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Bihar Board Class 9 Maths Solutions Chapter 15 प्रायिकता Ex 15.1 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 9 Maths Solutions Chapter 15 प्रायिकता Ex 15.1

प्रश्न 1.
एक क्रिकेट मैच में, एक महिला बल्लेबाज खेली गई 30 गेंदों में 6 बार चौका मारती है। चौका न मारे जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
खेली गई गेदों की संख्या, n(S) = 30
वह गेंद जिन पर महिला ने चौके नहीं मारे
n(E) = 30 – 6 = 24
अतः प्रायिकता p(E) = \(\frac{n(E)}{n(S)}\)
= \(\frac{24}{30}\) = \(\frac{4}{5}\)

प्रश्न 2.
2 बच्चों वाले 1500 परिवारों का यदृच्छया चयन किया गया है और निम्नलिखित आंकड़े लिख लिए गए हैं:

यदृच्छया चुने गए उस परिवार की प्रायिकता ज्ञान कीजिए, जिसमें
(i) दो लड़कियाँ हों (ii) एक लड़की हो (iii) कोई लड़की न हो। साथ ही यह भी जाँच कीजिए कि इन प्रायिकताओं का योग 1 है या नहीं।
उत्तर:
परिवारों की कुल संख्या n(S) = 1500,
(i) दो लड़कियाँ रखने वाले परिवारों की संख्या
n(E₁) = 475
∴ एक परिवार में दो लड़कियां होने की प्रायिकता
p(E₁) = \(\frac{n(E_1)}{n(S)}\)
= \(\frac{475}{1500}\) = \(\frac{19}{60}\)

(ii) एक लड़की रखने वाले परिवारों की संख्या
n(E₂) = 814
एक परिवार में एक लड़की के होने की प्रायिकता
n(E₂) = \(\frac{n(E_2)}{n(S)}\)
= \(\frac{814}{1500}\) = \(\frac{407}{750}\)

(iii) कोई भी लड़की न रखने वाले परिवारों की संख्या
n(E₃) = 211
बिना लड़की वाले परिवारों को प्रायिकता
\(\frac{n(E_3)}{n(S)}\) = \(\frac{n(E_3)}{n(S)}\) = \(\frac{211}{1500}\)
∴ कुल प्रायिकता = तीनों प्रायिकताओं का योग
= \(\frac{19}{60}\) + \(\frac{407}{750}\) + \(\frac{211}{1500}\) = \(\frac{1500}{1500}\) = 1

प्रश्न 3.
अध्याय 14 के अनुच्छेद 14.4 का बाहरण 5 सौजिए। कक्षा के किसी एक विद्यार्थी का जन्म अगस्त में होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
कुल विद्यार्थियों की संख्या n(S) = 40
अगस्त में जन्म लेने वाले विद्यार्थीयों की कुल संख्या
n(E) = 6
∴ अभीष्ट प्राषिकता, p (E) = \(\frac{n(E)}{n(S)}\) = \(\frac{6}{40}\) = \(\frac{2}{30}\)

प्रश्न 4.
तीन सिक्कों को एक साथ 200 बार उछाला जाता है तथा इनमें विभिन परिणामों की वारंवारताएं ये हैं :

यदि तीनों सिक्कों को पन: एक साथ जठाला जाए तो दो चित के आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
तीन सिक्कों को एक साथ उडालने की कुल संख्या n(S) = 200
दो चित आने की प्रायिकता n(E) = 72
∴ अभीष्ट प्रायिकता p(E) = \(\frac{n(E)}{n(S)}\) = \(\frac{72}{200}\) = \(\frac{9}{25}\).

प्रश्न 5.
एक कंपनी ने यदृच्छया 2400 परिवार चुनकर एक घर की आय सार और वाहनों की संख्या के बीच संबंध स्थापित करने के लिए उनका सर्वेक्षण किया। एकषित किए गए आंकड़े नीचे सारणी में दिए गए हैं।

मान लीजिए एक परिवार चुना गया है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि चुने गए परिवार
(i) की आय Rs 10000-13000 प्रति माह है और उसके पास केवल दो वाहन है।
(ii) की आय प्रति माह Rs 16000 या इससे अधिक है और उसके पास केवल 1 वाहन है।
(iii) की आव Rs 7000 प्रति माह से कम है और उसके पास कोई वाहन नहीं है।
(iv) की आयर 13010-16000 प्रति माह के अन्तराल में है और उसके पास 2 से अधिक वाहन हैं।
(v) जिसके पास 1 से अधिक वाहन नहीं है।
उत्तर:
कम्पनी द्वारा चुने गये कुल परिवारों की संख्या,
n(S) = 2400
(i) दो बाहन रखने वाले परिवारों की संख्या
n(E₁) = 29
∴ अभीष्ट प्रायिकता p(E₁) = \(\frac{n(E_1)}{n(S)}\) = \(\frac{29}{2400}\)

(ii) एक वाहन रखने वाले परिवारों की संख्या
n(E₂) = 579
∴ अभीष्ट प्रायिकता p(E₂) = \(\frac{n(E_2)}{n(S)}\) = \(\frac{579}{2400}\)

(iii) वाहन नहीं रखने वाले परिवारों की संख्या
n(E₃) = 10
∴ अभीष्ट प्रायिकता p(E₃) = \(\frac{n(E_3)}{n(S)}\) = \(\frac{10}{2400}\) = \(\frac{1}{240}\)

(iv) दो से अधिक साइन रखने वाले परिवारों की संख्या
n(E₄) = 25
∴ अभीष्ट प्रायिकता p(E₄) = \(\frac{n(E_4)}{n(S)}\) = \(\frac{25}{2400}\) = \(\frac{1}{96}\)

(v) वह परिवार जिसके पास 1 से अधिक वाहन नहीं है n(E₅) = जान नहीं रखने वाले परिवार + एक वाहन वाले परिवार
= (10 + 0 + 1 + 2 + 1) + (160 + 305 + 535 + 469 + 579) = 2062
अतः अभीष्ट प्रायिकता p(E₅) = \(\frac{n(E_5)}{n(S)}\) = \(\frac{2062}{2400}\) = \(\frac{1031}{1200}\)

प्रश्न 6.
अध्याय 14 की सारणी 14.7 लीजिए।
(i) गणित की परीक्षा में एक विद्यार्थी द्वारा 20% कम अंक प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
(ii) एक विद्यार्थी द्वारा 60 या इससे अधिक अंक प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
कुल विद्यार्थियों की संख्या n(S) = 90
(i) 20 अंक से कम अंक प्राप्त करने वाले विद्यार्थी
n(E₁) = 7
∴ अभीष्ट प्रायिकता p(E₁) = \(\frac{n(E_1)}{n(S)}\) = \(\frac{7}{90}\)

(ii) 60 या इससे अधिक अंक प्राप्त करने वाले विद्यार्थी
n(E₂) = 15 + 8 = 23
∴ अभीष्ट प्राविकता p(E₂) = \(\frac{n(E_2)}{n(S)}\) = \(\frac{23}{90}\)

प्रश्न 7.
सांख्यिकी के बारे में विद्यार्थियों का मत जानने के लिए 200 विद्यार्थियों का सर्वेक्षण किया गया। प्राप्त आंकड़ों को नीचे दी गई सारणी में लिख लिया गया है।

प्राधिकता ज्ञात कीजिए कि बच्छया चुना गया विद्यार्थी
(i) सांख्यिकी पसंद करता है.
(ii) सांख्यिकी पसंद नहीं करता है।
उत्तर:
विद्यार्थियों की कुल संख्या, n(S) = 200
(i) सोख्यिकी पसन्द करने वाले विद्यार्थियों की संख्या
n(E₁) = 135
∴ अभीष्ट प्रायिकता p(E₁) = \(\frac{n(E_1)}{n(S)}\) = \(\frac{135}{200}\) = \(\frac{27}{40}\)

(ii) सांख्यिकी न पसन्द करने माले विद्यार्थियों की संख्या
n(E₂) = 65
∴ अभीष्ट प्रायिकता p(E₂) = \(\frac{n(E_2)}{n(S)}\) = \(\frac{65}{200}\) = \(\frac{13}{40}\)

प्रश्न 8.
प्रश्नावली 14.2 का प्रश्न 2 देखिए। इसको अनुभाविक प्रायिकता क्या होगी कि इंजीनियर
(i) अपने कार्यशाला से 7 km से कम दूरी पर रहती है ?
(i) अपने कार्यस्थल से 7 km या इससे अधिक दूरी पर रहते है?
(iii) अपने कार्यस्थल से \(\frac{1}{2}\) km या इससे कम दूरी पर रहते है?
उत्तर:
इंजीनियरों की कुल संख्या n(S) = 40
(i) 7 किमी से दूर रहने वाले इंजीनियरों की संख्या
n(E₁) = 9
∴ अभीष्ट प्रायिकता p(E₁) = \(\frac{n(E_1)}{n(S)}\) = \(\frac{9}{40}\)

(ii) 7 किमी या उससे अधिक दूरी पर रहने वाले इंजीनियरों की संख्या
n(E₂) = 9
∴ अभीष्ट प्रायिकता p(E₂) = \(\frac{n(E_2)}{n(S)}\) = \(\frac{13}{40}\)

(ii) किमो या इससे कम दूरी पर रहने वाले इंजीनियरों की संख्या
n(E₃) = 9
∴ अभीष्ट प्रायिकता p(E₃) = \(\frac{n(E_3)}{n(S)}\) = \(\frac{0}{40}\) = 0

