Shreya

Bihar Board 12th Maths Objective Questions and Answers

Bihar Board 12th Maths Objective Answers Chapter 12 रैखिक प्रोग्रामन

प्रश्न 1.
सुसंगत क्षेत्र बिन्दुओं का समुच्चय है जो संतुष्ट करता है:
(a) उद्देश्य फलन को
(b) कुल व्यवरोध को
(c) सभी व्यवरोध को
(d) कोई नहीं
उत्तर:
(c) सभी व्यवरोध को

प्रश्न 2.
असमिका 3x – y ≥ 3 और 4x – 4y > 4
(a) +ve x और y के लिए हल रखता है
(b) + ve x और y के लिए कोई हल नहीं रखते
(c) सभी x के लिए हल है
(d) सभी y के लिए हल है
उत्तर:
(a) +ve x और y के लिए हल रखता है

प्रश्न 3.

(a) m + n
(b) m – 1
(c) mn
(d) m/n
उत्तर:
(a) m + n

प्रश्न 4.
सुसंगत क्षेत्र निम्नलिखित व्यवरोधों 2x + y < 10, x + 3y < 15x, y > 0
(a) p = q
(b) p = 2q
(c) p = 3q
(d) 3p = q
उत्तर:
(d) 3p = q

प्रश्न 5.
व्यवरोध x + 2y ≤ 120, x + y ≥ 60, x – 2y ≥ 0, x ≥ 0, y ≥ 0 के अंतर्गत उद्देश्य फलन z = 5x + 10y का अधिकतम मान है:
(a) 300
(b) 600
(c) 400
(d) 800
उत्तर:
(b) 600

प्रश्न 6.
z = 6x₁ – 2x₂ के अधिकतम मान के लिए, जबकि 2x₁ – x₂ ≤ 2, x₁ ≤ 3 एवं x₁, x₂ ≥ 0 हो तो x₁ और x₂ का मान ज्ञात करें :
(a) 3, 4
(b) 2, 3
(c) 1, 2
(d) कोई नहीं
उत्तर:
(a) 3, 4

प्रश्न 7.
एक डीलर कुछ पंखे और सिलाई मशीन खरीदना चाहता है। वह 5760 रु. का निवेश करना चाहता है, उसके पास 20 वस्तुओं को रखने की जगह है । पंखे की कीमत 360 रु. तथा सिलाई मशीन की 240 रु. है। वह पंखे को 22 रु. तथा सिलाई मशीन को 18 रु. प्रति लाभ पर बेचना चाहता है। यह मानते हुए की वह सभी क्रय की गई वस्तुओं का विक्रय कर लेता है, उसे कितना निवेश करना चाहिए कि अधिकतम लाभ हो।
(a) x = 12, y = 6
(b) x = 8, y = 12
(c) x = 9, y = 6
(d) कोई नहीं
उत्तर:
(b) x = 8, y = 12

प्रश्न 8.
रैखिक प्रोग्रामन समस्या का उद्देश्य फलन :
(a) व्यवरोध
(b) इष्टतम के लिए फलन
(c) चरों के मध्य संबंध
(d) कोई नहीं
उत्तर:
(b) इष्टतम के लिए फलन

प्रश्न 9.
सुसंगत क्षेत्र बिंदुओं का वह समुच्चय है जो संतुष्ट करता है :
(a) उद्देश्य फलन को
(b) कुछ व्यवरोध को
(c) सभी व्यवरोध को
(d) कोई नहीं
उत्तर:
(c) सभी व्यवरोध को

प्रश्न 10.
सुसंगत क्षेत्र के सभी बिन्दुओं, अधिकतम या न्यूनतम उद्देश्य फलन के लिए बिन्दु है :
(a) सुसंगत क्षेत्र के अंदर
(b) सुसंगत क्षेत्र की परिसीमा पर
(c) सुसंगत क्षेत्र की परिसीमा के शीर्ष पर
(d) कोई नहीं
उत्तर:
(b) सुसंगत क्षेत्र की परिसीमा पर

प्रश्न 11.
रैखिक प्रोग्रामन समस्या का उद्देश्य फलन :
(a) व्यवरोध
(b) इष्टतम के लिए फलन
(c) चरों के मध्य संबंध
(d) कोई नहीं
उत्तर:
(b) इष्टतम के लिए फलन

प्रश्न 12.
प्रतिबंध -x₁ + x₂ ≤ 1 – x₁ + 3x₂ ≤ 9, x₁, x₂ ≥ 0 परिभाषित है:
(a) परिबद्ध सम्भाव्य क्षेत्र
(b) अपरिबद्ध सम्भाव्य क्षेत्र
(c) दोनों परिबद्ध और अपरिबद्ध सम्भाव्य क्षेत्र
(d) कोई नहीं
उत्तर:
(b) अपरिबद्ध सम्भाव्य क्षेत्र

प्रश्न 13.
L.P.P. का हल अधिकतमीकृत हेतु z = 4x + 8y, व्यवरोध :
2x + y ≤ 30, x + 2y ≤ 24, x ≥ 3, y ≤ 9, y ≥ 0
(a) x = 12, y = 6
(b) x = 6, y = 12
(c) x = a, y = 6
(d) कोई नहीं
उत्तर:
(a) x = 12, y = 6

प्रश्न 14.
अधिकतम कीजिए z = 5x₁ + 7x₂ जबकि x₁ + x₂ ≤ 4, 3x₁ + 3x₂ ≤ 24, 10x₁ + 7x₂ ≤ 35 एवं x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0 है।
(a) 14.8
(b) 24.8
(c) 34.8
(d) कोई नहीं
उत्तर:
(b) 24.8

प्रश्न 15.
सुसंगत क्षेत्र के सभी बिन्दुओं के अधिकतम या न्यूनतम उद्देश्य फलन के लिए बिन्दु है।
(a) सुसंगित क्षेत्र के अंदर
(b) सुसंगित क्षेत्र के परिसीमा पर
(c) सुसंगित क्षेत्र की परिसीमा के शीर्ष पर
(d) कोई नहीं
उत्तर:
(c) सुसंगित क्षेत्र की परिसीमा के शीर्ष पर

प्रश्न 16.
न्यूनतम कीजिए z = x + y जबकि 3x + 2y ≤ 12, x + 3y ≥ 11 एवं x ≥ 0, y ≥ 0 हो तो x और y के मान हैं :
(a) \(\frac{18}{7}, \frac{2}{7}\)
(b) \(\frac{7}{2}, \frac{3}{4}\)
(c) \(\frac{3}{2}, \frac{15}{4}\)
(d) कोई नहीं
उत्तर:
(b) \(\frac{7}{2}, \frac{3}{4}\)

प्रश्न 17.
निर्णय चरों के मानों का समुच्चय रैखिक व्यवरोधों को OPP के ऋणेतर प्रतिबंधों को संतुष्ट करता है, कहलाता है :
(a) अपरिबद्ध हल
(b) इष्टतम हल
(c) सुसंगत हल
(d) कोई नहीं
उत्तर:
(c) सुसंगत हल

प्रश्न 18.
2x + 3y ≥ 6, x – 2y ≤ 2, 6x + 4y ≤ 24, -3x + 2y < 3 एवं x ≥ 0, y ≥ 0, x और y का मान क्या है?
(a) \(\frac{18}{7}, \frac{2}{7}\)
(b) \(\frac{7}{2}, \frac{3}{4}\)
(c) \(\frac{3}{2}, \frac{15}{2}\)
(d) कोई नहीं
उत्तर:
(b) \(\frac{7}{2}, \frac{3}{4}\)

प्रश्न 19.
z का अधिकतम मान z = 3x + 4y प्रतिबंध x + y < 40, x + 2y ≤ 60, x ≥ 0 और y ≥ 0 के अंतर्गत है :
(a) 120
(b) 140
(c) 100
(d) 160
उत्तर:
(b) 140

प्रश्न 20.
LPP का हल है :
अधिकतमीकृत हेतु z = 4x + 8y
व्यवरोध 2x + y ≤ 30, x + 2y ≤ 24, x ≥ 3, y ≤ 9, y ≥ 0 is :
(a) x = 12, y = 6
(b) x = 6, y = 12
(c) x = 9, y = 6
(d) कोई नहीं
उत्तर:
(a) x = 12, y = 6

प्रश्न 21.
z का अधिकतम मान z = 4x + 2y प्रतिबन्ध 2x + 3y ≤ 18, x + y ≥ 10x, y ≤ 0 के अंतर्गत है :
(a) 36
(b) 40
(c) 30
(d) कोई नहीं
उत्तर:
(d) कोई नहीं

Bihar Board 12th Maths Objective Questions and Answers

Bihar Board 12th Maths Objective Answers Chapter 7 समाकलन

प्रश्न 1.

उत्तर:
(a) \(\frac{1}{2 a} \log \frac{x-a}{x+a}+k\)

प्रश्न 2.

उत्तर:
(a) \(x^{4}+\frac{1}{x^{3}}-\frac{129}{8}\)

प्रश्न 3.

उत्तर:
(a) \(\int_{a}^{b} f(x) d x\)

प्रश्न 4.

उत्तर:
(c) 4

प्रश्न 5.

उत्तर:
(a) \(-\frac{1}{2}\)

प्रश्न 6.

उत्तर:
(a) \(\frac{\pi}{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}\)

प्रश्न 7.

उत्तर:
(d) \(\frac{\pi}{2}\)

प्रश्न 8.

उत्तर:
(c) \(\frac{1}{\sqrt{2}} \log \tan \left(\frac{\pi}{8}+\frac{x}{2}\right)+c\)

प्रश्न 9.

उत्तर:
(d) कोई नहीं

प्रश्न 10.

उत्तर:
(a) \(\frac{1}{3}(1+\log x)^{3}+c\)

प्रश्न 11.

उत्तर:
(c) \(\frac{2}{3} x^{3 / 2}+2 x^{1 / 2}+c\)

प्रश्न 12.

उत्तर:
(d) log√3

प्रश्न 13.

उत्तर:
(b) \(\frac{\pi}{2}-1\)

प्रश्न 14.

उत्तर:
(a) log 2

प्रश्न 15.
∫cos√x dx बरायर :
(a) √x sin√x cos√x
(b) √x sin√x – cos√x
(c) \(\frac{1}{2}\) [√x sin√x + cos√x]
(d) 2[√x sin√x + cos√x]
उत्तर:
(d) 2[√x sin√x + cos√x]

प्रश्न 16.
\(\int \frac{2 d x}{\sqrt{1-4 x^{2}}}=\)
(a) tan^-1(2x) + c
(b) cot^-1(2x) + c
(c) cos^-1(2x) + c
(d) sin^-1(2x) + c
उत्तर:
(d) sin^-1(2x) + c

प्रश्न 17.

उत्तर:
(b) \(\frac{1}{12}\)

प्रश्न 18.

उत्तर:
(b) \(\frac{1}{16}\left[4 y^{4} \log y-y^{4}+c\right]\)

प्रश्न 19.

उत्तर:
(a) \(\frac{\pi}{\sqrt{2}}\)

प्रश्न 20.

उत्तर:
(b) \(\frac{1}{2} \sin ^{-1}\left(\frac{8 x-9}{9}\right)+c\)

प्रश्न 21.

उत्तर:
(a) \(\frac{1}{3}(1+\log x)^{3}+c\)

प्रश्न 22.

उत्तर:
(d) \(\log \left(10^{x}+x^{10}\right)+c\)

प्रश्न 23.

उत्तर:
(b) \(\int_{0}^{a} f(a-x) d x\)

प्रश्न 24.
माना T > 0 एक स्थिर वास्तविक संख्या है। माना f(x) एक फलन है x ∈ R f(x + T) = f(x) के लिए यदि I = \(\int_{0}^{T} f(x) d x\) तब \(\int_{3}^{3+3 T} f(2 x) d x\) का मान है :
(a) \(\frac{3}{2} I\)
(b) I
(c) 3I
(d) 6I
उत्तर:
(c) 3I

प्रश्न 25.
\(\int_{0}^{\pi / 2} \cos x e^{\sin x} d x\) का मान है :
(a) e – 1
(b) 0
(c) 1
(d) -1
उत्तर:
(a) e – 1

प्रश्न 26.

उत्तर:
(d) \(-\frac{1}{7}\)

प्रश्न 27.

उत्तर:
(c) \(\frac{1}{3} \tan ^{-1}\left(\frac{x+2}{3}\right)+c\)

प्रश्न 28.

उत्तर:
(b) log(y – 3)² – log(y – 2) + c

प्रश्न 29.

उत्तर:
(c) π log 2

प्रश्न 30.

उत्तर:
(a) ±1

प्रश्न 31.
\(\int \frac{d \theta(x)}{d x} d x\)
(a) Φ(x) + k
(b) Φ(x)
(c) Φ”(x)
(d) कोई नहीं
उत्तर:
(a) Φ(x) + k

प्रश्न 32.

उत्तर:
(b) \(\frac{a^{3}-b^{3}}{3}\)

प्रश्न 33.
∫sec x dx =
(a) log secx
(b) log {sec x + tan x]
(c) log (sec x – tan x)
(d) sec x. tan x
उत्तर:
(b) log[sec x + tan x]

प्रश्न 34.
\(\frac{d}{d x} \int f(x) d x\) किसके समान है :
(a) f'(x)
(b) (x) + k
(c) f(x)
(d) f(x) + c
उत्तर:
(b) (x) + k

प्रश्न 35.

उत्तर:
(b) \(\frac{\pi}{4}\)

प्रश्न 36.

उत्तर:
(b) \(\frac{5}{2}\)

प्रश्न 37.

उत्तर:
(a) sin(log 3)

प्रश्न 38.

(a) log (sin x + cos x)
(b) x
(c) log x
(d) log sin (cos x)
उत्तर:
(b) x

प्रश्न 39.
\(\int\left(\frac{\cos 2 \theta-1}{\cos 2 \theta+1}\right) d \theta=\)
(a) tan θ – θ + c
(b) θ + tan θ + c
(c) θ – tan θ + c
(d) -θ – cot θ + c
उत्तर:
(c) θ – tan θ + c

प्रश्न 40.

उत्तर:
(b) \(\frac{1}{10100}\)

प्रश्न 41.

उत्तर:
(c) \(\frac{\pi}{4}\)

प्रश्न 42.

उत्तर:
(b) \(\log \left|\frac{(x-2)^{2}}{x-1}\right|+c\)

प्रश्न 43.

उत्तर:
(a) \(\tan \frac{x}{2}+k\)

प्रश्न 44.
\(\int \frac{\sin ^{2} x-\cos ^{2} x}{\sin ^{2} x \cos ^{2} x} d x\) बराबर है :
(a) tan x + cot x + c
(b) tan x + cosec x + c
(c) tan x + cot x + c
(d) tan x + sec x + c
उत्तर:
(c) tan x + cot x + c

प्रश्न 45.
\(\int_{-1}^{1} \sin ^{3} x \cos ^{2} x d x\) का मान क्या है?
(a) 0
(b) 1
(c) \(\frac{1}{2}\)
(d) 2
उत्तर:
(a) 0

प्रश्न 46.
\(\int_{-0}^{\pi / 2} \frac{(\sin x+\cos x)^{2}}{\sqrt{1+\sin ^{2} x}} d x\) का मान है :
(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) 3
उत्तर:
(b) 1

प्रश्न 47.

उत्तर:
(b) 2

प्रश्न 48.

उत्तर:
(d) \(x e^{\tan ^{-1} x}\)

प्रश्न 49.
यदि ∫e^x{f(x)+ f'(x)} dx = e^x sin x तब f(x) =
(a) sin x
(b) -sin x
(c) cos x – sinx
(d) sin x + cos x
उत्तर:
(a) sin x

प्रश्न 50.

उत्तर:
(d) \(\frac{2}{3} \tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{x}}{3}\right)+c\)

प्रश्न 51.

उत्तर:
(b) \(\frac{\pi}{4}\)

प्रश्न 52.

उत्तर:
(d) \(-\frac{\pi}{2}\)

प्रश्न 53.
\(\int_{0}^{p} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{p-x}} d x=\)
(a) p
(b) \(\frac{p}{2}\)
(c) 2p
(d) कोई नहीं
उत्तर:
(b) \(\frac{p}{2}\)

प्रश्न 54.
∫e^x sec x (1 + tan x) dx बराबर है
(a) e^x cos x + c
(b) e^x sec x + c
(c) e^x sin x + c
(d) e^x tan x + c
उत्तर:
(b) e^x sec x + c

प्रश्न 55.

उत्तर:
(b) \(\frac{x^{2}}{2}\) + log x + 2x + c

प्रश्न 56.
\(\int \frac{d x}{1+x^{2}}=\)
(a) cot^-1 x + C
(b) tan^-1 x + C
(c) sec^-1 x + C
(d) cosec^-1 + C
उत्तर:
(b) tan^-1 x + C

प्रश्न 57.

उत्तर:
(b) \(\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\)

प्रश्न 58.

उत्तर:
(d) इनमें से कोई नहीं

प्रश्न 59.

उत्तर:
(d) \(\frac{x^{3}}{3}-x+2 \tan ^{-1} x+c\)

प्रश्न 60.

उत्तर:
(c) 0

प्रश्न 61.
\(\int_{-2}^{0}\) [x³ + 3x² + 3x + 3 + (x + 1) cos(x + 1)] का मान क्या है?
(a) 0
(b) 3
(c) 4
(d) 1
उत्तर:
(c) 4

प्रश्न 62.

उत्तर:
(c) \(\frac{1}{4}\)

प्रश्न 63.

उत्तर:
(d) \(\frac{-1}{2 \log 5}\)

प्रश्न 64.
∫e^x (1 + tan x + tan²x) dx =
(a) e^x cos x + c
(b) e^x sin x + c
(c) e^x tan x + c
(d) e^x sec x + c
उत्तर:
(c) e^x tan x + c

प्रश्न 65.

