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Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.4 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.4

Bihar Board Class 10 Maths पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.4

(जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = \(\frac {22}{7}\) लीजिए।)

प्रश्न 1.
पानी पीने वाला एक गिलास 14 cm ऊँचाई वाले एक शंकु के छिन्नक के आकार का है। दोनों वृत्ताकार सिरों के व्यास 4 cm और 2 cm हैं। इस गिलास की धारिता ज्ञात कीजिए।
हल

दिया है, शंकु के छिन्नक के व्यास क्रमश: 4 cm व 2 cm हैं।
त्रिज्या (r₁) = 2 cm तथा त्रिज्या (r₂) = 1 cm
गिलास की ऊँचाई (h) = 14 cm
शंकु के छिन्नक के आकार के गिलास का आयतन

अत: गिलास की धारिता = 102\(\frac{2}{3}\) cm³

प्रश्न 2.
एक शंकु के छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई 4 cm है तथा इसके वृत्तीय सिरों के परिमाप (परिधियाँ) 18 cm और 6 cm हैं। इस छिन्नक का व्रक पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल
दिया है, शंकु के छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई (l) = 4 cm
एक सिरे की वृत्तीय परिधि, 2πr₁ = 18 cm ⇒ πr₁ = 9 cm
दूसरे सिरे की वृत्तीय परिधि, 2πr₂ = 6 cm ⇒ πr₂ = 3 cm
छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = π(r₁ + r₂)l
= (πr₁ + πr₂)l
= (9 + 3) × 4
= 48 cm²
अतः छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 48 cm²

प्रश्न 3.
एक तुर्की टोपी शंकु के छिन्नक के आकार की है (चित्र देखिए)। यदि इसके खुले सिरे की त्रिज्या 10 cm है, ऊपरी सिरे की त्रिज्या 4 cm है और टोपी की तिर्यक ऊँचाई 15 cm है, तो इसके बनाने में प्रयुक्त पदार्थ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल
दिया है, टोपी शंकु के छिन्नक के आकार की है जिसकी तिर्यक ऊँचाई (l) = 15 cm,
त्रिज्या (r₁) = 10 cm तथा त्रिज्या (r₂) = 4 cm
टोपी का वक्रपृष्ठ = π(r₁ + r₂)l
= \(\frac{22}{7}\) (10 + 4) × 15
= 660 cm²
टोपी के बन्द सिरे का क्षेत्रफल = \(\pi r_{2}^{2}\)
= \(\frac{22}{7}\) × (4)²
= \(\frac{352}{7}\) cm²
= 50\(\frac{2}{7}\) cm²
टोपी में लगा कुल कपड़ा = टोपी का वक्रपृष्ठ + बन्द सिरे का क्षेत्रफल
= (660 + 50\(\frac{2}{7}\))
= 710\(\frac{2}{7}\) cm²
अत: टोपी बनाने में प्रयुक्त पदार्थ का क्षेत्रफल = 710\(\frac{2}{7}\) cm²

प्रश्न 4.
धातु की चादर से बना और ऊपर से खुला एक बर्तन शंकु के एक छिन्नक के आकार का है, जिसकी ऊँचाई 16 cm है तथा निचले और ऊपरी सिरों की त्रिज्याएँ क्रमश 8 cm और 20 cm हैं। ₹ 20 प्रति लीटर की दर से, इस बर्तन को पूरा भर सकने वाले दूध का मूल्य ज्ञात कीजिए। साथ ही, इस बर्तन को बनाने के लिए प्रयुक्त धातु की चादर का मूल्य ₹ 8 प्रति 100 cm² की दर से ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 लीजिए)
हल
दिया है, बर्तन शंकु के छिन्नक के आकार का है जिसकी ऊँचाई (h) =16 cm
और शंकु के ऊपरी सिरे की त्रिज्या (r₁) = 20 cm तथा शंकु के निचले सिरे की त्रिज्या (r₂) = 8 cm
तब, बर्तन का आयतन = छिन्नक का आयतन

= 3328 × 3.14
= 10449.92 cm³
बर्तन को दूध से भरने के लिए 10449.92 cm³ अथवा 10.450 लीटर दूध चाहिए।
तब, ₹ 20 प्रति लीटर की दर से दूध का मूल्य = 20 × 10.45 = ₹ 209
बर्तन को बनाने में वक्रपृष्ठ एवं आधार पर चादर प्रयुक्त होगी,
तब, बर्तन के आधार का क्षेत्रफल = \(\pi r_{2}^{2}\)
= 3.14 × (8)²
= 3.14 × 64
= 200.96 cm³
बर्तन की तिर्यक ऊँचाई (l) = \(\sqrt{h^{2}+\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}}\)
= \(\sqrt{(16)^{2}+(20-8)^{2}}\)
= \(\sqrt{256+144}\)
= \(\sqrt{400}\)
= 20 cm
तब, बर्तन का वक्रपृष्ठ = π(r₁ + r₂)l
= 3.14(20 + 8) × 20
= 3.14 × 28 × 20
= 1758.4 cm³
बर्तन में प्रयुक्त चादर का क्षेत्रफल = (1758.4 + 200.96) cm² = 1959.36 cm²
अतः ₹ 8 प्रति 100 cm² की दर से चादर का मूल्य = \(\frac{8}{100}\) × 1959.36
= ₹ 156.7488
= ₹ 156.75
अत: दूध का मूल्य = ₹ 209 तथा चादर का मूल्य = ₹ 156.75

प्रश्न 5.
20 cm ऊँचाई और शीर्ष कोण (vertical angle) 60° वाले एक शंकु को उसकी ऊँचाई के बीचो-बीच से होकर जाते हुए एक तल से दो भागों में काटा गया है, जबकि तल शंकु के आधार के समान्तर है। यदि इस प्राप्त शंकु के छिन्नक को व्यास \(\frac{1}{16}\) cm वाले एक तार के रूप में बदल दिया जाता है तो तार की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल

चित्र में किसी शंकु के आधार का व्यास A’OA है तथा शीर्ष V है।
शंकु का शीर्ष कोण A’VA = 60° है, तब शंकु का अर्द्धशीर्ष कोण (α) = 30°
शंकु की ऊँचाई = 20 cm है।
तब, समकोण ΔOAV में,

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 15 प्रायिकता Ex 15.2 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 15 प्रायिकता Ex 15.2

Bihar Board Class 10 Maths प्रायिकता Ex 15.2

प्रश्न 1.
दो ग्राहक श्याम और एकता एक विशेष दुकान पर एक ही सप्ताह में जा रहे हैं (मंगलवार से शनिवार तक)। प्रत्येक द्वारा दुकान पर किसी दिन या किसी अन्य दिन जाने के परिणाम समप्रायिक हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि दोनों उस दुकान पर
(i) एक ही दिन जाएँगे?
(ii) क्रमागत दिनों में जाएँगे?
(iii) भिन्न-भिन्न दिनों में जाएँगे?
हल
मंगलवार से शनिवार तक दिनों की संख्या = 5
कुल सम्भव परिणामों की संख्या = 5 × 5 = 25
(i) दोनों ग्राहकों के एक ही दिन जाने के अनुकूल परिणाम = (T, T) (W, W) (Th, Th) (F, F) (S, S) = 5
अतः दोनों के दुकान पर एक ही दिन जाने की प्रायिकता = \(\frac{5}{25}=\frac{1}{5}\)

(ii) दोनों ग्राहकों के दुकान पर क्रमागत दिनों में जाने के अनुकूल परिणाम

अत: दोनों ग्राहकों के दुकान पर क्रमागत दिनों में जाने की प्रायिकता = \(\frac{8}{25}\)

(iii) दोनों के दुकान पर एक ही दिन जाने की प्रायिकता P = \(\frac{1}{5}\)
दोनों के दुकान पर एक ही दिन न जाने की प्रायिकता P’ = 1 – P
= 1 – \(\frac{1}{5}\)
= \(\frac{4}{5}\)
अत: दोनों के दुकान पर भिन्न-भिन्न दिनों में जाने की प्रायिकता = \(\frac{4}{5}\)

प्रश्न 2.
एक पासे के फलकों पर संख्याएँ 1, 2, 2, 3, 3 और 6 लिखी हुई हैं। इसे दो बार फेंका जाता है तथा दोनों बार प्राप्त हुई संख्याओं के योग लिख लिए जाते हैं। दोनों बार फेंकने के बाद, प्राप्त योग के कुछ सम्भावित मान निम्नलिखित सारणी में दिए हैं, इस सारणी को पूरा कीजिए।

इसकी क्या प्रायिकता है कि कुल योग
(i) एक सम संख्या होगा?
(ii) 6 है?
(iii) कम-से-कम 6 है?
हल
सारणी की पूर्ति पहली बार फेंकने के मान

(i) कुल योग सम संख्या होने के अनुकूल परिणाम = घेरे वाले अंक = 18
कुल सम्भव परिणाम = 6 × 6 = 36
अतः योग सम संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता = \(\frac{18}{36}=\frac{1}{2}\)

(ii) कुल योग 6 हो, इसके अनुकूल परिणाम = 4
और कुल सम्भव परिणाम = 36
अतः योग 6 होने की प्रायिकता = \(\frac{4}{36}=\frac{1}{9}\)

(iii) कुल योग कम-से-कम 6 होने के अनुकूल परिणाम = 15
कुल सम्भव परिणाम = 36
अत: योग कम-से-कम 6 होने की प्रायिकता = \(\frac{15}{36}=\frac{5}{12}\)

प्रश्न 3.
एक थैले में 5 लाल गेंद और कुछ नीली गेंदें हैं यदि इस थैले में से नीली गेंद निकालने की प्रायिकता लाल गेंद निकालने की प्रायिकता की दुगुनी है तो थैले में नीली गेंदों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल
माना थैले में नीली गेंदों की संख्या x है।
कुल गेंदों की संख्या = 5 लाल + x नीली = (5 + x)
थैले में से यदृच्छया 1 गेंद निकालने पर,
कुल सम्भव परिणाम = (5 + x)
लाल गेंद निकालने के अनुकूल परिणाम = 5
लाल गेंद निकालने की प्रायिकता P(R) = \(\frac{5}{5+x}\)
तब, नीली गेंद निकालने की प्रायिकता P(B) = 1 – P(R)
= 1 – \(\frac{5}{5+x}\)
= \(\frac{x}{5+x}\)
प्रश्नानुसार, नीली गेंद निकालने की प्रायिकता = 2 × लाल गेंद निकालने की प्रायिकता
⇒ \(\frac{x}{5+x}=2 \times \frac{5}{5+x}\)
⇒ \(\frac{x}{5+x}=\frac{10}{5+x}\)
⇒ x = 10
अतः थैले में नीली गेंदों की संख्या = 10

प्रश्न 4.
एक पेटी में 12 गेंदें हैं, जिनमें से x गेंद काली हैं। यदि इसमें से एक गेंद यदृच्छया निकाली जाती है तो इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यह गेंद काली है। यदि इस पेटी में 6 काली गेंद और डाल दी जाएँ, तो काली गेंद निकालने की प्रायिकता पहली प्रायिकता की दुगुनी हो जाती है। x का मान ज्ञात कीजिए।
हल
पेटी में गेंदों की कुल संख्या = 12
काली गेंदों की संख्या = x
यदि पेटी में से एक गेंद यदृच्छया निकाली जाती है, तो गेंद निकाले जाने के कुल सम्भव परिणाम = 12
निकाली गई गेंद काली होने के अनुकूल परिणाम = x
अतः निकाली गई गेंद काली होने की प्रायिकता = \(\frac{x}{12}\)
यदि पेटी में 6 काली गेंद और मिला दी जाएँ तो काली गेंद निकलने के अनुकूल परिणाम = x + 6
तथा कुल सम्भव परिणाम = 12 + 6 = 18
अतः अब काली गेंद निकलने की प्रायिकता = \(\frac{x+6}{18}\)
प्रश्नानुसार, वर्तमान प्रायिकता = 2 × पहले की प्रायिकता
⇒ \(\frac{x+6}{18}=2 \times \frac{x}{12}\)
⇒ \(\frac{x+6}{18}=\frac{x}{6}\)
⇒ 6(x + 6) = 18x
⇒ 18x = 6x + 36
⇒ 18x – 6x = 36
⇒ 12x = 36
⇒ x = 3
अत: x का मान = 3

प्रश्न 5.
एक जार में 24 कंचे हैं जिनमें कुछ हरे हैं और शेष नीले हैं। यदि इस जार में से यदृच्छया एक कंचा निकाला जाता है तो इस कंचे के हरा होने की प्रायिकता \(\frac{2}{3}\) है। जार में नीले कंचों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल
माना जार में हरे कंचों की संख्या x है।
कंचों की कुल संख्या = 24
जब जार में से 1 कंचा यदृच्छया निकाला जाता है, तो कंचे के हरे होने की प्रायिकता = \(\frac{x}{24}\)
परन्तु दिया है कि कंचे के हरे होने की प्रायिकता \(\frac{2}{3}\) है।
\(\frac{x}{24}=\frac{2}{3}\)
⇒ 3x = 48
⇒ x = 16
जार में हरे कंचों की संख्या = 16
जार में नीले कंचों की संख्या = 24 – 16 = 8
अत: जार में नीले कंचों की संख्या = 8

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.2 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.2

Bihar Board Class 10 Maths सांख्यिकी Ex 14.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित सारणी किसी अस्पताल में एक विशेष वर्ष में भर्ती हुए रोगियों की आयु को दर्शाती है:

उपर्युक्त आँकड़ों के बहुलक और माध्य ज्ञात कीजिए। दोनों केन्द्रीय प्रवृत्ति की मापों की तुलना कीजिए और उनकी व्याख्या कीजिए।
हल
केन्द्रीय प्रवृत्ति की मापों के लिए गणना सारणी
माना कल्पित माध्य A = 40


बहुलक के लिए : अधिकतम बारम्बारता वाला वर्ग = (35 – 45)
बहुलक वर्ग (Modal Class) = (35 – 45)
बहुलक वर्ग की निम्न सीमा (l₁) = 35
बहुलक वर्ग की उच्च सीमा (l₂) = 45
बहुलक वर्ग की बारम्बारता (f) = 23
बहुलक वर्ग के पूर्व वर्ग की बारम्बारता (f₁) = 21
बहुलक वर्ग के ठीक बाद के वर्ग की बारम्बारता (f₂) = 14
बहुलक वर्ग का विस्तार (h) = l₂ – l₁ = 45 – 35 = 10

अत: आँकड़ों का माध्य = 35.375 वर्ष तथा बहुलक = 36.8 वर्ष।
इसका अर्थ है कि सम्बन्धित वर्ष में अधिकांश रोगी 36.8 वर्ष के हैं जबकि सभी रोगियों की औसत आयु 35.375 वर्ष है।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित आँकड़े 225 बिजली उपकरणों के प्रेक्षित जीवनकाल (घण्टों में) की सूचना देते हैं:

उपकरणों का बहुलक जीवनकाल ज्ञात कीजिए।
हल
दिए गए आँकड़ों का बहुलक वर्ग (60 – 80) है, क्योंकि इस वर्ग की बारम्बारता दिए गए आँकड़ों के वर्ग में सबसे अधिक है।
बहुलक वर्ग की निम्न सीमा (l₁) = 60
बहुलक वर्ग की उच्च सीमा (l₂) = 80
बहुलक वर्ग की बारम्बारता (f) = 61
बहुलक वर्ग के पूर्व वर्ग की बारम्बारता (f₁) = 52
बहुलक वर्ग के ठीक बाद के वर्ग की बारम्बारता (f₂) = 38
बहुलक वर्ग का आकार या विस्तार (h) = l₂ – l₁ = 80 – 60 = 20

अत: उपकरणों का बहुलक जीवनकाल = 65.625 घण्टे।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित आँकड़े किसी गाँव के 200 परिवारों के कुल मासिक घरेलू व्यय के बंटन को दर्शाते हैं। इन परिवारों का बहुलक मासिक व्यय ज्ञात कीजिए। साथ ही, माध्य मासिक व्यय भी ज्ञात कीजिए।

हल
निरीक्षण से, बहुलक वर्ग = अधिकतम बारम्बारता वाला वर्ग = 1500 – 2000
बहुलक वर्ग की निम्न सीमा (l₁) = ₹ 1500
बहुलक वर्ग की उच्च सीमा (l₂) = ₹ 2000
बहुलक वर्ग का विस्तार (h) = l₂ – l₁ = 2000 – 1500 = ₹ 500
बहुलक वर्ग की बारम्बारता (f) = 40
बहुलक वर्ग के पूर्व वर्ग की बारम्बारता (f₁) = 24
बहुलक वर्ग के ठीक बाद के वर्ग की बारम्बारता (f₂) = 33

माध्य व्यय के लिए गणना सारणी
माना व्यय का कल्पित माध्य A = ₹ 2750 है और वर्ग विस्तार (माप) h = ₹ 500

माध्य मासिक व्यय \((\bar{x})=A+h \frac{\sum f_{i} u_{i}}{\sum f_{i}}\) (जहाँ, h = 500)
= 2750 + 500 × \(\frac{(-35)}{200}\)
= 2750 + (2.5 × -35)
= 2750 + (-87.5)
= 2662.50
अतः व्यय का बहुलक = 1847.84 तथा व्यय का माध्य = ₹ 2662.50

प्रश्न 4.
निम्नलिखित बंटन भारत के उच्चतर माध्यमिक स्कूलों में, राज्यों के अनुसार, शिक्षक-विद्यार्थी अनुपात को दर्शाता है। इन आँकड़ों के बहुलक और माध्य ज्ञात कीजिए। दोनों मापकों की व्याख्या कीजिए।

हल
चूँकि सबसे अधिक बारम्बारता f = 10 है।
अत: इसका बहुलक वर्ग (30 – 35) है।
बहुलक वर्ग की निम्न सीमा (l₁) = 30
बहुलक वर्ग की उच्च सीमा (l₂) = 35
बहुलक वर्ग का विस्तार (h) = l₂ – l₁ = 35 – 30 = 5
बहुलक वर्ग की बारम्बारता (f) = 10
बहुलक वर्ग के पूर्व वर्ग की बारम्बारता (f₁) = 9
बहुलक वर्ग के ठीक बाद के वर्ग की बारम्बारता (f₂) = 3


माध्य गणना हेतु सारणी
माना प्रति शिक्षक विद्यार्थियों की संख्या का कल्पित माध्य A = 27.5 है।

अत: भारत के उच्चतर माध्यमिक स्कूलों में राज्यों के अनुसार प्रति शिक्षक विद्यार्थियों का माध्य 29.2 है जबकि अधिकांश राज्यों में प्रति शिक्षक विद्यार्थियों की संख्या 30.625 है।

प्रश्न 5.
दिया हुआ बंटन विश्व के कुछ श्रेष्ठतम बल्लेबाजों द्वारा एक दिवसीय अन्तर्राष्ट्रीय क्रिकेट मैचों में बनाए गए रनों को दर्शाता है :

इन आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए।
हल
चूँकि अधिकतम बारम्बारता f = 18 है। इसलिए इसका बहुलक वर्ग (4000 – 5000) है।
बहुलक वर्ग की निम्न सीमा (l₁) = 4000
बहुलक वर्ग की उच्च सीमा (l₂) = 5000
बहुलक वर्ग का विस्तार (h) = 5000 – 4000 = 1000
बहुलक वर्ग की बारम्बारता (f) = 18
बहुलक वर्ग के पूर्व वर्ग की बारम्बारता (f₁) = 4
बहुलक वर्ग के ठीक बाद के वर्ग की बारम्बारता (f₂) = 9

प्रश्न 6.
एक विद्यार्थी ने एक सड़क के किसी स्थान से होकर जाती हुई कारों की संख्याएँ नोट की और उन्हें नीचे दी हुई सारणी के रूप में व्यक्त किया। सारणी में दिया प्रत्येक प्रेक्षण 3 मिनट के अन्तराल में उस स्थान से होकर जाने वाली कारों की संख्याओं से सम्बन्धित है। ऐसे 100 अन्तरालों पर प्रेक्षण लिए गए। इन आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए।