प्रश्न 9.
क्रियाकलाप : अपने विद्यालय के गेट के सामने से एक समय-अंतराल में गुजरने वाले दो पहिया, तीन पहिया और चार पहिया वाहनों की बारंबारता लिख लीजिए। आष द्वारा देखे गए वाहनों में से किसी एक वाहन का दो पहिया वाइन होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
स्वयं आँकड़े एकत्रित करें तथा अभीष्ट प्रायिकता प्राप्त करें।

प्रश्न 10.
क्रियाकलाप : आप अपनी कक्षा के विद्यार्थियों से एक 3 अंक वाली संख्या लिखने को काहिए। आप कक्षा से एक विद्यार्थी को यदृच्छया चुन लीजिए। इस बात की प्रायिकता क्या होगी कि उसके द्वारा लिखी गई संख्या 3 से भाज्य है? याद रखिए कि कोई संख्या 3 से भाज्य होती है, यदि उसके अंकों का योग 4 से भाज्य हो।
उत्तर:
समस्या : स्वयं ओंकड़े एकत्रित करें तथा अभीष्ट प्राषिकता ज्ञात करें।

प्रश्न 11.
आटे की जन ग्यारह थैलियों में, जिन पर 5 kg अंकित है, वास्तव में आटे के निम्नलिखित भार (kg में) हैं:

बच्च्या चुनी गई एक प्रैली में 5 kg से अधिक आटा होने की प्रायिकता क्या होगी?
उत्तर:
पैलियों की कुल संख्या n(S) = 11
5 kg से अधिक वजन वाली थैलियाँ n(E) = 7
∴ अभीष्ट प्राविकता = p(E) = \(\frac{n(E)}{n(S)}\) = \(\frac{7}{11}\)

प्रश्न 12.
प्रश्नावली 14.2 के प्रश्न 5 में आपसे 30 दिनों तक एक नगर की प्रति वायु में सल्फर डाइ-आक्साइड की भाग प्रति मिलियन में सांद्रता से संबंधित एक बारंबारता बंटन सारणी बनाने के लिए कहा गया था। इस सारणी की सहायता से इनमें से किसी एक दिन अंतराल (0.12 – 0.16) में सल्फार डाइ-ऑक्साइड के सांद्रण होने की प्राषिकता ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
दिनों की कुल संख्या, n(S) = 30, दिए गए वर्ग-अन्तराल में SO₂ की सांगता n(E) = 2
∴ अभीष्ट प्राविकता = p(E) = \(\frac{n(E)}{n(S)}\) = \(\frac{2}{30}\) = \(\frac{1}{15}\)

प्रश्न 13.
प्रश्नावली 14.2 के प्रश्न 1 में आपसे एक कक्षा के 30 विद्यार्थियों के रक्त-समूह से संबंधित बारंबारता बंटन सारणी बनाने के लिए कहा गया था। इस सारणी की सहायता से इस कक्षा में यदच्छया चुने गए एक विद्याओं का रक्त समूह AB होने की प्राविकता ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
विद्यार्थियों की कुल संख्या n(S) = 30
रक्त समूह AB रखने वाले विद्यार्थियों की संख्या n(E) = 3
∴ अभीष्ट प्राविकता = p(E) = \(\frac{n(E)}{n(S)}\) = \(\frac{3}{30}\) = \(\frac{1}{10}\)

Bihar Board Class 9 Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.3 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 9 Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.3

प्रश्न 1.
एक संगठन ने पूरे विश्व में 15-44(वर्षों में) की आयु वाली महिलाओं में बीमारी और मृत्यु के कारणों का पता लगाने के लिए किए गए सर्वेक्षण से निम्नलिखित आँकड़े (% में) प्राप्त किए :

(i) ऊपर दी गई सूचनाओं को आलेखीय रूप में निरूपित कीजिए।
(ii) कौन सी अवस्था पूरे विश्व की महिलाओं के खराब स्वास्थ्य और मृत्यु का बड़ा कारण है?
(iii) अपनी अध्यापिका की सहायता से ऐसे दो कारणों का पता लगाने का प्रयास कीजिए जिनकी ऊपर (ii) में मुख्य भूमिका रही हो।
उत्तर:
(i) सूचनाओं का आलेखीय रूप निम्न होगा:

(ii) आलेखसेसर है कि विश्व की महिलाओं के खराब स्वास्थ्य और मृत्यु का बड़ा कारण जनन स्वास्थ्य अवस्था’ है।
(iii) द्वितीय स्थिति में अन्य मुख्य कारण क्षति व अन्य कारण है।

प्रश्न 2.
भारतीय समाज के विभिन क्षेत्रों में प्रति हजार लड़कों पर लड़कियों की निकटतम दस तक की) आंकड़े नीचे दिए गए हैं।

(i) ऊपर दी गई सूचनाओं को एक दंड आलेख द्वारा निकापित कीजिए।
(i) कक्षा में चर्चा करके, बताइए कि आप इस आलेख से कौन-कौन से निष्कर्ष निकाल सकते हैं?
उत्तर:
(i) दी गई सूचनाओं का दंड आलेख अग्र है:

(ii) चर्चा करने पर पाते हैं कि प्रति इनार लड़कों पर लड़कियों की संख्या शहर में न्यूनतम व अनुसूचित जनजाति में अधिकतम है।

प्रश्न 3.
एक राज्य के विधान सभा के चनाव में विभिन्न राजनैतिक पार्टियों द्वारा जौनी गई सीटों के परिणाम नीचे दिए गए हैं:

(i) मतदान के परिणामों को निरूपित करने वाला एक दण्ड आलेख खींचिए।
(ii) किस राजनैतिक पार्टी ने अधिकतम सीटें जीती हैं?
उत्तर:
(i) दंड आलेख निम्न होगा

(ii) आलेख से स्पष्ट है कि अधिकतम सीटें A पार्टी ने जोती हैं।

प्रश्न 4.
एक पौधे की 40 पत्तियों की लंबाइयाँ एक मिलीमीटर तक शुद्ध मापी गई हैं और प्राप्त आँकड़ों को निम्नलिखित सारणी में निरूपित किया गया है।

(i) दिए हुए आंकड़ों को निरूपित करने वाला एक आयतचित्र खींचिए।
(ii) क्या इन्हीं आंकड़ों को निरूपित करने वाला कोई अन्य उपयुक्त आलेख है?
(iii) क्या बहसही निष्कर्ष है कि 153 मिलीमीटर लम्बाई वाली पत्तियों की संख्या सबसे अधिक है? क्यों
उत्तर:
(i) वर्ग अंतरालों को संगत बनाने पर निान सारणी प्राप्त जोती हैं।

अत: आपत चित्र निम्न होगा-

(ii) आलेख को बारबारना बहुभुज से भी निरूपित किया जा सकता है।
(iii) सत्य है तथा आलेख से सिद्ध है।

प्रश्न 5.
नीचे की सारणी में 400 नियॉन लैम्पों के जीवनकाल दिए गए हैं:

(i) एक आयतचित्र की सहायता से दी हुई सूचनाओं को निरूपित कीजिए।
(ii) कितने लैम्पों के जीवनकाल 700 घंटों से अधिक हैं।
उत्तर:
(i) आवचित्र निम्न होगा-

(ii) 700 घंटों से अधिक जीवन-काल वाली लैम्प = 74 + 62 + 48 = 184

प्रश्न 6.
नीचे की दो सारणीवों में प्राप्त किए गए अंकों के अनुसार दो सेवाशनों के विद्यार्थियों का बंटन दिया गया है।

दो बारंवारता बहुभुजों की सहायता से एक ही आलेख पर दोनों सेक्शनों के विद्यार्थियों के प्राप्तांक निरूपित कीजिए। दोनों बहुभुजों का अध्ययन करके दोनों सेकशानों के निष्यादनों की तुलना कीजिए।
उत्तर:
बारंबारता बहुभुजों की सारणी निम्न होगी :

वर्ग चिड़ को x-अक्ष तथा बारंवारता को y-अक्ष पर लेकर वारंवारता बहुभुज निम्न होंगे।

प्रश्न 7.
एक क्रिकेट मैच में दो टीमों A और B द्वारा प्रथम 60 गेंदों में बनाए गए न नीचे दिए गए हैं:

वारंवारता बहुभुजों की सहायता से एक ही आलेख पर दोनों टीमों के आंकड़े निरूपित कीजिए। (संकेत : पहले वर्ग अंतरालों की संतत बनाइए)
उत्तर:
हम देख सकते हैं। कि वर्ग-अन्तराल सतत नहीं है। वर्ग-अन्तराल 1 है। अत: \(\frac{1}{2}\) = 0.5 जोड़ा जायेगा उच्च सीमा में तथा घटाया जायेगा निम्न सीमा से।
अतः वर्ग चिह्न निम्न व्यंजक से प्राप्त करेंगे-

वर्ग चिट के साथ बारम्बारता सारणी निम्न है:

वर्ग चिह्न को X-अक्ष तथा रनों की Y-अक्ष पर लेकर वारंवारणा बहुभुज की सहायता से आलेख निम होगा:

प्रश्न 8.
एक पार्क में खेल रहे विभिन्न आयु वर्गों के बच्चों की संख्या का एक चादृचिक सर्वेक्षण (random Surney) करने पर निम्नलिखित आँकडे प्राप्त हए:

ऊपर दिए आँकड़ों को निरूपित करने वाला एक आयतचित्र खचिए।
उत्तर:
आयतचित्र के लिए माणी निम्न होगी।

