Shreya

Bihar Board 12th Maths Model Papers

Bihar Board 12th Maths Model Question Paper 3 in Hindi

समय : 3 घंटे 15 मिनट
अंक : 100

परिक्षार्थियों के लिए निर्देश

1. परीक्षार्थी यथासंभव अपने शब्दों में ही उत्तर दें।
2. दाहिनी ओर हाशिये पर दिये हुए अंक पूर्णांक निर्दिष्ट करते हैं।
3. उत्तर देते समय परीक्षार्थी यथासंभव शब्द-सीमा का ध्यान रखें।
4. इस प्रश्न पत्र को ध्यानपूर्वक पढ़ने के लिए पन्द्रह मिनट का अतिरिक्त समय दिया गया है।
5. यह प्रश्न-पत्र के दो खण्डों में है, खण्ड-अ एवं खण्ड-ब।
6. खण्ड-अ में 1-50 तक वस्तुनिष्ठ प्रश्न हैं, सभी प्रश्न अनिवार्य हैं। (प्रत्येक प्रश्न के लिए 1 अंक निर्धारित है), इनके उत्तर उपलब्ध कराये गये OMR शीट में दिये गये वृत्त को काले / नीले बॉल पेन से भरें। किसी भी प्रकार के व्हाइटनर/तरल पदार्थ/ब्लेड/नाखून आदि का OMR-शीट में प्रयोग करना मना है, अन्यथा परीक्षा परिणाम अमान्य होगा।
7. खण्ड-ब में 25 लघुउत्तरीय प्रश्न हैं (प्रत्येक प्रश्न के लिए 2 अंक निर्धारित है) जिनमें से किन्ही 15 प्रश्नों के उत्तर देना अनिवार्य है। इसके अतिरिक्त खण्ड में 08 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (प्रत्येक प्रश्न के लिए 05 अंक निर्धारित हैं) जिनमें से किन्हीं 4 प्रश्नों के उत्तर देना है।
8. किसी तरह के इलेक्ट्रॉनिक-यंत्र का इस्तेमाल वर्जित है।

खण्ड-अ : वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न संख्या 1 से 50 तक के प्रत्येक प्रश्न के साथ चार विकल्प दिए गए हैं, जिनमें से एक सही है। अपने द्वारा चुने गए सही विकल्प को OMR शीट पर चिह्नित करें। (50 × 1 = 50)

प्रश्न 1.
प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय में संबंध ‘से छोटा’ है।
(a) केवल स्वतुल्य
(b) केवल सममित
(c) तुल्यता संबंध
(d) केवल संक्रमक
उत्तर:
(d) केवल संक्रमक

प्रश्न 2.
यदि फलन f : R → R इस प्रकार परिभाषित है कि f(x) = (3 – x³)^1/3 तो fof(x) है :
(a) x^1/3
(b) x³
(c) (3 – x³)
(d) x
उत्तर:
(d) x

प्रश्न 3.
यदि संक्रिया * परिभाषित है कि a * b = a² + b² तो (1 * 2) * 5 है :
(a) 3125
(b) 625
(c) 125
(d) 50
उत्तर:
(d) 50

प्रश्न 4.

उत्तर:
(c) \(\frac{4 \pi}{3}\)

प्रश्न 5.
tan^-1 √3 – cot^-1(-√3) =
(a) π
(b) 0
(c) 2√3
(d) \(-\frac{\pi}{2}\)
उत्तर:
(d) \(-\frac{\pi}{2}\)

प्रश्न 6.

उत्तर:
(d) \(\frac{\pi}{3}\)

प्रश्न 7.

उत्तर:
(c) \(\cot ^{-1} \frac{1}{x}\)

प्रश्न 8.

उत्तर:
\(\frac{\pi}{4}\)

प्रश्न 9.

उत्तर:
(a) (a) \(\left[\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right]\)

प्रश्न 10.
यदि A = \(\left[\begin{array}{rrr}
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
a & b & -1
\end{array}\right]\) तो A² =
(a) एकांक आव्यूह
(b) A
(c) रिक्त आव्यूह
(d) -A
उत्तर:
(a) एकांक आव्यूह

प्रश्न 11.
यदि A = \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 2 \\
4 & 2
\end{array}\right]\), तो |2A| =
(a) 2 |A|
(b) 4 |A|
(c) 8 |A|
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(b) 4 |A|

प्रश्न 12.

उत्तर:
(b) \(\left[\begin{array}{cc}
\cos \theta & \sin \theta \\
-\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right]\)

प्रश्न 13.
A = [a_ij]_m×n एक वर्ग आव्यूह है यदि :
(a) m = n
(b) m < n
(c) m > n
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(a) m = n

प्रश्न 14.
यदि A और B वर्ग आव्यूह हैं, तो (AB)’ :
(a) B’A’
(b) A’B’
(c) AB’
(d) A’B
उत्तर:
(a) B’A’

प्रश्न 15.

उत्तर:
(c) \(\left[\begin{array}{rr}
\cos \theta & \sin \theta \\
-\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right]\)

प्रश्न 16.

उत्तर:
(c) -5

प्रश्न 17.

उत्तर:
(c) \(\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}\)

प्रश्न 18.

उत्तर:
(b) \(\frac{-\sin (\log x)}{x}\)

प्रश्न 19.

उत्तर:
(d) 0

प्रश्न 20.
यदि y = log x^x, तो \(\frac{d y}{d x}=\)
(a) 1
(b) log x
(c) log(ex)
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(c) log(ex)

प्रश्न 21.
वक्र y = x² के (0, 0) बिंदु पर स्पर्शी द्वारा, x-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ बनाया गया कोण है :
(a) 90°
(b) 0°
(c) 45°
(d) 30°
उत्तर:
(c) 45°

प्रश्न 22.
किसी उत्पाद की x इकाइयों के विक्रय से प्राप्त कुल आय R(x) रुपयों में R(x) = 13x² + 26x + 15 से प्रदत्त है। तब सीमांत आय क्या होगा जब x = 7 है :
(a) 208 रु.
(b) 308 रु.
(c) 140 रु.
(d) 508 रु.
उत्तर:
(a) 208 रु.

प्रश्न 23.
वक्र y = 2x² + 3 sinx के बिन्दु x = 0 पर अभिलम्ब की प्रवणता है :
(a) 3
(b) \(\frac{1}{3}\)
(c) -3
(d) \(-\frac{1}{3}\)
उत्तर:
(d) \(-\frac{1}{3}\)

प्रश्न 24.
फलन f (x) = x³ – 6x² + 12x – 18
(a) प्रत्येक x ∈ R में निरंतर ह्रासमान है
(b) ∀ x ∈ R में निरंतर वर्धमान है
(c) ] -∞, 0 [ में वर्धमान और [0, ∞ [ में ह्रासमान है
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(b) ∀ x ∈ R में निरंतर वर्धमान है

प्रश्न 25.

उत्तर:
(d) \(\cot ^{-1} x+k\)

प्रश्न 26.

उत्तर:
(a) \(\frac{1}{a} \tan ^{-1} \frac{x}{a}+k\)

प्रश्न 27.

उत्तर:
(a) \(\frac{1}{3}(1+\log x)^{3}+C\)

प्रश्न 28.
\(\int_{|x|}^{2} | d x=\)
(a) 0
(b) 2
(c) 1
(d) 4
उत्तर:
(d) 4

प्रश्न 29.

उत्तर:
(b) \(\frac{\pi}{4}\)

प्रश्न 30.

उत्तर:
(a) \(\frac{1}{3} e^{x^{3}}+C\)

प्रश्न 31.
प्रथम चतुर्थांश में वृत्त x² + y² = 4 एवं रेखा और x = 0, x = 2 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है :
(a) π
(b) \(\frac{\pi}{2}\)
(c) \(\frac{\pi}{3}\)
(d) \(\frac{\pi}{4}\)
उत्तर:
(a) π

प्रश्न 32.
अवकल समीकरण \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+x^{3}\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}=x^{4}\) की कोटि निम्नांकित
में कौन-सी होगी?
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 0
उत्तर:
(b) 2

प्रश्न 33.
वक्र y = a sin px + b cos px का अवकल समीकरण है :
(a) y” + py = 0
(b) y” + p²y = 0
(c) y” – py = 0
(d) y” – p2y = 0
उत्तर:
(b) y” + p²y = 0

प्रश्न 34.
अवकल समीकरण \(2 x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-3 \frac{d y}{d x}+y=0\) की कोटि है :
(a) 2
(b) 1
(c) 0
(d) परिभाषित नहीं
उत्तर:
(a) 2

प्रश्न 35.
अवकल समीकरण \(x \frac{d y}{d x}-y=2 x^{2}\) का समाकलन गुणांक है :
(a) e^-x
(b) e^-y
(c) 1/x
(d) x
उत्तर:
(a) e-x

प्रश्न 36.
\(|-\vec{i}+2 \vec{j}-3 \vec{k}|=\)
(a) √15
(b) √3
(c) 2
(d) √14
उत्तर:
(d) √14

प्रश्न 37.

उत्तर:
(c) 5

प्रश्न 38.
\(\vec{a} \times \vec{a}=\)
(a) 1
(b) 0
(c) a2
(d) a
उत्तर:
(b) 0

प्रश्न 39.
\(\vec{k} \cdot \vec{k}=\)
(a) 0
(b) 1
(c) \(\vec{i}\)
(d) \(\vec{j}\)
उत्तर:
(b) 1

प्रश्न 40.
यदि \(2 \vec{i}+\vec{j}+\vec{k}, 6 \vec{i}-\vec{j}+2 \vec{k}\) एवं \(14 \vec{i}-5 \vec{j}+4 \vec{k}\) क्रमशः बिन्दु A, B,C के स्थिति सदिश हैं, तो :
(a) A, B, C समरेखीय हैं
(b) A, B, C असमरेखीय हैं
(c) AB L BC
(d) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर:
(a) A, B, C समरेखीय हैं

प्रश्न 41.
यदि l, m, n एक सरल रेखा की दिक् कोज्याएँ हैं, तो
(a) l² + m² – n² = 1
(b) l² – m² + n² = 1
(c) l² – m² – n² = 1
(d) l² + m² + n² = 1
उत्तर:
(d) l² + m² + n² = 1

प्रश्न 42.
किसी सरल रेखा के दिक् अनुपात 1, 3, 5 हैं, तो रेखा की दिक् कोज्याएँ हैं :

उत्तर:
(a) \(\frac{1}{\sqrt{35}}, \frac{3}{\sqrt{35}}, \frac{5}{\sqrt{35}}\)

प्रश्न 43.
एक सरल रेखा (2, -1, 3) से गुजरती है और इसके दिक् अनुपात 3, -1, 2 हैं। इस रेखा के समीकरण है :

उत्तर:
(b) \(\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-3}{2}\)

प्रश्न 44.
यदि 2x + 5y – 6z + 3 = 0 एक समतल का समीकरण हो, तो दिए गए समतल के समांतर समतल का समीकरण होगा :
(a) 3x + 5y – 6z + 3 = 0
(b) 2x – 5y – 6z + 3 = 0
(c) 2x + 5y – 6z + k = 0
(d) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर:
(c) 2x + 5y – 6z + k = 0

प्रश्न 45.
यदि A और B दो स्वतंत्र घटनाएँ हों तो
(a) P(AB’) = P(A) P(B)
(b) P(AB’) = P(A) P(B’)
(c) P(AB’) = P(A’) + P(B)
(d) P(AB’) = P(A) + P(B’)
उत्तर:
(b) P(AB’) = P(A) P(B’)

प्रश्न 46.
ताश के 52 पत्तों में से यदि एक पत्ता खींचा जाए तो इसके इक्का होने की प्रायिकता है:
(a) \(\frac{1}{26}\)
(b) \(\frac{1}{13}\)
(c) \(\frac{1}{52}\)
(d) \(\frac{1}{4}\)
उत्तर:
(c) \(\frac{1}{52}\)

प्रश्न 47.

उत्तर:
(c) \(\frac{3}{4}\)

प्रश्न 48.
यदि A और B घटनाएं इस प्रकार हों कि

उत्तर:
(c) \(\frac{5}{12}\)

प्रश्न 49.
यदि A और B घटनाएँ इस प्रकार हों कि

उत्तर:
(b) \(\frac{5}{8}\)

प्रश्न 50.

उत्तर:
(a) \(\frac{1}{15}\)

खण्ड-ब : गैर-वस्तुनिष्ठ प्रश्न

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न संख्या 1 से 25 तक लघु उत्तरीय कोटि के हैं। प्रत्येक के लिए 2 अंक निर्धारित हैं। इनमें से किसी 15 प्रश्नों का उत्तर दें। (15 x 2 = 30)

प्रश्न 1.
f(x) = 4x + 3 द्वारा प्रदत्त फलन f : R → R पर विचार कीजिए। सिद्ध कीजिए कि f व्युत्क्रमणीय है। f का प्रतिलोम फलन ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है, f : R → R और f(x) = 4x + 3
f(x₁) = f(x₂)
या, 4x₁ + 3 = 4x₂ +3
या, 4x₁ = 4x₂
या, x₁ = x₂
अतः f एकैकी है
फिर मान लिया कि y = 4x + 3
x = \(\frac{y-3}{4}\)
सहप्रांत में y का प्रत्येक अवयव प्रांत में किसी न किसी अवयव का प्रतिबिम्ब है
f आच्छादक है। अतः f^-1(x) = g(y) = \(\frac{y-3}{4}\)

प्रश्न 2.
सिद्ध करें कि 4(cot^-1 3 + cosec^-1 √5) = π
हल :

प्रश्न 3.

हल :

प्रश्न 4.

हल :

प्रश्न 5.
\(\left[\begin{array}{cc}
3 & 5 \\
1 & -1
\end{array}\right]\) को एक सममित और विषम समित आव्यूह के योगफल के रूप में व्यक्त कीजिए।
हल :

प्रश्न 6.

हल :

प्रश्न 7.

हल :

प्रश्न 8.
यदि x^y = y^x हो, तो \(\frac{d y}{d x}\) निकालें।
हल :
दिया हुआ है : x^y = y^x
दोनों तरफ log लेने पर, y log x = x log y
दोनों तरफ अवकलन करने पर x के सापेक्ष में

प्रश्न 9.
x के सापेक्ष अबकलन कीजिए : sec{tan(√x)}
हल :

प्रश्न 10.
यदि x = a(θ + sinθ), y = a(1 – cosθ) हो तो \(\frac{d y}{d x}\) ज़ात कीजिए
हल :

प्रश्न 11.
समाकलन कीजिए : \(\int \frac{d x}{1+\tan x}\)
हल :

प्रश्न 12.
मान ज्ञात कीजिए : \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+\cos ^{2} x} d x\)
हल :

प्रश्न 13.
समाकलन कीजिए : \(\int e^{x} \cos x d x\)
हल :

प्रश्न 14.
हल कीजिए : (1 + x²) dy = (1 + y²) dx
हल :

प्रश्न 15.
व्यापक हल ज्ञात कीजिए :
(1 + x²) dy + 2xy dx = cotx dx, (x ≠ 0)
हल :
दिया है, (1 + x²) dy + 2xy dx = cotx (x ≠ 0)

प्रश्न 16.
सदिश विधि से सिद्ध कीजिए कि a = b cos C + c cos B
हल :

प्रश्न 17.
एक समांतर चतुर्भुज की संलग्न भुजाएँ \(2 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k}\) और \(\hat{\mathbf{i}}-\mathbf{2} \hat{\mathbf{j}}-\mathbf{3} \hat{\mathbf{k}}\) हैं। इसके विकर्ण के समांतर एक मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए। इसका क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लिया कि समान्तर चतुर्भुज की संलग्न भुजाएँ \(\overrightarrow{O A}\) तथा \(\overrightarrow{O B}\)
क्रमश: \(\vec{a}=2 \hat{i}+4 \hat{j}+5 \hat{k}\) और \(\vec{b}=\hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}\).

प्रश्न 18.

हल :

प्रश्न 19.

हल :

प्रश्न 20.

हल :

प्रश्न 21.
एक पासे को 6 बार उछाला जाता है। यदि ‘पासे पर सम संख्या प्राप्त होना’ एक सालता है निमालिान की प्र.पिकताएँ क्या होंगी?
(i) ‘तथ्यत: 5 सफलताएँ?
(i) धन-ध सामागा?
हल :

प्रश्न 22.
52 ताशों की गड्डी से प* पत्ता खा जाता है। शेष पतों से दो पत्ते निकाले जाते है जो ईंट के पत्ते हैं। खो गए पत्ते की ईंट होने की प्रायिकता क्या है?
हल :
E₁ = ईंट के पत्ते की खोने की घटना
E₂ = ईंट के पत्ते नहीं खोने की घटना।
52 ताश के पत्तों में 13 ईंट के पत्ते होते हैं
\(P\left(E_{1}\right)=\frac{^{13} C_{1}}{52}=\frac{13}{52}=\frac{1}{4}\)
39 पत्ते ऐसे हैं जो ईंट नहीं है
\(P\left(E_{2}\right)=\frac{39}{52}=\frac{3}{4}\)
(i) जब एक ईंट का पत्ता खो जाता है तब कुल 51 पत्तों में 12 पत्ता ईंट का बचता है।
इन 12 पत्तों में से 2 ईंट के पत्ता निकालने की प्रायिकता
\(P\left(A / E_{1}\right)=\frac{^{12} C_{2}}{51}=\frac{12 \times 11}{51 \times 50}\)
जहाँ A खोए पत्ते को प्रदर्शित करता है।
जब ईंट का पत्ता नहीं खोए तब 13 पत्तों में से 2 पत्ते ईंट का निकालने की प्रापिकता

प्रश्न 23.
यदि f : R → R जहाँ f(x) = x² – 3x + 2 द्वारा परिभाषित है तो f(f(x)) ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है, f : R → R
f(x) = x² – 3x + 2 द्वारा परिभाषित है।
f(f(x)) =f(x² – 3x + 2)
= (x² – 3x + 2)² – 3 (x² – 3x + 2) + 2
= (x⁴ + 9x² + 4 – 5x³ – 12x + 4x²) + (-3x² + 9x – 6) + 2
= x⁴ – 6x³ + 10x² – 3x

प्रश्न 24.
सिद्ध कीजिए कि :

हल :

प्रश्न 25.
सिद्ध कीजिए कि :

हल :

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न संख्या 26 से 33 तक दीर्घ उत्तरीय कोटि के प्रश्न हैं। प्रत्येक के लिए 5 अंक निर्धारित हैं। प्रत्येक प्रश्न के साथ “अथवा” का विकल्प दिया गया है। आपको प्रश्न या अथवा में से किसी एक का उत्तर देना है।

प्रश्न 26.
सिद्ध कीजिए कि वक्र x = y² और xy = k एक दूसरे को समकोण पर काटती है, यदि 8k² = 1 है।
हल :
मान लिया कि वक्र का प्रतिच्छेदन बिन्दु (x₁, y₁) है।

प्रश्न 27.
यदि y = sin[cos{tan(sin^-1 x)], तो \(\frac{d y}{d x}\) का मान निकालें।
हल :

प्रश्न 28.

हल :

प्रश्न 29.
वक्र x² = 4y एवं रेखा x = 4y – 2 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया गया वक्र x² = 4y … (1)
जो उपर की ओर खुलने वाला परवलय है, जिसका शीर्ष (0, 0) और y-अक्ष के परितः सममित है।
और रेखा का समीकरण x = 4y – 2 …(2)
(1) और (2) को हल करने पर,

प्रश्न 30.
यदि \(\overrightarrow{\mathbf{a}}, \overrightarrow{\mathbf{b}}, \overrightarrow{\mathbf{c}}\) समान परिमाणों वाले परस्पर लंबवत् सदिश हैं तो दर्शाइए कि सदिश \(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\) सदिशों \(\overrightarrow{\mathbf{a}}, \overrightarrow{\mathbf{b}}\) तथा \(\overrightarrow{\mathrm{c}}\) के साथ बराबर मुका हुआ है।
हल :

प्रश्न 31.

हल :

प्रश्न 32.
निम्न अवरोधों के अंर्तगत Z = 3x + 4y का अधिकतमीकरण कीजिए :
x + y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0
हल :
उद्देश्य फलन. : Z = 3x + 4y अवरोध हैं x + y ≤ 4, x, y ≥ 0
x + y ≤ 4 के संगत रेखा समीकरण x + y = 4, का आरेख बिन्दु A(4, 0) और B(0, 4) से होकर जाती है।

x + y ≤ 4 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≤ 4 जो सत्य है।
मूल बिन्दु इस क्षेत्र में स्थित है
अर्थात x + y ≤ 4 का क्षेत्र रेखा x + y = 4 और इस के नीचे मूल. बिन्दु की ओर है।
x ≥ 0, का क्षेत्र y- अक्ष की दा जोर और y-अक्ष है!
y ≥ 0, क्षेत्र के बिन्दु x-अक्ष पर है और x-अक्ष के ऊपर है इन से बना उभयनिष्ठ क्षेत्र ΔOAB हैं :
उद्देश्य फलन Z = 3x + 4y
O(0, 0) पर Z = 0
B(0, 4) पर Z = 0 + 16 = 16
C(4, 0) पर Z = 12 + 0 = 12
अत: Z का अधिकता मान दिन्दु B(0, 4) पर 16 है :

प्रश्न 33.
एक कपनी दो तरह की गुड़िया A और B बनाती है। दोनों गुड़ियों का संयुक्त उत्पादन का स्तर 1200 गुड़िया प्रति सप्ताह से अधिक नहीं हो सकता है। B प्रकार की गुड़ियों की माँग अधिक से अधिक A की मांग की आधी हो सकती है। A का उत्पादन स्तर B के उत्पादन स्तर से अधिक से अधिक 600 इकाई ज्यादा हो सकता है। यदि कंपनी को A पर 12 रु० और B पर 16 रु० प्रति गुड़िया लाभ होता है, तो अधिकतम लाभ के लिए कंपनी को प्रत्येक प्रकार की गुड़िया का प्रति सप्ताह कितना उत्पादन करना चाहिए ?
हल :
माना कि कंपनी A प्रकार के x गुडिया एवं B प्रकार के y गुड़िया बनाती है।



इस प्रकार Z का मान x = 3800, y = 400 पर अधिकतम 16000 प्राप्त होता है। अत: कंपनी A प्रकार का 800 और B प्रकार का 400 गुड़िया प्रति सप्ताह उत्पादन करने पर अधिकतम लाभ 16000 रु. होगा।

Bihar Board 12th Maths Model Papers

Bihar Board 12th Maths Model Question Paper 1 in Hindi

समय : 3 घंटे 15 मिनट
अंक : 100

परिक्षार्थियों के लिए निर्देश

1. परीक्षार्थी यथासंभव अपने शब्दों में ही उत्तर दें।
2. दाहिनी ओर हाशिये पर दिये हुए अंक पूर्णांक निर्दिष्ट करते हैं।
3. उत्तर देते समय परीक्षार्थी यथासंभव शब्द-सीमा का ध्यान रखें।
4. इस प्रश्न पत्र को ध्यानपूर्वक पढ़ने के लिए पन्द्रह मिनट का अतिरिक्त समय दिया गया है।
5. यह प्रश्न-पत्र के दो खण्डों में है, खण्ड-अ एवं खण्ड-ब।
6. खण्ड-अ में 1-50 तक वस्तुनिष्ठ प्रश्न हैं, सभी प्रश्न अनिवार्य हैं। (प्रत्येक प्रश्न के लिए 1 अंक निर्धारित है), इनके उत्तर उपलब्ध कराये गये OMR शीट में दिये गये वृत्त को काले / नीले बॉल पेन से भरें। किसी भी प्रकार के व्हाइटनर/तरल पदार्थ/ब्लेड/नाखून आदि का OMR-शीट में प्रयोग करना मना है, अन्यथा परीक्षा परिणाम अमान्य होगा।
7. खण्ड-ब में 25 लघुउत्तरीय प्रश्न हैं (प्रत्येक प्रश्न के लिए 2 अंक निर्धारित है) जिनमें से किन्ही 15 प्रश्नों के उत्तर देना अनिवार्य है। इसके अतिरिक्त खण्ड में 08 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (प्रत्येक प्रश्न के लिए 05 अंक निर्धारित हैं) जिनमें से किन्हीं 4 प्रश्नों के उत्तर देना है।
8. किसी तरह के इलेक्ट्रॉनिक-यंत्र का इस्तेमाल वर्जित है।

खण्ड-अ : वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न संख्या 1 से 50 तक के प्रत्येक प्रश्न के साथ चार विकल्प दिए गए हैं, जिनमें से एक सही है। अपने द्वारा चुने गए सही विकल्प को OMR शीट पर चिह्नित करें। (50 × 1 = 50)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित में किसका प्रतिलोम फलन एकैक आच्छादक होता है?
(a) एकैक आच्छादन
(b) एकैक अंतः क्षेपी
(c) अनेकैक आच्छादक
(d) अनेकैक अंतः क्षेपी
उत्तर:
(a) एकैक आच्छादन

प्रश्न 2.
एक समुच्च्य x में संबंध R तुल्यता संबंध होता है यदि R
(a) स्वतुल्य हो
(b) सममित हो
(c) संक्रमक हो
(d) इनमें सभी
उत्तर:
(d) इनमें सभी

प्रश्न 3.
Set {a, b, c, d} से स्वयं पर सभी एकैक फलनों की संख्या है
(a) 12
(b) 24
(c) 36
(d) इनमें कोई नहीं
उत्तर:
(b) 24

प्रश्न 4.
यदि \(-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}\), तो tan^-1(tan x) =
(a) tan x
(b) cot x
(c) x
(d) -x
उत्तर:
(c) x

प्रश्न 5.
Sin^-1 x + Cos^-1 x =
(a) 0
(b) \(\frac{\pi}{4}\)
(c) \(\frac{\pi}{2}\)
(d) π
उत्तर:
(c) \(\frac{\pi}{2}\)

प्रश्न 6.
यदि x > 0, y > 0, xy < 1 तो
(a) tan^-1 (x + y)
(b) \(\tan ^{-1} \frac{x+y}{1-x y}\)
(c) tan^-1 (x – y)
(d) sin^-1 (x + y)
उत्तर:
(b) \(\tan ^{-1} \frac{x+y}{1-x y}\)

प्रश्न 7.
यदि -1 < x < 1 तो 2tan^-1 x =
(a) tan^-1 2x
(b) \(\tan ^{-1} \frac{2 x}{1-x^{2}}\)
(c) \(\tan ^{-1} \frac{2 x}{1+x^{2}}\)
(d) \(\cot ^{-1} \frac{2}{x}\)
उत्तर:
(b) \(\tan ^{-1} \frac{2 x}{1-x^{2}}\)

प्रश्न 8.

