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Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.4 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.4

Bihar Board Class 10 Maths निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.4

प्रश्न 1.
बिन्दुओं A (2, -2) और B(3, 7) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को रेखा 2x + y – 4 = 0 जिस अनुपात में विभाजित करती है, उसे ज्ञात कीजिए।
हल
दिया है, बिन्दु A = (2, -2) तथा B = (3, 7)
यहाँ x₁ = 2, y₁ = -2, x₂ = 3, y₂ = 7
माना दिए हुए बिन्दुओं से बना रेखाखण्ड रेखा 2x + y – 4 = 0 को m₁ : m₂ के अनुपात में विभाजित करता है जबकि प्रतिच्छेद बिन्दु (x, y) है।

बिन्दु (x, 3) रेखा 2x + y – 4 = 0 पर स्थित होगा;
अतः इसके निर्देशांक रेखा 2x + y – 4 = 0 को सन्तुष्ट करेंगे।

अत: अभीष्ट अनुपात = 2 : 9

प्रश्न 2.
x और y में एक सम्बन्ध ज्ञात कीजिए यदि बिन्दु (x, y), (1, 2) और (7, 0) संरेखी है।
हल
माना बिन्दु A = (x, y), B = (1, 2) तथा C = (7, 0)
यहाँ, x₁ = x, y₁ = y, x₂ = 1, y₂ = 2, x₃ = 7, y₃ = 0
∆ का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) [{x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₁} – {y₁x₂ + y₂x₃ + y₃x₁}]
= \(\frac{1}{2}\) [{x × 2 + 1 × 0 + 7 × y} – {y × 1 + 2 × 7 + 0 × x}]
= \(\frac{1}{2}\) [{2x + 0 + 7y} – {y + 14 + 0}]
= \(\frac{1}{2}\) [2x + 7y – y – 14]
= \(\frac{1}{2}\) [2x + 6y – 14]
= \(\frac{2}{2}\) (x + 3y – 7)
= x + 3y – 7
परन्तु यदि बिन्दु A, B, C संरेख हों तो ΔABC का क्षेत्रफल शून्य होना चाहिए।
x + 3y – 7 = 0
अतः x और में सम्बन्ध : x + 3y – 7 = 0

प्रश्न 3.
बिन्दुओं (6, -6), (3, -7) और (3, 3) से होकर जाने वाले वृत्त का केन्द्र ज्ञात कीजिए।
हल
माना A(6, -6), B(3, -7) तथा C(3, 3) बिन्दु एक वृत्त की परिधि पर हैं और वृत्त का केन्द्र O(h, k) है।
तब, OA, OB तथा OC वृत्त की त्रिज्याएँ होंगी।
अतः OA = OB = OC
⇒ OA² = OB² = OC²
OA² = [ केन्द्र O(h, k) और बिन्दु A (6, -6) के बीच की दूरी]²
⇒ OA² = (h – 6)² + (k + 6)²
⇒ OA² = h² – 12h + 36 + k² + 12k + 36
⇒ OA² = h² + k² – 12h + 12k + 72 ……..(1)
OB² = [केन्द्र O (h, k) और बिन्दु B (3, -7) के बीच की दूरी]²
⇒ OB² = (h – 3)² + (k + 7)²
⇒ OB² = h² – 6h + 9 + k² + 14k + 49
⇒ OB² = h² + k² – 6h + 14k + 58 ………(2)
OC² = [केन्द्र O(h, k) और बिन्दु C(3, 3) की दूरी]²
⇒ OC² = (h – 3)² + (k – 3)²
⇒ OC² = h² – 6h + 9 + k² – 6k + 9
⇒ OC² = h² + k² – 6h – 6k + 18 ………(3)
समीकरण (2) में से समीकरण (3) को घटाने पर,
20k + 40 = OB² – OC² = 0
⇒ k = -2
समीकरण (1) में से समीकरण (2) को घटाने पर,
-6h – 2k + 14 = OA² – OB² = 0
⇒ 6h + 2k = 14
⇒ 6h + (2 × -2) = 14 (∵ k = -2)
⇒ 6h – 4 = 14
⇒ 6h = 14 + 4 = 18
⇒ h = 3
अत: वृत्त का केन्द्र = (3, -2)

प्रश्न 4.
किसी वर्ग के दो सम्मुख शीर्ष (-1, 2) और (3, 2) हैं। वर्ग के अन्य दोनों शीर्ष ज्ञात कीजिए।
हल
दिया है, वर्ग के दो सम्मुख शीर्ष (-1, 2) व (3, 2) हैं।
वर्ग के एक विकर्ण का मध्य-बिन्दु = \(\left(\frac{-1+3}{2}, \frac{2+2}{2}\right)\) = (1, 2)
वर्ग के विकर्ण की लम्बाई = \(\sqrt{(-1-3)^{2}+(2-2)^{2}}\)
= \(\sqrt{(-4)^{2}+0}\)
= √16
= 4 मात्रक
तब, विकर्णों के प्रतिच्छेद बिन्दु E(मध्य बिन्दु) से प्रत्येक शीर्ष विकर्ण × \(\frac {1}{2}\) = 2 मात्रक दूरी पर होगा।

चित्र से स्पष्ट है कि शेष दोनों बिन्दु विकर्ण BD पर होंगे जो AC पर लम्ब होगा। तब प्रत्येक बिन्दु का भुज +1 होगा। माना कोटि y है।
तब, बिन्दु (1, 2) की बिन्दु (+1, y) से दूरी = 2 मात्रक
\(\sqrt{(1-1)^{2}+(y-2)^{2}}=2\)
⇒ \(\sqrt{0+(y-2)^{2}}=2\)
⇒ ±(y – 2) = 2
⇒ y – 2 = ±2
⇒ y = ±2 + 2
⇒ y = 0 या 4
अत: वर्ग के शेष दोनों शीर्ष (1, 0) व (1, 4) हैं।

प्रश्न 5.
कृष्णानगर के एक सेकेण्डरी स्कूल के कक्षा X के विद्यार्थियों को उनके बागवानी क्रियाकलाप के लिए एक आयताकार भूखण्ड दिया गया है। गुलमोहर की पौध (sapling) को परस्पर 1 मीटर की दूरी पर इस भूखण्ड की परिसीमा (boundary) पर लगाया जाता है। इस भूखण्ड के अन्दर एक त्रिभुजाकार घास लगा हुआ लॉन (lawn) है, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। विद्यार्थियों को भूखण्ड के शेष भाग में फूलों के पौधे के बीज बोने हैं।
(i) A को मूलबिन्दु मानते हुए, त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
(ii) यदि मूलबिन्दु C हो तो ∆PQR के शीर्षों के निर्देशांक क्या होंगे?
साथ ही उपर्युक्त दोनों स्थितियों में, त्रिभुजों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। आप क्या देखते हैं?

हल
बिन्दुओं P, Q व R से सम्मुख अक्षों पर लम्ब खींचे गए हैं। (चित्र देखिए)

(i) यदि A मूलबिन्दु हो तो
बिन्दु P = (4, 6),Q = (3, 2) तथा R = (6, 5)
यहाँ x₁ = 4, y₁ = 6, x₂ = 3, y₂ = 2, x₃ = 6, y₃ = 5
∆PQR का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) [{x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₁} – {y₁x₂ + y₂x₃ + y₃x₁}]
= \(\frac{1}{2}\) {{4 × 2 + 3 × 5 + 6 × 6} – {6 × 3 + 2 × 6 + 5 × 4}]
= \(\frac{1}{2}\) [(8 + 15 + 36) – (18 + 12 + 20)]
= \(\frac{1}{2}\) [59 – 50]
= \(\frac{1}{2}\) × 9
= \(\frac{9}{2}\) वर्ग मात्रक

(ii) जब C मूलबिन्दु हो तो
बिन्दु P = (-12, -2), Q = (-13, -6) तथा R = (-10, -3)
यहाँ x₁ = -12, y₁ = -2, x₂ = -13, y₂ = -6, x₃ = -10, y₃ = -3
∆PQR का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) [{x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₁} – {y₁x₂ + y₂x₃ + y₃x₁}]
= \(\frac{1}{2}\) [{(-12 × -6) + (-13 × -3) + (-10 × -2)} – {(-2 × -13) + (-6 × -10) + (-3 × -12)}]
= \(\frac{1}{2}\) (72 + 39 + 20) – (26 + 60 + 36)]
= \(\frac{1}{2}\) [(131) – (122)]
= \(\frac{1}{2}\) × 9
= \(\frac{9}{2}\) वर्ग मात्रक
अत: दोनों ही स्थितियों में त्रिभुज का क्षेत्रफल समान है।

