और
शंकु की ऊँचाई = शंकु की त्रिज्या = 1 cm
अर्द्धगोले का आयतन = \(\frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \pi r^{3}\)
= \(\frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \pi \times(1)^{3}\)
= \(\frac{2}{3}\) π cm³
शंक्वाकार भाग का आयतन = \(\frac{2}{3}\) πr²h
= \(\frac{1}{3}\) π(1)² × 1
= \(\frac{1}{3}\) π cm³
ठोस का आयतन = अर्द्धगोले का आयतन + शंक्वाकार भाग का आयतन
= \(\left(\frac{2}{3} \pi+\frac{1}{3} \pi\right)\)
= π cm³
अतः ठोस का आयतन = π cm³

प्रश्न 2.
एक इंजीनियरिंग के विद्यार्थी रचेल से एक पतली एल्यूमीनियम की शीट का प्रयोग करते हुए एक मॉडल बनाने को कहा गया जो एक ऐसे बेलन के आकार का हो जिसके दोनों सिरों पर दो शंकु जुड़े हुए हों। इस मॉडल का व्यास 3 cm है और इसकी लम्बाई 12 cm है। यदि प्रत्येक शंकु की ऊँचाई 2 cm हो तो रचेल द्वारा बनाए गए मॉडल में अन्तर्विष्ट हवा का आयतन ज्ञात कीजिए। (यह मान लीजिए कि मॉडल की आन्तरिक और बाहरी विमाएँ लगभग बराबर हैं)
हल

दिया है, मॉडल एक बेलन व दो शंकुओं के संयोजन से बना है।
मॉडल का व्यास = 3 cm
शंकु की त्रिज्या = बेलन के आधार की त्रिज्या (r) = \(\frac{3}{2}\) cm
प्रत्येक शंकु की ऊँचाई (h) = 2 cm
मॉडल की कुल लम्बाई = 12 cm
माना बेलन की ऊँचाई = H cm
मॉडल की कुल ऊँचाई = प्रत्येक शंकु की ऊँचाई + बेलन की ऊँचाई
⇒ 12 = 2h + H
⇒ 12 = 2 × 2 + H
⇒ H = 12 – 4 = 8 cm
तब, बेलन का आयतन = πr²H = π × \(\left(\frac{3}{2}\right)^{2}\) × 8 = 18π cm³
दोनों शंक्वाकार भागों का आयतन = \(2 \times \frac{1}{3} \pi r^{2} h\)
= \(\frac{2}{3} \pi \times \frac{3}{2} \times \frac{3}{2} \times 2\)
= 3π cm³
सम्पूर्ण मॉडल का आयतन = 18π + 3π = 21π cm³
= 21 × \(\frac{22}{7}\)
= 66 cm³
अतः मॉडल में अन्तर्विष्ट हवा का आयतन = 66 cm³

प्रश्न 3.
संलग्न चित्र में एक गुलाबजामुन में उसके आयतन की लगभग 30% चीनी की चाशनी होती है। 45 गुलाबजामुनों में लगभग कितनी चाशनी होगी, यदि प्रत्येक गुलाबजामुन एक बेलन के आकार का है, जिसके दोनों सिरे अर्द्धगोलाकार हैं तथा इसकी लम्बाई 5 cm और व्यास 2.8 cm है।

हल

दिया है, एक गुलाबजामुन एक बेलन व दो अर्द्ध गोलों के संयोजन से बनी है।
गुलाबजामुन की सम्पूर्ण लम्बाई = 5 cm
तथा गुलाबजामुन का व्यास = 2.8 cm
बेलनाकार भाग की त्रिज्या = दोनों अर्द्धगोलों की त्रिज्या (r) = \(\frac{2.8}{2}\) = 1.4 cm
बेलनाकार भाग की लम्बाई = 5 – (1.4 + 1.4) = 2.2 cm
गुलाबजामुन के दोनों अर्द्धगोलाकार भागों का आयतन = 2x
= \(2 \times \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \pi r^{3}\)
= \(2 \times \frac{2}{3} \pi r^{3}\)
= \(2 \times \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times(1.4)^{3}\)
= \(\frac{34.496}{3}\)
= 11.499 cm³ (लगभग)
गुलाबजामुन के बेलनाकार भाग का आयतन = πr²h
= \(\frac {22}{7}\) × (1.4) × (1.4) × (5 – 1.4 – 1.4)
= \(\frac {22}{7}\) × 1.4 × 1.4 × 2.2
= 13.552 cm³
1 गुलाबजामुन का आयतन = दोनों अर्द्धगोलाकार भागों का आयतन + बेलनाकार भाग का आयतन
= (11.499 + 13.552) cm³
= 25.051 cm³
45 गुलाबजामुनों का आयतन = 45 × 25.051 = 1127.295 cm³
45 गुलाबजामुनों में चाशनी का आयतन = 45 गुलाब जामुनों के आयतन का 30%
= 1127.295 का 30%
= \(\frac{1127.295 \times 30}{100}\)
= 338.1885
≅ 338 cm³
अत: 45 गुलाबजामुनों में चाशनी का आयतन = 338 cm³

प्रश्न 4.
संलग्न चित्र में एक कलमदान घनाभ के आकार की एक लकड़ी से बना है जिसमें कलम रखने के लिए चार शंक्वाकार गड्ढे बने हुए हैं। घनाभ की विमाएँ 15 cm × 10 cm × 3.5 cm हैं। प्रत्येक गड्ढे की त्रिज्या 0.5 cm है और गहराई 1.4 cm है। पूरे कलमदान में लकड़ी का आयतन ज्ञात कीजिए।

हल
दिया है, घनाभ की लम्बाई (l) = 15 cm
घनाभ की चौड़ाई (b) = 10 cm
घनाभ की ऊँचाई (h) = 3.5 cm
घनाभ का आयतन = 15 cm × 10 cm × 3.5 cm = 525 cm³
शंक्वाकार गड्ढे की त्रिज्या (r) = 0.5 cm
तथा शंक्वाकार गड्ढे की गहराई (h) = 1.4 cm
प्रत्येक शंक्वाकार गड्ढे का आयतन = \(\frac{1}{3} \pi r^{2} h\)
= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 0.5 \times 0.5 \times 1.4\)
= \(\frac{1.1}{3}\) cm³
चारों शंक्वाकार गड्ढों का आयतन = 4 × \(\frac{1.1}{3}\)
= \(\frac{4.4}{3}\)
= 1.467 cm³
कलमदान में लगी लकड़ी का आयतन = घनाभ का आयतन – 4 गड्ढों का आयतन
= (525 – 1.467) cm³
= 523.533 cm³
अत: पूरे कलमदान में लकड़ी का आयतन = 523.533 cm³

प्रश्न 5.
एक बर्तन एक उल्टे शंकु के आकार का है। इसकी ऊँचाई 8 cm है और इसके ऊपरी सिरे (जो खुला हुआ है) की त्रिज्या 5 cm है। यह ऊपर तक पानी से भरा हुआ है। जब इस बर्तन में सीसे की कुछ गोलियाँ जिनमें प्रत्येक 0.5 cm त्रिज्या वाला एक गोला है, डाली जाती हैं तो इसमें से भरे हुए पानी का एक-चौथाई भाग बाहर निकल जाता है। बर्तन में डाली गई सीसे की गोलियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल

शंक्वाकार बर्तन की त्रिज्या (r) = 5 cm
तथा शंक्वाकार बर्तन की ऊँचाई (h) = 8 cm
शंक्वाकार बर्तन में भरे पानी का आयतन = \(\frac{1}{3} \pi r^{2} h\)
= \(\frac{1}{3} \times \pi \times(5)^{2} \times 8\)
= \(\frac{200}{3} \pi\) cm³
सीसे की गोलियाँ डालने से \(\frac{1}{4}\) भाग पानी बाहर निकलता है।
सीसे की गोलियों द्वारा विस्थापित अथवा बाहर निकले पानी का आयतन = \(\frac{1}{4}\) × शंक्वाकार बर्तन में भरे पानी का आयतन
= \(\frac{1}{4} \times \frac{200}{3} \pi\)
= \(\frac{50}{3} \pi\) cm³

अत: बर्तन में डाली गई गोलियों की संख्या = 100

प्रश्न 6.
ऊँचाई 220 cm और आधार व्यास 24 cm वाले एक बेलन, जिस पर ऊँचाई 60 cm और त्रिज्या 8 cm वाला एक अन्य बेलन आरोपित है, से लोहे का एक स्तम्भ बना है। इस स्तम्भ का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए, जबकि दिया है 1 cm³ लोहे का द्रव्यमान लगभग 8g होता है। (π = 3.14 लीजिए)
हल
यहाँ, दिया गया ठोस दो बेलनों के संयोजन से बना है।
एक बेलन का व्यास = 24 cm
पहले बेलन की त्रिज्या (r) = 12 cm
तथा पहले बेलन की ऊँचाई (h) = 220 cm
पहले बेलन का आयतन = πr²h
= π × (12)² × 220
= 31680π cm³
दूसरे बेलन की त्रिज्या (R) = 8 cm तथा ऊँचाई (H) = 60 cm
दूसरे बेलन का आयतन = πR²H
= π × (8)² × 60
= 3840π cm³
सम्पूर्ण स्तम्भ का आयतन = (31680π + 3840π) cm³
= 35520π
= 35520 × 3.14 cm³
= 111532.8 cm³
बेलनाकार स्तम्भ का द्रव्यमान = सम्पूर्ण स्तम्भ का आयतन × 1 cm³ लोहे का भार
= 111532.8 × 8g
= 892262.4 g
= \(\frac{892262.4}{1000}\) kg
= 892.2624 kg
= 892.26 kg
अत: स्तम्भ का द्रव्यमान = 892.26 kg

प्रश्न 7.
एक ठोस में, ऊँचाई 120 cm और त्रिज्या 60 cm वाला एक शंकु सम्मिलित है, जो 60 cm त्रिज्या वाले एक अर्द्धगोले पर आरोपित है। इस ठोस को पानी से भरे हुए एक लम्बवृत्तीय बेलन में इस प्रकार सीधा डाल दिया जाता है कि यह बेलन की तली को स्पर्श करे। यदि बेलन की त्रिज्या 60 cm है और ऊँचाई 180 cm है तो बेलन में शेष बचे पानी का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल

यहाँ, ठोस एक शंकु व एक अर्द्धगोले के संयोजन से बना है और इसे लम्बवृत्तीय बेलन में सीधा डाला गया है जो कि बेलन की तली को स्पर्श करता है।
बेलन की त्रिज्या (r) = 60 cm
तथा बेलन की ऊँचाई (H) = 180 cm
लम्बवृत्तीय बेलन में भरे पानी का आयतन = πr²h
= π × (60)² × 180
= 648000π cm³
दिया है, शंकु की त्रिज्या (R) = 60 cm
तथा शंकु की ऊँचाई (H) = 120 cm
शंकु का आयतन = \(\frac{1}{3}\) πr²H
= \(\frac{1}{3}\) π × 60 × 60 × 120
= 144000π cm³
अर्द्धगोले का आयतन = \(\frac{2}{3} \pi r^{3}\)
= \(\frac{2}{3} \pi(60)^{3}\) cm³
= 144000π cm³
शंकु और अर्द्धगोले से अध्यारोपित ठोस का आयतन = शंकु का आयतन + अर्द्धगोले का आयतन
= (144000 +144000) π cm³
= 288000 π cm³
ठोस द्वारा विस्थापित (हटाए गए) पानी का आयतन = शंकु तथा अर्द्धगोले से अध्यारोपित ठोस का आयतन = 288000π cm³
शेष बचे पानी का आयतन = (648000π – 288000π) cm³
= 360000π cm³
= 360000 × \(\frac {22}{7}\) cm³
= 1131428.57 cm³
= \(\frac{1131428.57}{1000000}\) m³
≅ 1.131 m³
अत: बेलन में शेष बचे पानी का आयतन ≅ 1.131 m³

प्रश्न 8.
एक गोलाकार काँच के बर्तन की एक बेलन के आकार की गर्दन है जिसकी लम्बाई 8 cm और व्यास 2 cm है जबकि गोलाकार भाग का व्यास 8.5 cm है। इसमें भरे जा सकने वाली पानी की मात्रा मापकर, एक बच्चे ने यह ज्ञात किया कि इस बर्तन का आयतन 345 cm³ है। जाँच कीजिए कि उस बच्चे का उत्तर सही है या नहीं, यह मानते हुए कि उपर्युक्त मापन आन्तरिक मापन है और π = 3.14
हल

दिया है, बेलनाकार भाग का व्यास = 2 cm
बेलनाकार भाग की त्रिज्या (r) = \(\frac{\text { व्यास }}{2}=\frac{2}{2}\) = 1 cm
तथा बेलनाकार भाग की ऊँचाई (h) = 8 cm
बेलनाकार भाग का आयतन = πr²h
= π × (1)² × 8
= 8π cm³
गोलाकार भाग का व्यास = 8.5 cm = \(\frac{17}{2}\) cm
गोलाकार भाग की त्रिज्या = \(\frac{1}{2} \times \frac{17}{2}=\frac{17}{4}\) cm
गोलाकार भाग का आयतन

बर्तन का आयतन = गोलाकार भाग का आयतन + बेलनाकार भाग का आयतन

अतः बच्चे का उत्तर 345 cm³ सही नहीं है।
अतः बर्तन का सही आयतन = 346.51 cm³

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.1 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.1

Bihar Board Class 10 Maths वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.1

(जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = \(\frac {22}{7}\) का प्रयोग कीजिए)

प्रश्न 1.
दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 19 cm और 9 cm हैं। उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसकी परिधि इन दोनों वृत्तों की परिधियों के योग के बराबर है।
हल
पहले वृत्त की त्रिज्या (r₁) = 19 cm
पहले वृत्त की परिधि = 2πr₁ = 2π × 19 = 38π cm
इसी प्रकार, दूसरे वृत्त की त्रिज्या (r₂) = 9 cm
दूसरे वृत्त की परिधि = 2πr₂ = 2π × 9 = 18π cm
दोनों वृत्तों की परिधियों का योग = (38π + 18π) = 56π cm
वांछित वृत्त की परिधि = 56π cm
माना वांछित वृत्त की त्रिज्या = r cm
तब, वांछित वृत्त की परिधि = 56π m
⇒ 2πr = 56π
⇒ r = \(\frac{56 \pi}{2 \pi}\) = 28
अतः अभीष्ट वृत्त की त्रिज्या = 28 cm

प्रश्न 2.
दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 8 cm और 6 cm हैं। उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसका क्षेत्रफल इन दोनों वृत्तों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है।
हल
पहले वृत्त की त्रिज्या (r₁) = 8 cm
पहले वृत्त का क्षेत्रफल = \(\pi r_{1}^{2}\) = π × 8 × 8 = 64π cm²
इसी प्रकार, दूसरे वृत्त की त्रिज्या (r₂) = 6 cm
दूसरे वृत्त का क्षेत्रफल = \(\pi r_{2}^{2}\) = π × 6 × 6 = 36π cm²
दोनों वृत्तों के क्षेत्रफलों का योग = 64π + 36π = 100π cm²
वांछित वृत्त का क्षेत्रफल = 100π cm²
माना वांछित वृत्त की त्रिज्या r cm है।
तब, वांछित वृत्त का क्षेत्रफल = 100π cm²
⇒ πr² = 100π
⇒ r² = 100π
⇒ r = √100 = 10
अतः अभीष्ट वृत्त की त्रिज्या = 10 cm