उत्तर:
(c) \(\left[\begin{array}{ll}
2 x & 2 y \\
21 & 2 m
\end{array}\right]\)

प्रश्न 9.

उत्तर:
(b) \(\left|\begin{array}{cc}
2 & 3 \\
15 & 20
\end{array}\right|\)

प्रश्न 10.

उत्तर:
(c) \(\left[\begin{array}{cc}
5 & 5 \\
-5 & -5
\end{array}\right]\)

प्रश्न 11.

उत्तर:
(b) 1

प्रश्न 12.

उत्तर:
(b) \(\left[\begin{array}{ll}
a+p & b+q \\
c+r & d+s
\end{array}\right]\)

प्रश्न 13.
किसी अव्युत्क्रमणीय आव्यूह A के लिए
(a) |A| = 0
(b) |A| ≠ 0
(c) |A| = 1
(d) |A| = 2
उत्तर:
(b) |A| ≠ 0

प्रश्न 14.
यदि 1 एक 2 × 2 क्रम वाला एकांक आव्यूह हो तो I³ =
(a) 3I²
(b) 3 + I
(c) 3I
(d) I
उत्तर:
(d) I

प्रश्न 15.

उत्तर:
(c) \(\left[\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right]\)

प्रश्न 16.
यदि दो matrices A और B के क्रम 2 × 4 तथा 3 × 2 क्रमशः हों तो AB का क्रम है
(a) 2 × 2
(b) 4 × 3
(c) 2 × 3
(d) AB ज्ञात करना संभव नहीं है
उत्तर:
(d) AB ज्ञात करना संभव नहीं है

प्रश्न 17.
\(\frac{d}{d x}\) (tan x) =
(a) cot x
(b) Sec²x
(c) Sec x tan x
(d) Sec x
उत्तर:
(b) Sec²x

प्रश्न 18.
\(\frac{d}{d x}\) (sin³x) =
(a) 3cos³x
(b) 3sin²x cos x
(c) 3sin²x
(d) cos³x
उत्तर:
(b) 3sin²x cos x

प्रश्न 19.
\(\frac{d}{d x}\) [3(sin²x + cos²x)] =
(a) 3
(b) 1
(c) 0
(d) 6 sinx cosx
उत्तर:
(c) 0

प्रश्न 20.
\(\frac{d}{d x}\) (e^4x) =
(a) e^4x
(b) e^x
(c) \(\frac{e^{4 x}}{4}\)
(d) 4e^4x
उत्तर:
(d) 4e^4x

प्रश्न 21.
\(\frac{d}{d x}\) (x⁵)
(a) 5x⁵
(b) 5x⁴
(c) \(\frac{x^{6}}{6}\)
(d) \(\frac{x^{4}}{4}\)
उत्तर:
(b) 5x⁴

प्रश्न 22.
\(\frac{d}{d x}\) [log(x³)] =
(a) \(\frac{1}{x^{3}}\)
(b) \(\frac{3}{x}\)
(c) 3x
(d) \(\frac{3}{x^{3}}\)
उत्तर:
(b) \(\frac{3}{x}\)

प्रश्न 23.
यदी x = cos θ, y = sin θ तो \(\frac{d y}{d x}\) =
(a) tan θ
(b) sec²θ
(c) cot θ
(d) -cot θ
उत्तर:
(d) -cot θ

प्रश्न 24.

उत्तर:
(b) \(\frac{1}{3} x^{-2 / 3}\)

प्रश्न 25.

उत्तर:
(c) \(K-\frac{\cos 2 x}{2}\)

प्रश्न 26.

उत्तर:
(c) \(K+\frac{x^{5}}{5}\)

प्रश्न 27.

उत्तर:
(c) \(\frac{e^{3 x}}{3}+K\)

प्रश्न 28.
\(\int \frac{3}{x} d x=\)
(a) K + 3x²
(b) K – \(\frac{3}{x^{2}}\)
(c) 3x + K
(d) K + 3 log|4|
उत्तर:
(d) K + 3 log|4|

प्रश्न 29.
∫3 dx =
(a) 3 + K
(b) x + K
(c) 3x + K
(d) 3K
उत्तर:
(c) 3x + K

प्रश्न 30.

उत्तर:
(c) \(\frac{2}{3} x^{3 / 2}+K\)

प्रश्न 31.
\(\int_{0}^{\pi / 2} \sin x d x=\)
(a) 0
(b) 1
(c) -1
(d) \(\frac{\pi}{2}\)
उत्तर:
(b) 1

प्रश्न 32.
\(\int_{0}^{1} e^{x} d x=\)
(a) e
(b) e + 1
(c) e – 1
(d) 2e
उत्तर:
(c) e – 1

प्रश्न 33.
समीकरण \(\frac{d x}{x}=\frac{d y}{y}\) का हल है
(a) x = Ky
(b) xy = K
(c) x + y = K
(d) x – y = K
उत्तर:
(a) x = Ky

प्रश्न 34.
अवकल समीकरण cosx dx + cosy dy = 0 का हल है
(a) sinx + cosy = K
(b) sinx + siny = K
(c) cosx + cosy = K
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(b) sinx + siny = K

प्रश्न 35.
e^x dx + e^y dy = 0 का हल है
(a) e^x + e^y = K
(b) e^x – e^y = K
(c) e^x+y = K
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(a) e^x + e^y = K

प्रश्न 36.
रैखिक समीकरण \(\frac{d y}{d x}+x y=x^{3}\) का समाकलन गुणक
(a) e^x
(b) \(e^{\frac{x^{2}}{2}}\)
(c) x
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(b) \(e^{\frac{x^{2}}{2}}\)

प्रश्न 37.
∫log dx =
(a) x log x – x + K
(b) x logx + x + K
(c) \(\frac{1}{x}+K\)
(d) \(\frac{1}{2}\) (log x)² + K
उत्तर:
(a) x log x – x + K

प्रश्न 38.
\(\int \frac{d x}{1+x^{2}}=\)
(a) tan^-1 x + K
(b) sin^-1 x + K
(c) cos^-1 x + K
(d) cot^-1 x + K
उत्तर:
(a) tan^-1 x + K

प्रश्न 39.
\(\overrightarrow{|i|} |=\)
(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) 3
उत्तर:
(b) 1

प्रश्न 40.
\(\vec{i}, \vec{i}=\)
(a) 0
(b) 1
(c) \(\vec{j}\)
(d) \(\vec{k}\)
उत्तर:
(b) 1

प्रश्न 41.
\(\vec{i} \times \vec{i}=\)
(a) \(\vec{i}\)
(b) \(\vec{0}\)
(c) \(\vec{j}\)
(d) \(\vec{k}\)
उत्तर:
(b) \(\vec{0}\)

प्रश्न 42.
यदि O मूल बिंदू हो तथा बिंदू A के स्थिति सदिश (2, 3, 4) हों तो \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\) =
(a) \(-2 \overrightarrow{\mathrm{i}}+4 \overrightarrow{\mathrm{j}}+3 \overrightarrow{\mathrm{K}}\)
(b) \(2 \overrightarrow{\mathrm{i}}+3 \overrightarrow{\mathrm{j}}+3 \overrightarrow{\mathrm{K}}\)
(c) \(2 \overrightarrow{\mathrm{i}}-3 \overrightarrow{\mathrm{j}}+4 \overrightarrow{\mathrm{K}}\)
(d) \(2 \vec{i}-3 \vec{j}-4 \overrightarrow{\mathrm{K}}\)
उत्तर:
(b) \(2 \overrightarrow{\mathrm{i}}+3 \overrightarrow{\mathrm{j}}+3 \overrightarrow{\mathrm{K}}\)

प्रश्न 43.
\(|\overrightarrow{\mathrm{i}}+2 \overrightarrow{\mathrm{j}}+3 \overrightarrow{\mathrm{K}}|=\)
(a) 14
(b) 6
(c) 1
(d) √14
उत्तर:
(d) √14

प्रश्न 44.
\((2 \vec{i}-2 \vec{j}+4 \vec{K}) \cdot(3 \vec{i}+4 \vec{j}-5 \vec{K})=\)
(a) 14
(b) -14
(c) 26
(d) -26
उत्तर:
(d) -26

प्रश्न 45.
y-अक्ष के दिक् कोज्याएँ हैं।
(a) 0, 0, 0
(b) 1, 0, 0
(c) 0, 1, 0
(d) 0, 0, 1
उत्तर:
(c) 0, 1, 0

प्रश्न 46.
I₁, m₁, n₁, और I₂, m₂, n₂, दिक् कोज्याएँ वाली दो सरल – रेखाओं के समांतर होने के लिए शर्त है
(a) I₁I₂ + m₁m₂ + n₁n₂ = 0
(b) \(\frac{I_{1}}{I_{2}}+\frac{m_{1}}{m_{2}}+\frac{n_{1}}{n_{2}}=0\)
(c) \(\frac{I_{1}}{I_{2}}=\frac{m_{1}}{m_{2}}=\frac{n_{1}}{n_{2}}\)
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(c) \(\frac{I_{1}}{I_{2}}=\frac{m_{1}}{m_{2}}=\frac{n_{1}}{n_{2}}\)

प्रश्न 47.
समतल x + 2y + 3z + 5 = 0 के समांतर एक तल का समीकरण है
(a) x + 2y + 3z + 1 = 0
(b) x – 2y + 3z + 5 = 0
(c) x + 2y – 3z + 1 = 0
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(d) इनमें से कोई नहीं

प्रश्न 48.
yz-तल के समांतर तल का समीकरण है
(a) x + K
(b) y = K
(c) z = K
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(a) x + K

प्रश्न 49.
यदि A और B दो स्वेच्छ घटनाएँ हो जहाँ A ≠ φ तो (A ∩ B) =
(a) P (A) . P (B/A)
(b) P (A) + P (B/A)
(c) P (A) – P (B/A)
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(a) P (A) . P (B/A)

प्रश्न 50.
एक linear programming problem में जिस फलन का अधिकतम या न्यूनतम मान निकालना हो उसे कहते हैं
(a) उद्देश्य फलन
(b) प्रतिबंध
(c) (a) और (b) दोनों
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(a) उद्देश्य फलन

खण्ड-ब : गैर-वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न संख्या 1 से 25 तक लघु उत्तरीय कोटि के प्रश्न हैं । इस कोटि के प्रत्येक प्रश्न के लिए 2 अंक निर्धारित हैं। आप किन्हीं 15 प्रश्नों का उत्तर दें। (15 × 2 = 30)

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
फलन f : R → R को एकैक या अनेकैक के लिए जाँचे जब f (x) = |x|, x ∈ R है।
हल :
We have f(-1) = |-1| = 1 and f(-1) = |1| = 1
Thus two different elements in R have the same Image.
∴ f is not one-one function.
∴ f is many one function.

प्रश्न 2.
सिद्ध करें कि \(2 \tan ^{-1} \frac{1}{5}+\tan ^{-1} \frac{1}{4}=\tan ^{-1} \frac{32}{43}\)
हल :
Q2 IM
Q2.1 IM

प्रश्न 3.
x के लिए हल करें \(\cot ^{-1} x+\sin ^{-1} \frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\pi}{4}\)
हल :
Q3 IM
Q3.1 IM

प्रश्न 4.
निम्न में x का मान ज्ञात करें|
\(\left[\begin{array}{cc}
2 x-y & 5 \\
3 & y
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
6 & 5 \\
3 & -2
\end{array}\right]\)
हल :
Q4 IM

प्रश्न 5.
मान ज्ञात करें|
\(\left|\begin{array}{ccc}
16 & 9 & 7 \\
23 & 16 & 7 \\
32 & 19 & 13
\end{array}\right|\)
हल :
Q5 IM

प्रश्न 6.
x मान ज्ञात करें जब \(\left|\begin{array}{ll}
x & 4 \\
2 & 2 x
\end{array}\right|=0\)
हल :
Q6 IM

प्रश्न 7.
यदी A = \(\left[\begin{array}{c}
2 \\
-4 \\
3
\end{array}\right]\) तथा तो B = [2 3 4] तो B’A’ ज्ञात करें
हल :
Q7 IM

प्रश्न 8.
यदी y + x = sin (y + x) तो \(\frac{d y}{d x}\) ज्ञात करें
हल :
Q8 IM

प्रश्न 9.
यदी y = \(\log \left(x^{2} \sqrt{x^{2}+1}\right)\) तो \(\frac{d y}{d x}\) ज्ञात करें
हल :
Q9 IM
Q9.1

प्रश्न 10.
यदी (If) x = a cosθ, y = b sinθ तो \(\frac{d y}{d x}\) ज्ञात करें
हल :
Q10

प्रश्न 11.
समाकलन करें : ∫(sin x + cosx)² dx.
हल :
Q11

प्रश्न 12.
मान निकालें : \(\int_{0}^{\pi / 2} \frac{d x}{1+\sin x}\)
हल :
Q12

प्रश्न 13.
मान निकालें : \(\int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin x d x}{\sin x+\cos x}\)
हल :
Q13
Q13.1

प्रश्न 14.
हाल करें : \(\frac{d y}{d x}\) – y tanx = -y sec²x.
हल :
Q14

प्रश्न 15.
समाकलन करें : ∫x² e^x dx
हल :
Q15
Q15.1

प्रश्न 16.
\(5 \vec{i}+\vec{j}-3 \vec{k}\) और \(3 \vec{i}-\overrightarrow{4 j}+7 \vec{K}\) का अदिश गुणनफल ज्ञात करें।
हल :
Q16

प्रश्न 17.
यदि (If) \(\vec{a}=3 \vec{i}+4 \vec{j}-5 \vec{K}\) और \(b=7 \vec{i}-3 \vec{j}+6 \vec{K}\) तो \((\vec{a}+\vec{b}) \times(\vec{a}-\vec{b})\) ज्ञात करें
हल :
Q17

प्रश्न 18.
दो सरल रेखाओं के बीच का न्यूनकोण ज्ञात करें जिनके दिक् अनुपात (1, 1, 0) और (2, 1, 2) है।
हल :
Direction ratios of the first line are 1, 1, 0
Its direction cosines are
Q18
Q18.1

प्रश्न 19.
Q19
हल :
Q19.1

प्रश्न 20.
सिद्ध करें कि दो तल 3x – 4y + 5x = 0 और 2x – y – 2x = 5 परस्पर लम्ब है।
हल :
Given equation of plane are 3x – 4y + 5z = 0 …….(i)
and 2x – y – 2z = 5 …….(ii)
Here a₁ = 3, b₁ = -4, c₁ = 5
a₂ = 2, b₂ = -1, c₂ = -2
a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 6 + 4 – 10 = 0
Since product of Direction ratios at two plenes are zero plane (i) & (ii) are per pendicular.

प्रश्न 21.
एक पास के फेंकने में यदि सम संख्या आती हो तो उसके 2 से अधिक होने की क्या प्रायिकता है?
हल :
Let S = {1, 2, 3, 4, 5, 6)
A = {2, 4, 6}
B = {3, 4, 5, 6}
\(P\left(\frac{B}{A}\right)=\frac{n(A \cap B)}{n(A)}=\frac{2}{3}\)

प्रश्न 22.
एक व्यक्ति एक सिक्के को 3 बार उछालता है। ठीक एक शीर्ष आने की प्रायिकता ज्ञात करें।
हल :
Let p = Probability of setting a head in one trial
p = \(\frac{1}{2}\)
q = 1 – p = \(\frac{1}{2}\)
p(x = 1) = ³C₁ (p)¹ (q)² = \(3 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{4}=\frac{3}{8}\)

प्रश्न 23.
यदि y = sin x + cos x तो \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) ज्ञात करें।
हल :
Given that y = sin x + cos x
D.w.r. to x both side
\(\frac{d y}{d x}\) = cos x – sin x
Again D. w.r. to x both side
\(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) = -sin x – cos x = -(sin x + cos x)

प्रश्न 24.
\(\left|\begin{array}{lll}
a & a^{2} & a^{3} \\
b & b^{2} & b^{3} \\
c & c^{2} & c^{3}
\end{array}\right|\) का मान ज्ञात करें।
हल :
Q24

प्रश्न 25.
यदि A और B दो घटनाएँ हो तथा 2P(A) = P(B) = \(\frac{6}{13}\) तथा P(A/B) = \(\frac{1}{3}\) हो तो P(A ∪ B) ज्ञात करें।
हल :
Given that 2P(A) = P(B) = \(\frac{6}{13}\)
Q25

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 26.
यदी \(y=e^{x^{x}}\) तो \(\frac{d y}{d x}\) ज्ञात करें।
हल :
Q26

प्रश्न 27.
सिद्ध करें कि \(\theta=\frac{\pi}{3}\) पर sinθ (1 + cosθ) महत्तम है
हल :
Q27

प्रश्न 28.
मान निकालें \(\int_{0}^{\pi} \frac{x}{1+\sin x} d x\)
हल :
Q28

प्रश्न 29.
हाल करें (x² + y²) \(\frac{d y}{d x}\) = 2xy
हल :
Q29
Q29.1
Q29.2
Q29.3

प्रश्न 30.
अधिकतमीकरण करें (Maximize): Z = 50x + 15y
जबकि (subject to): 5x + y ≤ 5, x + y ≤ 3 और x, y ≥ 0
हल :
Its corresponding equation
5x + y = 5 ……..(i)
x + y = 3 …….(ii)
Q30
Q30.1
Q30.2

प्रश्न 31.
A, 75 प्रतिशत सत्य बोलता है तथा B, 80 प्रतिशत तो किसी एक ही तथ्य पर दोनों में विरोधाभास होने की क्या प्रतिशत है?
हल :
Let E = the Event of A speaking the truth
and F = The Event of B speaking the truth.
Then P(E) = \(\frac{75}{100}=\frac{3}{4}\)
and P(F) = \(\frac{80}{100}=\frac{4}{5}\)
Required probability P(A & B contradicting each other)
Q31
A & B are likely to contradict each other 35% cases.

प्रश्न 32.
सरल रेखा \(\frac{x}{1}=\frac{y}{3}=\frac{z}{0}\) और तल 2x + y = 5 के बीच न्यूनकोण ज्ञात करें
हल :
Q32

प्रश्न 33.
गुणनखंड निकालें : \(\left|\begin{array}{ccc}
(b+c)^{2} & a^{2} & a^{2} \\
b^{2} & (c+a)^{2} & b^{2} \\
c^{2} & c^{2} & (a+b)^{2}
\end{array}\right|\)
हल :
Q33
Q33.1
Q33.2
Q33.3

Bihar Board 12th Maths Model Papers

Bihar Board 12th Maths Model Question Paper 4 in Hindi

समय : 3 घंटे 15 मिनट
अंक : 100

परिक्षार्थियों के लिए निर्देश

1. परीक्षार्थी यथासंभव अपने शब्दों में ही उत्तर दें।
2. दाहिनी ओर हाशिये पर दिये हुए अंक पूर्णांक निर्दिष्ट करते हैं।
3. उत्तर देते समय परीक्षार्थी यथासंभव शब्द-सीमा का ध्यान रखें।
4. इस प्रश्न पत्र को ध्यानपूर्वक पढ़ने के लिए पन्द्रह मिनट का अतिरिक्त समय दिया गया है।
5. यह प्रश्न-पत्र के दो खण्डों में है, खण्ड-अ एवं खण्ड-ब।
6. खण्ड-अ में 1-50 तक वस्तुनिष्ठ प्रश्न हैं, सभी प्रश्न अनिवार्य हैं। (प्रत्येक प्रश्न के लिए 1 अंक निर्धारित है), इनके उत्तर उपलब्ध कराये गये OMR शीट में दिये गये वृत्त को काले / नीले बॉल पेन से भरें। किसी भी प्रकार के व्हाइटनर/तरल पदार्थ/ब्लेड/नाखून आदि का OMR-शीट में प्रयोग करना मना है, अन्यथा परीक्षा परिणाम अमान्य होगा।
7. खण्ड-ब में 25 लघुउत्तरीय प्रश्न हैं (प्रत्येक प्रश्न के लिए 2 अंक निर्धारित है) जिनमें से किन्ही 15 प्रश्नों के उत्तर देना अनिवार्य है। इसके अतिरिक्त खण्ड में 08 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (प्रत्येक प्रश्न के लिए 05 अंक निर्धारित हैं) जिनमें से किन्हीं 4 प्रश्नों के उत्तर देना है।
8. किसी तरह के इलेक्ट्रॉनिक-यंत्र का इस्तेमाल वर्जित है।

खण्ड-अ : वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न संख्या 1 से 50 तक के प्रत्येक प्रश्न के साथ चार विकल्प दिए गए हैं, जिनमें से एक सही है। अपने द्वारा चुने गए सही विकल्प को OMR शीट पर चिह्नित करें। (50 × 1 = 50)

प्रश्न 1.
मान लीजिए कि समुच्चय {1, 2, 3, 4} में R = {(1, 2),(2, 2), (1, 1), (4, 4), (1, 3), (3, 3), (3, 2)} द्वारा परिभाषित संबंध R है। नि्नलिखित में से सही उत्तर चुनिए :
(a) R स्वतुल्य त? एपित है किन्तु संक्रमक नहीं है।
(b) R स्वत: य तथा पंक्रमक है किंतु सममित नहीं है।
(c) R सपपिन रया संक्रमक है किन्तु स्वतुल्य नहीं है।
(d) R एक तुल्यता संबंध है।
उत्तर:
(b) R स्वत: य तथा पंक्रमक है किंतु सममित नहीं है।

प्रश्न 2.
मान लीजिए कि f(x) = 3x द्वारा परिभाषित फल f : R → R है।
(a) f एकैको आच्छादक है
(b) f बहुएक आच्छादक है
(c) f एकैकी है किन्तु आच्छादक नहीं है
(d) f न तो एकैकी है और न आच्छादक है
उत्तर:
(a) f एकैको आच्छादक है

प्रश्न 3.
समुच्चय {a, b} में द्विआधारी संक्रिया की संख्या है:
(a) 10
(b) 16
(c) 20
(d) 8
उत्तर:
(b) 16

प्रश्न 4.
sec² (tan^-1 5) + cosec² (cot^-1 5) बराबर है :
(a) 10
(b) 50
(c) 51
(d) 52
उत्तर:
(d) 52

प्रश्न 5.

उत्तर:
(b) \(\frac{2 \pi}{3}\)

प्रश्न 6.

उत्तर:
(d) 1 है

प्रश्न 7.

उत्तर:
(c) \(\frac{3 \pi}{4}\)

प्रश्न 8.
tan^-1 x + cot^-1 x बराबर है :
(a) -π
(b) \(\frac{\pi}{2}\)
(c) \(\frac{\pi}{3}\)
(d) \(\frac{\pi}{4}\)
उत्तर:
(c) \(\frac{\pi}{3}\)

प्रश्न 9.
यदि ω समीकरण x³ – 1 = 0 का एक अवास्तविक मूल हो, तो :
\(\left|\begin{array}{ccc}
1 & \omega & \omega^{2} \\
\omega & \omega^{2} & 1 \\
6 \cdot 2 & 1 & \omega
\end{array}\right|=\)
(a) 0
(b) 1
(c) ω
(d) ω²
उत्तर:
(a) 0

प्रश्न 10.
एक मैट्रिक्स A = [a_ij]_n×n सममित है यदि :
(a) a_ij = 0
(b) a_ij= -a_ji
(c) a_ij = a_ji
(d) a_ij = 1
उत्तर:
(c) a_ij = a_ji

प्रश्न 11.
यदि \(A=\left[\begin{array}{lll}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{array}\right]\) तो A² है
(a) 27A
(b) 2A
(c) 3A
(d) I
उत्तर:
(c) 3A

प्रश्न 12.
एक मैट्रिक्स A = [a_ij]_n×n विषम सममित है यदि :
(a) a_ij = 0
(b) a_ij = a_ji
(c) a_ij = -a_ji
(d) a_ij = 0
उत्तर:
(c) a_ij = -a_ji

प्रश्न 13.
सारणिक \(\left|\begin{array}{lll}
3 & 1 & 7 \\
5 & 0 & 2 \\
2 & 5 & 3
\end{array}\right|\) के मान =
(a) 124
(b) 125
(c) 134
(d) 144
उत्तर:
(c) 134

प्रश्न 14.
यदि a, b, c समान्तर श्रेणी में हैं तो सारणिक \(\left|\begin{array}{ccc}
x+2 & x+3 & x+2 a \\
x+3 & x+4 & x+2 b \\
x+4 & x+5 & x+2 c
\end{array}\right|\) है :
(a) 1
(b) x
(c) 0
(d) 2x
उत्तर:
(c) 0

प्रश्न 15.
PY + WY के परिभाषित होने के लिए n, k तथा p पर क्या प्रतिबन्य होगा?
(a) k = 3, p = n
(b) k स्वेच्छ है, p = 2
(c) p स्वेच्छ है, k = 3
(d) k = 2, p = 3
उत्तर:
(a) k = 3, p = n

प्रश्न 16.

उत्तर:
(a) \(\left[\begin{array}{ccc}
x^{-1} & 0 & 0 \\
0 & y^{-1} & 0 \\
0 & 0 & z^{-1}
\end{array}\right]\)

प्रश्न 17.
यदि y = log(log x) तब \(\frac{d y}{d x}\) का मान होगा।
(a) x log x
(b) \(\frac{1}{x \log x}\)
(c) \(\frac{1}{\log x}\)
(d) \(\frac{1}{x}\)
उत्तर:
(b) \(\frac{1}{x \log x}\)

प्रश्न 18.
यदि f(x) = sin (x²) तब \(\frac{d f}{d x}\) बराबर होगा:
(a) 2x sin x²
(b) 2x cos x²
(c) 2 cos x
(d) 2x sin x
उत्तर:
(b) 2x cos x²

प्रश्न 19.