आय X-अक्ष तथा बच्चों की संख्या Y-अक्ष पर लेकर आयतचित्र निम्न होगा-

प्रश्न 9.
एक स्थानीय टेलीफोन निर्देशिका से 100 कुलनाम (Surname) यदृच्छया लिए गए और उनमें अंग्रेजी वर्णमाला के अक्षरों की संख्या का निम्न बारंबारता बंटन प्राप्त किया गया:

(i) दी हुई सूचनाओं को निरूपित करने वाला एक आयतचित्र खीबिए।
(ii) वह वर्ग अंतराल बताइए जिसमें अधिकतम संख्या में कुलनाम हैं।
उत्तर:
(i) आयतचित्र के लिए सारणी निम्न होगी-

वर्णमाला के अधारों की संख्या X-अक्ष पर तथा कुलनामों की संख्या को Y-अक्ष पर लेकर आयतचित्र निम्न होगा-

(ii) अधिकाम कुलनाम वर्ग अतंगल 6-8 में पढ़ते हैं।

Bihar Board Class 9 Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.4 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 9 Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.4

प्रश्न 1.
एक टीम ने फुटबाल के 10 मैचों में निम्नलिखित गोल किाः
2, 3, 4, 5, 0, 1, 3, 3, 4, 3
इन गोलों के माध्य, माश्यक और बहानक ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
माना गोलों का माध्य = \(\overline { x }\), मैचों की संख्या = 10
\(\overline { x }\) = \(\frac{x_1+x_2+x_3+….+x_{10}}{10}\)
\(\overline { x }\) = \(\frac{2+3+4+5+0+1+3+3+4+3}{10}\) = \(\frac{28}{10}\)
\(\overline { x }\) = 2.8
माध्यिका ज्ञात करने के लिए आंकड़ों को आरोही क्रम में रखने पर, 0, 1, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5 यहाँ 10 पद है। अत: यहाँ दो मध्य फ होंगे (\(\frac{10}{2}\)) और (\(\frac{10}{2}\) + 1) जाँ पद अर्थात् 5वाँ व 6वाँ पदः
अर्थात् माध्यिका = \(\frac{3+3}{2}\) = 3
आँकड़ों से स्पष्ट है कि सर्वाधिक आवृत्ति 3 की है। अत: = 3

प्रश्न 2.
गणित की परीक्षा में 15 विद्यार्थियों ने (100 में मे) निम्नलिखित अंक प्राप्त किए :
41, 39, 48, 52, 46, 62, 54, 40, 96, 52, 98, 40, 42, 52, 60
इन आंकड़ों के माध्य, माध्यक और बहुलक ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
माना माष्य = \(\overline { x }\) = \(\frac{x_1+x_2+x_3+….+x_{15}}{15}\)
\(\overline { x }\) = \(\frac{41+39+48+52+46+62+54+40+96+52+98+40+42+52+60}{15}\)
= \(\frac{822}{15}\) = 54.8
माध्यिका ज्ञात करने के लिये दिए गए आंकड़ों को आरोही क्रम में रखने पर.
39, 40, 41, 42, 46, 48, 52, 52, 52, 54, 60, 62, 96, 98
यहाँ 15 पद हैं अत: माध्यिका होगी (\(\frac{15+1}{2}\)) वाँ पद अर्थात् 8 वा पद।
अत: माध्यिका = 52.
दिए गए आँकड़ों से स्पष्ट है कि 52 की सर्वाधिक आवृत्ति है। अतः बहुलक = 52.

प्रश्न 3.
निम्नलिखित प्रेक्षणों को आरोही क्रम में व्यवस्थित किया गया है। यदि आंकड़ों का माध्यक 63 हो, तो x का मान ज्ञात कीजिए:
29, 32, 48, 50, x, x + 2, 72, 78, 84, 95
उत्तर:
दिया गया है कि प्रेक्षण आरोही क्रम में हैं,
29, 32, 48, 50, x , x + 2, 72, 78, 84, 95
पदों की संख्या = 10
अतः मध्यिका =

∴ 63 = x + 1
⇒ x = 62

प्रश्न 4.
आँकड़ों 14, 25,14, 28, 18, 17, 18, 14, 23, 22, 14, 18 का बहुलक ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
आंकड़ों को आरोही क्रम में रखने पर
14, 14, 14, 14, 17, 18, 18, 18, 22, 23, 23, 28
अत: आँकहाँ से स्पष्ट है कि 14 की आवृत्ति सर्वाधिक है। माता बालक = 14.

प्रश्न 5.
निम्न सारणी से एक फैक्टरी में काम कर रहे 60 कर्मचारियों का माध्य बेतन ज्ञात कीजिए:

उत्तर:
माध्य की गणना के लिए सारणी निम्न है:

अन: 60 मजदूरों का माध्म वेतन Rs 5083.33 है।

प्रश्न 6.
निम्न स्थिति पर आधारित एक उदाहरण
(i) माध्य की केन्द्रीय प्रवृत्ति का उपयुक्त माप है।
(ii) माध्य केन्द्रीय प्रवृत्ति का उपयुक्त माप नहीं है, जवकि माध्यक एक उपयुक्त माप है।
उत्तर:
(i) माध्य अपने अद्वितीय मान के कारण केन्द्रीय प्रकृति का एक उपयुक्त माप है तथा इसका उपयोग अलग-अलग आँकड़ों के समूह की तुलना करने के लिए किया जा सकता
(ii) माध्य का उपयोग गुण-दोषों जैसे-सुन्दरता, ईमानदारी, बुद्धिमानी आदि को मापने के लिए नहीं किया जा सकता है।

Bihar Board Class 9 Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.2 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 9 Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.2

प्रश्न 1.
आठवीं कक्षा के 30 विद्यार्थियों के रक्त समूह हैं:
A, B,O, O, AB, O, A, O, B, A, O, B, A, O, O, A, AB, O, A, A, O, O, AB, B, A, O, B, A, B, O
इन आंकड़ों को एक बारंबारता बंटन सारणी के रूप में प्रस्तुत कीजिए। बताइए कि इन विद्यार्थियों में कौन-सा रक्त समूह अधिक सामान्य है और कौन-सा रक्त समूह विरलतम समूहहै।
उत्तर:
कक्षा के विद्यार्थियों से प्राप्त आंकड़ों के आधार पर वारंवारता सारणी अन्न प्रकार होगी:

अत: सामान्य रक्त समूह = O, विरलतम रक्त समूह AB

प्रश्न 2.
40 इंजीनियरों की उनके आवास से कार्य-सवाल की (किलोमीटर में) दूरियाँ ये हैं:

0 – 5को (जिसमें 5 सम्मिलित नहीं है पहला अंतराल लेकर उपर दिए हए आंकड़ों से वर्ग-माप 5 वाली एक वीकृत आरंबारता बंटन सारणी बनाइए। इस सारणीबद्ध निरूपण में आपको कौन-से मुख्य लक्षण देखने को मिलते हैं?
उत्तर:
सारणी निम्न होगी:

अत: निष्कर्ष यह है कि 40 में से 27 इंजीनियर कार्यस्थल से 15km से अधिक दूरी पर नहीं रहते।

प्रश्न 3.
30 दिन वाले महीने में एक नगर की सापेक्ष आर्द्रता (%) यह रही है।

(i) वर्ग 84-86, 86-88 आदि लेकर एक वर्गीकृत वारंवारता बंटन बनाइए।
(ii) क्या आप बता सकते हैं कि ये आँकड़े किस महीने या ऋतु से संबंधित है?
(iii) इन आँकड़ों का परिसर क्या है?
उत्तर:
(i) बारवांस्ता बंटन निग्न होगी-

(ii) कि आर्द्रता अधिक है, अत: वयां ऋतु के आंकड़े हो सकते हैं।
(iii) परिसर = 99.2 – 84.9 = 14.3

प्रश्न 4.
निकटतम सेंटीमीटरों में मापी गई 50 विद्यार्थियों की लंबाइयाँ थे:

(i) 161-165, 166-170 आदिका वर्ग-अन्तराल लेकर स्पर दिए गए आंकड़ों को एक वर्गीकृत बारबारता बंटन सारणी के रूप में निखापित कीजिए।
(ii) इस सारणी की सहायता से आप विद्यार्थियों की लंबाइयों के संबंध में क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं?
उत्तर:
(i) बारबारता वंटन सारणी निम्नवा होगी-

(ii) हम देख सकते हैं कि 50% से अधिक छात्रों की संबाई 165 cm से कम है।

प्रश्न 5.
एक नगर में वायु में साफन-डाइ-ऑक्साइड का मांद्रण भाग प्रति मिलियन [parts per million (ppm)] में ज्ञात करने के लिए एक आध्ययन किया गया।
30 दिनों में प्राप्त किए गए आँकड़े ये हैं :

(i) 0.00-0.04, 0.04-0.08 आदि का वर्ग अंतराल लेकर इन आंकड़ों की एक वर्गीकृत बारबारता बंटन सारणी बनाइए।
(ii) सल्फर डाई-ऑक्साइड की सांद्रता कितने दिन 0.11 भाग प्रति मिलियन से अधिक रही?
उत्तर:
(i) बारबारता बंटन सारणी-

(ii) हम सारणी में देख सकते हैं कि 8 दिन सल्फर डाइ-ऑक्साइड की सांद्रता 0.11 ppm से अधिक है।

प्रन 6.
तीन सिक्कों को एक साथ 30 बार उछाला गया। प्रत्येक बार चिन (Head) आने की संख्या निम्न है।

ऊपर दिए गए आंकड़ों के लिए एक वारंवारता बंटन सारणी बनाइए।
उत्तर:
बारबारता सारनी निन्न होगी:

प्रश्न 7.
50 दशमलव स्थान तक शाका माननीचे दिया गया है:
3.1415926535897932384626433832795028 8419716939937510
(i) दशमलब बिन्दु के बाद आने वाले 0 से 9 तक के अंकों का एक बारंबारता बंटन बनाइए।
(ii) सबसे अधिक बार और सबसे कम बार आने वाले अंक कौन-कौन से हैं?
उत्तर:
(i) सारणी निम्न है-

(ii) सबसे अधिक बार आने वाले अंक = 3 और 9 तथा सबसे कम बार आने वाला अंक = 0

प्रश्न 8.
तोस बच्चों से यह पूछा गया कि पिछले सप्ताह उन्होंने कितने घंटों तक टी. वी. के प्रोग्राम देखें। प्राप्त परिणाम ये रहे हैं:

(i) वर्ग-चौड़ाई 5 लेकर और एक वर्ग अंतराल को 5-10 लेकर इन आँकड़ों की एक वर्गीकृत वारंबारता बंटन सारणी बनाइए।
(ii) कितने बच्चों ने सप्ताह में 15 या अधिक घंटों तक टेलीविजन देखा?
उत्तर:
(i) वर्ग वारंवारता सारणी निम्न होगी-

(ii) सारणी से स्पष्ट है कि 2 बच्चों ने सप्ताह में 15 या अधिक घंटों तक टेलीविजन देखा।

प्रश्न 9.
एक कंपनी एक विशेष प्रकार की कार-बैटी बनाती है। इस प्रकार की 40 वैदियों के जीवन-काल (वर्षों में) ये रहे हैं:

0-5 पाप के वर्ग अंतराल लेकर तथा अंतराल 2-2.5 से प्रारम्भ करके इन आंकड़ों की एक वर्गीकृत बारवरिता बंटन सारणी बनाइए।
उत्तर:
बारबारता सारणी निम्नवत् है:

Bihar Board Class 9 Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.1 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 9 Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.1

प्रश्न 1.
उन आँकड़ों के पाँच उदाहरण दीजिए जिनेभाप अपने दैनिक जीवन से एकत्रित कर सकते हैं।
उत्तर:
दैनिक जीवन से प्राप्त आंकड़ों के उदाहरण:
(i) हमारे घर पर पंखों की संख्या।
(ii) हमारी कक्षा में छात्रों की संख्या
(iii) हमारे विद्यालय में शिक्षकों की संख्या।
(iv) सर्वे से प्राप्त रोजगार के आँकड़े।
(v) टी. बी. और अखबार से प्राप्त मतदान परिणाम।

प्रश्न 2.
ऊपर दिए गए प्रश्न 1 के आँकड़ों को प्राथमिक आँकड़ों या गौण आंकड़ों में वर्गीकृत कीजिए।
उत्तर:
प्राश्चमिक आँकई : (i), (ii) और (iii) गौड़ आंकड़े: (iv) और (v).

Bihar Board Class 9 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.5 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 9 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.5

प्रश्न 1.
माचिस की डिब्बी के माप 4 cm × 2.5 cm × 1.5 cm हैं। ऐसी 12 डिब्बियों के एक पैकेट का आयतन क्या होगा?
उत्तर:
एक डिव्यो का आयतन = 4 x 2.5 × 1.5 = 15 cm³
12 डिब्बियों का आयतन = 12 × 15 = 180 cm³.

प्रश्न 2.
एक घनाभकार पानी की टंकी 6 m लंबी, 5 m चौड़ी और 4.5 m गहरी है। इसमें कितने लीटर पानी आ सकता है? (1 m³ 1000 l)
उत्तर:
टंकी का आयतन = lbh
= 6 × 5 × 4.5
= 135 m³
अतः टंकी की जलग्रहण क्षमता = 135 × 1000
= 135000 लीटर।

प्रश्न 3.
एक घनाभाकार बर्तन 10 m लंबा और 8 m चौड़ा है। इसको कितना ऊँचा बनाया जाए कि इसमें 380 घन मीटर द्रव आ सके?
उत्तर:

अत: धनाच 4.75 m ऊँचा बनाना चाहिए जिससे कि उसमें 380 m³ द्रव आ सके।

प्रश्न 4.
8 m लंबा, 6 m चौड़ा और 3 m गहरा एक घनाभाकार गठ्ठा खुदवाने में Rs 30 प्रति m³ की दर से होने वाला व्यव ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
गरहेका आयतन = lbh = 8 × 6 × 3
= 144 m³
∵ 1 m³ की खुदाई का व्यय = Rs 30
∴ 144 m³ की खुदाई का व्यय = 30 × 144 = Rs 4320.

प्रश्न 5.
एक घनाभकार टंकी की धारिता 50000 लीटर पानी की है। यदि इस टंकी की लंबाई और गहराई क्रमशः 2.5 m और 10 m है, तो इसकी चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
दिया है l = 2.5 m, h = 10 m तथा V = 50000 l
⇒ V= (50000 × \(\frac{1}{1000}\)) m³ = 50 m³

अत: घनाभकार टंकी की चौड़ाई 2 m है।

प्रश्न 6.
एक गांव जिसकी जनसंख्या 4000 है, को प्रति दिन प्रति व्यक्ति 150 लीटर पानी की आवश्यकता है। इस गाँव में 20 m × 15 m × 6 m पापों वाली एक टंकी बनी हुई है। इस टंकी का पानी वहाँ कितने दिन के लिए पर्याप्त होगा?
उत्तर:
दिया है. l = 20 m.b = 15 m h = 6 m
टंकी की समता = lbh = 20 × 15 × 6 = 1800 m³
प्रतिदिन प्रतिव्यक्ति पानी की आवश्यकता = 150 लीटर
4000 व्यक्तियों के लिए प्रतिदिन आवश्यक पानी
= 4000 × 150 = 600000 लीटर
= \(\frac{600000}{1000}\) m³ = 600 m³
∵ पर्याप्त पानी के लिए दिनों की संख्या

अत: बडों 3 दिन के लिए पानी पर्याप्त होगा।

प्रश्न 7.
किसी गोदाम की माप 40 m × 25 m × 10 m हैं। इस गोदाम में 1.5 m × 1.25 m × 0.5 m की माप वाले लकड़ी के कितने अधिकतम क्रेट (crate) रखे जा सकते हैं?
उत्तर:
दिया है, गोदाम की विमाएं l = 40 m, b = 25 m तथा h = 10 m
∴ गोदाम का आयतन = l × b × h = 40 × 25 × 10
= 10000 m³
लकड़ी की फेटों की विमाएँ. l = 1.5 m b = 1.25 m तथा h = 0.5 m
∴ क्रेट का आयतन = 1.5 × 1.25 × 0.5
= 0.9375
अधिकतम केटों की संसा =

प्रश्न 8.
12 cm भुजा वाले एक ठोस धन को बराबर आयतन वाले 8 धनों में काटा जाता है। नए धन की क्या भुजा होगी? साश्च ही इन दोनों धनों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात भी ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
12 cm भुजा वाले धन का आयतन
V₁ = (12 × 12 × 12) cm
पहले धन से कटे धन का आयतन V₂ = \(\frac{1}{8}\) V₁
= \(\frac{1}{8}\) (12 × 12 × 12)
= (6 × 6 × 6) cm
अतः नये धन की भुजा = \(\sqrt{6×6×6}\) = 6 cm
अत: पृष्टीय क्षेत्रफलों में अनुपात =\(\frac{6×12×12}{6×6×6}\) = 4 : 1

प्रश्न 9.
3 m गहरी और 40 m चौड़ी एक नदी 2 km प्रति घंटा की चाल से बहकर समुद्र में गिरती है। एक मिनट में समुद्र में कितना पानी गिरेगा?
उत्तर:
दिया है l = 12 km = 2000 m, b = 40 m तथा h = 3 m
∴ एक घंटे में समुद्र में गिरे पानी का आयतन = lbh
= 2000 × 40 × 3 m³
अतः एक मिनट में समुद्र में गिरे पानी का आयतन
= \(\frac{2000×40×3}{60}\) = 4000 m³

Bihar Board Class 9 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.9 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 9 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.9

प्रश्न 1.
एक लकड़ी के बुकशेल्फ (book-shelf) की बाहरी विमाएं निम्नलिखित है:
ऊँचाई = 110 cm, गहराई = 25 cm, चौड़ाई = 85 cm (पाठ्य पुस्तक में आकृति देखिए)। प्रत्येक स्थान पर तख्तों की मोटाई 5 cm है। इसके बाहरी पलकों पर पालिश कराई जाती है और आंतरिक पलकों पर पेंट किया जाना है। यदि पालिश कराने की दर 20 पैसे प्रति empt और पेंट कराने की दर 10 पैसे प्रति cm² है, तो इस बुक-शोल्फ पर पालिश और पेंट कराने का कुल व्यय ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
पालिश किया जाने वाला क्षेत्रफल
= (110 × 85 + 2 × 85 × 25 + 2 × 25 × 110 + 4 × 75 × 5 + 2 × 110 × 5) cm²
= (9150 + 4250 + 5500 + 1500 + 11000) cm²
= 21700 cm²
20 पैसे प्रति cm² की दर से पालिश का खर्च
= 21700 × \(\frac {20}{100}\) = Rs 4,340
पेन्ट किया जाने वाला क्षेत्रफल
= (6 × 75 × 20 + 2×90 × 20 +75 × 90) cm²
= 19350 cm²
10 पैसे प्रति cm² की दर से पेट का खर्च
= 19350 \(\frac {10}{100}\) = Rs 1,935
अत: कुल खर्च = 4340 + 1935 = Rs 6,275.

