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Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.1 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.1

Bihar Board Class 10 Maths समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित स्थितियों में से किन स्थितियों में सम्बद्ध संख्याओं की सूची A.P. है और क्यों?
(i) प्रत्येक किलोमीटर के बाद का टैक्सी का किराया, जबकि प्रथम किलोमीटर के लिए किराया ₹ 15 है और प्रत्येक अतिरिक्त किलोमीटर के लिए किराया ₹ 8 है।
(ii) किसी बेलन (cylinder) में उपस्थित हवा की मात्रा, जबकि वायु निकालने वाला पम्प प्रत्येक बार बेलन की शेष हवा का \(\frac{1}{4}\) भाग बाहर निकाल देता है।
(iii) प्रत्येक मीटर की खुदाई के बाद, एक कुआँ खोदने में आई लागत, जबकि प्रथम मीटर खुदाई की लागत ₹ 150 है और बाद में प्रत्येक मीटर खुदाई की लागत ₹ 50 बढ़ती जाती है।
(iv) खाते में प्रत्येक वर्ष का मिश्रधन, जबकि ₹ 10000 की राशि 8% वार्षिक की दर से चक्रवृद्धि ब्याज पर जमा की जाती है।
हल
(i) टैक्सी के प्रथम किमी का किराया = ₹ 15
अगले प्रत्येक किमी का किराया = ₹ 8
2 किमी का किराया = ₹ (15 + 8) = ₹ 23
3 किमी का किराया = ₹ (23 + 8) = ₹ 31
4 किमी का किराया = ₹ (31 + 8) = ₹ 39
a₁ = ₹ 15, a₂ = ₹ 23, a₃ = ₹ 31, a₄ = ₹ 39
दो क्रमागत पदों का अन्तर,
a₂ – a₁ = ₹ (23 – 15) = ₹ 8
a₃ – a₂ = ₹ (31 – 23) = ₹ 8
a₄ – a₃ = ₹ (39 – 31) = ₹ 8
दो क्रमागत पदों का अन्तर नियत है,
अत: किमी में टैक्सी का किराया A.P. में है।

(ii) माना बेलन में हवा का प्रारम्भिक आयतन = V
पहली बार पम्प \(\frac{V}{4}\) भाग हवा निकाल देगा।


दो क्रमागत पदों का अन्तर नियत नहीं है,
अत: हवा के आयतन A.P. में नहीं हैं।

(iii) कुएं के प्रथम मीटर की खुदाई की लागत = ₹ 150
बाद में प्रत्येक मीटर की खुदाई ₹ 50 बढ़ जाती है।
पहले 2 मीटर की खुदाई = ₹ (150 + 50) = ₹ 200
पहले 3 मीटर की खुदाई = ₹ (150 + 50 + 50) = ₹ 250
पहले 4 मीटर की खुदाई = ₹ (150 + 50 + 50 + 50) = ₹ 300
a₁ = ₹ 150, a₂ = ₹ 200, a₃ = ₹ 250, a₄ = ₹ 300
दो क्रमागत पदों का अन्तर,
a₂ – a₁ = ₹ (200 – 150) = ₹ 50
a₃ – a₂ = ₹ (250 – 200) = ₹ 50
a₄ – a₃ = ₹ (300 – 250) = ₹ 50
चूँकि दो क्रमागत पदों का अन्तर नियत (₹ 50) है।
अत: कुआँ खोदने में आई लागत ₹ 150, ₹ 200, ₹ 250, ₹ 300, …… A.P. में हैं।

(iv) खाते में जमा किए गए धन के लिए भिन्न वर्षों के मिश्रधन :
मूलधन, P = ₹ 10000, ब्याज की दर, R = 8%
 
निरीक्षण से ही स्पष्ट है कि A₂ – A₁ ≠ A₃ – A₂
अत: मिश्रधन A.P. में नहीं हैं।

प्रश्न 2.
दी हुई A.P. के प्रथम चार पद लिखिए, जबकि प्रथम पद a और सार्वान्तर d निम्नलिखित हैं-
(i) a = 10, d = 10
(ii) a = -2, d = 0
(iii) a = 4, d = -3
(iv) a = -1, d = \(\frac{1}{2}\)
(v) a = -1.25, d = -0.25
हल
(i) प्रथम पद (a) = 10 तथा सार्वान्तर (d) = 10
दूसरा पद = a + d = 10 + 10 = 20
तीसरा पद = a + 2d = 10 + (2 × 10) = 30
चौथा पद = a + 3d = 10 + (3 × 10) = 40
अत: दी गई A.P. के प्रथम चार पद : 10, 20, 30, 40

(ii) प्रथम पद (a) = -2 तथा सार्वान्तर (d) = 0
दूसरा पद = a + d = -2 + 0 = -2
तीसरा पद = a + 2d = -2 + (2 × 0) = -2
चौथा पद = a + 3d = -2 + (3 × 0) = -2
अतः दी गई A.P. के प्रथम चार पद : -2, -2, -2, -2

(iii) प्रथम पद (a) = 4 तथा सार्वान्तर (d) = -3
दूसरा पद = a + d = 4 + (-3) = 1
तीसरा पद = a + 2d = 4 + 2 × (-3) = 4 + (-6) = -2
चौथा पद = a + 3d = 4 + 3 × (-3) = 4 + (-9) = -5
अत: दी गई A.P. के प्रथम चार पद : 4, 1, -2, -5

(iv) प्रथम पद (a) = -1 तथा सार्वान्तर (d) = \(\frac{1}{2}\)
दूसरा पद = a + d = -1 + \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{-1}{2}\)
तीसरा पद = a + 2d = -1 + (2 × \(\frac{1}{2}\)) = -1 + 1 = 0
चौथा पद = a + 3d = -1 + (3 × \(\frac{1}{2}\)) = -1 + \(\frac{3}{2}\) = \(\frac{1}{2}\)
अत: दी गई A.P. के प्रथम चार पद : -1, \(\frac{-1}{2}\), 0, \(\frac{1}{2}\)

(v) प्रथम पद (a) = -1.25 तथा सार्वान्तर (d) = -0.25
दूसरा पद = a + d = -1.25 + (-0.25) = -1.50
तीसरा पद = a + 2d = -1.25 + 2 × (-0.25) = -1.25 – 0.50 = -1.75
चौथा पद = a + 3d = -1.25 + 3 × (-0.25) = -1.25 – 0.75 = -2.00
अतः दी गई A.P. के प्रथम चार पद : -1.25, -1.50, -1.75, -2.00

प्रश्न 3.
निम्नलिखित में से प्रत्येक A.P. के लिए प्रथम पद तथा सार्वान्तर लिखिए :
(i) 3, 1, -1, -3,…….
(ii) -5, -1, 3, 7,……….
(iii) \(\frac{1}{3}, \frac{5}{3}, \frac{9}{3}, \frac{13}{3}, \ldots \ldots\)
(iv) 0.6, 1.7, 2.8, 3.9,……
हल
(i) दी गई A.P. = 3, 1, -1, -3,…….
a₁ = 3, a₂ = 1, a₃ = -1, a₄ = -3
प्रथम पद (a) = a₁ = 3
सार्वान्तर (d) = a₂ – a₁ = 1 – 3 = -2
अत: प्रथम पद = 3 तथा सार्वान्तर = -2

(ii) दी गई A.P. = -5, -1, 3, 7,…….
a₁ = -5, a₂ = -1, a₃ = 3, a₄ = 7
प्रथम पद (a) = a₁ = -5
सार्वान्तर (d) = a₂ – a₁ = -1 – (-5) = -1 + 5 = 4
अत: प्रथम पद = -5 तथा सार्वान्तर = 4

(iv) दी गई A.P. = 0.6, 1.7, 2.8, 3.9,……
a₁ = 0.6, a₂ = 1.7, a₃ = 2.8, a₄ = 3.9
प्रथम पद (a) = a₁ = 0.6
सार्वान्तर (d) = a₂ – a₁ = 1.7 – 0.6 = 1.1
अतः प्रथम पद = 0.6 तथा सार्वान्तर = 1.1

प्रश्न 4.
निम्नलिखित में से कौन-कौन A.P. हैं? यदि कोई A.P. है, तो इसका सार्वान्तर ज्ञात कीजिए और इनके तीन और पद लिखिए।
(i) 2, 4, 8, 16, …….
(ii) 2, \(\frac{5}{2}\), 3, \(\frac{7}{2}\),……
(iii) -1.2, -3.2, -5.2, -7.2,…..
(iv) -10, -6, -2, 2,…….
(v) 3, 3 + √2, 3 + 2√2, 3 + 3√2,….
(vi) 0.2, 0.22, 0.222, 0.2222,….
(vii) 0, -4, -8, -12,……
(viii) \(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}, \ldots \ldots\)
(ix) 1, 3, 9, 27,……
(x) a, 2a, 3a, 4a,……
(xi) a, a², a³, a⁴,……
(xii) √2, √8, √18, √32,……
(xiii) √3, √6, √9, √12,…..
(xiv) 1², 3², 5², 7²,…..
(xv) 1², 5², 7², 73,……
हल
यहाँ प्रत्येक अनुक्रम के प्रथम 4 पद ज्ञात हैं। यदि कोई अनुक्रम A.P. में है, तो उसके अगले तीन पद और ज्ञात करने हैं अर्थात् 5 वाँ, छठा और 7 वाँ पद और ज्ञात करना है।
(i) दिया हुआ अनुक्रम : 2, 4, 8, 16, ……..
a₁ = 2, a₂ = 4, a₃ = 8, a₄ = 16
दो क्रमागत पदों के अन्तर,
a₂ – a₁ = 4 – 2 = 2
a₃ – a₂ = 8 – 4 = 4
दो क्रमागत पदों का अन्तर नियत नहीं है।
अतः दिया गया अनुक्रम A.P. में नहीं है।

(ii) दिया हुआ अनुक्रम,
2, \(\frac{5}{2}\), 3, \(\frac{7}{2}\),……
a₁ = 2, a₂ = \(\frac{5}{2}\), a₃ = 3, a₄ = \(\frac{7}{2}\)
दो क्रमागत पदों का अन्तर,

दो क्रमागत पदों का अन्तर नियत (\(\frac{1}{2}\)) है।
सार्वान्तर (d) = \(\frac{1}{2}\)
अतः दिया गया अनुक्रम एक A.P. में है।
तब, पाँचवाँ पद (a₅) = चौथा पद (a₄) + सार्वान्तर (d)
\(=\frac{7}{2}+\frac{1}{2}=\frac{7+1}{2}=\frac{8}{2}=4\)
छठा पद (a₆) = पाँचवाँ पद (a₅) + सार्वान्तर (d)
\(=4+\frac{1}{2}=\frac{8+1}{2}=\frac{9}{2}\)
सातवाँ पद (a₇) = छठा पद (a₆) + सार्वान्तर (d)
\(=\frac{9}{2}+\frac{1}{2}=\frac{9+1}{2}=\frac{10}{2}=5\)
अत: दिए गए अनुक्रम के अगले तीन पद : 4, \(\frac{9}{2}\) , 5 होंगे।

(iii) दिया हुआ अनुक्रम : -1.2, -3.2, -5.2, -7.2, ……
a₁ = -1.2, a₂ = -3.2, a₃ = -5.2, a₄ = -7.2
दो क्रमागत पदों का अन्तर,
a₂ – a₁ = -3.2 – (-1.2) = -3.2 + 1.2 = -2.0
a₃ – a₂ = -5.2 – (-3.2) = -5.2 + 3.2 = -2.0
a₄ – a₃ = -7.2 – (-5.2) = -7.2 + 5.2 = -2.0
दो क्रमागत पदों का अन्तर नियत (-2.0) है।
सार्वान्तर d = -2.0 और दिया गया अनुक्रम एक A.P. है।
तब, पाँचवाँ पद (a₅) = चौथा पद (a₄) + सार्वान्तर (d) = -7.2 + (-2) = -9.2
छठा पद (a₆) = पाँचवाँ पद (a₅) + सार्वान्तर (d) = -9.2 + (-2) = -11.2
सातवाँ पद (a₇) = छठा पद (a₆) + सार्वान्तर (d) = -11.2 + (-2)= -13.2
अत: दिए गए अ6नुक्रम के अगले तीन पद : -9.2, -11.2, -13.2 होंगे।

(iv) दिया हुआ अनुक्रम : -10, -6, -2, 2,…..
a₁ = -10, a₂ = -6, a₃ = -2, a₄ = 2
दो क्रमागत पदों का अन्तर,
a₂ – a₁ = -6 – (-10) = -6 + 10 = 4
a₃ – a₂ = -2 – (-6) = -2 + 6 = 4
a₄ – a₃ = 2 – (-2) = 2 + 2 = 4
दो क्रमागत पदों का अन्तर नियत (4) है।
सार्वान्तर (d) = 4 और दिया गया अनुक्रम एक A.P. है।
तब, पाँचवाँ पद (a₅) = चौथा पद (a₄) + सार्वान्तर (d) = 2 + 4 = 6
छठा पद (a₆) = पाँचवाँ पद (a₅) + सार्वान्तर (d) = 6 + 4 = 10
सातवाँ पद (a₇) = छठा पद (a₆) + सार्वान्तर (d) = 10 + 4 = 14
अत: दिए गए अनुक्रम के अगले तीन पद : 6, 10, 14 होंगे।

(v) दिया हुआ अनुक्रम : 3, 3 + √2, 3 + 2√2, 3 + 3√2, ……
a₁ = 3, a₂ = 3 + √2, a₃ = 3 + 2√2, a₄ = 3 + 3√2
दो क्रमागत पदों का अन्तर,
a₂ – a₁ = (3 + √2) – 3 = √2
a₃ – a₂ = (3 + 2√2) – (3 + √2) = √2
a₄ – a₃ = (3 + 3√2) – (3 + 2√2) = √2
दो क्रमागत पदों का अन्तर नियत (√2) है।
सार्वान्तर (d) = √2 और दिया गया अनुक्रम एक A.P. में है।
तब, पाँचवाँ पद (a₅ ) = a₄ + d = 3 + 3√2 + √2 = 3 + √2(3 + 1) = 3 + 4√2
छठा पद (a₆) = a₅ + d = 3 + 4√2 + √2 = 3 + √2(4 + 1) = 3 + 5√2
सातवाँ पद (a₇) = a₆ + d = 3 + 5√2 + √2 = 3 + √2(5 + 1) = 3 + 6√2
अतः दिए गए अनुक्रम के अगले तीन पद हैं :
3 + 4√2, 3 + 5√2, 3 + 6√2

(vi) दिया हुआ अनुक्रम : 0.2, 0.22, 0.222, 0.2222, ….
a₁ = 0.2, a₂ = 0.22, a₃ = 0.222, a₄ = 0.2222
दो क्रमागत पदों का अन्तर,
a₂ – a₁ = 0.22 – 0.2 = 0.02
a₃ – a₂ = 0.222 – 0.22 = 0.002
a₄ – a₃ = 0.222 – 0.222 = 0.0002
दो क्रमागत पदों का अन्तर नियत नहीं है।
अत: दिया गया अनुक्रम A.P. में नहीं है।

(vii) दिया हुआ अनुक्रम : 0, -4, -8, -12, ……
a₁ = 0, a₂ = -4, a₃ = -8, a₄ = -12
दो क्रमागत पदों का अन्तर,
a₂ – a₁ = -4 – 0 = -4
a₃ – a₂ = -8 – (-4) = -8 + 4 = -4
a₄ – a₃ = -12 – (-8) = -12 + 8 = -4
दो क्रमागत पदों का अन्तर नियत (-4) है।
सार्वान्तर (d) = -4 और दिया गया अनुक्रम एक A.P. में है।
तब, पाँचवाँ पद (a₅) = चौथा पद (a₄) + सार्वान्तर (d) = -12 + (-4) = -16
छठा पद (a₆) = पाँचवाँ पद (a₅) + सार्वान्तर (d) = -16 + (-4) = -20
सातवाँ पद (a₇) = छठा पद (a₆) + सार्वान्तर (d) = -20 + (-4) = -24
अत: दिए गए अनुक्रम के अगले तीन पद : -16, -20, -24 होंगे।

(viii) दिया हुआ अनक्रम :
\(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}, \ldots \ldots\)
a₁ = \(-\frac{1}{2}\), a₂ = \(-\frac{1}{2}\), a₃ = \(-\frac{1}{2}\), a₄ = \(-\frac{1}{2}\)
दो क्रमागत पदों का अन्तर,

दो क्रमागत पदों का अन्तर नियत (शून्य) है।
सार्वान्तर (d) = 0 और दिया गया अनुक्रम एक A.P. में है।
सार्वान्तर (d) = 0 है; अत: इस A.P. का प्रत्येक पद \(-\frac{1}{2}\) ही होगा।
अत: दिए गए अनुक्रम के अगले तीन पद : \(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\) होंगे।

(ix) दिया हुआ अनुक्रम : 1, 3, 9, 27,……
a₁ = 1, a₂ = 3, a₃ = 9, a₄ = 27
दो क्रमागत पदों का अन्तर,
a₂ – a₁ = 3 – 1 = 2
a₃ – a₂ = 9 – 3 = 6
a₄ – a₃ = 27 – 9 = 18
दो क्रमागत पदों का अन्तर नियत नहीं है।
अत: दिया गया अनुक्रम एक A.P. में नहीं है।

(x) दिया हुआ अनुक्रम : a, 2a, 3a, 4a, ……
a₁ = a, a₂ = 2a, a₃ = 3a, a₄ = 4a
दो क्रमागत पदों का अन्तर,
a₂ – a₁ = 2a – a = a
a₃ – a₂ = 3a – 2a = a
a₄ – a₃ = 4a – 3a = a
दो क्रमागत पदों का अन्तर नियत (a) है।
अतः सार्वान्तर (d) = a और दिया गया अनुक्रम एक A.P. में है।
तब, पाँचवाँ पद (a₅) = चौथा पद (a₄) + सार्वान्तर (d) = 4a + a = 5a
छठा पद (a₆) = पाँचवाँ पद (a₅) + सार्वान्तर (d) = 5a + a = 6a
सातवाँ पद (a₇) = छठा पद (a₆) + सान्तिर (d) = 6a + a = 7a
अतः दिए गए अनुक्रम के अगले तीन पद : 5a, 6a, 7a होंगे।