उत्तर:
(d) \(\frac{1}{2}\)

प्रश्न 20.
रोले प्रमेय का प्रयोग कर वक्र f(x) = (x – 1) (x – 2) का [-1, 2] का वह बिन्दु जहाँ स्पर्श रेखा x-अक्ष के समान्तर है :
(a) (-1, 0)
(b) (2, 0)
(c) \(\left(\frac{1}{2},-\frac{9}{4}\right)\)
(d) \(\left(\frac{1}{2}, \frac{9}{4}\right)\)
उत्तर:
(a) (-1, 0)

प्रश्न 21.
एक उत्पाद की इकाइयों के विक्रय से प्राप्त कुल आय रुपये में R(x) = 3x² + 36x + 5 से प्रदत्त है। जब x = 15 है तब सीमांत आय है :
(a) 116 रु.
(b) 96 रु.
(c) 90 रु.
(d) 126 रु.
उत्तर:
(d) 126 रु.

प्रश्न 22.
एक वृत्त की त्रिज्या 0.7 cm/sec की दर से बढ़ रही है। इसकी परिधि की वृद्धि की दर होगी जब r = 4.9 cm हो
(a) 0.7π cm/sec
(b) π cm/sec
(c) 2.1π cm/sec
(d) 1.4π cm/sec
उत्तर:
(d) 1.4π cm/sec

प्रश्न 23.
यदि \(\theta+\phi=\frac{\pi}{3}\) तो sinθ.sinφ का अधिकतम मान होगा जब θ का मान होगा:
(a) \(\frac{\pi}{4}\)
(b) \(\frac{\pi}{3}\)
(c) \(\frac{\pi}{6}\)
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(c) \(\frac{\pi}{6}\)

प्रश्न 24.
एक वृत्त के त्रिज्या r = 6 सेमी पर r के सापेक्ष वृत्त के क्षेत्रफल की परिवर्तन की दर है:
(a) 10π सेमी²/सेमी
(b) 12π सेमी²/सेमी
(c) 8π सेमी²/सेमी
(d) 11π सेमी²/सेमी
उत्तर:
(b) 12π सेमी²/सेमी

प्रश्न 25.
\(\int_{0}^{\pi / 4} \sin 2 x d x\) का मान है :
(a) 1
(b) \(\frac{1}{2}\)
(c) \(\frac{1}{3}\)
(d) \(\frac{1}{4}\)
उत्तर:
(b) \(\frac{1}{2}\)

प्रश्न 26.
∫1.dx =
(a) x + k
(b) 1 + k
(c) \(\frac{x^{2}}{2}+k\)
(d) log x + k
उत्तर:
(a) x + k

प्रश्न 27.
\(\int \frac{d x}{\sqrt{x}}=\)
(a) √x + k
(b) 2√x + k
(c) x + k
(d) \(\frac{2}{3} x^{3 / 2}+k\)
उत्तर:
(b) 2√x + k

प्रश्न 28.
\(\int_{a}^{b} x^{5} d x=\)
(a) b⁵ – a⁵
(b) \(\frac{b^{6}-a^{6}}{6}\)
(c) \(\frac{a^{6}-b^{6}}{6}\)
(d) a⁵ – b⁵
उत्तर:
(b) \(\frac{b^{6}-a^{6}}{6}\)

प्रश्न 29.
∫ logx dx बराबर है :
(a) x log x + x + C
(b) x log x – x + C
(c) log x + x + C
(d) log x – x + C
उत्तर:
(b) x log x – x + C

प्रश्न 30.
\(\int_{0}^{1} \tan ^{-1}\left(\frac{2 x-1}{1+x-x^{2}}\right) d x\) का मान है :
(a) 1
(b) 0
(c) -1
(d) \(\frac{\pi}{4}\)
उत्तर:
(b) 0

प्रश्न 31.
वक्र |x| + |y| = 1 द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है :
(a) 4
(b) 8
(c) 2
(d) 1
उत्तर:
(b) 8

प्रश्न 32.
अवकल समीकरण \(\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{3}+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}+\sin \left(\frac{d y}{d x}\right)+1=0\) की घात है:
(a) 3
(b) 2
(c) 1
(d) परिभाषित नहीं
उत्तर:
(a) 3

प्रश्न 33.
चार कोटि वाले किसी अवकल समीकरण के व्यापक हल में उपस्थित स्वेच्छ अचरों की संख्या है:
(a) 0
(b) 2
(c) 3
(d) 4
उत्तर:
(d) 4

प्रश्न 34.
अवकल समीकरण \(\frac{d y}{d x}=\frac{x}{y}\) का हल है
(a) x – y = k
(b) x² – y² = k
(c) x³ – y³ = k
(d) xy = k
उत्तर:
(b) x² – y² = k

प्रश्न 35.
रैखिक अवकल समीकरण \(\frac{d y}{d x}\) = y sec²x = tan x sec²x का समाकलन गुणक है
(a) tan x
(b) e^{tan x}
(c) log tan x
(d) tan² x
उत्तर:
(b) e^{tan x}

प्रश्न 36.
अवकल समीकरण \(\frac{y d x-x d y}{y}=0\) का व्यापक हल है :
(a) xy = c
(b) x = cy²
(c) y = cx
(d) y = cx²
उत्तर:
(c) y = cx

प्रश्न 37.
यदि \(|\vec{a} \times \vec{b}|=|\vec{a} \cdot \vec{b}|\) तो \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) के बीच का कोण होगा:
(a) 0
(b) \(\frac{\pi}{2}\)
(c) \(\frac{\pi}{4}\)
(d) π
उत्तर:
(c) \(\frac{\pi}{4}\)

प्रश्न 38.

उत्तर:
(b) \(3 \vec{i}-\vec{j}+5 \vec{k}\)

प्रश्न 39.

उत्तर:
(b) \(\vec{a} \perp \vec{b}\)

प्रश्न 40.
सदिश \(2 \vec{i}-7 \vec{j}-3 \vec{k}\) का मापांक है :
(a) √61
(b) √62
(c) √64
(d) √32
उत्तर:
(b) √62

प्रश्न 41.
समतल 2x – 3y – 6z – 3 = 0 के अभिलम्ब की दिक्कोज्याएँ हैं :
(a) \(\frac{2}{7},-\frac{3}{7},-\frac{6}{7}\)
(b) \(\frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{6}{7}\)
(c) \(-\frac{2}{7}, \frac{3}{7},-\frac{6}{7}\)
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(a) \(\frac{2}{7},-\frac{3}{7},-\frac{6}{7}\)

प्रश्न 42.
यदि रेखा \(\frac{x-x_{1}}{l}=\frac{y-y_{1}}{m}=\frac{z-z_{1}}{n}\) तल ax + by + cz + d = 0 के समांतर हो, तो :
(a) \(\frac{a}{l}=\frac{b}{m}=\frac{c}{n}\)
(b) al + bm + cn = 0
(c) al² + bm² + cn² = 0
(d) a²l² + b²m² + c²n² = 0
उत्तर:
(b) al + bm + cn = 0

प्रश्न 43.
यदि एक सरल रेखा x, y और z अक्षों के साथ क्रमशः α, β और γ कोण बनाती है, तब
(a) cos² α + cos² β + cos² γ = -1
(b) sin² α + sin² β + sin² γ = 2
(c) cos² α + cos² β + cos² γ = 2
(d) cos² α + cos² β + cos² γ = 1
उत्तर:
(b) sin² α + sin² β + sin² γ = 2

प्रश्न 44.
समतल 2x – 3y + 4z – 6 = 0 की मूल बिन्दु से दूरी है :
(a) \(\frac{2}{\sqrt{29}}\)
(b) \(\frac{4}{\sqrt{29}}\)
(c) \(\frac{6}{\sqrt{29}}\)
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(c) \(\frac{6}{\sqrt{29}}\)

प्रश्न 45.
एक रेखा की दिक् अनुपात 2, -1, -2 है तब इसकी दिक कोज्याएँ हैं :
(a) \(\frac{2}{3}, \frac{-1}{3}, \frac{-2}{3}\)
(b) \(-\frac{1}{3}, \frac{2}{3},-\frac{2}{3}\)
(c) \(\frac{2}{3}, \frac{-2}{3}, \frac{1}{3}\)
(d) \(\frac{1}{3}, \frac{2}{3},-\frac{2}{3}\)
उत्तर:
(a) \(\frac{2}{3}, \frac{-1}{3}, \frac{-2}{3}\)

प्रश्न 46.

उत्तर:
(b) \(\frac{4}{9}\)

प्रश्न 47.
यदि A और B ऐसे हैं कि P(a) > 0 और P(b) ≠ 1 तब P(A/B) बराबर है:

उत्तर:
(c) \(1-\frac{P(A \cup B)}{P(B)}\)

प्रश्न 48.
यदि P(E) = 0.6, P(F) = 0.3 और P(E ∩ F) = 0.2 है तब P(\(\frac{\mathbf{E}}{\mathbf{F}}\)) तथा P(\(\frac{\mathbf{F}}{\mathbf{E}}\)) है:
(a) \(\frac{2}{3}\) तथा \(\frac{1}{3}\)
(b) \(\frac{1}{3}\) तथा \(\frac{2}{3}\)
(c) \(\frac{4}{3}\) तथा \(\frac{2}{3}\)
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(a) \(\frac{2}{3}\) तथा \(\frac{1}{3}\)

प्रश्न 49.
यदि A और B दो घटनाएँ एक ही यादृच्छिक प्रयोग से जुड़े हो ताकि P(a) = 0.4, P(b) = 0.8 और P(B/A) = 0.6 तब P(A/B) बराबर है:
(a) 0.3
(b) 0.4
(c) 0.5
(d) 0.6
उत्तर:
(a) 0.3

प्रश्न 50.
सुसंगत क्षेत्र कोई बिन्दु जो उद्देश्य फलन का उच्चतम या निम्नतम मान देता है, कहा जाता है
(a) अधिकतम मान
(b) इस्टतम मान
(c) निम्नतम मान
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(b) इस्टतम मान

खण्ड-ब : गैर-वस्तुनिष्ठ प्रश्न

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न संख्या 1 से 25 तक लघु उत्तरीय कोटि के हैं। प्रत्येक के लिए 2 अंक निर्धारित हैं। इनमें से किसी 15 प्रश्न का उत्तर दें। (15 × 2 = 30)

प्रश्न 1.
मान लीजिए कि समस्त n ∈ N के लिए

द्वारा परिभाषित एक फलन f : N → N है। बतलाइए कि क्या फलन f एकैकी आच्छादी (bijective) है। अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।
हल :
दिया है, f : N → N इस प्रकार परिभाषित है कि

1 और 2 का f-प्रतिबिम्ब 1 है
f एकैकी नहीं है।
सहप्रांत का प्रत्येक अवयव प्रांत के किसी न किसी अवयव का प्रतिबिम्ब है।
चूँकि 1, संख्या 1 और 2 का प्रतिबिम्ब है।
f आच्छादक है।
अतः f एकैकी नहीं परन्तु आच्छादक है।

प्रश्न 2.
ΔADC में, यदि A = tan^-1 2 तथा B = tan^-1 3 हो तो सिद्ध करें कि C = π/4.
हल :

प्रश्न 3.
सिद्ध करें कि \(2 \tan ^{-1} \frac{1}{3}+\tan ^{-1} \frac{1}{7}=\frac{\pi}{4}\)
हल :

प्रश्न 4.
x के किस मान के लिए : \(\left[\begin{array}{llll}
12 & 11 & 2 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 2
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
1 & 0 \\
2 \\
x
\end{array}\right]=0\) होगा?
हल :

प्रश्न 5.

हल :

प्रश्न 6.
सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग कर सिद्ध कीजिए :

हल :

प्रश्न 7.
बिना प्रसरण किए और सारणिको गुणधर्मो कर प्रयोग कर सिद्ध कीजिए :

हल :

प्रश्न 8.
यदि y = log tan (\(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\)) तो सिद्ध करें कि \(\frac{d y}{d x}\) – sex = 0.
हल :

प्रश्न 9.
x के सापेक्ष अवकलन कीजिए : (log x)^{cos x}
हल :
मान लिया कि y = (log x)^{cos x}
log y = cos x log (log x)
दोनों पक्षों को x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 10.
अवकलन कीजिए :
फलन f(x) = x² + 2x – 8, x ∈ [-4, 2] के लिए रोले के प्रमेय को सत्यापित कीजिए:
हल :
मान लिया कि फलन f(x) = x² + 2x – 8 अन्तराल [-4, 2] में
(a) फलन अन्तराल [-4, 2] में संतत है क्योंकि यह एक बहुपद है और बहुपद फलन संतत होता है।
(b) f'(x) = 2x + 2, f'(x) का अन्तराल (-4, 2), में अस्तित्व है।
अतः फलन अवकलनीय है।
(c) f(-4) = 0 और f(2) = 0 ⇒ f(-4) = f(2)
इस प्रकार रोले प्रमेय सन्तुष्ट होता है, इसलिए एक बिन्दु c ∈ (4, 2) ऐसा होना चाहिए ताकि
f'(c) = 0 ⇒ 2c + 2 = 0 ⇒ c = -1.

प्रश्न 11.
समाकलन कीजिए : ∫tan⁴x dx
हल :

प्रश्न 12.
मान जात कीजिए : \(\int_{2}^{8}|x-5| d x\)
हल :

प्रश्न 13.
क्नमलिंखत का समाकलन ज़ात कीरिए : \(\sqrt{\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}}\)
हल :

प्रश्न 14.
व्यापक हल ज्ञात कीजिए : \(\frac{d y}{d x}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\)
हल :

प्रश्न 15.
अवकल समीकरण (tan^-1 y – x) dy = (1 + y²) dx को हल कीजिए।
हल :

प्रश्न 16.
किसी ΔABC में, सिद्ध कीजिए कि \(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\)
हल :

प्रश्न 17.
सिद्ध कीजिए कि बिन्दु \(\vec{a}-2 \vec{b}+3 \vec{c}, 2 \vec{a}+3 \vec{b}-4 \vec{c}\) तथा \(-7 \vec{b}+10 \vec{c}\) सरेख हैं।
हल :
माना कि O मूल बिन्दु है तब प्रश्नानुसार

प्रश्न 18.
दर्शाइए कि बिंदु (2, 3, 4), (-1, -2, 1), (5, 8, 7) सरेख हैं।
हल:
मान लिया कि दिए गए बिन्दुएँ A (2, 3, 4), B (-1, -2, 1), C(5, 8, 7) हैं।
रेखा AB की दिक् अनुपात x₂ – x₁, y₂ – y₁, z₂ – z₁
अर्थात (-1 – 2), (-2 – 3), (1 – 4)
या, -3, -5, -3
और रेखा BC की दिक् अनुपात 5 – (-1), 8 – (-2), (7 – 1)
या, 6, 10,6 जो AB के-2 गुना हैं।
अर्थात AB और BC के समान दिक् अनुपात हैं।
AB || BC और ABतथा BC में बिन्दु B उभयनिष्ठ हैं।
अत: A, B, C सरेख हैं।

प्रश्न 19.
उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ बिन्दुओं P (1, -2, 3) और Q(4, 7, 8) को मिलाने वाली रेखा XY-तल को काटती है।
हल :
बिन्दुएँ P(1, -2, 3) और Q (4, 7, 8) से जाने वाली रेखा का सदिश समीकरण

प्रश्न 20.
रेखा युग्म के बीच का कोण ज्ञात कीजिए :

हल :

प्रश्न 21.
एक न्याय्य सिक्का और एक अभिनत पासे को उछाला गया। मान लीजिए A घटना “सिक्के पर चित प्रकट होता है’ और B घटना ‘पासे पर संख्या 3 प्रकट होती है’ को निरूपित करते हैं। निरीक्षण कीजिए कि घटनाएँ A और B स्वतंत्र हैं या नहीं?
हल :
जब एक सिक्के को उछाला जाता है तब चित या पट आता है।
चित आने की प्रायिकता P(A) = \(\frac{1}{2}\)
जब पासे को उछाला जाता है तब 1, 2, 3, 4, 5, 6 में से कोई एक आता है।
3 प्राप्त होने की प्रायिकता = P(B) = \(\frac{1}{6}\)
जब एक सिक्के और पासे को उछाला जाता है तब संभव परिणाम
H₁, H₂, H₃, H₄, H₅, H₆
T₁, T₂, T₃, T₄, T₅, T₆
चित और 3 केवल एक ही बार प्राप्त होता है।
चित और 3 प्राप्त होने की प्राचिकता = \(\frac{1}{12}\)
अर्थात P(A ∩ B) = \(\frac{1}{12}\)
P(A) × P(B) = \(\frac{1}{2} \times \frac{1}{6}=\frac{1}{12}\)
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
अतः घटनाएँ A और B स्वतंत्र हैं।

प्रश्न 22.
7 या 11 आने की क्या प्रायिकता होंगे यदि दो पासे फेंके जाते हैं?
हल :
चूँकि एक पासा में छ: फलक होते हैं, इसलिए दो पासे में 6 × 6 फलक होंगे।
इस प्रकार दो पासे को फेंकने पर कुल प्रतिदर्श
n(S) = 6 × 6 = 36
माना कि 7 आने की घटना A है, तब
A = {(1, 6), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)}
⇒ n(a) = 6
फिर यदि 11 आने की घटना B हो,
तो B = {(5, 6), (6, 5)}
⇒ n(b) = 2

प्रश्न 23.
X और Y ज्ञात कीजिए यदि
X + Y = \(\left[\begin{array}{ll}
7 & 0 \\
2 & 5
\end{array}\right]\) और X – Y = \(\left[\begin{array}{ll}
3 & 0 \\
0 & 3
\end{array}\right]\)
हल :

प्रश्न 24.
यदि A = \(\left[\begin{array}{ll}
3 & -2 \\
4 & -2
\end{array}\right]\) और I = \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right]\) एवं A² = kA – 2I. हो तो k का मान ज़ांत कीजिए।
हल :

प्रश्न 25.

हल :

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न संख्या 26 से 33 तक दीर्घ उत्तरीय कोटि के प्रश्न हैं। प्रत्येक के लिए 5 अंक निर्धारित हैं। प्रत्येक प्रश्न के साथ “अथवा” का विकल्प दिया गया है। आपको प्रश्न या अथवा में से किसी एक का उत्तर देना है।

प्रश्न 26.
फलन f(x) = 2x³ – 15x² + 36x + 1 का अन्तराल [1, 5] पर निरपेक्ष महत्तम और न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।
हल :
f(x) = 2x³ – 15x² + 36x + 1
⇒ f'(x) = 6x² – 30x + 36
⇒ f'(x) = 6(x² – 5x + 6) = 6(x – 3)(x – 2)
यदि f'(x) = 0 तब x = 2, x = 31
अब अन्तराल [1, 5] तथा x = 2, x = 3 पर fका मान करते हैं :
f(x) = 2x³ – 15x² + 36x + 1
⇒ f(1) = 2 – 15 + 36 + 1 = 39 – 15 = 24
f(2) = 2 × 2³ – 15 × 2² + 36 × 2 + 1 = 16 – 60 + 72 + 1 = 89 – 60 = 29
f(3) = 2 × 3³ – 15 × 3² + 36 × 3 + 1 = 54 – 135 + 108 + 1 = 163 – 135 = 28
f(5) = 2 × 5³ – 15 × 5² + 36 × 5 + 1 = 250 – 375 + 180 + 1 = 56
इस प्रकार फलन fनिरपेक्ष महत्तम मान [1, 5] पर 56, x = 5 पर और न्यूनतम मान 2y, x = 1 पर है।

प्रश्न 27.
लैग्रांजे माध्यमान प्रमेय की सत्यता जाँचें जबकि फलन f(x) = (x – 1) (x – 2) (x – 3) अंतराल में [0, 4].
हल :
दिया गया फलन, f(x) = (x – 1) (x – 2) (x – 3), [0, 4]
अन्तराल में,
⇒ f(x) = (x² – x – 2x + 2) (x – 3)
⇒ f(x) = (x² – 3x + 2) (x – 3) = x³ – 3x² + 2x – 3x + 9x – 6
⇒ f(x) = x³ – 6x² + 11x – 6
चूँकि f(x) एक बहुपद फलन है और बहुपद फलन संतत होता है, अर्थात् f(x), [0, 4] में संतत है।
साथ ही, f'(x) = 3x² – 2x + 11, का अन्तराल ]0, 4[ में अस्तित्व है।
इस प्रकार f(x), ]0, 4[ में अवकलनीय है।
अत: लेग्रांजे प्रमेय का दोनों शर्त सन्तुष्ट होता है।
c ∈ ]0, 4[ का अस्तित्व है।

स्पष्ट है कि c के दोनों मान अन्तराल ]0, 4[ के बीच स्थित है। इस प्रकार लेग्रांजे मध्यमान प्रमेय का जाँच हो जाता है।

प्रश्न 28.
मान ज्ञात कीजिए :

हल :

प्रश्न 29.
वक्रों (x – 1)² + y² = 1 एवं x² + y² = 1 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया गया वृत्त x² + y² = 1 …(1)
और (x – 1)² + y² = 1 …(2)
वृत्त (1) का केन्द्र O (0, 0) और त्रिज्या = 1 है।
वृत्त (2) का केन्द्र O (1, 0) और त्रिज्या = 1 है।
दोनों वृत्त -अक्ष के परितः सममित है।
(1) और (2) को हल करने पर,

प्रश्न 30.
दर्शाइए कि बिंदु A, B और C जिनके स्थिति सदिश क्रमशः \(\vec{a}=3 \hat{i}-4 \hat{j}-4 \hat{k}, \vec{b}=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\) और \(\vec{c}=\hat{\mathbf{i}}-3 \hat{\mathbf{j}}-5 \hat{\mathbf{k}}\), हैं, एक समकोण त्रिभुज के शीर्षों का निर्माण करते हैं।
हल :
मान लिया कि A,B और C के स्थिति सदिश क्रमशः

प्रश्न 31.

हल :

प्रश्न 32.
न्यूनतमीकरण करें Z = x + 2y जबकि 2x + y ≥ 3, x + 2y ≥ 6, x, y ≥ 0.
हल :
दिए गए व्यवरोधों 2x + y ≥ 3 ⇒ 2x + y = 3 …. (1)
x + 2y ≥ 6 ⇒ x + 2y = 6 …… (2)
x, y ≥ 0 ⇒ x = 0, y = 0 …(3)
के अन्तर्गत उद्देश्य फलन Z = x + 2y का न्यूनतमीकरण करना है। सर्वप्रथम असमीकरण (1) से (3) के संगत समीकरण का आलेख खींचते हैं।

आलेख से स्पष्ट है कि रेखा 2x + y = 3 क्वन्दु (\(\frac{3}{2}\), 0) और (0, 3) से गुजरती है।
2x + y ≥ 3 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≥ 3 पाते हैं।
2x + y ≥ 3 का क्षेत्र रेखा पर और रेखा के ऊपर वाला भाग है।
इसी प्रकार रेखा x + 2y = 6 बिन्दुएँ A(6, 0) और B(0, 3) से गुजरती है।
x + 2y ≥ 6 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≥ 6 पाते हैं।
x + 2y ≥ 6 का क्षेत्र रेखा पर और रेखा के ऊपर वाला भाग है।
x ≥ 0, y-अक्ष और y-अक्ष के दाहिने और स्थित है।
y ≥ 0, x-अक्ष और x-अक्ष के ऊपर की ओर स्थित है।
इस प्रकार रेखा AB के ऊपर वाला छायांकित भाग XABY सम्भाव्य क्षेत्र है।
अब रेखा AB के बिन्दुएँ A(6, 0) तथा B(0, 3) से उद्देश्य फलन Z = x + 2y न्यूनतम मान ज्ञात करते हैं।
बिन्दुएँ Z = x + 2y
A(6, 0), Z = 6 + 2 × 0 = 6
A(0, 3), Z = 0 + 2 × 3 = 6
अतः उद्देश्य फलन Z का उभयनिष्ठ न्यूनतम मान 6 है।

प्रश्न 33.
एक निर्माणकर्ता नट और बोल्ट का निर्माण करता है। एक पैकेट नटों के निर्माण में मशीन A पर एक घंटा और मशीन B पर 3 घंटे काम करना पड़ता है। जबकि एक पैकेट बोल्ट के निर्माण में 3 घंटे मशीन A पर और 1 घंटा मशीन B पर काम करना पड़ता है। वह नटों से Rs. 17.50 प्रति पैकेट और बोल्टों से 7.00 पैकेट लाभ कमाता है। यदि प्रतिदिन मशीनों का अधिकतम उपयोग 12 घंटे किया जाए तो प्रत्येक (नट और बोल्ट) के कितने पैकेट
उत्पादित किए जाएं ताकि अधिकतम लाभ कमाया जा सके।
हल :
मान लिया कि x पैकेट नट और y पैकेट का उत्पादन किया जाता है।
दिया है

मशीन A के उपयोग का समय = x + 3y घंटे
उपलब्ध समय = 12 घंटे
x + 3y ≤ 12
मशीन B के उपयोग का समय = 3x + y घंटे
उपलब्ध समय = 12 घंटे
3x + y ≤ 12
कुल लाभ = 17.50x + 7.00y
अर्थात उद्देश्य फलन = 17.5x + 7y
अवरोध है: x + 3y ≤ 12, 3x + y ≤ 12, x, y ≥ 0

x + 3y ≤ 12 के संगत रेखा का समीकरण x + 3y = 12 बिंदु A (12, 0) और B (0, 4) से होकर जाती है।
x + 3y ≤ 12 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≤ 12 जो सत्य है।
अर्थात x + 3y ≤ 12 क्षेत्र के बिंदु AB पर और उस के नीचे स्थित है।
3x + y ≤ 12 के संगत रेखा का समीकरण 3x + y = 12 बिंदु C (4, 0) और D (0, 12) से होकर जाती है।
3x + y ≤ 12 में x =0, y = 0 रखने पर, 0 ≤ 12 जो सत्य है।
अर्थात 3x + y ≤ 12 के क्षेत्र बिन्दु रेखा CD पर या उसके नीचे स्थित है।
x ≥ 0 क्षेत्र के बिंदु y-अक्ष पर और उस की दायीं ओर है।
y ≥ 0 क्षेत्र के बिंदु x-अक्ष पर और उस के ऊपर हैं।
रेखा AB : x + 3y = 12 और रेखा CD : 3x + y = 12 बिंदु P (3, 3) पर प्रतिच्छेद करती है।
इस प्रकार समस्या का सुसंगत क्षेत्र OCPB है।
उद्देश्य फलन Z = 17.5x + 7y है।
C (4, 0) पर Z = 17.5 × 4 + 0 = 7y
P(3, 3) पर Z = 17.5 × 3 + 7 × 3 = 73.5
B (0, 4) पर Z = 0 + 7 × 4 = 28
अतः अधिकतम लाभ Rs. 73.5 होगा जब 3 नट और 3 बोल्ट के पैकेट का उत्पादन किया जाए।

Bihar Board 12th Maths Model Papers

Bihar Board 12th Maths Model Question Paper 2 in Hindi

समय : 3 घंटे 15 मिनट
अंक : 100

परिक्षार्थियों के लिए निर्देश

1. परीक्षार्थी यथासंभव अपने शब्दों में ही उत्तर दें।
2. दाहिनी ओर हाशिये पर दिये हुए अंक पूर्णांक निर्दिष्ट करते हैं।
3. उत्तर देते समय परीक्षार्थी यथासंभव शब्द-सीमा का ध्यान रखें।
4. इस प्रश्न पत्र को ध्यानपूर्वक पढ़ने के लिए पन्द्रह मिनट का अतिरिक्त समय दिया गया है।
5. यह प्रश्न-पत्र के दो खण्डों में है, खण्ड-अ एवं खण्ड-ब।
6. खण्ड-अ में 1-50 तक वस्तुनिष्ठ प्रश्न हैं, सभी प्रश्न अनिवार्य हैं। (प्रत्येक प्रश्न के लिए 1 अंक निर्धारित है), इनके उत्तर उपलब्ध कराये गये OMR शीट में दिये गये वृत्त को काले / नीले बॉल पेन से भरें। किसी भी प्रकार के व्हाइटनर/तरल पदार्थ/ब्लेड/नाखून आदि का OMR-शीट में प्रयोग करना मना है, अन्यथा परीक्षा परिणाम अमान्य होगा।
7. खण्ड-ब में 25 लघुउत्तरीय प्रश्न हैं (प्रत्येक प्रश्न के लिए 2 अंक निर्धारित है) जिनमें से किन्ही 15 प्रश्नों के उत्तर देना अनिवार्य है। इसके अतिरिक्त खण्ड में 08 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (प्रत्येक प्रश्न के लिए 05 अंक निर्धारित हैं) जिनमें से किन्हीं 4 प्रश्नों के उत्तर देना है।
8. किसी तरह के इलेक्ट्रॉनिक-यंत्र का इस्तेमाल वर्जित है।

खण्ड-अ : वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न संख्या 1 से 50 तक के प्रत्येक प्रश्न के साथ चार विकल्प दिए गए हैं, जिनमें से एक सही है। अपने द्वारा चुने गए सही विकल्प को OMR शीट पर चिह्नित करें। (50 × 1 = 50)

प्रश्न 1.
समुच्चय A पर परिभाषित सम्बन्ध र एक रिक्त सम्बन्ध है यदि
(a) 0 ⊆ A × A
(b) Φ ⊆ A × A
(c) {0} ⊆ A × A
(d) {Φ} ⊆ A × A
उत्तर:
(b) Φ ⊆ A × A

प्रश्न 2.