हल
चूँकि अधिकतम बारम्बारता 20 है। इसलिए इसका बहुलक वर्ग (40 – 50) है।
बहुलक वर्ग = 40 – 50
बहुलक वर्ग की निम्न सीमा (l₁) = 40
बहुलक वर्ग की उच्च सीमा (l₂) = 50
बहुलक वर्ग का विस्तार (h) = 50 – 40 = 10
बहुलक वर्ग की बारम्बारता (f) = 20
बहुलक वर्ग के पूर्व वर्ग की बारम्बारता (f₁) = 12
बहुलक वर्ग के ठीक बाद के वर्ग की बारम्बारता (f₂) = 11

अत: सड़क पर प्रति तीन मिनट के अन्तरालों में अधिकांश अन्तरालों में गुजरने वाली कारों की संख्या (बहुलक) = 44.7

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 15 प्रायिकता Ex 15.1 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 15 प्रायिकता Ex 15.1

Bihar Board Class 10 Maths प्रायिकता Ex 15.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित कथनों को पूरा कीजिए।

1. घटना E की प्रायिकता + घटना ‘E-नहीं’ की प्रायिकता = _________ है।
2. उस घटना की प्रायिकता जो घटित नहीं हो सकती __________ है। ऐसी घटना __________ कहलाती है।
3. उस घटना की प्रायिकता जिसका घटित होना निश्चित है, _________ है। ऐसी घटना ___________ कहलाती है।
4. किसी प्रयोग की सभी प्रारम्भिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग _________ है।
5. किसी घटना की प्रायिकता ___________ से बड़ी या उसके बराबर होती है तथा ________ छोटी या उसके बराबर होती है।

उत्तर

1. घटना E की प्रायिकता + घटना ‘E-नहीं’ की प्रायिकता = 1 है।
2. उस घटना की प्रायिकता जो घटित नहीं हो सकती शून्य है। ऐसी घटना असम्भव घटना कहलाती है।
3. उस घटना की प्रायिकता जिसका घटित होना निश्चित है, 1 है। ऐसी घटना निश्चित घटना कहलाती है।
4. किसी प्रयोग की सभी प्रारम्भिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग 1 होता है।
5. किसी घटना की प्रायिकता शून्य से बड़ी या उसके बराबर होती है तथा 1 से छोटी या उसके बराबर होती है।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित प्रयोगों में से किन-किन प्रयोगों के परिणाम समप्रायिक हैं? स्पष्ट कीजिए।

1. एक ड्राइवर कार चलाने का प्रयत्न करता है। कार चलना प्रारम्भ हो जाती है या कार चलना प्रारम्भ नहीं होती है।
2. एक खिलाड़ी बास्केटबॉल को बास्केट में डालने का प्रयत्न करती है। वह बास्केट में बॉल डाल पाती है या नहीं डाल पाती है।
3. एक सत्य-असत्य प्रश्न का अनुमान लगाया जाता है। उत्तर सही है या गलत होगा।
4. एक बच्चे का जन्म होता है। वह एक लड़का है या एक लड़की है।

उत्तर

1. एक ड्राइवर कार चलाने का प्रयत्न करता है। अधिकांश सम्भावना कार चलना प्रारम्भ होने की है, कार चलना प्रारम्भ न होने की सम्भावना कम ही है। अतः यह प्रयोग समप्रायिक नहीं है।
2. एक खिलाड़ी बास्केटबॉल को बास्केट में डालने का प्रयत्न करती है। एक ही परिस्थिति में उसकी सफलता या असफलता की सम्भावना समान नहीं होती। अत: यह प्रयोग समप्रायिक नहीं है।
3. एक सत्य-असत्य प्रश्न का अनुमान लगाया जाता है। अनुमान के सही होने की सम्भावना भी उतनी ही है जितनी की उसके गलत होने की है। अत: यह प्रयोग समप्रायिक है।
4. एक बच्चे का जन्म होने पर उसके लड़की या लड़का होने की सम्भावनाएँ समान हैं। अतः प्रयोग समप्रायिक है।

प्रश्न 3.
फुटबॉल के खेल को प्रारम्भ करते समय यह निर्णय लेने के लिए कि कौन-सी टीम पहले बॉल लेगी, इसके लिए सिक्का उछालना एक न्यायसंगत विधि क्यों माना जाता है?
उत्तर
फुटबॉल के खेल को प्रारम्भ करते समय यह निर्णय लेने के लिए कि कौन-सी टीम पहले बॉल लेगी, एक सिक्का उछालना एक न्यायसंगत विधि इसलिए माना जाता है क्योंकि सिक्का सममित होता है और उसकी उछाल (tossing) निष्पक्ष (unbiased) होती है।

प्रश्न 4.
निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती?
(A) \(\frac{2}{3}\)
(B) -1.5
(C) 15%
(D) 0.7
उत्तर
चूँकि प्रयोग में किसी घटना के घटित होने या घटित न होने की सम्भावना शून्य भले ही हो परन्तु ऋणात्मक नहीं हो सकती है। अतः स्पष्ट है कि विकल्प (B) में दी गई ऋणात्मक संख्या किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती।

प्रश्न 5.
यदि P(E) = 0.05 है तो ‘E-नहीं की प्रायिकता क्या है?
हल
दिया है, P(E) = 0.05
‘E-नहीं’ की प्रायिकता = P(E’) = 1 – P(E)
= 1 – 0.05
= 0.95
अतः घटना ‘E-नहीं’ की प्रायिकता P(E’) = 0.95

प्रश्न 6.
एक थैले में केवल नीबू की महक वाली मीठी गोलियाँ हैं। मालिनी बिना थैले में झाँके उसमें से एक गोली निकालती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह निकाली गई गोली
(i) संतरे की महक वाली है?
(ii) नीबू की महक वाली है?
हल
∵ थैले में केवल नीबू की महक वाली गोलियाँ ही हैं। यदि थैले में से यदृच्छया एक गोली निकाली जाती है तो
(i) निकाली गई गोली ‘सन्तरे की महक वाली’ होने की घटना की सम्भावना शून्य है क्योंकि सभी गोलियाँ नीबू की महक वाली हैं।
अतः निकाली गई गोली सन्तरे की महक वाली हो, इसकी प्रायिकता शन्य होगी।

(ii) सभी गोलियों में नीबू की महक है। इसलिए नीबू की महक वाली गोली निकलने की घटना एक निश्चित घटना है।
अत: इसकी प्रायिकता 1 होगी।

प्रश्न 7.
यह दिया हुआ है कि 3 विद्यार्थियों के एक समूह में से 2 विद्यार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन न होने की प्रायिकता 0.992 है। इसकी क्या प्रायिकता है कि इन 2 विद्यार्थियों का जन्मदिन एक ही दिन हो?
हल
माना E = 2 विद्यार्थियों का एक ही दिन जन्मदिन न होने की घटना
P(E) = 0.992
P(E) + P(\(\bar{E}\)) = 1
0.992 + P(\(\bar{E}\)) = 1
P(\(\bar{E}\)) = 1 – 0.992 = 0.008
अतः 2 विद्यार्थियों का जन्मदिन एक ही दिन होने की प्रायिकता = 0.008

प्रश्न 8.
एक थैले में 3 लाल और 5 काली गेंदें हैं। इस थैले में से एक गेंद यदृच्छया निकाली जाती है। इसकी प्रायिकता क्या है कि गेंद (i) लाल हो? (ii) लाल नहीं हो?
हल
थैले में गेंदों की कुल संख्या = 3 लाल + 5 काली = 8
थैले में से एक गेंद यदृच्छया निकालने पर कुल सम्भावित परिणाम n(S) = 8
माना E = एक लाल गेंद निकालने की घटना
(i) गेंद लाल होने की घटना के अनुकूल परिणाम n(E) = 3
गेंद लाल होने की प्रायिकता P(R) = \(\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{3}{8}\)
अत: गेंद लाल होने की प्रायिकता = \(\frac{3}{8}\)
(ii) तब गेंद लाल न होने की प्रायिकता P(R’) = 1 – P(R)
= 1 – \(\frac{3}{8}\)
= \(\frac{5}{8}\)
अत: गेंद लाल न हो, इसकी प्रायिकता = \(\frac{5}{8}\)

प्रश्न 9.
एक डिब्बे में 5 लाल कंचे, 8 सफेद कंचे और 4 हरे कंचे हैं। इस डिब्बे में से एक कंचा यदृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाला गया कंचा
(i) लाल है?
(ii) सफेद है?
(iii) हरा नहीं है?
हल
लाल कंचों की संख्या = 5
सफेद कंचों की संख्या = 8
हरे कंचों की संख्या = 4
डिब्बे में कंचों की कुल संख्या = (5 + 8 + 4) = 17
जब डिब्बे में से एक कंचा यदृच्छया निकाला जाता है तो कुल सम्भावित परिणाम = 17
(i) निकाला गया कंचा लाल (R) होने की घटना के अनुकूल परिणाम = 5
अत: निकाला गया कंचा लाल होने की प्रायिकता

(ii) निकाला गया कंचा सफेद (W) हो, इसके अनुकूल परिणाम = 8
अत: निकाला गया कंचा सफेद होने की प्रायिकता

(iii) यदि हरा कंचा होने की घटना G हो तो घटना के अनुकूल परिणाम = 4
हरा कंचा न होने की घटना G के अनुकूल परिणाम = 17 – 4 = 13
अतः हरा कंचा न होने की प्रायिकता

प्रश्न 10.
एक पिग्गी बैंक (Piggy Bank) में, 50 पैसे के सौ सिक्के, ₹ 1 के पचास सिक्के, ₹ 2 के बीस सिक्के और ₹ 5 के दस सिक्के हैं। यदि पिग्गी बैंक को हिलाकर उल्टा करने पर कोई एक सिक्का गिरने के परिणाम समप्रायिक हैं तो इसकी क्या प्रायिकता है कि वह गिरा हुआ सिक्का
(i) 50 पैसे का होगा?
(ii) ₹ 5 का नहीं होगा?
हल
50 पैसे के सिक्कों की संख्या = 100
₹ 1 के सिक्कों की संख्या = 50
₹ 2 के सिक्कों की संख्या = 20
₹ 5 के सिक्कों की संख्या = 10
पिग्गी बैंक को अच्छी तरह हिलाकर उल्टा करने पर 1 सिक्का गिरने की घटना के सभी परिणाम सम-सम्भावी हैं, तब

(i) यदि गिरा हुआ सिक्का 50 पैसे का होने की घटना न हो, तो
घटना H के अनुकूल परिणाम = 100
कुल सम्भव परिणाम = 100 + 50 + 20 + 10 = 180
अतः गिरा हुआ सिक्का 50 पैसे का होने की प्रायिकता P(H) = \(\frac{100}{180}=\frac{5}{9}\)

(ii) गिरा हुआ सिक्का ₹ 5 का होने के अनुकूल परिणाम = 10
गिरा हुआ सिक्का ₹ 5 का होने की प्रायिकता = \(\frac{10}{180}=\frac{1}{18}\)
अत: गिरा हआ सिक्का ₹ 5 का न होने की प्रायिकता = 1 – \(\frac{1}{18}\) = \(\frac{17}{18}\)

प्रश्न 11.
गोपी अपने जल -जीव कुंड (aquarium) के लिए एक दुकान से मछली खरीदती है। दुकानदार एक टंकी, जिसमें 5 नर मछली और 8 मादा मछली हैं, में से एक मछली यदृच्छया उसे देने के लिए निकालती है (आकृति देखिए)। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाली गई मछली नर मछली है?

हल
दुकानदार की टंकी में मछलियों की कुल संख्या = 5 नर + 8 मादा = 13 मछली
कुल सम्भव परिणाम = 13
टंकी में से 1 मछली यदृच्छया निकालने पर, निकाली गई।
मछली नर होने के अनुकूल परिणाम = 5
नर मछली होने की प्रायिकता

अत: निकाली गई मछली नर होने की प्रायिकता = \(\frac{5}{13}\)

प्रश्न 12.
संयोग (chance) के एक खेल में, एक तीर को घुमाया जाता है, जो विश्राम में आने के बाद संख्याओं 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 और 8 में से किसी एक संख्या को इंगित करता है। (आकृति देखिए) यदि ये सभी परिणाम समप्रायिक हों तो इसकी क्या प्रायिकता है कि यह तीर इंगित
(i) 8 को करेगा?
(ii) एक विषम संख्या को करेगा?
(iii) 2 से बड़ी संख्या को करेगा?
(iv) 9 से छोटी संख्या को करेगा?

हल
संयोग के खेल में जब तीर को घुमाया जाता है, तो तीर के विश्राम आने पर इंगित कुल परिणाम = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) = 8
(i) तीर द्वारा संख्या 8 को इंगित करने के अनुकूल परिणाम = 1
उपर्युक्त घटना की प्रायिकता,

अत: संख्या 8 को इंगित करने की प्रायिकता = \(\frac{1}{8}\)

(ii) तीर द्वारा एक विषम संख्या अंकित करने के परिणाम = (1, 3, 5, 7) = 4
विषम संख्या इंगित होने की प्रायिकता

अत: विषम संख्या इंगित करने की प्रायिकता = \(\frac{1}{2}\)

(iii) 2 से बड़ी संख्या इंगित करने की घटना के अनुकूल परिणाम = (3, 4, 5, 6, 7, 8) = 6
2 से बड़ी संख्या इंगित करने की प्रायिकता

अत: 2 से बड़ी संख्या इंगित करने की प्रायिकता = \(\frac{3}{4}\)

(iv) 9 से छोटी संख्या इंगित करने की घटना के अनुकूल परिणाम = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) = 8
9 से छोटी संख्या इंगित करने की प्रायिकता

अत: 9 से छोटी संख्या इंगित करने की प्रायिकता = 1

प्रश्न 13.
एक पासे को एक बार फेंका जाता है। निम्नलिखित को प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए :
(i) एक अभाज्य संख्या
(ii) 2 और 6 के बीच स्थित कोई संख्या
(iii) एक विषम संख्या।
हल
एक पासे को यदृच्छया फेंके जाने पर प्राप्त होने वाले सभी सम्भव
परिणामों की संख्या = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = 6
यहाँ अभाज्य संख्याएँ = (2, 3, 5) = 3
2 और 6 के बीच स्थित संख्याएँ = (3, 4, 5) = 3
विषम संख्याएँ = (1, 3, 5) = 3
अतः प्रत्येक घटना के अनुकूल परिणाम = 3
प्रत्येक घटना की प्रायिकता = \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
अत: पासे पर
(i) अभाज्य संख्या आने की प्रायिकता = \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
(ii) 2 और 6 के बीच की कोई संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता = \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
(ii) एक विषम संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता = \(\frac{1}{2}\)

प्रश्न 14.
52 पत्तों की अच्छी प्रकार से फेंटी गई एक गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है। निम्नलिखित को प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए :
(i) लाल रंग का बादशाह
(ii) एक फेस कार्ड अर्थात् तस्वीर वाला पत्ता
(iii) लाल रंग का तस्वीर वाला पत्ता
(iv) पान का गुलाम
(v) हुकुम का पत्ता
(vi) एक ईंट की बेगम।
हल
ताश की गड्डी में 52 पत्ते होते हैं। गड्डी को अच्छी तरह फेंटकर गड्डी में से एक पत्ता निकालने पर पत्ता क्या है, इसके कुल सम्भावित परिणामों की संख्या = 52
(i) लाल रंग का बादशाह होने की घटना (A)
गड्डी में कुल 4 बादशाह होते हैं जिनमें पान तथा ईंट का बादशाह लाल होता है।
लाल रंग का बादशाह प्राप्त होने के अनुकूल परिणाम = 2
घटना A की प्रायिकता

अत: लाल बादशाह होने की प्रायिकता = \(\frac{1}{26}\)

(ii) एक फेस कार्ड अर्थात् तस्वीर वाला पत्ता होने की घटना (B)
प्रत्येक समूह में 3 फेस कार्ड्स (बादशाह, बेगम व गुलाम) होते हैं।
गड्डी में कुल फेस कार्ड = 3 × 4 = 12
घटना B के अनुकूल परिणाम = 12
घटना B की प्रायिकता

अत: एक फेस कार्ड अर्थात् तस्वीर वाला पत्ता प्राप्त होने की प्रायिकता = \(\frac{3}{13}\)

(iii) लाल रंग का तस्वीर वाला पत्ता होने की घटना (C)
कुल फेस कार्ड्स = 12
लाल रंग का तस्वीर वाले पत्तों की संख्या = 6
घटना C के अनुकूल परिणाम = 6
घटना C की प्रायिकता

अतः लाल रंग का तस्वीर वाला पत्ता निकलने की प्रायिकता = \(\frac{3}{26}\)

(iv) पान का गुलाम होने की घटना (D)
गड्डी में पान का एक ही गुलाम होता है। अत: घटना D के अनुकूल परिणामों की संख्या = 1
घटना D की प्रायिकता

अतः निकाले गए पत्ते के पान का गुलाम होने की प्रायिकता = \(\frac{1}{52}\)

(v) हुकुम का पत्ता होने की घटना (E)
गड्डी में हुकुम के पत्तों की संख्या = 13
घटना E के अनुकूल परिणाम = 13
घटना E की प्रायिकता

अत: निकाला गया पत्ता हुकुम का पत्ता होने की प्रायिकता P(E) = \(\frac{1}{4}\)

(vi) ईंट की बेगम होने की घटना (F)
गड्डी में ईंट की केवल एक ही बेगम होती है।
घटनां F के अनुकूल परिणामों की संख्या = 1
तब, घटना F की प्रायिकता

अतः निकाला गया पत्ता ईंट की बेगम होने की प्रायिकता P(F) = \(\frac{1}{52}\)

प्रश्न 15.
ताश के पाँच पत्तों-ईंट का दहला, गुलाम, बादशाह और इक्का, को पलटकर के अच्छी प्रकार फेंटा जाता है। फिर इनमें से यदृच्छया एक पत्ता निकाला जाता है।
(i) इसकी क्या प्रायिकता है कि यह पत्ता एक बेगम है।
(ii) यदि बेगम निकल आती है तो उसे अलग रख दिया जाता है और एक अन्य पत्ता निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि दूसरा निकाला गया पत्ता (a) एक इक्का है? (b) एक बेगम है?
हल
ताश के 5 पत्तों-ईंट का दहला, गुलाम, बेगम, बादशाह, इक्का को पलटकर के फेंटा गया और फिर इसमें से यदृच्छया एक पत्ता निकाला जाता है।
इसके कुल सम्भव परिणाम = 5
(i) यदि निकाला गया पत्ता बेगम हो तो इस घटना के अनुकूल परिणाम = 1
अतः निकाला गया पत्ता बेगम होने की प्रायिकता = \(\frac{1}{5}\)

(ii) यदि बेगम निकल आती है तो उसे अलग रख दिया जाता है और शेष पत्तों में से फिर एक पत्ता निकाला जाता है।
तब, कुल सम्भव परिणाम = 4 (दहला, गुलाम, बादशाह, इक्का)
(a) दूसरा पत्ता इक्का होने के अनुकूल परिणाम = 1
अतः दूसरा पत्ता इक्का होने की प्रायिकता = \(\frac{1}{4}\)
(b) दूसरा पत्ता बेगम होने के अनुकूल परिणाम = शून्य क्योंकि इन पत्तों में बेगम है ही नहीं।
अतः दूसरा पत्ता बेगम होने की प्रायिकता = \(\frac{0}{4}\) = 0

प्रश्न 16.
किसी कारण 12 खराब पेन 132 अच्छे पेनों में मिल गए हैं। केवल देखकर यह नहीं बताया जा सकता है कि कोई पेन खराब है या अच्छा है। इस मिश्रण में से, एक पेन यदृच्छया निकाला जाता है। निकाले गए पेन की अच्छा होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल
अच्छे पेनों की संख्या = 132
तथा खराब पेनों का संख्या = 12
मिश्रण में पेनों की कुल संख्या = 132 + 12 = 144
मिश्रण में से एक पेन यदृच्छया निकाला जाता है।
कुल सम्भव परिणाम = 144
अच्छा पेन निकलने के अनुकूल परिणाम = 132
अच्छा पेन निकलने की प्रायिकता