(xi) दिया हुआ अनुक्रम : a, a², a³, a⁴,……
a₁ = a, a₂ = a², a₃ = a³, a₄ = a⁴
दो क्रमागत पदों का अन्तर,
a₂ – a₁ = a² – a = a(a – 1)
a₃ – a₂ = a³ – a² = a²(a – 1)
a₄ – a₃ = a⁴ – a³ = a³(a – 1)
दो क्रमागत पदों का अन्तर नियत नहीं है।
अतः दिया गया अनुक्रम एक A.P. में नहीं है।

(xii) दिया हुआ अनुक्रम : √2, √8, √18, √32,……
a₁ = √2, a₂ = √8, a₃ = √18, a₄ = √32
दो क्रमागत पदों का अन्तर,
a₂ – a₁ = √8 – √2 = √2(√4 – 1) = √2(2 – 1) = √2
a₃ – a₂ = √18 – √8 = √2(√9 – √4) = √2(3 – 2) = √2
a₄ – a₃ = √32 – √18 = √2(√16 – √9) = √2(4 – 3) = √2
दो क्रमागत पदों का अन्तर नियत (√2) है।
अत: सार्वान्तर (d) = √2 और दिया गया अनुक्रम एक A.P. में है।
तब, पाँचवाँ पद (a₅) = चौथा पद (a₄) + सार्वान्तर (d)
= √32 + √2
= √2(√16 + 1)
= √2(4 + 1)
= 5√2
= √25 × √2
= √50
छठाँ पद (a₆) = पाँचवाँ पद (a₅) + सार्वान्तर (d)
= √50 + √2
= √2 (√25 + 1)
= √2(5 + 1)
= 6√2
= √36 × √2
= √72
सातवाँ पद (a₇) = छठाँ पद (a₆) + सार्वान्तर (d)
= √72 + √2
= √2(√36 + 1)
= √2(6 + 1)
= 7√2
= √49 × √2
= √98
अत: दिए गए अनुक्रम के अगले तीन पद : √50, √72, √98 होंगे।

(xiii) दिया हुआ अनुक्रम : √3, √6, √9, √12,…..
a₁ = √3, a₂ = √6, a₃ = √9, a₄ = √12
दो क्रमागत पदों का अन्तर,
a₂ – a₁ = √6 – √3 = √3(√2 – 1)
a₃ – a₂ = √9 – √6 = √3(√3 – √2)
a₄ – a₃ = √12 – √9 = 2√3 – 3
दो क्रमागत पदों का अन्तर नियत नहीं है।
अत: दिया गया अनुक्रम एक A.P. में नहीं है।

(xiv) दिया हुआ अनुक्रम : 1², 3², 5², 7²,…..
a₁ = 1², a₂ = 3², a₃ = 5², a₄ = 7²
दो क्रमागत पदों का अन्तर,
a₂ – a₁ = 3² – 1² = 9 – 1 = 8
a₃ – a₂ = 5² – 3² = 25 – 9 = 16
a₄ – a₃ = 7² – 5² = 49 – 25 = 24
दो क्रमागत पदों का अन्तर नियत नहीं है।
अत: दिया गया अनुक्रम एक A.P. में नहीं है।

(xv) दिया हुआ अनुक्रम : 1², 5², 7², 73, ……
a₁ = 1², a₂ = 5², a₃ = 7², a₄ = 73,
दो क्रमागत पदों का अन्तर,
a₂ – a₁ = 5² – 1² = 25 – 1 = 24
a₃ – a₂ = 7² – 5² = 49 – 25 = 24
a₄ – a₃ = 73 – 7² = 73 – 49 = 24
दो क्रमागत पदों का अन्तर नियत (24) है।
सार्वान्तर (d) = 24 और दिया गया अनुक्रम एक A.P. में है।
तब, पाँचवाँ पद = चौथा पद + सार्वान्तर (d) = 73 + 24 = 97
छठाँ पद = पाँचवाँ पद + सार्वान्तर (d) = 97 + 24 = 121 = (11)²
सातवाँ पद = छठा पद + सार्वान्तर (d) = (11)² + 24 = 121 + 24 = 145
अत: दिए गए अनुक्रम के अगले तीन पद : 97, 11², 145 होंगे।

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.1 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.1

Bihar Board Class 10 Maths त्रिभुज Ex 6.1

प्रश्न 1.
कोष्ठकों में दिए शब्दों में से सही शब्दों का प्रयोग करते हुए, रिक्त स्थानों को भरिए-
(i) सभी वृत्त _________ होते हैं। (सर्वांगसम, समरूप)
(ii) सभी वर्ग ___________ होते हैं। (समरूप, सर्वांगसम)
(iii) सभी __________ त्रिभुज समरूप होते हैं। (समद्विबाहु, समबाहु)
(iv) भुजाओं की समान संख्या वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं, यदि
(a) उनके संगत कोण ______ हों तथा
(b) उनकी संगत भुजाएँ __________ हों। (बराबर, समानुपाती)
हल
(i) सभी वृत्त समरूप होते हैं।
(ii) सभी वर्ग समरूप होते हैं।
(iii) सभी समबाहु त्रिभुज समरूप होते हैं।
(iv) भुजाओं की समान संख्या वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं, यदि
(a) उनके संगत कोण बराबर हों तथा
(b) उनकी संगत भुजाएँ समानुपाती हों।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित युग्मों के दो भिन्न-भिन्न उदाहरण दीजिए-
(i) समरूप आकृतियाँ
(ii) ऐसी आकृतियाँ जो समरूप नहीं हैं।
हल
(i) समरूप आकृतियों के दो उदाहरण
(a) संकेन्द्रीय वृत्त
(b) विभिन्न भुजाओं वाले सभी वर्ग अथवा समबाहु त्रिभुज अथवा समबहुभुज।

(ii) ऐसी आकृतियों के उदाहरण जो समरूप नहीं हैं :
(a) एक वर्ग तथा एक आयत
(b) एक वर्ग तथा एक समचतुर्भुज।

प्रश्न 3.
बताइए कि निम्नलिखित चतुर्भुज समरूप हैं या नहीं

हल
चतुर्भुज PQRS तथा ABCD में,
PQ = QR = RS = SP = 1.5 cm
तथा AB = BC = CD = DA = 3.0 cm

अत: दो चतुर्भुजों की भुजाएँ समानुपात में हैं।
परन्तु देखने से ही प्रतीत होता है कि संगत कोण बराबर नहीं हैं।
अत: चतुर्भुज PQRS तथा चतुर्भुज ABCD समरूप नहीं हैं।

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Additional Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Additional Questions

Bihar Board Class 10 Maths समांतर श्रेढ़ियाँ Additional Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
किसी A.P. में, यदि d = -4, n = 7 और a_n = 4 है, तो a का मान है
(i) 6
(ii) 7
(iii) 20
(iv) 28
हल
(iv) 28

प्रश्न 2.
किसी A.P. में, यदि a = 3.5, d = 0 और n = 101 है, तो, a_n बराबर है
(i) 0
(ii) 3.5
(iii) 103.5
(iv) 104.5
हल
(ii) 3.5

प्रश्न 3.
संख्याओं -10, -6, -2, 2,….की सूची
(i) d = -16 वाली एक A.P. है
(ii) d = 4 वाली एक A.P. है
(iii) d = -4 वाली एक A.P. है
(iv) एक A.P. नहीं है
हल
(iii) d = 4 वाली एक A.P. है।

प्रश्न 4.
A.P.: -5, \(\frac{-5}{2}\), 0, \(\frac{5}{2}\),…… का 11वाँ पद है
(i) -20
(ii) 20
(iii) -30
(iv) 30
हल
(ii) 20

प्रश्न 5.
उस A.P., जिसका प्रथम पद -2 और सार्वान्तर -2 है के प्रथम चार पद हैं
(i) -2, 0, 2, 4
(ii) -2, 4, -8, 16
(iii) -2, -4, -6, -8
(iv) -2, -4, -8, -16
हल
(iii) -2, -4, -6, -8

प्रश्न 6.
उस A.P., जिसके प्रथम दो पद -3 और 4 हैं, का 21वाँ पद है
(i) 17
(ii) 137
(iii) 143
(iv) -143
हल
(ii) 137

प्रश्न 7.
यदि किसी A.P. का दूसरा पद 13 और 5वाँ पद 25 है, तो उसका 7वाँ पद क्या है?
(i) 30
(ii) 33
(iii) 37
(iv) 38
हल
(ii) 33

प्रश्न 8.
A.P.: 21, 42, 63, 84,… का कौन-सा पद 210 है?
(i) 9वाँ
(ii) 10वाँ
(iii) 11वाँ
(iv) 12वाँ
हल
(ii) 10वाँ

प्रश्न 9.
यदि किसी A.P. का सार्वान्तर 5 है, a₁₈ – a₁₃ क्या है?
(i) 5
(ii) 20
(iii) 25
(iv) 30
हल
(iii) 25

प्रश्न 10.
उस A.P. का सार्वान्तर क्या है, जिसमें a₁₈ – a₁₄ = 32 है?
(i) 8
(ii) -8
(iii) -4
(iv) 4
हल
(i) 8

प्रश्न 11.
दो समान्तर श्रेढ़ियों का एक ही सार्वान्तर है। इनमें से एक का प्रथम पद -1 और दसरी का प्रथम पद -8 है। तब, इनके चौथे पदों के बीच का अन्तर है
(i) -1
(ii) -8
(iii) 7
(iv) -9
हल
(iii) 7

प्रश्न 12.
यदि किसी A.P. के 7वें पद का 7 गुना उसके 11वें पद के 11 गुने के बराबर हो,तो उसका 18वाँ पद होगा
(i) 7
(ii) 11
(iii) 18
(iv) 0
हल
(iv) 0

प्रश्न 13.
A.P.: -11, -8, -5,…, 49 के अन्त से चौथा पद है
(i) 37
(ii) 40
(iii) 43
(iv) 58
हल
(ii) 40

प्रश्न 14.
यदि किसी A.P. का प्रथम पद -5 और सार्वान्तर 2 है तो उसके प्रथम 6 पदों का योग है
(i) 0
(ii) 5
(iii) 6
(iv) 15
हल
(i) 0

प्रश्न 15.
A.P.: 10, 6, 2,… के प्रथम 16 पदों का योग है
(i) -320
(ii) 320
(iii) -352
(iv) -400
हल
(i) -320

प्रश्न 16.
किसी A.P. में, यदि a = 1, a_n = 20 और S_n = 399 हों तो n बराबर है
(i) 19
(ii) 21
(iii) 38
(iv) 42
हल
(iii) 38

प्रश्न 17.
3 के प्रथम पाँच गुणजों का योग है
(i) 45
(ii) 55
(iii) 65
(iv) 75
हल
(i) 45

अतिलघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
समान्तर श्रेढ़ी -4 + 3 + 10 +……..+ 52 में कितने पद हैं?
हल
माना समान्तर श्रेढ़ी -4 + 3 + 10 +………+ 52 में n पद हैं।
यहाँ, a = -4 तथा d = 3 – (-4) = 3 + 4 = 7
n वा पद = 52
⇒ a + (n – 1)d = 52
⇒ -4 + (n – 1)7 = 52
⇒ 7n – 7 = 52 + 4 = 56
⇒ 7n = 56 + 7 = 63
⇒ n = 9
अत: श्रेढ़ी में 9 पद हैं।

प्रश्न 2.
समान्तर श्रेढी 2, 7, 12, ……. का 20 वाँ पद निकालिए।
हल
दी हुई समान्तर श्रेढ़ी
2, 7, 12, ……
यहाँ, प्रथम पद (a) = 2, सार्वान्तर (d) = 7 – 2 = 5 तथा n = 20
n वाँ पद, a_n = a + (n – 1)d
20 वाँ पद, a₂₀ = 2 + (20 – 1) 5
= 2 + 19 × 5
= 2 + 95
= 97
अत : श्रेढ़ी का 20 वाँ पद = 97

प्रश्न 3.
प्रथम दस प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
हल
प्रथम दस प्राकृतिक संख्याएँ :
1, 2, 3, 4, ………., 10
यहाँ, a = 1, d = 2 – 1 = 1, तथा n = 10
S₁₀ = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d]
= \(\frac{10}{2}\) [2 × 1 + (10 – 1)1]
= 5[2 + 9]
= 55
अतः प्रथम दस प्राकृतिक संख्याओं का योग = 55

प्रश्न 4.
प्रथम 1000 धन पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए।
हल
प्रथम 1000 धन पूर्णांकों की सूची है :
1, 2, 3,…..,1000
यह एक समान्तर श्रेढ़ी है जिसके लिए
a = 1, d = 2 – 1 = 1, n = 1000
सूत्र S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) d] से
1000 पदों का योग, S₁₀₀₀ = \(\frac{1000}{2}\) [2(1) + (1000 – 1) (1)]
= 500 × 1001
= 500500
अत: प्रथम 1000 धन पूर्णांकों का योग = 500500

प्रश्न 5.
समान्तर श्रेढी,\(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, \frac{-1}{2}, \frac{-3}{2}\),…. के लिए प्रथम पद ‘a’ और सार्वान्तर लिखिए।
हल
दी हुई समान्तर श्रेढ़ी है :
\(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, \frac{-1}{2}, \frac{-3}{2}\),………
प्रथम पद (a) = \(\frac{3}{2}\)
तथा सार्वान्तर (d) = \(\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\) = -1

प्रश्न 6.
समान्तर श्रेढ़ी 21, 18, 15, …….. का आठवाँ पद ज्ञात कीजिए।
हल
दी हुई श्रेढ़ी 21, 18, 15,……..
यहाँ प्रथम पद (a) = 21, सार्वान्तर (d) = 18 – 21 = -3
श्रेढ़ी का n वाँ पद = a + (n – 1)d
श्रेढ़ी का 8 वाँ पद = 21 + (8 – 1) (-3) = 21 – 21 = 0
अत: श्रेढ़ी का आठवाँ पद शून्य है।

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
किसी समान्तर श्रेढी का दूसरा पद एवं पाँचवाँ पद क्रमशः 3 एवं -3 है, तो श्रेढी का सार्वान्तर एवं प्रथम पद ज्ञात कीजिए।
हल
माना श्रेढ़ी का प्रथम पद a तथा सार्वान्तर d है
श्रेढ़ी का दूसरा पद = a + d = 3 ……..(1)
पाँचवाँ पद = a + (5 – 1)d = -3
⇒ a + 4d = -3 …….(2)
समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर,
(a + 4d) – (a + d) = -3 – 3
⇒ a + 4d – a – d = -6
⇒ 3d = -6
⇒ d = -2
d का मान समीकरण (1) में रखने पर,
a – 2 = 3
⇒ a = 3 + 2 = 5
अतः श्रेढ़ी का सार्वान्तर -2 तथा प्रथम पद 5 है।

प्रश्न 2.
किसी समान्तर श्रेढ़ी का n वाँ पद 2n + 5 है, तो श्रेढी के सात पदों तक योगफल ज्ञात कीजिए।
हल
दिया है, समान्तर श्रेढ़ी का n वाँ पद, (a_n) = 2n + 5
n = 1 रखने पर, प्रथम पद, (a₁) = 2 × 1 + 5 = 7
n = 2 रखने पर, दूसरा पद, (a₂) = 2 × 2 + 5 = 9
n = 3 रखने पर, तीसरा पद, (a₃) = 2 × 3 + 5 = 11
प्रथम पद (a) = 7, सार्वान्तर (d) = a₂ – a₁ = 9 – 7 = 2
सूत्र : S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d] से,
7 पदों तक योगफल, S₇ = \(\frac{7}{2}\) [2 × 7 + (7 – 1)2]
= \(\frac{7}{2}\) × 2[7 + 6]
= 7 × 13
= 91
अतः 7 पदों तक योगफल = 91

प्रश्न 3.
किसी समान्तर श्रेढ़ी का 7वाँ पद 32 और 13वाँ पद 62 है। समान्तर श्रेढी ज्ञात कीजिए।
हल
माना किसी समान्तर श्रेढ़ी का पहला पद a तथा सार्वान्तर d है।
दिया है, श्रेढ़ी का 7वाँ पद = 32
a + (7 – 1)d = 32
⇒ a + 6d = 32 ……(1)
इसी प्रकार, श्रेढ़ी का 13वाँ पद = 62
a + (13 – 1)d = 62
⇒ a + 12d = 62 ……..(2)
समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर,
6d = 62 – 32 = 30
d = \(\frac{30}{6}\) = 5
समीकरण (1) में d का मान रखने पर,
a + 6 × 5 = 32
⇒ a + 30 = 32
⇒ a = 32 – 30 = 2
तब, श्रेढ़ी : a, a + d, a + 2d, a + 3d,………
या 2, 2 + 5, 2 + 10, 2 + 15,………
या 2, 7, 12, 17, ………
अत: अभीष्ट समान्तर श्रेढ़ी : 2, 7, 12, 17, ……

प्रश्न 4.
समान्तर श्रेढ़ी 3, 5, 7, 9,…………, 201 का अन्तिम पद से (प्रथम पद की ओर) 15वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हल
दी गई श्रेढ़ी 3, 5, 7, 9, …….., 201
प्रथम पद (a) = 3, दूसरा पद = 5, अन्तिम पद (l) = 201
सार्वान्तर (d) = दूसरा पद – पहला पद = 5 – 3 = 2
अन्त से nवाँ पद = l – (n – 1)d से,
n = 15 रखने पर,
अन्त से 15वाँ पद = l – (15 – 1)d (∵ l = 201)
= l – 14d
= 201 – (14 × 2)
= 201 – 28
= 173
अतः श्रेढ़ी का अन्त से 15वाँ पद = 173

प्रश्न 5.
किसी श्रेढी काn वाँ पद (2n + 1) है तो इस श्रेढी का सातवाँ (7th) पद ज्ञात कीजिए।
हल
माना समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद a तथा सार्वान्तर d है।
दिया है, n वाँ पद an = 2n + 1
n = 1 रखने पर, प्रथम पद a = a₁ = 2 × 1 + 1 = 3
n = 2 रखने पर, दूसरा पद a₂ = 2 × 2 + 1 = 5
n = 3 रखने पर, तीसरा पद a₃ = 2 × 3 + 1 = 7
यहाँ पर a = 3, सार्वान्तर d = 5 – 3 = 2
सूत्र a_n = a + (n – 1)d से,
श्रेढ़ी का 7 वाँ पद a₇ = 3 + (7 – 1)2
= 3 + 6 × 2
= 15
अतः श्रेढी का 7 वाँ पद = 15

प्रश्न 6.
किसी समान्तर श्रेदी केn पदों का योग n(2n – 1) है, श्रेढ़ी का प्रथम पद, सार्वान्तर एवं श्रेढी ज्ञात कीजिए।
हल
दिया है, समान्तर श्रेढ़ी के n पदों तक योगफल,
S_n = n(2n – 1) = 2n² – n
n = 1 के लिए, प्रथम पद का योगफल S₁ = 2(1)² – 1 = 1
प्रथम पद (a) = 1
n = 2 के लिए, S₂ = 2(2)² – 2 = 8 – 2 = 6
दूसरा पद (a₂) = S₂ – S₁ = 6 – 1 = 5
n = 3 के लिए, S₃ = 2(3)² – 3 = 18 – 3 = 15
तीसरा पद (a₃) = S₃ – S₂ = 15 – 6 = 9
अतः श्रेढ़ी 1, 5, 9,…………
सार्वान्तर d = 5 – 1 = 4 तथा प्रथम पद a = 1.