प्रश्न 2.
किसी घर के कंपाउंड की सामने की दीवार को 21 cm व्यास वाले लकड़ी के गोलों को छोटे आधारों पर टिकाकर सजाया जाता है, जैसा कि पाठ्य पुस्तक में दी गई आकृति में दिखाया गया है। स प्रकार के आठ गोनों का प्रयोग इस कार्य के लिए किया जाना है और इन गोलों को चाँदी वाले रंग के पेंट करवाना है। प्रत्येक आधार 1.5 cm त्रिज्या और ऊँचाई का एक बेलन है तथा इन्हें काले रंग से पेंट करवाना है। यदि चांदी के रंग का पेंट करवाने की दर 25 पैसे प्रति cm² तथा काले रंग के पेट करवाने की दर 5 पैसे प्रति cm² हो तो पेंट करवाने का कुल व्यय ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
प्रश्नानुसार चाँदी वाले रंग से पेण्ट किया जाने वाला क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए हमें गोलों के कुल पृष्टीय क्षेत्रफल में से उस आधार का क्षेत्रफल बयना होगा, जिन पर यह गोले टिके है अर्थात् लम्बवृत्तीय बेलन के खून का क्षेत्रफल
∴ चाँदी वाले रंग से पेट कराने हेतु क्षेत्रफल = 8 (गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल – वृत्त का क्षेत्रफल जिन पर गोले रखे है।)
= 8 (4πR² – πr²)
गहाँ R = \(\frac {21}{2}\) cm, r = 1.5 cm
= 8π (4 × \(\frac {441}{4}\) – 2.25) cm²
= 8π (441 – 2.25) cm² = 8π (438.75) cm²
∴ 25 पैसे प्रति cm² की दर से चाँदी पेंट कराने का खर्च
= 8 × \(\frac {22}{7}\) × 438.75 × \(\frac {25}{100}\)
= Rs 2757.86 (लगभग)

काला पेन्ट किये जाने वाले भाग का पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 8 × बेलन का वक्र पृष्तीय क्षेत्रफल
= 8 × 2πrh = 8 × 2 × \(\frac {22}{7}\) × 1.5 × 7
= 528 cm²
5 पैसे प्रति cm² की दर से काला पेर कराने का व्यय
= Rs 528 × \(\frac {5}{100}\) = 26.40
अत: पेंट कराने का कुल व्यय
= 2757.86 + 26.40
= Rs 2784.26 (लगभग)

प्रश्न 3.
एक गोले के व्यास में 25% की कमी हो जाती है। उसका वक पृष्टीय क्षेत्रफल कितने प्रतिशत कम हो गया है?
उत्तर:
माना कि गोले का व्यास d है। तब इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4π (\(\frac {d}{7}\))² = πd²
इसके व्यास को 25% घटाने पर नया व्यास
d₁ = (\(\frac {75}{100}\) × d) = \(\frac {3d}{4}\)
∴ नया पृष्टीय क्षेत्रफल = 4π (\(\frac {d_1}{2}\))² = 4π (\(\frac {1}{2}\) × \(\frac {3d}{4}\))²
= 4π (\(\frac {d^2}{64}\)) = πd² \(\frac {9}{16}\)
∴ पृष्टीय क्षेत्रफल में कमी
= πd² (1 – \(\frac {9}{16}\)) = πd² (\(\frac {7}{16}\))
∴ पृचीय क्षेत्रफल में प्रतिशत कमी
= (πd² × \(\frac {7}{16}\) × \(\frac {1}{πd^2}\) × 100)%
= (\(\frac {700}{16}\))% = 43.75%

Bihar Board Class 9 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.8 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 9 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.8

[जब तक अन्यश्चा न कहा जाए, π = \(\frac{22}{7}\) लीजिए।

प्रश्न 1.
उस गोले का आयतन ज्ञात कीजिए जिसकी त्रिज्या निम्न है:
(i) 7 m
(ii) 0.63 m
उत्तर:
(i) दिया है, r = 7 cm
गोले का आयतन = \(\frac{4}{3}\) πr³ = \(\frac{4}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 7 × 7 × 7
= 1437\(\frac{1}{3}\) cm³.

(ii) गोले का आयतन = \(\frac{4}{3}\) πr³
= \(\frac{4}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 0.63 × 0.63 × 0.63
= 1.05 m³.

प्रश्न 2.
अठोस गोलाकार गेंद द्वारा हटाए गए(विस्थापित) पानी का आवतन ज्ञात कीजिए, जिसका व्यास निम्न है:
(i) 28 cm
(ii) 0.-21 m
उत्तर:
(i) दिया है, व्यास = 28 m, प्रिया (r) = 14 cm
गेंद का विस्थापित पानी का आयतन = गेंद का आयतन
= \(\frac{4}{3}\) πr³ = \(\frac{4}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 14 × 14 × 14
= \(\frac{34496}{3}\) = 11498\(\frac{2}{3}\) cm³

(ii) दिया है, व्यास = 21 m,
त्रिच्या (r) = \(\frac{0.21}{2}\) = 0.105 m
गेंद द्वारा विस्थापित पानी का आयतन = गेंद का आयतन
= \(\frac{4}{3}\) πr³
= \(\frac{4}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 0.105 × 0.105 × 0.105
= 0.004851 m³

प्रश्न 3.
धातु की एक गेंद का व्यास 4.2 cm हैं यदि इस धातु का घनत्य 8.9 ग्राम प्रति cm³ है, तो इस गेंद का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
दिवा है, गेंद को त्रिज्या
= (\(\frac {व्यास}{2}\)) = \(\frac {4.2}{2}\) = 2.1 cm
अत: गेंद का आयतन = \(\frac{4}{3}\) πr³
= \(\frac{4}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 2.1 × 2.1 × 2.1
= 38.808 cm³
∴ 1 cm³ में धातु का घनत्व = 8.9 ग्राम
∴ 38.808 cm³ में धातु का पनत्व = 38.808 × 8.9
= 345.39 ग्राम। (लगभग)

प्रश्न 4.
चन्द्रमा का व्यास पृथ्वी के व्यास का लगभग एक-चौथाई है। चन्द्रमा का आयतन पृथ्वी के आयतन की कौन-सी भिन है?
उत्तर:
दिया है, चन्द्रमा का व्यास (d)
= \(\frac{1}{4}\) × पृथ्वी का व्यान (D)
तो, चन्द्रमा की त्रिज्या (r) = \(\frac{1}{4}\) × पृथ्वी की त्रिज्या (R)
⇒ r = R/4
चन्द्रमा का आयतन (V₁) = \(\frac{4}{3}\) π(r)³
= \(\frac{4}{3}\) π (\(\frac{R}{4}\))³ …… (1)
पृथ्वी का आयतन (V₂) = \(\frac{4}{3}\) πR³ ……. (2)
समी (1) व (2) से, \(\frac{V_1}{V_2}\) = \(\frac{\frac{4}{3}π(\frac{R}{4})^3}{\frac{4}{3} πR^3}\)
⇒ V₁ = \(\frac{1}{4^3}\) = \(\frac{1}{64}\)
⇒ चन्द्रमा का आयतन पृथ्वी का आयतन का \(\frac{1}{64}\) है।

प्रश्न 5.
व्यास 10.5 cm वाले एक अर्धगोलाकार कटोरे में कितने लीटर दूध आ सकता है?
उत्तर:
दिया है, कटोरे की त्रिज्या = \(\frac {व्यास}{2}\)
= \(\frac {10.5}{2}\) = 5.25 cm
∴ कटोरे में दूध की क्षमता = कटोरे का आयतन
= \(\frac {2}{3}\)πr³ = \(\frac {2}{3}\) × \(\frac {22}{7}\) × (5.25)³
= 303.18 cm
= (\(\frac {303.18}{1000}\)) लोटर
= 0.30318 लीटर
अत: अर्धगोलाकार कटोरे में 0.30318 लीटर दूध आ सकता है।

प्रश्न 6.
एक अर्धगोलाकार टंकी 1 cm मोटी एक सोहे की चादर (sheet) से बनी है। यदि इसकी आंतरिक त्रिज्या 1 m है, तो इस टंकी के बनाने में लगे लोहे का आयतन ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
दिया है, आन्तरिक त्रिन्या r = 1 m
मोटाई = 1 cm = 0.01 m
∴ बाहरी त्रिज्या, R = (आंतरिक त्रिन्या + मोटाई)
= (1 + 0.01) = 1.01 m
प्रयुक्त लोहे का आयतन
= बानी अक्तन – अन्तरिक आयतन
= \(\frac {2}{3}\) πR³ – = \(\frac {2}{3}\) πr³
= \(\frac {2}{3}\) π (R³ – r³)
= \(\frac {2}{3}\) × \(\frac {22}{7}\) [(1.01)³ – (1)³]
= 0.06348 m³. (लगभग)

प्रश्न 7.
अ गोले का आयतन ज्ञात कीजिए जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल 154 cm² है।
उत्तर:
माना गोले की त्रिज्या r cm है।
अतः पृष्ठीय क्षेत्रफरल = 154 cm²
⇒ 4 × \(\frac {22}{7}\) × r² = 154
⇒ r = \(\sqrt {\frac{154×7}{4×22}}\)
= 3.5 cm
अत: गोले का आयतन = \(\frac{4}{3}\) πr³
= \(\frac {4}{3}\) × \(\frac {22}{7}\) × (3.5)³
= 179 \(\frac {2}{3}\) cm³.