प्रश्न 3.
दी गई आकृति एक तीरंदाजी लक्ष्य को दर्शाती है, जिसमें केन्द्र से बाहर की ओर पाँच क्षेत्र GOLD, RED, BLUE, BLACK और WHITE चिह्नित हैं, जिनसे अंक अर्जित किए जा सकते हैं। GOLD अंक वाले क्षेत्र GOLD का व्यास 21 cm है तथा प्रत्येक अन्य पट्टी 10.5 cm चौड़ी है। अंक प्राप्त कराने वाले इन पाँचों क्षेत्रों में से प्रत्येक का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल
सबसे पहले क्षेत्र का व्यास = 21 cm
GOLD क्षेत्र की त्रिज्या R_G = \(\frac{21}{2}\) = 10.5 cm
और अगली प्रत्येक पट्टी की चौड़ाई = 10.5 cm
तीरंदाजी के पाँच क्षेत्रों का क्रम = GOLD, RED, BLUE, BLACK, WHITE
RED क्षेत्र की भीतरी त्रिज्या R_r2 = 10.5 cm
तथा बाहरी त्रिज्या R_r1 = R_r2 + 10.5 cm = 10.5 + 10.5 = 21.0 cm
तब, BLUE क्षेत्र की भीतरी त्रिज्या R_B2 = 21.0 cm
तथा बाहरी त्रिज्या R_B1 = R_B2 + 10.5 cm = 21.0 + 10.5 = 31.5 cm
तब, BLACK क्षेत्र की भीतरी त्रिज्या R_b2 = 31.5 cm
तथा बाहरी त्रिज्या R_b1 = R_b2 + 10.5 cm = 31.5 + 10.5 = 42.0 cm
तब, WHITE क्षेत्र की भीतरी त्रिज्या R_w2 = 42.0 cm
बाहरी त्रिज्या R_w1 = R_w2 + 10.5 cm = 42.0 + 10.5 = 52.5 cm
इस प्रकार क्षेत्रवार त्रिज्याएँ :

प्रश्न 4.
किसी कार के प्रत्येक पहिए का व्यास 80 cm है। यदि यह कार 66 km प्रति घण्टे की चाल से चल रही है तो 10 मिनट में प्रत्येक पहिया कितने चक्कर लगाता है?
हल
कार के पहिए का व्यास = 80 cm
कार के पहिए की परिधि = π × व्यास
= \(\frac {22}{7}\) × 80 cm
= \(\frac{1760}{7}\) cm
कार की चाल = 66 km/h
= 66 × \(\frac{1000}{60}\) m/min
= 66 × \(\frac{1000}{60}\) × 100 cm/min
= 110000 cm/min
∴ कार द्वारा 10 मिनट में चली दूरी = चाल × समय
= 110000 × 10
= 1100000 cm
∴ 10 मिनट में चली दूरी 1100000 cm के लिए पहिए के चक्करों की संख्या

अत: 10 मिनट में कार का प्रत्येक पहिया 4375 चक्कर लगाएगा।

प्रश्न 5.
निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए तथा अपने उत्तर का औचित्य दीजिए-
यदि एक वृत्त का परिमाप और क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से बराबर है तो उस वृत्त की त्रिज्या है-
(A) 2 मात्रक
(B) π मात्रक
(C) 4 मात्रक
(D) 7 मात्रक
हल
माना वृत्त की त्रिज्या = R
तब, वृत्त का परिमाप (परिधि) = 2πR
और वृत्त का क्षेत्रफल = πR²
संख्यात्मक रूप से, वृत्त का क्षेत्रफल = वृत्त का परिमाप
πR² = 2πR
R = 2 (दोनों पक्षों को πR से भाग देने पर)
वृत्त की त्रिज्या = 2 मात्रक
अत: विकल्प (A) सही है।

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.1 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.1

Bihar Board Class 10 Maths पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.1

(जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = \(\frac {22}{7}\) लीजिए।)

प्रश्न 1.
दोघनों, जिनमें से प्रत्येक का आयतन 64 cm³ है, के संलग्न फलकों को मिलाकर एक ठोस बनाया जाता है। इससे प्राप्त घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल

माना प्रत्येक घन की भुजा x cm है।
घन का आयतन = (भुजा)³ = x³ cm³
प्रत्येक घन का आयतन = 64 cm³ (दिया है)
x³ = 64
⇒ x³ = (4)³
⇒ x = 4 cm
प्रत्येक घन की भुजा 4 cm है।
दो घनों को मिलाकर एक घनाभ बनाया जाता है।
तब प्राप्त घनाभ की लम्बाई (l) = (4 + 4) = 8 cm, चौड़ाई (b) = 4 cm तथा ऊँचाई (h) = 4 cm
घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl)
= 2[(8 × 4) + (4 × 4) + (4 × 8)]
= 2[32 + 16 + 32]
= 2 × 80
= 160 cm²
अतः प्राप्त घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 160 cm²

प्रश्न 2.
कोई बर्तन एक खोखले अर्द्धगोले के आकार का है जिसके ऊपर एक खोखला बेलन अध्यारोपित है। अर्द्धगोले का व्यास 14 cm है और इस बर्तन (पात्र) की कुल ऊँचाई 13 cm है। इस बर्तन का आन्तरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल

चित्र की भाँति अर्द्धगोले पर बेलन अध्यारोपित किया गया है।
अर्द्धगोले का व्यास = 14 cm
अर्द्धगोले की त्रिज्या (r) = \(\frac{\text { व्यास }}{2}\) = 7 cm
तब, बेलन की त्रिज्या (r) = अर्द्ध गोले की त्रिज्या = 7 cm
बर्तन की कुल ऊँचाई 13 cm है जो बेलन की ऊँचाई h तथा अर्द्धगोले की त्रिज्या r के योग के बराबर है।
h + r = 13
⇒ h + 7 = 13
⇒ h = 13 – 7 = 6 cm
बेलन की ऊँचाई (h) = 6 cm
तब, बेलनाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
तथा अर्द्धगोलीय भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr²
बर्तन का कुल आन्तरिक पृष्ठ = 2πrh + 2πr² = 2πr(h + r)
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 7(7 + 6) cm²
= 2 × 22 × 13 cm²
= 572 cm²
अत: बर्तन (पात्र) का कुल आन्तरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल = 572 cm²

प्रश्न 3.
एक खिलौना त्रिज्या 3.5 cm वाले एक शंकु के आकार का है, जो उसी त्रिज्या वाले एक अर्द्धगोले पर अध्यारोपित है। इस खिलौने की सम्पूर्ण ऊँचाई 15.5 cm है। इस खिलौने का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल

दिया है, अर्द्धगोले पर समान परिच्छेद क्षेत्रफल के आधार वाला शंकु अध्यारोपित कर खिलौना बनाया गया है।
शंकु के आधार की त्रिज्या (r) = 3.5 cm
गोले की त्रिज्या (r) = 3.5 cm
खिलौने की कुल ऊँचाई = शंकु की ऊँचाई + अर्द्धगोले की त्रिज्या
15.5 cm = शंकु की ऊँचाई (h) + 3.5 cm
शंकु की ऊँचाई (h) = (15.5 – 3.5) cm = 12 cm
तब, शंकु की तिर्यक ऊँचाई (l)

तब, शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl
= \(\frac {22}{7}\) × 3.5 × 12.5
= 137.5 cm²
और अर्द्धगोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr²
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × 3.5 × 3.5
= 77 cm²
खिलौने का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + अर्द्धगोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल
= (137.5 + 77) cm²
= 214.5 cm²
अत: खिलौने का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 214.5 cm²

प्रश्न 4.
भुजा 7 cm वाले एक घनाकार ब्लॉक के ऊपर एक अर्द्धगोला रखा हुआ है। अर्द्धगोले का अधिकतम व्यास क्या हो सकता है? इस प्रकार बने ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल

अर्द्धगोले का आधार घन के ऊपरी फलक पर टिका है।
अर्द्धगोले का अधिकतम व्यास = घन की भुजा = 7 cm
अर्द्धगोले की त्रिज्या (r) = \(\frac{7}{2}\) cm
तब, ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल = घन का सम्पूर्ण पृष्ठ + अर्द्धगोले का वक्र पृष्ठ – वृत्तीय आधार का क्षेत्रफल

अत: अर्द्धगोले का अधिकतम व्यास = 7 cm
तथा ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 332.5 cm²

प्रश्न 5.
एक घनाकार ब्लॉक के एक फलक को अन्दर की ओर से काटकर एक अर्द्धगोलाकार गड्ढा इस प्रकार बनाया गया है कि अर्द्धगोले का व्यास घन के एक किनारे के बराबर है। शेष बचे ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल

दिया है, अर्द्धगोले का व्यास = घन की भुजा = a
अर्द्धगोले की त्रिज्या (r) = \(\frac{a}{2}\)
अर्द्धगोलाकार गड्ढा बनाने पर घन के पृष्ठ में अर्द्धगोले के वक्रपृष्ठ के बराबर क्षेत्र बढ़ जाएगा।
परन्तु अर्द्धगोले के आधार के क्षेत्रफल के बराबर क्षेत्र कम हो जाएगा।
अतः शेष बचे ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल = घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल + अर्द्धगोले का वक्रपृष्ठ – अर्द्धगोले के आधार का क्षेत्रफल

अत: शेष बचे ठोस का आयत = \(\frac{a^{2}}{4}\) (π + 24) जहाँ a घन की भुजा है।

प्रश्न 6.
संलग्न चित्र में, दवा का एक कैप्सूल (capsule) एक बेलन के आकार का है जिसके दोनों सिरों पर एक-एक अर्द्धगोला लगा हुआ है। पूरे कैप्सूल की लम्बाई 14 mm है और उसका व्यास 5 mm है। इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल

दिया है, कैप्सूल की लम्बाई = 14 mm
कैप्सूल का व्यास = 5 mm
कैप्सूल की त्रिज्या (r) = \(\frac{5}{2}\) mm
बेलनाकार भाग की त्रिज्या (r) = \(\frac{5}{2}\) mm
बेलनाकार भाग की लम्बाई = 14 – (2.5 + 2.5) = 9 mm
चित्र से स्पष्ट है कि
कैप्सूल की लम्बाई = (2 × अर्द्धगोले की त्रिज्या) + बेलनाकार भाग की ऊँचाई
14 = 2r + h
⇒ 2r + h = 14 …….(1)
कैप्सूल का पृष्ठीय क्षेत्रफल = (2 × अर्द्धगोले का वक्र पृष्ठ) + बेलन का वक्र पृष्ठ
= 2 × 2πr² + 2πrh
= 2πr(2r + h)
= 2 × \(\frac{22}{7} \times \frac{5}{2}\) × 14
= 220 mm2 [समीकरण (1) से]
अत: कैप्सूल का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 220 mm²

प्रश्न 7.
कोई तम्बू एक बेलन के आकार का है जिस पर एक शंकु अध्यारोपित है। यदि बेलनाकार भाग की ऊँचाई और व्यास क्रमश: 2.1 m और 4 m हैं तथा शंकु की तिर्यक ऊँचाई 2.8 m है तो इस तम्बू को बनाने में प्रयुक्त कैनवास (canvas) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। साथ ही, ₹ 500 प्रति m² की दर से इसमें प्रयुक्त कैनवास की लागत ज्ञात कीजिए। (ध्यान दीजिए कि तम्बू के आधार को कैनवास से नहीं ढका जाता है।)
हल

बेलनाकार भाग के लिए,
बेलनाकार भाग का व्यास = 2.1 m
बेलनाकार भाग की त्रिज्या = \(\frac{2.1}{2}\) m
और बेलनाकार भाग की ऊँचाई (h) = 4 m
बेलनाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
= \(2 \times \frac{22}{7} \times \frac{2.1}{2} \times 4\)
= 26.4 m²
शंक्वाकार भाग के लिए,
शंक्वाकार भाग की त्रिज्या (r) = बेलन की त्रिज्या = \(\frac{2.1}{2}\) m
शंक्वाकार भाग की तिर्यक ऊँचाई (l) = 2.8 m
शंक्वाकार भाग का पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl
= \(\frac{22}{7} \times \frac{2.1}{2} \times 2.8\)
= 9.24 m²
पूरे तम्बू का पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलनाकार भाग का पृष्ठीय क्षेत्रफल + शंक्वाकार भाग का पृष्ठीय क्षेत्रफल
= (26.4 + 9.24) m²
= 35.64 m²
अतः तम्बू में प्रयुक्त कैनवास का क्षेत्रफल = 35.64 m²
तथा कैनवास की लागत = 500 × 35.64 = ₹ 17820

प्रश्न 8.
ऊँचाई 2.4 cm और व्यास 1.4 cm वाले एक ठोस बेलन में से इसी ऊँचाई और इसी व्यास वाला एक शंक्वाकार खोल (cavity) काट लिया जाता है। शेष बचे ठोस का निकटतम वर्ग सेन्टीमीटर तक पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल

दिया है, बेलन का व्यास = 1.4 cm
बेलन की त्रिज्या (r) = 0.7 cm
तथा बेलन की ऊँचाई (h) = 2.4 cm
बेलन का वक्र पृष्ठ = 2πrh
= 2π × 0.7 × 2.4
= 3.36π cm²
बेलन के आधार का क्षेत्रफल = πr²
= π × 0.7 × 0.7
= 0.49π cm²
अब, शंकु की त्रिज्या (r) = बेलन की त्रिज्या = 0.7 cm
शंकु की ऊँचाई (h) = बेलन की ऊँचाई = 2.4 cm
शंकु की तिर्यक ऊँचाई (l) = \(\sqrt{h^{2}+r^{2}}\)
= \(\sqrt{(2.4)^{2}+(0.7)^{2}}\)
= \(\sqrt{5.76+0.49}\)
= \(\sqrt{6.25}\)
= 2.5 cm
तब, शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl
= π × 0.7 × 2.5
= 1.75π cm²
शेष बचे ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलन का वक्रपृष्ठ + आधार का क्षेत्रफल + शंकु का वक्रपृष्ठ
= (3.36π + 0.49π + 1.75π) cm²
= 5.60π cm²
= 5.6 × \(\frac{22}{7}\) cm²
= 17.6 cm²
अतः शेष बचे ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 17.6 cm²

प्रश्न 9.
लकड़ी के एक ठोस बेलन के प्रत्येक सिरे पर एक अर्द्धगोला व खोदकर निकालते हुए, एक वस्तु बनाई गई है, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। यदि बेलन की ऊँचाई 10 cm है और आधार की त्रिज्या 3.5 cm है तो इस वस्तु का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल
दिया है, लकड़ी की वस्तु एक बेलन और दो अर्द्धगोलों के संयोजन से बनी है।
यहाँ, बेलन की ऊँचाई (h) = 10 cm
बेलन के आधार की त्रिज्या (r) = अर्द्धगोले की त्रिज्या = 3.5 cm
लकड़ी की वस्तु का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + दोनों अर्द्धगोलों का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2πrh + 4πr²
= 2πr(h + 2r)
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 3.5 (10 + 2 × 3.5)
= \(\frac{22}{7}\) × 7 × (17)
= 374 cm²
अत: वस्तु का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 374 cm²

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 10 वृत्त Ex 10.2 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 10 वृत्त Ex 10.2

Bihar Board Class 10 Maths वृत्त Ex 10.2

प्रश्न सं० 1, 2, 3 में सही विकल्प चुनिए एवं उचित कारण दीजिए।

प्रश्न 1.
एक बिन्दु से एक वृत्त पर स्पर्श रेखा की लम्बाई 24 cm तथा Q की केन्द्र से दूरी 25 cm है। वृत्त की त्रिज्या है :
(A) 7 cm
(B) 12 cm
(C) 15 cm
(D) 24.5 cm
हल