प्रश्न 7.
श्रेढ़ी 21, 18, 15,…….. का कौन-सा पद -81 है? क्या इस श्रेढी का कोई पद शून्य है? यदि है तो कौन-सा पद?
हल
दी गई A. P. : 21, 18, 15,……..
पहला पद (a) = 21 तथा सार्वान्तर (d) = 18 – 21 = -3
माना nवाँ पद -81 है
nवाँ पद = -81
⇒ a + (n – 1)d = -81
⇒ 21 + (n – 1) (-3) = -81
⇒ 21 – 3n + 3 = -81
⇒ -3n = -81 – 24 = -105
⇒ n = \(\frac{105}{3}\) = 35
अत: श्रेढ़ी का 35 वाँ पद -81 है।
पुनः माना श्रेढ़ी का n वाँ पद शून्य है।
n वाँ पद = 0
⇒ a + (n – 1)d = 0
⇒ 21 + (n – 1) (-3) = 0
⇒ 21 – 3n + 3 = 0
⇒ -3n = -24
⇒ n = 8
अत: श्रेढ़ी का 8 वाँ पद शून्य है।

प्रश्न 8.
2 अंकों वाली कितनी संख्याएँ 3 से विभाज्य हैं?
हल
2 अंकों वाली संख्याएँ जो 3 से विभाज्य हैं :
12, 15, 18,…, 99
स्पष्ट है कि ये संख्याएँ समान्तर श्रेढ़ी में हैं जिसके लिए
a = 12 तथा d = 15 – 12 = 3, l = 99
माना संख्याएँ n हैं।
l = a + (n – 1)d
⇒ 99 = 12 + (n – 1)3
⇒ 3(n – 1) = 99 – 12 = 87
⇒ n – 1 = \(\frac{87}{3}\) = 29
⇒ n = 29 + 1 = 30
अत: 2 अंकों वाली 30 संख्याएँ हैं जो 3 से विभाज्य हैं।

प्रश्न 9.
0 से 50 के मध्य कितनी सम संख्याएँ हैं? उनका योगफल ज्ञात कीजिए।
हल
0 से 50 के मध्य सम संख्याएँ 2, 4, 6, 8,…, 48 तक माना n संख्याएँ हैं।
यहाँ a = 2 तथा d = 4 – 2 = 2
nवाँ पद = 48
⇒ 2 + (n – 1)2 = 48
⇒ 2 + 2n – 2 = 48
⇒ 2n = 48
⇒ n = 24
0 से 50 के मध्य 24 सम संख्याएँ होंगी।
24 संख्याओं का योगफल = \(\frac{24}{2}\) [2 × 2 + (24 – 1)2]
= 12 × 2(2 + 23)
= 24 × 25
= 600

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
एक आदमी पहले दिन ₹ 32, दूसरे दिन ₹ 36 तथा तीसरे दिन ₹ 40 बचाता है। यदि वह अपनी बचतों को इसी क्रम में जारी रखता है, तो कितने दिनों में उसकी कुल बचत ₹ 2000 होगी?
हल
पहले दिन बचत a₁ = ₹ 32
दूसरे दिन बचत a₂ = ₹ 36
तीसरे दिन बचत a₃ = ₹ 40
a₂ – a₁ = 36 – 32 = 4
a₃ – a₂ = 40 – 36 = 4
अन्तर नियत है
बचत समान्तर श्रेढ़ी में हैं।
प्रथम पद (a) = a₁ = 32 तथा सार्वान्तर (d) = 4
माना उसकी बचत n दिनों में ₹ 2000 होगी।
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d]
⇒ 2000 = \(\frac{n}{2}\) [2 × 32 + (n – 1)4]
⇒ 2000 = \(\frac{n}{2}\) × 2[32 + (n – 1)2]
⇒ 2000 = n[32 + 2n – 2]
⇒ 2000 = 30n + 2n²
⇒ 2n² + 30n – 2000 = 0
⇒ n² + 15n – 1000 = 0
⇒ n² + (40 – 25)n – 1000 = 0
⇒ n² + 40n – 25n – 1000 = 0
⇒ n(n + 40) – 25(n + 40) = 0
⇒ (n + 40)(n – 25) = 0
यदि n + 40 = 0 तो n = -40 असम्भव
(क्योंकि दिनों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती)
यदि n – 25 = 0 तो n = 25
अत: आदमी की बचत 25 दिनों में ₹ 2000 होगी।

प्रश्न 2.
श्रेढ़ी 18, 15, 12, …….. का कौन-सा पद -87 है? क्या इस श्रेढ़ी का कोई पद शून्य है? यदि हाँ, तो कौन-सा पद?
हल
दी हुई श्रेढ़ी 18, 15, 12, ……
पहला पद (a) = 18 तथा सार्वान्तर (d) = 15 – 18 = -3
माना n वाँ पद -87 है।
n वाँ पद = -87
⇒ a + (n – 1)d = -87 [∵ n वाँ पद = a + (n – 1)d]
⇒ 18 + (n – 1)(-3) = -87
⇒ 18 – 3n + 3 = -87
⇒ -3n = -87 – 18 – 3 = -108
⇒ n = \(\frac{108}{3}\) = 36
अत: श्रेढ़ी का 36 वाँ पद -87 है।
पुनः माना श्रेढ़ी का nवाँ पद शून्य है।
nवाँ पद = 0
⇒ a + (n – 1)d = 0
⇒ 18 + (n – 1) (-3) = 0
⇒ -3(n – 1) = -18
⇒ n – 1 = \(\frac{18}{3}\) = 6
⇒ n = 6 + 1 = 7
अत: श्रेढ़ी का 7 वाँ पद शून्य है।

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.4 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.4

Bihar Board Class 10 Maths त्रिभुज Ex 6.4

प्रश्न 1.
मान लीजिए ΔABC ~ ΔDEF है और इनके क्षेत्रफल क्रमशः 64 cm² और 121 cm² हैं। यदि EF = 15.4 cm² हो तो BC ज्ञात कीजिए।
हल
त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात = संगत भुजाओं के वर्गों का अनुपात

⇒ 11BC = 8 × 15.4
⇒ BC = \(\frac{8 \times 15.4}{11}\) = 11.2
अत: BC = 11.2 cm

प्रश्न 2.
एक समलम्ब ABCD जिसमें AB || CD है, के विकर्ण परस्पर बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि AB = 2CD हो तो त्रिभुजों AOB और COD के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

हल
AB || CD और AC तिर्यक रेखा है।
∠CAB = ∠ACD या ∠OAB = ∠OCD
AB || CD और DB तिर्यक रेखा है।
∠DBA = ∠BDC या ∠OBA = ∠ODC
अब, ∆AOB तथा ∆COD में,
∠OAB = ∠OCD (एकान्तर कोण)
∠OBA = ∠ODC (एकान्तर कोण)
तथा ∠AOB = ∠COD (शीर्षाभिमुख कोण)
∆OAB ~ ∆OCD

प्रश्न 3.
दी गई आकृति में एक ही आधार BC पर दो त्रिभुज ABC और DBC बने हुए हैं। यदि AD, BC को O पर प्रतिच्छेद करे, तो दर्शाइए कि \(\frac { ar(ABC) }{ ar(DBC) } =\frac { AO }{ DO }\) है।

हल
दिया है : ∆ABC तथा ∆DBC एक ही आधार BC पर स्थित दो त्रिभुज हैं। AD, BC को बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करता है।
सिद्ध करना है : \(\frac { ar(ABC) }{ ar(DBC) } =\frac { AO }{ DO }\)

रचना : शीर्ष A से BC पर AE तथा शीर्ष D से BC पर DF लम्ब खींचा।
उपपत्ति : शीर्षों A तथा D से BC पर AE तथा DF लम्ब खींचे गए हैं।
अत: ∆AEO तथा ∆DFO समकोणीय हैं।
समकोण ∆AEO तथा ∆DFO में,
∠AEO = ∠DFO (प्रत्येक 90°)
∠AOE = ∠DOF (शीर्षाभिमुख कोण हैं)
∆AEO ~ ∆DFO (उप-गुणधर्म AA से)
\(\frac{A E}{D F}=\frac{A O}{D O}\) ……(1)
अब, ∆ABC का क्षेत्रफल = \(\frac {1}{2}\) × BC × AE
और ∆DBC का क्षेत्रफल = \(\frac {1}{2}\) × BC × DF

प्रश्न 4.
यदि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल बराबर हों तो सिद्ध कीजिए कि वे सर्वांगसम होते हैं।
हल
दिया है: ∆ABC तथा ∆DEF समरूप हैं और ∆ABC का क्षेत्रफल = ∆DEF का क्षेत्रफल
सिद्ध करना है: ∆ABC = ∆DEF

उपपत्ति: चूँकि समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।

अब, ∆ABC और ∆DEF में,
∠ABC = ∠DEF (∵ ∆ABC ~ ∆DEF)
∠ACB = ∠DFE (∵ ∆ABC ~ ∆DEF)
अतः BC = EF (ऊपर सिद्ध किया है)
∆ABC = ∆DEF
इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
एक ∆ABC की भुजाओं AB, BC और CA के मध्य-बिन्दु क्रमश: D, E और F हैं। ∆DEF और ∆ABC के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

हल
दिया है : ABC की भुजाओं BC, CA, AB के मध्य-बिन्दु क्रमशः D, E, F हैं जिनको मिलाने से ∆DEF बना है।
ज्ञात करना है : ∆DEF का क्षेत्रफल : ∆ABC का क्षेत्रफल
गणना : D, E, F क्रमश: BC, CA, AB के मध्य-बिन्दु हैं।

अत: ∆DEF का क्षेत्रफल : ∆ABC का क्षेत्रफल = 1 : 4

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात इनकी संगत माध्यिकाओं के अनुपात का वर्ग होता है।
हल
दिया है : दो समरूप ∆ABC और ∆DEF हैं, जिनमें AP तथा DQ संगत माध्यिकाएँ हैं।

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए कि एक वर्ग की किसी भुजा पर बनाए गए समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल उसी वर्ग के एक विकर्ण पर बनाए गए समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का
आधा होता है।

हल
दिया है : चतुर्भुज ABCD एक वर्ग है जिसकी एक भुजा AB तथा विकर्ण AC है।
AB तथा AC पर समबाहु ∆ABE तथा ∆ACF बनाए गए हैं।
सिद्ध करना है : ∆ABE का क्षेत्रफल = \(\frac {1}{2}\) ∆ACF का क्षेत्रफल
उपपत्ति : वर्ग ABCD की भुजा = AB
वर्ग ABCD का विकर्ण AC = AB√2


अत: ∆ABE का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) ∆ACF का क्षेत्रफल
इति सिद्धम्

सही उत्तर चुनिए और अपने उत्तर का औचित्य दीजिए-

प्रश्न 8.
ABC और BDE दो समबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि D भुजा BC का मध्य-बिन्दु है। त्रिभुजों ABC और BDE के क्षेत्रफलों का अनुपात है-
(A) 2 : 1
(B) 1 : 2
(C) 4 : 1
(D) 1 : 4
हल
∆ABC और ∆BDE समरूप त्रिभुज हैं जिनमें D, भुजा BC का मध्य-बिन्दु है।
BD = \(\frac{1}{2}\) BC
⇒ BD : BC = 1 : 2
⇒ BC : BD = 2 : 1
तब, ∆ABC का क्षेत्रफल : ∆BDE का क्षेत्रफल = BC² : BD² = (2)² : (1)² = 4 : 1
अत: विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 9.
दो समरूप त्रिभुजों की भुजाएँ 4 : 9 के अनुपात में हैं। इन त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात है-
(A) 2 : 3
(B) 4 : 9
(C) 81 : 16
(D) 16 : 81
हल
दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात = भुजाओं के अनुपात का वर्ग
= (4)² : (9)²
= 16 : 81
अत: विकल्प (D) सही है।

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.4 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.4

Bihar Board Class 10 Maths समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.4

प्रश्न 1.
A.P.: 121, 117, 113,…… का कौन-सा पद सबसे पहला ऋणात्मक पद होगा?
[संकेत : a_n < 0 के लिए n ज्ञात कीजिए।]
हल
दी गई A.P.: 121, 117, 113, ………
प्रथम पद (a) = 121
तथा सार्वान्तर (d) = 117 – 121 = -4
मान लिया n वाँ पद प्रथम ऋणात्मक पद होगा।
a_n < 0
⇒ a + (n – 1)d < 0
⇒ 121 + (n – 1) × (-4) < 0
⇒ -(n – 1) 4 < -121
⇒ n – 1 < \(\frac{121}{4}\)
⇒ n < \(\frac{121}{4}\) + 1
⇒ n < \(\frac{125}{4}\)
⇒ n < 31.25
n < 32 क्योंकि n = एक पूर्णांक है।
अत: 32 वाँ पद पहला ऋणात्मक पद होगा।

प्रश्न 2.
किसी A.P. के तीसरे और सातवें पदों का योग 6 है और उनका गणनफल 8 है। इस A.P. के प्रथम 16 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
हल
माना दी गई A.P. का पहला पद a तथा सार्वान्तर d है।
तीसरा पद (a₃) = a + (3 – 1)d = a + 2d
सातवाँ पद (a₇) = a + (7 – 1)d = a + 6d
प्रश्नानुसार, तीसरे + सातवें पद का योग = 6
⇒ a₃ + a₇ = 6
⇒ a + 2d + a + 6d = 6
⇒ 2a + 8d = 6
⇒ a + 4d = 3 ……(1)
पुनः प्रश्नानुसार,
a₃ × a₇ = 8
⇒ (a + 2d) × (a + 6d) = 8
⇒ a² + 8ad + 12d² = 8 ……..(2)
समीकरण (1) के वर्ग में से समीकरण (2) को घटाने पर,
(a + 4d)² – (a² + 8ad + 12d²) = (3)² – 8
⇒ a² + 8ad + 16d² – a² – 8ad – 12d² = 9 – 8
⇒ 4d² = 1
⇒ d = \(\pm \frac{1}{2}\)
समीकरण (1) में d = \(\frac{1}{2}\) रखने पर,
a + 4d = 3
⇒ a + 4 × \(\frac{1}{2}\) = 3
⇒ a + 2 = 3
⇒ a = 1
समीकरण (1) में पुन: d = \(-\frac{1}{2}\) रखने पर,
a + 4d = 3
⇒ a + 4 × (\(-\frac{1}{2}\)) = 3
⇒ a – 2 = 3
⇒ a = 5
पहली स्थिति में, a = 1, d = \(\frac{1}{2}\)

अतः प्रथम 16 पदों का योग = 20 अथवा 76

प्रश्न 3.
संलग्न चित्र में, एक सीढ़ी के क्रमागत डण्डे परस्पर 25 cm की दूरी पर हैं। डण्डों की लम्बाई एकसमान रूप से घटती जाती है तथा 25 cm सबसे निचले डण्डे की लम्बाई 45 cm है और सबसे ऊपर वाले डण्डे की लम्बाई 25 सेमी है। यदि ऊपरी और निचले डण्डे के बीच की दूरी 2\(\frac{1}{2}\) m है, तो डण्डों को बनाने के लिए लकड़ी की कितनी लम्बाई की आवश्यकता होगी?
[संकेत : डण्डों की संख्या = \(\frac{250}{25}\) + 1 है।]

हल
प्रथम व अन्तिम डण्डे के बीच की क्षैतिज दूरी
= 2\(\frac{1}{2}\) m
= \(\frac{5}{2}\) m
= \(\frac{5 \times 100}{2}\) cm
= 250 cm
और दो क्रमागत डण्डों के बीच की दूरी = 25 cm
सीढ़ी में डण्डों की संख्या = \(\frac{250}{25}\) + 1 = 11
प्रथम डण्डे की लम्बाई (a) = 25 cm और अन्तिम डण्डे की लम्बाई (l) = 45 cm
11 डण्डों में प्रयुक्त लकड़ी की कुल माप = \(\frac{n}{2}\) [a + l]
= \(\frac{11}{2}\) [25 + 45] cm
= 5.5 × 70 cm
= 385 cm
= 3.85 m
अत: सीढ़ी के डण्डों में प्रयुक्त लकड़ी की लम्बाई = 385 cm या 3.85 m

