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Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 11 रचनाएँ Additional Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 11 रचनाएँ Additional Questions

Bihar Board Class 10 Maths रचनाएँ Additional Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
एक रेखाखण्ड AB को p : q के अनुपात में विभाजित करने के लिए (यहाँ p और q धनात्मक पूर्णांक हैं), एक किरण AX खींचिए ताकि ∠BAX एक न्यून कोण हो। फिर किरण AX पर समान दूरियों पर इतने बिन्दु अंकित कीजिए कि इन बिन्दुओं की न्यूनतम संख्या हो।
(i) p और q में से बड़ी
(ii) p + q
(iii) p + q – 1
(iv) pq
हल
(ii) p + q

प्रश्न 2.
किसी वृत्त पर स्पर्श रेखाओं का ऐसा युग्म खींचने के लिए कि उनके बीच का कोण 35° हो, उन दो त्रिज्याओं के सिरों पर स्पर्श रेखाएँ खींचनी चाहिए, जिनके बीच का कोण हो
(i) 105°
(ii) 70°
(iii) 140°
(iv) 145°
हल
(iv) 145°

प्रश्न 3.
एक रेखाखण्ड AB को 5 : 7 के अनुपात में विभाजित करने के लिए, पहले एक किरण AX खींचिए, ताकि ∠BAX एक न्यून कोण हो और फिर किरण AX पर समान दूरियों पर बिन्दु अंकित किये जाएँ ताकि इनकी न्यूनतम संख्या हो
(i) 8
(ii) 10
(iii) 11
(iv) 12
हल
(iv) 12

प्रश्न 4.
एक रेखाखण्ड AB को 4 : 7 के अनुपात में विभाजित करने के लिए, पहले एक किरण AX इस प्रकार खींची जाती है कि ∠BAX एक न्यूनकोण हो और फिर किरण AX पर समान दूरियों पर बिन्दु, A₁, A₂, A₃,…. अंकित किए जाते हैं और बिन्दु B को निम्नलिखित से मिलाया जाता है
(i) A₁₂
(ii) A₁₁
(iii) A₁₀
(iv) A₉
हल
(ii) A₁₁

प्रश्न 5.
एक रेखाखण्ड AB को 5 : 6 के अनुपात में विभाजित करने के लिए, एक किरण AX खींचिए ताकि ∠BAX एक न्यूनकोण हो, फिर BY किरण AX के समांतर विपरीत दिशा में खींचिए। इसके बाद AX और BY किरणों पर क्रमशः समान दूरियों पर बिन्दु A₁, A₂, A₃, …और B₁, B₂, B₃,… अंकित किए जाएँ। फिर जिन बिन्दुओं को मिलाया जाता है वे हैं
(i) A₅ और B₆
(ii) A₆ और B₅
(iii) A₄ और B₅
(iv) A₅ और B₄
हल
(i) A₅ और B₆

प्रश्न 6.
एक दिए हुए त्रिभुज ABC के समरूप एक ऐसा त्रिभुज बनाने के लिए जिसकी भुजाएँ ∆ABC की संगत भुजाओं का \(\frac{3}{7}\) हों, पहले एक किरण BX ऐसी खींचिए कि ∠CBX एक न्यून कोण हो और X भुजा BC के सापेक्ष A के विपरीत ओर हो। किरण BX पर अब समान दूरियों पर बिन्दु B₁, B₂, B₃,… अंकित कीजिए तथा उसके बाद अगला चरण मिलाने का है
(i) B₁₀ को C से
(ii) B₃ को C से
(iii) B₇ को C से
(iv) B₄ को C से
हल
(iii) B₇ को C से

प्रश्न 7.
एक दिए हुए त्रिभुज ABC के समरूप एक ऐसा त्रिभुज बनाने के लिए जिसकी भुजाएँ ∆ABC की संगत भुजाओं का \(\frac{8}{5}\) हों, पहले एक किरण BX ऐसी खींचिए कि ∠CBX एक न्यून कोण हो और X भुजा BC के सापेक्ष A के विपरीत ओर हो। किरण BX पर अब समान दूरियों पर अंकित किए जाने वाले बिन्दुओं की न्यूनतम संख्या है
(i) 5
(ii) 8
(iii) 13
(iv) 3
हल
(ii) 8

प्रश्न 8.
किसी वृत्त पर स्पर्श रेखाओं का एक ऐसा युग्म खींचने के लिए कि उनके बीच कोण 60° हों, उन दो त्रिज्याओं के सिरों पर स्पर्श रेखाएँ खींचनी चाहिए जिनके बीच का कोण हो
(i) 135°
(ii) 90°
(iii) 60°
(iv) 120°
हल
(iv) 120°

अतिलघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
3.0 cm त्रिज्या के वृत्त के किसी बिन्दु P पर स्पर्श रेखा खींचिए।
या
6.0 cm व्यास के एक वृत्त की रचना कीजिए और वृत्त के किसी बिन्दु पर स्पर्शरेखा खींचिए और रचना-विधि लिखिए।
हल
दिया है : एक वृत्त जिसका केन्द्र O तथा व्यास 6.0 cm है।
रचना करनी है : वृत्त के बिन्दु P पर वृत्त की स्पर्शरेखा की

रचना विधि :
1. सर्वप्रथम O को केन्द्र मानकर \(\frac{6.0}{2}\) = 3.0 cm त्रिज्या का वृत्त खींचा और वृत्त पर कोई बिन्दु P लिया।
2. O को P से मिलाया।
3. बिन्दु P पर PQ ⊥ OP खींचा।
AB वृत्त के बिन्दु A पर अभीष्ट स्पर्श रेखा है। यही रचना करनी थी।

प्रश्न 2.
ऐसे वृत्त की रचना कीजिए, जिसकी त्रिज्या 3.5 cm तथा जो 5 cm दूरी पर स्थित बिन्दुओं A और B से होकर जाता है।
हल
दिया है : 5 cm दूर स्थित दो बिन्दु A और B हैं।
रचना करनी है : 3.5 cm त्रिज्या के वृत्त की जो A और B बिन्दुओं से होकर जाता है।

रचना विधि :
1. AB का लम्ब समद्विभाजक OM खींचा जो AB को बिन्दु M पर काटता है।
2. A को केन्द्र मानकर तथा 3.5 cm त्रिज्या लेकर एक चाप खींचा जो OM को बिन्दु O पर काटता है।
3. O को केन्द्र मानकर तथा 3.5 cm त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचा जो A और B से होकर जाता है।
यही रचना करनी थी।

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
चित्र में AB, AC और PQ वृत्त O की स्पर्श रेखाएँ हैं। यदि AB = 5 cm, ∆APQ का परिमाप ज्ञात कीजिए।
हल
किसी बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्शियाँ लम्बाई में बराबर होती हैं।

AB = AC = 5 cm
इसी प्रकार, PB = PX, QC = QX
त्रिभुज का परिमाप = AP + PQ + QA
= AP + PX + XQ + AQ
= AP + PB + QC + QA
= AB + AC
= 5 + 5
= 10 cm

प्रश्न 2.
संलग्न चित्र में AQ, AR तथा BC वृत्त के क्रमशः Q, R तथा P बिन्दुओं पर खींची गई स्पर्शियाँ हैं यदि AR = 8 cm है तो ∆ABC का परिमाप ज्ञात कीजिए। हल

किसी बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्शियाँ लम्बाई में बराबर होती हैं।
अतः AQ = AR = 8 cm
इसी प्रकार, CP = CR तथा BP = BQ
त्रिभुज का परिमाप = AB + BC + CA
= AB + (BP + PC) + CA
= AB + BQ + CR + AC
= AQ + AR
= 8 + 8
= 16 cm

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
3 cm त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। वृत्त के केन्द्र से 5 cm दूर स्थित एक बिन्दु से वृत्त पर स्पर्श रेखा युग्म की रचना कीजिए और उनकी लम्बाई मापिए।
हल
रचना विधि :
1. सर्वप्रथम 5 cm लम्बाई का रेखाखण्ड OP खींचा।
2. बिन्दु O को केन्द्र मानकर 3 cm त्रिज्या का वृत्त खींचा।
3. OP का लम्बार्धक खींचा जो इसे बिन्दु M पर काटता है।
4. बिन्दु M को केन्द्र मानकर OM त्रिज्या का एक वृत्त खींचा जो केन्द्र O के दिए हुए वृत्त को A और B बिन्दुओं पर काटता है।
5. PA तथा PB को मिलाया जो वृत्त की अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।

उपपत्ति : रेखाखण्ड OA खींचा।
∵ M, OP का मध्य-बिन्दु है जिससे OP व्यास है।
तब, वृत्त OAPB में, ∠OAP, अर्द्धवृत्त OAPO में स्थित है।
∴ ∠OAP = 90°
और OA त्रिज्या है।
तब, AP, त्रिज्या OA पर लम्ब है।
∴ AP वृत्त की स्पर्श रेखा है। इसी प्रकार BP भी वृत्त की स्पर्श रेखा है।
माप करने पर प्रत्येक स्पर्श रेखा की लम्बाई = 4 cm

प्रश्न 2.
एक दिए गए त्रिभुज ABC के समरूप एक त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ दिए गए त्रिभुज ABC की संगत भुजाओं की \(\frac{3}{4}\) हों।
हल
दिया है : एक त्रिभुज ABC
रचना करनी है : एक अन्य त्रिभुज की जिसकी भुजाएँ त्रिभुज ABC की संगत भुजाओं की \(\frac{3}{4}\) हों।

रचना विधि :
1. BC के बिन्दु B से ∠CBX चित्र की भाँति नीचे की ओर बनाया।
2. BX में से चार समान भाग BB₁, B₁B₂, B₂B₃ और B₃B₄ काटे।
3. B₄C खींची और B₃ से B₄C के समान्तर एक रेखा खींची जो BC से C’ पर मिलती है।
4. C’ से AC के समान्तर रेखा C’A’ खींची जो AB से A’ पर मिलती है।
∆ABC’ अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 3.
5 cm, भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज ABC की रचना कीजिए और फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ ∆ABC की संगत भुजाओं की \(\frac{6}{7}\) गुनी हों।
हल
दिया है : समबाहु ∆ABC में भुजा AB = BC = CA = 5 cm
रचना करनी है : एक समबाहु ∆ABC की तथा इसके समरूप एक ∆ की प्रत्येक भुजा ∆ABC की संगत भुजा की \(\frac{6}{7}\) गुनी हो।

रचना विधि :
1. रेखाखण्ड BC = 5 cm खींचा।
2. B और C को केन्द्र मान कर 5 सेमी के दो चाप लगाए जो एक-दूसरे को A पर काटते हैं।
3. AB और AC को मिलाया। ABC अभीष्ट समबाहु ∆ है।
4. B से न्यूनकोण बनाती हुई रेखा BX खींची। उसमें से BB₁, B₁B₂, B₂B₃, B₃B₄, B₄B₅, B₅B₆ व B₆B₇ के 7 समान भाग काटे।
5. ऋजु रेखा CB₇ खींची।
6. B₆ से CB₇ के समान्तर ऋजु रेखा C’B₆ खींची।
7. C’ से CA के समान्तर ऋजु रेखा C’A’ खींची जो AB को A’ पर मिलती है जिससे A’B = \(\frac{6}{7}\) AB, ∆A’BC’ अभीष्ट समरूप त्रिभुज है।

प्रश्न 4.
एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ AB = AC = 4.6 cm और ऊँचाई 3.6 cm। फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी संगत भुजाएँ त्रिभुज ABC की संगत भुजाओं के \(\frac{3}{2}\) गुनी है।
हल
दिया है : समद्विबाहु ∆ABC में AB = AC = 4.6 cm और ऊँचाई = 3.6 cm
रचना करनी है : उक्त समद्विबाहु त्रिभुज की और एक अन्य त्रिभुज की जिसकी भुजाएँ दिए हुए समद्विबाहु त्रिभुज की संगत भुजाओं की \(\frac{3}{2}\) हों।

रचना विधि :
1. रेखा EF खींची।
2. इस पर कोई बिन्दु M लिया। इस पर एक लम्ब MP खींचा। इसमें से MA = 3.6 cm काटा।
3. A को केन्द्र मान कर 4.6 cm दूरी पर दो चाप लगाए जो EF को B और C में काटते हैं।
4. AB और AC को मिलाया। समद्विबाहु त्रिभुज ABC प्राप्त किया।
5. बिन्दु M पर BC से नीचे की ओर न्यूनकोण बनाती हुई रेखा MX खींची।
6. MX में से 3 समान भाग MM₁, M₁M₂, M₂M₃ खींचे।
7. रेखाखण्ड M₂C खींचा और M₃ से M₂C के समान्तर रेखा खींची जो EF को C’ पर मिलती है।
8. C’ से AC के समान्तर C’A’ खींची जो MP से A’ पर मिलती है।
9. अब A’ से AB के समान्तर A’B’ रेखा खींची जो EF से B’ पर मिलती है।
∆A’B’C’ अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 5.
दो वृत्तों पर जिनकी त्रिज्याएँ 3.2 cm और 1.5 cm हैं और जिनके केन्द्रों के बीच की दूरी 6.2 cm है, उभयनिष्ठ अनुस्पर्श रेखाएँ खींचिए। इन स्पर्श रेखाओं की माप बताइए। गणना द्वारा उत्तर की जाँच कीजिए।
हल
दिया है : 3.2 cm तथा 1.5 cm त्रिज्या के O तथा E केन्द्रीय दो वृत्त जिनके केन्द्रों के बीच की दूरी OE = 6.2 cm है।
अभीष्ट :
(i) दोनों वृत्तों के उभयनिष्ठ अनुस्पर्शी रेखाओं की रचना करनी है।
(ii) उनकी लम्बाई नापकर लिखनी है।
(iii) गणना द्वारा उत्तर की जाँच करनी है।

रचना विधि :
1. सर्वप्रथम रेखाखण्ड OE = 6.2 cm खींचा।
2. O पर 3.2 cm त्रिज्या का वृत्त खींचा तथा E पर 1.5 cm त्रिज्या का वृत्त खींचा।
3. OE को व्यास मानकर एक वृत्त खींचा तथा O को केन्द्र मानकर 3.2 – 1.5 = 1.7 cm त्रिज्या का वृत्त खींचा जो OE व्यास वाले वृत्त को बिन्दुओं C और C’ पर काटता है।
4. OC और OC’ को मिला कर आगे बढ़ाया जो बड़े वृत्त को D तथा D’ बिन्दुओं पर काटती हैं।
5. OD और OD’ के समान्तर छोटे वृत्त के केन्द्र E से क्रमश: EB तथा EB रेखाएँ खींची जो वृत्त को बिन्दुओं B तथा B पर काटती हैं। DB और DB को मिलाया।
नापने पर इनकी लम्बाई 6 cm लगभग है।
यही रचना करनी थी।
गणना द्वारा पुष्टि : उभयनिष्ठ अनुस्पर्शी रेखा की लम्बाई

प्रश्न 6.
दो वृत्तों के केन्द्रों के बीच की दूरी 10 cm है, जिनकी त्रिज्या क्रमशः 4.5 cm व 3.5 cm हैं। वृत्तों की उभयनिष्ठ तिर्यक स्पर्शरेखा खींचिए तथा स्पर्शरेखा की लम्बाई नापकर लिखिए तथा गणना द्वारा उत्तर की जाँच कीजिए।
हल
दिया है : 3.5 cm तथा 4.5 cm त्रिज्या के O तथा E केन्द्रीय दो वृत्त जिनके केन्द्रों के बीच की दूरी OE = 10 cm
अभीष्ट :
(i) दोनों वृत्तों के उभयनिष्ठ तिर्यक स्पर्शरेखाओं की रचना करनी है।
(ii) स्पर्शरेखाओं की लम्बाई नापकर लिखनी है।
(iii) स्पर्शरेखा की लम्बाई गणना द्वारा जाँचनी है।

रचना विधि :
1. सर्वप्रथम रेखाखण्ड OE = 10 cm खींचा।
2. O को केन्द्र मानकर 3.5 cm त्रिज्या का वृत्त तथा E को केन्द्र मानकर 4.5 cm त्रिज्या का वृत्त खींचा।
3. O को केन्द्र मानकर 3.5 + 4.5 = 8 cm त्रिज्या का वृत्त खींचा और OE को व्यास मानकर वृत्त खींचा जो 8 cm त्रिज्या वाले वृत्त को D तथा D’ पर काटता है।
4. OD तथा OD’ को मिलाया जो 3.5 cm त्रिज्या वाले वृत्त को C तथा C’ पर काटती हैं।
5. E से OD के समान्तर EB तथा OD’ के समान्तर EB’ खींची जो E केन्द्र वाले वृत्त को B तथा B बिन्दुओं पर काटती हैं।
6. BC तथा B’C’ को मिलाया। ये ही उभयनिष्ठ तिर्यक स्पर्श रेखा हैं।
नापने पर इनकी लम्बाई 6 cm है।
यही रचना करनी थी।
गणना द्वारा पुष्टि : तिर्यक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की लम्बाई

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.3 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.3

Bihar Board Class 10 Maths वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.3

(जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = \(\frac {22}{7}\) का प्रयोग कीजिए)

प्रश्न 1.
दी गई आकृति में छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि PQ = 24 cm, PR = 7 cm तथा O वृत्त का केन्द्र है।

हल
दिया है, PQ = 24 cm, PR = 7 cm
O वृत्त का केन्द्र है।
QR व्यास है।
तब, वृत्त की त्रिज्या (r) = \(\frac{Q R}{2}\)
∆PQR समकोणीय होगा क्योंकि अर्द्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है।
तब, समकोण ∆PQR में, [∵ ∠QPR = 90°]
पाइथागोरस प्रमेय से,
QR² = PQ² + PR²
= (24)² + (7)²
= 576 + 49
= 625

प्रश्न 2.
दी गई आकृति में, छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि केन्द्र O वाले दोनों संकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 7 cm और 14 cm हैं तथा ∠AOC = 40° है।

हल
दिया है, बड़े वृत्त की त्रिज्या (r₁) = 14 cm और छोटे वृत्त की त्रिज्या (r₂) = 7 cm
त्रिज्यखण्ड का कोण (θ) = 40°
छायांकित भाग का क्षेत्रफल
= त्रिज्यखण्ड OAC का क्षेत्रफल – त्रिज्यखण्ड OBD का क्षेत्रफल


अत: छायांकित भाग का क्षेत्रफल = \(\frac{154}{3}\) cm²

प्रश्न 3.
दी गई आकृति में, छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि ABCD भुजा 14 cm का एक वर्ग है तथा APP और BPC दो अर्द्धवृत्त हैं।