उत्तर:
(b) \(g(y)=\frac{4 y}{4-3 y}\)

प्रश्न 3.
मान लीजिए कि N में एक द्विआधारी संक्रिया * : a * b = a तथा b का L.C.M द्वारा परिभाषित है तब 20 * 16 = ……
(a) 0
(b) 40
(c) 60
(d) 80
उत्तर:
(d) 80

प्रश्न 4.

उत्तर:
(b) \(\tan ^{-1} \frac{6}{7}\)

प्रश्न 5.

उत्तर:
(a) \(\frac{\pi}{4}\)

प्रश्न 6.

उत्तर:
(c) π

प्रश्न 7.

उत्तर:
(c) \([0, \pi]-\left\{\frac{\pi}{2}\right\}\)

प्रश्न 8.
Sec-1 का प्रान्त है :
(a) [-1, 1]
(b) R – {0}
(c) R – (-1, 1)
(d) R – [-1, 1]
उत्तर:
(c) R – (-1, 1)

प्रश्न 9.

उत्तर:
(b) \(\frac{\pi}{3}\)

प्रश्न 10.
आब्यूह \(\left[\begin{array}{lll}
2 & 0 & 0 \\
0 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 6
\end{array}\right]\) एक है :
(a) अदिश आब्यूह
(b) इकाई आब्यूह
(c) शून्य आब्यूह
(d) विकर्ण आब्यूह
उत्तर:
(d) विकर्ण आब्यूह

प्रश्न 11.
यदि A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & -2 & 3 \\
-4 & 2 & 5
\end{array}\right]\) तथा B = \(\left[\begin{array}{ll}
2 & 3 \\
4 & 5 \\
2 & 1
\end{array}\right]\) तो
(a) AB, BA का आस्तित्व है और दोनों बराबर है
(b) AB का आस्तित्व है और BA का आस्तित्व नहीं है
(c) AB का आस्तित्व नहीं है और BA का आस्तित्व है
(d) AB और BA का आस्तित्व है परन्तु बराबर नहीं है
उत्तर:
(d) AB और BA का आस्तित्व है परन्तु बराबर नहीं है

प्रश्न 12.
यदि \(\left[\begin{array}{ll}
4 & 3 \\
x & 5
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
y & z \\
1 & 5
\end{array}\right]\) तब x, y, z का मान होगा:
(a) 1, 2, 3
(b) 1, 4, 3
(c) 3, 4, 0
(d) 0, 0, 1
उत्तर:
(b) 1, 4, 3

प्रश्न 13.
निम्नलिखित में कौन-सा कथन सत्य है :
(a) सारणिक एक वर्ग आब्यूह है
(b) सारणिक एक आब्यूह से संबद्ध एक संख्या है
(c) सारणिक एक वर्ग आब्यूह से संबद्ध एक संख्या है
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(a) सारणिक एक वर्ग आब्यूह है

प्रश्न 14.
यदि \(\left|\begin{array}{cc}
2 & 2 \\
5 & 1
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}
2 x & 4 \\
6 & x
\end{array}\right|\) तो x का मान होगा :
(a) ±2
(b) ±2√2
(c) ±2√3
(d) ±√3
उत्तर:
(b) ±2√2

प्रश्न 15.

उत्तर:
(b) abc

प्रश्न 16.
समीकरण निकाय 2x + 5y = 1, 3x + 2y = 7 का हल है :
(a) x = 1, y = 2
(b) x = 3, y = -1
(c) x = 1, y = -2
(d) x = 2, y = -1
उत्तर:
(b) x = 3, y = -1

प्रश्न 17.
यदि y = (3x² – 9x + 5)⁹ तब \(\frac{d y}{d x}\) का मान होगा :
(a) 27 (3x² – 9x + 5)8 (2x – 3)
(b) 27 (3x² – 9x + 5)
(c) 27 (2x – 3)
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(a) 27 (3x² – 9x + 5)⁸ (2x – 3)

प्रश्न 18.

उत्तर:
(b) \(\frac{12}{(3-2 x)^{2}} \sin \left[\log \frac{2 x+3}{3-2 x}\right]\)

प्रश्न 19.
यदि y = x^x हो तब \(\frac{d y}{d x}\) बराबर है:
(a) x^x (1 + log x)
(b) x^x logx
(c) log x
(d) 0
उत्तर:
(a) x^x (1 + log x)

प्रश्न 20.
यदि y = sin (x³) हो तब \(\frac{d y}{d x}\) बराबर है :
(a) x³ cos(x³)
(b) 3x² sin(x³)
(c) 3x² cos(x³)
(d) cos(x³)
उत्तर:
(c) 3x² cos(x³)

प्रश्न 21.
f(x) = 3x + 17 से प्रदत्त फलन, R पर
(a) निरंतर वर्धमान
(b) निरंतर हासमान है
(c) न तो वर्धमान है और न हासमान है
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(a) निरंतर वर्धमान

प्रश्न 22.
वक्र y = x² + 3x + 4 के बिन्दु (1, 1) पर अभिलम्ब की प्रवणता है :
(a) 5
(b) \(-\frac{1}{5}\)
(c) 8
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(b) \(-\frac{1}{5}\)

प्रश्न 23.
m का मान क्या होगा यदि रेखा y = mx + 1, वक्र y² = 4x की स्पर्श रेखा है:
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) \(\frac{1}{2}\)
उत्तर:
(a) 1

प्रश्न 24.
यदि f(x) = 3x² + 15x + 5 हो, तो f(3.02) का सन्निकट मान है:
(a) 47.66
(b) 57.66
(c) 67.66
(d) 77.66
उत्तर:
(d) 77.66

प्रश्न 25.
\(\int \frac{\sec ^{2}(\log x)}{x} d x=\)
(a) log(tan x) + c
(b) -log(tan x) + c
(c) tan(tan x) + c
(d) tan(log x) + c
उत्तर:
(d) tan(log x) + c

प्रश्न 26.

उत्तर:
(b) \(e^{\tan ^{-1} x}+c\)

प्रश्न 27.

उत्तर:
(b) \(\frac{\pi}{4}\)

प्रश्न 28.

उत्तर:
(a) \(\int_{a}^{c} f(x) d x\)

प्रश्न 29.

उत्तर:
(b) \(\frac{x^{n+1}}{n+1}+k\)

प्रश्न 30.

उत्तर:
(c) e^x log x

प्रश्न 31.
x-अक्ष और वक्र y = cos x, जहाँ 0 ≤ x ≤ 2π के बीच का क्षेत्रफल है:
(a) 0
(b) 2
(c) 3
(d) 4
उत्तर:
(d) 4

प्रश्न 32.
निम्नलिखित अवकल समीकरणों में किसका एक विशिष्ट हल y = x है:

उत्तर:
(c) \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-x^{2} \frac{d y}{d x}+x y=0\)

प्रश्न 33.

उत्तर:
(b) \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-y=0\)

प्रश्न 34.
अवकल समीकरण \(\left(\frac{d s}{d t}\right)^{4}+3 s \frac{d^{2} s}{d t^{2}}=0\) की कोटि और घात है?
(a) 1, 2
(b) 2, 1
(c) 2, 4
(d) 4, 2
उत्तर:
(b) 2, 1

प्रश्न 35.
निम्नलिखित में से कौन-सा समघातीय अवकल समीकरण है :
(a) (4x + 6y + 5) dy – (3y + 2x + 4) dx = 0
(b) xy dx – (x³ + y³) dy = 0
(c) (x³ + 2y²) dx + 2xy dy = 0
(d) y² dx + (x² – xy – y) dy = 0
उत्तर:
(c) (x³ + 2y²) dx + 2xy dy = 0

प्रश्न 36.

उत्तर:
(d) \(\frac{1}{\sqrt{1-y^{2}}}\)

प्रश्न 37.

उत्तर:
(b) -15

प्रश्न 38.

उत्तर:
(b) 7

प्रश्न 39.
त्रिभुज ABC के लिए कौन-सा कथन सत्य है :

उत्तर:
(c) \(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}-\overrightarrow{C A}=0\)

प्रश्न 40.
यदि तीन बिन्दुओं के स्थिति सदिश \(\vec{a}-2 \vec{b}+3 \vec{c}, 2 \vec{a}\) \(+3 \vec{b}-4 \vec{c}, 7 \vec{b}-10 \vec{c}\) हैं तब ये हैं :
(a) एकरैखिक
(b) एकतलीय
(c) नैकतलीय
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(b) एकतलीय

प्रश्न 41.
यदि a + b + c = 0 तो :
(a) \(\vec{a} \cdot \vec{b}=0\)
(b) \(\vec{a}=\vec{b}\)
(c) \(\vec{a} \times \vec{b}=\vec{b} \times \vec{c}=\vec{c} \times \vec{a}\)
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(c) \(\vec{a} \times \vec{b}=\vec{b} \times \vec{c}=\vec{c} \times \vec{a}\)

प्रश्न 42.
दो सदिशों \(\vec{a}\) और \(\vec{a}\) में के बीच का कोण θ है तब cos θ बराबर

उत्तर:
(a) \(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\)

प्रश्न 43.

उत्तर:
(c) समकोणीय

प्रश्न 44.
अभिलम्ब रूप में समतल का सदिश समीकरण है :
(a) \(\vec{r} \cdot \hat{n}=d\)
(b) \(\vec{r}-d=\hat{n}\)
(c) \(\vec{r} d=\hat{n}\)
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(a) \(\vec{r} \cdot \hat{n}=d\)

प्रश्न 45.
समतल 2x – y + 4z = 5 और 5x – 2.5y + 10z = 6 हैं :
(a) परस्पर लम्ब
(b) समान्तर
(c) y-अक्ष पर प्रतिच्छेद करती है
(d) बिंदु (0, 0, \(\frac{5}{4}\)) से गुजरते हैं
उत्तर:
(b) समान्तर

प्रश्न 46.
एक छात्राबास में 60% विद्यार्थी हिन्दी का 40% अंग्रेजी का, और 20% दोनों अखबार पढ़ते हैं तब न तो हिन्दी और नहीं अंग्रेजी अखबार पढ़ने की प्रायिकता है:
(a) 0.2
(b) 0.3
(c) 0.4
(d) 0.5
उत्तर:
(a) 0.2

प्रश्न 47.
एक पासों के साथ एक द्विक प्राप्त करने की प्रायिकता है :
(a) \(\frac{2}{3}\)
(b) \(\frac{1}{6}\)
(c) \(\frac{5}{6}\)
(d) \(\frac{5}{36}\)
उत्तर:
(b) \(\frac{1}{6}\)

प्रश्न 48.
निम्नलिखित कौन रैखिक प्रोग्रामन समस्या नहीं है :
(a) आहार सम्बन्धी समस्या
(b) खपत सम्बन्धी समस्या
(c) उत्पादन सम्बन्धी समस्या
(d) परिवहन सम्बन्धी समस्या
उत्तर:
(b) खपत सम्बन्धी समस्या

प्रश्न 49.
रैखिक प्रोग्रामन समस्या में कौन ऋणेत्तर व्यवरोध कहलाता है :
(a) x = 0, y = 0
(b) x ≥ 0, y ≥ 0
(c) x ≤ 0, 920
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(b) x ≥ 0, y ≥ 0

प्रश्न 50.
रैखिक प्रोग्रामन समस्या में फलन Z = ax + by को कहा जाता है :
(a) उद्देश्य फलन
(b) व्यवरोध
(c) सुसंगत हल
(d) कोणीय बिन्दु
उत्तर:
(a) उद्देश्य फलन

खण्ड-ब : गैर-वस्तुनिष्ठ प्रश्न

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न संख्या 1 से 25 तक लघु उत्तरीय कोटि के हैं। प्रत्येक के लिए 2 अंक निर्धारित हैं। इनमें से किसी 15 प्रश्न का उत्तर दें। (2 × 15 = 30)

प्रश्न 1.
किसी समतल में त्रिभुजों का समुच्चय T पर सम्बन्ध R = {(T₁, T₂) : T₁, T₂ के सर्वांगसम है} से परिभाषित है। सिद्ध कीजिए कि R एक तुल्यता सम्बन्ध है।
हल :
माना कि T₁, T₂, T₃ ∈ T तब
(i) (T, T) ∈ R
⇒ TRT
⇒ प्रत्येक त्रिभुज खुद से सर्वांगसम है।
⇒ इसलिए R स्वतुल्य सम्बन्ध है।
(ii) (T₁, T₂) ∈ R
⇒ (T₂, T₁) ∈ R
⇒ T₁, T₂ के सर्वांगसम है
⇒ T₂, T₁ के सर्वांगसम होगा
⇒ इसलिए R एक सममित सम्बन्ध है।
(iii) (T₁, T₂) ∈ R
⇒ (T₂, T₃) ∈ R
⇒ (T₁, T₃) ∈ R
⇒ T₁, T₂ के सर्वांगसम और T₂, T₃ के सर्वांगसम है
⇒ T₁, T₃ के सर्वांगसम होगा
⇒ इसलिए R एक संक्रमक सम्बन्ध है।
चूँकि R स्वतुल्य, सममित और संक्रमक सम्बन्ध है।
अतः R एक तुल्यता सम्बन्ध है।

प्रश्न 2.

हल :

प्रश्न 3.

हल :

प्रश्न 4.
आब्यूह के व्युत्क्रम, यदि उनका अस्तित्व है, तो प्रारम्भिक रूपान्तरण के प्रयोग से ज्ञात कीजिए : \(\left[\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
2 & -1
\end{array}\right]\)
हल :

प्रश्न 5.
यदि A = \(\left[\begin{array}{cc}
3 & -5 \\
-4 & 2
\end{array}\right]\) तो जाँच कर दिखाइए कि A² – 5A – 14I = 0.
हल :
दिया है, A = \(\left[\begin{array}{cc}
3 & -5 \\
-4 & 2
\end{array}\right]\)
हल :

प्रश्न 6.

हल :

प्रश्न 7.

हल :

प्रश्न 8.

हल :

प्रश्न 9.
\(\frac{d y}{d x}\) ज्ञात कीजिए : x^y + y^x = 1.
हल :

प्रश्न 10.

हल :

प्रश्न 11.
समाकलन कीजिए : \(\int \frac{d x}{1+\sin x}\)
हल :

प्रश्न 12.
मान ज्ञात कीजिए : \(\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{2} x d x\)
हल :

प्रश्न 13.
समाकलन कीजिए : \(\int \frac{x d x}{x^{2}-3 x+2}\)
हल :

प्रश्न 14.
x = 0 तथा x = 2π से घिरे वक्र y = cos x का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

प्रश्न 15.
दर्शाइए कि दिए गए अवकल समीकरण समघातीय है और इन्हें हल कीजिए :
\(x \frac{d y}{d x}-y+x \sin \frac{y}{x}=0\)
हल :

प्रश्न 16.
सदिश विधि से सिद्ध कीजिए कि किसी समकोण त्रिभुज में कर्ण का मध्य बिन्दु Δ के शीर्षों से समान दूरी पर हैं।
हल :
माना कि ABC एक समकोण Δ जिसका कोण ∠AOB = 90° है।
माना कि Δ के कर्ण AB का मध्य बिन्दु D है।
सिद्ध करना है कि OD = DA = DB माना कि O मूल बिन्दु है और Δ के शीर्ष A तथा B का स्थिति सदिश क्रमशः \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) है।

प्रश्न 17.

हल :

प्रश्न 18.
तलों x + y + z = 1 और 2x + 3y + 4z = 5 के प्रतिच्छेदन रेखा से होकर जाने वाले तथा तल x – y + z = 0 पर लंबवत् तल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल :
समतलों x + y + z = 1 तथा 2x + 3y + 4z = 5 के प्रतिच्छेदन रेखा से जाने वाली समतल का समीकरण x + y + z – 1 + λ(2x + 3y + 4z – 5) = 0

प्रश्न 19.
मूल बिन्दु से समतल 2x – 3y + 4z – 6 = 0 पर डाले गए लम्ब के पाद के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल :
माना कि मूल बिन्दु O से समतल पर डाले गए लम्ब के पाद P का निर्देशांक P(x₁, y₁, z₁) है।
तब रेखा OP के दिक् अनुपात x₁, y₁, z₁ है ।
अब समतल दिक् अनुपात 2, -3, 4 है इसलिए दिक् कोज्याएँ हैं :

प्रश्न 20.
उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ बिंदुओं (5, 1, 6) और (3, 4, 1) को मिलाने वाली रेखा ZX-तल को काटती है।
हल :

प्रश्न 21.
पासों के एक जोड़े को 4 बार उछाला जाता है। यदि ‘पासों पर प्राप्त अंकों का द्विक होना’ एक सफलता मानी जाती है, तो 2 सफलताओं की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल :
जब दो पासे उछाला जायगा तब अंकों का द्विक 6 तरीके से प्राप्त हो सकता है
कुल संभव परिणाम = 6 × 6 = 36
एक द्विक प्राप्त होने की प्रायिकता = \(\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\)
इस प्रकार p = \(\frac{1}{6}\) और q = \(\frac{5}{6}\)
4 उछाल में 2 बार सफल होने की प्रायिकता

प्रश्न 22.
एक अनभिनत पासे को फेंकने पर प्राप्त संख्याओं का प्रसरण ज्ञात कीजिए।
हल :
स्पष्ट है कि परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि है :
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ⇒ n(S) = 6
माना कि X पासे की संख्या एक यादृच्छिक चर है जो 1, 2, 3, 4, 5 या 6 मान ले सकता है। साथ ही
P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = \(\frac{1}{6}\)
X का प्रायिकता बंटन निम्न प्रकार होगा :

प्रश्न 23.

हल :

प्रश्न 24.

हल :

प्रश्न 25.

हल :

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न संख्या 26 से 33 तक दीर्घ उत्तरीय कोटि के प्रश्न हैं। प्रत्येक के लिए 5 अंक निर्धारित हैं। प्रत्येक प्रश्न के साथ “अथवा” का विकल्प दिया गया है। आपको प्रश्न या अथवा में से किसी एक प्रश्न का उत्तर देना है। (5 × 6 = 30)

प्रश्न 26.
सिद्ध कीजिए कि फलन sin x (1 + cos x), x ∈ [0, π], x = \(\frac{\pi}{3}\) पर महत्तम है।
हल :

प्रश्न 27.
यदि cos y = x cos(a + y) तो \(\frac{d y}{d x}=\frac{\cos ^{2}(a+y)}{\sin a}\)
हल :

प्रश्न 28.
मान ज्ञात कीजिए : \(\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos ^{2} x} d x\)
हल :

प्रश्न 29.
समाकलन विधि के त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (1, 0), (2, 2) और (3, 1) है।
हल :
माना कि A(1, 0), B(2, 2) तथा C(3, 1) त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं।
तब ΔABC की भुजाएँ AB, BC तथा CA का समीकरण क्रमशः
y = 2(x – 1), y = 4 – x और y = \(\frac{1}{2}\) (x – 1) होंगे।
ΔABC का क्षेत्रफल = ΔABD का क्षेत्रफल + समलम्बचतुर्भुज BDEC का क्षेत्रफल – ΔAEC का क्षेत्रफल ।

प्रश्न 30.