प्रश्न 6.
एक त्रिभुज ABC के शीर्ष A (4, 6), B(1, 5) और C (7, 2) हैं। भुजाओं AB और AC को क्रमशः D और E पर प्रतिच्छेद करते हुए एक रेखा इस प्रकार खींची गई है कि \(\frac{A D}{A B}=\frac{A E}{A C}=\frac{1}{4}\) है। ΔADE का क्षेत्रफल परिकलित कीजिए और इसकी तुलना ΔABC के क्षेत्रफल से कीजिए।

हल
दिया है, ΔABC के शीर्ष A (4, 6), B(1, 5) और C (7, 2) हैं।
\(\frac{A D}{A B}=\frac{1}{4}\)
⇒ AB = 4AD
⇒ AD + DB = 4AD
⇒ DB = 3AD
⇒ \(\frac{A D}{D B}=\frac{1}{3}\)
माना D के निर्देशांक यदि (x, y) हों तो

प्रश्न 7.
मान लीजिए A(4, 2), B(6, 5) और C (1, 4)एक त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं।
(i) A से होकर जाने वाली माध्यिका BC से D पर मिलती है। बिन्दु D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
(ii) AD पर स्थित ऐसे बिन्दु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए कि AP : PD = 2 : 1 हो।
(iii) माध्यिकाओं BE और CF पर ऐसे बिन्दुओं Q और R के निर्देशांक ज्ञात कीजिए कि BQ : QE = 2 : 1 हो और CR : RF = 2 : 1 हो।
(iv) आप क्या देखते हैं?
[नोट – वह बिन्दु जो तीनों माध्यिकाओं में सार्वनिष्ठ हो, उस त्रिभुज का केन्द्रक (centroid) कहलाता है और यह प्रत्येक माध्यिका को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।]
(v) यदि A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) और C(x₃, y₃) त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं तो इस त्रिभुज के केन्द्रक के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल

प्रश्न 8.
बिन्दुओं A(-1, -1), B(-1, 4), C(5, 4) और D(5, -1) से एक आयत ABCD बनता है। P, Q, R और S क्रमश: भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिन्दु हैं। क्या चतुर्भुज PQRS एक वर्ग है? क्या यह एक आयत है? क्या यह एक समचतुर्भुज है? सकारण उत्तर दीजिए।
हल
दिए हुए बिन्दु A = (-1, -1), B = (-1, 4), C = (5, 4) और D = (5, -1)


∵ चतुर्भुज PQRS में, PQ = QR = RS = SP और विकर्ण PR ≠ विकर्ण QS
अत: चतुर्भुज PQRS एक समचतुर्भुज है।

Bihar Board 10th English Objective Questions and Answers

BSEB Bihar Board 10th English Objective Answers poem 1 God Made The Country

God Made The Country Questions And Answers Bihar Board 10th Question 1.
Who wrote the poetry ‘God Made The Country’ ?
(A) William Wordsworth
(B) William Cowper
(C) Alexander Pope
(D) Durga Prasad
Answer:
(B) William Cowper

God Made The Country Bihar Board 10th Question 2.
Panda William Cowper may be said to be giving in his poems a foretaste of the poetry of………………?
(A) Wordsworth
(B) Puran Singh
(C) Laxmi Prasad
(D) Durga Prasad Panda
Answer:
(B) Puran Singh

God Made The Country Poem Bihar Board 10th Question 3.
According to poetry who made the town ?
(A) God
(B) Government
(C) Man
(D) None of these
Answer:
(C) Man

God Made The Country Question And Answer Bihar Board 10th Question 4.
Where do you find health and virtue ?
(A) Country
(B)Town
(C) Village
(D) Space
Answer:
(C) Village

God Made The Country And Man Made The Town Bihar Board 10th Question 5.
What has made the man idle ?
(A) Luxurious life
(B) Comfortable devices
(C) Packed foods
(D) None of these
Answer:
(B) Comfortable devices

God Made The Country Man Made The Town Bihar Board 10th Question 6.
Why were groves planted ?
(A) To comfort us
(B) To provide us Loaries
(C) To provide us fuel
(D) None of these
Answer:
(A) To comfort us

Bihar Board Class 10th English Objective Question Question 7.
What is the poet’s desire ?
(A) To enjoy comfortable conditions
(B) To enjoy luxury
(C) To energy green environment
(D) The pleasure of natural objects
Answer:
(D) The pleasure of natural objects

10th Class English Objective Questions Bihar Board Question 8.
According to the poet, health and .virtue can be found in
(A) Towns
(B) Cities
(C) Villages
(D) Factories
Answer:
(B) Cities

Question 9.
The town people do not enjoy any real
(A) Scenery
(B) Food
(C) Drink
(D) Fun
Answer:
(A) Scenery

Question 10.
The villagers can do very well without the …………..lights of the town.
(A) Grand
(B) Dim
(C) Shining
(D) Soft
Answer:
(A) Grand

Question 11.
On hearing the songs of the towns, singing-birds like the ……………..are afraid and go away. .
(A) Parrot
(B) Thrush
(C) Cuckoo
(D) Sparrow
Answer:
(B) Thrush

Question 12.
The poet calls things like health and virtue.
(A) Gifts
(B) Prizes
(C) Curses
(D) Defects
Answer:
(A) Gifts

Question 13.
Who created the poem ‘God Made The Country’?
(A) William Cowper
(B) William Wordsworth
(C) Alexander Pope
(D) Durga Prasad Panda
Answer:
(A) William Cowper

Question 14.
William Cowper may be said to be giving in his poems a foretaste of the poetry of………………….?
(A) Wordsworth
(B) Puran Singh
(C) Laxmi Prasad
(D) Durga Prasad Panda
Answer:
(A) Wordsworth

Question 15.
According to the poet, health and virtue can be found in
(A) towns
(B) cities
(C) villages
(D) factories
Answer:
(C) villages

Question 16.
The town’s people do not enjoy any real
(A) scenery
(B) food
(C) drink
(D) fun
Answer:
(A) scenery

Question 17.
In this poem the narrator is
(A) a townsman
(B) god
(C) country
(D) a villager
Answer:
(D) a villager

Question 18.
William Cowper was born in
(A) 1721
(B) 1711
(C) 1730
(D) 1731
Answer:
(D) 1731

Question 19.
William Cowper died in
(A) 1805
(B) 1798
(C) 1800
(D) 1810
Answer:
(C) 1800

Question 20.
Like whom the poet did not hesitate in giving ciear-cut opinion about the issues of his time?
(A) William Cowper
(B) Keats
(C) Wordsworth
(D) Thooran
Answer:
(C) Wordsworth

Question 21.
A two-wheeled horse-drawn vehicle used in olden times
(A) cart
(B) chart
(C) chariot
(D) none
Answer:
(C) chariot

Question 22.
Why is the thrush scared and the nightingale offended?
(A) to hear the vice of the poet
(B) to hear the songs of village
(C) to hear the songs of town
(D) none of these
Answer:
(C) to hear the songs of town

Question 23.
Health and goodness can make our life
(A) harder
(B) Comic
(C) sweet
(D) confound
Answer:
(C) sweet

Question 24.
According to the poet who made the town?
(A) God
(B) Government
(C) Man
(D) None of these
Answer:
(C) Man

Question 26.
That……………….holds out to all, should most abound.
(A) life
(B) virtue
(C) groves
(D) town
Answer:
(A) life

Question 27.
What has made the man idle?
(A) Luxurious life
(B) Comfortable devices
(C) Packed foods
(D) None of these
Answer:
(B) Comfortable devices

Question 28.
Why were groves planted?
(A) To comfort us
(B) To provide us loaries
(C) To provide us fuel
(D) None of these
Answer:
(A) To comfort us

Question 29.
What is the poet’s desire?
(A) To enjoy comfortable conditions
(B) To enjoy luxury
(C) To energy green environment
(D) The pleasure of natural objects
Answer:
(D) The pleasure of natural objects

Question 30.
The villagers can do very well without the…………….lights of the town.
(A) grand
(B) dim
(C) soft
(D) shining
Answer:
(A) grand

Question 31.
On hearing the songs of the towns, singing-birds like the……………….are afraid and go away.
(A) parrot
(B) thrush
(C) cuckoo
(D) sparrow
Answer:
(B) thrush

Question 32.
Listening to the……………..songs the nightingale becomes mute in a town.
(A) radio
(B) television
(C) headphone
(D) gramophone
Answer:
(D) gramophone

Question 33.
Where is the life least threatened?
(A) in towns
(B) in the fiends and groves
(C) in villages
(D) none of these
Answer:
(B) in the fiends and groves

Question 34.
What are planted to console the pensive wanderer?
(A) grooves
(B) shades
(C) walls
(D) factories
Answer:
(A) grooves

Question 35.
The moonbeam slides between ……………………
(A) ‘he ho ises
(B) the sleeping leaves
(C) shades
(D) none of these
Answer:
(B) the sleeping leaves