प्रश्न 8.
किसी भवन का गुंबद एक अर्थगोले के आकार का है। अंदर से, इसमें सफेदी कराने में Rs 498.96 व्यय हुए। बदि सफेदी कराने की दर Rs 2 प्रति वर्ग मीटर है. तो ज्ञात कीजिए।
(i) गुंबद का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(ii) गुंबद का अंदर की हवा का आयतन।
उत्तर:
(i) गुंबद का आंतरिक वक्र पृष्तीय क्षेत्रफल

= 249.48 m².

(ii) माना गुंबद की त्रिज्या r है,
∴ पृष्ठीय क्षेत्रफल = 249.48
2πr² = 249.48
⇒ 2 × \(\frac {22}{7}\) × r² = 249.48
⇒ r = \(\sqrt {\frac{249.48×7}{2×22}}\) = 6.3 m
अत: गुंबद के अन्दर हवा का आयतन-गुंबद का अयतन
= \(\frac {2}{3}\) πr³
= \(\frac {2}{3}\) × \(\frac {22}{7}\) × 6.3 × 6.3 × 6.3
= 523.9 m³. (लगभग)

प्रश्न 9.
लोहे के सत्ताइस ठोस गोलों को पिघलाकर जिनमें से प्रत्येक की त्रिज्या है और पृष्ठीय क्षेत्रफल है, एक बड़ा गोला बनाया जाता है जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल है। ज्ञात कीजिए।
(i) नए गोले की त्रिज्या r’
(ii) S और S’ का अनुपात।
उत्तर:
(i) r त्रिज्या के 27 ठोस गोलों का आयतन
= r’ त्रिज्या के नए गोले का आयतन।
⇒ 27 × \(\frac {4}{3}\) πr³ = \(\frac {4}{3}\) πr’³
⇒ r’ = \(\sqrt[3]{27r^3}\)
⇒ r’ = 3r
अत: नये गोले की त्रिज्या r’ = 3r.

(ii) S तथा S’ का अनुपात = \(\frac {S}{S’}\) = \(\frac {4πr^2}{4π(r’)^2}\) = \(\frac {r^2}{(3r)^2}\)
= \(\frac {r^2}{9r^2}\) = 1 : 9
अन: S तथा S’ में अभीष्ट अनुपात = 1 : 9

प्रश्न 10.
दवाई का एक कैपसूल (capsule) 3.5 mm व्यास का एक गोला (गोली) है। इस कैपमूल को भरने के लिए कितनी दवाई (mm³ में) की आवश्यकता होगी?
उत्तर:
दिया है, कंपसूल की त्रिज्या
\(\frac {व्यास}{2}\) = \(\frac {3.5}{2}\) =1.75 mm
अत: कैपसूल को भरने के लिए दवाई
= कैपसूल का आयतन
= \(\frac{4}{3}\) πr³
= \(\frac{4}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 1.75 × 1.75 × 1.75
= 22.46 mm³. (लगभग)

Bihar Board Class 9 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.7 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 9 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.7

[जब तक अन्यश्चा न कहा जाए, π = \(\frac{22}{7}\) लीजिए।

प्रश्न 1.
उस लम्बवृत्तीय शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए, जिसकी
(i) त्रिज्या 6 cm और ऊँचाई 7 cm है।
(ii) त्रिज्या 3-5 cm और ऊँचाई 12 m है।
उत्तर:
(i) दिया है, r = 6 cm तथा h = 7 cm
आयतन = \(\frac{1}{3}\) πr²h = \(\frac{1}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 6 × 6 × 7
= 264 cm³

(ii) दिया है, r = 3.5 cm तथा r = 12 cm
आयतन = \(\frac{1}{3}\) πr²h = \(\frac{1}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 3.5 × 3.5 × 12
= 154 cm³.

प्रश्न 2.
शंकु के आकार के उस बल की लीटरों में पारिता ज्ञात कीजिए जिसकी
(i) त्रिज्या 7 cm और तिर्यक ऊँचाई 25 cm है।
(ii) ऊँचाई 12 m और तिर्यक ऊंचाई 13 cm है।
उत्तर:
(i) दिया है. r = 7 m तथा l = 25 m
मला शंकु की ऊँचाई = h
h = \(\sqrt {l^2 – r^2}\) = \(\sqrt {25^ – 7^2}\) = \(\sqrt {576}\)
= 24 cm
शवबांकार वर्तन का आयतन
= \(\frac{1}{3}\) πr²h = \(\frac{1}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 7 × 7 × 24
= 1232 cm³
∴ अर्तन की धारिता = (\(\frac{1232}{1000}\)) l = 1.232 लीटर।

(ii) दिया है. h = 12 cm तथा l = 13 cm
माना शंकु की प्रिया = r
r = \(\sqrt {l^2 – h^2}\) = \(\sqrt {13^ – 12^2}\) = 5 cm
शक्वांकार बर्तन का आयतन
= \(\frac{1}{3}\) πr²h = \(\frac{1}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 5 × 5 × 12
= \(\frac{2200}{7}\) cm³
∴ वर्तन की धारिता = \(\frac{2200}{7}\) × \(\frac{1}{1000}\) = \(\frac{11}{35}\) लीटर।

प्रश्न 3.
एक शंकु की ऊंचाई 15 cm है। यदि इसका आयतन 1570 cm³ है, तो इसके आधार की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 प्रयोग कीजिए।)
उत्तर:
दिया है, शंकु की ऊँचाई (h) = 15 cm
माना शंकु के आधार की त्रिज्या = r cm
शंकु का आयतन = 1570
\(\frac{1}{3}\) πr²h = 1570
⇒ r = \(\sqrt{\frac{3×1570}{3.14×15}}\) = 10 cm
अत: आधार की त्रिज्या = 10 cm.

प्रश्न 4.
यदि 9 cm ऊँचाई वाले एक लंबवृत्तीय शंकु का आयतन 48 π cm³ है, तो इसके आधार का व्यास ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
दिया है, शंकु की ऊंचाई (h) = 9 cm
शंकु का आयतन (V) = 48 π cm³
\(\frac{1}{3}\) πr²h = 48π
⇒ r = \(\sqrt{\frac{48×3}{9}}\) = 4 cm
अत: आधार का व्यास = 2r = 2 × 4 = 8 cm.

प्रश्न 5.
ऊपरी व्यास 3.5 m वाले शंकु के आकार का एक गइट 12 m गहरा है। इसकी पारिता किलोलीटरों में कितनी है?
उत्तर:
दिया है, शंकु की त्रिव्या (r)
= \(\frac {व्यास}{2}\) = \(\frac {3.5{2}\) = 1.75 m
गड्डे की गहराई (h) = 12 m
धारिता = आयतन =\(\frac{1}{3}\) πr²h
= \(\frac{1}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 1.75 × 1.75 × 12
= 38.5 m
शंक्वाकार गड्डे की धारिता = 38.5 किलोलीटर

प्रश्न 6.
एक लंबवृत्तीय शंकु का आयतन 9856 cm³ है। यदि इसके आधार का व्यास 28 cm है, तो ज्ञात कीजिए।
(i) शंकु की ऊंचाई
(ii) शंकु की तिर्थक ऊँचाई
(iii) शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल।
उत्तर:
दिया है, त्रिन्या = \(\frac {व्यास}{2}\) = \(\frac {28}{2}\) = 14 cm
(1) आयतन = 9856 = \(\frac{1}{3}\) πr²h
h = \(\frac {9856×3×7}{14×14×22}\) = 48 cm
अत: शंकु की ऊँचाई = 48 cm.

(ii) माना, तिर्यक ऊँचाई = l
l = \(\sqrt {h^2 + r^2}\) = \(\sqrt {2304 + 196}\) = 50 cm
अत: शंक की तिर्यक ऊँचाई = 50 cm.

(iii) शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
= πrl = \(\frac {22}{7}\) × 14 × 50
= 2200 cm³.

प्रश्न 7.
भुजाओं 5 cm, 12 cm और 13 cm वाले एक समकोण त्रिभुज ABC को भुजा 12 cm के परितः पुमाया जाता है। इस प्रकार प्राप्त ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
समकोण ∆ABC को भुजा AB के परित: घुमाने पर हमें एक शंकु प्राप्त होता है।

इस प्रकार बने ठोस का मायतन
V = \(\frac{1}{3}\) πr²h
⇒ V = \(\frac{1}{3}\) π × 5 × 5 × 12
= 100 π cm³.

प्रश्न 8.
यदि प्रश्न 7 के प्रिभुज ABC को यदि भुजा 5 cm के परितः घुमाया जाए, तो इस प्रकार प्राप्त ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए। प्रश्नों 7 और 8 में प्राप्त किए गए दोनों ठोसों के आयतनों का अनुपात भी ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
यदि ∆ABC को भुजा 5 cm के परितः घुमाया जाए तो शंकु प्राप्त होगा जिसकी त्रिज्या 12 cm होगी।

अतः प्राप्त तोस का आयतन = \(\frac{1}{3}\) πr²h
= \(\frac{1}{3}\) π × 12 × 12 × 5
= 240 π cm³
अतः आयतनों का अनुपात = 100 π : 240 π = 5 : 12.