माना वृत्त की त्रिज्या R cm है।
दिया है, स्पर्श रेखा की लम्बाई (PQ) = 24 cm
और बिन्दु Q से वृत्त के केन्द्र की दूरी (OP) = 25 cm
समकोण ΔOPQ में, पाइथागोरस प्रमेय से,
OQ² = OP² + PQ²
⇒ OP² = OQ² – PQ²
⇒ R² = (25)² – (24)²
⇒ R² = 625 – 576
⇒ R² = 49
⇒ R = 7
अत: विकल्प (A) सही है।

प्रश्न 2.
आकृति में, यदि TP, TQ केन्द्र O वाले किसी वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ इस प्रकार हैं कि ∠POQ = 110°, तो ∠PTQ बराबर है-
(A) 60°
(B) 70°
(C) 80°
(D) 90°

हल
दिया है, दिए हुए वृत्त में OP तथा OQ त्रिज्याएँ हैं और TP तथा TQ स्पर्श रेखाएँ हैं।
तथा ∠POQ = 110°
∵ OP ⊥ PT तथा OQ ⊥ QT
∴ ∠P = 90° तथा ∠Q = 90°
चतुर्भुज OPTQ में,
∠POQ + ∠PTQ = 180°
या 110° + ∠PTQ = 180°
या ∠PTQ = 180° – 110° = 70°
अत: विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 3.
यदि एक बिन्दु P से O केन्द्र वाले किसी वृत्त पर PA, PB स्पर्श रेखाएँ परस्पर 80° के कोण पर झुकी हों तो ∠POA बराबर है-
(A) 50°
(B) 60°
(C) 70°
(D) 80°
हल

वृत्त का केन्द्र O है और बिन्दु P से PA व PB वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ हैं जिनके बीच का कोण ∠APB = 80°
∵ ∠A = 90° व ∠B = 90°
⇒ ∠AOB व ∠APB सम्पूरक हैं।
∴ ∠AOB + ∠APB = 180° ……(1)
समीकरण (1) में ∠APB = 80° रखने पर,
∠AOB + 80° = 180°
⇒ ∠AOB = 100°
रेखा OP, ∠AOB को समद्धिभाजित करती है,
∠POB = \(\frac {1}{2}\) ∠AOB = \(\frac {1}{2}\) × 100° = 50°
अत: विकल्प (A) सही है।

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के किसी व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समान्तर होती हैं।
हल

दिया है : एक वृत्त का केन्द्र O तथा व्यास AB है। व्यास के सिरों A तथा B से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ PAQ तथा RBS खींची गई हैं।
सिद्ध करना है : PQ || RS
उपपत्ति : दिया है, AB वृत्त का व्यास है और PAQ तथा RBS बिन्दुओं A तथा B पर वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं।
∴ ∠PAB = 90° तथा ∠ABS = 90°
परन्तु ∠PAB तथा ∠ABS ऋजु रेखाओं PQ तथा RS को तिर्यक रेखा AB के द्वारा काटने से बने समान एकान्तर कोण हैं।
PQ || RS
इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि स्पर्श बिन्दु से स्पर्श रेखा पर खींचा गया लम्ब वृत्त के केन्द्र से होकर जाता है।
हल

दिया है : एक वृत्त का केन्द्र O है और AB वृत्त की स्पर्श रेखा है जो वृत्त को बिन्दु P पर स्पर्श करती है।
P से वृत्त की स्पर्श रेखा AB पर PQ लम्ब खींचा गया है।
सिद्ध करना है : लम्ब PQ वृत्त के केन्द्र O से जाता है।
उपपत्ति: ∵ AP,वृत्त के स्पर्श बिन्दु P पर स्पर्श-रेखा है।
∴ AP, वृत्त की त्रिज्या पर लम्ब होगी।
∵ PQ ⊥ AP
∴ PQ रेखा में वृत्त की त्रिज्या समाहित होगी।
∵ त्रिज्या का एक सिरा P है, तब दूसरा सिरा केन्द्र O होगा।
∴ रेखा PQ में केन्द्र O भी समाहित है।
अतः लम्ब PQ वृत्त के केन्द्र O से होकर जाता है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 6.
एक बिन्दु A से, जो एक वृत्त के केन्द्र से 5 cm दूरी पर है, वृत्त पर स्पर्श रेखा की लम्बाई 4 cm है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल
बिन्दु A से वृत्त के केन्द्र की दूरी (D) = 5 cm
और वृत्त की स्पर्श रेखा की लम्बाई (T) = 4 cm
माना वृत्त की त्रिज्या R cm है।
∵ बिन्दु A से,
(वृत्त की स्पर्श रेखा की लम्बाई)² = (वृत्त के केन्द्र से दूरी)² – (त्रिज्या)²
⇒ T² = D² – R²
⇒ (4)² = (5)² – R²
⇒ R² = 5² – 4² = 25 – 16 = 9
⇒ R = 3 cm
अत: वृत्त की त्रिज्या (R) = 3 cm

प्रश्न 7.
दो संकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ 5 cm तथा 3 cm हैं। बड़े वृत्त की उस जीवा की लम्बाई ज्ञात कीजिए जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती हो।
हल

माना O केन्द्र वाले दो संकेन्द्रीय वृत्त हैं जिनकी त्रिज्याएँ OA तथा OP क्रमश: 5 cm व 3 cm हैं।
बड़े वृत्त की एक जीवा AB है जो छोटे वृत्त को बिन्दु P पर स्पर्श करती है।
∴ OP ⊥ AB (OP वृत्त की त्रिज्या है)
∴ ∆OAP समकोणीय त्रिभुज है।
तब, पाइथागोरस प्रमेय से,
AP² + OP² = OA²
⇒ AP² + (3)² = (5)²
⇒ AP² = (5)² – (3)² = 25 – 9 = 16
⇒ AP = 4 cm
परन्तु बड़े वृत्त में, जीवा AB पर केन्द्र O से OP लम्ब है।
∴ P, AB को अर्धित करता है
∴ AP = BP
⇒ BP = 4 cm
तब, जीवा AB की लम्बाई = AP + BP = 4 + 4 = 8 cm

प्रश्न 8.
एक वृत्त के परिगत एक चतुर्भुज ABCD खींचा गया है। सिद्ध कीजिए-
AB + CD = AD + BC

हल
दिया है : O केन्द्र वाले वृत्त के परिगत एक चतुर्भुज ABCD खींचा गया है जिसकी भुजाएँ AB, BC, CD तथा DA वृत्त को क्रमशः बिन्दुओं P, Q, R और S पर स्पर्श करती हैं।
सिद्ध करना है : AB + CD = AD + BC
उपपत्ति: ∴ AB तथा AD वृत्त को P तथा S पर स्पर्श करती हैं।
AP= AS
पुन: AB तथा BC वृत्त को P तथा Q पर स्पर्श करती हैं।
∴ PB = BQ
∵ BC तथा CD वृत्त को Q तथा R पर स्पर्श करती हैं।
∴ QC = CR
और CD तथा DA वृत्त को R तथा S पर स्पर्श करती हैं।
∴ DR = SD
AB + CD = AP + PB + DR + CR (आकृति देखिए)
= AS + BQ + SD + QC
= (AS + SD) + (BQ + QC)
= AD + BC
अत: AB + CD = AD + BC
इति सिद्धम्

प्रश्न 9.
संलग्न आकृति में, XY और X’Y’, O केन्द्र के वाले एक वृत्त की दो समान्तर स्पर्श रेखाएँ हैं और स्पर्श बिन्दु C पर स्पर्श रेखा AB, XY को A पर तथा X’Y’ को B पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि ∠AOB = 90° है।

हल
दिया है : O केन्द्र वाले वृत्त की XY तथा X’Y’ दो समान्तर स्पर्श रेखाएँ हैं। वृत्त पर एक बिन्दु C से स्पर्श रेखा AB खींची गई है जो XY को A पर तथा X’Y’ को B पर काटती है। OA तथा OB को मिलाया गया है।

सिद्ध करना है : ∠AOB = 90°
रचना : रेखाखण्ड OC खींचा।
उपपत्ति : ∵ XY और X’Y’ वृत्त की दो समान्तर स्पर्श रेखाएँ हैं जो वृत्त को (माना) P तथा Q पर स्पर्श करती हैं। C से वृत्त की एक स्पर्श रेखा AB, XY को A पर तथा X’Y’ को B पर काटती है।
∴ बिन्दु A से वृत्त पर AP व AC स्पर्श रेखाएँ हैं।
तब, ∆OPA व ∆OCA में,
OP = OC (वृत्त की त्रिज्याएँ हैं)
AP = AC (बाह्य बिन्दु से वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं)
OA = OA (उभयनिष्ठ भुजा है)
∆OPA ≅ ∆OCA
∠POA = ∠AOC …….(1)
इसी प्रकार, बिन्दु B से वृत्त पर BQ और BC स्पर्श रेखाएँ हैं।
तब, ∆OQB तथा ∆OBC में,
OQ = OC (वृत्त की त्रिज्याएँ हैं)
BQ = BC (बिन्दु B से वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं)
OB = OB (उभयनिष्ठ भुजा है)
∆OQB ≅ ∆OBC
∠BOQ = ∠COB …….(2)
∵ ∠POA + ∠AOC + ∠COB + ∠BOQ = 180°
⇒ ∠AOC + ∠AOC + ∠COB + ∠COB = 180° [समीकरण (1) व समीकरण (2) से]
⇒ 2(∠AOC + ∠COB) = 180°
⇒ ∠AOC + ∠COB = 90°
अतः ∠AOB = 90°
इति सिद्धम्

प्रश्न 10.
सिद्ध कीजिए कि किसी बाह्य बिन्दु से किसी वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण स्पर्श बिन्दुओं को मिलाने वाले रेखाखण्ड द्वारा केन्द्र पर अन्तरित कोण का सम्पूरक होता है।
हल

दिया है : O केन्द्र वाले वृत्त के बाहर एक बिन्दु P है। Pसे वृत्त पर PA तथा PB दो स्पर्श रेखाएँ खींची गई हैं। स्पर्श रेखाओं के बीच का ∠APB है। स्पर्श बिन्दुओं को रेखा AB मिलाती है जो वृत्त के केन्द्र पर ∠AOB बनाती है।
सिद्ध करना है : ∠APB, ∠AOB का सम्पूरक है।
उपपत्ति: ∵ OA वृत्त की त्रिज्या है और बाह्य बिन्दु P से PA स्पर्श रेखा है जो वृत्त को बिन्दु A पर स्पर्श करती है।
∴ ∠OAP = 90° …….(1)
इसी प्रकार, OB वृत्त की त्रिज्या है और बाह्य बिन्दु P से PB वृत्त की स्पर्श रेखा है जो वृत्त को बिन्दु B पर स्पर्श करती है।
∴ ∠OBP = 90° …….(2)
समीकरण (1) व (2) को जोड़ने पर,
∠OAP + ∠OBP = 180°
तब, चतुर्भुज OAPB में,
∠AOB + ∠OAP + ∠OBP + ∠APB = 360°
⇒ ∠AOB + 180° + ∠APB = 360°
⇒ ∠AOB + ∠APB = 360° – 180° = 180°
⇒ ∠AOB + ∠APB = 180°
अत: ∠APB, ∠AOB का सम्पूरक है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 11.
सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के परिगत समान्तर चतुर्भुज, समचतुर्भुज होता है।
हल

दिया है : केन्द्र O वाले वृत्त के परिगत खींचा गया समान्तर चतुर्भुज ABCD जिसकी भुजाएँ वृत्त को क्रमशः P, Q, R और S बिन्दुओं पर स्पर्श करती हैं।
सिद्ध करना है : ABCD एक समचतुर्भुज है।
रचना : AC, OP और OQ को मिलाया।
उपपत्ति : चूँकि बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गई दोनों स्पर्श रेखाएँ लम्बाई में बराबर होती हैं,
∴ AP = AS, BP = BQ, CQ = CR तथा DR = DS
अब, ∆OAP और ∆OCQ में,
OP = OQ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ हैं)
∠OAP = ∠OCQ (समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोणों के अर्द्धक हैं)
∠OPA = ∠OQC (प्रत्येक समकोण है)
दोनों त्रिभुज सर्वांगसम हैं अर्थात् ∆OAP ≅ ∆OCQ
⇒ AP = CQ
⇒ AP + BP = CQ + BQ (∵ BP = BQ)
⇒ AB = BC
इसी प्रकार सिद्ध कर सकते हैं कि AD = AB तथा BC = CD
∴ समान्तर चतुर्भुज ABCD में,
AB = CD = BC = AD
अत: ABCD एक समचतुर्भुज है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 12.
4 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के परिगत एक त्रिभुज ABC इस प्रकार खींचा गया है कि रेखाखण्ड BD और DC (जिनमें स्पर्श बिन्दु Dद्वारा BC विभाजित है) की लम्बाइयाँ क्रमशः 8 cm और 6 cm हैं। भुजाएँ AB और AC ज्ञात कीजिए।

हल
चित्र में, ABC एक त्रिभुज है जिसके अन्तर्वृत्त का केन्द्र O है तथा अन्तर्वृत्त की त्रिज्याएँ OD = OE = OF = 4 cm हैं।
स्पर्श बिन्दु D से BC के खण्ड BD = 6 cm तथा DC = 8 cm हैं।

तब, BF = 6 cm तथा CE = 8 cm
माना AF = AE = x cm
तब, AB = AF + BF = (x + 6) cm
⇒ c = (x + 6) cm [∵ ∆ABC से BC = a, AB = c, CA = b]
BC = 8 + 6 = 14 cm
⇒ a = 14 cm
तथा CA = AE + CE = (x + 8) cm
⇒ b = (x + 8) cm
∵ s = \(\frac{a+b+c}{2}\)
s = \(\frac{14+(x+8)+(x+6)}{2}=\frac{2 x+28}{2}\) = (x + 14)
(s – a) = (x + 14) – 14 = x
(s – b) = (x + 14) – (x + 8) = 6
(s – c) = (x + 14) – (x + 6) = 8

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
3x² + 42x = (x + 14)²
⇒ 3x² + 42x = x² + 28x + 196
⇒ 3x² + 42x – x² – 28x – 196 = 0
⇒ 2x² + 14x – 196 = 0
⇒ x² + 7x – 98 = 0
⇒ x² + (14 – 7)x – 98 = 0
⇒ x² + 14x – 7x – 98 = 0
⇒ (x² + 14x) – (7x + 98) = 0
⇒ x(x + 14) – 7(x + 14) = 0
⇒ (x + 14) (x – 7) = 0
यदि x + 14 = 0, तो x = -14
और यदि x – 7 = 0, तो x = 7
x का मान -14 ऋणात्मक है जो लम्बाई नहीं हो सकता। अत: यह स्वीकार्य नहीं है।
तब, x = 7
∴ भुजा AB = x + 6 = 7 + 6 = 13 cm
तथा भुजा CA = x + 8 = 7 + 8 = 15 cm
अत: त्रिभुज की अन्य दो भुजाएँ AB व CA क्रमश: 13 cm व 15 cm हैं।

प्रश्न 13.
सिद्धं कीजिए कि वृत्त के परिगत बने चतुर्भुज की आमने-सामने की भुजाएँ केन्द्र पर सम्पूरक कोण अन्तरित करती हैं।
हल