प्रश्न 4.
एक पंक्ति के मकानों को क्रमागत रूप से संख्या 1 से 49 तक अंकित किया गया है। दर्शाइए कि x का एक ऐसा मान है कि x से अंकित मकान से पहले के मकानों की संख्याओं का योग उसके बाद वाले मकानों की संख्याओं के योग के बराबर है। x का मान ज्ञात कीजिए।
[संकेत : S_x-1 = S₄₉ – S_x है]
हल
दिया है, मकानों पर अंकित संख्याएँ : 1, 2, 3, 4, 5, 6, ……., 47, 48, 49 हैं।
x एक ऐसी संख्या है कि x के एक ओर की संख्याओं का योग = x के दूसरी ओर की संख्याओं का योग
अर्थात् 1 से x – 1 तक की संख्याओं का योग = x – 1 से 49 तक की सभी संख्याओं का योग
अनुक्रम की सभी संख्याओं में सार्वान्तर, d = 1
तब, 1 से x – 1 तक की संख्याओं का योग

प्रश्न 5.
संलग्न चित्र में एक फुटबाल के मैदान में एक छोटा चबूतरा है जिसमें 15 सीढ़ियाँ बनी हुई हैं। इन सीढ़ियों में से प्रत्येक की लम्बाई 50 m है और वह ठोस कंक्रीट (concrete) की बनी है। प्रत्येक सीढ़ी में \(\frac{1}{4}\) m की चढ़ाई है और \(\frac{1}{2}\) m का फैलाव (चौड़ाई) है। इस चबूतरे को बनाने में लगी कंक्रीट का कुल आयतन परिकलित कीजिए।
[संकेत : पहली सीढ़ी को बनाने में लगी कंक्रीट का आयतन = \(\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} \times 50\) m³ है।]

हल
दिया है, प्रत्येक सीढ़ी की लम्बाई 50m तथा चौड़ाई \(\frac{1}{2}\) m है।
सीढ़ियों की संख्या 15 है। प्रत्येक सीढ़ी की जमीन से ऊँचाई एक समान्तर श्रेढ़ी (A.P.) का अनुक्रम है जो निम्नवत् है :


अत: चबूतरे में लगी कंक्रीट का आयतन = 750 m³

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.3 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.3

Bihar Board Class 10 Maths त्रिभुज Ex 6.3

प्रश्न 1.
बताइए कि आकृति में दिए त्रिभुजों के युग्मों में से कौन-कौन से युग्म समरूप हैं। उस समरूपता कसौटी को लिखिए जिसका प्रयोग आपने उत्तर देने में किया है तथा साथ ही समरूप त्रिभुजों को सांकेतिक रूप में व्यक्त कीजिए।

हल
(i) आकृति में दिए गए दोनों त्रिभुजों में,
∠A = 60°, ∠B = 80°, ∠C = 40° तथा ∠P = 60°, ∠Q = 80°, ∠R = 40°
∠A = ∠P, ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R
अतः दो त्रिभुजों की समरूपता की कसौटी AAA से,
∆ABC ~ ∆PQR

(ii) आकृति में दिए गए दोनों त्रिभुजों में,
AB = 2, BC = 2.5, CA = 3.0
तथा PQ = 6, QR = 4, RP = 5

अत: दो त्रिभुजों की समरूपता की कसौटी SSS से,
∆ABC ~ ∆QRP

(iii) निम्न आकृति में दिए गए दोनों त्रिभुजों में,
LM = 2.7, MP = 2, PL = 3
तथा DE = 4, EF = 5, FD = 6

या दोनों त्रिभुजों की भुजाएँ समानुपात में नहीं हैं।
अतः दोनों त्रिभुज समरूप नहीं हैं।

(iv) दिए गए दोनों त्रिभुजों में,
∠M = 70°, NM = 2.5, ML = 5 तथा ∠Q = 70°, PQ = 6, QR = 10

अतः दोनों त्रिभुज समरूप नहीं हैं।

(v) दिए गए दोनों त्रिभुजों में,
∠A = 80°, AB = 2.5, AC = अनिश्चित तथा ∠F = 80°, FD = 5, FE = 6
स्पष्ट है कि ∠A व ∠F को अन्तर्विष्ट करने वाली भुजाएँ AB और FD तथा AC और FE आनुपातिक नहीं हैं।
अतः दोनों त्रिभुज समरूप नहीं हैं।

(vi) ∆DEF में, ∠D = 70°, ∠E = 80°
∴ ∠F = 180° – (70° + 80°) = 30°
और ∆PQR में ∠Q = 80°, ∠R = 30°
∴ ∠P = 180° – (80° + 30°) = 70°
तब, ∆DEF और ∆PQR की तुलना करने पर,
∠D = ∠P, ∠E = ∠Q, ∠F = ∠R,
अत: दो त्रिभुजों की समरूपता की उप-कसौटी AA से,
∆DEF ~ ∆PQR

प्रश्न 2.
आकृति में, ∆ODC ~ ∆OBA, ∠BOC = 125° और ∠CDO = 70° है। ∠DOC, ∠DCO और ∠OAB ज्ञात कीजिए।

हल
दी गई आकृति में, DB एक ऋजु रेखा है और उससे OC, बिन्दु O पर मिलती है जिससे ∠DOC और ∠BOC एक रैखिक युग्म के कोण हैं।
∠DOC + ∠BOC = 180°
∠DOC + 125° = 180° (∵ ∠BOC = 125°)
∠DOC = 180° – 125° = 55°
तब, ∆DOC में,
∠CDO + ∠DOC + ∠DCO = 180°
70° + 55° + ∠DCO = 180° (∵ ∠CDO = 70°)
∠DCO = 180° – (70° + 55°)
∠DCO = 55°
∵ ∆ODC ~ ∆OBA
∴ ∠DCO = ∠OAB
∠OAB = 55° (∵ ∠DCO = 55°)
अत: ∠DOC = 55°, ∠DCO = 55°, ∠OAB = 55°

प्रश्न 3.
समलम्ब ABCD जिसमें AB || DC है, के विकर्ण AC और BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं। दो त्रिभुजों की समरूपता कसौटी का प्रयोग करते हुए, दर्शाइए कि \(\frac{O A}{O C}=\frac{O B}{O D}\) है।

हल
दिया है : ABCD एक समलम्ब है जिसमें AB || CD तथा उसके विकर्ण AC और BD बिन्दु O पर काटते हैं।
सिद्ध करना है : \(\frac{O A}{O C}=\frac{O B}{O D}\)
उपपत्ति : AB || CD और AC तिर्यक रेखा है।
∠OAB = ∠OCD (एकान्तर कोण युग्म)
और ∠AOB = ∠COD (शीर्षाभिमुख कोण)
अब, ∆AOB और ∆OCD में,
∠AOB = ∠COD
तथा ∠OAB = ∠OCD (ऊपर सिद्ध किया)
∴ त्रिभुजों की समरूपता के उप-गुणधर्म AA से,
∆AOB ~ ∆OCD
\(\frac{O A}{O C}=\frac{O B}{O D}\) (भुजाओं की आनुपातिकता से)
इति सिद्धम्

प्रश्न 4.
दी गई आकृति में, \(\frac{Q R}{Q S}=\frac{Q T}{P R}\) तथा ∠1 = ∠2 है। दर्शाइए कि ∆PQS ~ ∆TQR है।

हल
दिया है : दी गई आकृति में,
\(\frac{Q R}{Q S}=\frac{Q T}{P R}\) तथा ∠1 = ∠2 है।
सिद्ध करना है : ∆PQS ~ ∆TQR
उपपत्ति : ∆PQR में,
∠1 = ∠2
∠PQR = ∠PRQ
भुजा QP = भुजा PR …….(1)
अब, \(\frac{Q R}{Q S}=\frac{Q T}{P R}\) (दिया है)
\(\frac{Q R}{Q S}=\frac{Q T}{Q P}\) [समीकरण (1) से]
तब, ∆PQS और ∆TQR में,
∠Q उभयनिष्ठ है और इस कोण को अंतर्विष्ट करने वाली भुजाएँ (QP व QT) तथा (QS व QR) आनुपातिक हैं।
अत: दो त्रिभुजों की समरूपता की कसौटी SAS से,
∆PQS ~ ∆TQR
इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
∆PQR की भुजाओं PR और QR पर क्रमशः बिन्दु S और T इस प्रकार स्थित हैं कि ∠P = ∠RTS है। दर्शाइए कि ∆RPQ ~ ∆RTS है।

हल
दिया है : दी गई आकृति में, ∠P = ∠RTS
सिद्ध करना है : ∆RPQ ~ ∆RTS
उपपत्ति : ∆RPQ तथा ∆RTS में,
∠P = ∠RTS (दिया है)
तथा ∠R = ∠SRT
तब, त्रिभुजों की समरूपता के उप-गुणधर्म AA से,
∆RPQ ~ ∆RTS
इति सिद्धम्।

प्रश्न 6.
दी गई आकृति में, यदि ∆ABE ≅ ∆ACD है तो दर्शाइए कि ∆ADE ~ ∆ABC है।

हल
दिया है : दी गई आकृति में, ∆ABE और ∆ACD सर्वांगसम हैं।
सिद्ध करना है : ∆ADE ~ ∆ABC
उपपत्ति : ∆ABE ≅ ∆ACD (दिया है)
भुजा AB = भुजा AC
और भुजा AE = भुजा AD
अब, ∆ADE और ∆ABC की तुलना करने पर,
AB = AC और AE = AD
\(\frac{A D}{A B}=\frac{A E}{A C}\) अर्थात् ∆ADE और ∆ABC की भुजाएँ (AD व AB) तथा (AE व AC) आनुपातिक हैं और ये दोनों ही भुजा-युग्म प्रत्येक त्रिभुज के लिए ∠A को अन्तर्विष्ट करते हैं।
दो त्रिभुजों की समरूपता के गुणधर्म (कसौटी) SAS से,
∆ADE ~ ∆ABC
इति सिद्धम्

प्रश्न 7.
दी गई आकृति में, ∆ABC के शीर्ष लम्ब AD और CE परस्पर बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि-
(i) ∆AEP ~ ∆CDP
(ii) ∆ABD ~ ∆CBE
(iii) ∆AEP ~ ∆ADB
(iv) ∆PDC ~ ∆BEC

हल
दिया है : ∆ABC में AD और CE शीर्षलम्ब हैं जो एक-दूसरे को बिन्दु P पर काटते हैं।
सिद्ध करना है :
(i) ∆AEP ~ ∆CDP
(ii) ∆ABD ~ ∆CBE
(iii) ∆AEP ~ ∆ADB
(iv) ∆PDC ~ ∆BEC
उपपत्ति : ∆ABC में AD और CE शीर्षलम्ब हैं।
AD ⊥ BC तथा CE ⊥ AB
(i) ∆AEP और ∆CDP में,
∠AEP = ∠CDP (प्रत्येक 90° है)
∠APE = ∠CPD (शीर्षाभिमुख कोण)
अत: त्रिभुज की समरूपता के उप-गुणधर्म AA से,
∆AEP ~ ∆CDP
इति सिद्धम्

(ii) ∆ABD और ∆CBE में,
∠ADB = ∠CEB (प्रत्येक 90° है)
∠ABD = ∠CBE (दोनों त्रिभुजों में उभयनिष्ठ है)
अत: त्रिभुजों की समरूपता के उप-गुणधर्म AA से,
∆ABD ~ ∆CBE
इति सिद्धम्

(iii) ∆AEP और ∆ADB में,
∠AEP = ∠ADB (प्रत्येक 90° है)
∠PAE = ∠DAB (दोनों त्रिभुजों में उभयनिष्ठ हैं)
अतः त्रिभुजों की समरूपता के उप-गुणधर्म AA से,
∆AEP ~ ∆ADB
इति सिद्धम्

(iv) ∆PDC और ∆BEC में,
∠PDC = ∠BEC (प्रत्येक 90° है)
∠DCP = ∠BCE (दोनों त्रिभुजों में उभयनिष्ठ है)
अत: त्रिभुजों की समरूपता के उप-गुणधर्म AA से,
∆PDC ~ ∆BEC
इति सिद्धम्

प्रश्न 8.
समान्तर चतुर्भुज ABCD की बढ़ाई गई भुजा AD पर स्थित E एक बिन्दु है तथा BE भुजा CD को F पर प्रतिच्छेद करती है। दर्शाइए कि ∆ABE ~ ∆CFB हैं।

हल
दिया है : ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है जिसकी भुजा AD को किसी बिन्दु E तक बढ़ाया गया है। रेखाखण्ड BE, भुजा CD को बिन्दु F पर प्रतिच्छेदित करता है।
सिद्ध करना है : ∆ABE ~ ∆CFB
उपपत्ति : ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।
BC || AD ⇒ BC || AE
BC || AE और BE तिर्यक रेखा है।
∠EBC = ∠AEB ⇒ ∠AEB = ∠FBC
अब, ∆ABE और ∆CFB में,
∠A = ∠C (समान्तर चतुर्भुज ABCD के सम्मुख कोण हैं)
∠AEB = ∠FBC (ऊपर सिद्ध किया है)
तब, त्रिभुजों की समरूपता के उप-गुणधर्म AA से,
∆ABE ~ ∆CFB
इति सिद्धम्

प्रश्न 9.
दी गई आकृति में, ABC और AMPदो समकोण त्रिभुज हैं, जिनके कोण B और M समकोण हैं। सिद्ध कीजिए कि-
(i) ∆ABC ~ ∆AMP
(ii) \(\frac{C A}{P A}=\frac{B C}{M P}\)

हल
दिया है : ∆ABC और ∆AMP दो समकोण त्रिभुज हैं, जिनमें ∠B तथा ∠M समकोण हैं।
सिद्ध करना है :
(i) ∆ABC ~ ∆AMP
(ii) \(\frac{C A}{P A}=\frac{B C}{M P}\)
उपपत्ति :
(i) समकोण ∆ABC तथा समकोण ∆AMP की तुलना करने पर,
∠B = ∠M (∵ प्रत्येक समकोण है)
∠A = ∠A (उभयनिष्ठ है)
तब, दो त्रिभुजों की समरूपता के उप-गुणधर्म AA से,
∆ABC ~ ∆AMP
इति सिद्धम्

(ii) ∆ABC और ∆AMP समरूप हैं।
दोनों त्रिभुजों की संगत भुजाएँ आनुपातिक होंगी।
\(\frac{A B}{A M}=\frac{B C}{M P}=\frac{C A}{P A} \Rightarrow \frac{C A}{P A}=\frac{B C}{M P}\)
इति सिद्धम्

प्रश्न 10.
CD और GH क्रमशः ∠ACB और ∠EGF के ऐसे समद्विभाजक हैं कि बिन्दु D औरत क्रमशः ∆ABC और ∆FEG की भुजाओं AB और FE पर स्थित हैं। यदि ∆ABC ~ ∆FEG हो तो दर्शाइए कि-
(i) \(\frac{C D}{G H}=\frac{A C}{F G}\)
(ii) ∆DCB ~ ∆HGE
(iii) ∆DCA ~ ∆HGF


हल
दिया है : ∆ABC और ∆EGF में CD, ∠ACB का समद्विभाजक है और GH, ∠EGF का समद्विभाजक है तथा ∆BC ~ ∆FEG
सिद्ध करना है :
(i) \(\frac{C D}{G H}=\frac{A C}{F G}\)
(ii) ∆DCB ~ ∆HGE
(iii) ∆DCA ~ ∆HGF
उपपत्ति:
∆ABC में CD, ∠ACB का समद्विभाजक है।
∠ACD = ∠DCB = \(\frac{1}{2}\) ∠ACB
इसी प्रकार, ∆EGF में GH, ∠FGE का समद्विभाजक है।
∠FGH = ∠HGE = \(\frac{1}{2}\) ∠FGE
∠ACD = ∠FGH तथा ∠DCB = ∠HGE
(∵ ∆ABC ~ ∆FEG जिससे ∠ACB = ∠FGE)
अब, ∆DCA तथा ∆HGF में,
∠ACD = ∠FGH (ऊपर सिद्ध किया है)
और ∠A = ∠F (∵ ∆ABC ~ ∆FEG)
अतः समरूपता के उप-गुणधर्म AA से,
∆DCA ~ ∆HGF
इति सिद्धम् (iii)
तब, ∆DCA और ∆HGF में,
\(\frac{C D}{G H}=\frac{A C}{F G}\)
इति सिद्धम् (i)
अब, ∆DCB और ∆HGE में,
∠DCB = ∠HGE (ऊपर सिद्ध किया है।)
∠B = ∠E (∆ABC ~ ∆FEG)
समरूपता के उप-गुणधर्म AA से,
∆DCB ~ ∆HGE
इति सिद्धम् (ii)

प्रश्न 11.
दी गई आकृति में, AB = AC वाले, एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC की बढ़ाई गई भुजा CB पर स्थित E एक बिन्दु है। यदि AD ⊥ BC और EF ⊥ AC है तो सिद्ध कीजिए कि ∆ABD ~ ∆ECF है।

हल
दिया है : एक समद्विबाहु ∆ABC है जिसमें AB = AC है।
भुजा CB को किसी बिन्दु E तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि EF ⊥ AC और AD ⊥ BC
सिद्ध करना है : ∆ABD ~ ∆ECF
उपपत्ति : ∆ABC में, AB = AC
∠ABD = ∠ACD …..(1)
AD ⊥ BC
∠ADB = ∠ADC = 90° ……(2)
EF ⊥ AC
∠EFC = 90° ……(3)
अब, ∆ABD तथा ∆ECF में,
∠ADB = ∠EFC [समीकरण (2) व (3) से]
∠ABD = ∠ACD [समीकरण (1) से]
परन्तु ∠ACD = ∠ECF (दोनों त्रिभुजों में उभयनिष्ठ है)
∠ABD = ∠ECF
तब, त्रिभुजों की समरूपता के उप-गुणधर्म AA से,
∆ABD ~ ∆ECF
इति सिद्धम्

प्रश्न 12.
एक त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB और BC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज PQR की क्रमशः भुजाओं PQ और QR तथा माध्यिका PM के समानुपाती हैं। दर्शाइए कि ∆ABC ~ ∆PQR है।

हल
दिया है : ∆ABC तथा ∆PQR दो त्रिभुज हैं जिनमें
\(\frac{A B}{P Q}=\frac{B C}{Q R}=\frac{A D}{P M}\)
जबकि AD तथा PM माध्यिकाएँ हैं अर्थात BD = \(\frac{1}{2}\) BC तथा QM = \(\frac{1}{2}\) QR
सिद्ध करना है : ∆ABC और ∆PQR समरूप हैं।