हल :

प्रश्न 31.
उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ बिंदुओं (5, 1, 6) और (3, 4, 1) को मिलाने वाली रेखा YZ-तल को काटती हैं।
हल :
बिन्दुओं (x₁, y₁, z₁) और (x₂, y₂, z₂) से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण हैं:

प्रश्न 32.
निम्न अवरोधों के अंर्तगत Z = 3x + 2y का न्यूनतमीकरण कीजिए :
x + 2y ≤ 10, 3x + y ≤ 15, x, y ≥ 0
हल :
उद्देश्य फलन Z = 3x + 2y, अवरोध है:
x + 2y ≤ 10, 3x + y ≤ 15, x, y ≥ 0
x + 2y ≤ 10 के संगत रेखा का समीकरण x + 2y = 10 बिन्दु A(10, 0) और B (0, 5) से गुजरती है।
x + 2y = 10 का आरेख रेखा AB है।
अतः x + 2y ≤ 10 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≤ 10 जो सत्य है।
अतः x + 2y ≤ 10 क्षेत्र के बिन्दु रेखा AB पर और इसके नीचे हैं।
3x + y ≤ 15 के संगत रेखा का समीकरण
3x + y = 15 बिन्दु P(5, 0) और Q(0, 15) से होकर जाती है।
3x + y = 15 का आरेख PQ हैं पुनः
3x + y ≤ 15 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≤ 15 जो सत्य है।
अत: 3x + y ≤ 15 क्षेत्र के बिन्दु रेखा PQ पर और PQ के नीचे है।

x ≥ 0, क्षेत्र के बिन्दु.y-अक्ष पर और इस के दायीं ओर है।
y ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु x-अक्ष पर और इस के ऊपर है।
इस प्रकार समस्या का सुसंगत क्षेत्र OBRP है जबकि R बिन्दु AB और PQ का प्रतिच्छेदन बिन्दु है।
AB = x – 2y = 10; PQ = 3x + y = 15 को हल करने पर बिन्दु (4, 3) प्राप्त होता है।
उद्देश्य फलन – Z = 3x + 2y
B(0, 5) पर Z = 2 × 5 = 10
R(4, 3) पर Z = 12 + 6 = 18
P(5, 0) पर Z = 3 × 5 + 0 = 15
अत: Z का न्यूनतम मान 10 है जो बिन्दु B(0, 5) पर है।

प्रश्न 33.
निम्नांकित LPP का आलेखीय हल निकालें :
अधिकतमीकरण के Z = 45x + 80y
जबकि 5x + 20y ≤ 400, 10x + 15y ≤ 450 और x ≥ 0, y ≥ 0.
हल :
दिए गए उद्देश्य फलन Z = 45x + 80y का निम्न व्यवरोधों के संगत समीकरण
5x + 20y ≤ 400 ⇒ 5x + 20y = 400 …… (1)
10x + 15y ≤ 450 ⇒ 10x + 15y = 450 …….(2)
x ≥ 0, y ≥ 0 ⇒ x = 0, y = 0 ……(3)
के अन्तर्गत Z का अधिकतम मान ज्ञात करना है।
सर्वप्रथम (1) से (3) के असमीकरण के संगत समीकरण का आलेख आकृति के अनुसार खींचते हैं।
आकृति से स्पष्ट है कि (1) और (2) एक दूसरे से बिन्दु P (24, 14) पर प्रतिच्छेद करती है और OAPD सुसंगत क्षेत्र प्राप्त होता है, जो परिवद्ध है।
आकृति से स्पष्ट है कि OAPD के कोणीय बिन्दु के निर्देशांक क्रमशः 0 (0, 0), A (42, 0), P (24, 14) और D (0, 19) है।
अन्त में कोनीय विधि द्वारा 2 का अधिकतम मान ज्ञात करते हैं :

कोनीय बिन्दु Z = 45x + 80y
O(0, 0), Z = 0
A(42, 0), Z = 45 × 42 + 0 = 1890
P(24, 14), Z = 45 × 24 + 80 × 14 = 2200
D(0, 19), Z = 0 + 80 × 19 = 1520
उपर्युक्त सारणी से स्पष्ट है कि Z का अधिकतम मान बिन्दु (24, 14) पर 2200 है।
अत: Z का अधिकतम मान 2200 है।

Bihar Board 12th Maths Objective Questions and Answers

Bihar Board 12th Maths Objective Answers Chapter 9 Differential Equations

Question 1.
The order of the differential equation of all tangent lines to the parabola y = x² is
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
Answer:
(a) 1

Question 2.
The differential equation of all parabolas whose axis of symmetry is along the axis of the x-axis is of order
(a) 3
(b) 1
(c) 2
(d) none of these
Answer:
(c) 2

Question 3.
The degree of the equation satisfying the relation \(\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{1+y^{2}}=\lambda(\sqrt{1+y^{2}}-y \sqrt{1+x^{2}})\) is
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) none of these
Answer:
(a) 1

Question 4.
The degree of the differential equation \(\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{2 / 3}+4-\frac{3 d y}{d x}=0\) is
(a) 2
(b) 1
(c) 3
(d) none of these
Answer:
(a) 2

Question 5.
The differential equation whose solution is (x – h)² + (y – k)² = a² is (a is a constant)

Answer:
(b) \(\left[1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}\right]^{3}=a^{2}\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{2}\)

Question 6.
The differential equation satisfied by y = \(\frac{A}{x}\) + B is (A, B are parameters)
(a) x² y₁ = y
(b) xy₁ + 2y₂ = 0
(c) xy₂ + 2y₁ = 0
(d) none of these
Answer:
(c) xy₂ + 2y₁ = 0

Question 7.
The differential equation whose solution represents the family xy = Ae^ax + Be^-ax

Answer:
(c) \(x \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+2 \frac{d y}{d x}=a^{2} x y\)

Question 8.
The differential equation having solution is y = 17e^x + ae^-x is
(a) y” – x = 0
(b) y” – y = 0
(c) y’ – y = 0
(d) y’ – x = 0
Answer:
(b) y” – y = 0

Question 9.
The solution of a differential equation is y = c₁e^4x + c₂e^3x, the differential equation is given by

Answer:
(c) \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-7 \frac{d y}{d x}+12 y=0\)

Question 10.
The differential equation satisfied by

Answer:
(b) \(\frac{d y}{d x}=\frac{1+y^{2}}{1+x^{2}}\)

Question 11.
The differential equation of all ‘Simple Harmonic Motions’ of given period \(\frac{2 \pi}{n}\) is

Answer:
(b) \(\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+n^{2} x=0\)

Question 12.
The differential equation of all parabolas whose axes are parallel to y-axis is

Answer:
(a) \(\frac{d y}{d x}=-\frac{c^{2}}{x^{2}}\)

Question 13.
The differential equation of all non-horizontal lines in a plane is

Answer:
(b) \(\frac{d^{2} x}{d y^{2}}=0\)

Question 14.
The differential equation of all circles which pass through the origin and whose centre lies on y-axis is

Answer:
(a) \(\left(x^{2}-y^{2}\right) \frac{d y}{d x}-2 x y=0\)

Question 15.
The differential equation of the family of circles touching the x-axis at origin is given by

Answer:
(b) \(y^{\prime}=\frac{2 x y}{x^{2}-y^{2}}\)

Question 16.
The differential equation representing the family of ellipses with centre at origin and foci on x-axis is given as
(a) xy’ + y = 0
(b) x²y²(y”)² + yy’= 0
(c) xyy” + x(y’)² – yy’ = 0
(d) None of these
Answer:
(b) x²y²(y”)² + yy’= 0

Question 17.
The differential equation of all parabolas whose axes are along x-axis is
(a) \(y_{2}^{2}+y_{1}=0\)
(b) \(y_{1}^{2}+y_{2}=0\)
(c) \(y_{1}^{2}+y_{1} y_{2}=0\)
(d) \(y_{1}^{2}+y y_{2}=0\)
Answer:
(d) \(y_{1}^{2}+y y_{2}=0\)

Question 18.
The equation of family of curves for which the length of the normal is equal to the radius vector is
(a) \(y^{2} \mp x^{2}=k^{2}\)
(b) \(y \pm x=k\)
(c) y² = kx
(d) none of these
Answer:
(a) \(y^{2} \mp x^{2}=k^{2}\)

Question 19.
The solution of the differential equation \(\frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}+y^{2}+1}{2 x y}\) satisfying (1) = 1, is
(a) a hyperbola
(b) a circle
(c) y² = x(1 + x) – 10
(d) (x – 2)² + (y – 3)² = 5xy
Answer:
(a) a hyperbola

Question 20.
Given the differential equation \(\frac{d y}{d x}=\frac{6 x^{2}}{2 y+\cos y}\); y(1) = π
Mark out the correct statement.
(a) solution is y² – sin y = -2x³ + C
(b) solution is y² + sin y = 2x³ + C
(c) C = π²+ 2√2
(d) C = π² + 2
Answer:
(b) solution is y² + sin y = 2x³ + C

Question 21.
For the differential equation \(x \frac{d y}{d x}+2 y=x y \frac{d y}{d x}\),
(a) order is 1 and degree is 1
(b) solutio is ln(yx²) = C – y
(c) order is 1 and degree is 2
(d) solution is ln(xy²) = C + y
Answer:
(a) order is 1 and degree is 1

Question 22.
The particular solution In(\(\frac{d y}{d x}\)) = 3x + 4y, y(0) = 0 is
(a) e^3x + 3e^-4y = 4
(b) 4e^3x – 3e^-4y = 3
(c) 3e^3x + 4e^4y = 7
(d) 4e^3x + 3e^-4y = 7
Answer:
(d) 4e^3x + 3e^-4y = 7

Question 23.
The solution of the differential equation

Answer:
(c) y = x tan(C – x)

Question 24.
The solution of the differential equation

Answer:
(d) None of these

Question 25.
The solution of the differential equation

Answer:
(c) \(y=x \tan \left(\frac{C-x^{2}-y^{2}}{2}\right)\)

Question 26.

Answer:
(b) \(c e^{y / 2}\)

Question 27.
If ydx – xdy + ln x dx = 0, y(1) = -1, then
(a) y + 1 + ln x = 0
(b) y + 1 + 2 ln x = 0
(c) 2(y + 1) + lnx = 0
(d) y + 1 – y ln x = 0
Answer:
(a) y + 1 + ln x = 0

Question 28.
The differential equation \(\frac{d y}{d x}=\sqrt{\frac{1-y^{2}}{y}}\) determines a family of circle with
(a) variable radii and fixed centre (0, 1)
(b) variable radii and fixed centre (0, -1)
(c) fixed radius 1 and variable centre on x-axis
(d) fixed radius 1 and variable centre on y-axis
Answer:
(c) fixed radius 1 and variable centre on x-axis

Question 29.
If y dx + y² dy = x dy, x ∈ R, y > 0 and y(1) = 1, then y(-3) =
(a) 3
(b) 2
(c) 1
(d) 5
Answer:
(a) 3

Question 30.
The solution of y dx + (x + x²y) dy = 0 is

Answer:
(b) \(-\frac{1}{x y}+\ln y=c\)

Question 31.
If (x + y)² \(\frac{d y}{d x}\) = a², y = 0 when x = 0, then y = a if \(\frac{x}{a}\) =
(a) 1
(b) tan 1
(c) tan 1 + 1
(d) tan 1 – 1
Answer:
(d) tan 1 – 1

Question 32.

Answer:
(a) e^x – 1

Question 33.
If sinx \(\frac{d y}{d x}\) + y cosx = x sinx, then (y – 1) sinx =
(a) c – x sinx
(b) c + xcosx
(c) c – x cos x
(d) c + x sin x
Answer:
(c) c – x cos x

Question 34.
The solution of the differential equation

Answer:
(c) \(e^{y}=\frac{x^{3}}{3}+e^{x}+c\)

Question 35.
The solution of the differential equation xdy + ydx = xydx when y(1) = 1 is

Answer:
(b) \(\frac{e^{x}}{e x}\)

Question 36.
The solution of differential equation (e^y + 1) cosx dx + e^y sinx dy = 0 is
(a) (e^y + 1) sinx = c
(b) e^x sinx = c
(c) (e^x + 1) cosx = c
(d) none of these
Answer:
(a) (e^y + 1) sinx = c

Question 37.
The solution of the differential equation \(\frac{d y}{d x}=\frac{x}{1+x^{2}}\) is

Answer:
(c) \(y=\log (\sqrt{1+x^{2}})+c\)

Question 38.

Answer:
(c) \(\frac{e^{6}+9}{2}\)

Question 39.

Answer:
(a) y = e sin²x

Question 40.
The general solution of the differential equation \(\frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}}{y^{2}}\) is
(a) x³ – y³ = c
(b) x³ + y³ = c
(c) x² + y² = c
(d) x² – y² = c
Answer:
(a) x³ – y³ = c

Question 41.
The Solution of cos(x + y) dy = dx is

Answer:
(a) \(y=\tan \left(\frac{x+y}{2}\right)+C\)

Question 42.

Answer:
(d) x + x ln x

Question 43.

Answer:
(c) √3e

Question 44.

Answer:
(d) \(\ln \frac{y}{x}=c x\)

Question 45.

Answer:
(d) \(\frac{\pi}{12}\)

Question 46.

Answer:
(d) \(\sec \frac{y}{x}=c x y\)

Question 47.

Answer:
(c) \(-2 \sqrt{\frac{x}{y}}=\ln c y\)

Question 48.

Answer:
(c) \(x+y e^{x / y}=c\)

Question 49.

Answer:
(a) \(x y=c e^{y / x}\)

Question 50.

Answer:
(c) Circle

Question 51.

Answer:
(c) \(\sqrt{x^{2}+y^{2}}+y=c x^{2}\)

Question 52.
The solution of the differential equation (x² + y²) dx – 2xy dy = 0 is

Answer:
(d) \(\frac{x^{2}-y^{2}}{x}=c\)

Question 53.
The solution of the differential equation x dy + (x + y) dx = 0 is

Answer:
(b) \(c=x y+\frac{x^{2}}{2}\)

Question 54.
The solution of differential equation \(\frac{d y}{d x}=\frac{x-y}{x+y}\) is
(a) x² – y² + 2xy + c = 0
(b) x² – y² – xy + c = 0
(c) x² – y² + xy + c = 0
(d) x² – y² – 2xy + c = 0
Answer:
(d) x² – y² – 2xy + c = 0

Question 55.

Answer:
(a) \(-\frac{1}{2}\)

Question 56.

Answer:
(c) \(\frac{e^{2}+1}{4}\)

Question 57.

Answer:
(d) 6

Question 58.

Answer:
(d) \(\frac{5}{2}\)

Question 59.

Answer:
(d) \(\frac{2}{e}\)

Question 60.

Answer:
(d) \(\frac{1}{4}\)

Question 61.

Answer:
(c) \(\frac{x}{y}-y^{2}=c\)

Question 62.


Answer:
(b) \(y=\frac{\sqrt{1+x^{2}}}{x}+\frac{c}{x}\)

Question 63.

Answer:
(c) \(y e^{-3 x}=-e^{-3 x} \frac{(2 \cos 2 x+3 \sin 2 x)}{13}+c\)

Question 64.

Answer:
(a) \(-\frac{1}{2}\)

Question 65.
The solution of the differential equation,

Answer:
(a) \(y=\sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}\)

Question 66.
The degree of the differential equation

(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) not defined
Answer:
(d) not defined

Question 67.
The order and degree of the differential equation \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{\frac{1}{4}}+x^{\frac{1}{5}}=0\) respectively are
(a) 2 and not defined
(b) 2 and 2
(c) 2 and 3
(d) 3 and 3
Answer:
(a) 2 and not defined

Question 68.
The differential equation for y = A cos αx + B sin αx, where A and B are arbitrary constants is

Answer:
(b) \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+\alpha^{2} y=0\)

Question 69.
Integrating factor of the differential equation

Answer:
(c) \(\sqrt{1-x^{2}}\)

Question 70.
Integrating factor of the differential equation \(\frac{d y}{d x}\) + y tanx – sec x = 0 is
(a) cos x
(b) sec x
(c) e^{cos x}
(d) e^{sec x}
Answer:
(b) sec x

Question 71.
The solution of the differential equation \(\frac{d y}{d x}=\frac{1+y^{2}}{1+x^{2}}\) is
(a) y = tan^-1 x
(b) y – x = k(1 + xy)
(c) x = tan^-1 y
(d) tan(xy) = k
Answer:
(b) y – x = k(1 + xy)

Question 72.
The solution of the differential equation cos x sin y dx + sin x cos y dy = 0 is
(a) \(\frac{\sin x}{\sin y}=c\)
(b) sin x sin y = c
(c) sin x + sin y = c
(d) cos x cos y = c
Answer:
(b) sin x sin y = c

Question 73.

Answer:
(c) \(e^{y}=e^{x^{2}}+c\)

Question 74.
Which of the following is the general solution of

Answer:
(a) y = (Ax + B) e^x

Question 75.

Answer:
(a) \(y\left(1+x^{2}\right)=c+\tan ^{-1} x\)

Bihar Board 12th Maths Objective Questions and Answers

Bihar Board 12th Maths Objective Answers Chapter 11 Three Dimensional Geometry

Question 1.
Direction cosines of the line that makes equal angles with the three axes in space are

Answer:
(c) \(\pm \frac{1}{\sqrt{3}}, \pm \frac{1}{\sqrt{3}}, \pm \frac{1}{\sqrt{3}}\)

Question 2.
If the direction ratios of a line are 1, -3, 2, then its direction cosines are

Answer:
(a) \(\frac{1}{\sqrt{14}}, \frac{-3}{\sqrt{14}}, \frac{2}{\sqrt{14}}\)

Question 3.
The cosines of the angle between any two diagonals of a cube is
(a) \(\frac{1}{3}\)
(b) \(\frac{1}{2}\)
(c) \(\frac{2}{3}\)
(d) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Answer:
(a) \(\frac{1}{3}\)

Question 4.
Which of the following is false?
(a) 30°, 45°, 60° can be the direction angles of a line is space.
(b) 90°, 135°, 45° can be the direction angles of a line is space.
(c) 120°, 60°, 45° can be the direction angles of a line in space.
(d) 60°, 45°, 60° can be the direction angles of a line in space.
Answer:
(a) 30°, 45°, 60° can be the direction angles of a line is space.

Question 5.
A line makes angles α, β and γ with the co-ordinate axes. If α + β = 90°, then γ is equal to
(a) 0°
(b) 90°
(c) 180°
(d) None of these
Answer:
(b) 90°

Question 6.
If a line makes an angle θ₁, θ₂, θ₃ with the axis respectively, then cos 2θ₁ + cos 2θ₂ + cos 2θ₃ =
(a) -4
(b) -2
(c) -3
(d) -1
Answer:
(d) -1

Question 7.
The coordinates of a point P are (3, 12, 4) w.r.t. origin O, then the direction cosines of OP are

Answer:
(d) \(\frac{3}{13}, \frac{12}{13}, \frac{4}{13}\)

Question 8.
Find the direction cosines of the line joining A(0, 7, 10) and B(-1, 6, 6).

Answer:
(b) \(\frac{1}{3 \sqrt{2}}, \frac{1}{3 \sqrt{2}}, \frac{4}{3 \sqrt{2}}\)

Question 9.
The direction cosines of a line passing through two points P(x₁, y₁, z₁) and Q(x₂, y₂, z₂) are

Answer:
(c) \(\frac{x_{2}-x_{1}}{P Q}, \frac{y_{2}-y_{1}}{P Q}, \frac{z_{2}-z_{1}}{P Q}\)

Question 10.
The equation of a line which passes through the point (1, 2, 3) and is parallel to the vector \(3 \hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k}\), is

Answer:
(b) \(r=(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k})+\lambda(3 \hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k})\)

Question 11.
The equation of line passing through the point (-3, 2, -4) and equally inclined to the axes are
(a) x – 3 = y + 2 = z – 4
(b) x + 3 = y – 2 = z + 4
(c) \(\frac{x+3}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z+4}{3}\)
(d) None of these
Answer:
(b) x + 3 = y – 2 = z + 4

Question 12.
If l, m and n are the direction cosines of line l, then the equation of the line (l) passing through (x₁, y₁, z₁) is

Answer:
(a) \(\frac{x-x_{1}}{l}=\frac{y-y_{1}}{m}=\frac{z-z_{1}}{n}\)

Question 13.
In the figure, a be the position vector of the point A with respect to the origin O. l is a line parallel to a
vector b. The vector equation of line l is

Answer:
(c) r = a + λb

Question 14.
The certesian equation of the line l when it passes through the point (x₁, y₁, z₁) and parallel to the vector
b = \(a \hat{i}+b \hat{j}+c \hat{k}\), is
(a) x – x₁ = y – y₁ = z – z₁
(b) x + x₁ = y + y₁ = z + z₁
(c) \(\frac{x+x_{1}}{a}=\frac{y+y_{1}}{b}=\frac{z+z_{1}}{c}\)
(d) \(\frac{x-x_{1}}{a}=\frac{y-y_{1}}{b}=\frac{z-z_{1}}{c}\)
Answer:
(d) \(\frac{x-x_{1}}{a}=\frac{y-y_{1}}{b}=\frac{z-z_{1}}{c}\)

Question 15.
The equation of the straight line passing through the point (a, b, c) and parallel to Z-axis is

Answer:
(d) \(\frac{x-a}{0}=\frac{y-b}{0}=\frac{z-c}{1}\)

Question 16.
The coordinates of a point on the line \(\frac{x+2}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-3}{2}\) at a distance of \(\frac{6}{\sqrt{12}}\) from the point (1, 2, 3) is
(a) (56, 43, 111)
(b) \(\left(\frac{56}{17}, \frac{43}{17}, \frac{111}{17}\right)\)
(c) (2, 1, 3)
(d) (-2, -1, -3)
Answer:
(b) \(\left(\frac{56}{17}, \frac{43}{17}, \frac{111}{17}\right)\)

Question 17.
Find the coordinatets of the point where the line through the points (5, 1, 6) and (3, 4, 1) crosses the yz-plane.
(a) \(\left(0,-\frac{17}{2}, \frac{13}{2}\right)\)
(b) \(\left(0, \frac{17}{2},-\frac{13}{2}\right)\)
(c) \(\left(10, \frac{19}{2}, \frac{13}{2}\right)\)
(d) (0, 17, 13)
Answer:
(b) \(\left(0, \frac{17}{2},-\frac{13}{2}\right)\)

Question 18.
The point A(1, 2, 3), B(-1, -2, -1) and C(2, 3, 2) are three vertices of a parallelogram ABCD. Find the equation of CD.

Answer:
(d) \(\frac{x-2}{1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-2}{2}\)

Question 19.
The equation of the line joining the points (-3, 4, 11) and (1, -2, 7) is

Answer:
(b) \(\frac{x+3}{-2}=\frac{y-4}{3}=\frac{z-11}{2}\)

Question 20.
The vector equation of the line through the points A(3, 4, -7) and B(1, -1, 6) is

Answer:
(c) \(r=(3 \hat{i}+4 \hat{j}-7 \hat{k})+\lambda(-2 \hat{i}-5 \hat{j}+13 \hat{k})\)

Question 21.
The vactor equation of the symmetrical form of equation of straight line \(\frac{x+5}{3}=\frac{y+4}{7}=\frac{z-6}{2}\) is

Answer:
(d) \(r=(5 \hat{i}-4 \hat{j}+6 \hat{k})+\mu(3 \hat{i}+7 \hat{j}+2 \hat{k})\)

Question 22.
Vector equation of the line 6x – 3 = 3y + 4 = 2z – 2 is

Answer:
(c) \(r=\frac{1}{2} \hat{i}-\frac{4}{3} \hat{j}+\hat{k}+\lambda\left(\frac{1}{6} \hat{i}+\frac{1}{3} \hat{j}+\frac{1}{2} \hat{k}\right)\)

Question 23.

Answer:
(b) \(\frac{9}{2}\)

Question 24.

Answer:
(a) -5

Question 25.
The angle between the straight lines

Answer:
(a) 45°
(b) 30°
(c) 60°
(d) 90°
Answer:
(d) 90°

Question 26.

Answer:
(d) \(\frac{\pi}{6}\)

Question 27.
The angle between the line 2x = 3y = -z and 6x = -y = -4z is
(a) 30°
(b) 45°
(c) 90°
(d) 0°
Answer:
(c) 90°

Question 28.
The angle between the lines 3x = 6y = 2z and \(\frac{x-2}{-5}=\frac{y-1}{7}=\frac{z-3}{1}\) is
(a) \(\frac{\pi}{6}\)
(b) \(\frac{\pi}{4}\)
(c) \(\frac{\pi}{3}\)
(d) \(\frac{\pi}{2}\)
Answer:
(d) \(\frac{\pi}{2}\)

Question 29.
Find the angle between the pair of lines given by

Answer:
(a) \(\cos ^{-1}\left(\frac{19}{21}\right)\)

Question 30.
The angle between the lines x = 1, y = 2 and y = -1, z = 0 is
(a) 90°
(b) 30°
(c) 60°
(d) 0°
Answer:
(a) 90°

Question 31.

Answer:
(b) \(\frac{\pi}{2}\)

Question 32.
The angle between the lines passing through the points (4, 7, 8), (2, 3, 4) and (-1, -2, 1), (1, 2, 5) is
(a) 0
(b) \(\frac{\pi}{2}\)
(c) \(\frac{\pi}{4}\)
(d) \(\frac{\pi}{6}\)
Answer:
(a) 0

Question 33.

Answer:
(d) Both (a) and (b)

Question 34.

Answer:
(a) \(\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{3}=\frac{z+3}{4}\)

Question 35.

Answer:
(a) \(-\frac{10}{7}\)

Question 36.

Answer:
(b) \(\frac{70}{11}\)

Question 37.
The shortest distance between the lines

Answer:
(d) \(\frac{1}{\sqrt{6}}\)

Question 38.
The shortest distance between the lines \(\frac{x-3}{3}=\frac{y-8}{-1}=\frac{z-3}{1}\) and \(\frac{x+3}{-3}=\frac{y+7}{2}=\frac{z-6}{4}\) is equal
(a) 3√30
(b) √30
(c) 2√30
(d) None of these
Answer:
(a) 3√30

Question 39.
The shortest distance between the lines x = y = z and x + 1 – y = \(\frac{z}{0}\) is
(a) \(\frac{1}{2}\)
(b) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
(c) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
(d) \(\frac{1}{\sqrt{6}}\)
Answer:
(d) \(\frac{1}{\sqrt{6}}\)

Question 40.
The shortest distance between the lines x = y + 2 = 6z – 6 and x + 1 = 2y = -12z is
(a) \(\frac{1}{2}\)
(b) 2
(c) 1
(d) \(\frac{3}{2}\)
Answer:
(b) 2

Question 41.

Answer:
(a) 0

Question 42.

Answer:
(b) \(\frac{\left|\left(\tilde{a}_{2}-a_{1}\right) \times b\right|}{|b|}\)

Question 43.

Answer:
(b) \(\sqrt{\frac{59}{7}}\)

Question 44.

Answer:
(d) \(\sqrt{\frac{129}{5}}\)

Question 45.
The direction cosines of the unit vector perpendicular to the plane \(r \cdot(6 \hat{i}-3 \hat{j}-2 \hat{k})+1=0\) passing through the origin are
(a) \(\frac{6}{7}, \frac{3}{7}, \frac{2}{7}\)
(b) 6, 3, 2
(c) \(-\frac{6}{7}, \frac{3}{7}, \frac{2}{7}\)
(d) -6, 3, 2
Answer:
(c) \(-\frac{6}{7}, \frac{3}{7}, \frac{2}{7}\)

Question 46.
The coordinate of the foot of perpendicular drawn from origin to the plane 2x – 3y + 4z – 6 = 0 is

Answer:
(d) \(\left(\frac{12}{\sqrt{29}}, \frac{-18}{\sqrt{29}}, \frac{24}{\sqrt{29}}\right)\)

Question 47.
The vector equation of a plane which is at a distance of 7 units from the origin and normal to the vector
\(3 \hat{i}+5 \hat{j}-6 \hat{k}\) is

Answer:
(d) \(r \cdot\left(\frac{3 \hat{i}}{70}+\frac{5 \hat{j}}{70}-\frac{6 \hat{k}}{70}\right)=7\)

Question 48.
Find the vector equation of the plane which is at a distance of 8 units from the origin and which is normal to the vector \(2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}\).