उत्तर:
(a) \(\frac{\pi}{4}\)

प्रश्न 66.

उत्तर:
(b) \(2+\log _{e} \frac{15}{7}\)

प्रश्न 67.

उत्तर:
(a) \(\frac{8}{\pi}\) f(2)

प्रश्न 68.

उत्तर:
(b) log|sin x + cos x| + C

प्रश्न 69.

उत्तर:
(a) \(\frac{1}{a} \tan ^{-1} \frac{x}{a}+k\)

प्रश्न 70.

उत्तर:
(c) 2√tan x + c

प्रश्न 71.

उत्तर:
(c) \(\frac{\pi}{2}\)

प्रश्न 72.

उत्तर:
(d) \(\frac{\pi}{4}\)

प्रश्न 73.

उत्तर:
(b) \(\tan ^{-1} e^{x}+c\)

प्रश्न 74.

उत्तर:
(b) \(\frac{\pi}{2} x+C\)

प्रश्न 75.

उत्तर:
(a) e^b – e^a

प्रश्न 76.
\(\int \frac{d x}{1-\sin x}=\)
(a) tan x – sec x + k
(b) tan x + sec x + k
(c) tan² x + sec² x + k
(d) 2(tan x – sec x) + k
उत्तर:
(b) tan x + sec x + k

प्रश्न 77.

उत्तर:
(a) \(\frac{3}{2}\)

प्रश्न 78.

उत्तर:
(a) \(\frac{\pi}{8}\)

प्रश्न 79.
यदि \(f(x)=\int_{0}^{x} t^{2} d t\) तब f(3) =
(a) 9
(b) 27
(c) 81
(d) 3
उत्तर:
(a) 9

प्रश्न 80.

उत्तर:
(a) sin^-1(x – 1) + c

Bihar Board 12th Maths Objective Questions and Answers

Bihar Board 12th Maths Objective Answers Chapter 11 त्रि-विमीय ज्यामिति

प्रश्न 1.
The angle between the planes 2x – y + z = 6 and x + y + 2z = 7 is :
(a) \(\frac{\pi}{4}\)
(b) \(\frac{\pi}{6}\)
(c) \(\frac{\pi}{3}\)
(d) \(\frac{\pi}{2}\)
उत्तर:
(c) \(\frac{\pi}{3}\)

प्रश्न 2.
The equation x² – x – 2 = 0 in three dimensional space is represented by
(a) A pair of parallel planes
(b) A pair of straight lines
(c) A pair of the perpendicular plane
(d) None
उत्तर:
(a) A pair of parallel planes

प्रश्न 3.
The angle between a plane 3x + 4y = 0 and the line x² + y² = 0 is:
(a) 0°
(b) 30°
(c) 60°
(d) 90°
उत्तर:
(a) 0°

प्रश्न 4.
If direction of a line are \(0,-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\) then which of the following are correct :
(a) line makes an angle of 135° with the x-axis
(b) line makes an angle of 135° with the y-axis
(c) line makes on the angle of 45° with the z-axis
(d) line makes an angle of 135° with the z-axis
उत्तर:
(b) line makes an angle of 135° with the y-axis
(c) line makes on the angle of 45° with the z-axis

प्रश्न 5.
An angle between two diagonals of a cube is _______
(a) \(\cos ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\)
(b) \(\cos ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\)
(c) \(\cos ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)\)
(d) None
उत्तर:
(c) \(\cos ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)\)

प्रश्न 6.
The direction cosines of a normal to the plane 2x – 3y – 6z + 14 = 0 are
(a) \(\left(\frac{2}{7}, \frac{-3}{7}, \frac{-6}{7}\right)\)
(b) \(\left(\frac{-2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{6}{7}\right)\)
(c) \(\left(\frac{-2}{7}, \frac{-3}{7}, \frac{-6}{7}\right)\)
(d) None
उत्तर:
(a) \(\left(\frac{2}{7}, \frac{-3}{7}, \frac{-6}{7}\right)\)

प्रश्न 7.
A plane meets the coordinates axes at P, Q and R such that the centroid of the triangle is (3, 3, 3). The equation of the plane is :
(a) x + y + z = 9
(b) x + y + z = 1
(c) x + y + z = 3
(d) 3x + 3y + 3z = 1
उत्तर:
(a) x + y + z = 9

प्रश्न 8.
बिन्दु (0, -1, 3) से तल 2x + y – 2z + 1 = 0 पर लंब की लंबाई है :
(a) 0
(b) 2√3
(c) \(\frac{2}{3}\)
(d) 2
उत्तर:
(d) 2

प्रश्न 9.

उत्तर:
(c) \(\frac{2}{\sqrt{29}}, \frac{3}{\sqrt{29}}, \frac{4}{\sqrt{29}}\)

प्रश्न 10.

उत्तर:
(b) 3l = 2m = n

प्रश्न 11.
मूल बिंदु से किसी तल पर लंब की लंबाई 8 है और लंब के दिक्अनुपात 1, 0, 3 हैं तो तल का समी होगा।
(a) x + 3z = 8
(b) x + 3y = 8√10
(c) x + 3z = 8√10
(d) x + 3z = 8√10, y = 0
उत्तर:
(c) x + 3z = 8√10

प्रश्न 12.
यदि कोई रेखा नियामक अक्षों के साथ क्रमश: Q₁, Q₂ और Q₃ कोण बनाती हो, तो \(\cos ^{2} Q_{1}+\cos ^{2} Q_{2}+\cos ^{2} Q_{3}\) का मान होगा।
(a) 2
(b) 1
(c) 4
(d) \(\frac{3}{2}\)
उत्तर:
(b) 1

प्रश्न 13.
तल 2x + 3y – 4z + 8 = 0 के समांतर तल का समीकरण है :
(a) 2x + 3y + 4z + 8 = 0
(b) 3x + 2y – 4z – 8 = 0
(c) 2x + 3y – 4z + k = 0
(d) 2x + 3y – 4z + 15 = 0
उत्तर:
(c) 2x + 3y – 4z + k = 0

प्रश्न 14.
समतल 2x – 3y – 6z – 3 = 0 के अभिलम्ब की दिक्कोज्याएँ है :
(a) \(\frac{2}{7},-\frac{3}{7},-\frac{6}{7}\)
(b) \(\frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{6}{7}\)
(c) \(-\frac{2}{7}, \frac{3}{7},-\frac{6}{7}\)
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(a) \(\frac{2}{7},-\frac{3}{7},-\frac{6}{7}\)

प्रश्न 15.
यदि रेखाखंड PQ पर R एक बिन्दु है ताकि PR : RQ = 2 : 3 जबकि P= (5, 2, -6) और Q = (1, 0, -3) तो R के नियामक है।
(a) \(\left(\frac{13}{5}, \frac{4}{5}, \frac{-21}{5}\right)\)
(b) \(\left(\frac{6}{5}, \frac{2}{5}, \frac{-9}{5}\right)\)
(c) \(\left(\frac{17}{5}, \frac{6}{5}, \frac{-24}{5}\right)\)
(d) None
उत्तर:
(c) \(\left(\frac{17}{5}, \frac{6}{5}, \frac{-24}{5}\right)\)

प्रश्न 16.
बिन्दु (0, -1, 3) से तल 2x + y – 2z + 1 = 0 पर लम्ब की लम्बाई है :
(a) 0
(b) 2√3
(c) \(\frac{2}{3}\)
(d) 2
उत्तर:
(d) 2

प्रश्न 17.
यदि कोई रेखा, धनात्मक नियामक अक्षों के साथ α, β, γ कोण बनाती हो, तो
(a) sin² α + sin² β + sin² γ = 0
(b) sin² α + sin² β + sin² γ =1
(c) sin² α + sin² β + sin² γ = 2
(d) sin² α = sin² β = sin² γ
उत्तर:
(a) sin² α + sin² β + sin² γ = 0

प्रश्न 18.
The distance between the parallel planes x + 2y – 3z = 2 and 2x + 4y – 6z + 7 = 0 is
(a) \(\frac{2}{\sqrt{14}}\)
(b) \(\frac{11}{\sqrt{56}}\)
(c) \(\frac{6}{\sqrt{56}}\)
(d) None
उत्तर:
(b) \(\frac{11}{\sqrt{56}}\)

प्रश्न 19.
The angle between a line with direction ratio 2 : 2 : 1 and a line joing (3, 1, 4) to (7, 2, 12) is:
(a) \(\cos ^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)\)
(b) \(\cos ^{-1}\left(\frac{3}{2}\right)\)
(c) \(\tan ^{-1}\left(-\frac{2}{3}\right)\)
(d) None
उत्तर:
(a) \(\cos ^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)\)

प्रश्न 20.
The angle between the two diagonals of a cube is……
(a) 30°
(b) 45°
(c) 60°
(d) tan^-1(2√2)
उत्तर:
(d) tan^-1(2√2)

प्रश्न 21.
The equation of the plane parallel to the plane x + y + z = 0 and passing through (α, β, γ) is :
(a) x + y + z = α + β + γ
(b) x + y + z = αβ + βγ + γα
(c) x + y + z + (α + β + γ) = 0
(d) None
उत्तर:
(a) x + y + z = α + β + γ

प्रश्न 22.
The direction cosines of the line joining (1, -1, 1) are (1, 1, 1) are:
(a) 2, -2, 0
(b) 1, -1, 0
(c) \(\left(\frac{-1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0\right)\)
(d) None
उत्तर:
(c) \(\left(\frac{-1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0\right)\)

प्रश्न 23.
तलों x + y + z = 4 और 5x – 2y + z = 2 की कटान रेखा और मूल बिन्दु से गुजरने वाले तल का समीकरण होगा :
(a) 6x – y + 2z = 0
(b) 9x – 5y + z = 0
(c) 4x – 3y = 0
(d) None
उत्तर:
(b) 9x – 5y + z = 0

प्रश्न 24.
The equation of y-axis is are:
(a) x = 0, y = 0
(b) x = 0, z = 0
(c) y = 0, z = 0
(d) None
उत्तर:
(b) x = 0, z = 0

प्रश्न 25.
सरल रेखाएँ \(\frac{x+6}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z+1}{4}\) पर बिन्दु (-6, 2, -1) से 3 दूरी पर एक बिन्दु के नियामक है :
(a) (-3, 8, 11)
(b) (-9, -4, 11)
(c) \(\left(-6+\frac{3}{\sqrt{21}}, 2+\frac{6}{\sqrt{21}},-1+\frac{12}{\sqrt{21}}\right)\)
(d) \(\left(\frac{3}{\sqrt{21}}, \frac{6}{\sqrt{21}}, \frac{12}{\sqrt{21}}\right)\)
उत्तर:
(c) \(\left(-6+\frac{3}{\sqrt{21}}, 2+\frac{6}{\sqrt{21}},-1+\frac{12}{\sqrt{21}}\right)\)

प्रश्न 26.
तल x + y + z = 3 के समांतर \(\frac{4}{\sqrt{3}}\) दूरी पर स्थित तल का समीकरण हैं :
(a) x – 2y – z = 0
(b) x + y + z + 1 = 0
(c) x + y + z = 7
(d) x + y + z = 3 + \(\frac{4}{\sqrt{3}}\)
उत्तर:
(b) x + y + z + 1 = 0
(c) x + y + z = 7

प्रश्न 27.
बिन्दुओं (2, 3, 4) और (8, -3, 8) को मिलाने वाले रेखाखण्ड के मध्य बिन्दु के नियामक हैं :
(a) (10, 0, 12)
(b) (5, 6, 0)
(c) (6, 5, 0)
(d) (5, 0, 6)
उत्तर:
(d) (5, 0, 6)

प्रश्न 28.
किसी सरल रेखा के दिक् अनुपात 1, 3, 5 हैं, तो रेखा की दिक् कोज्याएँ हैं :
(a) \(\frac{1}{\sqrt{35}}, \frac{3}{\sqrt{35}}, \frac{5}{\sqrt{35}}\)
(b) \(\frac{1}{9}, \frac{1}{3}, \frac{5}{9}\)
(c) \(\frac{3}{\sqrt{35}}, \frac{5}{\sqrt{35}}, \frac{1}{\sqrt{35}}\)
(d) \(\frac{5}{\sqrt{35}}, \frac{3}{\sqrt{35}}, \frac{1}{\sqrt{35}}\)
उत्तर:
(a) \(\frac{1}{\sqrt{35}}, \frac{3}{\sqrt{35}}, \frac{5}{\sqrt{35}}\)

प्रश्न 29.
The distance of the points (2, 1, -1) from the plane x – 2y + 4z = 9 is
(a) \(\frac{\sqrt{31}}{21}\)
(b) \(\frac{13}{21}\)
(c) \(\frac{13}{\sqrt{21}}\)
(d) \(\sqrt{\frac{13}{21}}\)
उत्तर:
(c) \(\frac{13}{\sqrt{21}}\)

प्रश्न 30.
The line x = 1, y = 2 is
(a) Parallel to x-axis
(b) Parallel to y-axis
(c) Parallel to z-axis
(d) None
उत्तर:
(c) Parallel to z-axis

प्रश्न 31.
The direction cosines of a line equally inclined to the +ve directions of axes are :
(a) 1, 1, 1
(b) \(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}\)
(c) \(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\)
(d) \(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\)
उत्तर:
(c) \(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\)

प्रश्न 32.
उस तल का समीकरण क्या है जो सरल रेखा \(\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z-1}{-4}\) से गुजरते हुए बिन्दु (-1, 2, 0) से 1 दूरी पर है?
(a) 5x + 6y + 7z = 7
(b) x + y + z + √3 – 1 = 0
(c) 2x + 3y + z = 4
(d) 9x + 2y + 6z = 6
उत्तर:
(d) 9x + 2y + 6z = 6

प्रश्न 33.
तल 7x + 4y – 2x + 5 = 0 पर अभिलंब के दिक् अनुपात है
(a) 7, 4, -2
(b) 7, 4, 5
(c) 7, 4, 2
(d) 4, -2, 5
उत्तर:
(a) 7, 4, -2

प्रश्न 34.
बिन्दु P(1, 2, 3) से तल x + y + z = 3 पर PQ लंब डाला जाता है, जहाँ Q लंब का पाद है, तो
(a) PQ = 3
(b) PQ = √3
(c) Q = (0, 1, 2)
(d) Q = (2, 1, 0)
उत्तर:
(b) PQ = √3

प्रश्न 35.
बिन्दुओं (x₁, y₁, z₁) और (x₂, y₂, z₂) को मिलाने वाली रेखा के दिक् अनुपात हैं :

उत्तर:
(d) x₂ – x₁, y₂ – y₁, z₂ – z₁

प्रश्न 36.
एक सरल रेखा (2, -1, 3) से गुजरती है और इसके दिक् अनुपात (3, -1, 2) हैं। इस रेखा के समीकरण है।

उत्तर:
(b) \(\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-3}{2}\)

प्रश्न 37.
एक सरल रेखा (α, β, γ) से गुजरती है और इसके दिक् कोज्याएँ l, m, n है। इस सरल रेखा के समीकरण हैं :

उत्तर:
(b) \(\frac{x-\alpha}{l}=\frac{\gamma-\beta}{m}=\frac{z-\gamma}{n}\)

प्रश्न 38.

(a) Parallel
(b) at right angles
(c) equidistant from origin
(d) None
उत्तर:
(a) Parallel

प्रश्न 39.
The equation of the right bisector plane to the segment joining (2, 3, 4) and (6, 7, 8) is:
(a) x + y + z + 15 = 0
(b) x + y + z – 15 = 0
(c) x – y + z – 15 = 0
(d) None
उत्तर:
(b) x + y + z – 15 = 0

प्रश्न 40.
If the direction cosines of a line are <\(\frac{1}{c}, \frac{1}{c}, \frac{1}{c}\)> then
(a) c > 0
(b) 0 < c < 1
(c) c = +√3
(d) c > 2
उत्तर:
(c) c = +√3

प्रश्न 41.
If the plane 2x – 3y + 6z – 11 = 0 makes an angle sin^-1(k) with x-axis then k is equal to:
(a) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
(b) \(\frac{2}{7}\)
(c) \(\frac{\sqrt{2}}{3}\)
(d) \(\frac{\sqrt{5}}{7}\)
उत्तर:
(d) \(\frac{\sqrt{5}}{7}\)

प्रश्न 42.
The lines 6x = 3y = 2z and \(\frac{x-1}{-2}=\frac{y-2}{-4}=\frac{z-3}{-6}\) are
(a) समांतर
(b) असममित
(c) प्रतिछेदी
(d) संपाती
उत्तर:
(d) संपाती

प्रश्न 43.
एक रेखा (2, -1, 3) सधे गुजरती है एवं इसके दिक् अनुपात (3, -1, 2) है। इस रेखा के समीकरण होंगे :

उत्तर:
(b) \(\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-3}{2}\)

प्रश्न 44.
किसी सरल रेखा के दिक् अनुपात 1, 3, 5 हैं, तो रेखा की दिक् कोज्याएँ है :
(a) \(\frac{1}{\sqrt{35}}, \frac{3}{\sqrt{35}}, \frac{5}{\sqrt{35}}\)
(b) \(\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{3}, \frac{5}{9}\)
(c) \(\frac{5}{\sqrt{35}} \cdot \frac{3}{\sqrt{35}}, \frac{1}{\sqrt{35}}\)
(d) None
उत्तर:
(a) \(\frac{1}{\sqrt{35}}, \frac{3}{\sqrt{35}}, \frac{5}{\sqrt{35}}\)

प्रश्न 45.
मूल बिन्दु से बिन्दु (-3, 4, 5) की दूरी है :
(a) 50
(b) 5√2
(c) 6
(d) None
उत्तर:
(b) 5√2

प्रश्न 46.