तब, त्रिभुजों की समरूपता की कसौटी SAS से,
अत: ∆ABC और ∆PQR समरूप हैं।
इति सिद्धम्

प्रश्न 13.
किसी त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि ∠ADC = ∠BAC है। दर्शाइए कि CA2 = CB . CD

हल
दिया है : ∆ABC में BC पर एक बिन्दु D इस प्रकार है कि ∠ADC = ∠BAC
सिद्ध करना है : CA2 = CB . CD
उपपत्ति : ∆CDA और ∆CAB में,
∠ADC = ∠BAC (दिया है)
∠ACD = ∠ACB
∠CAD = ∠ABC (उभयनिष्ठ कोण हैं)
∆CDA ~ ∆CAB (स्वतः समान हैं)
अतः \(\frac{C A}{C D}=\frac{C B}{C A}\)
⇒ CA2 = CB . CD
इति सिद्धम्

प्रश्न 14.
एक त्रिभुज ABC की भुजा AB और AC तथा माध्यिका AD, एक अन्य त्रिभुज PQR की भुजाओं PQ और PR तथा माध्यिका PM के समानुपाती हैं। दर्शाइए कि ∆ABC ~ ∆PQR है।
हल
दिया है : ∆ABC और ∆PQR में BC की माध्यिका AD तथा QR की माध्यिका PM है जिससे
\(\frac{A B}{P Q}=\frac{A C}{P R}=\frac{A D}{P M}\)

∆ABC और ∆PQR की संगत भुजाएँ आनुपातिक हैं।
अत: ∆ABC ~ ∆PQR
इति सिद्धम्

प्रश्न 15.
लम्बाई 6 m वाले एक ऊर्ध्वाधर स्तम्भ की भूमि पर छाया की लम्बाई 4 m है, जबकि उसी समय एक मीनार की छाया की लम्बाई 28 m है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल
दिया है : 6 मीटर लम्बे स्तम्भ CD की छाया DE = 4 m प्राप्त होती है। उसी समय एक मीनार AB = h m की छाया BE = 28 m प्राप्त होती है।
ज्ञात करना है : मीनार की ऊँचाई h का मान।
गणना : समरूप ∆CDE और ∆ABE में,

अतः मीनार की ऊँचाई = 42 m

प्रश्न 16.
AD और PM त्रिभुजों ABC और PQR की क्रमशः माध्यिकाएँ हैं, जबकि ∆ABC ~ ∆PQR है। सिद्ध कीजिए कि \(\frac{A B}{P Q}=\frac{A D}{P M}\) है।

हल
दिया है : ∆ABC और ∆PQR दो समरूप त्रिभुज हैं। AD, त्रिभुज ABC की और PM, त्रिभुज PQR की माध्यिकाएँ हैं।
सिद्ध करना है : \(\frac{A B}{P Q}=\frac{A D}{P M}\)

∠B और ∠Q को अन्तर्विष्ट करने वाली ∆ABD और ∆PQM की संगत भुजाएँ आनुपातिक हैं।
अत: दो त्रिभुजों की समरूपता की कसौटी SAS से,
∆ABD ~ ∆PQM
तब, समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाओं के आनुपातिकता के गुणधर्म से,
\(\frac{A B}{P Q}=\frac{A D}{P M}\)
इति सिद्धम्

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Additional Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Additional Questions

Bihar Board Class 10 Maths द्विघात समीकरण Additional Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
निम्नलिखित में से कौन-सा द्विघात समीकरण है?
(i) x² + 2x + 1 = (4 – x)² + 3
(ii) -2x² = (5 – x) (2x – \(\frac{2}{5}\))
(iii) (k + 1)x² + \(\frac{3}{2}\)x = 7, जहाँ, k = -1
(iv) x³ – x² = (x – 1)³
हल
(iv) x³ – x² = (x – 1)³

प्रश्न 2.
निम्नलिखित में से किस समीकरण का एक मूल 2 है?
(i) x² – 4x + 5 = 0
(ii) x² + 3x – 12 = 0
(iii) 2x² – 7x + 6 = 0
(iv) 3x² – 6x – 2 = 0
हल
(iii) 2x² – 7x + 6 = 0

प्रश्न 3.
यदि समीकरण x² + kx – \(\frac{5}{4}\) = 0 का एक मूल \(\frac{1}{2}\) है, तो k का मान है
(i) 2
(ii) -2
(iii) \(\frac{1}{4}\)
(iv) \(\frac{1}{2}\)
हल
(i) 2

प्रश्न 4.
k के वे मान, जिनके लिए द्विघात समीकरण 2x² – kx + k = 0 के मूल बराबर होंगे, निम्नलिखित हैं
(i) केवल 0
(ii) 4
(iii) केवल 8
(iv) 0, 8
हल
(iv) 0, 8

प्रश्न 5.
पूर्ण वर्ग बनाने की विधि द्वारा द्विघात समीकरण 9x² + \(\frac{3}{4}\)x – √2 = 0 को हल करने के लिए, इसमें किस अचर को जोड़ना और घटाना चाहिए?
(i) \(\frac{1}{8}\)
(ii) \(\frac{1}{64}\)
(iii) \(\frac{1}{4}\)
(iv) \(\frac{9}{64}\)
हल
(ii) \(\frac{1}{64}\)

प्रश्न 6.
द्विघात समीकरण 2x² – √5x + 1 = 0 के
(i) दो भिन्न वास्तविक मूल हैं
(ii) दो बराबर वास्तविक मूल हैं
(iii) कोई वास्तविक मूल नहीं है
(iv) दो से अधिक वास्तविक मूल हैं
हल
(iii) कोई वास्तविक मूल नहीं है

प्रश्न 7.
निम्नलिखित में से किस समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं?
(i) x² – 4x + 3√2 = 0
(ii) x² + 4x – 3√2 = 0
(iii) x² – 4x – 3√2 = 0
(iv) 3x² + 4√3x + 4 = 0
हल
(i) x² – 4x + 3√2 = 0

प्रश्न 8.
समीकरण (x² + 1)² – x² = 0
(i) के चार वास्तविक मूल हैं
(ii) के दो वास्तविक मूल हैं
(iii) के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं
(iv) का एक वास्तविक मूल है
हल
(iii) के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं

अतिलघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
द्विघात समीकरण x² + kx + 3 = 0 का एक मूल 1 हो तो k का मान ज्ञात कीजिए।
हल
द्विघात समीकरण का एक मूल 1 है।
x = 1 द्विघात समीकरण को सन्तुष्ट करेगा।
द्विघात समीकरण में x = 1 रखने पर,
(1)² + k(1) + 3 = 0
⇒ k + 4 = 0
⇒ k = -4

प्रश्न 2.
समीकरण a²x² – 3abx + 2b² = 0 को हल कीजिए।
हल
दिया गया समीकरण a²x² – 3abx + 2b² = 0
⇒ a²x² – 2abx – abx + 2b² = 0
⇒ ax(ax – 2b) – b(ax – 2b) = 0
⇒ (ax – 2b) (ax – b) = 0
यदि (ax – 2b) = 0, तो x = \(\frac{2 b}{a}\)
और यदि (ax – b) = 0 , तो x = \(\frac{b}{a}\)
∴ x = \(\frac{2 b}{a}\), \(\frac{b}{a}\)

प्रश्न 3.
बिना हल किए b²x² + abx – a² = 0 के मूलों के लक्षण ज्ञात कीजिए।
हल
दिया गया समीकरण : b²x² + abx – a² = 0
उपर्युक्त समीकरण की तुलना मानक द्विघात समीकरण Ax² + Bx + C = 0 से करने पर,
A = b², B = ab, C = -a²
विविक्तकर, D = B² – 4AC
= (ab)² – 4b²(-a²)
= a²b² + 4a²b²
= 5a²b² > 0 परन्तु पूर्ण वर्ग नहीं है
अत: मूल वास्तविक, अपरिमेय और असमान होंगे।

प्रश्न 4.
p के वे मान ज्ञात कीजिए जिससे समीकरण 2px² – 8x + p = 0 के मूल बराबर व वास्तविक हों।
हल
दिया गया समीकरण : 2px² – 8x + p = 0
उपर्युक्त समीकरण की तुलना मानक द्विघात समीकरण, ax² + bx + c = 0 से करने पर,
a = 2p, b = -8, c = p
विविक्तकर, D = b² – 4ac
= (-8)² – 4 × 2p × p
= 64 – 8p²
मूल बराबर व वास्तविक हैं।
64 – 8p² = 0
⇒ p² = 8
⇒ p = ±2√2

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि द्विघात समीकरण 3x² + 2√5x – 5 = 0 के मूल वास्तविक और असमान हैं। मूलों की प्रकृति भी ज्ञात कीजिए।
हल
दी गई समीकरण : 3x² + 2√5x – 5 = 0
उपर्युक्त समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 से करने पर,
a = 3, b = 2√5 तथा c = -5
विविक्तिकर, D = b² – 4ac
= (2√5)² – 4 × 3 × (-5)
= 20 + 60
= 80 धनात्मक परन्तु पूर्ण वर्ग नहीं
अत: समीकरण के मूल वास्तविक, असमान व अपरिमेय होंगे।

प्रश्न 6.
द्विघात समीकरण 4x² – 8 = 0 के मूल ज्ञात कीजिए।
हल
4x² – 8 = 0
⇒ 4(x² – 2) = 0
⇒ (x + √2) (x – √2) = 0
x² – 2 = 0 होने के लिए, .
x + √2 = 0 ⇒ x = -√2
तथा x – √2 = 0 ⇒ x = √2
अत: द्विघात समीकरण के मूल -√2 तथा √2 हैं।

प्रश्न 7.
द्विघात समीकरण x² – 4x + 4 = 0 के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए।
हल
द्विघात समीकरण x² – 4x + 4 = 0 की तुलना द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 से करने पर,
a = 1, b = -4, c = 4
विविक्तकर, D = b² – 4ac
= (-4)² – 4 × 1 × 4
= 16 – 16
= 0
विविक्तकर, D का मान शून्य है।
अत: द्विघात समीकरण x² – 4x + 4 = 0 के मूल बराबर हैं।

प्रश्न 8.
जाँच कीजिए कि (x – 2)² + 1 = 2x + 3 द्विघात समीकरण है या नहीं।
हल
दी हुई समीकरण (x – 2)² + 1 = 2x + 3
⇒ x² – 4x + 4 + 1 = 2x + 3
⇒ x² – 4x – 2x + 5 – 3 = 0
⇒ x² – 6x + 2 = 0
यह समीकरण x में दो घात है तथा इनके गुणांक वास्तविक हैं।
अत: दी हुई समीकरण द्विघात समीकरण है।

प्रश्न 9.
द्विघात समीकरण 2x² – 4x + 3 = 0 का विविक्तकर ज्ञात कीजिए और मूलों की प्रकृति बताइए।
हल
दिया गया द्विघात समीकरण है :
2x² – 4x + 3 = 0
उपर्युक्त समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 से करने पर,
a = 2, b = -4, c = 3
विविक्तकर, D = b² – 4ac
= (-4)² – 4(2)(3)
= 16 – 24
= -8 (ऋणात्मक)
विविक्तकर ऋणात्मक है।
समीकरण के मूल अधिकल्पित हैं।

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
राम की आयु श्याम की आयु के वर्ग की पाँच गुनी है। यदि दोनों की आयु का अन्तर 18 वर्ष हो तो उनकी आयु अलग-अलग ज्ञात कीजिए।
हल
माना श्याम की आयु x वर्ष तथा राम की आयु y वर्ष है।
राम की आयु श्याम की आयु के वर्ग की पाँच गुनी है।
y = 5x² ……..(1)
दोनों की आयु का अन्तर 18 वर्ष है।
y – x = 18 …….(2)
समीकरण (1) से y का मान समीकरण (2) में रखने पर,
5x² – x = 18
⇒ 5x² – x – 18 = 0
⇒ 5x² – (10 – 9)x – 18 = 0
⇒ 5x² – 10x + 9x – 18 = 0
⇒ 5x(x – 2) + 9(x – 2) = 0
⇒ (x – 2) (5x + 9) = 0
⇒ (x – 2) (5x + 9) = 0 होगा यदि,
x – 2 = 0 ⇒ x = 2
5x + 9 = 0 ⇒ 5x = -9 ⇒ x = \(\frac{-9}{5}\) असम्भव
x = 2 वर्ष
x = 2 समीकरण (1) में रखने पर,
y = 5(2)² = 5 × 4 = 20
राम की आयु = 20 वर्ष तथा श्याम की आयु = 2 वर्ष।

प्रश्न 2.
‘a’ का मान ज्ञात कीजिए ताकि द्विघात समीकरण (a – 12)x² + 2(a – 12)x + 2 = 0 के मूल समान हों।
हल
द्विघात समीकरण Ax² + Bx + C = 0 के मूल समान हों तो B² – 4AC = 0
द्विघात समीकरण Ax² + Bx + C = 0 की तुलना दी हुई द्विघात समीकरण (a – 12)x² + 2(a – 12)x + 2 = 0 से करने पर,
A = (a – 12), B = 2(a – 12), C = 2
B² – 4AC = 0 से,
⇒ [2(a – 12)]² – 4 × (a – 12) × 2 = 0
⇒ 4(a – 12)(a – 12 – 2) = 0
⇒ (a – 12)(a – 14) = 0
⇒ (a – 12)(a – 14) = 0 होने के लिए,
a – 12 = 0 ⇒ a = 12 असम्भव
तथा a – 14 = 0 ⇒ a = 14

प्रश्न 3.
हंसों की एक टोली में से हंसों की कुल संख्या के वर्गमूल के \(\frac{7}{2}\) गुना हंस तालाब के किनारे खेल रहे हैं। यदि शेष 2 हंस तालाब के पानी में स्नान कर रहे हैं तो हंसों की कुल संख्या ज्ञात कीजिए।
हल
माना हंसों की कुल संख्या x है।
तब, तालाब के किनारे खेलने वाले हंसों की संख्या = \(\frac {7}{2}\) × कुल संख्या का वर्गमूल
= \(\frac {1}{2}\) × √x
= \(\frac{7}{2} \sqrt{x}\)
शेष हंस जो पानी में स्नान कर रहे हैं = x – \(\frac{7}{2} \sqrt{x}\)
परन्तु पानी में स्नान करने वाले शेष हंसों की संख्या = 2
2 = x – \(\frac{7}{2} \sqrt{x}\) या \(\frac{7}{2} \sqrt{x}\) = x – 2
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
\(\frac{49}{4}\) x = (x – 2)²
⇒ 49x = 4(x – 2)²
⇒ 49x = 4(x² – 4x + 4)
⇒ 49x = 4x² – 16x + 16
⇒ 4x² – 65x + 16 = 0
⇒ (4x – 1) (x – 16) = 0
⇒ (4x – 1)(x – 16) = 0 होगा यदि,
x – 16 = 0 ⇒ x = 16
तथा 4x – 1 = 0 ⇒ x = \(\frac{1}{4}\)
परन्तु हंसों की संख्या भिन्नात्मक नहीं हो सकती।
अत: हंसों की कुल संख्या = 16

प्रश्न 4.
किसी आयताकर मैदान का विकर्ण उसकी छोटी भुजा से 60 मी अधिक लम्बा है। यदि उसकी बड़ी भुजा छोटी भुजा से 30 मी अधिक हो, तो मैदान का परिमाप ज्ञात कीजिए।
हल
माना मैदान की छोटी भुजा = x मी
बड़ी भुजा = (x + 30) मी
तथा विकर्ण = (x + 60) मी
परन्तु (विकर्ण)² = (बड़ी भुजा)² + (छोटी भुजा)²
⇒ (x + 60)² = (x + 30)² + x²
⇒ x² + 3600 + 120x = x² + 900 + 60x + x²
⇒ x² – 60x – 2700 = 0
⇒ x² – 90x + 30x – 2700 = 0
⇒ x(x – 90) + 30(x – 90) = 0
⇒ (x – 90) (x + 30) = 0
⇒ x = 90 या -30 (मान्य नहीं)
मैदान की छोटी भुजा = 90 मी
तथा बड़ी भुजा = 90 + 30 = 120 मी
मैदान का परिमाप = 2(बड़ी भुजा + छोटी भुजा)
= 2(120 + 90)
= 420 मी

प्रश्न 5.
दो क्रमागत धन सम संख्याओं के वर्गों का योग 244 है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल
माना दो क्रमागत धन सम संख्याएँ 2x व (2x + 2) हैं।
तब प्रश्नानुसार,
(2x)² + (2x + 2)² = 244
⇒ 4x² + 4x² + 4 + 8x = 244
⇒ 8x² + 8x – 240 = 0
⇒ x² + x – 30 = 0
⇒ x² + 6x – 5x – 30 = 0
⇒ x(x + 6) – 5(x + 6) = 0
⇒ (x + 6) (x – 5) = 0
यदि x + 6 = 0 तो x = -6 जोकि मान्य नहीं है।
यदि x – 5 = 0 तो x = 5
धन सम संख्याएँ क्रमश:
2 × 5 = 10 व 10 + 2 = 12 हैं।

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
पूर्ण वर्ग बनाने की विधि से समीकरण 5x² – 6x – 2 = 0 के मूल ज्ञात कीजिए।
हल
दिया गया समीकरण है : 5x² – 6x – 2 = 0