अतः अच्छा पेन निकलने की प्रायिकता = \(\frac{11}{12}\)

प्रश्न 17.
(i) 20 बल्बों के एक समूह में 4 बल्ब खराब हैं। इस समूह में से एक बल्ब यदृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह बल्ब खराब होगा?
(ii) मान लीजिए (i) में निकाला गया बल्ब खराब नहीं है और न ही इसे दुबारा बल्बों के साथ मिलाया जाता है। अब शेष बल्बों में से एक बल्ब यदृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह बल्ब खराब नहीं होगा?
हल
समूह में बल्बों की कुल संख्या = 20
खराब बल्बों की संख्या = 4
यदि एक बल्ब यदृच्छया निकाला जाता है तो
(i) बल्ब खराब होने के अनुकूल परिणाम = 4
कुल सम्भव परिणाम = 20
बल्ब खराब होने की प्रायिकता

अतः बल्ब खराब होने की प्रायिकता = \(\frac{1}{5}\)

(ii) यदि निकाला गया बल्ब खराब नहीं है तो इसे पुन: बल्बों के साथ नहीं मिलाया जाता है। शेष बल्बों मे से पुन: एक बल्ब निकाला जाता है।
कुल सम्भव परिणाम = 20 – 1 = 19
तथा खराब बल्ब होने के अनुकूल परिणाम = 4
तब, बल्ब खराब निकलने की प्रायिकता = \(\frac{4}{19}\)
बल्ब खराब न होने की प्रायिकता = 1 – \(\frac{4}{19}\) = \(\frac{15}{19}\)
अत: निकाला गया बल्ब खराब न होने की प्रायिकता = \(\frac{15}{19}\)

प्रश्न 18.
एक पेटी में 90 डिस्क (discs) हैं, जिन पर 1 से 90 तक संख्याएँ अंकित हैं। यदि इस पेटी में से एक डिस्क यदृच्छया निकाली जाती है तो इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इस डिस्क पर अंकित होगी :
(i) दो अंकों की एक संख्या
(ii) एक पूर्ण वर्ग संख्या
(iii) 5 से विभाज्य एक संख्या।
हल
डिस्कों की कुल संख्या = 90
यदि एक डिस्क यदृच्छया निकाली जाती है तो
कुल सम्भव परिणाम = (1, 2, 3, 4,……….., 90) = 90
इन परिणामों में दो अंकों वाली संख्याएँ = (10, 11, 12,……….., 90) = 81
(i) दो अंकों की संख्या अंकित डिस्क निकलने के अनुकूल परिणाम = 81
और कुल सम्भावित परिणाम = 90
अत: डिस्क पर दो अंकों की संख्या अंकित होने की प्रायिकता = \(\frac{81}{90}=\frac{9}{10}\)

(ii) पूर्ण वर्ग संख्याएँ = (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81) = 9
डिस्क पर पूर्ण वर्ग संख्या अंकित होने के अनुकूल परिणाम = 9
और कुल सम्भावित परिणाम = 90
अत: डिस्क पर पूर्ण वर्ग संख्या अंकित होने की प्रायिकता = \(\frac{9}{90}=\frac{1}{10}\)

(iii) 5 से. विभाज्य संख्याएँ = (5, 10, 15, 20, ……….., 90) = 18
डिस्क पर 5 से विभाज्य संख्या अंकित होने के अनुकूल परिणाम = 18
और कुल सम्भव परिणाम = 90
अतः डिस्क पर 5 से विभाज्य संख्या अंकित होने की प्रायिकता = \(\frac{18}{90}=\frac{1}{5}\)

प्रश्न 19.
एक बच्चे के पास ऐसा पासा है जिसके फलकों पर निम्नलिखित अक्षर अंकित हैं-

इस पासे को एक बार फेंका जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि
(i) A प्राप्त हो?
(ii) D प्राप्त हो?
हल
दो पासों पर A तथा एक-एक पासे पर B, C, D, E अंकित है।
पासा फेंकने पर कुल सम्भव परिणाम = 6
(i) पासा फेंकने पर A प्राप्त होने के अनुकूल परिणाम = 2
अतः पासे पर A अक्षर आने की प्रायिकता = \(\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)

(ii) D प्राप्त होने के अनुकूल परिणाम = 1
अतः पासे पर D अक्षर आने की प्रायिकता = \(\frac{1}{6}\)

प्रश्न 20.
मान लीजिए आप एक पासे को आकृति में दर्शाए आयताकार क्षेत्र में यदृच्छया रूप से गिराते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह पासा 1 m व्यास वाले वृत्त के अन्दर गिरेगा?

हल
आयताकार क्षेत्र का क्षेत्रफल = 3 × 2 = 6 m²
वृत्त का व्यास = 1 m
वृत्त की त्रिज्या = \(\frac{1}{2}\) m
वृत्त का क्षेत्रफल = πr²
= \(\pi \times\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\)
= \(\frac{\pi}{4} \mathrm{m}^{2}\)
जब एक पासा यदृच्छया फेंका जाता है, तो उसके गिरने का व्यापक क्षेत्र आयताकार क्षेत्र होगा।
गिरने (पतन) का सम्पूर्ण क्षेत्र = 6 m²
वृत्तीय क्षेत्र में गिरने की घटना का क्षेत्र = \(\frac{\pi}{4} \mathrm{m}^{2}\)
तब, पासे की वृत्त के अन्दर गिरने की प्रायिकता

अत: पासे के वृत्त के अन्दर गिरने की प्रायिकता = \(\frac{\pi}{24}\)

प्रश्न 21.
144 बॉल-पेनों के समूह में 20 बॉल-पेन खराब हैं और शेष अच्छे हैं। आप वही पेन खरीदना चाहेंगे जो अच्छा हो, परन्तु खराब पेन आप खरीदना नहीं चाहेंगे। दुकानदार इन पेनों में से, यदृच्छया एक पेन निकालकर आपको देता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि
(i) आप वह पेन खरीदेंगे?
(ii) आप वह पेन नहीं खरीदेंगे?
हल
समूह में कुल बॉल-पेनों की संख्या = 144
खराब बॉल-पेनों की संख्या = 20
ठीक बॉल-पेनों की संख्या = 144 – 20 = 124
पेनों के समूह में से दुकानदार यदृच्छया एक पेन निकालता है
बॉल-पेन के अच्छा-बुरा होने सम्बन्धी कुल सम्भव परिणाम = 144
बॉल-पेन के ठीक होने की घटना के अनुकूल परिणाम = 124
बॉल-पेन खराब होने की घटना के अनुकूल परिणाम = 20
हम ठीक बॉल-पेन ही खरीदना चाहेंगे।
बॉल-पेन को खरीद लेने की प्रायिकता = \(\frac{124}{144}=\frac{31}{36}\)
बॉल-पेन के न खरीदने की प्रायिकता = \(\frac{20}{144}=\frac{5}{36}\)
अत: बॉल-पेन खरीदेंगे इसकी प्रायिकता \(\frac{31}{36}\) और हम वह बॉल-पेन नहीं खरीदेंगे, इसकी प्रायिकता = \(\frac{5}{36}\)

प्रश्न 22.
एक सलेटी और एक नीले पासे को एक साथ फेंका जाता है। दोनों पासों पर प्राप्त होने वाले परिणाम अंकित कीजिए।
(i) निम्न सारणी को पूरा कीजिए :

(ii) एक विद्यार्थी यह तर्क देता है कि ‘यहाँ कुल 11 परिणाम 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 और 12 हैं। अतः ‘प्रत्येक की प्रायिकता \(\frac{1}{11}\) है। क्या आप इस तर्क से सहमत हैं? सकारण उत्तर दीजिए।
हल
दो पासों को उछालने पर कुल सम्भव परिणाम निम्न है-
(i) (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)
(2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)
(3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)
(4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)
(5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)
(6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)
n(S) = 36
(a) माना E₁ = दो पासों का योग 3 है = {(1, 2), (2, 1}}
n(E₁) = 2
P(E₁) = \(\frac{n\left(E_{1}\right)}{n(S)}=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}\)
(b) माना E₂ = दो पासों का योग 4 है = {(1, 3), (2, 2), (3, 1)}
n(E₂) = 3
P(E₂) = \(\frac{n\left(E_{2}\right)}{n(S)}=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}\)
(c) माना E₃ = दो पासों का योग 5 है = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}
n(E₃) = 4
P(E₃) = \(\frac{n\left(E_{3}\right)}{n(S)}=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}\)
(d) माना E₄ = दो पासों का योग 6 है = {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)}
n(E₄) = 5
P(E₄) = \(\frac{n\left(E_{4}\right)}{n(S)}=\frac{5}{36}\)
(e) माना E₅ = दो पासों का योग 7 है = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}
n(E₅) = 6
P(E₅) = \(\frac{n\left(E_{5}\right)}{n(S)}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\)
(f) माना E₆ = दो पासों का योग 8 है = {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)}
n(E₆) = 5
P(E₆) = \(\frac{n\left(E_{6}\right)}{n(S)}=\frac{5}{36}\)
(g) माना E₇ = दो पासों का योग 9 है = {(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)}
n(E₇) = 4
P(E₇) = \(\frac{n\left(E_{7}\right)}{n(S)}=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}\)
(h) माना E₈ = दो पासों का योग 10 है = {{4, 6), (5, 5), (6, 4}}
n(E₈) = 3
P(E₈) = \(\frac{n\left(E_{8}\right)}{n(S)}=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}\)
(i) माना E₉ = दो पासों का योग 11 है = {(6, 5), (5, 6)}
n(E₉) = 2
P(E₉) = \(\frac{n\left(E_{9}\right)}{n(S)}=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}\)
(j) माना E₁₀ = दो पासों का योग 12 है = {(6, 6)}
n(E₁₀) = 1
P(E₁₀) = \(\frac{n\left(E_{10}\right)}{n(S)}=\frac{1}{36}\)
अतः दी हुई सारणी पूरित रूप में निम्नवत् है-

(ii) विद्यार्थी का तर्क त्रुटिपूर्ण है क्योंकि सभी 11 घटनाएँ प्रारम्भिक घटनाएँ नहीं हैं। प्रत्येक घटना से सम्बन्धित परिणामों की आवृत्तियाँ भिन्न-भिन्न हैं। अत: विद्यार्थी का तर्क असंगत है।

प्रश्न 23.
एक खेल में एक रुपये के सिक्के को तीन बार उछाला जाता है और प्रत्येक बार का परिणाम लिख लिया जाता है। तीनों परिणाम समान होने पर, अर्थात् तीन चित या पट प्राप्त होने पर, हनीफ खेल में जीत जाएगा, अन्यथा वह हार जाएगा। हनीफ के खेल में हार जाने की प्रायिकता परिकलित कीजिए।
हल
एक खेल में एक रुपया यदृच्छया तीन बार उछाला जाता है। परिणाम चित को H तथा पट को T से इंगित करें और परिणाम अंकित करें तो सभी सम्भावित परिणाम निम्नवत् होंगे-

अतः हनीफ के हारने की प्रायिकता = \(\frac{3}{4}\)

प्रश्न 24.
एक पासे को दो बार फेंका जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि
(i) 5 किसी भी बार में नहीं आएगा?
(ii) 5 कम-से-कम एक बार आएगा?
हल
जब एक पासे को दो बार मे यदृच्छया फेंका जाता है तो फलकों पर प्राप्त अंक निम्नवत् होंगे-

कुल सम्भव परिणाम = 36
वे परिणाम जिनमें 5 आता है = 11
वे परिणाम जिनमें 5 कभी न आता है = 36 – 11 = 25
(i) 5 न आने की घटना के अनुकूल परिणाम = 25
कुल सम्भव परिणाम = 36
5 किसी भी बार न आने की प्रायिकता

अतः 5 किसी भी बार में न आने की प्रायिकता = \(\frac{25}{36}\)

(ii) 5 कम-से-कम एक बार आने के अनुकूल परिणाम = 11
और कुल सम्भव परिणाम = 36
5 कम-से-कम एक बार आने की प्रायिकता

अत: 5 कम-से-कम एक बार आने की प्रायिकता = \(\frac{11}{36}\)

प्रश्न 25.
निम्नलिखित में से कौन-से तर्क सत्य हैं और कौन-से तर्क असत्य हैं? सकारण उत्तर दीजिए।
(i) यदि दो सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है तो इसके तीन सम्भावित परिणाम-दो चित, दो पट या प्रत्येक एक बार हैं। अतः इनमें से प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता \(\frac{1}{3}\) है।
(ii) यदि एक पासे को फेंका जाता है तो इसके दो सम्भावित परिणाम-एक विषम संख्या या एक सम संख्या हैं। अत: एक विषम संख्या ज्ञात करने की प्रायिकता \(\frac{1}{2}\) है।
हल
(i) दो सिक्कों को उछालने पर सम्भव परिणाम = {(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)}
तब P(H, H) = \(\frac{1}{4}\) तथा P{T, T) = \(\frac{1}{4}\)
और P{(H, T), (T, H)} = \(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)
अत: छात्र का तर्क असत्य है।

(ii) जब एक पासे को फेंका जाता है तो कुल सम्भव परिणाम = 6
सम संख्या आने के अनुकूल परिणाम = (2, 4, 6) = 3
विषम संख्या आने के अनुकूल परिणाम = (1, 3, 5) = 3
विषम संख्या आने की प्रायिकता = \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
अत: छात्र का तर्क सत्य है।

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.3 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.3

Bihar Board Class 10 Maths पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.3

(जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = \(\frac {22}{7}\) लीजिए।)

प्रश्न 1.
त्रिज्या 4.2 cm वाले धातु के एक गोले को पिघलाकर त्रिज्या 6 cm वाले एक बेलन के रूप में ढाला जाता है। बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल
गोले की त्रिज्या (R) = 4.2 cm
गोले का आयतन = \(\frac{4}{3}\) πR³
= \(\frac{4}{3}\) π(4.2)³
= \(\frac{4}{3}\) π × 4.2 × 4.2 × 4.2
= 98.784π cm³
माना बेलन की ऊँचाई h cm है।
बेलन की त्रिज्या (r) = 6 cm
(दिया है) बेलन का आयतन = πr²h = π × (6)² × h = 36πh cm³
चूँकि गोले को पिघलाकर एक बेलन बनाया जाता है, इसलिए बेलन का आयतन, इस प्रकार बने गोले के आयतन के बराबर होगा।
बेलन का आयतन = गोले का आयतन
36πh = 98.784π
⇒ h = \(\frac{98.784 \pi}{36 \pi}\) = 2.744 cm
अतः बेलन की ऊँचाई = 2.744 cm (लगभग)।

प्रश्न 2.
क्रमश: 6 cm, 8 cm और 10 cm त्रिज्याओं वाले धातु के तीन ठोस गोलों को पिघलाकर एक बड़ा ठोस गोला बनाया जाता है। इस गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल
माना तीन ठोस गोलों की त्रिज्याएँ
r₁ = 6 cm, r₂ = 8 cm व r₃ = 10 cm हैं।

तीनों गोलों को पिघलाकर एक बड़ा गोला बनाया जाता है।
बड़े गोले का आयतन = तीनों गोलों का कुल आयतन = 2304π cm³
माना बड़े गोले की त्रिज्या R है।
तब, बड़े गोले का आयतन = \(\frac{4}{3}\) πR³
\(\frac{4}{3}\) πR³ = 2304π
⇒ R³ = \(\frac{2304 \times 3}{4}\) = 1728
⇒ R³ = (12)³
⇒ R = 12
अत: बड़े गोले की त्रिज्या 12 cm है।

प्रश्न 3.
व्यास 7 m वाला 20 m गहरा एक कुँआ खोदा जाता है और खोदने से निकली हुई मिट्टी को समान रूप से फैलाकर 22 m × 14 m वाला एक चबूतरा बनाया गया है। इस चबूतरे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल
दिया है, कुएँ का व्यास = 7 m
कुएँ की त्रिज्या (r) = \(\frac{7}{2}\) m
तथा कुएँ की गहराई (h) = 20 m
कुएँ से निकली मिट्टी का आयतन = πr²h
= \(\frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times 20\)
= 770 cm³
माना चबूतरे की ऊँचाई h m है।
चबूतरे का आयतन = 22 × 14 × h cm³
22 × 14 × h = 770
⇒ h = \(\frac{770}{22 \times 14}\) = 2.5 m
अत: चबूतरे की ऊँचाई 2.5 m है।

प्रश्न 4.
व्यास 3 m का एक कुआँ 14 m की गहराई तक खोदा जाता है। इससे निकली हुई मिट्टी को कुएँ के चारों ओर 4 m चौड़ी एक वृत्ताकार वलय (ring) बनाते हुए, समान रूप से फैलाकर एक प्रकार का बाँध बनाया जाता है। इस बाँध की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल
दिया है, कुएँ का व्यास = 3 m
कुएँ की त्रिज्या (r) = \(\frac{3}{2}\) m
तथा कुएँ की गहराई (h) = 14 m
कुएँ से निकली मिट्टी का आयतन = πr²h
= \(\frac{22}{7} \times \frac{3}{2} \times \frac{3}{2} \times 14\)
= 99 m³
कुएँ की त्रिज्या = \(\frac{3}{2}\) m है और कुएँ के चारों ओर 4 m चौड़ा वलयाकार चबूतरा बनाया जाता है।
कुएँ की बाहरी त्रिज्या (r₁) = \(\frac{3}{2}\) + 4 = \(\frac{11}{2}\) m
तथा भीतरी त्रिज्या (r₂) = \(\frac{3}{2}\) m
वलयाकार चबूतरे का क्षेत्रफल
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.3 Q4
माना बाँध की ऊँचाई h m है।
तब, बाँध की मिट्टी का आयतन = 88 × h m³
बाँध की मिट्टी का आयतन = कुएँ से निकली मिट्टी का आयतन
88h = 99
h = \(\frac{99}{88}=\frac{9}{8}\) = 1.125 m
अत: बाँध की ऊँचाई = 1.125 m

प्रश्न 5.
व्यास 12 cm और ऊँचाई 15 cm वाले एक लम्बवृत्तीय बेलन के आकार का बर्तन आइसक्रीम से पूरा भरा हुआ है। इस आइसक्रीम को ऊँचाई 12 cm और व्यास 6 cm वाले शंकुओं में भरा जाना है, जिनका ऊपरी सिरा अर्द्धगोलाकार होगा। उन शंकुओं की संख्या ज्ञात कीजिए जो इस आइसक्रीम से भरे जा सकते हैं।
हल
दिया है, बेलनाकार बर्तन का व्यास = 12 cm
बेलनाकार बर्तन की त्रिज्या (r) = 6 cm तथा बर्तन की ऊँचाई (h) = 15 cm
तब, बेलनाकार बर्तन का आयतन = πr²h = π × (6)² × 15 = 540π cm³
आइसक्रीम का कुल आयतन = बेलनाकार वर्तन का आयतन = 540π cm³
शंकु की त्रिज्या (r’) = \(\frac{6}{2}\) = 3 cm तथा ऊँचाई (h’) = 12 cm
शंकु का आयतन = \(\frac{1}{3} \pi r^{2} h^{\prime}\)
= \(\frac{1}{3}\) × π × (3)² × 12
= 36π cm³
शंकु के मुँह पर अर्द्धगोलाकार आइसक्रीम का आयतन = \(\frac{2}{3} \pi r^{3}\)
= \(\frac{2}{3}\) π × (3)³
= 18π cm³
आइसक्रीम से भरे शंकु का आयतन = (36π + 18π) = 54π cm³

अत: आइसक्रीम द्वारा भरे जाने वाले शंकुओं की संख्या = 10.