उत्तर:
(c) 6

प्रश्न 47.
रेखाएँ \(\frac{x-1}{l}=\frac{y+2}{m}=\frac{z-4}{n}\) और \(\frac{x+3}{2}=\frac{y-4}{3}=\frac{z}{6}\) एक-दूसरे के समांतर होगी यदि :
(a) 2l = 3m = n
(b) 3l = 2m = n
(c) 2l + 3m + 6n = 0
(d) lmn = 36
उत्तर:
(b) 3l = 2m = n

प्रश्न 48.
The points A (1, 1, 0), B (0, 1, 1), C (1, 0, 1) and D\(\left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)\) are
(a) Coplanar
(b) Non-coplanar
(c) Vertices of a parallelogram
(d) None
उत्तर:
(a) Coplanar

प्रश्न 49.
Two lines with direction cosines and are at right angles if.
(a) l₁l₂ + m₁m₂ + n₁n₂ = 0
(b) l₁ = l₂, m₁ = m₂, n₁ = n₂
(c) \(\frac{l_{1}}{l_{2}}=\frac{m_{1}}{m_{2}}=\frac{n_{1}}{n_{2}}\)
(d) l₁l₂ = m₁m₂ = n₁n₂
उत्तर:
(a) l₁l₂ + m₁m₂ + n₁n₂ = 0

प्रश्न 50.
How many lines through the origin in make equal angles with the coordinate axes?
(a) 1
(b) 4
(c) 8
(d) 2
उत्तर:
(c) 8

प्रश्न 51.
यदि रेखा \(\frac{x-x_{1}}{l}=\frac{y-y 1}{m}, \frac{z-z_{1}}{n}\) तल ax + by + cz + d = 0 के समांतर हो तो Al + bm + cn = ______
उत्तर:
0

प्रश्न 52.
The plane x + y = 0
(a) Is parallel to z-axis
(b) Is perpendicular to z-axis
(c) Passes through z-axis
(d) None
उत्तर:
(c) Passes through z-axis

प्रश्न 53.

उत्तर:
(c) \(\frac{|\vec{b} \times \vec{c}|}{|\vec{a}|}\)

प्रश्न 54.
The reflection of the point (2, -1, 3) in the plane 3x – 2y – z = 9 is:

उत्तर:
(b) \(\left(\frac{26}{7}, \frac{-15}{7}, \frac{17}{7}\right)\)

प्रश्न 55.
यदि किसी सरल रेखा के दिक-अनुपात 1 + λ, 1 – λ, 2 हो तो जो y-अक्ष के साथ 60° का कोण बनाता है तो λ =
(a) 1 + √3
(b) 2 + √5
(c) 1 – √3
(d) 2 – √5
उत्तर:
(b) 2 + √5
(d) 2 – √5

प्रश्न 56.
बिन्दुओं (4, 3, 7) और (1, -1, -5) के बीच की दूरी है :
(a) 7
(b) 12
(c) 13
(d) 25
उत्तर:
(c) 13

प्रश्न 57.
यदि 2x + 5y – 6z + 3 = 0 एक समतल का समीकरण हो, तो दिए गए समतल के समांतर समतल का समीकरण होगा :
(a) 3x + 5y – 6z + 3 = 0
(b) 2x – 5y – 6z + 3 = 0
(c) 2x + 5y – 6z + k = 0
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(c) 2x + 5y – 6z + k = 0

प्रश्न 58.
The direction cosines of the ray from (0, 0, 0) to (2, -3, 6) are

उत्तर:
(d) \(\frac{2}{7},-\frac{3}{7}, \frac{6}{7}\)

प्रश्न 59.
The angle between the lines x = 1, y = 2 and y + 1 = 0, z = 0 is
(a) 0°
(b) 30°
(c) 60°
(d) 90°
उत्तर:
(d) 90°

प्रश्न 60.
The lines \(\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}\) and \(\frac{x-1}{3}=\frac{y-2}{4}=\frac{z-3}{5}\) are
(a) समांतर
(b) असममित
(c) प्रतिछेदी
(d) कोई नहीं
उत्तर:
(c) प्रतिछेदी

प्रश्न 61.
तल 7x + 4y – 2z + 5 = 0 अभिलंब के दिक् अनुपात है :
(a) 7, 4, 5
(b) 7, 4, -2
(c) 7, 4, 2
(d) 0, 0, 0
उत्तर:
(b) 7, 4, -2

प्रश्न 62.
यदि l, m, n एक सरल रेखा की दिक् कोज्याएँ हैं, तो :
(a) l² + m² – n² = 1
(b) l² – m² + n² = 1
(c) l² – m² – n² = 1
(d) l² + m² + n² = 1
उत्तर:
(d) l²+ m² + n² = 1

प्रश्न 63.
z-अक्ष की दिक् कोज्याएँ होती हैं :
(a) (0, 0, 0)
(b) (1, 0, 0)
(c) (0, 0, 1)
(d) (0, 1, 0)
उत्तर:
(c) (0, 0, 1)

प्रश्न 64.
The line x = x₁, y = y₁ is
(a) Parallel to x-axis
(b) Parallel to y-axis
(c) Parallel to z-axis
(d) Parallel to XOY Plane
उत्तर:
(c) Parallel to z-axis

प्रश्न 65.
The equation xy = 0 in three-dimensional space is represented by :
(a) a plane
(b) two planes are right angles
(c) a pair of parallel planes
(d) a pair of st. line
उत्तर:
(b) two planes are right angles

प्रश्न 66.
The equation of the plane through the origin and parallel to the plane 3x – 4y + 5z – 6 = 0 is
(a) 3x – 4y – 5z – 6 = 0
(b) 3x – 4y + 5z + 6 = 0
(c) 3x – 4y + 5z = 0
(d) 3x + 4y – 5z + 6 = 0
उत्तर:
(c) 3x – 4y + 5z = 0

प्रश्न 67.
Direction cosines of the line making an equal angle with the axes maybe

उत्तर:
(b) 3x – 4y + 5z + 6 = 0
(c) 3x – 4y + 5z = 0

प्रश्न 68.
बिंदु (2, -3, -1) से तल 2x – 3y + 6z + 7 = 0 की दूरी हैं
(a) 4
(b) 3
(c) 2
(d) \(\frac{1}{5}\)
उत्तर:
(c) 2

Bihar Board 12th Maths Objective Questions and Answers

Bihar Board 12th Maths Objective Answers Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता

प्रश्न 1.

उत्तर:
(b) \(\log (1+y)=x+\frac{x^{2}}{2}+k\)

प्रश्न 2.
यदि y = sin(x³) तो \(\frac{d y}{d x}=\)
(a) x³ cos(x³)
(b) 3x² sin(x³)
(c) 3x² cos(x³)
(d) cos(x³)
उत्तर:
(c) 3x² cos(x³)

प्रश्न 3.

उत्तर:
(a) \(\frac{\sec ^{3} \theta}{a \theta}\)

प्रश्न 4.

उत्तर:
(b) \(\frac{1}{x}\)

प्रश्न 5.

उत्तर:
(a) \(2 x \frac{d y}{d x}+\frac{2}{\sqrt{x}}=y\)

प्रश्न 6.

उत्तर:
(b) \(\frac{y}{x-x^{2}-y^{2}}\)

प्रश्न 7.

उत्तर:
(b) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)

प्रश्न 8.
यदि y = logcosx² तो x = √π पर \(\frac{d y}{d x}\) का मान है :
(a) 0
(b) 1
(c) \(\frac{\pi}{4}\)
(d) √π
उत्तर:
(a) 0

प्रश्न 9.

उत्तर:
(c) \(\frac{-1}{(1+x)^{2}}\)

प्रश्न 10.
अवकल समीकरण (x + 4) (dx – dy) = dx + dy का हल है :
(a) x – y = log(x + y) + C
(b) x + y = log(x – y) + C
(c) x² + y² = x + y + C
(d) x² – y² = x + y + C
उत्तर:
(b) x + y = log(x – y) + C

प्रश्न 11.

उत्तर:
(b) \(\frac{\sin ^{2}(a+y)}{\sin a}\)

प्रश्न 12.

उत्तर:
(b) 1

प्रश्न 13.
यदि x = acos⁴θ, y = a sin⁴θ तब \(\frac{d y}{d x}\) at θ = \(\frac{3 \pi}{4}\)
(a) a²
(b) 1
(c) -1
(d) -a²
उत्तर:
(c) -1

प्रश्न 14.

उत्तर:
(b) \(\frac{t^{2}+1}{t^{2}-1}\)

प्रश्न 15.

उत्तर:
(c) \(\frac{2^{x+y}\left(2^{y}-1\right)}{1-2^{x}}\)

प्रश्न 16.
यदि x = a (cosθ + θsinθ), y = a (sinθ – θcosθ), \(\frac{d y}{d x}=\)
(a) cosθ
(b) tanθ
(c) secθ
(d) cosecθ
उत्तर:
(b) tanθ

प्रश्न 17.

उत्तर:
(d) \(\frac{1}{2}\)

प्रश्न 18.

उत्तर:
(c) 2

प्रश्न 19.

उत्तर:
(a) 1

प्रश्न 20.

उत्तर:
(a) \(\frac{1}{x} \cos (\log x)\)

प्रश्न 21.

उत्तर:
(b) \(\frac{-\sin (\log x)}{x}\)

प्रश्न 22.

उत्तर:
(b) 1

प्रश्न 23.
यदि y = logx^x, तो \(\frac{d y}{d x}\)
(a) 1
(b) log x
(c) log (ex)
(d) कोई नहीं
उत्तर:
(c) log (ex)

प्रश्न 24.

उत्तर:
(b) \(\frac{1}{x \log x \log (\log x)}\)

प्रश्न 25.

उत्तर:
(d) -1

प्रश्न 26.

उत्तर:
(a) 3x²

प्रश्न 27.

उत्तर:
(a) \(-\frac{1}{2}\)

प्रश्न 28.

उत्तर:
(a) \(\frac{1}{2 x}\)

प्रश्न 29.
रैखिक अवकल समीकरण \(\frac{d y}{d x}\) + Py = Q का समाकलन गुणक है :
(a) ∫_ePdy
(b) ∫_eQdx
(c) ∫_eQdy
(d) ∫_ePdx
उत्तर:
(d) ∫_ePdx

प्रश्न 30.

उत्तर:
(a) n²y

प्रश्न 31.

उत्तर:
(d) \(\frac{-y(x \log y+y)}{x(y \log x+x)}\)

प्रश्न 32.
यदि y = a^x, तब \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) का मान है :
(a) a^x log a
(b) a^x (log a)²
(c) (a^x)² log a
(d) कोई नहीं
उत्तर:
(b) a^x (log a)²

प्रश्न 33.

उत्तर:
(b) \(\frac{12}{(3-2 x)^{2}} \sin \log \frac{2 x+3}{3-2 x}\)

प्रश्न 34.
यदि siny + e^{-x cos y} = e तब \(\frac{d y}{d x}\) (1, π):
(a) siny
(b) -x cosy
(c) e
(d) sin y – cos y
उत्तर:
(c) e

प्रश्न 35.

उत्तर:
(c) \(f\left(-\frac{1}{2}\right)=f\left(\frac{1}{2}\right)\)

प्रश्न 36.
y = logx^x, तो \(\frac{d y}{d x}=\)
(a) 1
(b) log x
(c) log (ex)
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(c) log (ex)

प्रश्न 37.
यदि y = x⁵ तो \(\frac{d y}{d x}=\)
(a) 5x
(b) 6x
(c) 5x⁴
(d) 5x²
उत्तर:
(c) 5x⁴

प्रश्न 38.
यदि y = sin 2x तो \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) का मान है :
(a) 4 sin 2x
(b) 4 cos² 2x
(c) -4 sin 2x
(d) 2 sin 4x
उत्तर:
(c) -4 sin 2x

प्रश्न 39.

उत्तर:
(c) \(\frac{y}{1-y}\)

प्रश्न 40.
किसी वृत्त की त्रिज्या की वृद्धि दर 0.4 सेमी/से है, तो इसकी परिधि की वृद्धि होगी :
(a) 0.47 सेमी/से
(b) 0.87 सेमी/से
(c) 0.8 सेमी/से
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(b) 0.87 सेमी/से

प्रश्न 41.
अवकल समीकरण \(\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}\) + y = x की कोटि है :
(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) 3
उत्तर:
(b) 1

प्रश्न 42.
\(\frac{d}{d x}\)(sec x)
(a) sec²x
(b) tan²x
(c) sec x. tan x
(d) 0
उत्तर:
(b) tan²x

प्रश्न 43.
यदि y = log(sinx²) तो x = \(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\) पर \(\frac{d y}{d x}\) का मान है :
(a) 0
(b) 1
(c) \(\frac{\pi}{4}\)
(d) √π
उत्तर:
(d) √π

प्रश्न 44.

उत्तर:
(b) \(\frac{1}{1+x^{2}}\)

प्रश्न 45.

उत्तर:
(a) \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}\)

प्रश्न 46.

उत्तर:
(b) \(\frac{\cos x}{2 y-1}\)

प्रश्न 47.

उत्तर:
(b) 6x²

प्रश्न 48.

उत्तर:
(d) 0

प्रश्न 49.

उत्तर:
(c) \(-\frac{x}{y}\)

प्रश्न 50.
यदि y = tan²x, तो \(\frac{d y}{d x}=\)
(a) sec²x
(b) sec⁴x
(c) 2 tanx secx
(d) 2 tanx sec²x
उत्तर:
(d) 2 tanx sec²x

प्रश्न 51.
\(\frac{d}{d x}\left(e^{x}\right)\)
(a) e^x
(b) e^-x
(c) e^2x
(d) e^3x
उत्तर:
(a) e^x

प्रश्न 52.

उत्तर:
(d) 0

प्रश्न 53.
यदि x² + y² = 1 तब
(a) yy” – (2y’)² + 1 = 0
(b) yy” + (y’)² + 1 = 0
(c) yy” – (y’)² – 1 = 0
(d) yy” + 2(y’)² + 1 = 0
उत्तर:
(b) yy” + (y’)² + 1 = 0

प्रश्न 54.

उत्तर:
(b) \(\frac{-2}{\left(1+x^{2}\right)}\)

प्रश्न 55.

उत्तर:
(a) \(\frac{2}{1+x^{2}}\)

प्रश्न 56.

उत्तर:
(c) 0

प्रश्न 57.
यदि y² = ax² + 2bx + c तब \(y^{3} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\)
(a) b² – 4ac
(b) b² – ac
(c) ac – b²
(d) 4(b² + ac)
उत्तर:
(c) ac – b²

प्रश्न 58.

उत्तर:
(d) इनमें से काईं नहीं

प्रश्न 59.

उत्तर:
(b) 2

प्रश्न 60.

उत्तर:
(b) 4

Bihar Board 12th Maths Objective Questions and Answers

Bihar Board 12th Maths Objective Answers Chapter 10 सदिश बीजगणित

प्रश्न 1.

उत्तर:
(a) \(\frac{1}{\sqrt{2}}(-\hat{j}+\hat{k})\)

प्रश्न 2.
(1 + ω – ω²)³ – (1 – ω + ω²)³ = ?
(a) 0
(b) -1
(c) -16
(d) 32
उत्तर:
(a) 0

प्रश्न 3.
सदिशों \(2 \vec{i}-3 \vec{j}+2 \vec{k}\) एवं \(\vec{i}+4 \vec{j}+5 \vec{k}\) के बीच का कोण है :
(a) 30°
(b) 90°
(c) 45°
(d) 60°
उत्तर:
(b) 90°

प्रश्न 4.
दो सदिश \(\vec{a}=m \hat{i}+\frac{1}{2} \hat{j}+\frac{1}{6} \hat{j}\) एवं \(\vec{b}=6 \hat{i}+\frac{1}{2} \hat{j}+\frac{1}{3} \hat{k}\) परस्पर समांतर होंगे यदि, m का मान होगा :
(a) 3
(b) -3
(c) \(\frac{1}{2}\)
(d) 6
उत्तर:
(a) 3

प्रश्न 5.

उत्तर:
(a) \(\vec{a} \perp \vec{b}\)

प्रश्न 6.

उत्तर:
(b) \(\frac{5}{\sqrt{6}}\)

प्रश्न 7.

उत्तर:
(b) \(\frac{4}{3}\)

प्रश्न 8.

उत्तर:
(b) -10

प्रश्न 9.

उत्तर:
(a) \(4 \vec{i}+5 \vec{j}+6 \vec{k}\)

प्रश्न 10.
सदिश \(2 \vec{i}-7 \vec{j}-3 \vec{k}\) का मापांक है :
(a) √61
(b) √62
(c) √64
(d) √32
उत्तर:
(b) √62

प्रश्न 11.
\((\vec{a} \times \vec{a}) \cdot \vec{b}\)
(a) 1
(b) -1
(c) 0
(d) 2
उत्तर:
(c) 0

प्रश्न 12.
बिंदु (1, 0, 2) का स्थिति सदिश है :
(a) \(\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}\)
(b) \(\hat{i}+2 \hat{j}\)
(c) \(\hat{i}+3 \hat{k}\)
(d) \(\hat{i}+2 \hat{k}\)
उत्तर:
(d) \(\hat{i}+2 \hat{k}\)

प्रश्न 13.
\(x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}\) का मापांक निम्नांकित में कौन-सा होगा?
(a) \(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\)
(b) \(\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\)
(c) x² + y² + z²
(d) None
उत्तर:
(a) \(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\)

प्रश्न 14.