दिया है : केन्द्र O वाले वृत्त के परिगत चतुर्भुज ABCD खींचा गया है जिसकी भुजाएँ AB, BC, CD व DA वृत्त को क्रमशः बिन्दुओं M, P, Q व N पर स्पर्श करती हैं।
सिद्ध करना है : ∠AOB + ∠COD = 180°
रचना : स्पर्श बिन्दु M और N को केन्द्र O से मिलाया।
उपपत्ति : माना ∠A = 2α, ∠B = 2β, ∠C = 2γ, ∠D = 2δ
∆OAM और ∆OAN में,
∠OMA = ∠ONA (प्रत्येक समकोण है)
OM = ON (एक ही वृत्त की त्रिज्या है)
OA = OA
∴ दोनों त्रिभुज सर्वांगसम हैं अर्थात् ∆OAM ≅ ∆OAN
⇒ ∠OAM = ∠OAN = \(\frac{1}{2}\) (∠A) = \(\frac{1}{2}\) (2α) = α
⇒ ∠OAB = ∠OAD = α
इसी प्रकार, ∠OBA = ∠OBC = β
∠OCB = ∠OCD = γ
तथा ∠ODA = ∠ODC = δ
अब, ∆AOB में,
∠AOB = 180° – ∠OAB – ∠OBA = 180° – α – β = 180° – (α + β)
तथा ∠COD = 180° – ∠OCD – ∠ODC = 180° – γ – δ = 180° – (γ + δ)
समीकरण (1) व (2) को जोड़ने पर,
∠AOB + ∠COD = {180° – (α + β)} + {180° – (γ + δ)}
⇒ ∠AOB + ∠COD = 360° – (α + β + γ + δ)
परन्तु ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°
⇒ 2α + 2β + 2γ + 2δ = 360°
⇒ α + β + γ + δ = 180°
अत: समीकरण (3) से,
∠AOB + ∠COD = 360° – 180° = 180°
इति सिद्धम्

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 10 वृत्त Ex 10.1 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 10 वृत्त Ex 10.1

Bihar Board Class 10 Maths वृत्त Ex 10.1

प्रश्न 1.
एक वृत्त की कितनी स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं?
हल
किसी वृत्त की परिधि पर स्थित प्रत्येक बिन्दु से एक स्पर्श रेखा खींची जा सकती है। चूंकि वृत्त की परिधि पर बिन्दुओं की संख्या असंख्य है; अत: एक वृत्त की असंख्य स्पर्श रेखाएँ सम्भव हैं।

प्रश्न 2.
रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए

1. किसी वृत्त की स्पर्श रेखा उसे ___________ बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करती है।
2. वृत्त को दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखा को ____________ कहते हैं।
3. एक वृत्त की ____________ समान्तर स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं।
4. वृत्त तथा उसकी स्पर्श रेखा के उभयनिष्ठ बिन्दु को _____________ कहते हैं।

हल

1. किसी वृत्त की स्पर्श रेखा उसे एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती है।
2. वृत्त को दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखा को छेदक रेखा कहते हैं।
3. एक वृत्त की दो समान्तर स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं।
4. वृत्त तथा उसकी स्पर्श रेखा के उभयनिष्ठ बिन्दु को स्पर्श बिन्दु कहते हैं।

प्रश्न 3.
5 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के बिन्दु P पर स्पर्श रेखा PR केन्द्र O से जाने वाली एक रेखा से बिन्दु Q पर इस प्रकार मिलती है कि OQ = 12 सेमी PQ की लम्बाई है-
(A) 12 सेमी
(B) 13 सेमी
(C) 8.5 सेमी
(D) √119 सेमी
हल
दिया है, त्रिज्या OP = 5 सेमी है तथा OQ = 12 सेमी
हम जानते हैं कि वृत्त के किसी बिन्दु पर स्पर्श रेखा स्पर्श बिन्दु से जाने वाली त्रिज्या पर लम्ब होती है।

∴ OP ⊥ PQ
समकोण ∆OPQ में, पाइथागोरस प्रमेय से,
OP² + PQ² = OQ²
⇒ (5)² + PQ² = (12)²
⇒ PQ² = 12² – 5² = 144 – 25 = 119
⇒ PQ = √119 सेमी
अत: विकल्प (D) सही है।

प्रश्न 4.
एक वृत्त खींचिए और एक दी गई रेखा के समान्तर दो ऐसी रेखाएँ खींचिए कि उनमें से एक स्पर्श रेखा हो तथा दूसरी छेदक रेखा हो।
हल
एक वृत्त बनाया जिसका केन्द्र O है और माना AB एक दी गई रेखा है।
हमें AB के समान्तर दो रेखाएँ (माना PQ व RS) खींचनी हैं जिनमें PQ स्पर्श रेखा और RS छेदक रेखा हो।
रचना विधि :
(i) रेखा AB पर केन्द्र-बिन्दु से लम्ब ON खींचा जो वृत्त को बिन्दु P पर काटता है।
(ii) त्रिज्या OP के बिन्दु P पर लम्ब PQ खींचिए। PQ स्पर्श रेखा है।
(iii) OP पर एक बिन्दु M लेकर M से OP पर लम्ब RS खींचा। RS छेदक रेखा है।

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग Ex 9.1 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग Ex 9.1

Bihar Board Class 10 Maths त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग Ex 9.1

प्रश्न 1.
सर्कस का एक कलाकार एक 20 m लम्बी डोर पर चढ़ रहा है जो अच्छी तरह से तनी हुई है और भूमि पर सीधे लगे खम्भे के शिखर से बँधी हुई है। यदि भूमि स्तर के साथ डोर द्वारा बनाया गया कोण 30° का हो, तो खम्भे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल

माना AB एक खम्भा है जिसका सिरा B भूमि पर गड़ा है।
खम्भे के शिखर A से एक तनी हुई डोरी AC भूमि पर एक स्थान (बिन्दु) C से बँधी है। डोरी AC की लम्बाई 20 m है।
डोरी भूमि स्तर BC के साथ बिन्दु C पर ∠ACB = 30° बनाती है।
माना AB = h m
दिया है, AC = 20 m
समकोण ΔABC में,

अत: खम्भे की ऊँचाई 10 m है।

प्रश्न 2.
आँधी आने से एक पेड़ टूट जाता है और टूटा हुआ भाग इस तरह मुड़ जाता है कि पेड़ का शिखर जमीन को छूने लगता है और इसके साथ 30° का कोण बनाता है। पेड़ के पाद-बिन्दु की दूरी, जहाँ पेड़ का शिखर जमीन को छूता है, 8 m है। पेड़ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल

माना PQ एक पेड़ है जो बिन्दु R से टूटकर भूमि पर गिर गया है।
पेड़ के ऊपरी भाग RP का ऊपरी सिरा P भूमि पर बिन्दु S को छू रहा है।
बिन्दु S की पेड़ से दूरी SQ = 8 m है।
पेड़ का टूटा हुआ भाग PR, भूमि पर बिन्दु S से ∠QSR = 30° बनाता है।
तब, समकोण ΔQSR में,

प्रश्न 3.
एक ठेकेदार बच्चों को खेलने के लिए एक पार्क में दो फिसलनपट्टी लगाना चाहती है। 5 वर्ष से कम उम्र के बच्चों के लिए वह एक ऐसी फिसलनपट्टी लगाना चाहती है जिसका शिखर 1.5 m की ऊँचाई पर हो और भूमि के साथ 30° के कोण पर झुका हुआ हो, जबकि इससे अधिक उम्र के बच्चों के लिए वह 3 m की ऊँचाई पर एक अधिक ढाल की फिसलनपट्टी लगाना चाहती है, जो भूमि के साथ 60° का कोण बनाती हो। प्रत्येक स्थिति में फिसलनपट्टी की लम्बाई क्या होनी चाहिए?
हल
जब ठेकेदार 5 वर्ष से कम उम्र के बच्चों के लिए फिसलनपट्टी लगाता है तो उसकी ऊँचाई AB = 1.5 m तथा फिसलनपट्टी का भूमि के साथ कोण ∠ACB = 30° है।
माना इस स्थिति में फिसलनपट्टी की लम्बाई AC m है।

तब, समकोण ΔABC में,
sin 30° = \(\frac{A B}{A C}\)
⇒ sin 30° = \(\frac{1.5}{A C}\)
⇒ \(\frac{1}{2}=\frac{1.5}{A C}\)
⇒ AC = 2 × 1.5 = 3 m
⇒ AC = 3 m
जब ठेकेदार 5 वर्ष से अधिक उम्र के बच्चों के लिए फिसलनपट्टी लगाता है, तो उसकी ऊँचाई A’B’ = 3 m होती है और फिसलनपट्टी भूमि के साथ कोण ∠A’C’B’ = 60° बनाती है।
माना इस स्थिति में फिसलनपट्टी की लम्बाई A’C’ m है।

तब समकोण ΔA’B’C’ में,
sin 60° = \(\frac{A^{\prime} B^{\prime}}{A^{\prime} C^{\prime}}\)

अत: 5 वर्ष से कम उम्र के बच्चों के लिए फिसलनपट्टी की लम्बाई = 3 m तथा इससे अधिक उम्र के बच्चों के लिए फिसलनपट्टी की लम्बाई = 2√3 m

प्रश्न 4.
भूमि के एक बिन्दु से जो मीनार के पाद-बिन्दु से 30 m की दूरी पर है, मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। (√3 = 1.73)
हल
मान लिया, भूमि तल पर एक मीनार AB है जिसकी चोटी (शिखर) A तथा आधार (नीव) B है। मीनार के आधार Bसे 30 m दूर भूमि पर स्थित कोई बिन्दु C है। बिन्दु C से मीनार के शिखर A का उन्नयन कोण ∠ACB = 30° है।
माना मीनार AB की ऊँचाई h m है।

तब, समकोण ΔABC में, tan C = \(\frac{A B}{B C}\)

अत: मीनार AB की ऊँचाई = 10√3 m = 10 × 1.73 = 17.3 m

प्रश्न 5.
भूमि से 60 m की ऊँचाई पर एक पतंग उड़ रही है। पतंग में लगी डोरी को अस्थायी रूप से भूमि के एक बिन्दु से बाँध दिया गया और भूमि के साथ डोरी का झकाव 60° है। यह मानकर कि डोरी में कोई ढील नहीं है, डोरी की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल
माना AX एक क्षैतिज रेखा है जिस पर स्थित एक बिन्दु C से BC = 60 m की ऊँचाई पर एक पतंग B उड़ रही है।
यह पतंग B, क्षैतिज भूमि पर स्थित एक बिन्दु A से तनी हुई डोरी AB द्वारा संयोजित है।
डोरी AB का भूमि के साथ कोण (झुकाव) 60° है।

अत: डोरी की लम्बाई 40√3 या 69.2 m है। (उन्नयन कोण)

प्रश्न 6.
1.5 m लम्बा एक लड़का 30 m ऊँचे एक भवन से कुछ दूरी पर खड़ा है। जब वह ऊँचे भवन की ओर जाता है तब उसकी आँख से भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° से 60° हो जाता है। बताइए कि वह भवन की ओर कितनी दूरी तक चलकर गया है?
हल
माना PQ एक भवन है जिसकी ऊँचाई 30 m है। भवन के आधार से x m दूर बिन्दु R पर एक लड़का OR खड़ा है, जिसकी ऊँचाई OR = 1.5 m है।

तब, OS || QR
∴ OR = SQ = 1.5 m
माना मीनार की चोटी P का लड़के की आँख O पर उन्नयन कोण ∠POS = 30° है।
तब, PS = PQ – SQ = 30 – 1.5 = 28.5 m
तब, समकोण ∆POS में, tan 30° = \(\frac{P S}{O S}\)
⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{28.5}{x}\)
⇒ x = 28.5 × √3
⇒ x = 28.5 × 1.732 = 53.496 m
माना लड़का d दूरी चलकर बिन्दु T पर पहुँचता है जहाँ से उसकी आँख का कोण ∠PTS = 60° हो जाता है।
तब, समकोण ∆PTS में,

अत: लड़का भवन की ओर 19√3 m चलकर गया।

प्रश्न 7.
भूमि के एक बिन्दु से एक 20 m ऊँचे भवन के शिखर पर लगी एक संचार मीनार के तल और शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 45° और 60° हैं। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल
माना क्षैतिज भूमितल पर स्थित BQ एक भवन है जिसकी ऊँचाई BQ = 20 m है।
भवन की चोटी के ऊपर एक संचार मीनार BH स्थित है। भवन के आधार Q से किसी दूरी PQ पर एक बिन्दु P है।
बिन्दु P से संचार मीनार के तल का उन्नयन कोण ∠BPQ = 45° तथा शिखर H का उन्नयन कोण ∠HPQ = 60° है।
माना संचार मीनार की भूमि से ऊँचाई HQ है।

तब, समकोण ∆BQP में, tan BPQ = \(\frac{B Q}{P Q}\)
⇒ tan 45° = \(\frac{20}{P Q}\)
⇒ 1 = \(\frac{20}{P Q}\)
⇒ PQ = 20 m
पुनः समकोण ∆HQP में, tan HPQ = \(\frac{H Q}{P Q}\)
⇒ tan 60° = \(\frac{H B+B Q}{P Q}\) [∵ HQ = HB + BQ]
⇒ √3 = \(\frac{H B+20}{20}\) [∵ PQ = 20 m]
⇒ HB + 20 = 20√3
⇒ HB = 20√3 – 20 = 20(√3 – 1) m
अत: मीनार की ऊँचाई = 20(√3 – 1) m

प्रश्न 8.
एक पेडस्टल के शिखर पर एक 1.6 m ऊँची मूर्ति लगी है। भूमि के एक बिन्दु से मूर्ति के शिखर का उन्नयन कोण 60° है और उसी बिन्दु से पेडस्टल के शिखर का उन्नयन कोण 45° है। पेडस्टल की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल
माना PQ एक x m ऊँची पेडस्टल है जिसकी चोटी P पर एक मूर्ति PS लगी है। मूर्ति की ऊँचाई PS = 1.6 m है।
क्षैतिज भूमि पर स्थित एक बिन्दु R से मूर्ति के ऊपरी सिरे S का उन्नयन कोण ∠QRS = 60° है तथा इसी बिन्दु R से पेडस्टल के शिखर P का उन्नयन कोण ∠PRQ = 45° है।
मूर्ति PS की लम्बाई 1.6 m है।


अत: मूर्ति की ऊँचाई 0.8(√3 + 1) m है।

प्रश्न 9.
एक मीनार के पाद-बिन्दु से एक भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° है और भवन के पाद-बिन्दु से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। यदि मीनार 50 m ऊँची हो, तो भवन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल
माना AB एक मीनार है जिसकी ऊँचाई 50 m है। मीनार के पाद-बिन्दु B से एक भवन CD की चोटी D का उन्नयन कोण 30° है, जबकि भवन के आधार-बिन्दु C से मीनार की चोटी A का उन्नयन कोण 60° है। मीनार के आधार B से भवन के आधार C की दूरी BC है।
माना भवन की ऊँचाई CD = x m

प्रश्न 10.
एक 80 m चौड़ी सड़क के दोनों ओर आमने-सामने समान ऊँचाई वाले दो खम्भे लगे हुए हैं। इन दोनों खम्भों के बीच सड़क के एक बिन्दु से खम्भों के शिखर के उन्नयन कोण क्रमश: 60° और 30° हैं। खम्भों की ऊँचाई और खम्भों से बिन्द की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल
माना, PA तथा QB समान ऊँचाई h m के दो खम्भे हैं जो सड़क की चौड़ाई AB के सिरों क्रमश: A व B पर स्थित हैं।
खम्भों की सीध में सड़क के किसी बिन्दु R से दोनों खम्भों के शिखर क्रमश: 60° व 30° के उन्नयन कोण बनाते हैं।
सड़क की चौड़ाई AB = 80 m तथा माना बिन्दु R की पहले खम्भे PA से दूरी x m है।
अत: बिन्दु R की खम्भे QB से दूरी = (80 – x) m

समीकरण (1) व (2) से,
√3x = \(\frac{80-x}{\sqrt{3}}\)
⇒ 3x = 80 – x
⇒ 4x = 80 m
⇒ x = 20 m
समीकरण (1) में x का मान रखने पर,
h = √3 × 20 = 1.73 × 20 = 34.60 m
अतः खम्भे की ऊँचाई = 34.60 m और पहले खम्भे से प्रेक्षण बिन्दु की दूरी = 20 m
तथा दूसरे खम्भे से प्रेक्षण बिन्दु की दूरी = 80 – 20 = 60 m.