प्रश्न 6.
विमाओं 5.5 cm × 10 cm × 3.5 cm वाला एक घनाभ बनाने के लिए 1.75 cm व्यास और 2 mm मोटाई वाले कितने चाँदी के सिक्कों को पिघलाना पडेगा?
हल
माना चाँदी के n सिक्के पिघलाने पड़ेंगे।
प्रत्येक सिक्के का व्यास = 1.75 cm
175 प्रत्येक सिक्के की त्रिज्या (r) = \(\frac{1.75}{2} \mathrm{cm}=\frac{175}{200} \mathrm{cm}=\frac{7}{8} \mathrm{cm}\)
और प्रत्येक सिक्के की ऊँचाई (h) = 2 mm = \(\frac{2}{10} \mathrm{cm}=\frac{1}{5} \mathrm{cm}\)
प्रत्येक सिक्के का आयतन = πr²h
= \(\frac{22}{7} \times \frac{7}{8} \times \frac{7}{8} \times \frac{1}{5}\)
= \(\frac{77}{160}\) cm³
n सिक्कों का आयतन = \(\frac{77}{160}\) n cm³
घनाभ का आयतन = 5.5 × 10 × 3.5 cm³ = 192.5 cm³
चाँदी का घनाभ चाँदी के सिक्कों को पिघलाकर बनाया गया है।
सिक्कों का आयतन = घनाभ का आयतन
⇒ \(\frac{77}{160}\) n = 192.5
⇒ n = \(\frac{192.5 \times 160}{77}\) = 400
अत: चाँदी के सिक्कों की संख्या = 400

प्रश्न 7.
32 cm ऊँची और आधार त्रिज्या 18 cm वाली एक बेलनाकार बाल्टी रेत से भरी हुई है। इस बाल्टी को भूमि पर खाली किया जाता है और इस रेत की एक शंक्वाकार ढेरी बनाई जाती है। यदि शंक्वाकार ढेरी की ऊँचाई 24 cm है तो इस ढेरी की त्रिज्या और तिर्यक ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल
दिया है, बेलनाकार बाल्टी के आधार की त्रिज्या (r) = 18 cm
तथा बाल्टी की ऊँचाई (h) = 32 cm
बाल्टी रेत से भरी हुई है।
रेत का आयतन = बेलनाकार बाल्टी का आयतन = πr²h
= π × 18 × 18 × 32 cm³
= 10368π cm³
इस रेत से एक शंक्वाकार ढेरी बनाई जाती है जिसकी ऊँचाई (H) = 24 cm है।
माना शंक्वाकार ढेरी की त्रिज्या R cm है।
शंक्वाकार ढेरी का आयतन = \(\frac{1}{3}\)πR2H
= \(\frac{1}{3}\)πR² × 24
= 8πR² cm³
यह दोनों आयतन बराबर हैं।

अत: ढेरी की त्रिज्या = 36 cm
तथा तिर्यक ऊँचाई = 12√13 cm या 43.27 cm (लगभग)।

प्रश्न 8.
6 m चौड़ी और 1.5 m गहरी एक नहर में पानी 10 km/h की चाल से बह रहा है। 30 मिनट में, यह नहर कितने क्षेत्रफल की सिंचाई कर पाएगी, जबकि सिंचाई के लिए 8 cm गहरे पानी की आवश्यकता होती है?
हल
नहर में पानी की चाल = 10 km/h
= \(\frac{10 \times 1000}{60}\) m/min
= \(\frac{500}{3}\) m/min
नहर की चौड़ाई = 6 m तथा गहराई = 1.5 m (दिया है)
तब, 6 m × 1.5 m × \(\frac{500}{3}\) m विमाओं वाले घनाभ के आयतन के बराबर पानी प्रति मिनट स्थानान्तरित करेगी।
30 मिनट में स्थानान्तरित पानी का आयतन = 30 × 6 × 1.5 × \(\frac{500}{3}\) = 45000 m³
यदि सिंचाई के लिए 8 cm या \(\frac{8}{100}\) m गहरे पानी की आवश्यकता है, तो
सिंचित क्षेत्र का क्षेत्रफल × \(\frac{8}{100}\) = 45000 m³
सिंचित क्षेत्र का क्षेत्रफल = \(\frac{45000 \times 100}{8}\) = 562500 m²
अत: नहर द्वारा 30 मिनट में सिंचित क्षेत्र का क्षेत्रफल = 562500 m²

प्रश्न 9.
एक किसान अपने खेत में बनी 10 m व्यास वाली और 2 m गहरी एक बेलनाकार टंकी को, आन्तरिक व्यास 20 cm वाले एक पाइप द्वारा एक नहर से जोड़ता है। यदि पाइप में पानी 3 km/h की चाल से बह रहा है तो कितने समय बाद टंकी परी भर जाएगी?
हल
दिया है, टंकी का व्यास = 10 m
टंकी की त्रिज्या (r) = 5 m
टंकी की गहराई (h) = 2 m
बेलनाकार टंकी का आयतन = πr²h = π × (5)² × 2 = 50π m³
पाइप का व्यास = 20 cm
पाइप की त्रिज्या (R) = 10 cm = \(\frac{10}{100}\) m = \(\frac{1}{10}\) m
पाइप में पानी की चाल = 3 km/h
= \(\frac{3 \times 1000}{60}\) m/min
= 50 m/min
तब, पाइप टंकी में \(\frac{1}{10}\) m त्रिज्या और 50 m लम्बाई के बेलन के आयतन के बराबर पानी प्रति मिनट स्थानान्तरित करेगा।
यदि टंकी को भरने में n मिनट का समय लगता हो, तो
n मिनट में स्थानान्तरित पानी का आयतन = बेलनाकार टंकी का आयतन

अतः टंकी 100 मिनट में पूरी भर जाएगी।

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.1 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.1

Bihar Board Class 10 Maths सांख्यिकी Ex 14.1

प्रश्न 1.
विद्यार्थियों के एक समूह द्वारा अपने पर्यावरण संचेतना अभियान के अन्तर्गत एक सर्वेक्षण किया गया, जिसमें उन्होंने एक मौहल्ले के 20 घरों में लगे हुए पौधों से सम्बन्धित निम्नलिखित आँकड़े एकत्रित किए। प्रति घर माध्य पौधों की संख्या ज्ञात कीजिए।

माध्य ज्ञात करने के लिए आपने किस विधि का प्रयोग किया और क्यों?
हल
हम आँकड़ों का माध्य प्रत्यक्ष (सरल)विधि से ज्ञात करेंगे क्योंकि अंक छोटे (कम) हैं।

अतः प्रति घर में पौधों की औसत संख्या = 8.1 पौधे। यहाँ xi व fi के मान अत्यधिक कम होने के कारण प्रत्यक्ष विधि का प्रयोग किया गया है।

प्रश्न 2.
किसी फैक्टरी के 50 श्रमिकों की दैनिक मजदूरी के निम्नलिखित बंटन पर विचार कीजिए:

एक उपयुक्त विधि का प्रयोग करते हुए, इस फैक्टरी के श्रमिकों की माध्य दैनिक मजदूरी ज्ञात कीजिए।
हल

अतः श्रमिकों की माध्य दैनिक मजदूरी = ₹ 145.20

प्रश्न 3.
निम्नलिखित बंटन एक मौहल्ले के बच्चों के दैनिक जेब खर्च दर्शाता है। माध्य जेब खर्च ₹ 18 है। लुप्त बारम्बारता f ज्ञात कीजिए:

हल
पहले दिए गए बंटन से औसत जेब खर्च निकाला जाएगा, तब गणना किए गए जेब खर्च और प्रश्न में दिए गए जेब खर्च में समानता स्थापित कर f का मान ज्ञात किया जा सकता है।

⇒ 792 + 18f = 752 + 20f
⇒ 2f = (792 – 752)
⇒ 2f = 40
⇒ f = 20
अतः लुप्त बारम्बारता f = 20

प्रश्न 4.
किसी अस्पताल में, एक डॉक्टर द्वारा 30 महिलाओं की जाँच की गई और उनके हृदय स्पन्दन (beat) की प्रति मिनट संख्या नोट करके नीचे दर्शाए अनुसार संक्षिप्त रूप में लिखी गई। एक उपयुक्त विधि चुनते हुए, इन महिलाओं के हृदय स्पन्दन की प्रति मिनट माध्य संख्या ज्ञात कीजिए :

हल
यहाँ दिए गए वर्गों (65 – 68), (68 – 71),…….. के मध्य बिन्दु क्रमश: 66.5, 69.5, …… इत्यादि हैं; अतः विचलन विधि का प्रयोग उपयुक्त हैं।
प्रति मिनट हृदय स्पन्दन के माध्य हेतु गणना सारणी
माना स्पन्दन का कल्पित माध्य, A = 75.5 है।

अत: महिलाओं के प्रति मिनट माध्य हृदय स्पन्दन की संख्या = 75.9

प्रश्न 5.
किसी फुटकर बाजार में, फल विक्रेता पेटियों में रखे आम बेच रहे थे। इन पेटियों में आमों की संख्याएँ भिन्न-भिन्न थीं। पेटियों की संख्या के अनुसार, आमों का बंटन
निम्नलिखित था:

एक पेटी में रखे आमों की माध्य संख्या ज्ञात कीजिए। आपने माध्य ज्ञात करने की किस विधि का प्रयोग किया है?
हल
माध्य के लिए गणना सारणी
माना प्रत्येक पेटी में आमों की कल्पित माध्य, A = 57 और वर्ग माप h = 3 है।

अत: आमों की माध्य संख्या = 57.1875 या 57.19
हमने माध्य ज्ञात करने के लिए कल्पित माध्य विधि का प्रयोग किया है।
वैकल्पिक विधि
चूँकि दिए गए आँकड़े सतत् नहीं है। अतः हम प्रत्येक वर्ग की उच्च सीमा में 0.5 जोड़ते हैं तथा निम्न सीमा में से 0.5 घटाते हैं।

यहाँ, A = 57, h = 3, N = 400 तथा Σf_iu_i = 25
मानक विचलन विधि से,

अत: आमों की माध्य संख्या = 57.19

प्रश्न 6.
निम्नलिखित सारणी किसी मौहल्ले के 25 परिवारों में भोजन पर हुए दैनिक व्यय को दर्शाती है :

एक उपयुक्त विधि द्वारा भोजन पर हुआ माध्य व्यय ज्ञात कीजिए।
हल
दैनिक भोजन व्यय की गणना हेतु सारणी
माना कल्पित माध्य, A = ₹ 225 और वर्ग माप, h = 50 है।

अतः प्रति परिवार भोजन पर होने वाले दैनिक व्यय का माध्य = ₹ 211

प्रश्न 7.
वायु में सल्फर डाइ-ऑक्साइड (SO₂) की सान्द्रता (भाग प्रति मिलियन में) को ज्ञात करने के लिए, एक नगर के 30 मौहल्लों से आँकड़े एकत्रित किए गए, जिन्हें नीचे प्रस्तुत किया गया है :

वायु में SO₂ की सान्द्रता का माध्य ज्ञात कीजिए।
हल
वायु में सल्फर डाइऑक्साइड (SO₂) की सान्द्रता ज्ञात करने के लिए गणना सारणी

अत: वायु में SO₂ की सान्द्रता का माध्य = 0.999 भाग प्रति मिलियन।

प्रश्न 8.
किसी कक्षा अध्यापिका ने पूरे सत्र के लिए अपनी कक्षा के 40 विद्यार्थियों की अनुपस्थिति निम्नलिखित रूप में रिकार्ड (record) की। एक विद्यार्थी जितने दिन अनुपस्थित रहा उनका माध्य ज्ञात कीजिए :

हल
विद्यार्थियों की माध्य अनुपस्थिति के लिए गणना सारणी

अतः विद्यार्थियों की अनुपस्थिति का माध्य = 12.75 ~ 12.48 दिन

प्रश्न 9.
निम्नलिखित सारणी 35 नगरों की साक्षरता दर (प्रतिशत में) दर्शाती है। माध्य साक्षरता दर ज्ञात कीजिए:

हल
माध्य साक्षरता दर के लिए गणना सारणी
माना औसत साक्षरता दर का कल्पित माध्य, A = 70%

अत: साक्षरता दर के प्रतिशत का माध्य = 69.43

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Additional Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Additional Questions

Bihar Board Class 10 Maths सांख्यिकी Additional Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
सूत्र \(\bar{x}=a+\frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma f_{i}}\) में, वर्गीकृत आँकड़ों का माध्य ज्ञात करने के लिए a से विचलन
d_i है, a है
(i) वर्गों की निम्न सीमाएँ
(ii) वर्गों की उच्च सीमाएँ
(iii) वर्गों के मध्य-बिन्दु
(iv) वर्गों की बारम्बारताएँ
हल
(iii) वर्गों के मध्य-बिन्दु

प्रश्न 2.
जब वर्गीकृत आँकड़ों के माध्य की गणना करते हैं, तो हम मानते हैं कि बारम्बारताएँ हैं
(i) सभी वर्गों के लिए समान बंटित
(ii) वर्गों के वर्ग अंक पर केन्द्रित
(iii) वर्गों की उच्च सीमा पर केन्द्रित
(iv) वर्गों की निम्न सीमा पर केन्द्रित
हल
(ii) वर्गों के वर्ग अंक पर केन्द्रित

प्रश्न 3.
यदि x_i वर्गीकृत आँकड़ों के वर्ग अन्तरालों के मध्य बिन्दु तथा f_i उनकी संगत बारम्बारताएँ और \(\bar{x}\) माध्य हो, तो \(\Sigma\left(f_{i} x_{i}-\bar{x}\right)\) बराबर है
(i) 0
(ii) -1
(iii) 1
(iv) 2
हल
(i) 0

प्रश्न 4.
सूत्र \(\bar{x}=a+h \frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}}\) में, वर्गीकृत बारम्बारता बंटन का माध्य ज्ञात करने के लिए u_i बराबर है
(i) \(\frac{x_{i}+a}{h}\)
(ii) h(x_i – a)
(iii) \(\frac{x_{i}-a}{h}\)
(iv) \(\frac{a-x_{i}}{h}\)
हल
(iii) \(\frac{x_{i}-a}{h}\)

प्रश्न 5.
वर्गीकृत आँकड़ों का ‘से कम प्रकार का’ और ‘से अधिक प्रकार का’ संचयी बारम्बारता वक्रों के प्रतिच्छेद बिन्दु के भुज (x-अक्ष) पर काटता है, तब इससे प्राप्त होता है
(i) माध्य
(ii) माध्यिका
(iii) बहुलक
(iv) ये सभी
हल
(ii) माध्यिका

प्रश्न 6.
निम्नलिखित बंटन के लिए

बहुलक वर्ग और माध्यिका वर्ग की निम्न सीमाओं का योग है
(i) 15
(ii) 25
(iii) 30
(iv) 35
हल
(ii) 25

प्रश्न 7.
निम्नलिखित बारम्बारता बंटन के लिए

माध्यिका वर्ग की उच्च सीमा है।
(i) 17
(ii) 17.5
(iii) 18
(iv) 18.5
हल
(iii) 18

प्रश्न 8.
निम्नलिखित बंटन के लिए

बहुलक वर्ग है
(i) 10 – 20
(ii) 20 – 30
(iii) 30 – 40
(iv) 50 – 60
हल
(iii) 30 – 40

प्रश्न 9.
दिए आँकड़े हैं

माध्यिका वर्ग की उच्च सीमा और बहुलक वर्ग की निम्न सीमा का अन्तर है।
(i) 0
(ii) 19
(iii) 20
(iv) 38
हल
(iii) 20

प्रश्न 10.
110 मी की बाधा दौड़ में 150 एथलीटों द्वारा लिया गया समय (सेकंड में) नीचे सारणीबद्ध किया गया है।

एथलीटों की संख्या जिन्होंने रेस को 14.6 सेकण्ड से कम समय में पूरा किया है।
(i) 11
(ii) 71
(iii) 82
(iv) 130
हल
(iii) 82

प्रश्न 11.
निम्नलिखित बंटन में विद्यार्थियों की संख्या

वर्ग 30 – 40 की बारम्बारता है
(i) 3
(ii) 4
(iii) 48
(iv) 51
हल
(i) 3

अतिलघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
गणित विषय की परीक्षा में 10 छात्रों ने निम्नलिखित अंक प्राप्त किये
38, 17, 20, 8, 19, 35, 45, 15, 34, 14
प्राप्तांकों की माध्यिका ज्ञात कीजिए।
हल
पदों को आरोही क्रम में रखने पर,
8, 14, 15, 17, 19, 20, 34, 35, 38, 45
पदों की संख्या N = 10 है जो कि सम है।

प्रश्न 2.
किसी बंटन का माध्य ज्ञात कीजिए यदि इसकी माध्यिका 45 और बहुलक 13 हो।
हल
बहुलक, माध्य तथा माध्यिका के बीच सम्बन्ध :
बहुलक = 3 × माध्यिका – 2 × माध्य
अथवा 2 × माध्य = 3 × माध्यिका – बहुलक
= 3 × 45 – 13
= 135 – 13
= 122
माध्य = \(\frac{122}{2}\) = 61

प्रश्न 3.
यदि किसी बंटन का माध्य 16 और बहुलक 13 हो तो बंटन माध्यिका ज्ञात कीजिए।
हल
बहुलक = 3 × माध्यिका – 2 × माध्य
⇒ 13 = 3(माध्यिका) – 2 × 16
⇒ 3(माध्यिका) = 13 + 32 = 45
⇒ माध्यिका = \(\frac{45}{3}\) = 15

प्रश्न 4.
यदि प्रेक्षणों x₁, x₂, x₃, ….., x_n, की बारम्बारताएँ क्रमशः f₁, f₂, f₃,…..,f_n हों तो इनका माध्य ज्ञात करने के लिए सूत्र लिखिए।
हल

प्रश्न 5.
निम्न आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए :
6, 9, 8, 7, 6, 7, 3, 6, 5, 6, 4
हल
उक्त आँकड़ों के निरीक्षण से हमें ज्ञात होता है कि आँकड़े 6 की आवृत्ति अधिकतम है।
अत: बहुलक = 6

प्रश्न 6.
बहुलक को परिभाषित कीजिए।
हल
आँकड़ों के किसी संग्रह या संकलन में जिस प्रेक्षण की आवृत्ति (बारम्बारता) अधिकतम होती है। उस प्रेक्षण को संग्रह का ‘बहुलक’ कहते हैं।

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
निम्नलिखित आँकड़ों से माध्य ज्ञात कीजिए

हल

प्रश्न 2.
एक कक्षा के 50 छात्रों के भार नीचे की सारणी में प्रदर्शित हैं

इन छात्रों के भार का माध्य ज्ञात कीजिए।
हल
माना कल्पित माध्य, A = 47 किग्रा

प्रश्न 3.
निम्नलिखित आँकड़ों का माध्य ज्ञात कीजिए

हल

प्रश्न 4.
निम्नलिखित सारणी से माध्य की गणना कीजिए

हल

प्रश्न 5.
यदि निम्नांकित आँकड़ों का माध्य 15 है तो p का मान ज्ञात कीजिए

हल

प्रश्न 6.
यदि निम्नलिखित बारम्बारता बंटन का माध्य 1.46 है, तो f₁ और f₂ के मान ज्ञात कीजिए:

बारंबारताओं का कुल योगफल 200 है।
हल

⇒ 140 + f₁ + 2f₂ = 1.46 (86 + f₁ + f₂) …….(1)
पुनः बारंबारताओं का योग 86 + f₁ + f₂ = 200
⇒ f₁ + f₂ = 114 …….(2)
समी० (2) से (f₁ + f₂) का मान समी० (1) में रखने पर,
140 + f₁ + 114 = 1.46(86 + 114)
⇒ f₁ = 292 – 254 = 38
समी० (2) से f₂ + 38 = 114
⇒ f₂ = 76
अत: f₁ और f₂ के मान क्रमशः 76 व 38 हैं।

प्रश्न 7.
निम्नलिखित बारंबारता बंटन की माध्यिका ज्ञात कीजिए

हल

यहाँ, N = 43 अर्थात् पदों की संख्या विषम है।
मध्य पद = \(\left(\frac{N+1}{2}\right)\) वाँ पद
= \(\frac{43+1}{2}\) वाँ पद
= 22 वाँ पद
संचयी बारंबारता सारणी से स्पष्ट है कि 22वाँ पद उस समूह में है जिसकी संचयी बारंबारता 29 है।
माध्यिका = 22वें पद का मान = 11