उत्तर:
(b) \(\vec{a}(\vec{b} \times \vec{c})=0\)

प्रश्न 15.
स्थिति-सदिश (2, 6), (1, 2) एवं (a, 10) वाले बिंदु एक रैखिक होंगे, यदि a का मान है :
(a) -8
(b) 4
(c) 3
(d) 12
उत्तर:
(a) -8, (c) 3, (d) 12

प्रश्न 16.

उत्तर:
(a) \(z \hat{i}-x \hat{k}\)

प्रश्न 17.

उत्तर:
(b) 7

प्रश्न 18.

उत्तर:
(c) \(\frac{\pi}{4}\)

प्रश्न 19.
\(|-\vec{i}+2 \vec{j}-3 \vec{k}|=\)
(a) √15
(b) √3
(c) 2
(d) √14
उत्तर:
(d) √14

प्रश्न 20.

उत्तर:
(b) \(3 \bar{i}-\bar{j}+5 \bar{k}\)

प्रश्न 21.
\(\bar{k} \times \bar{j}=\)
(a) 0
(b) 1
(c) i
(d) -i
उत्तर:
(d) -i

प्रश्न 22.
यदि C, AB का मध्यबिंदु हो और P, AB के बाहर कोई बिन्दु हो, तो
(a) \(\overrightarrow{\mathrm{PA}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}=2 \overrightarrow{\mathrm{PC}}\)
(b) \(\overrightarrow{\mathrm{PA}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{\mathrm{PC}}\)
(c) \(\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}=2 \overrightarrow{P C}=\vec{O}\)
(d) None
उत्तर:
(a) \(\overrightarrow{\mathrm{PA}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}=2 \overrightarrow{\mathrm{PC}}\)

प्रश्न 23.

उत्तर:
(b) √210

प्रश्न 24.

उत्तर:
(b) \(2 \sin \left(\frac{\theta}{2}\right)\)

प्रश्न 25.

उत्तर:
(a) \(\frac{\pi}{2}\)

प्रश्न 26.
\(\vec{a} \times \vec{a}=\)
(a) 1
(b) 0
(c) a²
(d) a
उत्तर:
(b) 0

प्रश्न 27.
यदि \(|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{a}+\vec{b}|=1\) तो \(|\vec{a}-\vec{b}|\) बराबर है :
(a) 1
(b) √3
(c) 0
(d) None
उत्तर:
(b) √3

प्रश्न 28.

उत्तर:
(c) \(\frac{\hat{i}+\hat{j}}{\sqrt{2}}\)

प्रश्न 29.

उत्तर:
(a) \(\frac{\pi}{2}\)

प्रश्न 30.

उत्तर:
(a) \(\frac{3}{2}(\hat{i}+\hat{j})\)

प्रश्न 31.

उत्तर:
(b) \(\bar{a} \perp \bar{b}\)

प्रश्न 32.
यदि \(\vec{a}=2 \bar{i}-5 \bar{j}+\bar{k}\) और \(\vec{b}=4 \bar{i}+2 \bar{j}+\bar{k}\) तो a.b =
(a) 0
(b) -1
(c) 1
(d) 2
उत्तर:
(b) -1

प्रश्न 33.

उत्तर:
(c) \(-\frac{3}{2}\)

प्रश्न 34.

उत्तर:
(a) 6

प्रश्न 35.

उत्तर:
(a) \(\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}\)

प्रश्न 36.
\(5 \hat{i}+\hat{j}-3 \hat{k}\) और \(3 \hat{i}-4 \hat{j}+7 \hat{k}\) का अदिश गुणनफल है :
(a) 10
(b) -10
(c) 15
(d) -15
उत्तर:
(b) -10

प्रश्न 37.

उत्तर:
(c) \(\frac{\pi}{4}\)

प्रश्न 38.
\(\vec{i} \cdot \vec{j}=\)
(a) 1
(b) 0
(c) \(\vec{k}\)
(d) \(-\vec{k}\)
उत्तर:
(b) 0

प्रश्न 39.

उत्तर:
(d) \(x \vec{i}+y \vec{j}+z \vec{k}\)

प्रश्न 40.

उत्तर:
(a) \(\vec{i}+\vec{j}+7 \vec{k}\)

प्रश्न 41.
\(\vec{a} \cdot \vec{a}=\)
(a) 0
(b) 1
(c) \(|\vec{a}|^{2}\)
(d) \(|\vec{a}|\)
उत्तर:
(c) \(|\vec{a}|^{2}\)

प्रश्न 42.
यदि \(\vec{a} \vec{b}\) दो शून्येतर असरेख सदिश हो और x, y दो अदिश हों जिससे कि \(x \vec{a}+y \vec{b}=\overrightarrow{0}\) तो निम्नांकित में कौन-सा सत्य होगा?
(a) x = y, y ≠ 0
(b) x ≠ 0, y = 0
(c) x ≠ 0, y ≠ 0
(d) x = 0, y = 0
उत्तर:
(d) x = 0, y = 0

प्रश्न 43.
सदिश \(\vec{i}-\frac{1}{2} \vec{j}+3 \vec{k}\) और \(2 \vec{i}+\vec{j}-\frac{1}{2} \vec{k}\) है।
(a) समांतर
(b) लंब
(c) बराबर
(d) कोई नहीं
उत्तर:
(b) लंब

प्रश्न 44.

उत्तर:
(a) \((\vec{a})^{2}(\vec{b})^{2}-(\vec{a} \cdot \vec{b})^{2}\)

प्रश्न 45.
मूल बिन्दु से (-3, 4, 5) की दूरी है :
(a) 50
(b) 5√2
(c) 6
(d) None
उत्तर:
(b) 5√2

प्रश्न 46.

उत्तर:
(a) 47

प्रश्न 47.
\(|2 \vec{i}-3 \vec{j}+\vec{k}|=\)
(a) 14
(b) √14
(c) √3
(d) 2
उत्तर:
(b) √14

प्रश्न 48.
यदि बिन्दु A और B के स्थिति सदिश क्रमशः (1, 2, 3) और (3, -4, 0) हो, तो \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\)
(a) \(4 \vec{i}+6 \vec{j}+3 \vec{k}\)
(b) \(-4 \vec{i}-6 \vec{j}-3 \vec{k}\)
(c) \(3 \vec{i}-8 \vec{k}\)
(d) \(-3 \vec{i}-8 \vec{j}\)
उत्तर:
(b) \(-4 \vec{i}-6 \vec{j}-3 \vec{k}\)

प्रश्न 49.

उत्तर:
(a) \(4 \vec{i}+6 \vec{j}+3 \vec{k}\)

प्रश्न 50.

उत्तर:
(d) \(3 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}\)

प्रश्न 51.

उत्तर:
(b) \(\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{B C}=2 B \vec{M}\)

प्रश्न 52.

उत्तर:
(b) \(\vec{b} \cdot \vec{a}\)

प्रश्न 53.

उत्तर:
(b) \(\frac{5}{7}\)

प्रश्न 54.

उत्तर:
(b) -15

प्रश्न 55.
\((\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}-\vec{b})=\)
(a) 1
(b) 0
(c) a² + b²
(d) a² – b²
उत्तर:
(d) a² – b²

प्रश्न 56.
\(7 \vec{i}-2 \vec{j}+\vec{k}\) का मापांक है :
(a) √10
(b) √55
(c) 3√6
(d) 6
उत्तर:
(c) 3√6

प्रश्न 57.

उत्तर:
(c) 5

Bihar Board 12th Maths Objective Questions and Answers

Bihar Board 12th Maths Objective Answers Chapter 3 आव्यूह

प्रश्न 1.

उत्तर:
(c) \(\left[\begin{array}{cc}
1 / 2 & -1 \\
1 / 2 & 0
\end{array}\right]\)

प्रश्न 2.

उत्तर:
(d) 5

प्रश्न 3.

उत्तर:
(b) \(\left[\begin{array}{ll}
b^{2}+b c & a b+b d \\
a c+d c & d c+d^{2}
\end{array}\right]\)

प्रश्न 4.
\(\left[\begin{array}{cc}
\cos x & -\sin x \\
\sin x & \cos x
\end{array}\right]\) का मान होगा :
(a) cos²x – sin²x
(b) 0
(c) 1
(d) -1
उत्तर:
(c) 1

प्रश्न 5.
A = \(\left[\begin{array}{ll}
2 & 3 \\
5 & k
\end{array}\right]\) का व्युत्क्रम प्राप्त नहीं होगा यदि k का मान है :
(a) 2
(b) \(\frac{3}{2}\)
(c) \(\frac{5}{2}\)
(d) \(\frac{15}{2}\)
उत्तर:
(d) \(\frac{15}{2}\)

प्रश्न 6.

उत्तर:
(b) \(\left[\begin{array}{cc}
-1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right]\)

प्रश्न 7.
यदि A = \(\left[\begin{array}{cc}
3 & 1 \\
-1 & 2
\end{array}\right]\) तब A² – 5A – 7I है :
(a) शून्य आव्यूह है
(b) विकर्ण आव्यूह है
(c) तत्समक आव्यूह है
(d) कोई नहीं
उत्तर:
(b) विकर्ण आव्यूह है

प्रश्न 8.
यदि F(x) = \(\left[\begin{array}{cc}
\cos x & \sin x \\
-\sin x & \cos x
\end{array}\right]\) तब F(x), F(y) बराबर है
(a) F(x)
(b) F(y)
(c) F(x + y)
(d) F(x – y)
उत्तर:
(c) F(x + y)

प्रश्न 9.
यदि A = \(\left[\begin{array}{ll}
\alpha & 0 \\
1 & 1
\end{array}\right]\) और B = \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
5 & 1
\end{array}\right]\) तब A2 = B सत्य है
(a) α = 1 के लिए
(b) α की कोई कीमत नहीं
(c) α = 4 के लिए
(d) α = -4 के लिए
उत्तर:
(b) α की कोई कीमत नहीं

प्रश्न 10.
यदि A = \(\left[\begin{array}{cc}
\cos x & -\sin x \\
\sin x & \cos x
\end{array}\right]\) तो A + A^T = I यदि α का मान है
(a) \(\frac{\pi}{6}\)
(b) \(\frac{\pi}{3}\)
(c) π
(d) 0
उत्तर:
(b) \(\frac{\pi}{3}\)

प्रश्न 11.
यदि \(\left[\begin{array}{cc}
x+y & y \\
2 x & x-y
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
2 \\
-1
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
3 \\
2
\end{array}\right]\) तो xy बराबर होगा
(a) -5
(b) -4
(c) 4
(d) 5
उत्तर:
(a) -5

प्रश्न 12.
A = [a_ij]_m×n एक वर्ग आव्यूह है यदि :
(a) m = n
(b) m < n
(c) m > n
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(a) m = n

प्रश्न 13.

उत्तर:
(c) F(x + y)

प्रश्न 14.
यदि \(\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ll}
\alpha & 0 \\
1 & 1
\end{array}\right] \mathbf{B}=\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
5 & 1
\end{array}\right]\), जहाँ A² = B, तो α का मान है
(a) 1
(b) -1
(c) 4
(d) α का वास्तविक मान नहीं
उत्तर:
(d) α का वास्तविक मान नहीं

प्रश्न 15.
यदि A = \(\left[\begin{array}{ll}
3 & -2 \\
4 & -2
\end{array}\right]\) तब का मान यदि
(a) 0
(b) 8
(c) -7
(d) 1
उत्तर:
(d) 1

प्रश्न 16.

उत्तर:
(c) |A| = 5

प्रश्न 17.
यदि \(\mathbf{A}=\left[\begin{array}{l}
111 \\
111 \\
111
\end{array}\right]\) तब A² = ?
(a) A
(b) 2A
(c) 3A
(d) 1
उत्तर:
(c) 3A

प्रश्न 18.
यदि A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
a & b & -1
\end{array}\right]\) तो A² =
(a) एकांक आव्यूह
(b) A
(c) रिक्त आव्यूह
(d) -A
उत्तर:
(a) एकांक आव्यूह

प्रश्न 19.
एक मैट्रिक्स A = [a_ij]_m×n सममित है यदि :
(a) a_ij = 0
(b) a_ij = -a_ji
(c) a_ij = a_ji
(d) a_ij = 1
उत्तर:
(c) a_ij = a_ji

प्रश्न 20.

उत्तर:
(d) \(\left[\begin{array}{ll}
27 & 36 \\
25 & 10
\end{array}\right]\)

प्रश्न 21.

उत्तर:
(b) \(\left[\begin{array}{cc}
1 & 36 \\
0 & 1
\end{array}\right]\)

प्रश्न 22.
आव्यूह \(\left[\begin{array}{ccc}
2 & -1 & 4 \\
1 & 0 & -5 \\
-4 & 5 & 7
\end{array}\right]\) है :
(a) सममित आव्यूह
(b) असममित आव्यूह
(c) विकर्ण आव्यूह
(d) कोई नहीं
उत्तर:
(d) कोई नहीं

प्रश्न 23.
यदि A = \(\left[\begin{array}{ll}
\alpha & 2 \\
2 & \alpha
\end{array}\right]\) और |A³| = 125 तब α =
(a) ±3
(b) ±2
(c) ±5
(d) 0
उत्तर:
(a) ±3

प्रश्न 24.
एक मैट्रिक्स A = [a_ij]_m×n सममित हैं यदि
(a) a_ij = 0
(b) a_ij = -a_ji
(c) a_ij = a_ji
(d) a_ij = 1
उत्तर:
(c) a_ij = a_ji

प्रश्न 25.
यदि A = \(\left[\begin{array}{cc}
3 & 1 \\
-1 & 2
\end{array}\right]\) तब A² – 5A – 7I का मान है।
(a) सम इकाई आव्यूह
(b) शून्य आव्यूह
(c) (a) और (b) दोनों
(d) कोई नहीं
उत्तर:
(b) शून्य आव्यूह

प्रश्न 26.

उत्तर:
(a) \(\left[\begin{array}{cc}
1 & 2 n \\
0 & 1
\end{array}\right]\)

प्रश्न 27.
यदि A एक उत्क्रमणीय आव्यूह है जिसका क्रम n × n है तो
(a) n|A|
(b) |A|^n-1
(c) |A|
(d) |A|ⁿ
उत्तर:
(b) |A|^n-1

प्रश्न 28.
यदि A = \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 2 \\
4 & 2
\end{array}\right]\) तो 2A =
(a) 2|A|
(b) 4|A|
(c) 8|A|
(d) None
उत्तर:
(b) 4|A|

प्रश्न 29.

उत्तर:
(c) \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right]\)

प्रश्न 30.

उत्तर:
(c) \(\left[\begin{array}{cc}
\cos \theta & \sin \theta \\
-\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right]\)

प्रश्न 31.

उत्तर:
(b) \(\left[\begin{array}{lll}
40 & 40 & 40 \\
40 & 40 & 40
\end{array}\right]\)

प्रश्न 32.

उत्तर:
(c) (-1, 1)

प्रश्न 33.

उत्तर:
(c) \(\frac{\pi}{3}\)

प्रश्न 34.
एक आव्यूह 18 अवयव रखता है तब आव्यूह का धनात्मक कोटि है:
(a) 3
(b) 4
(c) 6
(d) 5
उत्तर:
(c) 6

प्रश्न 35.

उत्तर:
(c) \(\left[\begin{array}{cc}
\cos \theta & \sin \theta \\
-\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right]\)

प्रश्न 36.

उत्तर:
(b) \(\left[\begin{array}{cc}
\cos \theta & \sin \theta \\
-\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right]\)

प्रश्न 37.
एक मैट्रिक्स A = [a_ij]_m×n विषम सममित है यदि :
(a) a_ij = 0
(b) a_ij = a_ji
(c) a_ij = -a_ji
(d) a_ij = 1
उत्तर:
(c) a_ij = -a_ji

प्रश्न 38.
A = \(\left[\begin{array}{cc}
1 & -1 \\
-1 & 1
\end{array}\right]\) ⇒ A² =
(a) 2A
(b) A
(c) \(\frac{1}{2} A\)
(d) 4A
उत्तर:
(a) 2A

प्रश्न 39.
यदि A² – A + I = 0 हो तब A का व्युत्क्रम है
(a) A
(b) A + I
(c) I – A
(d) A – I
उत्तर:
(c) I – A

प्रश्न 40.

उत्तर:
(a) A

प्रश्न 41.
यदि \(\left|\begin{array}{ll}
x & 8 \\
3 & 3
\end{array}\right|=0\), x का मान है :
(a) 3
(b) 8
(c) 24
(d) 10
उत्तर:
(b) 8

प्रश्न 42.
यदि A = \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 2 \\
4 & 2
\end{array}\right]\) तो 2|A| =
(a) 2|A|
(b) 4|A|
(c) 8|A|
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(b) 4|A|

प्रश्न 43.
यदि A = \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{array}\right]\) तो A² है :
(a) 27A
(b) 2A
(c) 3A
(d) 1
उत्तर:
(a) 27A

प्रश्न 44.
यदि A = \(\left[\begin{array}{ll}
3 & -2 \\
4 & -2
\end{array}\right]\) तब K का मान यदिः
(a) 0
(b) 8
(c) -7
(d) 1
उत्तर:
(d) 1

प्रश्न 45.
यदि \(\left|\begin{array}{cc}
1-x & 2 \\
18 & 6
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}
6 & 2 \\
18 & 6
\end{array}\right|\) तो x =
(a) ±6
(b) 6
(c) -5
(d) 7
उत्तर:
(c) -5

प्रश्न 46.
किसी एकांक समूह I के लिए :
(a) I² = 1
(b) |I| = 0
(c) |I| = 2
(d) |I| = 5
उत्तर:
(a) I² = 1

Bihar Board 12th Maths Objective Questions and Answers

Bihar Board 12th Maths Objective Answers Chapter 2 प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन

प्रश्न 1.