प्रश्न 11.
एक नहर के एक तट पर एक टीवी टॉवर ऊर्ध्वाधरतः खड़ा है। टॉवर के ठीक सामने दूसरे तट के एक अन्य बिन्दु से टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। इसी तट पर इस बिन्दु से 20 m दूर और इस बिन्द को मीनार के पाद से मिलाने वाली रेखा पर स्थित एक अन्य बिन्द से टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 30° है (चित्र देखिए)। टॉवर की ऊँचाई और नहर की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

हल
माना BC चौड़ाई की एक नहर है जिसके एक तट B पर एक टीवी टॉवर AB खड़ा है। टॉवर के ठीक सामने दूसरे तट के एक बिन्दु C से टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण ∠ACB = 60° है। इसी तट पर इस बिन्दु से 20 m दूर तथा बिन्दु C और टॉवर के आधार B को मिलाने वाली रेखा की सीध में एक बिन्दु D है। बिन्दु D से टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 30° है।
माना टॉवर AB की ऊँचाई h m तथा नहर की चौड़ाई BC = x m है।
तब, समकोण ΔABC में,

समीकरण (1) में x का मान रखने पर, h = 10√3 m
अत: टीवी टॉवर की ऊँचाई = 10√3 m तथा नहर की चौड़ाई = 10 m

प्रश्न 12.
7 m ऊँचे भवन के शिखर से एक केबल टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 60° है और इसके पाद का अवनमन कोण 45° है। टॉवर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल
माना AB एक केबल टॉवर है और उसी धरातल में एक भवन CD है जिसकी ऊँचाई 7 m है।
भवन के शिखर C से क्षैतिज धरातल के समान्तर एक रेखा CE है। भवन के शिखर C से केबल टॉवर के शिखर A का उन्नयन कोण ∠ACE = 60° है और केबल टॉवर के पाद B का अवनमन कोण ∠ECB = 45° है।

∵ DB || CE और ∠DCE = 90°
तथा ∠EBD = 90° ⇒ CD || EB
चतुर्भुज CDBE एक समान्तर चतुर्भुज है।
∴ EB = CD ⇒ EB = 7 m
अब समकोण ΔBEC में, tan 45° = \(\frac{E B}{C E}\)
⇒ 1 = \(\frac{7}{C E}\)
⇒ CE = 7 m
पुनः समकोण ΔAEC में, tan 60° = \(\frac{A E}{C E}\)
⇒ √3 = \(\frac{A E}{7}\)
⇒ AE = 7√3 m
तब, केबल टॉवर AB की ऊँचाई = AE + EB = 7√3 + 7 = 7(√3 + 1) m
अत: केबल टॉवर की ऊँचाई 7(√3 + 1) m है।

प्रश्न 13.
समुद्र-तल से 75 m ऊँची लाइट हाउस के शिखर से देखने पर दो समुद्री जहाजों के अवनमन कोण 30° और 45° हैं। यदि लाइट हाउस के एक ही ओर एक जहाज दूसरे जहाज के ठीक पीछे हो तो दो जहाजों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल
माना 75 m ऊँचे एक प्रकाश स्तम्भ PQ के शिखर P से, A और B जहाजों के अवनमन कोण क्रमश: 30° और 45° हैं।

∴ ∠SPA = 30° = ∠PAQ (एकान्तर कोण)
तथा ∠SPB = 45° = ∠PBQ (एकान्तर कोण)
माना जहाजों के बीच की दूरी AB = x m
तब, समकोण ΔPQB में,

प्रश्न 14.
1.2 m लम्बी एक लड़की भूमि से 88.2 m की ऊँचाई पर एक क्षैतिज रेखा में हवा में उड़ रहे गुब्बारे को देखती है। किसी भी क्षण लड़की की आँख से गुब्बारे का उन्नयन कोण 60° है। कुछ समय बाद उन्नयन कोण घटकर 30° हो जाता है। इस अन्तराल के दौरान गुब्बारे द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए।

हल

प्रश्न 15.
एक सीधा राजमार्ग एक मीनार के पाद तक जाता है। मीनार के शिखर पर खड़ा एक आदमी एक कार को 30° के अवनमन कोण पर देखता है जो कि मीनार के पाद की ओर एकसमान चाल से जाता है। छ: सेकण्ड बाद कार का अवनमन कोण 60° हो गया। इस बिन्दु से मीनार के पाद तक पहुँचने में कार द्वारा लिया गया समय ज्ञात कीजिए।
हल
माना BCQ एक सीधा राजमार्ग है जिसके किसी बिन्दु Q पर खड़ी मीनार की ऊँचाई OQ है। एक प्रेक्षक मीनार के शिखर बिन्दु 0 पर बैठा देखता है कि एक कार B का अवनमन कोण 30° है जिससे ∠OBQ = 30° है। प्रेक्षक 6 सेकण्ड बाद देखता है कि कार का अवनमन कोण 60° है जिससे ∠OCQ = 60° है।
समकोण ∆OQB में,


∴ CQ दूरी तय करने में लगने वाला समय = \(\frac {1}{2}\) × BC दूरी तय करने में लगा समय
= \(\frac {1}{2}\) × 6 सेकण्ड
= 3 सेकण्ड
अत: कार को मीनार के पाद तक पहुँचने में लगने वाला समय = 3 सेकण्ड

प्रश्न 16.
मीनार के आधार से और एक सरल रेखा में 4 m और 9 m की दूरी पर स्थित दो बिन्दुओं से मीनार के शिखर के उन्नयन कोण पूरक कोण हैं। सिद्ध कीजिए कि मीनार की ऊँचाई 6 m है।
हल
माना AB एक मीनार है जिसकी ऊँचाई h है। मीनार के आधार B के दोनों ओर B से क्रमश: 9 m और 4 m दूरियों पर दो बिन्दु P और Q स्थित हैं।
यदि बिन्दु P से मीनार की चोटी का उन्नयन कोण हो तो Q से मीनार की चोटी का उन्नयन कोण θ का कोटिपूरक (90° – θ) होगा।

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Additional Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Additional Questions

Bihar Board Class 10 Maths त्रिकोणमिति का परिचय Additional Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
यदि cos A = \(\frac{4}{5}\) है, तो tan A का मान है
(i) \(\frac{3}{5}\)
(ii) \(\frac{3}{4}\)
(iii) \(\frac{4}{3}\)
(iv) \(\frac{5}{3}\)
हल
(ii) \(\frac{3}{4}\)

प्रश्न 2.
यदि sin A = \(\frac{1}{2}\) है तो cos A का मान है
(i) √3
(ii) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
(iii) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
(iv) 1
हल
(i) √3

प्रश्न 3.
व्यंजक [cosec(75° + θ) – sec(15° – θ) – tan(55° + θ) + cot(35° – θ)] का मान है
(i) -1
(ii) 0
(iii) 1
(iv) \(\frac{3}{2}\)
हल
(ii) 0

प्रश्न 4.
यदि sin θ = \(\frac{a}{b}\) दिया है, तो cos θ बराबर है
(i) \(\frac{b}{\sqrt{b^{2}-a^{2}}}\)
(ii) \(\frac{b}{a}\)
(iii) \(\frac{\sqrt{b^{2}-a^{2}}}{b}\)
(iv) \(\frac{a}{\sqrt{b^{2}-a^{2}}}\)
हल
(iii) \(\frac{\sqrt{b^{2}-a^{2}}}{b}\)

प्रश्न 5.
यदि cos(α + β) = 0 हो, तो sin(α – β) को निम्नलिखित के रूप में बदला जा सकता है-
(i) cos β
(ii) cos 2β
(iii) sin θ
(iv) sin 2α
हल
(ii) cos 2β

प्रश्न 6.
(tan 1° tan 2° tan 3°…tan 89°) का मान है
(i) 0
(ii) 1
(iii) 2
(iv) \(\frac{1}{2}\)
हल
(ii) 1

प्रश्न 7.
यदि cos 9α = sin α है और 9α < 90° है, तो tan 5α का मान है
(i) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
(ii) √3
(iii) 1
(iv) 0
हल
(iii) 1

प्रश्न 8.
यदि ∆ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें कोण C समकोण है, तो cos(A + B) का मान है
(i) 0
(ii) 1
(iii) \(\frac{1}{2}\)
(iv) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
हल
(i) 0

प्रश्न 9.
यदि sin A + sin² A = 1 है, तो व्यंजक (cos² A + cos⁴ A) का मान है
(i) 1
(ii) \(\frac{1}{2}\)
(iii) 2
(iv) 3
हल
(i) 1

प्रश्न 10.
यदि sin α = \(\frac{1}{2}\) और cos β = \(\frac{1}{2}\) दिया है, तो (α + β) का मान है
(i) 0°
(ii) 30°
(iii) 60°
(iv) 90°
हल
(iv) 90°

प्रश्न 11.
व्यंजक [\(\frac{\sin ^{2} 22^{\circ}+\sin ^{2} 68^{\circ}}{\cos ^{2} 22^{\circ}+\cos ^{2} 68^{\circ}}\) + sin² 63° + cos 63° sin 27°] का मान है
(i) 3
(ii) 2
(iii) 1
(iv) 0
हल
(ii) 2

प्रश्न 12.
यदि 4tan θ = 3 है, तो \(\left(\frac{4 \sin \theta-\cos \theta}{4 \sin \theta+\cos \theta}\right)\) बराबर है।
(i) \(\frac{2}{3}\)
(ii) \(\frac{1}{3}\)
(iii) \(\frac{1}{2}\)
(iv) \(\frac{3}{4}\)
हल
(iii) \(\frac{1}{2}\)

प्रश्न 13.
यदि sin θ – cos θ = 0 है, तो (sin⁴ θ + cos⁴ θ) का मान है
(i) 1
(ii) \(\frac{3}{4}\)
(iii) \(\frac{1}{2}\)
(iv) \(\frac{1}{4}\)
हल
(iii) \(\frac{1}{2}\)

प्रश्न 14.
sin(45° + θ) – cos(45° – θ) बराबर है
(i) 2 cos θ
(ii) 0
(iii) 2 sin θ
(iv) 1
हल
(ii) 0

अतिलघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
cot A का मान ज्ञात कीजिए, यदि 3 cos A – 4 sin A = 2 cos A + 3 sin A
हल
दिया है, 3 cos A – 4 sin A = 2 cos A + 3 sin A
⇒ 3 cos A – 2 cos A = 3 sin A + 4 sin A
⇒ cos A = 7 sin A
⇒ \(\frac{\cos A}{\sin A}\) = 7
⇒ cot A = 7

प्रश्न 2.
त्रिभुज ABC में यदि AB = BC, ∠B = 90° है तो निम्न के मान ज्ञात कीजिए
(i) sin A
(ii) cos A
हल

∆ABC में, AB = BC तथा ∠B = 90°
∵ AB = BC
∴ ∠A = ∠C = \(\frac{180^{\circ}-90^{\circ}}{2}\) = 45°
(i) sin A = sin 45° = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
(ii) cos A = cos 45° = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)

प्रश्न 3.
cot 80° cot 10° – tan 80° tan 10° का मान ज्ञात कीजिए।
हल
यहाँ, cot 80° cot 10° – tan 80° tan 10°
= cot(90° – 10°) . cot (90° – 80°) – tan 80° tan 10°
= tan 80° tan 10° – tan 80° tan 10°
= 0

प्रश्न 4.
यदि sin θ = \(\frac{3}{5}\), तो tan θ का मान ज्ञात कीजिए।
हल
हम जानते हैं कि

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए की

हल

प्रश्न 6.
cos 80° cos 70° – cos 10° cos 20° का मान ज्ञात कीजिए।
हल
cos 80° cos 70° – cos 10° cos 20°
= cos 80° cos 70o – cos(90° – 80°) cos(90° – 70°)
= cos 80° cos 70° – sin 80° sin 70° [∵ cos (90° – θ) = cos θ]
= cos(80° + 70° )
= cos 150°
= cos(180° – 30°)
= -cos 30° [∵ cos (180° – θ) = -cos θ]
= \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)

प्रश्न 7.
\(\sin ^{2} \theta+\frac{1}{1+\tan ^{2} \theta}\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल

प्रश्न 8.
tan 35° tan 40° tan 45° tan 50° tan 55° का मान ज्ञात कीजिए।
हल
tan 35° tan 40° tan 45° tan 50° tan 55°
= tan (90° – 55°) tan (90° – 50°) tan 45° tan 50° tan 55°
= cot 55° cot 50° tan 45° tan 50° tan 55° [∵ tan (90° – θ) = cot θ]
= \(\frac{1}{\tan 55^{\circ}} \cdot \frac{1}{\tan 50^{\circ}}\) . 1 · tan 50° . tan 55°
= 1 [∵ cot θ = \(\frac{1}{\tan \theta}\)]

प्रश्न 9.
\(\frac{\sin 72^{\circ}+\cos 72^{\circ}}{\cos 18^{\circ}+\sin 18^{\circ}}\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल

प्रश्न 10.
सिद्ध कीजिए \(\frac{\sin 48^{\circ}}{\cos 42^{\circ}}+\frac{\cos 48^{\circ}}{\sin 42^{\circ}}=2\)
हल

प्रश्न 11.
सिद्ध कीजिए की (1 – sin θ) (1 + sin θ) (1 + tan² θ) = 1
हल

प्रश्न 12.
सिद्ध कीजिए tan² θ + cot² θ = sec² θ cosec² θ – 2
हल

प्रश्न 13.
सिद्ध कीजिए (cosec A – sin A) (sec A – cos A) (tan A + cot A) = 1
हल

प्रश्न 14.
सिद्ध कीजिए \(\frac{\sec ^{2} A}{\cos ^{2} A}-\frac{\tan ^{2} A}{\cot ^{2} A}=1+2 \tan ^{2} A\)
हल

प्रश्न 15.
सिद्ध कीजिए

हल

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि

हल

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए कि (sec θ – tan θ)² = \(\frac{1-\sin \theta}{1+\sin \theta}\)
हल

प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए

हल

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए
\(\frac{\sec A-\tan A}{\sec A+\tan A}\) = 1 – 2 sec A tan A + 2tan² A
हल

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए की

हल

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए की

हल

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए की

हल

प्रश्न 8.
सिद्ध कीजिए

हल

प्रश्न 9.
यदि \(\frac{\cos \alpha}{1-\sin \alpha}+\frac{\cos \alpha}{1+\sin \alpha}=4\) हो, तो α का मान ज्ञात कीजिए, जबकी 0° < α < 90°.
हल

प्रश्न 10.
यदि x = r cos θ cos α, y = r sin θ cos α तथा z = r sin α, तो सिद्ध कीजिए की x² + y² + z²
हल
L.H.S. = x² + y² + z²
= (r cos θ cos α)² +(r sin θ cos α)² + (r sin α)²
= r² cos² θ cos² α + r² sin² θ cos² α + r² sin² α
= r² cos² α (cos² θ + sin² θ) + r² sin² α
= r² cos² α . 1 + r² sin² α [∵ sin² θ + cos² θ = 1]
= r² (cos² α + sin² α)
= r² . 1
= r²
= R.H.S.
इति सिद्धम

प्रश्न 11.
यदि tan θ + sin θ = p तथा tan θ – sin θ = q तो सिद्ध कीजिए p² – q² = 4√pq
हल
L.H.S. = p² – q²
= (p + q) (p – q)
= (tan θ + sin θ + tan θ – sin θ) (tan θ + sin θ – tan θ + sin θ)
= 2 tan θ . 2 sin θ
= 4 tan θ sin θ