Answer:
(c) \(r_{\cdot}(2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k})=24\)

Question 49.
Find the length of perpendicular from the origin to the plane \(r(3 \hat{i}-4 \hat{j}+12 \hat{k})\).
(a) \(\frac{5}{13}\)
(b) \(\frac{5}{\sqrt{13}}\)
(c) \(\frac{5}{23}\)
(d) \(\frac{\sqrt{5}}{13}\)
Answer:
(a) \(\frac{5}{13}\)

Question 50.
The equation of the plane passing through three non- collinear points with position vectors a, b, c is
(a) r.(b × c + c × a + a × b) = 0
(b) r.(b × c + c × a + a × b) = [abc]
(c) r.(a × (b + c)) = [abc]
(d) r.(a + b + c) = 0
Answer:
(b) r.(b × c + c × a + a × b) = [abc]

Question 51.
Equation of the plane passing through three points A, B, C with position vectors

Answer:
(a) \(\pi(\hat{i}-\hat{j}-2 \hat{k})+23=0\)

Question 52.
Four points (0, -1, -1) (-4, 4, 4) (4, 5, 1) and (3, 9, 4) are coplanar. Find the equation of the plane containing them.
(a) 5x + 7y + 11z – 4 =0
(b) 5x – 7y + 11z + 4 = 0
(c) 5x – 7y – 11z – 4 = 0
(d) 5x + 7y – 11z + 4 = 0
Answer:
(b) 5x – 7y + 11z + 4 = 0

Question 53.
Find the equation of plane passing through the points P(1, 1, 1), Q(3, -1, 2), R(-3, 5, -4).
(a) x + 2y = 0
(b) x – y = 2
(c) -x + 2y = 2
(d) x + y = 2
Answer:
(d) x + y = 2

Question 54.
The vector equation of the plane passing through the origin and the line of intersection of the plane r.a = λ and r.b = µ is
(a) r.(λa – µb) = 0
(b) r.(λb – µa) = 0
(c) r.(λa + µb)= 0
(d) r.(λb + µa) = 0
Answer:
(b) r.(λb – µa) = 0

Question 55.
The vector equation of a plane passing through the intersection of the planes \(r_{\cdot}(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})=6\) and \(r_{\cdot}(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k})=-5\) and the point (1, 1, 1) is

Answer:
(c) \(r_{\cdot}(20 \hat{i}+23 \hat{j}+26 \hat{k})=69\)

Question 56.

Answer:
(b) -4

Question 57.

(a) coplanar
(b) non-coplanar
(c) perpendicular
(d) None of the above
Answer:
(a) coplanar

Question 58.
The angle between the planes 3x + 2y + z – 5 = 0 and x + y – 2z – 3 = 0 is

Answer:
(c) \(\cos ^{-1}\left(\frac{3}{2 \sqrt{21}}\right)\)

Question 59.
The equation of the plane through the point (0, -4, -6) and (-2, 9, 3) and perpendicular to the plane x – 4y – 2z = 8 is
(a) 3x + 3y – 2z = 0
(b) x – 2y + z = 2
(c) 2x + y – z = 2
(d) 5x – 3y + 2z = 0
Answer:
(c) 2x + y – z = 2

Question 60.
The angle between the planes \(r \cdot(\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k})=4\) and \(r(-\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k})=9\) is
(a) 30°
(b) 60°
(c) 45°
(d) None of these
Answer:
(b) 60°

Question 61.
The angle between the panes x + y = 0 and y – z = 1 is
(a) \(\frac{\pi}{6}\)
(b) \(\frac{\pi}{4}\)
(c) \(\frac{\pi}{3}\)
(d) \(\frac{\pi}{2}\)
Answer:
(c) \(\frac{\pi}{3}\)

Question 62.
If the angle between the planes 2x – y + 2z = 3 and 3x + 6y + cz = 4 is \(\cos ^{-1}\left(\frac{4}{21}\right)\), then c2 =
(a) 1
(b) 4
(c) 9
(d) 5
Answer:
(b) 4

Question 63.
The distance of the plane 2x – 3y + 4z – 6 = 0 from the origin is A. Here, A refers to
(a) 6
(b) -6
(c) \(-\frac{6}{\sqrt{29}}\)
(d) \(\frac{6}{\sqrt{29}}\)
Answer:
(b) -6

Question 64.
Find the length of perpendicular from origin to the plane \(r \cdot(3 \hat{i}-4 \hat{j}-12 \hat{k})+39=0\)
(a) 1
(b) 3
(c) \(\frac{1}{7}\)
(d) None of these
Answer:
(b) 3

Question 65.
The distance of the origin from the plane through the points (1, 1, 0), (1, 2, 1) and (-2, 2, -1) is
(a) \(\frac{3}{\sqrt{11}}\)
(b) \(\frac{5}{\sqrt{22}}\)
(c) 3
(d) \(\frac{4}{\sqrt{22}}\)
Answer:
(b) \(\frac{5}{\sqrt{22}}\)

Question 66.
The angle θ between the line r = a + λb is given by

Answer:
(a) \(\sin ^{-1}\left(\frac{\tilde{h}_{\hat{\pi}}^{\pi}}{|\vec{b}|}\right)\)

Question 67.

Answer:
(a) \(\sin ^{-1}\left(\frac{2 \sqrt{2}}{3}\right)\)

Question 68.
The angle between the straight line \(\frac{x-1}{2}=\frac{y+3}{-1}=\frac{z-5}{2}\) and the plane 4x – 2y + 4z = 9 is
(a) 60°
(b) 90°
(c) 45°
(d) 30°
Answer:
(b) 90°

Question 69.
Distance of the point (α, β, γ) from y-axis is
(a) β
(b) |β|
(c) |β| + |γ|
(d) \(\sqrt{\alpha^{2}+\gamma^{2}}\)
Answer:
(d) \(\sqrt{\alpha^{2}+\gamma^{2}}\)

Question 70.
The distance of the plane \(r \cdot\left(\frac{2}{7} \hat{i}+\frac{3}{7} \hat{j}-\frac{6}{7} \hat{k}\right)=1\) from the origin is
(a) 1
(b) 7
(c) \(\frac{1}{7}\)
(d) None of these
Answer:
(a) 1

Question 71.

Answer:
(d) \(\frac{\sqrt{2}}{10}\)

Question 72.
The reflection of the point (α, β, γ) in the xy-plane is
(a) (α, β, 0)
(b) (0, 0, γ)
(c) (-α, -β, -γ)
(d) (α, β, -y)
Answer:
(d) (α, β, -y)

Question 73.
The area of the quadrilateral ABCD, where A(0, 4, 1), B(2, 3, -1), C(4, 5, 0) and D(2, 6, 2), is equal to
(a) 9 sq. units
(b) 18 sq. units
(c) 27 sq. units
(d) 81 sq. units
Answer:
(a) 9 sq. units

Question 74.
The locus represented by xy + yz = 0 is
(a) A pair of perpendicular lines
(b) A pair of parallel lines
(c) A pair of parallel planes
(d) A pair of perpendicular planes
Answer:
(d) A pair of perpendicular planes

Bihar Board 12th Maths Objective Questions and Answers

Bihar Board 12th Maths Objective Answers Chapter 10 Vector Algebra

Question 1.
If \(\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, n\right)\) are the direction cosines of a line, then the value of n is
(a) \(\frac{\sqrt{23}}{6}\)
(b) \(\frac{23}{6}\)
(c) \(\frac{2}{3}\)
(d) \(\frac{3}{2}\)
Answer:
(a) \(\frac{\sqrt{23}}{6}\)

Question 2.
Find the magnitude of vector \(3 \hat{i}+2 \hat{j}+12 \hat{k}\).
(a) √157
(b) 4√11
(c) √213
(d) 9√3
Answer:
(a) √157

Direction (3 – 5): Study the given parallelogram and answer the following questions.

Question 3.
Which of the following represents equal vectors?
(a) a, c
(b) b, d
(c) b, c
(d) m, d
Answer:
(b) b, d

Question 4.
Which of the following represents collinear but not equal vectors?
(a) a, c
(b) b, d
(c) b, m
(d) Both (a) and (b)
Answer:
(a) a, c

Question 5.
Which of the following represents coinitial vector?
(a) c, d
(b) m, b
(c) b, d
(d) Both (a) and (b)
Answer:
(d) Both (a) and (b)

Question 6.
The unit vector in the direction of the sum of vectors

Answer:
(a) \(\frac{1}{5 \sqrt{2}}(3 \hat{i}+4 \hat{j}+5 \hat{k})\)

Question 7.
The vectors \(3 \hat{i}+5 \hat{j}+2 \hat{k}, 2 \hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}\) and \(5 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}\) form the sides of
(a) Isosceles triangle
(b) Right triangle
(c) Scalene triangle
(d) Equilaterala triangle
Answer:
(d) Equilaterala triangle

Question 8.

Answer:
(d) α = ±1, β = 1

Question 9.
The vectors \(a=x \hat{i}-2 \hat{j}+5 \hat{k}\) and \(b=\hat{i}+y \hat{j}-z \hat{k}\) are collinear, if
(a) x =1, y = -2, z = -5
(b) x= 1.2, y = -4, z = -10
(c) x = -1/2, y = 4, z = 10
(d) All of these
Answer:
(d) All of these

Question 10.
The vector \(\hat{i}+x \hat{j}+3 \hat{k}\) is rotated through an angle θ and doubled in magnitude, then it becomes \(4 \hat{i}+(4 x-2) \hat{i}+2 \hat{k}\). The value of x is
(a) \(\left\{-\frac{2}{3}, 2\right\}\)
(b) \(\left\{\frac{1}{3}, 2\right\}\)
(c) \(\left\{\frac{2}{3}, 0\right\}\)
(d) {2, 7}
Answer:
(a) \(\left\{-\frac{2}{3}, 2\right\}\)

Question 11.
Three points (2, -1, 3), (3, -5, 1)and (-1, 11, 9) are
(a) Non-collinear
(b) Non-coplanar
(c) Collinear
(d) None of these
Answer:
(c) Collinear

Question 12.
The points with position vectors \(60 \hat{i}+3 \hat{j}, 40 \hat{i}-8 \hat{j}\) and \(a \hat{i}-5 \hat{j}\) are collinear if
(a) a = -40
(b) a = 40
(c) a = 20
(d) None of these
Answer:
(a) a = -40

Question 13.
The position vectors of the points A, B, C are \((2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}),(3 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k})\) and \((\hat{i}+4 \hat{j}-3 \hat{k})\) respectively. These points
(a) form an isosceles triangle
(b) form a right angled triangle
(c) are collinear
(d) form a scalene triangle
Answer:
(a) form an isosceles triangle

Question 14.
The figure formed by the four points \(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}\), \(2 \hat{i}+3 \hat{j}, 5 \hat{j}-2 \hat{k}\) and \(\hat{k}-\hat{j}\) is
(a) trapezium
(b) rectangle
(c) parallelogram
(d) None of these
Answer:
(d) None of these

Question 15.
If x coordinate of a point P of a line joining the points Q(2, 2, 1) and R(5, 2, -2) is 4, then the z coordinate of P is
(a) -2
(b) -1
(c) 1
(d) 2
Answer:
(b) -1

Question 16.
If O is origin and C is the mid point of A(2, -1) and B(-4, 3), then the value of OC is
(a) \(\hat{i}+\hat{j}\)
(b) \(\hat{i}-\hat{j}\)
(c) \(-\hat{i}+\hat{j}\)
(d) \(-\hat{i}-\hat{j}\)
Answer:
(c) \(-\hat{i}+\hat{j}\)

Question 17.
The vectors AB = \(3 \hat{i}+4 \hat{k}\) and AC = \(A C=5 \hat{i}-2 \hat{j}+4 \hat{k}\) are the side of a ΔABC. The length of the median through A is
(a) √18
(b) √72
(c) √33
(d) √288
Answer:
(c) √33

Question 18.
The summation of two unit vectors is a third unit vector, then the modulus of the difference of the unit vector is
(a) √3
(b) 1 – √3
(c) 1 + √3
(d) -√3
Answer:
(a) √3

Question 19.

Answer:
(d) \(\frac{1}{\sqrt{6}}(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k})\)

Question 20.

Answer:
(c) \(\pi \geq \theta>\frac{2 \pi}{3}\)

Question 21.
Let a, b and c be vectors with magnitudes 3, 4 and 5 respectively and a + b + c = 0, then the values of a.b + b.c + c.a is
(a) 47
(b) 25
(c) 50
(d) -25
Answer:
(d) -25

Question 22.
If |a| = |b| = 1 and |a + b| = √3, then the value of (3a – 4b).(2a + 5b) is
(a) -21
(b) \(-\frac{21}{2}\)
(c) 21
(d) \(\frac{21}{2}\)
Answer:
(b) \(-\frac{21}{2}\)

Question 23.

Answer:
(c) \(\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{i}+\hat{j})\)

Question 24.
If |a – b| = |a| = |b| = 1, then the angle between a and b is
(a) \(\frac{\pi}{3}\)
(b) \(\frac{3 \pi}{4}\)
(c) \(\frac{\pi}{2}\)
(d) 0
Answer:
(a) \(\frac{\pi}{3}\)

Question 25.

Answer:
(d) |a|²

Question 26.
a, b, c are three vectors, such that a + b + c = 0, |a|= 1, |b|= 2, |c|= 3, then a.b + b.c + c is equal to
(a) 0
(b) -7
(c) 7
(d) 1
Answer:
(b) -7

Question 27.
If |a + b| = |a – b|, then angle between a and b is (a ≠ 0, b ≠ 0)
(a) \(\frac{\pi}{3}\)
(b) \(\frac{\pi}{6}\)
(c) \(\frac{\pi}{4}\)
(d) \(\frac{\pi}{2}\)
Answer:
(d) \(\frac{\pi}{2}\)

Question 28.
If a and b are two unit vectors inclined to x-axis at angles 30° and 120° respectively, then |a + b| equals
(a) \(\sqrt{\frac{2}{3}}\)
(b) √2
(c) √3
(d) 2
Answer:
(d) 2

Question 29.
If the angle between \(\hat{i}+\hat{k}\) and \(\hat{i}+\hat{j}+a \hat{k}\) is \(\frac{\pi}{3}\), then the value of a is
(a) 0 or 2
(b) -4 or 0
(c) 0 or -3
(d) 2 or -2
Answer:
(b) -4 or 0

Question 30.
The length of longer diagronai of the parallelogram constructed on 5a + 2b and a – 3b. If it is given that
|a| = 2√2, |b| = 3 and angle between a and b is \(\frac{\pi}{4}\), is
(a) 15
(b) √113
(c) √593
(d) √369
Answer:
(c) √593

Question 31.
If a, b, c are unit vectors, then |a – b| + |b – c| + |c – a| does not exceed
(a) 4
(b) 9
(c) 8
(d) 6
Answer:
(b) 9

Question 32.
Find the value of λ so that the vectors \(2 \hat{i}-4 \hat{j}+\hat{k}\) and \(4 \hat{i}-8 \hat{j}+\lambda \hat{k}\) are perpendicular.
(a) -15
(b) 10
(c) -40
(d) 20
Answer:
(c) -40

Question 33.
The dot product of a vector with the vectors \(\hat{i}+\hat{j}-3 \hat{k}, \hat{i}+3 \hat{j}-2 \hat{k}\) and \(2 \hat{i}+\hat{j}+4 \hat{k}\) are 0, 5 and 8 respectively. Find the vector.
(a) \(\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}\)
(b) \(-\hat{i}+3 \hat{j}-2 \hat{k}\)
(c) \(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}\)
(d) \(\hat{i}-3 \hat{j}-3 \hat{k}\)
Answer:
(a) \(\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}\)

Question 34.
If a, b, c are three mutually perpendicular vectors of equal magnitude, find the angle between a and a + b + c.
(a) \(\cos ^{-1}(1 / \sqrt{3})\)
(b) \(\cos ^{-1}(1 / 2 \sqrt{2})\)
(c) \(\cos ^{-1}(1 / 3 \sqrt{3})\)
(d) \(\cos ^{-1}(1 / 2 \sqrt{3})\)
Answer:
(a) \(\cos ^{-1}(1 / \sqrt{3})\)

Question 35.
Find the angle between the vectors a + b and a – b if a = \(2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}\) and b = \(b=3 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}\)
(a) \(\frac { \pi }{ 6 }\)
(b) \(\frac { \pi }{ 3 }\)
(c) \(\frac { \pi }{ 2 }\)
(d) 0
Answer:
(c) \(\frac { \pi }{ 2 }\)

Question 36.
If a = \(2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}\) and b = \(5 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}\), then the projection of b on a is
(a) 3
(b) 4
(c) 5
(d) 6
Answer:
(a) 3

Question 37.
Let \(a=\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}, b=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}, c=\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}\). A vector coplanar to a and b has a projection along c of magnitude \(\frac{1}{\sqrt{3}}\), then the vector is
(a) \(4 \hat{i}-\hat{j}+4 \hat{k}\)
(b) \(4 \hat{i}+\hat{j}-4 \hat{k}\)
(c) \(2 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}\)
(d) None of these
Answer:
(a) \(4 \hat{i}-\hat{j}+4 \hat{k}\)

Question 38.
The component of i in the direction of the vector \(\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}\) is
(a) √6
(b) 6
(c) 6√6
(d) \(\frac{\sqrt{6}}{6}\)
Answer:
(d) \(\frac{\sqrt{6}}{6}\)

Question 39.
Find the projection of b + c on a where a = \(\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}\), b = \(\hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k}\) and c = \(\hat{i}+\hat{k}\).
(a) \(\frac { 5 }{ \surd 3 }\)
(b) 2√2
(c) \(\frac { 3 }{ \surd 2 }\)
(d) \(\frac { 10 }{ \surd 6 }\)
Answer:
(d) \(\frac { 10 }{ \surd 6 }\)

Question 40.
If a = \(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}\), b = \(\hat{i}+3 \hat{j}+5 \hat{k}\) and c = \(7 \hat{i}+9 \hat{j}+11 \hat{k}\), then the area of parallelogram having diagonals a + b and b + c is
(a) 4√6
(b) \(\frac{1}{2} \sqrt{21}\)
(c) \(\frac{\sqrt{6}}{2}\)
(d) √6
Answer:
(a) 4√6

Question 41.

Answer:
(c) \(\frac{3 \hat{i}-2 \hat{j}+6 \hat{k}}{7}\)

Question 42.
The area of parallelogram whose adjacent sides are \(\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}\) and \(2 \hat{i}+\hat{j}-4 \hat{k}\) is
(a) 10√6
(b) 5√6
(c) 10√3
(d) 5√3
Answer:
(b) 5√6

Question 43.
If AB × AC = \(2 \hat{i}-4 \hat{j}+4 \hat{k}\), then the are of ΔABC is
(a) 3 sq. units
(b) 4 sq. units
(c) 16 sq. units
(d) 9 sq. units
Answer:
(a) 3 sq. units

Question 44.

Answer:
(a) \(\frac{5 \sqrt{3}}{3}(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})\)

Question 45.
|a × b|² + |a.b|² = 144 and |a| = 4, then |b| is equal to
(a) 12
(b) 3
(c) 8
(d) 4
Answer:
(b) 3

Question 46.
If |a × b| = 4 and |a.b| = 2, then |a|² |b|² is equal to
(a) 2
(b) 6
(c) 8
(d) 20
Answer:
(d) 20

Question 47.

Answer:
(c) \(\hat{i}\)

Question 48.
The two vectors a = \(2 \hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k}\) and b = 4 \hat{i}-\lambda \hat{j}+6 \hat{k} ae parallel, if λ is equal to
(a) 2
(b) -3
(c) 3
(d) 2
Answer:
(d) 2

Question 49.
If |a|= 5, |b|= 13 and |a × b|= 25, find a.b
(a) ±10
(b) ±40
(c) ±60
(d) ±25
Answer:
(c) ±60

Question 50.
Find the value of λ so that the vectors \(2 i-4 \hat{j}+\hat{k}\) and \(4 i-8 \hat{j}+\lambda \hat{k}\) are parallel.
(a) -1
(b) 3
(c) -4
(d) 2
Answer:
(d) 2

Question 51.
If a + b + c = 0, then a × b =
(a) c × a
(b) b × c
(c) 0
(d) Both (a) and (b)
Answer:
(d) Both (a) and (b)

Question 52.
If a is perpendicular to b and c, |a| = 2, |b| = 3, |c| = 4 and the angle between b and c is \(\frac{2 \pi}{3}\), |abc| is equal to
(a) 4√3
(b) 6√3
(c) 12√3
(d) 18√3
Answer:
(c) 12√3

Question 53.

Answer:
(b) a

Question 54.

Answer:
(a) neither x nor y

Question 55.
If a, b, c are three non-coplanar vectors, then (a + b + c).[(a + b) × (a + c)] is
(a) 0
(b) 2[abc]
(c) -[abc]
(d) [abc]
Answer:
(c) -[abc]

Question 56.
If u, v and w are three non-coplanar vectors, then (u + v – w).[(u – v) × (v – w)] equals
(a) 0
(b) u.v × w
(c) u.w × v
(d) 3u.v × w
Answer:
(b) u.v × w

Question 57.
If unit vector c makes an angle \(\frac{\pi}{3}\) with \(\hat{i} \times \hat{j}\), then minimum and maximum values of \((\hat{i} \times \hat{j}) \cdot c\) respectively are
(a) 0, \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
(b) \(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\)
(c) -1, \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
(d) None of these
Answer:
(b) \(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Question 58.
The volume of the tetrahedron whose conterminous edges are \(\hat{j}+\hat{k}, \hat{i}+\hat{k}, i+\hat{j}\) is
(a) \(\frac{1}{6}\) cu. unit
(b) \(\frac{1}{3}\) cu. unit
(c) \(\frac{1}{2}\) cu. unit
(d) \(\frac{2}{3}\) cu. unit
Answer:
(b) \(\frac{1}{3}\) cu. unit

Question 59.
If the vectors \(2 \hat{i}-3 \hat{j}, i+\hat{j}-\hat{k}\) and \(3 \hat{i}-\hat{k}\) form three concurrent edges of a parallelopiped, then the volume of the parallelopiped is
(a) 8
(b) 10
(c) 4
(d) 14
Answer:
(c) 4

Question 60.
The volume of the parallelopiped whose edges are represented by \(-12 \hat{i}+\alpha \hat{k}, 3 j-\hat{k}\) and \(2 \hat{i}+j-15 \hat{k}\) is 546 cu. units. Then α =
(a) 3
(b) 2
(c) -3
(d) -2
Answer:
(c) -3

Question 61.

Answer:
(d) None of these

Question 62.

Answer:
(a) -2

Question 63.

Answer:
(a) all values of x

Question 64.
If the vectors \(\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k},-2 \hat{i}+3 \hat{j}-4 \hat{k}, \lambda \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}\) are coplanar, then the value of λ is equal to
(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) 3
Answer:
(a) 0

Question 65.
Find the value of λ if the vectors, a = \(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\), b = \(\hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}\) and c = \(3 \hat{i}-\lambda \hat{j}+5 \hat{k}\) are coplanar.
(a) 4
(b) -2
(c) -6
(d) 5
Answer:
(a) 4

Question 66.
Find λ if the vectors \(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}, 3 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}\) and \(\hat{i}+\lambda \hat{j}-\hat{k}\) are coplanar.
(a) 5
(b) 12
(c) 15
(d) 8
Answer:
(c) 15

Question 67.
The vector in the direction of the vector \(\hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k}\) that has magnitude 9 is

Answer:
(c) \(3(\hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k})\)

Question 68.
The position vector of the point which divides the join of points 2a – 3b and a + b in the ratio 3 : 1 is

Answer:
(d) \(\frac{5 a}{4}\)

Question 69.
The angle between two vectors a and b with magnitudes √3 and 4, respectively and a.b = 2√3 is
(a) \(\frac{\pi}{6}\)
(b) \(\frac{\pi}{3}\)
(c) \(\frac{\pi}{2}\)
(d) \(\frac{5 \pi}{2}\)
Answer:
(b) \(\frac{\pi}{3}\)

Question 70.
Find the value of λ such that the vectors a = \(2 \hat{i}+\lambda \hat{j}+\hat{k}\) and b = \(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}\) are orthogonal.
(a) 0
(b) 1
(c) \(\frac{3}{2}\)
(d) \(-\frac{5}{2}\)
Answer:
(d) \(-\frac{5}{2}\)

Question 71.
The value of λ for which the vectors \(3 \hat{i}-6 \hat{j}+\hat{k}\) and \(2 \hat{i}-4 \hat{j}+\lambda \hat{k}\) are parallel is
(a) \(\frac{2}{3}\)
(b) \(\frac{3}{2}\)
(c) \(\frac{5}{2}\)
(d) \(\frac{2}{5}\)
Answer:
(a) \(\frac{2}{3}\)

Question 72.
The vectors from origin to the points A and B are a = \(2 \hat{i}-3 \hat{j}+2 \hat{k}\) and b = \(2 \hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k}\), respectively then the area of triangle OAB is
(a) 340
(b) √25
(c) √229
(d) \(\frac{1}{2}\) √229
Answer:
(d) \(\frac{1}{2}\) √229

Question 73.
The vectors \(\lambda \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}, \hat{i}+\lambda \hat{j}-\hat{k}\) and \(2 \hat{i}-\hat{j}+\lambda \hat{k}\) are coplanar if
(a) λ = -2
(b) λ = 0
(c) λ = 1
(d) λ = -1
Answer:
(a) λ = -2

Question 74.
If a, b, c are unit vectors such that a + b + c = 0, then the value of a.b + b.c + c.a is
(a) 1
(b) 3
(c) \(-\frac{3}{2}\)
(d) None of these
Answer:
(c) \(-\frac{3}{2}\)

Question 75.
If |a| = 4 and -3 ≤ λ ≤ 2, then the range of |λa| is
(a) [0, 8]
(b) [-12, 8]
(c) [0, 12]
(d) [8, 12]
Answer:
(c) [0, 12]

Question 76.
The number of vectors of unit length perpendicular to the vectors a = \(2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}\) and b = \(\hat{j}+\hat{k}\) is
(a) one
(b) two
(c) three
(d) infinite
Answer:
(b) two

Bihar Board 12th Maths Objective Questions and Answers

Bihar Board 12th Maths Objective Answers Chapter 12 Linear Programming

Question 1.
Objective function of a L.P.P.is
(a) a constant
(b) a function to be optimised
(c) a relation between the variables
(d) none of these
Answer:
(b) a function to be optimised

Question 2.
The optimal value of the objective function is attained at the points
(a) on X-axis
(b) on Y-axis
(c) which are comer points of the feascible region
(d) none of these
Answer:
(c) which are comer points of the feascible region