Question 36.
The thrush departs …………….
(A) sacred
(B) gladly
(C) scared
(D) boldly
Answer:
(C) scared

Question 37.
The poet calls things like health and virtue
(A) Gifts
(B) Prizes
(C) Curses
(D) Defects
Answer:
(A) Gifts

Question 38.
Where do you find fields and groves?
(A) in villages
(B) in towns
(C) in forests
(D) in cities
Answer:
(A) in villages

Question 39.
What is the source of light in Villages in the evening?
(A) seen
(B) moon
(C) lamp
(D) none of these
Answer:
(B) moon

Question 40.
Where is life better?
(A) in towns
(B) in villages
(C) in markets
(D) in homes
Answer:
(B) in villages

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.2 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.2

Bihar Board Class 10 Maths बहुपद Ex 2.2

Bihar Board Class 10 Math Book Solution In Hindi प्रश्न 1.
निम्न द्विघात बहुपदों के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के सम्बन्ध की सत्यता की जाँच कीजिए-
(i) x² – 2x – 8
(ii) 4s² – 4s + 1
(iii) 6x² – 3 – 7x
(iv) 4u² + 8u
(v) t² – 15
(vi) 3x² – x – 4
हल
(i) दिया गया बहुपद = x² – 2x – 8
= x² – (4 – 2)x – 8
= x² – 4x + 2x – 8
= (x² – 4x) + (2x – 8)
= x(x – 4) + 2 (x – 4)
= (x – 4) (x + 2)
x² – 2x – 8 = (x – 4) (x + 2)
जब बहुपद x² – 2x – 8 = 0 हो तो (x – 4) (x + 2) भी शून्य होगा जिसका अर्थ है कि या तो x – 4 = 0 या फिर x + 2 = 0
यदि हो x – 4 = 0 हो तो x = 4 और यदि x + 2 = 0 हो तो x = -2
अत: बहुपद x² – 2x – 8 के शून्यक = 4 व -2
बहुपद x² – 2x – 8 की तुलना बहुपद ax² + bx + c से करने पर,
a = 1, b = -2 तथा c = -8
तब, बहुपद के गुणांकों और शून्यकों में सम्बन्ध
शून्यकों का योगफल = \(-\frac{b}{a}=-\left(\frac{-2}{1}\right)=2\)
तथा शून्यकों का गुणनफल: = \(\frac{c}{a}=\frac{-8}{1}=-8\)
और जो शून्यक हमने ज्ञात किए थे उनका योगफल भी 2 तथा गुणनफल (-8) है।
अत: बहुपद के गुणांकों और शून्यकों के बीच के उपर्युक्त सम्बन्ध सत्य हैं।
इति सिद्धम्

(ii) दिया गया बहुपद = 4s² – 4s + 1
= (2s)² – 2(2s) . 1 + (1)² [∵ (a – b)² = a² – 2ab + b²]
= (2s – 1)²
4s² – 4s + 1 = (2s – 1)²
जब बहुपद 4s² – 4s + 1 = 0 हो तो (2s – 1)² भी शून्य होगा जिसका अर्थ है कि
(2s – 1)² = 0
⇒ (2s – 1) = 0
⇒ 2s = 1
⇒ s = \(\frac{1}{2}\)
यहाँ बहुपद के दोनों शून्यक समान हैं,
अत: बहुपद 4s² – 4s + 1 के शून्यक = \(\frac{1}{2}\) व \(\frac{1}{2}\),
बहुपद 4s² – 4s + 1 की तुलना बहुपद as² + bs + c से करने पर,
a = 4, b = -4 तथा c = 1
तब, बहुपद के शून्यकों और गुणांकों में सम्बन्ध
शून्यकों का योगफल = \(-\frac{b}{a}=-\left(\frac{-4}{4}\right)=1\)
तथा शून्यकों का गुणनफल = \(\frac{c}{a}=\frac{1}{4}\)
और जो शून्यक हमने ज्ञात किए हैं उनका भी योगफल (\(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\) = 1) तथा गुणनफल (\(\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\) \(\frac{1}{4}\)) है।
अत: बहुपद के शून्यकों और गुणांकों के बीच उपर्युक्त सम्बन्ध सत्य हैं।
इति सिद्धम्

(iii) दिया गया बहुपद = 6x² – 3 – 7x
= 6x² – 7x – 3
= 6x² – (9 – 2)x – 3
= 6x² – 9x + 2x – 3
= (6x² – 9x) + (2x – 3)
= 3x(2x – 3) + 1(2x – 3)
= (2x – 3) (3x + 1)
बहुपद 6x² – 3 – 7x = (2x – 3) (3x + 1)
जब बहुपद 6x² – 3 – 7x = 0 हो तो (2x – 3) (3x + 1) भी शून्य होगा जिसका अर्थ है कि या तो 2x – 3 = 0 या फिर 3x + 1 = 0
यदि 2x – 3 = 0 हो तो 2x = 3 ⇒ x = \(\frac{3}{2}\)
और यदि 3x + 1 = 0 हो तो 3x = -1 ⇒ x = \(-\frac{1}{3}\)
अत: बहुपद 6x² – 3 – 7x के शून्यक \(\frac{3}{2}\) व \(-\frac{1}{3}\)
अब, बहुपद 6x² – 3 – 7x की तुलना मानक द्विघात बहुपद ax² + bx + c से करने पर,
a = 6, b = -7 तथा c = -3
तब, बहुपद के शून्यकों और गुणांकों में सम्बन्ध

अत: बहुपद के गुणांकों और शून्यकों के बीच के उपर्युक्त सम्बन्ध सत्य हैं।
इति सिद्धम्

(iv) दिया गया बहुपद = 4u² + 8u = 4u(u + 2)
यदि उक्त बहुपद 4u² + 8u = 0 हो तो 4u(u + 2) = 0 जिसका अर्थ है कि
4u = 0 ⇒ u = 0 या फिर u + 2 = 0 ⇒ u = -2
अत: बहुपद 4u² + 8u के शून्यक = 0 व -2
अब, बहुपद 4u² + 8u की तुलना बहुपद au² + bu + c से करने पर,
a = 4, b = 8 तथा c = 0
तब, बहुपद के गुणांकों और शून्यकों में सम्बन्ध
शून्यकों का योगफल = \(-\frac{b}{a}=-\frac{8}{4}=-2\)
और शून्यकों का गुणनफल \(\frac{c}{a}=\frac{0}{4}=0\)
और हमने जो शून्यक ज्ञात किए हैं, उनका योगफल (-2 + 0) = -2 तथा गुणनफल {(-2) × 0} = 0 है
अत: बहुपद के गुणांकों और शून्यकों के बीच के उपर्युक्त सम्बन्ध सत्य हैं।
इति सिद्धम्

(v) दिया गया बहुपद = t² – 15
जब बहुपद t² – 15 = 0 हो तो t² = 15 या t = ±√15
अत: बहुपद t² – 15 के शून्यक = +√15 व -√15
यहाँ शून्यकों का योगफल (+√15 – √15) = 0 तथा गुणनफल {√15 × (-√15)} = -15 है।
दिए गए बहुपद t² – 15 = 0 की तुलना मानक द्विघात बहुपद at² + bt + c से करने पर,
a = 1, b = 0 तथा c = -15
तब, बहुपद के गुणांकों और शून्यकों के मध्य सम्बन्ध
शून्यकों का योगफल = \(-\frac{b}{a}=-\frac{0}{1}=0\)
और शून्यकों का गुणनफल = \(\frac{c}{a}=\frac{-15}{1}=-15\)
जो कि उपर्युक्त फलन से मेल खाता है।
अत: बहुपद के गुणांकों और शून्यकों के मध्य उपर्युक्त सम्बन्ध सत्य हैं।
इति सिद्धम्

(vi) दिया गया बहुपद = 3x² – x – 4
= 3x² – (4 – 3)x – 4
= 3x² – 4x + 3x – 4
= (3x² – 4x) + (2x – 4)
= x(3x – 4) + 1(3x – 4)
= (3x – 4) (x + 1)
= (3x – 4) (x + 1)
जब बहुपद 3x² – x – 4 = 0 हो तो (3x – 4) (x + 1) = 0
जिसका अर्थ है कि या तो 3x – 4 = 0 या फिर x + 1 = 0 है।
यदि 3x – 4 = 0 हो तो 3x = 4 ⇒ x = \(\frac {4}{3}\)
और यदि x + 1 = 0 हो तो x = -1
अत: बहुपद के शून्यक = \(\frac {4}{3}\) व -1
अब दिए हुए बहुपद 3x² – x – 4 की तुलना मानक द्विघात बहुपद ax² + bx + c से करने पर,
a = 3, b = -1 तथा c = -4
तब, बहुपद के गुणांकों a, b, c और बहुपद के शून्यकों के बीच सम्बन्ध
शून्यकों का योगफल = \(-\frac{b}{a}=-\frac{(-1)}{3}=\frac{1}{3}\)
और शून्यकों का गुणनफल = \(\frac{c}{a}=\frac{-4}{3}\)
और जो शून्यक हमने ज्ञात किए हैं उनका भी योगफल = \(\left(-1+\frac{4}{3}\right)=\frac{1}{3}\) और गुणनफल \(\left(\frac{4}{3} \times-1\right)=-\frac{4}{3}\) है।
अत: बहुपद के गुणांकों और शून्यकों के बीच उपर्युक्त सम्बन्ध सत्य हैं।
इति सिद्धम्