उत्तर:
(a) \(\frac{\sqrt{1-x^{2}}}{x}\)

प्रश्न 2.

उत्तर:
(b) \(\frac{5 \pi}{6}\)

प्रश्न 3.

उत्तर:
(d) 0

प्रश्न 4.

उत्तर:
(a) \(\sqrt{\left(\frac{x^{2}+1}{x^{2}+2}\right)}\)

प्रश्न 5.

उत्तर:
(d) 0

प्रश्न 6.

उत्तर:
(a) 0

प्रश्न 7.

उत्तर:
(a) \(\frac{\pi}{4}\)

प्रश्न 8.

उत्तर:
(a) \(\frac{\pi}{4}\)

प्रश्न 9.
यदि sin^-1(1 – x) – 2sin^-1x = \(\frac{\pi}{2}\) तब x का मान है :
(a) 0
(b) 0, \(-\frac{1}{2}\)
(c) 0, \(\frac{1}{2}\)
(d) कोई नहीं
उत्तर:
(a) 0

प्रश्न 10.

उत्तर:
(b) \(\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\)

प्रश्न 11.

उत्तर:
(c) \(\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}\)

प्रश्न 12.
sin^-1x + cot^-1x का मान है :
(a) π
(b) \(\frac{\pi}{2}\)
(c) \(-\frac{\pi}{2}\)
(d) 1
उत्तर:
(b) \(\frac{\pi}{2}\)

प्रश्न 13.

उत्तर:
(c) \(\frac{\pi}{12}\)

प्रश्न 14.

उत्तर:
(a) \(\frac{3 \pi}{4}\)

प्रश्न 15.
cos^-1(4x³ – 3x) का सरल रूप है :
(a) 3sin^-1x
(b) 3cos^-1x
(c) π – 3sin^-1x
(d) कोई नहीं
उत्तर:
(b) 3cos^-1x

प्रश्न 16.

उत्तर:
(d) \(\frac{\pi}{4}\)

प्रश्न 17.

उत्तर:
(b) \(\frac{\pi}{2}\)

प्रश्न 18.

उत्तर:
(c) \(\frac{3 \pi}{4}\)

प्रश्न 19.

उत्तर:
(a) \(\tan ^{2} \frac{\alpha}{2}\)

प्रश्न 20.

उत्तर:
(c) \(\frac{17}{6}\)

प्रश्न 21.

उत्तर:
(d) कोई नहीं

प्रश्न 22.

उत्तर:
(c) \(\frac{2 \pi}{3}\)

प्रश्न 23.

उत्तर:
(d) \(-\frac{\pi}{6}\)

प्रश्न 24.

उत्तर:
(a) \(\frac{17}{6}\)

प्रश्न 25.

उत्तर:
(d) 1

प्रश्न 26.
x का मान जिसके लिए sin(cot^-1(1 – x)) = cos(tan^-1x)
(a) 2
(b) 1
(c) 0
(d) \(\frac{1}{2}\)
उत्तर:
(d) \(\frac{1}{2}\)

प्रश्न 27.

उत्तर:
(a) \(\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}\)

प्रश्न 28.

उत्तर:
(b) \(\frac{\pi}{3}\)

प्रश्न 29.

उत्तर:
(a) \(\frac{\pi}{2}\)

प्रश्न 30.

उत्तर:
(d) \(\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\)

प्रश्न 31.

उत्तर:
(a) \(\frac{\pi}{4}\)

प्रश्न 32.

उत्तर:
(b) \(\frac{\pi}{4}\)

प्रश्न 33.

उत्तर:
(c) \(\frac{2 \pi}{3}\)

प्रश्न 34.

उत्तर:
(d) \(\frac{\pi}{3}\)

प्रश्न 35.

उत्तर:
(a) \(\frac{\pi}{2}\)

प्रश्न 36.

उत्तर:
(c) \(\frac{\pi}{2}\)

प्रश्न 37.

उत्तर:
(b) \(-\frac{\pi}{3}\)

प्रश्न 38.

उत्तर:
(c) \(\frac{3}{4}\)

प्रश्न 39.

उत्तर:
(a) 0, \(\frac{1}{2}\)

प्रश्न 40.

उत्तर:
(a) \(\sin ^{-1} \frac{2 x}{1+x^{2}}\)

प्रश्न 41.
tan^-1x + tan^-1y = \(\tan ^{-1} \frac{x+y}{1-x y}\), सभी x, y के स्लिए
(a) x > 0, y > 0 तथा xy < 1
(b) x > 0, y > 0 तथा xy > 1
(c) x > 0, y < 0 तथा xy > 1
(d) None
उत्तर:
(a) x > 0, y > 0 तथा xy < 1

प्रश्न 42.

उत्तर:
(a) \(\frac{3 \pi}{10}\)

प्रश्न 43.

उत्तर:
(d) \(\frac{\pi}{3}\)

प्रश्न 44.
tan^-1√3 – cot^-1(-√3) के बराबर है :
(a) π
(b) \(-\frac{\pi}{2}\)
(c) 0
(d) 2√3
उत्तर:
(b) \(-\frac{\pi}{2}\)

प्रश्न 45.
फल्नन f(x) = \(\sqrt{\sin ^{-1} x}\) का प्रांत है।
(a) [0, 1]
(b) [-1, 1]
(c) [-1, 0]
(d) [0, 1]
उत्तर:
(a) [0, 1]

प्रश्न 46.

उत्तर:
(c) \(\frac{\pi}{3}\)

Bihar Board 12th Maths Objective Questions and Answers

Bihar Board 12th Maths Objective Answers Chapter 13 प्रायिकता

प्रश्न 1.
यदि A और B दो घटनायें एक ही प्रयोग से संबंधित हो इस प्रकार कि P(A) = 0.4, P(B) = 0.8 और P(B/A) = 0.6 तब P(A/B):
(a) 0.3
(b) 0.4
(c) 0.5
(d) 0.6
उत्तर:
(a) 0.3

प्रश्न 2.
यदि P(x) = \(\frac{x}{15}\); x = 1, 2, 3, 4, 5, 0 अन्यथा तो P(x = 1 या 2) है।
(a) \(\frac{1}{15}\)
(b) \(\frac{2}{15}\)
(c) \(\frac{4}{5}\)
(d) कोई नहीं
उत्तर:
(c) \(\frac{4}{5}\)

प्रश्न 3.
A के सच बोलने की प्रायिकता 4/5 है जबकि B के लिए 3/4 है। जब वे एक तथ्य पर बोलते हैं तो विरोधाभास हो तो की प्रायिकता है।
(a) \(\frac{7}{20}\)
(b) \(\frac{1}{5}\)
(c) \(\frac{3}{20}\)
(d) \(\frac{4}{5}\)
उत्तर:
(a) \(\frac{7}{20}\)

प्रश्न 4.

उत्तर:
(a) \(\frac{3}{5}\)

प्रश्न 5.
यदि A और B दो घटनाएँ इस प्रकार हों कि P(A) ≠ 0 और P(\(\frac{B}{A}\)) = 1, तो
(a) B ⊂ A
(b) B = φ
(c) A ⊂ B
(d) A∩B = φ
उत्तर:
(c) A ⊂ B

प्रश्न 6.
यदि A और B दो स्वतंत्र घटनाएँ हो, तो (A∩B) =
(a) P(A.P(B))
(b) P(A/B)
(c) P(A) + P(B)
(d) (P) + P(B) – P(A∩B)
उत्तर:
(a) P(A.P(B))

प्रश्न 7.
द्विपद वितरण में माध्य और प्रसारण क्रमशः 4 और 2 है, तब असफलता की प्रायिकता है :
(a) \(\frac{128}{256}\)
(b) \(\frac{219}{256}\)
(c) \(\frac{7}{64}\)
(d) \(\frac{28}{256}\)
उत्तर:
(c) \(\frac{7}{64}\)

प्रश्न 8.
भारत का वेस्टइंडीज के विरुद्ध टेस्ट मैच जीतने की प्रायिकता \(\frac{1}{2}\) है। तीसरे मैच के द्वितीय विजेता होने की क्या प्रायिकता है?
(a) \(\frac{1}{6}\)
(b) \(\frac{1}{4}\)
(c) \(\frac{1}{2}\)
(d) \(\frac{2}{3}\)
उत्तर:
(b) \(\frac{1}{4}\)

प्रश्न 9.
यदि A और B दो स्वतंत्र घटनाएँ हों तो :
(a) P(A∪B) = 1 – P(A’)P(B’)
(b) P(A∩B) = 1 – P(A’)P(B’)
(c) P(A∪B) = 1 + P(A’)P(B’)
(d) P(A∪B) = \(\frac{P\left(A^{\prime}\right)}{P\left(B^{\prime}\right)}\)
उत्तर:
(a) P(A∪B) = 1 – P(A’)P(B’)

प्रश्न 10.
यदि A और B दो घटनाएँ इस तरह से हो कि P(A) = \(\frac{1}{3}\), P(B) = \(\frac{1}{4}\), P(A∩B) = \(\frac{1}{5}\)
(a) \(\frac{1}{5}\)
(b) \(\frac{2}{5}\)
(c) \(\frac{3}{5}\)
(d) \(\frac{4}{5}\)
उत्तर:
(d) \(\frac{4}{5}\)

प्रश्न 11.
यदि A, B और C तीन स्वतंत्र घटनाएँ हो तो P(A∩B∩C) =
(a) P(A) + P(B) + P(C)
(b) P(A) – P(B) + P(C)
(c) P(A) + P(B) – P(A∩B)
(d) P(A)P(B)P(C)
उत्तर:
(d) P(A)P(B)P(C)

प्रश्न 12.
यदि A और B दो घटनाएँ हो ताकि P(A) > 0 और PB ≠ 1 तो P(A/B) =
(a) 1 – P(A/B)
(b) 1 + P(A/B)
(c) \(\frac{1-P(A \cup B)}{P\left(B^{1}\right)}\)
(d) \(\frac{P(A)}{P(B)}\)
उत्तर:
(c) \(\frac{1-P(A \cup B)}{P\left(B^{1}\right)}\)

प्रश्न 13.
एक कलश में 9 गेंदे जिसमें 3 लाल, 4 नीली और 2 हरी है। 3 गेंदे कलश से यादृच्छता निकाली जाती है। तीन गेंदे भिन्न रंगों की होने की प्रायिकता है:
(a) \(\frac{1}{3}\)
(b) \(\frac{2}{7}\)
(c) \(\frac{1}{21}\)
(d) \(\frac{2}{23}\)
उत्तर:
(b) \(\frac{2}{7}\)

प्रश्न 14.
संख्याओं के समुच्चय A = [1, 2, 3, 4, 5, 6] से दो संख्याओं को एक के बाद एक चुना जाता है तब 4 से कम मान वाली दो संख्याओं को चुनने की प्रायिकता :
(a) \(\frac{14}{15}\)
(b) \(\frac{1}{15}\)
(c) \(\frac{1}{5}\)
(d) \(\frac{8}{5}\)
उत्तर:
(c) \(\frac{1}{5}\)

प्रश्न 15.
एक जोड़ा पासा को फेंका जाता है। दोनों पर समरूढ़ संख्या पाने की प्रायिकता है:
(a) \(\frac{1}{36}\)
(b) \(\frac{1}{12}\)
(c) \(\frac{1}{6}\)
(d) 0
उत्तर:
(b) \(\frac{1}{12}\)

प्रश्न 16.
यदि A और B कोई दो घटनाएँ हो ताकि P(A) = 0.2, P(B) = 0.6 तो P(A∪B) + P(A∩B) =
(a) 0.6
(b) 0.9
(c) 0.8
(d) 0.12
उत्तर:
(c) 0.8

प्रश्न 17.
प्रथम 6 धनपूर्णांकों को अवयव लेते हुए असमान अवयव वाले कुल कितने अलग-अलग आव्यूह बना सकते हैं?
(a) 2880
(b) 1440
(c) 720
(d) 4
उत्तर:
(d) 4

प्रश्न 18.
यदि A और B घटनाएँ इस प्रकार हों कि :

उत्तर:
(b) \(\frac{5}{8}\)

प्रश्न 19.
P(A∪B) =
(a) P(A) + P(B) + P(A∩B)
(b) P(A) – P(B) – P(A∩B)
(c) P(A) + P(B) – P(A∩B)
(d) P(A) – P(B) + (A∩B)
उत्तर:
(c) P(A) + P(B) – P(A∩B)

प्रश्न 20.
यादृच्छिक चर X का माध्य और प्रसरण 4 और 2 है तब P(x = 1) हैं
(a) \(\frac{1}{32}\)
(b) \(\frac{1}{16}\)
(c) \(\frac{1}{8}\)
(d) \(\frac{1}{4}\)
उत्तर:
(a) \(\frac{1}{32}\)

प्रश्न 21.
पाँच घोड़े दौड़ में है। A दो घोड़ों को यादृच्छिक चुनता है और उन पर दांव लगाता है A के द्वारा चुने गए घोड़ों के जीतने की प्रायिकता हैं
(a) \(\frac{4}{5}\)
(b) \(\frac{3}{5}\)
(c) \(\frac{1}{5}\)
(d) \(\frac{2}{5}\)
उत्तर:
(d) \(\frac{2}{5}\)

प्रश्न 22.
प्रथम 100 प्राकृत संख्याओं में से तीन संख्याओं को 2 और 3 से विभाजित होने की प्रायिकता है :
(a) \(\frac{4}{25}\)
(b) \(\frac{4}{35}\)
(d) \(\frac{4}{55}\)
(d) \(\frac{4}{1255}\)
उत्तर:
(d) \(\frac{4}{1255}\)

प्रश्न 23.
ताश के 52 पत्तों में से एक पत्ता खींचा जाए तो इसके इक्का होने की प्रायिकता है:
(a) \(\frac{1}{26}\)
(b) \(\frac{1}{13}\)
(c) \(\frac{1}{52}\)
(d) \(\frac{1}{4}\)
उत्तर:
(b) \(\frac{1}{13}\)

प्रश्न 24.

उत्तर:
(c) \(\frac{13}{24}\)

प्रश्न 25.
यदि A और B दो स्वतंत्र घटनाएँ हों तो
(a) P(AB’) = P(A) P(B)
(b) P(AB’) = P(A) P(B’)
(c) P(AB) = P(A) + P(B)
(d) P(AB) = P(A) + P(B)
उत्तर:
(b) P(AB’) = P(A) P(B’)

प्रश्न 26.
एक पासा को 6 बार फेंका जाता है। यदि “एक समसंख्या फेंकना” सफलता हो तो 5 बार सफलता की प्रायिकता है।
(a) \(\frac{3}{32}\)
(b) \(\frac{7}{64}\)
(c) \(\frac{63}{69}\)
(d) कोई नहीं
उत्तर:
(a) \(\frac{3}{32}\)

प्रश्न 27.
यदि S कोई प्रतिदर्श समष्टि तथा E कोई घटना है तो घटना E की प्रायिकता P(E) =
(a) \(\frac{n(E)}{n(S)}\)
(b) \(\frac{n(S)}{n(E)}\)
(c) n(E)
(d) n(S)
उत्तर:
(a) \(\frac{n(E)}{n(S)}\)

प्रश्न 28.

उत्तर:
(a) \(\frac{1}{4}\)

प्रश्न 29.

उत्तर:
(c) \(\frac{2}{3}\)

प्रश्न 30.
दो पासों को एक बार उछाला जाता है। पहले पासे पर सम संख्या मिलने की या कुल 8 होने की प्रायिकता है।
(a) \(\frac{1}{36}\)
(b) \(\frac{3}{36}\)
(c) \(\frac{11}{36}\)
(d) \(\frac{5}{9}\)
उत्तर:
(d) \(\frac{5}{9}\)

प्रश्न 31.
P(E) =
(a) n(E) + n(s)
(b) \(\frac{n(E)}{n(s)}\)
(c) \(\frac{n(s)}{n(E)}\)
(d) n(E) – n(s)
उत्तर:
(b) \(\frac{n(E)}{n(s)}\)

प्रश्न 32.
यदि A और B दो घटनाएँ इस प्रकार हों कि :
P(A) + P(B) – P(A और B) = P (A) तो :
(a) P(\(\frac{B}{A}\)) = 1
(b) P(\(\frac{B}{A}\)) = 0
(c) P(\(\frac{A}{B}\)) = 1
(d) P(\(\frac{A}{B}\)) = 0
उत्तर:
(c) P(\(\frac{A}{B}\)) = 1

प्रश्न 33.
एक जोड़ा पासा को फेंका जाता है। दोनों पर सम अभाज्य संख्या पाने की प्रायिकता है:
(a) \(\frac{1}{36}\)
(b) \(\frac{1}{12}\)
(c) \(\frac{1}{6}\)
(d) 0
उत्तर:
(a) \(\frac{1}{36}\)

प्रश्न 34.
ताश की गुड्डी से यदृच्छया दो ताश निकाले जाते हैं। माना कि पाए गए इक्के की संख्या X है, तो E(X) का मान होगा :
(a) \(\frac{1}{13}\)
(b) \(\frac{37}{221}\)
(c) \(\frac{2}{13}\)
(d) \(\frac{5}{13}\)
उत्तर:
(a) \(\frac{1}{13}\)

प्रश्न 35.
यदि A और B स्वतंत्र घटनाएँ हो, तो निम्नलिखित में कौन बाकी किसके साथ समान नहीं?
(a) P(A’∩B’) – P(A∩B)
(b) P(A)³ + P(B)³ = 1
(c) P(B) – P(A’)
(d) P(B’)- P(A)
उत्तर:
(c) P(B) – P(A’)

प्रश्न 36.