प्रश्न 2.
ऊँटों के झुण्ड का एक-चौथाई जंगल में देखा जाता है। झुण्ड के वर्गमूल का दोगुना पहाड़ी पर चला गया और शेष 15 ऊँटों को एक नदी के किनारे देखा जाता है। ऊँटों की कुल संख्या ज्ञात कीजिए।
हल
माना झुण्ड के कुल ऊँटों की संख्या x है।
तब, प्रश्नानुसार जंगल में गए ऊँटों की संख्या = \(\frac{x}{4}\)
तथा पहाड़ी पर गए ऊँटों की संख्या = 2√x
शेष ऊँटों की संख्या = x – \(\frac{x}{4}\) – 2√x = \(\frac{3 x}{4}\) – 2√x
परन्तु प्रश्नानुसार शेष ऊँटों की संख्या 15 है।
\(\frac{3 x}{4}\) – 2√x = 15
⇒ \(\frac{3 x}{4}\) – 15 = 2√x
⇒ \(\frac{3 x-60}{4}\) = 2√x
⇒ 3x – 60 = 8√x
⇒ (3x – 60)² = (8√x)² |दोनों पक्षों का वर्ग करने पर]
⇒ 9x² – 360x + 3600 = 64x
⇒ 9x² – 360x + 3600 – 64x = 0
⇒ 9x² – 424x + 3600 = 0
⇒ 9x² – (324 + 100)x + 3600 = 0
⇒ 9x² – 324x – 100x + 3600 = 0
⇒ 9x(x – 36) – 100(x – 36) = 0
⇒ (9x – 100)(x – 36) = 0
तब, (9x – 100) अथवा (x – 36) में से एक शून्य अवश्य होगा।
अब यदि 9x – 100 = 0 हो, तो x = \(\frac{100}{9}\) (एक भिन्नात्मक संख्या)
ऊँटों की संख्या पूर्ण ही हो सकती है, भिन्नात्मक नहीं; अत: x का मान \(\frac{100}{9}\) स्वीकार्य नहीं है।
तब, x – 36 का मान शून्य अवश्य होगा, अर्थात्
x – 36 = 0 ⇒ x = 36
अतः झुण्ड में ऊँटों की संख्या = 36

प्रश्न 3.
निम्नलिखित समीकरण को द्विघात समीकरण में समानीत करके हल कीजिए
\(8\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)-42\left(x-\frac{1}{x}\right)+29=0\)
हल
दिया गया समीकरण
\(8\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)-42\left(x-\frac{1}{x}\right)+29=0\)

प्रश्न 4.
मुम्बई से पूना तक की 192 किमी की दूरी तय करने में एक तेज चलने वाली गाड़ी, धीरे चलने वाली गाड़ी से 2 घण्टा कम समय लेती है। यदि धीरे चलने वाली गाड़ी की औसत चाल तेज चलने वाली गाड़ी की औसत चाल से 16 किमी/घण्टा कम हो, तो प्रत्येक गाड़ी की औसत चाल ज्ञात कीजिए।
हल
माना तेज चलने वाली गाड़ी की औसत चाल = x किमी/घण्टा
धीरे चलने वाली गाड़ी की औसत चाल = (x – 16) किमी/घण्टा
तेज चलने वाली गाड़ी द्वारा 192 किमी दूरी तय करने में लगा समय = \(\frac{192}{x}\) घण्टा
धीरे चलने वाली गाड़ी द्वारा 192 किमी दूरी तय करने में लगा समय = \(\frac{192}{x-16}\) घण्टा

⇒ x² – 16x = 96 × 16
⇒ x² – 16x – 1536 = 0
⇒ x² – 48x + 32x – 1536 = 0
⇒ x(x – 48) + 32(x – 48) = 0
⇒ (x – 48)(x + 32) = 0
यदि x – 48 = 0, तो x = 48
और यदि x + 32 = 0, तो x = -32 जो अग्राह्य है।
अत: x = 48 किमी/घण्टा
अत: तेज चलने वाली गाड़ी की औसत चाल = 48 किमी/घण्टा
तथा धीरे चलने वाली गाड़ी की औसत चाल = 48 – 16 = 32 किमी/घण्टा

प्रश्न 5.
एक नाव को जिसकी शान्त जल में चाल 15 किमी/घण्टा है, धारा की दिशा में 30 किमी जाने और फिर धारा के विपरीत दिशा में लौटने में कुल 4 घण्टा 30 मिनट लगता है। धारा की चाल ज्ञात कीजिए।
हल
शान्त जल में नाव की चाल = 15 किमी/घण्टा
माना, नदी की चाल = x किमी/घण्टा
धारा के अनुकूल नाव की चाल = (15 + x) किमी/घण्टा
धारा के विपरीत नाव की चाल = (15 – x) किमी/घण्टा
धारा के अनुकूल 30 किमी जाने में लगा समय = \(\left(\frac{30}{15+x}\right)\) घंटा
धारा के विपरीत 30 किमी जाने में लगा समय = \(\left(\frac{30}{15-x}\right)\) घंटा

⇒ 225 – x² = 200
⇒ x² = 225 – 200
⇒ x² = 25
⇒ x = ±5
परन्तु x ≠ -5, चूँकि चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती।
अत: x = 5
अतः धारा की चाल 5 किमी/घण्टा है।

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.4 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.4

Bihar Board Class 10 Maths द्विघात समीकरण Ex 4.4

प्रश्न 1.
निम्न द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए। यदि मूलों का अस्तित्व हो, तो उन्हें ज्ञात कीजिए :
(i) 2x² – 3x + 5 = 0
(ii) 3x² – 4√3x + 4 = 0
(iii) 2x² – 6x + 3 = 0
हल
(i) दिया गया समीकरण :
2x² – 3x + 5 = 0
उपर्युक्त समीकरण, की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 से करने पर,
a = 2, b = -3 तथा c = 5
विविक्तकर, D = b² – 4ac
=(-3)² – 4 × 2 × 5
= 9 – 40
= -31 (ऋणात्मक)
∵ विविक्तकर D ऋणात्मक है।
∵ समीकरण के मूल काल्पनिक हैं।
अतः समीकरण के मूल अधिकल्पित हैं या मूलों का अस्तित्व नहीं है।

(ii) दिया गया समीकरण :
3x² – 4√3x + 4 = 0
उपर्युक्त समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 से करने पर,
a = 3, b = -4√3 तथा c = 4
विविक्तकर, D = b² – 4ac
=(-4√3)² – 4 × 3 × 4
= 48 – 48
= शून्य
विविक्तकर D = 0; अत: समीकरण के मूल वास्तविक और समान हैं।

मूल दो हैं जो परस्पर समान हैं;
अत: समीकरण के मूल = \(\frac{2}{\sqrt{3}}, \frac{2}{\sqrt{3}}\)

(iii) दिया गया समीकरण :
2x² – 6x + 3 = 0
उपर्युक्त समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 से करने पर,
a = 2, b = -6 तथा c = 3
विविक्तकर, D = b² – 4ac
= (-6)² – 4 × 2 × 3
= 36 – 24
= 12
विविक्तकर, D > 0; अत: समीकरण के मूल वास्तविक और असमान हैं।

प्रश्न 2.
निम्न प्रत्येक द्विघात समीकरण में k का ऐसा मान ज्ञात कीजिए कि उसके दो बराबर मूल हों।
(i) 2x² + kx + 3 = 0
(ii) kx(x – 2) + 6 = 0
हल
(i) दिया गया समीकरण : 2x² + kx + 3 = 0
उपर्युक्त समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 से करने पर,
a = 2, b = k तथा c = 3
विविक्तकर, D = b² – 4ac
= k² – 4 × 2 × 3
= k² – 24
समीकरण के मूल समान हैं। तब, विविक्तकर, D = 0
k² – 24 = 0
⇒ k² = 24
⇒ k = ±√24 = ±2√6
अत: मूल बराबर होने के लिए k = ±2√6 होना चाहिए।

(ii) दिया गया समीकरण :
kx(x – 2) + 6 = 0
⇒ kx² – 2kx + 6 = 0
उपर्युक्त समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 से करने पर,
a = k, b = -2k तथा c = 6
विविक्तकर, D = b² – 4ac
= (-2k)² – 4 × k × 6
= 4k² – 24k
= 4k(k – 6)
समीकरण के मूल बराबर हैं, तब विविक्तकर, D = 0
4k(k – 6) = 0
यदि 4k = 0 तो k = 0
और यदि (k – 6) = 0 तो k = 6
अत: समीकरण के मूल बराबर होने के लिए k = 6 होना चाहिए क्योंकि k = 0 प्रतिबन्धित होता है।

प्रश्न 3.
क्या एक ऐसी आम की बगिया बनाना सम्भव है जिसकी लम्बाई, चौड़ाई से दुगुनी हो और उसका क्षेत्रफल 800 m² हो? यदि है, तो उसकी लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल
माना आम की बगिया की चौड़ाई x m है।
लम्बाई, चौड़ाई की दुगुनी है।
लम्बाई = 2x m
बगिया का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई = 2x × x = 2x² m²
परन्तु, दिया है कि बगिया का क्षेत्रफल = 800 m²
2x² = 800
⇒ x² = 400
⇒ x = ±√400 = ± 20 m
तब, बगिया की चौड़ाई = 20 m (∵ चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती)
बगिया की लम्बाई = 2x = 2 × 20 = 40 m
अत: आम की बगिया सम्भव है और उसकी लम्बाई 40 m व चौड़ाई 20 m होगी।

प्रश्न 4.
क्या निम्न स्थिति सम्भव है? यदि है, तो उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए :
दो मित्रों की आयु का योग 20 वर्ष है। चार वर्ष पूर्व उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल 48 था।
हल
माना एक मित्र की आयु x वर्ष है।
दोनों का आयु का योग 20 वर्ष है।
दूसरे मित्र की आयु = (20 – x) वर्ष
4 वर्ष पूर्व पहले मित्र की आयु = (x – 4) वर्ष
तथा 4 वर्ष पूर्व दूसरे मित्र की आयु = (20 – x – 4) = (16 – x) वर्ष
तब, 4 वर्ष पूर्व दोनों की आयु का गुणनफल = (x – 4) (16 – x)
= 16x – x² – 64 + 4x
= -x² + 20x – 64
दिया है, गुणनफल = 48
48 = -x² + 20x – 64
⇒ x² – 20x + 64 + 48 = 0
⇒ x² – 20x + 112 = 0
उपर्युक्त समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 से करने पर,
a = 1, b = -20 तथा c = 112
तब, विविक्तकर, D = b² – 4ac
= (-20)² – 4 × 1 × 112
= 400 – 448
= -48
विविक्तकर D ऋणात्मक है।
समीकरण के मूल अधिकल्पित हैं।
अत: ऐसी स्थिति सम्भव नहीं है।

प्रश्न 5.
क्या परिमाप 80 m तथा क्षेत्रफल 400 m² के एक पार्क को बनाना सम्भव है? यदि है, तो उसकी लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल
माना पार्क की लम्बाई x m है।
दिया है, पार्क का परिमाप = 80 m
⇒ 2 (लम्बाई + चौड़ाई) = 80 m
⇒ 2(x + चौड़ाई) = 80
⇒ x + चौड़ाई = 40
⇒ चौड़ाई = (40 – x) m
तब, पार्क का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
= x(40 – x)
= (40x – x²) m²
परन्तु प्रश्नानुसार पार्क का क्षेत्रफल 400 m² है।
400 = 40x – x²
⇒ x² – 40x + 400 = 0
उपर्युक्त समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 से करने पर,
a = 1, b = -40 तथा c = 400
विविक्तकर, D = b² – 4ac
= (-40)² – 4 × 1 × 400
= 1600 – 1600
= 0
विविक्तकर, D = 0;
अत: समीकरण के मूल समान हैं।

प्रत्येक मूल 20 है।
अत: ऐसा पार्क सम्भव है और उसकी लम्बाई व चौड़ाई में से प्रत्येक 20 m होगी।

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.2 Text Book Questions and Answers.

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Bihar Board Class 10 Maths द्विघात समीकरण Ex 4.2

प्रश्न 1.
गुणनखण्ड विधि से निम्न द्विघात समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए :
(i) x² – 3x – 10 = 0
(ii) 2x² + x – 6 = 0
(iii) √2x² + 7x + 5√2 = 0
(iv) 2x² – x + \(\frac{1}{8}\) = 0
(v) 100x² – 20x + 1 = 0
हल
(i) दिया हुआ द्विघात समीकरण :
x² – 3x – 10 = 0
⇒ x² – (5 – 2)x – 10 = 0 [मध्यपद के विखण्डन से]
⇒ x² – 5x + 2x – 10 = 0
⇒ x(x – 5) + 2(x – 5) = 0
⇒ (x – 5) (x + 2) = 0
यदि x – 5 = 0, तो x = 0 + 5 ⇒ x = 5
और यदि x + 2 = 0, तो x = 0 – 2 ⇒ x = -2
अत: द्विघात समीकरण के मूल = 5, -2

(ii) दिया हुआ द्विघात समीकरण :
2x² + x – 6 = 0
⇒ 2x² + (4 – 3)x – 6 = 0 [मध्यपद के विखण्डन से]
⇒ 2x² + 4x – 3x – 6 = 0
⇒ 2x(x + 2) – 3(x + 2) = 0
⇒ (x + 2) (2x – 3) = 0
⇒ (x + 2) (2x – 3) = 0
यदि x + 2 = 0 हो, तो x = 0 – 2 ⇒ x = -2
और यदि 2x – 3 = 0 हो, तो 2x = 0 + 3 ⇒ 2x = 3 या x = \(\frac{3}{2}\)
अत: द्विघात समीकरण के मूल = -2, \(\frac{3}{2}\)

(iii) दिया हुआ द्विघात समीकरण :
√2x² + 7x + 5√2 = 0
⇒ √2x² + (5 + 2)x + 5√2 = 0 [मध्यपद के विखण्डन से]
⇒ √2x² + 5x + 2x + 5√2 = 0
⇒ (√2x² + 5x) (2x + 5√2) = 0
⇒ x(√2x + 5) + √2(√2x + 5) = 0
⇒ (√2x + 5) (x + √2) = 0
⇒ (√2x + 5) (x + √2) = 0
यदि √2x + 5 = 0 हो, तो √2x = 0 – 5 या x = \(\frac{-5}{\sqrt{2}}\) और
यदि x + √2 = 0 हो, तो x = -√2
अतः द्विघात समीकरण के मूल = \(\frac{-5}{\sqrt{2}}\), -√2

(iv) दिया हुआ द्विघात समीकरण :
2x² – x + \(\frac{1}{8}\) = 0
⇒ 16x² – 8x + 1 = 0 [दोनों पक्षों को 8 से गुणा करने पर]
⇒ (4x)² – 2 × 4x × 1 + (1)² = 0 [पूर्ण वर्ग बनाने पर]
⇒ (4x – 1)² = 0 [∵ (a – b)² = a² – 2ab + b²]
⇒ (4x – 1) (4x – 1) = 0
प्रत्येक स्थिति में 4x – 1 = 0 ⇒ x = \(\frac{1}{4}\)
अतः द्विघात समीकरण के मूल = \(\frac{1}{4}\), \(\frac{1}{4}\)

(v) दिया हुआ द्विघात समीकरण :
100x² – 20x + 1 = 0
⇒ 100x² – (10 + 10)x + 1 = 0 [ मध्यपद के विखण्डन से]
⇒ 100x² – 10x – 10x + 1 = 0
⇒ 100x² – 10x – 10x + 1 = 0
⇒ 10x(10x – 1) – 1 (10x – 1) = 0
⇒ (10x – 1) (10x – 1) = 0
प्रत्येक स्थिति में 10x – 1 = 0
⇒ x = \(\frac{1}{10}\)
अतः द्विघात समीकरण के मूल = \(\frac{1}{10}\), \(\frac{1}{10}\)

प्रश्न 2.
निम्न स्थितियों को गणितीय रूपमें व्यक्त कीजिए :
(i) जॉन और जीवंती के पास कुल मिलाकर 45 कंचे हैं। दोनों पाँच-पाँच कंचे खो देते हैं और अब उनके पास कंचों की संख्या का गुणनफल 124 है। हम जानना चाहेंगे कि आरम्भ में उनके पास कितने कंचे थे?
(ii) एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ खिलौने निर्मित करता है। प्रत्येक खिलौने का मूल्य ₹55 में से एक दिन में निर्माण किए गए खिलौनों की संख्या को घटाने से प्राप्त संख्या के बराबर है। किसी एक दिन, कुल निर्माण लागत ₹750 थी। हम उस दिन निर्माण किए गए खिलौनों की संख्या ज्ञात करना चाहेंगे।
हल
(i) माना आरम्भ में जॉन के पास x कंचे थे।
दोनों के पास कुल कंचों की संख्या = 45
जीवन्ती के पास प्रारम्भ में कंचों की संख्या = (45 – x)
जब जॉन 5 कंचे खो देता है, तो उसके पास शेष बचे कंचों की संख्या = (x – 5)
इसी प्रकार, जब जीवन्ती 5 कंचे खो देती है, तो उसके पास शेष बचे कंचों की संख्या = (45 – x – 5) = (40 – x)
अब, कंचों की संख्या का गुणनफल = (x – 5) (40 – x)
= 40x – x² – 200 + 5x
= -x² + 45x – 200
परन्तु प्रश्नानुसार कंचों की संख्या का गुणनफल 124 है।
-x² + 45x – 200 = 124
⇒ -x² + 45x – 200 – 124 = 0 [पक्षान्तरण से]
⇒ -x² + 45x – 324 = 0
⇒ -(x² – 45x + 324) = 0
⇒ x² – 45x + 324 = 0
⇒ x² – (36 + 9)x + 324 = 0 [मध्यपद के विखण्डन से]
⇒ x² – 36x – 9x + 324 = 0
⇒ x² – 36x – 9x + 324 = 0
⇒ x(x – 36) – 9(x – 36) = 0
⇒ (x – 36) (x – 9) = 0
यदि x – 36 = 0, तो x = 36
और यदि x – 9 = 0, तो x = 9
अत: जॉन के पास कंचों की संख्या = 36 अथवा 9
तब स्पष्ट है कि यदि जॉन के पास 36 कंचे हैं, तो जीवन्ती के पास 9 कंचे होंगे।
और यदि जॉन के पास 9 कंचे हैं तो जीवन्ती के पास 36 कंचे होंगे।
अतः उनके पास कंचों की संख्या (9, 36) अथवा (36, 9).