Bihar Board Class 10 Math Book Solution In Hindi Pdf Download प्रश्न 2.
एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों के योगफल तथा गुणनफल क्रमशः दी गई संख्याएँ हैं
(i) \(\frac{1}{4}\), -1
(ii) √2, \(\frac{1}{3}\)
(iii) 0, √5
(iv) 1, 1
(v) \(\frac{-1}{4}\), \(\frac{1}{4}\)
(vi) 4, 1
हल
(i) माना द्विघात बहुपद के शून्यक α तथा β हैं।
तब, शून्यकों का योगफल = α + β तथा शून्यकों का गुणनफल = αβ
दिया गया है कि शून्यकों का योगफल \(\frac{1}{4}\) तथा गुणनफल -1 है।
α + β = \(\frac{1}{4}\) और αβ = -1
तब, द्विघात बहुपद = (x – α) (x – β)
= x² – (α + β) x + αβ
= x² – \(\frac{1}{4}\) x + (-1)
= \(\frac{4 x^{2}-x-4}{4}\)
= k(4x² – x – 4)
अत: अभीष्ट बहुपद 4x² – x – 4 या k(4x² – x – 4) है, जहाँ k = \(\frac{1}{4}\) एक वास्तविक संख्या है।

(ii) माना द्विघात बहुपद के शून्यक α तथा β हैं।
तब, शून्यकों का योगफल = α + β तथा गुणनफल = αβ
दिया गया है कि बहुपद के शून्यकों का योगफल √2 तथा गुणनफल \(\frac{1}{3}\) है।
α + β = √2 तथा αβ = \(\frac{1}{3}\)
तब, द्विघात बहुपद = (x – α) (x – β)
= x² – (α + β) + αβ
= x² – √2x + \(\frac{1}{3}\)
= \(\frac{1}{3}\)(3x² – 3√2x + 1)
= k(3x² – 3√2x + 1)
अत: अभीष्ट बहुपद k(3x² – 3√2x + 1) है, जहाँ k = \(\frac{1}{3}\) एक वास्तविक संख्या है।

(iii) माना द्विघात बहुपद के शून्यक α तथा β हैं।
तब, शून्यकों का योगफल = (α + β) और शून्यकों का गुणनफल = αβ
दिया गया है कि शून्यकों का योगफल 0 तथा गुणनफल √5 है।
तब, α + β = 0 तथा αβ = 15
द्विघात बहुपद = (x – α)(x – β)
= x² – (α + β)x + αβ
= x² – 0 . x + √5
= x² + √5
अतः अभीष्ट बहुपद = x² + √5

(iv) माना द्विघात बहुपद के शून्यक α तथा β हैं।
तब, शून्यकों का योगफल = α + β तथा शून्यकों का गुणनफल = αβ
दिया गया है कि शून्यकों का योगफल 1 तथा गुणनफल 1 है।
तब, α + β = 1 तथा αβ = 1
द्विघात बहुपद = (x – α) (x – β)
= x² – (α + β)x + αβ
= x² – (1) . x + 1
= x² – x + 1
अतः अभीष्ट बहुपद = x² – x + 1

(v) माना द्विघात बहुपद के शून्यक α व β हैं।
तब, शून्यकों का योगफल = α + β तथा शून्यकों का गुणनफल = αβ
दिया गया है कि शून्यकों का योगफल \(-\frac{1}{4}\) तथा गुणनफल \(\frac{1}{4}\) है।

(जहाँ k एक वास्तविक संख्या है)
अत: अभीष्ट बहुपद = 4x² + x + 1 अथवा k(4x² + x + 1) जहाँ k = \(\frac{1}{4}\) एक वास्तविक संख्या है।

(vi) माना द्विघात बहुपद के शून्यक α व β हैं।
तब, शून्यकों का योगफल = (α + β) तथा गुणनफल = αβ
दिया गया है कि शून्यकों का योगफल 4 तथा गुणनफल 1 है।
α + β = 4 तथा αβ = 1
द्विघात बहुपद = (x – α) (x – β)
= x² – (α + β)x + αβ
= x² – 4x + 1
अत: अभीष्ट बहुपद = x² – 4x + 1

Bihar Board 10th Hindi Objective Questions and Answers

BSEB Bihar Board 10th Hindi Objective Answers Godhuli Padya Chapter 9 हमारी नींद

Hangries Saharanpur Menu Bihar Board 10th Hindi प्रश्न 1.
वीरेन डंगवाल को किस कृति के लिए साहित्य अकादमी पुरस्कार मिला है?
(A) इसी दुनिया में
(B) दुष्चक्र में सृष्टा
(C) पहल पुस्तिका
(D) कवि ने कहा
उत्तर :
(B) दुष्चक्र में सृष्टा

Sleep Symbol Bihar Board 10th Hindi प्रश्न 2.
गरीब बस्तियों में क्या हुआ?
(A) कई शिशु पैदा हुए
(B) दंगे, आगजनी और बमबारी
(C) धमाके से देवी जागरण
(D) इनमें से कोई नहीं
उत्तर :
(C) धमाके से देवी जागरण

Sleeping Symbol Bihar Board 10th Hindi प्रश्न 3.
‘हमारी नींद’ के रचयिता कौन हैं?
(A) सुमित्रानंदन पंत
(B) वीरेन डंगवाल
(C) रामधारी सिंह दिनकर
(D) कुँवर नारायण
उत्तर :
(B) वीरेन डंगवाल

प्रश्न 4.
‘हमारी नींद में ‘नींद’ किसका प्रतीक है?
(A) गफलत
(B) बेहोशी
(C) पागलपन
(D) मदहोशी
उत्तर :
(A) गफलत

प्रश्न 5.
वीरेन डंगवाल का जन्म कहाँ हुआ था?
(A) 1947
(B) 1943
(C) 1942
(D) 1847
उत्तर :
(A) 1947

प्रश्न 6.
वीरेन डंगवाल का जन्म किस राज्य में हुआ?
(A) उत्तर प्रदेश
(B) उतरांचल
(C) हिमाचल प्रदेश
(D) मध्य प्रदेश
उत्तर :
(B) उतरांचल

प्रश्न 7.
वीरेन डंगवाल ने किस विद्यालय से एम०ए० किया?
(A) काशी
(B) लखनऊ
(C) इलाहाबाद
(D) कानपुर
उत्तर :
(C) इलाहाबाद

प्रश्न 8.
“वीरेन डंगवाल” किस अखबार के संपादकीय सलाहकार थे?
(A) जनएकता
(B) अमर उजाला
(C) नवभारत टाईम
(D) हिन्दुस्तान
उत्तर :
(B) अमर उजाला

प्रश्न 9.
वीरेन डंगवाल की पहली कविता संग्रह ‘इसी दुनिया में किस वर्ष प्रकाशित हुई?
(A) 1992
(B) 1891
(C) 1991
(D) 1892
उत्तर :
(C) 1991

प्रश्न 10.
वीरेन डंगवाल को कौन-सा पुरस्कार प्राप्त है?
(A) स्मृत्ति पुरस्कार
(B) रघुवर सहाय स्मृति पुरस्कार
(C) ज्ञान पीठ पुरस्कार
(D) श्रीकांत वर्मा पुरस्कार
उत्तर :
(A) स्मृत्ति पुरस्कार

प्रश्न 11.
‘हमारी नींद’ कविता किस कविता संग्रह से ली गई है?
(A) दुष्चक्र में स्रष्टा
(B) पहल पुस्तिका
(C) इसी दुनिया में
(D) सदानीरा
उत्तर :
(A) दुष्चक्र में स्रष्टा

प्रश्न 12.
नींद के दरम्यान कुछ इंच कौन बढ़ गए?
(A) लघु जीव
(B) पुष्प वृन्द
(C) पेड़
(D) लता जुल्म
उत्तर :
(C) पेड़

प्रश्न 13.
हमारी नींद के दरम्यान पौधे कितने वृद्धि कर गए?
(A) कुछ इंच
(B) कुछ सेमी
(C).कुछ सूत
(D) इनमें से कोई नहीं
उत्तर :
(C).कुछ सूत