प्रश्न 9.
गेहूँ की एक ढेरी 10.5 m व्यास और ऊंचाई 3 m वाले एक शंकु के आकार की है। इसका आयतन ज्ञात कीजिए। इस जेरी को वर्षा से बचाने के लिए केनवास से उका जाना है। वांछित केनवास का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
दिया है, शंकु के आधार की त्रिज्या (r)
= \(\frac {व्यास}{2}\) = \(\frac {10.5}{2}\) = 5.25 m
ऊँचाई h = 3 m
अत: देर का आयतन = \(\frac{1}{3}\) πr²h
= \(\frac{1}{3}\) × \(\frac{1}{3}\) × 5.25 × 5.25 × 3
= 86.625 m³.
माना ढेर को तिर्यक ऊँचाई = l
l² = h² + r²
= 3² + (5.25)²
= 36.5625 m²
⇒ l = \(\sqrt {36.5625}\)
= 6.0467.
अत: ठर कोकने के लिए आवश्यक केनवास = चक्र पृष्ठ
= πrl
= \(\frac{1}{3}\) × 5.25 × 6.0467
= 99.77 m²

Bihar Board Class 9 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.6 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 9 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.6

[जब तक अन्यश्चा न कहा जाए, π = \(\frac{22}{7}\) लीजिए।

प्रश्न 1.
एक बेलनाकार वर्तन के आधार की परिधि 132 cm और उसकी ऊँचाई 25 cm है। इस बर्तन में कितने लीटर पानी आ सकता है? (1000 cm³ = 1 लीटर)
उत्तर:
दिया है, h = 25 cm
तथा आधार की परिधि = 2πr = 132
r = \(\frac{132×7}{2×22}\) = 21 cm
अत: वर्तन की माता = बेलनाकार कान का आपतन
= πr²h = \(\frac{22}{7}\) × 21 × 21 × 25 = 14650 cm³
= \(\frac{34650}{1000}\) = 34.65 लीटर।

प्रश्न 2.
लकड़ी के एक बेलनाकार पाइप का आंतरिक व्यास 24 cm है और बाहरी व्यास 28 cm है। इस पाइप की लंबाई 35 cm है। इस पाइप का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए, यदि 1 cm³ लकड़ी का द्रव्यमान 06 ग्राम है।
उत्तर:
दिया है, आंतरिक प्रिया = \(\frac {व्यास}{2}\) = 12 cm.
बाहरी त्रिज्या = \(\frac {व्यास}{2}\) = 14 cm
पादप के लिए लकड़ी का आयतन
= बाहरी बेलन का आयतन – भीतरी बेलन का आवतन
= πR²h – πr²h = πh (R² – r²)
= \(\frac{22}{7}\) × 35 (14² – 12²) = 5720 cm²
1 cm³ लकड़ी का द्रव्यमान = 0.6 ग्राम
5720 cm³ लकड़ी का द्रव्यमान = 5720 × 0.6
= 3432 ग्राम = 3.432 किग्रा।

प्रश्न 3.
एक सोफ्ट डिंक (soft drink) दो प्रकार के पैकों में उपलब्ध है-
(i) लंबाई 5 cm और चौड़ाई 4 m वाले एक आयताकार आधार का दिन का डिब्बा जिसकी ऊंचाई 15 cm है और
(ii) व्यास 7 cm वाले वत्तीय आधार और 10 cm ऊँचाई वाला एक प्लास्टिकका बेलनाकार डिब्या। किस डिब्बे की थारिता अधिक है और कितनी अधिक है?
उत्तर:
दिया है. l = 5 cm, b = 4 cm तथा h = 15 cm
टिन के डिब्बे की भारिता = lbh = 5 × 4 × 15
= 300 cm³

(ii) दिया है, व्यास = 7 cm, त्रिज्या r = \(\frac{7}{2}\) cm ऊँचाई h = 10 cm
प्लास्टिक के डिब्बे का आयतन = πr²h
\(\frac{22}{7}\) × \(\frac{7}{2}\) × \(\frac{7}{2}\) × 10 = 385 cm³
अत: प्लास्टिक के डिब्बे की धारिता 385 – 300 = 85 cm³ अधिक है।

प्रश्न 4.
यदि एक बेलन का पावं पृष्ठीय क्षेत्रफल 94.2 cm² है और उसकी ऊँचाई 5 cm है, तो ज्ञात कीजिए:
(i) आधार की त्रिज्या
(ii) बेलन का आयतन (π = 3.14)
उत्तर:
(i) दिल है. h = 5 cm
∴ पार्श्व क्षेत्रफल = 94.2
2πrh = 94.2
⇒ 2 × 3.14 × r × 5 = 94.2
⇒ r = \(\frac{94.2}{31.4}\) ⇒ r = 3

(ii) बेलन का आयतन = πr²h = 3.14 × (3)² × (5)
= 141.3 cm³.

प्रश्न 5.
10 m गहरे एक बेलनाकार बर्तन की आंतरिक वक़ पृष्ठको पेंट कराने का व्यय Rs 2,200 है। यदि पेंट कराने की दर Rs 20 प्रति m² है, तो ज्ञात कीजिए
(i) बर्तन का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(ii) आधार की प्रिज्या
(iii) बर्तन की धारिता।
उत्तर:
(i) आंतरिक वन पृष्टीय क्षेत्रफल

= 110 m²

(i) बर्तन का वक्रपृष्ठ = 110
2πrh = 110
⇒ 2 × \(\frac{22}{7}\) × r × 10 = 110
⇒ r = 1.75 m

(iii) वर्तन की धारिता
= πr²h = \(\frac{22}{7}\) × 1.75 × 1.75 × 10
= 96.25 m³

प्रश्न 6.
ऊँचाई 1 m वाले एक बेलनाकार वर्तन की धारिता 15.4 लीटर है। इसको बनाने के लिए कितने वर्ग मीटर धातु की आवश्यकता होगी?
उत्तर:
दिया है, बेलन की धारिता = 15.4 लीटर = 0.0154 m³.
आयतन = πr²h = πr²
⇒ πr² = 0.0154
⇒ r = \(\sqrt{\frac{0.0154}{π}}\) = 0.7 m
अत: बर्तन के निर्माण हेतु आवश्यक शीट
= वनि का कुल पृष्टीय क्षेत्रफल
= 2 πrh + 2πr² = 2πr(r + h)
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 0.07 (0.07 + 1) = 0.4708 m²

प्रश्न 7.
सीसे की एक पेंसिल (lead pencil) लकड़ी के एक बेलन के अभ्यंतर ग्रेफाइट (graphite) से बने ठोस बेलन को डालकर बनाई गई है। पेंसिल का व्यास 7 mm है और बेफाइट का व्यास 1 mm है। यदि पसिल की लंबाई 14 cm है, तो लकड़ी का आयतन और ग्रेफाइट का आयतन जात कीजिए।
उत्तर:
दिया है, शेफाइट की त्रिज्या = \(\frac {व्यास}{2}\) = \(\frac {1}{2}\) mm = \(\frac {1}{20}\) नया लम्बाई = 14 cm
वेलन का आयतन = (πr²h)
= \(\frac {22}{7}\) × \(\frac {1}{20}\) × \(\frac {1}{20}\) × 14
= 0.11 cm³

पेंसिल की त्रिज्या = \(\frac {व्यास}{2}\)
= (\(\frac {0.7}{2}\)) cm
पेंसिल का आयतन = πr²h
= \(\frac {22}{7}\) × \(\frac {0.7}{2}\) × \(\frac {0.7}{2}\) × 14
= 53.9 cm³
अतः लकड़ी का आयतन
= पेंसिल का आयतन – ग्रेफाइट का आदतन
= 5.39 – 0.11 = 5.28 cm³.

प्रश्न 8.
एक अस्पताल (Hospital) के एक रोगी को प्रतिदिन 7 cm व्यास वाले एक बेलनाकार कटोरे में सूप (Soup) दिया जाता है। यदि एक कटोरा सूप से 4 cm ऊंचाई तक भरा जाता है, तो इस अस्पताल में 250 रोगियों के लिए प्रतिदिन कितना सूप तैयार किया जाता है?
उत्तर:
कटोरे की त्रिज्या = \(\frac {व्यास}{2}\)
= \(\frac {7}{2}\) cm
सबिग द्वारा दिया जाने वाला सूप = कटोरे का आयतन
= πr²h = \(\frac {22}{7}\) × = \(\frac {7}{2}\) × \(\frac {7}{2}\) × 4
= 154 cm³
अत: 250 रोगियों के लिए सूप = 250 × 154
= 38500 cm³ या 38.5 लीटर।

Bihar Board Class 9 Maths Solutions Chapter 12 हीरोन का सूत्र Ex 12.2 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 9 Maths Solutions Chapter 12 हीरोन का सूत्र Ex 12.2

प्रश्न 1.
एक पार्क चतुर्भुज ABCD के आकार का है, जिसमें ∠C = 90°, AB = 9m. BC = 12m, CD = 5 m और AD = 8 m है। इस पार्क का क्षेत्रफल कितना है?
उत्तर:

∆BCD में,
पादपागोरस प्रमेय से,
BD² = BC² + CD²
⇒ BD² = (12)² + (5)²
⇒ BD² = 169
⇒ BD² = 13 m
∴ ∆BCD का.
= \(\frac {1}{2}\) × BC × CD
= \(\frac {1}{2}\) × 12 × 5 = 30 m²
∵ s = \(\frac {1}{2}\) (a + b + c)
= \(\frac {1}{2}\) (9 + 8 + 13) = 15
∴ ∆ABD का हो = \(\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
= \(\sqrt {15 × 6 × 7 × 2}\)
= 6\(\sqrt {35}\) = 6 × 5.9 = 35.4 m²
[∵ \(\sqrt {35}\) = 5.9]
अत: पार्क का क्षेत्रफल
= ∆BCD का + ∆ABD का झे.
= 30 + 35.4
= 65.4 m²

प्रश्न 2.
एक चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसमें AB = 3 cm, BC = 4 cm, CD = 4 cm, DA = 5 cm और AC = 5 है।
उत्तर:
पाइथागोरस प्रमेय से.
AC² = AB² + BC²
⇒ (5)² – (3)² + (4)²
⇒ 25 = 25
अत: ∆ABC एक समकोण त्रिभुज है।
⇒ ∆ABC का क्षेत्रफल
= \(\frac {1}{2}\) × AB × BC
= \(\frac {1}{2}\) × 3 × 4 = 6 cm²

अब ∆ADC में,
s = \(\frac {1}{2}\) (a + b + c)
= \(\frac {1}{2}\) (5 + 4 + 5) = 7 cm
∴ ∆ADC का क्षे. = \(\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
= \(\sqrt {7 × 2 × 3 × 2}\)
= 2\(\sqrt {21}\) = 9.2 m²
[∵ \(\sqrt {21}\) = 4.6]
अत: चतुर्भुज का क्षे. = ABC का हो. + ∆ADC का के.
= 6 + 9.2 = 15.2 cm².