हल
दिया है, वर्ग ABCD की भुजा = 14 cm
वर्ग ABCD का क्षेत्रफल = भुजा2 = 14 × 14 cm² = 196 cm²
अर्द्धवृत्तों का व्यास = वर्ग ABCD की भुजा
2 × त्रिज्या = 14
⇒ त्रिज्या (r) = 7 cm
दोनों अर्द्धवृत्तों का कुल क्षेत्रफल = \(2 \times \frac{1}{2} \pi r^{2}\)
= πr²
= \(\frac {22}{7}\) × 7 × 7
= 154 cm²
चित्र से स्पष्ट है कि छायांकित भाग का क्षेत्रफल = वर्ग ABCD का क्षेत्रफल – दोनों अर्द्धवृत्तों का क्षेत्रफल
= 196 cm² – 154 cm²
= 42 cm²
अत: छायांकित भाग का क्षेत्रफल = 42 cm²

प्रश्न 4.
दी गई आकृति में, छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जहाँ भुजा 12 cm वाले एक समबाहु त्रिभुज OAB के शीर्ष O को केन्द्र मानकर 6 cm त्रिज्या वाला एक वृत्तीय चाप खींचा गया है।

हल
दिया है, समबाहु त्रिभुज की भुजा = 12 cm
हम जानते हैं कि समबाहु ΔOAB का क्षेत्रफल

दीर्घ त्रिज्यखण्ड का कोण, θ = 360° – 60° = 300°
(∵ समबाहु त्रिभुज का अन्त:कोण 60° का होता है।)
दिया है, वृत्त की त्रिज्या (r) = 6 cm
दीर्घ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल

छायांकित भाग का सम्पूर्ण क्षेत्रफल = दीर्घ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल + समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल
= (\(\frac{660}{7}\) + 36√3) cm²
अतः सम्पूर्ण छायांकित भाग का क्षेत्रफल = (\(\frac{660}{7}\) + 36√3) cm²

प्रश्न 5.
भुजा 4 cm वाले एक वर्ग के प्रत्येक कोने से 1 cm त्रिज्या वाले वृत्त का एक चतुर्थांश काटा गया है तथा बीच में 2 cm व्यास का एक वृत्त भी काटा गया है जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। वर्ग के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल
ABCD एक वर्ग है जिसकी प्रत्येक भुजा 4 cm है।
वर्ग का क्षेत्रफल = 4 × 4 = 16 m²
दिया है, वृत्त के एक चतुर्थांश की त्रिज्या (r) = 1 cm
एक चतुर्थांश का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{4}\) πr²
चारों चतुर्थांशों का क्षेत्रफल = 4 × \(\frac{1}{4}\) πr²
= πr²
= \(\frac{22}{7}\) × (1)²
= \(\frac{22}{7}\) cm²
दिया है, बीच में काटे गए वृत्त का व्यास = 2 cm
वृत्त की त्रिज्या = 1 cm
वृत्त का क्षेत्रफल = πr²
= \(\frac{22}{7}\) × (1)²
= \(\frac{22}{7}\) cm²
छायांकित भाग का क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल – (चारों चतुर्थांशों का क्षेत्रफल + वृत्त का क्षेत्रफल)

अत: छायांकित भाग का क्षेत्रफल = \(\frac{68}{7}\) cm²

प्रश्न 6.
एक वृत्ताकार मेजपोश, जिसकी त्रिज्या 32 cm है, के बीच में एक समबाहु त्रिभुज ABC छोड़ते हुए एक डिजाइन बना हुआ है, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। इस छायांकित डिजाइन का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल
∆ABC एक समबाहु त्रिभुज है।
∠B = 60°
OB तथा OC वृत्ताकार मेजपोश की त्रिज्याएँ हैं।
OB = 32 cm
और ∠OBM = \(\frac{1}{2}\) ∠B = \(\frac{1}{2}\) × 60° = 30°

प्रश्न 7.
दी गई आकृति में, ABCD भुजा 14 cm वाला एक वर्ग है। A, B, C और D को केन्द्र मानकर, चार वृत्त इस प्रकार खींचे गए हैं कि प्रत्येक वृत्त तीन शेष वृत्तों में से दो वृत्तों को बाह्य रूप से स्पर्श करता है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल
दिया है, वर्ग ABCD की भुजा = 14 cm
अर्थात् AB = BC = CD = DA = 14 cm
वर्ग ABCD का क्षेत्रफल = (भुजा)² = 14 × 14 = 196 cm²
चित्र से स्पष्ट है कि चारों वृत्तों के चतुर्थांश वर्ग ABCD में समाहित हैं।
चारों वृत्त-चतुर्थांशों का क्षेत्रफल = एक वृत्त का क्षेत्रफल

छायांकित भाग का क्षेत्रफल = वर्ग ABCD का क्षेत्रफल – चारों वृत्तीय चतुर्थांशों का क्षेत्रफल
= (196 – 154) cm²
= 42 cm²
अतः छायांकित भाग का क्षेत्रफल = 42 cm²

प्रश्न 8.
आकृति एक दौड़ने का पथ (racing track) दर्शाती है, जिसके बाएँ और दाएँ सिरे अर्द्धवृत्ताकार हैं।

दोनों आन्तरिक समान्तर रेखाखण्डों के बीच की दूरी 60 m है तथा इनमें से प्रत्येक रेखाखण्ड 106 m लम्बा है। यदि यह पथ 10 m चौड़ा है, तो ज्ञात कीजिए :
(i) पथ के आन्तरिक किनारों के अनुदिश एक पूरा चक्कर लगाने में चली गई दूरी
(ii) पथ का क्षेत्रफल।
हल
(i) दिया है, अर्द्धवृत्ताकार पथों की आन्तरिक त्रिज्या (r’) = \(\frac{60}{2}\) m = 30 m

दिया है, प्रत्येक रेखाखण्ड की लम्बाई = 106 m
दोनों आन्तरिक समान्तर रेखाखण्डों की लम्बाई = 106 m + 106 m = 212 m.
पथ के आन्तरिक किनारों के अनुदिश 1 चक्कर की लम्बाई = दोनों अर्द्धवृत्तों की आन्तरिक परिधि + दोनों आन्तरिक समान्तर रेखाखण्डों की लम्बाई

अत: पथ के आन्तरिक किनारों के अनुदिश 1 पूरा चक्कर लगाने में चली गई दूरी = \(\frac{2804}{7}\) m

(ii) वृत्ताकार पथ भागों की आन्तरिक त्रिज्या (r’) = 30 m और पथ चौड़ाई = 10 m
वृत्ताकार पथ भागों की बाह्य त्रिज्या r = (30 + 10) m = 40 m
दोनों वृत्ताकार भागों का क्षेत्रफल = π(r² – r’²)
= π(r + r’) (r – r’)
= π(40 + 30) (40 – 30)
= \(\frac{22}{7}\) × 70 × 10
= 2200 m²
वृत्ताकार भागों के अतिरिक्त पथ का क्षेत्रफल = 2 × (लम्बाई × पथ की चौड़ाई)
= 2 × (106 × 10)
= 2120 m²
पथ का कुल क्षेत्रफल = (2200 + 2120) m² = 4320 m²
अत: पथ का क्षेत्रफल = 4320 m²

प्रश्न 9.
आकृति में, AB और CD केन्द्र O वाले एक वृत्त के दो परस्पर व्यास हैं तथा OD छोटे वृत्त का व्यास है। यदि OA = 7 cm है तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल
बड़े वृत्त की त्रिज्या OA = OD = छोटे वृत्त का व्यास
छोटे वृत्त का व्यास = OD = OA = 7 cm
छोटे वृत्त की त्रिज्या (r) = \(\frac{7}{2}\) cm
छोटे वृत्त का क्षेत्रफल = πr²
= \(\frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2}=\frac{77}{2}\)
= 38.5 cm²
अब, अर्द्धवृत्त AOBCA का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2} \pi R^{2}\)
= \(\frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7\)
= 77 cm² (∵ OA = R = 7 cm)
∆ABC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) × AB × OC
= \(\frac{1}{2}\) × (2 × OA) × OA (∵ OC = OA तथा AB = 2OA)
= OA²
= (7)²
= 49 cm
अर्द्धवृत्त AOBCA के छायांकित भाग का क्षेत्रफल = (77 – 49) cm² = 28 cm²
अतः सम्पूर्ण छायांकित भाग का क्षेत्रफल = (छोटे वृत्त का क्षेत्रफल + अर्द्धवृत्त AOBCA के छायांकित भाग का क्षेत्रफल
= (38.5 + 28)
= 66.5 cm²

प्रश्न 10.
एक समबाहु त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल 17320.5 cm² है। इस त्रिभुज के प्रत्येक शीर्ष को केन्द्र मानकर त्रिभुज की भुजा के आधे के बराबर की त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचा जाता है छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 और √3 = 1.73205 लीजिए)

हल
माना वृत्तों की त्रिज्याएँ r cm हैं।
समबाहु त्रिभुज की भुजा = वृत्त का व्यास = 2r cm

समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = 17320.5 cm²
अतः त्रिभुज के उस भाग का क्षेत्रफल जो वृत्तों के अन्दर नहीं है = समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल – त्रिज्यखण्डों का कुल क्षेत्रफल
= 17320.5 – 15700
= 1620.5 cm²

प्रश्न 11.
एक वर्गाकार रूमाल पर नौ वृत्ताकार डिजाइन बने हैं, जिनमें से प्रत्येक की त्रिज्या 7 cm है (आकृति देखिए)। रूमाल के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल
दिया है, प्रत्येक वृत्त की त्रिज्या (r) = 7 cm
प्रत्येक वृत्त का क्षेत्रफल = πr²
= \(\frac{22}{7}\) × 7 × 7 cm²
= 154 cm²
नौ वृत्ताकार डिजाइनों का क्षेत्रफल = 9 × 154 = 1386 cm²
प्रत्येक वृत्त का व्यास = 2 × 7 = 14 cm
दिए गए चित्र में, प्रत्येक पंक्ति में 3 वृत्त हैं।
वर्गाकार रूमाल की लम्बाई = 3 x एक वृत्त का व्यास = 3 × 14 = 42 cm
वर्गाकार रूमाल का कुल क्षेत्रफल = 42 × 42 cm² = 1764 cm²
रूमाल के शेष भाग का क्षेत्रफल = रूमाल का कुल क्षेत्रफल – 9 वृत्ताकार डिजाइनों का क्षेत्रफल
= (1764 – 1386) cm²
= 378 cm²
अतः रूमाल के शेष भाग का क्षेत्रफल = 378 cm²

प्रश्न 12.
दी गई आकृति में, OACB केन्द्र O और त्रिज्या 3.5 cm वाले एक वृत्त का चतुर्थांश है। यदि OD = 2 cm है तो निम्नलिखित के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:
(i) चतुर्थांश OACB
(ii) छायांकित भाग।

हल
दिया है, वृत्ताकार चतुर्थांश की त्रिज्या (r) = 3.5 cm, OD = 2 cm

प्रश्न 13.
दी गई आकृति में, एक चतुर्थांश OPBQ के अन्तर्गत एक वर्ग OABC बना हुआ है। यदि OA = 20 cm है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 लीजिए)

हल
दिया है, वर्ग OABC की भुजा, OA = 20 cm
वर्ग OABC का विकर्ण, OB = भुजा√2 = OA√2 = 20√2 cm
चतुर्थांश OPBQ की त्रिज्या (r) = OB = 20√2 cm
चतुर्थांश OPBQ का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{4} \pi r^{2}\)
= \(\frac{1}{4}\) × 3.14 × (20√2)²
= \(\frac{1}{4}\) × 3.14 × 20√2 × 20√2
= 628 cm²
और वर्ग OABC का क्षेत्रफल = (भुजा)² = (OA)² = (20)² = 400 cm²
अंत: छायांकित भाग का क्षेत्रफल = (चतुर्थाश OPBQ का क्षेत्रफल – वर्ग OABC का क्षेत्रफल)
= 628 – 400
= 228 cm²

प्रश्न 14.
AB और CD केन्द्र O तथा त्रिज्याओं 21 cm और 7 cm वाले दो संकेन्द्रीय वृत्तों के क्रमशः दो चाप हैं (आकृति देखिए) यदि ∠AOB = 30° है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल
दिए गए चित्र में,
त्रिज्यखण्ड OBAO की लम्बाई (r₁) = 21 cm
तथा त्रिज्यखण्ड OCDO की लम्बाई (r₂) = 7 cm
माना संकेन्द्रीय वृत्तों का त्रिज्यकोण (θ) = 30°
त्रिज्यखण्ड ORAO का क्षेत्रफल

त्रिज्यखण्ड OCDO का क्षेत्रफल

अत: छायांकित भाग का क्षेत्रफल = दोनों त्रिज्यखण्डों के क्षेत्रफलों का अन्तर
= (त्रिज्यखण्ड OBAO का क्षेत्रफल – त्रिज्यखण्ड OCDO का क्षेत्रफल)

प्रश्न 15.
दी गई आकृति में, ABC त्रिज्या 14 सेमी वाले एक वृत्त का चतुर्थांश है तथा BC को व्यास मानकर एक अर्द्धवृत्त खींचा गया है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल
दिया है, चतुर्थांश ABC की त्रिज्या (r) = 14 cm
चतुर्थांश ABC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{4} \pi r^{2}\)
= \(\frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14\)
= 154 cm²
समकोण ∆ABC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) × AC × AB
= \(\frac{1}{2}\) × 14 × 14
= 98 cm² (∵ AC = r = 14 cm)
समकोण ∆ABC में पाइथागोरस प्रमेय से,
BC² = AC² + AB² = (14)² + (14)² = 392 (∵ ∠BAC = 90°)
BC = √392 = 14√2 cm
अर्द्धवृत्त का व्यास BC = कर्ण BC की लम्बाई = 14√2 cm
अर्द्धवृत्त की त्रिज्या (R) = 7√2 cm
अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2} \pi R^{2}\)
= \(\frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 7 \sqrt{2} \times 7 \sqrt{2}\)
= 154 cm²
छायांकित भाग का क्षेत्रफल = BC व्यास वाले अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल – (चतुर्थांश ABC का क्षेत्रफल – समकोण ΔABC का क्षेत्रफल)
= समकोण ∆ABC का क्षेत्रफल + अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल – चतुर्थांश ABC का क्षेत्रफल
= (98 + 154 – 154) cm²
= 98 cm²
अत: छायांकित भाग का क्षेत्रफल = 98 cm²

प्रश्न 16.
दी गई आकृति में, छायांकित डिजाइन का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जो 8 cm त्रिज्याओं वाले दो वृत्तों के चतुर्थांशों के बीच उभयनिष्ठ है।

हल
ध्यान दीजिए दो समान त्रिज्यखण्डों को मिलाने 8 सेमी पर दी गई आकृति प्राप्त होती है और लूप परस्पर आच्छादित करते हैं।
दिया है, चतुर्थांशों की त्रिज्याएँ (r) = 8 cm
तथा चतुर्थांश का कोण (θ) = 90°
एक चतुर्थांश का क्षेत्रफल

इसी प्रकार, दूसरे चतुर्थांश का क्षेत्रफल = \(\frac{352}{7}\) cm²
दोनों चतुर्थाशों का क्षेत्रफल = \(\left(\frac{352}{7}+\frac{352}{7}\right)\) cm² = \(\frac{704}{7}\) cm²
इसमें वर्ग का क्षेत्रफल समाहित है और लूप के क्षेत्र परस्पर आच्छादित हैं।
लूप का क्षेत्रफल + वर्ग का क्षेत्रफल = दोनों चतुर्थांशों का क्षेत्रफल
⇒ लूप का क्षेत्रफल + (8)² cm² = \(\frac{704}{7}\) cm²
⇒ लूप का क्षेत्रफल = (\(\frac{704}{7}\) – 64) cm²
= \(\frac{704-448}{7}\) cm²
= \(\frac{256}{7}\) cm²
अत: छायांकित डिजाइन (लूप) का क्षेत्रफल = \(\frac{256}{7}\) cm²

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 11 रचनाएँ Ex 11.2 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 11 रचनाएँ Ex 11.2

Bihar Board Class 10 Maths रचनाएँ Ex 11.2

निम्न में से प्रत्येक के लिए रचना का औचित्य भी दीजिए-

प्रश्न 1.
6 cm त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। केन्द्र से 10 cm दूर एक बिन्दु से वृत्त पर स्पर्श रेखा-युग्म की रचना कीजिए और उनकी लम्बाइयाँ मापकर लिखिए।
हल
दिया है : 6 cm त्रिज्या का एक वृत्त और उसके केन्द्र O से 10 cm दूरी पर एक बिन्दु P.
रचना करनी है : वृत्त के स्पर्श रेखा-युग्म की।
रचना विधि :
1. सर्वप्रथम बिन्दु O को केन्द्र मानकर 6 cm त्रिज्या का एक वृत्त खींचा।
2. वृत्त के केन्द्र O से 10 cm की दूरी पर एक बिन्दु P लिया।
3. OP को मिलाया।
4. OP को व्यास मानकर एक वृत्त खींचा जिसने केन्द्र O वाले वृत्त को T₁ और T₂ बिन्दुओं पर काटा।
5. PT₁ और PT₂ को मिलाया जो वृत्त की अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।

मापने पर : PT₁ = PT₂ = 8.0 cm
उपपत्ति : रेखाखण्ड OT₁ व OT₂ खींचिए।
∵ OP व्यास है।
∴ OT₁P तथा OT₂P अर्द्धवृत्त हैं
∵ ∠OT₁P, अर्द्धवृत्त OT₁P में तथा ∠OT₂P, अर्द्धवृत्त ∠OT₂P में स्थित हैं।
∠OT₁P = 90° तथा ∠OT₂P = 90°
∵ OT₁ और OT₂, केन्द्र O वाले वृत्त की त्रिज्याएँ हैं जिनके सिरों T₁ व T₂ पर T₁P तथा T₂P समकोण बनाती हैं।
अत: PT₁ तथा PT₂ स्पर्श रेखाएँ हैं।
इति सिद्धम्