प्रश्न 12.
यदि tan α = n tan β, sin α = m sin β तो सिद्ध कीजिए कि \(\cos ^{2} \alpha=\frac{m^{2}-1}{n^{2}-1}\)
हल

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
दी गई आकृति में ABC एक समकोण त्रिभुज है। D, BC का मध्य-बिन्दु है :

दिखादा कि : \(\frac{\tan \theta}{\tan \phi}=\frac{1}{2}\)
हल

प्रश्न 2.
मान ज्ञात कीजिए :

हल

प्रश्न 3.
यदि sin θ = \(\frac{3}{5}\), तो (tan θ + sec θ)² का मान ज्ञात कीजिए।
हल

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Ex 8.3 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Ex 8.3

Bihar Board Class 10 Maths त्रिकोणमिति का परिचय Ex 8.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित का मान निकालिए :
(i) \(\frac{\sin 18^{\circ}}{\cos 72^{\circ}}\)
(ii) \(\frac{\tan 26^{\circ}}{\cot 64^{\circ}}\)
(iii) cos 48° – sin 42°
(iv) cosec 31° – sec 59°
हल

(iii) cos 48° – sin 42°
= cos (90° – 42°) – sin 42°
= sin 42° – sin 42°
= 0 [∵ cos (90° – A) = sin A]
अतः cos 48° – sin 42° = 0

(iv) cosec 31° – sec 59°
= cosec (90° – 59°) – sec 59°
= sec 59° – sec 59°
= 0 [∵ cosec (90° – A) = sec A]
अतः cosec 31° – sec 59° = 0

प्रश्न 2.
दिखाईये की
(i) tan 48° tan 23° tan 42° tan 67° = 1
(ii) cos 38° cos 52° – sin 38° sin 52° = 0
हल
(i) L.H.S. = tan 48° tan 23° tan 42° tan 67°
= tan 48° tan 23° tan (90° – 48°) tan (90° – 23°)
= tan A tan B tan (90° – A) tan (90° – B) [माना A = 48°, B = 23°]
= tan A tan B cot A cot B
= tan A tan B . \(\frac{1}{\tan A} \cdot \frac{1}{\tan B}\) [∵ cot A = \(\frac{1}{\tan A}\), cot B = \(\frac{1}{\tan B}\)]
= 1
= R.H.S.
L.H.S. = R.H.S.

(ii) L.H.S. = cos 38° cos 52° – sin 38° sin 52°
= cos 38° cos (90° – 38°) – sin 38° sin (90° – 38°)
= cos A cos (90° – A) sin A sin (90° – A) [यदि 38° = A हो]
= cos A sin A – sin A cos A [∵ cos (90° – A) = sin A और sin (90° – A) = cos A]
= sin A cos A – sin A cos A
= 0
= R.H.S.
L.H.S.= R.H.S.

प्रश्न 3.
यदि tan 2A = cot(A – 18°), जहाँ 2A एक न्यूनकोण है, तो A का मान ज्ञात कीजिए।
हल
दिया है, tan 2A = cot(A – 18°)
⇒ tan θ = cot(A – 18°) [माना 2A = θ]
⇒ cot (90° – θ) = cot (A – 18°) [∵ tan θ = cot(90° – θ)]
⇒ 90° – θ = A – 18°
⇒ 90° – 2A = A – 18° [θ = 2A रखने पर]
⇒ 90° + 18° = A + 2A
⇒ 3A = 108°
⇒ A = 36°
अत: A का मान = 36°

प्रश्न 4.
यदि tan A = cot B, तो सिद्ध कीजिए कि A + B = 90°.
हल
दिया है, tan A = cot B
⇒ tan A = tan(90° – B) [∵ cot θ = tan (90° – θ)]
⇒ A = 90° – B
⇒ A + B = 90°
अत: स्पष्ट है कि tan A = cot B होने पर A + B = 90° होगा।

प्रश्न 5.
यदि sec 4A = cosec(A – 20°), जहाँ 4A एक न्यूनकोण है, तो A का मान ज्ञात कीजिए।
हल
दिया है, sec 4A = cosec(A – 20°)
⇒ cosec (90° – 4A) = cosec (A – 20°) [∵ sec θ = cosec (90° – θ)]
⇒ 90° – 4A = A – 20°
⇒ A + 4A = 90° + 20°
⇒ 5A = 110°
⇒ A = 22°
अत: A का मान = 22°

प्रश्न 6.
यदि A, B और C त्रिभुज ABC के अन्तःकोण हों, तो दिखाइए कि \(\sin \left(\frac{B+C}{2}\right)=\cos \frac{A}{2}\)
हल
हम जानते हैं कि त्रिभुज के अन्तःकोणों का योग = 180°
A + B + C = 180°
⇒ (B + C) = 180° – A

प्रश्न 7.
sin 67° + cos 75° को 0° और 45° के बीच के कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपातों के पदों में व्यक्त कीजिए।
हल
दिया है, sin 67° + cos 75°
= sin (90° – 23°) + cos (90° – 15°)
= cos 23° + sin 15°
अत: sin 67° + cos 75° = cos 23° + sin 15°

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Ex 8.2 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Ex 8.2

Bihar Board Class 10 Maths त्रिकोणमिति का परिचय Ex 8.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित के मान निकालिए
(i) sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60°
(ii) 2 tan² 45° + cos² 30° – sin² 60°

हल

प्रश्न 2.
सही विकल्प चुनिए और अपने विकल्प का औचित्य दीजिए-
(i) \(\frac{2 \tan 30^{\circ}}{1+\tan ^{2} 30^{\circ}}=\)
(A) sin 60°
(B) cos 60°
(C) tan 60°
(D) sin 30°

(ii) \(\frac{1-\tan ^{2} 45^{\circ}}{1+\tan ^{2} 45^{\circ}}=\)
(A) tan 90°
(B) 1
(C) sin 45°
(D) 0

(iii) sin 2A = 2sin A तब सत्य होता है, जबकि A बराबर है :
(A) 0°
(B) 30°
(C) 45°
(D) 60°

(iv) \(\frac{2 \tan 30^{\circ}}{1-\tan ^{2} 30^{\circ}}\) बराबर है :
(A) cos 60°
(B) sin 60°
(C) tan 60°
(D) sin 30°
हल

प्रश्न 3.
यदि tan(A + B) = √3 और tan(A – B) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\); 0° < A + B < 90°; A > B, तो A और B का मान ज्ञात कीजिए।
हल
दिया है, tan (A + B) = √3
⇒ tan (A + B) = tan 60°
⇒ A + B = 60° ……(1)
तथा tan (A – B) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
⇒ tan (A – B) = tan 30°
⇒ A – B = 30° …….(2)
समीकरण (1) व (2) को हल करने पर,
अत: A = 45° तथा B = 15°

प्रश्न 4.
बताइए कि निम्नलिखित में कौन-कौन सत्य हैं या असत्य हैं। कारण सहित अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
(i) sin(A + B) = sin A + sin B
(ii) θ में वृद्धि होने के साथ sin θ के मान में भी वृद्धि होती है।
(iii) θ में वृद्धि होने के साथ cos θ के मान में भी वृद्धि होती है।
(iv) θ के सभी मानों पर sin θ = cos θ
(v) A = 0° पर cot A परिभाषित नहीं है।
हल
(i) माना A = 30° तथा B = 30°, तब
sin (A + B) = sin (30° + 30° ) = sin 60° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
और sin A + sin B = sin 30° + sin 30° = \(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\) = 1
sin (A + B) ≠ sin A + sin B
अत: दिया गया कथन असत्य है।

(ii) ∵ sin 0° = 0, sin 30° = \(\frac{1}{2}\), sin 45° = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\), sin 60° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), sin 90° = 1
स्पष्ट है कि θ का मान बढ़ने पर sin θ का मान भी बढ़ता है परन्तु यह θ = 90° तक ही सही है, आगे नहीं।
अत: दिया गया कथन सत्य है।

(iii) ∵ cos 0° = 1 और cos 90° = 0
स्पष्ट है कि θ का मान बढ़ने पर cos θ में वृद्धि नहीं होती।
अत: दिया गया कथन असत्य है।

(iv) ∵ sin θ = cos θ
⇒ \(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\) = 1
⇒ tan θ = 1
⇒ θ = 45°
θ के सभी मानों के लिए sin θ ≠ cos θ
अतः दिया गया कथन असत्य है।

(v) त्रिकोणमितीय अनुपातों के विभिन्न मानों के लिए संकलित सारणी को देखने से स्पष्ट है कि cot A = अनिर्धारित
∴ A = 0° पर cot A परिभाषित नहीं (not defined) है।
अत: दिया गया कथन सत्य है।

Bihar Board 10th Social Science Objective Questions and Answers

BSEB Bihar Board 10th Social Science History Objective Answers Chapter 1 यूरोप में राष्ट्रवाद

प्रश्न 1.
यंग यूरोप की स्थापना किसने की थी?
(a) काबूर ने
(b) मेजिनी ने
(c) बिस्मार्क ने
(d) गैरीबाल्डी ने
उत्तर-
(b) मेजिनी ने

प्रश्न 2.
यूनान के स्वतंत्रता संग्राम में किसकी पराजय हुई ?
(a) रूस की
(b) तुर्की की
(c) यूनान की
(d) फ्रांस की
उत्तर-
(b) तुर्की की

प्रश्न 3.
गैरीबाल्डी पेशे से क्या था?
(a) सिपाही
(b) किसान
(c) जमींदार
(d) नाविक
उत्तर-
(d) नाविक

प्रश्न 4.
‘काउंट काबूर’ को विक्टर इमैनुएल ने किस पद पर नियुक्त किया?
(a) सेनापति
(b) फ्रांस में राजदूत
(c) प्रधानमंत्री
(d) गृहमंत्री
उत्तर-
(c) प्रधानमंत्री

प्रश्न 5.
‘रक्त एवं लौह’ की नीति का अवलम्बन किसने किया था ?
(a) मेजिनी
(b) हिटलर
(c) बिस्मार्क
(d) विलियम-I
उत्तर-
(c) बिस्मार्क

प्रश्न 6.
वियना काँग्रेस के द्वारा फ्रांस में किस शासक वंश की पुनस्थापना की गई थी?
(a) हैप्सबर्ग
(b) आलियां
(c) बूबों
(d) जारहशाही
उत्तर-
(c) बूबों

प्रश्न 7.
जर्मन राईन राज्य का निर्माण किसने किया था ?
(a) लुई 18वाँ
(b) नेपोलियन बोनापार्ट
(c) नेपोलियन III
(d) बिस्मार्क
उत्तर-
(b) नेपोलियन बोनापार्ट

प्रश्न 8.
मारीआन किस देश के राष्ट्रवाद की प्रतीक थी?
(a) फ्रांस
(b) रूस
(c) इटली
(d) जर्मनी
उत्तर-
(a) फ्रांस

प्रश्न 9.
1830 की क्रांति के बाद फ्रांस में किस प्रकार का शासन स्थापित हुआ?
(a) निरंकुश राजतंत्र
(b) संघीय शासन व्यवस्था
(c) गणराज्य
(d) संवैधानिक राजतंत्र
उत्तर-
(a) निरंकुश राजतंत्र

प्रश्न 10.
ऐक्ट ऑफ यूनियन किस वर्ष पारित हुआ ?
(a) 1688 में
(b) 1707 में
(c) 1788 में
(d) 1807 में
उत्तर-
(a) 1688 में

प्रश्न 11.
सेडाओ के युद्ध में किसकी पराजय हुई ?
(a) प्रशा की
(b) सार्डिनिया की
(c) ऑस्ट्रिया की
(d) नेपुल्स की
उत्तर-
(c) ऑस्ट्रिया की

प्रश्न 12.
किस युद्ध के बाद जर्मनी का एकीकरण पूरा हुआ ?
(a) क्रीमिया का युद्ध
(b) सेडाओ का युद्ध
(c) प्रशा-डेनमार्क युद्ध
(d) सीडान का युद्ध
उत्तर-
(d) सीडान का युद्ध

प्रश्न 13.
नेपोलियन ने जर्मनी में किस संघ की स्थापना की?
(a) ट्रांसपेडेन संघ
(b) सिसेल्पाइन संघ
(c) राइन संघ
(d) इनमें किसी की नहीं
उत्तर-
(c) राइन संघ

प्रश्न 14.
जॉल्वेराइन की स्थापना किस राज्य ने की ?
(a) प्रशा
(b) ऑस्ट्रिया
(c) सार्डिनिया
(d) फ्रांस
उत्तर-
(a) प्रशा

प्रश्न 15.
हंगरी की भाषा क्या थी?
(a) इतालवी
(b) मैग्यार
(c) पोलिश
(d) फ्रेंच
उत्तर-
(b) मैग्यार

प्रश्न 16.
जर्मन राईन राज्य का निर्माण किसने किया था?
(a) लुई 18वाँ
(b) नेपोलियन बोनापार्ट
(c) नेपोलियन-III
(d) बिस्मार्क
उत्तर-
(b) नेपोलियन बोनापार्ट

प्रश्न 17.
यूरोप में राष्ट्रवाद की पहली स्पष्ट अभिव्यक्ति कब हुई?
(a) 1789 की फ्रांसीसी क्रांति के साथ
(b) 1830 की फ्रांसीसी क्रांति के साथ
(c) 1848 की फ्रांसीसी क्रांति के साथ
(d) इनमें कोई नहीं
उत्तर-
(a) 1789 की फ्रांसीसी क्रांति के साथ

प्रश्न 18.
“यूरोप का मरीज” किसे कहा जाता है?
(a) प्रशा को
(b) आस्ट्रिया को
(c) तुर्की को
(d) ब्रिटेन को
उत्तर-
(c) तुर्की को

प्रश्न 19.
मेटरनिक का पतन किस वर्ष हुआ?
(a) मार्च, 1848 ई. में
(b) अप्रैल, 1848 ई. में
(c) मई, 1848 ई. में
(d) जून, 1848 ई. में
उत्तर-
(c) मई, 1848 ई. में

प्रश्न 20.
फ्रांस में किस शासक वंश की पुनर्स्थापना वियना-काँग्रेस द्वारा की गई थी?
(a) ऑर्लिया वंश
(b) बूबोवंश
(c) हैब्सबर्ग
(d) जारशाही
उत्तर-
(b) बूबोवंश

प्रश्न 21.
इटली एवं जर्मनी के एकीकरण के विरुद्ध निम्नलिखित में से
कौन-सा देश था?
(a) प्रशा
(c) ऑस्ट्रिया
(d) इंगलैंड
उत्तर-
(c) ऑस्ट्रिया

प्रश्न 22.
मेजिनी का संबंध किस संगठन से था?
(a) लाल सेना
(b) चेका
(c) लाल कुर्ती
(d) कार्बोनारी
उत्तर-
(d) कार्बोनारी

प्रश्न 23.
जालवेरिन एक संस्था थी ।
(a) व्यापारियों की
(b) क्रांतिकारियों की
(c) बुद्धिजीवियों की
(d) सामंतों की
उत्तर-
(a) व्यापारियों की

प्रश्न 24.
1829 की एड्रियानोपुल की संधि किस देश के साथ हुई?
(a) हंगरी
(b) तुर्की
(c) यूनान
(d) पोलैंड
उत्तर-
(b) तुर्की

प्रश्न 25.
‘काउण्ट कावूर’ को विक्टर एमैनुएल ने किस पद पर नियुक्त किया था?
(a) गृहमंत्री
(b) सेनापति
(c) फ्रांस का राजदूत
(d) प्रधानमंत्री
उत्तर-
(d) प्रधानमंत्री

प्रश्न 26.
गैरीबाल्डी पेशे से क्या था?
(a) नाविक था
(b) किसान था
(c) सैनिक था
(d) दार्शनिक था
उत्तर-
(a) नाविक था

प्रश्न 27.
इटली एवं जर्मनी वर्तमान में किस महादेश के अन्तर्गत है?
(a) दक्षिणी अमेरिका
(b) यूरोप
(c) उत्तरी अमेरिका
(d) पश्चिमी एशिया
उत्तर-
(b) यूरोप

प्रश्न 28.
‘रक्त एवं लौह की नीति’ का अवलम्बन किसने किया था?
(a) हिटलर
(b) विलियम प्रथम
(c) बिस्मार्क.
(d) मेजिनी
उत्तर-
(c) बिस्मार्क.