(ii) माना उस दिन निर्मित खिलौनों की संख्या x है।
प्रश्नानुसार, प्रत्येक खिलौने का मूल्य = ₹ (55 – x)
उस दिन निर्मित सभी x खिलौनों की लागत = ₹ x(55 – x) = ₹ (55x – x²)
परन्तु उस दिन की निर्माण लागत = ₹ 750
55x – x² = 750
⇒ 55x – x² – 750 = 0 [पक्षान्तरण से]
⇒ x² – 55x + 750 = 0
⇒ x² – (25 + 30)x + 750 = 0 [मध्यपद के विखण्डन से]
⇒ x² – 25x – 30x + 750 = 0
⇒ x² – 25x – 30x + 750 = 0
⇒ x(x – 25) – 30(x – 25) = 0
⇒ (x – 25) (x – 30) = 0
यदि x – 25 = 0, तो x = 25
और यदि x – 30 = 0 तो x = 30
अतः निर्माण किए गए खिलौनों की संख्या = 25 या 30

प्रश्न 3.
ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए, जिनका योग 27 हो और गुणनफल 182 हो।
हल
माना एक संख्या x है।
दूसरी संख्या = (27 – x) होगी।
तब संख्याओं का गुणनफल = x(27 – x) = 27x – x²
परन्तु दो संख्याओं का गुणनफल = 182
182 = 27x – x²
⇒ x² – 27x + 182 = 0 [पक्षान्तरण से]
⇒ x² – (14 + 13)x + 182 = 0 [मध्यपद के विखण्डन से]
⇒ x² – 14x – 13x + 182 = 0
⇒ x(x – 14) – 13(x – 14) = 0
⇒ (x – 14) (x – 13) = 0
यदि x – 14 = 0, तो x = 14
और यदि x – 13 = 0, तो x = 13
पहली संख्या = 14 अथवा 13
यदि पहली संख्या 14 तो दूसरी 13 होगी; और पहली संख्या 13 तो दूसरी 14 होगी।
अत: अभीष्ट संख्याएँ = (14, 13) अथवा (13, 14)

प्रश्न 4.
दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 365 हो।
हल
माना दो क्रमागत धन पूर्णांक x तथा x + 1 हैं।
प्रश्नानुसार, पूर्णांकों के वर्गों का योग 365 है।
x² + (x + 1)² = 365
⇒ x² + x² + 2x + 1 = 365 [∵ (a + b)² = a² + 2ab + b²]
⇒ 2x² + 2x + 1 – 365 = 0 [पक्षान्तरण से]
⇒ 2x² + 2x – 364 = 0
⇒ 2(x² + x – 182) = 0
⇒ x² + x – 182 = 0
⇒ x² + (14 – 13)x – 182 = 0 [मध्यपद के विखण्डन से]
⇒ x² + 14x – 13x – 182 = 0
⇒ x(x + 14) – 13(x + 14) = 0
⇒ (x + 14) (x – 13) = 0
यदि x + 14 = 0, तो x = -14;
और यदि x – 13 = 0, तो x = 13
परन्तु x एक धन पूर्णांक है। इसलिए x का मान -14 स्वीकार्य नहीं है, तब x = 13
अत: पहला पूर्णांक = 13 और अगला धन पूर्णांक = 13 + 1 = 14

प्रश्न 5.
एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई इसके आधार से 7 cm कम है। यदि कर्ण 13 cm का हो तो अन्य दो भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
हल
माना समकोण त्रिभुज की आधार भुजा x cm है
समकोण त्रिभुज की ऊँचाई आधार से 7 cm कम है।
समकोण त्रिभुज की ऊँचाई या लम्ब भुजा = (x – 7) cm
तब, पाइथागोरस प्रमेय से,
(लम्ब)² + (आधार)² = (कर्ण)²
⇒ (x – 7)² + x² = (13)² [∵ दिया है, कर्ण = 13 cm]
⇒ x² – 14x + 49 + x² = 169 [∵ (a – b)² = a² – 2ab + b²]
⇒ 2x² – 14x + 49 – 169 = 0 [पक्षान्तरण से]
⇒ 2x² – 14x – 120 = 0
⇒ 2(x² – 7x – 60) = 0
⇒ x² – 7x – 60 = 0
⇒ x² – (12 – 5)x – 60 = 0 [मध्यपद के विखण्डन से ]
⇒ x² – 12x + 5x – 60 = 0
⇒ (x² – 12x) + (5x – 60) = 0
⇒ x(x – 12) + 5 (x – 12) = 0
⇒ (x – 12) (x + 5) = 0
यदि x – 12 = 0, तो x = 12
और यदि (x + 5) = 0, तो x = -5
परन्तु भुजा x का ऋणात्मक मान स्वीकार्य नहीं हो सकता जिससे x = 12
तब, ऊँचाई या लम्ब भुजा = x – 7 = 12 – 7 = 5 cm
अत: त्रिभुज की अन्य दो भुजाएँ = 5 cm व 12 cm

प्रश्न 6.
एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ बर्तनों का निर्माण करता है। एक विशेष दिन यह देखा गया कि प्रत्येक नग की निर्माण लागत (₹ में) उस दिन के निर्माण किए बर्तनों की संख्या के दुगुने से 3 अधिक थी। यदि उस दिन की कुल निर्माण लागत ₹ 90 थी, तो निर्मित बर्तनों की संख्या और प्रत्येक नग की लागत ज्ञात कीजिए।
हल
माना उस विशेष दिन में निर्मित बर्तनों की संख्या x थी।
प्रत्येक नग की लागत निर्मित बर्तनों की संख्या के दुगुने से 3 अधिक थी।
प्रत्येक नग की लागत = ₹ (2x + 3)
तब उस दिन निर्मित सभी बर्तनों की लागत = ₹x × (2x + 3) = ₹ (2x² + 3x)
प्रश्नानुसार, उस दिन की कुल निर्माण लागत = ₹ 90
⇒ 2x² + 3x = 90
⇒ 2x² + 3x – 90 = 0 [पक्षान्तरण से]
⇒ 2x² + (15 – 12)x – 90 = 0 [मध्यपद के विखण्डन से]
⇒ 2x² + 15x – 12x – 90 = 0
⇒ x(2x + 15) – 6(2x + 15) = 0
⇒ (2x + 15)(x – 6) = 0
यदि x – 6 = 0, तो x = 6
और यदि 2x + 15 = 0 हो, तो x = \(-\frac{15}{2}\)
बर्तनों की संख्या x ऋणात्मक नहीं हो सकती जिससे x का ऋणात्मक मान स्वीकार्य नहीं है।
अत: x = 6 अर्थात् निर्मित बर्तनों की संख्या = 6
तब, प्रत्येक नग की लागत = ₹ (2x + 3)
= ₹ (2 × 6) + 3
= ₹(12 + 3)
= ₹15
अत: निर्मित बर्तनों की संख्या 6 तथा प्रत्येक नग की लागत ₹ 15 है।

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.1 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.1

Bihar Board Class 10 Maths द्विघात समीकरण Ex 4.1

प्रश्न 1.
जाँच कीजिए कि क्या निम्न द्विघात समीकरण हैं :
(i) (x + 1)² = 2(x – 3)
(ii) x² – 2x = (-2)(3 – x)
(iii) (x – 2)(x + 1) = (x – 1) (x + 3)
(iv) (x – 3) (2x + 1) = x(x + 5)
(v) (2x – 1)(x – 3) = (x + 5)(x – 1)
(vi) x² + 3x + 1 = (x – 2)²
(vii) (x + 2)³ = 2x(x² – 1)
(viii) x³ – 4x² – x + 1 = (x – 2)³
हल
(i) दिया गया समीकरण :
(x + 1)² = 2(x – 3)
⇒ x² + 2x + 1 = 2(x – 3) [∵ (a + b)² = a² + 2ab + b²]
⇒ x² + 2x + 1 = 2x – 6 [दाएँ पक्ष को सरल करने पर ]
⇒ x² + 2x + 1 – 2x + 6 = 0 [पक्षान्तरण से]
⇒ x² + 7 = 0
उक्त समीकरण में चर x की अधिकतम घात 2 है।
अत: दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण है।

(ii) दिया गया समीकरण :
x² – 2x = (-2)(3 – x)
⇒ x² – 2x = -6 + 2x [सरल करने पर]
⇒ x² – 2x – 2x + 6 = 0 [पक्षान्तरण से]
⇒ x² – 4x + 6 = 0
उक्त समीकरण में चर x की अधिकतम घात 2 है।
अत: दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण है।

(iii) दिया गया समीकरण :
(x – 2) (x + 1) = (x – 1) (x + 3)
⇒ x(x + 1) – 2(x + 1) = x(x + 3) – 1(x + 3) [सरल करने पर]
⇒ x² + x – 2x – 2 = x² + 3x – x – 3
⇒ x² – x – 2 = x² + 2x – 3
⇒ x² – x – 2 – x² – 2x + 3 = 0 [पक्षान्तरण से]
⇒ -3x + 1 = 0 [सरल करने पर]
उक्त समीकरण में चर x की अधिकतम घात 2 नहीं है।
अतः दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण नहीं है।

(iv) दिया गया समीकरण :
(x – 3) (2x + 1) = x(x + 5)
⇒ x(2x + 1) – 3(2x + 1) = x(x + 5) [सरल करने पर]
⇒ 2x² + x – 6x – 3 = x² + 5x [सरल करने पर]
⇒ 2x² + x – 6x – 3 – x² – 5x = 0 [पक्षान्तरण से]
⇒ x² – 10x – 3 = 0 [सरल करने पर]
उक्त समीकरण में चर x की अधिकतम घात 2 है।
अत: दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण है।

(v) दिया गया समीकरण :
(2x – 1) (x – 3) = (x + 5) (x – 1)
⇒ 2x(x – 3) – 1(x – 3) = x(x – 1) + 5(x – 1) [सरल करने पर]
⇒ 2x² – 6x – 1x + 3 = x² – 1x + 5x – 5 [सरल करने पर]
⇒ 2x² – 7x + 3 = x² +4x – 5
⇒ 2x² – 7x + 3 – x² – 4x + 5 = 0 [पक्षान्तरण से]
⇒ x² – 11x + 8 = 0
उक्त समीकरण में चर x की अधिकतम घात 2 है।
अत: दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण है।

(vi) दिया गया समीकरण :
x² + 3x + 1 = (x – 2)²
⇒ x² + 3x + 1 = x² – 4x + 4 [∵ (a – b)² = a² – 2ab + b²]
⇒ x² + 3x + 1 – x² + 4x – 4 = 0 [पक्षान्तरण से]
⇒ 3x + 1 + 4x – 4 = 0 [सरल करने पर]
⇒ 7x – 3 = 0
उक्त समीकरण में चर x की अधिकतम घात 2 नहीं है।
अत: दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण नहीं है।

(vii) दिया गया समीकरण :
(x + 2)³ = 2x(x² – 1)
⇒ x³ + (2)³ + 3 × x × 2(x + 2) = 2x(x² – 1) [∵ (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b)]
⇒ x³ + 8 + 6x² + 12x = 2x³ – 2x [सरल करने पर]
⇒ x³ + 8 + 6x² + 12x – 2x³ + 2x = 0 [पक्षान्तरण से]
⇒ -x³ + 6x² + 14x + 8 = 0 [सरल करने पर]
उक्त समीकरण में चर x की अधिकतम घात 2 नहीं है।
अतः दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण नहीं है।

(viii) दिया गया समीकरण :
x³ – 4x² – x + 1 = (x – 2)³
⇒ x³ – 4x² – x + 1 = x³ – (2)³ – 3 × x × 2(x – 2) [∵ (a – b)³ = a³ – b³ – 3ab(a – b)]
⇒ x³ – 4x² – x + 1 = x³ – 8 – 6x(x – 2) [सरल करने पर]
⇒ x³ – 4x² – x + 1 = x³ – 8 – 6x² + 12x [सरल करने पर]
⇒ x³ – 4x² – x + 1 – x³ + 8 + 6x² – 12x = 0 [पक्षान्तरण से]
⇒ 2x² – 13x + 9 = 0
उक्त समीकरण में चर x की अधिकतम घात 2 है।
अत: दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण है।

प्रश्न 2.
निम्न स्थितियों को द्विघात समीकरणों के रूप में निरूपित कीजिए :
(i) एक आयताकार भूखण्ड का क्षेत्रफल 528 मीटर है। क्षेत्र की लम्बाई (मीटरों में) चौड़ाई के दुगुने से एक अधिक है। हमें भूखण्ड की लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात करनी है।
(ii) दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 306 है। हमें पूर्णांकों को ज्ञात करना है।
(iii) रोहन की माँ उससे 26 वर्ष बड़ी है। उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल अब से तीन वर्ष पश्चात् 360 हो जाएगा। हमें रोहन की वर्तमान आयु ज्ञात करनी है।
(iv) एक रेलगाड़ी 480 km की दूरी समान चाल से तय करती है। यदि इसकी चाल 8 km/h कम होती, तो वह उसी दूरी को तय करने में 3 घंटे अधिक लेती। हमें रेलगाड़ी की चाल ज्ञात करनी है।
हल
(i) माना भूखण्ड की चौड़ाई x मीटर है।
प्रश्नानुसार, भूखण्ड की लम्बाई, उसकी चौड़ाई के दोगुने से 1 मीटर अधिक है।
भूखण्ड की लम्बाई = (2 × चौड़ाई) + 1
= (2 × x) + 1
= (2x + 1) मीटर
आयताकार भूखण्ड का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
भूखण्ड का क्षेत्रफल = (2x + 1) × (x) वर्ग मीटर = (2x² + x) वर्ग मीटर
परन्तु भूखण्ड का क्षेत्रफल = 528 वर्ग मीटर
2x² + x = 528
⇒ 2x² + x – 528 = 0
अत: अभीष्ट द्विघात समीकरण : 2x² + x – 528 = 0

(ii) माना पहला धन पूर्णांक =x तथा दूसरा क्रमागत धन पूर्णांक = (x + 1)
पूर्णांकों का गुणनफल = x(x + 1) = x² + x
परन्तु पूर्णांकों का गुणनफल = 306
x² + x = 306
⇒ x² + x – 306 = 0
अत: अभीष्ट द्विघात समीकरण : x² + x – 306 = 0

(iii) माना रोहन की वर्तमान आयु = x वर्ष
उसकी माँ रोहन से 26 वर्ष बड़ी है।
रोहन की माँ की वर्तमान आयु = (x + 26) वर्ष
तीन वर्ष बाद, रोहन की आयु (x + 3) वर्ष तथा उसकी माँ की आयु (x + 26 + 3) या (x + 29) वर्ष हो जाएगी।
रोहन और उसकी माँ की आयु का गुणनफल = (x + 3) (x + 29)
= x(x + 29) + 3(x + 29)
= x² + 29x + 3x + 87
= x² + 32x + 87
प्रश्नानुसार, आयु का गुणनफल = 360
x² + 32x + 87 = 360
⇒ x² + 32x + 87 – 360 = 0
⇒ x² + 32x – 273 = 0
अत: अभीष्ट द्विघात समीकरण : x² + 32x – 273 = 0

(iv) माना रेलगाड़ी की चाल x km/h है।
निर्धारित दूरी = 480 km
रेलगाड़ी को 460 km दूरी तय करने में लगने वाला समय = \(\frac{480}{x}\) घंटे

यदि रेलगाड़ी की चाल 8 km/h कम होती तब रेलगाड़ी की चाल = (x – 8) km/h
रेलगाड़ी को 480 km दूरी चलने में लगा समय = \(\frac{480}{x-8}\) घंटे।

⇒ 3x² – 24x = 3840 [वज्रगुणन से]
⇒ 3x² – 24x – 3840 = 0 [पक्षान्तरण से]
⇒ 3(x² – 8x – 1280) = 0 [3 सार्व लेने पर ]
⇒ x² – 8x – 1280 = 0 [दोनों पक्षों में 3 से भाग देने पर]
अत: अभीष्ट द्विघात समीकरण : x² – 8x – 1280 = 0

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Additional Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Additional Questions

Bihar Board Class 10 Maths दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Additional Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
आलेखीय रूप से,
6x – 3y + 10 = 0
2x – y + 9 = 0
समीकरणों का युग्म दो रेखाएँ निरूपित करता है, जो
(i) ठीक एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती हैं
(ii) ठीक दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करती हैं
(iii) संपाती हैं
(iv) समांतर हैं
हल
(iv) समांतर हैं

प्रश्न 2.
समीकरण x + 2y + 5 = 0 और -3x – 6y + 1 = 0 के युग्म
(i) का एक अद्वितीय हल है
(ii) के ठीक दो हल हैं
(iii) के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं
(iv) का कोई हल नहीं है
हल
(iv) का कोई हल नहीं है

प्रश्न 3.
यदि रैखिक समीकरणों का कोई युग्म संगत है, तो इसके आलेख की रेखाएँ होंगी
(i) समान्तर
(ii) सदैव संपाती
(iii) प्रतिच्छेदी या संपाती
(iv) सदैव प्रतिच्छेदी
हल
(iii) प्रतिच्छेदी या संपाती

प्रश्न 4.
समीकरण y = 0 और y = -7 के युग्म
(i) का एक हल है
(ii) के दो हल हैं
(iii) अपरिमित रूप से अनेक हल हैं
(iv) का कोई हल नहीं है
हल
(iv) का कोई हल नहीं है

प्रश्न 5.
समीकरण x = a और y = b का युग्म आलेखीय रूप वे रेखाएँ निरूपित करता है, जो
(i) समांतर हैं
(ii) (b, a) पर प्रतिच्छेद करती हैं
(iii) संपाती हैं
(iv) (a, b) पर प्रतिच्छेद करती हैं
हल
(iv) (a, b) पर प्रतिच्छेद करती हैं

प्रश्न 6.
k के किस मान के लिए समीकरण 3x – y + 8 = 0 और 6x – ky = -16 संपाती रेखाएँ निरूपित करते हैं?
(i) \(\frac{1}{2}\)
(ii) \(\frac{-1}{2}\)
(iii) 2
(iv) -2
हल
(iii) 2

प्रश्न 7.
यदि 3x + 2ky = 2 और 2x + 5y + 1 = 0 द्वारा दी जाने वाली रेखाएँ परस्पर समांतर हैं, तो k का मान है
(i) \(\frac{-5}{4}\)
(ii) \(\frac{2}{5}\)
(iii) \(\frac{15}{4}\)
(iv) \(\frac{3}{2}\)
हल
(ii) \(\frac{2}{5}\)