प्रश्न 2.
4 cm त्रिज्या के एक वृत्त पर 6 cm त्रिज्या के एक संकेन्द्रीय वृत्त के किसी बिन्दु से एक स्पर्श रेखा की रचना कीजिए और उसकी लम्बाई मापिए। परिकलन से इस माप की जाँच भी कीजिए।
हल
दिया है : 4 cm त्रिज्या का एक वृत्त और 6 cm त्रिज्या का एक संकेन्द्रीय वृत्त जिस पर एक बिन्दु P है।
रचना करनी है : 4 cm त्रिज्या वाले वृत्त की स्पर्श रेखाओं की।
रचना विधि :
1. 4 cm त्रिज्या लेकर केन्द्र O वाला एक वृत्त खींचा।
2. केन्द्र O से 6 cm त्रिज्या का एक संकेन्द्रीय वृत्त खींचा और इस पर एक बिन्दु लिया।
3. रेखाखण्ड OP खींचा और इसका लम्ब समद्विभाजक खींचा जो OP को बिन्दु M पर काटता है।
4. केन्द्र M से OP व्यास का एक वृत्त खींचा जो केन्द्र O के 4 cm त्रिज्या वाले वृत्त को T₁ तथा T₂ पर काटता है।
5. रेखाखण्ड PT₁ तथा PT₂ खींचा।

PT₁ तथा PT₂ अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
मापने पर : PT₁ = 4.5 cm तथा PT₂ = 4.5 cm
परिकलन :

औचित्य : ∠OT₁P = ∠OT₂P = 90°
∵ दोनों कोण OP व्यास वाले वृत्त के अन्दर अर्द्धवृत्त के कोण हैं।
∴ OT₁ ⊥ PT₁, OT₂ ⊥ PT₂
अत: रेखाएँ PT₁ व PT₂ अभीष्ट स्पर्शियाँ हैं।
इति सिद्धम्

प्रश्न 3.
3 cm त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। इसके किसी बढ़ाए गए व्यास पर केन्द्र से 7 cm की दूरी पर स्थित दो बिन्दु P और Q लीजिए। इन दोनों बिन्दुओं से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ खींचिए।
हल
दिया है : एक वृत्त जिसका केन्द्र 0 है तथा त्रिज्या 3 cm है। AOB वृत्त का एक व्यास है जिसको इस प्रकार बिन्दुओं P व Q तक बढ़ाया गया है कि वृत्त के केन्द्र O से प्रत्येक बिन्दु P व Q की दूरियाँ OP व OQ = 7 cm हैं।
रचना करनी है : बिन्दुओं P व Q से वृत्त की स्पर्श रेखाओं की।
रचना विधि :
1. O केन्द्र वाला 3 cm त्रिज्या का एक वृत्त खींचा।
2. इसका व्यास AOB खींचा और इसे दोनों ओर क्रमश: P व Q तक इस प्रकार बढ़ाया कि OP = OQ = 7 cm
3. OP व OQ के मध्य बिन्दु क्रमश: M₁ व M₂ ज्ञात किए।
4. केन्द्र M₁ से M₁O त्रिज्या का एक वृत्त खींचा जो O केन्द्र वाले वृत्त को बिन्दुओं T₁ व T₂ पर काटता है।
5. रेखाखण्ड PT₁ व PT₂ खींचे।
6. केन्द्र M₂ से M₂O त्रिज्या का एक वृत्त खींचा जो O केन्द्र वाले वृत्त को बिन्दुओं S₁ व S₂ पर काटता है।
7. रेखाखण्ड QS₁ तथा QS₂ खींचे।

रेखाखण्ड PT₁, PT₂, QS₁ व QS₂ अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
उपपत्ति : केन्द्र O वाले वृत्त की त्रिज्याएँ OT₁, OT₂, OS₁ व OS₂ खींची।
∵ केन्द्र M वाले वृत्त में ∠OT₁P व ∠OT₂P अर्द्धवृत्तों में स्थित कोण हैं।
∴ ∠OT₁P व ∠OT₂P समकोण हैं जो क्रमशः त्रिज्याओं OT₁ व OT₂ के सिरों T₁ व T₂ पर स्थित हैं।
∴ PT₁ व PT₂ केन्द्र O वाले वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं।
इसी प्रकार, QS₁ व QS₂ भी केन्द्र O वाले वृत्त की स्पर्शरेखाएँ हैं।
इति सिद्धम्

प्रश्न 4.
5 cm त्रिज्या के एक वृत्त पर ऐसी दो स्पर्श रेखाएँ खींचिए, जो परस्पर 60° के कोण पर झकी हों।
हल
दिया है : एक वृत्त जिसका केन्द्र O है तथा त्रिज्या 5 cm है।
रचना करनी है : वृत्त की दो स्पर्श रेखाओं की जिनके बीच का कोण 60° हो।
विश्लेषण : माना वृत्त का केन्द्र O तथा PT और BT इसकी दो स्पर्श रेखाएँ हैं जिनके बीच का कोण 60° है।
∵ ∠PTB = 60°
∴ ∠POB = 180° – 60° = 120°
⇒ ∠POA = 60°

रचना विधि :
1. बिन्दु O को केन्द्र मानकर 5 cm त्रिज्या का एक वृत्त खींचा।
2. वृत्त का एक व्यास AB खींचा।
3. बिन्दु O पर OA से 60° का कोण बनाती हुई एक रेखा OP खींची जो वृत्त को बिन्दु P पर काटती है।
4. बिन्दु B पर OB के लम्बवत् एक रेखा खींची तथा बिन्दु P पर OP के लम्बवत् एक रेखा खींची। दोनों रेखाएँ एक-दूसरे को बिन्दु T पर काटती हैं।
अत: PT और BT वृत्त की दो अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं जो एक-दूसरे के साथ 60° का कोण बनाती हैं।
औचित्य : उपर्युक्त विश्लेषण ही अभीष्ट औचित्य है।

प्रश्न 5.
8 cm लम्बा एक रेखाखण्ड AB खींचिए। A को केन्द्र मानकर 4 cm त्रिज्या का एक वृत्त तथा B को केन्द्र मानकर 3 cm त्रिज्या का एक अन्य वृत्त खींचिए। प्रत्येक वृत्त पर दूसरे वृत्त के केन्द्र से स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए।
हल
दिया है : रेखाखण्ड AB = 8.0 cm। केन्द्र A से 4 cm त्रिज्या का एक वृत्त खींचा गया है तथा केन्द्र B से 3 cm त्रिज्या का एक अन्य वृत्त खींचा गया है।
रचना करनी है : केन्द्र बिन्दु A से केन्द्र B वाले वृत्त की दो स्पर्श रेखाओं तथा बिन्दु B से केन्द्र A वाले वृत्त की दो स्पर्श रेखाओं की।

रचना विधि:
1. रेखाखण्ड AB= 8 cm खींचा।
2. केन्द्र A से 4 cm त्रिज्या का एक वृत्त खींचा और केन्द्र B से 3 cm त्रिज्या का एक वृत्त खींचा।
3. AB का मध्य बिन्दु M ज्ञात किया।
4. M को केन्द्र मानकर AB व्यास का एक वृत्त खींचा जो A केन्द्र वाले वृत्त को बिन्दुओं S₁ व S₂ पर तथा B केन्द्र वाले वृत्त को बिन्दुओं T₁ व T₂ पर काटता है।
5. रेखाखण्ड S₁B व S₂B तथा AT₁ व AT₂ खींचे।
S₁B व S₂B केन्द्र A वाले वृत्त की तथा AT₁ व AT₂ केन्द्र B वाले वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं।
उपपत्ति : ∵ केन्द्र M वाले वृत्त का AB व्यास है।
∴ ∠AS₁B, ∠AS₂B, ∠AT₁B व ∠AT₂B अर्द्धवृत्त के कोण हैं। अत: प्रत्येक समकोण है।
रेखाखण्ड AS₁ व AS₂ केन्द्र A वाले वृत्त और BT₁ व BT₂ केन्द्र B वाले वृत्त की त्रिज्याएँ हैं।
∴ S₁B व S₂B केन्द्र A वाले वृत्त और AT₁ व AT₂ केन्द्र B वाले वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं।
इति सिद्धम्

प्रश्न 6.
ABC एक समकोण त्रिभुज है, जिसमें AB = 6 cm, BC = 8 cm तथा ∠B = 90° है। B से AC पर BD लम्ब है। बिन्दुओं B, C व D से होकर जाने वाला एक वृत्त खींचा गया है। A से इस वृत्त पर स्पर्श रेखा की रचना कीजिए।
हल
दिया है : एक समकोण त्रिभुज ABC में AB = 6 cm, BC = 8 cm तथा ∠B = 90°| B से भुजा AC पर BD लम्ब खींचा गया है।
रचना करनी है : एक ऐसे वृत्त की जो बिन्दुओं B, C तथा D से होकर जाता है और बिन्दु A से इस वृत्त की स्पर्श रेखा की।
रचना विधि :
1. सर्वप्रथम दिए गए समकोण त्रिभुज ABC की रचना की।
2. बिन्दु B से AC पर लम्ब खींचा जो AC को D पर मिलता है।
3. ∆BCD की भुजाओं BD तथा CD के लम्ब समद्विभाजक खींचे जो परस्पर बिन्दुओं O पर काटते हैं।

4. O को केन्द्र मानकर OB त्रिज्या से एक वृत्त खींचा जो बिन्दुओं B, C व D से होकर जाएगा।
5. AB स्वयं स्पर्श रेखा है; अत: A को केन्द्र BP मानकर AB त्रिज्या से चाप खींचे जो वृत्त को बिन्दु P पर काटते हैं।
AP अभीष्ट स्पर्श रेखा है।
औचित्य : ∠ABC = 90°, अत: रेखा AB स्वयं स्पर्श रेखा है।
AP = AB अतः रेखा AB, बिन्दु A से खींची गई दूसरी स्पर्श-रेखा है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 7.
किसी चूड़ी की सहायता से एक वृत्त खींचिए। वृत्त के बाहर एक बिन्दु लीजिए। इस बिन्दु से वृत्त पर स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए।
हल
दिया है : एक वृत्त जिसका केन्द्र ज्ञात नहीं है। वृत्त के बाहर एक बिन्दु P है।

रचना करनी है : बिन्दु P से वृत्त की स्पर्श रेखाओं की।
रचना विधि :
1. बिन्दु P से ABP तथा CDP दो छेदक रेखाएँ खींची।
2. जीवाओं AB व CD के लम्ब समद्विभाजक खींचे जो परस्पर बिन्दु O पर काटते हैं। बिन्दु O दिए गए वृत्त का केन्द्र होगा।
3. रेखाखण्ड OP खींचा और इसका मध्य बिन्दु M ज्ञात किया।
4. M को केन्द्र मानकर MO त्रिज्या (OP व्यास) का वृत्त खींचा जो दिए गए वृत्त को क्रमश: बिन्दुओं T₁ व T₂ पर काटता है।
5. रेखाखण्ड PT₁ व PT₂ खींचे।
रेखाखण्ड PT₁ व PT₂ अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
औचित्य : केन्द्र O के बिन्दुओं T₁ व T₂ से मिलाया।
∠OT₁P = ∠OT₂P = 90° (अर्द्धवृत्त के कोण हैं)
∴ रेखाएँ PT₁ व PT₂ अभीष्ट स्पर्शियाँ हैं।
इति सिद्धम्

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 11 रचनाएँ Ex 11.1 Text Book Questions and Answers.

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निम्नलिखित में से प्रत्येक के लिए रचना का औचित्य भी दीजिए।

प्रश्न 1.
7.6 cm लम्बा एक रेखाखण्ड खींचिए और इसे 5 : 8 के अनुपात में विभाजित कीजिए। दोनों भागों को मापिए।
हल
दिया है : रेखाखण्ड AB = 7.6 cm
रचना करनी है : रेखा AB को 5 : 8 में विभाजित करने की।
रचना विधि :
1. रेखाखण्ड AB = 7.6 cm खींचा।
2. रेखाखण्ड AB पर बिन्दु A से न्यूनकोण बनाती हुई एक ऋजु रेखा AX खींची।

3. रेखा AX में से समान लम्बाई के (5 + 8 = 13) भाग AA₁, A₁A₂, A₂A₃, A₃A₄, A₄A₅, A₅A₆, A₆A₇, A₇A₈, A₈A₉, A₉A₁₀, A₁₀A₁₁, A₁₁A₁₂ व A₁₂A₁₃ खण्ड काटे।
4. रेखाखण्ड AB खींचा।
5. बिन्दु A₅ से A₁₃B के समान्तर रेखा A₅P खींची जो AB को बिन्दु P पर काटती है।
AP तथा PB, रेखाखण्ड AB के अभीष्ट भाग हैं जो 5 : 8 के अनुपात में हैं।
औचित्य ( उपपत्ति) :
∆AA₅P तथा ∆AA₁₃B में A₅P || A₁₃B
अतः ये त्रिभुज परस्पर समरूप हैं।
∴ AA₅ : A₅A₁₃ = AP : PB
परन्तु AA₅ : A₅A₁₃ = 5 : 8
∴ AP : PB = 5 : 8
मापने पर : AP = 2.9 cm व PB = 4.7 cm

प्रश्न 2.
4 cm, 5 cm और 6 cm भुजाओं वाले एक त्रिभुज की रचना कीजिए और फिर इसके समरूप एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ दिए हुए त्रिभुज की संगत भुजाओं की \(\frac{2}{3}\) गुनी हों।
हल
दिया है : ∆ABC में भुजा AB = 4.0 cm, BC = 5.0 cm तथा CA = 6.0 cm
रचना करनी है : ∆ABC के समरूप एक ∆A’BC’ की जिसकी प्रत्येक भुजा ∆ABC की संगत भुजा की \(\frac{2}{3}\) हो।
रचना विधि :
1. ऋजु रेखा BC = 5.0 cm खींची।
2. B को केन्द्र मानकर 4.0 cm त्रिज्या से और C को केन्द्र मानकर 6.0 cm त्रिज्या से चाप लगाए जो परस्पर A पर काटते हैं।

3. ऋजु रेखाओं AB तथा AC को पूरा किया।
4. B से एक ऋजु रेखा BD खींचकर उसमें से BB₁, BB₂, BB₃ तीन समान भाग काटे।
5. ऋजु रेखा CB₃ खींची।
6. B₂ से CB₃ के समान्तर ऋजु रेखा C’B₂ खींची जिससे
BC’ = \(\frac{2}{3}\) BC
7. C’ से CA के समान्तर ऋजु रेखा C’A’ खींची जो AB को A’ पर मिलती है जिससे
A’B = \(\frac{2}{3}\) AB
∆A’BC’अभीष्ट समरूप त्रिभुज है।
औचित्य : ∆BB₂C’ व ∆BB₃C में, B₂C’ || B₃C
ये त्रिभुज समरूप हैं,
BC’ : BC = BB₂ : BB₃
परन्तु BB₂ : BB₃ = 2 : 3
BC’ : BC = 2 : 3
⇒ BC’ = \(\frac{2}{3}\) BC
इसी प्रकार ∆BC’A’ व ∆BCA समरूप हैं।
BA’ : BA = C’A’ : CA = BC’ : BC = 2 : 3
अत: ∆BC’A’ दिए गए त्रिभुज के समरूप है जिसकी भुजाएँ मूल त्रिभुज की भुजाओं की \(\frac{2}{3}\) हैं।
इति सिद्धम्

प्रश्न 3.
5 cm, 6 cm और 7 cm भुजाओं वाले एक त्रिभुज की रचना कीजिए फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ दिए हुए त्रिभुज की संगत भुजाओं की \(\frac{7}{5}\) गुनी हों।
हल
दिया है : 5 cm, 6 cm, 7 cm भुजाओं वाला एक त्रिभुज।
रचना करनी है : उपर्युक्त त्रिभुज के समरूप एक अन्य त्रिभुज की जिसकी प्रत्येक भुजा दिए त्रिभुज की प्रत्येक संगत भुजा का \(\frac{7}{5}\) वाँ भाग हो।
रचना विधि :
1. रेखाखण्ड BC = 6 cm खींचा।
2. B को केन्द्र मानकर 5 cm त्रिज्या से एवं C को केन्द्र मानकर 7 cm त्रिज्या के चाप खींचे जो परस्पर A पर काटते हैं।
3. रेखाखण्ड AB तथा AC खींचकर दिया हुआ त्रिभुज ABC प्राप्त किया।
4. बिन्दु B से रेखा BD खींची और उसमें से BB₁, B₁B₂, B₂B₃, B₃B₄, B₄B₅, B₅B₆ तथा B₆B₇ सात समान भाग काटे।

5. रेखाखण्ड CB खींचा।
6. B₇ से रेखा B₇C’ || B₅C खींची जो BC को बढ़ाने पर C’ पर काटती है जिससे BC’ = \(\frac{7}{5}\) BC
7. C’ से C’A’ || CA खींची जो BA को बढ़ाने पर इसे A पर काटे जिससे A’B = \(\frac{7}{5}\) AB
∆A’BC’ अभीष्ट समरूप त्रिभुज है।
औचित्य : ∆BB₂C’ व ∆BB₃C में, B₂C’ || B₃C
ये त्रिभुज समरूप हैं,
BC’ : BC = BB₂ : BB₃
परन्तु BB₂ : BB₃ = 7 : 5
BC’ : BC = 7 : 5
⇒ BC’ = \(\frac{7}{5}\) BC
इसी प्रकार ∆BC’A’ व ∆BCA समरूप हैं।
BA’ : BA = C’A’ : CA = BC’ : BC = 7 : 5
अत: ∆BC’A’ दिए गए त्रिभुज के समरूप है जिसकी भुजाएँ मूल त्रिभुज की भुजाओं की \(\frac{7}{5}\) हैं।
इति सिद्धम्

प्रश्न 4.
आधार 8 cm तथा ऊँचाई 4 cm के एक समद्विबाहु त्रिभुज की रचना कीजिए और फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ इस समद्विबाहु त्रिभुज की संगत भुजाओं की 1\(\frac{1}{2}\) गुनी हों।
हल
दिया है : 8 cm आधार और 4 cm ऊँचाई का एक समद्विबाहु त्रिभुज।
रचना करनी है : उक्त समद्विबाहु त्रिभुज की और एक अन्य त्रिभुज की जिसकी भुजाएँ दिए हुए समद्विबाहु त्रिभुज की संगत भुजाओं की \(\frac{3}{2}\) हों।
रचना विधि :
1. रेखाखण्ड AB = 8 cm खींचा।
2. रेखाखण्ड AB का लम्ब समद्विभाजक खींचा जो AB को M पर काटता है।
3. M को केन्द्र मानकर समद्विभाजक में से MA = 4 cm काटा।
4. रेखाखण्ड AB व AC खींचकर समद्विबाहु त्रिभुज ABC प्राप्त किया।