प्रश्न 14.
किसने अपने कोमल सींगों से ढकेलना शुरू किया?
(A) बैल ने
(B) हिरण ने
(C) अंकुर ने
(D) बछड़े ने
उत्तर :
(C) अंकुर ने

प्रश्न 15.
‘हमारी नींद’ कविता के अनुसार किसका जीवन-क्रम पूरा हुआ?
(A) एक मच्छर का
(B) मछली का
(C) एक मक्खी का
(D) तोते का
उत्तर :
(C) एक मक्खी का

प्रश्न 16.
‘देवी जागरण कहाँ हुआ?
(A) गरीब बस्तियों में
(B) मंदिरों में
(C) शहरों में
(D) गाँवों में
उत्तर :
(A) गरीब बस्तियों में

प्रश्न 17.
हमारी नींद कविता में हठीला किसे कहा गया है?
(A) बालक को
(B) श्रमिक को
(C) प्रकृति को
(D) जीवन को
उत्तर :
(D) जीवन को

प्रश्न 18.
कवि के अनुसार कई लोग ऐसे जो नहीं भूले हैं
(A) पढ़ाई करना
(B) परिश्रम करना
(C) आदर करना
(D) इनकार करना
उत्तर :
(D) इनकार करना

प्रश्न 19.
वीरेन डंगवाल किस दैनिक पत्र के सम्पादकीय सलाहकार हैं?
(A) दैनिक जागरण
(B) जनसत्ता
(C) अमर उजाला
(D) दैनिक भास्कर
उत्तर :
(C) अमर उजाला

प्रश्न 20.
‘इसी दुनिया में किसकी कृति है?
(A) रघुवीर सहाय
(B) मुक्तिबोध
(C) केदारनाथ अग्रवाल
(D) वीरेन डंगवाल
उत्तर :
(D) वीरेन डंगवाल

प्रश्न 21.
हम जब नींद में होते हैं, तब किसका जीवन-चक्र पूरा हो जाता है?
(A) मकड़ी का
(B) मछली का
(C) मक्खी का
(D) मच्छड़ का
उत्तर :
(C) मक्खी का

प्रश्न 22.
‘टिहरी-गढ़वाल’ कहाँ अवस्थित है?
(A) असम में
(B) पश्चिम बंगाल में
(C) बिहार में
(D) उत्तराखण्ड में
उत्तर :
(D) उत्तराखण्ड में

प्रश्न 23.
वीरेन डंगवाल को उपाधि दी गई
(A) डी. लिट्
(B) पद्मभूषण
(C) भारत रत्न
(D) इनमें से कोई नहीं
उत्तर :
(A) डी. लिट्

प्रश्न 24.
‘अत्याचारी’ का शाब्दिक अर्थ है
(A) अन्यायी
(B) जिद्दी
(C) अस्वीकार
(D) इनमें से कोई नहीं
उत्तर :
(A) अन्यायी

प्रश्न 25.
वीरेन डंगवाल किस विचारधारा के कवि हैं?
(A) जनवादी
(B) रहस्यवादी
(C) रीतिवादी
(D) सूफी
उत्तर :
(A) जनवादी

प्रश्न 26.
‘दुष्चक्र में सुष्टा’ पुस्तक पर वीरेन डंगवाल को कौन-सा पुरस्कार प्राप्त हुआ?
(A) ज्ञानपीठ
(B) सोवियत लैंड नेहरू पुरस्कार
(C) साहित्य अकादमी
(D) नोबेल पुरस्कार
उत्तर :
(C) साहित्य अकादमी

प्रश्न 27.
‘हमारी नींद’ कैसी कविता है?
(A) समकालीन
(B) नकेनवादी
(C) हालावादी
(D) छायावादी
उत्तर :
(A) समकालीन

प्रश्न 28.
‘हमारी नींद’ शीर्षक कविता किस काव्य-संग्रह से ली गई है ?
(A) दृष्चक्र में स्रष्टा
(B) इसी दुनिया में
(C) गलत पते की चिट्ठी
(D) मन विहंगम
उत्तर :
(A) दृष्चक्र में स्रष्टा

प्रश्न 29.
वीरेन डंगवाल किस दैनिक-पत्र के सम्पादकीय सलाहकार हैं ?
(A) दैनिक जागरण
(B) जनसत्ता
(C) अमर उजाला
(D) भास्कर
उत्तर :
(C) अमर उजाला

प्रश्न 30.
‘इसी दुनिया में’ किसकी कृति है ?
(A) रघुवीर सहाय
(B) मुक्तिबोध
(C) केदारनाथ अग्रवाल
(D) वीरेन डंगवाल
उत्तर :
(D) वीरेन डंगवाल

प्रश्न 31.
कविता में देवी जागरण कहाँ हुआ?
(A) बाजार में
(B) गरीब बस्तियों में
(C) शहर में
(D) कस्बे में |
उत्तर :
(B) गरीब बस्तियों में

प्रश्न 32.
कविता में किसका जीवन-क्रम पूरा हुआ उल्लिखित है ?
(A) मधुमक्खी का
(B) पतंग का
(C) मच्छड़ का
(D) मक्खी का
उत्तर :
(D) मक्खी का

प्रश्न 33.
वीरेन डंगवाल का जन्म कब हुआ?
(A) 5 अगस्त, 1947 को
(B) 15 अगस्त, 1948 को
(C) 5 अगस्त, 1949 को
(D) 15 अगस्त, 1950 को
उत्तर :
(A) 5 अगस्त, 1947 को

प्रश्न 34.
इसका जन्म कहाँ हुआ?
(A) राँची, झारखण्ड
(B) बिहटा, बिहार
(C) आसनसोल, प० बंगाल
(D) उत्तराखण्ड
उत्तर :
(D) उत्तराखण्ड

प्रश्न 35.
वीरेन डंगवाल की काव्य-संग्रह है
(A) दुष्चक्र में स्रष्टा
(B) इसी दुनिया में
(C) (A) और (B) दोनों
(D) इनमें कोई नहीं
उत्तर :
(B) इसी दुनिया में

प्रश्न 36.
हम जब नींद में होते हैं, तब किसका जीवन-चक्र पूरा हो जाता है ?
(A) मकड़ी का
(B) मछली का
(C) मक्खी का
(D) मच्छड़ का |
उत्तर :
(C) मक्खी का

प्रश्न 37.
वीरने डंगवाल की प्रारंभिक शिक्षा कहाँ से हुई ?
(A) मुजफ्फरनगर
(B) सहारनपुर
(C) कानपुर
(D) इनमें सभी |
उत्तर :
(D) इनमें सभी |

प्रश्न 38.
इन्होंने किस विश्वविद्यालय से एम0 ए0 की डिग्री प्राप्त की?
(A) पटना विश्वविद्यालय
(B) इलाहाबाद विश्वविद्यालय
(C) बरेली विश्वविद्यालय
(D) लाहौर विश्वविद्यालय
उत्तर :
(B) इलाहाबाद विश्वविद्यालय

प्रश्न 39.
‘दंगे, आगजनी और बमबारी’ से किसका चित्रण हुआ है ?
(A) सामाजिक यथार्थ का
(B) सामाजिक गंदगी का
(C) असामाजिक तत्त्वों का
(D) इनमें कोई नहीं
उत्तर :
(A) सामाजिक यथार्थ का

प्रश्न 40.
कविता के नये प्रतिमान
(A) वीरेन डंगवाल
(B) श्रीकांत वर्मा
(C) प्रेमधन
(D) घनानन्द
उत्तर :
(B) श्रीकांत वर्मा

प्रश्न 41.
“टिहरी-गढ़वाल’ कहाँ अवस्थित है ?
(A) असम में
(B) पश्चिम बंगाल में
(C) बिहार में
(D) उत्तराखण्ड में
उत्तर :
(D) उत्तराखण्ड में

प्रश्न 42.
वीरेन डंगवाल को उपाधि दी गई
(A) डी० लिट्
(B) पद्मभूषण
(C) भारत रत्न
(D) इनमें कोई नहीं
उत्तर :
(A) डी० लिट्

प्रश्न 43.
‘हमारी नींद’ कविता में कवि ने किसका उल्लेख किया है ?
(A) गरीब किसानों का
(B) शहर में चैन से सोने वालों का
(C) गरीब बस्तियों का
(D) इनमें कोई नहीं
उत्तर :
(C) गरीब बस्तियों का

प्रश्न 44.
कवि हमें क्या सलाह देता है ?
(A) नींद से सोने की
(B) नींद से जगने की
(C) पैर पसारकर सोने की
(D) इनमें कोई नहीं
उत्तर :
(B) नींद से जगने की

प्रश्न 45.
‘अत्याचारी’ का शाब्दिक अर्थ है
(A) अन्यायी
(B) जिद्दी
(C) अस्वीकार
(D) इनमें कोई नहं
उत्तर :
(A) अन्यायी