उत्तर:
(a) \(\frac{13}{24}\)

प्रश्न 37.
किसी घटना की प्रायिकता \(\frac{3}{7}\) है, तो उसका प्रतिकूल संयोगानुपात है :
(a) 4 : 3
(b) 7 : 3
(c) 3 : 7
(d) 3 : 4
उत्तर:
(a) 4 : 3

प्रश्न 38.

उत्तर:
(b) \(\frac{5}{8}\)

प्रश्न 39.
दो पासों में दिक् आने की प्रायिकता है :
(a) \(\frac{2}{3}\)
(b) \(\frac{1}{6}\)
(c) \(\frac{5}{6}\)
(d) \(\frac{7}{6}\)
उत्तर:
(b) \(\frac{1}{6}\)

प्रश्न 40.

उत्तर:
(d) \(\frac{4}{5}\)

प्रश्न 41.

उत्तर:
(b) \(\frac{1}{2}\)

प्रश्न 42.
P(A) + P(A’) =
(a) 0
(b) 1
(c) -1
(d) P(E)
उत्तर:
(b) 1

Bihar Board 12th Maths Objective Questions and Answers

Bihar Board 12th Maths Objective Answers Chapter 4 सारणिक

प्रश्न 1.

उत्तर:
(a) 0

प्रश्न 2.

उत्तर:
(a) 2

प्रश्न 3.

उत्तर:
(a) |A| = 0

प्रश्न 4.

उत्तर:
(b) 0

प्रश्न 5.
यदि \(\left|\begin{array}{ll}
x & 5 \\
5 & x
\end{array}\right|\) = 0 तो x =
(a) ±5
(b) 6
(c) 0
(d) 4
उत्तर:
(a) ±5

प्रश्न 6.
सारणिक का मान है

(a) 0
(b) sinθ
(c) cosθ
(d) θ का स्वतंत्र
उत्तर:
(d) θ का स्वतंत्र

प्रश्न 7.

उत्तर:
(a) 3w

प्रश्न 8.
किसी सारणिक जिसकी कोई दो पंक्तियाँ (या स्तम्भ) समान है, का मान होता है :
(a) 1
(b) -1
(c) 0
(d) कोई नहीं
उत्तर:
(c) 0

प्रश्न 9.

(a) 0
(b) abc
(c) \(\frac{1}{a b c}\)
(d) कोई नहीं
उत्तर:
(a) 0

प्रश्न 10.

(a) 0
(b) (c – b) (b – c) (c – a)
(c) a² + b² + c²
(d) कोई नहीं
उत्तर:
(a) 0

प्रश्न 11.
यदि a, b, c समान्तर श्रेणी में है तो सारणिक \(\left|\begin{array}{ccc}
x+2 & x+3 & x+2 a \\
x+3 & x+4 & x+2 b \\
x+4 & x+5 & x+2 c
\end{array}\right|\) है :
(a) 1
(b) x
(c) 0
(d) 2x
उत्तर:
(c) 0

प्रश्न 12.
यदि a, b, c भिन्न-भिन्न हो और \(\left|\begin{array}{lll}
a & a^{2} & 1+a^{3} \\
b & b^{2} & 1+b^{3} \\
c & c^{2} & 1+c^{3}
\end{array}\right|\) = b तब abc का मान है :
(a) b
(b) -1
(c) 3
(d) -3
उत्तर:
(b) -1

प्रश्न 13.
\(\left|\begin{array}{lll}
x & 1 & y+x \\
y & 1 & z+x \\
z & 1 & z+y
\end{array}\right|\) = ?
(a) 1 + x + y + z
(b) x + y + z
(c) 0
(d) कोई नहीं
उत्तर:
(c) 0

प्रश्न 14.
\(\left|\begin{array}{ccc}
1 & a & a^{2}-b c \\
1 & b & b^{2}-c a \\
1 & c & c^{2}-a b
\end{array}\right|\) का मान है :
(a) abc
(b) ab + bc + ca
(c) 0
(d) (a – b) (b – c)(c – a)
उत्तर:
(c) 0

प्रश्न 15.
यदि \(\left|\begin{array}{ccc}
b+c & a & a \\
b & c+a & b \\
c & c & a+b
\end{array}\right|\) = kabc तब x का मान है :
(a) 2
(b) 3
(c) -4
(d) 4
उत्तर:
(d) 4

प्रश्न 16.
भिन्न वास्तविक मूलों की संख्या \(\left|\begin{array}{ccc}
\sin x & \cos x & \cos x \\
\cos x & \sin x & \cos x \\
\cos x & \cos x & \sin x
\end{array}\right|\) = 0 अन्तराल \(-\frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{\pi}{4}\) में है।
(a) 0
(b) 2
(c) 1
(d) -3
उत्तर:
(c) 1

प्रश्न 17.

उत्तर:
(c) \(\left|\begin{array}{ll}
\lambda a & b \\
\lambda c & d
\end{array}\right|\)

प्रश्न 18.
यदि w ≠ 1, w³ = 1 तथा \(\left|\begin{array}{ccc}
x+1 & w & w^{2} \\
w & x+w^{2} & 1 \\
w^{2} & 1 & x+w
\end{array}\right|\)= 0, तो x =
(a) 1
(b) w
(c) w²
(d) 0
उत्तर:
(d) 0

प्रश्न 19.
यदि निम्नलिखित समीकरण निकाय x + y – 2z = 0, λx – 2y + z = 0, x – 3y – λz = 0 के अनगिनत हल हो एवं λ > 0 तो λ = 0.
(a) √10 + 2
(b) √10 – 2
(c) 2
(d) 1
उत्तर:
(a) √10 + 2

प्रश्न 20.
सारणिक \(\left|\begin{array}{lll}
3 & 1 & 7 \\
5 & 0 & 2 \\
2 & 5 & 3
\end{array}\right|\) के मान =
(a) 124
(b) 125
(c) 134
(d) 144
उत्तर:
(c) 134

प्रश्न 21.
\(\left|\begin{array}{ccc}
x+3 & 5 & 7 \\
3 & x+5 & 7 \\
3 & 5 & x+7
\end{array}\right|=0\) तब :
(a) x = 0, -15
(b) x = 0, 15
(c) x = 0, 7
(d) x = 0, 9
उत्तर:
(a) x = 0, -15

प्रश्न 22.
यदि बिन्दु (a, b) (a₁, b₁) और (a – a₁), (b – b₁) सरेखी है, तब :
(a) ab = a₁b₁
(b) aa₁ = bb₁
(c) ab₁ = ab
(d) कोई नहीं
उत्तर:
(d) कोई नहीं

प्रश्न 23.
यदि a₁, a₂, a₃, ….,a_n GP में हो तो सारणिक का मान :
\(\left|\begin{array}{ccc}
\log a_{n} & \log a_{n+1} & \log a_{n+2} \\
\log a_{n+3} & \log a_{n+4} & \log a_{n+5} \\
\log a_{n+6} & \log a_{n+7} & \log a_{n+8}
\end{array}\right|\)
(a) 2
(b) 1
(c) 0
(d) -2
उत्तर:
(c) 0

प्रश्न 24.
यदि \(\left|\begin{array}{ccc}
6 i & -3 i & 1 \\
4 & 3 i & -1 \\
30 & 3 & i
\end{array}\right|\) = x + iy तो :
(a) x = 3, y = 1
(b) x = 1, y = 3
(c) x = 0, y = 3
(d) x = 0, y = 0
उत्तर:
(d) x = 0, y = 0

प्रश्न 25.
यदि त्रिभुज का क्षेत्रफल 35 sq. इकाई है तथा उसका नियामक (2, -6), (5, 4) तथा (k, 4) है, तब k का मान है :
(a) 12
(b) 12, -2
(c) -12, -2
(d) -2
उत्तर:
(b) 12, -2

प्रश्न 26.
\(\left|\begin{array}{lll}
1 & x & x^{2} \\
1 & y & y^{2} \\
1 & z & z^{2}
\end{array}\right|\) = ?
(a) 0
(b) (x – y) (y – z) (z – x)
(c) (y – x) (y – z) (z – x)
(d) कोई नहीं
उत्तर:
(b) (x – y) (y – z) (z – x)

प्रश्न 27.
यदि A = \(\left[\begin{array}{ll}
\alpha & q \\
q & \alpha
\end{array}\right]\) तथा [A³] = 125 तब α =
(a) ±3
(b) ±2
(c) ±5
(d) 0
उत्तर:
(a) ±3

प्रश्न 28.

उत्तर:
(b) 0

प्रश्न 29.
यदि \(\left|\begin{array}{cc}
x & 2 \\
18 & x
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}
6 & 2 \\
18 & 6
\end{array}\right|\) तब x का मान है :
(a) 6
(b) ±6
(c) -1
(d) 6, 6
उत्तर:
(b) ±6

प्रश्न 30.
\(\left|\begin{array}{lll}
1 & x & x^{2} \\
1 & y & y^{2} \\
1 & z & z^{2}
\end{array}\right|\)
(a) (x – y)(y + z)(z + x)
(b) (x + y)(y – z)(z – x)
(c) (x – y)(y – z)(z + x)
(d) (x – y)(y – z)(z – x)
उत्तर:
(d) (x – y)(y – z)(z – x)

प्रश्न 31.

उत्तर:
(b) 2

प्रश्न 32.

उत्तर:
(d) 0

प्रश्न 33.
यदि किसी गुणोत्तर श्रेणी के pवें, qवें और rवें पद l, m, n धनात्मक हो तो \(\left|\begin{array}{lll}
\log l & p & 1 \\
\log m & q & 1 \\
\log n & r & 1
\end{array}\right|\) बराबर है।
(a) 3
(b) 2
(c) 1
(d) 0
उत्तर:
(d) 0

प्रश्न 34.
\(\left|\begin{array}{ccc}
x+1 & x+2 & x+3 \\
x+2 & x+3 & x+4 \\
x+3 & x+4 & x+5
\end{array}\right|\) का मान है :
(a) (x – 3)²
(b) -(3x – 6)²
(c) 0
(d) कोई नहीं
उत्तर:
(c) 0

प्रश्न 35.
\(\left|\begin{array}{lll}
2 & 3 & 5 \\
0 & 4 & 7 \\
0 & 0 & 5
\end{array}\right|=\)
(a) 40
(b) 0
(c) 3
(d) 25
उत्तर:
(a) 40

प्रश्न 36.
यदि \(\left|\begin{array}{ccc}
2+x & 2 & x \\
2-x & 2 & x \\
2-x & 2 & -x
\end{array}\right|\) = 0 तो x =
(a) 0
(b) 2
(c) 3
(d) 4
उत्तर:
(a) 0

प्रश्न 37.
2x – y – 2z = 2, x – 2y + z = -4, x + y + 2λ = 4 तब λ का मान ज्ञात करें इस प्रकार की निकाय का कोई हल नहीं है :
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) -3
उत्तर:
(c) 3

प्रश्न 38.
यदि a ≠ 0 तथा \(\left|\begin{array}{ccc}
1+a & 1 & 1 \\
1 & 1+a & 1 \\
1 & 1 & 1+a
\end{array}\right|\) = 0 तब a = ?
(a) a = -3
(b) a = 0
(c) a = 1
(d) a = 3
उत्तर:
(a) a = -3

प्रश्न 39.
\(\left|\begin{array}{ccc}
x & x+a & x+2 a \\
x+1 & x+2 a & x+4 a \\
x+2 & x+3 a & x+6 a
\end{array}\right|\) का मान है :
(a) 0
(b) (x – a)³
(c) x³ – a³
(d) a³ – x³
उत्तर:
(a) 0

प्रश्न 40.
यदि 0 समीकरण x³ – 1 = 0 का एक अवास्तविक मूल हो, तो
\(\left|\begin{array}{ccc}
1 & \omega & \omega^{2} \\
\omega & \omega^{2} & 1 \\
\omega^{2} & 1 & \omega
\end{array}\right|=\)
(a) 0
(b) 1
(c) ω
(d) ω²
उत्तर:
(a) 0

प्रश्न 41.
यदि \(\left|\begin{array}{cc}
2 & 4 \\
5 & 1
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}
2 x & 4 \\
6 & x
\end{array}\right|\) तब x का मान है :
(a) ±2
(b) ±(0.5)
(c) ±√3
(d) \(\pm \frac{1}{3}\)
उत्तर:
(c) ±√3

प्रश्न 42.

उत्तर:
(b) abc

Bihar Board 12th Maths Model Papers

Bihar Board 12th Maths Model Question Paper 5 in Hindi

समय : 3 घंटे 15 मिनट
अंक : 100

परिक्षार्थियों के लिए निर्देश

1. परीक्षार्थी यथासंभव अपने शब्दों में ही उत्तर दें।
2. दाहिनी ओर हाशिये पर दिये हुए अंक पूर्णांक निर्दिष्ट करते हैं।
3. उत्तर देते समय परीक्षार्थी यथासंभव शब्द-सीमा का ध्यान रखें।
4. इस प्रश्न पत्र को ध्यानपूर्वक पढ़ने के लिए पन्द्रह मिनट का अतिरिक्त समय दिया गया है।
5. यह प्रश्न-पत्र के दो खण्डों में है, खण्ड-अ एवं खण्ड-ब।
6. खण्ड-अ में 1-50 तक वस्तुनिष्ठ प्रश्न हैं, सभी प्रश्न अनिवार्य हैं। (प्रत्येक प्रश्न के लिए 1 अंक निर्धारित है), इनके उत्तर उपलब्ध कराये गये OMR शीट में दिये गये वृत्त को काले / नीले बॉल पेन से भरें। किसी भी प्रकार के व्हाइटनर/तरल पदार्थ/ब्लेड/नाखून आदि का OMR-शीट में प्रयोग करना मना है, अन्यथा परीक्षा परिणाम अमान्य होगा।
7. खण्ड-ब में 25 लघुउत्तरीय प्रश्न हैं (प्रत्येक प्रश्न के लिए 2 अंक निर्धारित है) जिनमें से किन्ही 15 प्रश्नों के उत्तर देना अनिवार्य है। इसके अतिरिक्त खण्ड में 08 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (प्रत्येक प्रश्न के लिए 05 अंक निर्धारित हैं) जिनमें से किन्हीं 4 प्रश्नों के उत्तर देना है।
8. किसी तरह के इलेक्ट्रॉनिक-यंत्र का इस्तेमाल वर्जित है।

खण्ड-अ : वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न संख्या 1 से 50 तक के प्रत्येक प्रश्न के साथ चार विकल्प दिए गए हैं, जिनमें से एक सही है। अपने द्वारा चुने गए सही विकल्प को OMR शीट पर चिह्नित करें। (50 × 1 = 50)

प्रश्न 1.
वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R में एक सम्बन्ध इस प्रकार परिभाषित है : x-y यदि और केवल यदि x.y = 0 तो सम्बन्ध :
(a) स्वतुल्य है, परन्तु सममित नहीं है
(b) सममित है, परन्तु संक्रमक नहीं है
(c) संक्रमक है, परन्तु स्वतुल्य नहीं है
(d) एक तुल्यता सम्बन्ध है।
उत्तर:
(d) एक तुल्यता सम्बन्ध है।

प्रश्न 2.
मान लीजिए A = {a, b, c} एवं B = {e, f] है तो निम्नलिखित उपसमुच्चयों में कौन A से B में फलन है :
(a) {(a, e), (e, f), (b, e), (b, f}
(b) {(a, e), (b, f}
(c) {(a, f), (b, e), (c, e)}
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(c) {(a, f), (b, e), (c, e)}

प्रश्न 3.
मान लीजिए कि N में एक द्विआधारी संक्रिया * : a * b = a तथा b का L.C.M द्वारा परिभाषित है तब N में * का तत्समक अवयव है:
(a) 0
(b) 1
(c) -1
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(b) 1

प्रश्न 4.

उत्तर:
(d) \(\frac{\pi}{3}\)

प्रश्न 5.

उत्तर:
(a) \(\frac{17}{6}\)

प्रश्न 6.

उत्तर:
(b) \(\frac{\pi}{6}\)

प्रश्न 7.

उत्तर:
(c) \(\frac{3}{4}\)

प्रश्न 8.
cos^-1 x का प्रान्त है :
(a) [0, 1]
(b) [-1, 1]
(c) [-1, 0]
(d) [0, 0]
उत्तर:
(b) [-1, 1]

प्रश्न 9.
यदि A एक 3 × 3 कोटि का वर्ग आब्यूह है तो |KA| का मान होगा :
(a) K|A|
(b) K² |A|
(c) K³ |A|
(d) 3K|A|
उत्तर:
(c) K³ |A|

प्रश्न 10.
यदि \(A=\left|\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{33} & a_{33}
\end{array}\right|\) और aij का सहखण्ड Aij हो तो Δ का मान निम्न में से किस रूप में व्यक्त किया जा सकता है :
(a) a₁₁ A₃₁ + a₁₂ A₃₂ + a₁₃ A₃₃
(b) a₁₁ A₁₁ + a₁₂ A₂₁ + a₁₃ A₃₁
(c) a₂₁ A₁₁ + a₂₂ A₂₂ + a₂₃ A₁₃
(d) a₁₁ A₁₁ + a₂₁ A₂₁ + a₃₁ A₃₁
उत्तर:
(d) a₁₁ A₁₁ + a₂₁ A₂₁ + a₃₁ A₃₁

प्रश्न 11.
3 × 3 कोटि के ऐसे आब्यूहों की कुल संख्या कितनी होगी जिनकी प्रत्येक प्रविष्टि 0 या 1 है?
(a) 27
(b) 18
(c) 81
(d) 512
उत्तर:
(d) 512

प्रश्न 12.
यदि A = \(\left[\begin{array}{cc}
\alpha & \beta \\
\gamma & -\alpha
\end{array}\right]\) इस प्रकार है कि A² = I, तो
(a) 1 + α² + βγ = 0
(b) 1 – α² + βγ = 0
(c) 1 – α² – βγ = 0
(d) 1 + α² – βγ = 0
उत्तर:
(c) 1 – α² – βγ = 0

प्रश्न 13.