5. BC को दोनों ओर बढ़ाया।
6. बिन्दु M पर BC से नीचे की ओर न्यूनकोण बनाती हुई रेखा MX खींची।
7. MX में से 3 समान भाग MM₁, M₁M₂, M₂M₃ खींचे।
8. रेखाखण्ड M₂C खींचा और M₃ से M₂C के समान्तर रेखा खींची जो बढ़ी हुई BC में C’ पर मिलती है।
9. C’ से AC के समान्तर C’A’ खींची जो MA से बिन्दु A’ पर मिलती है।
10. अब A से AB के समान्तर AB’ खींची जो बढ़ी हुई CB से B’ पर मिलती है।
ΔABC’ अभीष्ट त्रिभुज है।
औचित्य : ∆BB₂C’ व ∆BB₃C में, B₂C’ || B₃C
ये त्रिभुज समरूप हैं,
BC’ : BC = BB₂ : BB₃
परन्तु BB₂ : BB₃ = 3 : 2
BC’ : BC = 3 : 2
⇒ BC’ = \(\frac{3}{2}\) BC
इसी प्रकार ∆BC’A’ व ∆BCA समरूप हैं।
BA’ : BA = C’A’ : CA = BC’ : BC = 3 : 2
अत: ∆BC’A’ दिए गए त्रिभुज के समरूप है जिसकी भुजाएँ मूल त्रिभुज की भुजाओं की \(\frac{3}{2}\) हैं।
इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
एक त्रिभुज ABC बनाइए जिसमें BC = 6 cm, AB = 5 cm और ∠ABC = 60° हो। फिर एक त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ ∆ABC की संगत भुजाओं की \(\frac{3}{4}\) गुनी हों।
हल
दिया है : एक त्रिभुज ABC जिसकी भुजा AB = 5 cm, BC = 6 cm और ∠ABC = 60° हैं।
रचना करनी है : एक अन्य त्रिभुज की जिसकी भुजाएँ ∆ABC की संगत भुजाओं की \(\frac{3}{2}\) गुनी हों।
रचना विधि :
1. रेखाखण्ड BC = 6 cm खींचा।
2. BC के बिन्दु B पर BC से 60° का B कोण बनाती हुई रेखा BY खींची।
3. BY में से AB = 5 cm काटी और रेखाखण्ड AC को खींचकर त्रिभुज ABC प्राप्त किया।

4. BC के दूसरी ओर बिन्दु B से BC पर न्यूनकोण बनाती हुई रेखा BX खींची।
5. BX में से चार समान भाग BB₁, B₁B₂, B₂B₃ और B₃B₄ खींचे।
6. B₄C खींची और B₃ से B₄C के समान्तर एक रेखा खींची जो BC से C” पर मिलती है।
7. C’ से AC के समान्तर रेखा C’A’ खींची जो AB से A’ पर मिलती है।
∆A’BC’ अभीष्ट त्रिभुज है।
औचित्य : ∆BB₂C’ व ∆BB₃C में, B₂C’ || B₃C
ये त्रिभुज समरूप हैं,
BC’ : BC = BB₂ : BB₃
परन्तु BB₂ : BB₃ = 3 : 4
BC’ : BC = 3 : 4
⇒ BC’ = \(\frac{3}{4}\) BC
इसी प्रकार ∆BC’A’ व ∆BCA समरूप हैं।
BA’ : BA = C’A’ : CA = BC’ : BC = 3 : 4
अत: ∆BC’A’ दिए गए त्रिभुज के समरूप है जिसकी भुजाएँ मूल त्रिभुज की भुजाओं की \(\frac{3}{4}\) हैं।
इति सिद्धम्

प्रश्न 6.
एक त्रिभुज ABC बनाइए जिसमें BC = 7 cm, ∠B = 45° व ∠A = 105° हो। फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ ∆ABC की भुजाओं की \(\frac{4}{3}\) गुनी हों।
हल
दिया है : ∆ABC जिसमें BC = 7 cm, ∠B = 45° व ∠A = 105°
रचना करनी है : एक अन्य त्रिभुज की जिसकी भुजाएँ ∆ABC की संगत भुजाओं की \(\frac{4}{3}\) गुनी हो।
रचना विधि :
1. रेखाखण्ड BC =7 cm खींचा।
2. BC के बिन्दु B पर BC से 45° का कोण बनाती हुई एक रेखा BZ खींची।
3. BC के दूसरी ओर B पर BC से 105° के कोण पर रेखा BD खींची।
4. BD के बिन्दु B पर BD से समकोण बनाती हुई एक रेखा BX खींची।
5. BC का लम्ब समद्विभाजक खींचा जो Bx को बिन्दु O पर काटती है।
6. O को केन्द्र मानकर OB त्रिज्या से वृत्तखण्ड BAC खींचा जो BZ को बिन्दु A पर काटता है।
7. AC को मिलाकर ∆ABC प्राप्त किया।

8. BX में से 4 समान खण्ड BB₁, B₁B₂, B₂B₃ व B₃B₄ खींचे।
9. रेखाखण्ड B₃C खींचा।
10. बिन्दु B₄ से B₄C’ समान्तर BC खींची जो बढ़ी हुई BC को C’ पर काटती है।
11. C’ से C’A’ समान्तर AC खींची जो BZ को A’ पर काटती है।
∆A’BC’ अभीष्ट त्रिभुज है।
औचित्य : क्योंकि BB₄, BB₃ की \(\frac{4}{3}\) गुनी है और BC || B₄C’
∴ BC’, BC की \(\frac{4}{3}\) गुनी होगी।
∵ A’C’ || AC और BC’ = \(\frac{4}{3}\) BC
∴ A’B भी AB की \(\frac{4}{3}\) गुनी है।
∴ \(\frac{A^{\prime} B}{A B}=\frac{A^{\prime} C^{\prime}}{A C}=\frac{B C^{\prime}}{B C}=\frac{4}{3}\)
इति सिद्धम्

प्रश्न 7.
एक समकोण त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ (कर्ण के अतिरिक्त) 4 cm व 3 cm लम्बाई की हों। फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ दिए हुए त्रिभुज की संगत भुजाओं की \(\frac{5}{3}\) गुनी हों।
हल
दिया है : समकोण त्रिभुज जिसकी समकोण बनाने वाली भुजाएँ 3 cm व 4 cm हों।
रचना करनी है : एक अन्य त्रिभुज की जिसकी भुजाएँ उक्त समकोण त्रिभुज की संगत भुजाओं की \(\frac{5}{3}\) गुनी हों।
रचना विधि :
1. रेखाखण्ड BC = 4 cm खींचा।
2. BC के बिन्दु B से BC पर लम्ब BY खींचा और उसमें से BA (या AB) = 3 cm काटी।
3. AC को मिलाया। इस प्रकार ∆ABC प्राप्त होगा।
4. BC के बिन्दु B पर BC से न्यूनकोण बनाती हुई रेखा BX खींची।
5. BX में से 5 समान भाग BB₁, B₁B₂, B₂B₃, B₃B₄ व B₄B₅ काटी।
6. B₃C को मिलाया।

7. B₅ से B₅C के समान्तर रेखा B₅C’ खींची जो बढ़ी हुई BC से C’ पर मिलती है।
8. C’ से C’A’ || CA खींची जो BY से A’ पर मिलती है।
∆A’BC’अभीष्ट त्रिभुज है।
औचित्य : ∵ BB₅, BB₃ की \(\frac{5}{3}\) गुनी है और B₃C || B₅C
BC’ = \(\frac{5}{3}\) BC और BC’ = \(\frac{5}{3}\) BC
तथा AC || AC’
A’B = \(\frac{5}{3}\) AB
अतः भुजाएँ A’B, BC’ व C’A’ क्रमश: AB, BC व CA की \(\frac{5}{3}\) गुनी है।
इति सिद्धम्

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.2 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.2

Bihar Board Class 10 Maths वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.2

(जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = \(\frac {22}{7}\) का प्रयोग कीजिए)

प्रश्न 1.
6 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के एक त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसका कोण 60° है।
हल
वृत्त की त्रिज्या (r) = 6 cm
त्रिज्यखण्ड का कोण (θ) = 60°
तब, त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल

अत: त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = 18.86 cm² (लगभग) या \(\frac{132}{7}\) cm²

प्रश्न 2.
एक वृत्त के चतुर्थांश (quadrant) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी परिधि 22 cm है।
हल
दिया है, वृत्त की परिधि (2πr) = 22 cm

अत: अभीष्ट क्षेत्रफल = 9.625 cm²

प्रश्न 3.
एक घड़ी की मिनट की सुई की लम्बाई 14 cm है। इस सुई द्वारा 5 मिनट में रचित क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल
मिनट की सुई 1 घण्टे या 60 मिनट में 1 पूरा चक्कर लगाती है
मिनट की सुई 1 मिनट में लगाएगी = \(\frac{1}{60}\) चक्कर
मिनट की सुई 5 मिनट में लगाएगी = \(\frac{1}{60}\) × 5 चक्कर = \(\frac{1}{12}\) चक्कर
मिनट की सुई द्वारा आच्छादित वृत्त की त्रिज्या (r) = 14 cm
तब, सुई द्वारा रचित क्षेत्रफल = \(\frac{1}{12}\) πr²
= \(\frac{1}{12} \times \frac{22}{7} \times(14)^{2}\) cm²
= \(\frac{154}{3}\) cm²
अतः अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\frac{154}{3}\) cm² = 51\(\frac{1}{3}\) cm²

प्रश्न 4.
10 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केन्द्र पर एक समकोण अन्तरित करती है। निम्नलिखित के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए-
(i) संगत लघु वृत्तखण्ड
(ii) संगत त्रिज्यखण्ड (π = 3.14 का प्रयोग कीजिए)।
हल
(i) वृत्त की त्रिज्या (r) = 10 cm
जीवा द्वारा केन्द्र पर अन्तरित कोण (θ) = 90°
संगत लघ वत्तखण्ड का क्षेत्रफल

अतः संगत लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = 28.5 cm²

(ii) संगत त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल – लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल
= πr² – 28.5
= 3.14 × (10)² – 28.5
= 314 – 28.5
= 285.5
अत: संगत त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = 285.5 cm²

प्रश्न 5.
त्रिज्या 21 cm वाले वृत्त का एक चाप केन्द्र पर 60° का कोण अन्तरित करता है। ज्ञात कीजिए-
(i) चाप की लम्बाई,
(ii) चाप द्वारा बनाए गए त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल,
(iii) संगत जीवा द्वारा बनाए गए वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल।
हल
दिया है, वृत्त की त्रिज्या (r) = 21 cm
तथा चाप द्वारा केन्द्र पर बना कोण (θ) = 60°
(i) चाप की लम्बाई (l)

अतः चाप की लम्बाई (l) = 22 cm

(ii) चाप द्वारा बनाए गए त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल

अत: अभीष्ट त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = 231 cm²

(iii) संगत जीवा द्वारा बने वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल

अत: अभीष्ट वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = 40.05 cm²

प्रश्न 6.
15 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केन्द्र पर 60° का कोण अन्तरित करती है। संगत लघु और दीर्घ वृत्तखण्डों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 और √3 = 1.73) का प्रयोग कीजिए।
हल
वृत्त की त्रिज्या (r) = 15 cm
जीवा द्वारा केन्द्र पर अन्तरित कोण (θ) = 60°
संगत लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल


तब, संगत दीर्घ वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल – लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल

अतः लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = 20.4375 cm²
तथा दीर्घ वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = 686.0625 cm²

प्रश्न 7.
त्रिज्या 12 cm वाले एक वृत्त की कोई जीवा केन्द्र पर 120° का कोण अन्तरित करती है। संगत वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(π = 3.14 और √3 = 1.73 का प्रयोग कीजिए।)
हल
वृत्त की त्रिज्या (r) = 12 सेमी
तथा जीवा द्वारा केन्द्र पर अन्तरित कोण (θ) = 120°
संगत (लघु) वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल

अतः अभीष्ट वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = 88.44 cm²

प्रश्न 8.
15 cm भुजा वाले एक वर्गाकार घास के मैदान के एक कोने पर लगे खूटे से एक घोड़े को 5 m लम्बी रस्सी से बाँध दिया गया है। ज्ञात कीजिए-
(i) मैदान के उस भाग का क्षेत्रफल जहाँ घोड़ा घास चर सकता है।
(ii) चरे जा सकने वाले क्षेत्रफल में वृद्धि यदि घोड़े को 5 m लम्बी रस्सी के स्थान पर 10 m लम्बी रस्सी से बाँध दिया जाए। (π = 3.14 का प्रयोग कीजिए।)

हल
वर्गाकार मैदान की भुजा = 15 m
पूरे मैदान का क्षेत्रफल = (भुजा)² = (15)² = 225 m²
(i) घोड़ा एक 5 मीटर लम्बी रस्सी से बँधा है, तब वह अधिकतम 5 मीटर त्रिज्या वाले वृत्त के उस त्रिज्यखण्ड की घास चर सकेगा जिसका कोण वर्ग के अन्त:कोण के बराबर अर्थात् 90° है।
तब, त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल

अत: घोड़ा 19.625 m² क्षेत्रफल की घास चर सकता है।

(ii) यदि रस्सी की लम्बाई 10 मीटर कर दी जाए अर्थात् त्रिज्या r = 10 मीटर हो तो त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल

अब घोड़ा 78.5 m² क्षेत्र की घास चर सकेगा।
अतः क्षेत्रफल में वृद्धि = 78.5 – 19.625 = 58.875 m²

प्रश्न 9.
एक वृत्ताकार ब्रच (brooch) को चाँदी के तार से बनाया जाना है जिसका व्यास 35 mm है। तार को वृत्त के 5 व्यासों को बनाने में भी प्रयुक्त किया गया है जो उसे 10 बराबर त्रिज्यखण्डों में विभाजित करता है जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है तो ज्ञात कीजिए-
(i) कुल वांछित चाँदी के तार की लम्बाई।
(ii) ब्रूच के प्रत्येक त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल।

हल
दिया है, वृत्ताकार ब्रूच का व्यास = 35 mm
⇒ त्रिज्या (r) = \(\frac{35}{2}\) mm
(i) चाँदी के ब्रूच के वृत्तीय भाग की माप = π × व्यास
= \(\frac {22}{7}\) × 35
= 110 mm
और 5 व्यासों की लम्बाई = 5 × 35 = 175 mm
अतः चाँदी के तार की कुल लम्बाई = 110 + 175 = 285 mm = 28.5 cm

अत: ब्रूच के प्रत्येक त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = 96.25 mm²

प्रश्न 10.
एक छतरी में आठ ताने हैं, जो बराबर दूरी पर लगी हुई हैं। छतरी को 45 cm त्रिज्या वाला एक सपाट वृत्त मानते हुए, इसकी दो क्रमागत तानों के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल
दिया है, छतरी की त्रिज्या (r) = 45 cm
दो क्रमागत तारों के मध्य एक त्रिज्यखण्ड बनेगा।
त्रिज्यखण्ड का कोण (θ) = \(\frac{360^{\circ}}{8}\) = 45°

प्रश्न 11.
किसी कार के दो वाइपर (wipers) हैं, परस्पर कभी आच्छादित नहीं होते हैं। प्रत्येक वाइपर की पत्ती की लम्बाई 25 cm है और 115° के कोण तक घूमकर सफाई कर सकता है। पत्तियों की प्रत्येक बहार के साथ जितना क्षेत्रफल साफ हो जाता है, वह ज्ञात कीजिए।
हल
प्रत्येक वाइपर की सफाई का क्षेत्र उस त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल होगा जिसकी त्रिज्या (r) = पत्ती की लम्बाई = 25 cm
तथा त्रिज्यखण्ड का कोण (θ) = 115°
तब, प्रत्येक वाइपर के द्वारा साफ हुआ क्षेत्रफल = त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल

प्रश्न 12.
जहाजों को समुद्र में जलस्तर के नीचे स्थित चट्टानों की चेतावनी देने के लिए एक लाइट हाउस (light house) 80° कोण वाले एक त्रिज्यखण्ड में 16.5 km की दूरी तक लाल रंग का प्रकाश फैलाता है। समुद्र के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। जिसमें जहाजों को चेतावनी दी जा सके।(π = 3.14 का प्रयोग कीजिए।)
हल
दिया है, त्रिज्यखण्ड का कोण (θ) = 80°
त्रिज्यखण्ड की त्रिज्या (r) = 16.5 km = \(\frac{33}{2}\) km

अतः समुद्र के उस भाग, जहाँ जहाजों को चेतावनी दी जा सके, का क्षेत्रफल = 189.97 km²

प्रश्न 13.
एक गोल मेजपोश पर छह समान डिजाइन बने हुए हैं जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। यदि मेजपोश की त्रिज्या 28 cm है तो ₹ 0.35 प्रति वर्ग सेंटीमीटर की दर से इन डिजाइनों को बनाने की लागत ज्ञात कीजिए। (√3 = 1.7 का प्रयोग त्रिी कीजिए)

हल
दिया है, मेजपोश के वृत्त की त्रिज्या (r) = 28 cm
सभी डिजाइनों के क्षेत्रफल समान हैं,
प्रत्येक वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल और जीवाओं द्वारा केन्द्र पर अन्तरित कोण θ समान हैं तथा प्रत्येक 60° है।

₹ 0.35 प्रति वर्ग सेमी की दर से डिजाइन कराने का व्यय = ₹ (0.35 × 464.8) = ₹ 162.68
अत: डिजाइनों को बनाने की लागत = ₹ 162.68

प्रश्न 14.
निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए-
त्रिज्या R वाले वृत के उस त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल जिसका कोण p° है, निम्नलिखित है-
(A) \(\frac{p}{180}\) × 2πR
(B) \(\frac{p}{180}\) × πR²
(C) \(\frac{p}{360}\) × 2πR
(D) \(\frac{p}{720}\) × 2πR²
हल
दिया है, वृत्त की त्रिज्या = R
तथा त्रिज्यखण्ड का कोण (θ) = p°
त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल

अत: विकल्प (D) सही है।

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 10 वृत्त Additional Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 10 वृत्त Additional Questions

Bihar Board Class 10 Maths वृत्त Additional Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
चित्र में O केन्द्र वाले वृत्त की त्रिज्या OD = 4 cm है। यदि OB = 5 cm हो, तो स्पर्श रेखा BC की लम्बाई होगी
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 10 वृत्त Additional Questions MCQ 1
(i) 3 cm
(ii) 4 cm
(iii) 2 cm
(iv) 3.5 cm
हल
(i) 3 cm

प्रश्न 2.
दो वृत्त परस्पर बाह्य स्पर्श करते हैं। उनकी त्रिज्याएँ 3.6 cm और 1.6 cm हैं। इनके केन्द्रों के बीच की दूरी होगी
(i) 1.6 cm
(ii) 3.6 cm
(iii) 2.0 cm
(iv) 5.2 cm
हल
(iv) 5.2 cm

प्रश्न 3.
दो वृत्त एक-दूसरे को बाह्यतः स्पर्श करते हैं। उनके केन्द्रों के बीच की दूरी 7 cm और एक वृत्त की त्रिज्या 3 cm है, तो दूसरे वृत्त की त्रिज्या होगी
(i) 10 cm
(ii) 4 cm
(iii) 3 cm
(iv) 7 cm
हल
(ii) 4 cm

प्रश्न 4.
चित्र में वृत्त का केन्द्र O है। वृत्त के बिन्दु P पर स्पर्शरखा TPT’ खींची गई है और इसके अन्तर्गत एक त्रिभुज ABP खींचा गया है। यदि ∠BPT = 60° हो, तो ∠BAP का मान क्या होगा?