Question 3.
In solving the LPP:
“minimize f = 6x + 10y subject to constraints x ≥ 6, y ≥ 2, 2x + y ≥ 10, x ≥ 0, y ≥ 0” redundant constraints are
(a) x ≥ 6, y ≥ 2
(b) 2x + y ≥ 10, x ≥ 0, y ≥ 0
(c) x ≥ 6
(d) none of these
Answer:
(b) 2x + y ≥ 10, x ≥ 0, y ≥ 0

Question 4.
Region represented by x ≥ 0, y ≥ 0 is
(a) first quadrant
(b) second quadrant
(c) third quadrant
(d) fourth quadrant
Answer:
(a) first quadrant

Question 5.
The region represented by the inequalities
x ≥ 6, y ≥ 2, 2x + y ≤ 0, x ≥ 0, y ≥ 0 is
(a) unbounded
(b) a polygon
(c) exterior of a triangle
(d) None of these
Answer:
(d) None of these

Question 6.
Feasible region for an LPP is shown shaded in the following in the following figure. Minimum of Z = 4x + 3y occurs at the point

(a) (0, 8)
(b) (2, 5)
(c) (4, 3)
(d) (9, 0)
Answer:
(b) (2, 5)

Question 7.
Maximize Z = 3x + 5y, subject to x + 4y ≤ 24, 3x + y ≤ 21, x + y ≤ 9, x ≥ 0, y ≥ 0.
(a) 20 at (1, 0)
(b) 30 at (0, 6)
(c) 37 at (4, 5)
(d) 33 at (6, 3)
Answer:
(c) 37 at (4, 5)

Question 8.
Maximize Z = 4x + 6y, subject to 3x + 2y ≤ 12, x + y ≥ 4, x, y ≥ 0.
(a) 16 at (4, 0)
(b) 24 at (0, 4)
(c) 24 at (6, 0)
(d) 36 at (0, 6)
Answer:
(d) 36 at (0, 6)

Question 9.
Maximize Z = 6x + 4y, subject to x ≤ 2, x + y ≤ 3, -2x + y ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0.
(a) 12 at (2, 0)
(b) \(\frac{140}{3}\) at (\(\frac{2}{3}\), \(\frac{1}{3}\))
(c) 16 at (2, 1)
(d) 4 at (0, 1)
Answer:
(c) 16 at (2, 1)

Question 10.
Maximize Z = 10×1 + 25×2, subject to 0 ≤ x1 ≤ 3, 0 ≤ x2 ≤ 3, x1 + x2 ≤ 5.
(a) 80 at (3, 2)
(b) 75 at (0, 3)
(c) 30 at (3, 0)
(d) 95 at (2, 3)
Answer:
(d) 95 at (2, 3)

Question 11.
Z = 20x₁ + 20x₂, subject to x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0, x₁ + 2x₂ ≥ 8, 3x₁ + 2x₂ ≥ 15, 5x₁ + 2x₂ ≥ 20. The minimum value of Z occurs at
(a) (8, 0)
(b) \(\left(\frac{5}{2}, \frac{15}{4}\right)\)
(c) \(\left(\frac{7}{2}, \frac{9}{4}\right)\)
(d) (0, 10)
Answer:
(c) \(\left(\frac{7}{2}, \frac{9}{4}\right)\)

Question 12.
Z = 7x + y, subject to 5x + y ≥ 5, x + y ≥ 3, x ≥ 0, y ≥ 0. The minimum value of Z occurs at
(a) (3, 0)
(b) \(\left(\frac{1}{2}, \frac{5}{2}\right)\)
(c) (7, 0)
(d) (0, 5)
Answer:
(d) (0, 5)

Question 13.
Minimize Z = 20x₁ + 9x₂, subject to x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0, 2x₁ + 2x₂ ≥ 36, 6x₁ + x₂ ≥ 60.
(a) 360 at (18, 0)
(b) 336 at (6, 4)
(c) 540 at (0, 60)
(d) 0 at (0, 0)
Answer:
(b) 336 at (6, 4)

Question 14.
Z = 8x + 10y, subject to 2x + y ≥ 1, 2x + 3y ≥ 15, y ≥ 2, x ≥ 0, y ≥ 0. The minimum value of Z occurs at
(a) (4.5, 2)
(b) (1.5, 4)
(c) (0, 7)
(d) (7, 0)
Answer:
(b) (1.5, 4)

Question 15.
Z = 4x₁ + 5x₂, subject to 2x₁ + x₂ ≥ 7, 2x₁ + 3x₂ ≤ 15, x₂ ≤ 3, x₁, x₂ ≥ 0. The minimum value of Z occurs at
(a) (3.5, 0)
(b) (3, 3)
(c) (7.5, 0)
(d) (2, 3)
Answer:
(a) (3.5, 0)

Question 16.
The maximum value of f = 4x + 3y subject to constraints x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + 3y ≤ 18; x + y ≥ 10 is
(a) 35
(b) 36
(c) 34
(d) none of these
Answer:
(d) none of these

Question 17.
The minimum value of Z = 4x + 3y subjected to the constraints 3x + 2y ≥ 160, 5 + 2y ≥ 200, 2y ≥ 80; x, y ≥ 0 is
(a) 220
(b) 300
(c) 230
(d) none of these
Answer:
(a) 220

Question 18.
The maximum value of Z = 3x + 2y, subjected to x + 2y ≤ 2, x + 2y ≥ 8; x, y ≥ 0 is
(a) 32
(b) 24
(c) 40
(d) none of these
Answer:
(d) none of these

Question 19.
Maximize Z = 11x + 8y, subject to x ≤ 4, y ≤ 6, x ≥ 0, y ≥ 0.
(a) 44 at (4, 2)
(b) 60 at (4, 2)
(c) 62 at (4, 0)
(d) 48 at (4, 2)
Answer:
(b) 60 at (4, 2)

Question 20.
The feasible, region for an LPP is shown shaded in the figure. Let Z = 3x – 4y be the objective function. Minimum of Z occurs at

(a) (0, 0)
(b) (0, 8)
(c) (5, 0)
(d) (4, 10)
Answer:
(b) (0, 8)

Bihar Board 12th Maths Objective Questions and Answers

Bihar Board 12th Maths Objective Answers Chapter 13 Probability

Question 1.
P has 2 children. He has a son, Jatin. What is the probability that Jatin’s sibling is a brother?
(a) \(\frac{1}{3}\)
(b) \(\frac{1}{4}\)
(c) \(\frac{2}{3}\)
(d) \(\frac{1}{2}\)
Answer:
(a) \(\frac{1}{3}\)

Question 2.
If A and B are 2 events such that P(A) > 0 and P (b) ≠ 1, then \(P(\bar{A} / \bar{B})=\)
(a) 1 – P(A|B)
(b) \(1-P(A / \bar{B})\)
(c) \(\frac{1-P(A \cup B)}{P(B)}\)
(d) \(\frac{1(\bar{A})}{P(B)}\)
Answer:
(b) \(1-P(A / \bar{B})\)

Question 3.
If two events A and B area such that \(P(\bar{A})\) =0.3, P(B) = 0.4 and \(P(B | A \cup \bar{B})=\)
(a) \(\frac{1}{2}\)
(b) \(\frac{1}{3}\)
(c) \(\frac{2}{5}\)
(d) \(\frac{1}{4}\)
Answer:
(d) \(\frac{1}{4}\)

Question 4.
If E and F are events such that 0 < P(F) < 1, then
(a) \(P(E | F)+P(\bar{E} | F)=1\)
(b) \(P(E | F)+P(E | \bar{F})=1\)
(c) \(P(\bar{E} | F)+P(E | \bar{F})=1\)
(d) \(P(E | \bar{F})+P(\bar{E} | \bar{F})=0\)
Answer:
(a) \(P(E | F)+P(\bar{E} | F)=1\)

Question 5.
P(E ∩ F) is equal to
(a) P(E) . P(F|E)
(b) P(F) . P(E|F)
(c) Both (a) and (b)
(d) None of these
Answer:
(c) Both (a) and (b)

Question 6.
If three events of a sample space are E, F and G, then P(E ∩ F ∩ G) is equal to
(a) P(E) P(F|E) P(G|(E ∩ F))
(b) P(E) P(F|E) P(G|EF)
(c) Both (a) and (b)
(d) None of these
Answer:
(c) Both (a) and (b)

Question 7.
Two cards are drawn at random one by one without replacement from a pack of 52 playing cards. Find the probability that both the cards are black.
(a) \(\frac{21}{104}\)
(b) \(\frac{25}{102}\)
(c) \(\frac{23}{102}\)
(d) \(\frac{24}{104}\)
Answer:
(b) \(\frac{25}{102}\)

Question 8.
A bag contains 20 tickets, numbered 1 to 20. A ticket is drawn and then another ticket is drawn without replacement. Find the probability that both tickets will show even numbers.
(a) \(\frac{9}{38}\)
(b) \(\frac{16}{35}\)
(c) \(\frac{7}{38}\)
(d) \(\frac{17}{30}\)
Answer:
(a) \(\frac{9}{38}\)

Question 9.
Two balls are drawn one after another (without replacement) from a bag containing 2 white, 3 red and 5 blue balls. What is the probability that atleast one ball is red?
(a) \(\frac{7}{15}\)
(b) \(\frac{8}{15}\)
(c) \(\frac{7}{16}\)
(d) \(\frac{5}{16}\)
Answer:
(b) \(\frac{8}{15}\)

Question 10.
Let A and B be independent events with P(A) = 1/4 and P(A ∪ B) = 2P(B) – P(A). Find P(B)
(a) \(\frac{1}{4}\)
(b) \(\frac{3}{5}\)
(c) \(\frac{2}{3}\)
(d) \(\frac{2}{5}\)
Answer:
(d) \(\frac{2}{5}\)

Question 11.
Two events A and B will be independent, if
(a) A and B are mutually exclusive
(b) P(A’ ∩ B’) = [1 – P(A)] [1 – P(B)]
(c) P(A) = P(B)
(d) P(A) + P(B) = 1
Answer:
(c) P(A) = P(B)

Question 12.
If A and B are two independent events such that \(P(\bar{A} \cap B)=\frac{2}{15}\) and \(P(A \cap \bar{B})=\frac{1}{6}\), then find P(A) and P (B) respectively.
(a) \(\frac{5}{4}, \frac{4}{5}\)
(b) \(\frac{1}{5}, \frac{1}{7}\)
(c) \(\frac{1}{6}, \frac{1}{7}\)
(d) \(\frac{1}{7}, \frac{1}{7}\)
Answer:
(a) \(\frac{5}{4}, \frac{4}{5}\)

Question 13.
If A and B are two independent events, then the probability of occurrence of at least of A and B is given by
(a) 1 – P(A) P(b)
(b) 1 – P(A) P(B’)
(c) 1 – P(A’) P(B’)
(d) 1 – P(A’) P(b)
Answer:
(c) 1 – P(A’) P(B’)

Question 14.
If A and B are two indendent events such that \(P(\bar{A})\) = 0.75, P(A ∪ B) = 0.65 and P(b) = P, then find the value of P.
(a) \(\frac{9}{14}\)
(b) \(\frac{7}{15}\)
(c) \(\frac{5}{14}\)
(d) \(\frac{8}{15}\)
Answer:
(d) \(\frac{8}{15}\)

Question 15.
If A and Bare events such that P(A) = \(\frac{1}{3}\), P(b) = \(\frac{1}{4}\) and P(A ∩ B) = \(\frac{1}{12}\), then find P(not A and not B).
(a) \(\frac{1}{4}\)
(b) \(\frac{1}{2}\)
(c) \(\frac{2}{3}\)
(d) \(\frac{1}{3}\)
Answer:
(b) \(\frac{1}{2}\)

Question 16.
Two cards are drawn successively from a well shuffled pack of 52 cards. Find the probability that one is a red card the other is a queen.
(a) \(\frac{103}{1326}\)
(b) \(\frac{101}{1326}\)
(c) \(\frac{101}{1426}\)
(d) \(\frac{103}{1426}\)
Answer:
(b) \(\frac{101}{1326}\)

Question 17.
Given that, the events A and B are such that P(A) = \(\frac{1}{2}\), P(A ∪ B) = \(\frac{3}{5}\) and P(b) = P. Then probabilities of B if A and B are mutually exclusive and independent respetively are
(a) \(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}\)
(b) \(\frac{1}{5}, \frac{1}{3}\)
(c) \(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}\)
(d) \(\frac{1}{10}, \frac{1}{5}\)
Answer:
(d) \(\frac{1}{10}, \frac{1}{5}\)

Question 18.
Two cards from an ordinary deck of 52 cards are missing. What is the probability that a random card drawn from this deck is a spade?
(a) \(\frac{3}{4}\)
(b) \(\frac{2}{3}\)
(c) \(\frac{1}{2}\)
(d) \(\frac{1}{4}\)
Answer:
(d) \(\frac{1}{4}\)

Question 19.
A man is known to speak truth 3 out of 4 times. He throws a die and reports that it is a six. Find the probability that it is actually a six.
(a) \(\frac{5}{8}\)
(b) \(\frac{3}{8}\)
(c) \(\frac{7}{8}\)
(d) \(\frac{1}{8}\)
Answer:
(b) \(\frac{3}{8}\)

Question 20.
A bag contains 4 balls. Two balls are drawn at random and are found to be white. What is the probability that all balls are white?
(a) \(\frac{2}{5}\)
(b) \(\frac{3}{5}\)
(c) \(\frac{4}{5}\)
(d) \(\frac{1}{5}\)
Answer:
(b) \(\frac{3}{5}\)

Question 21.
A bag contains 3 green and 7 white balls. Two balls are drawn one by one at random without replacement. If the second ball drawn is green, what is the probability that the first ball was drawn in also green?
(a) \(\frac{5}{9}\)
(b) \(\frac{4}{9}\)
(c) \(\frac{2}{9}\)
(d) \(\frac{8}{9}\)
Answer:
(c) \(\frac{2}{9}\)

Question 22.
A card from a pack of 52 cards is lost. From the remaining cards of the pack, two cards are drawn and are found to be both clubs. Find the probability of the lost card being a club.
(a) \(\frac{11}{50}\)
(b) \(\frac{17}{50}\)
(c) \(\frac{13}{50}\)
(d) \(\frac{19}{50}\)
Answer:
(a) \(\frac{11}{50}\)

Question 23.
A random variable X has the following distribution.

For the event E = {X is prime number} and F = {X < 4}, P(E ∪ F) =
(a) 0.87
(b) 0.77
(c) 0.35
(d) 0.50
Answer:
(b) 0.77

Question 24.
A random variable X has the following probability distribution:

Find P(X < 3), P(X ≥ 4), P(0 < X < 5) respectively.
(a) \(\frac{1}{6}, \frac{11}{24}, \frac{33}{48}\)
(b) \(\frac{1}{6}, \frac{33}{48}, \frac{11}{24}\)
(c) \(\frac{1}{4}, \frac{11}{26}, \frac{21}{44}\)
(d) \(\frac{11}{26}, \frac{1}{4}, \frac{21}{44}\)
Answer:
(b) \(\frac{1}{6}, \frac{33}{48}, \frac{11}{24}\)

Question 25.
A coin is tossed until a head appears or the tail appears 4 times in succession. Find the probability distribution of the number of tosses.

Answer:

Question 26.
Suppose that two cards are drawn at random from a deck of cards. Let X be the number of aces obtained. Then, the value of E(X) is
(a) \(\frac{37}{221}\)
(b) \(\frac{5}{13}\)
(c) \(\frac{1}{13}\)
(d) \(\frac{2}{13}\)
Answer:
(d) \(\frac{2}{13}\)

Question 27.
The random variable X can take only the values 0, 1, 2. Given that, P(X = 0) = P (X = 1) = p and that E(X²) = E(X), find the value of p.
(a) \(\frac{1}{5}\)
(b) \(\frac{3}{10}\)
(c) \(\frac{2}{5}\)
(d) \(\frac{1}{2}\)
Answer:
(d) \(\frac{1}{2}\)

Question 28.
The variance and standard deviation of the number of heads in three tosses of a coin are respectively
(a) \(\frac{3}{4}, \frac{\sqrt{3}}{2}\)
(b) \(\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\)
(c) \(\frac{3}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}\)
(d) None of these
Answer:
(d) None of these

Question 29.
In a meeting, 70% of the members favour and 30% oppose a certain proposal, A member is selected at random and we take X = 0, if opposed and X = 1, if he is in favour. Then, E(X) and Var(X) are respectively
(a) \(\frac{3}{7}, \frac{5}{17}\)
(b) \(\frac{13}{15}, \frac{2}{15}\)
(c) \(\frac{7}{10}, \frac{21}{100}\)
(d) \(\frac{7}{10}, \frac{23}{100}\)
Answer:
(c) \(\frac{7}{10}, \frac{21}{100}\)

Question 30.
For the following probability distribution, the standard deviation of the random variable X is

(a) 0.5
(b) 0.6
(c) 0.61
(d) 0.7
Answer:
(d) 0.7

Question 31.
The variance of random variable X i.e. \(\sigma_{x}^{2}\) or var (X) is equal to
(a) E(X²) + [E(X²)₂]²
(b) E(X) – [E(X²)]
(c) E(X²) – [E(X)]²
(d) None of these
Answer:
(c) E(X²) – [E(X)]²

Question 32.
A coin is biased so that the head is 3 times likely to occur as a tail. If the coin is tossed twice, then find the probability distribution of the number of tails.

Answer:

Question 33.
A pair of the die is thrown 4 times. If getting a doubled is considered a success, then find the probability distribution of a number of successes.

Answer:

Question 34.
Find the probability of throwing atmost 2 sixes in 6 throws of a single die.
(a) \(\frac{35}{18}\left(\frac{5}{6}\right)^{3}\)
(b) \(\frac{35}{18}\left(\frac{5}{6}\right)^{4}\)
(c) \(\frac{18}{29}\left(\frac{2}{3}\right)^{4}\)
(d) \(\frac{18}{29}\left(\frac{2}{3}\right)^{3}\)
Answer:
(b) \(\frac{35}{18}\left(\frac{5}{6}\right)^{4}\)

Question 35.
A die is thrown again and again until three sixes are obtained. Find the probability of obtaining third six in the sixth throw of the die.
(a) \(\frac{625}{23329}\)
(b) \(\frac{621}{25329}\)
(c) \(\frac{625}{23328}\)
(d) \(\frac{620}{23328}\)
Answer:
(c) \(\frac{625}{23328}\)

Question 36.
Ten eggs are drawn successively with replacement from a lot containing 10% defective eggs. Then, the probability that there is atleast one defective egg is
(a) \(1-\frac{7^{10}}{10^{10}}\)
(b) \(1+\frac{7^{10}}{10^{10}}\)
(c) \(1+\frac{9^{10}}{10^{10}}\)
(d) \(1-\frac{9^{10}}{10^{10}}\)
Answer:
(d) \(1-\frac{9^{10}}{10^{10}}\)

Question 37.
The probability of a man hitting a target is \(\frac{1}{4}\). How many times must he fire so that the probability of his hitting the target at least once is greater than \(\frac{2}{3}\)?
(a) 4
(b) 3
(c) 2
(d) 1
Answer:
(a) 4

Question 38.
Eight coins are thrown simultaneously. Find the probability of getting atleast 6 heads.
(a) \(\frac{31}{128}\)
(b) \(\frac{37}{256}\)
(c) \(\frac{37}{128}\)
(d) \(\frac{31}{256}\)
Answer:
(b) \(\frac{37}{256}\)

Question 39.
A bag contains 6 red, 4 blue and 2 yellow balls. Three balls are drawn one by one with replacement. Find the probability of getting exactly one red ball.
(a) \(\frac{1}{4}\)
(b) \(\frac{3}{8}\)
(c) \(\frac{3}{4}\)
(d) \(\frac{1}{2}\)
Answer:
(b) \(\frac{3}{8}\)

Question 40.
Eight coins are thrown simultaneously. What is the probability of getting atleast 3 heads?
(a) \(\frac{37}{246}\)
(b) \(\frac{21}{256}\)
(c) \(\frac{219}{256}\)
(d) \(\frac{19}{246}\)
Answer:
(c) \(\frac{219}{256}\)

Question 41.
If the chance that a ship arrives safely at a port is \(\frac{9}{10}\); find the chance that out of 5 expected ships, atleast 4 will arrive safely at the port.
(a) \(\frac{91854}{100000}\)
(b) \(\frac{32805}{100000}\)
(c) \(\frac{59049}{100000}\)
(d) \(\frac{26244}{100000}\)
Answer:
(a) \(\frac{91854}{100000}\)

Question 42.
If the mean and the variance of a binomial distribution are 4 and, then find P(X ≥ 1).
(a) \(\frac{720}{729}\)
(b) \(\frac{721}{729}\)
(c) \(\frac{728}{729}\)
(d) \(\frac{724}{729}\)
Answer:
(c) \(\frac{728}{729}\)

Question 43.
A pair of dice is thrown 200 times. If getting a sum of 9 is considered a success, then find the mean and the variance respectively of the number of successes.
(a) \(\frac{400}{9}, \frac{1600}{81}\)
(b) \(\frac{1600}{81}, \frac{400}{9}\)
(c) \(\frac{1600}{81}, \frac{200}{9}\)
(d) \(\frac{200}{9}, \frac{1600}{81}\)
Answer:
(b) \(\frac{1600}{81}, \frac{400}{9}\)

Question 44.
In a binomial distribution, the sum of its mean and variance is 1.8. Find the probability of two successes, if the event was conducted times.
(a) 0.2623
(b) 0.2048
(c) 0.302
(d) 0.305
Answer:
(b) 0.2048

Question 45.
If the sum and the product of the mean and variance of a binomial distribution are 24 and 128 respectively, then find the distribution.
(a) \(\left(\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\right)^{32}\)
(b) \(\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)^{30}\)
(c) \(\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)^{32}\)
(d) \(\left(\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\right)^{30}\)
Answer:
(c) \(\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)^{32}\)

Question 46.
If the sum of the mean and variance of a binomial distribution is 15 and the sum of their squares is 17, then find the distribution.
(a) \(\left(\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\right)^{25}\)
(b) \(\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)^{25}\)
(c) \(\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)^{27}\)
(d) \(\left(\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\right)^{27}\)
Answer:
(d) \(\left(\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\right)^{27}\)

Question 47.
The mean and the variance of a binomial distribution are 4 and 2 respectively. Find the probability of atleast 6 successes.
(a) \(\frac{37}{256}\)
(b) \(\frac{32}{255}\)
(c) \(\frac{34}{259}\)
(d) \(\frac{31}{256}\)
Answer:
(a) \(\frac{37}{256}\)

Question 48.
If P(A ∩ B) = \(\frac{7}{10}\) and P(b) = \(\frac{17}{20}\), P(A|B) equals
(a) \(\frac{14}{17}\)
(b) \(\frac{17}{20}\)
(c) \(\frac{7}{8}\)
(d) \(\frac{1}{8}\)
Answer:
(a) \(\frac{14}{17}\)

Question 49.
If P(A) = \(\frac{3}{10}\), P(b) = \(\frac{2}{5}\) and P(A ∪ B) = \(\frac{3}{5}\), then P(B|A) + P(A|B) equals
(a) \(\frac{1}{4}\)
(b) \(\frac{1}{3}\)
(c) \(\frac{5}{12}\)
(d) \(\frac{7}{12}\)
Answer:
(d) \(\frac{7}{12}\)

Question 50.
If P(A) = \(\frac{2}{5}\), P(B) = \(\frac{3}{10}\) and P(A ∩ B) = \(\frac{1}{5}\), then P(A’|B’) . (P(B’|A’) is equal to
(a) \(\frac{5}{6}\)
(b) \(\frac{5}{7}\)
(c) \(\frac{25}{42}\)
(d) 1
Answer:
(b) \(\frac{5}{7}\)

Question 51.
If A and B are two events sue that P(A) = \(\frac{1}{2}\), P(b) = \(\frac{1}{3}\), P(A|B) = \(\frac{1}{4}\) then (A’ ∩ B’) equals
(a) \(\frac{1}{12}\)
(b) \(\frac{3}{4}\)
(c) \(\frac{1}{4}\)
(d) \(\frac{3}{16}\)
Answer:
(c) \(\frac{1}{4}\)

Question 52.
If P(A) = 0.4, P(b) = 0.8 and P(B|A) = 0.6, then P(A ∪ B) equal to
(a) 0.24
(b) 0.3
(c) 0.48
(d) 0.96
Answer:
(c) 0.48

Question 53.
If A and B are two events and A ≠ Φ, B ≠ Φ, then
(a) P(A|B) = P(A) . P(b)
(b) P(A|B) = \(\frac{P(A \cap B)}{P(B)}\)
(c) P(A|B) . P(B|A) = 1
(d) P(A|B) = P(A)|P(b)
Answer:
(b) P(A|B) = \(\frac{P(A \cap B)}{P(B)}\)

Question 54.
A and B are events such that P(A) = 0.4, P(b) = 0.3 and P(A ∪ B) = 0.5. Then P(B’ ∩ A) equals
(a) \(\frac{2}{3}\)
(b) \(\frac{1}{2}\)
(c) \(\frac{3}{10}\)
(d) \(\frac{1}{5}\)
Answer:
(d) \(\frac{1}{5}\)

Question 55.
You are given that A and B are two events such that P(b) = \(\frac{3}{5}\), P(A|B) = \(=\frac{4}{5}\), then P(A) equals
(a) \(\frac{3}{10}\)
(b) \(\frac{1}{5}\)
(c) \(\frac{1}{2}\)
(d) \(\frac{3}{5}\)
Answer:
(c) \(\frac{1}{2}\)

Question 56.
If P(b) = \(\frac{3}{5}\), P(A|B) = \(\frac{1}{2}\) and P(A ∪ B) = \(\frac{4}{5}\), then P(A ∪ B’) + P(A’ ∪ B) = 1
(a) \(\frac{1}{5}\)
(b) \(\frac{4}{5}\)
(c) \(\frac{1}{2}\)
(d) 1
Answer:
(d) 1