(a) 0
(b) abc
(c) 1/abc
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(a) 0

प्रश्न 14.
सारणिक \(\left|\begin{array}{ccc}
2 & 7 & 65 \\
3 & 8 & 75 \\
5 & 9 & 86
\end{array}\right|\) का मान है :
(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) 3
उत्तर:
(a) 0

प्रश्न 15.
\(\left|\begin{array}{lll}
1 & x & x^{2} \\
1 & y & y^{2} \\
1 & z & z^{2}
\end{array}\right|=\)
(a) (x – y) (y + z) (z + x)
(b) (x + y) (y – z) (z – x)
(c) (x – y) (y – z) (z + x)
(d) (x – y) (y – z) (z – x)
उत्तर:
(d) (x – y) (y – z) (z – x)

प्रश्न 16.

उत्तर:
(b) 4

प्रश्न 17.

(a) संतत है
(b) असंतत है
(c) परिभाषित है
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(b) असंतत है

प्रश्न 18.
फलन f(x) = 3x² + 5x + 7 के लिए लेंगराँजे के माध्यमान प्रमेय का c, अन्तराल [1, 3] में मान होगा :
(a) 3
(b) 0
(c) 2
(d) 1
उत्तर:
(c) 2

प्रश्न 19.

उत्तर:
(a) \(-\frac{1}{x^{2}}\)

प्रश्न 20.
sin (x² + 5) का अवकलन है :
(a) 2 sin (x + 5)
(b) 2 cos (x² + 5)
(c) 2x cos (x² + 5)
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(c) 2x cos (x² + 5)

प्रश्न 21.
वक्र y = x³ – x + 1 की स्पर्श रेखा की प्रवणता, उस बिन्दु पर क्या होगा जिसका x निर्देशांक 2 है :
(a) 11
(b) 21
(c) 31
(d) 41
उत्तर:
(a) 11

प्रश्न 22.
वक्र x = t² + 3t – 8, y = 2t² – 2t – 5 के बिन्दु (2, -1) पर स्पर्श रेखा का ढाल है :
(a) \(\frac{7}{6}\)
(b) \(\frac{-6}{7}\)
(c) \(\frac{22}{7}\)
(d) \(\frac{6}{7}\)
उत्तर:
(d) \(\frac{6}{7}\)

प्रश्न 23.
वक्र y = 2x² + 3 sinx के बिन्दु x = 0 पर अभिलंब की ढाल है :
(a) -3
(b) -1/3
(c) 3
(d) 1/3
उत्तर:
(b) -1/3

प्रश्न 24.
निम्नलिखित अन्तरालों में से किस अंतराल में f(x) = x¹⁰⁰ + sin x – 1 द्वारा प्रदत्त फलन f निरंतर ह्रासमान है :
(a) (0, 1)
(b) \(\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)\)
(c) \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\)
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(a) (0, 1)

प्रश्न 25.
यदि \(\left[\begin{array}{ll}
4 & 3 \\
x & 5
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
y & z \\
1 & 5
\end{array}\right]\) तब x, y, z का मान होगा।
(a) 1, 2, 3
(b) 1, 4, 3
(c) 3, 4, 0
(d) 0, 0, 1
उत्तर:
(b) 1, 4, 3

प्रश्न 26.

उत्तर:
(a) \(\left[\begin{array}{ll}
6 & 26 \\
1 & 19
\end{array}\right]\)

प्रश्न 27.

उत्तर:
(a) \(\tan \frac{x}{2}+k\)

प्रश्न 28.

उत्तर:
(a) log 2

प्रश्न 29.
∫o.dx बराबर है:
(a) k
(b) 0
(c) 1
(d) -1
उत्तर:
(a) k

प्रश्न 30.

उत्तर:
(d) log x + k

प्रश्न 31.
वक्र y = x², रेखा, x = 1, x = 2 और x-अक्षं से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है:
(a) \(\frac{7}{3}\)
(b) \(\frac{8}{3}\)
(c) \(\frac{11}{3}\)
(d) \(\frac{13}{3}\)
उत्तर:
(a) \(\frac{7}{3}\)

प्रश्न 32.
अवकल समीकरण \(1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}=\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) का घात है
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
उत्तर:
(a) 1

प्रश्न 33.
अवकल समीकरण \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+x^{3}\left(\frac{d y}{d x}\right)^{3}=x^{4}\) की कोटि है
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
उत्तर:
(b) 2

प्रश्न 34.
अवकल समीकरण \(\frac{\mathrm{d}^{4} \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^{4}}+\sin \left(\mathrm{y}^{\prime \prime \prime}\right)=0\) की घात और कोटि है :
(a) परिभाषित नहीं 4
(b) 0, 4
(c) 1, 4
(d) 2, 4
उत्तर:
(a) परिभाषित नहीं 4

प्रश्न 35.
\(\frac{d x}{d y}=h\left(\frac{x}{y}\right)\) के रूप वाले समघातीय अवकल समीकरण को हल करने के लिए निम्नलिखित में से कौन-सा प्रतिस्थापन किया जाता है :
(a) y = vx
(b) v = yx
(c) x = vy
(d) x = v
उत्तर:
(c) x = vy

प्रश्न 36.
अवकल समीकरण e^x dy + (ye^x + 2x)dx = 0 का व्यापक हल है :
(a) xe^x + x² = C
(b) xe^y + y² = C
(c) ye^x + x² = C
(d) ye^x + x² = C
उत्तर:
(c) ye^x + x² = C

प्रश्न 37.
सदिशों \(2 \hat{i}-3 \hat{j}+2 \hat{k}\) एवं \(\hat{i}+4 \hat{j}+5 \hat{k}\) के बीच का कोण है :
(a) 30°
(b) 90°
(c) 45°
(d) 60°
उत्तर:
(b) 90°

प्रश्न 38.

उत्तर:
(b) \(\frac{5}{7}\)

प्रश्न 39.
बिन्दु (3, 4, 2) और (5, 6, -3) को मिलाने वाली रेखा पर सदिश \(2 \hat{i}-3 \hat{j}-6 \hat{k}\) का प्रक्षेप है :
(a) \(\frac{2}{3}\)
(b) \(\frac{4}{3}\)
(c) \(-\frac{4}{3}\)
(d) \(\frac{5}{3}\)
उत्तर:
(b) \(\frac{4}{3}\)

प्रश्न 40.
यदि संक्रिया * परिभाषित है कि a * b = a² + b² तो (1*2)*5 है:
(a) 3125
(b) 625
(c) 125
(d) 50
उत्तर:
(d) 50

प्रश्न 41.
तल 7x + 4y – 2z + 5 = 0 अभिलंब के दिअनुपात हैं :
(a) 7, 4, 5
(b) 7, 4, -2
(c) 7, 4, 2
(d) 0, 0, 0
उत्तर:
(b) 7, 4, -2

प्रश्न 42.

उत्तर:
(c) a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0

प्रश्न 43.
x-अक्ष क्रमशः x, y और अक्षों के साथ क्रमशः 0°, 90°, 90° का कोण बनाता है, तब x-अक्ष की दिक् कोज्या है :
(a) 0, 0, 1
(b) 1, 0, 0
(c) 0, 0, 1
(d) 0, 1, 0
उत्तर:
(b) 1, 0, 0

प्रश्न 44.
यदि a, b, c अन्तः खण्ड काटने वाली समतल की मूल बिन्दु से दूरी p है तब

उत्तर:
(b) \(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}=\frac{1}{p^{2}}\)

प्रश्न 45.
दिक् अनुपात a₁, b₁, c₁ और a₂, b₂, c₂ वाली रेखाएँ समान्तर हैं यदि
(a) a₁a₂ – b₁b₂ – c₁c₂ = 0
(b) a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0
(c) a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = 0
(d) \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\)
उत्तर:
(d) \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\)

प्रश्न 46.
यदि P(\(\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{B}}\)) > P(A) तब निम्न में से कौन सही है :
(a) P (B/A) < P(b)
(b) P(A ∩ B) < P(a).P(b)
(c) P(B/A) > P(b)
(d) P(B/A) = P(b)
उत्तर:
(c) P(B/A) > P(b)

प्रश्न 47.
एक बॉक्स में 100 बल्ब हैं, जिसमें 10 त्रुटियुक्त है। तब 5 बल्ब के नमूने से एक बल्ब त्रुटियुक्त न होने की प्रायिकता है :
(a) 10^-1
(b) \(\left(\frac{1}{2}\right)^{5}\)
(c) \(\left(\frac{9}{10}\right)^{5}\)
(d) \(\frac{9}{10}\)
उत्तर:
(c) \(\left(\frac{9}{10}\right)^{5}\)

प्रश्न 48.
दो घटनाओं A और B को परस्पर स्वतंत्र कहते हैं यदि
(a) P(A’B’) = [1 – P(A)][1 – P(B)]
(b) P(A) = P(B)
(c) P(A) + P(B) = 1
(d) A और B परस्पर अपबर्जी है
उत्तर:
(a) P(A’B’) = [1 – P(A)][1 – P(B)]

प्रश्न 49.
एक पासे को 6 बार उछाला जाता है। यदि संख्या प्राप्त होना सफलता है तब 5 सफलता प्राप्त करने कि प्रायिकता है :
(a) \(\frac{3}{32}\)
(b) \(\frac{7}{64}\)
(c) \(\frac{63}{64}\)
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(a) \(\frac{3}{32}\)

प्रश्न 50.
एक पासों के साथ एक द्विक प्राप्त करने की प्रायिकता है :
(a) \(\frac{2}{3}\)
(b) \(\frac{1}{6}\)
(c) \(\frac{5}{6}\)
(d) \(\frac{5}{36}\)
उत्तर:
(b) \(\frac{1}{6}\)

खण्ड-ब : गैर-वस्तुनिष्ठ प्रश्न

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न संख्या 1 से 25 तक लघु उत्तरीय कोटि के हैं। प्रत्येक के लिए 2 अंक निर्धारित हैं। इनमें से किसी 15 प्रश्न का उत्तर दें।

प्रश्न 1.
जाँच कीजिए कि क्या R में R = {(a, b) : a ≤ b³} द्वारा परिभाषित संबंध स्वतुल्य, सममित अथवा संक्रमक है?
हल :
दिया है, R = वास्तविक संख्याओं का समुच्चय
और सम्बन्ध R = {(a, b) : a ≤ b³}
R स्वतुल्य नहीं है, क्योंकि यदि a = \(\frac{1}{2}\), b³ = \(\frac{1}{8}\)
अर्थात् \(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{8}\) से कम या बराबर नहीं है।
R सममित नहीं है, क्योंकि यदि a ≤ b³ तो b, a³ से कम या बराबर नहीं है।
यदि a = 1, b = 2, 1 < 2³ परन्तु 2, 13 से कम नहीं है।
R संक्रमक नहीं है, क्योंकि यदि a ≤ b³, b ≤ c³ तो a ≤ c³ का सत्य होना आवश्यक नहीं है।
यदि a = 7, b = 2, c = 1.5
a < b³ या, 7 < 2³ = 8 सत्य है, b ≤ c³, 2 < (1.5)³ सत्य है, परन्तु 7 < (1.5)³ सत्य नहीं।
अत: R स्वतुल्य सममित व संक्रमक में से कोई भी नहीं है।

प्रश्न 2.

हल :

प्रश्न 3.

हल :

प्रश्न 4.

हल :

प्रश्न 5.
यदि A = \(\left[\begin{array}{cc}
\cos \alpha & \sin \alpha \\
\sin \alpha & \cos \alpha
\end{array}\right]\), तो सत्यापित कीजिए कि A’A = I.
हल:

प्रश्न 6.
सारणिक के गुणधर्मों का प्रयोग कर मान ज्ञात कीजिए :
\(\left|\begin{array}{lll}
1 & a & b c \\
1 & b & c a \\
1 & c & a b
\end{array}\right|\)
हल :

प्रश्न 7.
सिद्ध करें कि \(\left|\begin{array}{lll}
a & b & c \\
a^{2} & b^{2} & c^{2} \\
a^{3} & b^{3} & c^{3}
\end{array}\right|\) = abc(a – b)(b – c)(c – a).
हल :

प्रश्न 8.
अवकलन कीजिए : x^{sin x}
हल :

प्रश्न 9.

हल :

प्रश्न 10.
सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग कर सिद्ध कीजिए :
\(\left|\begin{array}{ccc}
1 & a & a^{2} \\
1 & b & b^{2} \\
1 & c & c^{2}
\end{array}\right|\) = (a – b) (b – c) (c – a)
हल :

प्रश्न 11.
x log x समाकलनों को ज्ञात कीजिए।
हल :

प्रश्न 12.
निम्नलिखित निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए :
\(\int_{1}^{2}\left(4 x^{3}-5 x^{2}+6 x+9\right) d x\)
हल :

प्रश्न 13.
निम्नलिखित का समाकलन ज्ञात कीजिए : \(e^{x}\left(\frac{1+\sin x}{1+\cos x}\right)\)
हल :

प्रश्न 14.
व्यापक हल ज्ञात कीजिए :
sec²x tan y dx + sec²y tan x dy = 0
हल :

प्रश्न 15.
दर्शाइए कि दिया गया अवकल समीकरण समघातीय है और इन्हें हल कीजिए :
(x – y) dy – (x + y) dx = 0
हल :

प्रश्न 16.
सिद्ध कीजिए कि समचतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे से समकोण पर प्रतिच्छेद करते है।
हल :
माना कि OABC एक समचतुर्भुज है, जिसके विकर्ण एक-दूसरे से D पर प्रतिच्छेद करते हैं। माना कि O मूल बिन्दु तथा A और C का स्थिति सदिश क्रमशः
\(\vec{a}\) और \(\vec{c}\) हैं तब \(\vec{OA}\) = \(\vec{a}\) तथा \(\vec{OC}\) = \(\vec{c}\)

प्रश्न 17.

हल :

प्रश्न 18.
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो समतलों 3x – y + 2z – 4 = 0 और x + y + z – 2 = 0 के प्रतिच्छेदन तथा बिंदु (2, 2, 1) से होकर जाता है।
हल :

प्रश्न 19.

हल :

प्रश्न 20.

हल :

प्रश्न 21.
मान लीजिए कि जन्म लेने वाले बच्चे का लड़का या लड़की होना समसंभाव्य है। यदि किसी परिवार में दो बच्चे हैं, तो दोनों बच्चों के लड़की होने की सप्रतिबंध प्रायिकता क्या है, यदि यह दिया गया है कि
(i) सबसे छोटा बच्चा लड़की है
(ii) न्यूनतम एक बच्चा लड़की है।
हल :
मान लिया कि दो लड़की G₁ तथा G₂ और दो लड़का B₁ तथा B₂ से सूचित किया जाता है।
प्रतिदर्श समष्टि S= {(G₁G₂), (G₁B₂), (G₂B₁), (B₁B₂)}
मान लिया कि A = दोनों बच्चे लड़की हैं = {G₁G₂}
B = छोटा बच्चा लड़की है = {G₁G₂, B₁G₂}
C = न्यूनतम एक बच्चा लड़की है = {G₁B₂, G₁G₂, B₁G₂}
A ∩ B = {G₁G₂}, तथा A ∩ C = {G₁G₂}
साथ ही

प्रश्न 22.
A, 60% तथा B, 90% सत्य बोलता है, तो किसी एक ही तथ्य पर दोनों विरोधाभास होने की क्या प्रतिशतता है?
हल :
उनके कथनों में विरोधाभास होगा यदि एक सत्य बोलता हो और दूसरा असत्य
यहाँ n(S) = 100
माना E₁ = A का सत्य बोलना तब n(E₁) = 60

प्रश्न 23.

हल :

प्रश्न 24.
यदि x + y = sec^-1 (x + y) तो \(\frac{d y}{d x}\) निकालें।
हल :

प्रश्न 25.
\(\sqrt{e^{\sqrt{x}}}\), x > 0 निम्नलिखित के x के सापेक्ष अवकलन कीजिए।
हल :

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न संख्या 26 से 33 तक दीर्घ उत्तरीय कोटि के प्रश्न हैं। प्रत्येक के लिए 5 अंक निर्धारित हैं। प्रत्येक प्रश्न के साथ “अथवा” का विकल्प दिया गया है। आपको प्रश्न या अथवा में से किसी एक का उत्तर देना है।

प्रश्न 26.
सिद्ध कीजिए कि R त्रिज्या के गोले के अंतर्गत विशालतम शंकु का आयतन, गोले के आयतन का \(\frac{8}{27}\) होता है।
हल :
मान लिया कि R त्रिज्या वाले एक गोले के अन्तर्गत उच्चतम आयतन V की एक शंकु है। स्पष्ट है कि उच्चतम आयतन के लिए शंकु का अक्ष गोले के व्यास के साथ होना चाहिए। मान लिया कि OC = x है, तब

प्रश्न 27.
x के सापेक्ष अवकलन कीजिए : (log x)^x + x^{log x}
हल :

प्रश्न 28.
निश्चित समाकलन का मान झात कीजिए : \(\int_{0}^{\pi} \frac{x \tan x}{\sec x+\tan x} d x\)
हल :

प्रश्न 29.
दीर्घ वन \(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\) से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

प्रश्न 30.
दर्शाइए कि सदिश \(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}, \hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}\) और \(3 \hat{i}-4 \hat{j}-4 \hat{k}\) एक समकोण त्रिभुज के शीर्षों की रचना करते हैं।
हल :
मान लिया कि बिन्दुओं A, B और C के स्थिति सदिश क्रमशः

प्रश्न 31.
दर्शाइए (1, -1, 2), (3, 4, -2) से होकर जाने वाली रेखा बिन्दुओं (0, 3, 2)और (3, 5, 6) से जाने वाली रेखा पर लम्ब है।
हलः
मान लिया कि (1, -1, 2), (3, 4, -2)क्रमशः बिन्दुएँ A, B हैं।
AB की दिक् अनुपात : 3 – 1, 4-(-1), -2-2 या, 2, 5, -4 मान लिया कि (0, 3, 2) और (3, 5, 6) क्रमशः बिन्दुएँ C और D हैं।
CD की दिक् अनुपात : 3 – 0, 5 – 3, 6 – 2 या 3, 2, 4
AB, CD पर लम्ब होगा यदि a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0
अर्थात 2 × 3 + 5 × 2 + (-4) × 4 = 6 + 10 – 16 = 0
जो सत्य है। अत : AB ⊥ CD.