(i) 30°
(ii) 45°
(iii) 60°
(iv) 75°
हल
(iii) 60°

प्रश्न 5.
चित्र में ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है। वृत्त के बिन्दु B पर स्पर्श रेखा PBQ खींची गई है। यदि ∠DBQ = 110° तो ∠DAB की माप होगी

(i) 110°
(ii) 90°
(iii) 70°
(iv) 55°
हल
(iii) 70°

प्रश्न 6.
चित्र में O वृत्त का केन्द्र है। AB एक जीवा तथा AC स्पर्शी है। यदि ∠BOA = 120° हो, तो ∠BAC का मान होगा

(i) 40°
(ii) 60°
(iii) 80°
(iv) 100°
हल
(ii) 60°

प्रश्न 7.
चित्र में एक वृत्त का केन्द्र O है। इस वृत्त के बाह्य बिन्द T से वृत्त पर स्पर्शरेखाएँ TP और TQ खींची जाती हैं। सम्पर्क जीवा PQ वृत्त के शेष भाग पर ∠PAQ = 70° बनाती है तो स्पर्शरेखाओं के बीच कितने अंश का कोण होगा?

(i) 20°
(ii) 40°
(iii) 70°
(iv) 110°
हल
(ii) 40°

अतिलघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
एक वृत्त की त्रिज्या 5 cm है। इस वृत्त पर किसी बाहरी बिन्दु से एक स्पर्शरेखा खींची जाती है। यदि स्पर्शरेखा की लम्बाई 12 cm है, तो बिन्दु की वृत्त के केन्द्र से दूरी ज्ञात कीजिए।

हल
दिया है : O केन्द्र वाले वृत्त में बाह्य बिन्दु P से स्पर्श रेखा PA खींची गयी है।
AP = 12 cm तथा त्रिज्या OA = 5 cm
गणना : O को A से मिलाया।
∆OAP में, ∠OAP = 90°
समकोण ∆OAP में,
OP² = OA² + AP²
⇒ OP² = (5)² + (12)²
⇒ OP² = 25 + 144
⇒ OP² = 169
⇒ OP = √169 = 13 cm
अत: बिन्दु की वृत्त के केन्द्र से दूरी 3 cm है।

प्रश्न 2.
उस वृत्त की त्रिज्या क्या होगी जिसके केन्द्र से 5.0 cm की दूरी पर स्थित एक बिन्दु से खींची गई उस वृत्त की स्पर्शरेखा की लम्बाई 3.0 cm है?

हल
दिया है : O केन्द्र वाले वृत्त में बाह्य बिन्दु P से स्पर्शरेखा AP = 3 cm
गणना : O को A से मिलाया।
तब ∆OAP में, ∠OAP = 90°
∆OAP में,
OA² = OP² – AP²
⇒ OA² = (5.0)² – (3.0)²
⇒ OA² = 25 – 9 = 16
⇒ OA = √16 cm = 4 cm
अत: वृत्त की त्रिज्या 4 cm है।

प्रश्न 3.
चित्र में AB और CD दो वृत्तों की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ परस्पर बिन्दु E पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि AE + ED = BE + EC

हल
AE = EC (बाह्य बिन्दु से एक ही वृत्त की स्पर्श रेखाएँ) ……… (1)
इसी प्रकार ED = EB (बाह्य बिन्दु से एक ही वृत्त की स्पर्श रेखाएँ) ………. (2)
समी० (1) व (2) को जोड़ने पर,
AE + ED = EC + EB
⇒ AE + ED = BE + EC
इति सिद्धम्

प्रश्न 4.
चित्र में, O वृत्त का केन्द्र है। वृत्त की स्पर्शरेखाओं PA तथा PB के बीच का ∠APB = 50° है, तो ∠AOB की माप ज्ञात कीजिए।

हल
∠OAP = 90° तथा ∠OBP = 90°
(स्पर्श त्रिज्या और स्पर्शरेखा के बीच बने कोण)
∴ ∠OAP + ∠OBP = 90° + 90° = 180°
∴ OAPB एक चक्रीय चतुर्भुज है।
∴ ∠AOB + ∠APB = 180°
⇒ ∠AOB = 180° – ∠APB = 180° – 50° = 130°

प्रश्न 5.
चित्र में O, वृत्त का केन्द्र है, PA और PB वृत्त की बिन्दु P से स्पर्शियाँ हैं और ∠APB = 50° तो ∠OAB की माप ज्ञात कीजिए।

हल
∆ABP में, AP = BP(बाह्य बिन्दु से स्पर्श रेखाखण्ड)
∴ ∠PAB = ∠ABP
पुनः ∠PAB + ∠ABP + ∠APB = 180°
⇒ 2∠PAB = 180° – 50° = 130°
⇒ ∠PAB = 65°
∠OAB = 90° – ∠PAB (∵ OA ⊥ AP)
⇒ ∠OAB = 90° – 65° = 25°

प्रश्न 6.
चित्र में, बिन्दु O वृत्त का केन्द्र है तथा CPD वृत्त की स्पर्शरेखा है। यदि ∠APC = 60° तो ∠BAP की माप ज्ञात कीजिए।

हल
P को B से मिलाया।
तब ∠ABP = ∠APC = 60° (एकान्तर वृत्तखण्ड में स्थित कोण)
तथा ∠APB = 90° (अर्द्धवृत्त में स्थित कोण)
∆APB में,
∠BAP = 180° – (∠ABP + ∠APB)
= 180° – (60° + 90° )
= 30°

प्रश्न 7.
चित्र में, O वृत्त का केन्द्र है, रेखा QAR वृत्त की बिन्दु A पर स्पर्शरेखा और AB जीवा है। यदि ∠BAR = 60° तो ∠AOB व ∠OBA की माप ज्ञात कीजिए।

हल
∠BPA = ∠BAR = 60° (एकान्तर वृत्तखण्ड में स्थित कोण)
∠AOB = 2∠APB (समान चाप द्वारा केन्द्र और परिधि पर बने कोण)
= 2 × 60°
= 120°
समद्विबाहु त्रिभुज OAB में,
∠OBA = ∠OAB
= \(\frac {1}{2}\) (180° – ∠AOB)
= \(\frac {1}{2}\) (180° – 120°)
= \(\frac {1}{2}\) × 60°
= 30°

प्रश्न 8.
चित्र में वृत्त के बिन्दु पर खींची गई स्पर्श रेखा और व्यास AB बढ़ाने पर बिन्दु P पर मिलते हैं। यदि ∠PCA = 120°, तो ∠CBA की माप ज्ञात कीजिए।

हल
चित्र में ∠ACB = 90° (अर्द्धवृत्त में स्थित कोण)
∠PCB = 120° – 90° = 30°
पुनः ∠CAB = ∠PCB = 30° (एकान्तर वृत्त खण्ड में स्थित कोण)
∆ABC में, ∠CBA = 180° – (∠ACB + ∠CAB)
= 180° – (90° + 30°)
= 60°

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि किसी बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गई दो स्पर्शरेखाओं की लम्बाइयाँ बराबर होती हैं। तथा केन्द्र पर समान कोण अन्तरित करती है।
हल
दिया है : AP व AQ बिन्दु A से वृत्त C(O, r) पर खींचे गए दो स्पर्श रेखाखण्ड हैं।

सिद्ध करना है: AP = AQ तथा ∠AOP = ∠AOQ
रचना : रेखाखण्ड OA, OP और OQ खींचिए।
उपपत्ति: ∠OPA = ∠OQA = 90° (∵ वृत्त की स्पर्शरेखा स्पर्श बिन्द से जाने वाली त्रिज्या पर लम्ब होती है।)
∆OPA व ∆OQA में,
∠OPA = ∠OQA (अभी सिद्ध किया है)
OP = OQ (वृत्त की त्रिज्याएँ)
तथा OA उभयनिष्ठ है।
ΔΟΡΑ ≅ ΔOQA
AP = AQ (सर्वांगसम त्रिभुज के संगत भाग)
तथा ∠AOP = ∠AOQ
इति सिद्धम्

प्रश्न 2.
दिये गये चित्र में बाह्य स्पर्श करने वाले दो वृत्तों की उभयनिष्ठ अनुस्पर्शी रेखाएँ PDC तथा PEF खींची गई हैं जो वृत्तों को क्रमश: D व C तथा E व F पर स्पर्श करती हैं। सिद्ध कीजिए DC = EF

हल
दिया है : वृत्तों की बाह्य बिन्दु P से उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ PDC व PEF हैं।
सिद्ध करना है : DC = EF
उपपत्ति: ∵ PC व PF बड़े वृत्त की बाह्य बिन्दु P से स्पर्श रेखाएँ हैं।
PC = PF ………(1)
इसी प्रकार छोटे वृत्त के लिए
PD = PE ……….(2)
समी० (1) से (2) को घटाने पर,
PC – PD = PF – PE
DC = EF
इति सिद्धम्

प्रश्न 3.
दो वृत्तों के केन्द्र O और O’ हैं जो एक-दूसरे को बाह्मतः बिन्दु P पर स्पर्श करते हैं। इन वृत्तों की एक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा AB खींची जाती है। सिद्ध कीजिए कि
∠APB = 90°

हल
दिया है : दो वृत्त जिनके केन्द्र O व O’ है, बाह्यतः बिन्दु P पर एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं तथा दोनों वृत्तों की एक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा AB है।
सिद्ध करना है : ∠APB = 90°
रचना : बिन्दु P से दोनों वृत्तों की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा खींची जो AB को बिन्दु Q काटती है।
उपपत्ति : ∆BPQ में,
PQ = BQ (उभयनिष्ठ बिन्दु से वृत्त की स्पर्श रेखायें)
पुनः इसी प्रकार ∆APQ में, AQ = PQ
AQ = BQ
अर्थात् Q, AB का मध्य बिन्दु है।
अर्थात् ∆APB में शीर्ष P से खींची गयी माध्यिका सम्मुख भुजा की आधी है।
∆APB समकोण त्रिभुज है।
अर्थात् ∠APB = 90°
इति सिद्धम्

प्रश्न 4.
दिये गये चित्र में दो संकेन्द्रीय वृत्त जिनका केन्द्र O है तथा जिनकी त्रिज्याएँ क्रमशः 5 cm तथा 3 cm मापों की हैं। बाह्य बिन्दु P से संगत वृत्तों पर खींची गई स्पर्शियाँ PA तथा PB हैं। यदि PA = 12 cm हो, तो PB की माप ज्ञात कीजिए।

हल
O को A व B से मिलाया तब ∠OAP = 90° तथा ∠OBP = 90° तथा OA = 5 cm व OB = 3 cm
समकोण ∆OAP में,
OP² = OA² + AP² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169
या OP = 13 सेमी
पुन: समकोण ∆OPB में
PB² = OP² – OB² = (13)² – (3)² = 169 – 9 = 160
या PB = 4√10 cm

प्रश्न 5.
∆ABC के अन्तर्गत एक वृत्त खींचा गया है तथा P, Q, R स्पर्श बिन्दु हैं। यदि PA = 4 cm, PB = 6 cm तथा AC = 12 cm तो BC की माप ज्ञात कीजिए।

हल
चित्र में,
AP= AR = 4 cm (उभयनिष्ठ बिन्दु से वृत्त की स्पर्श रेखा)
∴ CR = AC – AR = 12 – 4 = 8 cm
पुन: CR = CQ = 8 cm (उभयनिष्ठ बिन्दु से वृत्त की स्पर्श रेखायें) तथा
तथा BP = BQ = 6 cm (उभयनिष्ठ बिन्दु B से वृत्त की स्पर्श रेखा)
∴ BC = BQ + CQ = 6 + 8 = 14 cm

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए कि यदि दो वृत्त एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं तो वृत्तों के केन्द्र तथा स्पर्श बिन्दु एक रेखीय होते हैं।

हल
दिया है : दो वृत्त जिनके केन्द्र A और B हैं, एक-दूसरे को बिन्दु P पर स्पर्श करते हैं।
सिद्ध करना है : बिन्दु A, P और B संरेख हैं।
रचना : दोनों वृत्त एक-दूसरे को बिन्दु P पर स्पर्श करते हैं। अतः इनके उभयनिष्ठ बिन्दु P पर एक ही उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा PT होगी।
बिन्दु P पर दोनों वृत्तों की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा PT रेखाखण्ड PA और PB खींचिए।
उपपत्ति : वृत्तों की त्रिज्याएँ AP और BP तथा उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा PT है।
वृत्त की स्पर्श रेखा तथा स्पर्श बिन्दु से खींची गयी त्रिज्या एक-दूसरे पर लम्ब होती हैं।
∴ PA ⊥ PT और PB ⊥ PT
परन्तु किसी रेखा पर एक बिन्दु से केवल एक लम्ब खींचा जा सकता है और P से रेखा PT पर PA और PB लम्ब हैं।
अत: रेखा PA और PB संरेख हैं।
अर्थात् A, P तथा B संरेख हैं।
अतः स्पर्श बिन्दु P,रेखा AB पर स्थित है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 7.
एक त्रिभुज ABC का अन्तः वृत्त त्रिभुज की भुजाओं AB, BC तथा CA को क्रमशः बिन्दुओं P, Q तथा R पर स्पर्श करता है। यदि ∠BAC = 100° तो ∠PQR की माप ज्ञात कीजिए।

हल
रचना : PR को मिलाया।
∆APR में, AP = PR (उभयनिष्ठ बिन्दु से स्पर्श रेखाएँ)
∠APR = ∠ARP
∆APR में,
∠APR + ∠ARP + ∠PAR = 180°
⇒ 2∠ARP + 100° = 180°
⇒ ∠ARP = 40° (एकान्तर वृत्तखण्ड में स्थित कोण)
पुनः ∠PQR = ∠ARP = 40°

प्रश्न 8.
एक बाह्य बिन्दु T से एक वृत्त पर स्पर्शरेखा TP तथा एक छेदक रेखा TAB खींची गई है जो वृत्त को A और B पर काटती है। ∠APB का अर्द्धक AB को बिन्दु Q पर काटता है। सिद्ध कीजिए कि रेखाखण्ड TP = रेखाखण्ड TQ

हल
दिया है : बाह्य बिन्दु T से वृत्त पर स्पर्श रेखा TP तथा छेदक रेखा TAB है जो वृत्त को A तथा B बिन्दुओं पर काटती है। PQ, ∠APB का अर्द्धक है जो AB को Q पर काटता है।
अत: ∠APQ = ∠BPQ
सिद्ध करना है : रेखाखण्ड TP = रेखाखण्ड TQ
उपपत्ति :
∠TPA = ∠PBA (एकान्तर वृत्तखण्ड में स्थित कोण)
अतः ∠TPQ = ∠TPA + ∠APQ = ∠PBQ + ∠APQ ……(1)
पुनः ∠TQP = ∠QPB + ∠PBQ (∵ ∠TQP, DBQP का बहिष्कोण है)
⇒ ∠TQP = ∠APQ + ∠PBQ ……(2)
समीकरण (1) व (2) से,
∠TPQ = ∠TQP
∆TPQ में,
रेखाखण्ड TP = रेखाखण्ड TQ (समान कोणों के सामने की भुजाएँ)
इति सिद्धम्

प्रश्न 9.
O एक वृत्त का केन्द्र है। दो स्पर्शरेखाएँ TP और TQ जो वृत्त को क्रमशः P और Q बिन्दुओं पर स्पर्श करती हैं। वृत्त के बाहर स्थित एक बिन्द T से खींची गई है। सिद्ध कीजिए कि ∠PTQ = 2∠OPQ

हल
दिया है : O केन्द्र वाले वृत्त के बाहर स्थित बिन्दु T से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ TP और TQ खींची गई है।
रचना : OP, OQ व PQ को मिलाया।
सिद्ध करना है : ∠PTQ = 2∠OPQ
उपपत्ति: ∠OPT = 90° (∵ PT बिन्दु P पर स्पर्शरेखा)
तथा इसी प्रकार ∠OQT = 90°
∠OPT + ∠OQT = 90° + 90° = 180°
चतुर्भुज के शेष कोणों ∠POQ व ∠PTQ का योग = 180°
अतः ∠POQ + ∠PTQ = 180° ………..(1)
पुन: ∆OPQ में,
∠OPQ = ∠OQP (समान भुजाओं के सामने के कोण)
∆OPQ में,
∠POQ = 180° – 2∠OPQ …….(2)
समीकरण (1) व (2) से,
180° – 2∠OPQ + ∠PTQ = 180°
⇒ 2∠OPQ = ∠PTQ
इति सिद्धम्

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
किसी वृत्त की जीवा PQ, उसके बिन्दु R पर खींची गयी स्पर्श रेखा ARB के समान्तर है। सिद्ध कीजिए बिन्दु R, चाप PRQ को समद्विभाजित करता है।

हल
दिया है : O केन्द्र वाले वृत्त में जीवा PQ है तथा वृत्त के बिन्दु R पर खींची गई स्पर्शरेखा ARB || PQ.
सिद्ध करना है : बिन्दु R, चाप PRQ को अर्द्धित करता है।
रचना : बिन्दु O को बिन्दु R से मिलाया जो PQ को बिन्दु M पर काटता है। PR व QR को मिलाया।
उपपत्ति : चूँकि स्पर्श बिन्दु से जाने वाली वृत्त की त्रिज्या स्पर्शरेखा पर लम्ब होती है।
∴ OR ⊥ AB
पुनः चूँकि PQ || AB
∴ OMR ⊥ PQ
अर्थात् ∠PMR = ∠QMR = 90°
वृत्त के केन्द्र से जीवा पर डाला गया लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है।
PM = MQ
ΔPMR व ΔQMR में,
PM = MQ (अभी सिद्ध किया है)
∠PMR = ∠QMR (अभी सिद्ध किया है)
तथा MR उभयनिष्ठ है।
∴ ΔPMR ≅ ΔQMR
∴ PR = QR
चूँकि समान वृत्त में बराबर जीवाओं के संगत चाप बराबर होते हैं।
∴ चाप PR = चाप RQ
अर्थात् बिन्दु R चाप PRQ को अद्धित करता है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए कि यदि एक रेखा वृत्त को स्पर्श करती है तो स्पर्श बिन्दु से खींची गयी जीवा और स्पर्शरेखा के बीच बने कोण संगत एकान्तर वृत्तखण्डों के कोणों के बराबर होते हैं।