प्रश्न 8.
निम्नलिखित सारणी में माध्यिका जेब खर्च ज्ञात कीजिए

हल
आँकड़ों को आरोही क्रम में रखते हुए संचयी बारंबारता सारणी बनाने पर

यहाँ, N = 61 अर्थात् पदों की संख्या विषम है।
मध्य पद = \(\left(\frac{N+1}{2}\right)\) वाँ पद
= \(\frac{61+1}{2}\) वाँ पद
= 31 वाँ पद
संचयी बारंबारता सारणी से स्पष्ट है कि 31वाँ पद उस समूह में है जिसकी संचयी बारंबारता 33 है।
माध्यिका = 33 वें पद का मान = 15

प्रश्न 9.
निम्नलिखित सारणी से माध्यिका और बहुलक ज्ञात कीजिए

हल
संचयी बारंबारता के लिए सारणी

यहाँ n = 24 अर्थात् पदों की संख्या सम है।
मध्य पद = \(\frac{N}{2}\) वाँ पद + (\(\frac{N}{2}\) + 1) वाँ पद
= \(\frac{24}{2}+\left(\frac{24}{2}+1\right)\) वाँ पद अर्थात् 12वाँ व 13वाँ पद
संचयी बारंबारता सारणी से स्पष्ट है कि 12वाँ व 13वाँ पद उस समूह में है जिसकी संचयी बारंबारता 15 है।

पुनः चूँकि सर्वाधिक बारंबारता 8 पद 25 की है।
अभीष्ट बहुलक = 25

प्रश्न 10.
निम्नलिखित आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए।

हल

बहुलक के लिए वर्ग 3 – 5 है।
बहुलक वर्ग की निम्न सीमा (l₁) = 3
बहुलक वर्ग की उच्च सीमा (l₂) = 5
बहुलक वर्ग का विस्तार (h) = l₂ – l₁ = 5 – 3 = 2
बहुलक वर्ग की बारम्बारता (f) = 9
बहुलक वर्ग से ठीक पूर्व की बारम्बारता (f₁) = 8
बहुलक वर्ग से ठीक बाद की बारम्बारता (f₂) = 3

प्रश्न 11.
निम्नलिखित बारम्बारता बंटन सारणी को ध्यान से पढ़िए तथा b और d के मान लिखिए

हल
वर्ग 25 – 30 की संचयी बारम्बारता = 9 + b
प्रश्नानुसार, संचयी बारम्बारता = 15
⇒ 9 + b = 15
⇒ b = 15 – 9 = 6
इसी प्रकार, वर्ग 35 – 40 की संचयी बारम्बारता = 22 + 4 = 26
प्रश्नानुसार, संचयी बारम्बारता = d
⇒ d = 26
अतः b = 6 और d = 26

प्रश्न 12.
कक्षा X के 100 विद्यार्थियों द्वारा गणित में प्राप्त अंक नीचे सारणी में दिए गए हैं। प्राप्त अंकों का माध्यक ज्ञात कीजिए।

हल
असतत श्रेणी को सतत श्रेणी में बदलने पर,

यहाँ, N = 100
⇒ \(\frac{N}{2}=\frac{100}{2}=50\)
संचयी बारम्बारता से स्पष्ट है कि 50 संचयी बारम्बारता 65 के अन्तर्गत है, इसलिए (69.5 – 79.5) माध्यिका वर्ग हुआ।
माध्यिका वर्ग की निम्न सीमा (l₁) = 69.5
माध्यिका वर्ग की उच्च सीमा (l₂) = 79.5
माध्यिका वर्ग का वर्ग अन्तराल (h) = l₂ – l₁ = 79.5 – 69.5 = 10
माध्यिका वर्ग की बारम्बारता (f) = 30
माध्यिका वर्ग के ठीक पहले वर्ग की संचयी बारम्बारता (cf) = 35

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
निम्नलिखित बारंबारता बंटन का माध्य लघु विधि (विचलन विधि) से ज्ञात कीजिए

हल
माना कल्पित माध्य, A = 35 है।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित बारंबारता वितरण का माध्य 113\(\frac{23}{29}\) है। इसमें अज्ञात राशि X का मूल्य ज्ञात कीजिए।

हल
माना कल्पित माध्य, A = 100 है।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित बंटनों की माध्यिका ज्ञात कीजिए

हल
उपर्युक्त बंटन की संचयी बारंबारता सारणी निम्नवत् है

यहाँ N = 37
⇒ \(\frac{N}{2}=\frac{37}{2}=18.5\)
संचयी बारम्बारता सारणी से स्पष्ट है कि 18.5 संचयी बारम्बारता 29 के अन्तर्गत है, इसलिए (20 – 30) माध्यिका वर्ग हुआ।
माध्यिका वर्ग की निम्न सीमा (l₁) = 20
माध्यिका वर्ग की उच्च सीमा (l₂) = 30
माध्यिका वर्ग का वर्ग अन्तराल (h) = l₂ – l₁ = 30 – 20 = 10
माध्यिका वर्ग की बारम्बारता (f) = 12
माध्यिका वर्ग के ठीक पहले वर्ग की संचयी बारम्बारता (cf) = 17

प्रश्न 4.
निम्नलिखित बारम्बारता बंटन के लिए माध्य ज्ञात कीजिए :

हल

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Additional Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Additional Questions

Bihar Board Class 10 Maths पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Additional Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
एक किनारे पर नुकीली बनायी गयी एक बेलनाकार पेंसिल निम्नलिखित का संयोजन है
(i) एक शंकु और एक बेलन
(ii) शंकु का छिन्नक और एक बेलन
(iii) एक अर्धगोला और एक बेलन
(iv) दो बेलन
हल
(i) एक शंकु और एक बेलन

प्रश्न 2.
एक सुराही निम्नलिखित का संयोजन है
(i) एक गोला और एक बेलन
(ii) एक अर्द्धगोला और एक बेलन
(iii) दो अर्द्धगोले
(iv) एक बेलन और एक शंकु
हल
(i) एक गोला और एक बेलन

प्रश्न 3.
एक साहुल निम्नलिखित का संयोजन है (आकृति देखिए)

(i) एक शंकु और एक बेलन
(ii) एक अर्द्धगोला और एक शंकु
(iii) शंकु का छिन्नक और एक बेलन
(iv) गोला और बेलन
हल
(ii) एक अर्द्धगोला और एक शंकु

प्रश्न 4.
संलग्न चित्र में, एक गिलास का आकार प्रायः निम्न रूप से होता है

(i) एक शंकु
(ii) शंकु का छिन्नक
(iii) एक बेलन
(iv) एक गोला
हल
(ii) शंकु का छिन्नक

प्रश्न 5.
संलग्न चित्र में, गिल्ली-डंडे के खेल में, गिल्ली का आकार निम्नलिखित का संयोजन है

(i) दो बेलन
(ii) एक शंकु और एक बेलन
(iii) दो शंकु और एक बेलन
(iv) दो बेलन और एक शंकु
हल
(iii) दो शंकु और एक बेलन

प्रश्न 6.
बैडमिंटन खेलने में प्रयोग की जाने की जाने वाली शटलकॉक (चिड़िया) का आकार निम्नलिखित का संयोजन है
(i) एक बेलन और एक गोला
(ii) एक बेलन और एक अर्द्धगोला
(iii) एक गोला और एक शंकु
(iv) शंकु का छिन्नक और अर्द्धगोला
हल
(iv) शंकु का छिन्नक और अर्द्धगोला

प्रश्न 7.
एक शंकु को उसके आधार के समांतर एक तल की सहायता से काटा जाता है और फिर तल के एक ओर बने शंकु को हटा दिया जाता है। तल के दूसरी ओर बचा हुआ नया भाग कहलाता है एक
(i) शंकु का छिन्नक
(ii) शंकु
(iii) बेलन
(iv) गोला
हल
(i) शंकु का छिन्नक

प्रश्न 8.
विमाओं 49 cm × 33 cm × 24 cm के घनाभ के आकार के लोहे के किसी ठोस टुकड़े को पिघलाकर एक ठोस गोले के रूप में ढाला जाता है। गोले की त्रिज्या है
(i) 21 cm
(ii) 23 cm
(iii) 25 cm
(iv) 19 cm
हल
(i) 21 cm

प्रश्न 9.
त्रिज्या r सेमी और ऊँचाई h सेमी (h > 2r) वाले एक लम्बवृत्तीय बेलन में ठीक समावेशित होने वाले गोले का व्यास
(i) r cm
(ii) 2r cm
(iii) h cm
(iv) 2h cm
हल
(ii) 2r cm

प्रश्न 10.
लम्बवृत्तीय शंकु में, आधार के समांतर खींचे गए तल द्वारा काटे गए अनुप्रस्थ परिच्छेद को कहते हैं
(i) वृत्त
(ii) शंकु का छिन्नक
(iii) गोला
(iv) अर्धगोला
हल
(i) वृत्त

प्रश्न 11.
दो गोलों के आयतनों का अनुपात 64 : 27 है। उनके वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात है
(i) 3 : 4
(ii) 4 : 3
(iii) 9 : 16
(iv) 16 : 9
हल
(iv) 16 : 9

प्रश्न 12.
एक ठोस को एक आकृति से दूसरी आकृति में रूपान्तरित करने पर नई आकृति का आयतन
(i) बढ़ेगा
(ii) घटेगा
(iii) पहले के समान
(iv) दो गुना
हल
(iii) पहले के समान

प्रश्न 13.
यदि समान त्रिज्या r के दो अर्द्धगोलों को उनके आधारों से जोड़ा जाता है, तब नए ठोस का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल है
(i) 4πr²
(ii) 6πr²
(iii) 3πr²
(iv) 8πr²
हल
(i) 4πr²

प्रश्न 14.
यदि 10 cm कोर के घनाकार लकड़ी के टुकड़े से काटकर अधिकतम आयतन का एक शंकु बनाया गया तो शंकु का आयतन होगा
(i) 260 cm³
(ii) 260.9 cm³
(iii) 261.9 cm³
(iv) 262.7 cm³
हल
(iii) 261.9 cm³

अतिलघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
एक 22 cm लम्बे और 18 cm चौड़े दफ्ती के टुकड़े को मोड़कर 18 cm ऊँचा एक बेलन बनाया गया है। इस प्रकार बने हुए बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल
दफ्ती के टुकड़े की माप 22 cm × 18 cm
इसे मोड़कर 18 cm ऊँचा बेलन बनाया गया है।
अतः आधार की परिधि = 22 cm
2πr = 22
⇒ 2 × \(\frac {22}{7}\) × r = 22
⇒ r = \(\frac{22 \times 7}{2 \times 22}=\frac{7}{2}\) cm
अत: बेलन का आयतन = πr²h
= \(\frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times 18\)
= 693 cm³

प्रश्न 2.
एक धातु के ठोस गोले की त्रिज्या 10 cm है। उसको पिघलाकर 2 cm त्रिज्या की गोलियाँ बनाई गई हैं। इस प्रकार की गोलियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल
ठोस गोले की त्रिज्या (R) = 10 cm
छोटी गोली की त्रिज्या (r) = 2 cm
गोले को पिघलाकर बनी गोलियों की संख्या

प्रश्न 3.
6 cm त्रिज्या का एक ठोस गोला पिघलाकर उसी त्रिज्या के वृत्ताकार आधार का एक ठोस लम्ब बेलन तैयार किया जाता है। बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल
माना बेलन की ऊँचाई h है।
प्रश्नानुसार, गोले का आयतन = बेलन का आयतन
\(\frac{4}{3}\) πr³ = πr²h
\(\frac{4}{3}\) π(6)³ = π × (6)² × h [∵ त्रिज्या = 6 cm]
h = \(\frac{4}{3}\) × 6 = 8 cm
अतः बेलन की ऊँचाई 8 cm है।

प्रश्न 4.
एक शंकु तथा एक बेलन के आधार तथा ऊँचाइयाँ समान हैं। उनके आयतनों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल
माना शंकु व बेलन में प्रत्येक के आधार की त्रिज्या r cm तथा प्रत्येक की ऊँचाइयाँ h cm हैं।
तब, शंकु का आयतन = \(\frac{1}{3}\) πr²h तथा बेलन का आयतन = πr²h

अतः शंकु का आयतन : बेलन का आयतन = 1 : 3

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
7.0 cm कोर वाले लकड़ी के घन से अधिकतम आयतन का लम्बवृत्तीय बेलन बनाया जाता है। बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल
अधिकतम आयतन वाले बेलन के आधार का व्यास = घन की कोर = 7 cm
बेलन की त्रिज्या (r) = \(\frac{7}{2}\) cm
तथा बेलन की ऊँचाई (h) = घन की कोर = 7 cm
अभीष्ट बेलन का आयतन = πr²h
= \(\frac{22}{7} \times\left(\frac{7}{2}\right)^{2} \times 7\)
= 22 × \(\frac{49}{4}\)
= 269.5 cm³

प्रश्न 2.
3 cm कोर के एक घन में 1.4 cm व्यास का एक छेद किया गया है। छेद का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल

छेद बेलनाकार होगा जिसकी त्रिज्या
r = \(\frac{\text { व्यास }}{2}=\frac{1.4}{2}\) = 0.7 cm
तथा ऊँचाई (h) = घन की कोर = 3 cm
छेद का आयतन = πr²h = \(\frac{22}{7}\) × (0.7)² × 3 = 4.62 cm³

प्रश्न 3.
π घन dm³ ताँबे को गलाकर एक km लम्बा (बेलनाकार) तार बनाया गया है। तार की त्रिज्या व व्यास ज्ञात कीजिए।
हल
ताँबे का आयतन = π dm³ = \(\frac{\pi}{1000}\) m³
तार की लम्बाई (l) = 1 km = 1000 m, तार की त्रिज्या r = ?
प्रश्नानुसार, πr²l = \(\frac{\pi}{1000}\)
⇒ r² × 1000 = \(\frac{1}{1000}\)
⇒ r² = \(\frac{1}{1000 \times 1000}\)
⇒ r = \(\frac{1}{1000}\) m
तार की त्रिज्या (r) = 0.1 cm
तार का व्यास = 2 × 0.1 = 0.2 cm

प्रश्न 4.
एक समकोण त्रिभुज का आधार 12 cm तथा लम्ब 5 cm है। इस त्रिभुज को आधार के परितः घुमाया जाता है। इस प्रकार बने परिक्रमण ठोस का आयतन तथा वक्रपृष्ठ ज्ञात कीजिए।
हल

इस प्रकार बना परिक्रमण ठोस एक शंकु होगा जिसकी त्रिज्या (r) = 5 cm
तथा ऊँचाई (h) = 12 cm
तिर्यक ऊँचाई (l) = \(\sqrt{r^{2}+h^{2}}\)
= \(\sqrt{5^{2}+12^{2}}\)
= \(\sqrt{169}\)
= 13 cm
परिक्रमण ठोस का आयतन = \(\frac{1}{3} \pi r^{2} h\)
= \(\frac{1}{3} \pi \times(5)^{2} \times 12\)
= 100π cm³
तथा वक्रपृष्ठ = πrl = π × 5 × 13 = 65π cm³

प्रश्न 5.
एक लम्बवृत्तीय शंकु और एक लम्बवृत्तीय बेलन के आधार की त्रिज्याएँ समान हैं। यदि उनके आयतनों का अनुपात 2 : 3 है, तो उनकी ऊँचाइयों में अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल
माना शंकु और बेलन की त्रिज्या = r तथा उनकी ऊँचाइयाँ क्रमश: h₁ व h₂ हैं।
तब, उनके आयतनों का अनुपात = \(\frac{\frac{1}{3} \pi r^{2} h_{1}}{\pi r^{2} h_{2}}=\frac{h_{1}}{3 h_{2}}\)
प्रश्नानुसार दिया है, आयतनों का अनुपात = 2 : 3
\(\frac{h_{1}}{3 h_{2}}=\frac{2}{3}\)
⇒ \(\frac{h_{1}}{h_{2}}=\frac{2}{1}\) = 2 : 1

प्रश्न 6.
3.0 m ऊँचे एक ऐसे शंक्वाकार डेरे के लिए कितने m² किरमिच की आवश्यकता होगी, जिसमें 1.5 m लम्बा लड़का केन्द्र से 2 m की दूरी तक खड़ा हो सके?
हल
माना केन्द्र O से 2 m की दूरी पर बिन्दु C पर 1.5 m लम्बा लड़का CD सीधा खड़ा है।
इस स्थिति में लड़के का सिर शंकु के वक्रपृष्ठ को छूता है।

माना, डेरे के आधार की त्रिज्या (OB) = r m
CB = (r – 2) m
∆VOB तथा ∆DCB समरूप हैं,
\(\frac{O V}{D C}=\frac{O B}{C B}\)
⇒ \(\frac{3}{1.5}=\frac{r}{r-2}\)
⇒ 2r – 4 = r
⇒ r = 4 m
डेरे की तिरछी ऊँचाई (l) = \(\sqrt{r^{2}+h^{2}}\)
= \(\sqrt{4^{2}+3^{2}}\)
= \(\sqrt{16+9}\)
= \(\sqrt{25}\)
= 5 m
डेरे का वक्रपृष्ठ = πrl = π × 4 × 5 m² = 20π m²
अत: डेरे के लिए 20π m² किरमिच की आवश्यकता होगी।

प्रश्न 7.
एक लम्बवृत्तीय बेलन और लम्बवृत्तीय शंकु के आधार और ऊँचाइयाँ समान हैं। यदि उनके वक्रपृष्ठ 8 : 5 के अनुपात में हों, तो दिखाइए कि उनके आधार की त्रिज्या और ऊँचाई में 3 : 4 का अनुपात है।
हल
माना त्रिज्याएँ r व ऊँचाई h हैं।
तब बेलन का वक्रपृष्ठ = 2πrh
शंकु की तिर्यक ऊँचाई (l) = \(\sqrt{h^{2}+r^{2}}\)
शंकु का वक्रपृष्ठ = πrl = \(\pi r \sqrt{h^{2}+r^{2}}\)

प्रश्न 8.
एक ठोस बेलन, जिसकी त्रिज्या 3 cm और ऊँचाई 5 cm है, के एक सिरे पर एक ठोस शंकु जिसके आधार की त्रिज्या 3 cm और ऊँचाई 4 cm है, रखकर एक ठोस बनाया गया है। इस प्रकार बने ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल
बेलनाकार भाग की त्रिज्या (r₁) = 3 cm, ऊँचाई (h₁) = 5 cm
शंक्वाकार भाग की त्रिज्या (r₂) = 3 cm, ऊँचाई (h₂) = 4 cm
ठोस का आयतन = बेलनाकार भाग का आयतन + शंक्वाकार भाग का आयतन

प्रश्न 9.
6.0 dm त्रिज्या और 2.0 dm ऊँचाई के एक ठोस बेलन को पिघलाया जाता है और उससे एक लम्बवृत्तीय शंकु, जिसकी ऊँचाई बेलन की ऊँचाई की तीन गुनी है, बनाया जाता है। शंकु का वक्रपृष्ठ ज्ञात कीजिए।
हल
बेलन की त्रिज्या r₁ = 6.0 dm तथा ऊँचाई h₁ = 2 dm
माना शंकु की त्रिज्या = r₂
तथा शंकु की ऊँचाई (h₂) = 3h₁ = 3 × 2 = 6 dm
बेलन को पिघलाकर शंकु बनाया जाता है।
बेलन का आयतन = शंकु का आयतन

प्रश्न 10.
7 cm की भुजा वाले एक घन से एक बड़ा से बड़ा गोला काटकर निकाल लिया गया है। इस गोले का आयतन ज्ञात कीजिए (π = 3.14 लीजिए)।
हल
घन से काटे गये बड़े से बड़े गोले का व्यास घन की भुजा के बराबर होगा।
गोले का व्यास = घन की भुजा = 7 cm
गोले की त्रिज्या = \(\frac{7}{2}\) cm