प्रश्न 32.
निम्न व्यवरोधों के अन्तर्गत x + y ≤ 50, 3x + y ≤ 90, x ≥ 0, y ≥ 0 में Z = 4x + y का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।
हल :
दिए गए व्यवरोधों x + y ≤ 50 ⇒ x + y = 50 …(1)
3x + y ≤ 90 ⇒ 3x + y = 90 …(2)
x ≥ 0, y ≥ 0 ⇒ x = 0, y = 0 …(3)
के अन्तर्गत उद्देश्य फलन z = 4x + y का अधिकतमीकरण करना है। सर्वप्रथम (1) से (3) तक असमीकरण के संगत समीकरण का आलेख खींचते हैं। आलेख से सुसंगत क्षेत्र OABC प्राप्त होता है, जो परिबद्ध है। बिन्दु B का निर्देशक समीकरण (1) और (2) को हल करने से प्राप्त होता है। आलेख से स्पष्ट है कि कोनीय बिन्दुओं के निर्देशांक क्रमश:
O(0, 0), A(30, 0), B(20, 30) तथा C(0, 50) है।

अन्त कानीय विधि का प्रयोग कर 2 का अधिकतम मान ज्ञात करते है।
कोनीय बिन्दु Z = 4x + y
O(0, 0), z = 4 × 0 + 0 = 0
A(30, 0), z = 4 × 30 + 0 = 120
B (20, 30), z = 4 × 20 + 30 = 110
C(0, 50), z = 4 × 0 + 50 = 50
उपर्युक्त सारणी से स्पष्ट है कि z का अधिकतम मान बिन्दु A(30, 0) पर 120 है।

प्रश्न 33.
निम्नांकित LPP का आलेखीय हल निकालें :
अधिकतमीकरण करें : Z = 8x + 7y जबकि 3x + y ≤ 66
x + y ≤ 45, x ≤ 20, y ≤ 40, x, y ≥ 0
हल :
दिए गए उद्देश्य फलन Z = 8x + 7y का निम्न व्यवरोधों के अन्तर्गत
3x + y ≤ 66 ⇒ 3x + y = 66 …(i)
x + y ≤ 45 ⇒ x + y = 45 …(ii)
x ≤ 20 ⇒ x = 20 ….. (iii)
y ≤ 40 ⇒ y = 40 ….(iv)
तथा x, y ≥ 0 ⇒ x = 0, y = 0 …..(v)
उद्देश्य फलन 2 का अधिकतम मान ज्ञात करना है।
सर्वप्रथम (i) से (v) के असमीकरण के संगत समीकरण का आलेख खींचते हैं।
असमीकरण (iv) के संगत समीकरण y = 40 y-अक्ष को A (0, 40) पर, असमीकरण (iv) और (ii) के कटान बिन्दु B (5,40), असमीकरण (i) और (ii) के संगत समीकरण का आलेख बिन्दु \(c\left(\frac{63}{6}, \frac{69}{2}\right)\) पर, असमीकरण (i) और (iii) बिन्दु D (20, 6) और असमीकरण (iii) और x-अक्ष बिन्दु E (20, 0) पर प्रतिच्छेद करती है। इस प्रकार सुसंगत क्षेत्र ABCDE प्राप्त होता है, जो परिवद्ध है। अब कोनीय बिन्दु विधि से Z का अधिकतम मान ज्ञात करते हैं।
कोनीय बिन्दु Z = 8x + 7y
A(0, 40), Z = 8 × 0 + 7 × 40 = 280
B (5, 40), Z = 8 × 5 + 7 × 40 = 320
\(C\left(\frac{63}{6}, \frac{69}{2}\right)\), \(Z=8 \cdot \frac{63}{6}+7 \cdot \frac{69}{2}=325.5\)
D(20, 6), Z = 8 × 20 + 7 × 6 = 206
E (20,0), Z = 8 × 20 + 0 = 160

उपर्युक्त सारणी से स्पष्ट है कि \(c\left(\frac{63}{6}, \frac{69}{2}\right)\) पर Z का मान अधिकतम 325.5 है। अतः दिए गए व्यवरोधों के अन्तर्गत उद्देश्य फलन Z का अधिकतम मान 325.5 है।

Bihar Board 12th Maths Objective Questions and Answers

Bihar Board 12th Maths Objective Answers Chapter 1 सम्बन्ध एवं फलन

प्रश्न 1.
यदि A = {a, b, c}, B = {1, 2, 3) और f = {(a, 1) (b, 2) (c, 2)} तो f कैसा फलन है?
(a) एकैक अंत:क्षेपी
(b) अनेकैक अंतःक्षेपी
(c) अनेकैक आच्छादक
(d) एकैक आच्छादक
उत्तर:
(b) अनेकैक अंतःक्षेपी

प्रश्न 2.
यदि f : R → R जहाँ f(x) = 3x तो कैसा फलन है?
(a) एकैक आच्छादक
(b) अनेकैक आच्छादक
(c) एकैक अंतःक्षेपी
(d) अनेकैक अंत:क्षेपी
उत्तर:
(a) एकैक आच्छादक

प्रश्न 3.
यदि f : R → R इस प्रकार परिभाषित है कि f(x) = \(\left(3-x^{3}\right)^{1 / 3}\) तब fof(x) है :
(a) x^1/3
(b) x³
(c) (3 – x³)
(d) x
उत्तर:
(d) x

प्रश्न 4.

(a) x
(b) 1
(c) f(x)
(d) g(x)
उत्तर:
(b) 1

प्रश्न 5.
f(x) = a sin kx + b cos kx का आवर्त काल :
(a) \(\frac{2 \pi}{k}\)
(b) \(\frac{2 \pi}{|k|}\)
(c) \(\frac{\pi}{|k|}\)
(d) कोई नहीं
उत्तर:
(b) \(\frac{2 \pi}{|k|}\)

प्रश्न 6.
f : A → B एक आच्छादक फलन होगा, यदि :
(a) BCf(A)
(b) f(A) = B
(c) f(B)CA
(d) f(A) ⊂ B
उत्तर:
(b) f(A) = B

प्रश्न 7.
संबंध R = {(1, 3), (4, 2), (2, 4), (2, 3), (3, 1)} समुच्चय A = {1, 2, 3, 4} पर कैसा संबंध है?
(a) संक्रामक
(b) स्वतुल्य
(c) सममित
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(c) सममित

प्रश्न 8.
दिया हुआ है कि A = {x, y, z}, B = {u, v, w} तो फलन f : A → B alfon f(x) = u, f (y) = v, f(z) = w किस प्रकार का फलन होगा?
(a) Surjective
(b) Bijective
(c) Injective
(d) None
उत्तर:
(d) None

प्रश्न 9.
माना कि A = {1, 2, 3}, तो (1, 2) को शामिल करते हुए कितने तुल्यता संबंध A पर परिभाषित हो सकता है?
(a) 3
(b) 1
(c) 2
(d) 4
उत्तर:
(c) 2

प्रश्न 10.
यदि A, B तथा C तीन समुच्चय इस प्रकार हो कि A∩B = A∩C और A∪B = A∪C तो :
(a) A = B
(b) A = C
(c) B = C
(d) A∩B = d
उत्तर:
(c) B = C

प्रश्न 11.

उत्तर:
(b) \(\left[\frac{-1}{4}, \frac{1}{2}\right]\)

प्रश्न 12.
माना f(x) = (x + 1)2, x ≥ -1 यदि g(x) एक फलन हो जिसका ग्राफ रेखा y = x के सापेक्ष f(x) के ग्राफ का प्रतिबिम्ब हो, तब g(x) समान है :
(a) -√x – 1, x ≥ 0
(b) \(\frac{1}{(x+1)} 2\), x > -1
(c) √(x + 1) , x ≥ -1
(d) √x – 1, x ≥ 0
उत्तर:
(c) √(x + 1) , x ≥ -1

प्रश्न 13.
माना A = {1, 2, 3, 4,….n} तो कितने फलन f : A → B से परिभाषित हो सकते हैं?
(a) ⌊n – 1
(b) ⌊n
(c) n
(d) \(\frac{1}{2} n\)
उत्तर:
(c) n

प्रश्न 14.
वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर परिभाषित संबंध R = {(a, b) ∈ R × r : 1 + ab > 0} है।
(a) स्वतुल्य और संक्रामक
(b) सममित और संक्रामक
(c) स्वतुल्य और क्रमित
(d) समतुल्य संबंध
उत्तर:
(d) समतुल्य संबंध

प्रश्न 15.
यदि f(x) + 2f(1 – x) = x² + 2 ∀ x ∈ R तो f(x) =
(a) 1
(b) x² – 2
(c) \(\frac{1}{3}(x-2)^{2}\)
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(c) \(\frac{1}{3}(x-2)^{2}\)

प्रश्न 16.
f : A → B आच्छादक फलन होगा, यदि
(a) f(A) ⊂ B
(b) f(A) = B
(c) f(A) ⊃ B
(d) f(A) ≠ B
उत्तर:
(b) f(A) = B

प्रश्न 17.
वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में संबंध ‘छोटा है’ जिसमें कैसा संबंध है?
(a) केवल सममित
(b) केवल संक्रामक
(c) केवल स्वतुल्य
(d) तुल्यता संबंध
उत्तर:
(b) केवल संक्रामक

प्रश्न 18.
माना E = {1, 2, 3, 4} और F ={1, 2} तब E से F पर आच्छादक फलन की संख्या :
(a) 14
(b) 16
(c) 12
(d) 8
उत्तर:
(a) 14

प्रश्न 19.

उत्तर:
(b) \(\left(\frac{1}{7}, 3\right)\)

प्रश्न 20.
फलन f(x) = \(\log (x+\sqrt{x^{2}+1})\) है :
(a) सम फलन
(b) विषम
(c) आवर्ती फलन
(d) न तो सम और न ही विषम
उत्तर:
(b) विषम

प्रश्न 21.

(a) [1, 4]
(b) [1, 0]
(c) [0, 5]
(d) [5, 0]
उत्तर:
(a) [1, 4]

प्रश्न 22.
सम्बंध R जो निम्न द्वारा परिभाषित है R = {(a, b) : a, b ∈ human beings : a loves b} है
(a) स्वतुल्य
(b) सममित और संक्रामक
(c) समतुल्य
(d) उपर्युक्त में से कोई नहीं
उत्तर:
(c) समतुल्य

प्रश्न 23.
फलन f(x) = sin⁴ x + cos⁴ x का आवर्तकाल :
(a) 2π
(b) \(\frac{\pi}{2}\)
(c) π
(d) कोई नहीं
उत्तर:
(b) \(\frac{\pi}{2}\)

प्रश्न 24.
माना कि A = {1, 2} इस समुच्चय पर कितने द्विचर संक्रियाएँ परिभाषित हो सकते हैं?
(a) 8
(b) 10
(c) 16
(d) 20
उत्तर:
(c) 16

प्रश्न 25.
यदि f : A → R जहाँ A = {-1, 0, 1, 2, 3}, R = {वास्तविक संख्याएँ) तथा f(x) = x² तो फलन कैसा फलन है?
(a) एकैक आच्छादक
(b) एकैक अंतःक्षेपी
(c) अनेकैक आच्छादक
(d) अनेकैक अंतःक्षेपी
उत्तर:
(d) अनेकैक अंतःक्षेपी

प्रश्न 26.
f(x) = \(\frac{\log _{2}(x+3)}{x^{2}+3 x+2}\) का प्रांत है :
(a) R – {-1, -2}
(b) (-2, ∞)
(c) R – {-1, -2, -3}
(d) (-3, +∞) – {-1, -2}
उत्तर:
(d) (-3, +∞) – {-1, -2}

प्रश्न 27.
यदि f : R→ S जो f(x) = sin x – √3 cos x + 1 द्वारा परिभाषित है, आच्छादक हो, तब अंतराल S है :
(a) [0, 1]
(b) [-1, -1]
(c) [0, 3]
(d) [-1, 3]
उत्तर:
(d) [-1, 3]

प्रश्न 28.
माना फलन f : R → R, f(x) = 2x³ – 1 प्रकार से परिभाषित है, तब f^-1 है।
(a) (1 – 2x)³
(b) (2x)³ + 1
(c) 2x³ + 1
(d) \(\left(\frac{1+x}{2}\right)^{1 / 3}\)
उत्तर:
(d) \(\left(\frac{1+x}{2}\right)^{1 / 3}\)

प्रश्न 29.
यदि f : R→ R इस तरह से परिभाषित हो कि f (x) = 2x + 3 तो f^-1(x) =
(a) \(\frac{x+3}{2}\)
(b) \(\frac{x-3}{2}\)
(c) 2x – 3
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(b) \(\frac{x-3}{2}\)

प्रश्न 30.
यदि f : R → R जहाँ f(x) = 3x – 4 तो f^-1(x) निम्नलिखित में कौन होगा?
(a) \(\frac{1}{3}\) (x + 4)
(b) \(\frac{1}{3}\) (x – 4)
(c) 3x – 4
(d) undefined
उत्तर:
(a) \(\frac{1}{3}\) (x + 4)

प्रश्न 31.
माना कि A = {1, 2, 3}, तो (1, 2) और (1, 3) को शामिल करते हुए कितने संबंध A पर परिभाषित हो सकते हैं जो स्वतुल्य सममित है किंतु संक्रामक नहीं
(a) 4
(b) 3
(d) 1
(c) 2
उत्तर:
(c) 2

प्रश्न 32.
माना f(x) = \(\frac{\alpha x}{x+1}\), x ≠ -1, तब x के किस मान के लिए f[f(x)] = x
(a) √2
(b) -√2
(c) 1
(d) -1
उत्तर:
(d) -1

प्रश्न 33.

उत्तर:
(d) \(\frac{7 n(n+1)}{2}\)

प्रश्न 34.
sin^-1[log₃(x/3)] का प्रांत :
(a) [1, 9]
(b) [-9, -1]
(c) [-1, 9]
(d) [-9, 1]
उत्तर:
(a) [1, 9]

प्रश्न 35.
यदि f : R → R जहाँ f(x) = 5x + 4 हो, तो f^-1(x) निम्न में से कौन होगा?
(a) \(\frac{x}{4}-5\)
(b) \(\frac{x-5}{4}\)
(c) \(\frac{x-4}{5}\)
(d) \(\frac{x-y}{5}\)
उत्तर:
(c) \(\frac{x-4}{5}\)

प्रश्न 36.
यदि * संक्रिया की परिभाषा है कि a * b = a² + b², तो (1 * 2) * 6 है
(a) 12
(b) 28
(c) 61
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(c) 61

प्रश्न 37.
f : A → B अंतःक्षेपी होगा, यदि
(a) f(A) ⊂ B
(b) f(A) = B
(c) B ⊂ f(A)
(d) f(B) ⊂ A
उत्तर:
(a) f(A) ⊂ B

प्रश्न 38.
N पर एक द्विपद संक्रिया a * b = a³ + b³ से परिभाषित है :
(a) * साहचर्य एक क्रमविनिमेय है
(b) * क्रमविनिमेय है परंतु साहचर्य नहीं
(c) * साहचर्य है परंतु क्रमविनिमेय नहीं
(d) * न तो साहचर्य है और न क्रमविनिमेय है
उत्तर:
(d) * न तो साहचर्य है और न क्रमविनिमेय है

प्रश्न 39.
यदि फलन f(x) = \(x^{3}+e^{x / 2}\) तथा g(x) = f^-1(x) तो g'(1) का मान है :
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
उत्तर:
(b) 2

प्रश्न 40.
फलन y = f(x) का ग्राफ रेखा x = 2 के सममित हो, तब
(a) f(x) = f (-x)
(b) f(2 + x) = f(2 – x)
(c) f(x + 2) = f(x – 2)
(d) f(x) = -f(-x)
उत्तर:
(b) f(2 + x) = f(2 – x)

प्रश्न 41.
sin²θ का आवर्त काल :
(a) \(\frac{\pi}{2}\)
(b) π
(c) 2π
(d) π²
उत्तर:
(b) π

प्रश्न 42.
फलन f(x) = \(\sqrt{(x-1)(3-x)}\) का परास है :
(a) (1, 3)
(b) (-2, 2)
(c) (0, 1)
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(a) (1, 3)

प्रश्न 43.
यदि A = {1, 2, 3}, B = {5, 6, 7} तथा f : A → B एक फलन है जैसा कि f (x) = x + 4 तो f किस प्रकार का फलन है?
(a) अनेकैक आच्छादक
(b) अचर फलन
(c) एकैक आच्छादक
(d) अंत:क्षेपी
उत्तर:
(c) एकैक आच्छादक

प्रश्न 44.
माना A = {(1, 2), (1, 1),(2, 2), (2, 1)} और माना R, A पर एक संबंध हो तो R है :
(a) संक्रामक
(b) स्वतुल्य
(c) सममित
(d) कोई नहीं
उत्तर:
(d) कोई नहीं