हल
दिया है : केन्द्र O वाला एक वृत्त जिसके बिन्दु A पर स्पर्शरेखा PAR है तथा जीवा AB है। दो बिन्दु D और C जीवा AB के दोनों ओर वृत्तखण्डों पर स्थित हैं और D पर ∠ADB और C पर ∠ACB बना है।
सिद्ध करना है :
(i) ∠BAR = ∠BCA
(ii) ∠BAP = ∠BDA
रचना : व्यास AOE खींचा और EB को मिलाया।
उपपत्ति : वृत्त की त्रिज्या स्पर्शरेखा पर लम्ब होती है।
∠RAO अथवा ∠RAE = 90°
∠BAR + ∠BAE = 90° ……..(1)
⇒ ∠ABE = 90° (अर्द्धवृत्त में स्थित कोण)
∆ABE में,
∠BAE + ∠BEA = 90°
समीकरण (1) व (2) से,
∠BAR + ∠BAE = ∠BAE + ∠BEA
या ∠BAR = ∠BEA
परन्तु ∠BEA = ∠BCA (एक ही वृत्तखण्ड में स्थित कोण)
अत: ∠BAR = ∠BCA
इति सिद्धम्
पुनः ∠BAR + ∠BAP = 180° (∵ PAR सरल रेखा है)
तथा ∠BCA + ∠BDA = 180° (चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण)
∠BAR + ∠BAP = ∠BCA + ∠BDA
अतः ∠BDA = ∠BAP (∵ ∠BAR = ∠BCA)
इति सिद्धम्

प्रश्न 3.
दो वृत्त एक-दूसरे को बिन्दु P पर अन्तःस्पर्श करते हैं। बड़े वृत्त की कोई जीवा AB खींची जाती है, जो छोटे वृत्त को बिन्दु पर स्पर्श करती है। सिद्ध कीजिए रेखाखण्ड CP, ∠APB का अर्द्धक है।

हल
दिया है : दो वृत्त एक-दूसरे को बिन्दु P पर अन्त:स्पर्श करते हैं।
बड़े वृत्त की कोई जीवा AB खींची गयी है जो छोटे वृत्त को बिन्दु C पर स्पर्श करती है।
AP, BP और CP को मिलाया गया है।
सिद्ध करना है : रेखाखण्ड CP, ∠APB का अर्द्धक है।
रचना : रेखाखण्ड AP छोटे वृत्त को बिन्दु D पर काटता है।
CD को मिलाया और दोनों वृत्तों की उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा TPT खींची।
उपपत्ति: T’PT स्पर्शरेखा छोटे वृत्त को बिन्दु P पर स्पर्श करती है और PD उसकी जीवा है।
∠TPD = एकान्तर वृत्तखण्ड में स्थित ∠PCD …….(1)
इसी प्रकार बड़े वृत्त के लिए, ∠TPA = ∠PBA
∠TPD = ∠PBC …….(2)
अतः समी० (1) व (2) से, ∠PBC = ∠PCD
अब बड़े वृत्त की जीवा AB छोटे वृत्त को बिन्दु C पर स्पर्श करती है और उसकी जीवा CP है।
अत: ∠PCB = एकान्तर वृत्तखण्ड में स्थित ∠PDC ……(3)
∆PCD और ∆PBC में,
∠PBC = ∠PCD (अभी सिद्ध किया है)
∠PCB = ∠PDC (अभी सिद्ध किया है)
शेष कोण, ∠DPC = ∠BPC
अत: रेखाखण्ड CP, ∠APB का अर्द्धक है।
इति सिद्धम्

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.2 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.2

Bihar Board Class 10 Maths पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.2

(जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = \(\frac {22}{7}\) लीजिए।)

प्रश्न 1.
एक ठोस एक अर्द्धगोले पर खड़े एक शंकु के आकार का है जिनकी त्रिज्याएँ 1 cm हैं तथा शंक की ऊँचाई उसकी त्रिज्या के बराबर है। इस ठोस का आयतन π के पदों में ज्ञात कीजिए।
हल

दिया है, एक ठोस, एक अर्द्धगोले व एक शंकु के संयोजन से बना है।
अर्द्धगोले की त्रिज्या = शंकु की त्रिज्या = 1 cm और
शंकु की ऊँचाई = शंकु की त्रिज्या = 1 cm
अर्द्धगोले का आयतन = \(\frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \pi r^{3}\)
= \(\frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \pi \times(1)^{3}\)
= \(\frac{2}{3}\) π cm³
शंक्वाकार भाग का आयतन = \(\frac{2}{3}\) πr²h
= \(\frac{1}{3}\) π(1)² × 1
= \(\frac{1}{3}\) π cm³
ठोस का आयतन = अर्द्धगोले का आयतन + शंक्वाकार भाग का आयतन
= \(\left(\frac{2}{3} \pi+\frac{1}{3} \pi\right)\)
= π cm³
अतः ठोस का आयतन = π cm³

प्रश्न 2.
एक इंजीनियरिंग के विद्यार्थी रचेल से एक पतली एल्यूमीनियम की शीट का प्रयोग करते हुए एक मॉडल बनाने को कहा गया जो एक ऐसे बेलन के आकार का हो जिसके दोनों सिरों पर दो शंकु जुड़े हुए हों। इस मॉडल का व्यास 3 cm है और इसकी लम्बाई 12 cm है। यदि प्रत्येक शंकु की ऊँचाई 2 cm हो तो रचेल द्वारा बनाए गए मॉडल में अन्तर्विष्ट हवा का आयतन ज्ञात कीजिए। (यह मान लीजिए कि मॉडल की आन्तरिक और बाहरी विमाएँ लगभग बराबर हैं)
हल

दिया है, मॉडल एक बेलन व दो शंकुओं के संयोजन से बना है।
मॉडल का व्यास = 3 cm
शंकु की त्रिज्या = बेलन के आधार की त्रिज्या (r) = \(\frac{3}{2}\) cm
प्रत्येक शंकु की ऊँचाई (h) = 2 cm
मॉडल की कुल लम्बाई = 12 cm
माना बेलन की ऊँचाई = H cm
मॉडल की कुल ऊँचाई = प्रत्येक शंकु की ऊँचाई + बेलन की ऊँचाई
⇒ 12 = 2h + H
⇒ 12 = 2 × 2 + H
⇒ H = 12 – 4 = 8 cm
तब, बेलन का आयतन = πr²H = π × \(\left(\frac{3}{2}\right)^{2}\) × 8 = 18π cm³
दोनों शंक्वाकार भागों का आयतन = \(2 \times \frac{1}{3} \pi r^{2} h\)
= \(\frac{2}{3} \pi \times \frac{3}{2} \times \frac{3}{2} \times 2\)
= 3π cm³
सम्पूर्ण मॉडल का आयतन = 18π + 3π = 21π cm³
= 21 × \(\frac{22}{7}\)
= 66 cm³
अतः मॉडल में अन्तर्विष्ट हवा का आयतन = 66 cm³

प्रश्न 3.
संलग्न चित्र में एक गुलाबजामुन में उसके आयतन की लगभग 30% चीनी की चाशनी होती है। 45 गुलाबजामुनों में लगभग कितनी चाशनी होगी, यदि प्रत्येक गुलाबजामुन एक बेलन के आकार का है, जिसके दोनों सिरे अर्द्धगोलाकार हैं तथा इसकी लम्बाई 5 cm और व्यास 2.8 cm है।

हल

दिया है, एक गुलाबजामुन एक बेलन व दो अर्द्ध गोलों के संयोजन से बनी है।
गुलाबजामुन की सम्पूर्ण लम्बाई = 5 cm
तथा गुलाबजामुन का व्यास = 2.8 cm
बेलनाकार भाग की त्रिज्या = दोनों अर्द्धगोलों की त्रिज्या (r) = \(\frac{2.8}{2}\) = 1.4 cm
बेलनाकार भाग की लम्बाई = 5 – (1.4 + 1.4) = 2.2 cm
गुलाबजामुन के दोनों अर्द्धगोलाकार भागों का आयतन = 2x
= \(2 \times \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \pi r^{3}\)
= \(2 \times \frac{2}{3} \pi r^{3}\)
= \(2 \times \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times(1.4)^{3}\)
= \(\frac{34.496}{3}\)
= 11.499 cm³ (लगभग)
गुलाबजामुन के बेलनाकार भाग का आयतन = πr²h
= \(\frac {22}{7}\) × (1.4) × (1.4) × (5 – 1.4 – 1.4)
= \(\frac {22}{7}\) × 1.4 × 1.4 × 2.2
= 13.552 cm³
1 गुलाबजामुन का आयतन = दोनों अर्द्धगोलाकार भागों का आयतन + बेलनाकार भाग का आयतन
= (11.499 + 13.552) cm³
= 25.051 cm³
45 गुलाबजामुनों का आयतन = 45 × 25.051 = 1127.295 cm³
45 गुलाबजामुनों में चाशनी का आयतन = 45 गुलाब जामुनों के आयतन का 30%
= 1127.295 का 30%
= \(\frac{1127.295 \times 30}{100}\)
= 338.1885
≅ 338 cm³
अत: 45 गुलाबजामुनों में चाशनी का आयतन = 338 cm³

प्रश्न 4.
संलग्न चित्र में एक कलमदान घनाभ के आकार की एक लकड़ी से बना है जिसमें कलम रखने के लिए चार शंक्वाकार गड्ढे बने हुए हैं। घनाभ की विमाएँ 15 cm × 10 cm × 3.5 cm हैं। प्रत्येक गड्ढे की त्रिज्या 0.5 cm है और गहराई 1.4 cm है। पूरे कलमदान में लकड़ी का आयतन ज्ञात कीजिए।

हल
दिया है, घनाभ की लम्बाई (l) = 15 cm
घनाभ की चौड़ाई (b) = 10 cm
घनाभ की ऊँचाई (h) = 3.5 cm
घनाभ का आयतन = 15 cm × 10 cm × 3.5 cm = 525 cm³
शंक्वाकार गड्ढे की त्रिज्या (r) = 0.5 cm
तथा शंक्वाकार गड्ढे की गहराई (h) = 1.4 cm
प्रत्येक शंक्वाकार गड्ढे का आयतन = \(\frac{1}{3} \pi r^{2} h\)
= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 0.5 \times 0.5 \times 1.4\)
= \(\frac{1.1}{3}\) cm³
चारों शंक्वाकार गड्ढों का आयतन = 4 × \(\frac{1.1}{3}\)
= \(\frac{4.4}{3}\)
= 1.467 cm³
कलमदान में लगी लकड़ी का आयतन = घनाभ का आयतन – 4 गड्ढों का आयतन
= (525 – 1.467) cm³
= 523.533 cm³
अत: पूरे कलमदान में लकड़ी का आयतन = 523.533 cm³

प्रश्न 5.
एक बर्तन एक उल्टे शंकु के आकार का है। इसकी ऊँचाई 8 cm है और इसके ऊपरी सिरे (जो खुला हुआ है) की त्रिज्या 5 cm है। यह ऊपर तक पानी से भरा हुआ है। जब इस बर्तन में सीसे की कुछ गोलियाँ जिनमें प्रत्येक 0.5 cm त्रिज्या वाला एक गोला है, डाली जाती हैं तो इसमें से भरे हुए पानी का एक-चौथाई भाग बाहर निकल जाता है। बर्तन में डाली गई सीसे की गोलियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल

शंक्वाकार बर्तन की त्रिज्या (r) = 5 cm
तथा शंक्वाकार बर्तन की ऊँचाई (h) = 8 cm
शंक्वाकार बर्तन में भरे पानी का आयतन = \(\frac{1}{3} \pi r^{2} h\)
= \(\frac{1}{3} \times \pi \times(5)^{2} \times 8\)
= \(\frac{200}{3} \pi\) cm³
सीसे की गोलियाँ डालने से \(\frac{1}{4}\) भाग पानी बाहर निकलता है।
सीसे की गोलियों द्वारा विस्थापित अथवा बाहर निकले पानी का आयतन = \(\frac{1}{4}\) × शंक्वाकार बर्तन में भरे पानी का आयतन
= \(\frac{1}{4} \times \frac{200}{3} \pi\)
= \(\frac{50}{3} \pi\) cm³

अत: बर्तन में डाली गई गोलियों की संख्या = 100

प्रश्न 6.
ऊँचाई 220 cm और आधार व्यास 24 cm वाले एक बेलन, जिस पर ऊँचाई 60 cm और त्रिज्या 8 cm वाला एक अन्य बेलन आरोपित है, से लोहे का एक स्तम्भ बना है। इस स्तम्भ का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए, जबकि दिया है 1 cm³ लोहे का द्रव्यमान लगभग 8g होता है। (π = 3.14 लीजिए)
हल
यहाँ, दिया गया ठोस दो बेलनों के संयोजन से बना है।
एक बेलन का व्यास = 24 cm
पहले बेलन की त्रिज्या (r) = 12 cm
तथा पहले बेलन की ऊँचाई (h) = 220 cm
पहले बेलन का आयतन = πr²h
= π × (12)² × 220
= 31680π cm³
दूसरे बेलन की त्रिज्या (R) = 8 cm तथा ऊँचाई (H) = 60 cm
दूसरे बेलन का आयतन = πR²H
= π × (8)² × 60
= 3840π cm³
सम्पूर्ण स्तम्भ का आयतन = (31680π + 3840π) cm³
= 35520π
= 35520 × 3.14 cm³
= 111532.8 cm³
बेलनाकार स्तम्भ का द्रव्यमान = सम्पूर्ण स्तम्भ का आयतन × 1 cm³ लोहे का भार
= 111532.8 × 8g
= 892262.4 g
= \(\frac{892262.4}{1000}\) kg
= 892.2624 kg
= 892.26 kg
अत: स्तम्भ का द्रव्यमान = 892.26 kg

प्रश्न 7.
एक ठोस में, ऊँचाई 120 cm और त्रिज्या 60 cm वाला एक शंकु सम्मिलित है, जो 60 cm त्रिज्या वाले एक अर्द्धगोले पर आरोपित है। इस ठोस को पानी से भरे हुए एक लम्बवृत्तीय बेलन में इस प्रकार सीधा डाल दिया जाता है कि यह बेलन की तली को स्पर्श करे। यदि बेलन की त्रिज्या 60 cm है और ऊँचाई 180 cm है तो बेलन में शेष बचे पानी का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल

यहाँ, ठोस एक शंकु व एक अर्द्धगोले के संयोजन से बना है और इसे लम्बवृत्तीय बेलन में सीधा डाला गया है जो कि बेलन की तली को स्पर्श करता है।
बेलन की त्रिज्या (r) = 60 cm
तथा बेलन की ऊँचाई (H) = 180 cm
लम्बवृत्तीय बेलन में भरे पानी का आयतन = πr²h
= π × (60)² × 180
= 648000π cm³
दिया है, शंकु की त्रिज्या (R) = 60 cm
तथा शंकु की ऊँचाई (H) = 120 cm
शंकु का आयतन = \(\frac{1}{3}\) πr²H
= \(\frac{1}{3}\) π × 60 × 60 × 120
= 144000π cm³
अर्द्धगोले का आयतन = \(\frac{2}{3} \pi r^{3}\)
= \(\frac{2}{3} \pi(60)^{3}\) cm³
= 144000π cm³
शंकु और अर्द्धगोले से अध्यारोपित ठोस का आयतन = शंकु का आयतन + अर्द्धगोले का आयतन
= (144000 +144000) π cm³
= 288000 π cm³
ठोस द्वारा विस्थापित (हटाए गए) पानी का आयतन = शंकु तथा अर्द्धगोले से अध्यारोपित ठोस का आयतन = 288000π cm³
शेष बचे पानी का आयतन = (648000π – 288000π) cm³
= 360000π cm³
= 360000 × \(\frac {22}{7}\) cm³
= 1131428.57 cm³
= \(\frac{1131428.57}{1000000}\) m³
≅ 1.131 m³
अत: बेलन में शेष बचे पानी का आयतन ≅ 1.131 m³

प्रश्न 8.
एक गोलाकार काँच के बर्तन की एक बेलन के आकार की गर्दन है जिसकी लम्बाई 8 cm और व्यास 2 cm है जबकि गोलाकार भाग का व्यास 8.5 cm है। इसमें भरे जा सकने वाली पानी की मात्रा मापकर, एक बच्चे ने यह ज्ञात किया कि इस बर्तन का आयतन 345 cm³ है। जाँच कीजिए कि उस बच्चे का उत्तर सही है या नहीं, यह मानते हुए कि उपर्युक्त मापन आन्तरिक मापन है और π = 3.14
हल

दिया है, बेलनाकार भाग का व्यास = 2 cm
बेलनाकार भाग की त्रिज्या (r) = \(\frac{\text { व्यास }}{2}=\frac{2}{2}\) = 1 cm
तथा बेलनाकार भाग की ऊँचाई (h) = 8 cm
बेलनाकार भाग का आयतन = πr²h
= π × (1)² × 8
= 8π cm³
गोलाकार भाग का व्यास = 8.5 cm = \(\frac{17}{2}\) cm
गोलाकार भाग की त्रिज्या = \(\frac{1}{2} \times \frac{17}{2}=\frac{17}{4}\) cm
गोलाकार भाग का आयतन

बर्तन का आयतन = गोलाकार भाग का आयतन + बेलनाकार भाग का आयतन

अतः बच्चे का उत्तर 345 cm³ सही नहीं है।
अतः बर्तन का सही आयतन = 346.51 cm³

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.1 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.1

Bihar Board Class 10 Maths वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.1

(जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = \(\frac {22}{7}\) का प्रयोग कीजिए)

प्रश्न 1.
दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 19 cm और 9 cm हैं। उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसकी परिधि इन दोनों वृत्तों की परिधियों के योग के बराबर है।
हल
पहले वृत्त की त्रिज्या (r₁) = 19 cm
पहले वृत्त की परिधि = 2πr₁ = 2π × 19 = 38π cm
इसी प्रकार, दूसरे वृत्त की त्रिज्या (r₂) = 9 cm
दूसरे वृत्त की परिधि = 2πr₂ = 2π × 9 = 18π cm
दोनों वृत्तों की परिधियों का योग = (38π + 18π) = 56π cm
वांछित वृत्त की परिधि = 56π cm
माना वांछित वृत्त की त्रिज्या = r cm
तब, वांछित वृत्त की परिधि = 56π m
⇒ 2πr = 56π
⇒ r = \(\frac{56 \pi}{2 \pi}\) = 28
अतः अभीष्ट वृत्त की त्रिज्या = 28 cm