प्रश्न 11.
12 cm की त्रिज्या के एक बेलनाकार टब में 20 cm ऊँचाई तक पानी भरा है। लोहे की एक गोलीय गेंद टब में डाली जाती है और इस प्रकार पानी का स्तर 6.75 cm ऊपर उठ जाता है। गेंद की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल
बेलन की त्रिज्या (r) = 12 cm
लोहे की गोलीय गेंद को टब में डालने पर,
पानी के तल में वृद्धि (h) = 6.75 cm
ऊपर उठे पानी का आयतन = πr²h = π × 12 × 12 × 6.75 cm³
माना लोहे की गोलीय गेंद की त्रिज्या R cm है, तो
गोलीय गेंद का आयतन = \(\frac{4}{3}\) πR³
गोलीय गेंद का आयतन = ऊपर उठे पानी का आयतन

अतः गेंद की त्रिज्या = 9 cm

प्रश्न 12.
एक बेलनाकार बर्तन का व्यास 21 cm है। इसमें कुछ पानी भरा है। एक ठोस गोला जिसका व्यास 10.5 cm है, उस बर्तन में डाला जाता है। गोला पानी में डूब जाता है। गणना कीजिए कि पानी का तल कितना ऊपर उठता है?
हल
दिया है, धातु के गोले का व्यास = 10.5 cm = \(\frac{21}{2}\) cm
धातु के गोले की त्रिज्या (R) = \(\frac{21}{4}\) cm
धातु के गोले का आयतन = \(\frac{4}{3} \pi R^{3}=\frac{4}{3} \pi\left(\frac{21}{4}\right)^{3}\)
दिया है, बेलनाकार बर्तन की त्रिज्य (r) = \(\frac{21}{2}\) cm
माना गोला डालने पर बर्तन में पानी का तल h cm ऊपर उठेगा।
बेलनाकार बर्तन में ऊपर उठे पानी का आयतन = गोले का आयतन

अत: गोले को डुबाने पर \(\frac{7}{4}\) cm पानी की सतह ऊपर उठेगी।

प्रश्न 13.
एक ही वृत्तीय आधार पर समान ऊँचाई के शंकु, अर्द्धगोला और बेलन के आयतन के अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल
माना समान वृत्तीय आधार की त्रिज्या = r
अर्द्धगोले की ऊँचाई (h) = r
शंकु की ऊँचाई (h’) = r
बेलन की ऊँचाई (H) = r
शंकु का आयतन : अर्द्धगोले का आयतन : बेलन का आयतन

प्रश्न 14.
उस गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जो 6 cm, 8 cm और 10 cm की त्रिज्या के 3 गोलों को गलाकर बनाया जाता है।
हल
माना गोले की त्रिज्या = R
दिये गए तीन गोलों की त्रिज्या, r₁ = 6 cm, r₂ = 8 cm तथा r₃ = 10 cm
गोला तीनों गोलों को गलाकर बनाया जाता है।
बड़े गोले का आयतन = तीनों छोटे गोलों का आयतन

प्रश्न 15.
एक खोखला गोला जिसका आन्तरिक और बाह्य व्यास 4.0 cm और 8.0 cm है, को पिघलाकर एक शंकु, जिसके आधार का व्यास 8.0 cm है, बनाया जाता है। शंक की ऊँचाई का वक्रपृष्ठ ज्ञात कीजिए।
हल
माना शंकु की ऊँचाई h है।
दिया है, खोखले गोले की आन्तरिक त्रिज्या (r₁) = \(\frac{4}{2}\) = 2 cm
खोखले गोले की बाहरी त्रिज्या (r₂) = \(\frac{8}{2}\) = 4 cm
शंकु के आधार की त्रिज्या (r) = \(\frac{8}{2}\) = 4 cm
चूँकि खोखले गोले को पिघलाकर शंकु बनाया जाता है।
खोखले गोले का आयतन = शंकु का आयतन

प्रश्न 16.
पानी से भरे एक अर्द्धगोलीय टैंक को एक पाइप द्वारा \(3 \frac{4}{7}\) ली प्रति सेकण्ड की दर से खाली किया जाता है। यह टैंक को आधा खाली करने में कितना समय लेगा? यदि टैंक का व्यास 3 m है। (π = \(\frac {22}{7}\) लीजिए)
हल
अर्द्धगोलीय टैंक का व्यास = 3 m
अर्द्धगोलीय टैंक की त्रिज्या (r) = \(\frac{3}{2}\) m

टैंक को खाली होने में 16.5 min का समय लगेगा।

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
एक ठोस लम्बवृत्तीय बेलन के दोनों सिरों में दो समान शंक्वाकार छेद बनाये गये हैं। बेलन की ऊँचाई 10 cm और आधार का व्यास 8 cm है।यदि छेद का व्यास 6 cm और गहराई 4 cm है तो शेष बचे ठोस का सम्पूर्ण पृष्ठ ज्ञात कीजिए।
हल

चित्र में शेष आकृति को प्रदर्शित किया गया है।
शंक्वाकार छेद का व्यास = 6 cm
शंक्वाकार छेद की त्रिज्या (r) = 3 cm
शंक्वाकार छेद की गहराई (h) = 4 cm
एक शंकु का आयतन = \(\frac{1}{3} \pi r^{2} h\)
= \(\frac{1}{3} \pi\) × 3 × 3 × 4
= 12π cm³
दोनों शंकुओं का आयतन = 2 × 12π = 24π cm³
शंकु की तिर्यक ऊँचाई (l) = \(\sqrt{4^{2}+3^{2}}\)
= \(\sqrt{16+9}\)
= \(\sqrt{25}\)
= 5 cm
एक शंकु का वक्रपृष्ठ = πrl = π × 3 × 5 = 15π cm²
दोनों शंकुओं का वक्रपृष्ठ = 2 × 15π cm² = 30π cm²
दिया है, बेलन की ऊँचाई (H) = 10 cm
बेलन के आधार का व्यास = 8 cm
बेलन की त्रिज्या (R) = \(\frac{8}{2}\) = 4 cm
बेलन का आयतन = πR²H
= π × 4 × 4 × 10
= 160π cm³
शेष ठोस का आयतन = बेलन का आयतन – दोनों शंकुओं का आयतन
= (160π – 24π) cm³
= 136π cm³
शेष आकृति का सम्पूर्ण पृष्ठ = बेलन का वक्रपृष्ठ + दोनों शंकुओं का वक्रपृष्ठ + सिरों के छल्लों का क्षेत्रफल
= 2πRH + 2πrl + 2π(R² – r²)
= 2 × π × 4 × 10 + 2 × π × 3 × 5 + 2π(4² – 3²)
= 80π + 30π + 2π(16 – 9)
= 124π cm²
अत: शेष आकृति का सम्पूर्ण पृष्ठ 124π cm² और आयतन 136π cm³ है।

प्रश्न 2.
एक केनवास के टेंट का शीर्ष ऊपर से शंक्वाकार तथा नीचे से लम्बवत्तीय बेलन के रूप का है। यदि आधार का व्यास 24 m और सम्पूर्ण ऊँचाई 15 m है तो टेंट में कितने m² केनवास की आवश्यकता होगी, जबकि टेंट के बेलनाकार भाग की ऊँचाई 10 m है।
हल

आधार का व्यास = 24 m
त्रिज्या (r) = \(\frac{24}{2}\) = 12 m
शंक्वाकार भाग की ऊँचाई (h) = सम्पूर्ण ऊँचाई – बेलनाकार भाग की ऊँचाई
= 15 – 10
= 5 m
शंक्वाकार भाग की तिर्यक ऊँचाई

आवश्यक केनवास = टेंट का पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलनाकार भाग का पृष्ठीय क्षेत्रफल + शंक्वाकार भाग का पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2πrh’ + πrl
= πr(2h’ + l)
= π × 12(2 × 10 + 13)
= 12π × 33
= 396π m²

प्रश्न 3.
एक ठोस, बेलन के आकार का है तथा इसके दोनों सिरे अर्द्धगोलीय हैं। इस ठोस की कुल ऊँचाई 19 cm है तथा बेलन का व्यास 7 cm है। ठोस का आयतन तथा सम्पूर्ण पृष्ठ ज्ञात कीजिए। इस ठोस का भार ज्ञात कीजिए यदि 1 cm³ धातु का भार 4.5 g है। (π = \(\frac {22}{7}\))
हल
चित्रानुसार अर्द्धगोलीय भाग की त्रिज्या (r) = बेलनाकार भाग की त्रिज्या
= \(\frac{\text { व्यास }}{2}=\frac{7}{2}\) cm

बेलनाकार भाग की लम्बाई = (19 – 2 × \(\frac{7}{2}\)) cm = 12 cm
ठोस का आयतन = बेलनाकार भाग का आयतन + 2 × अर्द्धगोलीय भाग का आयतन

ठोस का सम्पूर्ण पृष्ठ = बेलन का वक्रपृष्ठ + 2 × अर्द्धगोले का वक्रपृष्ठ
= 2πrh + 2 × 2πr²
= 2πr(h + 2r)
= \(2 \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2}\left(12+2 \times \frac{7}{2}\right)\)
= 22 × 19
= 418 cm²
ठोस का भार = 4.5 × ठोस का आयतन
= 4.5 × 641.67
= 2887.5 g
अत: ठोस का आयतन 641.67 cm³ तथा सम्पूर्ण पृष्ठ 418 cm3 व भार 2887.5 g है।

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग Additional Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग Additional Questions

Bihar Board Class 10 Maths त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग Additional Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
जिस वक्त सूर्य का उन्नयन कोण 45° था, तब एक स्तम्भ की परछाई 10 m मापी गई। उस स्तम्भ की ऊँचाई थी
(i) 5 m
(ii) 10 m
(iii) 15 m
(iv) 20 m
हल
(ii) 10 m

प्रश्न 2.
10 m ऊँचे मकान के आधार से 10 m दूर स्थित बिन्दु से देखने पर उसकी छत का उन्नयन कोण होगा
(i) 60°
(ii) 45°
(iii) 30°
(iv) 75°
हल
(ii) 45°

प्रश्न 3.
यदि एक वृक्ष के आधार से 15 m दूर स्थित बिन्दु पर उसकी चोटी का उन्नयन कोण 30° बनता है, तो वृक्ष की ऊँचाई होगी।
(i) 15 m
(ii) 30 m
(iii) 15√3 m
(iv) 5√3 m
हल
(iv) 5√3 m

अतिलघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
किसी समय कोई स्तम्भ की छाया की लम्बाई उसकी ऊँचाई की √3 गुनी है। सूर्य का उन्नयन कोण ज्ञात कीजिए।
हल
माना स्तम्भ AB की ऊँचाई h है, तब
छाया BC की लम्बाई = h√3
तथा उन्नयन कोण ∠ACB = θ

समकोण ∆ABC में,
tan θ = \(\frac{A B}{B C}=\frac{h}{h \sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
⇒ tan θ = tan 30°
⇒ θ = 30°
अत: सूर्य का उन्नयन कोण 30° है।

प्रश्न 2.
एक वृक्ष का ऊपरी भाग टूटकर भूमि से जा लगा तथा भूमि से 45° का कोण बनाता है। यदि वृक्ष की जड़ से उस बिन्दु जहाँ वृक्ष का शिखर भूमि को छूता है, की दूरी 6 m है, तो वृक्ष की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल
माना A वृक्ष ABC का पाद है तथा BC वृक्ष का टूटा हुआ भाग है तथा C पेड़ का ऊपरी सिरा है।
तब ∠ACB = 45°
तथा ∠BAC = 90°
प्रश्नानुसार, AC = 6 m
समकोण ∆BAC में, tan 45° = \(\frac{A B}{A C}\)
⇒ AB = AC tan 45° = 6 × 1 = 6 m
पुनः समकोण ∆BAC में, cos 45° = \(\frac{A C}{B C}\)
⇒ BC = AC sec 45° = 6√2
∴ पेड़ की कुल माप = AB + BC = 6 + 6√2 = 6(√2 + 1) m

प्रश्न 3.
एक मीनार की चोटी का उन्नयन कोण उस मीनार के आधार से क्षैतिज तल पर 40 m दूरी पर स्थित बिन्दु से देखने पर 45° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल
माना AB मीनार तथा बिन्दु C क्षैतिज तल पर मीनार के आधार से 40 m दूर स्थित बिन्दु है।
तब ∠ACB = 45°
समकोण ∆ABC में, tan 45° = \(\frac{A B}{B C}\)
⇒ 1 = \(\frac{A B}{40}\)
⇒ AB = 40 m
अत: मीनार की ऊँचाई 40 m है।

प्रश्न 4.
एक मीनार क्षैतिज समतल पर ऊर्ध्वाधरतः खड़ी है। यदि सूर्य का उन्नयन कोण 30° और मीनार की छाया की लम्बाई 45 m हो, तो मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल
माना PQ ऊर्ध्वाधर मीनार तथा QR इसकी छाया है।
माना मीनार की ऊँचाई h है।
सूर्य का उन्नयन कोण, ∠PRQ = 30°

तब समकोण ∆PQR में,
tan 30° = \(\frac{P Q}{R Q}\)
⇒ PQ = RQ tan 30°
⇒ h = 45 × \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) = 15√3 m

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
एक मीनार के आधार से एक सरल रेखा में 100 m तथा 150 m की दूरी पर स्थित दो बिन्दुओं से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण पूरक कोण है। सिद्ध कीजिए कि मीनार की ऊँचाई 50√6 m है।
हल
AB एक मीनार है जिसकी ऊँचाई h m है। इसके आधार B से 100 m तथा 150 m दूरी पर दो बिन्दु C और D हैं जहाँ पर शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः θ तथा (90° – θ) हैं।


अत: मीनार की ऊँचाई = 50√6 m
इति सिद्धम्

प्रश्न 2.
भूमितल पर दो बिन्दु A तथा B किसी मीनार के एक ही ओर स्थित हैं। यदि A तथा B पर मीनार के शिखर के उन्नयन कोण क्रमश: 30° तथा 60° हैं। यदि मीनार की ऊँचाई 150 m है, तो A तथा B के मध्य दूरी ज्ञात कीजिए।
हल
माना PQ एक मीनार है जिसकी ऊँचाई 150 m है। मीनार के पाद Q से जाने वाली क्षैतिज रेखा पर दो बिन्दु A और B हैं, जहाँ से मीनार की चोटी P से उन्नयन कोण क्रमशः 30° तथा 60° हैं।

प्रश्न 3.
भूमि पर किसी बिन्दु से एक हवाई जहाज का उन्नयन कोण 60° है। 15 s की उड़ान के पश्चात् उन्नयन कोण बदलकर 30° हो जाता है। यदि हवाई जहाज 1500√3 m की नियत ऊँचाई पर उड़ रहा है, तो हवाई जहाज की चाल किमी प्रति घण्टा में ज्ञात कीजिए।
हल
माना हवाई जहाज 15 सेकण्ड में C से D तक पहुँच जाता है।
समकोण ∆ABC में,

⇒ CD + BC = 1500√3 × √3 = 4500
⇒ CD + 1500 = 4500 [∵ BC = 1500 m]
⇒ CD = 4500 – 1500 = 3000 m
प्रश्नानुसार, हवाई जहाज को 3000 m जाने में 15 s लगते हैं।
अतः चाल = \(\frac{3000}{15}\) = 200 m/s
= \(\frac{200 \times 60 \times 60}{1000}\)
= 720 km/h
अतः हवाई जहाज की चाल = 720 km/h

प्रश्न 4.
एक मीनार के शिखर से 50 m ऊँचे भवन के शिखर तथा पाद के अवनमन कोण क्रमशः 30° तथा 60° हैं। मीनार की ऊँचाई तथा भवन और मीनार के बीच की क्षैतिज दूरी ज्ञात कीजिए।
हल
माना AB भवन तथा CD मीनार है।
भवन तथा मीनार के बीच क्षैतिज दूरी BC = x (माना)
तथा मीनार की ऊँचाई CD = y (माना)
DX क्षैतिज रेखा है तथा AE, CD पर लम्ब है।
प्रश्नानुसार, ∠ADX = 30°
⇒ ∠DAE = 30° तथा ∠BDX = 60°
⇒ ∠DBC = 60°

समकोण ∆ADE में, cot 30° = \(\frac{A E}{E D}\)
√3 = \(\frac{x}{C D-C E}\) (∵ AE = BC = x)
x = √3 (CD – AB) (∵ EC = AB)
x = √3(y – 50) ……(1)
पुनः समकोण ∆BCD में, cot 60° = \(\frac{B C}{C D}\)
अत: मीनार की ऊँचाई 75 m तथा मीनार व भवन के बीच क्षैतिज दूरी 25√3 m

प्रश्न 5.
एक नदी के पुल के एक बिन्दु से नदी के सम्मुख किनारों के अवनमन कोण क्रमशः 30° और 45° हैं। यदि पुल किनारों से 3 m की ऊँचाई पर हो तो नदी की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल
माना PQ नदी की चौड़ाई है। माना A नदी के पुल का एक बिन्दु है अर्थात् AB = 3 m
A से नदी के सम्मुख किनारों P और Q अवनमन कोण क्रमश: 30° और 45° हैं।

समकोण ∆ABQ में,
tan 45° = \(\frac{A B}{B Q}\)
⇒ 1 = \(\frac{3}{B Q}\)
⇒ BQ = 3 m
पुनः समकोण ∆ABP में,
tan 30° = \(\frac{A B}{B P}\)
⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{3}{B P}\)
⇒ BP = 3√3 m
अतः नदी की चौड़ाई = PQ = BP + BQ
= (3√3 + 3) m
= 3(√3 + 1) m
= 3(1.732 + 1) m
= 3(2.732) m
= 8.196 m
≅ 8.20 m

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
किसी बिन्दु पर एक मीनार के शिखर के उन्नयन कोण की स्पर्शज्या (tangent) \(\frac{7}{4}\) है। मीनार की ओर 25 m चलने पर उन्नयन कोण की स्पर्शज्या हो जाती है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल
माना मीनार PQ के धरातल पर बिन्दु A से 25 m दूर (मीनार की ओर) बिन्दु B है।
यदि ∠PAB = α तथा ∠PBQ = β
तब प्रश्नानुसार, tan α = \(\frac{7}{4}\) व tan β = \(\frac{7}{3}\)
माना मीनार की ऊँचाई h है तो

अत: मीनार की ऊँचाई 175 m है।

प्रश्न 2.
एक व्यक्ति नदी के किनारे खड़े होकर देखता है कि नदी के दूसरे किनारे पर एक पेड़ के शीर्ष का उन्नयन कोण 60° है। जब वह किनारे से 21 m पीछे की ओर चलता है, तो वह उन्नयन कोण 30° पाता है। पेड़ की ऊँचाई तथा नदी की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल

माना AB पेड़ व BC नदी है। माना AB = h m व BC = x m
ज्ञात है ∠ACB = 60°
यदि किनारे C से 20 मीटर पीछे की ओर बिन्दु D है।
तब ∠ADB = 30°
समकोण ∆ABC में,
tan 60° = \(\frac{h}{x}\)
⇒ √3 = \(\frac{h}{x}\)
⇒ h = x√3 …….(1)
पुन: समकोण ∆ABD में,
tan 30° = \(\frac{A B}{B D}=\frac{h}{x+20}\) ……(2)
⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{x \sqrt{3}}{x+20}\) [समीकरण (1) से]
⇒ x + 20 = 3x
⇒ 2x = 20
⇒ x = 10
समीकरण (1) से, h = 10√3
अत: पेड़ की ऊँचाई 10√3 m तथा नदी की चौड़ाई 10 m है।

प्रश्न 3.
एक मनुष्य पानी के जहाज की छत जो पानी की सतह से 10 m ऊपर है, पर खड़ा है। वहाँ से पहाड़ी की चोटी का उन्नयन कोण 60° तथा पहाड़ की तली का अवनमन कोण 30° है। जहाज से पहाड़ी की दूरी और पहाड़ी की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल

माना AB एक जहाज तथा CD एक पहाड़ी है। पहाड़ी की चोटी का उन्नयन कोण ∠CAE = 60°
तथा पहाड़ी की तली का अवनमन कोण ∠EAD = 30° है।
जबकि AE, A से CD पर लम्ब है।
माना पहाड़ी की ऊँचाई h m और जहाज से पहाड़ी की दूरी x m है।
CE = (h – 10) m
समकोण ∆AED में, tan 30° = \(\frac{E D}{A E}\)
\(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{10}{x}\)
x = 10√3 m [∵ AB = ED = 10 m]
पुनः समकोण ∆CEA में, tan 60° = \(\frac{C E}{A E}\)
⇒ √3 = \(\frac{h-10}{x}\)
⇒ √3 = \(\frac{h-10}{10 \sqrt{3}}\)
⇒ h – 10 = 10 × 3 = 30
⇒ h = 30 + 10 = 40 m
अतः जहाज से पहाड़ी की दूरी 10√3 m तथा पहाड़ी की ऊँचाई 40 m है।

प्रश्न 4.
एक मकान के आधार से 30 m दूरस्थ एक मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° तथा मकान की छत से उसी मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 45° है। मकान तथा मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल

माना AB मकान तथा PQ मीनार है।
तब प्रश्नानुसार, BQ = 30 m,
∠PBQ = 60° तथा ∠PAM = 45°
माना मीनार की ऊँचाई H तथा मकान की ऊँचाई h है।
समकोण ∆PRB में, tan 60° = \(\frac{P Q}{B Q}=\frac{H}{30}\)
⇒ √3 = \(\frac{H}{30}\)
⇒ H = 30√3 m
पुन: समकोण ∆PMA में,
tan 45° = \(\frac{P M}{A M}=\frac{P Q-M Q}{A M}\)
⇒ 1 = \(\frac{H-h}{30}\)
⇒ H – h = 30
⇒ h = H – 30 = 30√3 – 30 = 30(√3 – 1) m
अत: मकान की ऊँचाई 30(√3 – 1) m तथा मीनार की ऊँचाई 303 m है।

प्रश्न 5.
किसी मीनार के आधार से a और b दूरी पर एक ही रेखा में स्थित दो बिन्दुओं क्रमशः A और B से देखने पर मीनार के ऊपरी सिरे के उन्नयन कोण पूरक पाये जाते हैं। सिद्ध कीजिए कि मीनार की ऊँचाई √ab है।
हल

माना मीनार OC की ऊँचाई = h m तथा मीनार का आधार OA है।
माना आधार पर (एक ही रेखा पर) दो बिन्दु A तथा B इस प्रकार हैं कि
OA = a तथा OB = b
क्योंकि A तथा B पर बनने वाले कोण पूरक हैं।
अत: यदि ∠CAO = θ
तब ∠CBO = 90° – θ
समकोण ∆COA में,

प्रश्न 6.
सड़क के एक ओर स्थित मकान के, सड़क के दूसरी ओर स्थित मीनार के शिखर से मकान की छत और आधार के अवनमन कोण क्रमश: 45° और 60° हैं। यदि मकान की ऊँचाई 10 m है, तो मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल
माना AB मीनार तथा CD मकान है।
माना BD = x तथा मीनार की ऊँचाई = h m

प्रश्न 7.
एक ऊर्ध्वाधर खम्भा (जो 100 dm से अधिक लम्बा है) दो भागों में बँटा है, जिसमें नीचे का भाग उसकी कुल लम्बाई का \(\frac{1}{3}\) है। यदि खम्भे की जड़ से 40 dm दूर एक स्थान पर उसका ऊपरी भाग कोण α अन्तरित करे (जबकि tan α = \(\frac{1}{2}\)) तो खम्भे की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल

माना उर्ध्वाधर खम्भा AB जिसकी ऊँचाई h है जो दो भागों AC व BC में बँटा है।
जबकि BC = \(\frac{1}{3}\) h
खम्भे की जड़ से 40 dm की दूरी पर बिन्दु D है।
तब ∠ADC = α माना ∠CDB = β
समकोण ∆CBD में,

⇒ 240h – h² = 4800 + 80h
⇒ h² – 160h + 4800 = 0
⇒ h² – 120h – 40h + 4800 = 0
⇒ h(h – 120) – 40(h – 120) = 0
⇒ (h – 120) (h – 40) = 0
⇒ h = 120
⇒ h = 40 जो कि मान्य नहीं है।
खम्भे की लम्बाई = 120 dm

प्रश्न 8.
एक अपूर्ण मन्दिर के आधार से 30 m दूर स्थित किसी बिन्दु से उसके शिखर का उन्नयन कोण 30° है। मन्दिर कितना ऊँचा और बनाया जाये कि उसी बिन्दु पर उन्नयन कोण 45° हो जाये (दिया है, √3 = 1.732)।
हल
माना बिन्दु D से देखने पर अपूर्ण मन्दिर AB के शिखर B का उन्नयन कोण 30° है।
∠BDA = 30°
माना मन्दिर की ऊँचाई BC बढ़ाने पर उसके शिखर C का उन्नयन कोण 45° हो जाता है।

∴ BC = AC – AB = 30 – 17.32 = 12.68 m
अत: मन्दिर को 1268 m ऊँचाई तक और बनवाना पड़ेगा।

प्रश्न 9.
मीनार PN पर एक स्तम्भ QP गड़ा है। मीनार के आधार N से 40 m की क्षैतिज दूरी पर एक बिन्दु A है। बिन्दु A पर मीनार PN और स्तम्भ QP के द्वारा अन्तरित कोण क्रमशः θ और Φ इस प्रकार हैं कि tan θ = \(\frac{1}{2}\) और tan Φ = \(\frac{1}{3}\) स्तम्भ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल

∴ स्तम्भ PQ की ऊँचाई = QN – PN = 40 – 20 = 20 m

प्रश्न 10.
एक नाव से जो पुल की ओर आ रही है, उस पुल का उन्नयन कोण 30° देखा गया। नाव के उसी चाल से 6 min पश्चात् उन्नयन कोण 60° हो गया। ज्ञात कीजिए नाव को उस पुल तक उसी चाल से पहुँचने में कितना समय और लगेगा?
हल
माना P पुल है और नाव की प्रथम स्थिति A है जहाँ से पुल P का उन्नयन कोण 30° है।
6 m बाद नाव की द्वितीय स्थिति B है जहाँ से पुल का उन्नयन कोण 60° है।

माना AB = x, BQ = y तथा PQ = h
समकोण ∆PBQ में, tan 60° = \(\frac{h}{y}\)
⇒ √3 = \(\frac{h}{y}\)
⇒ h = y√3 …….(1)
समकोण ∆PAQ में, tan 30° = \(\frac{h}{x+y}\)
⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{h}{x+y}\)
⇒ h√3 = x + y …….(2)
समी० (1) से h का मान समी० (2) में रखने पर,
y√3 . √3 = x + y
⇒ 3y = x + y
⇒ 3y – y = x
⇒ 2y = x
⇒ y = \(\frac{x}{2}\) m
∵ इकाई दूरी जाने में लगा समय = 6 min
∴ 1 इकाई दूरी जाने में लगा समय = \(\frac{6}{x}\) min
∴ \(\frac{x}{2}\) इकाई दूरी जाने में लगा समय = \(\frac{6}{x} \times \frac{x}{2}\) = 3 min
अत: नाव को पुल तक पहुँचने में 3 min का समय और लगेगा।

प्रश्न 11.
एक वायुयान दो मकानों के ऊपर से उड़ रहा है जिनके बीच की न्यूनतम दूरी 300 m है। यदि किसी समय वायुयान से एक ही दिशा में दोनों मकानों के अवनमन कोण क्रमशः 45° और 60° हैं, तो ज्ञात कीजिए कि वायुयान कितनी ऊँचाई पर उड़ रहा है?
हल

माना वायुयान A की ऊँचाई AB है।
तथा C व D क्रमश: दो मकान हैं जबकि CD = 300 m
माना वायुयान की ऊँचाई h है तथा BC = x
तब समकोण ∆ABC में,

प्रश्न 12.
एक हवाई जहाज जो कि 1000 m की ऊँचाई पर उड़ रहा है, पर स्थित मनुष्य उत्तर की ओर एक शत्रु की पनडुब्बी को 30° के अवनमन कोण पर तथा दक्षिण की ओर एक युद्धपोत को 45° के अवनमन कोण पर देखता है। पनडुब्बी और युद्धपोत के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल

माना हवाई जहाज की स्थिति A, पनडुब्बी की स्थिति Bव युद्धपोत की स्थिति C है तब प्रश्नानुसार,
∠ABC = 30°, ∠ACB = 45°
तथा AO = 1000 m (जबकि AO ⊥ BC)
समकोण ∆AOC में, tan 45° = \(\frac{A O}{O C}\)
⇒ 1 = \(\frac{1000}{O C}\)
⇒ OC = 1000
पुनः समकोण ∆AOB में,
tan 30° = \(\frac{A O}{B O}\)
\(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1000}{B O}\)
BO = 1000√3
∴ पनडुब्बी व युद्धपोत के बीच की दूरी, BC = (BO + OC)
= (1000√3 + 1000)
= 1000(√3 + 1) m

प्रश्न 13.
क्षैतिज सड़क के ऊर्ध्वाधर स्थित हवाई जहाज से सड़क के दो क्रमागत किलोमीटर के पत्थरों के जो हवाई जहाज के दोनों ओर स्थित हैं; अवनमन कोण α और β हैं। सिद्ध कीजिए कि हवाई जहाज की ऊँचाई \(\frac{\tan \alpha \cdot \tan \beta}{\tan \alpha+\tan \beta}\) km है।
हल

माना B व C दो क्रमागत किलोमीटर के पत्थर हैं तथा उनके बीच H ऊँचाई पर बिन्दु A पर हवाई जहाज है।
∵ B व C के A से अवनमन कोण क्रमश: α व β हैं।
∠ABC = α तथा ∠ACB = β
तथा BC = 1 km
समकोण ∆ADB में, tan α = \(\frac{H}{B D}\)
⇒ BD = H cot α
इसी प्रकार समकोण ∆ADC से,
DC = H cot β
परन्तु, BD + DC = 1
H cot α + H cot β = 1

प्रश्न 14.
एक झील के तल से h मीटर ऊँचाई पर स्थित एक बिन्दु पर एक बादल का उन्नयन कोण α है तथा झील में उसके प्रतिबिम्ब का अवनमन कोण β है। सिद्ध कीजिए कि झील के तल से बादल की ऊँचाई \(h\left(\frac{\tan \beta+\tan \alpha}{\tan \beta-\tan \alpha}\right) \mathrm{m}\) है।
हल
माना PQ झील का तल व झील से h ऊँचाई पर बिन्दु A है।
बिन्दु A से बादल B का उन्नयन कोण ∠BAM = α
तथा बादल के प्रतिबिम्ब C का अवनमन कोण ∠MAC = β

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Additional Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Additional Questions

Bihar Board Class 10 Maths वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Additional Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
यदि R₁ और R₂ त्रिज्याओं वाले दो वृत्तों के क्षेत्रफलों का योग त्रिज्या R वाले वृत्त के क्षेत्रफल के बराबर हो, तो
(i) R₁ + R₂ = R
(ii) \(R_{1}^{2}+R_{2}^{2}=R^{2}\)
(iii) R₁ + R₂ < R
(iv) \(R_{1}^{2}+R_{2}^{2}<R^{2}\)
हल
(ii) \(R_{1}^{2}+R_{2}^{2}=R^{2}\)

प्रश्न 2.
यदि R₁ और R₂ त्रिज्याओं वाले दो वृत्तों की परिधियों का योग त्रिज्या R वाले एक वृत्त की परिधि के बराबर हो, तो
(i) R₁ + R₂ = R
(ii) R₁ + R₂ > R
(iii) R₁ + R₂ < R
(iv) R₁, R₂ और R के बीच सम्बन्ध के बारे में निश्चित रूप से कुछ नहीं कहा जा सकता।
हल
(i) R₁ + R₂ = R

प्रश्न 3.
यदि एक वृत्त की परिधि और एक वर्ग का परिमाप बराबर है, तो
(i) वृत्त का क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल
(ii) वृत्त का क्षेत्रफल > वर्ग का क्षेत्रफल
(iii) वृत्त का क्षेत्रफल < वर्ग का क्षेत्रफल
(iv) वृत्त और वर्ग के क्षेत्रफलों के बीच के सम्बन्ध में निश्चित रूप से नहीं कहा जा सकता।
हल
(ii) वृत्त का क्षेत्रफल > वर्ग का क्षेत्रफल

प्रश्न 4.
त्रिज्या r के अर्धवृत्त के अन्तर्गत खींचे जा सकने वाले सबसे बड़े त्रिभुज का क्षेत्रफल है
(i) r²
(ii) \(\frac{1}{2}\) r²
(iii) 2r²
(iv) √2r²
हल
(i) r²

प्रश्न 5.
यदि एक वृत्त का परिमाप का एक वर्ग के परिमाप के बराबर है, तो उनके क्षेत्रफलों का अनुपात है
(i) 22 : 7
(ii) 14 : 11
(iii) 7 : 22
(iv) 11 : 14
हल
(ii) 14 : 11

प्रश्न 6.
किसी स्थान पर 16 m और 12 m व्यास वाले दो वृत्ताकार पार्को के क्षेत्रफलों के योग के बराबर क्षेत्रफल का एक अकेला साकार पार्क बनाने का प्रस्ताव है। नये पार्क की त्रिज्या होगी।
(i) 10 m
(ii) 15 m
(iii) 20 m
(iv) 24 m
हल
(i) 10 m

प्रश्न 7.
भुजा 6 cm वाले एक वर्ग के अन्तर्गत खींचे जा सकने वाले वृत्त का क्षेत्रफल है
(i) 36π cm²
(ii) 18π cm²
(iii) 12π cm²
(iv) 9π cm²
हल
(iv) 9π cm²

प्रश्न 8.
त्रिज्या 8 cm वाले एक वृत्त के अन्तर्गत खींचे जा सकने वाले वर्ग का क्षेत्रफल है
(i) 256 cm²
(ii) 128 cm²
(iii) 64√2 cm²
(iv) 64 cm²
हल
(ii) 128 cm²

प्रश्न 9.
व्यासों 36 cm और 20 cm वाले दो वृत्तों की परिधियों के योग के बराबर परिधि वाले एक वृत्त की त्रिज्या है.
(i) 56 cm
(ii) 42 cm
(iii) 28 cm
(iv) 16 cm
हल
(iii) 28 cm

प्रश्न 10.
त्रिज्याओं 24 cm वाले और 7 cm वाले दो वृत्तों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर क्षेत्रफल वाले एक वृत्त का व्यास है।
(i) 31 cm
(ii) 25 cm
(iii) 62 cm
(iv) 50 cm
हल
(iv) 50 cm

प्रश्न 11.
यदि त्रिज्या r वाले एक वृत्त का एक त्रिज्यखण्ड का कोण (डिग्री में) θ है, त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल है
(i) \(\frac{\pi r^{2} \theta}{360^{\circ}}\)
(ii) \(\frac{\pi r^{2} \theta}{180^{\circ}}\)
(iii) \(\frac{2 \pi r \theta}{360^{\circ}}\)
(iv) \(\frac{2 \pi r \theta}{180^{\circ}}\)
हल
(i) \(\frac{\pi r^{2} \theta}{360^{\circ}}\)

प्रश्न 12.
यदि एक वृत्त का क्षेत्रफल 154 cm² हैं, तो उसका परिमाप है
(i) 11 cm
(ii) 22 cm
(iii) 44 cm
(iv) 55 cm
हल
(iii) 44 cm

अतिलघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
7 cm त्रिज्या वाले वृत्त के एक त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका कोण 90° है।
हल
दिया है, वृत्त की त्रिज्या = 7 cm
तथा त्रिज्यखण्ड कोण, (θ) = 90°
त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल

प्रश्न 2.
दो वृत्तों की परिधियों का अनुपात 2 : 3 है, उनकी त्रिज्याओं का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल
माना वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः r₁ तथा r₂ हैं, तब इनकी परिधियाँ क्रमश: 2πr₁ तथा 2πr₂ होंगी।
प्रश्नानुसार, परिधियों का अनुपात = 2 : 3
⇒ 2πr₁ : 2πr₂ = 2 : 3
⇒ r₁ : r₂ = 2 : 3
अत: त्रिज्याओं का अनुपात 2 : 3 है।

प्रश्न 3.
आकृति में, चाप AB की लम्बाई सेमी में ज्ञात कीजिए।

हल
दिया है, OA = OB = 28 cm तथा θ = 45°

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
21 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त का चाप केन्द्र पर 120° का कोण अन्तरित करता है। चाप द्वारा बने त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल
दिया है, वृत्त की त्रिज्या (r) = 21 cm
त्रिज्यखण्ड का कोण (θ) = 120°
त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल

अत: चाप द्वारा बने त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = 462 cm²

प्रश्न 2.
आकृति में, 35 m त्रिज्या वाले एक वृत्ताकार बाग का केन्द्र O है। इसके छायांकित भाग में पत्थर बिछाने का व्ययर 75.0 प्रति वर्ग मीटर की दर से ज्ञात कीजिए ∠AOB = 120° है।

हल
दिया है, r = 35 m तथा θ = 120°
त्रिज्यखण्ड (छायांकित भाग) का क्षेत्रफल

अतः पत्थर बिछाने का व्यय = ₹ 96250

प्रश्न 3.
त्रिज्या 4 cm वाले एक वृत्त के त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसका कोण 60° है। संगत दीर्घ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए। (π = 3.14)

हल
दिया है, त्रिज्या (r) = 4 cm तथा त्रिज्याखण्ड का कोण (θ) = 60°
त्रिज्यखण्ड OAPB का क्षेत्रफल = \(\frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}\)
= \(\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}}\) × 3.14 × 4 × 4
= 8.37 cm²
संगत दीर्घ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = (वृत्त का क्षेत्रफल – त्रिज्यखण्ड OAPBO का क्षेत्रफल)
= πr² – 8.37
= 3.14 × 4 × 4 – 8.37
= 50.24 – 8.37
= 41.87 cm²
अत: वृत्त के त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = 8.37 cm²
तथा संगत दीर्घ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = 41.87 cm²

प्रश्न 4.
संलग्न आकृति में छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जहाँ ABCD भुजा 14 cm का एक वर्ग है।

हल
दिया है, वर्ग की भुजा = 14 cm
वर्ग ABCD का क्षेत्रफल = (14 × 14) cm² = 196 cm²

अतः छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल = (196 – 154) cm² = 42 cm²

प्रश्न 5.
आकृति में, PQ = 12 cm, RP = 9 cm और O वृत्त का केन्द्र है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14)

हल
अर्द्धवृत्त PQORP का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2} \pi r^{2}\)
हम जानते हैं कि अर्द्धवृत्त में स्थित कोण समकोण होता है।
पाइथागोरस प्रमेय से,
∠QPR = 90°
RQ² = PQ² + RP² = (12)² + (9)² = 144 + 81 = 225
⇒ RQ = 15 cm
RQ वृत्त का व्यास है।
वृत की त्रिज्या (OQ) = OR = \(\frac{15}{2}\) cm
अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) π (OQ)²
= \(\frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times \frac{15}{2} \times \frac{15}{2}\)
= \(\frac{4950}{56}\)
= 88.4 cm²
समकोण ΔPQR का क्षेत्रफल = \(\frac {1}{2}\) × PQ × PR
= \(\frac {1}{2}\) × 12 × 9
= 54 cm²
अत: छायांकित भाग का क्षेत्रफल = अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल – ΔPQR का क्षेत्रफल
= (88.4 – 54) cm²
= 34.4 cm²

प्रश्न 6.
आकृति में, AC = 8cm, BC = 6 cm और O वृत्त का केन्द्र है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14)