प्रश्न 46.
‘देवी जागरण’ कौन-सा कारक है ?
(A) कर्म
(B) कर्ता
(C) सपादान
(D) अपादान
उत्तर :
(B) कर्ता

प्रश्न 47.
‘झगड़ा-फसाद’ कौन-सा समास है ?
(A) दिगु
(B) अव्ययीभाव
(C) द्वन्द्व
(D) तत्पुरुष
उत्तर :
(C) द्वन्द्व

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.2 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.2

Bihar Board Class 10 Maths समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.2

Bihar Board Class 10 Math प्रश्न 1.
निम्नलिखित सारणी में, रिक्त स्थानों को भरिए, जहाँ A.P. का प्रथम पद a, सार्वान्तर d और n वाँ पद a_n है:

हल
(i) दिया है, a = 7, d = 3, n = 8, a_n = ?
n वाँ पद (a_n) = a + (n – 1)d
= 7 + (8 – 1) × 3
= 7 + (7 × 3)
= 7 + 21
= 28
अत: an = 28

(ii) दिया है, a = -18, n = 10, a_n = 0, d = ?
n वाँ पद (a_n) = a + (n – 1)d
⇒ 0 = -18 + (10 – 1)d
⇒ -18 + 9d = 0
⇒ 9d = 18
⇒ d = 2
अतः d = 2

(iii) दिया है, d = -3, n = 18, a_n = -5, a = ?
n वाँ पद (a_n) = a + (n – 1)d
⇒ -5 = a + (18 – 1) × (-3)
⇒ -5 = a + (-51)
⇒ a = -5 + 51 = 46
अत: a = 46

(iv) दिया है, a = -18.9, d = 2.5, a_n = 3.6, n = ?
n वाँ पद (a_n) = a + (n – 1)d
⇒ 3.6 = -18.9 + (n – 1) (2.5)
⇒ 18.9 + 3.6 = (n – 1) (2.5)
⇒ (n – 1)(2.5) = 22.5
⇒ n – 1 = 9
⇒ n = 1 + 9 = 10
अतः n = 10

(v) दिया है, a = 3.5, d = 0, n = 10.5, a_n = ?
n वाँ पद (a_n) = a + (n – 1)d
= 3.5 + (10.5 – 1) (0)
= 3.5 + 0
= 3.5
अत: a_n = 3.5

Exercise 5.2 Class 10 Solutions In Hindi Bihar Board प्रश्न 2.
निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए और उसका औचित्य दीजिए :
(i) A.P.: 10, 7, 4,……, का 30 वाँ पद है :
(A) 97
(B) 77
(C) -77
(D) -87
(ii) A.P.: -3, \(-\frac{1}{2}\), 2,….. का 11 वाँ पद है :
(A) 28
(B) 22
(C) -38
(D) -48\(\frac{1}{2}\)
हल
(i) दी हुई A.P. : 10, 7, 4, …….
यहाँ a = 10 तथा d = 7 – 10 = -3
A.P. का 30 वाँ पद (a₃₀) = a + (n – 1)d
= 10 + (30 – 1) × (-3)
= 10 + (-87)
= -77
अत: विकल्प (C) सही है।

(ii) दी हुई A.P. : -3, \(-\frac{1}{2}\), 2,…….
यहाँ a = -3 तथा d = \(-\frac{1}{2}\) – (-3) = \(\frac{5}{2}\)
A.P.का 11वाँ पद (a₁₁) = a + (n – 1)d
= -3 + (11 – 1) × \(\frac{5}{2}\)
= -3 + 10 × 5
= -3 + 25
= 22
अतः विकल्प (B) सही है।

Bihar Board Class 10th Math Solution प्रश्न 3.
निम्नलिखित समान्तर श्रेढ़ियों में रिक्त खानों (boxes) के पदों को ज्ञात कीजिए :

हल
(i) पहला पद (a) = 2, तीसरा पद = 26, दूसरा पद = ?
माना सार्वान्तर (d) है,
तब, तीसरा पद (a₃) = a + 2d = 26
⇒ 2 + 2d = 26
⇒ 2d = 24
⇒ d = 12
दूसरा पद = a + d = 2 + 12 = 14
अत: रिक्त बॉक्स का पद (a₂) = 14

(ii) पहला पद = ?, दूसरा पद = 13, तीसरा पद = ?, चौथा पद = 3
माना पहला पद (a) तथा सार्वान्तर (d) है।
तब, दूसरा पद = a + d
प्रश्नानुसार, a + d = 13 …….(1)
और चौथा पद = a + 3d
प्रश्नानुसार, a + 3d = 3 ………(2)
समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर,
2d = -10 ⇒ d = -5
समीकरण (1) में d का मान रखने पर,
a + d = 13
⇒ a + (-5) = 13
⇒ a = 13 + 5 = 18
और तीसरा पद = a + 2d = 18 + 2(-5) =18 – 10 = 8
अत: रिक्त बॉक्सों के पद क्रमशः 18 व 8 हैं।

(iv) -4, a₂, a₃ , a₄, a₅, 6
पहला पद (a) = -4
माना सार्वान्तर d है।
तब, छठा पद = a + 5d
परन्तु छठा पद = 6
a + 5d = 6
⇒ -4 + 5d = 6
⇒ 5d = 10
⇒ d = 2
दूसरा पद (a₂) = a + d = -4 + 2 = -2
तीसरा पद (a₃) = a + 2d = -4 + 2 × 2 = -4 + 4 = 0
चौथा पद (a₄) = a + 3d = -4 + 3 × 2 = -4 + 6 = 2
पाँचवाँ पद (a₅) = a + 4d = -4 + 4 × 2 = -4 + 8 = 4
अत: बॉक्सों के रिक्त पद क्रमशः -2, 0, 2, 4 हैं।

(v) a, 38, a₃, a₄, a₅, -22
माना पहला पद (a) तथा सार्वान्तर (d) है।
तब, दूसरा पद = a + d
परन्तु a + d = 38 ……..(1)
और छठा पद = a + (6 – 1)d = a + 5d
परन्तु a + 5d = -22 ………(2)
समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर,
(a + 5d) – (a + d) = -22 – 38
⇒ 4d = -60
⇒ d = -15
समीकरण (1) में d का मान रखने पर,
a + (-15) = 38
⇒ a = 38 + 15
⇒ a = 53
तीसरा पद (a₃) = a + 2d = 53 + 2(-15) = 53 – 30 = 23
चौथा पद (a₄) = a + 3d = 53 + 3(-15) = 53 – 45 = 8
पाँचवाँ पद (a₅) = a + 4d = 53 + 4(-15) = 53 – 60 = -7
अत: बॉक्सों के रिक्त पद क्रमशः 53, 23, 8, -7 हैं।

Bihar Board Class 10 Math Book Solution In Hindi प्रश्न 4.
A.P.: 3, 8, 13, 18, …… का कौन-सा पद 78 है?
हल
दी गई A.P. : 3, 8, 13, 18, ……..
पहला पद (a) = 3 तथा सार्वान्तर (d) = 8 – 3 = 5
माना n वा पद (a_n) 78 है।
n वाँ पद (a_n) = 78
⇒ a + (n – 1)d = 78
⇒ 3 + (n – 1)5 = 78
⇒ 3 + 5n – 5 = 78
⇒ 5n = 78 + 5 – 3 = 80
⇒ n = 16
अत: 16 वाँ पद 78 है।

Bihar Board Class 10 Math Solution In Hindi प्रश्न 5.
निम्नलिखित समान्तर श्रेढ़ियों में से प्रत्येक श्रेढ़ी में कितने पद हैं?
(i) 7, 13, 19, ……, 205
(ii) 18, 15\(\frac{1}{2}\), 13, ….., -47
हल
(i) दी गई समान्तर श्रेढ़ी (A.P.) : 7, 13, 19, …… , 205
पहला पद (a) = 7 तथा सार्वान्तर (d) = 13 – 7 = 6
माना दी गई A.P. में n पद हैं जिसमें n वाँ पद (a_n) = 205
n वाँ पद (a_n) = 205
⇒ a + (n – 1)d = 205
⇒ 7 + (n – 1)6 = 205
⇒ 7 + 6n – 6 = 205
⇒ 6n = 205 + 6 – 7 = 204
⇒ n = 34
अतः दी गई श्रेढी (A.P.) में 34 पद हैं।