प्रश्न 2.
दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 8 cm और 6 cm हैं। उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसका क्षेत्रफल इन दोनों वृत्तों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है।
हल
पहले वृत्त की त्रिज्या (r₁) = 8 cm
पहले वृत्त का क्षेत्रफल = \(\pi r_{1}^{2}\) = π × 8 × 8 = 64π cm²
इसी प्रकार, दूसरे वृत्त की त्रिज्या (r₂) = 6 cm
दूसरे वृत्त का क्षेत्रफल = \(\pi r_{2}^{2}\) = π × 6 × 6 = 36π cm²
दोनों वृत्तों के क्षेत्रफलों का योग = 64π + 36π = 100π cm²
वांछित वृत्त का क्षेत्रफल = 100π cm²
माना वांछित वृत्त की त्रिज्या r cm है।
तब, वांछित वृत्त का क्षेत्रफल = 100π cm²
⇒ πr² = 100π
⇒ r² = 100π
⇒ r = √100 = 10
अतः अभीष्ट वृत्त की त्रिज्या = 10 cm

प्रश्न 3.
दी गई आकृति एक तीरंदाजी लक्ष्य को दर्शाती है, जिसमें केन्द्र से बाहर की ओर पाँच क्षेत्र GOLD, RED, BLUE, BLACK और WHITE चिह्नित हैं, जिनसे अंक अर्जित किए जा सकते हैं। GOLD अंक वाले क्षेत्र GOLD का व्यास 21 cm है तथा प्रत्येक अन्य पट्टी 10.5 cm चौड़ी है। अंक प्राप्त कराने वाले इन पाँचों क्षेत्रों में से प्रत्येक का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल
सबसे पहले क्षेत्र का व्यास = 21 cm
GOLD क्षेत्र की त्रिज्या R_G = \(\frac{21}{2}\) = 10.5 cm
और अगली प्रत्येक पट्टी की चौड़ाई = 10.5 cm
तीरंदाजी के पाँच क्षेत्रों का क्रम = GOLD, RED, BLUE, BLACK, WHITE
RED क्षेत्र की भीतरी त्रिज्या R_r2 = 10.5 cm
तथा बाहरी त्रिज्या R_r1 = R_r2 + 10.5 cm = 10.5 + 10.5 = 21.0 cm
तब, BLUE क्षेत्र की भीतरी त्रिज्या R_B2 = 21.0 cm
तथा बाहरी त्रिज्या R_B1 = R_B2 + 10.5 cm = 21.0 + 10.5 = 31.5 cm
तब, BLACK क्षेत्र की भीतरी त्रिज्या R_b2 = 31.5 cm
तथा बाहरी त्रिज्या R_b1 = R_b2 + 10.5 cm = 31.5 + 10.5 = 42.0 cm
तब, WHITE क्षेत्र की भीतरी त्रिज्या R_w2 = 42.0 cm
बाहरी त्रिज्या R_w1 = R_w2 + 10.5 cm = 42.0 + 10.5 = 52.5 cm
इस प्रकार क्षेत्रवार त्रिज्याएँ :

प्रश्न 4.
किसी कार के प्रत्येक पहिए का व्यास 80 cm है। यदि यह कार 66 km प्रति घण्टे की चाल से चल रही है तो 10 मिनट में प्रत्येक पहिया कितने चक्कर लगाता है?
हल
कार के पहिए का व्यास = 80 cm
कार के पहिए की परिधि = π × व्यास
= \(\frac {22}{7}\) × 80 cm
= \(\frac{1760}{7}\) cm
कार की चाल = 66 km/h
= 66 × \(\frac{1000}{60}\) m/min
= 66 × \(\frac{1000}{60}\) × 100 cm/min
= 110000 cm/min
∴ कार द्वारा 10 मिनट में चली दूरी = चाल × समय
= 110000 × 10
= 1100000 cm
∴ 10 मिनट में चली दूरी 1100000 cm के लिए पहिए के चक्करों की संख्या

अत: 10 मिनट में कार का प्रत्येक पहिया 4375 चक्कर लगाएगा।

प्रश्न 5.
निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए तथा अपने उत्तर का औचित्य दीजिए-
यदि एक वृत्त का परिमाप और क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से बराबर है तो उस वृत्त की त्रिज्या है-
(A) 2 मात्रक
(B) π मात्रक
(C) 4 मात्रक
(D) 7 मात्रक
हल
माना वृत्त की त्रिज्या = R
तब, वृत्त का परिमाप (परिधि) = 2πR
और वृत्त का क्षेत्रफल = πR²
संख्यात्मक रूप से, वृत्त का क्षेत्रफल = वृत्त का परिमाप
πR² = 2πR
R = 2 (दोनों पक्षों को πR से भाग देने पर)
वृत्त की त्रिज्या = 2 मात्रक
अत: विकल्प (A) सही है।

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.1 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.1

Bihar Board Class 10 Maths पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.1

(जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = \(\frac {22}{7}\) लीजिए।)

प्रश्न 1.
दोघनों, जिनमें से प्रत्येक का आयतन 64 cm³ है, के संलग्न फलकों को मिलाकर एक ठोस बनाया जाता है। इससे प्राप्त घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल

माना प्रत्येक घन की भुजा x cm है।
घन का आयतन = (भुजा)³ = x³ cm³
प्रत्येक घन का आयतन = 64 cm³ (दिया है)
x³ = 64
⇒ x³ = (4)³
⇒ x = 4 cm
प्रत्येक घन की भुजा 4 cm है।
दो घनों को मिलाकर एक घनाभ बनाया जाता है।
तब प्राप्त घनाभ की लम्बाई (l) = (4 + 4) = 8 cm, चौड़ाई (b) = 4 cm तथा ऊँचाई (h) = 4 cm
घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl)
= 2[(8 × 4) + (4 × 4) + (4 × 8)]
= 2[32 + 16 + 32]
= 2 × 80
= 160 cm²
अतः प्राप्त घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 160 cm²

प्रश्न 2.
कोई बर्तन एक खोखले अर्द्धगोले के आकार का है जिसके ऊपर एक खोखला बेलन अध्यारोपित है। अर्द्धगोले का व्यास 14 cm है और इस बर्तन (पात्र) की कुल ऊँचाई 13 cm है। इस बर्तन का आन्तरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल

चित्र की भाँति अर्द्धगोले पर बेलन अध्यारोपित किया गया है।
अर्द्धगोले का व्यास = 14 cm
अर्द्धगोले की त्रिज्या (r) = \(\frac{\text { व्यास }}{2}\) = 7 cm
तब, बेलन की त्रिज्या (r) = अर्द्ध गोले की त्रिज्या = 7 cm
बर्तन की कुल ऊँचाई 13 cm है जो बेलन की ऊँचाई h तथा अर्द्धगोले की त्रिज्या r के योग के बराबर है।
h + r = 13
⇒ h + 7 = 13
⇒ h = 13 – 7 = 6 cm
बेलन की ऊँचाई (h) = 6 cm
तब, बेलनाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
तथा अर्द्धगोलीय भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr²
बर्तन का कुल आन्तरिक पृष्ठ = 2πrh + 2πr² = 2πr(h + r)
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 7(7 + 6) cm²
= 2 × 22 × 13 cm²
= 572 cm²
अत: बर्तन (पात्र) का कुल आन्तरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल = 572 cm²

प्रश्न 3.
एक खिलौना त्रिज्या 3.5 cm वाले एक शंकु के आकार का है, जो उसी त्रिज्या वाले एक अर्द्धगोले पर अध्यारोपित है। इस खिलौने की सम्पूर्ण ऊँचाई 15.5 cm है। इस खिलौने का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल

दिया है, अर्द्धगोले पर समान परिच्छेद क्षेत्रफल के आधार वाला शंकु अध्यारोपित कर खिलौना बनाया गया है।
शंकु के आधार की त्रिज्या (r) = 3.5 cm
गोले की त्रिज्या (r) = 3.5 cm
खिलौने की कुल ऊँचाई = शंकु की ऊँचाई + अर्द्धगोले की त्रिज्या
15.5 cm = शंकु की ऊँचाई (h) + 3.5 cm
शंकु की ऊँचाई (h) = (15.5 – 3.5) cm = 12 cm
तब, शंकु की तिर्यक ऊँचाई (l)

तब, शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl
= \(\frac {22}{7}\) × 3.5 × 12.5
= 137.5 cm²
और अर्द्धगोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr²
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × 3.5 × 3.5
= 77 cm²
खिलौने का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + अर्द्धगोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल
= (137.5 + 77) cm²
= 214.5 cm²
अत: खिलौने का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 214.5 cm²

प्रश्न 4.
भुजा 7 cm वाले एक घनाकार ब्लॉक के ऊपर एक अर्द्धगोला रखा हुआ है। अर्द्धगोले का अधिकतम व्यास क्या हो सकता है? इस प्रकार बने ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल

अर्द्धगोले का आधार घन के ऊपरी फलक पर टिका है।
अर्द्धगोले का अधिकतम व्यास = घन की भुजा = 7 cm
अर्द्धगोले की त्रिज्या (r) = \(\frac{7}{2}\) cm
तब, ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल = घन का सम्पूर्ण पृष्ठ + अर्द्धगोले का वक्र पृष्ठ – वृत्तीय आधार का क्षेत्रफल

अत: अर्द्धगोले का अधिकतम व्यास = 7 cm
तथा ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 332.5 cm²

प्रश्न 5.
एक घनाकार ब्लॉक के एक फलक को अन्दर की ओर से काटकर एक अर्द्धगोलाकार गड्ढा इस प्रकार बनाया गया है कि अर्द्धगोले का व्यास घन के एक किनारे के बराबर है। शेष बचे ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल

दिया है, अर्द्धगोले का व्यास = घन की भुजा = a
अर्द्धगोले की त्रिज्या (r) = \(\frac{a}{2}\)
अर्द्धगोलाकार गड्ढा बनाने पर घन के पृष्ठ में अर्द्धगोले के वक्रपृष्ठ के बराबर क्षेत्र बढ़ जाएगा।
परन्तु अर्द्धगोले के आधार के क्षेत्रफल के बराबर क्षेत्र कम हो जाएगा।
अतः शेष बचे ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल = घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल + अर्द्धगोले का वक्रपृष्ठ – अर्द्धगोले के आधार का क्षेत्रफल

अत: शेष बचे ठोस का आयत = \(\frac{a^{2}}{4}\) (π + 24) जहाँ a घन की भुजा है।

प्रश्न 6.
संलग्न चित्र में, दवा का एक कैप्सूल (capsule) एक बेलन के आकार का है जिसके दोनों सिरों पर एक-एक अर्द्धगोला लगा हुआ है। पूरे कैप्सूल की लम्बाई 14 mm है और उसका व्यास 5 mm है। इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल

दिया है, कैप्सूल की लम्बाई = 14 mm
कैप्सूल का व्यास = 5 mm
कैप्सूल की त्रिज्या (r) = \(\frac{5}{2}\) mm
बेलनाकार भाग की त्रिज्या (r) = \(\frac{5}{2}\) mm
बेलनाकार भाग की लम्बाई = 14 – (2.5 + 2.5) = 9 mm
चित्र से स्पष्ट है कि
कैप्सूल की लम्बाई = (2 × अर्द्धगोले की त्रिज्या) + बेलनाकार भाग की ऊँचाई
14 = 2r + h
⇒ 2r + h = 14 …….(1)
कैप्सूल का पृष्ठीय क्षेत्रफल = (2 × अर्द्धगोले का वक्र पृष्ठ) + बेलन का वक्र पृष्ठ
= 2 × 2πr² + 2πrh
= 2πr(2r + h)
= 2 × \(\frac{22}{7} \times \frac{5}{2}\) × 14
= 220 mm2 [समीकरण (1) से]
अत: कैप्सूल का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 220 mm²

प्रश्न 7.
कोई तम्बू एक बेलन के आकार का है जिस पर एक शंकु अध्यारोपित है। यदि बेलनाकार भाग की ऊँचाई और व्यास क्रमश: 2.1 m और 4 m हैं तथा शंकु की तिर्यक ऊँचाई 2.8 m है तो इस तम्बू को बनाने में प्रयुक्त कैनवास (canvas) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। साथ ही, ₹ 500 प्रति m² की दर से इसमें प्रयुक्त कैनवास की लागत ज्ञात कीजिए। (ध्यान दीजिए कि तम्बू के आधार को कैनवास से नहीं ढका जाता है।)
हल

बेलनाकार भाग के लिए,
बेलनाकार भाग का व्यास = 2.1 m
बेलनाकार भाग की त्रिज्या = \(\frac{2.1}{2}\) m
और बेलनाकार भाग की ऊँचाई (h) = 4 m
बेलनाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
= \(2 \times \frac{22}{7} \times \frac{2.1}{2} \times 4\)
= 26.4 m²
शंक्वाकार भाग के लिए,
शंक्वाकार भाग की त्रिज्या (r) = बेलन की त्रिज्या = \(\frac{2.1}{2}\) m
शंक्वाकार भाग की तिर्यक ऊँचाई (l) = 2.8 m
शंक्वाकार भाग का पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl
= \(\frac{22}{7} \times \frac{2.1}{2} \times 2.8\)
= 9.24 m²
पूरे तम्बू का पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलनाकार भाग का पृष्ठीय क्षेत्रफल + शंक्वाकार भाग का पृष्ठीय क्षेत्रफल
= (26.4 + 9.24) m²
= 35.64 m²
अतः तम्बू में प्रयुक्त कैनवास का क्षेत्रफल = 35.64 m²
तथा कैनवास की लागत = 500 × 35.64 = ₹ 17820

प्रश्न 8.
ऊँचाई 2.4 cm और व्यास 1.4 cm वाले एक ठोस बेलन में से इसी ऊँचाई और इसी व्यास वाला एक शंक्वाकार खोल (cavity) काट लिया जाता है। शेष बचे ठोस का निकटतम वर्ग सेन्टीमीटर तक पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल

दिया है, बेलन का व्यास = 1.4 cm
बेलन की त्रिज्या (r) = 0.7 cm
तथा बेलन की ऊँचाई (h) = 2.4 cm
बेलन का वक्र पृष्ठ = 2πrh
= 2π × 0.7 × 2.4
= 3.36π cm²
बेलन के आधार का क्षेत्रफल = πr²
= π × 0.7 × 0.7
= 0.49π cm²
अब, शंकु की त्रिज्या (r) = बेलन की त्रिज्या = 0.7 cm
शंकु की ऊँचाई (h) = बेलन की ऊँचाई = 2.4 cm
शंकु की तिर्यक ऊँचाई (l) = \(\sqrt{h^{2}+r^{2}}\)
= \(\sqrt{(2.4)^{2}+(0.7)^{2}}\)
= \(\sqrt{5.76+0.49}\)
= \(\sqrt{6.25}\)
= 2.5 cm
तब, शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl
= π × 0.7 × 2.5
= 1.75π cm²
शेष बचे ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलन का वक्रपृष्ठ + आधार का क्षेत्रफल + शंकु का वक्रपृष्ठ
= (3.36π + 0.49π + 1.75π) cm²
= 5.60π cm²
= 5.6 × \(\frac{22}{7}\) cm²
= 17.6 cm²
अतः शेष बचे ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 17.6 cm²

प्रश्न 9.
लकड़ी के एक ठोस बेलन के प्रत्येक सिरे पर एक अर्द्धगोला व खोदकर निकालते हुए, एक वस्तु बनाई गई है, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। यदि बेलन की ऊँचाई 10 cm है और आधार की त्रिज्या 3.5 cm है तो इस वस्तु का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल
दिया है, लकड़ी की वस्तु एक बेलन और दो अर्द्धगोलों के संयोजन से बनी है।
यहाँ, बेलन की ऊँचाई (h) = 10 cm
बेलन के आधार की त्रिज्या (r) = अर्द्धगोले की त्रिज्या = 3.5 cm
लकड़ी की वस्तु का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + दोनों अर्द्धगोलों का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2πrh + 4πr²
= 2πr(h + 2r)
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 3.5 (10 + 2 × 3.5)
= \(\frac{22}{7}\) × 7 × (17)
= 374 cm²
अत: वस्तु का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 374 cm²

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 10 वृत्त Ex 10.2 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 10 वृत्त Ex 10.2

Bihar Board Class 10 Maths वृत्त Ex 10.2

प्रश्न सं० 1, 2, 3 में सही विकल्प चुनिए एवं उचित कारण दीजिए।

प्रश्न 1.
एक बिन्दु से एक वृत्त पर स्पर्श रेखा की लम्बाई 24 cm तथा Q की केन्द्र से दूरी 25 cm है। वृत्त की त्रिज्या है :
(A) 7 cm
(B) 12 cm
(C) 15 cm
(D) 24.5 cm
हल

माना वृत्त की त्रिज्या R cm है।
दिया है, स्पर्श रेखा की लम्बाई (PQ) = 24 cm
और बिन्दु Q से वृत्त के केन्द्र की दूरी (OP) = 25 cm
समकोण ΔOPQ में, पाइथागोरस प्रमेय से,
OQ² = OP² + PQ²
⇒ OP² = OQ² – PQ²
⇒ R² = (25)² – (24)²
⇒ R² = 625 – 576
⇒ R² = 49
⇒ R = 7
अत: विकल्प (A) सही है।

प्रश्न 2.
आकृति में, यदि TP, TQ केन्द्र O वाले किसी वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ इस प्रकार हैं कि ∠POQ = 110°, तो ∠PTQ बराबर है-
(A) 60°
(B) 70°
(C) 80°
(D) 90°

हल
दिया है, दिए हुए वृत्त में OP तथा OQ त्रिज्याएँ हैं और TP तथा TQ स्पर्श रेखाएँ हैं।
तथा ∠POQ = 110°
∵ OP ⊥ PT तथा OQ ⊥ QT
∴ ∠P = 90° तथा ∠Q = 90°
चतुर्भुज OPTQ में,
∠POQ + ∠PTQ = 180°
या 110° + ∠PTQ = 180°
या ∠PTQ = 180° – 110° = 70°
अत: विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 3.
यदि एक बिन्दु P से O केन्द्र वाले किसी वृत्त पर PA, PB स्पर्श रेखाएँ परस्पर 80° के कोण पर झुकी हों तो ∠POA बराबर है-
(A) 50°
(B) 60°
(C) 70°
(D) 80°
हल