हल
अर्द्धवृत्त CBOAC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2} \pi r^{2}\)
हम जानते हैं कि अर्द्धवृत्त में स्थित कोण समकोण होता है।
पाइथागोरस प्रमेय से, ∠ACB = 90°
AB² = BC² + CA² = (6)² + (8)² = 36 + 64 = 100
⇒ AB = 10 cm
वृत्त की त्रिज्या, OA = OB = \(\frac{A B}{2}=\frac{10}{2}\) = 5 cm
अब, अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) π (OA)
= \(\frac{1}{2}\) × 3.14 × 5 × 5
= 1.57 × 5 × 5
= 39.25 cm²
समकोण ∆ABC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) × 5 × 5 =12.5 cm²
अत: छायांकित भाग का क्षेत्रफल = अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल – ΔABC का क्षेत्रफल
= (39.25 – 12.50) cm²
= 26.75 cm²

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
आकृति में, AB और CD केन्द्र O तथा त्रिज्याओं 15 सेमी वाले दो सकेन्द्रीय वृत्तों के क्रमशः दो चाप हैं, यदि ∠AOB = 60°, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल

अतः छायांकित भाग का क्षेत्रफल 99 cm² है।

प्रश्न 2.
दी गई आकृति से लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि ∠AOB = 120° और वृत्त की त्रिज्या OA = 21 cm

हल
दिया है, वृत्त की त्रिज्या (R) = OA = 21 cm और θ = ∠AOB = 120°
त्रिज्यखण्ड AOBA का क्षेत्रफल

∆OAB के क्षेत्रफल के लिए :

∆OAB में, OA = OB
अर्थात् ∆OAB समद्विबाहु त्रिभुज है
शीर्ष O से AB पर लम्ब OD खींचा जो AB को समद्विभाजित करेगा, क्योंकि AB वृत्त की जीवा भी है और लम्ब OD वृत्त के केन्द्र से जाता है।
तब, ∆OAD में, ∠AOD = 60° और ∠OAD = 30° तथा ∠ADO = 90°
समकोण ∆OAD में,

अब, लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखण्ड AOBA का क्षेत्रफल – ∆OAB का क्षेत्रफल
= (462 – \(\frac{441}{4}\) √3) cm²
= (462 – 110.25 × √3) cm²
= (462 – 110.25 × 1.732) cm²
= (462 – 190.953) cm²
= 271.047 cm²
अत: लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = 271.047 cm²

प्रश्न 3.
दी गई आकृति में, OACB केन्द्र O और व्यास 7 cm वाले एक वृत्त का चतुर्थांश है। यदि OD = 2 cm है तो छायांकित भाग के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल
दिया है, वृत्त का व्यास = 7 cm
वृत्त की त्रिज्या (r) = 3.5 cm, OD = 2 cm
वृत्त के चतुर्थांश OACB का क्षेत्रफल

अत: चतुर्थांश OACB का क्षेत्रफल = \(\frac{77}{8}\) cm²
अब छायांकित भाग का क्षेत्रफल = (चतुर्थांश OACB का क्षेत्रफल – ∆OBD का क्षेत्रफल)

अत: छायांकित भाग का क्षेत्रफल = \(\frac{49}{8}\) cm²

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 11 रचनाएँ Additional Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 11 रचनाएँ Additional Questions

Bihar Board Class 10 Maths रचनाएँ Additional Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
एक रेखाखण्ड AB को p : q के अनुपात में विभाजित करने के लिए (यहाँ p और q धनात्मक पूर्णांक हैं), एक किरण AX खींचिए ताकि ∠BAX एक न्यून कोण हो। फिर किरण AX पर समान दूरियों पर इतने बिन्दु अंकित कीजिए कि इन बिन्दुओं की न्यूनतम संख्या हो।
(i) p और q में से बड़ी
(ii) p + q
(iii) p + q – 1
(iv) pq
हल
(ii) p + q

प्रश्न 2.
किसी वृत्त पर स्पर्श रेखाओं का ऐसा युग्म खींचने के लिए कि उनके बीच का कोण 35° हो, उन दो त्रिज्याओं के सिरों पर स्पर्श रेखाएँ खींचनी चाहिए, जिनके बीच का कोण हो
(i) 105°
(ii) 70°
(iii) 140°
(iv) 145°
हल
(iv) 145°

प्रश्न 3.
एक रेखाखण्ड AB को 5 : 7 के अनुपात में विभाजित करने के लिए, पहले एक किरण AX खींचिए, ताकि ∠BAX एक न्यून कोण हो और फिर किरण AX पर समान दूरियों पर बिन्दु अंकित किये जाएँ ताकि इनकी न्यूनतम संख्या हो
(i) 8
(ii) 10
(iii) 11
(iv) 12
हल
(iv) 12

प्रश्न 4.
एक रेखाखण्ड AB को 4 : 7 के अनुपात में विभाजित करने के लिए, पहले एक किरण AX इस प्रकार खींची जाती है कि ∠BAX एक न्यूनकोण हो और फिर किरण AX पर समान दूरियों पर बिन्दु, A₁, A₂, A₃,…. अंकित किए जाते हैं और बिन्दु B को निम्नलिखित से मिलाया जाता है
(i) A₁₂
(ii) A₁₁
(iii) A₁₀
(iv) A₉
हल
(ii) A₁₁

प्रश्न 5.
एक रेखाखण्ड AB को 5 : 6 के अनुपात में विभाजित करने के लिए, एक किरण AX खींचिए ताकि ∠BAX एक न्यूनकोण हो, फिर BY किरण AX के समांतर विपरीत दिशा में खींचिए। इसके बाद AX और BY किरणों पर क्रमशः समान दूरियों पर बिन्दु A₁, A₂, A₃, …और B₁, B₂, B₃,… अंकित किए जाएँ। फिर जिन बिन्दुओं को मिलाया जाता है वे हैं
(i) A₅ और B₆
(ii) A₆ और B₅
(iii) A₄ और B₅
(iv) A₅ और B₄
हल
(i) A₅ और B₆

प्रश्न 6.
एक दिए हुए त्रिभुज ABC के समरूप एक ऐसा त्रिभुज बनाने के लिए जिसकी भुजाएँ ∆ABC की संगत भुजाओं का \(\frac{3}{7}\) हों, पहले एक किरण BX ऐसी खींचिए कि ∠CBX एक न्यून कोण हो और X भुजा BC के सापेक्ष A के विपरीत ओर हो। किरण BX पर अब समान दूरियों पर बिन्दु B₁, B₂, B₃,… अंकित कीजिए तथा उसके बाद अगला चरण मिलाने का है
(i) B₁₀ को C से
(ii) B₃ को C से
(iii) B₇ को C से
(iv) B₄ को C से
हल
(iii) B₇ को C से

प्रश्न 7.
एक दिए हुए त्रिभुज ABC के समरूप एक ऐसा त्रिभुज बनाने के लिए जिसकी भुजाएँ ∆ABC की संगत भुजाओं का \(\frac{8}{5}\) हों, पहले एक किरण BX ऐसी खींचिए कि ∠CBX एक न्यून कोण हो और X भुजा BC के सापेक्ष A के विपरीत ओर हो। किरण BX पर अब समान दूरियों पर अंकित किए जाने वाले बिन्दुओं की न्यूनतम संख्या है
(i) 5
(ii) 8
(iii) 13
(iv) 3
हल
(ii) 8

प्रश्न 8.
किसी वृत्त पर स्पर्श रेखाओं का एक ऐसा युग्म खींचने के लिए कि उनके बीच कोण 60° हों, उन दो त्रिज्याओं के सिरों पर स्पर्श रेखाएँ खींचनी चाहिए जिनके बीच का कोण हो
(i) 135°
(ii) 90°
(iii) 60°
(iv) 120°
हल
(iv) 120°

अतिलघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
3.0 cm त्रिज्या के वृत्त के किसी बिन्दु P पर स्पर्श रेखा खींचिए।
या
6.0 cm व्यास के एक वृत्त की रचना कीजिए और वृत्त के किसी बिन्दु पर स्पर्शरेखा खींचिए और रचना-विधि लिखिए।
हल
दिया है : एक वृत्त जिसका केन्द्र O तथा व्यास 6.0 cm है।
रचना करनी है : वृत्त के बिन्दु P पर वृत्त की स्पर्शरेखा की

रचना विधि :
1. सर्वप्रथम O को केन्द्र मानकर \(\frac{6.0}{2}\) = 3.0 cm त्रिज्या का वृत्त खींचा और वृत्त पर कोई बिन्दु P लिया।
2. O को P से मिलाया।
3. बिन्दु P पर PQ ⊥ OP खींचा।
AB वृत्त के बिन्दु A पर अभीष्ट स्पर्श रेखा है। यही रचना करनी थी।

प्रश्न 2.
ऐसे वृत्त की रचना कीजिए, जिसकी त्रिज्या 3.5 cm तथा जो 5 cm दूरी पर स्थित बिन्दुओं A और B से होकर जाता है।
हल
दिया है : 5 cm दूर स्थित दो बिन्दु A और B हैं।
रचना करनी है : 3.5 cm त्रिज्या के वृत्त की जो A और B बिन्दुओं से होकर जाता है।

रचना विधि :
1. AB का लम्ब समद्विभाजक OM खींचा जो AB को बिन्दु M पर काटता है।
2. A को केन्द्र मानकर तथा 3.5 cm त्रिज्या लेकर एक चाप खींचा जो OM को बिन्दु O पर काटता है।
3. O को केन्द्र मानकर तथा 3.5 cm त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचा जो A और B से होकर जाता है।
यही रचना करनी थी।

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
चित्र में AB, AC और PQ वृत्त O की स्पर्श रेखाएँ हैं। यदि AB = 5 cm, ∆APQ का परिमाप ज्ञात कीजिए।
हल
किसी बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्शियाँ लम्बाई में बराबर होती हैं।

AB = AC = 5 cm
इसी प्रकार, PB = PX, QC = QX
त्रिभुज का परिमाप = AP + PQ + QA
= AP + PX + XQ + AQ
= AP + PB + QC + QA
= AB + AC
= 5 + 5
= 10 cm

प्रश्न 2.
संलग्न चित्र में AQ, AR तथा BC वृत्त के क्रमशः Q, R तथा P बिन्दुओं पर खींची गई स्पर्शियाँ हैं यदि AR = 8 cm है तो ∆ABC का परिमाप ज्ञात कीजिए। हल

किसी बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्शियाँ लम्बाई में बराबर होती हैं।
अतः AQ = AR = 8 cm
इसी प्रकार, CP = CR तथा BP = BQ
त्रिभुज का परिमाप = AB + BC + CA
= AB + (BP + PC) + CA
= AB + BQ + CR + AC
= AQ + AR
= 8 + 8
= 16 cm

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
3 cm त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। वृत्त के केन्द्र से 5 cm दूर स्थित एक बिन्दु से वृत्त पर स्पर्श रेखा युग्म की रचना कीजिए और उनकी लम्बाई मापिए।
हल
रचना विधि :
1. सर्वप्रथम 5 cm लम्बाई का रेखाखण्ड OP खींचा।
2. बिन्दु O को केन्द्र मानकर 3 cm त्रिज्या का वृत्त खींचा।
3. OP का लम्बार्धक खींचा जो इसे बिन्दु M पर काटता है।
4. बिन्दु M को केन्द्र मानकर OM त्रिज्या का एक वृत्त खींचा जो केन्द्र O के दिए हुए वृत्त को A और B बिन्दुओं पर काटता है।
5. PA तथा PB को मिलाया जो वृत्त की अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।

उपपत्ति : रेखाखण्ड OA खींचा।
∵ M, OP का मध्य-बिन्दु है जिससे OP व्यास है।
तब, वृत्त OAPB में, ∠OAP, अर्द्धवृत्त OAPO में स्थित है।
∴ ∠OAP = 90°
और OA त्रिज्या है।
तब, AP, त्रिज्या OA पर लम्ब है।
∴ AP वृत्त की स्पर्श रेखा है। इसी प्रकार BP भी वृत्त की स्पर्श रेखा है।
माप करने पर प्रत्येक स्पर्श रेखा की लम्बाई = 4 cm

प्रश्न 2.
एक दिए गए त्रिभुज ABC के समरूप एक त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ दिए गए त्रिभुज ABC की संगत भुजाओं की \(\frac{3}{4}\) हों।
हल
दिया है : एक त्रिभुज ABC
रचना करनी है : एक अन्य त्रिभुज की जिसकी भुजाएँ त्रिभुज ABC की संगत भुजाओं की \(\frac{3}{4}\) हों।

रचना विधि :
1. BC के बिन्दु B से ∠CBX चित्र की भाँति नीचे की ओर बनाया।
2. BX में से चार समान भाग BB₁, B₁B₂, B₂B₃ और B₃B₄ काटे।
3. B₄C खींची और B₃ से B₄C के समान्तर एक रेखा खींची जो BC से C’ पर मिलती है।
4. C’ से AC के समान्तर रेखा C’A’ खींची जो AB से A’ पर मिलती है।
∆ABC’ अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 3.
5 cm, भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज ABC की रचना कीजिए और फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ ∆ABC की संगत भुजाओं की \(\frac{6}{7}\) गुनी हों।
हल
दिया है : समबाहु ∆ABC में भुजा AB = BC = CA = 5 cm
रचना करनी है : एक समबाहु ∆ABC की तथा इसके समरूप एक ∆ की प्रत्येक भुजा ∆ABC की संगत भुजा की \(\frac{6}{7}\) गुनी हो।

रचना विधि :
1. रेखाखण्ड BC = 5 cm खींचा।
2. B और C को केन्द्र मान कर 5 सेमी के दो चाप लगाए जो एक-दूसरे को A पर काटते हैं।
3. AB और AC को मिलाया। ABC अभीष्ट समबाहु ∆ है।
4. B से न्यूनकोण बनाती हुई रेखा BX खींची। उसमें से BB₁, B₁B₂, B₂B₃, B₃B₄, B₄B₅, B₅B₆ व B₆B₇ के 7 समान भाग काटे।
5. ऋजु रेखा CB₇ खींची।
6. B₆ से CB₇ के समान्तर ऋजु रेखा C’B₆ खींची।
7. C’ से CA के समान्तर ऋजु रेखा C’A’ खींची जो AB को A’ पर मिलती है जिससे A’B = \(\frac{6}{7}\) AB, ∆A’BC’ अभीष्ट समरूप त्रिभुज है।

प्रश्न 4.
एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ AB = AC = 4.6 cm और ऊँचाई 3.6 cm। फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी संगत भुजाएँ त्रिभुज ABC की संगत भुजाओं के \(\frac{3}{2}\) गुनी है।
हल
दिया है : समद्विबाहु ∆ABC में AB = AC = 4.6 cm और ऊँचाई = 3.6 cm
रचना करनी है : उक्त समद्विबाहु त्रिभुज की और एक अन्य त्रिभुज की जिसकी भुजाएँ दिए हुए समद्विबाहु त्रिभुज की संगत भुजाओं की \(\frac{3}{2}\) हों।

रचना विधि :
1. रेखा EF खींची।
2. इस पर कोई बिन्दु M लिया। इस पर एक लम्ब MP खींचा। इसमें से MA = 3.6 cm काटा।
3. A को केन्द्र मान कर 4.6 cm दूरी पर दो चाप लगाए जो EF को B और C में काटते हैं।
4. AB और AC को मिलाया। समद्विबाहु त्रिभुज ABC प्राप्त किया।
5. बिन्दु M पर BC से नीचे की ओर न्यूनकोण बनाती हुई रेखा MX खींची।
6. MX में से 3 समान भाग MM₁, M₁M₂, M₂M₃ खींचे।
7. रेखाखण्ड M₂C खींचा और M₃ से M₂C के समान्तर रेखा खींची जो EF को C’ पर मिलती है।
8. C’ से AC के समान्तर C’A’ खींची जो MP से A’ पर मिलती है।
9. अब A’ से AB के समान्तर A’B’ रेखा खींची जो EF से B’ पर मिलती है।
∆A’B’C’ अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 5.
दो वृत्तों पर जिनकी त्रिज्याएँ 3.2 cm और 1.5 cm हैं और जिनके केन्द्रों के बीच की दूरी 6.2 cm है, उभयनिष्ठ अनुस्पर्श रेखाएँ खींचिए। इन स्पर्श रेखाओं की माप बताइए। गणना द्वारा उत्तर की जाँच कीजिए।
हल
दिया है : 3.2 cm तथा 1.5 cm त्रिज्या के O तथा E केन्द्रीय दो वृत्त जिनके केन्द्रों के बीच की दूरी OE = 6.2 cm है।
अभीष्ट :
(i) दोनों वृत्तों के उभयनिष्ठ अनुस्पर्शी रेखाओं की रचना करनी है।
(ii) उनकी लम्बाई नापकर लिखनी है।
(iii) गणना द्वारा उत्तर की जाँच करनी है।

रचना विधि :
1. सर्वप्रथम रेखाखण्ड OE = 6.2 cm खींचा।
2. O पर 3.2 cm त्रिज्या का वृत्त खींचा तथा E पर 1.5 cm त्रिज्या का वृत्त खींचा।
3. OE को व्यास मानकर एक वृत्त खींचा तथा O को केन्द्र मानकर 3.2 – 1.5 = 1.7 cm त्रिज्या का वृत्त खींचा जो OE व्यास वाले वृत्त को बिन्दुओं C और C’ पर काटता है।
4. OC और OC’ को मिला कर आगे बढ़ाया जो बड़े वृत्त को D तथा D’ बिन्दुओं पर काटती हैं।
5. OD और OD’ के समान्तर छोटे वृत्त के केन्द्र E से क्रमश: EB तथा EB रेखाएँ खींची जो वृत्त को बिन्दुओं B तथा B पर काटती हैं। DB और DB को मिलाया।
नापने पर इनकी लम्बाई 6 cm लगभग है।
यही रचना करनी थी।
गणना द्वारा पुष्टि : उभयनिष्ठ अनुस्पर्शी रेखा की लम्बाई

प्रश्न 6.
दो वृत्तों के केन्द्रों के बीच की दूरी 10 cm है, जिनकी त्रिज्या क्रमशः 4.5 cm व 3.5 cm हैं। वृत्तों की उभयनिष्ठ तिर्यक स्पर्शरेखा खींचिए तथा स्पर्शरेखा की लम्बाई नापकर लिखिए तथा गणना द्वारा उत्तर की जाँच कीजिए।
हल
दिया है : 3.5 cm तथा 4.5 cm त्रिज्या के O तथा E केन्द्रीय दो वृत्त जिनके केन्द्रों के बीच की दूरी OE = 10 cm
अभीष्ट :
(i) दोनों वृत्तों के उभयनिष्ठ तिर्यक स्पर्शरेखाओं की रचना करनी है।
(ii) स्पर्शरेखाओं की लम्बाई नापकर लिखनी है।
(iii) स्पर्शरेखा की लम्बाई गणना द्वारा जाँचनी है।

रचना विधि :
1. सर्वप्रथम रेखाखण्ड OE = 10 cm खींचा।
2. O को केन्द्र मानकर 3.5 cm त्रिज्या का वृत्त तथा E को केन्द्र मानकर 4.5 cm त्रिज्या का वृत्त खींचा।
3. O को केन्द्र मानकर 3.5 + 4.5 = 8 cm त्रिज्या का वृत्त खींचा और OE को व्यास मानकर वृत्त खींचा जो 8 cm त्रिज्या वाले वृत्त को D तथा D’ पर काटता है।
4. OD तथा OD’ को मिलाया जो 3.5 cm त्रिज्या वाले वृत्त को C तथा C’ पर काटती हैं।
5. E से OD के समान्तर EB तथा OD’ के समान्तर EB’ खींची जो E केन्द्र वाले वृत्त को B तथा B बिन्दुओं पर काटती हैं।
6. BC तथा B’C’ को मिलाया। ये ही उभयनिष्ठ तिर्यक स्पर्श रेखा हैं।
नापने पर इनकी लम्बाई 6 cm है।
यही रचना करनी थी।
गणना द्वारा पुष्टि : तिर्यक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की लम्बाई