(ii) दी गई समान्तर श्रेढ़ी (A.P.) : 18, 15\(\frac{1}{2}\), 13, ….., -47
पहला पद (a) = 18
तथा सार्वान्तर (d) = 15\(\frac{1}{2}\) – 18
= \(\frac{31}{2}\) – 18
= \(\frac{31-36}{2}\)
= \(\frac{-5}{2}\)
माना दी गई श्रेढ़ी में n पद हैं।
n वाँ पद 4 (a_n) = -47
⇒ a + (n – 1)d = -47
⇒ 18 + (n – 1)(\(\frac{-5}{2}\)) = -47
⇒ \(-\frac{5(n-1)}{2}\) = -47 – 18 = -65
⇒ (n – 1) = \(\frac{65 \times 2}{5}\) = 26
⇒ n = +1 + 26 = 27
अतः दी गई श्रेढी (A.P.) में 27 पद हैं।

Bihar Board Class 10 Math Book Solution In Hindi Pdf Download प्रश्न 6.
क्या A.P. : 11, 8, 5, 2 का एक पद -150 है? क्यों?
हल
दी गई A.P. : 11, 8, 5, 2
पहला पद (a) = 11 तथा सार्वान्तर (d) = 8 – 11 = -3
माना n वाँ पद (a_n) = -150 है।
n वाँ पद (a_n) = -150
⇒ a + (n – 1)d = -150
⇒ 11 + (n – 1) × -3 = -150
⇒ -3(n – 1) = -150 – 11 = -161
⇒ (n – 1) = 53.6 (लगभग)
⇒ n = 53.6 + 1 = 54.6
n का मान एक पूर्ण संख्या नहीं है।
अतः दी गई A.P. का कोई पद -150 नहीं है।

Bihar Board 10th Class Math Solution प्रश्न 7.
उस A.P. का 31 वाँ पद ज्ञात कीजिए, जिसका 11 वाँ पद 38 है और 16 वाँ पद 73 है।
हल
माना A.P. का पहला पद (a) तथा सार्वान्तर (d) है।
दिया है, A.P. का 11 वाँ पद (a₁₁) = 38
⇒ a + (n – 1)d = 38
⇒ a + (11 – 1)d = 38
⇒ a + 10d = 38 ………(1)
पुनः दिया है, A.P. का 16 वाँ पद (a₁₆) = 73
⇒ a + (16 – 1)d = 73
⇒ a + 15d = 73 ……..(2)
समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर,
(a + 15d) – (a + 10d) = 73 – 38
⇒ 5d = 35
⇒ d = 7
समीकरण (1) में d का मान रखने पर,
a + 10 × 7 = 38
⇒ a + 70 = 38
⇒ a = 38 – 70 = -32
श्रेढ़ी का 31 वाँ पद (a₃₁) = a + (31 – 1)d
= -32 + 30 × 7
= -32 + 210
= 178
अतः A.P. का 31 वाँ पद = 178

10 Class Ka Math Bihar Board प्रश्न 8.
एक A.P. में 50 पद हैं, जिसका तीसरा पद 12 है और अन्तिम पद 106 है। इसका 29 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हल
माना A.P. का प्रथम पद (a) तथा सार्वान्तर (d) है।
तब, तीसरा पद = a + (3 – 1)d = a + 2d
और अन्तिम 50 वाँ पद = a + (50 – 1)d = a + 49d
तब प्रश्नानुसार,
a + 2d = 12 ………(1)
a + 49d = 106 ……(2)
समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर,
(a + 49d) – (a + 2d) = 106 – 12
⇒ 47d = 94
⇒ d = 2
तब समीकरण (1) में d का मान रखने पर,
a + 2 × 2 = 12
⇒ a + 4 = 12
⇒ a = 8
A.P. का 29 वाँ पद = a + (29 – 1)d
= 8 + 28 × 2
= 8 + 56
= 64
अतः दी गई A.P. का 29 वाँ पद 64 है।

Bihar Board Math Solution प्रश्न 9.
यदि किसी A.P. के तीसरे और नौवें पद क्रमशः 4 और -8 हैं तो इसका कौन-सा पद शून्य होगा?
हल
माना श्रेढ़ी का पहला पद (a) तथा सार्वान्तर (d) है।
A.P. का तीसरा पद (a₃) = a + 2d
तथा नौवाँ पद (a₉) = a + (9 – 1) d = a + 8d
तब प्रश्नानुसार,
a + 2d = 4 ……(1)
a + 8d = -8 ……(2)
समीकण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर,
(a + 8d) – (a + 2d) = -8 – 4
या 6d = -12
या d = -2
समीकरण (1) में d का मान रखने पर,
a + 2 x (-2) = 4
⇒ a – 4 = 4
⇒ a = 8
माना श्रेढ़ी का n वाँ पद शून्य होगा, अर्थात्
a_n = 0
n वाँ पद (a_n) = 0
⇒ a + (n – 1)d = 0
⇒ 8 + (n – 1) × (-2) = 0
⇒ -2(n – 1) = -8
⇒ (n – 1) = 4
⇒ n = 5
अतः दी गई A.P. का 5 वाँ पद शून्य होगा।

Bihar Board Class 5 Math Solution In Hindi प्रश्न 10.
किसी A.P. का 17 वाँ पद उसके 10 वें पद से 7 अधिक है। इसका सार्वान्तर ज्ञात कीजिए।
हल
माना A.P. का पहला पद (a) तथा सार्वान्तर (d) है।
तब, 17 वाँ पद (a₁₇) = a + (17 – 1)d = a + 16d
10 वा पद (a₁₀) = a + (10 – 1)d = a + 9d
प्रश्नानुसार, 17 वाँ पद, 10 वें पद से 7 अधिक है।
17 वाँ पद (a₁₇) – 10 वाँ पद (a₁₀) = 7
⇒ (a + 16d) – (a + 9d) = 7
⇒ 7d = 7
⇒ d = 1
अत: श्रेढ़ी का सार्वान्तर (d) = 1

Bihar Board Math Solution Class 10 प्रश्न 11.
A.P. : 3, 15, 27, 39, ….. का कौन-सा पद उसके 54 वें पद से 132 अधिक होगा?
हल
माना अभीष्ट पद n वाँ पद है।
दी गई A.P. : 3, 15, 27, 39, …..
प्रथम पद (a) = 3 तथा सार्वान्तर (d) = 15 – 3 = 12
तब, श्रेढ़ी का 54 वाँ पद (a₅₄) = a + (54 – 1)d
= 3 + (53 × 12)
= 3 + 636
= 639
n वॉ पद (a_n) = 54 वें पद से 132 अधिक
= 639 + 132
= 771
n वाँ पद (a_n) = 771
a + (n – 1)d = 771
3 + (n – 1) 12 = 771
(n – 1)12 = 771 – 3 = 768
n – 1 = 64
n = 64 + 1 = 65
अतः श्रेढ़ी का 65 वाँ पद 54 वें पद से 132 अधिक है।

Bihar Board Class 5 Math Solution प्रश्न 12.
दो समान्तर श्रेढ़ियों का सार्वान्तर समान है। यदि इनके 100 वें पदों का अन्तर 100 है, तो इनके 1000 वें पदों का अन्तर क्या होगा?
हल
माना पहली A.P. का पहला पद a तथा सार्वान्तर d है और दूसरी A.P. का पहला पद A तथा सार्वान्तर d है क्योंकि सार्वान्तर समान है।
तब, पहली श्रेढ़ी का 100 वाँ पद = a + (100 – 1)d = a + 99d
दूसरी श्रेढ़ी का 100 वा पद = A + (100 – 1) d = A + 99d
दोनों श्रेढ़ियों के 100 वें पदों का अन्तर = (A + 99d) – (a + 99d) = A – a
तब, प्रश्नानुसार, A – a = 100 ……(1)
अब, पहली श्रेढ़ी का 1000 वाँ पद = a + (1000 – 1)d = a + 999d
दूसरी श्रेढ़ी का 1000 वाँ पद = A + (1000 – 1)d = A + 999d
दोनों श्रेढ़ियों के 1000 वें पदों का अन्तर = (A + 999d) – (a + 999d) = A – a
दोनों श्रेढ़ियों के 1000 वें पदों का अन्तर = A – a = 100 [समीकरण (1) से]
अत: 1000 वें पदों का अन्तर = 100

Bihar Board Class 5 Math Book Solution प्रश्न 13.
तीन अंकों वाली कितनी संख्याएँ 7 से विभाज्य हैं?
हल
तीन अंकों की संख्याओं की सूची : 100, 101, 102, ……., 999
3 अंकों की 7 से विभाज्य पहली संख्या = 105
और अन्तिम संख्या = 994
तब, 7 से विभाज्य 3 अंकीय संख्याओं की सूची :
105, (105 + 7), (105 + 7 + 7), ……….., 994
= 105, 112, 119,…….,994
माना कुल संख्याएँ n हैं।
पहली संख्या (a) = 105, सार्वान्तर (d) = 7, n वाँ पद (a_n) = 994
n वा पद (a_n) = 994
a + (n – 1)d = 994
105 + (n – 1) × 7 = 994
(n – 1) × 7 = 994 – 105 = 889
(n – 1) = \(\frac{889}{7}\) = 127
n = 127 + 1 = 128
अतः 7 से विभाज्य तीन अंकीय संख्याएँ 128 हैं।