वृत्त का केन्द्र O है और बिन्दु P से PA व PB वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ हैं जिनके बीच का कोण ∠APB = 80°
∵ ∠A = 90° व ∠B = 90°
⇒ ∠AOB व ∠APB सम्पूरक हैं।
∴ ∠AOB + ∠APB = 180° ……(1)
समीकरण (1) में ∠APB = 80° रखने पर,
∠AOB + 80° = 180°
⇒ ∠AOB = 100°
रेखा OP, ∠AOB को समद्धिभाजित करती है,
∠POB = \(\frac {1}{2}\) ∠AOB = \(\frac {1}{2}\) × 100° = 50°
अत: विकल्प (A) सही है।

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के किसी व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समान्तर होती हैं।
हल

दिया है : एक वृत्त का केन्द्र O तथा व्यास AB है। व्यास के सिरों A तथा B से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ PAQ तथा RBS खींची गई हैं।
सिद्ध करना है : PQ || RS
उपपत्ति : दिया है, AB वृत्त का व्यास है और PAQ तथा RBS बिन्दुओं A तथा B पर वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं।
∴ ∠PAB = 90° तथा ∠ABS = 90°
परन्तु ∠PAB तथा ∠ABS ऋजु रेखाओं PQ तथा RS को तिर्यक रेखा AB के द्वारा काटने से बने समान एकान्तर कोण हैं।
PQ || RS
इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि स्पर्श बिन्दु से स्पर्श रेखा पर खींचा गया लम्ब वृत्त के केन्द्र से होकर जाता है।
हल

दिया है : एक वृत्त का केन्द्र O है और AB वृत्त की स्पर्श रेखा है जो वृत्त को बिन्दु P पर स्पर्श करती है।
P से वृत्त की स्पर्श रेखा AB पर PQ लम्ब खींचा गया है।
सिद्ध करना है : लम्ब PQ वृत्त के केन्द्र O से जाता है।
उपपत्ति: ∵ AP,वृत्त के स्पर्श बिन्दु P पर स्पर्श-रेखा है।
∴ AP, वृत्त की त्रिज्या पर लम्ब होगी।
∵ PQ ⊥ AP
∴ PQ रेखा में वृत्त की त्रिज्या समाहित होगी।
∵ त्रिज्या का एक सिरा P है, तब दूसरा सिरा केन्द्र O होगा।
∴ रेखा PQ में केन्द्र O भी समाहित है।
अतः लम्ब PQ वृत्त के केन्द्र O से होकर जाता है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 6.
एक बिन्दु A से, जो एक वृत्त के केन्द्र से 5 cm दूरी पर है, वृत्त पर स्पर्श रेखा की लम्बाई 4 cm है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल
बिन्दु A से वृत्त के केन्द्र की दूरी (D) = 5 cm
और वृत्त की स्पर्श रेखा की लम्बाई (T) = 4 cm
माना वृत्त की त्रिज्या R cm है।
∵ बिन्दु A से,
(वृत्त की स्पर्श रेखा की लम्बाई)² = (वृत्त के केन्द्र से दूरी)² – (त्रिज्या)²
⇒ T² = D² – R²
⇒ (4)² = (5)² – R²
⇒ R² = 5² – 4² = 25 – 16 = 9
⇒ R = 3 cm
अत: वृत्त की त्रिज्या (R) = 3 cm

प्रश्न 7.
दो संकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ 5 cm तथा 3 cm हैं। बड़े वृत्त की उस जीवा की लम्बाई ज्ञात कीजिए जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती हो।
हल

माना O केन्द्र वाले दो संकेन्द्रीय वृत्त हैं जिनकी त्रिज्याएँ OA तथा OP क्रमश: 5 cm व 3 cm हैं।
बड़े वृत्त की एक जीवा AB है जो छोटे वृत्त को बिन्दु P पर स्पर्श करती है।
∴ OP ⊥ AB (OP वृत्त की त्रिज्या है)
∴ ∆OAP समकोणीय त्रिभुज है।
तब, पाइथागोरस प्रमेय से,
AP² + OP² = OA²
⇒ AP² + (3)² = (5)²
⇒ AP² = (5)² – (3)² = 25 – 9 = 16
⇒ AP = 4 cm
परन्तु बड़े वृत्त में, जीवा AB पर केन्द्र O से OP लम्ब है।
∴ P, AB को अर्धित करता है
∴ AP = BP
⇒ BP = 4 cm
तब, जीवा AB की लम्बाई = AP + BP = 4 + 4 = 8 cm

प्रश्न 8.
एक वृत्त के परिगत एक चतुर्भुज ABCD खींचा गया है। सिद्ध कीजिए-
AB + CD = AD + BC

हल
दिया है : O केन्द्र वाले वृत्त के परिगत एक चतुर्भुज ABCD खींचा गया है जिसकी भुजाएँ AB, BC, CD तथा DA वृत्त को क्रमशः बिन्दुओं P, Q, R और S पर स्पर्श करती हैं।
सिद्ध करना है : AB + CD = AD + BC
उपपत्ति: ∴ AB तथा AD वृत्त को P तथा S पर स्पर्श करती हैं।
AP= AS
पुन: AB तथा BC वृत्त को P तथा Q पर स्पर्श करती हैं।
∴ PB = BQ
∵ BC तथा CD वृत्त को Q तथा R पर स्पर्श करती हैं।
∴ QC = CR
और CD तथा DA वृत्त को R तथा S पर स्पर्श करती हैं।
∴ DR = SD
AB + CD = AP + PB + DR + CR (आकृति देखिए)
= AS + BQ + SD + QC
= (AS + SD) + (BQ + QC)
= AD + BC
अत: AB + CD = AD + BC
इति सिद्धम्

प्रश्न 9.
संलग्न आकृति में, XY और X’Y’, O केन्द्र के वाले एक वृत्त की दो समान्तर स्पर्श रेखाएँ हैं और स्पर्श बिन्दु C पर स्पर्श रेखा AB, XY को A पर तथा X’Y’ को B पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि ∠AOB = 90° है।

हल
दिया है : O केन्द्र वाले वृत्त की XY तथा X’Y’ दो समान्तर स्पर्श रेखाएँ हैं। वृत्त पर एक बिन्दु C से स्पर्श रेखा AB खींची गई है जो XY को A पर तथा X’Y’ को B पर काटती है। OA तथा OB को मिलाया गया है।

सिद्ध करना है : ∠AOB = 90°
रचना : रेखाखण्ड OC खींचा।
उपपत्ति : ∵ XY और X’Y’ वृत्त की दो समान्तर स्पर्श रेखाएँ हैं जो वृत्त को (माना) P तथा Q पर स्पर्श करती हैं। C से वृत्त की एक स्पर्श रेखा AB, XY को A पर तथा X’Y’ को B पर काटती है।
∴ बिन्दु A से वृत्त पर AP व AC स्पर्श रेखाएँ हैं।
तब, ∆OPA व ∆OCA में,
OP = OC (वृत्त की त्रिज्याएँ हैं)
AP = AC (बाह्य बिन्दु से वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं)
OA = OA (उभयनिष्ठ भुजा है)
∆OPA ≅ ∆OCA
∠POA = ∠AOC …….(1)
इसी प्रकार, बिन्दु B से वृत्त पर BQ और BC स्पर्श रेखाएँ हैं।
तब, ∆OQB तथा ∆OBC में,
OQ = OC (वृत्त की त्रिज्याएँ हैं)
BQ = BC (बिन्दु B से वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं)
OB = OB (उभयनिष्ठ भुजा है)
∆OQB ≅ ∆OBC
∠BOQ = ∠COB …….(2)
∵ ∠POA + ∠AOC + ∠COB + ∠BOQ = 180°
⇒ ∠AOC + ∠AOC + ∠COB + ∠COB = 180° [समीकरण (1) व समीकरण (2) से]
⇒ 2(∠AOC + ∠COB) = 180°
⇒ ∠AOC + ∠COB = 90°
अतः ∠AOB = 90°
इति सिद्धम्

प्रश्न 10.
सिद्ध कीजिए कि किसी बाह्य बिन्दु से किसी वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण स्पर्श बिन्दुओं को मिलाने वाले रेखाखण्ड द्वारा केन्द्र पर अन्तरित कोण का सम्पूरक होता है।
हल

दिया है : O केन्द्र वाले वृत्त के बाहर एक बिन्दु P है। Pसे वृत्त पर PA तथा PB दो स्पर्श रेखाएँ खींची गई हैं। स्पर्श रेखाओं के बीच का ∠APB है। स्पर्श बिन्दुओं को रेखा AB मिलाती है जो वृत्त के केन्द्र पर ∠AOB बनाती है।
सिद्ध करना है : ∠APB, ∠AOB का सम्पूरक है।
उपपत्ति: ∵ OA वृत्त की त्रिज्या है और बाह्य बिन्दु P से PA स्पर्श रेखा है जो वृत्त को बिन्दु A पर स्पर्श करती है।
∴ ∠OAP = 90° …….(1)
इसी प्रकार, OB वृत्त की त्रिज्या है और बाह्य बिन्दु P से PB वृत्त की स्पर्श रेखा है जो वृत्त को बिन्दु B पर स्पर्श करती है।
∴ ∠OBP = 90° …….(2)
समीकरण (1) व (2) को जोड़ने पर,
∠OAP + ∠OBP = 180°
तब, चतुर्भुज OAPB में,
∠AOB + ∠OAP + ∠OBP + ∠APB = 360°
⇒ ∠AOB + 180° + ∠APB = 360°
⇒ ∠AOB + ∠APB = 360° – 180° = 180°
⇒ ∠AOB + ∠APB = 180°
अत: ∠APB, ∠AOB का सम्पूरक है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 11.
सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के परिगत समान्तर चतुर्भुज, समचतुर्भुज होता है।
हल

दिया है : केन्द्र O वाले वृत्त के परिगत खींचा गया समान्तर चतुर्भुज ABCD जिसकी भुजाएँ वृत्त को क्रमशः P, Q, R और S बिन्दुओं पर स्पर्श करती हैं।
सिद्ध करना है : ABCD एक समचतुर्भुज है।
रचना : AC, OP और OQ को मिलाया।
उपपत्ति : चूँकि बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गई दोनों स्पर्श रेखाएँ लम्बाई में बराबर होती हैं,
∴ AP = AS, BP = BQ, CQ = CR तथा DR = DS
अब, ∆OAP और ∆OCQ में,
OP = OQ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ हैं)
∠OAP = ∠OCQ (समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोणों के अर्द्धक हैं)
∠OPA = ∠OQC (प्रत्येक समकोण है)
दोनों त्रिभुज सर्वांगसम हैं अर्थात् ∆OAP ≅ ∆OCQ
⇒ AP = CQ
⇒ AP + BP = CQ + BQ (∵ BP = BQ)
⇒ AB = BC
इसी प्रकार सिद्ध कर सकते हैं कि AD = AB तथा BC = CD
∴ समान्तर चतुर्भुज ABCD में,
AB = CD = BC = AD
अत: ABCD एक समचतुर्भुज है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 12.
4 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के परिगत एक त्रिभुज ABC इस प्रकार खींचा गया है कि रेखाखण्ड BD और DC (जिनमें स्पर्श बिन्दु Dद्वारा BC विभाजित है) की लम्बाइयाँ क्रमशः 8 cm और 6 cm हैं। भुजाएँ AB और AC ज्ञात कीजिए।

हल
चित्र में, ABC एक त्रिभुज है जिसके अन्तर्वृत्त का केन्द्र O है तथा अन्तर्वृत्त की त्रिज्याएँ OD = OE = OF = 4 cm हैं।
स्पर्श बिन्दु D से BC के खण्ड BD = 6 cm तथा DC = 8 cm हैं।

तब, BF = 6 cm तथा CE = 8 cm
माना AF = AE = x cm
तब, AB = AF + BF = (x + 6) cm
⇒ c = (x + 6) cm [∵ ∆ABC से BC = a, AB = c, CA = b]
BC = 8 + 6 = 14 cm
⇒ a = 14 cm
तथा CA = AE + CE = (x + 8) cm
⇒ b = (x + 8) cm
∵ s = \(\frac{a+b+c}{2}\)
s = \(\frac{14+(x+8)+(x+6)}{2}=\frac{2 x+28}{2}\) = (x + 14)
(s – a) = (x + 14) – 14 = x
(s – b) = (x + 14) – (x + 8) = 6
(s – c) = (x + 14) – (x + 6) = 8

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
3x² + 42x = (x + 14)²
⇒ 3x² + 42x = x² + 28x + 196
⇒ 3x² + 42x – x² – 28x – 196 = 0
⇒ 2x² + 14x – 196 = 0
⇒ x² + 7x – 98 = 0
⇒ x² + (14 – 7)x – 98 = 0
⇒ x² + 14x – 7x – 98 = 0
⇒ (x² + 14x) – (7x + 98) = 0
⇒ x(x + 14) – 7(x + 14) = 0
⇒ (x + 14) (x – 7) = 0
यदि x + 14 = 0, तो x = -14
और यदि x – 7 = 0, तो x = 7
x का मान -14 ऋणात्मक है जो लम्बाई नहीं हो सकता। अत: यह स्वीकार्य नहीं है।
तब, x = 7
∴ भुजा AB = x + 6 = 7 + 6 = 13 cm
तथा भुजा CA = x + 8 = 7 + 8 = 15 cm
अत: त्रिभुज की अन्य दो भुजाएँ AB व CA क्रमश: 13 cm व 15 cm हैं।

प्रश्न 13.
सिद्धं कीजिए कि वृत्त के परिगत बने चतुर्भुज की आमने-सामने की भुजाएँ केन्द्र पर सम्पूरक कोण अन्तरित करती हैं।
हल

दिया है : केन्द्र O वाले वृत्त के परिगत चतुर्भुज ABCD खींचा गया है जिसकी भुजाएँ AB, BC, CD व DA वृत्त को क्रमशः बिन्दुओं M, P, Q व N पर स्पर्श करती हैं।
सिद्ध करना है : ∠AOB + ∠COD = 180°
रचना : स्पर्श बिन्दु M और N को केन्द्र O से मिलाया।
उपपत्ति : माना ∠A = 2α, ∠B = 2β, ∠C = 2γ, ∠D = 2δ
∆OAM और ∆OAN में,
∠OMA = ∠ONA (प्रत्येक समकोण है)
OM = ON (एक ही वृत्त की त्रिज्या है)
OA = OA
∴ दोनों त्रिभुज सर्वांगसम हैं अर्थात् ∆OAM ≅ ∆OAN
⇒ ∠OAM = ∠OAN = \(\frac{1}{2}\) (∠A) = \(\frac{1}{2}\) (2α) = α
⇒ ∠OAB = ∠OAD = α
इसी प्रकार, ∠OBA = ∠OBC = β
∠OCB = ∠OCD = γ
तथा ∠ODA = ∠ODC = δ
अब, ∆AOB में,
∠AOB = 180° – ∠OAB – ∠OBA = 180° – α – β = 180° – (α + β)
तथा ∠COD = 180° – ∠OCD – ∠ODC = 180° – γ – δ = 180° – (γ + δ)
समीकरण (1) व (2) को जोड़ने पर,
∠AOB + ∠COD = {180° – (α + β)} + {180° – (γ + δ)}
⇒ ∠AOB + ∠COD = 360° – (α + β + γ + δ)
परन्तु ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°
⇒ 2α + 2β + 2γ + 2δ = 360°
⇒ α + β + γ + δ = 180°
अत: समीकरण (3) से,
∠AOB + ∠COD = 360° – 180° = 180°
इति सिद्धम्

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 10 वृत्त Ex 10.1 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 10 वृत्त Ex 10.1

Bihar Board Class 10 Maths वृत्त Ex 10.1

प्रश्न 1.
एक वृत्त की कितनी स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं?
हल
किसी वृत्त की परिधि पर स्थित प्रत्येक बिन्दु से एक स्पर्श रेखा खींची जा सकती है। चूंकि वृत्त की परिधि पर बिन्दुओं की संख्या असंख्य है; अत: एक वृत्त की असंख्य स्पर्श रेखाएँ सम्भव हैं।

प्रश्न 2.
रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए

1. किसी वृत्त की स्पर्श रेखा उसे ___________ बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करती है।
2. वृत्त को दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखा को ____________ कहते हैं।
3. एक वृत्त की ____________ समान्तर स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं।
4. वृत्त तथा उसकी स्पर्श रेखा के उभयनिष्ठ बिन्दु को _____________ कहते हैं।

हल

1. किसी वृत्त की स्पर्श रेखा उसे एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती है।
2. वृत्त को दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखा को छेदक रेखा कहते हैं।
3. एक वृत्त की दो समान्तर स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं।
4. वृत्त तथा उसकी स्पर्श रेखा के उभयनिष्ठ बिन्दु को स्पर्श बिन्दु कहते हैं।

प्रश्न 3.
5 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के बिन्दु P पर स्पर्श रेखा PR केन्द्र O से जाने वाली एक रेखा से बिन्दु Q पर इस प्रकार मिलती है कि OQ = 12 सेमी PQ की लम्बाई है-
(A) 12 सेमी
(B) 13 सेमी
(C) 8.5 सेमी
(D) √119 सेमी
हल
दिया है, त्रिज्या OP = 5 सेमी है तथा OQ = 12 सेमी
हम जानते हैं कि वृत्त के किसी बिन्दु पर स्पर्श रेखा स्पर्श बिन्दु से जाने वाली त्रिज्या पर लम्ब होती है।

∴ OP ⊥ PQ
समकोण ∆OPQ में, पाइथागोरस प्रमेय से,
OP² + PQ² = OQ²
⇒ (5)² + PQ² = (12)²
⇒ PQ² = 12² – 5² = 144 – 25 = 119
⇒ PQ = √119 सेमी
अत: विकल्प (D) सही है।

प्रश्न 4.
एक वृत्त खींचिए और एक दी गई रेखा के समान्तर दो ऐसी रेखाएँ खींचिए कि उनमें से एक स्पर्श रेखा हो तथा दूसरी छेदक रेखा हो।
हल
एक वृत्त बनाया जिसका केन्द्र O है और माना AB एक दी गई रेखा है।
हमें AB के समान्तर दो रेखाएँ (माना PQ व RS) खींचनी हैं जिनमें PQ स्पर्श रेखा और RS छेदक रेखा हो।
रचना विधि :
(i) रेखा AB पर केन्द्र-बिन्दु से लम्ब ON खींचा जो वृत्त को बिन्दु P पर काटता है।
(ii) त्रिज्या OP के बिन्दु P पर लम्ब PQ खींचिए। PQ स्पर्श रेखा है।
(iii) OP पर एक बिन्दु M लेकर M से OP पर लम्ब RS खींचा। RS छेदक रेखा है।