प्रश्न 29.
यूरोपवासियों के लिए किस देश का साहित्य एवं ज्ञान प्रेरणास्रोत रहा?
(a) तुर्की
(b) इंगलैंड
(c) जर्मनी
(d) यूनान
उत्तर-
(d) यूनान

प्रश्न 30.
फ्रैंकफर्ट की संधि कब हुई?
(a) 1871
(b) 1870
(c) 1866
(d) 1864
उत्तर-
(a) 1871

प्रश्न 31.
किस युद्ध के बाद जर्मनी का एकीकरण पूरा हुआ?
(a) प्रशा-डेनमार्क युद्ध
(b) सीडान का युद्ध
(c) सेडाओ का युद्ध
(d) क्रीमिया का युद्ध
उत्तर-
(b) सीडान का युद्ध

प्रश्न 32.
‘यंग यूरोप’ की स्थापना किसने की थी?
(a) कावूर ने
(b) बिस्मार्क ने
(c) मेजिनी ने
(d) गैरीबाल्डी ने
उत्तर-
(c) मेजिनी ने

प्रश्न 33.
“यंग इटली” की स्थापना किसने की?
(a) गैरीबाल्डी ने
(b) मेजिनी ने
(c) बिस्मार्क ने
(d) काबूर ने
उत्तर-
(b) मेजिनी ने

प्रश्न 34.
सीडान का युद्ध कब हुआ था?
(a) 1867 ई. में
(b) 1868 ई. में
(c) 1870 ई. में
(d) 1871 ई. में
उत्तर-
(c) 1870 ई. में

प्रश्न 35.
सन् 1870 में फ्रांस और प्रशा के बीच युद्ध कहाँ हुआ था?
(a) सेडॉन
(b) सेडोवा
(c) साइडाइन
(d) फ्रैंकफर्ट
उत्तर-
(a) सेडॉन

प्रश्न 36.
वियाना सम्मेलन किस वर्ष हुआ?
(a) 1815
(b) 1820
(c) 1825
(d) 1830
उत्तर-
(a) 1815

प्रश्न 37.
वियाना किस देश की राजधानी है?
(a) फ्रांस
(b) इंग्लैंड
(c) आस्ट्रिया
(d) रूस
उत्तर-
(c) आस्ट्रिया

प्रश्न 38.
क्रिमिया का युद्ध किस वर्ष हुआ?
(a) 1854
(b) 1855
(c) 1856
(d) 1860
उत्तर-
(a) 1854

प्रश्न 39.
राष्ट्रवाद की अवधारणा का जन्म किस घटना से माना जाता है?
(a) पुनर्जागरण
(b) धर्मसुधार आंदोलन
(c) गौरवपूर्ण क्रांति
(d) फ्रांस की क्रांति
उत्तर-
(d) फ्रांस की क्रांति

प्रश्न 40.
नेपोलियन संहिता किस वर्ष लागू की गई?
(a) 1789 में
(b) 1791 में
(c) 1801 में
(d) 1804 में
उत्तर-
(d) 1804 में

प्रश्न 41.
वियना सम्मेलन (काँग्रेस) का अध्यक्ष कौन था?
(a) नेपोलियन बोनापार्ट
(b) लुई अठारहवाँ
(c) चार्ल्स एलबर्ट
(d) मेटरनिक
उत्तर-
(d) मेटरनिक

प्रश्न 42.
मेटरनिक व्यवस्था का उद्देश्य क्या था?
(a) गणतंत्र की स्थापना करना
(b) प्रजातंत्र की स्थापना
(c) पुरातन व्यवस्था की पुनर्स्थापना करना
(d) नेपोलियन की पुनर्स्थापना करना
उत्तर-
(c) पुरातन व्यवस्था की पुनर्स्थापना करना

प्रश्न 43.
काउंट कावूर की मृत्यु किस वर्ष हुई?
(a) 1800
(b) 1862
(c) 1864
(d) 1866
उत्तर-
(b) 1862

प्रश्न 44.
इटली और जर्मनी के एकीकरण का विरोधी कौन था?
(a) ऑस्ट्रिया
(b) फ्रांस
(c) ब्रिटेन
(d) रूस
उत्तर-
(a) ऑस्ट्रिया

प्रश्न 45.
जर्मनी का एकीकरण किस वर्ष पूर्ण हुआ?
(a) 1866
(b) 1864
(c) 1870
(d) 1871
उत्तर-
(d) 1871

प्रश्न 46.
‘लाल कुर्ती’ का गठन किसने किया था?
(a) मेजिनी ने
(b) कावूर ने
(c) गैरीबाल्डी ने
(d) बिस्मार्क ने
उत्तर-
(c) गैरीबाल्डी ने

प्रश्न 47.
जॉल्वेराइन संघ की स्थापना किस वर्ष हुआ?
(a) 1830
(b) 1832
(c) 1834
(d) 1836
उत्तर-
(c) 1834

प्रश्न 48.
गॉस्टीन की संधि किस वर्ष हुई?
(a) 1864
(b) 1865
(c) 1866
(d) 1870
उत्तर-
(b) 1865

प्रश्न 49.
‘यूरोपीय सभ्यता का पालना’ किसे कहा जाता था?
(a) इटली को
(b) फ्रांस को
(c) इंगलैंड को
(d) यूनान को
उत्तर-
(d) यूनान को

प्रश्न 50.
एड्रियानोपुल की संधि किस वर्ष हुई?
(a) 1829
(b) 1830
(c) 1831
(d) 1832
उत्तर-
(a) 1829

प्रश्न 51.
सीडान का युद्ध किनके बीच हुआ था?
(a) ऑस्ट्रिया-प्रशा
(b) प्रशा-डेनमार्क
(c) इटली-रोम
(d) फ्रांस-प्रशा
उत्तर-
(d) फ्रांस-प्रशा

प्रश्न 52.
किस वर्ष यूनान को एक स्वतंत्र राष्ट्र घोषित किया गया?
(a) 1830
(b) 1832
(c) 1834
(d) 1836
उत्तर-
(b) 1832

प्रश्न 53.
किस संधि द्वारा जर्मनी का एकीकरण पूरा हुआ?
(a) डेनमार्क की संधि
(b) गैस्टीन की संधि ग की संधि
(c) प्राग की संधि
(d) फ्रैंकफर्ट की संधि
उत्तर-
(d) फ्रैंकफर्ट की संधि

प्रश्न 54.
हंगरी की राजधानी है
(a) तुर्की
(b) बुडापेस्ट
(c) प्रशा
(d) सीडान
उत्तर-
(b) बुडापेस्ट

प्रश्न 55.
गीजो कहाँ का प्रधानमंत्री था?
(a) प्रशा
(b) तुर्की
(c) फ्रांस
(d) सीडान
उत्तर-
(c) फ्रांस

प्रश्न 56.
सेडोवा का यद्ध किनके बीच हुआ था?
(a) आस्ट्रिया, सीडान
(b) आस्ट्रिया, प्रशा
(c) सीडान, प्रशा
(d) तुर्की, मिस्र
उत्तर-
(b) आस्ट्रिया, प्रशा

प्रश्न 57.
“ओटो” को निम्न में से कहाँ का राजा घोषित किया गया?
(a) रूस
(b) यूनान
(c) फ्रांस
(d) जर्मनी
उत्तर-
(b) यूनान

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Additional Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Additional Questions

Bihar Board Class 10 Maths निर्देशांक ज्यामिति Additional Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
यदि बिन्दुओं (2, -2) और (-1, x) के बीच की दूरी 5 है, तो x का एक मान है
(i) -2
(ii) 2
(iii) -1
(iv) 1
हल
(ii) 2

प्रश्न 2.
बिन्दुओं A(-2, 8) और B(-6, -4) को मिलाने वाले रेखाखण्ड का मध्य-बिन्दु है
(i) (-4, -6)
(ii) (2, 6)
(iii) (-4, 2)
(iv) (4, 2)
हल
(iii) (-4, 2)

प्रश्न 3.
बिन्दु A(9, 0), B(9, 6), C(-9, 6) और (-9, 0) निम्नलिखित के शीर्ष हैं
(i) वर्ग
(ii) आयत
(iii) समचतुर्भुज
(iv) समलंब
हल
(ii) आयत

प्रश्न 4.
बिन्दु P(2, 3) की x-अक्ष से दूरी है
(i) 2
(ii) 3
(iii) 1
(iv) 5
हल
(ii) 3

प्रश्न 5.
बिन्दुओं A(0, 6) और B(0, -2) के बीच की दूरी है
(i) 6
(ii) 8
(iii) 4
(iv) 2
हल
(ii) 8

प्रश्न 6.
बिन्दु P(-6, 8) की मूलबिन्दु से दूरी है
(i) 8
(ii) 2√7
(iii) 10
(iv) 6
हल
(iii) 10

प्रश्न 7.
बिन्दुओं (0, 5) और (-5, 0) के बीच की दूरी है
(i) 5
(ii) 5√2
(iii) 2√5
(iv) 10
हल
(ii) 5√2

प्रश्न 8.
AOBC एक आयत है, जिसके तीन शीर्ष A(0, 3), O(0, 0) और B(5, 0) हैं। इसका विकर्ण है
(i) 5
(ii) 3
(iii) √34
(iv) 4
हल
(iii) √34

प्रश्न 9.
शीर्षों (0, 4), (0, 0) और (3, 0) वाले त्रिभुज का परिमाप है
(i) 5
(ii) 12
(iii) 11
(iv) 7 + √5
हल
(ii) 12

प्रश्न 10.
शीर्षों A(3, 0), B(7, 0) और C(8, 4) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल है
(i) 14
(ii) 28
(iii) 8
(iv) 6
हल
(iii) 8

प्रश्न 11.
बिन्दु (-4, 0), (4, 0) और (0, 3) निम्नलिखित के शीर्ष हैं
(i) समकोण त्रिभुज
(ii) समद्विबाहु त्रिभुज
(iii) समबाहु त्रिभुज
(iv) विषमबाहु त्रिभुज
हल
(ii) समद्विबाहु त्रिभुज

प्रश्न 12.
बिन्दुओं (7, -6) और (3, 4) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को आन्तरिक रूप से 1 : 2 के अनुपात में विभाजित करने वाला बिन्दु निम्नलिखित में स्थित होता है
(i) चतुर्थांश I
(ii) चतुर्थांश II
(iii) चतुर्थांश III
(iv) चतुर्थांश IV
हल
(iv) चतुर्थांश IV

प्रश्न 13.
बिन्दुओं A(-2, -5) और B(2, 5) को मिलाने वाले रेखाखण्ड के लंब समद्विभाजक पर स्थित एक बिन्दु है
(i) (0, 0)
(ii) (0, 2)
(iii) (2, 0)
(iv) (-2, 0)
हल
(i) (0, 0)

प्रश्न 14.
तीन शीर्षों A(-2, 3), B(6, 7) और C(8, 3) वाले समान्तर चतुर्भुज ABCD का चौथा शीर्ष D है
(i) (0, 1)
(ii) (0, -1)
(iii) (-1, 0)
(iv) (1, 0)
हल
(ii) (0, -1)

प्रश्न 15.
यदि बिन्दु P(2, 1), बिन्दुओं A(4, 2) और B(8, 4) मिलाने वाले रेखाखण्ड पर स्थित है, तो
(i) AP = \(\frac{1}{3}\) AB
(ii) AP = PB
(iii) PB = \(\frac{1}{3}\) AB
(iv) AP = \(\frac{1}{2}\) AB
हल
(iv) AP = \(\frac{1}{2}\) AB

प्रश्न 16.
यदि बिन्दुओं Q(-6, 5) और R(-2, 3) को मिलाने वाले रेखाखण्ड का मध्य-बिन्दु P(\(\frac{a}{3}\), 4) है, तो a का मान है
(i) -4
(ii) -12
(iii) 12
(iv) -6
हल
(ii) -12

प्रश्न 17.
बिन्दुओं A(1, 5) और B(4, 6) को मिलाने वाले रेखाखण्ड का लम्ब समद्विभाजक y-अक्ष को निम्नलिखित बिन्द पर काटता है
(i) (0, 13)
(ii) (0, -13)
(iii) (0, 12)
(iv) (13, 0)
हल
(i) (0, 13)

प्रश्न 18.
आकृति में दर्शाए गए त्रिभुज AOB के तीनों शीर्षों से समदूरस्थ बिन्दु के निर्देशांक हैं

(i) (x, y)
(ii) (y, x)
(iii) \(\frac{x}{2}, \frac{y}{2}\)
(iv) \(\frac{y}{2}, \frac{x}{2}\)
हल
(i) (x, 3)

प्रश्न 19.
मूलबिन्दु को केन्द्र मान कर खींचा गया एक वृत्त, बिन्दु (\(\frac{13}{2}\), 0) से होकर जाता है, तब, वृत्त के अभ्यंतर में निम्नलिखित बिन्दु स्थित नहीं
(i) \(\frac{-3}{4}\), 1
(ii) 2, \(\frac{7}{3}\)
(iii) 5, \(\frac{-1}{2}\)
(iv) (-6, \(\frac{5}{2}\))
हल
(iv) (-6, \(\frac{5}{2}\))

प्रश्न 20.
एक रेखा y-अक्ष और x-अक्ष को क्रमशः बिन्दुओं P और Q पर प्रतिच्छेद करती है। यदि, (2, -5) रेखाखण्ड PQ का मध्य-बिन्दु है, तो P और Q के निर्देशांक क्रमशः हैं
(i) (0, -5) और (2, 0)
(ii) (0, 10) और (-4, 0)
(iii) (0, 4) और (10, 0)
(iv) (0, -10) और (4, 0)
हल
(iv) (0, -10) और (4, 0)

प्रश्न 21.
शीर्षों (a, b + c), (b, c + a) और (c, a + b) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल है,
(i) (a + b + c)²
(ii) 0
(iii) a + b + c
(iv) abc
हल
(ii) 0

प्रश्न 22.
यदि बिन्दुओं (4, p) और (1, 0) के बीच की दूरी 5 है, तो p का मान है
(i) केवल 4
(ii) ±4
(iii) केवल -4
(iv) 0
हल
(ii) ±4

प्रश्न 23.
यदि बिन्दु A(1, 2), O(0, 0) और C(a, b) संरेख हैं, तो
(i) a = b
(ii) a = 2b
(iii) 2a = b
(iv) a = -b
हल
(iii) 2a = b

अतिलघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
बिन्दुओं (-3, -4) तथा (-8, 7) को मिलाने वाले रेखाखण्ड के मध्य-बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल
बिन्दुओं (-3, -4) तथा (-8, 7) को मिलाने वाले रेखाखण्ड का मध्य-बिन्दु