Bihar Board Class 5th Math Solution In Hindi प्रश्न 14.
10 और 250 के बीच में 4 के कितने गणज हैं?
हल
10 से बड़ा 4 का पहला गुणज = 12
250 से छोटा 4 का पहला गुणज = 248
10 और 250 के बीच 4 के गुणजों की सूची :
12, 12 + 4, (12 + 4 + 4),……., 248
12, 16, 20, 24, …….., 248.
माना गुणजों की संख्या n है।
यहाँ, पहला पद (a) = 12, सार्वान्तर (d) = 16 – 12 = 4
n वा पद (a_n) = 248
⇒ a + (n – 1)d = 248
⇒ 12 + (n -1) 4 = 248
⇒ 12 + 4n – 4 = 248
⇒ 4n = 248 + 4 – 12 = 240
⇒ n = 60
अत: 10 और 250 के बीच 4 के गुणजों की संख्या = 60

Bihar Board Class 10th Math Solution In Hindi प्रश्न 15.
n के किस मान के लिए, दोनों समान्तर श्रेढ़ियों 63, 65, 67, ….. और 3, 10, 17,…..के n वें पद बराबर होंगे?
हल
पहली समान्तर श्रेढ़ी : 63, 65, 67,……
पहला पद (a) = 63, सार्वान्तर (d) = 65 – 63 = 2
श्रेढ़ी का n वा पद = a + (n – 1)d
= 63 + (n – 1)2
= 63 + 2n – 2
= 61 + 2n
दूसरी समान्तर श्रेढ़ी : 3, 10, 17, ……
पहला पद (A) = 3 सार्वान्तर (D) = 10 – 3 = 7
श्रेढ़ी का n वाँ पद = A + (n – 1)D
= 3 + (n – 1)7
= 3 + 7 n – 7
= 7n – 4
दोनों श्रेढ़ियों के n वें पद बराबर हैं।
7n – 4 = 61 + 2n
⇒ 7n – 2n = 61 + 4
⇒ 5n = 65
⇒ n = 13
अतः दी गई दोनों श्रेढ़ियों के 13 वें पद समान हैं।

Bihar Board Class 10 Math Solution प्रश्न 16.
वह A.P. ज्ञात कीजिए जिसका तीसरा पद 16 है और 7 वाँ पद 5 वें पद से 12 अधिक है।
हल
माना पहला पद a है तथा सार्वान्तर d है।
दिया है, A.P. का तीसरा पद = 16
a + 2d = 16 ……(1)
श्रेढ़ी का 7 वाँ पद (a₇) = a + (7 – 1)d = a + 6d
तथा 5 वाँ पद (a₅) = a + (5 – 1)d = a + 4d
7 वाँ पद 5 वें पद से 12 अधिक है
(a + 6d) – (a + 4d) = 12
⇒ a + 6d – a – 4d = 12
⇒ 2d = 12
⇒ d = 6
d का मान समीकरण (1) में रखने पर,
a + 2 × 6 = 16
⇒ a = 4
श्रेढ़ी का पहला पद (a) = 4
दूसरा पद (a₂) = a + d = 4 + 6 = 10
तीसरा पद (a₃) = a + 2d = 4 + 2 × 6 = 4 + 12 = 16
चौथा पद (a₄) = a + 3d = 4 + 3 × 6 = 4 + 18 = 22
अत: अभीष्ट A.P. : 4, 10, 16, 22, …….. है।

Bihar Board 10th Math Solution प्रश्न 17.
A.P. : 3, 8, 13, ….., 253 में अन्तिम पद से 20 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हल
दी गई A.P. : 3, 8, 13, ………, 253
पहला पद (a) = 3, सार्वान्तर (d) = 8 – 3 = 5
यदि श्रेढ़ी को अवरोही क्रम में लिखें तो यह निम्नवत् होगी
253, (253 – 5), (253 – 10), (253 – 15), ……., 3
या 253, 248, 243, 238, ………, 3
पहला पद (a) = 253 तथा सार्वान्तर (d) = 248 – 253 = -5
श्रेढ़ी का 20 वाँ पद = a + (20 – 1)d
= 253 + 19 × (-5)
= 253 – 95
= 158
अतः दी गई A.P. के अन्तिम पद से 20 वाँ पद = 158
वैकल्पिक विधिः A.P. का अन्त से n वाँ पद = l – (n – 1)d
जहाँ, पर l = अन्तिम पद यहाँ, l = 253, d = 8 – 3 = 5, n = 20
A.P. का अन्त से 20वाँ पद = 253 – (20 – 1) (5)
= 253 – 19 × 5
= 253 – 95
= 158

Bihar Board Class 5th Math Solution प्रश्न 18.
किसी A.P. के चौथे और 8 वें पदों का योग 24 है तथा छठे और 10 वें पदों का योग 44 है। इस A.P. के प्रथम तीन पद ज्ञात कीजिए।
हल
माना A.P. का पहला पद a तथा सार्वान्तर d है।
प्रश्नानुसार, 4वाँ पद (a₄) + 8 वाँ पद (a₈) = 24
⇒ a + (4 – 1)d + a + (8 – 1)d = 24
⇒ a + 3d + a + 7d = 24
⇒ 2a + 10d = 24
⇒ a + 5d = 12 ……..(1)
तथा 6वाँ पद (a₆) + 10वाँ पद (a₁₀) = 44
⇒ a + (6 – 1)d + a + (10 – 1)d = 44
⇒ a + 5d + a + 9d = 44
⇒ 2a + 14d = 44
⇒ a + 7d = 22 ……..(2)
समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर,
(a +7d) – (a + 5d) = 22 – 12
⇒ 2d = 10
⇒ d = 5
d का यह मान समीकरण (1) में रखने पर,
a + 5 × 5 = 12
⇒ a + 25 = 12
⇒ a = -13
तब, श्रेढ़ी का पहला पद (a₁) = -13
दूसरा पद (a₂) = a + d = -13 + 5 = -8
तीसरा पद (a₃) = a + 2d = -13 + 2 × 5 = -13 + 10 = -3
अतः दी गई A.P. के प्रथम तीन पद = -13, -8, -3

प्रश्न 19.
सुब्बाराव ने 1995 में ₹ 5000 के मासिक वेतन पर कार्य आरम्भ किया और प्रत्येक वर्ष ₹ 200 की वेतन वृद्धि प्राप्त की। किस वर्ष में उसका वेतन ₹ 7000 हो गया?
हल
पहले वर्ष में प्रारम्भिक वेतन = ₹ 5000 प्रतिमास
दूसरे वर्ष में वेतन = ₹ (5000 + 200) = ₹ 5200
प्रतिमास तीसरे वर्ष में वेतन = ₹ (5200 + 200) = ₹ 5400 प्रतिमास
इस प्रकार प्रत्येक वर्ष के वेतन (₹)
5000, 5200, 5400, …….. एक समान्तर श्रेढ़ी बनाते हैं।
जिसका पहला पद (a) = 5000 तथा सार्वान्तर (d) = 200
माना n वर्ष बाद वेतन ₹ 7000 होगा।
तब, n वाँ पद = 7000
a + (n – 1)d = 7000
⇒ 5000 + (n – 1) 200 = 7000
⇒ (n – 1) × 200 = 7000 – 5000
⇒ (n – 1) × 200 = 2000
⇒ (n – 1) = 10
⇒ n = 10 + 1 = 11
अत: 11 वें वर्ष में सुब्बाराव का वेतन ₹ 7000 हो जायेगा।

प्रश्न 20.
रामकली ने किसी वर्ष के प्रथम सप्ताह में ₹ 5 की बचत की और फिर अपनी साप्ताहिक बचत ₹ 1.75 बढ़ाती गई। यदि n वें सप्ताह में उसकी साप्ताहिक बचत ₹ 20.75 हो जाती है, तो n ज्ञात कीजिए।
हल
प्रथम सप्ताह की बचत = ₹ 5
प्रत्येक सप्ताह की बचत में उत्तरोत्तर ₹ 1.75 की वृद्धि होती है।
प्रत्येक सप्ताह की बचतें एक A.P. का निर्माण करती हैं जिसका पहला पद (a) = 5 तथा सार्वान्तर (d) = ₹ 1.75
n वें सप्ताह में बचत = 20.75
a + (n – 1)d = 20.75
⇒ 5 + (n – 1) 1.75 = 20.75
⇒ (n – 1) × 1.75 = 20.75 – 5
⇒ (n – 1) × 1.75 = 15.75
⇒ n – 1 = 9
⇒ n = 9 + 1 = 10
अत: n = 10