प्रश्न 3.
राधा ने एक रंगीन कागज से एक हवाई जहाज का चित्र बनाया, जैसा कि आकृति 12.6 में दिखाया गया है। प्रयोग किए गए कागज का कुल क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर:
(i) भाग का क्षेत्रफल
यहाँ s = \(\frac {5+5+1}{2}\) = 5.5 cm
अतः क्षेत्रफल =\(\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
= \(\sqrt {5.5 × 0.5 × 0.5 × 4.5}\)
आत: क्षेत्रफल = 0.75\(\sqrt {11}\) = 0.75 × 3.31
= 2.4825 cm²

(ii) भाग का क्षेत्रफल
लम्बाई × चौड़ाई = 6.5 × 1 = 6.5 cm².

(iii) भाग का क्षेत्रफल-
समलम्बचतुर्भुज का क्षेत्रफल
= \(\frac {1}{2}\) × (समान्तर भुजाओं का योग) × लम्बवत् दूरी
= \(\frac {1}{2}\) (AB + DC) × AE
= \(\frac {1}{2}\) (1 + 2) × \(\sqrt {AD^2-DE^2}\)
= \(\frac {1}{2}\) (1 + 2) × \(\sqrt {1-25}\)
= \(\frac {1}{2}\) × 3 × \(\frac {√3}{2}\) = \(\frac {3×1.732}{4}\) = 1.299 cm².

iv तथा v भाग का क्षेत्रफल-
2(\(\frac {1}{2}\) × 1.5 × 6) = 9 cm²
कुल क्षेत्रफल = 2.4825 + 6.5 + 1.299 + 9 = 19.28 cm².

प्रश्न 4.
एक त्रिभुज और एक समाजर चतुर्भज का एक ही आधार है और क्षेत्रफल भी एक ही है। यदि त्रिभुज की भुजाएँ 26 cm, 28 cm और 30 cm है तथा समान्तर चतुर्भुज 28 cm के आधार पर स्थित है, तो उसकी संगत ऊँचा ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
नाना त्रिभुज की भुजाएँ a = 26 cm b = 28 cm तथा c = 30 cm
अब, s = \(\frac {1}{2}\) (a + b + c) = \(\frac {1}{2}\) (26 + 28 + 30)
= 42 cm
अत: त्रिभुज का क्षेत्रफल
= \(\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
= \(\sqrt {42 × 16 × 14 × 12}\)
= \(\sqrt {7 × 6 × 4 × 4 × 7 × 2 × 6 × 2}\)
= 336 cm²
त्रिभुज का क्षेत्रफल = समानार चतुर्भुज का क्षेत्रफल
336 = आधार × ऊंचाई
⇒ ऊँबाई = \(\frac {336}{28}\) = 12 cm.

प्रश्न 5.
एक समचतुर्भुजाकार धाम के खेत में 18 गावों के चरने के लिए घास है। यदि इस समचतर्भज की प्रत्येक भजा 30 m है और बड़ा विकर्ण 48 m है, तो प्रत्येक गाय को चरने के लिए इस पास के खेत का कितना क्षेत्रफल प्राप्त होगा?
उत्तर:
घास समचतुभुजाकार है तो विकर्ग परस्पर समकोण पर समति भाजित करेंगे।

तब, पाइथागोरस प्रमेय
की
OA² = AB² – OB²
OA = \(\sqrt {30^2-24^2}\)
= \(\sqrt {(30+24)(30-24)}\)
= \(\sqrt {54×6}\)
= 18 m
⇒ 18 गायों के चरने के लिए घास का क्षेत्रफल
= समचतुर्भुज का क्षेत्रफल
= 4 × ∆AOB का क्षेत्रफल
= 4 × \(\frac {1}{2}\) × 24 × 18 = 864 m²
अत: प्रत्येक गाय के चरने के लिए पास = \(\frac {864}{18}\) = 48 m².

प्रश्न 6.
दो विभिन्न रंगों के कपड़ों के 10 त्रिभुजाकार टुकड़ों को सीकर एक छाता बनाया गया है (पाठ्य पुस्तक में आकृति देखिए) प्रत्येक टुकड़े के माप 20 cm, 50 cm और 50 cm हैं। छाने में प्रत्येक रंग का कितना कपड़ा लगा है?
उत्तर:
गाना a = 20 cm, b = 50 cm तथा c = 30 cm
राब, s = \(\frac {1}{2}\) (a + b + c) = \(\frac {1}{2}\) (20 + 50 + 50) = 60 cm
अत: एक त्रिभुजाकार टुकड़े का गेत्रफल
= \(\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
= \(\sqrt {60 × 40 × 10 × 10}\)
= 200√6 cm²
∴ 10 त्रिभुजाकार टुकड़ों से खाता बना है। अत: दोनों रंगों के समान अर्थात् 5 – 5 टुकड़े लगेंगे।
माना पहले पीले रंग के टुकड़े का क्षेत्रफल
= 5 × 200 √6 = 1000 √6 cm²
नषा दूसरे लाल रंग के टुकड़े का क्षेत्रफला
= s × 200 √6 = 1000 √6 cm².

प्रश्न 7.
एक पतंग तीन भिन-भिन शेडों (Shades) के कागजों से बनी है। इन्हें पाठ्य पुस्तक में दी गई आकृति में I, II और III से दर्शाया गया है। पतंग का ऊपरी भाग 32 cm विकर्ण का एक वर्ग है और निचला भाग 6 cm, 6 cm और 8 cm भुजाओं का एक सपद्विबाहु त्रिभुज है। ज्ञात कीजिए कि प्रत्येक शेड का कितना कागज प्रयुक्त किया गया है।
उत्तर:
माना ABCD एक वर्ग है जिसकी भुजा a cm नया विकर्ण AC = BD = 32 cm
समकोण त्रिभुव ABC मैं,
AB² + BC² = AC²
⇒ a² + a² = (32)²
⇒ 2a² = 32 × 32
⇒ a² = \(\frac {32×32}{2}\) = 512
⇒ वर्ग का क्षेत्रफल = 512 cm²

वर्ग का विकर्ण वर्ग को दो बराबर भागों । नघा में बोटना है।
∴ I भाग का क्षेत्रफल = II भाग का क्षेत्रफल
= \(\frac {1}{2}\) × 512 = 256 cm
अब, भाग III के लिए (s) = \(\frac {6+6+8}{2}\) = 10 cm
III भाग का क्षेत्रफल = \(\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
= \(\sqrt {10 × 4 × 4 × 2}\)
= 8√5 = 8 × 2.236 = 17.88 cm²

प्रश्न 8.
फर्श पर एक फूलों का डिजाइन 16 त्रिभुजाकार टाइलों से बनाया गया है, जिनमें से प्रत्येक की भुजाएँ9 cm, 28 cm और 35 cm हैं (पाठ्य पुस्तक में आकृति देखिए)। इन टाइलों को 50 पैसे प्रति cm² की दर से पालिश कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
दिया है, त्रिभुजाकार को भुजाएँ 9 cm, 28 cm तथा 35 cm
माना a = 9 cm, b = 28 cm नया c = 35 cm
हम जानते हैं, s = \(\frac {1}{2}\) (a + b + c)
= \(\frac {1}{2}\) (9 + 28 + 35) = 36 cm
प्रत्येक टाइल का क्षेत्रफल
= \(\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
= \(\sqrt {36 × 27 × 8 × 1}\)
= 36√6 cm² = 88.2 cm²
[∵ √6 = 2.45]
अत: 16 राइलों का क्षेत्रफल = 16 × 88.2 = 1411.2 cm²
∵ 50 पैसे प्रति cm’ की दर से पालिश कराने का व्यय
= (1411.2 × \(\frac {50}{100}\)) = Rs 705.60.

प्रश्न 9.
एक खेत समलम्ब के आकार का है जिसकी समानर भुजाएँ 25 m और 10 m हैं। इसकी असमान्तर भुजाएँ 14 m और 13 m हैं। इस खेत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
हम जानते हैं. AP = BQ

⇒ AP² = BQ²
⇒ (13)² – (x)² = (14)² – (15 – x)²
⇒ 169 – x² = 196 – 225 – x² + 30
⇒ 30x = 198
⇒ x = 6.6 m
अतः AP = \(\sqrt {AD^2-DP^2}\)
= \(\sqrt {13^2-(6.6)^2}\) = 11.2 m
अत: खेत का क्षेत्रफल = \(\frac {1}{2}\) × (AB + DC) × AP
= \(\frac {1}{2}\) (25 + 10) × 11.2
= \(\frac {1}{2}\) × 35 × 11.2
= 196 m².