प्रश्न 2.
यदि A(2, 4), B(6, 4), C(3, 7) त्रिभुज के शीर्ष हो, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल
दिया है, ∆ABC के शीर्ष A = (2, 4), B = (6, 4) तथा C = (3, 7)
यहाँ, x₁ = 2, y₁ = 4, x₂ = 6, y₂ = 4, x₃ = 3, y₃ = 7
∴ ∆ABC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) [{x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₁} – {y₁x₂ + y₂x₃ + y₃x₁}]
= \(\frac{1}{2}\) [(2 × 4 + 6 × 7 + 3 × 4) – (4 × 6 + 4 × 3 +7 × 2)]
= \(\frac{1}{2}\) [(8 + 42 + 12) – (24 + 12 + 14)]
= \(\frac{1}{2}\) (62 – 50)
= \(\frac{1}{2}\) × 12
= 6 वर्ग मात्रक

प्रश्न 3.
x का मान ज्ञात कीजिए, यदि बिन्दु (x, 3) तथा (4, 5) के बीच की दूरी √5 मात्रक है।
हल
बिन्दु (x, 3) तथा (4, 5) के बीच की दूरी = √5
\(\sqrt{(4-x)^{2}+(5-3)^{2}}=\sqrt{5}\)
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
(4 – x)² + (2)² = 5
⇒ (4 – x)² = 5 – 4 = 1
⇒ 4 – x = ±1
जब 4 – x = 1 तो x = 4 – 1 = 3
जब 4 – x = -1 तो x = 4 + 1 = 5
अत: x = 3 या 5

प्रश्न 4.
p के किस मान हेतु बिन्दु (2, 1) तथा (p, -1) के बीच की दूरी 2 मात्रक है?
हल
दिए गए बिन्दुओं के बीच की दूरी = \(\sqrt{\left[\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}\right]}\)
= \(\sqrt{\left[(p-2)^{2}+(-1-1)^{2}\right]}\)
प्रश्नानुसार, दिए गए बिन्दुओं के बीच की दूरी = 2
\(\sqrt{(p-2)^{2}+(-1-1)^{2}}=2\)
दोनों ओर का वर्ग करने पर,
⇒ (p – 2)² + 2² = 2²
⇒ (p – 2)² = 0
⇒ p = 2

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
x-अक्ष पर वह बिन्दु ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं (1, 3) और (-3, 5) से समदूरस्थ है।
हल
माना x-अक्ष पर बिन्दु (h, 0) है।
चूँकि बिन्दु (h, 0) बिन्दुओं (1, 3) और (-3, 5) से समदूरस्थ है।
(h, 0) की बिन्दु (1, 3) से दूरी = (h, 0) से बिन्दु (-3, 5) से दूरी
\(\sqrt{(h-1)^{2}+(0-3)^{2}}=\sqrt{\{h-(-3)\}^{2}+(0-5)^{2}}\)
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
h² + 1 – 2h + 9 = h² + 9 + 6h + 25
⇒ -2h – 6h = 25 – 1
⇒ -8h = 24
⇒ h = \(-\frac{24}{8}\) = -3
अभीष्ट बिन्दु = (-3, 0)

प्रश्न 2.
उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं (1, -2) और (-3, 4) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को 2 : 3 में अन्तःविभाजित करता है।
हल
रेखाखण्ड के सिरों के निर्देशांक (1, -2) व (-3, 4)
यहाँ x₁ = 1, y₁ = -2, x₂ = -3, y₂ = 4, m₁ : m₂ = 2 : 3
माना अन्त:विभाजक बिन्दु के निर्देशांक (x, y) हैं।

प्रश्न 3.
उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (3, 4), (2, -1) और (4, -6) हैं।
हल
त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक (3, 4), (2, -1) व (4, -6)
यहाँ x₁ = 3, y₁ = 4, x₂ = 2, y₂ = -1, x₃ = 4, y₃ = -6
उक्त शीर्षों से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\) [x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\) [3{-1 – (-6)} + 2(-6 – 4) + 4{4 – (-1)}]
= \(\frac{1}{2}\) [3{-1 + 6 } + 2 × (-10) + 4{4 + 1}]
= \(\frac{1}{2}\) [3 × {5} + 2 × (-10) + 4 × {5}]
= \(\frac{1}{2}\) [15 – 20 + 20]
= \(\frac{1}{2}\) [5]
= \(\frac{15}{2}\)
= 7.5 वर्ग मात्रक
अतः दिए गए शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल = 7.5 वर्ग मात्रक

प्रश्न 4.
वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें बिन्दुओं A(6, 4) और B(1, -7) को मिलाने वाला रेखाखण्ड x-अक्ष से अन्तः विभाजित होता है। इस विभाजन बिन्दु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।
हल
माना बिन्दुओं A(6, 4) और B (1, -7) को मिलाने वाला रेखाखण्ड X-अक्ष से बिन्दु (h, 0) पर m₁ : m₂ के अनुपात में अन्तः विभाजित होता है।
यहाँ x₁ = 6, y₁ = 4, x₂ = 1, y₂ = -7

प्रश्न 5.
k का मान ज्ञात कीजिए, यदि बिन्दु A (k, -1), B(6, 7) और C(8, 11) संरेखी है।
हल
दिए गए बिन्दु A = (k, -1), B = (5, 7) और C = (8, 11)
यहाँ x₁ = k, y₁ = -1, x₂ = 5, y₂ = 7, x₃ = 8, y₃ = 11
त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) [{x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₁} – {y₁x₂ + y₂x₃ + y₃x₁}]
= \(\frac{1}{2}\) [{k × 7 + 5 × 11 + 8 × -1} – {(-1) × 5 + 7 × 8 + 11 × k}]
= \(\frac{1}{2}\) [7k + 55 – 8 – (-5 + 56 + 11k)]
= \(\frac{1}{2}\) [7k + 47 – 51 – 116]
= \(\frac{1}{2}\) [-4k – 4]
यदि बिन्दु A, B तथा C संरेखी हैं तो उनसे बने ∆ का क्षेत्रफल शून्य होगा।
\(\frac{1}{2}\) (-4k – 4) = 0
⇒ -4k – 4 = 0
⇒ k = \(\frac{-4}{4}\) = -1

प्रश्न 6.
यदि बिन्दु A(6, 1), B(8, 2), C(9, 4) और (P, 3) एक समान्तर चतुर्भुज के क्रमश: शीर्ष हों तो P का मान ज्ञात कीजिए।
हल
दिए हुए बिन्दु A = (6, 1), B = (8, 2), C = (9, 4) और D = (P, 3)
उक्त बिन्दुओं को क्रमशः मिलाने पर यदि एक समान्तर चतुर्भुज ABCD बनता है तो AC और BD उस समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण होंगे।
किसी समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं।
AC का समद्विभाजक BD होगा और BD का समद्विभाजक AC होगा, अर्थात् AC का मध्य-बिन्दु वही होगा जो BD का मध्य-बिन्दु है।

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए कि बिन्दु (a, 0), (0, b) और (1,1) समरेखीय हैं, यदि \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1\)
हल
दिए गए बिन्दुओं (a, 0), (0, b) और (1, 1) से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\) [{a × b + 0 × 1 + 1 × 0} – {0 × 0 + b × 1 + 1 × a}]
= \(\frac{1}{2}\) (ab – b – a)
बिन्दु समरेखीय हैं तो इससे बने Δ का क्षेत्रफल शून्य होगा।
⇒ \(\frac{1}{2}\) (ab – a – b) = 0
⇒ ab – a – b = 0
⇒ a + b = ab
ab से दोनों पक्षों को भाग करने पर,
⇒ \(\frac{a}{a b}+\frac{b}{a b}=\frac{a b}{a b}\)
⇒ \(\frac{1}{b}+\frac{1}{a}=1\)
इति सिद्धम्

प्रश्न 8.
यदि बिन्दु (4, 3) एवं (5, 7) के बीच की दूरी √17 इकाई हो तो y का मान ज्ञात कीजिए।
हल
दिया है, बिन्दु (4, 3) एवं (5, 5) के बीच की दूरी = √17
\(\sqrt{(5-4)^{2}+(y-3)^{2}}=\sqrt{17}\)
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
(1)² + (y – 3)² = 17
⇒ (y – 3)² = 17 – 1 = 16
⇒ y – 3 = ±4
⇒ y – 3 = 4
⇒ y = 7
तथा y – 3 = -4
⇒ y = -4 + 3 = -1
∴ y = 7, -1

प्रश्न 9.
P के किस मान के लिए बिन्दु (2, 1), (P, 1) तथा (2P + 1, 2) संरेख होंगे?
हल
माना A = (2, 1), B = (P, 1), C = (2P + 1, 2)
बिन्दुओं A, B,C से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) [(x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₁) – (y₁x₂ + y₂x₃ + y₃x₁)]
यहाँ, x₁ = 2, y₁ = 1, x₂ = P, y₂ = 1, x₃ = 2P + 1, y₃ = 2
क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) [2 × 1 + P × 2 + (2P + 1) × 1 – 1 × P + 1 × (2P + 1) + 2 × 2]
= \(\frac{1}{2}\) [2 + 2P + 2P + 1 – P – 2P – 1 – 4]
= \(\frac{1}{2}\)[4P – 3P + 3 – 1 – 4]
= \(\frac{1}{2}\) [P – 2]
∵ बिन्दु संरेख हैं
∴ क्षेत्रफल = 0
\(\frac{1}{2}\) (P – 2) = 0
या P – 2 = 2 × 0 = 0
या P = 2

प्रश्न 10.
यदि बिन्दु (x, y), (1, 2) तथा (7, 0) संरेखी हैं तो सिद्ध कीजिए x + 3y = 7.
हल
दिए गए बिन्दु (x, y), (1, 2), (7, 0)
यहाँ x₁ = x, x₂ = 1, x₃ = 7, y₁ = y, y₂ = 2, y₃ = 0
अत: इन बिन्दुओं से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल
∆ = \(\frac{1}{2}\) [(x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₁) – (y₁x₂ + y₂x₃ + y₃x₁)]
= \(\frac{1}{2}\) [(x × 2 + 1 × 0 + 7 × y) – (y × 1 + 2 × 7 + 0 × x)]
= \(\frac{1}{2}\) [(2x + 7y) – (y + 14)]
= \(\frac{1}{2}\) [2x + 7y – y – 14]
= x + 3y – 7
यदि उक्त बिन्दु संरेखी हैं तो त्रिभुज का क्षेत्रफल ∆ = 0
x + 3y – 7 = 0
⇒ x + 3y = 7
इति सिद्धम्

प्रश्न 11.
बिन्दुओं P(2, 3), Q(4, 0) और R (6, -3) से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। शून्य वर्ग मात्रक क्षेत्रफल वाले त्रिभुज का क्या आशय है?
हल
त्रिभुज के शीर्ष : P = (2, 3), Q = (4, 0) और R = (6, -3)
यहाँ x₁ = 2, x₂ = 4, x₃ = 6, y₁ = 3, y₂ = 0, y₃ = -3
त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) [(x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₁) – (y₁x₂ + y₂x₃ + y₃x₁)]
= \(\frac{1}{2}\) [(2 × 0 + 4 × (-3) + 6 × (3)) – (3 × 4 + 0 × 6 + (-3) × 2)]
= \(\frac{1}{2}\) [(0 – 12 + 18) – (12 + 0 – 6)]
= \(\frac{1}{2}\) [6 – 6]
= 0
अतः त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य वर्ग मात्रक है। इसका आशय है कि तीनों बिन्दु संरेख हैं।

प्रश्न 12.
बिन्दुओं P(-1.5, 3),Q(6, -2) और R(-3, 4) से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। उत्तर की विवेचना भी कीजिए।
हल
त्रिभुज के शीर्ष हैं :
P(-1.5, 3), Q(6, -2) और R(-3, 4)
यहाँ x₁ = -1.5, x₂ = 6, x₃ = -3, y₁ = 3, y₂ = -2, y₃ = 4
त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) [(x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₁) – (y₁x₂ + y₂x₃ + y₃x₁)]
= \(\frac{1}{2}\) [{(-1.5) × (-2) + 6 × 4 + (-3) × 3} – {3 × 6 + (-2) × (-3) + 4 × (-1.5)}]
= \(\frac{1}{2}\) [(3 + 24 – 9) – (18 + 6 – 6)]
= \(\frac{1}{2}\) (18 – 18)
= 0
अत: त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य वर्ग मात्रक है। इसका आशय है कि तीनों बिन्दु संरेख हैं।

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
दिखाइए कि बिन्दु (12, 8), (-2, 6) और (6, 0) एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।
हल
दिए गए बिन्दु (12, 8), (-2, 6) और (6, 0)
माना A = (12, 8), B = (-2, 6) और C = (6, 0)
यहाँ x₁ = 12, y₁ = 8, x₂ = -2, y₂ = 6, x₃ = 6, y₃ = 0

स्पष्ट है कि भुजा AB सबसे बड़ी भुजा है।
तब, AB = √200 और BC = √100 व CA = √100
⇒ AB² = 200 और BC² = 100 व CA² = 100
⇒ AB² = BC² + CA²
∴ A, B, C एक ऐसे समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं जिसमें कर्ण AB तथा ∠C समकोण है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 2.
दिए गए ग्राफ से ∆ABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल
दिए गए ग्राफ से ∆ABC के शीर्ष क्रमश:
A = (x₁, y₁) = (3, 4), B = (x₂, y₂) = (-4, 0) तथा C = (x₃, y₃) = (7, 0) हैं।
यहाँ x₁ = 3, y₁ = 4, x₂ = -4, y₂ = 0, x₃ = 7, y₃ = 0
∆ABC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) [x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\) [3(0 – 0) + (-4) (0 – 4) + 7(4 – 0)]
= \(\frac{1}{2}\) [0 + 16 + 28]
= \(\frac{1}{2}\) × 44
= 22 वर्ग मात्रक

प्रश्न 3.
यदि A और B क्रमशः (-2, -2) और (2, -4) हों तो बिन्दु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, ताकि 4AP = 3PB हो और P रेखाखण्ड AB पर स्थित हो।
हल
प्रश्नानुसार, A = (x₁, y₁) = (-2, -2) तथा B = (x₂, y₂) = (2, -4)
यहाँ x₁ = -2, x₂ = 2, y₁ = -2, y₂ = -4
प्रश्नानुसार, बिन्दु P, रेखाखण्ड AB पर इस प्रकार स्थित है कि
4AP = 3PB
⇒ \(\frac{A P}{P B}=\frac{3}{4}\)
⇒ AP : PB = 3 : 4
अर्थात् बिन्दु P, AB को 3 : 4 में अन्त:विभाजित करता है।
m₁ = 3 तथा m₂ = 4
यदि P के निर्देशांक (x, y) हैं तो अन्त:विभाजन के सूत्र से,

प्रश्न 4.
बिन्दुओं (-6, 10) और (3, -8) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को बिन्दु (-4, 6) किस अनुपात में विभाजित करता है।
हल
माना बिन्दुओं (-6, 10) और (3, -8) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को बिन्दु (-4, 6) m₁ : m₂ में विभाजित करता है, तब

दोनों ही निर्देशाक्षों से, m₁ : m₂ = 2 : 7
अतः अभीष्ट अनुपात = 2 : 7

प्रश्न 5.
दर्शाइए कि बिन्दु (3, 2), (-2, -3) और (2, 3) एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष है।
हल
दिए गए बिन्दु (3, 2), (-2, -3) और (2, 3) हैं।
माना A = (3, 2), B = (-2, -3) और C = (2, 3)
यहाँ x₁ = 3, y₁ = 2, x₂ = -2, y₂ = -3, x₃ = 2, y₃ = 3

स्पष्ट है कि भुजा BC सबसे बड़ी भुजा है।
तब, BC = √52 और AB = √50 व CA = √2
⇒ BC² = 52 और AB² = 50 व CA² = 2
⇒ BC² = AB² + CA²
A, B, C एक ऐसे समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं जिसमें कर्ण BC तथा CA समकोण है।
इति सिद्धम्