Question 57.
If A and Bare two independent events with P(A) = \(\frac{3}{5}\) and P(b) = \(\frac{4}{9}\), then P(A’ ∩ B’) equals
(a) \(\frac{4}{15}\)
(b) \(\frac{8}{45}\)
(c) \(\frac{1}{3}\)
(d) \(\frac{2}{9}\)
Answer:
(d) \(\frac{2}{9}\)

Question 58.
If the events A and B are independet, then P(A ∩ B) is equal to
(a) P(A) + P(b)
(b) P(A) – P(b)
(c) P(A) . P(b)
(d) P(A) | P(b)
Answer:
(c) P(A) . P(b)

Question 59.
Two events E and F are independent. If P(E) = 0.3, P(E ∪ F) = 0.5, then P(E|F) – P(F|E) equals
(a) \(\frac{2}{7}\)
(b) \(\frac{3}{35}\)
(c) \(\frac{1}{70}\)
(d) \(\frac{1}{7}\)
Answer:
(c) \(\frac{1}{70}\)

Question 60.
A bag contains 5 red and 3 blue balls. If 3 balls are drawn at random without replecement the probability of getting exactly one red ball is
(a) \(\frac{45}{196}\)
(b) \(\frac{135}{392}\)
(c) \(\frac{15}{56}\)
(d) \(\frac{15}{29}\)
Answer:
(c) \(\frac{15}{56}\)

Question 61.
A die is thrown and card is selected a random from a deck of 52 playing cards. The probability of gettingan even number on the die and a spade card is
(a) \(\frac{1}{2}\)
(b) \(\frac{1}{4}\)
(c) \(\frac{1}{8}\)
(d) \(\frac{3}{4}\)
Answer:
(c) \(\frac{1}{8}\)

Question 62.
A box contains 3 orange balls, 3 green balls and 2 blue balls. Three balls are drawn at random from the box without replacement. The probability of drawing 2 green balls and one blue ball is
(a) \(\frac{3}{28}\)
(b) \(\frac{2}{21}\)
(c) \(\frac{1}{28}\)
(d) \(\frac{167}{168}\)
Answer:
(a) \(\frac{3}{28}\)

Question 63.
A flashlight has 8 batteries out of which 3 are dead. If two batteries are selected without replacement and tested, the probability that both are deal is
(a) \(\frac{33}{56}\)
(b) \(\frac{9}{64}\)
(c) \(\frac{1}{14}\)
(d) \(\frac{3}{28}\)
Answer:
(d) \(\frac{3}{28}\)

Question 64.
Two dice are thrown. If it is known that the sum of numbers on the dice was less than 6, the probability of getting a sum 3, is
(a) \(\frac{1}{18}\)
(b) \(\frac{5}{18}\)
(c) \(\frac{1}{5}\)
(d) \(\frac{2}{5}\)
Answer:
(c) \(\frac{1}{5}\)

Question 65.
Two cards are drawn from a well shuffled deck of 52 playing cards with replacement. The probability, that both cards are queens, is
(a) \(\frac{1}{13} \times \frac{1}{13}\)
(b) \(\frac{1}{13}+\frac{1}{13}\)
(c) \(\frac{1}{13} \times \frac{1}{17}\)
(d) \(\frac{1}{13} \times \frac{4}{51}\)
Answer:
(a) \(\frac{1}{13} \times \frac{1}{13}\)

Question 66.
The probability of guessing correctly at least 8 out of 10 answers on a true-false type examiniation is
(a) \(\frac{7}{64}\)
(b) \(\frac{7}{128}\)
(c) \(\frac{45}{1024}\)
(d) \(\frac{7}{41}\)
Answer:
(b) \(\frac{7}{128}\)

Question 67.
The probability distribution of a discrete random variable X is given below:

The value of k is
(a) 8
(b) 16
(c) 32
(d) 48
Answer:
(c) 32

Question 68.
For the following probability distribution:

E(X) is equal to
(a) 0
(b) -1
(c) -2
(d) -1.8
Answer:
(d) -1.8

Question 69.
For the following probability distribution

E(X²) is equal to
(a) 3
(b) 5
(c) 7
(d) 10
Answer:
(d) 10

Question 70.
Suppose a random variable X follows the binomial distribution with parameters n and p, where 0 < p < 1. If p(x = r) / P(x = n – r) is dindependent of n and r, then p equals
(a) \(\frac{1}{2}\)
(b) \(\frac{1}{3}\)
(c) \(\frac{1}{5}\)
(d) \(\frac{1}{7}\)
Answer:
(a) \(\frac{1}{2}\)

Question 71.
A box has 100 pens of which 10 are defective. What is the probability that out of a sample of 5 pens drawn one by one with replacement at most one is defective?
(a) \(\left(\frac{9}{10}\right)^{5}\)
(b) \(\frac{1}{2}\left(\frac{9}{10}\right)^{4}\)
(c) \(\frac{1}{2}\left(\frac{9}{10}\right)^{5}\)
(d) \(\left(\frac{9}{10}\right)^{5}+\frac{1}{2}\left(\frac{9}{10}\right)^{4}\)
Answer:
(d) \(\left(\frac{9}{10}\right)^{5}+\frac{1}{2}\left(\frac{9}{10}\right)^{4}\)

Bihar Board 12th Maths Objective Questions and Answers

Bihar Board 12th Maths Objective Answers Chapter 7 Integrals

Question 1.
Evaluate: ∫(2tan x – 3cot x)² dx
(a) -4tan x – 9cot x – 25x + C
(b) 4tan x – 9cot x – 25x + C
(c) -4tan x + 9 cot x + 25x + C
(d) 4tan x + 9cot x + 25x + C
Answer:
(b) 4tan x – 9cot x – 25x + C

Question 2.

Answer:
(a) \(\frac{a^{x}}{\log a}+\frac{x^{a+1}}{a+1}+a^{a} x+C\)

Question 3.

Answer:
(a) \(-\frac{1}{4} \tan (7-4 x)+C\)

Question 4.

Answer:
(a) \(\frac{1}{(\log 2)^{3}} 2^{2^{2^{x}}}+C\)

Question 5.

Answer:
(b) \(-\frac{\cos ^{4} x}{4}+C\)

Question 6.

Answer:
(a) \(\frac{-3}{\sqrt[3]{\sin x}}+C\)

Question 7.
Evaluate: ∫tan(x – θ) tan(x + θ) tan2x dx
(a) \(\frac { 1 }{ 2 }\) log|cos2x| – log|cos(x – θ)| + log|cos(x + θ)| + C
(b) –\(\frac { 1 }{ 2 }\) log|cos2x| + log|cos(x – θ)| + log|cos (x + θ)| + C
(c) –\(\frac { 1 }{ 2 }\) log|cos2x| – log|cos(x – θ)| – log|cos(x + θ)| + C
(d) None of these
Answer:
(b) –\(\frac { 1 }{ 2 }\) log|cos2x| + log|cos(x – θ)| + log|cos (x + θ)| + C

Question 8.

Answer:
(b) \(-\frac{2}{\sqrt{\tan x}}+\frac{2}{3}(\tan x)^{3 / 2}+C\)

Question 9.

Answer:
(b) \(-\frac{3}{5} \tan ^{-5 / 3} x+3 \tan ^{1 / 3} x+C\)

Question 10.

Answer:
(c) \(\frac{1}{4} \log \left|x^{4}-9\right|-\frac{1}{12}\left|\frac{x^{2}-3}{x^{2}+3}\right|+C\)

Question 11.

Answer:
(b) \(-\log \left|e^{-x}+\sqrt{e^{-2 x}-1}\right|+C\)

Question 12.

Answer:
(b) \(\frac{1}{n} \log \left|\frac{x^{n}}{x^{n}+1}\right|+C\)

Question 13.

Answer:
(c) \(\frac{1}{6} \tan ^{-1}\left(\frac{2 \tan x}{3}\right)+C\)

Question 14.

Answer:
(c) \(2 \sqrt{x}-3(\sqrt[3]{x})+6(\sqrt[6]{x})-6 \log (\sqrt[6]{x}+1)+C\)

Question 15.

Answer:
(b) \(\begin{array}{l}
-\frac{1}{3} \log |1+\tan \theta|+\frac{1}{6} \log \left|\tan ^{2} \theta-\tan \theta+1\right| \\ \quad+\frac{1}{\sqrt{3}} \tan ^{-1}\left(\frac{2 \tan \theta-1}{\sqrt{3}}\right)+C
\end{array}\)

Question 16.

Answer:
(a) \(\log |\sec x+\tan x|-2 \tan (x / 2)+C\)

Question 17.

Answer:
(c) \(\tan \frac{x}{2}\)

Question 18.

Answer:
(a) \(\frac{e^{x} \cos x}{1+\sin x}+C\)

Question 19.

Answer:
(b) \(e^{x}\left(\frac{x+2}{x+4}\right)+C\)

Question 20.

Answer:
(b) \(\begin{aligned} \frac{1}{2}(x+1) \sqrt{x^{2}+2 x+5} & \\ +2 \log |(x+1)+\sqrt{x^{2}+2 x+5}|+C & \end{aligned}\)

Question 21.
\(\int_{1}^{2} x^{2} d x\)
(a) 1
(b) \(\frac{7}{3}\)
(c) \(\frac{1}{3}\)
(d) 0
Answer:
(b) \(\frac{7}{3}\)

Question 22.
\(\int_{0}^{2}\left(x^{2}+3\right) d x\)
(a) \(\frac{25}{3}\)
(b) \(\frac{26}{3}\)
(c) \(\frac{24}{3}\)
(d) None of these
Answer:
(b) \(\frac{26}{3}\)

Question 23.
Evaluate: \(\int_{0}^{\pi / 4} \sqrt{1-\sin 2 x} d x\)
(a) √2 – 1
(b) √2 + 1
(c) √2
(d) None of these
Answer:
(a) √2 – 1

Question 24.
Evaluate: \(\int_{0}^{2 \pi} \sin \left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right) d x\)
(a) -2√2
(b) -2
(c) √2
(d) 2√2
Answer:
(d) 2√2

Question 25.
Evaluate: \(\int_{1}^{2} \frac{d x}{x^{2}}\)
(a) \(\frac{1}{2}\)
(b) 1
(c) 2
(d) -1
Answer:
(a) \(\frac{1}{2}\)

Question 26.
Evaluate: \(\int_{0}^{1} \sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^{2}}\right) d x\)
(a) \(\frac{\pi}{2}\) – log2
(b) π
(c) \(\frac{\pi}{4}\)
(d) \(\frac{\pi}{2}\) – log2
Answer:
(a) \(\frac{\pi}{2}\) – log2

Question 27.

Answer:
(a) \(\log \left(\frac{4}{3}\right)\)

Question 28.

Answer:
(c) \(\frac{4-\pi}{4 \sqrt{2}}\)

Question 29.

Answer:
(c) \(\frac{2}{\sqrt{5}} \tan ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\)

Question 30.

Answer:
(c) \(\frac{1}{\sqrt{5}} \log \left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)\)

Question 31.

Answer:
(a) \(\frac{\pi}{2}\)

Question 32.

Answer:
(a) \(\frac{8}{21}\)

Question 33.

Answer:
(a) 2 – √2

Question 34.

Answer:
(b) \(\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi+2}-A\)

Question 35.

Answer:
(d) \(\frac{\pi}{2}\)

Question 36.

Answer:
(c) π²

Question 37.

Answer:
(c) \(\operatorname{cosec}(b-a) \log \left|\frac{\sin (x-b)}{\sin (x-a)}\right|+C\)

Question 38.

Answer:
(a) \(\frac{e^{x}}{1+x^{2}}+C\)

Question 39.

Answer:
(d) \(x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\log |1+x|+C\)

Question 40.

Answer:
(d) a = \(\frac{1}{3}\), b = -1

Question 41.

Answer:
(a) 1

Bihar Board 12th Maths Objective Questions and Answers

Bihar Board 12th Maths Objective Answers Chapter 6 Application of Derivatives

Question 1.
The radius of a cylinder is increasing at the rate of 3 m/s and its height is decreasing at the rate of 4 m/s. The rate of change of volume when the radius is 4 m and height is 6 m, is
(a) 80π cu m/s
(b) 144π cu m/s
(c) 80 cu m/s
(d) 64 cu m/s
Answer:
(a) 80π cu m/s

Question 2.
The sides of an equilateral triangle are increasing at the rate of 2 cm/s. The rate at which the area increases, when the side is 10 cm, is
(a) √3 cm²/s
(b) 10 cm²/s
(c) 10√3 cm²/s
(d) \(\frac{10}{\sqrt{3}}\) cm²/s
Answer:
(c) 10√3 cm²/s

Question 3.
A particle is moving along the curve x = at² + bt + c. If ac = b², then particle would be moving with uniform
(a) rotation
(b) velocity
(c) acceleration
(d) retardation
Answer:
(c) acceleration

Question 4.
The distance ‘s’ metres covered by a body in t seconds, is given by s = 3t² – 8t + 5. The body will stop after
(a) 1 s
(b) \(\frac{3}{4}\) s
(c) \(\frac{4}{3}\) s
(d) 4 s
Answer:
(c) \(\frac{4}{3}\) s

Question 5.
The position of a point in time ‘t’ is given by x = a + bt – ct², y = at + bt². Its acceleration at time ‘t’ is
(a) b – c
(b) b + c
(c) 2b – 2c
(d) \(2 \sqrt{b^{2}+c^{2}}\)
Answer:
(d) \(2 \sqrt{b^{2}+c^{2}}\)

Question 6.
The function f(x) = log (1 + x) – \(\frac{2 x}{2+x}\) is increasing on
(a) (-1, ∞)
(b) (-∞, 0)
(c) (-∞, ∞)
(d) None of these
Answer:
(a) (-1, ∞)

Question 7.
\(f(x)=\left(\frac{e^{2 x}-1}{e^{2 x}+1}\right)\) is
(a) an increasing function
(b) a decreasing function
(c) an even function
(d) None of these
Answer:
(a) an increasing function

Question 8.
The function f(x) = cot^-1 x + x increases in the interval
(a) (1, ∞)
(b) (-1, ∞)
(c) (0, ∞)
(d) (-∞, ∞)
Answer:
(d) (-∞, ∞)

Question 9.
The function f(x) = \(\frac{x}{\log x}\) increases on the interval
(a) (0, ∞)
(b) (0, e)
(c) (e, ∞)
(d) none of these
Answer:
(c) (e, ∞)

Question 10.
The length of the longest interval, in which the function 3 sin x – 4sin³x is increasing, is
(a) \(\frac{\pi}{3}\)
(b) \(\frac{\pi}{2}\)
(c) \(\frac{3 \pi}{2}\)
(d) π
Answer:
(a) \(\frac{\pi}{3}\)

Question 11.
2x³ – 6x + 5 is an increasing function, if
(a) 0 < x < 1
(b) -1 < x < 1
(c) x < -1 or x > 1
(d) -1 < x < \(-\frac{1}{2}\)
Answer:
(c) x < -1 or x > 1

Question 12.
If f(x) = sin x – cos x, then interval in which function is decreasing in 0 ≤ x ≤ 2π, is
(a) \(\left[\frac{5 \pi}{6}, \frac{3 \pi}{4}\right]\)
(b) \(\left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right]\)
(c) \(\left[\frac{3 \pi}{2}, \frac{5 \pi}{2}\right]\)
(d) None of these
Answer:
(d) None of these

Question 13.
The function which is neither decreasing nor increasing in \(\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right)\) is
(a) cosec x
(b) tan x
(c) x²
(d) |x – 1|
Answer:
(a) cosec x

Question 14.
The function f(x) = tan^-1 (sin x + cos x) is an increasing function in
(a) \(\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)\)
(b) \(\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\)
(c) \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\)
(d) None of these
Answer:
(d) None of these

Question 15.
The function f(x) = x³ + 6x² + (9 + 2k)x + 1 is strictly increasing for all x, if
(a) \(k>\frac{3}{2}\)
(b) \(k<\frac{3}{2}\)
(c) \(k \geq \frac{3}{2}\)
(d) \(k \leq \frac{3}{2}\)
Answer:
(a) \(k>\frac{3}{2}\)

Question 16.
The point on the curves y = (x – 3)² where the tangent is parallel to the chord joining (3, 0) and (4, 1) is
(a) \(\left(-\frac{7}{2}, \frac{1}{4}\right)\)
(b) \(\left(\frac{5}{2}, \frac{1}{4}\right)\)
(c) \(\left(-\frac{5}{2}, \frac{1}{4}\right)\)
(d) \(\left(\frac{7}{2}, \frac{1}{4}\right)\)
Answer:
(d) \(\left(\frac{7}{2}, \frac{1}{4}\right)\)

Question 17.
The slope of the tangent to the curve x = a sin t, y = a{cot t + log(tan \(\frac{t}{2}\))} at the point ‘t’ is
(a) tan t
(b) cot t
(c) tan \(\frac{t}{2}\)
(d) None of these
Answer:
(a) tan t

Question 18.
The equation of the normal to the curves y = sin x at (0, 0) is
(a) x = 0
(b) x + y = 0
(c) y = 0
(d) x – y = 0
Answer:
(b) x + y = 0

Question 19.
The tangent to the parabola x² = 2y at the point (1, \(\frac{1}{2}\)) makes with the x-axis an angle of
(a) 0°
(b) 45°
(c) 30°
(d) 60°
Answer:
(b) 45°

Question 20.
The two curves x³ – 3xy² + 5 = 0 and 3x²y – y³ – 7 = 0
(a) cut at right angles
(b) touch each other
(c) cut at an angle \(\frac { \pi }{ 4 }\)
(d) cut at an angle \(\frac { \pi }{ 3 }\)
Answer:
(a) cut at right angles

Question 21.
The distance between the point (1, 1) and the tangent to the curve y = e^2x + x² drawn at the point x = 0
(a) \(\frac{1}{\sqrt{5}}\)
(b) \(\frac{-1}{\sqrt{5}}\)
(c) \(\frac{2}{\sqrt{5}}\)
(d) \(\frac{-2}{\sqrt{5}}\)
Answer:
(c) \(\frac{2}{\sqrt{5}}\)

Question 22.
The tangent to the curve y = 2x² -x + 1 is parallel to the line y = 3x + 9 at the point
(a) (2, 3)
(b) (2, -1)
(c) (2, 1)
(d) (1, 2)
Answer:
(d) (1, 2)

Question 23.
The tangent to the curve y = x² + 3x will pass through the point (0, -9) if it is drawn at the point
(a) (0, 1)
(b) (-3, 0)
(c) (-4, 4)
(d) (1, 4)
Answer:
(b) (-3, 0)

Question 24.
Find a point on the curve y = (x – 2)². at which the tangent is parallel to the chord joining the points (2, 0) and (4, 4).
(a) (3, 1)
(b) (4, 1)
(c) (6,1)
(d) (5, 1)
Answer:
(a) (3, 1)

Question 25.
Tangents to the curve x² + y² = 2 at the points (1, 1) and (-1, 1) are
(a) parallel
(b) perpendicular
(c) intersecting but not at right angles
(d) none of these
Answer:
(b) perpendicular

Question 26.
If there is an error of 2% in measuring the length of a simple pendulum, then percentage error in its period is
(a) 1%
(b) 2%
(c) 3%
(d) 4%
Answer:
(a) 1%

Question 27.
If there is an error of a% in measuring the edge of a cube, then percentage error in its surface area is
(a) 2a%
(b) \(\frac{a}{2}\) %
(c) 3a%
(d) None of these
Answer:
(b) \(\frac{a}{2}\) %

Question 28.
If the radius of a sphere is measured as 9 cm with an error of 0.03 cm, then find the approximating error in calculating its volume.
(a) 2.46π cm³
(b) 8.62π cm³
(c) 9.72π cm³
(d) 7.46π cm³
Answer:
(c) 9.72π cm³

Question 29.
Find the approximate value of f(3.02), where f(x) = 3x² + 5x + 3
(a) 45.46
(b) 45.76
(c) 44.76
(d) 44.46
Answer:
(a) 45.46

Question 30.
f(x) = 3x² + 6x + 8, x ∈ R
(a) 2
(b) 5
(c) -8
(d) does not exist
Answer:
(d) does not exist

Question 31.
Find all the points of local maxima and local minima of the function f(x) = (x – 1)³ (x + 1)²
(a) 1, -1, -1/5
(b) 1, -1
(c) 1, -1/5
(d) -1, -1/5
Answer:
(a) 1, -1, -1/5

Question 32.
Find the local minimum value of the function f(x) = sin⁴x + cos⁴x, 0 < x < \(\frac{\pi}{2}\)
(a) \(\frac { 1 }{ \surd 2 }\)
(b) \(\frac { 1 }{ 2 }\)
(c) \(\frac { \surd 3 }{ 2 }\)
(d) 0
Answer:
(b) \(\frac { 1 }{ 2 }\)

Question 33.
Find the points of local maxima and local minima respectively for the function f(x) = sin 2x – x , where
\(-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}\)
(a) \(\frac { -\pi }{ 6 }\), \(\frac { \pi }{ 6 }\)
(b) \(\frac { \pi }{ 3 }\), \(\frac { -\pi }{ 3 }\)
(c) \(\frac { -\pi }{ 3 }\), \(\frac { \pi }{ 3 }\)
(d) \(\frac { \pi }{ 6 }\), \(\frac { -\pi }{ 6 }\)
Answer:
(d) \(\frac { \pi }{ 6 }\), \(\frac { -\pi }{ 6 }\)

Question 34.
If \(y=\frac{a x-b}{(x-1)(x-4)}\) has a turning point P(2, -1), then find the value of a and b respectively.
(a) 1, 2
(b) 2, 1
(c) 0, 1
(d) 1, 0
Answer:
(d) 1, 0

Question 35.
sin^p θ cos^q θ attains a maximum, when θ =
(a) \(\tan ^{-1} \sqrt{\frac{p}{q}}\)
(b) \(\tan ^{-1}\left(\frac{p}{q}\right)\)
(c) \(\tan ^{-1} q\)
(d) \(\tan ^{-1}\left(\frac{q}{p}\right)\)
Answer:
(a) \(\tan ^{-1} \sqrt{\frac{p}{q}}\)

Question 36.
Find the maximum profit that a company can make, if the profit function is given by P(x) = 41 + 24x – 18x².
(a) 25
(b) 43
(c) 62
(d) 49
Answer:
(d) 49

Question 37.
If y = x³ + x² + x + 1, then y
(a) has a local minimum
(b) has a local maximum
(c) neither has a local minimum nor local maximum
(d) None of these
Answer:
(c) neither has a local minimum nor local maximum

Question 38.
Find both the maximum and minimum values respectively of 3x⁴ – 8x³ + 12x² – 48x + 1 on the interval [1, 4].
(a) -63, 257
(b) 257, -40
(c) 257, -63
(d) 63, -257
Answer:
(c) 257, -63

Question 39.
It is given that at x = 1, the function x⁴ – 62x² + ax + 9 attains its maximum value on the interval [0, 2]. Find the value of a.
(a) 100
(b) 120
(c) 140
(d) 160
Answer:
(b) 120

Question 40.
The function f(x) = x⁵ – 5x⁴ + 5x³ – 1 has
(a) one minima and two maxima
(b) two minima and one maxima
(c) two minima and two maxima
(d) one minima and one maxima
Answer:
(d) one minima and one maxima

Question 41.
The coordinates of the point on the parabola y² = 8x which is at minimum distance from the circle x² + (y + 6)² = 1 are
(a) (2, -4)
(b) (18, -12)
(c) (2, 4)
(d) none of these
Answer:
(a) (2, -4)

Question 42.
The distance of that point on y = x⁴ + 3x² + 2x which is nearest to the line y = 2x – 1 is
(a) \(\frac{3}{\sqrt{5}}\)
(b) \(\frac{4}{\sqrt{5}}\)
(c) \(\frac{2}{\sqrt{5}}\)
(d) \(\frac{1}{\sqrt{5}}\)
Answer:
(d) \(\frac{1}{\sqrt{5}}\)

Question 43.
The function f(x) = x + \(\frac{4}{x}\) has
(a) a local maxima at x = 2 and local minima at x = -2
(b) local minima at x = 2, and local maxima at x = -2
(c) absolute maxima at x = 2 and absolute minima at x = -2
(d) absolute minima at x = 2 and absolute maxima at x = -2
Answer:
(b) local minima at x = 2, and local maxima at x = -2

Question 44.
The combined resistance R of two resistors R₁ and R₂ (R₁, R₂ > 0) is given by \(\frac{1}{R}=\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}\). If R₁ + R₂ = C (a constant), then maximum resistance R is obtained if
(a) R₁ > R₂
(b) R₁ < R₂
(c) R₁ = R₂
(d) None of these
Answer:
(c) R₁ = R₂

Question 45.
Find the height of a cylinder, which is open at the top, having a given surface area, greatest volume and of radius r.
(a) r
(b) 2r
(c) \(\frac { r }{ 2 }\)
(d) \(\frac { 3\pi r }{ 2 }\)
Answer:
(a) r

Question 46.
Find the height of the cylinder of maximum volume that can be is cribed in a sphere of radius a.
(a) \(\frac { 2a }{ 3 }\)
(b) \(\frac{2 a}{\sqrt{3}}\)
(c) \(\frac { a }{ 3 }\)
(d) \(\frac { a }{ 3 }\)
Answer:
(b) \(\frac{2 a}{\sqrt{3}}\)

Question 47.
Find the volume of the largest cylinder that can be inscribed in a sphere of radius r cm.
(a) \(\frac{\pi r^{3}}{3 \sqrt{3}}\)
(b) \(\frac{4 \pi r^{2} h}{3 \sqrt{3}}\)
(c) 4πr³
(d) \(\frac{4 \pi r^{3}}{3 \sqrt{3}}\)
Answer:
(d) \(\frac{4 \pi r^{3}}{3 \sqrt{3}}\)

Question 48.
The area of a right-angled triangle of the given hypotenuse is maximum when the triangle is
(a) scalene
(b) equilateral
(c) isosceles
(d) None of these
Answer:
(c) isosceles

Question 49.
Find the area of the largest isosceles triangle having perimeter 18 metres.
(a) 9√3
(b) 8√3
(c) 4√3
(d) 7√3
Answer:
(a) 9√3