प्रश्न 8.
c का वह मान, जिसके लिए समीकरणों cx – y = 2 और 6x – 2y = 3 के युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे, है
(i) 3
(ii) -3
(iii) -12
(iv) कोई मान नहीं
हल
(iv) कोई मान नहीं

प्रश्न 9.
आश्रित रैखिक समीकरणों के युग्म का एक समीकरण -5x + 7y = 2 है। दूसरा समीकरण हो सकता है
(i) 10x + 14y + 4 = 0
(ii) -10x – 14y + 4 = 0
(iii) -10x + 14y + 4 = 0
(iv) 10x – 14y = -4
हल
(iv) 10x – 14y = -4

प्रश्न 10.
एक अद्वितीय हल x = 2, y = -3 वाले समीकरण का एक युग्म है
(i) x + y = -1
2x – 3y = -5
(ii) 2x + 5y = -11
4x + 10y = -22
(iii) 2x – y = 1
3x + 2y = 0
(iv) x – 4y – 14 = 0
5x – y – 13 = 0
हल
(ii) 2x + 5y = -11
4x + 10y = -22

प्रश्न 11.
यदि x = a और y = b समीकरणों x – y = 2 और x + y = 4 का हल है, तो a और b के मान क्रमशः हैं
(i) 3 और 5
(ii) 5 और 3
(iii) 3 और 1
(iv) -1 और -3
हल
(iii) 3 और 1

प्रश्न 12.
अरुणा के पास केवल 1 और ₹ 2 के सिक्के हैं। यदि उसके पास कुल 50 सिक्के हैं तथा कुल धनराशि ₹ 75 है, तो ₹ 1 और ₹ 2 के सिक्कों की संख्याएँ क्रमशः हैं
(i) 35 और 15
(ii) 35 और 20
(iii) 15 और 35
(iv) 25 और 25
हल
(iv) 25 और 25

प्रश्न 13.
पिता की आयु पुत्र की आयु की 6 गुनी है। चार वर्ष के बाद, पिता की आयु अपने पुत्र की आयु की चार गुनी होगी। पुत्र और पिता की वर्तमान आयु (वर्षों में ) क्रमशः हैं
(i) 4 और 24
(ii) 5 और 30
(iii) 6 और 36
(iv) 3 और 24
हल
(iii) 6 और 36

अतिलघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
दिखाइए कि निम्न रैखिक समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल है।
3x – 4y = 10 तथा 4x + 3y = 5
हल
दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म
3x – 4y – 10 = 0 …….. (1)
4x + 3y – 5 = 0 …….(2)
उपर्युक्त समीकरण युग्म की तुलना रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁y = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,

दिए गए समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल है।

प्रश्न 2.
बिना ग्राफ की सहायता के बताइए कि रेखाएँ 4x + 6y – 18 = 0 और 2x + 3y – 6 = 0 प्रतिच्छेदी हैं या सम्पाती हैं या समान्तर हैं?
हल
दिए गए समीकरणों का युग्म
4x + 6y – 18 = 0 ……(1)
2x + 3y – 6 = 0 …….(2)
उपर्युक्त समीकरण युग्म की तुलना रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,

अत: समीकरण युग्म द्वारा निरूपित ऋजु रेखाएँ समान्तर हैं।

प्रश्न 3.
किसी स्कूल के विद्यार्थियों को उनके समग्र शैक्षिक प्रदर्शन के लिए 7 नकद पुरस्कार देने के लिए ₹ 700 की राशि रखी गई है। यदि प्रत्येक पुरस्कार अपने से ठीक पहले पुरस्कार से ₹ 20 कम है, तो प्रत्येक पुरस्कार का मान ज्ञात कीजिए।
हल
माना सबसे कम पुरस्कार की राशि ₹ x हैं।
7 पुरस्कारों का मूल्य = ₹ x , ₹ (x + 20), ₹ (x + 40), ₹ (x + 60), ₹ (x + 80) , ₹ (x + 100), ₹ (x + 120)
प्रश्नानुसार, x + x + 20 + x + 40 + x + 60 + x + 80 + x + 100 + x + 120 = 700
⇒ 7x + 420 = 700
⇒ 7x = 700 – 420 = 280
⇒ x = 40
अतः पुरस्कारों की राशि ₹ 40, ₹ 60 , ₹ 80 , ₹ 100 ,₹ 120 , ₹ 140 तथा ₹ 160 है।

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
निम्नलिखित समीकरण युग्म को ग्राफीय विधि से हल कीजिए-
5x – y – 7 = 0 तथा x – y + 1 = 0
हल
1. दिए हुए समीकरण युग्म का पहला समीकरण
5x – y – 7 = 0
2. माना x = 0, तब x का यह मान समीकरण 5x – y – 7 = 0 में रखने पर,
(5 × 0) – y – 7 = 0
⇒ 0 – y – 7 = 0
⇒ y = -7
3. तब समीकरण 5x – y – 7 = 0 के आलेख पर एक बिन्दु A = (0, -7)
4. पुनः माना x = 1, तब x का यह मान समीकरण 5x – y – 7 = 0 में रखने पर,
(5 × 1) – y – 7 = 0
⇒ 5 – y – 7 = 0
⇒ y = -2
5. तब समीकरण 5x – y – 7 = 0 के आलेख पर एक बिन्दु B = (1, -2)
6. ग्राफ पेपर पर बिन्दुओं A = (0, -7) तथा B = (1, -2) का आलेखन (plotting) कीजिए और दिए हुए समीकरण का आलेख ऋजु रेखा AB खींचिए।
7. दिए हुए समीकरण युग्म का दूसरा समीकरण x – y + 1 = 0
8. माना x = 3, तब x का यह मान समीकरण x – y + 1 = 0 में रखने पर,
3 – y + 1 = 0
⇒ 3 + 1 = 0 + y
⇒ y = 4
9. तब समीकरण x – y + 1 = 0 के आलेख पर एक बिन्दु C = (3, 4)
10. पुन: माना x = 5, तब x का यह मान समीकरण x – y + 1 = 0 में रखने पर,
5 – y + 1 = 0 या 5 + 1 = 0 + y या y = 6

11. तब समीकरण x – y + 1 = 0 के आलेख पर एक बिन्दु D = (5, 6)
12. उन्हीं निर्देशाक्षों, जिन पर समीकरण 5x – y – 7 = 0 का आलेख खींचा है, पर बिन्दुओं C = (3, 4) व D = (5, 6) का आलेखन कीजिए और समीकरण x – y + 1 = 0 का आलेख ऋजु रेखा CD खींचिए।
13. ऋजु रेखाओं AB और CD के प्रतिच्छेद बिन्दु P(h, k) के निर्देशांक आलेख की सहायता से पढ़िए। यहाँ P(h, k) = (2, 3)
अत: दिए गए समीकरण युग्म का हल x = 2, y = 3

प्रश्न 2.
समीकरण युग्म x + 3y = 6 और 2x – 3y = 12 के लिए दिए गए आलेखन को देखिए और अपनी उत्तर-पुस्तिका में निम्न प्रश्नों के उत्तर लिखिए-
(a) समीकरण युग्मों का हल क्या है?
(b) समीकरण युग्मों और Y-अक्ष से निर्मित क्षेत्र का क्षेत्रफल कितना है?

हल
(a) ग्राफ से स्पष्ट है कि समीकरण युग्मों का प्रतिच्छेद बिन्दु (6, 0) है,
अत: समीकरण युग्मों का हल x = 6 तथा y = 0
(b) त्रिभुज के शीर्ष A(6, 0), B(0, 2) तथा C(0, -4) हैं।
अतः त्रिभुज के आधार की लम्बाई BC = OC + OB = 4 + 2 = 6
त्रिभुज की ऊँचाई OA = 6
अत: त्रिभुज का क्षेत्रफल = Δ = \(\frac {1}{2}\) × BC × OA
= \(\frac {1}{2}\) × 6 × 6
= 18 वर्ग मात्रक

प्रश्न 3.
समीकरणों √x + √y = 5 तथा x + y = 13 को हल कीजिए।
हल
दिए गए समीकरणों का युग्म
√x + √y = 5 ……..(1)
x + y = 13 …….. (2)
समीकरण (2) से,
y = 13 – x ……..(3)
समीकरण (1) में y का मान रखने पर,
√x + \(\sqrt{13-x}\) = 5
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,

पुन: दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
13x – x² = 36
⇒ x² – 13x + 36 = 0
⇒ x² – (4x + 9x) + 36 = 0
⇒ x² – 4x – 9x + 36 = 0
⇒ x(x – 4) – 9(x – 4) = 0
⇒ (x – 4) (x – 9) = 0
द्विपद x2 – 13x + 36 को शून्य होने के लिए,
x – 4 = 0 = x = 4
x – 9 = 0 = x = 9
समीकरण (3) में x = 4 रखने पर, y = 13 – 4 = 9
पुन: समीकरण (3) में x = 9 रखने पर, y = 13 – 9 = 4
अतः समीकरण युग्म का हल
x = 4, 9 तथा y = 9, 4

प्रश्न 4.
समीकरणों \(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=3\) और \(\frac{2}{x}-\frac{4}{y}=2\) को हल कीजिए।
हल
दिए गए समीकरणों का युग्म

समीकरण (1) तथा समीकरण (2) को जोड़ने पर,

समीकरण (1) में से समीकरण (2) को घटाने पर,

अत: समीकरणों के युग्म का हल x = \(\frac{1}{2}\) तथा y = 2

प्रश्न 5.
6 वर्ष बाद एक आदमी की आयु उसके पुत्र की आयु की 3 गुनी हो जाएगी और 3 वर्ष पूर्व वह अपने पुत्र की आयु का 9 गुना था। उनकी वर्तमान आयुज्ञात कीजिए।
हल
माना आदमी की वर्तमान आयु x वर्ष है और उसके पुत्र की वर्तमान आयु y वर्ष है।
तब, 6 वर्ष के बाद उस आदमी की आयु = (x + 6) वर्ष
तथा 6 वर्ष के बाद उस आदमी के पुत्र की आयु = (y + 6) वर्ष
प्रश्नानुसार, 6 वर्ष बाद आदमी की आयु = 3 × (6 वर्ष बाद उस आदमी के पुत्र की आयु)
(x + 6) = 3(y + 6)
⇒ x + 6 = 3y + 18
⇒ x – 3y = 12 …….(1)
3 वर्ष पूर्व उस आदमी की आयु = (x – 3) वर्ष
और 3 वर्ष पूर्व उस आदमी के पुत्र की आयु = (y – 3) वर्ष
तब प्रश्नानुसार, 3 वर्ष पूर्व उस आदमी की आयु = 9 × (3 वर्ष पूर्व उस आदमी के पुत्र की आयु)
(x – 3) = 9 × (1 – 3)
⇒ x – 3 = 9y – 27
⇒ x = 9y – 27 + 3
⇒ x = 9y – 24 ……(2)
समीकरण (2) से x का मान समीकरण (1) में रखने पर,
9y – 24 – 3y = 12
⇒ 6y = 12 + 24
⇒ 6y = 36
⇒ y = 6
समीकरण (2) में y का मान रखने पर,
x = (9 × 6) – 24 = 54 – 24 = 30
अतः आदमी की वर्तमान आयु = 30 वर्ष
तथा उसके पुत्र की वर्तमान आयु = 6 वर्ष।

प्रश्न 6.
एक आयताकार खेत का परिमाप 50 मीटर एवं क्षेत्रफल 100 वर्ग मीटर है। खेत की लम्बाई एवं चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल
माना खेत की लम्बाई x मीटर तथा चौड़ाई y मीटर है।
खेत का परिमाप = (2x + 2y) मीटर = 2(x + y) मीटर
प्रश्नानुसार,
2(x + y) = 50
⇒ x + y = 25
⇒ y = 25 – x
खेत का क्षेत्रफल = xy वर्ग मीटर
प्रश्नानुसार, xy = 100 ……(2)
समीकरण (1) से y का मान समीकरण (2) में रखने पर,
x(25 – x) = 100
⇒ 25x – x² – 100 = 0
⇒ x² – 25x + 100 = 0
⇒ x² – (20x + 5x) + 100 = 0
⇒ x² – 20x – 5x + 100 = 0
⇒ x(x – 20) – 5(x – 20) = 0
⇒ (x – 20) (x – 5) = 0
समीकरण x² – 25x + 100 के शून्य होने के लिए,
x – 20 = 0 ⇒ x = 20
x – 5 = 0 ⇒ x = 5
समीकरण (1) में x = 20 रखने पर, y = 25 – 20 = 5
खेत की लम्बाई = 20 मीटर तथा चौड़ाई = 5 मीटर।

प्रश्न 7.
एक मोटरबोट, जिसकी स्थिर जल में चाल 18 km/h है, 24 km धारा के प्रतिकूल जाने में, वही दूरी धारा के अनुकूल जाने की अपेक्षा 1 घण्टा अधिक लेती है। धारा की चाल ज्ञात कीजिए।
हल
माना धारा की चाल = x km/h
धारा के प्रतिकूल मोटरबोट की चाल = (18 – x) km/h
तथा धारा के अनुकूल मोटरबोट की चाल = (18 + x) km/h
धारा के प्रतिकूल जाने में लगा समय = \(\frac{\text { दूरी }}{\text { चाल }}\) = \(\frac{24}{18-x}\) घंटे
इसी प्रकार, धारा के अनुकूल जाने में लगा समय = \(\frac{24}{18+x}\) घंटे
प्रश्नानुसार, \(\frac{24}{18-x}-\frac{24}{18+x}=1\)
⇒ \(\frac{24(18+x)-24(18-x)}{(18-x)(18+x)}=1\)
⇒ 24(18 + x – 18 + x) = 324 – x²
⇒ 24 × (2x) + x² – 324 = 0
⇒ x² + 48x – 324 = 0
⇒ x² + (54x – 6x) – 324 = 0
⇒ x² + 54x – 6(x + 54) = 0
⇒ x(x + 54) – 6(x + 54) = 0
⇒ (x – 6) (x + 54) = 0
अब x² + 48x – 324 के शून्य होने के लिए
x – 6 = 0 ⇒ x = 6
x + 54 = 0 ⇒ x = -54 असम्भव
धारा की चाल = 6 km/h

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
एक नाव 10 घंटे में धारा के प्रतिकूल 30 km तथा धारा के अनुकूल 44 km जाती है। 13 घंटे में वह 40 km धारा के प्रतिकूल एवं 55 km धारा के अनुकूल जाती है। धारा की चाल तथा नाव की स्थिर पानी में चाल ज्ञात कीजिए।
हल
माना नाव की स्थिर पानी में चाल x km/h और धारा की चाल y km/h है।
तब, धारा के अनुकूल नाव चलाने की चाल = (x + y) km/h
और धारा के प्रतिकूल नाव चलाने की चाल = (x – y) km/h
धारा के प्रतिकूल 30 km दूरी चलने में लगा समय = \(\frac{30}{x-y}\) घंटे
और धारा के अनुकूल 44 km दूरी चलने में लगा समय = \(\frac{44}{x+y}\) घंटे
प्रश्नानुसार, दोनों समयों का योग = 10 घंटे

इसी प्रकार, धारा के प्रतिकूल 40 km दूरी चलने में लगा समय = \(\frac{40}{x-y}\) घंटे
तथा धारा के अनुकूल 55 km दूरी चलने में लगा समय = \(\frac{55}{x+y}\) घंटे
प्रश्नानुसार, दोनों समयों का योग = 13 घंटे

समीकरण (4) में समीकरण (5) को जोड़ने पर, 2x = 16 ⇒ x = 8
समीकरण (5) में से समीकरण (4) को घटाने पर, 2y = 6 ⇒ y = 3
अत: धारा की चाल 3 km/h तथा नाव की स्थिर पानी में चाल 8 km/h है।

प्रश्न 2.
बंगलुरू के एक बस स्टैण्ड से यदि हम 2 टिकट मल्लेश्वरम के तथा 3 टिकट यशवंतपुर के खरीदें तो कुल लागत ₹ 46 है। परन्तु यदि हम 3 टिकट मल्लेश्वरम् के और 5 टिकट यशवंतपुर के खरीदें तो कुल लागत ₹ 74 है। बस स्टैण्ड से मल्लेश्वरम का किराया तथा बस स्टैण्ड से यशवंतपुर का किराया ज्ञात कीजिए।
हल
माना बस स्टैण्ड से मल्लेश्वरम् का किराया ₹ x तथा बस स्टैण्ड से यशवंतपुर का किराया ₹ y है।
बस स्टैण्ड से मल्लेश्वरम् का किराया ₹ x है।
मल्लेश्वरम् के 2 टिकटों का मूल्य = ₹ 2x
बस स्टैण्ड से यशवंतपुर का किराया = ₹ y
यशवंतपुर के 3 टिकटों का मूल्य = ₹ 3y
मल्लेश्वरम् के 2 टिकटों और यशवंतपुर के 3 टिकटों का मूल्य = ₹(2x + 3y)
परन्तु प्रश्नानुसार, इनका मूल्य ₹ 46 है।
2x + 3y = 46 ……(1)
बस स्टैण्ड से मल्लेश्वरम् का किराया ₹ x है।
मल्लेश्वरम् के 3 टिकटों का मूल्य = ₹ 3x
बस स्टैण्ड से यशवंतपुर का किराया ₹ y है।
यशवंतपुर के 5 टिकटों का मूल्य = ₹ 5y
मल्लेश्वरम् के 3 टिकटों और यशवंतपुर के 5 टिकटों का मूल्य = ₹ (3x + 5y)
परन्तु प्रश्नानुसार, उनका मूल्य ₹ 74 है।
3x + 5y = 74 ……… (2)
समीकरण (2) से,
3x + 5y = 74
⇒ 5y = 74 – 3x
⇒ y = \(\frac{74-3 x}{5}\) ……(2)
y का यह मान समीकरण (1) में रखने पर,

अत: बस स्टैण्ड से मल्लेश्वरम् का किराया ₹ 8 तथा बस स्टैण्ड से यशवंतपुर का किराया ₹ 10 है।